Curso de Simulación UNP

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEO

Introducción a la Simulación Numérica de Reservorios Pag. 1 Ing. Carlos Ramírez Castañeda

3. MODELO MATEMÁTICO Los simuladores de reservorios han sido caracterizados variadamente como modelos de computadora, modelos matemáticos ó modelos numéricos, es de utilidad hacer una distinción entre estos términos, para nuestro propósito un modelo matemático de un sistema físico es un grupo de ec. Diferenciales parciales junto con un apropiado grupo de condiciones de frontera que creemos adecuadamente describe los procesos físicos significantes teniendo lugar en el sistema. Para utilizar las ec. Diferenciales parciales para predecir el comportamiento de un reservorio es necesario resolverlos sujeto a las condiciones apropiadas de frontera. Solo para el caso más simple que involucra un reservorio homogéneo y fronteras regulares (como una frontera circular alrededor de un simple pozo) soluciones pueden ser obtenidas por los métodos clásicos de física-química. Aproximaciones deben ser hechas para poner las Ec. Diferenciales en una forma (diferencias finitas) que este dispuesto a solución por computadoras digitales, tal conjunto de ecuaciones constituye un modelo numérico. Finalmente el programa de computadora o grupo de programas escritos para solucionar las ecuaciones de un modelo numérico hace el modelo del computador. j Anisotropía y el Tensor Permeabilidad. Hasta este punto se ha estado tratando la permeabilidad de un medio poroso como si fuera independiente de la dirección del flujo. Nosotros conocemos sin embargo que esto no es generalmente verdad para lo que ocurre naturalmente en el medio poroso en la mayor parte de los reservorios bajo superficie. La permeabilidad intrínseca puede tener diferentes valores para el flujo en diferentes direcciones, por eso requiere de un tensor (matriz) para tomar el caso anisotrópico. La permeabilidad Vertical es a menudo mucho menor que la permeabilidad horizontal en cualquier dirección. Si nosotros podemos usar la ley de Darcy en el desarrollo mas realístico, debemos considerar la mas compleja naturaleza direccional de la permeabilidad constante. Para esto consideraremos el flujo en tres dimensiones en un sistema de coordenadas. En tal sistema de flujo, el potencial de flujo en cualquier punto tendrá una dirección asi como también magnitud. Lo mismo será verdad para el flujo. Ambos son cantidades vectoriales y pueden ser expresados como componentes en el espacio cartesiano.

zyx uuuandzyx

,,,,

.

La experiencia ha mostrado que el flujo volumétrico es siempre directamente proporcional al potencial de flujo (gradiente del potencial) aun cuando la constante de proporcionalidad aparente puede ser una función de la dirección de flujo.

FORMULACIÓN

PROCESO DE RECUPER.

EDP NO LINEALES

ECS ALGEBRAICAS NO LINEALES

ECS. ALGEBRAICAS LINEALES

DISTRIBUC. DE PRESIÓN SATURACIÓN Y RATES.

PROCESO DE SIMULA. NUMÉRICA DE RESERV.

FORMULACION FORMULACION

E DP NO

LINEALES



El producto escalar de un tensor por un vector gradiente se lleva a cabo como un producto de matrices.

)(1

Ku

z

y

x

KKK

KKK

KKK

u

u

u

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

1 (3.1)

Las nueve constantes de proporcionalidad, Kij, son necesarias para expresar la posible dependencia del flujo sobre todas las componentes del vector gradiente (Potencial de flujo). Tomados juntos forman un tensor cual nosotros llamaremos el tensor permeabilidad. Individualmente estos nueve elementos no tienen significado físico. Considerando el hecho que la manera más general en el cual podemos describir el flujo de fluido en una matriz tridimensional utilizaría tres ecuaciones para describir el vector flujo.

Ecuación Generalizada de Darcy:

z

Ky

Kx

Ku xzxyxxx

1

z

Ky

Kx

Ku yzyyyxy

1

z

Ky

Kx

Ku zzzyzxz

1 (3.2)

Si los ejes principales de las permeabilidad coincide con el eje de las coordenadas del sistema los términos cruzados desaparecen Kyx = Kxy, Kzx = Kxz and Kzy = Kyz de tal forma que el tensor permeabilidad es una matriz simétrica. Una de las propiedades de la matriz simétrica es que la simetría es retenida durante la rotación y traslación de los ejes coordenados. Así un particular conjunto de ejes puede ser siempre encontrado donde todos los elementos que no se encuentran sobre la matriz principal son iguales a cero asi:

z

y

x

k

k

k

dadpermeabiliTensor

00

00

00

(Llamado matriz diagonal)

Para el tensor permeabilidad al ser una matriz diagonal se puede decir que: 1. Los ejes deben ser ortogonales. 2. Los ejes deben ser los ejes principales de la permeabilidad.



3. Las 3 cantidades kx, ky y kz son la verdadera permeabilidad constante cuando el potencial de flujo es dirigida a lo largo de los ejes x,y & z respectivamente. La matriz diagonal permeabilidad aparece para ajustar a la experiencia en rocas reservorio donde la permeabilidad normal a los planos de estratificación es el mínimo valor para la permeabilidad en cualquier dirección mientras el máximo valor ocurre paralelo a esos planos

Las ecuaciones para los componentes del vector flujo (ecuación 3.2) son entonces simplificadas a:

x

ku x

x

,

y

ku

y

y

,

z

ku z

z

. (3.3)

Y el flujo total tendrá una magnitud y ángulos de dirección dados por:

222

zyx uuuu

u

uxarccos :

u

uyarccos :

u

uzarccos

Donde: 1coscoscos 222 .

Ejemplo Un medio poroso anisotrópico (kx = 100 md, ky =50 md and kz = 10 md). Está saturado con un fluido incompresible y el potencial de flujo es -0.25 atm/cm dirigido con ángulos de 85 y 60 grados con respecto a los ejes x e y . Encontrar la magnitud y dirección del flujo volumétrico resultante.

5.308616.060cos85cos1cos 22

0218.085cos25.0cos

dl

d

x

2154.08616.025.0cos

dl

d

z

sec/108125.7125.08.0

05.0 3cmxy

kyuy

125.060cos25.0cos

dl

d

y

sec/10724.20218.08.0

1.0 4cmxx

ku x

x



sec/106925.22154.08.0

01.0 3cmxz

ku z

z

sec/102679.8 3222 cmxuuuu zyx

(Magnitud del flujo volumétrico)

reesu

ux deg1.88arccos

(Angulo del flujo con respecto a X)

reesu

uydeg1.19arccos

(Angulo del flujo con respecto a Y)

reesu

uz deg1.7arccos

(Angulo del flujo con respecto a Z)

Notar en el ejemplo que la dirección del flujo volumétrico es diferente a la dirección del potencial de flujo. Esto siempre será verdadero en un medio anisotrópico excepto cuando el potencial de flujo sea paralelo a uno de los ejes coordenados.

El orden de un tensor será el número de índices necesario para especificar sin ambigüedad una componente de un tensor: un escalar como un tensor de orden cero, un vector, un tensor de orden uno, y dada una base vectorial, los tensores de segundo orden pueden ser representados por una matriz. La mayoría de las magnitudes físicas se pueden expresar como tensores. Un ejemplo simple es la descripción de una fuerza aplicada al movimiento de una nave en el agua. La fuerza es un vector y la nave responderá con una aceleración, que es también un vector. La aceleración en general no estará en la misma dirección que la fuerza, debido a la forma particular del cuerpo de la nave. Sin embargo, resulta que la relación entre la fuerza y la aceleración es lineal, tal relación es descrita por un tensor del tipo (1,1), es decir que transforma un vector en otro vector. El tensor se puede representar como una matriz que cuando es multiplicada por un vector, dé lugar a otro vector. Así como los números que representa un vector cambiaran s uno cambia el conjunto de coordenadas, los números en la matriz que representa el tensor también cambiarán cuando se cambie el conjunto de coordenadas. En la ingeniería las tensiones en el interior de un solido rígido o líquido también son descritas por un tensor. Si un elemento superficial particular dentro del material se selecciona el material en un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. En general esta fuerza no será ortogonal a la superficie, si no que dependerá de la orientación del a superficie de una manera lineal. Esto esta descrito por un tensor del tipo (2,0), ó mas exactamente por un campo tensorial del tipo (2,0) puesto que las tensiones puede cambiar punto a punto.



Sistemas Homogéneo y heterogéneo La característica de un sistema homogéneo es la distribución espacial uniforme de la propiedad. Mientras el sistema heterogéneo exhibe una distribución no uniforme. Por simplicidad a menudo asumimos homogeneidad en los cálculos de reservorios, aunque muchos reservorios son heterogéneos. Es allí donde la simulación numérica de reservorios llega a ser una herramienta poderosa, debido a que esta nos permite incorporar variación de propiedades en el sistema. Es importante que cuando describimos un reservorio como homogéneo especifiquemos la propiedad de referencia. (Ejem: Este reservorio es homogéneo con respecto a la porosidad pero heterogéneo con respecto a la permeabilidad), aunque las ecuaciones en simulación de reservorios pueden acomodar la variación de propiedades dentro del dominio de interés con detalle, tal información detallada puede estar no disponible o en el mejor de los casos no detallado (impreciso/ no exacto). En tales casos debemos emplear técnicas de interpolación y ejercicios de ajuste de historia.

Sistemas Isotrópicos y Anisotrópicos

Algunos parámetros usados en simulación de reservorios exhiben dependencia direccional. Un reservorio exhibe distribución de propiedad isotrópica si esa propiedad tiene el mismo valor independiente de la dirección en la cual se mide. Por otro lado si el valor de la propiedad varía con la dirección entonces el reservorio es anisotrópico con respecto a esa. Uno debería ser cuidadoso para notar que solo aquellas propiedades que no son dependientes del volumen (Intensivas) pueden exhibir dependencia direccional. La porosidad por ejemplo es una propiedad intensiva por definición. Esta utiliza las tres dimensiones, y por consiguiente tiene cero grados de libertad en términos de variación direccional. La permeabilidad al contrario tiene dimensiones de área dejando una dirección en el cual puede variar. Las figuras muestran todas las posibles permutaciones de casos para dos dimensiones para la permeabilidad. Figure



La existencia de anisotropía determina la orientación de los principales ejes del sistema de coordenadas. En la mayoría de las aplicaciones los simuladores de reservorios emplean sistemas de coordenadas ortogonales, donde los ejes son mutuamente perpendiculares. Es imperativo alinear estos ejes con las direcciones principales del flujo de tal forma que podamos eliminar los elementos diagonales del tensor permeabilidad y quedar con elementos tridiagonales en un sistema de tres dimensiones (dos para dos dimensiones) de otro modo una representación incorrecta del sistema resultaría como se indica. Las propiedades de la roca reservorio, las propiedades físicas de los fluidos tales como el comportamiento PVT y propiedades de interacción fluido/roca tales como presión capilar y permeabilidades relativas influyen fuertemente en el flujo multifásico en medio poros Porosidad y el concepto de Heterogeneidad: Una propiedad de la roca reservorio tal como la porosidad usualmente varia en espacio de un punto a otro o de una región a otra. Si una propiedad es constante e independiente de la locación la roca reservorio es llamada homogéneo. En realidad los reservorios homogéneos son raros por tanto el concepto de homogeneidad es generalmente usado para medios porosos ideales. La idealización es usada para simplificar por otro lado problemas intratables para obtener soluciones analíticas. Permeabilidad y el concepto de anisotropía: La permeabilidad varia de un punto a otro y aun en el mismo punto puede depender de la dirección de flujo. En muchos problemas prácticos es suficiente asumir que la permeabilidad puede ser representado por tres valores (Kx,Ky Kz) en tres principales direcciones. Es frecuentemente posible asumir que la Kh = Kx=Ky en el plano horizontal debido a que en muchos ambientes deposicionales las tendencias direccionales no son aparentes. En adición la permeabilidad vertical Kv es a menudo diferente de la permeabilidad horizontal Kh, debido a que delgados paquetes de arcillas intercaladas afectan significativamente la permeabilidad vertical. Si Kx=Ky=kz el medio poros es llamado isotrópico, sin embargo es llamado anisotrópico si la permeabilidad muestra una predisposición direccional. Algunos parámetros usados en simulación de reservorios exhiben dependencia direccional. Un reservorio exhibe una distribución isotrópica de propiedades si la propiedad tiene los mismos valores independientes de la dirección en el cual es medido. Por otro lado si los valores varian con la dirección el reservorio es anisotrópico con respecto a esa propiedad. Solo aquellas propiedad que no son basados en volumen puede exhibir dependencia direccional, la porosidad por ejemplo es basado en volumen por definición; usa las tres direcciones asi tiene cero grados de libertad en términos de variación direccional. La permeabilidad por el contrario tiene solo la dimensión de área, dejando una dirección en el cual puede variar. Además todas las posible permutaciones de sistemas isotrópico y anisotrópico y homogéneo y heterogéneo pueden existir para casos multidimensionales. Heterogeneidad , homogeneidad , isotropía y anisotropía son cada uno relacionados a una simple propiedad, por lo tanto estos términos deberían siempre ser usados en referencia a una propiedad especifica. Por ejemplo un reservorio puede mostrar distribución homogénea con respecto a la porosidad pero distribución heterogenea con respecto a su espesor.



3.1. Flujo en una sola dimensión En su forma mas simple la Ley de Darcy para un flujo lineal horizontal de una simple fase establece que el régimen de flujo volumétrico a través de un medio poroso de longitud “L” y sección transversal “A” (sin considerar la conservación de la energía, por simplicidad asumimos condiciones isotérmicas)

L

PKAq

…………… (3.1)

Donde: q = Régimen de flujo volumétrico A= Área de la sección transversal de flujo. L =Longitud del medio poroso. ΔP = Diferencia de presión aplicado a través de la longitud μ = Viscosidad del fluido. K=Constante que define la habilidad de la roca para transmitir fluidos esta constante es

conocida como permeabilidad absoluta del medio.



La aplicabilidad de la ley de Darcy esta limitado a las siguientes condiciones:

Fluido homogéneo de una sola fase

Flujo Laminar.

No existe reacción química entre el medio y el fluido.

No existe resbalamiento entre las partículas de fluido y la superficie de los granos de la roca. ( La dimensión de los poros se aproxima la trayectoria media de la partícula)

La permeabilidad es independiente del tipo de fluido, temperatura y presión. El valor de la permeabilidad es determinado por la dimensión del poro y su distribución. Como se puede ver en la ecuación (3.1) “K” tiene dimensiones de longitud al cuadrado. La permeabilidad de muchas rocas es dependiente de la dirección del flujo, en otras palabras la permeabilidad medida con flujo perpendicular a cada cara de un cubo de una roca no son iguales. Tales rocas son denominados “Anisotrópicos”. Si el medio poroso es no horizontal Δ P = F / A la fuerza que origina el movimiento debido a la presión es F = Δ P x A En un estrato inclinado la energía adicional que origina el movimiento del fluido es debido a la gravedad como componente del peso del fluido en la dirección del estrato: F = M x Aceleración de la gravedad = W Sen θ x g = ρ x A x L Sen θ x g Δ P’ = ρ x A x L Sen θ x g / A Δ P’ = ρ x g x L x Sen θ Δ P’ = ρ x g x Sen θ ……….. (3.2) L La Ec. De Darcy considerando la energía adicional:

Seng

L

PKAq …………… (3.3)

L

D

X

θ

Z W



Para derivar la ec. Diferencial para flujo en una dimensión, tenemos área y profundidad “D” a variar arbitrariamente con la distancia “X”

x

zg

x

PKAq

x

zg

x

PKAq

…………… (3.4)

3.2. Potencial del fluido (Definido por M. King Hubert) En ciencias de la tierra además de Ing. De Petróleo por ejemplo Geología e Hidrología Potencial del fluido en un punto es definido como el trabajo requerido por un proceso sin fricción para transportar una unidad de masa de fluido desde un estado de presión y elevación arbitraria a un punto en estudio. Como se menciono arriba, las velocidades de partículas del fluido forman un conjunto de líneas de flujo. Las líneas de flujo son normales a las superficies equipotenciales y las magnitudes de estas velocidades son proporcionales a la gradiente de esas superficies equipotenciales. Hubbert define el potencial como la energía mecánica por unidad de masa en cualquier posición. El potencial del fluido también puede ser definido como la energía total requerida para transportar el fluido hacia determinada posición. La suma total de esta energía o trabajo hecho sobre el fluido refleja la energía mecánica dentro del fluido. Consideremos una partícula de fluido en un punto de referencia ó datum plane con potencial igual a cero. Entonces el potencial asociado con el fluido en mover hacia una nueva posición es calculado sumando todo el trabajo realizado sobre el fluido.



De la siguiente ecuación de la conservación de la energía al flujo de fluidos:

'22

2

ooo

P

g

uz

P

g

uz

'22

2

VPg

uzVP

g

uz o

oo

g

uVPzzgVdPVP o

V

Voo

2)('

2

Considerando que la velocidad del fluido es despreciable a ese nivel, el volumen especifico es constante.

)(' o

P

Po

zzgPd

La razón para esto es que el flujo de fluido entre dos puntos A y B es gobernado por la diferencia en potencial entre los puntos no los potenciales absolutos.

)()()('' BA

PA

PB

oB

PB

Po

oA

PA

Po

BA zzgPd

zzgPd

zzgPd

• P, V, u, Z

• Po, Vo, uo, Zo

Z - Zo

D.P.



Es por consiguiente convencional en ingeniería de reservorios seleccionar un plano de referencia arbitrario (datum plane) conveniente relativo al reservorio y expresar todos los potenciales con respecto a ese plano. Este nivel arbitrario puede ser a nivel de mar en la mitad, en el tope o base del reservorio, el nivel de este datum no es tan importante porque el caudal depende de la diferencia de potencial más que los potenciales absolutos. Además si se asume que el fluido del reservorio es incompresible ρ independiente de la presión, puede ser expresado como:

zgP

' ……………………… (3.5)

Una forma alternativa de expresar el potencial de cualquier fluido matemáticamente es como cabeza de fluido (fluid head) es:

zgP ' ………………… (3.6)

Donde Ф es el potencial en unidades de presión. De la Ec. (3.4) y (3.6) la ecuación de Darcy

puede expresarse en términos del potencial de fluido como:

x

KKAq r

………………….(3.7)

El potencial Ф es también frecuentemente llamado la presión de referencia (datum pressure),

desde que la función representa la presión en cualquier punto en el reservorio referido al plano de referencia (datum plane) como lo ilustrado en la fig.

Datum plane arbitrario z=zo

(PA,ZA)

(PB ,ZB)

A

ФB= PB - ρ g (ZB- Zo) ФA = PA – ρ g (ZA-Zo)



Nivel de referencia Absoluto

BBB DP

AAA DP

)( ABABAB DDPP

Nivel de Referencia Arbitrario

BBB ZP

AAA ZP

)( ABABAB ZZPP

Nivel de Referencia Arbitrario z=zo

222 DP

111 DP

)( 211212 DDPP



En el caso de un reservorio de petróleo, el flujo monofásico ocurre cuando la presión dinámica de fondo está por encima del punto de burbuja, durante la depleción la presión dinámica cae por debajo del punto de burbuja lo cual resulta en la combinación de un flujo bifásico dentro del reservorio. Muskat (1949) extendió la ecuación de Darcy a fin de modelar un flujo multifásico agregando un factor de corrección, cuyo valor depende de la saturación de fluidos en el sistema por lo que la ecuación toma la forma presentada. Para un flujo inmiscible de 03 fases la Kr es incluida para obtener la ley de Darcy separadamente para los flujos volumétricos de petróleo, agua y gas.

x

KKA

x

zg

x

PKKAq oro

ooro

o

………………….. (3.8)

x

KKA

x

zg

x

PKKAq wrw

wwrw

w

……………………(3.9)

x

KKA

x

zg

x

PKKAq

grg

g

grg

g

…………………… (3.10)

Estas tres ecuaciones serán combinadas con el principio de balance de materiales ó principio de continuidad para obtener la ecuación diferencial que gobierna el flujo de oil, agua y gas en un medio poroso. 3.3. Flujo de una sola fase en una dimensión 1-D

Ecuación de Balance de Materiales Me – Ms ± M = Mo

Me = Masa que entra al elemento de volumen del reservorio de otras partes del reservorio. Ms = Masa que sale del elemento de volumen del reservorio hacia otras partes del reservorio.

Masa de Oil Que entra

Masa de Oil Que sale

Δ x x x + Δ x

± Qo

Well



M = Masa de fluido que entra o sale del elemento de volumen del reservorio externamente a través de los pozos ( Pozo Inyector / Pozo Productor) Mo= Masa del exceso de fluido almacenado ó depletado del elemento de volumen del reservorio en un intervalo de tiempo Δ t ( Acumulación de masa debido a la compresibilidad del fluido a medida que la presión cambia)

])()[()()( t

OO

tt

OOSCSCXXOOXOO SSxAtqtqtq

(3.11)

RocadeVolumendeUnidadSTBDq O /*

)( PscPCo

SC e Ec de Estado para un fluido de compresibilidad constante que también

puede expresarse como: o

SCO B

(Ec. de Estado ),( TPf ) y por Δ t…… (3.12)

Reemplazando (3.12) en (3.11)

t

B

S

B

S

xAQB

q

B

q

t

O

O

tt

O

O

SCSCSC

XXO

O

XO

OSC

][ ………………. (3.13)

Por Darcy para flujo lineal (3.8) : x

kkAq o

o

roxo

a condiciones de reservorio

Reemplazando en (3.13)

t

B

S

B

S

xAQxB

kkA

xB

kkA

t

o

o

tt

o

o

SC

X

o

oo

roX

XX

o

oo

roX

oo

oo

B

kDonde

:

t

B

S

B

S

xA

Q

xA

xA

xA

t

o

o

tt

o

o

SCX

oo

XX

oo

…………(3.14)

Limite cuando Δx 0 Limite cuando Δ t 0

Sabemos que: x

xf

x

xfxxf

)()()( Limite cuando Δx 0



o

oo

oXo

B

S

tq

xx

* Ecuación general de flujo del oil ………(3.15)

Ecuaciones de Flujo utilizando la Terminología CVFD (Control Volume Finite Difference)

La importancia del método del Control del Volumen de Diferencia Finita descansa en su capacidad para el

uso de la misma forma de la ecuación de flujo para 1D, 2D y problemas de flujo en 3D sin importar el

ordenamiento del esquema de los blocks. La única diferencia entre las ecuaciones de flujo de 1D, 2D y 3D

es la definición de los elementos para el juego de blocks colindantes. El método CVFD es principalmente

usado para escribir las ecuaciones de flujo en una forma compacta que es independiente de la

dimensionalidad del flujo, el sistema de coordenado usado o el esquema de ordenamiento de los blocks

Δx

H



3.4. Flujo Multifásico en una sola dimensión 1-D

W

WW

WXW

B

S

tq

xx

* Ecuación general del flujo del agua ……(3.16)

Si no hay transferencia de masa entre las fases una ecuación similar de continuidad será también escrita para la fase gas, un limitado pero útil efecto de transferencia de masa puede ser tomado en cuenta usando el modelo black oil. El cual asume que el gas está en solución en el petróleo, pero el petróleo no vaporiza en el gas (como el caso de los reservorios de gas y condensado). Por lo tanto el BM en el gas es alterado para incluir no solo gas libre también gas en solución.

t

B

RsS

B

S

B

RsS

B

S

xAQRsQB

Rsq

B

q

B

Rsq

B

q

t

O

O

g

g

tt

O

O

g

g

og

XXO

O

g

g

XO

O

g

g

(3.17)

o

o

g

g

Tgo

Xo

g

gB

RsS

B

S

tq

xRs

xx * Ec general del gas (3.18)


Masa de Agua Que entra

Masa de Gas Disuelto + Gas Libre Que entra


Masa de Gas Disuelto + Gas Libre Que sale Δ x

x x + Δ x

± Qo ± Qw ± Qg

Well

Masa de Agua Que Sale



3.5. Flujo de una sola fase en dos dimensiones Realizando el mismo análisis:

t

B

S

B

S

xyhQB

q

B

q

B

q

B

q

t

O

O

tt

O

O

SC

YYO

O

YO

O

XXO

O

XO

O

…… (3.19)

Reemplazando por la Ecuación de darcy (3.8), (3.9), (3.10)

t

B

S

B

S

yxh

Q

xyh

yB

kkxh

yB

kkxh

xB

kykh

xB

kkyht

o

o

tt

o

o

SCY

o

oo

roY

YY

o

oo

roY

X

o

oo

roX

XX

o

oo

roX

La Kx , Ky representan la Anisotropía de la roca indicando la permeabilidad en la dirección x e y.

Limite cuando Δx , Δy 0

Tomando límites a cada miembro de la Ecuación:

o

oO

oyo

oxo

B

S

tq

yyxx

* …………… (3.20)

x x +Δx

y

y +Δy

Espesor h Masa de Oil Que entra


Well

± Qo





3.6. Flujo de una sola fase en tres dimensiones Realizando el mismo análisis:

t

B

S

B

S

zyxQB

q

B

q

B

q

B

q

B

q

B

q

t

O

O

tt

O

O

O

ZZo

o

Zo

o

YYO

O

YO

O

XXO

O

XO

O

(3.21)

Reemplazando por la Ecuación de darcy (3.8), (3.9), (3.10)

t

B

S

B

S

zyx

Q

z

zB

kk

zB

kk

y

yB

kk

yB

kk

x

xB

kk

xB

kkt

O

O

tt

O

O

SCZ

o

oo

roZ

ZZ

o

oo

roZ

Y

o

oo

roy

YY

o

oo

roY

X

o

oo

roX

XX

o

oo

roX

Limite cuando Δx , Δy, Δz 0

Tomando límites a cada miembro de la Ecuación:

o

oO

ozo

oyo

oxo

B

S

tq

zzyyxx

* …………… (3.22)

x x +Δx

y y +Δy

z

z + Δz



Well

± Qo



3.7. Operador Gradiente

El Operador vector diferencial “ ” es una forma compacta de expresar operaciones

diferenciales. Tiene componentes similares a los vectores, pero como todos los operadores es usado para operar funciones externas además generalizar las ecuaciones de flujo para simple y tres fases. Sea “ P “ una función escalar continua en un punto “ R “ físicamente para representar los rates de cambio con respecto a la distancia en cada una de las direcciones de coordenadas X, Y, Z, el Operador gradiente (que opera sobre una función escalar de variables) esta dado por :

kz

Pj

y

Pi

x

PP

zz

P

jy

P

ix

P

P …………. (3.23)

Representa la gradiente de presión en los tres ejes Ejemplo: Si P = 5x + 3y +z

kz

zj

y

yi

x

xP

)()3()5(

kjiP

135

3.8. Operador Divergencia El operador divergencia algunas veces refiere como un producto escalar que opera sobre un vector, sea v un vector en un espacio de tres dimensiones que es una función de variables x, y, z. Este operador es definido como:

z

zj

yi

x



z

v

y

v

x

vv

321

…………. (3.24)

El producto de la matriz (3x1) por la matriz (1x3) da como resultado una matriz (1x1)

kk

zjj

yii

xk

j

i

kjy

ix

zyx

z

y

x

zyx

zyx

Ejemplo

Si kzjyixv

135

z

z

y

y

x

xv

)1()3()5(

9135 v

Se observan los siguientes hechos a cerca de la divergencia de un vector:

Es una cantidad escalar

Permanece invariable bajo una transformación de coordenadas

Si ” ρ” es la densidad de un fluido en un punto “P” entonces mv

es el flujo masico al

punto “P”, físicamente m

representa el rate de decrecimiento de la masa por unidad de

volumen en las cercanías del punto “P”. 3.9. Divergencia de la Gradiente de un Vector El operador Laplaciano opera sobre una función escalar de variables X,Y,Z y es obtenido tomando la divergencia de la gradiente de una función escalar “P”.

kz

P

jy

P

ix

P

kjy

ix

P )(



kk

z

Pjj

y

Pii

x

PP

2

2

2

2

2

2

)(

2

2

2

2

2

2

)(z

P

y

P

x

PP

…………. (3.25)

El grupo de operadores diferenciales operando sobre una función “P” en el lado izquierdo de la

Ec. es llamado “Operador Laplaciano 2

” ó:

2

2

2

2

2

22

zyx

…………. (3.26)

Para el caso que “λ” y “P” son escalares, entonces la divergencia de " λ ” veces la gradiente de “P” es escalar.

