7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

1/41

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

El cambio revolucionario en nuestra comprensin de los fenmenosmicroscpicos que tuvieron lugar durante los primeros 27 aos delsiglo XX no tiene precedentes en la historia de las ciencias naturales.

No slo somos testigos de graves limitaciones en la validez de lafsica clsica! pero encontramos la teora alternativa que sustitu" ala teoras fsicas clsicas a ser mucho ms amplia en su alcance "mucho ms rico en su rango de aplicabilidad.

#a manera ms tradicional para comenzar un estudio de la mecnicacuntica es seguir los desarrollos histricos $ #e" de radiacin de%lanc&! la teora de Einstein$'eb"e de calores espec(cos! el tomo de)ohr! ondas de materia de )roglie! etc.$ *unto con un anlisiscuidadoso de algunos e+perimentos clave como el efecto ,ompton! ele+perimento de -ranc&$ertz! " el e+perimento 'avisson$/ermer$

0hompson. 'e esa manera podemos llegar a apreciar cmo los fsicosen el primer trimestre del siglo XX se vieron obligados a abandonar!poco a poco! los conceptos preciados de la fsica clsica " cmo! apesar de salidas en falso anteriores " giros equivocados! los grandesmaestros $eisenberg! 1chrdinger " 'irac! entre otros$ (nalmentelograron formular la mecnica cuntica como la conocemos ho" enda.

1in embargo! no seguimos el enfoque histrico en este libro. En lugarde ello! empezamos con un e*emplo que ilustra! quizs ms que

cualquier otro e*emplo! la insu(ciencia de los conceptos clsicos deuna manera fundamental. Esperamos que! e+poniendo a los lectoresa un 3tratamiento de choque3 en el inicio dar lugar a que seconviertan en sintona con lo que podramos llamar el 3camino de lamecnica cuntica de pensar3 en una fase mu" temprana.

Este enfoque diferente! no es ms que un e*ercicio acad4mico.Nuestro conocimiento del mundo fsico viene de hacer suposicionessobre la naturaleza! la formulacin de estos supuestos en lospostulados! derivando predicciones de esos postulados! " prueba de

tales predicciones contra e+perimento. 1i el e+perimento no est deacuerdo con la prediccin! entonces! presumiblemente! los supuestosoriginales no son correctos. Nuestro enfoque enfatiza los supuestosfundamentales que hacemos sobre la naturaleza! sobre el cual hemosllegado a basar todas nuestras le"es fsicas! " que el ob*etivo deadaptarse a las observaciones profundamente cuntico$mecnicosdesde el principio.

1.1 EL EXPERIMENTO STERN-GERLACH

El e*emplo nos concentramos en esta seccin es el e+perimento de

1tern $/erlach! originalmente concebido por 5. 1tern en 626 " lleva cabo en -ran&furt por 4l en colaboracin con 8. /erlach en 622.

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

2/41

9 Este e+perimento ilustra de manera dramtica la necesidad de uncambio radical de los conceptos de la mecnica clsica. En lassecciones posteriores del formalismo bsico de la mecnica cunticase presenta de una manera algo a+iomtico pero siempre con ele*emplo del e+perimento 1tern$/erlach en el fondo de nuestrasmentes. En cierto sentido! un sistema de dos estados del tipo 1tern$

/erlach es el sistema menos clsico! " ms mecnico$cuntico. :naslida comprensin de los problemas que afectan los sistemas de dosestados resultar ser grati(cante para cualquier estudiante serio de lamecnica cuntica. Es por esta razn por la que nos referimos enrepetidas ocasiones a problemas de dos estados a lo largo de estelibro.

Descripcin e! E"peri#en$%

;hora presentamos un breve anlisis del e+perimento 1tern$/erlach!que se discute en casi todos los libros de la fsica moderna. 99 En

primer lugar! tomos de plata cleo " ?7electrones! donde ?@ de los ?7 electrones puede ser visualizado como

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

3/41

la formacin de una nube de electrones esf4ricamente sim4trica sinmomento angular neto. 1i ignoramos el spin nuclear! que esirrelevante para nuestra discusin! vemos que el tomo en sucon*unto tiene un momento angular! que se debe >nicamente al espnintrnseco a diferencia de momento orbital$angular de la >nica ?7mo

cleo! que esveces ms pesado que el electrn. ,omo resultado! el tomo

pesado como un todo posee un momento magn4tico igual a la decentrifugado momento magn4tico del electrn ?7mo En otraspalabras! momento magn4tico B del tomo es proporcional a la espnelectrnico S!

