CUANTIZACION CAN ONICA EN LA CREACION DEL UNIVERSO

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE FISICA Y MATEMATICAS

SECCION DE GRADUADOS

“CUANTIZACION CANONICAEN LA CREACION DEL UNIVERSO”

TESIS

PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

DE LA ESPECIALIDAD EN FISICA

PRESENTA

Zoe Emmanuel Mijangos Delfın

DIRECTOR DE TESIS

Dr. Ruben Cordero Elizalde

Lindavista, MexicoDiciembre de 2009

CUANTIZACION CANONICA EN LA CREACION DEL UNIVERSO

Zoe Emmanuel Mijangos DelfınEscuela Superior de Fısica y Matematicas

Instituto Politecnico NacionalEdificio 9, Unidad Profesional “Adolfo Lopez Mateos”, C. P. 07738, Col. Lindavista,

Mexico.Diciembre de 2009

Resumen

Este trabajo tiene como finalidad el estudio de la cuantizacion canonica aplicada a cos-mologıa. Se da una breve explicacion de la cosmologıa, las ecuaciones que describen ladinamica en cosmologıa y la cronologıa de los primeros instantes del universo. Se mues-tra el formalismo de cuantizacion canonica para sistemas con constricciones. Posteriormenteconstruimos las ecuaciones para la dinamica de sistemas con constricciones y en diferentesnormas (tiempo de Minkowski y tiempo propio). Para una partıcula en un campo electricoconstante, se aplican algunas tecnicas numericas para encontrar las diferentes soluciones delas ecuaciones cuanticas y se da un bosquejo grafico del modulo al cuadrado de las funcionesde onda de cada ecuacion cuantica. Se estudia la cosmologıa cuantica y se obtiene la ecuacionde Wheeler-DeWitt en el minisuperespacio de de Sitter. Se trata la creacion del universo dela nada mediante un efecto de tunelamiento cuantico. Vilenkin considera la analogıa entrela creacion del universo y la produccion de un positron y un electron debido a un campoelectrico constante, mostramos que las ecuaciones cuanticas obtenidas en el segundo capıtulode la tesis pueden describir tal analogıa. Finalmente identificamos los parametros del sistemade un campo electrico constante con los parametros utilizados en cosmologıa y damos lainterpretacion de las soluciones.

Abstract

The objective of this work is the study of the canonical quantization applied to the cos-mology. A brief explanation of the cosmology, the equations describing the dynamics in thecosmology and the chronology of the first moments of the Universe is given. The formalismof the canonical quantization for systems with constrictions is shown. Then, the equationsfor the dynamic of the systems with constrictions, using different gauges (Minkowski timeand proper time) are constructed. For a certain particle in a constant electric field, some nu-merical techniques are applied to find out the different solutions for the quantum equations,and a graphic sketch of the squared module of the wave functions of each quantum equationis given. The quantum cosmology is studied, and the Wheeler-De Witt equation is obtainedin the de Sitter minisuperspace. It deals about the creation of the universe from nothing, byusing the quantum tunneling effect. It will be shown that Vilenkins analogy, the creation ofthe universe and the production of a positron and an electron, caused by a constant elec-tric field, can be described with the quantum equations obtained in Chapter 2. Finally, theparameters of the constant electric field system are identified with the parameters used incosmology and the interpretations of the solutions are given.

Indice general

Indice general I

Introduccion III

1. Cosmologıa 1

1.1. Cosmologıa 4-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Principio cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Ley de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3. Metrica de Friedman-Lemaıtre-Robertson-Walker . . . . . . . . 2

1.1.4. Ecuaciones de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.5. Primeros instantes del universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.6. Inflacion cosmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Cuantizacion canonica en diferentes normas 7

2.1. Cuantizacion canonica en sistemas con constricciones . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Desarrollo hamiltoniano en sistemas con constricciones . . . . . 7

2.1.2. Cuantizacion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Cuantizacion de una partıcula relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Partıcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Partıcula en un campo electrico constante . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Cuantizacion en la norma del tiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . 19

2.3.1. Partıcula relativista libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


2.4. Cuantizacion en la norma de tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . 22


3. Solucion a las ecuaciones cuantico-relativistas 25

3.1. Solucion a la ecuacion de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Solucion a la ecuacion de Salpeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1. Metodos de integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Solucion a la ecuacion con norma de tiempo propio . . . . . . . . . . . 29

3.4. Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

II Indice general

4. Cosmologıa cuantica 334.1. Cosmologıa cuantica 4-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1. Crıtica de Bryce DeWitt sobre relatividad general y la necesidadde una gravedad cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2. Formalismo ADM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3. Desarrollo hamiltoniano de la relatividad general . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1. Cuantizacion en relatividad general(Ecuacion de Wheeler-DeWitt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4. El minisuperespacio de de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5. Creacion del universo de la nada 415.1. Propuesta de Alexander Vilenkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.1. Condiciones sobre las ecuaciones cuanticas para poder ser apli-cadas a la Cosmologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2. Ecuaciones tipo Klein-Gordon y ecuaciones tipo Schrodinger . . . . . . 455.3. Aplicacion a la cosmologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Conclusiones 49

Bibliografıa 50

Introduccion

Los orıgenes del universo y de la vida han sido cuestiones que siempre han cautivadoa la humanidad.

Segun la vision actual de la ciencia, creemos que el universo tuvo su origen en unevento conocido como la gran explosion hace unos 13,700 millones de anos. Esta teorıacientıfica se basa en muchas observaciones empıricas que se fueron acumulando a lolargo de casi todo el siglo XX y que continuan realizandose actualmente. Uno de losprimeros indicios de la gran explosion provino del descubrimiento realizado por E.Hubble en la decada de 1920, en que el universo se esta expandiendo y las galaxias sealejan entre sı. Una observacion tan simple y directa como la existencia de las noches(Paradoja de Olber) tambien esta relacionada con el origen de un tiempo finito deluniverso [1]. Hoy hay muchas mas evidencias observacionales que estan de acuerdocon la hipotesis de la Gran Explosion, entre ellas: el descubrimiento en los anos 60 delsiglo XX de la radiacion de fondo cosmica, la abundancıa de los elementos livianos, etc.

La cosmologıa estudia el origen del universo. La herramienta usual de la cosmologıapara el estudio de los fenomenos en el universo es la relatividad general, aunque en elcaso del origen del universo esa herramienta no resulta ser conveniente, pues se tienela idea de que los fenomenos cuanticos tienen gran importancia. Tomando en cuentaque el universo se expande en la epoca anterior al tiempo de Planck, esto es antes de10−43 segundos, las distancias eran extremadamente pequenas, el universo debio teneruna temperatura enorme de 1032 Kelvins y los efectos cuanticos debieron ser de granimportancia. Algunas teorıas han adherido, mas no unificado, la mecanica cuantica conla relatividad general. Para tener una idea aproximada de lo que fue el inicio del univer-so, la cosmologıa cuantica busca estudiar los fenomenos cuanticos en el universo [15–17].

La cosmologıa cuantica tiene un gran papel en la ciencia, por ejemplo, se tiene laidea de que en el origen del universo debio existir una sola interaccion, en la cual es-taban unificadas las cuatro interacciones fundamentales conocidas hasta el momento(gravitacional, electromagnetica, nuclear debil y nuclear fuerte). Las interacciones sevan unificando conforme aumenta la temperatura. Ası en el tiempo actual de 1018s conuna temperatura de 3K, en el universo las cuatro interaciones estan separadas, y enuna epoca anterior a 10−12s despues del inicio del universo donde se tiene 1015K, ten-emos la unificacion electrodebil. Antes de 10−35s con 1026K, se tiene la gran unificaciondonde se adhiere la interaccion nuclear fuerte a la electrodebil. En la epoca anteriorde 10−43s con 1032K, se adhiere la gravitacional con la de gran unificacion, y ası se

IV Introduccion

tiene una sola interaccion unificada que debe tener caracter cuantico y que existio enel inicio del universo. Para la interaccion gravitacional no se ha realizado un experi-mento que valide que tiene caracter cuantico, si sostenemos que si lo tiene al igual quelas interacciones restantes que existen en el universo, entonces esta interaccion unifica-da tambien debe tener tal caracter cuantico y esta interaccion debio existir en un inicio.

En este trabajo hacemos un estudio de la creacion del universo de la nada [18]. Paradar una idea mas facil de entender hacemos una analogıa de la creacion del universocon la produccion del par electron-positron con un campo electrico. Esta analogıa esconveniente en el hecho de que tiene un caracter tanto cuantico como relativista y comohemos mencionado ese caracter lo debio tener tambien el univeso en sus inicios.

En el primer capıtulo se da una breve explicacion de lo que es la cosmologıa y men-cionamos el principio cosmologico como pilar principal de la cosmologıa. Tambien lasecuaciones que describen la dinamica en cosmologıa y la cronologıa de los primerosinstantes del universo [1, 3].

En el segundo capıtulo se desarrolla el formalismo hamiltoniano para sistemas conconstricciones ya que en los sistemas relativistas aparecen de manera natural constric-ciones. Para realizar una cuantizacion en tales sistemas debido al formalismo desarrol-lado por Dirac, remplazamos los observables del espacio fase por operadores, los cualesactuan sobre la funcion de onda de tales sistemas. Tambien resolvemos estos sistemasrelativistas con ciertas normas (tiempo de Minkowski y tiempo propio), y con la inter-accion de un campo electromagnetico realizamos la cuantizacion [4–7].

En el tercer capıtulo mostramos algunas tecnicas de como encontrar las diferentessoluciones de tales ecuaciones cuanticas. Se incluye brevemente como resolver ecua-ciones en diferencias con coeficientes constantes para el caso de la ecuacion con normade tiempo propio. Tambien se describe el metodo de Simpson multiple para calcularde forma aproximada integrales con lımites infinitos para el caso de la ecuacion deSalpeter, y por ultimo graficamos la densidad de probabilidad de las funciones de ondade cada ecuacion cuantica [8–10].

En el cuarto capıtulo hablamos de lo que es la cosmologıa cuantica, donde se consideraal universo como un fenomeno de origen cuantico. Mediante la formulacion hamiltoni-ana de la relatividad general y reemplazando las funciones dinamicas por operadoreshermitianos obtenemos la ecuacion de Wheeler-DeWitt en el minisuperespacio de deSitter [15–17].

En el quinto capıtulo hablamos de la propuesta de Alexander Vilenkin, en que eluniverso fue creado mediante un efecto de tunelamiento cuantico. De esta forma unafuncion de onda considerada como la funcion de onda del universo incide en una barrerade potencial y al atravesarla surge el universo, esta propuesta sugiere que el univer-so fue creado de la nada y se refiere a que antes de incidir la funcion no existe elespacio-tiempo, solo despues de atravesar la barrera surge el universo. La propuesta deVilenkin es de gran importancia pues sostiene que las leyes de la fısica son las mismasen el inicio del universo como lo es en la epoca actual. Vilenkin toma en cuenta que la

Introduccion V

idea de un universo creado de la nada puede ser muy difıcil de asimilar. El consideraen dar una analogıa a tal fenomeno con la creacion de positron y electron debido aun campo electrico constante. Mostramos que las ecuaciones cuanticas obtenidas en eltercer capıtulo pueden describir tal analogıa. Finalmente presentamos la aplicacion detales ecuaciones cuanticas a la cosmologıa, identificando cada parametro del sistemade un campo electrico constante con los parametros utilizados en la cosmologıa, comoel factor de escala y la constante cosmologica. Damos tambien una interpretacion delas soluciones, las cuales serıan consideradas como una aproximacion a lo que serıa lafuncion de onda del universo [3, 18–23].

Capıtulo 1

Cosmologıa

En este primer capıtulo se da una breve descripcion de lo que es la cosmologıa y susprincipales fundamentos, como lo son: el principio cosmologico, la ley de Hubble, lametrica de Friedman-Lemaıtre-Robertson-Walker y las ecuaciones de Friedmann. Pos-teriormente se trataran de los primeros instantes del universo, y por ultimo hablamosde la inflacion cosmica, la cual es una etapa posterior a los primeros instantes deluniverso y con la que se resuelven los problemas de la cosmologıa estandar, conocidoscomo el problema del monopolo magnetico, del horizonte y de la planitud.

1.1. Cosmologıa 4-dimensional

La cosmologıa es el estudio cientıfico de las propiedades a gran escala del universo co-mo un todo [1]. Trata de describir como es la estructura del universo, e intenta explicarsu origen, evolucion y destino. Como cualquier campo de la ciencia hace prediccionesde fenomenos que pueden ser confrontados con las observaciones. Dependiendo de lasobservaciones, los modelos la ser revisados, se desecharan o extendiran para satisfacerlas observaciones.

1.1.1. Principio cosmologico

El principio cosmologico es la hipotesis principal de la cosmologıa moderna. Afirmaque en escalas espaciales del orden de megaparsecs(1parsec = 3,08567 × 1018cm), elUniverso es homogeneo e isotropo.

Una extension del principio cosmologico propuesta por el astronomo britanico FredHoyle, la constituye la teorıa del estado estacionario; en ella el principio cosmologicose denomina el principio cosmologico perfecto e incluye las aseveraciones de que elUniverso es homogeneo e isotropo tanto en el espacio como en el tiempo.

1.1.2. Ley de Hubble

La ley de Hubble es una ley en cosmologıa que establece que el corrimiento al rojode una galaxia es proporcional a la distancia a la que esta se encuentra.

2 1. Cosmologıa

Edwin Hubble y su colaborador Milton Humason en 1929, lograron formular tal ley,esto despues de una decada de observaciones, y concluyeron que las galaxias se alejanentre sı a una velocidad proporcional a su distancia entre ellas.

