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CURSO 2017-18 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II.

PROBLEMAS RESUELTOS DE SELECTIVIDAD DE ANDALUCÍA DESDE 2001 HASTA 2017

TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES. Páginas 1 a 76.

2001. Páginas 3 a 7.

Junio, Ejercicio 1, Opción B - P. 4

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A - P. 5



2002. Páginas 8 a 13.



Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B - P. 11


Septiembre, Ejercicio 1, Opción A - P. 13

2003. Páginas 14 a 20.







2004. Páginas 21 a 25.




Septiembre, Ejercicio 1, Opción B - P. 25

2005. Páginas 26 a 30.

Junio, Ejercicio 1, Opción A - P. 27




2006. Páginas 31 a 36.






2007. Páginas 37 a 43.







2008. Páginas 44 a 50.







2009. Páginas 51 a 54.




2010. Páginas 55 a 59.

• Junio, Ejercicio 1, Opción B - P. 56

• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B - P. 57

• Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A - P. 58

• Septiembre, Ejercicio 1, Opción B - P. 59

2011. Páginas 60 a 66.

• Junio, Ejercicio 1, Opción A - P. 61






2012. Páginas 67 a 73.

• Junio, Ejercicio 1, Opción B - P. 68






2013. Páginas 74 a 77.




2014. Páginas 78 a 85.







• Septiembre, Ejercicio 1, Opción A - P. 85

2015. Páginas 86 a 89.

• Junio, Ejercicio 1, Opción B- P. 87


2016. Páginas 89 a 97.







• Septiembre, Ejercicio 1, Opción A - P. 962017. Páginas 97 a 99.

• Junio, Ejercicio 1, Opción A- P. 98


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PROBLEMAS RESUELTOS

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2001

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

Junio, Ejercicio 1, Opción B

Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A



R E S O L U C I Ó N a)

1 1 1 3 3 2 3 2

3 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2

3 5 7;

3 2 4 4

x x x y x x y x

y y x y y x y y

x yx y

x y

− − + − = + ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ ⇒ − + − + = −

− − =⇒ = − = −

− = −

b)

1 3 0 1 1 0 1 3 1 2 2 3 5 1 22

2 5 1 1 3 1 2 5 5 1 2 3 5 5 1

2 1

3 5 2 9 5

2 5 23 14

3 5 1

a b a b a bX

c d c d c d

a b

a bX

c d

c d

− − + + − ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ − + +

+ = − + = −

⇒ ⇒ = + = −

+ =

a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la siguiente igualdad: 1 1 1 3

3 2 1 2

x x

y y

−−−− ⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅

−−−−

b) Determine la matriz X de dimensión 2x2 tal que: 1 3 0 1 1 0

22 5 1 1 3 1

X−−−−

⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = −−−−

SOCIALES II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos el determinante de A.

2 2

1 1

1 1 1 0 0 ; 1

0

x

A x x x x x x x x

x x

−

= = − + − = − = ⇒ = =

Luego, para x = 0 y x = 1, la matriz A no tiene inversa. b)

1

3 3 0 3 3 4 1 1 23 3 6 3 3 2 2 2 34 2 2 0 6 2( ) 1 1 1

6 6 2 2 31

0 13

t

d tAA

A

−

− − − − − − − − − − = = = = −

−

Se considera la matriz

1 1

1 1 1

0

x

A

x x

−−−−

====

.

a) Calcule los valores de x para los que no existe la inversa de A. b) Para x = 3, calcule, si es posible, 1A −−−− . SOCIALES II. 2001 RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N Vamos a calcular la inversa de A.

1

1 1 1 1 2 1

2 2 1 1 2 21 2 1

1 2 1 1 1 1( )1 2 2

1 11 1 1

t

d tAA

A

−

− − − − − − − − − − = = = = −

−

1

1 2 1 7 16

2 ( 2 ) 1 2 2 1 23

1 1 1 7 15

A X B C X A C B−

− − −

⋅ − = ⇒ = ⋅ + = − ⋅ − = −

Resuelva la siguiente ecuación matricial: 2A X B C⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = , siendo:

0 1 2

1 0 1

1 1 0

A

−−−−

====

,

1

2

4

B

= −= −= −= −

,

5

3

1

C

==== −−−−

.

SOCIALES II. 2001 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N

Vamos a calcular la inversa de A.

1

1 2 1 1 0 0

0 1 0 2 1 01 0 0

0 0 1 1 0 1( )2 1 0

1 11 0 1

t

d tAA

A

−

− − − − = = = = −

−

1

1 0 0 0 1 0 1

2 1 0 1 0 1 2

1 0 1 1 1 1 0

A X B X A B−

⋅ = ⇒ = ⋅ = − ⋅ = − −

Siendo

1 0 0

2 1 0

1 0 1

A

====

y

0 1

1 0

1 1

B

====

, razone si posee solución la ecuación matricial A X B⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = y,

en caso afirmativo, resuélvala. SOCIALES II. 2001 RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


PROBLEMAS RESUELTOS


2002





Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B


Septiembre, Ejercicio 1, Opción A


3 1 2 3 2 3 22 2 2

1 3 2 3 2 3 2 ; ;3 3 3

1 0 0 0

z x y z x y zx

z x y z x y z x y zy

z x z x z

+ − + + = ⋅ = − ⇒ + = − ⇒ + + = ⇒ = = = − − + =

Sean las matrices:

3 1 1

1 3 ; ; 1 ;

1 0 0

zx

A B C D zy

z

= = = == = = == = = == = = =

Calcule x, y, z, sabiendo que 2A B C D⋅ = −⋅ = −⋅ = −⋅ = − .



2 1 0 1 2 1 1 5

3 2 1 1 1 2 1 8A B

− ⋅ = ⋅ = − − −

B C⋅ = No es posible. C A⋅ = No es posible. b) Vamos a calcular la inversa de A.

1

2 3 2 1

2 11 2 3 2( )

3 21 1

t

d tAA

A

−

− − − −− = = = = −− −

1 2 1 1 2 5 0 1 2 6 1 6( )

3 2 3 4 1 1 1 1 11 3 9A X B C X A C B− − − − − ⋅ + = ⇒ = ⋅ − = ⋅ − = − − − − − −

Sean las matrices: 2 1 0 1 2 1 2 5

; ;3 2 1 1 1 3 4 1

A B C− −− −− −− −

= = == = == = == = = − − − −− − − −− − − −− − − −

a) Realice, cuando sea posible, los siguientes productos de matrices: A·B; B·C; C·A b) Resuelva la ecuación matricial: A·X + B = C. SOCIALES II. 2002 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


2

1 0 1

0 6 6 0 3 ; 2

1 1

A m m m m m

m

−

= − = − + + = ⇒ = = −

−

Luego, la matriz A tiene inversa para todos los valores de 3 2m y m≠ ≠ − Vamos a calcular la inversa de A.

1

2 6 2 2 1 2 1 1 11 1 1 6 1 6 2 4 22 6 2 2 1 2( ) 3 1 3

4 4 2 4 21 1 1

2 4 2

t

d tAA

A

−

− − − − − − − − − − − = = = = − − − −

Sea la matriz

1 0 1

0 6

1 1

A m

m

−−−− = −= −= −= − −−−−

a) Determine para qué valores del parámetro m existe 1A −−−− . b) Calcule 1A −−−− para m =2. SOCIALES II. 2002 RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

R E S O L U C I Ó N Vamos a calcular la inversa de A.

1

1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 1 01 0 0

0 0 1 1 0 1( )1 1 0

1 11 0 1

t

d tAA

A

−

− − − − = = = = −

−

1

1 1 1 0 0 1 1

2 2 1 1 0 2 1

3 3 1 0 1 3 2

A X X A −

⋅ = ⇒ = ⋅ = − ⋅ = −

Dada la matriz

1 0 0

1 1 0

1 0 1

A

====

determine, si existe, la matriz X que verifique

1

2

3

A X

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =



2

2 1 1

0 6 3 2 15 0 5 ; 3

1 2 0

A m m m m m

m

−

= − = − − = ⇒ = = −

+

Luego, la matriz A tiene inversa para todos los valores de 5 3m y m≠ ≠ − b) Vamos a calcular la inversa de A.

1

6 15 10 6 2 1 6 2 12 5 1 15 5 6 7 7 71 6 4 10 1 4( ) 15 5 6

7 7 7 7 710 1 4

7 7 7

t

d tAA

A

−

− − − − − − − − − = = = = − − − − − −

( ) ( ) ( )

6 2 1

7 7 715 5 6

3 1 1 3 1 1 1 0 17 7 710 1 4

7 7 7

X A X

− ⋅ = ⇒ = ⋅ − − = − − −

Sea la matriz

2 1 1

0 6 3

1 2 0

A m

m

−−−− = −= −= −= − ++++

a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) Haciendo m = 4, resuelva la ecuación matricial (((( ))))3 1 1X A⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = .

