Cuerpos geométricos Un cuerpo geométrico es una figura ...

Cuerpos geométricos

Un cuerpo geométrico es una figura geométrica

tridimensional, es decir, que posee largo, ancho y alto,

que ocupa un lugar en el espacio y que por lo tanto

posee un volumen.

Poliedros

Cuerpos

redondos

Cuerpos Geométricos

Poliedros

Cóncavos Convexos

Regulares Irregulares

Cuerpos Redondos

Cilindros Conos Esferas

CUERPOS

POLIEDROS

Un poliedro es

un cuerpo

geométrico

cuyas caras son

poligonales

B

I

B

L

I

O

T

E

C

A

D

E

E

X

E

T

E

R

A

R

Q

U

I

T

E

C

T

O

L

O

U

I

S

K

H

A

N

P

O

L

I

E

D

R

O

S

E

N

A

R

Q

U

I

T

E

C

T

U

R

A

« El espacio de un edificio debe poder

leerse como una armonía de espacios

iluminados. Cada espacio debe ser definido por su

estructura y por el carácter de su

iluminación natural. Aun un espacio concebido para

permanecer a oscuras debe tener la luz

suficiente proveniente de alguna misteriosa

abertura que nos muestre cuán oscuro

es en realidad. »Louis Khan

POLIEDROS EN LA ARQUITECTURA

Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son

poligonales, planas y encierran un volumen finito.

Poliedros y sus elementos

cara

ángulo diedro

ángulo poliedro

aristavértice

•polígonos

CARAS

•Ángulos Diedros : formados entre

dos planos consecutivos.

ÁNGULOS DIEDROS

• Ángulos Poliédricos: formados entre

tres o más planos consecutivos.

ÁNGULOS POLIÉDRICOS

• Vértices: Punto de intersección

entre tres o más caras

VÉRTICES

•Aristas: Segmentos que resultan

de la intersección entre caras

ARISTAS

CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS

POLIEDROS

CONVEXOS

REGULARES

IRREGULARES

CONCAVOS

POLIEDROS CONVEXOS

Poliedro Convexo:

Cuando toda recta sólo

pueda cortar a su

superficie en solo dos

puntos.

POLIEDROS CÓNCAVOS

Poliedro Cóncavo

Cuando una recta corta su

superficie en más de dos

puntos, por lo que posee

algún ángulo diedro entrante.

Poliedro Regular:

Es aquel cuyas caras son polígonos regulares

congruentes, por lo que todas sus aristas son de

igual longitud. En consecuencia, todos sus

vértices están contenidos en una esfera y el

poliedro, a su vez, encierra otra esfera.

POLIEDROS CONVEXOS: CLASIFICACIÓN

CONVEXOS

REGULARES

IRREGULARES

Poliedros Regulares: Cálculo de Superficie y Volumen

Tetraedro

32aSup

12

23aVol

Hexaedro

26aSup

3aVol

Octaedro

32 2aSup

3

23aVol

Dodecaedro

)525(53 2 aSup

4

)5715(3 aVol

Icosaedro

35 2aSup

12

)53(5 3

aVol

Nota: superficie se refiere a superficie total, la Sup. Lateral más la superficie de las bases del poliedro.

Poliedros regulares: Ejercicios

1) Calcular el área lateral de un dodecaedro

cuya arista mide 2 metros.

)525(53 2 aSup 64572881,202xaSup

22 5829,8264572881,202 mxSup

2) Sabiendo que el volumen de un dodecaedro es de 100

m3 calcular la medida de su arista.

4

)5715(3 aVol 663118961,7100 33 xam m

ma 3543,2

663118961,7

1003

3

Poliedros regulares: Ejercicios

3) Si incrementamos el largo de la arista del dodecaedro, que

era de 2m, en un 20% cuál será el incremento porcentual de

su superficie?

