UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

TALLER VERTICAL DE MATEMÁTICA Nº 1

MATEMÁTICA

NIVEL II Prof. Titular:

Prof. Carlos V. Federico

Prof. Titular:

Arq. Néstor Díaz

Prof. Adjunto:

Ing. Marcelo Fileni UNIDAD II -TP Nº 5 – 6 -7 -8 -9 -10 -11 - 12

CUADRICAS Incluyen Teórica

Ejemplos reales de aplicación Ilustraciones Ejercicios resueltos

Ejercicios para realizar en clase Ejercicios optativos Preguntas teóricas

Bibliografía

Por consultas fechas y resultados de parciales matematica2fp@live.com.ar (ING. ORAZZI PEDRO – JTP)

Por consultas del T - MAD

gmcentorbi@gmail.com (ING. CENTORBI GUILLERMO – ACD) al_mat_fis@yahoo.com.ar (ALEJANDRO MOYANO – ACD)

AUTORÍA Y RECOPILACIÓN DE CONCEPTOS TEÓRICOS Y EJERCITACIÓN:

ING. ORAZZI A. PEDRO JTP

FAU

CU

AD

RIC

AS

–TP

5 -

6 -

7 -8

-9

-10

-11

-12

CUADRICAS

Ecuación general de las cuadricas

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables 0GFzEyDxCzByx 222 =++++++A

Deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos, xy, xz, yz, xyz, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso

Realizaremos el estudio de cada una de las superficies así definidas, a partir de su ecuación en coordenadas cartesianas.

1°.- Intersecciones con los ejes de coordenadas.

2°.- Intersecciones con los planos coordenados (trazas)

3°.- Intersecciones con planos paralelos a los planos coordenados

En todos los casos se considerarán únicamente superficies cuyo/s eje/s es/son paralelo/s a alguno/s de los ejes del sistema de coordenadas.

TRABAJO PRACTICO # 5 ESFERA

Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. También se denomina esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma.

La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro

Ecuación cartesiana

En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimensional, la ecuación canónica de la esfera unitaria de radio r, y centro en c(α, β, δ) es :

(x - α)2 + (y - β)2+ (z - δ)2 = r2

Si estuviese centrada en el origen de coordenadas, la ecuación seria:

x2 + y2+ z 2 = r2

1

Ilustración de esferas

Su superficie y volumen están dados de la siguiente manera:

3r4V

3π=2r4A π=

2

Casquete esférico, cada una de las dos partes en que un plano divide a la

superficie esférica, aunque habitualmente sólo se le da este nombre al menor de

los dos.

Si el plano pasa por el centro de la esfera, los dos casquetes que determina son semiesferas.

Se llama base del casquete al círculo que determina sobre la esfera. La altura es la distancia de este plano al plano paralelo tangente al casquete.

El área de un casquete de altura h determinado sobre una esfera de radio R es:

A = 2πRh TRABAJO PRACTICO # 6 ELIPSOIDE

El elipsoide es la figura geométrica que se forma al girar una elipse sobre uno de sus ejes.

Si el centro de la elipse está en el punto (x0,y0,z0), la ecuación de la elipse en coordenadas cartesianas es:

(x - α)2/a2 + (y - β)2/b2 + (z - δ)2/c2 = 1

Siendo a, b y c, constantes positivas y el centro c(α, β, δ)

122

2

2

22

cz

by

ax =++ Ecuación canónica con centro en el origen de coordenadas

3

El volumen del elipsoide es: 4/3πabc. Siendo a, b y c, los semiejes del elipsoide.

NOTA: En la presente ilustración los ejes x e y están invertidos, la convención correcta es la que se establece en la clase teórica

Ilustración del elipsoide

4

1.- Intersecciones con los ejes de coordenadas. Intersección con el eje x: se obtiene resolviendo el sistema:

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax =++

y = 0

z = 0

⇒±=⇒=⇒= axax1ax 22

2

2 A1 (+a ; 0 ; 0) y A2 (- a ; 0 ;0) - es decir, dos puntos.

Igualmente se procede con los restantes ejes. Los puntos A1, A2, B1, B2, C1, C2, se llaman vértices del elipsoide.

2.- Determinación de las intersecciones con los planos coordenados (trazas)

Se obtienen resolviendo los sistemas:

122

2

2

22

cz

by

ax =++

z = 0

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax =++

y = 0

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax =++

x = 0

La intersección del elipsoide con el plano xy es la elipse: 12

2

22

by

ax =+ .

La intersección con el plano xz es la elipse: 12

2

2

2

cz

ax =+

La intersección con el plano yz es la elipse: 122

2

2

cz

by =+

3.- Determinación de las intersecciones con planos paralelos a los planos

coordenados.

