XVII Congreso Colombiano de Matemáticas, Agosto 2009 – Cali

CursilloColette Laborde

Universidad Joseph Fourier, Colette.Laborde@imag.fr

Descubriendo Cabri 3D a través de situaciones de aprendizaje para los alumnos

Cabri 3D es un software de construcción y manipulación directa en tres dimensiones. Se diferencia de un software de geometria 2D por dos razones fundamentales:

­ Permite crear directamente  objetos en el espacio : planos, rectas, poliedros, satisfaciendo  las relaciones geométricas del espacio (perpendicularidad, paralelismo)

­ permite  cambiar el punto de vista  del objeto como si manipulásemos físicamente una bola de cristal que contuviese el objeto (haga clic en el botón derecho  del ratón si trabaja sobre PC o clic y tecla manzana o Ctrl si trabaja sobre Mac)

Un software de geometria 2D no permite la construcción del objeto sino su representación en 2D. Hace falta por tanto en primer lugar, identificar las propiedades verificadas por la proyección en 2D del objeto a construir.

1. Primeras construcciones con Cabri 3DCrear y desplazar un punto 

Primer consejoSeleccionar la herramienta Ayuda en el menú Ayuda. Cada vez que seleccione una herramienta, una ayuda para utilizarla aparecerá en la pantalla. 

Abrir un nuevo documento (Seleccionar el Fichero Archivo y despues Nuevo)Borrar el origen de los 3 vectores. Seleccionar la herramienta Manipulación. Desplazar la mano hacia el origen de los vectores hasta que aparezca el mensaje “Este punto” . Clicar y apretar sobre la tecla « back space ». El origen y  los vectores son borrados.

Crear un punto en el plano de base (el plano que aparece al abrir el documento) :Seleccionar la herramienta Punto, acercar el lápiz al plano que parpadea, un mensaje aparece en la pantalla: «un nuevo punto (sobre el plano) », haga clic en el lugar que desee, El punto es creado. 

Dezplazar un punto en el planoSeleccionar la herramienta Manipulación. Acercar la mano hacia el punto, haga clic manteniendo el botón del ratón presionado,. El punto se desplaza pero sólamente lo hace en el plano. 

Crear un punto en el espacioSeleccionar la herramienta Punto. Clicar el lápiz sobre el lugar deseado prestando atención a la aparición en la pantalla del mensaje « un nuevo punto (en el espacio) » 

Dezplazar un punto en el espacio Si lo desplazamos con la ayuda de un puntero, se desplazará en un plano horizontal paralelo al plano de 

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base. Si lo desplazamos manteniendo presionada la tecla mayúsculas (shift), se desplazará verticalmente (perpendicular al plano de base).

¿Cómo podemos suprimir un objeto? Seleccionar el objeto con la herramienta Manipulación. Presionar sobre la tecla Back space

2. Puntos equidistantes de una recta Crear una recta a perpendicular al plano de base. Crear un punto P en el espacio. Crear una recta d pasando por un punto del plano de base y un punto del espacio. Crear un punto M sobre esta recta. Desplazar M y sin utilizar la herramienta Distancia detenerse al obtener la misma distancia de M a la recta que de P a la recta a. 

Pregunta: Proponer varias maneras de resolver el ejercicio. ¿Qué conocimientos movilizan?

3.  Varias maneras de construir un cubo

3.1 Crear un cubo con la herramienta CuboAbrir un nuevo documento.

Seleccionar la herramienta Cubo Acercarse al plano con el cursor y hacer clic 

Hacer clic en un punto que fue escogido como centro de la cara Hacer clic en un punto que fue escogido como vértice

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 3.2 Crear un cubo a partir de un cuadradoAbrir un nuevo documento. Crear un cuadrado en el plano de base.