La ley de Hubble puede escribirse:

cz = H0r, (1.1)

siendo:z el corrimiento al rojo, el cual es un numero sin dimensiones, c la velocidad de la luz,r la distancia actual a la galaxia (en mega parsec Mpc), H0 la constante de Hubble enel momento de la observacion.

Hubble en su analisis tomo valores de z < 0,004. De esta forma pudo tomar la relacionno relativista del corrimiento Doppler, z = v/c, donde v es la velocidad radial de lafuente luminosa. Ası tenemos la relacion velocidad-distancia, que es una derivacion dela ley de Hubble la cual puede formularse como

v = H0r. (1.2)

La constante de Hubble tiene un valor aproximado actualmente de 70±7kms−1Mpc−1.El corrimiento al rojo esta determinado por

z =λob − λemλem

, (1.3)

donde: λob es la longitud de onda observada del haz de luz proveniente de la galaxiay λem es la longitud de onda emitida de la misma galaxia.

Cuando z < 0, esta cantidad es llamada corrimiento al azul, aunque la gran mayorıade las galaxias tienen z > 0, es decir corrimiento al rojo.

1.1.3. Metrica de Friedman-Lemaıtre-Robertson-Walker

El propio espacio-tiempo es descrito por una metrica que cambia con el tiempo de talmanera que las dimensiones espaciales parecen crecer o extenderse segun el Universo sehace mas viejo. Esta metrica se conoce como metrica de Friedman-Lemaıtre-Robertson-Walker (FLRW).

La metrica FLRW es una solucion de las ecuaciones de campo de Einstein de larelatividad general y describe un Universo en expansion o contraccion, homogeneo eisotropo. La metrica FLRW asume que la componente espacial de la metrica puede serdependiente del tiempo. La metrica general que cumple estas condiciones es:

ds2 = −c2dt2 + a(t)2(R0)2

(dr2

1− κr2+ r2dΩ2

), (1.4)

donde κ describe la curvatura, la cual es constante en el tiempo, a(t) es el factor deescala y es explıcitamente dependiente del tiempo, R0 es el radio de curvatura quetiene que ser el mismo en cualquier lugar del espacio por la condicin de homogeneidad,y r cumple con la relacion v = H(t)r, donde v es la velocidad de la galaxia y H laconstante de Hubble en el tiempo asignado t.

1.1. Cosmologıa 4-dimensional 3

La metrica tambien puede ser expresada como:

ds2 = a(t)2[−dη2 + dρ2 + Sκ(ρ)2dΩ2

], (1.5)

donde:

Sκ(ρ) =

R0 sin(ρ/R0) κ = +1ρ κ = 0R0 sinh(ρ/R0) κ = −1.

(1.6)

Con dη = cdt/a(t), η y ρ son respectivamente coordenadas de tiempo conforme ydistancia conforme. En un espacio-tiempo conforme, la ecuacion de los rayos luminososson las rectas ρ = ρ0 ± (η − η0).

Si κ es positiva, entonces el Universo es hiperesferico. Si κ es cero, el Universo esplano, y si κ es negativo, el Universo es hiperbolico.

La distancia comovil es la distancia invariante frente a la expansion del espacio.Consideremos, por ejemplo, un volumen dado V en un tiempo cosmologico T0. Tras elpaso del tiempo y tras haberse expandido mas el universo en T1, el volumen comovilconsiderado ha quedado constante. La distancia propia es a(t)r.

1.1.4. Ecuaciones de Friedmann

Las ecuaciones de Friedmann son un conjunto de ecuaciones utilizadas en cosmologıaque describen la expansion del espacio en modelos homogeneos e isotropos del Universodentro del contexto de la teorıa general de la relatividad. Fueron obtenidas utilizandola metrica de Friedman-Lemaiıtre-Robertson-Walker y un fluido perfecto con una den-sidad de energıa ε y una presion P dadas. Las ecuaciones son:

H2 =

(a

a

)2

=8πG

3c2ε− κc2

R20a

2+

Λ

3, (1.7)

a

a= −4πG

3c2(ε+ 3P ) +

Λ

3, (1.8)

donde Λ es la constante cosmologica, posiblemente causada por la energıa del vacıo, Ges la constante de gravitacion, c es la velocidad de la luz, a es el factor de escala, R0

es el radio de curvatura, ε es la densidad de energıa, P la presion y κ es la curvatura.El parametro de Hubble H, es la velocidad de expansion del universo.

El parametro de Hubble puede cambiar en el tiempo si otros miembros de la ecuacionson dependientes del tiempo (como la densidad de energıa). Evaluando el parametro deHubble en el momento actual se obtiene la constante de Hubble. Aplicando a un fluidocon una ecuacion de estado dada, las ecuaciones de Friedmann dan como resultado laevolucion en el tiempo y la geometrıa del Universo como funcion de la densidad delfluido.

Algunos cosmologos llaman a la segunda de estas dos ecuaciones, la ecuacion deaceleracion y se reservan el termino ecuacion de Friedmann solo para la primeraecuacion.

4 1. Cosmologıa

1.1.5. Primeros instantes del universo

Toda nuestra comprension del Universo muy primigenio es especulativa. Ningun ex-perimento actual alcanza las altas energıas como para proporcionar entendimiento sobreeste periodo. Los escenarios difieren radicalmente. Algunas ideas

son el estado inicial de Hartle-Hawking, el paisaje de cuerdas, la inflacion brana, lacosmologıa de las cuerdas gaseosas y el Universo ekpyrotico.

Realizaremos a continuacion una breve descripcion de las primeras etapas del univer-so.

La era de Planck: 10−43 segundos

En esta era, los efectos cuanticos son tan fuertes que ninguna teorıa clasica puededescribir como era el Universo en esta epoca.

De acuerdo con teorıas tentativas que incluyen a las teorıas de la gran unificacion, ini-cialmente lo que hoy en dıa vemos como cuatro fuerzas fundamentales independientes:electromagnetismo, interaccion nuclear debil, interaccion nuclear fuerte y la gravedad,serıan manifestaciones de una unica fuerza fundamental, descritos por un lagrangianounico.

Poco se conoce sobre esta epoca, aunque diferentes teorıas hacen diferentes predic-ciones. La teorıa de la relatividad general predice una singularidad espaciotemporalantes de este tiempo, pero bajo estas condiciones la teorıa se espera que sea invalidadebido a los efectos cuanticos.

La epoca de la gran unificacion: 10−33 segundos

Como el universo se expande y se enfrıa desde la epoca de Planck, la gravedad se em-pieza a separar de las interacciones de norma: el electromagnetismo y las interaccionesnucleares debil y fuerte. La fısica a esta escala se puede describir por una teorıa de granunificacion en el que grupos de norma del modelo estandar se integran en un grupomucho mayor, que se rompe para producir las fuerzas de la Naturaleza observadas.Eventualmente, la gran unificacion se rompe cuando la interaccion nuclear fuerte sesepara de la interaccion electrodebil. Esto deberıa producir monopolos magneticos.

1.1.6. Inflacion cosmica

La inflacion cosmica es la idea (propuesta por Alexei Starobinski [2] en la UnionSovietica, y simultaneamente por Alan Guth [3] en Estados Unidos en 1981) de queel universo naciente paso por una fase de expansion exponencial, que fue producidapor una densidad de energıa del vacıo de presion negativa. Esta expansion puede sermodelada con una constante cosmologica no nula. Como consecuencia directa de estaexpansion, todo el universo observable podrıa haberse originado en una region pequena,conectada causalmente. La inflacion predice que originalmente nuestro universo era muypequeno y que sufrio una expansion subita, a una ”velocidad”mucho mayor que la dela luz. La temperatura, y por tanto el tiempo, en que la inflacion cosmica ocurrio nose conoce. Durante la inflacion, el Universo entra en una fase de expansion rapida

1.1. Cosmologıa 4-dimensional 5

homogenea e isotropa. Si la gran unificacion es una caracterıstica de nuestro Universo,la inflacion cosmica tiene que ocurrir a la vez o despues de que la simetrıa de la granunificacion se rompe, de otra manera los monopolos magneticos se podrıan observaren el universo visible. La inflacion tambien explica el origen de la estructura a granescala del universo. Las fluctuaciones cuanticas en la region microscopica inflacionaria,magnificada a tamano cosmico, podrıan entonces ser las semillas para el crecimiento deestructuras en el universo. La inflacion resuelve varios problemas en la cosmologıa dela gran explosion, los cuales son: el problema de planicidad (que se resume en porque eluniverso es casi plano hoy, y era aun mas plano en el pasado), problema de horizonte(que se resume en porque el universo es casi isotropo y homogeneo hoy, y era aun masası en el pasado), y el problema de monopolo (que se resume en porque el universo esaparentemente libre de monopolos magneticos).

A continuacion describiremos cada uno de estos problemas.

Problema del horizonte

El problema del horizonte es el problema de determinar por que el universo parecehomogeneo e isotropo de acuerdo con el principio cosmologico. En el modelo de lagran explosion en el que solo hay la materia y la radiacion, dos regiones ampliamenteseparadas del universo observable no pueden haberse equilibrado termicamente, porquenunca han entrado en contacto causal: volviendo a los primeros tiempos, no ha sidoposible enviar una senal de luz entre las dos regiones. Porque no tienen interaccion, esimposible que se equilibren. Esto es porque el radio de Hubble en un Universo dominadode materia o radiacion se expande mucho mas rapidamente que una senal entre dospuntos en el universo.

Problema de la planicidad

Se entiende que en la actualidad la densidad de energıa en el universo es comparablea la densidad crıtica necesaria para un universo plano. Esto lo podemos comprobar,teniendo en cuenta primero que la densidad crıtica tiene la siguiente forma,

εc(t) ≡3c2

8πGH(t)2, (1.9)

y con el parametro de densidad,

Ω(t) ≡ ε(t)

εc(t), (1.10)

entonces tenemos que la ecuacion de Friedmann en terminos del parametro de densidades,

1− Ω(t) = − κc2

R20a(t)2H(t)2

. (1.11)

Cuando la curvatura es nula tenemos que Ω0 = 1.En el tiempo presente, que es cuando el universo tiene una edad aproximada de

13,700 millones de anos, tenemos que las observaciones de la supernova tipo Ia y las

6 1. Cosmologıa

mediciones de la anisotropıa del fondo cosmico de microondas son consistentes con elsiguiente valor,

|1− Ω0| ≤ 0,2. (1.12)

En epocas anteriores, como en la epoca donde la radiacion y materia eran iguales,esto es cuando el universo tenıa una edad de 70,000 anos, tenemos,

|1− Ωrm| ≤ 2× 10−4. (1.13)

Cuando el universo esta entre 1 segundo y 3 minutos de edad, tenemos la epocade la nucleosıntesis, donde protones y neutrones se combinan para formar atomos deDeuterio, Tritio, Helio-3 y Helio-4, tenemos,

|1− Ωnuc| ≤ 3× 10−14. (1.14)

En la epoca de Planck, donde el universo tenıa la edad de 5×10−44 segundos, tenemosque,

|1− ΩP | ≤ 1× 10−60. (1.15)

Esto nos dice que conforme vamos retrocediendo en el tiempo, la densidad de energıaes mas aproximada a la densidad crıtica, lo que nos lleva a que de acuerdo a la ecuacion(1.11), a una curvatura mas aproximadamente nula, y esto implica que el universo enel pasado era mucho mas plano que en la actualidad.

Problema del monopolo magnetico

El problema del monopolo magnetico es un problema que sugiere que si el universoprimigenio estaba muy caliente, se producirıa un gran numero de monopolos magneticosestables y muy pesados. Este problema junto con la teorıa de la gran unificacion, fueronpopulares en los anos de 1970 y de 1980, que proponıan que a altas temperaturas (co-mo en el universo primigenio) la fuerza electromagnetica, las fuerzas nucleares fuerte ydebil aparecen debido a la ruptura espontanea de simetrıa electrodebil de una teorıa denorma. Estas teorıas predicen varias partıculas pesadas estables que no se han observa-do todavıa en la naturaleza, el mas notorio es el monopolo magnetico. Los monopolos seespera que sean copiosamente producidos en la teorıa de la gran unificacion a altas tem-peraturas y deberıan haber persistido hasta la actualidad. Los monopolos magneticosparecen no existir en la naturaleza, mientras que de acuerdo a la teorıa de la granexplosion (sin la inflacion cosmica) deberıan haber sido copiosamente producidos en elcaliente y denso universo primigenio.

Capıtulo 2

Cuantizacion canonica en diferentesnormas

En esta capıtulo, presentamos un formalismo desarrollado por Dirac [4, 5], para ladinamica con constricciones. Esta teorıa es aplicable tanto para sistemas discretos (fini-tos grados de libertad) como continuos (infinitos grados de libertad). En nuestro casola discucion estara restringida a sistemas discretos. El formalismo de Dirac consisteen tener la accion de un sistema y de ahı encontrar todas las posibles constricciones,construir un hamiltoniano, y convertir todas las funciones dinamicas en operadoreshermitianos. Posteriormente presentamos algunos ejemplos, como el de una partıculaen un campo electrico constante, donde aplicaremos este formalismo. Para la partıculaen un campo electrico constante obtendremos la ecuacion de Klein-Gordon de la con-striccion hamiltoniana. En la norma del tiempo de Minkowski obtendremos la ecuacionde Salpeter y en la de tiempo propio una ecuacion en diferencias para la funcion deonda.

2.1. Cuantizacion canonica en

sistemas con constricciones

2.1.1. Desarrollo hamiltoniano en sistemas con constricciones

Un sistema con constricciones, es aquel en el cual existe al menos una relacion entrelos momentos y las coordenadas. Supongamos un sistema fısico discreto, cuya acciones:

A =

∫Ldt, (2.1)

donde el lagrangiano es una funcion de las coordenadas y velocidades [6].