El elipsoide es una superficie encerrada por los planos: x = ± a ; y = ± b ; z = ± c

Demostración: Probaremos que la superficie está dentro de la franja limitada por los planos x = a, x = -a. Análogamente se prueba para los demás planos. Cortamos el elipsoide con planos x = k. Las curvas de intersección tienen ecuaciones

(1) 2

2

2

2

2

2

ak

cz

by 1−=+ de donde se obtiene 1

)1(cz

)1(b

y

2a

2k2

2

2a

2k2

2=+

−− (2)

Las curvas representativas de la ecuación anterior son elipses de semiejes:

22ab ka − y 22

ac ka − , con centro en (k; 0 ;0)

5

Cuando la constante k crece desde 0 hasta el valor ± a; los semiejes de elipses anteriores van disminuyendo. Si k = ± a queda en (1) la ecuación:

02

2

2

2

cz

by =+ que solo tiene solución para z = 0 e y = 0,

es decir el punto (± a; 0 ; 0)

Esto significa que los planos x = + a y x = - a son tangentes al elipsoide.

De la ecuación (2) se deduce que para que haya valores reales en la curva de intersección del elipsoide con los planos x = k debe ser: a2 - k2 > 0 es decir, ⎪k⎪ < a. Luego queda probado que la superficie está entre los planos x = a, x = -a. Algunas propiedades del elipsoide.

El elipsoide es una superficie simétrica respecto a los ejes y planos coordenados y respecto al origen de coordenadas.

Si a = b = c el elipsoide es una esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = a2. En este

caso el estudio tiene las mismas características sólo que las intersecciones que se obtienen con los planos de coordenadas y con los planos paralelos a los planos de coordenadas son circunferencias.

Si a = b es un elipsoide de revolución, pues se obtiene haciendo girar la

12

2

2

2 =+cz

ax elipse alrededor del eje z.

TRABAJO PRACTICO # 7 HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

Se define como hiperboloide de una hoja a la superficie cuya ecuación es:

Donde a, b y c son constantes positivas, considerando su origen en el origen de coordenadas 1=2

2

2

2

2

2

−+cz

by

ax

NOTA: En la presente ilustración los ejes x e y están invertidos, la convención correcta es la que se establece en la clase teórica.

.

6

Ilustracion de hipereboloide de 1 hoja

1.- Intersecciones con los ejes de coordenadas

Las intersecciones del hiperboloide de una hoja con los ejes x e y son los puntos

A1 (a, 0, 0); A2 (-a, 0, 0); B1 (0, b, 0); B2 (0, -b, 0).

La superficie no tiene intersección real con el eje z.

Demostración: Para hallar las intersecciones con los ejes x e y deben resolverse,

respectivamente, los sistemas:

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax =−+ 12

2

2

2

2

2

cz

by

ax =−+

y = 0 x = 0

z = 0 z = 0

Obteniendo así los puntos A1, A2, B1, B2, que se llaman vértices del hiperboloide de una hoja. Las intersecciones con el eje z se obtienen resolviendo el sistema:

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax =−+

x = 0

y = 0

del cual resulta: 12

2

cz =− es decir,

z2 = - c2, que no tiene resolución real.

O sea: no hay intersección real. 2. Intersección con los planos de coordenadas (trazas)

Con el plano xy es la elipse 12

2

2

2

by

ax =+ llamada elipse garganta.

7

Con el plano xz es la hipérbola 12

2

2

2

cz

ax =− .

Con el plano yz es la hipérbola 12

2

2

2

cz

by =− .

3.- Intersecciones del hiperboloide de una hoja con planos paralelos a los planos de

coordenadas.

a) Las intersecciones con planos paralelos al plano xy son elipses, cuyos semiejes

aumentan a medida que los planos se alejan del plano xy.

Demostración: resolviendo el sistema

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax =−+

z = k

se obtienen las curvas de intersección que tienen ecuación 22

2

2

22

ck

by

ax 1+=+

2

22

by

ax

CKC

2

2

22 +

=+ 12

222

2

2

222

2

CKCb

y

CKCa

x =+++

que son elipses de semiejes

)kc( 22ca + y )kc( 22

cb + , los cuales tienen mayor longitud a medida

que aumenta el valor absoluto de k.

b) Las intersecciones del hiperboloide de una hoja con planos x = k paralelos al

plano yz son:

• hipérbolas cuyo eje focal es paralelo al eje y si ⎪k⎪< a;

• un par de rectas reales si k = ± a;

• hipérbolas cuyo eje focal es paralelo al eje z si ⎪k⎪> a.

Demostración: Resolviendo el sistema

122

2

2

22

cz

by

ax =−+

x = k se obtiene como curva de intersección 22

22

2

2

ak

cz

by 1−=− (1)

que también puede escribirse: 1)ka(

z)ka(

y22

2a

2c

2

222a

2b

2=−

−− (2)

En esta intersección se presentan restricciones al valor de k:

8

• Si ⎪k⎪< a la ecuación (2), es la ecuación de una hipérbola de semiejes

)ka( 22ab − y )ka( 22

ac − y cuyo eje focal es paralelo al eje y.

• Si k = ± a en (1) se tiene 022

2

2

cz

by =− que puede escribirse 0))(( c

zby

cz

by =+−

que es un par de rectas reales cuyos puntos pertenecen a la superficie.