Seleccionar la herramienta Cuadrado Acercarse al plano con el cursor y hacer clic

Hacer clic en el centro del cuadrado Hacer clic en un vértice del cuadrado

Construir de varias maneras un cubo sobre este cuadrado 1. Con la herramienta Cubo de Cabri3D

Seleccionar la herramienta Cubo. Acercarse al cuadrado con el cursor  y hacer clic cuando aparece el mensaje Cubo sobre este cuadrado.

2. Sin la herramienta Cubo de Cabri3D, construyendo sus caras3. Sin las herramientas Cubo y Plano de Cabri3D, construyendo sus caras

Preguntas:1­ Cuales son las diferentes maneras de construir el cubo en las preguntas 2 y 3 y qué objetos 

matemáticos están en juego en cada solución? 2­ Qué herramientas de construcción aporta Cabri? Qué consecuencias en el aprendizaje de 

los alumnos?

3.3 Crear un cubo a partir de un segmentoCrear un segmento que no es en el plano de base. Construir un cubo que tiene este segmento como lado en el número mínimo de acciones. Se puede usar la herramienta Cubo.

Pregunta: Para qué sirve la condición del numero mínimo de acciones? 

4. Secciones planas del cuboAbrir un nuevo documento. Suprimir el origen y los vectores. Crear un cubo con una cara en el plano de base. Construir una de sus diagonales. Construir el plano perpendicular a esta diagonal 

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pasando por un punto de la diagonal. Con la herramienta Recorte de poliedro cortar el cubo. Desplazar el punto de la diagonal y observar los cambios de la sección. ¿Donde están los puntos de la diagonal que corresponden a los cambios de la sección?

    

  

Abrir un nuevo documento. Suprimir el origen y los vectores. Crear un cubo. Cortarlo por un plano cualquier pasando por el punto medio de una de sus diagonales. Construir la imagen del poliedro, obtenida por la simetría central con centro el punto medio de la diagonal. ¿Que obtenemos? Desplazar el plano por uno de sus puntos que lo definen. ¿Conclusión?

5. Rotación alrededor de un ejeLa rotación alrededor de un eje es una transformación que permite de construir varias partes de un sólido a partir de una de sus partes. Puede simular tambien la apertura y el cierre de un poliedro. 

5.1 Un triangulo girando alrededor de un segmento

Abrir un nuevo documento. Suprimir el origen y los vectores. Crear un triangulo en el plano de base. Construir una circunferencia que tenga como eje uno de lados del triangulo y pasando por el otro vertice del triangulo (Circunferencia). Construir un punto sobre la circunferencia. Este punto puede moverse sobre el circulo. Construir un triangulo que tenga como vértice este punto y con lado el segmento que es el eje de la circunferencia. Cambiar su color. Hacer girar el triangulo.XVII Congreso Colombiano de Matematicas 4 C. LabordeCursillo “Descubriendo Cabri 3D”

5.2 Un cuadrilatero girando alrededor de uno de sus ladosAbrir un nuevo documento. Suprimir el origen y los vectores. Hacer la misma construcción por un cuadrilatero. Hacerlo de dos maneras con dos circunferencias o una sola circunferencia.

Pregunta: Cuales son los conocimientos necesarios para poder construir el cuadrilatero girando?

6. Generación dinámica de poliedros

6.1 Généración dinámica del cuboAbrir un nuevo documento. Suprimir el origen y los vectores. En el plano de base crear un cuadrado (Cuadrado). Crear los vértices y nombrarlos A, B, C y D. Crear una circunferencia con eje AB y que pasa por D. Crear el punto A’ sobre esta circunferencia. Seleccionar la herramienta Rotación. Construir la imagen del cuadrado ABCD por la rotación con eje AB que transforma D en A. Construir el eje del cuadrado ABCD. Construir sucesivamente las imagenes de la cara con vértice A’. Cada cara es la imagen de la  cara precedente por una rotación alrededor del cuadrado ABCD. ¿Como construir el punto A’ para obtener directamente el cubo sin ningun desplaziamento?