donde el factor de proporcionalidad resulta ser

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

4/41

clsica! esperaramos que todos los valores de z para realizarse

entre ||y|| . Esto nos llevara a esperar un haz continuo de ra"os

que salen del aparato 1/! como se indica en -igura 6.6! distribuidasms o menos uniformemente sobre el rango esperado. En cambio! loque se observa e+perimentalmente se parece ms a la situacintambi4n se muestra en la (gura 6.6! donde se observan dos 3spots3!que corresponde a una orientacin 3hacia arriba3 " una 3hacia aba*o3.En otras palabras! el aparato 1/ divide el haz de plata original desdeel horno en dos componentes distintos! un fenmeno que se hacereferencia en los primeros das de la teora cuntica como3cuanti(cacin espacio3. En la medida en quese puede identi(cardentro de un factor de proporcionalidad con el espn electrnicoS! seobservan slo dos valores posibles de la componente z de la Sa ser

posibleF 1z arriba 1z aba*o! lo que llamamos 1z L " 1z$. #os dosvalores posibles de 1z son m>ltiplos de alguna unidad fundamentaldel momento angularI num4ricamente resulta quedonde

Este 3cuanti(cacin3 del momento angular de spin del electrn9 es laprimera caracterstica importante deducimos del e+perimento de1tern $/erlach

9 #a comprensin de las races de esta cuanti(cacin radica en la aplicacin de larelatividad con la mecnica cuntica. Mea la 1eccin K.2 de este libro para unadiscusin.

-igura 6.2

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

5/41

-igura 6.2a muestra el resultado habra sido de esperar dele+perimento.

1eg>n la fsica clsica! el ra"o debi e+tenderse sobre una vertical!distancia correspondiente a la

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

6/41

1ecuenciales e+perimentos 1tern$/erlach.

,onsideremos ahora un tercer paso! la disposicin mostrada en la(gura 6.Jc! que ilustra ms dramticamente las peculiaridades de lossistemas de la mecnica cuntica.

Esta vez aadir a la disposicin de la (gura 6.Jb sin embargo! un

tercer aparato! del tipo 1/ ^z . 1e observa e+perimentalmente que

dos componentes emergen del tercer aparato! no unoI los hacesemergentes se considera que tienen tanto un componente 1zL " uncomponente 1z$. 1e trata de una completa sorpresa porque despu4sde los tomos surgieron del primer aparato! nos aseguramos de queel componente 1z$ fue completamente bloqueado. ,mo es posibleque el componente 1z$! que nos pareci! eliminamos antes! vuelve aaparecerO El modelo en el que los tomos de entrar en el terceraparato se visualizan tener tanto 1z L " 1+ L es claramenteinsatisfactorio.

En este e*emplo se utiliza a menudo para ilustrar que en la mecnicacuntica no podemos determinar tanto 1z " 1+ simultneamente. Gsprecisamente! podemos decir que la seleccin del haz 1+ L por el

segundo aparato

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

7/41

Es divertido comparar esta situacin con la de un trompo en lamecnica clsica! donde el momento angular

se puede medir mediante la determinacin de las componentes delvector de velocidad angular . ;l observar lo rpido que el ob*eto

est girando en cualquier direccin! podemos determinar x , yy z

simultneamente. El momento de inercia P es computable siconocemos la densidad de masa " la forma geom4trica del trompo!as que no ha" di(cultad para especi(car tanto #z " #+ en estasituacin clsica.

Es de entenderse claramente que la limitacin que nos hemos

encontrado en la determinacin de 1z " 1+ no es debido a laincompetencia del e+perimentador. No podemos hacer que elcomponente 1z$ cabo del tercer aparato de la -igura 6.J,desaparecer mediante la me*ora de las t4cnicas e+perimentales. #aspeculiaridades de la mecnica cuntica son impuestas sobre nosotrospor el propio e+perimento. #a limitacin es! de hecho! inherente enlos fenmenos microscpicos.

L' 'n'!%)*' c%n !' p%!'ri+'cin e !' !&+

'ebido a esta situacin se ve tan novedoso! alguna analoga con una

situacin clsica familiarizado puede ser >til aqu. ,on este (n! ahorauna digresin para considerar la polarizacin de las ondas de luz. Estaanaloga nos a"udar a desarrollar un marco matemtico para laformulacin de los postulados de la mecnica cuntica.