22 5829,8264572881,202. mxoriginalSup

Arista = 2m Nueva Arista = 2m + 2m x 20/100 = 2m + 0,40m = 2,40m

Nueva Arista = 2m (1+ 1 x 20/100) = 2m x 1,20 = 2,40m

22 9194,11864572881,2040,2. mxSupNueva

222 3365,365829,829194,118 mmmdeSupIncremento

82,5829 100 %

36,3365 X = 𝟑𝟔,𝟑𝟑𝟔𝟓

𝟖𝟐,𝟓𝟖𝟐𝟗x 100 % = 44%

Poliedros Irregulares

POLIEDROS CONVEXOS

IRREGULARES

Definidos por

polígonos. No

todos

congruentes.

Poliedros Irregulares

Estudiaremos el Prisma, Pirámide y Pirámide Trunca

Prismas Pirámides Pirámide Trunca

CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS IRREGULARES

POLIEDROS IRREGULARES

PRISMAS

RECTOS U OBLICUOS SEGÚN SEA SU EJE

REGULARES

Si su base es un polígono regular

IRREGULARES

Si su base es un polígono irregular

PIRÁMIDES

RECTAS U OBLICUAS SEGÚN SEA SU EJE

REGULARES


IRREGULARES


PIRÁMIDE TRUNCADA

RECTAS U OBLICUAS SEGÚN SEA SU EJE

Si el plano que corta a las aristas laterales es

paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases

paralelas

Poliedros Irregulares: Prisma

Prisma:

es un sólido determinado por dos polígonos paralelos y

congruentes que se denominan bases y por tantos

paralelogramos como lados tengan las bases, denominados

caras.

Arista de la base

Base

Arista lateral

Cara lateral

Vértice


Elementos de un Prisma:

Altura: distancia entre las bases


Clasificación de acuerdo a sus bases:

PRISMAS

Clasificación de

acuerdo a sus

bases:

REGULARES


IRREGULARES


PRISMA IRREGULAR

PRISMA REGULAR

Altura

BASE

BASE

Altura


Clasificación de acuerdo a la inclinación de su eje:

PRISMAS

Clasificación de

acuerdo a la

inclinación de su

eje.

RECTO

Eje perpendicular a la base

OBLICUO

Eje no perpendicular a las bases

Poliedros Irregulares: Prisma Regular, EJERCICIOS

1) Dado un prisma regular recto de 4 metros de altura, y base

pentagonal cuyo radio es de 3 metros, calcula su superficie total sin

considerar la base inferior.

Superficie pedida= Sup. Lateral+ Sup de una base

36º

h3 m

3m72º

º725

º360

º362

mmhh

4270,2º36cos33

cos

msenmxm

xsen 7633,1º363

3º36

mmxLado 5267,3_7633,122

2

4270,25267,35

25.

mmhbPentSup 21,3987 m2

x


1) Dado un prisma regular recto de 4 metros de altura, de base

pentagonal cuyo radio es de 3 metros, calcular su superficie total sin

considerar la base inferior.

2534,70)45267,3(5)(5. mmmxhLlateralSup

Superficie pedida: 21,3987 m2 + 70,534 m2 = 91,9327 m2

3,5267 m

Lado = 3,5267 Sup base = 21,3987 m2

Superficie pedida= Sup. Lateral + Sup de una base


Cálculo de Superficie:

Superficie de la base:

𝑆𝑢𝑝 =𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2

Superficie lateral:

𝑆𝑢𝑝. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑢𝑟𝑎

Superficie Total:

𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 + 𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍

𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝐩𝐨𝐥í𝐠𝐨𝐧𝐨𝐬 𝐫𝐞𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬

Poliedros Irregulares: Prisma Regular

Cálculo de Volumen encerrado:



2

Volumen encerrado= Volumen del prisma:

𝑽𝒐𝒍. 𝒆𝒏𝒄𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒖𝒓𝒂

𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐩𝐨𝐥í𝐠𝐨𝐧𝐨𝐬 𝐫𝐞𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬


1) Calcular el volumen encerrado por el prisma del ejercicio anterior

(de 4 metros de altura, de base pentagonal cuyo radio es de 3

metros).