6.2 Generación dinámica del dodeacaedro regularAqui vemos un dodecaedro regular. Hacer la misma tarea con el pentágono regular en el plano de base. Obtenemos la mitad del dodecaedro. ¿Como completarlo?

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 Esta generación dinamica debida a Hadamard permite de obtener el dodecaedro regular y … un otro poliedro que vamos a descubrir continuando de desplazar el punto mobile.

7. Construir modelos de objetos reales dinamicosUna caja que puede desplegarseConstruir un modelo de la caja como aqui

 

8. Patrones 

8.1. Patrones de un tetraedroCréar un tetraedro. Seleccionar Abrir poliedro. Hacer clic en el tetraedro.Con la herramienta Manipulación, seleccionar el patron y manipularlo. Seleccionar Mostrar los objetos ocultados. Hacer clic en el tetraedro. Podreis ver el tetraedro y uno de sus patrones.

Seleccionar Nueva página patrón en el menú Documento. El patron aparece en la pagina siguiente, listo para ser imprimado.

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Recomenzar para un cubo et un octaedro regular.

8.2. Un cubo truncado y algunos de sus patrones1. Crear un cubo. Construir los vértices de un triangulo equilátero alrededor de uno de los vértices del cubo. Los vértices del triangulo estan a un cuarto del lado del cubo. Crear el plano que pasa por los vertices del triangulo y cortar el cubo por este plano (Recorte de poliedro). Obtenemos un cubo con una esquina truncada. Obtener uno de sus patrones con Cabri 3D.

2. Abrir un nuevo documento. Suprimir el origen y los vectores. Crear un cubo con una cara en el plano de base. Crear su patron. Modificar el patron de forma que sea el patron de un cubo con una esquina truncada. Aqui vemos el principio de modificación del patron… Terminarlo.

9. Poliedros complejos

9.1 CuboctaedroCrear un cubo. Crear su patron. Mostrar el cubo (Mostrar los objetos ocultados). Construir los puntos medios de cada arista. Cortar las esquinas del cubo por un plano pasando por 3 puntos medios de las aristas de un mismo vértice. Obtenemos un cuboctaedro.

Construir sobre el patron del cubo un patron del cuboctaedro.

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9.2 Una cúpulaCortar el cuboctaedro por el plano pasando por 6 aristas que forman un hexágono. Obtenemos una cupula triangular con una base hexágonal. Entonces un cuboactaedro es tambien una girobicúpula triangular.

Crea una esfera con centro en el centro de la base hexágonal y que pasa por un vértice de la cúpula. Ella pasa por todos los vértices. ¿Por que?La imagen de la cúpula por una reflexión con respecto a la base hexágonal es llamada una ortobicúpula. ¿Que es la imagen de la cúpula por una simetría central con centro el centro de la base hexágonal? ¿Por que?

9.3 Reconstruir la cúpula de otra maneraReconstruir esta cúpula para que su base hexágonal sea en el plano de base. Primero crear un hexágono en el plano de base.

9.4 Una caja de panettoneCrear un cuadrado en el plano de base. Hacer girarlo de 45 grados. Trasladar verticalmente este mismo cuadrado según un vector de dirección perpendicular al plano y de longitud variable.El primer cuadrado es el fondo de la caja de panettone. El segundo cuadrado es la tapadera de la caja de panettone. Juntar un vértice de la tapadera a los dos vértices mas proximos del cuadrado del fondo. Obtenemos 8 triangulos que forman la superficie lateral de la caja de panettone.

 

Construir en el plano de base el patron de la caja de panettone (alrededor del cuadrado central).Construir con Cabri 3D el poliedro convexo incluyendo los dos cuadrados mostrando primero el cuadrado del fondo. Obtener el patrón del poliedro convexo con la herramienta Abrir poliedro. ¿Es su patrón el mismo? ¿Si no es el mismo, es este patrón correcto? ¿Por que? Reconstruir el patrón dado por Cabri 3D.