• Si ⎪k⎪> ± a es a2 - k2 < 0, luego la (2) representa hipérbolas cuyo eje focal es

paralelo al eje z, cuyos semiejes son: )ak( 22ab − y )ak( 22

ac −

c) Intersecciones del hiperboloide de una hoja con planos y = k paralelos al plano

xz: son hipérbolas cuyo eje focal es paralelo al eje x, si ⎪k⎪<b; son un par de rectas

reales si k = ±b; y son hipérbolas cuyo eje focal es paralelo al eje z si ⎪k⎪>b. La

determinación de estas intersecciones se resuelve con un proceso equivalente a

los casos anteriores

Algunas propiedades del hiperboloide de una hoja.

• El hiperboloide de una hoja es una superficie simétrica respecto a los ejes y

planos coordenados y respecto al origen de coordenadas.

• Si a = b el hiperboloide de una hoja es de revolución, pues se obtiene haciendo

girar la hipérbola 122

22

cz

ax =− alrededor del eje z.

TRABAJO PRACTICO # 8 HIPERBOLOIDE DE 2 HOJAS Definimos como hiperboloide de 2 hojas a la superficie cuya ecuación (donde su

centro coincide con el origen de coordenadas) es: Donde a, b, c son constantes positivas. Su gráfica consta de dos hojas separadas. 12

22

2

22

cz

by

ax =−−

NOTA: En la presente ilustración los ejes x e y están invertidos, la convención correcta es la que se establece en la clase teórica.

9

1º Intersecciones con los ejes de coordenadas.

Las intersecciones con el eje x se hallan resolviendo el sistema

de donde resultan los valores x = ± a, lo que implica que las intersecciones son

los puntos A1 (a;0;0) y A 2 (- a; 0; 0) que se llaman vértices del hiperboloide de

dos hojas.

122

2

2

22

cz

by

ax =−−

y = 0

z = 0

En cambio, los sistemas

122

2

2

22

cz

by

ax =−−

x = 0

z = 0

122

2

2

22

cz

by

ax =−−

x = 0

y = 0

no tienen soluciones reales por lo que no hay intersección real con esos ejes.

2.- Intersecciones con los planos de coordenadas (trazas)

• La intersección del hiperboloide de dos hojas con el plano xy, es la hipérbola

12

2

22

by

ax =−

• La intersección con el plano xz es la hipérbola 122

22

cz

ax =−

• Con el plano yz no hay intersección real.

Demostración: Se prueba en la misma forma que la propiedad 2 de las superficies

vistas anteriormente.

3.- Determinación de las intersecciones con planos paralelos a los planos de

coordenadas.

a) Las intersecciones del hiperboloide de dos hojas con planos z = k paralelos al plano xy son hipérbolas cuya distancia focal aumenta a medida que los planos se alejan del plano xy.

Demostración: Resolviendo el sistema 122

2

2

22

cz

by

ax =−−

z=k

se obtienen las curvas de intersección cuyas ecuaciones son: 22

2

2

22

ck

by

ax 1+=−

10

o equivalentemente:

1)kc(

y

)kc(x

222c

2b

2

222c

2a

2=−

++ Vemos que la distancia focal aumenta a medida que

aumenta k .

b) Las intersecciones del hiperboloide de dos hojas con planos x = k, paralelos al

plano yz son elipses si ⎪k⎪>a; un par de rectas imaginarias que se cortan en un

punto real de la superficie se k = ± a; no hay intersección real si ⎪k⎪< a.

Demostración: Resolviendo el sistema 122

2

2

22

cz

by

ax =−−

x = k

resultan las curvas: 122

22

2

2

ak

cz

by −=+ (1) o equivalentemente:

1)ak(

z)ak(

y22

2a

2c

2

222a

2b

2=+

−− (2)

En este caso, las restricciones son:

• Si ⎪k⎪> a, la (2) es la ecuación de una elipse con semiejes: )ak( 22ab − y

)ak( 22ac −

• Si k = ± a, la (1) es la ecuación de un par de rectas imaginarias que se cortan en

los puntos reales de coordenadas (± k, 0, c).

• Si ⎪k⎪< a, no existe ningún punto real que verifique (2), luego, no existe

intersección real.

Algunas propiedades del hiperboloide de dos hojas

• El hiperboloide de dos hojas es una superficie simétrica respecto a los ejes

coordenados, a los planos coordenados y al origen de coordenadas.

• Si b = c, el hiperboloide de dos hojas es de revolución, pues se obtiene

haciendo girar la hipérbola 122

22

cz

ax =− alrededor del eje x.

11

TRABAJO PRACTICO # 9 PARABOLOIDE ELÍPTICO Llamaremos paraboloide elíptico de eje z a la superficie cuya ecuación es

cz2

2

22

by

ax =+

donde a, b y c son constantes positivas.

NOTA: En la presente ilustración los ejes x e y están invertidos, la

convención correcta es la que se establece en la clase teórica.

Ilustracion del paraboloide eliptico

12

1.- Intersecciones con los ejes de coordenadas.

La intersección del paraboloide elíptico con los ejes coordenados es el origen de

coordenadas.

Demostración: En efecto, la solución de los sistemas

cz2

2

22

by

ax =+

x = 0

y = 0

cz2

2

22

by

ax =+

x = 0

z = 0

cz2

2

22

by

ax =+

y = 0

z = 0

es el punto V (0, 0, 0), que se llama vértice del Paraboloide elíptico.