,onsideremos una onda que se propaga la luz monocromtica en ladireccin z. :n linealmente polarizada

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

8/41

pasa por un +$(ltro " posteriormente de*ar que inciden en un "$(ltro!no sale un ra"o de luz n ms interesante si insertamos entre el +$(ltro " el

"$(ltro otro %olaroid que selecciona >nicamente un haz polarizado enla direccin que llamamos + R$ direccin$! que forma un ngulo de ?A Qcon la direccin + en el plano +"I v4ase la -igura 6.?b. Esta vez! no esun ra"o de luz que sale del "$(ltro a pesar de que *usto despu4s delhaz que pas por el +$(ltro que no tena ning>n componente depolarizacin en la direccin ". En otras palabras! una vez que el +R$(ltro interviene " selecciona los +R haz $polarizado! es indiferente quepreviamente el haz +$polarizado. #a seleccin del haz +R$polarizadopor el segundo

9(ltro %olaroid el material en ho*as de plstico (no que produce un alto grado

de plano de polarizacin de la luz que pasa a trav4s de 4l.

%olaroid destru"e toda la informacin anterior sobre polarizacin de laluz. 0enga en cuenta que esta situacin es bastante anloga a lasituacin que nos encontramos antes con la disposicin 1/ de la(gura 6.Jb! con la condicin que la siguiente correspondencia se deF

donde los e*es +R$ e " R$ se de(nen como en la -igura 6.A.

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

9/41

Meamos cmo podemos describir cuantitativamente elcomportamiento de los ?AQ de inclinacin de los haces polarizados

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

10/41

para representar el estado 1+L por un vector! que llamamos un &eten el notacin de 'irac para desarrollarse plenamente en la siguiente

seccin. 'enotamos este vector por|Sx ;+

" escribimos como una

combinacin lineal de dos vectores base! |Sz ;+

" |Sz ; ! que

corresponden al 1zL " los estados 1z$! respectivamente. ;s podemoscon*eturar

en analoga con

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

11/41

polarizada

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

12/41

que es necesario los n>meros comple*os "a es evidente en un e*emploelemental es bastante notable.

El lector debe haber observado por este tiempo que hemos evitadodeliberadamente hablar de fotones. En otras palabras! hemos ignorado porcompleto el aspecto cuntico de la luzI en ninguna parte mencionamos losestados de polarizacin de los fotones individuales. #a analoga nos salientre Uets en un espacio vectorial abstracto que describe los estados deespn de los tomos individuales con los vectores de polarizacin del campoelectromagn4tico clsico. En realidad! podramos haber hecho la analogaa>n ms vvida al introducir el concepto de fotn " hablando de laprobabilidad de encontrar un fotn polarizada circularmente en un estadode polarizacin lineal! " as sucesivamenteI sin embargo! no se necesitaaqu. 1in hacerlo! "a hemos logrado el ob*etivo principal de esta columnaFpor introducir la idea de que los estados de la mecnica cuntica son de serrepresentado por vectores en un abstracto espacio vectorial comple*o.99

9'esafortunadamente! no ha" unanimidad en la de(nicin de lo correcto contra la luz polarizadacircularmente a la izquierda en la literatura.

99 El lector que est4 interesado en comprender los conceptos bsicos de la mecnica cuntica a trav4sde un cuidadoso estudio de la polarizacin del fotn puede encontrar el captulo 6 de )a"m

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

13/41

-igura 6.@ muestra el uso de la t4cnica de 1tem$/erlach para analizar elresultado de la manipulacin spin en un haz atmico de tomos de cesio. El>nico istopo estable! 6JJ,s! de este tomo alcalino tiene un espn nuclearI =7W2! " el e+perimento ordena el F =? hiper(na subestado magn4tico!dando nueve orientaciones del spin. Este es slo uno de muchos e*emplos

en los que se utiliza este efecto una vez misteriosa para dispositivosprcticos. %or supuesto! todos estos usos slo se van a establecer(rmemente este efecto! as como los principios de la mecnica cuntica quetendremos ahora presente " desarrollar a>n ms.