Recordemos que el proceso de variacion δ se expresa mediante diferenciales sin masque asignar a cada una de las trayectorias posibles un valor de cierto parametro α.Las coordenadas de un punto, qi, en el espacio de configuracion seran, pues, funcionesde t y α, indicando esta ultima cual es la trayectoria de integracion elegida. Ası, cabe

8 2. Cuantizacion canonica en diferentes normas

considerar la integral A como una funcion de α, y la variacion nos queda como:

δ → dα∂

∂α, (2.2)

Ahora nosotros podemos agrupar terminos utilizando la correspondencia de la variaciony ver que

dα∂qi∂α

= δqi, y dα∂pi∂α

= δpi. (2.3)

Al realizar la variacion de la accion se obtienen las ecuaciones de movimiento deEuler-Lagrange:

d

dt

(∂L

∂qi

)=∂L

∂qi. (2.4)

Para desarrollar el formalismo hamiltoniano, son necesarias las variables de momentodadas por:

pi =∂L

∂qi. (2.5)

En las teorıas usuales, se tiene que todos los momentos son funciones independientesde las velocidades, o desde otro punto de vista, que para una funcion L de muchasvariables, el determinante hessiano:

Hij =∂2L

∂qi∂qj, (2.6)

no es cero en todo el dominio de su definicion. En este caso es permisible utilizarla transformacion de Legendre, y este sistema fısico es llamado regular. En el casocontrario donde los momentos son funciones dependientes de las velocidades, entoncesdeben existir algunas relaciones independientes del tipo:

φm(q, p) = 0, (2.7)

las cuales son llamadas constricciones primarias [6]. El correspondiente sistema fısicoes llamado singular. La variacion de la cantidad piq

i − L da el resultado

δ(piqi − L) = (δpi)q

i −(∂L

∂qi

)δqi (2.8)

por virtud de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Uno puede ver que esta variacionimplica las variaciones de las q’s y las p’s. Ası, la cantidad en discusion no implicala variacion de las velocidades y puede ser expresada en terminos de las q’s y las p’s,unicamente. Esta cantidad es el hamiltoniano. Debe ser subrayado el hecho de que lasvariaciones deben respetar las restricciones (2.7), es decir conservarlas. Tenemos, quepara un sistema fısico regular

qn =∂H

∂pn; pn = −∂H

∂qn. (2.9)

2.1. Cuantizacion canonica en sistemas con constricciones 9

En general tenemos que la ecuacion de movimiento es g = g,H o

g =∂g

∂qnqn +

∂g

∂pnpn, (2.10)

donde g es una variable y • , • es el parentesis de Poisson, el cual tiene lassiguientes propiedades [6].

f, g = −g, f Antisimetrıa

f + g, h = f, h+ g, h Linealidad

fg, h = fg, h+ f, hg Ley de Producto

f, g, h+ g, h, f+ h, f, g = 0 Identidad de Jacobi. (2.11)

Cuando tenemos una constriccion primaria φm(p, q) = 0 la cual puede ser obtenida de

pn =∂L

∂qn, las ecuaciones de movimiento tienen otra forma. Para ilustrar el proceso de

obtener las ecuaciones de movimiento a partir de las constricciones primarias, primeropartimos de la formulacion lagrangiana para sistemas con ligaduras [7]. Una ligaduratiene la forma f(q1, q2, ..., qn, t) = 0, lo cual nos dice que las qj, del sistema, no sontodas independientes.

Aun ası puede operarse con sistemas no holonomos siempre que las ecuaciones deligadura sean reducibles a la forma,

alkdqk + altdt = 0. (2.12)

Un sistema holonomo es aquel, en el que las constricciones de tal sistema se puedenexpresar como una ecuacion.

Ahora bien, en el proceso variacional que implica el principio de Halmiton [7], eltiempo correspondiente a cada punto de la trayectoria, es constante. Por ello, losdesplazamientos virtuales que aparecen en la variacion deben satisfacer ecuaciones deligadura del tipo:

alkδqk = 0, (2.13)

tambien podemos tener la ecuacion (2.13) como,

λlalkδqk = 0, (2.14)

donde λl son ciertas constantes indeterminadas; en general funciones del tiempo, cono-cidas como los multiplicadores de Lagrange. Integrando esta ecuacion con respecto deltiempo tenemos, ∫

λlalkδqkdt = 0. (2.15)

Ahora a la variacion de la accion,

δA = δ

∫Ldt =

∫ (∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

))δqidt, (2.16)


le sumamos la ecuacion (2.15), tenemos,∫ (∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)+ λlalk

)δqidt = 0, (2.17)

ası podemos tener las ecuaciones de Lagrange para sistemas holonomos:

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= λlalk. (2.18)

Nosotros vemos que la ligadura f(q1, q2, ..., qn, t) = 0, equivale a la siguiente ecuaciondiferencial,

∂f

∂qkdqk +

∂f

∂tdt = 0, (2.19)

de forma identica a la (2.12), con los coeficientes

alk =∂f

∂qk, alt =

∂f

∂t. (2.20)

Ahora para nuestras constricciones (2.7), donde hay ligaduras entre las q′s y las p′s,y donde los multiplicadores de lagrange um, tambien dependen de las q′s y las p′stenemos,

δ(umφm) = φm

(∂um∂qk

δqk +∂um∂pk

δpk

)+ um

(∂φm∂qk

δqk +∂φm∂pk

δpk

)= 0, (2.21)

donde el primer termino de la ecuacion se anula en todo el espacio fase, ası nosotrostenemos de forma similar a la ecuacion (2.14),

um

(∂um∂qk

δqk +∂um∂pk

δpk

)= 0. (2.22)

Nosotros para encontrar las ecuaciones de movimiento hamiltonianas, seguimos pasossimilares de la formulacion lagrangiana con constricciones, ası tenemos primero nuestravariacion de la accion en terminos del hamiltoniano,

δA = δ

∫(piqi −H(q, p, t)) dt = 0. (2.23)

Tomando la forma de la variacion (2.2), se tiene para la variacion de la accion que,

dα∂A

∂α= dα

∂

∂α

∫(piqi −H(q, p, t)) dt = 0. (2.24)

Como los tiempos inicial y final no varıan, y no son, por tanto, funciones de α,podremos diferenciar dentro del signo integral,

dα

∫ (∂pi∂α

qi + pi∂qi∂α− ∂H

∂qi

∂qi∂α− ∂H

∂pi

∂pi∂α

)dt = 0. (2.25)


Pueden permutarse las derivaciones respecto a t y α en el segundo termino del parente-sis, ya que la variacion es a tiempo constante. Las integrales donde aparece este terminose transforman a continuacion mediante integracion por partes:∫ t2

t1

pi∂qi∂α

dt =

∫ t2

t1

pid

dt

∂qi∂α

dt =

[pi∂qi∂α

]t2t1

−∫ t2

t1

pi∂qi∂α

dt. (2.26)

Como todas las trayectorias variadas tienen los mismos extremos, se anulara ∂qi∂α

parat1 y t2, por lo que el termino integrado se anula.

Y tomando la forma de las variaciones de qi y pi (2.3), tenemos la forma final de(2.25), ∫

δpi

(qi −

∂H

∂pi

)− δqi

(pi +

∂H

∂qi

)dt = 0. (2.27)

Como las variaciones δqi y δpi son independientes, la integral solo sera igual a cerosi se anulan por separado los coeficientes [7], ası nosotros tenemos las ecuaciones demovimiento (2.9).

Ahora para tener una ecuacion similar a la ecuacion (2.17), nosotros necesitamosrestar nuestra ecuacion de ligadura (2.22) a la variacion de la accion (2.27), y reagru-pando tenemos,∫

δpi

(qi −

∂H

∂pi− ∂φm∂pk

)− δqi

(pi +

∂H

∂qi+∂φm∂qi

)dt = 0, (2.28)

de aquı, encontramos nuestras ecuaciones de movimiento para un sistema con constric-ciones [6],

qn =∂H

∂pn+ um

∂φm∂pn

(2.29)

pn = −∂H∂qn− um

∂φm∂qn

. (2.30)

La ecuacion de movimiento en general es

g = g,H+ umg, φm (2.31)

og = g,H + umφm (2.32)

esto es porque φmg, um se anula. Ahora escribimos las constricciones con un signo deigualdad diferente y quedaran como φm ≈ 0 las cuales seran llamadas como ecuacionesdebiles. Esto para enfatizar que la cantidad φm es numericamente restringida a ser cero,pero no se anula a traves de todo el espacio fase. Esto significa, en partıcular, que tienecorchetes de Poisson no nulos con las variables canonicas.

Construimos un hamiltoniano total, que es el hamiltoniano canonico mas las constric-ciones primarias, esto es para ası tener una ecuacion que pueda describir a un sistemafısico con constricciones,

HT = H + umφm. (2.33)


La ecuacion de movimiento esg ≈ g,HT. (2.34)

Tambien como las constricciones son constantes en el tiempo entonces φm ≈ 0 es decir

φm, H+ um′φm, φm′ ≈ 0. (2.35)

De aquı tenemos tres posibilidades:

(CC1). Las relaciones (2.35) conducen a identidades.

(CC2). Las relaciones (2.35) conducen a ecuaciones independientes de las u’s, soloinvolucran las q′s y las p′s. Estas tambien deben ser consideradas como constricciones,las cuales son llamadas secundarias.

(CC3). Las relaciones (2.35) imponen condiciones sobre las u’s.Ahora consideremos el caso CC2, solo cuando hay una constriccion, y tendremos una

constriccion χ(q, p) secundaria tal que

χ = φ = φ,H+ uφ, φ, (2.36)

donde φ es una constriccion primaria.

Como φ, φ = 0 entoncesχ = φ,H ≈ 0. (2.37)

Tambien tenemos que χ ≈ 0 o

χ,H+ umχ, φm ≈ 0. (2.38)

Todo el conjunto de constricciones tanto primarias como secundarias lo designamospor φj ≈ 0 y podemos deducir que se cumple que para todas estas constricciones

φj, H+ umφj, φm ≈ 0, (2.39)

donde el subindice m solo se refiere a las constricciones primarias, y j se refiere a con-stricciones tanto primarias como secundarias. Este tipo de ecuaciones imponen condi-ciones sobre los coeficcientes u. Ahora, nosotros tenemos que para una variable dinamicaR la cual es funcion de las q’s y las p’s,

R, φj ≈ 0, (2.40)

entonces R es llamada funcion de primera clase. Tambien podemos utilizar el signo deigualdad usual y tendremos una ecuacion llamada fuerte

R, φj = rjj′φj′ . (2.41)

Si no se cumple cualquiera de las dos ecuaciones anteriores entonces se dice que Res de segunda clase. Por ejemplo si S, φ = c donde c no es una combinacion linealde constricciones y es diferente de cero, entonces S es de segunda clase. De acuerdo aesto, uno puede tener constricciones de primera y segunda clase. El siguiente teoremanos da una observacion acerca del corchete de Poisson.


Teorema 1 El corchete de Poisson de dos cantidades de primera clase, tambien es deprimera clase.

Demostracion 1 Sean R y S de primera clase: entonces en adicion a (2.41), tenemos

S, φj = sjj′φj′ . (2.42)

consideremos el siguiente corchete [[R, S], φj]. Nosotros podemos trabajar este corchetede Poisson usando la identidad de Jacobi (2.11),

[[R, S], φj] = [[R, φj], S]− [[S, φj], R], (2.43)

y por (2.41),(2.42), y tomando en cuenta que el corchete de Poisson tiene la propiedaddel producto (2.11), tenemos,

[[R, S], φj] = [rjj′φj′ , S]− [sjj′φj′ , R]

= rjj′ [φj′ , S] + [rjj′ , S]φj′ − sjj′ [φj′ , R]− [sjj′ , R]φj′ ≈ 0, (2.44)

esto es debido a que φj′ se anula, ası todo es anulado debilmente. Por lo tanto hemosdemostrado que [R, S] es de primera clase.

Hasta el momento tenemos un hamiltoniano HT que involucra tanto al hamiltonianocanonico mas constricciones primarias.

Las constricciones primarias de primera clase φa, son las funciones generadoras (esdecir, las cantidades g, φa) de transformaciones de contacto infinitesimal; es decir,de transformaciones las cuales nos llevan a cambios en las q’s y las p’s y no afectan elestado fısico del sistema.

Ası, sucesivamente, la aplicacion de dos transformaciones de contacto generadas pordos constricciones primarias de primera clase dadas (hay que tener en cuenta el orden)conduce a una nueva funcion generadora: g, φa, φa′. Ası uno puede ver que las con-stricciones secundarias de primera clase, que pueden aparecer de φa, φa′, pueden tam-bien servir como las funciones generadoras de transformaciones de contacto infinites-imales. Posiblemente, otro modo de producir constricciones secundarias de primeraclase, es de la cantidad de primera clase H ′, φa.

Ya que nadie ha encontrado un ejemplo de una constriccion secundaria de primeraclase [4], que afecte el estado fısico cuando es usada como funcion generadora, la con-clusion es que todas las cantidades de primera clase, generan las funciones de trans-formaciones de contacto infinitesimales. De este modo, el hamiltoniano total debe sersustituido por el hamiltoniano extendido HE, que se define como:

HE = HT + v′a′φ′a, (2.45)

donde φa′ son constricciones secundarias de primera clase. Este es el hamiltonianoextendido y en el estan contenidos tanto el hamiltoniano canonico como todas lasconstricciones primarias y secundarias, todas de primera clase. Finalmente tenemosuna ecuacion mas general de movimiento:

g ≈ g,HE. (2.46)


2.1.2. Cuantizacion canonica

En mecanica cuantica tenemos que una funcion dinamica se convierte en un operadorhermitiano, entonces φ → φ. Ahora vamos a restringirnos a constricciones de primeraclase y la funcion de onda ψ la cual tiene las siguientes condiciones [4, 6],

φjψ = 0, (2.47)

recordando que j se refiere a todas las constricciones y ademas nos vamos a restringirsolo a las de primera clase.