2. Determinación de las intersecciones con los planos coordenados.

La intersección del paraboloide elíptico con el plano xz es la parábola x2 = ca2 z.

La intersección del paraboloide elíptico con el plano yz es la parábola y2 = cb2 z.

La intersección con el plano xy es punto (0, 0, 0). La demostración es la misma que

la de los puntos 2 de los estudios anteriores.

3º. Determinación de las intersecciones con planos paralelos a los planos de

coordenadas.

a) La intersección del paraboloide elíptico con planos z = k paralelos al plano xy,

son elipses si k > 0; un punto si k = 0; no existe intersección real si es k < 0.

Demostración: Resolviendo el sistema cz2

2

22

by

ax =+

z = k

resultan las curvas de ecuación ck2

2

22

by

ax =+ que son elipses si k > 0, no hay

intersección si k < 0 y un punto si k = 0

b) Las intersecciones del paraboloide elíptico con planos x = k, paralelos al plano

yz son parábolas con eje paralelo al eje z, y cuyo vértice describe la parábola x2 =

2pz.

Demostración: Resolviendo el sistema cz2

2

22

by

ax =+

x = k

resultan las parábolas de ecuación 22

ak222 bzcby −= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⋅ 2

2

ack22 zcby

con vértice en el punto V (k, 0, k2/c.a2).

13

c) Las intersecciones del paraboloide elíptico con planos y = k, paralelos al plano

xz son parábolas de eje paralelo al eje z y cuyo vértice describe la parábola y2 =

cb2 z Demostración: Proceso equivalente al del inciso b)

Algunas propiedades del paraboloide elíptico

• El paraboloide elíptico es una superficie simétrica respecto al eje z y respecto a

los planos xz e yz.

Demostración: La ecuación no altera al cambiar x por -x e y por -y.

• Si a = b, el paraboloide elíptico es de revolución, se obtiene haciendo girar la

parábola x2 = c.a2 z alrededor del eje z.

TRABAJO PRACTICO # 10 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

Llamaremos Paraboloide hiperbólico a la superficie cuya ecuación es

cz2

2

22

by

ax =−

Donde a, b y c son dos constantes positivas.

NOTA: En la presente ilustración los ejes x e y están invertidos, la convención correcta es la que se establece en la clase teórica.

14

Ilustración del paraboloide hiperbólico

1.- Intersecciones con los ejes de coordenadas.

La intersección del paraboloide hiperbólico con los ejes coordenados es el origen

de coordenadas.

Demostración: Es equivalente al punto 1 del paraboloide elíptico

2.- Intersecciones con los planos de coordenadas.

La intersección del paraboloide hiperbólico con el plano xy es un par de rectas

reales.

La intersección con el plano xz es la parábola x2 = c a2 z.

La intersección con el plano yz es la parábola y2 = - c b2z

Demostración: Desarrollaremos sólo el primer caso

15

De la resolución del sistema cz2

2

22

by

ax =−

z = 0

surge de 02

2

22

by

ax =− que puede escribirse 0b

yax

by

ax =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + y representa a

dos rectas cuyos puntos pertenecen al paraboloide hiperbólico.

Los otros dos casos son equivalentes a lo desarrollado para el paraboloide elíptico

3.- Intersecciones con planos paralelos a los planos de coordenadas.

a) Las intersecciones del paraboloide hiperbólico con planos z = k, paralelos al

plano xy, son: hipérbolas con eje focal paralelo al eje x si k > 0; un par de rectas

reales si k = 0; hipérbolas con eje focal paralelo al eje y si k < 0.

Demostración: Resolviendo el sistema cz2

2

22

by

ax =− se tienen las curvas de

ecuación z = k

(1) ck2

2

22

by

ax =− o equivalentemente (2) 1

ckby

ckax

2

2

22

=−

Si k > 0, la (2) es la ecuación de una hipérbola cuyo eje focal es paralelo al

eje x.

Si k = 0, la (1) es la ecuación del par de rectas reales 0by

ax

by

ax =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

Si k < 0, la (2) es la ecuación de una hipérbola cuyo eje focal es paralelo al

eje y.

b) Las intersecciones del paraboloide hiperbólico con planos y = k, paralelos al

plano xz son parábolas con ejes paralelos al eje z.

Demostración: Resolviendo el sistema

cz2

2

22

by

ax =− se obtienen las curvas de ecuación cz2

222

bk

ax =−

y = k

o equivalentemente (1) )z(cax 22

bck22⋅

+= . Se trata de una parábola de eje

paralelo al eje z cuyo vértice es V (0 ; k ; 22

bck⋅

), cuyo parámetro es 2ac 2

p ⋅=

16

c) Las intersecciones del paraboloide hiperbólico con planos x = k, paralelos al

plano yz son parábolas con ejes paralelos al eje z, y cuyo vértice describe la

parábola x2 = ca2 z.