)()()()(z

P

zy

P

yx

P

xP

…………. (3.27)

3.10. Flujo Multifásico en tres dimensiones

x x +Δx

y y +Δy

z

z + Δz



Well

± Qo ± Qw ± Qg

Masa de Agua Que entra

Masa de Agua Que Sale

Masa de Gas Disuelto + Gas Libre Que entra

Masa de Gas Disuelto + Gas Libre Que sale

Moe Mwe Mge

Mos Mws Mgs



Para extender la ecuación general de flujo a un espacio de tres dimensiones para un flujo multifásico aplicamos la definición de Gradiente y Divergencia.

o

oO

ozo

oyo

oxo

B

S

tq

zzyyxx

* …………… (3.28)

)(*)( ,,

o

oozyxoo

B

S

tq

Ecuación general de flujo para el oil …………. (3.29)

Realizando el mismo análisis

)(*)( ,,

w

wwzyxww

B

S

tq

Ecuación general de flujo para el agua ……. (3.30)

)(*)( ,,

o

o

g

g

TgzyxoosggB

SRs

B

S

tqR

Ec. general de flujo para el gas (3.31)

Flujo Cilíndrico de una sola fase en Tres Dimensiones

ooSzrrM Además B

SCo

Efectuando un balance de flujo másico en un elemento diferencial de volumen en un intervalo de tiempo Δt :

∆z

(qoρo )z

(qoρo )z+∆z

(qoρo ) r+∆r (qoρo ) r Masa de Oil que entra radial

Masa de Oil que sale radial

Masa de Oil que entra vertical

Masa de Oil que sale vertical

r + Δr

r

Δr

(qoρo ) θ

(qoρo ) θ+∆ θ

∆θ

±QoSC

r∆θ

∆z

Masa de Oil que entra angular

Masa de Oil que sale angular



t

o

ott

o

oSCSCSCoooozzoozooroorroo

B

S

B

SzrrtQtqqqqqq )()()()()()()()(

…. (3.32)

t

B

S

B

S

zrrQB

q

B

q

B

q

B

q

B

q

B

q

t

O

O

tt

O

O

SCSCSC

o

o

o

o

YO

O

rYO

O

ZZO

O

ZO

O

SC

}{

s.q. Ley de Darcy r

kzrq r

o

para flujo radial a condiciones de reservorio y

Para un flujo Lineal: z

krrq o

o

Zo

y para un flujo angular

o

o

o

krzq

Reemplazando términos:

t

B

S

B

S

zrr

Q

rz

B

rkz

rB

kzr

rB

kzr

zB

rkr

zB

krrt

o

o

tt

o

o

OooY

o

oo

r

YY

o

oo

r

Z

o

oo

Z

ZZ

o

oo

Z

………. (3.33)

t

B

S

B

S

zrr

QB

k

rB

k

r

r

rB

kr

rrB

rk

r

z

zB

kr

rzB

kr

r

t

o

o

tt

o

oo

oo

oo

oo

o

r

o

oo

r

rr

o

oo

r

Z

o

oo

Z

ZZ

o

oo

Z

111111

0,, zrLim 0tLim

o

oSC

oo

oro

ozo

B

S

tq

rr

r

rrzzr

r

*

11

…………. (3.34)

o

oSC

oo

oro

ozo

B

S

tq

rr

r

rrzz

*

11

)(*)( ,,

o

oozroo

B

S

tq



3.11. Relaciones Auxiliares En adición a las Ecuaciones diferenciales EDPs ciertas relaciones auxiliares deben ser proporcionadas para completar la descripción del modelo matemático. Primero notamos que la suma de los volúmenoes de las 3 fases debe ser siempre igual al Volumen poroso en cualquier punto del sistema.

1 gwo SSS …………… (3.27)

Obviamente cualquier saturación puede expresarse en términos de los otros dos. En cualquier posición del reservorio las Permeabilidades relativas Kr son tomadas a ser funciones de la kSaturación.

),( woro SSfk …………… (3.28)

),( worw SSfk …………… (3.29)

),( gorg SSfk …………… (3.30)

Debido a la falta de datos adecuados la “Kr” de tres fases son usualmente calculados con modelos de “Kr” y los datos obtenidos en sistema de dos fases gas/oil y agua/oil (Correlación de Stone). Similarmente en cualquier posición en el Reservorio las Presiones Capilares “Pc” son tomadas a ser función de la saturación. Donde los cambios de sentido de la saturación ocurre, las “Kr “ son también dependientes de la historia del campo y el proceso de hystéresis debería ser tomado en cuenta.

),(/ wowowo SSfPPPc ………….. (3.31)

),(/ ogogog SSfPPPc ………….. (3.32)

La Presión capilar puede ser también dependiente de la historia del campo si un cambio en la dirección de la saturación ocurre. Note que una tercera presión capilar es automáticamente



woogwgwg PcPcPPPc /// ………….. (3.33)

Debido a que los datos son faltantes la presión capilar “Pc” de tres fases es usualmente

calculado de sub-sistemas agua/oil y gas/oil. La Pc w/0 es asumido a se función de la Sw,

mientras la Pc og / es asumido a ser función de la Sg.

Las Permeabilidades relativas y presiones capilares son frecuentemente dependientes de la posición en el cual un conjunto múltiple de datos debe ser usado. La densidad, viscosidad y FVF de cada fase son usualmente tomados como función de la presión de la fase.

)( ff Pf f : oil, agua, gas ………….. (3.34)

)( ff Pf f : oil, agua, gas ………….. (3.35)

)( ff PfB f : oil, agua, gas ………….. (3.36)

La Razón de solubilidad es expresada como función de la presión de petróleo.

)( os PfR ………….. (3.37)

Las funciones describiendo ρ, μ, β y Rs pueden también ser dependientes de la posición,

requiriendo el uso de un conjunto múltiple de datos. Otras funciones que aparecen en las Ecuaciones diferenciales EDPs son funciones de la posición solamente.

),,( zyxfkx ………….. (3.38)

),,( zyxfky ………….. (3.39)

),,( zyxfkz ………….. (3.40)

y la profundidad D = D (x,y,z) ………….. (3.41) La porosidad es una función de ambas presión y posición asi:

),,,( zyxPf o ………….. (3.42)

Las Ecuaciones (3.27) al (3.42) constituyen una lista de relaciones auxiliares (bajo la suposición simplificada que la presión no se eleva sobre el punto de burbuja, causando que el gas desaparezca). Junto con las Ecuaciones de flujo estas relaciones definen un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales con tres variables desconocidas Po, Sw y Sg, todas las otras cantidades dependen solo de estas tres variables y las variables independientes x,y,z y tiempo.



En conclusión: Se presentan 6 ecuaciones son 6 variables. Variables desconocidas Ecuaciones Po Ecuación de flujo del petróleo Pg Ecuación de flujo del gas Pw Ecuación de flujo del agua So Ec. So + Sw + Sg = 1

Sg Ec. Pc og / = Pg – Po

Sw Ec. Pc w/0 = Po – Pw

En una Ecuación diferencial existen dos tipos de variables, variables independientes y variables dependientes, las funciones desconocidas de la EDP son las “variables dependientes” de la ecuación, las derivadas en la EDP siempre son tomadas con respecto a las variables independientes, los elementos ( Kro, Krw, Krg, μo, μw, μg, Bo,Bw,Bg, Φ, Rs etc) son parámetros y funciones conocidas en la Ecuación. Sistema composicional En algunos sistemas de hidrocarburos existe una conjsiderable transferencia de masa entre las fases fluyentes. Esta transferencia de masa complica el sistema desde que un balance de masa debe ser efectuado sobre cada fracción fluyente en lugar de cada fase.



3.12. Condiciones Iniciales y Condiciones de Frontera Una vez que han sido definidas las ecuaciones que servirán para describir el proceso físico que ocurre en el reservorio, es necesario establecer ciertas condiciones en el sistema que permitan la solución de dichas ecuaciones. En simulación de Reservorios la variable dependiente es con frecuencia la presión y para calcular su distribución en un Reservorio a cualquier tiempo se debe tener la condición inicial. P (x,y,z ) = C para un t = 0. Donde “C” es alguna constante o función f =f(x,y,z) que describe la distribución de un parámetro dentro del Sistema al tiempo cero. Consideremos el flujo en 2-D mostrado en la figura para un pozo localizado en la parte central del campo. El flujo descrito por las ecuaciones de flujo es el Área entre los límites del reservorio y el pozo. Por consiguiente podemos agrupar las fronteras bajo dos nombres generales: Externos que son las fronteras físicas del flujo en el dominio (Conjunto de puntos discretos en el Sistema reservorio) e Internas que son las paredes de los pozos. Cualquier especificación de las condiciones de frontera para las EDP’s desarrolladas deberían proporcionar una descripción de la geometría de la frontera y la localización de los pozos. Ahora revisamos las variadas condiciones de frontera que son encontrados en problemas de flujos de fluido en medios porosos. Presión Especificada en la Frontera ( Problema de Dirichlet) En las fronteras internas o paredes del pozo esta especificación implica un pozo productor (o inyector) a una presión constante en la cara de la arena Pwf = cte . Por otro lado en la frontera externa tal especificación implica que la presión en la frontera del reservorio permanece constante Pe = cte. Este tipo de condición de frontera ocurre en reservorios que son constantemente recargados por un influjo de agua fuerte para que la presión en la interfase entre el reservorio de hidrocarburo y el acuífero permanezca constante. En la teoría de las EDP’s, el problema de encontrar una solución para un dominio con una presión especificada sobre sus fronteras es conocido como Problema de estado estable de Dirichlet. La figura muestra un típico problema de Dirichlet.



3.12.1. Presión especificada en la frontera (Problema o condición de frontera de Dirichlet ó de Estado Estable) Gradiente de presión especificado sobre la frontera (Problema o condición de frontera de Neumann) Especificando una gradiente de presión normal en la frontera del reservorio, el flujo (o velocidad) normal a la frontera es prescrita (Existe flujo a través de la frontera). Sin embargo una especificación de flujo constante en la cara del pozo es equivalente a especificar una gradiente de presión constante en la cara de la arena. Esta afirmación puede ser entendida mejor si uno considera la ley de Darcy escrita en la cara de la arena de un pozo.

rd

Pdhkrq wW

2 ……………………… (3.43)

Esta ecuación puede ser reordenada para resolver para la gradiente de presión como:

hkr

q

dr

dP

w

w

2 …………………….(3.44)

En esta ecuación qw, μ, K y h son especificados en el problema, especificando un rate de flujo constante (fijando el valor de qw) uno simplemente especifica el valor de (dP/dr) para r=rw. Notar que qw es el rate en la cara de la arena. Otra vez la especificación de la gradiente de presión a lo largo de una frontera externa resulta en la especificación del flujo normal hacia la frontera. Un caso especial a menudo encontrado en ingeniería de reservorios es el no-flujo en la frontera donde los flujos desaparecen en cualquier lugar sobre la frontera. Obviamente si flujo a través de la frontera no existe, esto implica que la gradiente de presión a través de la frontera también es cero. Un reservorio volumétrico sellado completamente en las fronteras externas es



equivalente a una gradiente de presión cero a través de sus fronteras externas. El problema de resolver para la distribución de presión en un dominio (Puntos específicos discretizados de un sistema) con una especificación de gradiente de presión a través de sus fronteras es conocido como el problema de estado inestable de Neumann. 3.12.2. Gradiente de presión especificado sobre la frontera (Problema o condición de frontera de

Neumann ó de Estado Inestable)

ceror

Prer

hkrB

q

r

P

eo

e

rer

2

cter

Prer

cter

Prer

cter

Prer

FLOW

FLOW

FLOW

FLOW



Gradiente de Presión y Presión especificados sobre la frontera Algunas veces ambos el potencial “Φ” y su derivada “dΦ /dr “son preescritos sobre diferentes

segmentos de la frontera. Tal condición es posible cuando estamos tratando con un medio poroso que tiene una frontera semi- permeable. Bajo estas condiciones la condición de frontera tipo Dirichlet es preescrita sobre una parte de la frontera y la condición de Newmann es preescrita sobre lo restante de la frontera. Un reservorio de petróleo que es parcialmente expuesto a un fuerte acuífero es un típico ejemplo de una especificación de condición mixta de frontera. 3.12.3. Gradientes de presión y presiones especificados sobre la frontera (Condición mixta) En problemas dependiente del tiempo (flujo inestable), las condiciones de frontera deben ser especificados para todo tiempo t ≥ 0. Para estos problemas, las condiciones de frontera pueden ser también llegar a ser funciones del tiempo dP/dt = f (t) por ejemplo un pozo que fue puesto en producción a un rate constante se cierra por un periodo de tiempo y finalmente se pone en producción a otro rate ilustra una situación donde las condiciones de frontera impuestas son una función del tiempo. Para completar la descripción matemática del problema, debemos especificar la condición inicial para las variables dependientes del tiempo. Esto es alcanzado especificando las presiones en cada punto a un tiempo inicial. Generalmente las presiones iniciales son especificadas a una profundidad de datum plane y las gradientes hidrostáticas existentes son usadas para inicializar el problema a otras profundidades. La naturaleza y magnitud de las condiciones iniciales y de frontera son gobernadas por los problemas físicos en mano. Una EDP con apropiadas condiciones iniciales y de frontera definirá un problema bien planteado si la solución existe y es única. Si el problema matemático y su solución satisfacen estos requerimientos, entonces tenemos un problema formulado apropiadamente y podemos proceder con una solución numérica. Obviamente alguna prueba rigurosa puede ser necesaria para verificar que la solución generada cumple estas condiciones



necesarias. Sin embargo debido a que estas pruebas están mas allá del alcance de nuestro curso asumimos implícitamente que siempre trataremos con problemas bien planteados. En conclusión: a) En la Frontera Interna

Presión en el wellbore constante P(rw,t) = Pwf =cte

Presión en el wellbore variable P(rw,t) = f(t)

Caudal constante ctedr

trdPrcte

dr

dPhrkq w

W ),(2

…… (3.45)

Caudal variable qw = g(t) )(),(

tgdr

trdPr w ……. (3.46)

Pozo cerrado qw = 0 0),(

dr

trdPr w …… (3.47)

b) En la Frontera Externa

Presión en la frontera constante P(re,t) = Pe =cte

Presión en la frontera variable P(re,t) = g(t)

Flujo a través de la frontera ctedr

trdPcte

dr

dPhrkq ee

e ),(2

…… (3.48)

Flujo variable a través de la frontera qe = h(t) )(),(

thdr

trdP e ……..(3.49)

No existe flujo a través de la frontera (frontera cerrada) qe = 0 0),(

dr

trdPr e (3.5)

Reservorio infinito Lim P(r,t) = Pi r



4. DISCRETIZACIÓN EN EL ESPACIO Y EL TIEMPO 4.1. Introducción Una vez que se ha establecido el modelo matemático capaz de describir el proceso físico que se presenta en el reservorio, se hace necesario obtener su solución. Sin embargo las Ecs que representan el flujo de los fluidos en medios porosos son en general, como ya se ha visto, Ecs diferenciales en derivadas parciales no lineales que relacionan los cambios de presión y saturación a través del medio con respecto al tiempo y para las cuales es casi imposible obtener una solución analítica (exacta). De ahí que surja la necesidad de transformar el modelo matemático a un modelo numérico, siendo éste el único camino por medio del cual se puede llegar a una solución que sea aplicable. La solución analítica, si este es el caso, una vez hallada la expresión final permite obtener soluciones en cualquier lugar dentro del dominio espacial de la función y a cualquier momento en el dominio del tiempo de dicha función. Las soluciones aproximadas por medio de diferencias finitas en cambio, son discretas en tiempo y en el espacio, es decir, una vez planteado el sistema de Ecs éste da soluciones al modelo en lugares específicos (previamente seleccionados) y con una frecuencia predeterminada. Hallar soluciones para las Ecs de flujo por el método llamado diferencias finitas es quizás el método mas ampliamente utilizado en la Ingeniería de Reservorios.

Proceso Físico que ocurre en el Reservorio. (Flujo de fluidos en medio poroso)

Modelo Matemático. (Balance de materiales, Ec de Estado, Ec de darcy ) Ec Diferenciales parciales no lineales de 2º orden. Ecuaciones auxiliares.

Modelo Numérico. Conjunto de Ecs de diferencias finitas con límites apropiados de fronteras y

condiciones iniciales.



Cuando alguien habla de dar una solución numérica (aproximada) a una Ec. Se está refiriendo a proporcionar resultados en puntos discretos dentro del sistema. El decir que las Ecs que se emplean en la simulación serán resueltas en forma numérica implica que se determinarán los parámetros dependientes (presiones y saturaciones) en puntos discretos en espacio y tiempo. La discretización del espacio se hace al dividir el reservorio en un número determinado de celdas, las cuales son generalmente rectangulares. La discretización del tiempo se realiza al tomar intervalos de la misma para cada uno de los cuales el problema es resuelto. La medida de estos intervalos de tiempo depende del problema en particular que se esté manejando, aunque hay que hacer notar que mientras menor sea el intervalo de tiempo utilizado, la solución que se obtenga será más aproximada. Así entonces, los valores de la variable dependiente al resolver las Ecs numéricas se obtienen para cada uno de los blocks o bloques que componen la malla o grillado y para los valores específicos de tiempo. La Transformación de una Ec. Diferencial continua a una forma discreta se hace generalmente utilizando el método de las diferencias finitas, que consiste en sustituir las derivadas de la Ec. Diferencial por fórmulas de derivación. Así pues, las Ecs. Diferenciales en derivadas parciales son reemplazadas por su equivalente en diferencias finitas las cuales pueden obtenerse al extender el polinomio de Taylor generado por una función en un punto dado y después resolver para la derivada que se requiere.

Dominio Continuo Ecs diferenciales se aplica a todo ( x,y,z,t) en el dominio.

Dominio Discreto Ecs en diferencias finitas se aplica

a valores discretos. ( xi,yj,zk,tn

)

P( x,y,z ,t) P( xi,yj,zk,t

n)

DISCRETIZACIÓN

PROCESO DE RECUPER.

EDP NO LINEALES





DISCRETIZACIÓN



4.2. Definición En general las Ecs diferenciales parciales que describe el fuljo de fluidos en reservorios no pueden ser solucionados analíticamente (exactamente), ellos pueden ser resueltos numéricamente (aproximadamente), reemplazando las Ecs diferenciales con diferencias finitas. Implícito en una Ec. por diferencias finitas es la Discretización, que es la subdivisión de la distancia y el tiempo en incrementos específicos definidos. En otras palabras para usar las Ecs por diferencias finitas es necesario tratar el reservorio como si fuera compuesto de elementos de volumen discretos para calcular cambios en las variables dependientes (Presión y saturación) dentro de cada elemento de volumen sobre cada uno de los muchos intervalos de tiempo discretos. Los elementos de volumen discretos del reservorio son frecuentemente referidos como Grid - blocks y los intervalos de tiempo discretizados son llamados Time Steps. Aunque la subdivisión del reservorio es una abstracción, esta es cualitativamente correcto visualizar los grid-blocks como tanques de pozo con lados permeables. Para extender esta analogía, visualizar el contenido de un grid-block como uniformemente distribuido dentro del block y los regimenes al cual el flujo de fluidos entra y salen son determinados por la permeabilidad de las fronteras del grid-block y la diferencia de presión entre los gri-blocks adyacentes. En esencia el problema matemático es reducido a un cálculo de flujo entre gri-blocks adyacentes. La figura ilustra la analogía de tanque para un modelo en el cual el flujo de fluidos es limitado a una dimensión. Observar que en esta analogía, la relación y/o composiciones de los fluidos fluyendo de un tanque al siguiente son determinados por los contenidos de los tanques en la dirección del flujo. Insinuado por la analogía del tanque, las propiedades dentro de cada grid-block no varían con la locación dentro del block. Por ejemplo a un tiempo particular, un block tiene únicamente un simple valor de saturación de cada fase y cualquier propiedad que es dependiente de la saturación (Presión capilar y permeabilidad relativa). Para representar variaciones en las propiedades del reservorio, las propiedades de los grid-block deben diferenciarse de block a block. Así puede haber cambios abruptos en las propiedades desde un grid-block al siguiente. El cambio con el cual una propiedad varia entre los blocks vecinos es una función de la dimensión del grid-block. La precisión con la cual un reservorio puede ser descrito en un modelo y la exactitud con el cual el flujo de los fluidos del reservorio pueden ser calculados dependerán del número de grid-blocks usados en el modelo. En la práctica el número de grid-blocks será limitado principalmente por el costo de los cálculos y el tiempo disponible para preparar la entrada de datos y para interpretar resultados. El modelo debería contener suficientes grid-blocks para simular el reservorio y su comportamiento adecuadamente pero dentro de esa restricción (limitación) el modelo debería ser tan pequeño y simple como sea posible. Como se manifestó la vida del reservorio deberá también ser discretizado o dividido en incremento de tiempos. Un simulador calcula los cambios en un reservorio (presión, flujo etc) sobre cada uno de los muchos incrementos de tiempos finitos. Las condiciones son definidos solo al principio y al



final de cada intervalo de tiempo, consecuentemente las condiciones dentro de un reservorio y más específicamente dentro de cada grid-block puede cambiar abruptamente des un intervalo de tiempo al siguiente. Generalmente los intervalos de tiempo (time steps) son escogidos suficientemente pequeños para limitar las dimensiones de esos cambios abruptos hacia niveles aceptables. En general la exactitud con lo cual el comportamiento del reservorio puede ser calculado será influenciado por la longitud de los intervalos de tiempo.



4.3. Discretización Espacial

La Solución numérica de las EDP por diferencias finitas involucran reemplazar las derivadas parciales por cantidades en diferencias finitas. Entonces en lugar de obtener una solución continua ó analítica (exacta) obtendremos una solución aproximada (numérica) en un discreto juego de grid-blocks o puntos en tiempos discretos (Intervalos de tiempo). Las Ecs en diferrencias finitas deben ser implementadas sobre un dominio discreto, sobre este dominio los valores de los parámetros dependientes (Presión y saturación) son calculados para simplificar la presentación solo en el caso de dos dimensiones será considerado. La extensión a tres dimensiones (ó la reducción a una dimensión) es simple. Un juego discreto de grid-blocks (celdas) en un plano x-y es obtenido. Hay I grid-blocks en la dirección x , J grid-blocks en la dirección y. El subindice “i” es usado para identificar columnas de grid-blocks y el subíndice “j” para indicar filas (xi , yj), la doble subscripción es usada para describir posición en el dominio discreto. Por ejemplo: Pi,j se refiere al valor de la Presión en el punto (i,j) y mas generalmente al valor promedio de la Presión dentro del grid-block (i, j).

4.3.1. Sistema de Grids

Diseñar el conjunto de celdas que representen el yacimiento es una tarea larga y díficil y se hace mediante otros softwares especiales que integran datos geológicos, sísmicos y petrofísicos. Se ha comentado que en la simulación es sobrepuesto al plano estructural del yacimiento un sistema de grids (cuadricula ó sistema de celdas) siendo cada grid (celda) una unidad básica usada en el simulador. Asi pues algunos puntos básicos al considerar en la selección del sistema de grids son:

El sistema de grids en toda su forma es rectangular.

El sistema tendrá la menor cantidad de celdas como sea posible dependiendo de la heterogeneidad del reservorio.

El sistema será correctamente orientado, clasificado según su tamaño y su forma para permitir una buena aproximación de los limites del yacimiento.

Si existe permeabilidad direccional ú orientada un eje del sistema estará en la dirección de la máxima permeabilidad, dicha permeabilidad podra ser determinada por medio de pruebas de presión.

Tratar de colocar un pozo por celda y en el centro del mismo.

Si se sabe de la existencia de un acuífero o si se sospecha de flujo de agua el sistema de grids (celdas) incluira hileras extras de grids a cubrir el acuifero para simular el flujo de agua.

Ahora bien para cerrar las fronteras cuando se utiliza un sistema de grids existen básicamente dos maneras de lograrlo que son:

Evitar el flujo a través de toda la periferia hacieno las transmisibilidades de dicha periferia igual a cero.

Extender el sistema de grids agregando bloques virtuales externos a dicha frontera y haciendo las propiedades dependientes (Presiones, Saturaciones, Ks ) de cada grid



agregado iguales a los del grid interior inmediato adyacente, de tal manera que no haya cambio de bloque a bloque adyacente y el flujo sea cero. La desventaja de esta segunda forma es que se genera una nueva red lo que implica un aumento considerable en el número de ecuaciones. La solución numérica de las Ecs de flujo de fluidos en medios porosos consiste en obtener una representación aproximada de las Ecs diferenciales en puntos específicos del espacio y del tiempo i= 1,2,3,4,5….I y n = 0,1,2,3,4,5 …N para el problema unidimensional

El dominio del problema en espacio y en tiempo se segmenta o discretiza, se genera asi una malla de cálculo (Sistema de grids y nodos) donde se obtiene la solución en etapas sucesivas de tiempo. Exiten básicamente dos tipos de grids de uso común en Simulación

a) Sistema de grids de Block centrado b) Sistema de grids Nodos distribuidos

Las grids (celdas) y nodos a su vez pueden ser distribuidos de manera uniforme ó no uniforme, las mallas no uniformes son necesarios cuando:

Se simulan problemas con regiones que experimentan cambios fuertes en la presión y en las saturaciones a lo largo del tiempo. (Conificación de fluidos, representación de acuiferos)

Se tienen reservorios geologicamente complejos: Arquitectura compleja, fallas , acuñamientos etc.

4.3.1.1. Grid de Block Centrado (Block-centered grid) Se denomina asi porque el punto (xi , yj) está en el centro del block (i,j). Los valores de la variable dependiente (Presión y saturación) son calculados en el centro del grid-block. Estos grid-blocks tienen dimensiones predeterminadas de Δxi que no son necesariamente iguales. Estos grid-blocks pueden satisfacer la siguiente relación:

I

ixi

1 = L

En otras palabras, los grid-blocks deben extenderse a lo largo de la longitud Lx, del reservorio en la dirección de interes. Esto incluye ambos el estrato productivo y cualquier acuifero asociado. Una vez que los grid-blocks son definidos, los puntos donde las presiones son calculadas son ubicado en el interior de los grid-blocks. Para sistemas de grids rectangulares los nodos (grid-points) son ubicados en el centro de los blocks (de alli el nombre de block centrado), mientras para sistemas de grids cilindricos los puntos de presion son ligeramente excentricos del centro. Las fronteras o bordes del i-esimo grid son designados xi -1/2 y xi +1/2 donde el centro del block es designado como xi. Estas propiedades de grid-blocks están relacionados a traves de la siguiente relación.



2

2

1

2

1

ii

i

xx

x 2

2

1

2

1

ii

i

yy

y

2

1

2

1

ii

i xxx

2

1

2

1

ii

i yyy

La fig. 5.2 ilustra xi , xi -1/2 , xi +1/2 , Δxi, Δxi + 1 y Δxi -1 . Notar que en un sistema de grid-block

centrado los nodos (grid-points) del primer y ultimo grid-block está en el interior del reservorio. La fig. 5.3 ilustra un sistema de grid block centrado no uniforme en dos dimensiones. …… …… Notar que los nodos estan en el centro de los grid-blocks Para una malla o sistema de grids uniforme: Δ x i = L

I

x1 x2 x i -1 xi x i +1 x I -1 x I

x 1/2 x 3/2 x 5/2 x i -3/2 x i -1/2 x i +1/2 x i +3/2

●

●

●

●

●

●

●

Gridblock Gridblock Gridblock Gridblock Gridblock Gridblock Gridblock

1 2 …….. i – 1 i i + 1 ……… I – 1 I

Δ x i -1 Δ x i Δ x i +1

Δ x i -1/2 Δ x i +1/2

●

i,j+ 1

●

i, j

●

i+ 1,j

●

i-1,j

●

i, j-1

x i -1 xi x i +1

x-3/2 x-1/2 x+1/2 x+3/2

y j +1

y j +1/2

y j

y j -1/2

y j - 1

i i i i



El grid de block centrado es generalmente usado con una condición de frontera tipo Newman. En este caso en la frontera se especifica el valor de la derivada de la función (variable dependiente) en la frontera. El flujo a través de la frontera puede ser representado por un término fuente en la celda frontera, bajo esas condiciones las ecuaciones para las celdas fronteras son modificados para incluir el término fuente (+Qb), o sea la gradiente (dP/dx = K ) que indica flujo no cero a traves de la frontera . Qb = λ A dP = Cte dx En el caso de un sistema cerrado el valor de la derivada (dP/dx = 0) es igual a cero. 4.3.1.2. Sistema de grids de Punto distribuido ó (Point-distributed/Point centered) Para flujo en la dirección x un sistema de grid de punto distribuido puede ser construido, los nodos (grid-points) son ubicados en la frontera del reservorio y en su interior. Notar que ubicando los nodos en las fronteras del reservorio un grid de punto distribuido por definición extendera la longitud entera del reservorio en la dirección de interes. Para grids rectangulares las fronteras del reservorio son ubicados en la mitad entre dos nodos (gridpoints) adyacentes. Esto es:



xi ± ½ = ( xi ± 1 + xi )/2 En un grid de punto distribuido la frontera izquierda del primer grid-block por definición esta ubicado en el tope del nodo del block esto es: x ½ = x1

Si el grid-block fuera mas extendido, el block contendria roca no reservorio. Similarmente la frontera derecha del último grid-block esta ubicado en el tope del nodo del block esto es: xI + ½ = xI

Las dimensiones del block pueden entonces ser calculados de las fronteras del block como: Δxi = xi +1/2 - xi -1/2

…. .…. Notar que los nodos están excentricos de los centros de los grid-block y que las fronteras del gridblock descansa en la mitad entre los nodos. “El Area sombreada refleja el volumen de la celda asociado a ese grid-block” Para una malla uniforme: Δ x i = L

( I – 1)

La fig 5.5 ilustra un sistema de grids de puntos distribuidos en dos dimensiones. En ambos sistemas de block centrado y de punto distribuido, las dimensiones del block pueden variar para cada grid-block. Cualquier sistema de grid puede ser usado en la simulación de reservorios. El uso de sistemas de grid de punto distribuido tiene varias ventajas cuando implementemos ciertas condiciones de frontera. Ademas el sistema de punto distribuido tiene ventajas numéricas cuando espaciamientos no uniformes es usado. En particular, un grid de punto distribuido resulta en un operador de diferencia finita consistente (compatible donde la solucion por diferencia finita converge a una solucion de una EDP) mientras un grid de block centrado no lo hace. Aunque esas ventajas existe para un sistema de grid de punto distribuido,

x1 x2 x i -1 xi x i +1

Δ x i Δ x i +1

x i -1/2 x i +1/2 x+3/2

Gridblock Gridblock Gridblock Gridblock Gridblock

1 2 ……… i – 1 i i + 1 …………... I – 1 I

Δ x i -1/2 Δ x i +1/2

● ● ● ● ● ● ● ● ●



historicamente el sistema de grid de block centrado ha sido el mas comunmente usado en simulación de reservorios. Esto es debido a que el sistema de grid de block centrado se adhiere mas al concepto de balance de materiales usados en ingenieria de reservorios. Tambien para reservorios volumétricos con fronteras de no flujo, el grid de bolck centrado ofrece una fácil implementación de las condiciones de frontera externa.