2

4270,25267,35

25.


x

𝑽𝒐𝒍. 𝒆𝒏𝒄𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

𝑽𝒐𝒍 = 𝟐𝟏, 𝟑𝟗𝟖𝟕𝒎𝟐 𝒙 𝟒𝒎 = 𝟖𝟓, 𝟓𝟗𝟒𝟖𝒎𝟑

PIRÁMIDES

Poliedros Irregulares: Pirámide

Pirámide:

Es el cuerpo poliedro limitado por una base poligonal y

por caras triangulares que convergen en un punto no

coplanar con la base.

Altura

de la cara

Altura de la pirámide

VérticeArista

Cara

lateral

Base

Poliedros Irregulares: Pirámide

Clasificación de acuerdo a su base:

Pirámide Regular:

Si la base es un polígono

regular.

Pirámide Irregular:

Si la base es un polígono

irregular.

Poliedros Irregulares: Pirámide, Clasificación de acuerdo a

la inclinación de su eje

Pirámide Recta:

Si su eje es perpendicular a la base.

Pirámide Oblicua:

Si su eje es perpendicular a la base

pero no pasa por su centro.

Poliedros Irregulares: Pirámide Regular




2

Superficie lateral:

Superficie Total:

𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑆𝑢𝑝. 𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑆𝑢𝑝 =𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎

2 apotema

a= Apotema de la pirámide

Apotema de la base


Cálculo de Volumen encerrado:



2

Volumen encerrado:


apotema

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 =𝑠𝑢𝑝. 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

3

El volumen de la pirámide es igual a un tercio del volumen del

prisma que la contiene.

Pirámide Regular: Ejercicios

1) Dada una pirámide regular recta de 5 metros de altura, de base

pentagonal cuyo radio es de 3 metros, calcular su superficie total

Superficie Total: sup base + sup lateral

372º

º725

º360

º362

mmapap

4270,2º36cos33

cos

msenmxm

xsen 7633,1º363

3º36

mmxLado 5267,3_7633,122

2

4270,25267,35

25.


36º

ap3 m

x

Pirámide Regular: Ejercicios

𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆 + 𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 = 21,3987 m2 + 49 m2 = 70,3987 m2

𝑺𝒖𝒑 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 =𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒂

𝟐

1) Dada una pirámide regular recta de 5 metros de altura, de base

pentagonal cuyo radio es de 3 metros, calcular su superficie total

Conocemos: h = 5 m apotema de base = 2,4270 m Lado = 3,5267 m

𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒂 = 𝟓𝟐 + 𝟐, 𝟒𝟐𝟕𝟎𝟐 = 𝟓, 𝟓𝟓𝟕𝟗𝒎

=𝟓×𝟑,𝟓𝟐𝟔𝟕𝒎 𝒙 𝟓,𝟓𝟓𝟕𝟗𝒎

𝟐= 49 m2


𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒆𝒏𝒄𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒐 =𝒔𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

𝟑

2) Calcular el volumen encerrado por la pirámide del ejercicio anterior. (de 5

metros de altura, de base pentagonal cuyo radio es de 3 metros).

2

4270,25267,35

25.


=𝟐𝟏, 𝟑𝟗𝟖𝟕𝒎𝟐 𝒙 𝟓𝒎

𝟑= 𝟑𝟓, 𝟔𝟔𝟒𝟓𝒎𝟑

Poliedros Irregulares: Pirámide Truncada

La pirámide truncada es el cuerpo geométrico que resulta al

seccionar una pirámide con un plano secante y separar la

parte que contiene al vértice.

PIRÁMIDE TRUNCADA

OBLICUA

PIRÁMIDE TRUNCADA

RECTA

Poliedros Irregulares: Pirámide Truncada


Superficie de cada base:


2

Superficie lateral: sumas de sup. de las caras

𝑆𝑢𝑝. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑆𝑢𝑝. 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 + 𝑆𝑢𝑝. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙


𝑆𝑢𝑝 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 =𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

2𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎

Se calcula el volumen en función de la altura de la pirámide y las áreas

de las bases menor y mayor.