Demostración: Resolviendo el sistema

cz2

2

22

by

ax =− se obtienen las curvas de ecuación

x = k

cz2

2

22

by

ak =− o equivalentemente (1) )z(cby 2

2

ack22⋅

−−=

Se trata de una parábola de eje paralelo al eje z cuyo vértice es V (k; 0; 22

ack⋅

) y

cuyo parámetro es 2bc 2

p ⋅=

TRABAJO PRACTICO # 11 CONO

Llamaremos cono de eje z a la superficie cuya ecuación es:

22

2

2

22

cz

by

ax =+ donde a, b, c son constantes positivas

NOTA: En la presente ilustración los ejes x e y están invertidos, la convención correcta es la que se establece en la clase teórica.

17

Ilustración del cono

1.- Intersecciones con los ejes de coordenadas.

La intersección del cono con los ejes coordenados es el origen de coordenadas.

Demostración: En efecto, la solución de los sistemas

22

2

2

22

cz

by

ax =+

x = 0

y = 0

22

2

2

22

cz

by

ax =+

x = 0

z = 0

22

2

2

22

cz

by

ax =+

y = 0

z = 0

Es el punto V(0; 0 ; 0) que se llama vértice del cono. 2.- Intersecciones con los planos de coordenadas.

a) La intersección del cono con el plano xy es un punto. b) La intersección con el plano xz es un par de rectas reales. c) La intersección con el plano yz es un par de rectas reales Demostración:

a) Cuando z= 0 en la ecuación del cono, la única solución posible es x=0 e y= 0. Es decir, la intersección es el origen de coordenadas V(0;0;0)

b) La intersección con el plano xz se obtiene de la resolución del sistema

22

2

2

22

cz

by

ax =+

y = 0 surge: 02

222

cz

ax =− que puede escribirse ( ) ( ) 0c

zax

cz

ax =−⋅+ y representa a la

ecuación de dos rectas: z = - ac x y z = + a

c x

c) La determinación de la intersección con el plano yz , es equivalente al b).

18

3.- Intersecciones con planos paralelos a los planos de coordenadas.

a) Las intersecciones del cono con planos z = k, paralelos al plano xy, son elipses

Demostración: Resolviendo el sistema 22

2

2

22

cz

by

ax =+ se tienen las curvas de

ecuación z = k

(1) 22

2

2

22

ck

by

ax =+ o equivalentemente (2) 1

2

22

2

2

22

2

ckb

y

cka

x =+

Donde, a medida que aumenta el valor absoluto de k aumentan los semiejes de la elipse.

b) Las intersecciones del cono con planos y = k, paralelos al plano xz son hipérbolas de eje focal paralelo al eje z. Demostración: Resolviendo el sistema

22

2

2

22

cz

by

ax =+ se obtienen las curvas de ecuación 2

222

22

cz

bk

ax =+

22

22

22

ax

cz

bk −=+

y = k o equivalentemente (1)

2b

2k2

2

2b

2k2

2

ax

cz1 −= Se trata de una hipérbola de eje

paralelo al eje z cuyo vértice es V (0 ; k ; 0)

b) Las intersecciones del cono con planos x = k, paralelos al plano yz son hipérbolas de eje focal paralelo al eje z. Su determinación es equivalente a la del inciso anterior.

Cono circular recto.

Es el sólido cuya base es un círculo y su superficie lateral está formada por los segmentos de línea recta que unen un punto , sobre la línea perpendicular al círculo y por el centro de este, con los puntos del círculo. Cualquiera de estos segmentos de línea recta se denomina una generatriz y su longitud se denota con g. La distancia entre ese punto y el centro del círculo se llama altura. Aquí denotamos con a la altura y con al radio de la base circular. El área de su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

22 rhg +=rg2rA 2 π+π= donde

3

hrV2π

=

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Cono elíptico

La gráfica de la ecuación:

es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.

2c

2z2b

2y2a

2x =+

TRABAJO PRACTICO # 12 CILINDRO

Los cilindros son un caso particular de las superficies en 3D. Una ecuación en dos

variables que admite una representación bidimensional, al estar referida al

espacio (tres dimensiones) Se llama cilindro, adonde la función en dos variables es

la directriz. Todo cilindro se genera por el desplazamiento paralelo de una recta

siguiendo los puntos de su directriz. A esta recta se la llama generatriz.

Así, por ejemplo: x2 +y2 = r2 que en el plano es una circunferencia, en el espacio es

un cilindro de eje z.

Cualquier ecuación en dos variables, representa en 3D a un cilindro. De acuerdo con esta definición, los cilindros pueden se cerrados, como el del ejemplo, o abiertos como el generado por z = sen y. Se propone que, en el sistema de coordenadas de la derecha se grafique éste cilindro.

Ilustración del cilindro

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Las secciones cónicas son de tres tipos: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas, que sirviendo de directrices, originan 4 tipos de superficies cilíndricas:

De las cuales ilustra la generada por una elipse, parábola e hipérbola.

NOTA: En la presente ilustración los ejes x e y están invertidos, la convención correcta es la que se establece en la clase teórica.

Tomando como directriz una elipse, se puede generar una superficie cilíndrica elíptica (que incluye a los cilindros circulares, cuando los semiejes de la elipse son iguales).

En un sistema ortogonal de coordenadas, tomando como eje z una recta cuya dirección es paralela a la generatriz, si se escoge como origen el centro de simetría, la ecuación de la superficie cilíndrica es similar a la de la superficie cónica correspondiente.