SOCIALES II. 2002. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


PROBLEMAS RESUELTOS


2003










1 2 1 3 5 10 5 11 5 10 0 1

3 4 2 4 15 20 11 25 15 20 4 5A

= ⋅ − = − = −

b)

1

4 3 4 22 1

2 1 3 1( )3 1

2 22 2

t

d tM

B MM

−

− − − − − = = = = =

− − −

1 1

2 11 0 4 3

( ) ( ) 3 10 1 2 1

2 2

2 1 3 33 3

2 23 12 0

4 22 2

N X M M B X M B N M I N M− −

− + ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − − − − − = ⋅ = − − −

Sean las matrices 1 2

3 4M

====

y 4 3

2 1N

====

a) Calcule la matriz 5tA M M M= ⋅ −= ⋅ −= ⋅ −= ⋅ − ( tM indica la traspuesta de M).

b) Calcule la matriz 1B M −−−−==== y resuelva la ecuaciónN X M M B+ ⋅ = ⋅+ ⋅ = ⋅+ ⋅ = ⋅+ ⋅ = ⋅ , donde X es una matriz 2x2. SOCIALES II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


2 233 3 2 3 0

1 1

mA m m m m m

m m= = + − + = + + = ⇒

− + No tiene solución.

Luego, la matriz A tiene inversa para todos los valores de m. b)

1

1 1 1 0 10

0 3 1 3( ) 313 3

13

t

d tA

AA

−

− − = = = =

−

1 12 2

1 1 10 0 0

1 03 3 91 0 1 1 4

1 1 13 3 9

A X A I X A I A− −

⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − − −

Sea la matriz 3

1 1

mA

m m

==== − +− +− +− +

a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa. b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial 2A X A I⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = , donde I2 es la matriz unidad de

orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2. SOCIALES II. 2003 RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


1 3 1 5 1 7 1 3 1 7 2 102

0 1 1 2 1 1 0 1 1 1 2 4

1

3 1 17 3 17 1 14

3 1 3 1 1 6

3 3

a bX

c d

a

a a b a bX

c c d c

c d

− − ⋅ − = ⇒ ⋅ = + ⇒ − − − −

=+ + = ⇒ = ⇒ ⇒ = + − = − − + =

Determine la matriz X, de orden 2, que verifica la igualdad: 1 3 1 5 1 7

20 1 1 2 1 1

X−−−−

⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = − −− −− −− −

SOCIALES II. 2003 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


1 2 1 1 2 0 3 3 2 0 1 32

1 0 1 2 0 2 1 1 0 2 1 1t

M A B I−

= ⋅ − = ⋅ − = − = − − − −

Vamos a calcular la inversa de esta matriz M.

1

1 1 1 3 1 33 1 1 1( ) 2 2

1 12 2

2 2

t

d tM

MM

−

− − − − − − = = = =

Sean las matrices1 1 1 1

2 0 1 2A y B

− −− −− −− − = == == == =

. Calcule (((( )))) 12tA B I

−−−−⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅ .



1 3 5

4 2 0 6 3 3 20 10 5 36 0 12 0 0

1 1 3

x x x x x x x x

−

+ = ⇒ − − − − − − + − = ⇒ − = ⇒ =

− −

Resuelva la ecuación:

1 3 5

4 2 0

1 1 3

x x

−−−−

+ =+ =+ =+ =

− −− −− −− −



2

2

2

2

2 2 4 2 4 24 4

0 2 0 2 0 2 4 0 2 40 4 4

4 20 ; 2

4 4 2 4

x x x xx x

x x x xx x

x x xx x

x x x

+ ⋅ = ⇒ = ⇒ + + + ++ +

+ =⇒ ⇒ = = −

+ + = +

b) Vamos a calcular la inversa de A.

1

1 0 1 11 1

1 2 0 2( )2 2

2 20 1

t

d tA

AA

−

= = = =

1

1 12 1 1 0

2 20 1 0 1

0 1A A

− − ⋅ = ⋅ =

Sea la matriz 2

0 2

xA

x

==== ++++

a) Halle los valores de x para los que se verifica 2 2A A==== b) Para 1x = −= −= −= − , halle 1A −−−− . Compruebe el resultado calculando 1A A −−−−⋅⋅⋅⋅ . SOCIALES II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


PROBLEMAS RESUELTOS


2004






Septiembre, Ejercicio 1, Opción B


2 1 2 1 0 1 0 2

2 2 0 2 1 2 2 0

2 3

2 2 23

2 2 2 3 1 2 2 1 4 32

2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 45 5 1

2 2

2 2 1

ta b c

B P A Cd e f

a d

a d

a d b e c f b eP

a d b e c f b e

c f

c f

− − ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ − −

+ = + = − + + + − − + = − − − ⇒ = ⇒ ⇒ = + + + − − + = − + = −

+ = −

b) La dimensión de M debe ser (3,3). c) La dimensión de N debe ser (3,2).

Sean las matrices

1 22 1 0 2 1

, , 0 20 2 1 2 2

2 0

A B C

−−−− −−−− = = == = == = == = = −−−− −−−−

a) Calcule la matriz P que verifica tB P A C⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = .

b) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A·M·C c) Determine la dimensión de la matriz N para que t

C N⋅⋅⋅⋅ sea una matriz cuadrada. SOCIALES II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


2

1 0 1 0 0 1 2 2 0 0 1 2 0 2 4( )

1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 2A I B

− − − − − − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = − − −

b)

0 1 1 21 0

1 1 0 21 2

2 0 2 0

tB A

− ⋅ = − − ⋅ = − −

c)

1

2 1 2 01 0

0 1 1 1( )1 1

2 22 2

t

d tAA

A

−

− − − − − = = = =

− −

1

1 0 1 3 31 3 3

( ) 1 1 51 2 1 1 2

2 2 2

A X B C X A C B−

− − − − ⋅ + = ⇒ = ⋅ − = ⋅ = − − − −

Sean las matrices 1 0 0 1 2 1 2 1

, y .1 2 1 1 0 0 1 1

A B C− − − −− − − −− − − −− − − −

= = == = == = == = = − −− −− −− −

a) Calcule 2 2( ) , siendoA I B I− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅ la matriz identidad de orden 2.

b) Obtenga la matriz tB (matriz traspuesta de B) y calcule, si es posible, t

B A⋅⋅⋅⋅ . c) Calcule la matriz X que verifica A X B C⋅ + =⋅ + =⋅ + =⋅ + = . SOCIALES II. 2004 RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


2 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1A A A

= ⋅ = ⋅ = − −

3 2 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1A A A

= ⋅ = ⋅ = − −

4 2 2 1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1A A A

= ⋅ = ⋅ =

2004 1 0

0 1A

=

Dada la matriz 20041 0, halle .

0 1A A

==== −−−−



11 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0

1 22 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 0 1

3

1 01 ; 2

2 0

aa b

Aa b

b

a ba b

a b

− + ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒ = ⇒ − − + − − −

− + =⇒ ⇒ = − =

+ =

De una matriz A se sabe que su segunda fila es (((( ))))1 2−−−− y que su segunda columna es

1

2

3

−−−−

. Halle

los restantes elementos de A sabiendo que1 1 1 0 0

2 0 1 0 1A

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = −−−−

.

SOCIALES II. 2004. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


PROBLEMAS RESUELTOS


2005



Junio, Ejercicio 1, Opción A





1 1 2 1 1 1 0 1 4 3 0 3 32 1 1 1 2 2

2 0 1 0 4 2 2 1 2 2 3 0 01 0 1 1 0 1

2 1 1 1 3 2 1 0 2 1 3 0 0

C

− − − − − − − − − − −

= ⋅ − − ⋅ = − − ⋅ − − = − − − − − −

b)

1 12 1 1 4

2 01 0 1 2

2 1

a

b

− − −

⋅ ⋅ = − −

6 3 4 6 3 4 2; 0

3 2 2 3 2 2 3

a a ba b

b a b

− − + = ⋅ = ⇒ ⇒ = − =

− − + =

Luego la matriz es 2

30

X

− =

Sean las matrices A y B

−−−− − −− −− −− −

= == == == = −−−− −−−−

1 12 1 1

2 01 0 1

2 1

a) Calcule la matriz t tC B A A B= ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅ .

b) Halle la matriz X que verifique: A B X

⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =

4

2

SOCIALES II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N a) A B+ . No se puede realizar, ya que las matrices no son del mismo orden.

b)

2 1 0 1 2 2

1 2 1 2 2 4

3 0 1 1 3 1

tA B

+ = − + − = −

c)

0 12 1 3 4 3

1 21 2 0 2 5

1 1

A B

⋅ = ⋅ − = − −

d) tA B⋅ . No se pueden multiplicar, ya que el nº de filas de la primera matriz no es igual al nº de columnas de la segunda matriz.

