CUATRO METODOS Y SU APLICACIN A LA DUPLICACION DEL CUBO RODOLFO A. NIEVES RIVAS fesol7luzley@gmail.com RESUMEN En esta investigacin se presentan cuatro mtodos de construccin geomtrica con el uso de la regla sin marcas y el comps; con los cuales se logra la obtencin y determinacin de la raz cubica de dos; luego se realiza un anlisis descriptivo de los resultados obtenidos de su aplicacin a la duplicacin del cubo y se concluye con la conjugacin de estos cuatro mtodos en la demostracin de la duplicacin del cubo. Palabras claves: Mtodos de construccin; duplicacin del cubo; conjugacin

ABSTRACT We present in this research four geometric construction methods by using straightedge and compass in order to obtain and determine the cubic root of two. After that, we made a descriptive analysis of the obtained results of its application to the duplication of the cube and finally we conclude with the conjugation of these four methods on the proof of the duplication of the cube. Keywords: Construction methods, duplication of the cube, conjugation Introduccin

Para poder demostrar que un mtodo de construccin con el uso de la regla sin marcas y el comps.(Perez,Sanz.2007) permite duplicar un cubo.(Biosca,F.1961), solo es necesario y suficiente que con dicho mtodo se logre construir la raz cubica de dos o de cuatro partiendo de un segmento dado que represente la unidad; Este es el objetivo de esta investigacin y para llegar a este resultado se utilizan los cuatro mtodos siguientes: a) Mtodo por iteracin para la interpolacin y extrapolacin de (n) medios geomtricos por reflexin perpendicular; b) Mtodo por iteracin para la interpolacin y extrapolacin de segmentos proporcionales en forma horizontal.(Nieves.R.2007); c) Mtodo por iteracin para la interpolacin y extrapolacin de segmentos proporcionales en forma de espiral.(Nieves.R.2007); d) Mtodo por iteracin para la interpolacin y extrapolacin de (n) medios geomtricos. Todos estos mtodos cumplen con la funcin de establecer las condiciones y consistencias requeridas para abordar este tema que es considerado imposible de resolver segn algunos autores. (Varios.1979)(Chambadal.1984). (Perez,A.2000)

Metodologa: Para el anlisis descriptivo dentro del desarrollo de cada construccin geomtrica para los cuatro mtodos, se utiliza la tcnica de la heurstica (Polya.2002); apoyada en algunos resultados establecidos de la Geometra Euclidiana. (Coxeter.1971) y para el Diseo de las figuras se utiliz el programa Geogebra.

Mtodo para la interpolacin y extrapolacin de (n) medios geomtricos por reflexin perpendicular:

Figura: 1 (Datos Propios)

Demostracin: Si:

:: AD : AN : AS : AE 1 21/3

Donde: AD = AN =

AS = 41/3 AE = 81/3 Entonces: AE / AS = AS / AN = AN / AD = 21/3 Cuando: IE / FD = IE / GE = AE / AD = 81/3 OE / MN = AS / AD = OE / GE = 41/3 KE / RS Donde: = KE / GE = AN / AD = 21/3 = 1

GE = FD = MN = RS = AD

Mtodo para la interpolacin y extrapolacin de segmentos proporcionales de forma horizontal

Figura 2:(Datos Propios)

Demostracin: AE = 11/3 FG = 21/3 HI = 41/3 JK = 81/3 El cubo dado La duplicacin del Cubo dado La cuatriplicacin del Cubo dado La Octiplicacin del Cubo dado

Conjugacin de los mtodos en espiral y el de medios geomtricos por reflexin perpendicular.

Figura 3:(Datos Propios)

Demostracin: Si: DE = 1 Cuando: EV = 2 Entonces: Cuando:

Mtodo para la obtencin de segmentos proporcionales por interpolacin y extrapolacin de medios geomtricos. Figura 4:(Datos Propios)

Demostracin: Si: KA / OP = AE / PE Entonces: KA.PE = OP.AE Si: LE / RN = AE / AN Entonces: LE.AN = RN.AE Donde: AE = 2

Cuando: OP = RN = 1 Para: AN = KA = 41/3

Cuando: LE = PE = 21/3

Conjugacin de los cuatro mtodos de interpolacin horizontal y en espiral con el de medios geomtricos y el de reflexin perpendicular.

Figura 5:(Datos Propios)

Anlisis de resultados; Discusin y Conclusin:

Una vez presentados los resultados anteriores y realizadas las demostraciones correspondientes de cada uno y quedando confirmada la efectividad para la lograr el objetivo planteado se concluye que la duplicacin del cubo se puede abordar con la utilizacin de estos cuatro mtodos y la tcnica de la heurstica. As como proponer el estudio y aplicacin de los mismos.

El Teorema de los Tres Puntos de Legendre y El Teorema de Altura de Euclides Aplicados a la Duplicacin del Cubo

Figura 6:(Datos Propios)

Mtodo de interpolacin y extrapolacin de segmentos proporcionales por iteracin en forma horizontal. Figura 7: (Datos Propios)

2o

21

22

23

2n

Generalizacin del mtodo en forma de Espiral y demostracin con el Teorema de Altura de Euclides

Figura 8: (Datos Propios)

Mtodo para la obtencin de segmentos por interpolacin y extrapolacin de ( n ) medios geomtricos

Figura 9: (Datos Propios)

Referencias bibliogrficas [1] Biosca,F.M. Aritmetica, Algebra y Geometria.1961.Enciclopedia Labor. Ed. Labor. S.A.. Tomo 6. pp. 788-790 y 536-537.Madrid [2] Coxeter,h,.s,m,1971. Fundamentos de la Geometra. Ed.LIMUSA. Mexico. [3] Chambadal.L Diccionario de Matematicas.Ed.Grijalbo.Mexico.1984.Pp.99 [4] Perez.A.2000.La cuadratura del crculo, la duplicacin del cubo y la triseccin del ngulo. Calendario de Matemticas. Cenamec. [5] Perez Sanz.A.2007. Malditos sean la regla y el comps.XIII JAEM.(consultada.15/8/2011).Granada. [6] Polya,G. 2002.Como plantear y resolver problemas.Mexico:Ed.Trillas [7] Nieves R.( Mtodo para la obtencin de segmentos proporcionales por iteracin con regla y compas y su aplicacin en la solucin de la duplicacin del cubo)XVII Jornadas tcnicas de investigacin y I de postgrado Memorias Unellez 2007 Pp.133140 [8] Varios. Diccionario de Matemtica. Ed.Ediplesa.1979.Pp.78