Tenemos ahora

φj′φjψ = 0, (2.48)

y

φjφj′ψ = 0. (2.49)

Substrayendo, tenemos el conmutador

[φj, φj′ ]ψ = 0, (2.50)

esto es una condicion sobre ψ, la cual tiene su analogo en el corchete de Poisson.Ahora nosotros no queremos tener nuevas condiciones sobre ψ. Queremos que todas

las condiciones sobre ψ esten incluidas en (??), para esto (2.50) tendra que ser unaconsecuencia de (??), ası se requiere que

[φj, φj′ ] = cjj′j′′φj′′ , (2.51)

lo cual no serıa una condicion nueva sobre la funcion de onda.En la teorıa clasica nosotros tenemos que todas las constricciones son de primera

clase y el corchete de Poisson de dos constricciones es una combinacion lineal de todaslas contriciones. En la teorıa cuantica debemos tener una ecuacion similar para elconmutador.

Hagamos una observacion entre una constriccion y la ecuacion de Schrodinger, ten-emos que

[φj, H]ψ = i~φj,∂

∂t

ψ = φj∂ψ

∂t− ψ∂φj

∂t− φj

∂ψ

∂t= ψ

∂φj∂t

= 0,pues˙φj = 0, entonces haciendo una analogıa

con el corchete de Poisson, de acuerdo con el teorema 1 para dos funciones de primeraclase, tenemos que el conmutador es

[φj, H] = Dkj φk, (2.53)

lo cual es consistente.Supongamos que tenemos un sistema fısico, de cuyo lagrangiano obtenemos con-

stricciones de segunda clase. Cualquier grupo de constricciones, puede ser remplazadopor un correspondiente grupo de combinaciones lineales independientes de ellas, y uno


puede hacer un arreglo tal que el grupo final de constricciones, contengan la mayor can-tidad posible de constricciones de primera clase. Usando las restantes constricciones desegunda clase, se define la siguiente matriz:

∆ij = [χi, χj], (i, j) ∈ [1, ..., S]. (2.54)

El determinante de esta matriz no se anula, ni aun debilmente. Entonces el determi-nante de ∆ es no nulo, y por lo tanto existe la matriz inversa ∆−1.

Ya que el corchete de Poisson de constricciones de segunda clase, no se anula, entoncesDirac propone un nuevo tipo de corchete de Poisson,

, D = , −S∑i=1

S∑j=1

, χi∆−1χj, . (2.55)

Este parentisis es antisimetrico, lineal en sus argumentos, obedece a la ley del pro-ducto y la identidad de Jacobi. Tenemos que

g,HED ≈ g,HE, (2.56)

ya que los terminos como χi, HE, con HE siendo de primera clase, se anulan debil-mente. Ası:

g ≈ g,HED, (2.57)

Ahora si nosotros tomamos alguna funcion ξ cualquiera dependiente de las q′s y p′s, yformamos el corchete de Dirac, con una de las χ′s, y tenemos

ξ, χs′′D = ξ, χs′′ −∑s

∑s′

ξ, χs∆−1χs′ , χs′′ = ξ, χs′′ −∑s

ξ, χsδss′′ = 0.

(2.58)Ası podemos poner la χ′s igual a 0 antes de trabajar con el corchete de Dirac. Estosignifica que la ecuacion

χs = 0, (2.59)

podra ser considerada como una ecuacion fuerte.

Por ultimo tenemos que el corchete de Dirac cumple con las mismas propiedades queel corchete de Poisson (2.11) [6]:

2.1.3. Ejemplos

Daremos algunos ejemplos sencillos de constricciones y como son obtenidas parailustrar parte del tema de este capıtulo. En las secciones posteriores se mostraranejemplos de constricciones en sistemas relativistas, los cuales seran de utilidad en loscapıtulos posteriores.


Mecanica clasica

Partiendo de las ecuaciones de Lagrange

d

dt

(∂L

∂qµ

)− ∂L

∂qµ= 0, (2.60)

o∂2L

∂qµ∂qνqν +Hµν q

µν − ∂L

∂qµ= 0, (2.61)

donde Hµν =∂2L

∂qµ∂qνes conocido como el hessiano y µ, ν = 1, 2, 3.

Para una partıcula libre

L =1

2mqη qη, (2.62)

y

pµ =∂L

∂qµ= mqµ. (2.63)

Luego

Hµν =∂2L

∂qµ∂qν= mgµν , (2.64)

donde gµν es el tensor metrico espacio-temporal, y el determinante del hessiano es,

det(Hµν) = mdet(gµν) = m, (2.65)

por lo tanto no hay constricciones.

Electromagnetismo

La accion de campo electromagnetico

L =1

2F µνFµν , (2.66)

donde el tensor de Maxwell es Fµν = ∂µAν − ∂νAµ y F00 = 0 y µ, ν = 0, 1, 2, 3.Entonces

∂L

∂A0

= π0 = 0, (2.67)

la cual es un ejemplo de constriccion.

2.2. Cuantizacion de una partıcula relativista

2.2.1. Partıcula libre

Para una partıcula libre en mecanica relativista, la accion esta dada por

S = −∫mc√gµν xµxνdτ, (2.68)

2.2. Cuantizacion de una partıcula relativista 17

entonces el lagrangiano esL = −mc

√gµν xµxν , (2.69)

y su momento

pµ =∂L

∂xµ= −mc(gρσxρxσ)−1/2xµ, (2.70)

con la siguiente forma del hessiano

Hµν =∂2L

∂xµ∂xν= −mc

(gρσx

ρxσ)gµν − xµxν(gρσxρxσ)−3/2

. (2.71)

Al hacer el producto del hessiano con uno de sus eigenvectores columna se encuentraque

[(gρσxρxσ)gµν − xµxν ]xν = 0. (2.72)

Como xν no es nulo pero su eigenvalor sı, entonces el determinante del hessiano es nulo,lo que nos lleva a que tenemos constricciones.

Utilizandoxµ = − pµ

mc

√gρσxρxσ, (2.73)

entonces

Hµν xν =

[1− gηνp

ηpν

(mc)2

]pµ(gρσx

ρxσ)3/2 = 0, (2.74)

obteniendose la constriccion primarıa pµpµ −m2c2 = 0.

El hamiltoniano canonico es

HC = xµpµ +mc√gµν xµxν , (2.75)

donde se observa que HC = 0.Ası tenemos que el hamiltoniano total sera

HT = HC + uφ = u(pµpµ −m2c2). (2.76)

Tenemos las ecuaciones de movimiento

xµ ≈ xµ, HT = u∂

∂pµ(gεϑp

εpϑ −m2c2) = 2upµ, (2.77)

ypµ ≈ pµ, HT = 0, (2.78)

de aquı encontramos que el multiplicador de Lagrange es

u = −√gρσxρxσ

2mc. (2.79)

Tenemos que χ = φ ≈ φ,HT ≈ φ,HC = 0. Entonces χ = 0 es identicamente ceroy no hay constricciones secundarias. Ademas como φ, φ = 0 y φ,HC = 0, entoncesφ es de primera clase. Nuestro hamiltoniano total es

HT = −√gρσxρxσ

2mc(pµp

µ −m2c2), (2.80)

como no tenemos constricciones secundarias entonces HE = HT .


Cuantizacion

Las funciones dinamicas estan ahora en forma de operadores hermitianos en la rep-resentacion de coordenadas, ası pµ = i~∂µ

de esta forma la condicion de Dirac φψ = 0 se puede escribir como

φψ = (−~2∂µ∂µ −m2c2)ψ = −~22ψ −m2c2ψ = 0, (2.81)

la cual es conocida como ecuacion de Klein-Gordon.

Tenemos que HCψ = 0 y recuperamos la ecuacion de Klein-Gordon conHTψ = 0, pues el hamiltoniano total es proporcional a la constriccion.

2.2.2. Partıcula en un campo electrico constante

Tenemos en este caso el lagrangiano

L =√gρσxρxσ

(−mc− e Aµx

µ

c√gρσxρxσ

), (2.82)

o

L = −mc√gρσxρxσ −

e

cAµx

µ. (2.83)

El correspondiente momento canonico es entonces

pµ = −mc(gρσxρxσ)−1/2xµ −e

cAµ, (2.84)

ası tenemos que el hessiano asociado sera

Hµν = −mc

(gρσxρxσ)gµν − xµxν

(gρσxρxσ)−3/2

, (2.85)

que es similar al del caso de la partıcula libre relativista. Por lo tanto Hµν xν = 0 como

en el resultado obtenido anteriormente, entonces

xµ = −pµ + e

cAµ

mc

√gρσxρxσ = − π

µ

mc

√gρσxρxσ, (2.86)

donde πµ es el momento generalizado de una partıcula relativista en un campo elec-tromagnetico. Entonces obtenemos similarmente como en partıcula libre que πµπ

µ −m2c2 = 0 o

pµpµ +

e

c(pµA

µ + Aµpµ) +e2

c2AµA

µ −m2c2 = 0, (2.87)

que es la constriccion primaria.

2.3. Cuantizacion en la norma del tiempo de Minkowski 19

Construimos el hamiltoniano canonico

HC = xµpµ +mc√gµν xµxν +

e

cAµx

µ

= mc√gµν xµxν + xµ

(pµ +

e

cAµ

)= mc

√gµν xµxν −

mcxµxµ√

gµν xµxν= 0. (2.88)

Entonces HC = 0, y al construir el hamiltoniano total se encuentra que HT ≈ uφ,donde

φ = πµπµ −m2c2 = 0. (2.89)

Para obtener la forma del multiplicador de lagrange, encontramos la ecuacion demovimiento

xµ =∂HT

∂pµ= 2u(pµ +

e

cAµ), (2.90)

y por lo tanto u = −√gρσxρxσ

2mc. En este caso tampoco se encontraron constricciones

secundarias, entonces HE = HT .

Cuantizacion

En el caso cuantico tenemos que el operador de momento generalizado es πµ = (i~∂µ+ecAµ), entonces tenemos que la condicion de Dirac φψ = 0 toma la forma

pµpµ +

e

c(pµA

µ + Aµpµ) +e2

c2AµA

µ −m2c2

ψ = 0, (2.91)

−~22 +

e

ci~(∂µA

µ + Aµ∂µ) +e2

c2AµA

µ −m2c2

ψ = 0. (2.92)

Tenemos que ∂µAµψ = Aµ∂µψ + ψ∂µA

µ y utilizando la norma de Lorentz ∂µAµ = 0,

finalmente tenemos

−~22ψ +2e

ci~Aµ∂µψ +

e2

c2AµA

µψ −m2c2ψ = 0. (2.93)

La cual es la ecuacion de Klein-Gordon con un potencial de campo electromagnetico.Tambien tenemos que HCψ = 0 y HTψ = 0.

2.3. Cuantizacion en la norma

del tiempo de Minkowski

2.3.1. Partıcula relativista libre

Tenemos la accion

S =

∫Ldτ =

∫(xµpµ −H)dτ. (2.94)


Sabemos que HC = 0 y HT = uφ = lC donde C =φ

2y φ = pµp

µ −m2c2.

Entonces nuestra accion queda mediante una transformacion canonica como

S =

∫(xµpµ −HT )dτ =

∫[−XµP µ −K +

d

dtF (x, P, t)]dτ. (2.95)

Tenemos las transformaciones de contacto

X0 = x0 − tc ; Xi = xi ; P0 = p0 ; Pi = pi, (2.96)

con las cuales podemos fijar la norma x0 = c.

Vamos a realizar una transformacion canonica [7] con la funcion generatriz

K = H +∂F2

∂t, (2.97)

y las ecuaciones de movimiento de la funcion generatriz son

Xµ =∂F2

∂Pµ; P µ =

∂F2

∂xµ. (2.98)

Proponiendo que F2 = P0(x0 − tc) y por lo tanto

K =l

2(PµP

µ −m2c2)− P0c =l

2(pµp

µ −m2c2)− p0c. (2.99)

Fijando la norma tenemos X0 = 0→ X0 = 0 −→ x0 = c.

Como x0 =∂HT

∂p0

= lp0 −→ l =c

p0

entonces

K =c

2p0

(p02 − pi2 −m2c2)− p0c ≈ −cp0 ≈ ∓c

√pi2 +m2c2. (2.100)

Cuantizacion

Realizando la sustitucion de funciones por operadores

K → K ; p0 →i~c

∂

∂t; pi →

−i~c

∂

∂xi. (2.101)

Entonces finalmente obtenemos

i~c

∂

∂tψ = ±

√−~2∇2 +m2c2ψ, (2.102)

la cual es la ecuacion de Salpeter [8] para una partıcula libre

2.3. Cuantizacion en la norma del tiempo de Minkowski 21


Para este caso nosotros tenemos la constriccion φ = πµπµ−m2c2 donde πµ = pµ+ e

cAµ.