Sean las matrices:

0 12 1 3

1 21 2 0

1 1

A y B

= = −= = −= = −= = − −−−−

De las siguientes operaciones, algunas no se pueden realizar; razone por qué. Efectúe las que se puedan realizar.

; ; ;t tA B A B A B A B+ + ⋅ ⋅+ + ⋅ ⋅+ + ⋅ ⋅+ + ⋅ ⋅ SOCIALES II. 2005 RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N a) Vamos a calcular el determinante de B.

1 22 0

1 0B

−= = − ≠ . Luego tiene inversa.

b)

2

1 2 1 2 2 2 20

1 0 1 0 2

3 0 2 0 3 0 33

0 3 0 2 0 3 2t

x y x y x y x x y y xA B B A y

y x y x y x y x y

x y x y xA A I x

y x y x x

− − − + − − − + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = − − + −

− + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =

−


1 0

x yA y B

y x

−−−− = == == == =

−−−− .

a) Calcule, si existe, la matriz inversa de B. b) Si 23t

A B B A y A A I⋅ = ⋅ + = ⋅⋅ = ⋅ + = ⋅⋅ = ⋅ + = ⋅⋅ = ⋅ + = ⋅ , calcule x e y.



1 3 2 1 2 1 1 3 2 1 3 2 5

0 1 0 0 0 1 0 0

1 3 5 2

xA B B A

x x x x

x x

− − − + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒

⇒ − + = ⇒ =

b)

2

1 0 1 0 1 0

3 1 0 1 3 3 0 1

1

0 1 0

3 0 3 1

3 1

ta b a b

A C Ic d a c b d

a

bC

a c

b d

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ + +

= =

⇒ ⇒ = + = −

+ =


0 1A

====

y 2 1

0B

x

−−−− ====

a) Determine el valor de x en la matriz B para que se verifique la igualdad: A B B A⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅ b) Obtenga la matriz C tal que: 2

tA C I⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

SOCIALES II. 2005. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


PROBLEMAS RESUELTOS


2006









a) 0 1 0 1 1 1 1 1

11 1 1 1 1 1 1 2 1 1

x xx

x x

⋅ = ⇒ = ⇒ = + +

b) Vamos a calcular la inversa de B.

1

1 1 1 1

1 11 0 1 0( )

1 01 1

t

d tBB

B

−

− − −− − = = = = − −

1 1 0 1 1 1 1 1 1

01 1 0 1 1 0 1 1 0

x xx

x x

− − − − = ⇒ = ⇒ = +

c) 1 0 1 1 0 1 1 1 0

11 1 1 1 0 1 1 2 0 1

x xx

x x x

+ ⋅ = ⇒ = ⇒ = − + + +

También podríamos haberlo hecho de la siguiente manera:

1 1 12 2A B I A B B I B A B− − −⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =

1 1 1

11 1 1 0

xx

x

− = ⇒ =− +

Sean las matrices: 1 0 1

1 1 1 1

xA y B

x

= == == == = ++++

a) Encuentre el valor o valores de x de forma que 2B A==== . b) Igualmente para que 1

2A I B−−−−− =− =− =− = .

c) Determine x para que 2A B I⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = .

SOCIALES II. 2006 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION A

R E S O L U C I Ó N a) Vamos a calcular la inversa de A.

1

0 1 0 1

0 11 2 1 2( )

1 21 1

t

d tAA

A

−

− = = = = − −− −

12

0 1 2 0 3 0 0 1 5 0 2 7(2 3 )

1 2 2 4 0 3 1 2 2 7 9 14A B I− − − − −

⋅ + = ⋅ + = ⋅ = − − − − − −

b)

2

2 1 2 1 1 0

1 0 1 0 0 1

a bX A A I

c d

− − ⋅ = + ⇒ ⋅ = + − −

2 3 1

2 3 1 1 1

2 1 1 2 1 1

1 1

a b a

a b a a b

c d c c d c

c d

− = = − − − − = − = −

⇒ = ⇒ ⇒ − − − − = − = − − = = −

Luego la matriz es: 1 1

1 1X

− = − −


1 0 1 2A y B

−−−− = == == == = −−−−

.

a) Calcule 12(2 3 )A B I

−−−− ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ + .

b) Determine la matriz X para que 2X A A I⋅ = +⋅ = +⋅ = +⋅ = + .



1

0 2 0 11

01 2 2 2( )2

2 21 1

t

d tAA

A

−

− = = = = − −− −

1

1 1 31 2 2 2 1 00 0 2

( ) 2 2 22 4 1 0 3 4

1 1 1 1 2 4

tA B A− − − −− − − − ⋅ − = ⋅ − = ⋅ = − − − − − − −


2 0 2 4A y B

− −− −− −− − = == == == = −−−−

.

Calcule 1 ( )tA B A−−−− ⋅ −⋅ −⋅ −⋅ − . SOCIALES II. 2006 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N Sustituimos las matrices en la ecuación y operamos.

2 1 0 0 1 2 1

5 1 1 0 2 5 2

5 3 0 1 1 2 3

2 1 2 1

5 3 5 2

5 4 2 3

x y z

x y z

− − − − ⋅ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − − − − − ⋅ = ⋅ − + ⋅ −

Luego, tenemos que resolver el sistema:

2 2

3 5 2 5

4 2 3 5

x y z

x y z

x y z

− + = −

− + = − + − =

cuya solución es: x = 1; y = 2; z = 1

Sean las matrices: 1 0 0 1 2 1 2

1 1 0 ; 2 ; 5 ; 2 ; 5

3 0 1 1 2 3 5

A B C D E

− −− −− −− − = = = − = = −= = = − = = −= = = − = = −= = = − = = − −−−−

Calcule los valores de los números reales x , y , z , para que se verifique la siguiente igualdad entre matrices: E x A B y C z D− ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅− ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅− ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅− ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ SOCIALES II. 2006 RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

R E S O L U C I Ó N Para que se pueda hacer el producto X A⋅ , la matriz X debe tener tantas columnas como filas tiene A, es decir, 2. La matriz resultante debe ser de orden (1,2) para que se pueda sumar con 2 B, luego la matriz X es de orden (1,2).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 22 1 1 1 0 2 5 2 4 2 1 1 1 0

5 4

2 5 12 5 2 2 4 2 1 0 7 ; 3

2 4 2

a b a b a b

a ba b a b a b

a b

⋅ + − = ⇒ − − + − = ⇒ − −

− = − ⇒ − + − − = ⇒ ⇒ = =

− =

Luego la matriz X es: ( )7 3X =

Sean las matrices: (((( ))))2 2

1 15 4

A y B

= = −= = −= = −= = − − −− −− −− −

Explique qué dimensión debe tener la matriz X para que tenga sentido la ecuación matricial (((( ))))2 1 0X A B⋅ + =⋅ + =⋅ + =⋅ + = . Resuelva dicha ecuación.



PROBLEMAS RESUELTOS


2007










1

0 0 1 0 3 1

3 1 1 0 1 00 3 1

1 0 1 1 1 1( )0 1 0

1 11 1 1

t

d tAA

A

−

− − − − − = = = =

−

b)

1 2 1 2 2 2 2 2 3

0 1 0 2 2 2 2

1 3 0 2 3 3 0 3

x x x y x x y x

A X Y y y y y

z x y z x y z z

− − − − − − = = ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − − + − + − = =

Sean las matrices

1 2 1

0 1 0 ; ; 2

1 3 0 2

− −− −− −− − = = == = == = == = = − −− −− −− −

x x

A X y Y

z

.

a) Determine la matriz inversa de A. b) Halle los valores de x, y, z para los que se cumple ⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =A X Y . SOCIALES II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


2

2

2

2

1 21 1 2 1 2 11

1 10 0 1 1 1 1

1

xx x x x

x xx x x x

x

+ = +

⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

b)

( ) ( )11 1 1 1 1 1; ; 1 ;

1 2 1 2 1 2

td

td d

AA A A A

A

−− − − = = = = = − − −

1 0 1 1 1 1 1 1 1

00 1 2 1 2 1 2 1 2

x xx

x x

− − − − + = ⇒ = ⇒ = − − − −

c)

2 1 1 0 1 1 0 3 3 03 0

1 1 0 1 2 0 1 3 0 3

x xx

x x

− + + = ⋅ ⇒ = ⇒ = −

Sean las matrices2 1 1 0 1

,1 1 0 1 2

xA B y C

x

−−−− = = == = == = == = = −−−−

.

a) Encuentre el valor o valores de x de forma que 2B A==== . b) Igualmente para que 1

B C A−−−−+ =+ =+ =+ = .

c) Determine x para que 23A B C I+ + = ⋅+ + = ⋅+ + = ⋅+ + = ⋅ .