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9.5 Dodecaedro rombicoConstruir un cubo. Construir el punto simétrico del centro del cubo con respecto a cada una de las caras del cubo. Construir el poliedro convexo con el cubo y los 6 puntos simetricos. ¿Cuantas caras tiene este poliedro? ¿Que son sus caras? ¿Cual es la longitud de sus aristas? ¿Cual es su volumen con respecto al volumen del cubo?Comprobar que las grandes diagonales de las caras forman un octaedro.

 

10. Esfera

10.1. Esfera y circunferencias máximasCrear una esfera de centro O. A y B son dos puntos de esta esfera. Construir A’ y B’ los puntos opuestos por el diametro. Construir de dos maneras diferentes la circunferencia máxima que pasa por A y B.

10.2. Latitud y longitudCrear una esfera centrada en el origen de los vectores y pasando por un punto del plano de base. Construir el ecuador. Crear un punto G sobre la esfera. Suponiendo que el punto G tiene una longitud de 0°, construir los meridianos 0°, 90° al Oeste y al Este, y todos los meridianos que tienen una longitud múltiplo de 15° 

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Construir el paralelo de latitud 45° al Norte, luego el paralelo de latitud 45° al Sur. Crear el punto que aproximadamente representa Cali sobre la esfera (latitud 3°N, longitud aproximadamente 75°O). Construir el punto que aproximadamente representa Grenoble (45°N, 5°E). Construir el trayecto mas corto de Grenoble a Cali.

10.3 Triángulos esféricosCrear una esfera y tres puntos A, B y C sobre la esfera. Construir las circunferencias máximas pasando por A y B, B y C, C y A (piense en utilizar la herramienta Circunferencia por 3 puntos). ABC es llamado un triángulo esférico. Construir las tangentes a cada una de estas circunferencias máximas en A, B y C. Los ángulos formados por las semi­tangentes en cada vértice son los ángulos del triángulo esférico. Medirlos con Cabri 3D (Angulo) y calcular la suma de los tres angulos (Calculadora). Desplazar los puntos A, B y C. ¿Entre cuales valores extremos varía la suma de los tres ángulos?

 

10.4 Rellenar una esferaCrear un icosaedro regular. Construir la esfera circunscrita. Construir el dodecaedro dual del icosaedro (sus vértices son los centros de las caras del icosaedro) luego el dodecaedro homotético inscrito en la misma esfera. Construir un tetraedro inscrito en esta esfera. Medir con Cabri 3D los volúmenes de los tres poliedros y de la esfera. Calcular el índice de relleno de la esfera por cada uno de los poliedros. ¿Que es el indice mas grande ?Construir la esfera inscribita a cada poliedro inscrito en la misma esfera. ¿Que observa?

Icosaedro azul, dodecaedro gris y tetraedro riojo inscribidos en la misma esfera

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11.Volumenes y areas

11.1 Dos jarrosDos jarros estan sobre un plano. Un jarro es un cilindro y el otro es un prisma triangular que tiene la misma altura que el cilindro. El prisma esta lleno de agua.Se pasa el agua al cilindro.Colocar al ojo el nivel del agua en el cilindro.Construir ahora el punto que corresponde al nivel exacto del agua y comparar con el punto hecho al ojo. Representar el agua en el cilindro.Calcular la altura del prisma para que el agua llene completamente el cilindro.

11.2 La esfera inscrita en un cuboCrear un cubo y la esfera inscrita en el cubo. Calcular el indice de relleno del este cubo por esta esfera. Cambiar el tamano del cubo. ¿Que observe? Justificar y comprobar.

11.3 Volumen variableUn jarro cilindrico contiene agua. Se pone una bola en el agua. Construir la simulación mostrando el nivel que sube cuando el radio de la bola aumenta. Luego representar en un plan frontal el gráfico de la función que al radio de la bola asocia la altura del agua.