1., ETS /RAS 0 OPERADORES

En la seccin anterior mostramos cmo analiza el e+perimento 1tem$/erlach nos llevan a considerar un espacio vectorial comple*o. En esta " lasiguiente seccin formulamos las matemticas bsicas de los espacios

vectoriales " usadas en la mecnica cuntica. Nuestra notacin a lo largo deeste libro es el bra " &et notacin desarrollada por %. ;. G. 'irac. #a teora deespacios vectoriales lineales tenido! por supuesto! se sabe que losmatemticos previos al nacimiento de la mecnica cuntica! pero forma deintroducir espacios vectoriales de 'irac tiene muchas venta*as! sobre tododesde el punto de vista del fsico.

Esp'ci% e$

,onsideramos un espacio vectorial comple*o cu"a dimensionalidad seespeci(ca de acuerdo con la naturaleza de un sistema fsico ba*oconsideracin. En los e+perimentos de tipo 1tern $ /erlach donde el >nico

grado de libertad de la mecnica cuntica es el espn de un tomo! ladimensionalidad se determina por el n>mero de caminos alternativos quelos tomos pueden seguir cuando se somete a un aparato de 1/I en el casode los tomos de plata de la seccin anterior! la dimensionalidad es de slodos! correspondientes a los dos posibles valores que SZpuede asumir9. Gstarde! en la 1eccin 6.@! consideramos el caso del e*emplo de espectrocontinuo! la posicin mero de alternativas es no numerables in(nito! en cu"o caso se conoce elespacio vectorial en cuestin como un espacio de ilbert despu4s de '.ilbert! quien estudi los espacios vectoriales en dimensiones in(nitas.

En la mecnica cuntica un estado fsico por e*emplo! un tomo de platacon una orientacin de spin de(nido $ est representada por un vector deestado en un espacio vectorial comple*o. 'espu4s de 'irac! llamamos tal

vector &et " lo denotamos por . Este estado &et se postula para contenerla informacin completa sobre el estado fsicoI todo lo que se nos permitepreguntar sobre el estado est contenida en el &et. 'os Uets se puedenaadirF

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

14/41

#a suma de es slo otro &et. 1i multiplicamos por un n>mero comple*oc! el producto resultante de es otro &et. El n>mero c puede estarubicado a la izquierda o a la derecha de un &etI no ha" diferenciaF

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

15/41

donde son eigen&ets de operador Sz con eigenvalues ;qu

podramos haber utilizado simplemente para en conformidad con

la notacin ! donde un eigen&et est etiquetado por su eigenvalue! pero

la notacin ! que "a se utiliza en la seccin anterior! es ms

conveniente aqu porque tambi4n consideramos eigen&ets de Sx

mero de alternativas en e+perimentos de tipo 1tern $/erlach. Gs formalmente! nos preocupa con un espacio vectorial N$dimensional abarcado por los Neigen&ets N del observable ;. ,ualquier &et

arbitraria se puede escribir como

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

16/41

Este producto es! en general! un n>mero comple*o. Ntese que en laformacin de un producto interno! siempre tomamos un vector del espaciobra " un vector del espacio &et.

%ostulamos dos propiedades fundamentales de los productos internos. En%rimer #ugar!

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

17/41

Gu" generalmente! se conoce como la n%r#' de ! anloga a la

magnitud del vector en el espacio vectorial Euclideano. 'ebidoa " representan el mismo estado fsico! puede ser que tambi4nrequieren que los &ets que utilizamos para los estados fsicos se

normalizaron en el sentido de

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

18/41

El operador se llama el '8&n$% Her#i$i'n! o simplemente el ad*unto!deX. :n operadorXse dice que es ermitian si

M&!$ip!ic'cin

5peradoresX e Yse pueden multiplicar. 5peraciones de multiplicacin son!en general! no conmutativaI esto es!

#as operaciones de multiplicacin son! sin embargo! asociativaF

0ambi4n tenemos

-*ate

%orque

asta ahora! hemos considerado los siguientes productosF "

XYa" otros productos que se nos permite formarO Mamos a multiplicar" ! en ese orden. El producto resultante

1e conoce como el pr%&c$% e"$eri%rde " haremos hincapi4 en unmomento que debe ser considerado como un operador! por lo que es

fundamentalmente diferente del producto interior ! que es slo unn>mero.