SOCIALES II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


2 2

1 01 0 1 0 1 0 1 0 1 01

1 1 0 1 1 0 1 1

bb

b b b b b

+ = ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ = − + =

Sea la matriz 1 0

1B

b

====

. Calcule el valor de b para que 22B I==== .

SOCIALES II. 2007. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


3 2 2 3 2 5 3 2 3 2 0 8

2 4 5 1 3 1 2 4 2 4 8 0

3 2 0

2 4 8 2 4

3 2 8 3 2

2 4 0

a b a c b d

c d a c b d

a c

a cX

b d

b d

− + + ⋅ + = ⇒ = ⇒ − + + − + =

+ = − ⇒ ⇒ = + = − − + =

Dadas las matrices 3 2 2 5

2 4 3 1A y B

= == == == = −−−−

, resuelva la ecuación matricial tA X B B⋅ + =⋅ + =⋅ + =⋅ + = ,

donde X es una matriz cuadrada de orden 2. SOCIALES II. 2007. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


( )1 2

2 1 0 2 4 10 5 2 1 82 5 0 1

5 2 1 0 10 25 2 5 8 202 0

− − − − − − ⋅ − − ⋅ = − = − − − −

b)

1 21 0 2 2 5 2 2 5 2 2 0

0 12 1 0 5 2 5 5 2 5 5 1

2 0

a a a bX

b b a b

− − − − − = − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ = − − − + =

Sean las matrices 1 0 2 2

,2 1 0 5

A B−−−−

= == == == = −−−− .

a) Calcule t tB B A A⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅ . b) Halle la matriz X que verifica ( )tA A X B⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = . SOCIALES II. 2007. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.


2 3 9 2 3 9 2 3 9 3

1 5 28 1 5 28 5 28 5

x x yA A

y x y

+ = − ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ = − − − + =

Halle la matriz A que verifica: 2 3 9

1 5 28A

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = −−−−

.

SOCIALES II. 2007. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


PROBLEMAS RESUELTOS


2008










0 2 0 2 12 2 3 21 ; 4

3 0 6 1 6 1 3 0 3 3 3 12

a b a b b aA B B A a b

a b

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = =

b)

2

1 0 0 2 1 0 11 2

6 1 3 0 0 1 3 1

a bX B A I X

c d

− ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ =

−

Sean las matrices0 2

;3 0 6 1

a bA B

= == == == =

.

a) Calcule los valores de a y b para que A B B A⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅ . b) Para 1a ==== y 0b ==== , resuelva la ecuación matricial 2X B A I⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = .

SOCIALES II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


2

2

2

2

01 1 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0 0

0

a aa a a a a

a aa a a a

a

+ = +

⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

b)

( ) ( )11 1 1 2 1 2; ; 1 ;

2 1 1 1 1 1

td

td d

MM M M M

M

−− − − = = = − = = − − −

1 1 2 1 1 3 1

1 1 2 1 1 0t

M M− − ⋅ = ⋅ = − −

1 2 3 1 3 1 8 3( )

1 0 1 0 3 1t

M M− ⋅ = ⋅ = − − − −

a) Dada la matriz 1

0

aA

a

====

, calcule el valor de a para que 2A sea la matriz nula.

b) Dada la matriz 1 2

1 1M

====

, calcule la matriz 1 2( )tM M−−−− ⋅⋅⋅⋅ .



( )1 2 1 3

5 2 1 3 10 5 15

2 4 2 6

C F

− ⋅ = ⋅ − = − − − −

( ) ( )1

2 1 3 5 9

2

F C

⋅ = − ⋅ = − −

b) 1 1 ( )X A B C X A C B X C B A

− −⋅ − = ⇒ ⋅ = + ⇒ = + ⋅

2 4 2 0 0 4( )

1 1 1 1 1 1X C B A

− = + ⋅ = ⋅ = − −

Dadas las matrices (((( ))))1

2 1 3 5

2

F y C

= − == − == − == − = −−−−

, calcule los productosC F⋅⋅⋅⋅ yF C⋅⋅⋅⋅ .

b) Dadas las matrices 2 0 1 3 1 1

;1 1 2 1 1 0

A B y C− −− −− −− −

= = == = == = == = = − − −− − −− − −− − − , calcule la matriz X que

verifique la ecuación 1X A B C

−−−−⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − = SOCIALES II. 2008 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


( )

2 3

2 5 1 2 5 3 4 5 3 4 5 73 4

1 3 2 1 3 6 8 2 6 10 14

5 3 8

a b

a b a bX X

c d c d

c d

+ = + = −

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ = + = − + =

b)

1 0 2 1 1 33 ; 6

3 1 1 3

x xx y

y x y x y x y

⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = = − − − − +

a) Halle la matriz X que verifica la ecuación (((( ))))2 5 1

3 41 3 2

X ⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅

.

b) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad 1 0 2 1 1

3 1 1

x

y x y

⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅ − −− −− −− −

SOCIALES II. 2008. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


1 2 0 1 1 2 0 1 1 1 1 3 1 0

0 1 2 4 0 1 2 4 2 5 2 3 8 9

− − − + ⋅ − = ⋅ = − − − −

b)

2

33 0

1 0 3 0 0( 2 ) 3 4 1

4 9 0 3 4 9 03 3

4 9 3

a

a b bA B X I X

c d a c

b d

= = + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⇒ = + = − + =

Sean A y B las matrices siguientes: 1 2 0 1

;0 1 2 4

A B−−−−

= == == == =

a) Calcule ( ) ( )A B A B+ ⋅ −+ ⋅ −+ ⋅ −+ ⋅ −

b) Determine la matriz X, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial 2( 2 ) 3A B X I+ ⋅ =+ ⋅ =+ ⋅ =+ ⋅ =

SOCIALES II. 2008. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B


1 3 2 3 5 3 9 2 5 9 2 2 2; 2

1 4 3 4 3 4 3

x x y x yx y

x y x y x y

+ + + = + = ⋅ = ⇒ ⇒ ⇒ = = −

− − = − =

b) Vamos a calcular la inversa de A.

1

0 0 1 0 2 1

2 1 2 0 1 00 2 1

1 0 1 1 2 1( )0 1 0

1 11 2 1

t

d tAA

A

−

− − − − − − − − − = = = = − − −

a) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por: 1 3 2 3 5

1 4

x

x y

++++ ⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

−−−− .

b) Calcule la matriz inversa de

1 0 1

0 1 0

1 2 0

SOCIALES II. 2008 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A


PROBLEMAS RESUELTOS


2009






R E S O L U C I Ó N a) 1 1 1( ) ( ) ( )A X B A A X B A B A A X A A B X A A B− − −⋅ + = ⇒ ⋅ + = − ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − b) Vamos a calcular la inversa de A.

1

3 1 3 53 55 2 1 2( )1 21 1

t

d tAAA

−

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −− − ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 3 5 2 5 0 3 3 5 2 8 4 19

( )1 2 1 3 1 2 1 2 2 1 2 6

X A A B− − ⎡ − ⎤ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Sea la igualdad A X B A⋅ + = , donde A, X y B son matrices cuadradas de la misma dimensión. a) Despeje la matriz X en la igualdad anterior, sabiendo que A tiene inversa.

b) Obtenga la matriz X en la igualdad anterior, siendo 2 5 0 31 3 1 2

A y B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠



1 4 1 5 2 6 2 1 3 2 9 10 1 0 0 3 2 2 0 2 1 0 1 03 1 2 2 0 1 1 0 1 3 13 1

a b cd e f Xg h i

− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − = − + − ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sean las matrices 1 4 1 2 1 3 5 2 60 1 0 , 0 2 1 0 3 23 1 2 1 0 1 2 0 1

A B y C− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Determine X en la ecuación matricial 2X A B C⋅ − = . SOCIALES II. 2009 RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCION A


2 1 1 1 1 1 3

0 2 0 2 0 4A

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

3 1 1 0 7 22 2

1 1 0 1 2 3B I ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b)

22

1 1 1 0 3 1 3 12 2

0 2 0 1 1 1 1 1

41 171317 8 2 2

2 2 8 1 13 14217

2

a bA X I B

c d

c

da c b dX

c d a

b

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − ⎫⎪ ⎛ ⎞⎪= ⎜ ⎟− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = ⎜ ⎟⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎪ −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠

= ⎪⎭


,0 2 1 1

A B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Calcule 2A y 22B I+

b) Resuelva la ecuación matricial 22 2A X I B⋅ − = .