 

12. Coordenadas y ecuaciones

12.1 Crear un paralelepipedo con aristas paralelas a los ejes (Caja XYZ)

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Seleccionar la herramienta Caja XYZ. 

Acercarse al plano con el cursor y hacer clic. Teclear inmediatamente A. Mover el cursor a otro lugar en el espacio. Un mensaje “y por un nuevo punto en el espacio)” aparece. Hacer clic y teclear inmediatamente B. 

 Se crea la caja de diagonal AB.

12.2 Una tarea: colocar un punto sobre la cara de una caja XYZ utilizando solamente las coordenadas

Cambiar el estilo de la caja en Vacio.

Seleccionar Coord & ecuación;Acercarse al punto A y hacer clic cuando el mensaje “Coordenadas del punto A” aparece. Hacer lo mismo con el punto B.

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Crear un punto P en el espacio. Hacer parecer sus coordenadas. Desplazar el punto P hasta que esté seguro que el punto esta sobre la cara horizontal pasando por B. Luego arrastrelo hasta que esté sobre una cara vertical conteniendo B.

12.3 Puntos con la misma coordenada x, y o zCrear 2 puntos A y B en el plano horizontal. Crear un punto C en el espacio. Elevar el punto C con la tecla Shift. Construir el plano determinado por los puntos A, B y C. Mostrar las coordenadas de C.Construir un punto en el plano con la misma coordenada z que C. Comprobar con Cabri que los dos coordenadas z son iguales. ¿Cuantos tales puntos podemos construir? Construir un punto en el plano con la misma coordenada x que C. Comprobar con Cabri. Construir un punto en el plano con 2 coordenadas iguales a las coordenadas de C. ¿Que pasa?

12.4 Construir un punto cuyas coordenadas satisfacen ciertas condiciones Crear un punto P. Mostrar sus coordenadas con la herramienta Coord o ecuación. Construir un punto que tenga siempre la misma coordenada en y que P, aun al desplazar P.

Pregunta: Cuál es el rol de Cabri 3D en esta actividad?

12.5 Ecuación de un planoa. Construir el plano de ecuación x – y + z = 2. Verificar que construyó el plano correctamente haciendo aparecer la ecuación del plano.

b. Interpretación  de una ecuación 

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Abrir un archivo nuevo. Crear un punto A sobre el plano de base y una recta paralela al vector verde (eje y) pasando por A. Crear un punto B sobre la recta y un punto C en el espacio. Crear el plano determinado por A, B y C. Hacer aparecer la ecuación del plano; no contiene la variable y. ¿Por qué ?

c. Ecuación del plano con una letra de menos…Construir el plano de ecuación y + 2z = 0. Verificar gracias a Cabri que construyó el plano correcto.

La dificultad para los estudiantes es la ausencia de x en la ecuación. No tienen una interpretación geométrica para este tipo de ausencia. Para hacerles entender el por qué, se les puede preguntar si el punto (1,0,0) pertenece al plano, el punto (2,0,0), el punto (4,0,0), el punto (100, 0,0)…

12.6 Ecuaciones de una recta

Crée Crear dos puntos y la recta pasando por esos dos puntos. ¿Como se puede obtener las ecuaciones de esta recta de manera a que cada una de ellas no tenga sino 2 variables?La solucion debe seguir siendo valida aun al desplazar la recta.

Pregunta: Cuál es el rol de Cabri 3D en esta actividad?

XVII Congreso Colombiano de Matematicas 14 C. LabordeCursillo “Descubriendo Cabri 3D”

12.7 Ecuación de una esfera: ¿Como llevar un punto sobre una esfera? Crear una esfera de centro el origen de los vectores. Llamar ese punto O. Crear un punto P cualquiera en el espacio y hacer parecer sus coordenadas así como la ecuación de la esfera. Ocultar la esfera.

Desplazar P de manera a que se acerque lo más posible a la esfera sin pasar por una construcción geométrica.Verificar mostrando de nuevo la esfera.

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