𝑉𝑜𝑙 =ℎ

3(𝐴 + 𝐴´ + (𝐴 𝑥 𝐴´)

A: Superficie de la base menor

A´: Superficie de la base mayor

Pirámide Truncada: Ejercicio

Calcular la superficie total y el volumen encerrado de una pirámide recta regular

trunca de base pentagonal de la que se conocen los siguientes elementos:

Altura h = 4 m; Radio de base mayor: R=3m

Radio de base menor: R´ = 2m

3m72º

º725

º360

º362

mmapap

4270,2º36cos33

cos

msenmxm

xsen 7633,1º363

3º36

mmxLado 5267,3_7633,122

2

4270,25267,35

25.


36º

ap3 m

x

Calculo de superficie de la base mayor:



2m72º

º725

º360

º362

mmapap

6180,1º36cos22

cos

msenmxm

xsen 1756,1º362

2º36

mmxLado 3512,2_1756,122

2

6180.13512,25

25.


36º

ap2 m

x

Calculo de superficie de la base menor:


Calculo de superficie lateral:

𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 + 𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 = 21,3987 m2 + 9,5106 m2 + 60 m2 = 90,9093 m2

Conocemos: h = 4 m Base mayor: apotema = 2,4270 m Lado = 3,5267 m

𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎 = 42 + (2,4270 − 1,6180)2= 𝟒, 𝟎𝟖𝟎𝟗𝒎

Base menor: apotema = 1,6180 m Lado = 2,3512 m

𝑆𝑢𝑝 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 =𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟+𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

2𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎

𝑆𝑢𝑝 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 =3,5267𝑚 +2,3512𝑚

2𝑥 4,0809𝑚 = 12 𝑚2

Superficie lateral: 5 x 12 m2 = 60 m2


𝑽𝒐𝒍 =𝒉

𝟑(𝑨 + 𝑨´ + (𝑨 𝒙 𝑨´)

Calculo de volumen encerrado:

𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔:

𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 = 21,3987 m2 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 = 9,5106 m2 Altura h = 4 m

𝑽𝒐𝒍 =𝟒𝒎

𝟑(𝟐𝟏, 𝟑𝟗𝟖𝟕𝒎𝟐+ 𝟗, 𝟓𝟏𝟎𝟔 + 𝟐𝟏, 𝟑𝟗𝟖𝟕 𝒙 𝟗, 𝟓𝟏𝟎𝟔 = 𝟔𝟎. 𝟐𝟑𝟑𝟓𝒎𝟑

Cuerpos Geométricos Redondos

Cilindro Cono Esfera

Cuerpos Geométricos Redondos

Estudiaremos el cilindro, el cono y el cono truncado

Cuerpos redondos

CILINDRO

EJE RECTO

BASE ELIPTICA

CIRCULAR

OTRA

EJE OBLICUO

BASE ELIPTICA

CIRCULAR

OTRA

CONO

EJE RECTO

BASE ELIPTICA

CIRCULAR

OTRA

EJE OBLICUO

BASE ELIPTICA

CIRCULAR

OTRA

CONO TRUNCADO

EJE RECTO Y BASES CIRCULARES

CLASIFICACIÓN DE CUERPOS REDONDOS

Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro

Un cilindro es generado por la rotación de un

rectángulo alrededor de uno de sus lados que

es tomado como eje de rotación.

Cuerpos redondos

CILINDRO

EJE RECTO

BASE CIRCULAR

Cuerpos redondos

CILINDRO

EJE RECTO

BASE ELIPTICA

La superficie lateral es una superficie cilíndrica de

revolución, la sección recta (perpendicular) al eje y

las bases son elipses.