SOCIALES II. 2009 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCION B


PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2010


TEMA 1: MATRICES

• Junio, Ejercicio 1, Opción B

• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B

• Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A

• Septiembre, Ejercicio 1, Opción B



a) 2 3 1 2 2 1 1 1 1 4 4 2 5 61 1 1 0 3 1 2 0 0 2 5 3 5 5

t tA B A B− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b)

2 1 1 2 1 2 2 13 1 1 0 1 0 3 1

2 72 2 7 1 3 1

8 ; 2 ; 23 ; 53 3 1 1 2 1

3 1

a bAX BA B

c d

a ca c b d a c

a b c da c b d b d

b d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ = − ⎫⎪+ + − − + =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = = = − = −⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪+ = ⎭

Luego, la matriz es 8 223 5

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Sean las matrices 2 1 1 23 1 1 0

A y B⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

a) Calcule t tA B A B⋅ − ⋅ . b) Resuelva la ecuación matricial AX BA B+ = . SOCIALES II. 2010 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION B


R E S O L U C I Ó N a) La matriz A tiene de dimensión (2,3), la matriz B tiene de dimensión (3,2) y la matriz C tiene de dimensión (2,4). b)

1 0 2 2 1 1 1 1 0 1 1 2 2 1 1 1 00 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 0 3

1 2 2 1 3 30 ; ; 1 ; 12 1 2 2 3 2

− ⎡ − − ⎤ − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⇒ = ⋅ ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a b a bc d c d

a ba b c d

c d

Luego, la matriz que nos piden es: 302

1 1

⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟− −⎝ ⎠

X

a) Sean A, B y C matrices con 2, 3 y 2 filas, respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices ⋅ ⋅A B C es posible y que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas matrices.

b) Halle la matriz X que verifica 2 2 ( )− = ⋅ − tI X A A B , siendo 1 1 0 22 1 1 2

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A y B .

SOCIALES II. 2010 RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCION B



1 1 1 1 0 1 3 1 1 3 1 30 2 0 3 0 2 3 2 5 0 1 2 6 2 5

2 1 4 1 3 1 ; 12 5 2 5 2

− − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅ = ⇒ + = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ = ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a b a a b a bb b

a b ba b

b

b)

21 1 0 0 0 0 01 30 3 3 0 0 0 03 9

⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

b b bb b

No hay ningún valor de b

c)

1 1 11 1 0 0 0 01 1 1 32 ; 1 ; 0 ;2 2 20 3 0 0 0 0 20 2 2 2 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ + = ⇒ = ⇒ = − = = =−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a b a c b da b c d

c d c d


,0 2 0 3 2 5a b

A B y C⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

a) Halle los valores de a y b para que se verifique Calcule, si es posible, tA B A B C− + ⋅ = . b) ¿Existe algún valor de b para el que el producto tB B⋅ sea igual a la matriz nula?. c) Para 0.5a = y 1b = , halle la matriz X que verifica la igualdad A X B O⋅ + = , (O representa la matriz nula).?. SOCIALES II. 2010 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCION A



a) 1 2 1 1 5 17 9 5 2

0 8 4 5+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

bP Q

a b a a a

El producto ⋅Q P no es posible ya que el nº de columnas de Q no coincide con el nº de filas de P. b)

1 2 2 2 10 6 34 18 10 4 62

0 16 8 2 10 10 50 2 2 10 10 10 505 ; 1 ; 34 ; 18

c d b c dP Q R

a b a a aa b c d

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇒ = = − = =

Sean las matrices 1 2 1 1 5 6

,0 8 4 10 10 50

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c dP Q y R

a b.

a) Calcule, si es posible, ⋅P Q y ⋅Q P , razonando la respuesta. b) ¿Cuánto deben de valer las constantes a, b, c y d para que 2⋅ =P Q R ?. SOCIALES II. 2010 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCION B



2011


TEMA 1: MATRICES

• Junio, Ejercicio 1, Opción A








a) 2

1 12 5 2 5 3 1 2 1 5 7 2 8 7

2 51 3 1 3 0 1 1 1 4 5 8 6 4

3 3

tA B C−⎛ ⎞

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅ = ⋅ − ⋅ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

b)

2 5 2 4 6 3 1 22

1 3 2 10 6 0 1 1

2 5 13 2

2 5 2 5 2 5 2 5 1 5 4 2 5 51 3 3 3 3 2 9 5 3 9

2 5 43 5

7 ; 30 ; 13 ; 3 ;

a b cA X B C

d e f

a da d

a d b e c f b ea d b e c f b e

c fc f

a b c d e

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = − ⎫⎪− = − ⎪⎪− − − − − − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ ⋅ = ⇒ ⇒⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− =⎪

− = ⎭= = − = − = = 13 ; 6f− = −

Luego, la matriz es 7 30 133 13 6

X− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Sean las matrices 2 5 3 1 2 1 2 3

, ,1 3 0 1 1 1 5 3

A B C− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

a) Calcule 2 tA B C− ⋅ . b) Resuelva la ecuación matricial 2A X B C⋅ + = ⋅ . SOCIALES II. 2011 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION A


a) 0 3 1 2 3 1 2 6 21 0 2 1 1 0 0 1 2

tM N− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

tM N⋅ No se puede multiplicar ya que el número de columnas de la primera matriz no es

igual al número de filas de la segunda matriz.

2 1

0 3 1 10 33 1

1 0 2 4 11 0

M N−⎛ ⎞

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠

b)

2.20 3.20550 400 240 2910 4184

2.75 3.90260 200 100 1372 1972

2.50 3.60

tP Q⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

El elemento 11 2910a = son los euros que ha pagado por todo el café natural adquirido. El elemento 22 1972a = son los euros que ha pagado por todo el café descafeinado adquirido.

a) Dadas las matrices 0 3 11 0 2

M−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ y

2 3 11 1 0

tN−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠, razone cuáles de las siguientes

operaciones tienen sentido y efectúa las que puedan realizarse: tM N+ , tM N⋅ , M N⋅ . b) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en Kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el Kg de cada producto final:

550 400 240 2.20 2.75 2.50260 200 100 3.20 3.90 3.60

A B C A B Cnatural natural

P Qdescafeinado descafeinado

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Efectúe el producto tP Q⋅ y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. SOCIALES II. 2011 RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCION B



a) Calculamos:0 1 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 0 1 1 2 10 1 0 1 1 0 1 0 1

C D⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 1 1 0 1 0 1 1 11 0 1 1 0 1 0 2 01 1 0 0 1 0 1 1 1

D C⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resolvemos la ecuación matricial:

( )3

0 1 0 1 1 1 1 0 11 12 ( ) 1 0 1 0 2 0 1 2 12 2

0 1 0 1 1 1 1 0 1

2 2 2 1 1 11 2 4 2 1 2 12

2 2 2 1 1 1

X C D I D C X C D C C D⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − ⋅ = + ⋅ ⇒ = + ⋅ + ⋅ = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) La matriz 0 1 01 0 10 1 0

a b ca

C bc

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

su grafo es

La matriz

1 2 31 0 1 12 1 0 13 1 1 0

D⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

su grafo es

Sean las matrices0 1 0 0 1 11 0 1 1 0 10 1 0 1 1 0

C y D⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

a) Resuelva la ecuación matricial 32 ( )X C D I D C⋅ − ⋅ = + ⋅ . b) Si las matrices C y D son las matrices de adyacencia de dos grafos, de vértices a, b, c y 1, 2, 3, respectivamente, haga la representación gráfica de dichos grafos. SOCIALES II. 2011 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCION A



a) Calculamos: 3

1 0 0 1 5 6 0 5 60 1 0 0 1 7 0 0 70 0 1 0 0 1 0 0 0

I A− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23

0 5 6 0 5 6 0 0 35( ) 0 0 7 0 0 7 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0I A

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

33

0 5 6 0 0 35 0 0 0( ) 0 0 7 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0I A

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Resolvemos la ecuación matricial:

1 1 5 0 1 3 5 0 4 ; 1

3 3 10 0 9 10 0 3a a

B C D O a bb b

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ = ⇒ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) Dada la matriz 1 5 60 1 70 0 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, calcule 33( )I A− .

b) Dadas las matrices1 1 5

, ,3 3 10a

B C Db

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, determine a y b de manera que

B C D O⋅ − = siendo O la matriz nula. SOCIALES II. 2011 RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCION A


R E S O L U C I Ó N a) Escribimos y resolvemos la ecuación que nos dan.

2 0 1 4 2 42 1 1 2 2 1 2 6 ; 3 ; 00 1 1 1 1 1

t

a aA B C b b a b c

c c

− − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⇒ − ⋅ − = ⇒ − − + = ⇒ = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Calculamos

2 1 5 1 5 14 20 28 402 2 2

3 5 3 5 12 10 24 20D

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) De una matriz cuadrada, A, de orden 3 se conocen los siguientes elementos 12 21 13 31 23 322 ; 0 ; 1a a a a a a= = − = = = =

Determine los demás elementos de la matriz A sabiendo que debe cumplirse la ecuación tA B C⋅ = , donde ( ) ( )1 1 1 4 2 1tB y C= − = − − .

b) Calcule 22D , siendo 1 53 5

D−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠.