En este caso la ubicación de los nodos (grid-points) son especificados directamente x1, x2, x3, x4 ……….xI y1 , y2, y3, y4 ………yj Y un block rectangular es visualizado alrededor de cada nodo con los bordes izquierdo y derecho x-1/2 y x+1/2 y los bordes superior e inferior y j +1/2 y y j -1/2.

xi ± ½ = ( xi ± 1 + xi )/2 yi ± ½ = ( yi ± 1 + yi )/2

Para puntos interiores los cocientes espaciales son escritos de la misma manera que para el otro sistema de grids. Hay sin embargo significantes diferencias entre los dos sistemas de grids. El sistema de punto centrado tiene fronteras que coinciden con los puntos de calculo exterior, esto es ventajoso cuando los pozos son ubicados exactamente en la frontera exterior del rectangulo de calculo, como en el modelamiento de un patron de un cuarto five-spot o un modelamiento 3:1 de linea directa (line drive). Por otro lado, en el sistema de block centrado las fronteras del rectangulo de calculo coincide con las fronteras ó limites del block, esto es consistente con un enfoque ó metodologia de volumen de control y es frecuentemente mas natural para un ingeniero. Otra diferencia es que el sistema de block centrado no requiere especial tratamiento de las ecuaciones por diferencias finitas para los blocks exteriores, mientras que el sistema punto centrado requiere una ligera modificación. Por estas razones el sistema de block centrado es usualmente preferido para simulación de reservorios.

x i -1 xi x i +1

x i -1/2 x i +1/2

y j +1

y j +1/2

y j

y j -1/2

y j -1

● i-1,j

● i, j-1

●

i+1,j

● i, ,j

●

i, j-1



El sistema de punto centrado es generalmente usado cuando una condición de frontera tipo Dirichlet es especificado en el problema. En esta condición la función (variable dependiente) es especificada sobre la frontera P(i,j,t) = Pe



Un patron five spot consiste de filas de pozos de producción e inyección alternantes. La simetria del sistema significa que el flujo entre dos pozos cualquiera puede ser modelado ubicando los pozos en una esquina contraria de un sistema de blocks cartesianos y es referido como un calculo de un cuarto five- spot. 4.3.2. Geometria de grids (celdas) areales Aunque en la sección previa enfatiza la geometría rectangular, varios sistemas de grid son comunmente usados en simulación de reservorios cuando los objetivos de los estudios de simulación requieren los gridblocks aproximarse apretadamente o corresponder exactamente la geometria del problema a ser modelado. El uso de geometrias especializadas requiere el uso de la correspondiente forma de la ecuación diferencial y su analogia en diferencias finitas en el estudio de simulación. 4.3.2.1. Geometria de coordenadas rectangulares La geometria de coordenada rectangular (Grid blocks estructurados) tiene muchas aplicaciones y es la geometria de grid mas comunmente usado en simulación de reservorios. Un grid rectangular puede ser usado para contestar preguntas referentes al desempeño o comportamiento de un reservorio en todo el campo, el desempeño de patrones de pozo individuales y el desempeño de secciones verticales entre pozos. Simulaciones de todo el campo son desarrollados para determinar el comportamiento del reservorio en su totalidad. Estas simulaciones generalmente usan un arreglo de grid rectangular debido a que los sistemas de grid rectangulares son bastante flexibles para ser ajustados sobre cualquier geometria de reservorio. El espaciamiento del grid para las simulación en todo el campo puede ser no uniforme. Generalmente, un grid refinado (pequeño espaciamiento del grid) es usado en áreas de interés, tales como regiones de formaciones productivas de hidrocarburos, mientras un menor refinado de grids es usado en areas de menor importancia como los acuiferos. La fig. 5.6 muestra una vista areal de un sistema de grid de una simulación total del campo e ilustra el uso de gridblocks inactivos. Para permitir el sistema de grids ajustar apropiadamente sobre un reservorio en estudio grid-blocks en el exterior de las fronteras del reservorio deben estas inactivos. Todo los software comerciales de simulación tienen la facilidad para inactivar grid-blocks no necesarios. Sistemas de grids rectagulares son tambien usados para modelar patrones elementales en patrones de invasión. Cuando modelamos un patron de un pozo con simulación de reservorios, la simetria es generalmente usado para reducir el número de gridblocks requeridos para modelar el desplazamiento adecuadamente. Por ejemplo para modelar un patron interior de un five-spot, la simetria puede ser usada para reducir el modelo a un octavo del patrón. Tipicamente el espaciamiento uniforme del grid es usado para estudios de patrones de flujo. Cuando un grid de block-centrado es usado, los volumenes porales, transmisibilidades, régimenes de inyección y producción deben ser ajustados para dar razon de los volumens de los grid fuera del patron.



Los sistemas de grids rectangulares también son usados en estudios de simulación de secciones verticales, que son desarrollado para determinar el comportamiento interpozo de varios pozos a lo la largo de un corte seccional dado. Los objetivos de un estudio de corte seccional pueden incluir determinar los efectos de arcillas sobre el desplazamiento no uniforme gravitacional override/underride (forma de lenguas en el desplazamiento por gas o agua) ) en procesos de desplazamiento, determinando el efecto de la geología del reservorio en detalle sobre el comportamiento del pozo, y asistiendo en el sobre-escalamiento (Pasar de un modelo geológico “escala fina” a un modelo de reservorio “escala gruesa”) de propiedades del núcleo o core a escala de reservorio.



4.3.2.2. Geometría de Grids Cilindricos La geometría de grids cilindricos son usados para estudios de simulación de un simple pozo. Los objetivos de la simulación de un simple pozo incluyen predecir el desempeño o comportamiento de pozos individuales determinando los efectos de estrategias de completación/producción en la conificación de gas y agua, y optimizando intervalos de perforados. Para representar La fig. 5.9 ilustra un grid cilindrico en presencia de un simple pozo.



Mientras las dimensiones de los grids son relativamente arbitrarios para un sistema de grids rectangulares, la construcción de un sistema de grids cilindricos sigue un particular conjunto de reglas. La construcción de una malla de geometría cilindrica representa adecuadamente las fuertes variaciones del intervalo disparado (perforated) del pozo, es necesario emplear una malla (sistema de grids) no uniforme en la dirección radial. La mejor representación del flujo radial en una malla se obtiene definiendo el tamaño de los grids (celdas) proporcionalmente a su caída de presión, lo quese consigue empleando una malla (sistema de grids) logaritmico de nodos centrados ó nodos distribuidos. Construcción de un sistema de grids cilindrico Considerar:

Flujo radial en régimen permanente

Viscosidad y FVF del fluido constantes. El gasto de fluidos se expresa como:

ctedr

dPhrQ 2 …………… (1)

Integrando )/(

)(2

ref

ref

rrLn

PPhQ

…………….(2)

Ahora bien, la representación exacta (Analítica) del gasto en la frontera del reservorio i +1/2

común a las celdas i é i + 1 de acuerdo con la Ec. (2) está dado por:

)/(

)(2

1

1

2

1

2

1

ii

ii

ii rrLn

PPhQ

………… (3)

Ahora bien la Ec (1) se puede aproximar o representar numéricamente en el punto i +1/2

(Discretizando) mediante diferencias finitas como:

● ●

●

●

●

●

Gridblock Gridblock Gridblock Gridblock Gridblock Gridblock

1 2 …… i – 1 i i + 1 ……………… I

Δ r i -1 Δ r i Δ r i +1

Δ r i -1/2 Δ r i +1/2

r w r i -1 r i r i +1 r e

r i -3/2 r i -1/2 r i +1/2 r i +3/2

h



)()(2 1

2

1

2

1

2

1 iiiii

PPr

rhQ

…………(4)

Igualando expresiones (3) = (4)

)()(2)/(

)(2 1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1 iiii

ii

ii

iiPP

r

rh

rrLn

PPhQ

……… (6)

De (6)

S.q. 11

2

1

iii

rrr

ii

i

i

i rr

r

r

rLn

1

21

1)(

1 Por lo tanto:

)(1

1

2

1

i

i

ii

i

r

rLn

rrr

……. (7)

r i +1/2 Se puede expresar como el promedio logarítmico de los radios en los nodos i é i + 1

Por otro lado tenemos que el caudal en los puntos i -1/2 é i +1/2 se pueden representar como:

)/(

)(2

1

1

2

1

2

1

ii

ii

ii rrLn

PPhQ

……. (8) y

)/(

)(2

1

1

2

1

2

1

ii

ii

ii rrLn

PPhQ ……(9)

Puesto que es un régimen o gasto constante

2

1

2

1

ii

QQ

1)(

)(

)(

)(

1

1

1

1

ii

ii

i

i

i

PP

PPx

r

rLn

ir

rLn

……………. (10)

De (10) para que se cumpla que (P i +1 - P i ) = (P i - P i -1) Debe cumplirse que:

teConsr

rLn

r

rLn

i

i

i

itan

1

1

……………. (11)

Ejemplo :

0

1

1

21r

rLn

r

rLni



1

2

2

32r

rLn

r

rLni

2

3

3

43r

rLn

r

rLni

3

4

3

4

2

3

1

2

1

4342312

3

4

2

3

1

2

3

)()()()()()(

r

rLn

r

rLn

r

rLn

r

rLn

r

rLnrLnrLnrLnrLnrLnrLn

r

rLn

r

rLn

r

rLn

1

11

1

1)1(

r

rLn

r

rLnI

r

rLn I

i

iI

i i

i …………… (12)

Si definimos : i

i

r

r 1

De (12)

1

1)1(

r

rLn

r

rLnI I

i

i ……………….. (13)

II

i

i

r

r

r

r 1

1

1 ………………. (14)

Si consideramos eIw rryrr 1

I

w

e

i

i

r

r

r

r1

1 ………………..(15)

De (15) ii rr 1

y I

w

e

r

r1

Factor de distribución geométrico …… .. (16)

Donde I es el número de grids en la dirección radial

Para i = 1 (Primer grid block en la dirección radial)

)(1

1

2

1

i

i

ii

i

r

rLn

rrr

)()(

1

101

2

1

Ln

rr

Ln

rrrr W



Despejando 1

)()(1

Lnrr

W ……… (17)

Similarmente :

)()(

1

2

1

Ln

rr

Ln

rrrr

IIII

eI

Despejando 1

)(

Lnrr

e

I ……… (18)

En conclusión : Ecuaciones fundamentales:

I

w

e

r

r1

………. (19)

eI

W rryrr

2

1

2

1 ………….(20)

1

)()(1

Lnrr

W

1

)(

Lnrr

e

I ……… (21)

ii rr 1

)(1

1

2

1

i

i

ii

i

r

rLn

rrr

y

)(1

1

2

1

i

i

ii

i

r

rLn

rrr …… (22)

Para cálculo de volúmenes

● ●

●

●

●

●

r w r 3/2 r 5/2 r 7/2 r 9/2 r 11/2 ……… r e

h

r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 ………….. r I



)(2

2

1

22

12

2

1

i

i

ii

i

r

rLn

rrr

………..(23) k

r

r

r

r

r

r

i

i

i

i

i

i

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1…………………..(24)



4.3.2.3. Corner- Point Grid (Celdas de punto esquinado) Tradicionalmente las celdas o bloques eran en forma de paralelepípedos; no obstante, esta figura no representaba completamente todas las formas que podía asumir un reservorio. Por esta razón en 1983 se introdujo la geometría corner-point (Grid blocks estructurados) en la que las esquinas del bloque no son precisamente ortogonales (esquinas no forman angulos de 90º). Las propiedades de los grids blocks tales como las transmisibilidades, espesores y centros de grids son calculados desde las esquinas del grid. De esta manera se podían modelar fallas estratigráficas, pinch outs y muchas otras estructuras geológicas. La geometría corner-point puede ser usado para todas las aplicaciones en el campo, sin embargo los bordes de los poligonos pueden ser ubicados sobre las fallas. La descripción de las fallas es generalmente mejor con geometria corner-point que la descripción obtenida por un sistema rectangular . Otra forma de construir blocks distorsionados donde los grid blocks individuales guardan alguna amplia relación con una forma cartesiana subyacente es utilizando una geometria corner point (Ponting, 1992). Este esquema es implementado en el simulador Eclipse (GeoQuest, Schlumberger) donde ha sido aplicado muy ampliamente. En la geometría corner point aparece más bien tedioso construir un grid block especificando todas las 8 esquinas de cada grid block (aunque algunos son compartidos con los vecinos). Sin embargo si esta aproximación es usada, el ingeniero virtualmente siempre tendría acceso al software de construcción del grid aunque construyendo complejos grids puede todavía estar consumiendo tiempo. El ingeniero puede ser renuente (indispuesto) a usar una geometría corner point si hay una alta probabilidad que el modelo del reservorio cambiará radicalmente. En el futuro esto puede ser superado autogenerando las celdas corner-point directamente desde un geomodelo (aunque algún escalamiento puede también ser necesario en este proceso)

Actualmente la geometría corner-point es probablemente mas común en casos base bastante fijos de modelos de reservorio que el ingeniero tiene bastante confianza. El modelo indicado en la figura esta construido usando una geometría corner-point desde que tiene una falla principal entre el acuífero y el reservorio principal. Desventajas:

La construcción de los grid para un reservorio complejo consume mucho tiempo y es necesario un software especializado.

La resolución de los fenomenos cercanos al pozo es deficiente asi como la dimensión de los grids es de varias ordenes de magnitud mas grandes que el diametro del pozo.

El modelo de grids es inflexible ( Es imposible ingresar un nuevo pozo horizontal sin cambiar el grid sobre todo el modelo



Fig 5.10. Típica geometría de punto esquinado sobre un reservorio de hidrocarburo.



Grid de Block Centrado (Block center grid) Grid de punto esquinado (Corner Point grid)



4.3.2.4. Bisector Perpendicular PEBI Una interesante clase de grids no cartesianos (Grid blocks no estructurados) son los grids PEBI (Perpendicular Bisector), en los grids PEBI los puntos grids seleccionados son cerrados completamente dentro de volúmenes usando una construcción geométrica que se mostrará en las siguientes figuras. Los grids PEBI han sido desarrollados extensamente por Aziz y colaboradores en la Stanford University y por Heinemann en Austria (Heinemann, en 1991; Palagi and Aziz, 1994). Que es un Grid PEBI?

Un grid PEBI es un grid adaptable k-ortogonal.

Un grid PEBI Grid combina las ventajas de los otros dos métodos de discretización: - Grids ortogonales pero no flexibles. - Grids de punto esquinado: Relativamente flexibles pero no necesariamente ortogonales. Porque usar Grids PEBI?

Son Flexibles: completa libertad considerando la dimensión o forma de un grid block.

Resolución exacta de fenómenos en el wellbore (Alto grado de refinamiento es posible)

Cualquier número de características complejas pueden ser modelados simultáneamente (Fallas, fracturas etc).

Los grids pueden ser construidos en 2D y 3D

Es posible resolver dos problemas antogonisticos al mismo tiempo: - Minimizando el número de grid blocks - Maximizando la exactitud y eficiencia en el costo.

El número de grid blocks puede ser reducido tanto como 50% sin sacrificar resolución.

Resultando ahorro en tiempo en el CPU siempre más que la sobrecarga en el computador causado por un software irregular.

Ventajas

Los grids no estructurados (PEBI) son superiores a los grids estructurados: Modelamiento exacto de las Características geológicas complejas (planos de falla, superficies erosionadas, superficies inclinadas, discordancias).

Mucho mejor opciones de modelamiento de pozos: Más exacta simulación de los fenómenos cercanos al pozo.

Muy flexible en términos de parámetros de construcción de grids.

Reduce la dimensión y el número de celdas grids y asi el tiempo de ejecución de la simulación sin comprometer la exactitud, mejorando esto.

Mas grids ortogonales que el sistema de punto esquinado (corner Point), en consecuencia menos necesidad por los esquemas multipuntos/ MPFA y menos tiempo de ejecución de la corrida.

La mayor parte de los estudios de simulación son llevados a cabo con grids-block cartesianos o grids de punto esquinado (corner point). Pocos estudios de simulación del campo han sido hechos utilizando los grid-blocks no estructurados. El nuevo enfoque es usar grid-blocks híbridos como el LGR (Refinamiento local del grid) no estructurados.



Un ejemplo de un estudio utilizando grids PEBI son mostrados en la figura donde la forma particularmente flexible de este grid es usado para modelar fallas en este caso particular. Desde que los primeros grid blocks fueron construidos, la variedad, rango y resolución de las mediciones en el campo petrolero han aumentado, y la capacidad de la computadora y eficiencia ha crecido. para tomar ventaja de estos desarrollos, los ingenieros de reservorios requieren mejores y herramientas o software de simulación mas comprensivos. La adquisición de moderna sismica 3 D, tecnicas de interpretación y procesamiento han resultado en definciones mas confiables y de alta resolución de las fallas y superficies erosionadas. El ingeniero quiere representar la total complejidad de fallas no verticales, curveantes y fallas que intersectan o truncan en contra de otra. Otro desarrollo que requiere modelos mas complejos es el incremento del uso de pozos horizontales y de alto ángulo y pozos multilaterales. Estos requrimientos extienden los programas de construcción de celdas (gridding) tradicionales basados en la geometria corner-point tal como el programa de GeoQuest de Schlumberger al limite. Esto ha conducido al desarrollo de nuevo software de construcción de celdas tecnicas como la utilidad FloGrid que producira celdas que conforman la estructura del reservorio como las definidas por superficies falladas y fronteras litológicas. Un sistema Bisector perperdicular no estructurado (PEBI) y celdas tetraedricas estan siendo desarrollados e incluido en programas de simulación y construcción de celdas (gridding). Los blocks en una celda PEBI puede tener una variedad de formas, y ellos pueden ser arreglados para encajar cualquier geometría de reservorio. La forma mas suave del gridblock da una solución de simulación más exacta debido a que hay menos chance de escoger la orientación equivocada del grid block un problema potencial con los grid blocks tradicionales. Un grid PEBI tambien permite flujo en mas direcciones desde un grid block dado. Importante en el modelamiento de pozos horizontales, esquemas de inyección de gas o interacción de pozos en una prueba de interferencia. Estos grids tambien estan siendo usados como una base para una nueva generación de técnicas de upscaling. Un desarrollo mas del gridding (construcción de grid) es el acoplamiento del análisis de la prueba de pozos con programas de simulación para dar al ingeniero un mayor rango de modelos numericos de reservorios que los existentes en modelos analíticos. Los grids PEBI son de gran beneficio en estas situaciones, permitiendo componentes radiales de flujo en el pozo a ser combinados con caracteristicas planares o lineales tales como la trayectoria de planos de falla o pozos horizontales. La corrida de simulación con los grids PEBI tienden a ser mas grandes que aquellas corridas sobre grids estructurados, pero la abilidad de capturar la complejidad estructural de las unidades de flujo del resevorio pesa mas que la necesidad para la velocidad. Un entendimiento puede ser alcanzado construyendo un grid estructurado en partes simples gelógicas del reservorio,y conectando en un grid no estructurado cuando la complegidad geologica requiere mas flexibilidad en los grid blocks moldeados.



Distribución de presiones de acuerdo

a un perfil

Construcción de triángulos. Ningún

vértice de un triángulo descansa en el

interior circunscrito de otro triangulo



Construcción de los bisectores

perpendiculares de cada triangulo

Sistema final de Grid-blocks



4.3.2.5 . Refinamiento local del Grid En un reservorio los cambios en presión, saturación y flujo tienden a ser muy diferente en diferentes partes del sistema. Por ejemplo cerca de un pozo en el cual esta cambiando el régimen de producción cada día habrá cambios grandes de presión y saturación. Por el contrario en el flanco del yacimiento al cual está conectado pero es remoto desde los pozos activos los cambios de presión puede ser bastante lento y las saturaciones apenas pueden alterarse del todo. Para representar regiones con frentes de agua cambiando rápidamente requerirán un refinamiento de grids-block que será requerido para regiones relativamente estáticas del sistema. Así un simple distribución de grids-block uniforme con Δx, Δy, Δz no serán frecuentemente adecuados para representar regiones de un reservorio activo. En su lugar la aplicación de algún refinamiento local del grid (Local grid refinement LGR) puede ser mucho mas apropiado. Actualmente la tecnología LGR (Local Grid Refinement) permite modelar de manera todavía más precisa el yacimiento mediante la implementación de pequeñas celdas radiales alrededor de los pozos. Esto permite al ingeniero describir regiones seleccionadas del reservorio en extra-detalle. Grids refinados radiales son a menudo usados alrededor de la cara del pozo para examinar la conificación o otros fenomenos resultantes de una rapida variación en la propiedades alejadas del pozo. Los grids refinados son tambien un camino para tratar variaciones de la propiedades cerca de las fallas.

El Sistema LGR usa un sistema de grids secundario (fino) enclavado en un sistema de grids primario (convencional ó grueso). La fig 5.11 ilustra el objetivo de utilizar un grid fino, ubicar un grid mas refinado en áreas de interes en el reservorio manteniemdo un minimo número de celdas activas en el modelo. La fig 5.11 a muestra dos reservorios de hidrocarburoos en comunicación a través de un acuifero en común. fig 5.11 b muestra un sistema convencional mientras la fig. 5.11c muestra un grid refinado localmente sobre el mismo resevorio. Debido a que ambos el sistema de grids refinado y convencional son rectangulares, las tecnicas discutidas anteriormente en esta seccion bajo geometria de coordenads rectangulares son apropiadas. Tecnicas especiales son requeridas para describir las transmisibilidades y flujos en la frontera comun donde los dos sistemas de grids se encuentra.



4.3.2.6. Geometria de Grid Vertical En el anterior exposición de geometria de grids areales (con la excepción de el grid rectangular de corte seccional) el grid vertical o sistema de estratos ó capas no fue mencionado. Tres tipos de sistemas pueden ser utilizados con los grids areales expuestos en la sección previa. a) Estratigraficos, b) Proporcionales y c) Tipos tanque. El Ordenamiento estratigrafico como el nombre implica Fig 5.13 sigue la estratigrafia o geologia natural del reservorio. este sistema es usado para incorporar información geologica en el modelo del reservorio de una manera qque es consistente con la estratigrafia del reservorio bajo estudio. este es el mas común usado en el sistema de grids en una simulación de reservorio de todo el campo. La estratificación proporcional como su nombre implica Fig 5.14 mantiene la relación de los espesores del estrato constante entre dos superficies mapeadas. La estratificación proporcional es usada para agregar definición (estratos adicionales) a una simple capa mapeada. La estratificación tipo tanque ilustrada en la fig. 5.15 usa un sistema de grids horizontales aún en presencia de una depresión (anticlinal) o caracteristicas estructurales. La estratificación tipo tanque tiene limitado uso en la simulación de todo el campo, pero puede ser usado en el modelamiento radial de un simple pozo o modelamiento conceptual.

Fig. 5.13 . Ordenamiento estratigráfico en simulación de reservorios. a) Reservorio a ser modelado. Note el engrosamiento de la parte superior del estrato de Oeste a Este y el adelgazamiento en el fondo del estrato de Oeste a Este. b) El sistema de grid estratigráfico del reservorio bajo estudio. Note la proporcionalidad variante de los espesores del grid de Oeste a Este



Fig. 5.14. Estratificación proporcional en simulación de reservorio. a) Estrato superior del reservorio en la fig. 5.13. y b) Uso de grid proporcional para incrementar definición a un estrato mapeado Geológicamente. Notar las identicas proporciones del engrodamiento del grid de oeste a este.

Fig.5.15. Estratificación tipo tanque en simulación de reservorio. a) Reservorio a ser modelado. b) Notar que el área sombreada representa los grids inactivos



4.3.3. Criterio para la seleccion de la dimensión del Grid-block La dimension del grid-block y los intervalos de tiempo deben ser bastante pequeños para satisfacer cinco requerimiento. Ellos deben :

Identificar saturaciones y presiones en locaciones especificas y tiempos requeridos por el estudio.

Describir la geometria, geología y propiedades fisicas iniciales del reservorio adecuadamente.

Describir la dinamica de los perfiles de saturaciones y presiones con suficiente detalle para encontrar los objetivos del reservorio en estudio.

Modelar los mecanismos del fluido de reservorio apropiadamente. Ser compatible con las matemáticas en los segmentos de solución del simulador para

que las soluciones de las ecuaciones de flujo sean estables y exactas. El último requerimiento es frecuentemente el de mayor demanda, pero el usuario del simulador debe primero intentar de satisfacer los requerimientos 1 al 4 para que la simulación exitosamente aportará respuestas a la pregunta correcta. Selección de la dimensión del Grid-block Para ser una herramienta efectiva de ingenieria, un modelo de reservorio debe simular el comportamiento futuro del reservorio bajo uno o mas estrategias de producción e inyección. Los aspectos del comportamiento que son los mas importantes incluyen productividad e inyectividad del pozo, niveles de presion y saturaciones de fluido en la vecindad del pozo, GOR Y WOR de producción y relaciones gas/agua, eficiencias de desplazamiento y la eficiencia de recuperación completa.

Localización donde los niveles de presion y saturacion deben ser conocidos.

El primer paso en desarrollar un diseño preliminar de un modelo reservorio es identificar las locaciones al cual los niveles de presión y saturación deben ser conocidos. La localización espacial podria incluir todas las localizaciones existentes y planeadas o podria ser limitado a algun pequeño grupo de ellos. El grid debe ser suficientemente fino para que el comportamiento del reservorio y cada locación sea identificado. Este ejercicio definirá minima segmentación en espacio. Aunque minima segmentación identifica localizaciones al cual el comportamiento del reservorio deba ser definido una mas grande segmentacion es usualmente requerida. Para ilustrar la fig. 5.1 compara un minimo grid que podria corresponde a un reservorio a ser desarrollado sobre un patron de flujo five-spot con un grid areal existente que podria ser usado en una simulación de aquel reservorio.



Representación de la Geometría, Geología y Propiedades Fisicas Los limites externos del resevorio es el factor geometrico mas obvio que debe ser representado. En algunos casos, el sistema de grids puede ser orientado para que los limites del reservorio correspondan a los bordes del grid. En casos cuando los limites externos tienen una forma mas compleja, la areas que caen fuera del reservorio pueden ser representado removiendo los correspondientes grid del calculo o asignandoles premeabilidad cero.

Otro factor descriptivo que puede ejercer una mayor influencia sobre la selección de la dimensiones de los grid-block es la presencia de barreras internas par el fluido de fluido, incluyendo discontinuidad de arcillas, discontinuidad de reservorios y fallas no conductivas. Tales barreras son generalmente incluidas en el modelo asignando una permeabilidad cero en el limite de los grid-blocks internos apropiados. Los limites del Grid-block deben ser seleccionados para aproximar la localicación de las barreras al flujo. Representación de barreras internas necesitan ser hechos solo si las barreras son sustanciamente suficientes para afectar el comportamiento del flujo seriamente. La fig. 5.2 muestra un sistema de grid seleccionado para representar limites del reservorio y barreras de arcilla. Fig 5.3 ilustra un sistema de grids construido para que los limites de

Fig. 5.1 Ejemplo de sistema de grids a) Para identificar locaciones en el cual el dato del comportamiento es necesario b) Para proporcionar adecuada segmentación para la simulación.



las celdas con cero permeabilidad representen fallas sellantes en el reservorio. Significantes cambios en la permeabiliad y porosidad deberian ser representados por una frontera entre los estratos en el modelo. Reservorios altamente estratificados pueden requerir extensiva segmentación de los grids en la dirección vertical. Por otro lado si hay pequeña variación vertical en las propiedades la segmentación vertical puede no ser necesaria, solamente para propósitos descriptivos Usualmente 10 a 20 grid-blocks en la dirección vertical son suficientes para describir el resorvorio y definir el comportamiento de la dinámica del fluidoPropiedades de los fluidos del reservorio. Variaciones en las propiedades iniciales de los fluidos ejemplo la viscosidad, la presión de saturación y el GOR de solución algunas veces determina una mas fina definición de grid en algunas regiones del modelo que el requerido por otros factores de diseño. Por ejemplo una zona viscosa o de “petroleo pesado” cerca de un contacto agua-petroleo o presiones de saturación que son funciones de la profundidad o posición areal debe ser considerado cuando seleccionados dimension del grid. Un grid que inadecuadamente representa tales variaciones verticalmente o lateralmente podrian resultar en una pobre predicción de las presiones promedio del reservorio, gradientes de presión o saturaciones de gas. Si hay una significante variación en la composición del gas en un reservorio de gas cap o gas la aprpiada definición del grid para representar tal tendencia es un prerequisito necesario para estudios significativos de inyección de gas.