0ambi4n ha" 3productos ilegales3. Sa hemos mencionado que un operadordebe estar a la izquierda de un &et o a la derecho de un bra. En otras

palabras! " son e*emplos de productos ilegales. No son ni &ets! nibras! ni los operadoresI son simplemente absurdos %roductos como "

tambi4n son ilegales cuando " son &et

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

19/41

multiplicaciones 3legales3 entre &ets! bras " operadores. 'irac llama a esteimportante postulado el '"i%#' 's%ci'$i3' e !' #&!$ip!ic'cin.

%ara ilustrar el poder de este a+ioma! consideremos primero un productoe+terno que act>a sobre un &etF

'ebido al a+ioma asociativa! podemos considerar esto igualmente biencomo

donde es slo un n>mero. ;s! el producto e+terno que act>a sobre un

&et es slo otro &etI en otras palabras! puede ser considerado como unoperador. %orque a sobre

o! equivalentemente! el n>mero multiplicando .

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

20/41

donde! adems de la a+ioma asociativo! hemos utilizado la propiedadfundamental del producto interior

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

21/41

El producto interno entonces debe desaparecerF

lo que demuestra la propiedad de ortogonalidad

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

22/41

la ecuacin de onda de 1chrdinger de nuestros postulados fundamentales! debe asumirse laintegridad de los eigen&ets posicin.

que es anloga a una e+pansin de un vector M en

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

23/41

Memos que selecciona esa parte de la &et|

paralelo a|a '

!

por lo que se conoce como el %per'%r e pr%4eccina lo largo de

la base de &et |a ' " se denota por ;a^F

#a relacin integridad

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

24/41

esto! slo tenga en cuenta que la representacin de la matriz de la relacinoperador

#ee

:na vez ms! todo lo que hemos hecho es para insertar el operadoridentidad! escrito en forma

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

25/41

5bs4rvese el aspecto de la con*ugacin comple*a cuando los elementos de

la matriz de la columna se escriben como en

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

26/41

1istemas espn 6W2

Es aqu instructivo considerar el caso especial de los sistemas de espn 6W2.

#a base de los &ets utilizados son que denotamos! por brevedad!

como | . El operador ms simple en el espacio abarcado por &et |

es el operador identidad! que! de acuerdo con a sobre 1L! se convierte

en un &et nulo. ;s que la interpretacin fsica de 1L es que aumenta el

componente del spin en una unidad de

I si el componente del spin no sepuede subir ms! obtenemos automticamente un estado nulo. 'el mismomodo! 1` se puede interpretar como un operador que reduce el componente

de espn en una unidad de . Gs tarde vamos a mostrar que 1 T puede

escribirse como

En la construccin de las representaciones de la matriz de los operadoresdel momento angular! es costumbre de etiquetar la columna

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

27/41

Mamos a volver a estas e+presiones e+plcitas cuando discutimos elformalismo de dos componentes %auli en el ,aptulo J.

Meici%nes %2ser3'2!es 4 !'s re!'ci%nes e incer$ire

Meici%nes

'espu4s de haber desarrollado las matemticas de espacios &et!ahora estamos en condiciones de discutir la teora cuntica de losprocesos de medicin. Este no es un tema particularmente fcil paralos principiantes! as que primero vez a las palabras del gran maestro!

%;G 'irac! de orientacin

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

28/41

el sistema ser lanzado como el resultado de la medicin. Nosotrospostulamos! sin embargo! que la probabilidad para saltar en algunos

en particular |a ' est dada por

la condicin | de que esta normaliza.

;unque hemos estado hablando de un >nico sistema fsico! paradeterminar la probabilidad mero de mediciones realizado en un con*unto $ esdecir! una coleccin$ de los sistemas fsicos preparados de forma

id4ntica! todos caracterizados por el mismo &et | . 0al con*unto se

conoce como un con*unto puro. n otro eigen&et |a ' ' con un a3 aR! entonces

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

29/41

'e(nimos el 3'!%r esper'%de ; tomada con respecto a declararPa= como

%ara asegurarse de que nos estamos re(riendo al estado de | ! lanotacin n ms el signi(cado de las mediciones en la mecnicacuntica! que introducir la nocin de una medida selectiva! o(ltracin. En la 1eccin 6.6 se consider un arreglo 1tem$/erlachdonde de*amos que solo uno de los componentes de spin pasarfuera del aparato mientras bloqueamos completamente el otrocomponente.