Como tenemos la misma norma F2 = p0(x0 − tc) y por lo tanto

K =l

2(πµπ

µ −m2c2)− p0c. (2.103)

Sabemos que

x0 =∂HT

∂p0

=l

2(2p0 + 2eΦ) = l(p0 + eΦ) −→ l =

c

p0 + eΦ, (2.104)

y

K =c

2(p0 + eΦ)

[p0

2 − pi2 −m2c2 +e

c(pµA

µ + Aµpµ) +

e2

c2AµA

µ

]− 2c(p0

2 + ep0Φ)

2(p0 + eΦ),

(2.105)

K =c

2(p0 + eΦ)[−p0

2 − pi2 −m2c2 − 2ep0Φ +e

c(pµA

µ + Aµpµ) +

e2

c2AµA

µ]. (2.106)

Si Ai = 0 tenemos que φ = (p0 + eΦ)2 − pi2 −m2c2 ≈ 0.Entonces

K =c

2(p0 + eΦ)[−p0

2 − pi2 −m2c2 − 2ep0Φ + 2ep0Φ + e2Φ2]

=c

2(p0 + eΦ)[−p0

2 − pi2 −m2c2 + e2Φ2]. (2.107)

Por la constriccion

K ≈ c

2(p0 + eΦ)[−p0

2 − (p0 + eΦ)2 + e2Φ2] ≈ c

2(p0 + eΦ)[−2p0

2 − 2e2p0Φ]

≈ −cp0 ≈ −c√pi2 +m2c2 + ceΦ. (2.108)

Entoncesp0 ≈

√pi2 +m2c2 − eΦ. (2.109)

Cuantizacion

Realizando la sustitucion de funciones por operadores

K → K ; p0 →i~c

∂

∂t; pi →

−i~c

∂

∂xi. (2.110)

Entonces finalmente

i~c

∂

∂tψ = ±

√−~2∇2 +m2c2ψ − eΦψ, (2.111)

la cual es la ecuacion de Salpeter para una partıcula en un campo electrico constante.


2.4. Cuantizacion en la norma de tiempo propio


El tiempo propio es definido a traves de la relacion, dτ =

√1− −→x

2dt o dτ = Ndt,

donde N es la funcion de lapso, al fijar la norma de tiempo propio tenemos N − 1 = 0.Tenemos que en el espacio fase Γ(q, p) las ecuaciones de movimiento son

dq

dt=∂h

∂p;

dp

dt= −∂h

∂q. (2.112)

Ahora consideremos P como el momento para el sistema de referencia propio. Paraun espacio Γ(q, P ) con un hamiltoniano H de tal forma que

dq

dτ=∂H

∂P;

dP

dτ= −∂H

∂q(2.113)

donde P = P (q, p) y H(q, P ) := h(q, p(q, P ))

Tenemos que∂H

∂P=∂h

∂p

∂p

∂P=dq

dt

∂p

∂P=dq

dτ=

dq

Ndt. (2.114)

Entonces∂P

∂p= N y se asume que P es invertible con inversa p.

Ahora, si iniciamos con el hamiltoniano

h =√pi2 +m2c2 − eΦ, (2.115)

el cual involucra a la partıcula con el tiempo de Minkowski, entonces

xi =∂h

∂pi=

pi√pi2 +m2c2

. (2.116)

La funcion de lapso para este caso es

N =

√1− −→x

2=

√1− pi

2

pi2 +m2c2

=

√pi

2 +m2c2 − pi2

pi2 +m2c2=

mc√pi2 +m2c2

. (2.117)

Para lograr que∂Pi∂pi

= N , debemos tener Pi(q, p) = mcpimc

, deaquıtenemosquepi(q, P ) =

mc sinhPimc

.

2.4. Cuantizacion en la norma de tiempo propio 23

Como H(q, P ) = h(q, p(q, P )) entonces

H =√pi2(q, p) +m2c2 − eΦ =

√m2c2 sinh2(

Pimc

) +m2c2 − eΦ = mc cosh(Pimc

)− eΦ,(2.118)

la cual describe la evolucion de una partıcula en un campo electrico constante en elmarco de referencıa propio.

Finalmente

P0 = mc cosh(Pimc

)− eΦ (2.119)

Cuantizacion

Tenemos que nuestro hamiltoniano es:

H(x, P ) = mc cosh

(P

m

)− eEx , (2.120)

La correspondiente ecuacion de Schrodinger Hψ(x) = Eψ en la representacion decoordenadas esta dado por

Eψ = mc cosh

(−i~m

∂

∂x

)ψ(x)− eExψ(x), (2.121)

omc

2

(e−i

~mc

∂∂x + ei

~mc

∂∂x

)ψ(x)− q Exψ(x) = E ψ(x) . (2.122)

Tomando la expansion en serie de la exponencial y la definicion de las serie de Taylortenemos el siguiente resultado

e−ia∂∂xψ(x) = ψ(x− ia) . (2.123)

Utilizando la relacion (2.122) obtenemos

ψ

(x− i ~

mc

)+ ψ

(x+ i

~mc

)= (E ′ + qE′ x) ψ(x) , (2.124)

esta es conocida como una ecuacion en diferencias, donde hemos definido E′ = 2E/mcy E ′ = 2E/mc.

Capıtulo 3

Solucion a las ecuacionescuantico-relativistas

En este capıtulo veremos como solucionar las ecuaciones obtenidas en el Capıtulo 2,para el sistema cuantico-relativista de una partıcula en un potencial electrico lineal condiferentes normas. Posteriormente graficaremos el modulo al cuadrado de las solucionesobtenidas, y finalmente haremos un analisis de dichas soluciones tal como interseccionesy diferencias entre ellas.

3.1. Solucion a la ecuacion de Klein-Gordon

Para la ecuacion de Klein-Gordon (2.93), tomemos el caso donde Ai = 0 para uncampo electrico constante. Para un estado estacionario tenemos

E2

c2~2ψ +

∂2

∂x2ψ + 2

eEE

c~2xψ +

e2E2

~2x2ψ − m2c2

~2ψ = 0, (3.1)

haciendo y =eE

~x+

E

c~tenemos,

∂2

∂y2ψ +

~2

e2E2y2ψ − m2c2

e2E2ψ = 0. (3.2)

Despues sea y = az entonces

∂2

∂z2ψ + b2a4z2ψ − c2a2ψ = 0, (3.3)

haciendo b2a4 = 1 entonces a2 = ±b−1 =eE

~y tenemos la siguiente ecuacion diferencial

∂2

∂z2ψ + z2ψ − m2c2

eE~ψ = 0. (3.4)

La soluciones son las funciones parabolicas cilındricas Dp(z),

ψ = D− 1+iy2

[±(1 + i)z], (3.5)

26 3. Solucion a las ecuaciones cuantico-relativistas

en forma mas explicita,

ψ = c1D−i(cm)2 − eE~2eE~

[i

((−1)1/4

√2E

c√eE~

+(−1)1/4

√2eEx√

~

)]

+ c2Di(cm)2 + eE~2eE~

[(−1)1/4

√2E

c√eE~

+(−1)1/4

√2eEx√

~

], (3.6)

o tambien

ψ = c1e−i(xEc~ +x2eE

2~

)Hi(cm)2+eE~

2eE~

[(−1)1/4E

c√eE~

+(−1)1/4

√eEx√

~

]

+ c2e−i(xEc~ +x2eE

2~

)F

−i(cm)2 + eE~4eE~

,1

2,

((−1)1/4E

c√eE~

+(−1)1/4

√eEx√

~

)2 ,(3.7)

donde Hn son los polinomios de Hermite con n ∈ N y F es la funcion hipergeometricaconfluente.

3.2. Solucion a la ecuacion de Salpeter

La ecuacion de Salpeter en un campo electrico constante (2.111), en el estado esta-cionario y en la representacion de momentos tiene la siguiente forma,√

p2 +m2c2ψp(p)− i~eE∂

∂pψp(p) = E ψp(p) . (3.8)

La solucion de esta ecuacion diferencial es:

ψp(p) = ce−i12mp

√p2

m2 +1−pE+12m

2 arcsin(pm )

eE~ , (3.9)

donde c es la constante de integracion.Deseamos encontrar la solucion en el espacio de coordenadas mediante la transfor-

mada de Fourier, la cual es,

ψ(x) =c√2π~

∫ ∞−∞

eixp~ −i

12mp

√p2

m2 +1−pE+12m

2 arcsin(pm )

eE~ dp, (3.10)

y por medio de la formula de Euler, esta integral tendra la siguiente forma,

ψ(x) =c√2π~

∫ ∞−∞

cos

xp~ −12mp√

p2

m2 + 1− pE + 12m2 arcsin

( pm

)eE~

dp

+ic√2π~

∫ ∞−∞

sin

xp~ −12mp√

p2

m2 + 1− pE + 12m2 arcsin

( pm

)eE~

dp. (3.11)

3.2. Solucion a la ecuacion de Salpeter 27

Esta integral sera resuelta por medio de un metodo numerico de integracion, ası quehechemos un breve vistazo al tema de los metodos de integracion numerica.

3.2.1. Metodos de integracion numerica

En los metodos de integracion [9], se tiene que el intervalo en el cual se realizara laintegracion, es subdivido en varios segmentos. Se sabe que entre mayor sea la cantidadde subdivisiones, la integral numerica se aproxima mas a la integral exacta. Tenemoscomo ejemplos la integracion por la regla del trapecio, la cual es la menos exacta, pueses solo de un segmento. Dos mejores aproximaciones son: la regla de Simpson 1/3 lacual consta para 2 segmentos y la regla de Simpson 3/8, para 3 segmentos, todas ellaspara intervalos cerrados. Existe tambien una regla del trapecio y de Simpson para nsubdivisiones, conocidas como reglas de segmentos multiples. El metodo que utilizare-mos es la regla de Simpson multiple, la cual, aunque mas laboriosa, nos proporcionauna mejor aproximacion que las reglas mencionadas anteriormente, incluso que la regladel trapecio multiple. La regla de Simpson multiple es∫ pn

p0

f(p)dp ≈ (pn − p0)

3n

f(p0) + 4

n−1∑j=1,3,5

f(pj) + 2n−2∑

j=2,4,6

f(pj) + f(pn)

, (3.12)

donde n es el numero de segmentos, que debe ser un numero par y la cual funcionapara intervalos cerrados. Como la transformada de Fourier tiene lımites infinitos, yesta regla funciona para lımites finitos, este problema se puede resolver con la siguienteformula, ∫ pn

p0

f(p)dp =

∫ 1p0

1pn

f(1t)

t2dt, (3.13)

para pnp0 > 0. Ası, si la transformada de Fourier la dividimos en tres intervalos ten-dremos de manera conveniente,∫ ∞

−∞=

∫ −1

−∞+

∫ 1

−1

+

∫ ∞1

. (3.14)

Para la integral con lımites finitos, aplicaremos (3.12), y para las integrales con algunlımite infinito, utilizaremos primero (3.13), y tendremos,∫ ∞

1

f(p)dp =

∫ 1

0

f(1t)

t2dt. (3.15)

En este tipo de casos, la regla de Simpson multiple, puede llegar a tener problemasde divergencia en el punto 0. El problema puede ser solucionado para un punto cercanoa cero, y la integral sera resuelta en el intervalo desde 1 a ς → 0, es decir,∫ 1

0

= lımς→0

∫ 1

ς

, (3.16)


donde el intervalo de integracion es semiabierto. Para este tipo de casos, podemosutilizar alguna regla de integracion numerica. Nosotros solo mostraremos una reglapara intervalos abiertos, ∫

abierta

f(p)dp ≈ (pn − p0)f(pj), (3.17)

que es conocida como la regla de punto medio, la cual funciona para intervalos abiertos,subdivididos en dos segmentos, donde pn y p0 es la frontera de tal intervalo, y pj elpunto medio en este.

Para intervalos semiabiertos, se puede encontrar una regla combinando, alguna reglapara intervalos cerrados con otra para intervalos abiertos, donde la regla para intervalosabiertos sera aplicada en la vecindad del punto donde el intervalo es abierto.

Ası, combinando la regla de Simpson multiple (para tener una mejor aproximacion),con la regla de punto medio, tenemos,

(pn − p0)

3n

4f(p1) + 4

n−1∑j=2,4,6

f(pj) + 2n−2∑

j=3,5,7

f(pj) + f(pn)

, (3.18)

la cual es utilizada, cuando el limite inferior es abierto, y

(pn − p0)

3n

f(p0) + 4

n−2∑j=1,3,5

f(pj) + 2n−3∑

j=2,4,6

f(pj) + 4f(pn−1)

, (3.19)

cuando el lımite superior es abierto. Aquı aplicamos la regla de punto medio en ellimite inferior y superior respectivamente, y para el resto del intervalo de integracionaplicamos la regla de Simpson multiple cerrada. Observamos que para estas reglas deSimpson semiabiertas, el numero de segmentos n debe ser un numero impar.

Ahora regresando a la solucion en el espacio de coordenadas de la ecuacion deSalpeter, como el coseno es funcion par, el seno y el arcoseno son impares, y acotadosen el intervalo −1 a 1, tenemos que (3.10) con ayuda de (3.13), puede ser reducido a,

ψ(x) = c

√2

π~

∫ 1

0

cos

xp~ −12mp

√p2

m2+ 1− pE + 1

2m2 arcsin( p

m)

eE~

dp

+c

√2

π~

∫ 1

0

1

t2cos

x(1t)

~−

12m(1

t)

√( 1t)2

m2 + 1− (1t)E + 1

2m2 arcsin

(( 1t)

m

)eE~

dt, (3.20)

puesto que la integral de la funcion seno se anulara en el intervalo (−∞,∞).

Podemos utilizar las reglas de integracion numerica (3.12) para la primera integral de(3.20), y debido al problema de divergencia, se utilizara (3.18) para la segunda integralde (3.20).