Fig. 5.2 Geometrías Internas y externas influencian en el diseño del modelo



Representación de la dinámica de saturación y comportamiento de la presión En adición a los factores de descripción del reservorio ya discutidos hay varios factores dinámicos que necesitan ser considerados en la selección de la dimensión del grid. Por ejemplo una distribución de saturación comunmente (tipo cuarzo) definido puede llevar a errores en rates de producción calculados y en eficiencias de desplazamiento. Uno de estos factores involucran resoluciones areales y verticales,mientras otros tales como la dispersión numérica influencian la exactitud de los calculos incluidos en solucionar las ecuaciones de flujo.

Par representar la dinamica del comportamiento del reservorio adecuadamente un modelo de reservorio debe tener tres capacidades.

Debe ser capaz de de describir las presiones en el reservorio como una función del tiempo. Cálculos exactos de presión son necesitados para la predicción de la productividad del pozo y mas adelante para la estimación de la recuperación total.

Si existe mas de una fase movible en el reservorio, el modelo debe ser capaz de describir las locaciones y el movimiento de los fluidos en forma individual. Apropiada segmentación vertical puede ser importante si hay significante movimiento vertical o segregación de fluidos.

El modelo deberia ser capaz de representar correctamente el comportamiento de la inyección y producción de los pozos y sus dependencia en la presión y saturación en la vecindad de estos pozos. Frecuentemente representación de pozos individuales en modelos areales y tres dimensiones 3D no son prácticos. Por otro lado los pozos pueden ser modelados satisfactoriamente en un modelo radial con grids blocks de dimensiones pequeñas cercanos al pozo.

Fig. 5.3 Ejemplo de uso de cero Permeabilidad para modelar barreras al flujo



Efecto de la dimensión del grid-block sobre la presión calculada y la productividad.

Si una región de un reservorio contiene solo una fase movible y si no hay pozos en esa región, relativamente pocos grid-blocks serán requeridos para una adecuada representación de la presión en esa región. Los gri-block representando un acuifero ó capa de gas por ejemplo a menudo puede ser muchas veces mas grande que aquellos usados para representar regiones multifásicas. Fig 5.4 muestra un grid areal tipico que usa grandes blocks en un acuifero. Gradientes de presión en el acuifero son adecuadamente modelados, aún si el acuifero representado en la figura 5.4 contiene pozos de inyección de agua, podria todavía estar modelado adecuadamente con el grid mostrado, proporcionado esa descripción detallada del comportamiento de inyectores individuales no es necesario. Las zonas de petróleo conteniendo pozos productivos son usualmente modelados con grid-blocks mas pequeños, aún si el petróleo es la unica fase fluyendo en esas zonas, debido a que los pronósticos del comportamiento de los pozos productores individuales son casi siempre requeridos. En regiones multifase la representación de la presión es más compleja. Los grid-blovks deben definir adecuadamente las saturaciones debido a que errores en la distribución calculada de las saturaciones pueden resultan en errores en las mobilidades de los fluidos que se traducen directamente en errores en las presiones calculadas. La fig 5.5 ilustra los perfiles de las posibles saturaciones y presiones a varios tiempos durante una inyección de agua a una relaciones de mobilidades favorable. Claramente perfiles exactos de presion son posibles si solo los perfiles de saturacion son exactos. Staggs y Herbeck estudiaron el efecto de la dimensión del grid-block sobre el rate de producción previsto. Ellos usaron varios modelos de dos fases balck-oil de 5 acres ¼ modelo five-spot 1:1 relación de mobilidad en una inyección de agua en el cual la presión fue mantenida constante en el fondo de pozo para ambos. La sola diferencia de los modelos fue el número de grid-blocks: 3x3, 4x4,5x5 y 6x6 como lo indica la figura 5.6. antes de la inyección el reservorio habia estado produciendo por gas en solución y una saturación de gas establecida. En cada caso, el modelo de reservorio tomo cerca de 1 año para represurizar antes que la producción de petroleo respondiera a la inyección de agua. Los resultados resumidos en la figura 5.6 demuestran la significante relación entre la dimensión del grid-block y el performance calculado. Staggs y Hervbec concluyeron que al menos 2 grid-blocks deberian ser usados entre los pozos inyectores y productores. Nuestra experiencia sugiere que mas de 2 grid-blocks entre los pozos cercanos son necesarios para la mayoria de problemas.

Verificando la sensitividad a las dismensiones de los grids-block

Se ha discutido los lineamientos y consideraciones que son importantes en la selección de la dimensión de los grids. Una ves que un sistema de grids es seleccionado ¿Qué puede ser hecho para verificar que el grid es apropiado para el estudio?. Es esencial en esta etapa del diseño del modelo redefinir las preguntas a ser contestadas en el estudio. Especificamente determinar que aspetos del moviiento de los fluidos deben ser conocidos para desarrollar y apoyar conclusiones del estudio y que predicciones especificas del comportamiento del reservorio son necesarios. Teniendo redefinido las preguntas a ser contestadas el mas directo modo de verificar la adecuada selección de grids es refinar ( hacer los grids mas pequeños) el grid por un factor de 2 por ejemplo y determinar si las respuestas a als preguntas cambian significativamente. Si el modelo es grande, puede ser mas practico usar esta aproximación en subconjuntos del modelo construyendo modelos mas pequeños que contienen solo las regiones de mayor interes. Las comparacines a ser hechas normalmente incluyen distribción de presiones y



saturaciones, desplazamientos y eficiencias de recuperación y los comportamientos de inyección y producción de pozos ó regiones.

Ejemplo de Dimensiones de Grid

Aunque el problema de la selección de la dimension del grid-block es complejo y es influenciado por las propiedades especificas del reservorio y por las preguntas especificas a ser contestadas en un estudio es posible identificar algunas guias que son usualmente aplicados.

En general 10 a 20 grid-blocks verticales son suficientes para un modelo de corte seccional. El número de grid-blocks en la dirección del flujo depende del numero de pozos a ser modelados y de las variaciones horizontales en las propiedades , usualmente 20 a 80 grid-blocks son suficientes.

Tipicamente modelos areales deberian tener 30 a 100 grid-blocks en cada dirección. La dimensión del grid-block en dos direcciones tienden a ser similares.

Los modelos radiales tienen 10 a 30 grid-blocks verticales y 10 a 20 grid-blocks grid-blocks horizontales. El número total de grid-blocks usualmente es mucho mas pequeño que en otros modelos, y las corridas de sensibilidad que son siempre necesarios con estos modelos puede ser realizados relativamente mas baratos.

Modelos 3D deben tener un gran numero de grid-blocks que los modelos 1D y 2D y generalment son los mas costosos. La dimensión areal de un grid 3D necesariamente son similares a aquellos de un grid areal. Puede ser necesario comprometer segmentaciones verticales para controlar el número total de grid-blocks en un modelo. Tipicamente el número de grids verticales en un modelo de un campo entero esta restringido a desde 3 hasta 7. Sustancialmente mas definicion vertical es practico en un modelo 3D de solo una porción del campo. Notar tambien que la dimensión de un modelo puede grandemente depender del tipo de computadora a ser usado en la simulación.

De acuerdo con la teoria existente es necesario colocar por lo menos un grid-block ente los gridblocks que contienen pozos. Por ejemplo si se tiene un espaciamiento de 600 metros entre pozos, la dimension del grid-block seria de 300 metros

Fig. 5.4 Típica distribución areal de las celdas en la cual la región de la simple fase es modelado con grids grandes



Fig. 5.5 Perfil hipotético de presión y saturación, ilustrando la necesidad de una adecuada segmentación. Perfiles son mostrados al inicio y al final y dos condiciones intermedias en la vida de un reservorio hipotético

600 m

300 m



Fig. 5.6. Influencia del espaciamiento del grid-block sobre la predicción del

comportamiento del reservorio: a) Modelos usados para estudiar el efeto del

espaciamiento. B) Rates de flujo de petróleo predichos por los modelos.



4.4. Discretización del Tiempo Para completar la discretización, también reemplazamos cada derivada de tiempo por su correspondiente cociente de diferencia. El tiempo es dividido en puntos discretos :

14321 ,.....,,,,0 nn tttttt ( Notar que usamos indices superiores para indicar el nivel del

tiempo ) . Asumir que tenemos a un tiempont , una solución para cada variable

dependiente en cada grid-block. Un procedimiento numérico consiste entonces de una técnica para generar una solución para cada variable dependiente en cada grid-point a

un tiempo siguiente 1nt . Claramente empezando con una condición inicial al tiempo

cero, repetida la aplicación del procedimiento numérico generará la solución en cada

punto discreto en el espacio y tiempo. (xi, yj, tn) para el periodo de tiempo de interés.

nn ttt 1

Luego una derivada del tiempo tal que el lado derecho de la ecuación pueda ser aproximadamente en un grid-block (i , j)

t

B

S

B

S

B

S

t

n

jio

on

jio

o

o

o

,

1

,

4.4.1. Selección de los Intervalos de Tiempo Hemos visto que un arreglo es usualmente necesario cuando las dimensiones de los grids son selecconados para un modelo de reservorio. Arreglo es también necesario cuando una secuencia de incrementos de tiempo a usar en la simulación es seleccionada. Tan grande un intervalo de tiempo reducira la calidad de las respuestas, mientras mas pequeño un intervalo de tiempo incrementará el tiempo en la computadora, tiempo calendario y costos. Registros de tiempo en la entrada y salida del simulador Durante la mayor parte de la simulación de un reservorio, perfiles de flujo y direcciones de flujo serán establecidos, relativamente grandes timesteps de igual longitud pueden ser usados, y el simulador procedera sin problemas. Durante este tiempo la dimensión de los intervalos de tiempo pueden estar limitados solo por la frecuencia de la salida de data requerida, registros de tiempo de cambios en el ingreso de data ó alguna acción requerida por consideraciones de manejo de reservorios. Por ejemplo una tipica longitud para el intervalo de tiempo en el ajuste de historia podria ser de 1 a 3 meses para concidir con el registro mensual de los cambios de producción del pozo. Algunas veces en la simulación los intervalos de tiempo deben ser restringidos en dimensión para que cambios en algunos parametros preseleccionados puedan ser limitados a caer dentro de un rango ó tolerancia predeterminado.

Consecuencias de intervalos de tiempo sin restricción.



Las tres mas comunes consecuencias de usar un intervalo de tiempo que es demasiado grande son: 1) Las mobilidades calculadas son incorrectas debido a que las mobilidades cambian tanto durante un intervalo de tiempo que el uso de un simple valor para una mobilidad de una fase es inapropiado. 2) La dispersión numérica es aceptablemente grande y 3) Algunas propiedades del reservorio usualmente presión cambian tanto durante un simple intervalo de tiempo que la fisica del sistema no puede ser descrito adecuadamente. Si las mobilidades no son calculados correctamente, entonces los regimenes de flujo individuales entre los grid-blocks estarán en error y los perfiles de saturación de fluido serán distorsionados. En otras palabras las soluciones a las ecuaciones de flujo serán incorrectas. Si una formulación implicita esta siendo usada, no puede haber indicación de error debido a que las soluciones pueden ser erroneas y todavia ser estables. La mecánica de los fluidos del reservorio no serán modelados apropiadamente si alguna propiedad cambia tanto durante un intervalo de tiempo que cambios en la fisica del sistema no es reconocido. Por ejemplo petróleo saturado en un grid-block en el cual la presión decae rapidamente deberia liberar un gran volumen de gas que deberian luego llegar a ser moviles y percolar hacia la parte superior del sistema ó fluir hacia un pozo en producción. Si el intervalo de tiempo es demasiado largo , el inicio del desarrollo del gas no sera reconocido, gas no será movil durante el intervalo de tiempo y una irreal saturación e gas será calculado por el simulador. Selección automatica de intervalos de tiempo. La mayor parte de los simuladors tienen la capacidad de establecer intervalos de tiempo automaticamente calculando los valores de parametros preseleccionados y ajustando los intervalos de tiempo hasta que cambios en los parámetros encuentran el criterio de tolerancia especificado. Los parametros y sus tolerancias varian de simulador a simulador y puede ser fijados automaticamente o seleccionados por el usuario. En otro caso despues que el simulador toma un intervalo de tiempo, este usualmente se prueba contra las tolerancias. Si estos no son encontrados, los calculos hechos con el intervalo de tiempo es descartado y un intervalo de tiempo mas pequeño es seleccionado. Algnos de los mas comunes parámetros usados y toleracias son las siguientes:

Cambio de presión: la magnitud de un aceptable cambio de presión dependerá del problema a ser resuelto. Si a un tiempo en particular gas libre está presente o experado, la tolerancia sera unos pocos psi, por otro lando en simulaciones de algunos procesos como inyección de agua a presiones encima del punto de burbuja, tolerancias encima de 100 psi son aceptables.

Cambio de saturación: Esto es frecuentemente un criterio aplicable. La dimensión de un aceptable cambio en la saturación dependerá en la formulación de las ecuaciones resueltas, el simulador usado y la técnica usada para estimar las funciones de saturación (parámetros dependientes de la saturación) . Valores comunes para de cambio de saturación aceptables varian desde el 5 al 10 % Volumen poroso. Con la formulación totalmente implicita cambios grandes pueden algunas veces ser tolerados.

Coeficiente de Transmisibilidad: Esto es esencialmente una modificación del criterio de cambio de saturación, excepto que las tolerancias son puesto directamente sobre los coeficientes usados en la ecuación de flujo.



Error en el Balance de materia: Este criterio no es siempre aplicable y puede ser dificil usarlo efectivamente. En general un error grande en el balance de materia indica que la solución en la ecuación esta en error. (Grande puede ser dificil de definir aquí).

Error de truncamiento en el tiempo: Controlando las dimensiones de los intervalos de tiempo para mantener los errores de truncamiento en el tiempo dentro de tolerancias deseables es util en problemas en el cual la no-linealidad en las funciones de presión ó saturación son especialmente fuertes.

Selección de intervalos de tiempo para comenzar la simulación. A tiempos muy tempranos en una simulación o cualquier tiempo hay un significante cambio en la operación que esta siendo modelada, hay usualmente cambios rapidos y grandes en la magnitud del flujo. A esos tiempos, los intervalos de tiempo deben ser recortados para permitir al modelo ajustarse al cambio. Tal primer evento es el comienzo de la simulación, Al comienzo el modelo usualmente estará en equilibrio con potenciales de flujo no establecidos o tendran especificados presiones y saturaciones en ciertas locaciones en el reservorio. En el primer ejemplo, correspondiente a las condiciones de descubrimiento, pequeños intervalos de tiempo deben ser tomados hasta que los gradientes de potencial y direcciones de flujo son establecidos. Intervalos de tiempos inicialesde 5 a 10 días son usualmente demasiados pequeños para comenzar la simulación. Si el fluido de producción por intervalos de tiempo es pequeño vs el volumen de los grid-blocks que contiene el pozo, intervalos de tiempo iniciales de 15 dias ó mas podrian ser aceptables. En el segundo ejemplo correspondiente al tiempo después que el reservorio ha sido ubicado en producción no todos los gradientes de potencial serán especificados correctamente y pequeños intervalos de tiempo deben ser tomados hasta que los potenciales de flujo puedan apropiadamente reajustarse. En otro ejemplo una ves que un intervalo de tiempo inicial es exitosamente tomado, subsecuentes intervalos puede ser secuencialmente mas grandes, conduciendo eventualmente a los intervalos de tiempos básicos discutidos anteriormente que involucran doblar la dimensión del intervalo de tiempo para cada nivel de tiempo hasta que un maximo es alcanzado. Otro evento que puede requerir una reducción en la dimensión del intervalo de tiempo es un cambio en los rates de producción e inyección. Cuando un pozo es productor o inyector a un rate relativamente constante un perfil de presión es establecido en la vecindad de ese pozo. Si un cambio grande en el rate ocurre, el perfil cambiará drasticamente y habrá grandes cambios en la magnitud y posiblemente en la dirección del movimiento del fluido. Pequeños intervalos de tiempo pueden ser requeridos aquí por las razones previamente discutidas. En los ejemplos más drasticos, cuando los productores son convertidos a inyectores los intervalos de tiempo pueden tener que ser reducidos a menos de 0.01 día inmediatamente después de un cambio de rate. Comparasión de los intervalos de tiempo usados enlas formulaciones Implicitas y Explicitas Los parámetros de flujo que son funciones de la presión y saturación pueden ser tratados explicitamente, implicitamente o semi-implicito. El tratamiento explicito en el cual los parámetros son asumido en mantener el mismo valor durante un intervalo de tiempo que ellos tuvieron al principio del intervalo de tiempo es a menudo el menos satisfactorio, especialmente si los intervalos de tiempos son grandes. Si las saturaciones y presiones no estan cambiando rapidamente como en algunos modelos areales con grandes grid-blocks un tratamiento explicito



puede ser aceptable y los intervalos de tiempo de razonable longitud pueden ser usados sin introducir errores grandes en el cálculo de los regimenes de flujo. Cuando ellos son aplicables las tecnicas explicitas son más económicas que otros métodos. En muchas simulaciones y particularmente en simulación de conificación, liberación de gas de solución y percolación de gas, el uso de las técnicas implicita o semi-implicita son una necesidad práctica. De otra forma inaceptables intervalos de tiempo pequeños serán requeridos para prevenir oscilaciones de la presión ó saturación y alcanzar la convergencia de la solución. Verificando la aceptabiliad de las dimensiones de los intervalos de tiempo.

Independiente de la formulación usada y el criterio aplicado para seleccionar los intervalos de tiempo, es deseable probar si la secuencia resultante de los intervalos de tiempo producira una suficiente exactitud en la simulación. Como en el caso de la dimensión del grid-block, la menor manera de contestar esta pregunta es desarrollar corridas de analisis de sensibilidad. Una porción del reservorio deberia ser simulado primero con la secuencia seleccionada de intervalos de tiempo y luego con pequeños intervalos de tiempo (mas pequeños por un factor de 2 a 3). Si una significante diferencia no es observado en el comportamiento, la secuencia seleccionada de intervalos de tiempo puede ser utilizada con confianza.



5. TRANSMISIBILIDAD

Para calcular el flujo de oil, agua y gas de grid block a grid block, debemos asignar movilidades de los fluidos aplicable para el flujo a través de los límites hipotéticos entre blocks (Interfase). Pero la movilidad de una fase es función de la saturación y hemos indicado que las saturaciones en dos blocks adyacentes pueden diferir significativamente. Esto conduce a la pregunta¿Qué saturación usaremos en definir las movilidades para el flujo entre dos blocks? Claramente ningun simple valor de Saturación y en consecuencia ningun simple valor de movilidad de oil, agua y gas puede adecuadamente describir el comportamiento sobre el amplio rango de saturaciones que puede existir en las regiones del reservorio representado por dos grid blocks adyacentes. Pero en el simulador usamos un simple valor de movilidad para cada intervalo de tiempo para calcular el régimen de flujo de una fase entre dos grid blocks adyacentes, pero se sabe de la experiencia que esta aproximación llamada ponderación 50/50 raras veces es la mejor. Consideramos dos celdas adyacentes i é i+1 del modelo de Reservorio asumiendo que hay una distribución arbitraria de la presión tal que: Pi > P i+1, la celda “ i ” es una celda corriente arriba y la celda “i+1” es una celda corriente abajo. El flujo de cualquier fluido sería de la celda i hacia i+1. Sin embargo estamos todavia con el problema de determinar que movilidad deberia ser usado en el cálculo del flujo. A) B)

Hay varias posibilidades: El flujo entre estos dos elementos es una función de dos parámetros como se puede ver en la siguiente ecuación la movilidad y la diferencia de presiones:

)(tan)( 11

2

11

iiii

o

o

iii PP

x

AQtoloPorPP

B

k

x

AQQ

a) Upstream (corriente arriba) :

)())() 11

1

111 iii

i

iiiii

i

ii PPx

AQByPP

x

AQA

… (1)

b) Downstream (corriente abajo):

)())() 1111

1

1 iii

i

iiiii

i

ii PPx

AQByPP

x

AQA

……… (2)

● i -1

● i

● i+1

Δx i -1 Δxi Δxi+1

● i -1

● i

● i+1

Δx i -1 Δxi Δxi+1



c) Average (Promedio) : )]()1([ 11

2

1

iiii

i

PPwwx

AQ ……. (3)

d) Harmonic (Armónico): 1

1

1

2

1

ii

ii

ii

i

PPx

AQ

………… (4)

5.1. Definición Es la capacidad de comunicación entre dos blocks adyacentes, es una propiedad de la interface, es función de la geometría del grid block, de las propiedades petrofísicas de la roca y de las propiedades del fluido del reservorio. 5.1.1. Transmisibilidad para un flujo Lineal Considerando un flujo lineal en la dirección X del grid “ i ” al grid “ i + 1 ” escribiendo la Ec. de Darcy a condiciones de Reservorio para calcular el caudal desde el centro del block “ i ” hasta la frontera del grid i + 1/2 :

2

)(

)(

2

1

2

12

1

i

ii

i

ii

i x

PP

B

AkQ

………….. (1)

Caudal desde la frontera del grid i + 1/2 hasta el centro del grid-block “ i + 1 ”

2

)(

)( 1

2

11

2

1

11

2

1

i

ii

i

ii

i x

PP

B

AkQ

……….. (2)

● ●

i + 1 i

i + 1/2

●

Δ x i +1

2

Δ x i 2

Δ x i +1

Δ x i



QQQ iii

1

2

1

Despejando de cada ecuación las diferencias de presiones y sumando los terminos para eliminar el termino “P i + 1/2 “ obtendremos:

)(22)( 1

11

1

2

1

ii

ii

i

ii

i

iPP

Ak

x

Ak

x

BQ ……….. (3)

)(

22)(

11

11

1

2

1

ii

ii

i

ii

i

i

PP

Ak

x

Ak

x

B

Q

……….. (4)

2

1

1

111

11

)(

)(

)()(2

i

ii

iiiiii

iiii

B

PPx

xAkxAk

AkAkQ

……….. (5)

)( 1

2

11

2

1

iii

iii

PPTQQQ Representación discretizada /numérica del caudal

2

1111

11

2

1)(

1

)()(2

iiiiiii

iiii

i Bx

xAkxAk

AkAkT

……….. (6)

2

12

1)(

1

i

Li B

GT

……….. (7)

Donde “G L” es el Factor Geométrico lineal para un medio poroso anisotrópico y distribución

de grid irregular.



Ti+1/2 es la Transmisibilidad para una distribución de permeabilidad en el grid-block heterogéneo y grid-blocks irregulares (ni constantes ni iguales en sus dimensiones). Notar que para un reservorio discretizado los blocks han definido dimensiones y permeabilidades, por consiguiente el factor geométrico “ G “ interblock es constante independiente del espacio y tiempo. En adición el término dependiente de la presión ( μ B ) de la Transmisibilidad usa algún promedio de viscosidad y factor de volumen de formación del fluido contenido entre el block “i” y el block

“i+1”ó algún ponderado (up-stream, down stream, peso promedio) en cualquier instante de

tiempo. En otras palabras el termino ( μ B ) no es función del espacio pero es una función del tiempo a

medida que las presiones en el grid block cambian con el tiempo. Por lo tanto la transmisibilidad es solo función del tiempo no depende del espacio.

Para un flujo en la dirección “X”

jijijixjijijixji

jixjijixji

ji Bx

xAkxAk

AkAkTx

,2

1,,1,1,1,,

,1,1,,

,2

1)(

1

)()(2

……….. (8)

Para un flujo en la dirección “Y”

2

1,

,1,1,1,,,

1,1,,,

2

1, )(

1

)()(2

jijijiyjijijiyji

jiyjijiyji

ji Bx

yAkyAk

AkAkTy

……….. (9)

Unidades: K : Darcys T: STBD/psi r : Pies Constante 1.127 Δ Z : Pies μ : cP

Bo : Bls/STB A= pies cuadrados



i , j

●

i , j+1

●

i+1 ,j

●

i -1, j

●

i , j-1

●

Δ y i, j+1

Δ y i, j

Δ y i, j-1

Δx i-1, j Δx i, j Δx i+1, j

i+1/2 ,j i-1/2 ,j

i ,j+1/2

i ,j-1/2

Tx( i+1/2,j)

Ty(i,j+1/2))

Tx( i-1/2,j)

Ty(i,j-1/2)

x

y

T( i+1/2,j)

T( i+1/2,j)



5.1.2. Transmisibilidad para un Flujo Radial

i-1

●

i

●

i+1

●

i-1

●

i

● i+1

● ΔZi ΔZi+1

ΔZi

r i - 1/2

r i + 1/2

i +1/2

r i -1

r i

r i + 1

i -1

●

i

● i + 1

● ΔZi

r i - 1/2 r i + 1/2

r i

r i + 1/2

r i - 1/2

re

rw

ΔZi-1



Considerando un flujo en la dirección radial del grid “ i + 1 ” al grid “ i ” escribiendo la Ec. de Darcy a condiciones de Reservorio para calcular el caudal desde la frontera del grid i + 1/2 hasta el centro del block “ i ” :

i

i

ii

i

ii

i

r

r

Ln

PP

B

zQ

2

1

2

1

2

12

1

)(

)(2

………….. (1)

Caudal desde el centro del grid-block “ i + 1 ” hasta la frontera del grid i + 1/2

2

1

1

2

11

2

1

11

2

1

)(

)(2

i

i

ii

i

ii

i

r

rLn

PP

B

zQ

……….. (2)

QQQ iii

1

2

1 Flujo Radial

Despejando de cada ecuación las diferencias de presiones y sumando los terminos para eliminar el termino “P i + 1/2 “ obtendremos:

)(

)()(

)( 1

11

2/1

12/1

2

1 ii

ii

i

i

ii

i

i

iPP

z

r

rLn

z

r

rLn

BQ

……….. (3)

Despejando el caudal

2/1

2/1

1

11

2/1

1

2

1 )1

(11

)(2

i

i

i

iii

i

ii

ii

i B

r

rLn

zr

rLn

z

PPQ

)( 12/11 iiiii PPTQQ Representación discretizada /numérica del caudal

2/1

2/1

1

11

2/12

1 )1

(11

2

i

i

i

iii

i

ii

i B

r

rLn

zKr

rLn

zK

Tr

……….. (5)



Donde

2

1

2

1 )1

(

i

ri B

GT

……….. (6)

Donde “G r ” es el Factor Geométrico radial para un medio poroso anisotrópico y distribución de

grid irregular. 5.1.3. Transmisibilidad para un Flujo Vertical Para la Transmisibilidad vertical en un sistema de dos dimensiones donde los grids blocks mostrados presentan la siguiente configuración.

● i k+1

● i-1 ,k

● i, k

● i+1 ,k

● i, k-1

r i + 1/2

ri – 1/2

r i

ΔZ i,k

ΔZ i,k+1

ΔZ i,k-1

k+1/2

k-1/2

i -1, j

r i + 1/2

r i - 1/2 i, j

i + 1, j

r i + 1

r i

r i -1

i – 1/2

● ● ● r i -1

r i

r i + 1

r i + 1/2

ΔZi,j

● ● ● ● ● ● ● ● ●

ΔZi,k

i ,k

i +1,k

i-1,k

●

● ●



Considerando un flujo lineal en la dirección Z del grid “ i , k+1 ” al grid “ i , k ” escribiendo la Ec. de Darcy a condiciones de Reservorio para calcular el caudal desde el centro del block “

i,k+1 ” hasta la frontera del grid “ k + 1/2 “ :

2

11,

1,

2

1,

2

2

1

2

2

11,

2

1 )1

(

2

)(

)(

kki

kiki

iiki

k BZ

PP

rrQz

………….. (1)

Caudal desde la frontera del grid “ k + 1/2" hasta el centro del grid-block “ i , k ”

2

1

,

2

1,

,

2

2

1

2

2

1,

2

1 )1

(

2

)(

)(

k

ki

kiki

iiki

K BZ

PP

rrQz

……….. (2)

kikik

QQQz ,1,

2

1

Despejando de cada ecuación las diferencias de presiones y sumando los terminos para eliminar el termino “P i, k + 1/2 “ obtendremos:

)()(2

)(

,1,

,

,

1,

1,

2

2

1

2

2

1

2

1

kiki

ki

ki

ki

ki

ii

k

PPZZ

rr

BQ

……….. (3)

Despejando el caudal

2

1,1,1,,

,1,,1,2

2

1

2

2

1)(

1

)()(

)()(2

kkikikiki

kikikiki

ii Bzz

PPrrQ

……………. (4)

Pero sabemos que:

)( ,1,)

2

1,(

)1,(),( kikiki

kiki PPTzQ

………. (5)

2

1,1,1,,

,1,2

2

1

2

2

1)

2

1,( )(

1

)()()(2

kkikikiki

kiki

iiki BzzrrTz

….……. (6)

2

1)

2

1,( )(

1

k

ki BGvTz



6. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS SEGÚN SU COMPRESIBILIDAD Dependiendo de su compresibilidad los fluidos del reservorio se clasifican en tres grupos:

a) Fluido Incompresible. b) Fluido Ligeramente compresible. c) Fluido Compresible.