SOCIALES II. 2011 RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCION A



a) 0 1

0 1 0 1 01 0

1 0 1 0 20 1

tA A⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

0 1 1 0 10 1 0

1 0 0 1 01 0 1

0 1 1 0 1

tA A⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 1 0 3 11 0 1 1 2

A B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = ⋅ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

No se puede, ya que el número de columnas de la primera matriz

no coincide con el número de filas de la segunda. b)

33 11 0 3 1 3 1 110 2 1 2 2 2 1 2 2 1 12

2 2

t

aa b a b b

A A X B Xc d c d c

d

= ⎫−⎛ ⎞⎪− − = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠⎪= ⎭

Sean las matrices 0 1 0 3 11 0 1 1 2

A y B−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

a) Efectúe, si es posible, los siguientes productos: ; ;t tA A A A A B⋅ ⋅ ⋅ . b) Resuelva la siguiente ecuación matricial tA A X B⋅ ⋅ = . SOCIALES II. 2011 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCION B

PROBLEMAS RESUELTOS


2012


TEMA 1: MATRICES

• Junio, Ejercicio 1, Opción B









2

1 1 1 0 1 22 1 0 1 1 1

00 2 2 1

1 ; 4 ; 1 ; 62 2 1 2 2

2 2

t a bA X A I

c d

a ca c b d a c

a b c da c b d b d

b d

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = ⎫⎪− − − − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = = = =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭

Luego, la matriz es 1 41 6

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 filas, es decir, de orden (2,m). c) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 columnas, es decir, de orden (m,2).

Sea la matriz 1 12 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠.

a) Resuelva la ecuación matricial 2tA X A I⋅ + = .

b) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el producto A B⋅ ?. c) ¿Y para el producto 3 B A⋅ ⋅ ?. SOCIALES II. 2012 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION B


= −

Sean las matrices ; y C . 1 62 4

A− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 21 0 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

0 13 1a

b⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠a) Halle los valores de a y b para que se verifique tB C A⋅ = . b) Resuelva la ecuación matricial 2

2A X A I⋅ − = . SOCIALES II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCION A


a)

31 1 2 1 6

0 11 0 1 2 4

1

2 12 3 1 2 1 6 4 2 6

3 ; 11 3 2 4 1 2

3 4

t

aB C A

b

aa b b

a ba b a

b

⎛ ⎞− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠− + = − ⎫

⎪− + − − + − − − + = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭

b)

22

1 6 1 6 1 6 1 02 4 2 4 2 4 0 1

6 106 6 11 18 1 0 2 4 6 1 21 7; ; ;

2 4 2 4 6 4 0 1 6 18 2 4 42 4 5

a bA X A I

c d

a ca c b d a c

a b c da c b d b d

b d

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − = − ⎫

⎪− − − − − − + =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = + ⇒ ⇒ = − = − =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪+ = ⎭

318

=

Los alumnos de 2º Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno. a) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño. b) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, A ( 20 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto. c) Calcule los productos M·A y M·B e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 Kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?. SOCIALES II. 2012 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCION B


a) La matriz que nos piden es:

2 15 3

100 80

g pH

M AHa

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Las matrices que nos piden son: y 2030

gA

p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

3020

gB

p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Calculamos los productos de matrices:

2 1 7020

5 3 19030

100 80 4400M A

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

2 1 8030

5 3 21020

100 80 4600M B

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

Tenemos 8 docenas de huevos huevos; 200 terrones de azúcar y 5.000 g de harina. 8 12 96= ⋅ = Vemos que podemos elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. No se pueden elaborar 30 grandes y 20 pequeños, ya que nos faltarían terrones de azúcar.


Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial 2A X A B C⋅ = − ⋅ , siendo A, B y C las matrices:

1 10 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; y . 1 0 11 1 4

B⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 01 12 0

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

SOCIALES II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCION A


2

1 01 1 1 1 1 1 1 0 1

1 10 2 0 2 0 2 1 1 4

2 0

3 03 3 0 1 4 8 1 16 ; ; 2 ;

4 4 8 1 3 1 4 44 1

a bA X A B C

c d

a ca c b d c

a b c dc d b d

d

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠+ = ⎫

⎪+ + = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = = = −⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪= ⎭

=


Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos, grande y normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo en cada formato.

100 150 80 6 8 5200 250 140 4 5 3

A B C A B Cgrande grande

F Gnormal normal

⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

a) Efectúe los productos tF G⋅ y tF G⋅ b) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles son esas ganancias. c) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles son esas ganancias y halle la ganancia total. SOCIALES II. 2012 RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCION A


a) Calculamos los productos:

100 200 1400 1800 11006 8 5

150 250 1900 2450 15004 5 3

80 140 1040 1340 820

tF G⎛ ⎞ ⎛

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎠

6 4

100 150 80 2200 13908 5

200 250 140 3900 24705 3

tF G⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Las ganancias de cada uno de los tres artículos es la diagonal de la matriz tF G⋅ 1400 € del artículo A 2450 € del artículo B 820 € del artículo C c) Las ganancias de cada uno de los formatos es la diagonal de la matriz tF G⋅ 2200 € del formato grande 2470 € del formato normal


Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero. a) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes. b) Calcule la matriz de compras del trimestre. c) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total. SOCIALES II. 2012 SEPTIEMBRE EJERCICIO 1. OPCION B


a) Las matrices de compras son:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

9 5 18 10 0 03 7 6 14 6 144 6 5 7 5 7

A B A BC C C

E C F C M CC C C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

A B

⎞⎟⎟⎟⎠

b) La matriz de compras del trimestre es:

1

2

3

27 1515 3514 20

A BC

T E F M CC

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) La matriz de los precios es: 80

100A

PB

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ Lo que factura la fábrica es:

27 15 366080

15 35 4700100

14 20 3120T P

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

Luego, lo que factura la fábrica al primer cliente es 3660 €, al segundo 4700 € y al tercero 3120 €. En total, factura: 366 0 4700 3120 11480 €+ + =




2013


TEMA 1: MATRICES

• Junio, Ejercicio 1, Opción A





22

2

5 2 2 1 2 1 4 22 1 2

4 52 2

1 ; 02 2

1

a bA

a b a b a ab a b

ab

a ba aba b

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = ⎫⎪− − = − ⎪⇒ ⇒ = − =⎬+ = − ⎪⎪− + = ⎭

La matriz 2 11 0

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ es simétrica, ya que: tA A=

b) Calculamos la matriz que nos piden:

( )2 2 212( 3 ) 2 6 62

A B X I A B X I X A B I⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = ⋅ +

( )2

1 12 1 1 1 6 01 1 263 1 3 0 0 6 92 2 0

2

X A B I

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ − − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ + = ⋅ + = ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠


Aa b

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 13 0

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) Obtenga a y b sabiendo que 2 5 22 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. ¿Es A simétrica?

b) Para los valores 3a = y 1b = calcule la matriz X tal que 22( 3 )A B X I⋅ = − . SOCIALES II. 2013 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION A


R E S O L U C I Ó N a) Calculamos 2A y 2013A

22

0 1 0 1 1 01 0 1 0 0 1

A I⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2013 2012 2 1006 1006

2 2

0 1( ) ( )

1 0A A A A A I A I A A ⎛ ⎞

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Resolvemos la ecuación matricial

2 22 2

0 1 5 15 1 0 1 05 5

1 0 10 5 0 1 0 1

3 15 10 310 3 3 15

t t a bA X I B A A X B A I

c d

c dX

a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + = − ⇒ ⋅ = − − ⇒ ⋅ = − − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sean las matrices 0 11 0

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y 1 23 1

B⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) Calcule 2A y 2013A . b) Resuelva la ecuación matricial 2

2 5 tA X I B A⋅ + = − . SOCIALES II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCION B


R E S O L U C I Ó N a) Resolvemos la ecuación matricial

2 3 3 30 1 0 15 5 5 5(2 ) 34 6 4 4 6 9 4 45 5 5 5 5 5 5 5

01 1 0 1 1 31 ; ; 1 ;0 2 2 1 2 2 2

2 1

a bA B X A B

c d

a ca b b d

a b c dc d c

d

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟+ ⋅ = − ⇒ + ⋅ = − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

− = ⎫⎪− − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪= ⋅ = ⇒ ⇒ = − = = −⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪= ⎭

12

=

Luego, la matriz que nos piden es: 312112

X

⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Calculamos la dimensión de la matriz D en cada caso

(2,3) (2,2)C D A D⋅ + ⇒ ⋅ + ⇒ La matriz D es de orden (3,2)

(3,2) (2,3)tC D C D⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ La matriz D es de orden (2,2)

(3,2)tD C D⋅ ⇒ ⋅ ⇒ La matriz D es de orden (x,3), es decir, puede tener cualquier número de filas y 3 columnas.