3.3. Solucion a la ecuacion con norma de tiempo propio 29

Ası la solucion aproximada de la ecuacion de Salpeter en el espacio de coordenadases,

ψ(x) = c

√2

π~[pn − 0

3 · n[cos

0x

~−

1

eE~

1

2m0

√1 +

02

m2− 0E +

1

2m

2arcsin

(0

m

)

+ 4

n2∑

j=1

cos

(

(2j−1)pnn

)x

~−

1

eE~

1

2m

((2j − 1)pn

n

)√√√√1 +

((2j−1)pn

n

)2m2

−(

(2j − 1)pn

n

)E +

1

2m

2arcsin

(2j−1)pnn

m

+ 2

n−22∑

j=1

cos

(

(2j)pnn

)x

~−

1

eE~

1

2m

((2j)pn

n

)√√√√1 +

((2j)pn

n

)2m2

−(

(2j)pn

n

)E +

1

2m

2arcsin

(2j)pnn

m

+ cos

pnx

~−

1

eE~

1

2mpn

√1 +

p2n

m2− pnE +

1

2m

2arcsin

(pn

m

)]

+tk − 0

3 · k[4(

1

(tkk

)2) cos

( 1

(tkk

)2)x

~−

1

eE~

1

2m(

1

(tkk

)2)

√√√√√1 +

( 1

(tkk

)2)2

m2− (

1

(tkk

)2)E +

1

2m

2arcsin

( 1

(tkk

)2)

m

+ 4

k−12∑

j=1

1( 2jtkk

)2 cos

1

2jtkk

x~

−1

eE~

1

2m

1

2jtkk

√√√√√√√

1 +

1

2jtkk

2

m2−

1

2jtkk

E +1

2m

2arcsin

1

2jtkk

m

+ 2

k−32∑

j=1

1( (2j+1)tkk

)2 cos

1

(2j+1)tkk

x~

−1

eE~

1

2m

1

(2j+1)tkk

√√√√√√√

1 +

1

(2j+1)tkk

2

m2−

1

(2j+1)tkk

E +1

2m

2arcsin

1

(2j+1)tkk

m

+1

t2k

cos

1

tkx

~−

1

eE~

1

2m

1

tk

√√√√1 +

(1

tk

)2m2

−1

tkE +

1

2m

2arcsin

1tk

m

]], (3.21)

En nuestro caso, escogeremos para la primera integral pn = 1 y n = 5002 subdivisioneso segmentos, y para la segunda tk = 1 y k = 5001.

3.3. Solucion a la ecuacion

con norma de tiempo propio

Para la solucion de la ecuacion con norma de tiempo propio en un campo electricoconstante (2.121), (2.122), (2.124), nosotros deseamos primero resolver esta ecuacionen el espacio de momentos. Ası, los operadores x y P tienen la siguiente forma,

PψP = PψP , xψP = i~∂

∂PψP ,

donde ψP es una funcion de onda en la representacion de momentos. Ası, de (2.120)tenemos

mc cosh

(P

mc

)ψP − q E i~

dψPdP

= E ψP .

La solucion es

ψP (P ) = c1ei

qE~ [E P−m2c2 sinh( Pmc)] , (3.22)

donde c1 es una constante de integracion.


Ahora, se llega a la solucion en la representacion de coordenados mediante la trans-formada inversa de Fourier

ψ(x) =1√2π

∫ ∞−∞

ei~P xψP (P ) dP ,

=c1√2π

∫ ∞−∞

ei~

[(x+ E

qE)P−m2c2

qEsinh( P

mc)]dP . (3.23)

Convenientemente introducimos los terminos

A :=1

~

(x+

E

qE

), B := −m

2c2

qE, C :=

1

mc,

y la solucion en forma compacta es

ψ(x) =c1√2π

∫ ∞−∞

ei [AP+B sinh(C P )] dP. (3.24)

La cual puede ser resuelta mediante la siguiente integral [10],∫ ∞−∞

eν sinh−1 z−i a z√

1 + z2dz =

2 e−

iνπ2 Kν(a) for a > 0

2 eiνπ2 Kν(a) for a < 0

[|Re ν| < 1], (3.25)

donde z = sinh(CP ).Tenemos ası que la funcion de onda en la representacion de coordenadas es

ψ(x) =c1√2π

1

C2 e

π2AC Ki A

C

(m2c2

qE~

)=

2c1mc√2π

eπ2mc~ (x+ E

qE)Ki mc~ (x+ EqE)

(m2c2

qE~

).

Finalmente

ψ(x) = Qeπ2mc~ (x+ E

qE)Ki mc~ (x+ EqE)

(m2c2

qE~

), (3.26)

donde hemos definido Q = 2c1mc√2π

por simplicidad, y escogemos a > 0 y q > 0. La

funcion Kν(z) es conocida como la funcion modificada de Bessel de segundo tipo.Verifiquemos que (3.26) es la respuesta correcta. Primero,

ψ

(x± i ~

mc

)= Qe

π2mc~ (x±i ~

mc+ EqE)Ki mc~ (x±i ~

mc+ EqE)

(m2c2

qE~

)= ±iQ e

π2mc~ (x+ E

qE)Ki mc~ (x+ EqE)∓1

(m2c2

qE~

).

Ası, sustituyendo la funcion de onda (3.26) en la ecuacion en diferencias (2.124)tenemos

ψ

(x+ i

~mc

)+ ψ

(x− i ~

mc

)= iQ e

π2mc~ (x+ E

qE)[Ki mc~ (x+ E

qE)−1 −Ki mc~ (x+ EqE)+1

]= iQ e

π2mc~ (x+ E

qE)[−2i (qEx+ E)

mc2

]Ki mc~ (x+ E

qE)

= (qE′ x+ E ′) ψ(x) ,

3.4. Graficas 31

donde hemos considerado la relacion de recurrenciaKν−1(z)−Kν+1(z) = − (2ν/z)Kν(z)donde Kν(z) es la funcion de Macdonald.

3.4. Graficas

En esta parte presentamos las graficas del modulo al cuadrado de las soluciones a lasecuaciones cuantico relativistas.

Figura 3.1: Klein-Gordon Figura 3.2: Salpeter

Figura 3.3: Tiempo propio


Por ultimo presentamos las graficas de la resta de los modulos al cuadrado de todaslas soluciones cuantico relativistas.

Figura 3.4: Klein Gordon-Tiempo Propio

Figura 3.5: Salpeter-Klein Gordon Figura 3.6: Salpeter-Tiempo Propio

Capıtulo 4

Cosmologıa cuantica

En este capıtulo presentaremos una breve introduccion a la cosmologıa cuantica yhablaremos de la gravedad cuantica como necesaria para la gran explosion. Posterior-mente presentamos el formalismo ADM el cual folia el espacio-tiempo en hipersuperfi-cies de tres dimensiones las que tienen una dinamica en un espacio-tiempo de cuatrodimensiones. Despues construiremos en forma similar a lo visto en el Capıtulo 2 laecuacion que nos dara la dinamica de estas hipersuperficies, la cual es conocida comola ecuacion de Wheeler-DeWitt. Finalmente consideraremos el minisuperespacio de deSitter, para el cual tambien construiremos un hamiltoniano, y que sera de gran utilidaden el siguiente capıtulo.

4.1. Cosmologıa cuantica 4-dimensional

La cosmologıa cuantica es la rama de la cosmologıa que describe los primeros instantesdel universo, durante los cuales el universo se considera como un objeto de compor-tamiento cuantico. Se tiene la idea de que en el origen del universo debio existir unasola interaccion, en la cual estaban unificadas las cuatro interacciones fundamentalesconocidas hasta la actualidad (gravitacional, electromagnetica, nuclear debil y nuclearfuerte). Las interacciones, se van unificando conforme aumenta la temperatura, ası enel tiempo actual de 1018s, la temperatura es de 3K en el universo y las cuatro intera-ciones estan separadas. En una epoca anterior a 10−12s despues del inicio del universo,donde se tiene 1015K tenemos la unificacion electrodebil. Antes de 10−35s, con 1026K,se tiene la gran unificacion o interaccion electronuclear, donde se adhiere la interaccionnuclear fuerte a la electrodebil. En la epoca anterior de 10−43s, con 1032K, se adhierela gravitacional con la de gran unificacion, y ası se tiene una sola interaccion unificadaque debe tener caracter cuantico y que existio en la vecindad del inicio del universo.Para formular una cosmologıa cuantica es necesaria una teorıa de gravedad cuanticaque unifique la relatividad general con la mecanica cuantica.

34 4. Cosmologıa cuantica

Figura 4.1: Descomposicion de la interaccion unificada en las cuatro interacciones fun-damentales con el paso del tiempo.

4.1.1. Crıtica de Bryce DeWitt sobre relatividad general y lanecesidad de una gravedad cuantica

La relatividad general predice su propia incapacidad de describir estados como losagujeros negros o la gran explosion, denominados singularidades, en los que la curvatu-ra del espacio-tiempo se hace infinita. La relatividad general resulta ser la herramientainadecuada para describir la evolucion del universo en una epoca ya anterior al tiem-po de Planck. Antes del tiempo de Planck las altas energıas y las distancias pequenasinvolucradas hacen que los efectos cuanticos del campo gravitatorio dejen de ser despre-ciables y se conviertan en ingrediente necesario para cualquier descripcion consistentey completa de la fısica del universo.

4.2. Formalismo ADM

El formalismo ADM fue desarrollado por R. Arnowitt, S. Deser y C. W. Misner ytomo su forma completa a principios de los anos 60. Este formalismo afirma que la to-talidad del espacio-tiempo se puede generar a partir de una foliacion en hipersuperficiesespaciales Σt, sin que estas se intersecten.

Cada hipersuperficie esta definida por un valor t = constante y representa al sistemaen un instante de tiempo determinado.

Un evento, en una hipersuperficie Σt0 , esta representado por un punto p. A este puntole corresponde un punto p′ en la hipersuperficie Σt0+dt, una vez que evoluciona el sis-tema, de tal forma que los dos puntos estan identificados. El punto p′ tiene las mismascoordenadas intrınsecas sobre la hipersuperficie Σt0+dt que el punto p en la hipersuper-ficie original Σt0 , pero sus coordenadas de espacio-tiempo son diferentes segun sea la

4.2. Formalismo ADM 35

funcion t.Si nuestras hipersuperficies son de 3-dimensiones [13], sumergidas en un espacio-

tiempo de 4-dimensiones, entonces de la (Figura 4.2) el vector normal nµ a estas hiper-superficies debe ser no nulo:

nµnµ = ε = ±1. (4.1)

Las componentes de estos vectores son:

nµ = (0, 0, 0, εN), nµ = (−N i/N, 1/N), (4.2)

donde los ındices griegos corren de 1 a 4, los ındices latinos corren de 1 a 3, ası tenemosque la funcion de lapso sera N = (−g00)−1/2 y el vector de corrimiento Ni = hijhj0.

Figura 4.2: Foliacion ADM

La metrica para la hipersuperficie se escribe entonces como

dl2 = hijdxidxj, (4.3)

y la metrica para el espacio-tiempo por [11]

ds2 = gαβdxαdxβ = hij(dx

i +N idx4)(dxj +N jdx4) + ε(Ndx4)2, (4.4)

donde el tensor metrico inverso es

gαβ =1

N2

(hij + εN iN j −εN i

−εN j ε

), (4.5)

y hijhjk = δki , y Ni = hijN

j.


Con la ayuda del tensor de proyeccion hαβ = gαβ−nαnβ, el cual tiene las propiedades

hαβhβγ = hαγ, hαβn

α = 0, hij = gij, hij = gij, h4β = 0, (4.6)

podemos descomponer cualquier tensor en sus componentes paralelo o perpendicular ael vector normal a la hipersuperficie. Ademas

√−g = N

√h, donde g es el determinante

de la metrica gab.El tensor de curvatura de Riemann esta dado por

Rrmsq = Γrmq,s − Γrms,q + ΓrnsΓ

nmq − ΓrnqΓ

nms, (4.7)

donde Γrmq son los simbolos de Christoffel, y ”, s”significa la derivada con respecto a lacoordenada xs.

Las propiedades del tensor de curvatura son,

Ramsq = garRrmsq

Ramsq = −Rmasq = −Ramqs = Rmaqs,

Ramsq = Rsqam. (4.8)

Podemos obtener el tensor de Ricci por contraccion,

gsaRamsq = Rsmsq = −Rs

mqs = Rmq, (4.9)

y el escalar de curvatura comogqmRmq = R. (4.10)

En la variedad espacio-tiempo, foliado por hipersuperficies, tendremos un tensor decurvatura para el espacio-tiempo 4Rαβµν , un tensor de curvatura intrınseco para lahipersuperficie 3Rijkl, y un tensor de curvatura extrınseca,

Kij =1

2N

(Nj||i + Ni||j −

dhijdτ

), (4.11)

La cual describe la evolucion de la hipersuperficie espacial embebida en el espacio-tiempo, donde ”||k”denota la derivada covariante con respecto a la coordenada xk.

4.3. Desarrollo hamiltoniano de

la relatividad general

La geometrodinamica cuantica de Wheeler-DeWitt esta basada en la cuantizacioncanonica de sistemas con constricciones. El primer paso es reescribir la accion deEinstein-Hilbert en la forma hamiltoniana.

La accion en relatividad general con constante cosmologica es

S =1

16πG

∫d4x√−g(

4R− 2Λ)

(4.12)

4.3. Desarrollo hamiltoniano de la relatividad general 37

o

S =

∫dtL =

1

16πG

∫dtd3xN

√h(KijK

ij −K2 +3 R− 2Λ), (4.13)

donde: G es la constante de Newton, 4R es el escalar de Ricci en la variedad espacio-tiempo, Λ es la constante cosmologica, g es el determinante de la metrica en la variedadespacio-tiempo, 3R es el escalar de Ricci en la hipersuperficie espacial Σt, h es eldeterminante de la metrica intrınseca en la hipersuperficie espacial Σt, y K = hijKij.