En un fluido incompresible, la densidad del fluido se considera constante, un fluido se denomina ligeramente compresible si su densidad se puede considerar como función lineal de la presión, esto es, la compresibilidad del fluido es constante. Finalmente un fluido compresible es aquel que presenta un cambio significativo en su densidad con la presión. 6.1 Ecuaciones de Estado Cualquier ecuación de estado puede representarse analíticamente por una función: F (presión, densidad, temperatura) = 0 Existen varias ecuaciones de estado dependiendo del tipo de fluido que se esté manejando. A continuación se desarrollan cada una de estas ecuaciones:



Ecuación de Estado para un fluido incompresible

0

tan

P

tecons

Ecuación de estado para un fluido ligeramente compresible De la definición de compresibilidad:

TT

fP

mmP

m

m

mVAdemás

P

V

VC

)(

1 21

Reemplazando:

ddPC

dP

d

PC f

T

f

111

Integrando y despejando “ρ”:

)( PoPCo

o e

Realizando la aproximación utilizando la serie de Taylor

])(1[ oo PPCo

Donde:

ρo= Densidad inicial del fluido evaluada a la presión inicial Po

P = Presión medida a cualquier tiempo.

Además

)(1)(1

O

rOO

f

O PPCyPPC

BB

:

Ecuación de estado para un fluido compresible a) Para un gas ideal

PCg

TR

MP 1

b) Para un gas real

Pd

Zd

ZPCg

TRZ

MP 11



7. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS

La gran mayoría de los fenómenos físicos y químicos dentro del campo de la ingeniería, pueden ser modelados mediante las ecuaciones diferenciales ordinarias, por lo cual se hace necesario estudiar las técnicas más apropiadas que nos permiten resolver estos modelos que por lo general no contienen soluciones analíticas. Dentro de estas técnicas de resolución destacan aquellas de solución inmediata y otras que involucran ecuaciones predoctoras y concretas las cuales van a ser analizadas. Ecuación Diferencial Ordinaria Es aquella ecuación que representa una sola variable independiente, por lo tanto, sus derivadas son totales.

),(' yxfdx

dy

Donde: x= Variable independiente y= variable dependiente En muchas ecuaciones diferenciales, “x” puede estar en forma explícita ó implícita

xydx

dy Explícita en la variable independiente.

)(ySenydx

dy Implícita en la variable dependiente.

Ecuación Diferencial Parcial Es aquella en la que existen dos o más variables independientes, por ello sus derivadas serán parciales. Por ejemplo la ecuación de trasferencia de calor en estado no estacionario (no-estable) en una dimensión:

t

T

x

T

2

2

En este caso T=f(t,x) donde “ t “y “x” pueden variar libremente. Orden de una Ecuación Diferencial El orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden que aparece en una ecuación, por ejemplo:



0')1(''''' 2 yyxyxy

Esta es una ecuación diferencial de tercer orden. Grado de una Ecuación Diferencial Es el grado algebraico de la derivada de mayor orden que se encuentra en la ecuación. Por ejemplo:

0'''''' 2 yyyxy

Esta es una ecuación diferencial de primer grado, ya que el grado de la derivada de mayor orden es uno. Considerando la ecuación diferencial:

)(xSendx

dy

Cuya solución es y(x)= -Cos(x) + C Esta solución es una familia de curvas. Para determinar una solución particular, será necesario una condición inicial (xo,yo). Existen una serie de métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La elección de alguna de ellas estará en función del tipo de ecuación diferencial que se tenga resultado del modelamiento de un fenómeno físico o del grado de precisión que se quiera obtener los resultados.



7.1. Polinomio de Taylor generado por una función Si una función f(x) posee derivadas continuas hasta de orden “n” en el punto x=0, siendo n≥1, se tratará de obtener un Polinomio Pn(x) que coincida con f(x) y con sus “n” derivadas en x=0. Esto es:

)0()0( fP

)0(')0(' fP

)0('')0('' fP

..

..

0(''')0(''' fP

)0()0( nn fP

El polinomio buscado deberá ser de n-ésimo grado para que pueda contar con las “n” derivadas. Dicho polinomio se expresará de la siguiente manera:

n

non xAxAxAxAAxP .....)( 3

3

2

21 ……. (7.1)

El problema ahora es determinar los n+1 coeficientes Ao , A1, A2, A3…… An. Sustituyendo x=0 en el polinomio (7.1) tenemos que: Pn (0) = Ao por lo tanto Ao = f (0) Si derivamos el polinomio (7.1) y la derivada se evalúa en x=0, tenemos que: P’(0) = A1 A1 = f’(0) P’’(0) = 2 A2 A2 = f’’(0)/ 2 P’’’(0) = 6 A3 A3 = f’’’(0)/ 6

En general: Pk(0) = k ¡ Ak ; despejando Ak de la última expresión obtenemos:

!

)0(

k

fA

K

K Donde k = 1, 2, 3, 4,……..n

Sustituyendo los valores que se obtengan para cada una de las derivadas se tiene lo siguiente:

nn

n xn

fx

fx

fxffxP

!

)0(.....

!3

)0(

!2

)0()0()0()( 3

'''2

''' ………. (7.2)



Si se desea que el polinomio Pn(x) (7.2) satisfaga a la función f(x) y a sus “n” primeras derivadas pero en el punto x = xo esto es:

)()( OO xfxP

)(')(' OO xfxP

)('')('' OO xfxP

..

..

..

)(''')(''' OO xfxP

)()( xofxoP nn

Para lograrlo el argumento del polinomio Pn (x) será x = xo + Δx (xo se traslada Δx veces en el

sentido positivo de las abscisas) a xo x b

nnn

nn

xfxx

xfxx

xfxxxfxxxfxxfxP

!

)().....(

!3

)()(

!2

)()()()()()()( 0

00

'''3

00

''2

00

'

000

K

i

n

k

i

K

n xxk

xfxPxf )(

!

)()()(

0

………….. (7.3)

A esto se le conoce como el Polinomio de Taylor de grado”n” generado por f(x) en el punto “xo

“, el cual se comentó es el principio básico utilizado en la derivación de las fórmulas de aproximación en diferencias finitas. Ejemplo: Cual es exactamente la expansión de la serie de Taylor de la siguiente expresión:

xexf )( Cercano al punto xo = 0

Sabemos que xe

x

xf

)( puede ser mostrado recursivamente que todas las derivadas de orden

superior de f(x) son: x

n

n

ex

xf

)( donde n = 1, 2, 3,……….. Sustituyendo en la ecuación de la

expansión de Taylor (7.3)

Xon

oXooXo

o

XoX en

xxe

xxexxee

!

)(.....

!2

)()(

2

………. (7.4)

Δx



Evaluando en el punto xo = 0 , 10 eeXo; reemplazando en Ec. (7.4)

!........

!3!2!11)(

32

n

xxxxexf

nX

7.2. Diferencias Finitas La solución numérica aproximada de una EDP por medio de las diferencias finitas se refiere al proceso por el cual las derivadas parciales son reemplazadas por expresiones aproximadas obtenidas a partir de la serie de Taylor. 7.2.1. Aproximación de la Primera Derivada Considerando la siguiente extensión de la Serie de Taylor

nnn

nn

xfx

xfx

xfxxfxxfxxfxP

!

)(.............

!3

)(

!2

)()()()()( 00

'''30

''2

0

'

00 ….. (7.1)

Nótese que la expansión dada por la ec. (7.1) contiene “n” términos solamente y aún no es exacta. Reemplazamos la acostumbrada serie infinita de Taylor por una serie finita, esto es posible ya que como se puede apreciar, el n-ésimo término está no en el punto “xo” sino en el

punto ξ que se desconoce pero que se sabe está contenido en el intervalo <x,xi> donde:

ξ = xo + Φ (x – xo ) y 0< Φ < 1

La ec (7.1) sirve de base en la aproximación de las derivadas que constituyen las ecuaciones de flujo de fluidos en medios porosos que nos ocupan, como se verá a continuación. a) Diferencias progresivas Si consideramos n=2 de (7.1) se puede obtener la siguiente expresión para la aproximación de la primera derivada:

...........!2

)()()()()( 0

''2

0

'

00

xfxxfxxfxxfxPn (7.2)

a xo x b

Donde Δx = x - xo por lo tanto x = xo + Δx Nótese que no existe manera de evaluar el último término de la Ec. (7.2), No se tiene información de la segunda derivada f’’’ (xo ) . Este término se elimina y constituye lo que se denomina “Error de Truncamiento de la aproximación”. Su análisis es importante pues da información sobre el orden de la aproximación que está definido por la potencia del término “Δx

Δx



“que lo multiplica. En este caso la aproximación de f’’ (xo) mediante diferencias progresivas es de primer orden. Ordenando y reagrupando términos:

2

)()()()('

'' xofx

x

xofxxofxof

…………… (7.3)

Eliminando el segundo término la aproximación queda como:

x

xofxxofxof

)()()(' …………. (7.4)

b) Diferencias Regresivas Realizando el mismo análisis para aproximar la primera derivada si: Δx = xo - x por lo tanto x = xo - Δx

a x xo b

!

)(.....

!3

)('''

!2

)()('')()( 32

n

xofx

xofx

xoxxofxxofxxof

nn ……..(7.5)

2

)('')()()('

xofx

x

xxofxofxof

…………… (7.6)

Δx

x xo

f(xo + Δx)

f(xo)

Δx



x

xxofxofxof

)()()(' …………. (7.7)

La Aproximación de f’’ (xo ) mediante diferencias regresivas también es del primer orden.

El orden local de truncamiento de la aproximación es por la eliminación de los términos mayores que el “n” límite utilizado.

Op = - Δx f’’’ (xo) Error de 1º Orden …………… (7.8)

2 Or = Δx f’’’ (xo) Error de 1º Orden …………… (7.9)

2 c) Diferencias Centrales Si consideramos en la serie de Taylor n= 3 xo - Δx x xo +Δx

i -1 i i+1

!

)(.....

!3

)('''

!2

)('')(')()( 32

n

xofx

xofx

xofxxofxxofxxof

nn ...... (7.10)

!

)(....

!3

)('''

!2

)('')(')()( 32

n

xofx

xofx

xofxxofxxofxxof

nn ……..(7.11)

Restando (7.10) - (7.11)

Δx Δx

x

f(xo - Δx)

f(xo)

xo

Δx



......)(!5

2)('''!3

2)('2)()(53

xofx

xofx

xofxxxofxxof V. (7.12)

Despejando f’’ (xo )

......)(''2

)()()(' 2

xofx

x

xxofxxofxof (7.13)

Despreciando los dos últimos términos el error de truncamiento seria de segundo orden:

x

xxofxxofxof

2

)()()(' …….. (7.14)

Oc = Δx² f’’’ (xo) Error de 2º Orden …… (7.15)

7.2.2. Aproximación de la Segunda Derivada Si sumamos las ecuaciones (7.10) + (7.11) y despejamos la segunda derivada obtenemos la siguiente relación:

12

)()()(2)()(

'''2

2

'' ooooo

xfx

x

xxfxfxxfxf

…………(7.16)

Os = Δx² f’’’’ (xo) Error de 2º Orden …… (7.17)

xo

f(xo- Δx)

f(xo+Δx

)

x x

f(xo)

Δx Δx



12 7.2.3. Aproximaciones de términos de la forma df = f (t,x) dt a) Diferencias progresivas en tiempo

nt

1nt

ttt n

i

n

i 1

......!3

'''

!2

)('')(')()( 321 f

ttf

ttfttftfn

in

i

n

i

n

i …………….. (7.18)

Despreciando términos de segundo orden:

t

tftf

t

ftf

n

i

n

i

n

i

n

i

)()()('

1

…………… (7.19)

b) Diferencias regresivas en tiempo

ttt n

i

n

i 1

..........!3

)(''!2

)(')()(3

12

11

ttf

ttfttftf n

i

n

i

n

i

n

i …………(7.20)

Despreciando términos de 2º orden:

t

tftf

t

ftf

n

i

n

i

n

i

n

i

)()()('

11

1 ……….. (7.19)

Empleando la siguiente notación se puede ahora escribir las aproximaciones anteriores en términos de variables discretas. xo = i

xo+ Δx = xi+1

xo – Δx = xi-1

f(xo + Δx ) = f i+1

Δt



f(xo - Δx ) = f i-1

f(xo) = f i

Diferencias progresivas x

fff

ii

i

1' …………… (7.20)

Diferencias regresivas x

fff

ii

i

1' …………… (7.21)

Diferencias Centrales x

fff

ii

i

2

11' …………… (7.22)

Segunda Derivada 2

11''2

x

ffff

iii

i

…………… (7.23)

7.2.4. Método de Newton- Rapson Estándar Numerosos modelos matemáticos provenientes del planteamiento de los fenómenos físicos y químicos, resultan en una ecuación algebraica no-lineal, normalmente de grado 2 ó mayor, y en muchos casos son exponentes fraccionarios. Estas ecuaciones algebraicas, deberán resolverse por alguno de los métodos numéricos que a continuación se detallaran. El éxito de la resolución de estas ecuaciones radica en la habilidad de seleccionar el método más adecuado. En tal

f i - 1

f i+i

f i

i-1 i + 1/2 i i -1/2 i+1

Δx Δx

Diferencias Progresivas

Diferencias centrales

Diferencias regresivas



sentido, este debe ser primero, de fácil implementación y segundo, debe asegurar la convergencia dentro de un margen de tolerancia estimado. El método de Newton-Raphson es un método de convergencia de segundo orden en la solución de ecuaciones algebraicas no-lineales, cuando los valores iniciales son asignados adecuadamente, se obtiene la solución con un número bajo de iteraciones, sin embargo cuando estos puntos no son los suficientemente buenos, se tienen dificultades en lograr la convergencia. Este método es uno de los métodos usados con mayor frecuencia en la solución de problemas derivados del modelamiento matemático de fenómenos químicos y físicos dentro del campo de la ingeniería. Un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales puede representarse mediante:

0).......,,,,( 43211 nxxxxxf

0).......,,,,( 43212 nxxxxxf

0).......,,,,( 43213 nxxxxxf

0).......,,,,( 4321 nn xxxxxf

O más simplemente:

0)( xF t

nxxxxxX ).......,,,,( 4321

El método parte de la expansión de la función “f” alrededor de un punto, mediante la utilización de la serie de Taylor, tal como se ilustra para una función de dos variables expandida alrededor del punto (xo, yo).

....])())((2)([!2

1)()(),(),( 2

2

222

2

2

oooooooo yy

y

fyyxx

yx

fxx

x

fyy

y

fxx

x

fyxfyxf

Truncamos la serie de Taylor a los términos de orden más bajos (primera derivada):

)()(),(),( oooo yyy

fxx

x

fyxfyxf

Supongamos el sistema de dos variables:

0),(1 yxf

0),(2 yxf

Si expandimos estas funciones alrededor del punto genérico ),( 11 yx tenemos:



)()(),(),( )1(1)1(11

)1()1(

1

yyy

fxx

x

fyxfyxf

)()(),(),( )1(2)1(22

)1()1(

2

yyy

fxx

x

fyxfyxf

0),( )1()1(

1 yxf

0),( )1()1(

2 yxf

Si hacemos:

xxx )1(

yyy )1(

Las ecuaciones ( ) y ( ) pueden reescribirse como:

),(1,

1

,

1 yxfyy

fx

x

fyxyx

),(2,

2

,

2 yxfyy

fx

x

fyxyx

Este sistema puede escribirse en forma matricial como:

yxf

yxf

y

x

y

f

x

f

y

f

x

f

,(

),(

2

1

22

11

FUNCIONESDE

VECTOR

VARIABLEDE

VECTORJACOBIANAMATRIZ

f

f

y

x

y

f

x

f

y

f

x

f

2

1

)1

22

11

)



La Ecuación ( ) es un sistema lineal de dos variables la que se puede resolver por los métodos tradicionales de solución de ecuaciones lineales. Algoritmo de solución El Sistema algebraico no lineal se resuelve del siguiente modo:

Escribir las ecuaciones en forma explícita.

Asumir un valor inicial ),( oo yx para cada variable.

Evaluar la matriz jacobiana y el Vector de Funciones y resolver el sistema.

Los valores de yx ; se sustituyen y se encuentran los nuevos valores ),( 11 yx

Se continúa el procedimiento hasta cumplir con el criterio de convergencia establecido anteriormente.

Criterio de convergencia Los criterios de convergencia pueden ser diversos, es decir que se puede establecer dicho criterio respecto a las variables o a las funciones, para lo cual se establece un vector tolerancia que dependiendo del problema físico pede tomar un mismo valor o valores dependientes para cada variable. Se va a considerar para nuestro caso el siguiente criterio:

TOLxxError 1

Generalización del Método El sistema lineal puede ser desarrollado en forma similar al método descrito para dos variables cuya etapa final es similar a la mostrada en la ecuación anterior.

yxf

yxf

y

x

y

f

x

f

y

f

x

f

,(

),(

2

1

22

11



)(

.

.

.

.

.

)(

)(

.

.

.

.

.

...............

...................

...................

...............

..............

2

1

2

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

Xf

Xf

Xf

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

nn

n

nnn

n

n

Ó simplemente: ).............,,( 321

nxxxxX

)(

XFx

F

X

Caso I

Resolver f(x) = x² - Cos(x) = 0

)( xfxx

fx

Despejando

)(

1 )(

x

f

xfx

f’(x) = 2x + Sen(x)

ν x )( xf )(

x

f

)(

)()1(

)('

)(

xf

xfx

0 0.5 -0.62758256 1.47942554 0.42420693

1 0.92420693 0.25169068 2.64655707 -0.0950117

2 0.822910576 0.01188097 2.39553909 -0.00495962

3 0.82414613 3.292 x 105 2.38226038 - 1.382 x 10

5

4 0.82413231 2.53 x 1010

2.38222336 -1.032 x 1010

5 0.82413231 0 2.38222336 0



92420693.042420693.05.0

42420693.047942554.1

)62758256.0(

47942554.1)/5.0180()5.0(2)('

62758256.0)/5.0180(5.0)(

5.0

1

1

2

x

x

xSenxf

xCosxf

x

Caso II

Se tienen las siguientes ecuaciones:

21

2

1

2

2212

2121

2

1211

2.62.61.39.0),(

2.56.28.76.36.1),(

xxxxxxf

xxxxxxxf

2.68.16.26.3

2.62.68.76.32.3

2

2

221

2

1

1

1

221

1

1

xx

fxx

x

f

xx

fxx

x

f

ν

1x

2x ),( 211 xxf ),( 212 xxf )(' 11 xf )(' 21 xf )(' 12 xf )(' 22 xf 1

1

x 1

2

x

0 0.5

0.4 -1.38 -0.299 -4.76 -0.8 -3.1 6.92 0.2763 0.0805

1 0.776

0.4805 -0.20239 -0.2426 -3.585 -0.1949 -1.396 7.0650 0.0551 -0.0235

2 0.8315 0.4570 -0.00019 -0.0099 -3.494 -0.3935 -1.044 7.0227 41003.1 x -0.00142

3 0.8314 0.4556 -7105.5 x -

6109.1 x -3.499 -0.3931 -1.045 7.0201 7103.1 x

71047.2 x



7.2.5. Ecuaciones Matriciales El algebra de matrices es el lenguaje de fuerza usado en discusiones y debates de los métodos de solución (Sistema de ecuaciones lineales) y alguna familiaridad con el tema es un pre-requisito para la comprensión del resto del capitulo. Debido a aquellos quienes usan los simuladores raras veces necesitan ó tienen la oportunidad para usar el algebra de matrices en sus normales actividades, una breve revisión de las operaciones con matrices usados en este capitulo y mencionados en la mayor parte muy a menudo en la literatura de la simulación de reservorios es incluido aquí. Notación Matricial Cuando un conjunto de ecuaciones (Sistema de ecuaciones lineales) como el mostrado son grandes como en un simulador de reservorios, estos son difíciles de debatir y virtualmente imposible para manejar a menos que ellos sean expresados como matrices. La notación matricial es ilustrada como un típico set de ecuaciones lineales.

3333232131

2323222121

1313212111

dPaPaPa

dPaPaPa

dPaPaPa

233231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3

2

1

P

P

P

=

3

2

1

d

d

d

Existen tres variables desconocidas: P1, P2 y P3, todas las demás cantidades son conocidas en un formato matricial las ecuaciones llegan a ser simbólicamente representadas como:

dPA

Los subíndices de los elementos de la matriz generalmente se refieren a las localizaciones de filas y columnas. En alguna pare de la literatura sobre Simulación , los subíndices adjuntos a los elementos en una matriz indicarán la localización de los gris-blocks mas que la localización de los elementos de la matriz. La distinción es usualmente clara y la notación no es confusa. “A” es la matriz de coeficientes conocida y es una matriz de 3 x 3 debido a que tiene el mismo número de filas y columnas, es

una matriz cuadrada. Las matrices 3 x 1 dyP

son matrices columnas.

conocidoesdyodesconocidesP

. Ecuaciones individuales pueden ser generadas

multiplicando elementos de una fila dada, de izquierda a derecha por elementos desconocidos de la columna del vector desde la parte superior a la inferior e igualando la suma de los

productos al elemento de la columna d

conocidos. Por ejemplo:

1313212111

3

2

1

131211 dPaPaPa

P

P

P

aaa



Matriz Rectangular Es una matriz de orden m x n. Donde m= # de filas y n = # de columnas (m≠ n) Matriz Cuadrada Es una matriz de orden “n”. Tiene “n” filas y “n” columnas.

A=

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

.................

....................................

..............

..............

321

2232221

1131211

A=

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

.................

...............

..............

..............

321

3333231

2232221

1131211

Observaciones 1) Solo las matrices cuadradas tienen diagonal principal. 2) a i,, j = Elemento de la fila “i” y columna “j” 3) Una matriz no tiene valor numérico. 4) Los elementos pueden ser números, vectores, funciones etc. Matriz Escalar Es una matriz diagonal con elementos iguales entre si y diferentes de cero, donde: a 1, 1 = a 2,2 = a 3, 3 = ………….. a n, n

nna

a

a

a

.................000

0......................................

0..............00

0.................00

0..............00

33

22

11

Matriz Identidad (I)

Es una matriz escalar con elementos iguales a la unidad

1.................000

0.....................................

0..............100

0.................010

0..............001



Matriz Fila Es de orden (1 x n) y es de la forma:

naaaa 1131211 ..............

Matriz columna Es una matriz de orden (n x1), por convención se llamara Vector.

1

13

12

11

.

.

na

a

a

a

Matriz Triangular superior Es una matriz cuadrada en la que para “i > j” sus elementos son ceros.

nn

n

n

n

n

n

a

a

a

aa

aaa

aaaa

.................000

..........................................

...................000

...................000

..............00

..............0

..............

5

4

333

22322

1131211

Matriz Triangular Inferior Es una matriz cuadrada en la que para “i < j” sus elementos son ceros.



nnnnn aaaa

aaa

aaa

aaa

aa

a

.................

0................................................

0..................

0..................

0.................

0...................0

0..................00

321

352515

342414

332313

2212

11

Matrices Banda

nn

n

ba

c

cba

cba

cba

cb

.............................000

.................................................

0.................................................

0.................................................

0.................................................

0.......................00

0.........................00

0.........................00

0.........................000

444

333

222

11

999

8888

777

6666

55555

4444

333

2222

111

000000

00000

000000

00000

0000

00000

000000

0000.0

000000

bad

cbad

cbd

ebad

ecbad

ecbd

eba

ecba

ecb

Matriz Tridiagonal Matriz Pentadiagonal

9999

88888

7777

6666

55555

4444

3333

22222

1111

00000

0000

00000

00000

0000

00000

00000

000.0

00000

badg

cbadg

cbdg

ebad

ecbad

ecbd

feba

fecba

fecb

Matriz Heptadiagonal



Matriz Inversa )( 1A : 1A es inversa de “A “ si IAxAAxA 11

Siendo “A “una matriz cuadrada y “I” matriz identidad del mismo orden de “A”. Operaciones Elementales Se llama así a las siguientes operaciones:

a) Al intercambio de dos filas ó columnas. b) A la multiplicación de una fila ó columna por un escalar no nulo. c) Si a una fila ó columna se le suma el múltiplo de otra fila ó columna.

Matriz equivalente Dos matrices son equivalentes si uno de ellos se obtiene a partir del otro mediante un número finito de operaciones elementales. Matriz Escalonada Una matriz de orden mxn es escalonada si tiene la siguiente estructura:

Las primeras k filas son no nulas y las restantes “m-k” filas son nulas.

El primer elemento de cada una de las “k” filas es la unidad.

En cada una de las “k” filas, el número de ceros anteriores a 1 crece de fila a fila. Cualquier matriz “A” de orden “mxn” puede reducirse a una matriz escalonada mediante un número finito de operaciones elementales.

5221000

3531100

7152210

0823911

Rango de una Matriz r(A) El rango de una matriz A de orden “mxn” está dada por el orden de la sub-matriz cuadrada mas grande de “A” y cuyo determinante es diferente de “0”. Rango de una matriz mediante operaciones elementales Se lleva la matriz a su forma escalonada. Luego el rango de dicha matriz será igual al rango de su matriz escalonada (que es igual al número de filas no nulas) Cálculo de la matriz inversa utilizando operaciones elementales

Se aplica 1 ABBIsElementalesOperacioneIA



7.3. Aproximación de Términos de la forma “ )(x

P

x

”

Si se define: x

Pu xx

…………………… (7.24)

Se puede escribir: x

u

x

P

x

)( …………………. (7.25)

Donde ux es velocidad por lo tanto (du /dx) Cambio de velocidad entre las fronteras de un grid-

block. Empleando la aproximación por Diferencias Centrales y apoyándonos en los puntos i ± 1/2

Que corresponden a las fronteras de la celda ó grid block (i,j) en la dirección “x” se obtiene:

i

jiji

jix

uu

x

u

,2

1,

2

1

,)( Reemplazando por su definición en (7.24) …….. (7.26)

])()[(1

)(,

2

1,

2

1,jiji

i

jix

P

x

P

xx

u

……………. (7.27)

])()()()[(1

)(,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,jijijiji

i

ji Px

Pxxx

u

………….. (7.28)

Finalmente obtendremos:

])()()()([1

)(( ,1,,

2

1,,1,

2

1, jijiji

jijiji

i

ji PPx

PPxxx

P

x

….. (7.29)

● ●

i + 1 i i + 1/2

●

Δ x i +1

Δ x i

●

i - 1/2

●

i - 1

Δ x i -1

P i - 1 P i P i + 1



7.4. Discretización (Aproximación) de la Ecuación General de Flujo 7.4.1. Ecuación General de flujo para un Sistema Lineal

De la Ecuación General de flujo tenemos: )(*)(o

oooo

B

S

tq

Sabemos que el término Movilidad es igual a oo

oB

k

; q* = STBD/ Volumen de roca

7.4.1.1. Desarrollo de la Ecuación General de flujo en una dimensión 1-D

)(*)(B

S

tiq

xx

…….. (7.30)

Reemplazando por su equivalente en diferencias finitas Ec. (7.29) y multiplicando por el volumen de Roca.