(2,3) (3,2)tC D C D⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ La matriz D es de orden (3,3)

Sean las matrices

1 052 35 5

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

,

3 154 45 5

B

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; 1 0 12 1 3

C−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Resuelva la ecuación matricial (2 ) 3A B X A B+ ⋅ = − . b) Determine en cada caso las dimensiones de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: , , ,t t tC D A C D C D C C D C⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . SOCIALES II. 2013 SEPTIEMBRE EJERCICIO 1. OPCION B

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2014


TEMA 1: MATRICES






Reserva 4, Ejercicio 1a, Opción B


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a) Calculamos

21 1 1 2

0 1 0 1 0 1

a a aA

3 21 2 1 1 3

0 1 0 1 0 1

a a aA A A

4 2 21 2 1 2 1 4

0 1 0 1 0 1

a a aA A A

5 41 4 1 1 5

0 1 0 1 0 1

a a aA A A

Siguiendo el proceso, vemos que: 2014

1 2014

0 1

aA


3

6 2 010

1 6 0 0 6 024 4

0 1 3 0 0 3 00

4 0

a c

a b b dA X B O

c d c

d

Resolviendo el sistema, vemos que la matriz que nos piden es: 16 0

3 0X

Sean las matrices 1

0 1

aA

y

10

2

30

4

B

, siendo a un número real cualquiera.

a) Obtenga la matriz 2014A .

b) Para 2a , resuelva la ecuación matricial 34A X B O .

SOCIALES II. 2014. JUNIO . EJERCICIO 1. OPCION A

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a) Calculamos

1

1 1 1 10 1

aB A a

1

( ) 1 11

ttB A aa

1 1 1

0 1 1 1

ta a

A B

Igualamos y resolvemos el sistema:

1 1 1 1( ) 0

1 1 1 1

t ta a

B A A B aa a


1 2 1

1 1 2 1 1 1 ; 30 1 2 1

aX A B a b a a b a b

a b

La matriz que nos piden es: 1 3 X

Sean las matrices 1

0 1

aA

y 1 1 B

a) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique ( ) t tB A A B .

b) Para 2a , resuelva la ecuación matricial X A B


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a) Calculamos la dimensión de la matriz A. Sabemos que para que se puedan multiplicar dos

matrices el número de columnas de la primera matriz debe de coincidir con el número de filas de la

segunda matriz, y la matriz resultante tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la

segunda, luego:

( , ) (2,2) (3,2) 3 ; 2m n m n

Por lo tanto, la matriz A es de orden (3, 2)


3 1 9 5 12 18 2 185 0

1 2 8 3 5 4 6 16 64 6

2 1 6 10 4 6 2 12

5 12 2

5 4 162 ; 4 ; 2

10 4 2

6 12

a a

b b

c c c

a

ba b c

c

c

Luego la matriz que nos piden es:

2 3

4 1

2 2

A


4 6B

y 1 8 1

9 3 6C

a) Determine la dimensión que debe de tener la matriz A para que se verifique la igualdad:

2t

A B C

b) Halle la matriz A anterior, sabiendo que de ella se conocen los elementos

31 12 222, 3, 1a a a .

SOCIALES II. 2014 RESERVA 2 EJERCICIO 1. OPCION A

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a) Calculamos los valores de x e y.

2 1 1 3 2 3 2 3 6 9;

3 1 1 0 3 3 3 2 0 7 7

x x x y x yx y

y y x y y x y

b) Resolvemos la ecuación matricial:

1 3 0 1 1 2 1 3 1 02

2 5 1 0 3 1 2 5 1 1

2 1

3 5 05 ; 3 ; 7 ; 4

2 1

3 5 1

a bX

c d

a b

a ba b c d

c d

c d

Luego, la matriz que nos piden es:5 3

7 4X

a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la igualdad

2 1 1 3

3 1 1 0

x x

y y

b) Resuelva la ecuación matricial: 1 3 0 1 1 2

22 5 1 0 3 1

X

.


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a) Calculamos tA B

2 1 3 1 4 6

3 2 2 4 13 5

tA B

b) Calculamos la matriz X

1 33 2 2 1 1 3

2 2 21 4 3 2 2 6

1 3

X B A X

b) Calculamos la matriz Y

3 2 6 3 2 6 33 ;

1 4 9 4 9 2

a a ba b

b a b

Luego, la matriz que nos piden es:

3

3

2

Y

Se consideran las matrices 2 1

3 2A

y

3 2

1 4B

.

a) Efectúe la operación tA B

b) Determine la matriz X tal que 2A X B .

c) Calcule la matriz Y, sabiendo que: 6

9B Y


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Resolvemos la ecuación matricial

0 1 0 2 1 2 2 02 0 ; 3 ; 2 ; 0

2 0 1 2 1 1 2 2 0 6

a b c da b c d

c d a b

Luego, la matriz que nos piden es: 0 3

2 0X

Resuelva la ecuación matricial 2 ( )t

A X C D , siendo :

0 1

2 0A

, 0 2

1 2C

y

1 1

2 1D

SOCIALES II. 2014 RESERVA 4. EJERCICIO 1b. OPCIÓN B

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a) Resolvemos el sistema matricial

1 7 1 7 70

2 1 2 1 0 7 22

7 3 7 31 0 1 03 3

2 25 2 5 2

X Y X Y

X X

X Y X Y

1 7 3 21 213 3 12 1 6 3 2 21 2

211 5 11 51 0 1 0

3 32 25 2 5 2

X Y X Y

Y Y

X Y X Y


1 0 1 5 2 0 1 5 5 251 ; 5 ; ;

5 2 0 2 0 2 5 2 5 2 0 0 2 2

a b a ba b c d

c d a c b d

Luego la matriz que nos piden es: 1 5

5 25

2 2

Z


2 1A

y

1 0

5 2B

a) Calcule las matrices X e Y para las que se verifica:

X Y A y 3X Y B

b) Halle la matriz Z que verifica: 2

2t

B Z B I .

SOCIALES II. 2014 SEPTIEMBRE EJERCICIO 1. OPCION A

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2015


TEMA 1: MATRICES



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a) Resolvemos el sistema matricial

4 6 4 6

2 2 2 2 6 3 2 13

3 3 1 12 3 2 32 2

5 1 5 1

X Y X Y

Y Y

X Y X Y

2 1 4 6 2 5

1 1 2 2 3 1X X

b)

(2,2) (3,2)A D C No se puede, ya que para sumar matrices, éstas tienen que tener el mismo orden y

la matriz resultante, también es del mismo orden.

(2,2) (2,3) (2,3)

tA D C Si se puede, la matriz D es de orden (2,3)

(3,2) (2,2) (3,2)D A C Si se puede, la matriz D es de orden (3, 2)

(2,2) (2,3)

tD A C No se puede, ya que la matriz resultante debe tener tantas columnas como

columnas tiene la matriz A, y 2 3


1 1A

,

2 3

5 1B

y

2 0

0 2

3 0

C

a) Calcule las matrices X e Y si: 2X Y A y 2X B Y

b) Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los

casos afirmativos las dimensiones de la matriz D. t t

A D C A D C D A C D A C

SOCIALES II. 2015 JUNIO EJERCICIO 1. OPCION B

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a) Calculamos 2A

21 2 1 2 1 6

1 2 1 2 3 2A


1 2 4 8 8 8 12 8 2 2 2 4 4 16

1 2 4 4 8 4 8 4 2 2 2 0 12 4

2 ; 4 ; 6 ; 1 ; 4 ; 5

a b c a d b e c f

d e f a d b e c f

a b c d e f

Luego la matriz que nos piden es: 2 4 6

1 4 5X


1 2A

,

1 2 2

1 1 2B

,

8 4

12 8

8 4

C

a) Calcule 2A

b) Resuelva la ecuación matricial: 4t

A X B C . SOCIALES II. 2015 SEPTIEMBRE EJERCICIO 1. OPCION A

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2016


TEMA 1: MATRICES








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Nota aclaratoria: En el enunciado del problema hay una pequeña errata. Dice: “Las filas de la

matriz P…” cuando en realidad debe decir: “Las columnas de la matriz P…”

a) Calculamos

2 525 20 15 115 160

1 123 25 17 122 157

3 1

tP Q

El elemento 11 115a representa el precio de los artículos en el supermercado 1C por los artículos

que desea comprar Cati.


que desea comprar Manuel.


que desea comprar Cati.


que desea comprar Manuel.

Calculamos

25 232 1 3 115 122

20 255 1 1 160 157

15 17

tQ P

El elemento 11 115b representa los artículos de Cati por el precio en el supermercado 1C .

El elemento 12 122b representa los artículos de Cati por el precio en el supermercado 2C .

