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Una demostración matemática es un razonamiento realizado con una lógica válida que progresa a partir de ideas que se dan por ciertas (llamadas hipótesis)hasta la afirmación que se esté planteando, o sea, hasta obtener la veracidadde la tesis formulada.[1] Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicaciónde reglas de deducción: fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema encuestión. El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema noimplica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultadoimplica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de tesis, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente enmatemáticas:

Demostración por contraposición (formalizado y utilizado en los silogismos por Aristóteles)

Demostración por reducción al absurdo (formalizado y utilizado por Aristóteles) y,como caso particular, descenso infinito 

Inducción matemática › Inducción fuerte 

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Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesariopara hacer una demostración, también existen técnicas computacionalesque permiten hacer demostraciones automáticas, notablemente en el

campo de la geometría euclidiana.

AxiomaA veces se compara a los axiomas con semillas, porque de ellos surgetoda la teoría de la cual son axiomas.Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y se acepta sin

requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es todaproposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla generalde pensamiento lógico, por oposición a los postulados.1En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarseevidente, se acepta sin demostración, como punto de partida parademostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las

consideradas «verdades evidentes», porque permiten deducir las demásfórmulas.En lógica matemática un postulado es una proposición nonecesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada) de unlenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones

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un teorema es una fórmula bien formada,que no es un axioma, y que puede ser elelemento final de alguna demostración, esdecir, un teorema es una fórmula lógicabien formada para la cual existe una

demostración.el silogismo consta de dos juicios, premisamayor y premisa menor, en los que secomparan tres términos, de cuyacomparación se obtiene un nuevo juiciocomo conclusión.La lógica trata de establecer las leyes quegarantizan que, de la verdad de los juicioscomparados (premisas), se pueda obtenercon garantía de verdad un nuevo juicioverdadero (conclusión).

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CLASE  DENOMINACIÓN  ESQUEMA  EXPRESIÓN-EJEMPLO  Extensión de los

términos A  Universal Afirmativo  Todo S es P 

Todos los hombres son

mortales S: Universal P: Particular  

E  Universal Negativo  Todos los S no son P Ningún hombre es

mortal S: Universal P: Universal 

I  Particular afirmativo  Algún S es P  Algún hombre es mortal  S: Particular P: Particular  

O  Particular Negativo  Algún S no es P Algún hombre no es

mortal S: Particular P: Universal 

Según el criterio de cantidad y cualidad, resulta la siguiente clasificación de los juicios:

Los juicios se relacionan unos con otros en lo que constituye un argumento. 

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Cuantificadores

En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son

símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen

con cierta propiedad.

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El cuantificador universal indica que algo es cierto para todos los individuos.

Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es

verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.

Cuantificador Existencial

La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento

x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”.  

Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal

que…)”, “hay al menos un x tal que…” o “para algún x…”.  

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EJEMPLOS:

Todos los humanos respiran

(∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un

elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier

subconjunto deseado.

Todos los alumnos son estudiosos

(∀ x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un

elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier

subconjunto deseado.

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Ejemplo 2 Cuantificadores 

Frase en lenguaje natural

Algún venezolano es medallista olímpico

Se traduce en:

Existe al menos un venezolano que cumple con la condición de

ser medallista olímpico

Las variables

Existe al menos un venezolano x que cumple la condición que

x es medallista olímpico

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La inducción matemática

La inducción matemática es un método de demostración que suele ser muy útil

en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1,

2, 3...) cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos:

Primero, se demuestra que el 1 cumple la propiedad.

A continuación, se supone que la propiedad es verdadera para un cierto

número n (arbitrario) y se demuestra para el número siguiente, el n+1.

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Demostración:

Sea P(n) una proposición con las condiciones a) y b), y sea F = {t ∈ Z+ / P(t) es falsa}.

Queremos mostrar que F = ∅.

Suponemos que F ≠ ∅.

Entonces, por el principio del buen orden, F tiene un elemento mínimo s.

Como P(1) es verdadera, s ≠ 1, por lo que s > 1, entonces s-1 ∈ Z+.

Como s-1 ∉ a F entonces P(s-1) es verdadera.

Así, por b), P((s-1) + 1) = P(s) es verdadera lo que contradice que s ∈ F.

La contradicción surge de la hipótesis F ≠ ∅. Por lo tanto, F = ∅.

La condición a) se conoce como la base de la inducción, y la parte b) se conoce como el paso inductivo.

En la condición a) la elección de 1 no es obligatoria. Lo único que se necesita es que la proposición P(n) sea

verdadera para un primer elemento n0 ∈ Z para que el proceso de inducción tenga un lugar de inicio. El entero

n0 podría ser 5 ó 1.

Imaginemos una fila de fichas de dominó, en la que el espacio entre fichas es siempre el mismo y es tal que si

cualquier ficha (digamos la k-ésima) se empuja hacia la derecha, entonces golpeará la siguiente ((k+1) ésima).

La verdad de P(n0) proporciona el empuje inicial y pone en movimiento el proceso de caída de las fichas.

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Demostrar que 4n < n2 - 7 para todo n ≥ 6. 

Denotemos con P(n) la proposición 4n < n2 - 7.

n=6: P(6) = 4.6 = 24 y 62 - 7 = 36 - 7 = 29 ⇒ P(6) es verdadera.

Supongamos que P(k) es verdadera para k > 6, o sea que 4k < k2 - 7

4k < k2 - 7 ⇒ 4k + 4 < (k2 - 7) + 4 < (k2 - 7) + (2k + 1)

ya que 2k + 1 > 4 para k ≥ 6 

⇒ 4(k + 1) < (k2 + 2k + 1) - 7 = (k + 1)2 - 7

Por lo tanto, por el principio de inducción, P(n) es verdadera para todo

n ≥ 6. 

Ejemplos