Cuerpos redondos

CILINDRO

EJE RECTO

BASE CIRCULAR


Cuerpos redondos

CILINDRO

EJE OBLICUO

BASE CIRCULAR

Cilindro oblicuo de basecircular: El ángulo entre el eje

y las bases no es un ángulo

recto. La sección recta

(perpendicular) al eje es una

elipse y las bases son

círculos.

Cilindro oblicuo de baseelíptica: El ángulo entre el eje

y las bases no es un ángulo

recto. La superficie lateral es

una superficie cilíndrica de

revolución y las bases son

elipses.

Cuerpos redondos

CILINDRO

EJE OBLICUO

BASE ELÍPTICA

Cálculo de Superficie de cilindro recto de base circular:


𝑺𝒖𝒑 = 𝝅 𝒙 𝑹𝟐

Superficie lateral:

𝑆𝑢𝑝. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

Superficie Total:


𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞𝐬 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro-Superficie

𝑺𝒖𝒑 = 𝟐 𝒙 𝝅 𝒙 R x h

Cálculo de Volumen de un cilindro de base circular:


𝑺𝒖𝒑 = 𝝅 𝒙 𝑹𝟐

Volumen:

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑢𝑟𝑎

𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞𝐬 𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬

Cuerpos Geométricos Redondos: Cilindro-Volumen

Cálculo de Superficie de cilindro recto de base elíptica:


𝑺𝒖𝒑 = 𝝅 𝒙 𝒂 𝒙 𝒃

Superficie lateral:

𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 = 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

Superficie Total del cilindro:



𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒆𝒍 𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 = 𝟐𝝅.𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

𝟐

Esta fórmula del perímetro es aproximada, con un 5% de error y siempre y cuando “a” no sea mucho mayor que “b”

“a” es el semieje mayor de la elipse“b” es el semieje menor.

Cálculo de Volumen de un cilindro de base elíptica:


𝑺𝒖𝒑 = 𝝅 𝒙 𝒂 𝒙 𝒃

Volumen:

𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 = 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒖𝒓𝒂

𝐯á𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞𝐬 𝐞𝐥í𝐩𝐭𝐢𝐜𝐚𝐬


Calcular la superficie total de un cilindro recto de base circular y su volumen

considerando solo una de sus bases. Se sabe que el diámetro del círculo es de 6

m y que la altura del cilindro es de 7 metros.


𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 =𝒅𝒊á𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐

𝟐=𝟔𝒎

𝟐= 𝟑𝒎

Superficie lateral:

𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 = 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

Superficie Total:

𝑺𝒖𝒑. 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝟖, 𝟐𝟕𝟒𝟑𝒎𝟐 + 𝟏𝟑𝟏, 𝟗𝟒𝟔𝟗𝒎𝟐 = 𝟏𝟔𝟎, 𝟐𝟐𝟏𝟐𝒎𝟐

Cilindro: Ejercicio

𝑺𝒖𝒑 = 𝟐 𝒙 𝝅 𝒙 R x h

𝑆𝑢𝑝 = 𝜋 𝑥 𝑅2 = 𝜋 𝑥 (3𝑚)2= 28,2743 𝑚2

𝑺𝒖𝒑 = 𝟐 𝒙 𝝅 𝒙 3m x 7m = 131,9469 𝒎𝟐

Volumen:

𝑽𝒐𝒍 = 𝑺𝒖𝒑. 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 = 𝟐𝟖, 𝟐𝟕𝟒𝟑𝒎𝟐𝒙 𝟕𝒎 = 𝟏𝟗𝟕, 𝟗𝟐𝟎𝟏𝒎𝟑

Cuerpos Geométricos Redondos: Cono Recto Circular

El cono recto circular es un cuerpo geométrico generado por un

triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

Cuerpos redondos

CONO

EJE RECTO

BASE CIRCULAR

Elementos de un cono recto:

Eje: es el cateto AC del triángulo ACB. Alrededor de

este cateto gira el triángulo rectángulo.