El elemento 21 160b representa los artículos de Manuel por el precio en el supermercado 1C .

El elemento 22 157b representa los artículos de Manuel por el precio en el supermercado 2C .

b) Según lo calculado en el apartado anterior, vemos que a Cati le interesa comprar en el

supermercado 1C y a Manuel en el supermercado 2C

Las filas de la matriz P indican los respectivos precios de tres artículos 1

A , 2

A y 3

A en dos

comercios, 1

C (fila 1) y 2

C (fila 2): 25 20 15

23 25 17P

Cati desea comprar 2 unidades del artículo 1

A , 1 de 2

A y 3 de 3

A

Manuel desea comprar 5 unidades del artículo 1

A , 1 de 2

A y 1 de 3

A

Han dispuesto esas compras en la matriz Q: 2 1 3

5 1 1Q

a) Calcule tP Q y t

Q P e indique el significado de los elementos de las matrices resultantes.

b) A la vista de lo obtenido en el apartado anterior, ¿dónde les interesa hacer la compra a cada

uno?


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a) Calculamos 2A y 2016A

21 2 1 2 1 0

0 1 0 1 0 1A I

3 2A A A I A A

4 3A A A A A I

Por lo tanto: 20161 0

0 1A I


1 2 1 1 2 1 2 2

0 1 2 0 2 1 1 2

2 2 2 2 1 4 4 1 4

1 1 0 1 1 0

t ta b c

A X B C A X C Bd e f

a d b e c fX

d e f


0 1A

,

1 2 2

1 1 2B

y

1 2

1 0

2 2

C

.

a) Calcule 2A y 2016

A .

b) Resuelva la ecuación matricial tA X B C .


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a) Resolvemos la ecuación matricial

1 11 4 0 1 2 1 0

0 2 22 3 1 0 3 2 3

1 1

1 7 2 4 1 0

3 9 0 6 2 3

1 3 1 0 3 3

3 3 2 3 3 3 3 3

a b a b

c d c d

a b a b

c d c d

a b a c b d

c d a c b d

1 0

2 3

3 1

3 3 2 3 3 5 1; ; ;

3 0 2 2 6 2

3 3 3

a c

a ca b c d

b d

b d


3 3

2 2

5 1

6 2

X

b)

(3,2) (2,3) (2,2)2B C A No se puede, ya que B C es una matriz (3,3) y no se puede sumar con una

matriz (2,2).

(2,2) (2,3) (2,3) (2,3)A C C Si se puede, ya que A C es una matriz (2,3) y se puede sumar con otra

matriz (2,3).

(2,3) (2,3)

tB C . No se puede, ya que el número de columnas de la primera matriz no coincide con

el número de filas de la segunda matriz.

(2,3) (3,2) (2,2) (2,2)C B A Si se puede, ya que C B es una matriz (2,2) y se puede restar con otra

matriz (2,2).


0 3A

,

1 1

0 2

1 1

B

y 1 4 0

2 3 1C

.

a) Resuelva la ecuación matricial 2t

C B X A X A .

b) Analice cuáles de las siguientes operaciones, sin efectuarlas, se pueden realizar y justifique

las respuestas: 2 , , ,t

B C A A C C B C C B A .


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1 11 0 1 2 4 2 21

0 2 21 2 0 2 6 4 62

1 0

2 1 1 2 4 4

1 5 1 3 8 12

2 3

2 5 3 6 5 6 7 5; ;

2 5 9 9 2 9 3 3

5 9

a b

c d

a b

c d

a b

a b a b a ba b

c d c d c d

c d

6 ; 3 c d


7 5

3 3

6 3

X

b)

(2,2) (2,3) (2,3)A B Si se puede y la matriz resultante es de orden (2,3).

(2,2) (3,2)

tA B No se puede, ya que el número de columnas de la primera matriz es distinto del

número de filas de la segunda matriz.

1

(2,3) (2,2)B A No se puede, ya que el número de columnas de la primera matriz es distinto del


1

(3,2) (2,2) (2,2)

tB A A No se puede, ya que tB A es una matriz (3,2) y no se puede sumar con

una matriz (2,2).


2 6A

y

1 0 1

1 2 0B

a) Resuelva la ecuación matricial 1

22

t tX B B A A .

b) Razone cuáles de las siguientes operaciones pueden realizarse e indique, en su caso, la

dimensión de la matriz resultante: 1 1, , ,

t tA B A B B A B A A

SOCIALES II. 2016. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCION B

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a)

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

t

n m m n n n

n n n a n n n n

A A B

B X I X

Luego, la matriz X es una matriz cuadrada de orden n


1 11 1 1 1 0 3 1 1 0 3 3 1 0

1 11 1 1 0 1 1 3 0 1 3 3 0 1

1 1

3 1

3 0 3 1 1 3; ; ;

3 0 8 8 8 8

3 1

a b a b a c b d

c d c d a c b d

a c

a ca b c d

b d

b d


3 1

8 8

1 3

8 8

X

c)

1 1 1 1 1 1 4 41 1 1 3 1

1 1 1 1 1 1 2 21 1 1 1 3

1 1 1 1 1 1 4 4

a) Si A es una matriz de dimensión m x n, indique la dimensión de una matriz X si se verifica

que t

nA A X I .

b) Calcule dicha matriz X en el caso en que

1 1

1 1

1 1

A

c) Calcule, si es posible, el producto tA A A .


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a)

(2,2) (1,2)A B No se puede, ya que el número de columnas de la primera matriz es distinto del


(1,2) (2,2)

3 02 3 3 6

1 2B A

.

(1,2) (2,1)

12 3 1

1B C

(1,2) (2,1)

21 1 1

3

t tC B

.


3 0 2 1 3 4 2 3 2 2 194 ;

1 2 3 1 2 4 3 2 7 3 6

a a aa b

b a b a b


2

3

19

6

X


, 2 31 2 1

A B y C

.

a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y en dichos casos calcule el

resultado: , ,t t

A B B A B C y C B .

b) Calcule la matriz X en la ecuación 4t

A X B C .

SOCIALES II. 2016. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCION B

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1 2 1 2 1 1 0 4 2 6 1 4 5 3 6

1 3 1 3 2 3 2 8 0 2 2 7 6 3 4

4 4 4 5 3 659 ; 33 ; 58 ; 16 ; 9 ; 16

2 7 2 7 2 7 6 3 4

a b c a b c

d e f d e f

a d b e c fa b c d e f

a d b e c f

Luego la matriz que nos piden es: 59 33 58

16 9 16X

b) La matriz P tiene de dimensión (3, 2) , para que la matriz resultante sea cuadrada de dimensión 2

La matriz Q tiene de dimensión (3,3) , para que la matriz resultante sea cuadrada de dimensión 2


1 3A

,

2 1 3

4 0 1B

, 1 1 0

2 3 2C

a) Resuelva la ecuación matricial 22A X C B

b) ¿Qué dimensiones deben tener las matrices P y Q para que las matrices ( )B C P y t

B Q C sean cuadradas?.


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2017


TEMA 1: MATRICES



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a) Calculamos 2A

2

2

1 2 1 2 1 0

0 1 0 1 0 1A I

Luego:

10081008

2017 2016 2

2

1 2

0 1A A A A A A I A

b) En general, el producto de matrices no es conmutativo, con lo cual, la expresión que nos dan

debe ser falsa, ya que, en general: A B B A

Vamos a ver si en nuestro caso es cierto que A B B A

1 2 3 1 3 3

0 1 0 2 0 2

3 1 1 2 3 7

0 2 0 1 0 2

A B

B A

Vemos que son distintos, luego la igualdad es falsa


0 1A

y

3 1

0 2B

a) Calcule la matriz 2017A .

b) ¿Se verifica la expresión 2 2( ) ( )B A B A B A ?.

SOCIALES II. 2017. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION A

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a) 2A : No se puede calcular ya que el número de columnas de la primera matriz no es igual que el


A B : No se pueden restar ya que no son del mismo orden las matrices

0 11 0 1 1 2

1 00 1 1 2 1

1 1

A B

tA B : No se puede calcular ya que el número de columnas de la primera matriz no es igual que el



1 0 0 1 0 3 1 3

3 0 1 1 0 3 0 3 1

1 1 1 1 3 3 2 2

1

3

33 ; 1 ; 1 ; 3

1

2

2

t

c da b

A B X B a bc d

a c b d

c

d

aa b c d

b

a c

b d

Luego la matriz que nos piden es: 3 1

1 3X


0 1 1A

y

0 1

1 0

1 1

B

a) Justifique cuales de las siguientes operaciones pueden realizarse y, en tal caso, calcule el

resultado: 2; ; ;

tA A B A B A B

b) Halle la matriz X tal que: 3t

A B X B


CURSO 2017-18 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS ... · •Junio, Ejercicio 1, Opción B- P. 87...

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