Siguiendo el formalismo lagrangiano, podemos encontrar de (4.13) los siguientes mo-mentos canonicos

πij =∂L

hij= −2GijklKkl = −

√h

16πG

(Kij − hijK

), (4.14)

π0 =∂L

N= 0, (4.15)

πi =∂L

Ni

= 0, (4.16)

donde L es la densidad lagrangiana y Gijkl = (hikhjl + hilhjk − hijhkl) /4√h es la

supermetrica de DeWitt [12].

Ahora el hamiltoniano sera,

H =

∫d3x

(π0N + πiNi + πijhij

)− L, (4.17)

o en terminos de una densidad hamiltoniana

H =

∫d3xNµHµ, (4.18)

donde

H0 = H⊥ =1

2Gijklπ

ijπkl −√h(

3R− 2Λ), (4.19)

Hi = −2hik∇lπkl. (4.20)

La cantidad Hi describe la dinamica en la hipersuperficie Σt, H⊥ describe la dinamicaentre las hipersuperficies Σt y Σt+d∆t.

La funcion de lapso y el vector de corrimiento no estan determinados. Cuando queremosque la accion sea estacionaria bajo una variacion arbitrarıa de N y Ni, la constricciondel momento y del hamiltoniano son obtenidas:

H⊥ = 0 (4.21)

Hi = 0. (4.22)


4.3.1. Cuantizacion en relatividad general(Ecuacion de Wheeler-DeWitt)

La realizacion de la cuantizacion canonica sera mediante el procedimiento de Dirac,el cual consta de remplazar los momentos por operadores derivadas,

πij → i~∂

∂hij(4.23)

π0 → i~∂

∂N(4.24)

πi → i~∂

∂Ni

. (4.25)

Ası del hamiltoniano (4.21), tendriamos un operador hamiltoniano

HΨ = ~2 ∂2

∂hij∂hklΨ +

√h

16πG

(3R− 2Λ

)Ψ = 0, (4.26)

que es la ecuacion de Wheeler-DeWitt.

4.4. El minisuperespacio de de Sitter

El espacio de de Sitter es una solucion a las ecuaciones de Einstein con constantecosmologica. El minisuperespacio se define por ser el espacio de las posibles topologıasy tener un solo grado de libertad. Nosotros queremos encontrar la lagrangiana parael minisuperespacio de de Sitter, esto se puede lograr, trabajando sobre el tensor decurvatura para un solo grado de libertad.

Para la metrica del espacio tiempo (4.4), con el caso especial (N i = 0), tenemos elsiguiente conjunto de ecuaciones [13],

Kij = −hij,4/2N4Rijkl = 3Rijkl + ε(KjkKil −KjlKik)4R

4jkl = ε(Kjl||k −Kjk||l)/N

4R4j4l = εKjl,4/N −N,j||l/N + εKijK

ij. (4.27)

Ahora para ε = −1, [14]tenemos que el tensor de Ricci en el espacio-tiempo es,

4Rβν = (hµα − nµnα)4Rαβµν = 4R4β4ν + hik4Riβkν , (4.28)

y que el escalar de curvatura en el espacio-tiempo sera,

4R = gβν4Rβν = gβν4R4β4ν + gβνhik4Riβkν

= 4R44 + (hβν − nβnν)hik4Riβkν

= 4R44 + hik(4R

4i4k + hjl4Rjilk). (4.29)

4.4. El minisuperespacio de de Sitter 39

Ahora para la metrica FRW

ds2 = a2(ct)dσ2 − c2dt2 = hijdxidxj − c2dt2, (4.30)

y empleando (4.27) tenemos el siguiente conjunto de ecuaciones,

Kij = − aahij,

4R4jkl = 0,

4R4j4l =

a

ahjl,

4Rijkl = 3Rijkl −a2

a2(hjkhil − hjlhik), (4.31)

donde a es el factor de escala.El tensor de curvatura intrınseca esta dado por

3Rijkl =κ

a2(hikhjl − hjkhil), (4.32)

Con κ = ±1. Ası el escalar de curvatura en el espacio-tiempo se escribe,

4R = 6a

a+ 6

a2 + κ

a2. (4.33)

Ahora si consideramos la siguiente metrica [16,17]

ds2 = −dt2 + a2 dΩ23, (4.34)

donde dΩ23 = dr2 + sin2 r(dθ2 + sin2 θdφ2) es la metrica sobre la 3-esfera unitaria,

entonces se encuentra que la accion con constante cosmologica es,

S1 =

∫Ldt =

∫ √−g(4R− 2Λ)dt =

∫N√h(4R− 2Λ)dτ

= 6 sin2 r sin θ

∫N

(d

dt(a2a)− aa2 + κa− Λa3

3

)dτ. (4.35)

Ahora antes de seguir, consideremos primero las siguientes acciones,

S1 =

∫Ldt, y S2 =

∫ (L+

dF

dt

)dt, (4.36)

donde L es la misma lagrangiana para S1 y S2 y F es una funcion dependiente deltiempo. Entonces, de esta forma nosotros tenemos que las ecuaciones de movimientoson las mismas tanto para S1 como para S2. Ası podemos considerar la accion,

S2 = 6 sin2 r sin θ

∫N(−aa2 + κa− Λa3

3)dτ, (4.37)

y como tenemos una curvatura positiva y N = 1, nuestra accion final tendra la siguienteforma,

S = 6 sin2 r sin θ

∫(−aa2 + a− Λa3

3)dτ. (4.38)


Entonces para esta accion la lagrangiana es,

L = a(1− a2

)− Λ

3a3, (4.39)

y el hamiltoniano lo podemos obtener de la relacion L = paa−H, ası,

H =

(p2

4a+ a

)− Λ

3a3, (4.40)

ahora con p→ i~ ∂∂a

tenemos la ecuacion de Wheeler-DeWitt para el minisuperespacio,

HΨ =

(−~2

4a

∂2

∂2aΨ + aΨ

)− Λ

3a3Ψ. (4.41)

Capıtulo 5

Creacion del universo de la nada

En este capıtulo final, se discute la propuesta de Alexander Vilenkin [18], para lacreacion del universo, donde se considera que las leyes de la fısica son las mismas encualquier momento incluyendo el momento del nacimiento del universo. Segun dichapropuesta, el universo nace gracias a un efecto de tunelamiento cuantico, haciendouna analogıa de este fenomeno con los sistemas cuantico-relativistas de un potencialelectrico lineal en diferentes normas. Vimos en las secciones anteriores estos sistemasdonde se obtuvieron sus respectivas ecuaciones de evolucion, las cuales seran utilespara describir la analogıa del universo, donde los parametros del sistema electrico seransustituidos por los parametros del sistema cosmologico, y esto ultimo se logra graciasa considerar al universo como un minisuperespacio de de Sitter.

5.1. Propuesta de Alexander Vilenkin

El modelo cosmologico propuesto por Vilenkin consiste en que el universo es creadopor un tunelamiento cuantico literalmente de la nada en un espacio de de Sitter [18].Despues del tunelamiento, el modelo evoluciona a lo largo del escenario inflacionario.

El modelo cosmologico estandar caliente da una descripcion de muchas de las carac-terısticas de la evolucion del universo. Sin embargo, no es totalmente satisfactoria, yaque requiere condiciones iniciales bastante antinaturales en la gran explosion. Uno tieneque postular que el universo se ha iniciado en un estado homogeneo e isotropo con unapequena densidad de fluctuaciones que han de convertirse en galaxias, homogenidad yla isotropıa se extienden a escalas muy por encima del horizonte causal en el tiempode Planck. Ademas, la densidad de energıa del universo debe ser ajustada para estarcerca de la densidad crıtica con una increıble exactitud de ∼ 10−55.

En los ultimos anos existe una creciente esperanza de explicar estas condiciones ini-ciales como resultado de los procesos fısicos en el universo primitivo. Guth [?] hasugerido que la homogeneidad, isotropıa y planicidad se pueden resolver si el universopaso atraves de una fase de de Sitter de expansion exponencial (inflacion) en su his-toria temprana. (a(t) ∝ exp(Ht)) Esta fase puede surgir en una fase de transicion deprimer orden con un fuerte superenfriamiento. Se ha sugerido [19–21] que el extremosuperenfriamiento puede ocurrir en modelos de gran unificacion tipo Coleman - Wein-

42 5. Creacion del universo de la nada

berg de ruptura de simetrıa. Inicialmente no esta claro como poner fin a la expansionexponencial y volver a un universo dominado por radiacion.

Nosotros nos preguntamos que paso al principio de la inflacion o antes de esta. Hayuna singularidad cosmologica en t = 0 y el origen del estado inicial es misterioso.Ademas, existe otro problema, si suponemos que el universo es cerrado (que parece seruna opcion bastante atractiva). Es natural suponer que en el tiempo de Planck (t ∼ tp)el tamano y la densidad de energıa del universo son O(1) en unidades de Planck. Peroentonces el universo se expandira y recolapsara en alrededor de un tiempo de Planck,su tamano serıa no muy superior a la longitud de Planck, y la fase de expansionexponencial nunca serıa alcanzado. Con el fin de enfriar al universo a temperaturas∼ 1014GeV , la densidad de energıa en t ∼ tp debe estar cerca de la densidad crıtica,con una precision de ∼ 10−10. Esto es solo una ligera version del mismo problema deplanicidad.

Alexander Vilenkin, ha considerado un nuevo escenario cosmologico en el que el uni-verso es literalmente creado a partir de la nada en forma espontanea [18], y que esta librede las dificultades que fueron mencionadas en el parrafo anterior. Este escenario no re-quiere cambios en las ecuaciones fundamentales de la fısica, sino que solo da una nuevainterpretacion a una conocida solucion cosmologica.

Vamos a considerar un modelo de interaccion gravitacional y materia. El contenidode materia del modelo se puede tomar para que se de alguna teorıa de gran unificacion(GUT). El mınimo absoluto del potencial efectivo se alcanza cuando el campo de Higgsφ, responsable para romper la simetrıa GUT, adquiere un valor de expectacion del vacıo,〈φ〉 = σ << mp. El estado simetrico de vacıo, 〈φ〉 = 0, tiene una densidad de energıadistinto de cero, ρv. Para un potencial Coleman-Weinberg,

ρv ∼ g4σ4, (5.1)

donde g es la constante de acoplamiento.Supongamos que el universo comienza en el estado simetrico de vacıo y es descrito

por una metrica cerrada de Robertson-Walker.

ds2 = dt2 − a2(t)[dr2

(1− r2)+ r2dΩ2]. (5.2)

El factor de escala a(t) se puede encontrar a partir de la ecuacion evolucion.

a2 + 1 =8

3πGρva

2, (5.3)

donde a = da/dt. La solucion de esta ecuacion es el espacio de de Sitter,

a(t) = H−1 cosh(Ht), (5.4)

donde H = (8πGρv/3)1/2. Esto describe un universo que se contrae en t < 0, alcanza sumınimo tamano (amin = H−1) en t = 0, y se esta expandiendo en t > 0. Este compor-tamiento es similar al de una partıcula rebotando frente a una barrera de potencial ena = H−1 (aquı a juega el papel de la coordenada). Sabemos que en mecanica cuanticalas partıculas pueden tunelar a traves de una barrera de potencial. Esto sugiere que

5.1. Propuesta de Alexander Vilenkin 43

el nacimiento del universo podrıa ser un efecto de tunelamiento cuantico. Entonces,el universo ha surgido con un tamano finito (a = H−1) y ”velocidadcero (a = 0); susiguiente evolucion es descrito por la ecuacion (5.4) con t > 0.

Sidney Coleman [22] ha mostrado que una descripcion semiclasica de tunelamientocuantica viene dada por la solucion de rebote de las ecuaciones de campo Euclideanas(esto es, de las ecuaciones de campo con t cambiado a −it). Normalmente, las solucionesde rebote se utilizan para describir el decaimiento de un estado cuasiestable. Si el estadoesta decayendo en la parte inferior de un potencial en x = x1, entonces la solucion defrontera empieza con x = x1 en t → −∞, rebota en el punto clasico de inflexion alfinal de la barrera, y vuelve a x = x1 en t→ +∞.

La version euclideana de la ecuacion (5.3) es −a2 + 1 = H2a2, y su la solucion es

a(t) = H−1 cos(Ht). (5.5)

Las ecuaciones (5.2) y (5.5) describen una 4-esfera, S4. Esta es el instanton de deSitter. La solucion (5.5) regresa en el punto clasico de retorno (a = H−1). Sin embargo,no se aproxima a cualquier estado inicial t→ ±∞. De hecho, S4 es un espacio compacto,y la solucion (5.5) se define solo para |t| < π/2H. El instanton (5.5) puede interpretarsecomo la descripcion del tunelamiento en el espacio de de Sitter (5.4) de la nada. Luego,el nacimiento del universo esta representado simbolicamente en la Figura 5.1.