La ecuación de un cilindro elíptico es de la forma:

Donde a y b son los semiejes.

Cilindro parabólico

En similares condiciones, la ecuación de una superficie parabólica será de la forma:

Cilindro hiperbólico

En similares condiciones, la ecuación de un superficie hiperbólica es de la forma:

aquellos son objetos circulares de su utilización

21

RESEÑA - GRAFICAS ILUSTRATIVAS

Todas las cuadricas se encuentran ubicadas en el origen de coordenadas

22

23

BIBLIOGRAFIA

• Burgos, J.: Curso de Álgebra y Geometría. • Santaló, L.A.: Geometría proyectiva • Anzola, M.;Caruncho, J.: Problemas de Álgebra. • Rey pastor, Santaló, Balanzat: Geometría Analítica • Marcos de Lanuza: Geometría analítica • Mataix Plana, J.L.: Problemas de geometría analítica • Doneddu, A.: Complemento de Geometría algebraica • Montesdeoca, A.: Apuntes de Geometría proyectiva: Cónicas y cuádricas. • Montesdeoca Delgado, A.; Geometría Proyectiva. Cónicas y cuádricas. • Textos Universitarios, Tenerife, 2001. • Rodríguez-Sanjurjo, J. M. y Ruíz Sancho, J. M., • Geometría Proyectiva. Addison-Wesley. 1998. • Santaló, L. A., Geometría Proyectiva, • EUDEBA, Buenos Aires, 1966. • Sernesi, E.; Geometria I, • Boringuieri, 1989. • Xambó, S.; Geometria, • Edicions UPC; Univ. Politécnica de Cataluña, 1997. • Frenkel, J. Géométrie pour l'éléve-professeur; • Hermann, 1973 • Semple and Kneebone: • "Algebraic Projective Geometry". Oxford at the Clarendon House. • Sidler, J.C.; Géométrie Projective, • Intereditions, 1993. • DI PIETRO, D. 1975. Geometría Descriptiva. Alsina. Buenos Aires. Argentina. • LEHMANN, CH. H. 1980. Geometría Analítica. Limusa. México. • KINDLE, J. H. 1991. Geometric Analeptic. Mc Graw-Hill. México. • RES, P. K. 1970. Geometría Analítica. Reverte. México. • RICH, B. 1991. Geometría. Mc Graw-Hill. México • SMITH, P. F. , SALE, A. S. 1963. Elementos de Geometría Analítica. Nigar.

Buenos Aires. Argentina. • WEXLER, CH. Geometría Analítica, un enfoque vectorial. Montaner y Simon.

Barcelona, España • Internet: Sitios educacionales relativos a la materia.

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PARTE PRÁCTICA EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 1

Identifique cada una de las siguientes superficies cuadráticas:

a.)

010 =

04 =24 222 ++− zyx

b.) 62 22 +−−+ yxzx

Solución

a.) Dividiendo por 4 la primera ecuación obtenemos:

12

2z4

2y2x =−+−

lo cual corresponde a un hiperboloide de dos hoja, con el eje y como eje de simetría.

b.) Completando el cuadrado en para la segunda superficie obtenemos:

que corresponde a un paraboloide elíptico con eje paralelo al eje y.

2z22)3x(1y +−=−

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASE TRABAJO PRACTICO # 5 ESFERA 1.- Hallar la ecuación canónica y general de las siguientes esferas C (-3, -2, 0) y Radio = 12 C (-3, -2, 10) y es tangente al plano XY 2.- De la siguiente ecuación general obtenga la canónica correspondiente x2 + y2 +z2 – 6 x + 2 y – 4 z – 2 = 0 3.- Se construirá una cúpula de acero en forma de semiesfera, cuya altura es de 12 m y de 0.08 m de espesor.- Obtenga la ecuación del casquete exterior.- Se realizaran a posteriori dos entrepisos, el primero a una altura de 4.20 m, y el segundo a 3 m, obtenga las ecuaciones de ambos entrepisos considerando el centro de coordenadas al centro de estas cónicas.-

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TRABAJO PRACTICO # 6 ELIPSOIDE 1.- Hallar la ecuación canónica a partir de la ecuación general dada y graficar. x2 + 4 y2 + z2 - 4 x – 8 y + 8 z + 15 = 0 Realizar para la intersección con el plano Z = 2 2.- Obtener la ecuación canónica a partir de la siguiente información y graficar. Luego obtenga la intersección con los ejes coordenados. C(1 ,2 ,3), a = 6 , b = 4 , c = 2.