Gs en general! nos imaginamos un proceso de medicin con un

dispositivo que selecciona slo una de las eigen&ets de ;! decir

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

30/41

|a ' ! " rechaza todas las demsI ver -igura 6.7. Esto es lo que

entendemos por una medida selectivaI tambi4n se le llama (ltracinporque slo uno de la ; eigen&ets (ltros a trav4s de la prueba.Gatemticamente se puede decir que tal medicin selectiva equivale

a aplicar la pro"eccin operador ;a^ a | F

. 1chinger ha desarrollado un formalismo de la mecnica cunticaen base a un e+amen e+haustivo de las medidas selectivas. 1eintroduce un smbolo de medicin G

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

31/41

alternativa " 1X$ alternativa son e+clu"entes entre s. Este requisitoortogonalidad conduce a

donde tenemos! de nuevo! elegido el coe(ciente de sea real "positivo por convencin. ;hora podemos construir el operador usando1+

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

32/41

tuvi4ramos que elegir ! el e*e + positivo estara orientada en la

direccin opuesta. El segundo ngulo de fase debe entonces serEl hecho de que todava ha" una ambigedad de este tipo no es

sorprendente. 0odava no hemos determinado si el sistema de coordenadasque estamos utilizando es derecho o izquierdoI dado los e*es +$ " z! todavaha" una ambigedad del doble en la eleccin del e*e " positivo. Gsadelante hablaremos de momento angular como generador de rotacionesque utilizan el sistema de mano derecha de coordenadasI puede entoncesdemostrarse que es la opcin correcta.

En resumen! tenemos

S

#os eigen$&ets " dados aqu se ven que estan de acuerdo connuestras con*eturas anteriores

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

33/41

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

34/41

caso la notacin que etiqueta el eigen$&et por su valor propio solo no dauna descripcin completaI adems! podemos recordar que nuestro teoremaanterior sobre la ortogonalidad de diferentes eigen$&ets se demostr en elsupuesto de no degeneracin. #o que es peor! todo el concepto de que elespacio &et es atravesado por parece encontrarse con di(cultades

cuando la dimensionalidad del espacio &et es ma"or que el n>mero devalores propios distintos de ;. ;fortunadamente! en aplicaciones prcticasen la mecnica cuntica! por lo general es el caso de que en una situacinas los valores propios de alg>n otro tra"ecto observable! dicen )! se puedeutilizar para etiquetar los eigen$&ets degenerados. ;hora estamos listospara declarar un importante teorema.

;hora estamos listos para declarar un importante teorema.

Te%re#' 1.,.1upongamos que ; " ) son observables compatibles " losvalores propios de ; son no degenerado. ; continuacin! los elementos de la

matriz son todos diagonal.

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

35/41

'onde son n eigen$&ets mutuamente ortonormales de ;! todos con elmismo eigen$valor a'. %ara ver esto! todo lo que necesitamos hacer es

construir combinaciones lineales adecuadas de que diagonalizan el

operador ) siguiendo el procedimiento de diagonalizacin discutido en la1eccin 6.A.

:n eigen$&et simultneo de ; " )! denotado por tiene la propiedad

,uando no ha" degeneracin! esta notacin es algo superuo porque estclaro a partir de

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

36/41

" la relacin completa o cierre! se pueden escribir como

,onsideremos ahora las mediciones de ; " ) cuando son observablescompatibles. 1upongamos que medimos :na primera " obtenemos unresultado R. %osteriormente! podemos medir ) " obtener resultado b R.-inalmente medimos :n nuevo. 1e deduce de nuestro formalismo demedicin que la tercera medicin siempre da una Rcon certezaI es decir! elsegundo

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

37/41

FIGURA 1.:mediciones selectivas secuenciales'el mismo modo!

por lo tanto!

" as A,B V D en contradiccin con la suposicin. ;s que! en general!no tiene sentido para los observables incompatibles. a"! sin embargo! unae+cepcin interesanteI puede suceder que e+iste un subespacio del espacio

&et tal que

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

38/41

primero registramos la probabilidad de obtener c'con todos! pero la primeraruta bloqueada &'I a continuacin! repetimos el procedimiento con todos!pero la segunda bloqueado &'! " as sucesivamenteI a continuacin!resumimos las probabilidades al (nal " obtenemos

;hora comparamos con un arreglo diferente! donde el (ltro Best ausente

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

39/41

la >ltima lnea de

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

40/41

;rmados con estos lemas! estamos en condiciones de demostrar la relacinde incertidumbre

7/23/2019 Cuantica 1.1 a 1.4.docx

41/41