Figura 5.1: Nacimiento del universoinflacionario

Figura 5.2: Creacion de pares en un campoelectrico

Debido a que el concepto del universo que se crea a partir de nada es considerado una“locura”, Vilenkin propone para ayudar al lector con este concepto, dar un ejemplo deun instanton compacto en un ambiente mas familiar. Vamos a considerar la creacionde pares electron-positron en un campo eletrico constante E. Para simplificar, vamosa trabajar en un espacio-tiempo (1 + 1) − dimensional. La ley de conservacion de laenergıa para el electron es

m(1− v2)−1/2 − eEx = const, (5.6)

donde v = dx/dt, m y e son la velocidad, la masa y la carga del electron, respectiva-


mente. La solucion de la ecuacion (5.6) es

x− x0 = ±[κ2 + (t− t0)2]1/2, (5.7)

donde κ = |m/eE| y x0, t0 son constantes. Los puntos clasicos de retorno son enx = x0±κ. La solucion instanton que describe la creacion de un par se obtiene a partirde ecuacion (5.7) por el cambio de t a −it:

(x− x0)2 + (t− t0)2 = κ2. (5.8)

Esto describe una trayectoria circular, es decir, de nuevo tenemos un instanton com-pacto. El proceso de produccion de pares es simbolicamente representado en la Figu-ra 5.2. AB y DE son trayectorias clasicamente permitidas. AB describe un electronretrocediendo en el tiempo, que es un positron. El semicırculo BCD representa alinstanton (5.8). La solucion de instanton (5.8) puede ser usado para estimar la proba-bilidad semiclasica P , de creacion de par por unidad de longitud por unidad de tiempo:P ∝ exp(−SE), donde SE es la accion euclideana,

SE =

∫[m(1 + x2)1/2 − eEx]dt. (5.9)

Introduciendo una nueva variable, φ, de acuerdo con x−x0 = κ cosφ, t− t0 = κ sinφ,encontramos

SE =m2

|eE|

∫ 2π

0

sin2 φdφ =πm2

|eE|, (5.10)

de modo que P ∝ exp(−πm2/|eE|), el cual es un resultado conocido.Por supuesto, la evaluacion de la probabilidad P es posible porque la creacion de la

pareja tiene lugar en un espacio de fondo plano. La solucion de instanton contribuye ala parte imaginaria de la energıa del vacıo. Este calculo no tiene sentido para nuestroinstanton de de Sitter: es absurdo evaluar la parte imaginaria de la energıa de la na-da. La unica cuestion pertinente es la creacion espontanea del universo. La existenciadel instanton (5.5) sugiere que esto puede pasar. Si uno asume que el instanton conel menor valor de SE corresponden, en cierto sentido, a la mayorıa de los universosposibles, entonces la mayorıa de los universos nunca tendrıan una temperatura mayorde 100 GeV y practicamente tendriamos la desaparicion de numeros barionicos. Obvi-amente, tenemos que vivir en uno de estos raros universos que nacieron por medio deltunelamiento del estado simetrico de vacıo.

5.1.1. Condiciones sobre las ecuaciones cuanticas para poderser aplicadas a la Cosmologıa

En esta seccion veremos que las ecuaciones cuanticas para fenomenos relativistasobtenidas en el Capıtulo 2, son las requeridas para describir la dinamica de la analogıapropuesta por Vilenkin.

En la analogıa para la creacion del universo, hablamos de una creacion electron-positron, en un campo electrico constante, donde no se considera el espın en tal

5.2. Ecuaciones tipo Klein-Gordon y ecuaciones tipo Schrodinger 45

fenomeno, de esta forma las ecuaciones obtenidas del Capıtulo 2, sı satisfacen la dinami-ca de tal fenomeno.

Ahora la probabilidad de creacion puede ser calculada mediante la accion relativistaSE vista con anterioridad, esto no es ajeno a las ecuaciones del Capıtulo 2, ya quemediante el formalismo de Dirac, estas ecuaciones fueron obtenidas de la misma accionSE.

Las ecuaciones son apropiadas para la creacion del par, con un campo electrico cons-tante, que es la analogıa de la creacion del universo, vista en la Figura 5.2. En lasiguiente seccion veremos cuales ecuaciones son mas convenientes para la aproximaciondel fenomeno de la creacion del universo de la nada.

5.2. Ecuaciones tipo Klein-Gordon

y ecuaciones tipo Schrodinger

En la literatura se ha comentado mucho acerca de los problemas de la ecuacion deKlein-Gordon [12], el principal de estos problemas es que no da una evolucion temporalunica. Al ser de segundo orden en ∂t, los valores de la funcion de onda en t0, Ψ(x, t0)no determinan unıvocamente Ψ(x, t). Para resolver este problema varios autores hanconsiderado mejor, utilizar la ecuacion de Salpeter, ya que esta si es de primer ordenen su derivada temporal y tambien funciona con partıculas sin espın, al igual que laecuacion de Klein-Gordon.

El desarrollo de la cuantizacion canonica para un universo de Friedmann-Robertson-Walker, nos conduce a una ecuacion tipo Schrodinger, la cual es la ecuacion de Salpeter,con una sola coordenada canonica la cual es el factor de escala. La ecuacion tipoSchrodinger dependiente del tiempo, debe tener solo derivada temporal de primer orden

i~∂Ψ

∂t= HΨ, (5.11)

donde la H es un hamiltoniano raız cuadrada. Esto requiere una definicion medianteel teorema espectral, asumiendo que la raız cuadrada es tomada sobre un operadorautoadjunto definido positivo.

La aproximacion a la ecuacion de Wheeler-DeWitt conducirıa, en vez de (5.11), a laecuacion de segundo orden

−~2∂2Ψ

∂t2= H2Ψ, (5.12)

que es una ecuacion tipo Klein-Gordon, la cual en el caso mas general no es equivalentea (5.11). En realidad, actuando el operador H en ambos lados de la ecuacion de tipoSchrodinger el resultado obtenido es

−~2∂2Ψ

∂t2− i~∂H

∂tΨ = H2Ψ, (5.13)

la cual nos dice que las soluciones de (5.11) y (5.12) entonces seran diferentes, a no serque el potencial en el hamiloniano raız cuadrada no dependa de la variable definida


como el tiempo. En el caso de que H dependa del tiempo, se tendrıa que trabajarcon la complicada raız cuadrada de H, para encontrar una solucion. En el caso que Hconmute en diferentes tiempos, la integracion de (5.11) produce

Ψ(x, t) = exp

(− i

~

∫ t

t0

H(s)ds

)Ψ(x, t0), (5.14)

Una descomposicion en terminos de eingenestados ΨE(x, t) puede ser dado por

ΨE(x, t) = exp

(− i

~

∫ t

t0

E(s)ds

)ΨE(x, t0), (5.15)

y donde ΨE(x, t0) es una solucion de la ecuacion,

H2(x, t0)ΨE(x, t0) = E2ΨE(x, t0). (5.16)

Aquı no hay ningun problema con el cuadrado del hamiltoniano porque esta es unaecuacion de valor propio para un tiempo fijo t0. Una vez que una solucion definida esobtenida, entonces puede darse un significado fısico porque el correspondiente productointerno es bien definido, que no es el caso para la ecuacion de tipo de Klein-Gordon(5.12).

5.3. Aplicacion a la cosmologıa

Queremos dar ahora a nuestras ecuaciones de tipo Schrodinger un sentido mas cos-mologico, y que sean apropiadas para el fenomeno de la figura (5.1), el cual modela lacreacion del universo. Hasta ahora las ecuaciones solo han sido expresadas en termi-nos del fenomeno electrico(x− coordenada,E− campo electrico), y para el fenomenocosmologico, deben estar expresadas en terminos de Λ. Esto no es tan directo, primerodebemos tener una lagrangiana similar a la obtenida en el ?? para el minisuperespaciode de Sitter, ası para un grado de libertad q tenemos

Kij = −q√q

2Nhij,

4R4jkl = 0,

4R4j4l =

q

2N2hjl,

4Rijkl = 3Rijkl −q2

4N2q(hjkhil − hjlhik), (5.17)

3Rijkl =κ

q(hikhjl − hjkhil), (5.18)

4R = 6q

2N2+ 6

q2

4N2q+ 6

κ

q, (5.19)

5.3. Aplicacion a la cosmologıa 47

donde dΩ23 = dr2 + sin2 r(dθ2 + sin2 θdφ2) es la metrica sobre la 3-esfera unitaria,

entonces vamos a tener que nuestra accion con constante cosmologica es,

S =

∫ √−g(4R− 2Λ)dt =

∫N√h(4R− 2Λ)dτ

= 6 sin2 r sin θ

∫1

N√q

(d

dt(q3/2q)− 1

2

√qq2 +

√qN2 − Λq3/2N2

3)dτ, (5.20)

y la lagrangiana sera [23],

Lq =

(− q2

2N+N − Λ

3qN

), (5.21)

y su momento conjugado

pq = − q

N. (5.22)

Ası nuestro hamiltoniano es

H′ =pq q − LN

=

(− q2

N2− 1 +

Λ

3q

), (5.23)

pero convenientemente utilizaremos el hamiltoniano

H⊥ = p2q + 1− Λ

3q, (5.24)

que es una ecuacion de tipo Schrodinger, la cual tambien satisface el minisuperespaciode de Sitter.

Para poder expresar en terminos cosmologicos tanto a la ecuacion de Salpeter comola de tiempo propio, debemos darles a las dos ecuaciones la forma a la subsecuenteecuacion tipo Schrodinger eq:H(q,lambda), esto lo podemos lograr, expandiendo enserie de potencias tanto la ecuacion de Salpeter como la de tiempo propio.

Tenemos que para el caso Salpeter,√p2 +m2c2 − eEx = cm− eEx+

p2

2cm+O[p4], (5.25)

y para el caso de tiempo propio

(mc) cosh( p

mc

)− eEx = cm− eEx+

p2

2cm+O[p4]. (5.26)

Considerando p mc, los terminos de p4 en adelante, no seran tomados en cuenta.Ası haciendo la analogıa de estas ecuaciones en cosmologıa, tendriamos las siguientesrelaciones,

x → q

cm → 1

p →√

2pq

eE → Λ

3, (5.27)


Ası nuestras ecuaciones cuantico relativistas pueden satisfacer el modelo de la Figu-ra 5.1, donde el universo es creado mediante un tunelamiento cuantico.

Estas dos ecuaciones, son utiles para describir fenomenos cuantico relativistas sinespın, y en terminos del lenguaje de la relatividad, decimos que la ecuacion de Salpeter,al ser obtenida por la fijacion de la norma de Minkowski, serıa utilizada por un obser-vador para describir la evolucion cuantica del Universo desde un marco de referenciainercial diferente al marco propio del Universo. La ecuacion que involucra al cosenohiperbolico, al ser obtenida por la fijacion de la norma de tiempo propio, serıa utiliza-da por un observador para describir la evolucion cuantica del Universo desde el marcode referencia propio del universo.

Aunque se ha utilizado el concepto marco de referencia inercial en esta tesis, si uti-lizaramos los terminos de sistema interno y sistema externo, podriamos decir que laecuacion de Salpeter es utilizada para un observador (atomo, animal, Dios, humano,etc) que se encuentra fuera del universo, y la ecuacion de tiempo propio, es para unobservador dentro del universo. Si es ası, con estos terminos, a simple vista no tenemosproblema con la posibilidad de que exista y como serıa un observador interno del uni-verso, pues como ejemplo seriamos nosotros mismos, pero ¿que?, ¿como?, ¿cual serıaun observador externo al universo?, nuevamente, un porque la fısica es atractiva, esque apenas estamos, ya no resolviendo un cumulo de interrogantes, sino tratando deresolver una interrogante de tantas, y nos encontramos con mas preguntas.

Como comentario adicional, tomando encuenta la teorıa de Kaluza-Klein, y los mode-los como el Randall-Sundrum [24], que tratan sobre dimensiones extras, podemos tenerun objeto de cierta dimension, que puede estar contenida en un objeto de dimensionmayor. En esta forma podemos considerar sistemas de referencıa externos.

Nosotros nos quedaremos por el momento, en esta tesis, considerando al universocomo un sistema cuantico en diferentes marcos de referencia inerciales.

Conclusiones

En este trabajo se reviso el formalismo de cuantizacion canonica en sistemas conconstricciones. Aplicamos la cuantizacion canonica, desarrollada por Dirac y tuvimoscomo resultado la ecuacion de Klein-Gordon. Posteriormente para este mismo sistemafijamos la norma de tiempo de Minkowski, y la norma de tiempo propio y aplican-do nuevamente la cuantizacion canonica, obtuvimos respectivamente, la ecuacion deSalpeter y la ecuacion de tiempo propio. Se encontro por primera vez una solucionanalitica para la funcion de onda en la norma de tiempo propio con potencial lineal, yse encontro por primera vez una expresion aproximada para la solucion de la ecuacionde Salpeter con potencial lineal. Consideramos que el universo fue creado por un efectode tunelamiento cuantico, esto es que la funcion de onda del universo, incide en unabarrera de potencial, y al atravesarla se crea el universo. La ecuacion de Salpeter yla ecuacion de tiempo propio fueron aplicadas a la cosmologıa, mas especificamentefueron aplicadas a la creacion del universo.

Fue posible obtener las ecuaciones tengan un caracter parecido a la ecuacion deSchrodinger, es decir, que su derivada temporal fuera de primer orden. Observamosque la ecuacion de Salpeter, como la de norma de tiempo propio, si cumplıan con estacaracterıstica. Tambien observamos que otro requerimiento que debıan cumplir talesecuaciones, era que debıan ser construidas a partir de la accion relativista. Finalmentebuscamos que los parametros de estas ecuaciones tengan una correspondencia con losparametros de un hamiltoniano tipo Schrodinger, obtenido a partir de considerar aluniverso como un minisuperespacio de de Sitter. Las ecuaciones de Salpeter y de nor-ma de tiempo propio cumplen con estos requisitos, ya que fueron construidas a partirde la accion relativista. Al hacer un desarrollo de Taylor en las dos ecuaciones, se ob-tiene una correspondencia con la ecuacion de Schrodinger para el minisuperespacio dede Sitter. Tambien se pudo identificar la analogıa que tenıa cada termino cosmologicocon la creacion pares.

Finalmente, comentamos que la ecuacion de norma de tiempo propio es util paradescribir la dinamica del universo como sistema cuantico, desde su propio marco dereferencia. La ecuacion de Salpeter describe la dinamica desde el marco de referencia,del espacio de fondo.

50 Conclusiones

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CUANTIZACION CAN ONICA EN LA CREACION DEL UNIVERSO

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