)(*])()()()([2

1

2

1

2

1

2

1B

S

txAiqxA

xxx

xA ixix

iiiii

ix

…. (7.31)

Si el Reservorio es Horizontal:

● ●

i + 1 i i + 1/2

●

Δ x i +1/2

Δ x i +1

Δ x i

●

i - 1/2

●

i - 1

Δ x i -1

P i - 1 P i P i + 1

Δ x i -1/2

Qi

A A



)(])()()()([ 1

2

11

2

1B

S

txAiQPP

xPP

xA ixii

iii

ix

……….. (7.32)

Si consideramos un arreglo de grid-blocks en un reservorio no horizontal de (7.31)

)(])()()()([ 1

2

11

2

1B

S

txAiQ

xxA ixii

iii

ix

……. (7.33)

)(])()()()([ 1

2

11

2

1B

S

txAiQ

xA

xA ixii

ixii

ix

……. (7.34)

El Término

2

1)( i

xx

x

A Se llama Transmisibilidad además DP

El término "" es llamado gradiente de formación además g

i -1

•

i

•

i +1

•

i +2

•

Datum Plane

Di-1

Di

Di+1

Δxi

Di +1/2 i + 1/2

i - 1/2



)(])([)]([ 11

2

111

2

1B

S

tiViQDDgPPTDDgPPT iiii

iiiii

i

…. (7.35)

Si el reservorio es horizontal se desprecian los términos gravitacionales:

)(][][ 1

2

11

2

1B

S

tiViQPPTPPT ii

iii

i

…………… (7.36)

En forma general la Ecuación resultará:

)(])()()()( 1

2

1,1

2

1B

S

tVQTxTx iiii

iii

i

…………. (7.37)

Desarrollando el termino diferencial de acumulación del segundo miembro de la Ecuación, y considerando que solo tenemos una sola fase por lo tanto Φ x S = Φhc

)1

(1

)(BttBBt

………… (7.38)

t

P

BPt

P

PBBt

)

1(

1)(

……….. (7.39)

Sabemos que: P

CP

C rr

1 ……….. (7.40)

P

BB

P

BBB

P

B

B

B

P

B

B

BB

P

B

BC f

12

2)(

11 )1

(BP

BC f

……. (7.41)

Reemplazando (7.40) y (7.41) en la Ec. (7.39) obtenemos lo siguiente:

t

P

B

CC

Bt

P

B

C

t

PC

BBt

f

r

f

r

])(

1[)(

1)(

………. (7.42)k

t

PPtC

Bt

PCC

BBt

n

i

n

ifr

)()()(

1 ………. (7.43)

Ct = Cr + So Co + Sw Cw + Sg Cg

La Ecuación general de flujo en una dimensión 1-D totalmente “Discretizada” será:

t

PP

B

CVQTxTx

n

i

n

itiiiii

iii

i

)(])()()()(

1

1

2

1,1

2

1

… . (7.44)



t

PP

B

CVQQTxTx

n

i

n

itiiI

ibi

I

iiii

iii

I

i

)()(])()([

1

111

2

1,1

2

11

… (7.45)

7.4.1.2. Ecuación General de Flujo en dos dimensiones 2-D

)(*)( ,B

S

tq ji

..………. (7.46)

)()()( ,B

S

txyhQ

yyxyh

xxxyh ji

y

yx

x

………. (7.47)

t

PP

B

CVQ

yyyyA

xxxxA

n

ji

n

jitji

jijijiji

y

jiy

ji

y

Xjiji

x

jix

ji

x

Y

)(])()()()[(

1])()()()[(

1 ,

1

,,

,,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1

t

PP

B

CVQ

yA

yA

xA

xA

n

ji

n

jitji

jijijiji

y

Xji

yji

y

Xjiji

x

Yji

xji

x

Y

)(])()()()[(])()()()[(

,

1

,,

,,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1

t

PP

B

CVQTTTT

n

ji

n

jitji

jijijiji

Yji

yji

Yjiji

Xji

xji

X

)(])()()()[(])()()()[(

,

1

,,

,,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1

Realizando el mismo análisis resulta la ecuación para un flujo en 2-D ec. (7.48)

t

PP

B

CVQQTyTyTxTx

n

ji

n

itjiIJ

ji

jibji

IJ

ji

jijiji

jijiji

jijiji

jijiji

Ij

ji

)(

)(])()()()([,

1

,,

11

,,

11

1,,

2

1,

),1,

2

1,

,1,,

2

1,,,1,

2

1

11

● ●

i + 1,j i ,j i + 1/2

● ●

i - 1/2

●

i – 1,j

Φ i – 1,j Φ i ,j Φ i + 1,j

Ax Ax

i , j+1

i , j-1

●

●

Ay

Ay

Φ i ,,j+1

Φ i ,,j-1

h



7.4.2. Ecuación General de Flujo para un Sistema Radial

)(*)( ,,

o

oozroo

B

S

tq

…. (7.49)

o

oSC

oo

oro

ozo

B

S

tq

rr

r

rrzz

*

11………. (7.50)

O

OSC

or

B

S

tq

r

r

rr

*

1 …………. (7.51)

Haciendo r

ru O

r

………. (7.52)

)(1

)(1 ,

2

1,

2

1

,

i

jiji

i

ji

i r

uu

rr

u

r

)(*])()()()([1

2

1

2

1

2

1

2

1B

S

tq

r

r

r

r

rri

iiiiii

∆z

(qoρo )z

(qoρo )z+∆z

(qoρo ) r+∆r (qoρo ) r Masa de Oil

que entra radial

Masa de Oil

que sale radial

Masa de Oil

que entra vertical

Masa de Oil

que sale vertical

r + Δr

r

Δr

(qoρo ) θ

(qoρo ) θ+∆ θ

∆θ

±QoSC

r∆θ

∆z

Masa de Oil

que entra angular

Masa de Oil

que sale angular



)(*])()()()([1

1

2

11

2

1B

S

tqi

r

r

r

r

rrii

iii

iii

………. (7.53)

Multiplicando por el volumen de roca hrrV iii 2

)(])()()()([2

1

2

11

2

1B

S

tVQi

r

r

r

r

rr

hrriii

iii

iii

ii

………. (7.54)

Realizando la aproximación por diferencias centrales al igual que para un flujo lineal:

hrAii

2

1

2

1 2

(Área de Flujo)

t

P

B

CVQPP

r

APP

r

A tiiii

i

r

iii

r

)()()()( 1

2

11

2

1 …. . (7.55)

2

12

1

i

r

i r

ATr

t

PP

B

CVQTT

n

i

n

it

riiiii

riii

r

)()()()()(

1

1

2

11

2

1

……. (7.56)

i + 1

● i

● i-1

●

Qi

i + 1/2

● i - 1/2

●



7.4.2.1. Ecuación General para un Flujo Cilíndrico en dos dimensiones 2-D Si consideramos un flujo en 2-D tanto radial como vertical Ecuación (7.57)

t

PP

B

CVQTzTzTrTr

n

ki

n

kitkiki

kikikiki

kikiki

kikiki

kikiki

)(])()()()()()()()(

,

1

,,,

,1,,

2

1,

),1,

2

1,

,1,,

2

1,,1,

2

1

7.4.3. Implementando las condiciones de frontera Las frontera en un reservorio de petróleo puede ser extremadamente complicado, consistiendo de las fronteras internas y externas que delinean el sistema reservorio. Las fronteras externas pueden incluir los límites de ambos el reservorio de hidrocarburos y cualquier acuífero asociado. La frontera del reservorio puede estar sujeta a una de las cuatro condiciones:

Gradiente de presión constante en la frontera

Flujo constante en la frontera

No flujo a través de la frontera

Presión constante en la frontera.

En realidad las tres primeras condiciones de frontera se reduce a una gradiente de presión especificada (condición de frontera de Neumann) y la cuarta condición es la condición de frontera tipo Dirichlet (valor de presión constante).

i + 1,j

● i ,j

● i-1,j

●

Qi,j

i + ½,j

●

i , j+1

●

i , j- 1

●

i -½,

● i+1, k i+1/2, k i-1,k i-1/2,k i, k

Q i,k

i,k+1

k+1k+

1

i, k-1



a) Gradiente de presión especificada en la frontera Para el grid –block “1” que se encuentra sobre la frontera izquierda del reservorio considerando una celda ficticia “0” la ecuación de flujo será: ……….. Ecuación de flujo en el grid-block 1 adyacente a la frontera hasta el grid block “I”

t

PP

B

CVTxTx

nn

t

)()()()()( 1

1

11101

2

112

2

3

t

PP

B

CVTxTx

nn

t

)()()()()( 2

1

22212

2

323

2

5

. .

. . . . . . . . . . . . . .

t

PP

B

CVTxTx

n

I

n

ItIIII

III

I

)()()()()(

1

1

2

11

2

1

Pero sabemos que:

2

1

2

1

2

11

2

1 )()()()()(xB

Ak

xB

AkTx

xxxxo

……. (7.58)

])(

()([)()()( 10

2

11

2

1x

DD

x

P

B

AkTx

xx

o

……. (7.59)

Reemplazando en la Ecuación general para el grid-block 1, y el grid “I”, considerando que el block ficticio “0” y el grid “1” se encuentra a la misma profundidad. Do = D1

b

xx

ox

P

B

AkTx )()()()(

2

11

2

1

Involucra un caudal en la frontera b

xx

bx

P

B

AkQ )()(

2

1

0 b 1 2 3 I -1 I b I +1

1/2 3/2 5/2 I -1/2 I+1/2

●

●

●

●

●

●

bx

P

bx

P

●



Reemplazando en la Ecuación General en los grid blocks fronteras del reservorio:

t

PP

B

CV

x

P

B

AkTx

nn

tb

)()()()()( 1

1

1111112

2

3

. . .

. . .

. . .

. . .

t

PP

B

CVTx

x

P

B

Ak n

I

n

ItIIII

Ib

II

)()()()()(

1

1

2

1

b) Caudal especificado en la frontera La condición de frontera de régimen de flujo especificado tiene lugar cuando en las cercanías del reservorio la frontera tiene un alto o bajo potencial de un reservorio vecino ó un acuífero. En este caso el fluido se mueve a través de la frontera del reservorio. Métodos tales como cálculos de influjo de agua y balance de materiales en la ingeniería de reservorio pueden ser usados para estimar el régimen de flujo, cuando el término es especificado como “Qb” la ecuación de flujo para el grid-block “1” llega a ser: ……….. Ecuación de flujo en el grid-block 1 adyacente a la frontera hasta el grid block “I”

t

PP

B

CVTxTx

nn

t

)()()()()( 1

1

11101

2

112

2

3

t

PP

B

CVTxTx

nn

t

)()()()()( 2

1

22212

2

323

2

5

. . .

. . .

. . .

t

PP

B

CVTxTx

n

I

n

ItIIII

III

I

)()()()()(

1

1

2

11

2

1

0 b 1 2 3 I -1 I b I +1

1/2 3/2 5/2 I -1/2 I+1/2

●

●

●

●

●

Qb

● Qb

●



Pero sabemos que:

bxx QxB

AkTx

)()()()( 10

2

110

2

1

…… (7.60) (Caudal en la frontera del grid “1”)

Reemplazando en la Ecuación general para el grid-block 1, y el grid “I” (Grids frontera)

t

PP

B

CVQTx

nn

tb

)()()( 1

1

11112

2

3

. . .

. . .

. . .

. . .

t

PP

B

CVTxQ

n

I

n

ItIIII

Ib

)()()(

1

1

2

1

En un flujo multidimensional con “Qb” especificado para la frontera total del reservorio”QbL” para cada grid-block frontera es obtenido pro-rateando “Qb” entre todos los grid-block fronteras que

comparte esa frontera.

bm

l Lb

Lb

Lb QT

TQ

…….. (7.61)

Donde la Transmisibilidad entre la frontera del reservorio y el grid-block frontera es definida como:

b

LL

LbL

B

AKT )

2

(

……… (7.62)

La longitud “L” y el sub-índice “L” es reemplazado por x,y ó z, dependiendo de la cara de la frontera sobre el grid-block. Hay que mencionar que la suposición de las caídas de presión a través de la frontera del reservorio para todos los grid-blocks que comparten esa frontera son iguales. Para el caso del flujo en la dirección “x”

bxx

b xB

AKxT )

2

(

…….. (7.63)



c) Condición de No flujo en la frontera La condición de no flujo en la frontera resulta de la tendencia de la permeabilidad a ser cero en la frontera del reservorio. Por lo tanto la transmisibilidad en la frontera del reservorio es cero (Tx)1/2 = 0 . Debido a la simetría en el grid block frontera Φ0 = Φ1.Para el análisis en el grid-block “1” seria:

0)()( 10

2

1 bQTx Además 0)()( 1

2

1

bIII

QTx ……. (7.64)

Reemplazando en la ecuación general de flujo

t

PP

B

CVTx

nn

t

)()()( 1

1

11112

2

3

t

PP

B

CVTxTx

nn

t

)()()()()( 2

1

22212

2

323

2

5

. . .

. . .

. . .

. . .

t

PP

B

CVTx

n

I

n

ItIIII

I

)()()(

1

1

2

1

d) Presión especificada en la frontera Condiciones de este tipo son encontrados cuando el reservorio esta en comunicación con un fuerte acuífero ó cuando pozos al otro lado de la frontera del reservorio operan para mantener reemplazo al vaciamiento y como resultado mantener la presión constante en la frontera. El valor de la presión puede ser función del tiempo, pero para nuestro caso será asumido constante. ………… Ecuación de flujo en el grid-block 1 adyacente a la frontera hasta el grid block “I”

0 b 1 2 3 I -1 I b I +1

1/2 3/2 5/2 I -1/2 I+1/2

●

●

●

●

●

Pb

● Pb

●



t

PP

B

CVTxTx

nn

t

)()()()()( 1

1

11101

2

112

2

3

t

PP

B

CVTxTx

nn

t

)()()()()( 2

1

22212

2

323

2

5

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

t

PP

B

CVTxTx

n

I

n

ItIIII

III

I

)()()()()(

1

1

2

11

2

1

Realizando el análisis en el grid “1”

……….…….(7.65)

)()()()()()( 1

2

10

2

110

2

1 bb TxTxTx ………... (7.66)

bbbbb QTxTxTx )()(2

1)()(

2

1)()( 110010

2

1 ……….. (7.67)

Para mantener el potencial al lado izquierdo de la frontera del grid-block “1” constante, el fluido saliendo de la frontera hacia el grid “1” tiene que ser igual al fluido ingresando a la frontera del reservorio desde el otro lado grid “0”

bbbbb TxTx )()()()( 1100 …….. (7.68)

Por lo tanto:

bbb QTx )()( 11 ……. (7.69)

Manteniendo el potencial en cualquier punto constate implica que la presión es mantenida constante debido a que el potencial menos la presión es constante.

)()()()( 10

2

110

2

1 bbTxTx



En general para una presión especificada en la frontera la ecuación llega a ser:

)()()( 11 DDPPTQ bbbLbb ………. (7.70)

Donde: b

LL

LbLB

AKT )

2/(

………. (7.71)

Considerando que los grids frontera “1” y “I” se encuentra a la misma profundidad que los grids

ficticios. Por lo tanto:

)()

2

()()( 11

11

10

2

1 PPx

B

AkTx b

……. (7.72)

)()

2

()()( 1

2

1 IbI

IIII

IPP

xB

AkTx

……. (7.73)

Reemplazando en la ecuación general de flujo:

t

PP

B

CVPP

xB

AkTx

nn

tb

o

)()()

2

()()( 1

1

1111

1

11

12

2

3

t

PP

B

CVTxTx

nn

t

)()()()()( 2

1

22212

2

323

2

5

. . .

. . .

. . .

. . .

t

PP

B

CVTxPP

xB

Ak n

I

n

ItIIII

IIb

Io

II

)()()()()

2

(1

1

2

1



7.4.4. Dependencia en la presión de las propiedades de la roca y los fluidos Las propiedades dependientes en la presión que son importantes en este capitulo incluyen aquellas propiedades que aparecen en la transmisibilidad, potencial de flujo, producción y el termino de acumulación que contiene la densidad del fluido, el factor de volumen de formación, la viscosidad del fluido y la porosidad de la roca. La densidad del fluido es necesaria para la estimación de la gradiente del fluido. Las ecuaciones usadas para la estimación de estas propiedades para varios fluidos y porosidad de la roca son presentados. a) Fluido incompresible Este tipo de fluido es una idealización de petróleo libre de gas (black oil) y el agua. Un fluido incompresible tiene cero de compresibilidad, independiente de la presión, tiene una densidad, FVF y viscosidad constante. Matemáticamente:

teconsPf

BPfB

teconsPf

o

tan)(

1)(

tan)(

b) Fluido Ligeramente compresible Un fluido ligeramente compresible tiene una pequeña pero constante compresibilidad “C” que

usualmente varía en un rango de 165 1010 psi , petróleo libre de gas, agua y petróleo sobre el

punto de burbuja son ejemplos de fluidos ligeramente compresibles. La dependencia de presión de la densidad FVF y la viscosidad para fluidos ligeramente compresibles son expresados como:

])(1[

])(1[

])(1[

o

o

o

o

oo

PPC

PPC

BB

PPC

Donde ρº, Bº y μº son propiedades a una presión de referencia Pº y temperatura del reservorio, y c el cambio fraccional de la viscosidad con el cambio de presión. El petróleo sobre su punto de burbuja puede ser tratado como un fluido ligeramente compresible con la presión de referencia siendo la presión en el punto de burbuja y en este caso ρº, Bº y μº son obtenidos de las propiedades del petróleo saturado en el punto de burbuja. c) Fluido Compresible Un fluido compresible tiene órdenes de magnitud en compresibilidad más altos que un fluido

ligeramente compresible usualmente varia en el rango de 142 1010 psi dependientes de la

presión. La densidad y viscosidad de un fluido compresible incrementa a medida que la presión incrementa pero tiende a nivelarse a altas presiones. El FVF disminuye en órdenes de magnitud a medida que la presión incrementa desde una presión atmosférica hasta altas



presiones. El gas natural es un buen ejemplo de un fluido compresible. La dependencia de la presión de la densidad, el FVF y la viscosidad del gas natural son expresados como:

),,( MPTf

P

ZT

T

PB

TRZ

MP

g

csc

cs

csc

g

g

Porosidad de la Roca La porosidad depende de la presión del reservorio debido a la compresibilidad combinada de la roca y los poros. La porosidad incremente a medida que la presión del reservorio (La presión del fluido contenido en los poros) incrementa. Esta relación puede ser expresada:

])(1[ o

o PPC ¨

Donde Φo = porosidad en la presión de referencia P º y CΦ = Compresibilidad de los poros. Si la presión de referencia es escogida como la presión inicial del reservorio entonces Φo puede incorporar el efecto de la sobrecarga sobre la porosidad.



8. ECUACIÓN GENERAL PARA FLUIDOS EN UNA SOLA FASE EN UN MEDIO POROSO

8.1. Introducción En este capítulo la ecuación de flujo de una sola fase que incorpora el rate de producción y las condiciones de frontera es presentada para varios fluidos, incluyendo los fluidos incompresibles, ligeramente compresibles y compresibles. Estos fluidos difieren uno de otro por la dependencia de la presión de sus densidades, FVF y viscosidades. Este capítulo incluyen la ecuación de flujo para un sistema incompresible (roca y fluido) y las ecuaciones explicitas e implícitas para fluidos ligeramente compresibles y compresibles. Las ecuaciones de flujo para grid-block de block centrado tienen la misma forma general. 8.2. Ecuación General de flujo para un Fluido Incompresible Esto implica que el flujo en un fluido incompresible no permite el término de acumulación ó depleción. En otras palabras cualquiera que cruza las fronteras físicas hacia el reservorio debe desplazar un volumen equivalente desde el reservorio. La solución es independiente del tiempo. La dependencia del tiempo es removida cuando Bw es tratado como constante para un fluido incompresible (En consecuencia también el medio poroso es asumido a ser incompresible). La ecuación representa un sistema de flujo estable, así como las condiciones de frontera son independientes del tiempo. La presión en la frontera permanece intacta y no cambia con el tiempo, la ecuación no contiene términos de porosidad “Φ ” porque la roca es tratado como incompresible.

8.2.1 Flujo en una dimensión 1-D Esta Ecuación puede ser simplificada para describir el flujo de un fluido incompresible en un medio heterogéneo y anisotrópico por la siguiente observación:

La densidad de un fluido incompresible es constante que implica que la viscosidad y el FVF es constante.

El medio poroso es incompresible lo cual implica que la porosidad es constante. Esto indica que el lado derecho de la Ec. contiene solo términos constantes por lo tanto la derivada es igual a cero, al realizar esto implica que la condición de estado estable existe.

DISCRETIZACIÓN

PROCESO DE RECUPER.

EDP NO LINEALES





DISCRETIZACIÓN DISCRETIZACION

ECUACIONES

ALGEBRAICAS NO

LINEALES



De la Ecuación general de flujo (3.30) el término de acumulación es cero

)()(w

wwww

B

S

tQ

………(8.1)

0)( www Q

…… (8.2)

0))(())(())((

wwzwzwywywxwx Q

zzyyxx Ec. De Poisson

0)()()(2

2

2

2

2

2

wzwywx

zyx Ec. De La Place

Esta ecuación describe la distribución de presión p = p(x,y,z) en el flujo de un fluido incompresible en un medio homogéneo e isotrópico donde no hay términos externos de fuente/sumidero (Inyección/Producción), es también llamado la Ecuación de La Place. Una observación de la ecuación es que no contiene el término de la permeabilidad. Esto implica que la distribución de la presión es gobernada por la configuración geométrica del reservorio y de las condiciones de frontera impuestas. El efecto de la permeabilidad no es reflejado en la distribución de la presión solo en el régimen de flujo (Qi). Realizando un análisis en 1-D la ecuación general en su forma discretizada, además En la Ec. (7.44). La Cw = 0 además Cr = 0

0)(])()([11

2

1,1

2

11

I

i biiii

iii

I

iQQTxTx …. (8.3)



8.3. Ecuación General de flujo para un Fluido Ligeramente Compresible La densidad, el FVF y la viscosidad de un fluido ligeramente compresible a temperatura del reservorio son funciones de la presión. Tal dependencia sin embargo es débil. En este contexto el FVF, la viscosidad y la densidad aparecen en el LHS de la ecuación de flujo pueden ser asumidos constantes. El término de acumulación puede ser expresado en términos de cambios de presión sobre un intervalo de tiempo sustituyendo el término (Φ/B) Además se asume que la compresibilidad del fluido es pequeña y permanece constante dentro del rango de presión de interés. A diferencia de la ecuación para un fluido incompresible la presión en un flujo de un fluido ligeramente compresible es dependiente del tiempo. La distribución de la presión cambia con el tiempo esto significa que el problema de flujo debe ser resuelto en la forma de un estado inestable. Al tiempo to = 0 todas las presiones en los grid-blocks (Po,i = 1,2,3,…..I) deben ser especificados. Inicialmente el fluido en el reservorio esta en un equilibrio hidrodinámico. Además es suficiente especificar la presión en un punto del reservorio y la presión inicial de cualquier block en el reservorio puede ser estimado de consideraciones de presión hidrostática. Luego el procedimiento conlleva encontrar la solución de la presión en tiempos discretos (t1, t2, t3,….) marcando el último valor de la presión en el tiempo usando intervalos de tiempo (Δt1, Δt2, Δt3…). Para obtener la presión a un tiempo “t” dado, la presión debe haber avanzado desde las condiciones iniciales t=0 (nivel de tiempo “n”) a t1 =to + Δt1 (nivel de tiempo “n+1”). La solución de la presión es luego avanzado desde un tiempo t1 a t2= t1+ Δt2 y así el proceso es repetido tantas veces como sea necesario hasta que el tiempo de simulación es alcanzado. Para obtener la solución de la presión al nivel n+1 asignamos la presión solución justamente obtenida como presión al nivel de tiempo ”n”, escribir la ecuación de flujo para cada block en el reservorio discretizado y resolver el resultante conjunto de ecuaciones lineales para el conjunto de presiones desconocidas. Avanzando la solución de la presión del nivel de tiempo anterior “n” hasta un nuevo nivel de tiempo “n+1” puede ser alcanzado con cualquiera de los esquemas de solución explicito o implícito.

][)(])()([)( 11 n

i

n

iro

o

iin

i

n

ii

i PPCCBt

V

BBt

V

B

S

tV

8.3.1. Formulación de las Ecuaciones de Flujo para un fluido ligeramente compresible Aunque estemos evaluando los coeficientes a un nivel de tiempo “n” no hemos definido el nivel de tiempo de las presiones desconocidas en el lado izquierdo de la ecuación. La selección del nivel de tiempo esta relacionado a la formulación explicita o implícita en diferencias finitas. Existen básicamente dos maneras para ir de los valores de tiempo antiguo/anterior “n” hasta los valores en el nivel de tiempo nuevo/actual “n+1”. Hay dos niveles de tiempo en el lado derecho de la ecuación pero no hay niveles de tiempo especificados en el lado izquierdo de la ecuación para las presiones y transmisibilidades. Sabemos que: Cualquier término a nivel de tiempo “n” es conocido Cualquier término a nivel de tiempo “n+1” es desconocido. Debemos especificar un nivel de tiempo para aquellos términos del lado izquierdo de la ecuación para tener un nivel de tiempo en presión.



8.3.1.1. Formulación del esquema de solución Explicito Flujo en 1-D Para un fluido ligeramente compresible la ecuación del flujo discretizada será la siguiente:

)()()( 1

2

1,1

2

1B

S

tVQQTxTx ibiii

iii

i

][)()( 1

1

2

1,1

2

1

n

i

n

io

t

o

iibiii

iii

iPP

Bt

CVQQTxTx

Si expresamos en términos de la presión para un grid-block:

i

n

i

n

io

t

o

iibiii

iii

iPP

Bt

CVQQPPTxPPTx

][])()( 1

1

2

1,1

2

1

Donde ε i está en función de las transmisibilidades y los términos gravitacionales.

)()( 1

2

11

2

1

iii

iii

i DDTxDDTx

])([])()([ 1

11

2

1,1

2

11 i

n

i

n

io

t

o

iiI

ibiiii

iii

I

iPP

Bt

CVQQPPTxPPTx

Este esquema es el más simple ya que resuelve el problema para una sola incógnita en el nuevo nivel de tiempo, valiéndose para ello de los valores conocidos de la incógnita en el nivel de tiempo anterior.

n

i

n

i

n

io

t

o

iibii

ni

nn

ii

ni

nn

iPP

Bt

CVQQPPTxPPTx

)()()( 11

2

1,1

2

1

)()( 1

2

11

2

1

ii

nn

iii

nn

i

n

i DDTxDDTx

])([)(])()([ 1

11

1

2

1,1

2

11

n

i

n

i

n

io

t

o

iiI

ib

I

i

iin

inn

ii

ni

nn

i

I

iPP

Bt

CVQQPPTxPPTx

Una inspección de la ecuación nos revela que tenemos un término desconocido 1n

iP y que

todos los grid-blocks vecinos tienen presiones conocidas a un nivel de tiempo “n”. Además la



solución de la presión a un nivel de tiempo “n+1” es obtenido solucionando la ecuación para 1n

iP para el grid-block “i” independiente de las ecuaciones de flujo de los otros blocks.

El análisis de estabilidad desarrollado en el enfoque matemático concluye que la Ecuación es condicionalmente estable. La ecuación da numéricamente soluciones de presión estables solo para pequeños intervalos de tiempo. En otras palabras el intervalo de tiempo permisible es bastante pequeño y la cantidad de esfuerzo computacional requerido para obtener la solución a problemas prácticos a un nivel de tiempo dado no es prácticamente usado en simulación de reservorios. La formulación explicita es solo de interés académico para los matemáticos. Como puede observarse se tiene una sola incógnita, el valor de la presión al nuevo nivel de tiempo “n+1” el cual se encuentra involucrado en el lado izquierdo de la ecuación:

])()([ 1

2

11

2

1

1 n

ibi

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iiit

n

i

n

i QQPPTxPPTxVC

tPP

]

Por su sencillez este esquema de solución presenta limitaciones fuertes de estabilidad lo que ocasiona tener que utilizar intervalos de tiempo pequeños al avanzar la solución, lo cual tampoco es conveniente debido al tiempo de computadora que se requiere para efectuar una corrida. Esta limitación hace que su aplicación sea impráctica en la mayoría de problemas de simulación, no obstante que el esfuerzo que se requiere para desarrollar un simulador que esté basado en este esquema es mucho menor que ningún otro. Estabilidad En algunos problemas el error de redondeo acumulado durante las operaciones aritméticas para obtener la solución crece con el tiempo hasta que el alcance de sus dimensiones llegue a ser significantes y la solución llega a ser sin sentido, en estos casos el sistema esta llamado a ser inestable. Por otro lado hay sistemas donde el error de redondeo se acumula pero sus magnitudes son mantenidas dentro de límites. La solución es por consiguiente correcta y estos sistema son llamados estables. Condicionalmente será estable si ciertas condiciones son cumplidas, una de ellas es el “Δt intervalo de tiempo” (time step) que deberá ser escogido de tal forma que la acumulación de errores de redondeo estén mantenidas bajo control. El “Δt” es función de que tan grande es “Δx, Δy, Δz”, transmisibilidades y si los términos son lineales o no lineales.



Hay muchos criterios para analizar la estabilidad de la solución, entre ellos listamos los mas comúnmente aplicados

Método de Karplus

Método de Neuman’s

Análisis de Fourier

Método de Matrices En nuestro caso utilizaremos el método de Karplus que se expresa lo siguiente:

02

1

2

1

t

VCTxTx

iit

ii

Para cualquier grid “i“

2

1

2

1

ii

iit

TxTx

VCt

Criterio de Estabilidad

Para un reservorio Isotrópico y Homogéneo 1-D oB

x

xt

2

238.62

1

Si se tiene varios grid-blocks se realiza el análisis y el cálculo para cada grid y se escoge el menor Δt. Nos preguntamos, como se comparan las soluciones obtenidas mediante cada uno de los métodos con la solución exacta. Cuál de los métodos produce la mejor solución. Cual es el efecto de “Δx” y “Δt” sobre el desempeño numérico de los métodos y sobre la solución. La diferencia entre la representación exacta y aproximada del problema de flujo en cuestión es el error de truncamiento ó de discretización. El teorema de la equivalencia de Lax: “ La estabilidad es una condición necesaria y suficiente para que exista la convergencia cuando la aproximación es consistente”. Una aproximación numérica debe ser consistente para que tenga valor práctico. Se define el error global de la solución como la diferencia entre las soluciones

exactas y aproximadas. n

i

n

i PP * . Un algoritmo numérico es estable si cualquier error

introducido en alguna etapa de los cálculos no se amplifica en cálculos subsecuentes. Sistema de grids en dos dimensiones 2-D

])()()()([ ,1,,

2

1,

,1,

2

1,

,1,,

2

1,,1,

2

1

,,,

,

1

,

n

ijib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jijijiji

n

ji

n

ji QQPPTyPPTyPPTxPPTxVC

tPP



Reservorio Isotrópico y Homogéneo Sistema 1-D

oii Bx

AkTxTx

1

2

1

2

1

Los valores de la Transmisibilidad y el valor de i dependerá de la posición del grid que

se está analizando. Reemplazando en la Ecuación ( )

)(615.5

)2(615.5127.1

11

1 n

ibi

iit

n

i

n

i

n

i

ito

n

i

n

i QQVC

xtPPP

xAC

t

Bx

AkxxPP

tC

khacemosSi

Definimos

238.6

1 2

oB

t

x

)(615.5

)2(328.6 112

1

bi

iit

n

i

n

i

n

i

o

n

i

n

i QQVC

txPPP

Bx

tPP

)(615.5

)2(1

1

1 n

ibi

iit

n

i

n

i

n

i

n

i QQVC

txPPPP

Para el grid – block i=1

)(615.5

)2(1

11

1

bi

iit

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i QQVC

txPPPPP

Grid-blocks Intermedios i=2, 3, 4...I-1

)(615.5

)2(1

1

1

bi

iit

n

i

n

i

n

i

n

i QQVC

txPPPP

Para el grid-block i= I

Sistema 2-D

])()()()([ ,1,,

2

1,

,1,

2

1,

,1,,

2

1,,1,

2

1

,,,

,

1

,

n

ijib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jijijiji

n

ji

n

ji QQPPTyPPTyPPTxPPTxVC

tPP

o

x

ii Bx

AkTxTx

1

2

1

2

1

o

y

jj By

AkTyTy

1

2

1

2

1

)(615.5)2(238.6)2(238.6 ,

,,

1,,1,2,1,,12,

1

, jib

jijit

n

ji

n

ji

n

ji

o

yn

ji

n

ji

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o

xn

ji

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ji QQVC

tPPP

By

tPPP

Bx

tPP

yxAdemáskkSi YX

)(615.5)4(238.6 ,

,,2

1,

1,,,1,12,

1

, jib

jijit

n

ji

n

jiji

n

ji

n

ji

o

n

ji

n

ji QQVC

tPPPPP

Bx

tPP

)(615.5)4(1

,

,,

1,1,,,1,1,

1

, jib

jijit

n

ji

n

jiji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji QQVC

tPPPPPPP

Ecuación para los grid blocks que no pertenecen a la frontera del reservorio

Condición de Frontera no flujo

Condición de Frontera no flujo



8.3.1.2. Formulación del esquema de solución Implícito La formulación implícita de la ecuación de flujo puede ser obtenida resolviendo para todos los valores desconocidos simultáneamente Nótese que las presiones se encuentran en el nuevo nivel de tiempo “n+1” y en consecuencia son también incógnitas. Este esquema consiste en resolver el problema para todos los valores de las incógnitas en forma simultánea. Así pues para el análisis en 1-D en el grid “i” existen tres incógnitas.