TRABAJO PRACTICO # 7 HIPERBOLOIDE DE 1 HOJA 1.- Hallar la ecuación canónica del hiperboloide de 1 hoja a partir de los datos y realizar la gráfica correspondiente. C( -4 , -5 ,-1), a = 6 , b = 1 , c = 1 de eje Y. Realizar la intersección con el plano coordenado YZ. 2.- Las torres de enfriamiento de las plantas nucleares, destilerías etc. responden a la ecuación del hiperboloide de 1 hoja, determine las ecuaciones de estas sabiendo que: La torre responde en planta a la ecuación de una elipse de eje mayor 8 m y menor 6 m a nivel del piso y su altura es de 11 m. Considere el origen de coordenadas en la base de la torre coincidiendo con el centro de la elipse.- Encontrar la ecuación de la elipse mínima (garganta).- Realice un gráfico.-

TRABAJO PRACTICO # 8 HIPERBOLOIDE DE 2 HOJA 1.- Representar, obtener los elementos y realizar el estudio de los siguientes hiperboloides de 2 hojas: x2/9 - y2/4 - z2/36 =1 - x2/4 - y2/16 + z2/64 =1

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TRABAJO PRACTICO # 9 PARABOLOIDE ELÍPTICO 1.- Una fábrica metalúrgica dispone de una pileta de baño de antioxidante la cual responde a la ecuación de un paraboloide elíptico. Se deberá proyectar con los datos que se dan a continuación: Posee una profundidad de 6 m y en planta responde a la ecuación de una elipse de eje mayor 9 m y menor de 5 m. Realice un bosquejo indicando la ubicación de los ejes para que haya concordancia entre el bosquejo y la ecuación correspondiente. 2.- Obtener la ecuación y graficar los siguientes paraboloides elípticos sabiendo que: La primera ecuación es de eje z, a:1 b:4 c:3 y su centro se encuentra en el punto A(-3,-4,2).- La segunda ecuación es de eje x, a:3 b:4 c:2 y su centro se encuentra en el punto A(6,0,6).-

TRABAJO PRACTICO # 10 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

1.- Representar los siguientes paraboloides hiperbólicos: x2 - 3z2 = y 4x2 - 9y2 = z 2.- Hallar la ecuación de los siguientes paraboloides hiperbólicos con los datos indicados a continuación: De eje Z, a =1, b = 4, c = 3 y las hipérbolas del plano XY (y paralelos) son de eje Y. De eje X, a = 3; b = 4; c = 2 en donde las hipérbolas del plano YZ (y paralelos) son de eje Z.

TRABAJO PRACTICO # 11 CONO 1.- Representar gráficamente y hallar las intersecciones con los planos coordenados de los siguientes conos: 5x2 + 6z2 = 2y2

4x2 + 2y2 - 2z2 = 0

TRABAJO PRACTICO # 12 CILINDRO 1.- Se requiere construir 2 columnas de forma cilíndrica con los siguientes datos: La primera de 6 m de altura, radio 2 m, ubicado su centro en el punto (5,5,0), y el material de construcción es acero. La segunda de 5 m de altura, y en planta su forma responde a la de una parábola

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de eje X, cuyo parámetro posee un valor de 4, y su vértice esta ubicado en las coordenadas (4,-9,0). Plantear sus ecuaciones, graficarlas y hallar las intersecciones con los planos x = 2 e y = -1. TRABAJO PRACTICO # 5-6-7-8-9-10-11-12 EJERCICIOS OPTATIVOS 1.-Determinar que tipo de cuadricas corresponden las siguientes ecuaciones y graficar: 16x2 + 7y2 + 16z2 = 112 2x2 + 2y2 + z2 = 9 z 2- 2y2 + 4x = 0 2x2 - y2 - 3z2 - 8x - 6y + 24z – 49 =0 x2 + y2 + z2 - 2x + 6y - 4z + 10 =0 4 - x2 = z 4x2 + 12y2 + 3z2 = 12

EJERCICIO 2: Se construirán 2 edificios en forma de cilindro, el primero totalmente vidriado en su perímetro, de 12 pisos, cada uno de estos de una altura de 2,80 m; con planta circular de 18 metros de diámetro. El segundo de 20 pisos de 3 m de altura cada uno, debiendo ser construido exactamente en un terreno de 16 m de ancho y 28m de largo. Para cada edificio a) Hacer un esquema a escala. b) Escribir la ecuación correspondiente a cada edificio. c) Escribir la ecuación de la planta y calcular su superficie. EJERCICIO 3: Las viviendas en un a Al dea de Guinea se const ruyen con un a superficie cilíndrica t echada por un a superficie cónica. La plant a es circular y t iene 4 m de diám et ro y de 2 m de alt ura. El t echo t ambién t iene pl ant a circular de i gual diám et ro y 1,50 m de alt ura:

a) Elegir un sistema de coordenadas y escribir la ecuación correspondiente a cada una de las partes de la vivienda, acotando sus variables según corresponda.

b) Representar estimativamente señalando la posición elegida para el sistema de coordenadas.

EJERCICIO 4: U na fábrica met alúrgica dispone de dos pilet as : una para baño de ant ioxidant e y ot ra de pint ado las cu ales respon den a l a ecu ación de un paraboloi de elípt ico.

Se deberán proyectar cada una de ellas teniendo en cuenta los datos que se dan a continuación. Escribir la ecuación de cada una de ellas indicando la ubicación elegida para el origen de coordenadas: a) La primera posee una profundidad de 6 m y en planta responde a la ecuación

de una elipse de eje mayor 9 m y menor de 5 m. b) La segunda deberá construirse en un terreno de 10 m de largo y 6 de ancho,

con una profundidad máxima de 3m.