Base: es el círculo que genera la rotación del otro

cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono.

Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo,

BC, que genera la región lateral conocida como manto

del cono.

Altura: corresponde al eje del cono, porque une el

centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular

a la base.


Cálculo de Superficie del Cono Recto Circular

Área total del cono = Área lateral + Área de la base

Área total del cono = π r g + π r2

Cálculo del volumen del Cono Recto Circular

El volumen del cono es igual a un tercio del volumen del

cilindro que lo contiene.

𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐 =𝝅.𝑹𝟐. 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

𝟑

h

Cono Recto Circular: Ejercicio

𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐 =𝝅.𝑹𝟐.𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂

𝟑=

𝝅.(𝟐𝒎)𝟐.𝟓𝒎

𝟑= 20,9440 𝒎𝟑

h

Calcular la superficie total y el volumen de un cono recto circular de 5 m de altura,

cuya base tiene un radio de 2 m.

Área total del cono = Área lateral + Área de la base

Área total del cono = π r g + π r2

𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 = 𝒉𝟐 + 𝒓𝟐 = 𝟓𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟓, 𝟑𝟖𝟓𝟐𝒎

Á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝝅. 𝟐𝒎 . 𝟓, 𝟑𝟖𝟓𝟐𝒎+ 𝝅. 𝟐𝟐 = 𝟒𝟔, 𝟒𝟎𝟐𝟔𝒎𝟐

El tronco de cono es un cuerpo generado por un trapecio rectángulo

que gira alrededor del lado perpendicular a las bases:

Cuerpos Geométricos Redondos: Cono Truncado

Cuerpos redondos

CONO TRUNCADO

EJE RECTO Y BASES

CIRCULARES

Elementos de un tronco de cono recto:

Base menor: es el círculo que genera la rotación de

lado “a” del trapecio.

Base mayor: es el círculo que genera la rotación de

lado “b” del trapecio.

Altura: corresponde al eje del cono, une el centro de

las bases.

Generatriz: es el lado del trapecio opuesto al eje.


g

Área total del tronco de cono = Área lateral + Área de las bases

Calculo de Área y Volumen del Cono Truncado

Volumen del tronco de cono:

Á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝜋. 𝑟22

Á𝒓𝒆𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 = 𝝅. 𝒓𝟏𝟐

𝑺𝒖𝒑. 𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 =𝟐𝝅𝒓𝟏+𝟐𝝅𝒓𝟐

𝟐.g = 𝝅. 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 . 𝒈

S𝐮𝐩 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝝅.( 𝒓𝟏𝟐 + 𝒓𝟐

𝟐 + g( 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐))

Volumen =𝟏

𝟑𝝅. 𝒉.( 𝒓𝟏

𝟐 + 𝒓𝟐𝟐 + 𝒓𝟏 𝒙 𝒓𝟐)

Calcular el área total y el volumen del cono truncado circular recto del que se

conocen: r1 = 4 m r2 = 2 m altura = 5 m

Cono Truncado: ejercicio

Volumen del cono:

Área total del tronco de cono = Área lateral + Área de las bases

𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 = 52 + (4 − 2)2= 5,3851 𝒎

S𝐮𝐩 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝜋.( 𝑟12 + 𝑟2

2 + g( 𝑟1 + 𝑟2))

Volumen =𝟏

𝟑𝝅. 𝒉.( 𝒓𝟏

𝟐 + 𝒓𝟐𝟐 + 𝒓𝟏𝒙 𝒓𝟐)

S𝐮𝐩 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝝅.(42 + 22 + 5,3851 (𝟒 + 𝟐)

S𝐮𝐩 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝟏𝟔𝟒, 𝟑𝟑𝟖𝟔𝒎𝟐

Vol =𝟏

𝟑𝝅. 𝟓.(𝟒𝟐 + 𝟐𝟐+4 𝒙 𝟐) = 𝟏𝟒𝟔, 𝟔𝟎𝟕𝟔𝒎𝟑

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