Esta ecuación es llamada “Implícita” porque hay una relación implícita entre presiones desconocidas en los puntos “i-1, i, i+1”.

Para expresar el problema completamente esta ecuación debe ser escrita “I” veces, una vez para cada grid-block “i” y todas las “I” ecuaciones deben ser resueltas simultáneamente.

])([)(])()([11

11

1

1

11

2

1

11

1

1

2

11

n

i

n

i

n

io

t

o

iiI

ib

I

i i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

I

iPP

Bt

CVQQPPTxPPTx



8.4. Ecuación General de flujo para un Fluido Compresible La ecuación de flujo para una simple fase de un fluido compresible aunque similar en forma a la ecuación de flujo para un fluido ligeramente compresible es generalmente una ecuación mas difícil para resolver numéricamente. La adicional dificultad incrementa debido a que la transmisibilidad de un medio poroso al gas es mucho más sensitivo a los cambios de presión que la transmisibilidad de un medio poroso al líquido. Esto lo ilustramos en el siguiente ejemplo: Dado los siguientes datos de roca y fluido, determinar la razón de cambio de la transmisibilidad al gas con una gravedad específica de 0.61 al petróleo donde la presión declina desde 2,014.7 a 1,614.7 psi. Las propiedades del petróleo y las dimensiones del grid-block son Δx = Δy = 100 pies h= 10 pies, K= 4.2 md μ= 3 cp

16106.1 psixCo T=580 ºR Pcs=14.7 Tcs = 520ºR y Bo = 1.22 Bbls/STB donde Bo es

reportado a 1,014.7 psi y temperatura del reservorio. Solución: La transmisibilidad y propiedades pueden ser estimadas como siguen. Para el caso de un gas real la transmisibilidad para un flujo lineal: a) Transmisibilidad del gas @ 2,014.7 psi Tx =1.127 K A Δx μg Bg

Bg = Pcs T Z Tcs P

Bg = 14.7 x 580 x 0.838 = 1.215 x 103 Bbl/ scf

5.615 x 520 x 2,014.7 Tx gas = 1.127 x 0.0042 x 100 x 10 = 2,497.3 scf/D -psi

100 x0.0156 x1.215 x 103

b) Transmisibilidad del gas @ 1,614.7 psi

Bg = 14.7 x 580 x 0.838 = 1.5433 Bbl/ scf

5.615 x 520 x 1,614.7 Tx gas = 1.127 x 0.042 x 100 x 10 = 2,115.6 scf/D -psi

100 x0.0145 x1.543 x 103

Cambio de transmisibilidad : Δ T = 2,497.3 – 2,115.6 x 100 = 15.3 % 2,497.3



c) En el caso del petróleo la transmisibilidad @ 2,014.7 psi

Bo = 1.22 [ 1+ 1.6 x 10 6 (1014.7 – 2,014.7)] = 1.218 Bbl/STB

Tx = 1.127 x 0.0042 x 100 x 10 = 1.2954 x 102 STBD/psi

3 x 1.218 x 100 d) Calculo de la transmisibilidad @ 1,614.7 psi

Bo = 1.22 [ 1+ 1.6 x 10 6 (1014.7 – 1,614.7)] = 1.219 Bbl/STB

Tx = 1.127 x 0.0042 x 100 x 10 = 1.2943 x 102 STBD/psi

3 x 1.219 x 100 Cambio de transmisibilidad : Δ T = 1.2954 x 10 ֿ ² – 1.2943 x 10 ֿ ² x 100 =0.085 % 1.2954 x 10 ֿ ² El cambio de transmisibilidad para el gas es 15.3 % comparado con un cambio de transmisibilidad de petróleo de 0.085 % para el mismo cambio de presión. El ejemplo anterior ilustra porque la transmisibilidad puede ser evaluado al nivel anterior ”n” para un fluido ligeramente compresible y porque especial técnica de linealización es requerido para fluidos compresibles. Debido a que las transmisibilidades a los líquidos cambian muy lentamente durante la declinación de la presión ( o levantamiento durante la represurización) ellos pueden ser exactamente aproximados con valores al comienzo del intervalo de tiempo. Esto no es verdadero para fluidos compresibles, donde los cambios en la transmisibilidad deben ser considerados durante el curso de la solución de la presión. Aunque asumimos una transmisibilidad constante para flujo ligeramente compresible, ello realmente es dependiente de la presión (0.085% en el cambio). Consecuentemente los métodos de linealización discutidos en esta sección pueden ser aplicados en problemas de fluidos ligeramente compresibles. Además debido a la inclusión de la permeabilidad relativa y presión capilar en los términos de transmisibilidad de flujo multifásico, estas técnicas de linealización son requeridos para fluidos ligeramente compresibles en situaciones de flujo multifásico. 8.4.1. Ecuación General de flujo para un Fluido Compresible La densidad, FVF y viscosidad de fluidos compresibles a temperaturas de reservorio son funciones de la presión. Tal dependencia sin embargo no es débil como en el caso de los flujidos ligeramente compresibles. En este contexto el FVF, viscosidad y densidad aparecen en el lado derecho de la ecuación de flujo, puede ser asumido constante pero actualizado al menos una vez al comienzo de cada intervalo de tiempo. El término de acumulación es expresado en términos de cambios de presión sobre un intervalo de tiempo de tal forma que el balance de materiales es preservado. La siguiente expresión preserva el balance de materiales:



][)(

][

])()([

)()/(

:

)/()(

1

1

1)(

n

i

n

iS

g

ii

n

i

n

i

n

i

g

n

i

g

S

g

ig

g

i

g

g

i

PPBt

VRHS

PP

BB

BP

BGraficoDel

t

P

P

BV

B

S

tVRHS

Donde S

gB)(

Es la pendiente de la cuerda i

gB)(

entre la nueva presión "" 1n

iP y la presión

anterior "" n

iP . Esta pendiente es evaluada al nivel de tiempo actual “n+1” pero es un nivel de

iteración "" retrazado.

)(

])()([

)(1)(

1)(

n

i

n

i

n

i

g

n

i

g

S

g PP

BB

B



Alternativamente el término de acumulación puede ser expresado en términos de cambios de presión sobre un intervalo de tiempo ecuación ( ) y observando que la contribución de la compresibilidad de la roca “Cr” es despreciable comparado a la compresibilidad del gas “Cg ”.

)(

])1

()1

([

)(1)(

1)(

n

i

n

i

n

i

g

n

i

g

o

i

s

g PP

BB

B

En esta sección adoptaremos la siguiente aproximación que es consistente con el tratamiento del flujo multifásico a tratarse más adelante. La ecuación de flujo resultante será:

])()([])()([ 1

11

2

1,1

2

11 i

n

i

n

is

g

iI

ibiiii

iii

I

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

8.4.1.1. Formulación de las Ecuaciones de Flujo para un fluido compresible El nivel de tiempo en la ecuación ( ) es aproximada en simulación de reservorios en una de las dos formas como en el caso de los fluidos ligeramente compresibles. La ecuación resultante es comúnmente conocida como la formulación explicita de las ecuaciones de flujo y la formulación implicita de la ecuación de flujo. Formulación del esquema de solución Explicito La formulación explicita puede ser obtenido si definimos los niveles de la presión al nivel de tiempo anterior (antiguo) “n”. Esto se reduce a:

n

i

n

i

n

is

g

ibii

ni

nn

ii

ni

nn

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

)()()()( 11

2

1,1

2

1

])()([)(])()([ 1

11

1

2

1,1

2

11

n

i

n

i

n

is

g

iI

ib

I

i

iin

inn

ii

ni

nn

i

I

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

En adición a lo remarcado relacionado al método de la formulación explicita mencionado anteriormente, la solución de la ecuación requiere iteraciones para remover la no linealidad de la

ecuación mostrado en el término "" 1n

gB

en la definición de ")(" s

gB

en el lado del termino de

acumulación RHS.



Formulación del esquema de solución Implícito La formulación implícita de la ecuación de flujo puede ser obtenido si definimos el argumento a un nivel de tiempo “n+1”. Por consiguiente la ecuación se reduce a:

111

1

11

2

1

11

1

1

2

1 )()(])()(

n

i

n

i

n

is

g

ibi

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

)()( 1

1

2

11

1

2

1

1

ii

nn

iii

nn

i

n

i DDTxDDTx

])()([)(])()([11

11

1

1

11

2

1

11

1

1

2

11

n

i

n

i

n

is

g

iI

ib

I

i i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

I

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

En esta ecuación definir los datos de gravedad al nivel de tiempo antiguo “n” en lugar del nivel de tiempo “n+1” no introduce apreciable error. A diferencia de la ecuación para fluidos ligeramente compresibles la ecuación ( ) es una ecuación no-lineal debido a la dependencia de

la transmisibilidad 1

2

1

n

iTx y el término s

gB)(

con la presión solución

1n

iP . Estos términos no

lineales presentan un serio problema numérico. En este capitulo se discute la linealización de estos términos en espacio y tiempo. La linealización del tiempo presenta errores de truncamiento adicionales que dependen de los intervalos de tiempo. Así la linealización reduce la exactitud de la solución y generalmente restringe el intervalo de tiempo. Esto conduce hacia a borrar las ventajas de la estabilidad incondicional asociados con el método de formulación implícita mencionado en la sección anterior. Avanzando la Presión solución en el tiempo. La distribución de presión en un problema de flujo compresible cambia con el tiempo asi como el caso con flujo de fluido ligeramente compresible. Además un problema de flujo de fluido

compresible tiene un estado de solución inestable y la presión solución 1n

iP es obtenido en la

misma forma que para un fluido ligeramente compresible discutido en la sección anterior con algunas excepciones:

La inicialización puede requerir iteración debido a que la gravedad específica del gas es función de la presión.

La Transmisibilidad no es mantenida constante si no mas bien es calculado en los grid-block corriente arriba y actualizados al comienzo de cada intervalo de tiempo.

Obtener la presión solución puede requerir iteraciones debido a que la ecuación de flujo para un fluido compresible es no-lineal comparado con la ecuación casi-lineal de la ecuación para un fluido ligeramente compresible.



9. Linealización de las Ecuaciones de flujo Las ecuaciones de flujo presentados en el capitulo anterior son generalmente EDP’s no lineales. (Los coeficientes que acompañan a las EDP’s como densidad, compresibilidad, Rs, Bo, Bg y viscosidad presentan una dependencia implícita de la variable dependiente la presión en otras palabras son función de la presión.

Para obtener la distribución de la presión en el reservorio, estas ecuaciones son linealizadas (Los coeficientes de las EDP’s en cierta forma pierden su dependencia de la presión) para utilizar un método de solución para ecuaciones lineales. En este capítulo nosotros tenemos como objetivo la linealización de las ecuaciones de flujo para un grid-block arbitrario. Para alcanzar este objetivo, identificamos los términos no lineales en las ecuaciones de flujo, se presenta los métodos de linealización de estos términos en espacio y tiempo y subsecuentemente presentar la ecuación de flujo linealizada para problemas de flujo de una sola fase. Para simplificar la presentación de conceptos, usamos la formulación implícita de una ecuación de flujo en 1-D en la dirección “x” y usar un grid de block centrado en la discretización del reservorio. Primero discutiremos la ecuación de flujo para un fluido incompresible que muestra la linealidad, luego la formulación implícita para la ecuación de flujo de un fluido ligeramente compresible que muestra una muy débil no linealidad y finalmente la formulación implícita para la ecuación de flujo para un fluido compresible que muestra un alto grado de no linealidad. Aunque las ecuaciones de flujo para una sola fase muestran diferentes grados de no linealidad, estas ecuaciones son generalmente clasificados teniendo débil no-linealidades.

AX+BY = D Esta es una ecuación Lineal, donde X e Y son variables desconocidas, A y B son los coeficientes constantes. A(x,y)X +B(x,y)Y =D Esta es una ecuación no-lineal desde que A y B son funciones de las soluciones desconocidas x e y.

LINEALIZACIÓN

PROCESO DE RECUPER.

EDP NO LINEALES





LINEALIZACIÓN



Si tenemos que “k” es el contador de iteraciones, conocemos la solución al nivel de iteración “k”, se va a buscar la solución para el próximo nivel de iteración “k+1”. Linealizaremos la ecuación evaluando los coeficientes A(x,y) y B(x,y) al nivel de iteración “k” donde X e Y son conocidos.

DyyxBxyxA kkkkkkkk 11 ),(),(

Si este proceso de solución converge:

),(),([

),(),([

0)(

0)(

11

11

1

1

kkkk

kkkk

kk

kk

yxByxB

yxAyxA

yy

xx

Los coeficiente no cambian asi la solución a la ecuación linealizada es la correcta solución de la ecuación no lineal.

9.1. Términos no lineales en las Ecuaciones de flujo Los términos componentes en cualquier ecuación de flujo incluye los términos de flujo

interblocks “Términos en los Puntos” i ± ½” “el término de acumulación )/( BSt

, Término de

régimen de flujo en un pozo “Q i,j,“ y términos de flujo en los grids ficticios reflejando el flujo a través de la frontera del reservorio para grid blocks frontera “Qb”. El número de términos de flujo interblocks iguala el número de todos los grid-blocks vecinos existentes. El número de términos de regimenes de flujo de pozos ficticios iguala el número de grid-blocks frontera que caen en las fronteras del reservorio. Para cualquier frontera en el grid-block Términos en los Puntos i ± ½ , el número de blocks vecinos existentes y el número de pozos ficticios siempre asciende a dos, cuatro o seis para un flujo 1-D, 2-D, 3-D respectivamente.



En problemas de flujo de una sola fase si los coeficientes de las presiones desconocidos de los grids en la ecuación de flujo dependen de la presión del grid-block, la ecuación algebraica es llamado no lineal, en caso contrario la ecuación es lineal. Por consiguiente los términos que pueden mostrar dependencia de la presión incluyen las transmisibilidades, el régimen de producción del pozo, los regimenes de pozos ficticios, y los coeficientes de las presiones de los grid-block en el término de acumulación. Esto es verdad para ecuaciones en el enfoque matemático. En el enfoque de ingeniería sin embargo los términos de flujo interblock, la producción de pozos y la producción de pozos ficticios reciben el mismo tratamiento por ejemplo las presiones en los grid-blocks contribuyen al potencial de flujo (diferencia de presiones) en cualquier término son tratados implícitamente como se demostró en el anterior capítulo. Por consiguiente los términos no lineales incluyen las transmisibilidades en los términos de flujo interblocks y los regimenes de pozos ficticios, el coeficiente de la caída de presión en el término de la producción del pozo y el coeficiente de la diferencia de presión en el grid-block en el término de acumulación. Existe una principal diferencia entre la aproximación por diferencias finitas de las derivadas espaciales para un flujo de un fluido ligeramente compresible y un fluido incompresible. La diferencia es la dependencia de los términos de la transmisibilidad en la presión. La definición de transmisibilidad es:

2

1

2

1

2

1 )1

()(

ii

xx

i Bx

KAT

Para el problema de un fluido incompresible ( μ B )i+1/2 fue asumido constante y los terminos

restantes propiamente del grid (Ax Kx /Δx) fueron promediados armónicamente. Para el problema de un fluido ligeramente compresible continuamos usando el promedio armónico para los terminos propios del grid pero debemos asignar un nivel de tiempo a las propiedades dependientes de la presión y promediar estas propiedades entre los grid-blocks adyacentes. Para flujo de fluidos ligeramente compresibles las propiedades del fluido dependientes de la presión ( μ B )i+1/2 representan una debil no-linealidad y pueden ser evaluados al nivel de tiempo

anterior “n”. En esta sección analizaremos la no-linealidad de las ecuaciones de flujo para fluidos compresibles y ligeramente compresibles. La ecuación para un fluido incompresible es

a i- 1, j

a i- 1, j

b i, j

c i+ 1, j

d i, j +1

b i, j

c i+ 1, j

e i, j-1



lineal. Examinaremos la dependencia de la presión de varios terminos en las ecuaciones de flujo, particularmente los terminos de flujo inter-blocks, el término de acumulación y los rates/regimenes de producción de los pozos ficticios. (condiciones de frontera) 9.2. Linealidad de la Ecuación para un fluido incompresible

Donde la Transmisibilidad Ti±1/2 es expresada como:

2

1

2

1

2

1 )1

(

iii B

GT

“G i±1/2 “ es el factor geométrico La producción del pozo “Qi”es estimado de acuerdo a las

condiciones operativas del pozo y los pozos ficticios “Qb” son estimados de acuerdo al tipo de condición de frontera. Notar que la Ti±1/2 y G i±1/2 son funciones del espacio entre los grid-blocks “ i y i+1”. Debe ser mencionado que el valor numérico para el régimen de producción Qi

podria ser calculado por las condiciones operativas del pozo fuera de una presión de fondo fluyente especificada. Similarmente un valor numérico para el flujo/régimen para un pozo ficticio puede ser calculado por condiciones de frontera fuera de una presión especificada de frontera. En tales casos ambos la producción del pozo y el flujo de los pozos ficticios son conocidos y como resultado pueden ser movidos al lado derecho de la Ecuación (RHS). Caso contrario si el regimen de producción y del pozo ficticio son funciones de la presión “Pi”, como resultado parte de la ecuación aparece con el coeficiente de Pi y la otra parte tiene que ser movido al lado

derecho de la ecuación. El FVF, viscosidad y los términos gravitatorios de un fluido incompresible no son funciones de la presión. Por consiguiente las transmisibilidades no son funciones de la presión. Esto como resultado representa un sistema de “I” ecuaciones lineales

algebraicas. El sistema de ecuaciones lineales puede ser resuelto para las presiones desconocidad (P1, P2, P3,……Pi ) por algoritmos presentados en las siguientes secciones.

0)(])()([11

2

1,1

2

11

I

i ibiiii

iii

I

iQQPPTxPPTx

Donde: ε i está conformado por los términos gravitacionales

)()( 1

2

11

2

1

iii

iii

i DDTxDDTx

Grid Ecuación

1 )( 1112

2

31

2

3 bQQPTxPTx

2 )()( 223

2

52

2

5

2

31

2

3 QPTxPTxTxPTx

3 )()( 334

2

73

2

7

2

52

2

5 QPTxPTxTxPTx

4 )()( 445

2

94

2

9

2

73

2

7 QPTxPTxTxPTx

. . . . . .

I )(2

11

2

1 bIIIIII

II

QQPbTxPTx



Ejemplo: Se tiene el siguiente arreglo de grids para un flujo en 1-D enunciar las ecuaciones Aplicando la Ecuación general de flujo en 1-D para cada grid block con las condiciones de frontera especificada y considerando despreciable los términos gravitacionales: Grid Ecuación

1 )()()()( 01

2

112

2

3 PPTxPPTx 0)()

2

()()( 11

11

12

2

3

PPx

B

AkPPTx b

2 0)()()()( 12

2

323

2

5 PPTxPPTx

3 0)()()()( 323

2

534

2

7 QPPTxPPTx

4 0)()()()( 34

2

745

2

9 PPTxPPTx

5 )()()()( 45

2

956

2

11 PPTxPPTx 0)()( 45

2

9 PPTxQb

Son cinco ecuaciones con cinco incógnitas los cuales conforman un sistema lineal de ecuaciones con solución donde la incógnita es la distribución de presiones, los términos restantes de la ecuación están formados por las transmisibilidades que están en función de las propiedades PVT, propiedades físicas del fluido y la geometría del reservorio, además el caudal es un dato conocido de producción. Nota: Es necesario especificar las condiciones del pozo Productor / Inyector en un pozo y las condiciones de frontera para obtener valores de presión.

0 b 1 2 3 4 5 b 6

1/2 3/2 5/2 7/2 9/2 11/2

●

●

●

●

●

Pb

● Qb

●

Q3



También podemos utilizar la siguiente notación para hacer más simple el análisis: Grid Ecuación

1 )()( 011,0122,1 PPTPPT 0)()

2

()( 11

11

122,1

PPx

B

AkPPT b

o

2 0)()( 122,1233,2 PPTPPT

3 0)()( 3233,2344,3 QPPTPPT

4 0)()( 344,3455,4 PPTPPT

5 )()( 455,4566,5 PPTPPT 0)( 455,4 PPTQb

9.2.1. Flujo en dos dimensiones 2-D De la Ecuación (7.47) el término de acumulación es cero por lo tanto:

( h λx Фw ) + (h λy Фw ) ± Qw = 0 ………. (7.47)

x x y y

La Ecuación general discretizada de la ecuación de flujo en 2-D será la ecuación (8.4):

0)(])()()()([

11

,1,,

2

1,

),1,

2

1,

,1,,

2

1,,,1,

2

1

11

b

IJ

ji

jijijiji

jijiji

jijiji

jijiji

IJ

ji

QQTyTyTxTx

0)(])()()()([ ,

11

,1,,

2

1,

),1,

2

1,

,1,,

2

1,,,1,

2

1

11

jib

IJ

ji

jijijiji

jijiji

jijiji

jijiji

IJ

ji

QQPPTyPPTyPPTxPPTx



9.2.2. Chequeo por Balance de Materiales para un Fluido incompresible Para problemas de flujo en un fluido incompresible (Constante Φ y B) no hay término de acumulación de masa en el reservorio. Además, la suma de fluidos entrantes y salientes de la fronteras del reservorio incluyendo los pozos equivalen a cero (o un número pequeño originados por errores de redondeo.

0)(])()()()([11

2

1,1

2

11

I

i iiiii

iii

I

iCFQTxTx

La ecuación para chequeo por balance de materiales puede ser derivado la ecuación () para cada grid-block en el sistema ( i= 1, 2, 3, ……I) y luego sumando todas las ecuaciones, todos los términos inter-blocks en la ecuación resultante se cancelan, quedando la Ecuación siguiente:

0)1

I

i biSC QQ

Un chequeo por balance de materiales no satisfactorio implica una solución de presión incorrecta para el problema. Si esto sucede la ecuación de flujo y todos sus elementos (Transmisibilidadesk, rates de flujo, rates de pozos ficticios ) para cada grid-block en el reservorio y la solución de las ecuaciones algebraicas deben ser cuidadosamente verificados para encontrar la causa del error.



Ejemplo Se tiene un reservorio el cual se puede describir por el sistema de grids en un flujo de dos dimensiones, enunciar las ecuaciones de flujo para el sistema mostrado. Grid Ecuación

1 0)()

2

()()( 11

11

13311221

PPy

B

AKPPTQPPT b

ww

y

b

2 0)(

2

)()()( 22

22

24421221

22

PP

yB

AKPPTPPT

x

P

B

AKb

ww

y

ww

x

3 0)()( 13313443 PPTPPT

4 0)()()()( 244245543443

44

PPTPPTPPT

x

P

B

AK

ww

x

5 0)( 54554 QPPT

1

•

2

•

3

•

4

•

5

•

dP dx

No flujo

Pb

No flujo

No flujo

No flujo

Qb

Q5

Ax

Ay

Δy2/2



a i- 1, j

9.2.3. Notación de Weinstein, Stone y Kwan Cuáles son las ventajas de esta notación:

Permite una representación más compacta de las Ecuaciones de Flujo.

Permite la implementación de varios métodos de solución. Para un flujo 1-D de la Ec. 8.3:

0)()( 1

2

1,1

2

1

iiiii

iii

CFQTxTx

01

2

1

2

1

2

1,1

2

1

iiii

ii

ii

ii

CFQTxTxTxTx

Si hacemos:

2

1)(

i

i Txa )( iii cab

2

1)(

i

i Txc

La representación de la Ecuación de Flujo será:

011 iiiiiii Qcba

)(11 iiiiiiii CFQcba

Para un sistema de “n” grids con condiciones de frontera: Grid Ecuación

1 )( 112111 CFQcb

2 )( 2322212 Qcba

3 )( 3433323 Qcba

4 )( 4544434 Qcba

. . . . . .

n )(1 nnnnnn CFQba

Si lo escribimos en forma matricial el sistema de ecuaciones lineales y hacemos -(±Qi)= α i :

b i, j

c i+ 1, j



nn ba

cba

cba

cba

cb

1

444

333

222

11

.................000

0......................................

0......................................

0......................................

0.............00

0..............00

0..............00

0..............000

n

.

.

.

4

3

2

1

=

n

.

.

.

4

3

2

1

bxA

Donde A: Matriz de Coeficientes (Matriz Banda Tridiagonal) X: Vector incógnita b : Vector columna Si consideramos la ecuación en términos de presión Grid Ecuación

1 )( 1112111 CFQPcPb

2 )( 22322212 QPcPbPa

3 )( 33433323 QPcPbPa

4 )( 44544434 QPcPbPa

. . . . . .

n )(1 nnnnnnn CFQPbPa

)()( 1

2

11

2

1

iii

iii

i DDTxDDTx

nn

n

ba

c

cba

cba

cba

cb

1

1

444

333

222

11

.................000

......................................

0......................................

0......................................

0.............00

0..............00

0.............00

0.............000

nP

P

P

P

P

.

.

.

4

3

2

1

=

n

.

.

.

4

3

2

1

bxA



a i- 1, j

9.2.4. Para un flujo en dos dimensiones 2-D de la Ec.( ) :

0)()()()( ,1,,

2

1,

),1,

2

1,

,1,,

2

1,,,1,

2

1

bjijijiji

jijiji

jijiji

jijiji

QQTyTyTxTx

Si hacemos:

jiji Txa

,2

1, )(

)( ,,,,, jijijijiji ecdab

2

1, )(

i

ji Txc

2

1,

, )(

ji

ji Tyd

2

1,

, )(

ji

ji Tye

La Representación de la Ec. de Flujo será:

0,,,1,1,,,,,1,1,, jijijijijijijijijijijiji CFQcdbae

Por ejemplo si tenemos un sistema bidimensional siguiente enunciar el sistema de ecuaciones Lineales para un sistema 3 x 3 :

d i, j +1

b i, j

c i+ 1, j

e i, j-1

1 3

4 6

7 9

2

5

8

CF1

CF4

CF7

CF3

CF6

CF9

CF7 CF8 CF9

CF3 CF2 CF1



Grid Ecuación

1 )( 11211141 CFQcbe

2 )( 2232221252 CFQcbae

3 )( 33332363 CFQbae

4 )( 4414544474 CFQdcbe

5 )( 42565554585 Qdcbae

6 )( 6636665696 CFQdbae

7 )( 77478777 CFQdcb

8 )( 8858988878 CFQdcba

9 )( 99699989 CFQdba

Si lo escribimos en forma matricial el sistema de ecuaciones lineales y hacemos -(±Q i j+ CF i,j) = α i,j :

999

8888

777

6666

55555

4444

333

2222

111

000000

00000

000000

00000

0000

00000

000000

0000.0

000000

bad

cbad

cbd

ebad

ecbad

ecbd

eba

ecba

ecb

9

8

7

6

5

4

3

2

1

=

9

8

7

6

5

4

3

2

1

bxA

Donde A: Matriz de Coeficientes (Matriz Banda Pentadiagonal) X: Vector incógnita b : Vector columna Las condiciones de frontera pueden presentar los siguientes casos los cuales se ha mencionado anteriormente en el capitulo anterior.

Gradiente de presión constante en la frontera

bb

jiji

jiL

P

B

AkFC )()(

,,

,



Flujo constante en la frontera

bji QFC ,

No flujo a través de la frontera

0, jiFC

Presión constante en la frontera.