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c) Realice un bosquejo de cada una indicando la ubicación de los ejes para que haya concordancia entre el bosquejo y la ecuación correspondiente.

EJERCICIO 5: La Capilla Lomas de Cuernavaca, Candela 1957, es un claro exponente arquitectónico de la utilización del paraboloide hiperbólico en la construcción de cáscaras. En las figuras que se encuentran a continuación se observa la planta de la capilla, su fachada y un corte. Hallar la ecuación general del paraboloide hiperbólico que la constituye. Trabajar primero con la ecuación de la parábola para x = 0 y luego para y = 0. TRABAJO PRACTICO # 5-6-7-8-9-10-11-12 PREGUNTAS TEÓRICAS ORIENTATIVAS 1.- La intersección de una esfera con un plano cualquiera da como resultado una:

Elipse. Hipérbola. Circunferencia. Parábola.

2.- Conociendo la ecuación general, puede ser posible que represente a una esfera si:

Los coeficientes de los términos elevados al cuadrado son iguales. Los coeficientes de los términos que están al cuadrado son de igual signo. Los coeficientes de los términos que están al cuadrado son de igual signo e

igual número. 3.- En que caso una esfera se transforma en un punto

Si el radio es negativo. Si el radio es positivo. Si el radio es cero. Si el radio no es un número entero.

4.- La esfera es un caso particular del elipsoide si se cumple:

El centro se encuentra ubicado en el origen de coordenadas. El centro se encuentra desplazado del origen de coordenadas. Los valores de los semiejes son iguales. Los valores de los semiejes son positivos.

5.- La intersección de un elipsoide con planos paralelos a los coordenados dan como resultado

Circunferencias. Parábolas y elipses.

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Solo elipses (considerando como la circunferencia como un caso particular de la elipse).

Solo hipérbolas. 6.- Conociendo la ecuación canónica, el eje de un elipsoide esta definido por:

El termino que se encuentra negativo. El menor de los semiejes. El mayor de los semiejes. El termino que no esta elevado al cuadrado.

7.- Como puede distinguir si es un hiperboloide de una hoja de un elipsoide

Conociendo su ecuación general. Conociendo su ecuación canónica. Conociendo su centro. Conociendo el eje en el cual se desarrolla.

8.- El eje del hiperboloide de una hoja esta definido por:

El centro de la figura. Los términos positivos de la ecuación canónica. El termino negativo de la ecuación general (considerando los términos que se

encuentran elevados al cuadrado). El termino negativo de la ecuación canónica.

9.- La ecuación canónica del hiperboloide de dos hojas se distingue de la del hiperboloide de una hoja por que:

Posee un término (elevado al cuadrado) de signo negativo. Posee dos términos (elevado al cuadrado) de signo negativo. Posee tres términos (elevado al cuadrado) con signo negativo.

10.- El desarrollo del hiperboloide de dos hojas esta dado según:

El termino positivo. Los términos negativos. El semieje mayor.

11.- La intersección de un hiperboloide de dos hojas con planos paralelos a los coordenados dan como resultado

Parábolas e hipérbolas. Solo hipérbolas. Solo elipses. Hipérbolas y elipses (considerando a la circunferencia como un caso particular

de elipse).

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Hipérbolas y circunferencias. Elipses y circunferencias.

12.- Si la ecuación general no posee una de las variables elevada al cuadrado estamos en presencia de

Elipsoides. Paraboloides. Hiperboloides.

13.- La intersección de un paraboloide elíptico con planos paralelos a los coordenados da como resultado

Elipses y parábolas. Elipses e hipérbolas. Parábolas y elipses. Parábolas e hipérbolas.

14.- El desarrollo del paraboloide elíptico esta dado (según su ecuación canónica) por

Los términos elevados al cuadrado. El termino lineal. Las coordenadas del vértice. Los valores de a, b y c.

15.- El paraboloide hiperbólico se diferencia del elíptico (según su ecuación canónica) por que:

Los valores de a, b y c son distintos. Los valores de a, b y c son iguales. Los términos que encuentran elevados al cuadrado poseen igual signo. Los términos que se encuentran elevados al cuadrado son de distinto signo.

16.- La intersección de un paraboloide hiperbólico con planos paralelos a los planos coordenados da como resultado

Parábolas e hipérbolas. Solo parábolas. Solo hipérbolas. Parábolas y elipses. Parábolas y circunferencias. Hipérbolas y circunferencias. Solo elipses. Ninguno de los casos mencionados.

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17.- La ecuación de los cilindros posee la particularidad que una de sus tres variables es

Negativa. Positiva. Nula. Lineal. Cuadrática. Exponencial. Impar.

18.- Los cilindros se proyectan según la variable

Negativa. Positiva. Nula. Lineal. Cuadrática. Exponencial. Impar.

19.- Según la ecuación canónica, el eje del cilindro esta determinado por

El mayor de los denominadores. Por el menor de los denominados. La variable positiva. La variable negativa.

20.- La intersección de un cilindro con planos paralelos a los coordenados da como resultado

Elipses e hipérbolas. Rectas. Rectas y circunferencia. Rectas y parábolas. Rectas y elipses.