)()

2

( ,

,,

, jib

jiji

ji PPL

B

AkFC

(Flujo lineal)

)()2

( ,

,

, jib

i

e

ji

ji PP

r

rLn

hkFC

(Flujo radial entrando)

)()2

( ,1

,

, jiwf

w

ji

ji PP

r

rLn

hkFC

(Flujo radial saliendo)

Nota1: En el caso que la Presión constante sea una condición de frontera “CF ” en el sistema 1-D ó 2-D la Presión del grid block P i,j adyacente a la frontera se considera como incógnita en la ecuación lineal respectiva. 9.2.5. Reservorio Isotrópico y Homogéneo 1-D

De la Ec: )(11 CFQcba iiiiiii ………….. (a)

Representamos en términos de la presión: iiiiiiii CFQPcPbPa )(11

Donde )()( 1

2

11

2

1

iii

iii

i DDTxDDTx

)(1

2

1

2

1

2

1

2

1

ii

iiiii

TxTxbyBx

AkcaTxTxTx

Reemplazando en la ecuación (a):

iiiiii CFQPPPBx

Ak

)(]2[

111

El valor de i dependerá de la posición del grid block en el sistema de grillados, si pertenece a

la frontera para el primer grid block: )( 1

2

1 iii

i DDTx

, si es el último grid :

)( 1

2

1

iii

i DDTx



i

x

ii

x

iiiAk

BxCFQ

Ak

BxPPP

127.1)(

127.1]2[ 11

]2[127.1 11

iiix

i DDDBx

Ak

]2[127.1

127.1)(

127.1]2[ 1111

iii

x

x

ii

x

iii DDDBx

Ak

Ak

BxCFQ

Ak

BxPPP

¨

]2[)(127.1

]2[ 1111

iiiii

x

iii DDDCFQAk

BxPPP

Considerar la Nota 1

]2[)(1

11 iiiii DDDCFQTx

Si

Ecuación General:

iiii PPP 11 2

Grid Ecuación

1 112 PP

2 2123 2 PPP

3 3234 2 PPP

4 4345 2 PPP

. .

. .

. .

n-1 1212 nnnn PPP

n nnn PP 1

11.................000

1.....................................0

0...................................0

0..............12100

0..............01210

0..............00121

0..............00011

nP

P

P

P

P

.

.

.4

3

2

1

=

n

.

.

4

3

2

1

bxA



a i- 1, j

9.2.6. Reservorio Isotrópico y Homogéneo 2-D

0)()()()( ,1,,

2

1,

),1,

2

1,

,1,,

2

1,,,1,

2

1

bjijijiji

jijiji

jijiji

jijiji

QQTyTyTxTx

jibjijijiji

jijiji

jijiji

jijiji

QQPPTyPPTyPPTxPPTx ,,1,,

2

1,

),1,

2

1,

,1,,

2

1,,,1,

2

1 )()()()()(

jiji Txa

,2

1, )(

)( ,,,,, jijijijiji ecdab

2

1, )(

i

ji Txc

2

1,

, )(

ji

ji Tyd

2

1,

, )(

ji

ji Tye

jijijijijijijijijijijijiji CFQPcPdPbPaPe ,,,,1,1,,,,,1,1,, )(

)(

1127.1

1127.1

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1

jijijijii

YY

jiji

XX

jiji

TyTyTxTxb

By

AkTyTyTyAdemás

Bx

AkTxTxTx

)()()()( 1,,

2

1,

,1,2

1,,1,

,2

1,,1,

2

1,

jijiji

jijijijijiji

jijiji

ji DDTyDDTyDDTxDDTx

)2()2( 1,,1,,1,,1, jijijijijijiji DDDTyDDDTx

jijijijijijijiji CFQPTxPTyPTyTxPTxPTy ,,,,11,,,11, )()22(

Si consideramos que ∆x=∆y entonces Ax = Ay kx = ky

d i, j +1

b i, j

c i+ 1, j

e i, j-1



jijijijijijijiji CFQPTxyPTxyPTxyPTxyPTxy ,,,,11,,,11, )()4(

)4( 1,1,,,1,1, jijijijijiji DDDDDTxy Para los grids que no se encuentran

en la frontera del reservorio. Grid 5.

jijijijijijijiji CFQPTxyPTxyPTxyPTxyPTxy ,,,,11,,,11, )()4(

)4()(127.1

4 1,1,,,1,1,,,11,,,11,

jijijijijijijijijijijiji DDDDDCFQAk

xBPPPPP

)4()(127.1

1,1,,,1,1,,

jijijijijijiji DDDDDCFQAk

xBcomoosconsideramSi

Grid Ecuación

1 1214 2 PPP

2 23215 3 PPPP

3 3326 2 PPP

4 41547 2 PPPP

5 526548 4 PPPPP

6 63659 3 PPPP

7 74872 PPP

8 85987 3 PPPP

9 9698 2 PPP

El valor de i dependerá de la posición del grid block en el sistema de grillados, si

pertenecen a la frontera del sistema grids : Grid 1: )()( 1,,

2

1,

,,1,

2

1,

jijiji

jijiji

ji DDTyDDTx

Grid 2: )()()( 1,,

2

1,

,1,,

2

1,,1,

2

1,

jijiji

jijiji

jijiji

ji DDTyDDTxDDTx



Grid 4: )()()( 1,,

2

1,

,1,2

1,,,1

,2

1,

jijiji

jijijijijiji

ji DDTyDDTyDDTx

Grid 7: )()( ,1,

2

1,,,1

,2

1, jijijijijiji

ji DDTyDDTx

Grid 3: )()( 1,,

2

1,

,1,,

2

1,

jijiji

jijiji

ji DDTyDDTx

Grid 6: )()()( 1,,

2

1,

,1,2

1,,1,

,2

1,

jijiji

jijijijijiji

ji DDTyDDTyDDTx

Grid 8: )()()( ,1,

2

1,,1,

,2

1,,1,

2

1, jijijijijiji

jijiji

ji DDTyDDTxDDTx

Grid 9: )()( ,1,

2

1,,1,

,2

1, jijijijijiji

ji DDTyDDTx

210100000

131010000

012001000

100310100

010141010

001112001

000100210

000010131

000001012

9

8

7

6

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

=

9

8

7

6

5

4

3

2

1



9.3. No linealidad de la ecuación de flujo para un fluido ligeramente compresible La ecuación de flujo implícita para un fluido ligeramente compresible es expresada por la ecuación ( ) donde el FVF, viscosidad y densidad están descritas por las siguientes ecuaciones:

])(1[

])(1[

])(1[

o

o

o

o

oo

PPC

PPC

BB

PPC

Los valores numéricos de “C” y “Cμ” para un fluido ligeramente compresible están en el orden de

magnitud de 56 1010 a , consecuentemente el efecto de la variación de presión sobre el FVF,

viscosidad y gravedad pueden ser despreciado sin introducir notable error. Simplemente utilizando B ≈ Bº, μ≈ μº y ρ ≈ ρº a su vez Transmisibilidades y términos de gravedad son

independientes de la presión

2

1

1

2

1

i

n

iTT y

2

1

1

2

1

i

n

i . Por consiguiente la ecuación se

simplifica a:

])([)(])()([ 1

11

1

1

1

2

1

11

1

2

11 i

n

i

n

io

t

o

iiI

ib

I

i i

n

i

n

ii

n

i

n

ii

I

iPP

Bt

CVQQPPTxPPTx

La ecuación es una ecuación es una ecuación algebraica lineal debido a que los coeficientes de las presiones desconocidas al nivel “n+1” son independientes de la presión. La ecuación para el flujo 1-D es obtenido de la ecuación ( ) en la misma forma que fue descrita en la sección inicial:

11

1

111

11

1

1

1

22,1 ][)(

nn

o

t

o

b

nn PPBt

CVQQPPTx

22

1

222

22

1

1

1

22,1

1

2

1

33,2 ][)()(

nn

o

t

o

b

nnnn PPBt

CVQQPPTxPPTx

33

1

333

33

1

2

1

33,2

1

3

1

44,3 ][)()(

nn

o

t

o

b

nnnn PPBt

CVQQPPTxPPTx

44

1

444

44

1

3

1

44,3

1

4

1

55,4 ][)()(

nn

o

t

o

b

nnnn PPBt

CVQQPPTxPPTx

I

n

I

n

Io

t

o

nnbII

n

I

n

II

PPBt

CVQQPPTx

][)( 1

11

1

1

2

1



Grid Ecuación

1 ][)( 1

1

111

1

1

1

1

22,1

nntb

nn PPBt

CVQPPTx

1 )()()

2

()()( 1

1

1111

11

111

1

1

221

nntn

b

nnPP

Bt

CVPP

xB

AkPPTx

2 )()()()()( 1

2

1

2221

1

1

221

1

2

1

332

nntnnnnPP

Bt

CVPPTxPPTx

3 ][)()( 3

1

333

3

1

2

1

33,2

1

3

1

44,3

nntnnnn PPBt

CVQPPTxPPTx

4 ][)()( 4

1

4441

3

1

44,3

1

4

1

55,4

nn

o

t

onnnn PP

Bt

CVPPTxPPTx

5 ][)( 5

1

555

5

1

5

1

554

nntb

nn PPBt

CVQPPTx

0 b 1 2 3 4 5 b 6

1/2 3/2 5/2 7/2 9/2 11/2

●

●

●

●

●

Pb

● Qb

●

Q3



a i- 1, j

Aunque la Ecuación para un fluido incompresible y un fluido ligeramente compresible representan un conjunto de ecuaciones lineales hay una diferencia básica entre ellos. Mientras en la primera la presión del reservorio solo depende del espacio (locación y condiciones de frontera), la segunda ecuación la presión depende del espacio y el tiempo, la implicación de esta diferencia es que la ecuación de flujo para un fluido incompresible tiene un estado de solución para un flujo en estado estable (solución independiente del tiempo), mientras para la ecuación para un fluido ligeramente compresible tiene un estado de solución para un flujo en estado inestable ( solución que depende del tiempo). Debería ser mencionado que la solución de la presión para la última ecuación en cualquier intervalo de tiempo es obtenido sin “iteración” debido a la linealidad de la ecuación de flujo. Debemos reiterar que la linealidad de la ecuación es el resultado de despreciar la dependencia de la presión del FVF y la viscosidad en la transmisibilidad. En conclusión el entendimiento del comportamiento de las propiedades del fluido ha conducido hacia el diseño un práctico modo de linealizar la ecuación de flujo para un fluido ligeramente compresible. Nota: Es necesario especificar las condiciones del pozo productor/ inyector y las condiciones de frontera para la formulación explicita e implícita y obtener valores de presión con el tiempo. 9.3.1. Notación de Weinstein, Stone y Kwan Si hacemos:

ii

aTx

2

1

ii

cTx

2

1

i

iitd

t

VC

615.5

iiii

iit

iibdca

t

VCTxTx

)()

615.5(

2

1

2

1

Reemplazando en la Ecuación ( )

])([][])()([ 1

11

1

1

111

11 i

n

i

n

ii

I

ib

I

i i

n

i

n

ii

n

i

n

ii

I

iPPdQQPPaPPc

)()( 1

2

11

2

1

iii

iii

i DDTxDDTx

b i, j

c i+ 1, j



])([])([1

1

1

11

11 iib

n

ii

I

i

n

ii

n

iiii

n

ii

I

iQQPdPcPdcaPa

])([][1

1

1

11

11 iib

n

ii

I

i

n

ii

n

ii

n

ii

I

iQQPdPcPbPa

Escribiendo la ecuación para un grid block en análisis la ecuación seria:

Haciendo: iib

n

ii fQQPd ])([

i

n

ii

n

ii

n

ii fPcPbPa

1

1

11

1

En esta ecuación actualizando la gravedad especifica del fluido a un nivel de tiempo “n” en lugar de un nuevo nivel de tiempo “n+1” no introduce un error apreciable. El análisis de estabilidad desarrollado en el enfoque matemático concluye que la ecuación ( ) es incondicionalmente estable debido a la linealidad de la ecuación. La ecuación nos da soluciones de presión numéricamente estables sin límites sobre el intervalo de tiempo permisible. Sin embargo debe tener un límite sobre los intervalos de tiempo para obtener una solución exacta pero no es una consideración en la estabilidad. La propiedad de estabilidad incondicional del método de la formulación implícita hace esta atractiva a pesar del esfuerzo extra computacional requerido por intervalo de tiempo. La solución a un tiempo de simulación dado puede ser obtenida con mucho menos esfuerzo computacional tomando largos intervalos de tiempo. El intervalo de tiempo esta limitado solo por requerimientos de exactitud. Consecuentemente el método de la formulación implícita es comúnmente usado en simulación de reservorios. Para un sistema de “I” grids con condiciones de frontera:

Grid Ecuación

1 12111 fPcPb

2 2322212 fPcPbPa

3 3433323 fPcPbPa

4 4544434 fPcPbPa

. . . . . .

I IIIII fPbPa 1

II

I

ba

c

cba

cba

cba

cb

.................000

......................................

0......................................

0......................................

0.............00

0..............00

0..............00

0..............000

444

333

222

11

IP

P

P

P

P

.

.

.

4

3

2

1

=

If

f

f

f

f

.

.

.

4

3

2

1

bxA



a i- 1, j

9.3.2. Sistema de Grids en dos dimensiones 2-D

1

,,

1

,

,,

,

2

1,

,

1

2

1,

1

,

1

1,

1

2

1,

1

,1

1

,

1

,2

1

1

,

1

,1

1

,2

1 )()()()()(

n

ji

n

ji

n

ji

tjiji

jib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jiPP

t

CVQQPPTyPPTyPPTxPPTx

Linealizando la Ecuación de flujo para dos dimensiones:

ji

n

ji

n

ji

tjiji

jib

n

ji

n

jiji

n

ji

n

jiji

n

ji

n

jiji

n

ji

n

jiji

PPt

CVQQPPTyPPTyPPTxPPTx ,,

1

,

,,

,

2

1,

,

2

1,

1

,

1

1,

2

1,

1

,1

1

,,

2

1

1

,

1

,1,

2

1)()()()()(

Si hacemos:

jiji

aTx ,,

2

1

jiji

eTy ,

2

1,

jiji

cTx ,,

2

1

jiji

dTy ,

2

1,

jijijijijiji

jijit

jijijijibfedca

t

VCTyTyTxTx ,,,,,,

,,

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1 )()615.5

(

ji

jijitf

t

VC,

,,

615.5

Además

jijijib

n

ji

jijitgQQP

t

VC,,,,

,,)(

615.5

)()()()( 1,,

2

1,

,1,

2

1,

,1,,

2

1,,1,

2

1,

jijiji

jijiji

jijiji

jijijï

ji DDTyDDTyDDTxDDTx

ji

n

ji

n

jijijib

n

ji

n

jiji

n

ji

n

jiji

n

ji

n

jiji

n

ji

n

jiji PPfQQPPePPdPPaPPc ,,

1

,,,

2

1,

,,

1

,

1

1,,

1

,1

1

,,

1

,

1

,1, )()()()()(

ji

n

jiji

n

jiji

n

jiji

n

jiji

n

jiji gPcPdPbPaPe ,

1

,1,

1

1,,

1

,,

1

,1,

1

1,,

Notar que todas las presiones están a un mismo nivel de tiempo y en consecuencia son incógnitas por lo tanto existe para cada grid- block asociado que no se encuentra en la frontera cinco incógnitas.

d i, j +1

b i, j

c i+ 1, j

e i, j-1



Grid Ecuación

1 111211141 )( bQQPcPbPe

2 22232221252 )( bQQPcPbPaPe

3 333332363 )( bQQPbPaPe

4 44414544474 )( bQQPdPcPbPe

5 552565554585 )( QPdPcPbPaPe

6 66636665696 )( bQQPdPbPaPe

7 777488777 )( bQQPdPdPb

8 88858988878 )( bQQPdPcPbPa

9 999699989 )( bQQPdPbPa

Si lo escribimos en forma matricial el sistema de ecuaciones lineales y hacemos

-(±Q i j+ Qb i,j)+εi,j = gi,j :

999

8888

777

6666

55555

4444

333

2222

111

000000

00000

000000

00000

0000

00000

000000

0000.0

000000

bad

cbad

cbd

ebad

ecbad

ecbd

eba

ecba

ecb

9

8

7

6

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

=

9

8

7

6

5

4

3

2

1

g

g

g

g

g

g

g

g

g

1 3

4 6

7 9

2

5

8

CF1

CF4

CF7

CF3

CF6

CF9

CF7 CF8 CF9

CF3 CF2 CF1



9.3.3. Para un Reservorio Isotrópico y Homogéneo 1-D Desarrollando la ecuación general de flujo para un sistema en una dimensión:

oii Bx

AkTxTx

1

2

1

2

1

iib

n

itn

i

o

n

it

oo

m

i

o

QQPt

CxAP

Bx

kAP

t

CxA

Bx

kA

Bx

kAP

Bx

Ak

)](615.5

[127.1)615.5

127.1127.1(1

127.1 1

1

11

1

iib

n

itn

i

o

n

it

o

m

i

o

QQPt

CxAP

Bx

kAP

t

CxA

Bx

kAP

Bx

Ak

)](615.5

[127.1)615.5

2127.1(

1127.1 1

1

11

1

Reagrupando términos y si hacemos tC

khacemosSi

iib

n

itn

i

o

n

it

o

m

i

o

QQPt

CxAP

Bx

kAP

t

CxA

Bx

kAP

Bx

Ak

)](615.5

[127.1)615.5

2127.1(

1127.1 1

1

11

1

i

t

ib

t

n

i

n

i

o

n

i

o

m

i

o CxA

tQQ

CxA

tPP

Bx

tP

BxP

Bx

t

615.5)](

615.5[238.6)1

2238.6(

1238.6 1

12

1

2

1

12

Si hacemos: 238.6

1 2

oB

t

x

y ]2[127.1 11

iiix

i DDDBx

Ak


i

t

ib

n

i

n

i

n

i

n

iCxA

tQQ

TxPPPP

615.5)](

1[)

1()1

2()

1( 1

1

11

1

i

t

ibon

i

n

i

n

i

n

iCxA

tQQ

Ak

BxPPPP

615.5)(

127.1

1)2( 1

1

11

1

)2()](1

[)2( 11

1

1

11

1

iiiib

n

i

n

i

n

i

n

i DDDQQTx

PPPP Grid-blocks

Intermedios i= 2, 3, 4, 5, 6 ……. I-1

Si hacemos: )2(])(1

[ 11 iiiib

n

ii DDDQQTx

Pe



El sistema de ecuaciones lineales estaría formado de la siguiente manera: Para un sistema de “I” grids con condiciones de frontera:

Grid Ecuación

1 121 )1( ePP

2 2321 )2( ePPP

3 3432 )2( ePPP

4 4543 )2( ePPP

. . . . . .

I III fPP )1(1

)1(1..........................000

1.....................................00

0....................................00

0....................................00

0...........1)2(100

0..............01)2(10

0..............001)2(1

0..............0001)1(

nP

P

P

P

P

.

.

.

4

3

2

1

=

nf

f

f

f

f

.

.

.

4

3

2

1

bxA

Para un sistema 2-D Si desarrollamos la ecuación en dos dimensiones: y hacemos Δx = Δy

ojijijiji Bx

AkTxyTyTyTxTx

1

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1


jiib

n

ji

jijitn

ji

n

ji

n

ji

jijitn

ji

n

ji QQTxy

TxyP

t

VC

Txy

TxyPTxyPTxyP

t

VC

TxyTxyPTxyPTxy ,,

,,1

1,

1

,1

1

,

,,1

,1

1

1, )(615.5

)615.5

14(

Si hacemos: 238.6

1 2

oB

t

x



jiib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jiTxy

QQTxy

PPPPPP ,,

1

1,

1

,1

1

,

1

,1

1

1,

1)(

1)4(

)4( 1,1,,,1,1, jijijijijiji DDDDDTxy

Ec. Para los grid blocks que no se encuentren en la frontera, si los grid blocks se encuentran en la frontera se tiene que utilizar la ecuación genera, para eliminar las transmisibilidades. Si hacemos:

jijijijijijijijib

n

ji gDDDDDQQTxy

P ,1,1,,,1,1,,, )4()](1

[

Grid Ecuación

1 1214 )2( gPPP

2 23215 )3( gPPPP

3 3326 )2( gPPP

4 41547 )3( gPPPP

5 426548 )4( gPPPPP

6 63659 )3( gPPPP

7 7487)2( gPPP

8 85987 )3( gPPPP

9 9698 )2( gPPP

)2(.................00000

1............................10000

0.............................01000

1.............................10100

0...............).........4(1010

0...........................1)3(001

0............................00)2(10

0.............................101)3(1

0.............................0101)2(

9

8

7

6

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

=

9

8

7

6

5

4

3

2

1

g

g

g

g

g

g

g

g

g



Reservorio 1D flujo Radial Formulación explicita.

t

Pqi

r

P

rr

P

1*

12

2

Realizando la aproximación por diferencias centrales al igual que para un flujo lineal:

t

PP

B

CVQQTrTr

n

i

n

itribiii

iii

i

)()()(

1

1

2

11

2

1

t

PP

B

CVQQPPTPPT

n

i

n

i

O

tribii

ni

n

iri

ni

n

ir

)()()()()(

1

1

2

11

2

1

])()([ 1

2

11

2

1

1

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iiit

n

i

n

i QPPTrPPTrVC

tPP

i + 1

● i

● i-1

●

Qi

i + 1/2

● i - 1/2

●



9.3.4.Chequeo por Balance de Materiales para un Fluido ligeramente compresible El chequeo por balance de materiales a un nivel de tiempo “n+1” puede ser derivado de la Ecuación ( ) escribiendo para cada grid block del sistema (i=1,2,3,4 ….. I) y luego sumando todos los “I” términos.

])([][])()([11

11

1

1

11

2

1

11

1

1

2

11

n

i

n

i

n

io

t

o

iiI

ib

I

i i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

I

iPP

Bt

CVQQPPTxPPTx

La suma de todos los términos inter-blocks en el reservorio que son expresados por el primer término son equivalentes a cero, mientras el segundo termino del LHS (Lado izquierdo de la ecuación) representa la suma algebraica de todos los términos de producción o inyección a través de los pozos Σ Qi y aquellos cruzando las fronteras del reservorio ΣQb. El lado derecho de la ecuación representa el término de acumulación en todos los grid-blocks en el reservorio.

)(][ 1

11

n

i

n

io

t

o

iiI

ib

I

i i PPBt

CVQQ

Dividiendo la Ecuación por el término del lado izquierdo nos da una relación:

1

)(

1 1

1

1

I

i

I

i bi

I

i

n

i

n

itii

QQ

PPt

CV



9.4. No linealidad de la Ecuación de flujo para un fluido compresible La Ecuación de flujo implícita para un fluido compresible esta expresada por la siguiente expresión:

])()([)(])()([11

11

1

1

11

2

1

11

1

1

2

11

n

i

n

i

n

is

g

iI

ib

I

i i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

I

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

)()( 1

1

2

11

1

2

1

1

ii

nn

iii

nn

i

n

i DDTxDDTx

La dependencia de la densidad es expresada por la siguiente expresión:

g

csg

B

Además

aire

g

g

En adición el FVF del gas y la viscosidad son presentados en forma tabular como funciones de la presión y temperatura del reservorio.

)(

)(

Pf

PfB

g

g

Como mencionamos en el capitulo anterior la densidad y viscosidad de un fluido compresible incrementa a medida que la presión incrementa pero tiende a estabilizarse a altas presiones. El FVF disminuye en orden de magnitud a medida que la presión incrementa desde bajas hacia altas presiones. Consecuentemente las transmisibilidades inter-blocks, gravedad del gas el coeficiente de presión del término de acumulación, el pozo en producción y la transmisibilidad en los términos de los pozos ficticios todos son función de las presiones desconocidas en el grid-block. Por consiguiente la Ecuación es no-Lineal. La solución de la ecuación requiere linealización de los términos no-lineales en el espacio y el tiempo. La Ecuación de flujo 1-D en la direccion”x” para un fluido compresible puede ser obtenido de la ecuación ( ) en la misma manera que fue descrita en la sección anterior.

111

1

11

2

1

11

1

1

2

1 )()(])()(

n

i

n

i

n

is

g

ibi

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx



En la ecuación de arriba los términos de 1

2

1

n

iTx para un sistema de grids de block-centrado es

definido por la siguiente ecuación:

1

2

1

1

2

1 )1

()(127.1

n

igg

xxn

i Bx

AkTx

1

2

1

2

1

1

2

1 )1

(

n

igg

ix

n

i BGTx

9.4.1. Linealización de los Términos No-Lineales Esta sección presentaremos los varios métodos utilizados para tratar las no-linealidades. Aunque los métodos de linealización presentados aquí pueden no ser requeridos debido a que las no-linealidades en flujos de una sola fase son débiles, estos métodos de linealización son necesarios para la simulación de flujo multifásico en reservorios de petróleo presentados en capítulos posteriores. Los términos no-lineales tienen a ser aproximados en Espacio y Tiempo. La linealización en el espacio define el lugar donde las no-linealidades están a ser evaluadas y cuales de los grid-blocks en el reservorio deberían ser usados en su estimación. La linealización en el espacio implica como los términos son aproximados para reflejar su valor al nivel de tiempo actual “n+1” donde la presión solución es desconocida. La figura muestra tres métodos comúnmente utilizados en la Linealización a ser aplicados a la no-linealidad (f) que es una función de una variable (P):

El Método Explícito.

El Método de la simple Iteración.

El Método totalmente implícito.



Cada figura muestra las mejoras en el valor linealizado de la no-linealidad a medida que la

iteración progresa desde la primera iteración ( 0 ) hacia la segunda iteración ( 1 ) en

continuar hasta que la presión converja hacia (1nP ). La iteración sobre la presión en el caso

de un fluido compresible solo es necesaria para satisfacer el balance de materiales y remover la no-linealidad del término de acumulación debido al tiempo. En la figura el valor de la no- linealidad al nivel de tiempo “n” (El comienzo del intervalo de tiempo) es representado por un circulo vacío, su valor al tiempo “n+1” (después de alcanzar la convergencia) es representado por un cuadrado vacío en esa iteración. Notar que el método explícito mostrado en la primera figura no proporciona alguna mejora en el valor de la no-linealidad a medida que la iteración progresa. El método de la simple iteración mostrado en la segunda figura proporciona una mejora en el valor de la no-linealidad en una manera sensata. En el tratamiento completamente implícito presentado en la tercera figura el valor mejorado de la no-linealidad a medida que la iteración progresa cae sobre la tangente de la no-linealidad en la iteración anterior. Otros métodos de linealización tales como el método linealizado-implícito (Mc Donald y Coats 1970) y el método semi-implícito ( Nolen y Berry 1972) no son aplicable para un flujo de una sola fase. Estos son utilizados en flujo multifásico para tratar con las no-linealidades debido solo a la saturación del fluido. Los tratamientos de varios términos no-lineales que aparecen en las ecuaciones de flujo en una sola fase son presentados en las siguientes secciones. 9.4.2. Linealización de las Transmisibilidades Las Transmisibilidades al nivel “n+1” está expresado por la siguiente ecuación:

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1 )1

()1

()(127.1

n

ipix

n

ixix

n

igg

xxn

ifG

BG

Bx

AkTx

y 1

2

1

1

2

1 )1

(

n

i

n

iP Bf

Por consiguiente la Linealización de la transmisibilidad se reduce a la Linealización del término

1

2

1

n

iPf . La función pf está evaluada en las fronteras del grid- block

2

1i

x y al nivel de tiempo

“n+1”, donde la presión solución no es conocida. Por consiguiente pf necesita ser expresado

como función de la presión de los grid-blocks sobre ambos lados de la frontera especificada del grid-block y en algún tiempo conocido. Estas aproximaciones son denominadas Linealización en el espacio y Linealización en el tiempo. 9.4.3. Linealización en el espacio

Hay varios métodos usados para aproximar pf en el espacio. Con la ponderación corriente-

arriba en un punto (single-point upstream).

iPiP

ff

2

1

Si el block “i” es corriente arriba hacia el block i ± 1 ó



1

2

1

iPiP

ff

Si el block i” es corriente abajo hacia el block i ± 1. La diferencia de potencial entre los blocks

“i” y “i±1” es utilizado para determinar los grid-blocks corriente arriba y corriente abajo.

Con la ponderación del valor promedio de la función.

)(2

11

2

1

iPiPiP

ffff

Con la ponderación del valor promedio de la presión.

)()(1)(

2

1 pBpPff

iP

Donde:

)(2

11 ii PPP

Con la ponderación del valor de los componentes de la función.

)()(1)(

2

1 BPff

iP

Donde:

2

)()( 1 ii PP

2

)()( 1 ii PBPB

B

Una vez que pf es linealizado en el espacio, entonces la transmisibilidad linealizada en el

espacio es obtenida por la siguiente relación:

2

1

2

1

2

1

iPii

fGxTx



9.4.4. Linealización de pf en el Tiempo

El efecto de la no-linealidad de pf sobre la estabilidad de la solución depende de la magnitud

del cambio de presión sobre el intervalo de tiempo “Δt”. Los métodos de Linealización en el

tiempo presentados anteriormente en la figura (8.1) pueden ser utilizados para aproximar pf en

el tiempo. Notar que pf es una función de la presión de los grid-blocks que rodean la frontera

del grid-block en análisis como mencionamos en el anterior capitulo. ),( 1 iip PPff

Con el método explicito figura (8.1a) La no linealidad es evaluada al comienzo del intervalo de tiempo (nivel “n”).

),( 1

2

1

1

2

1

n

i

n

i

n

iP

n

iPPPfff

Con el método de la simple iteración fig.(8.1b) la no-linealidad es evaluada una iteración anterior a la presión solución.

),( 1

1

11

2

1

1

2

1

n

i

n

i

n

iP

n

iPPPfff

Con el método totalmente implícito fig.(8.1c) la no-linealidad es aproximada por su valor al nivel

de iteración “ν” mas un término que depende del régimen de cambio de la presión sobre el nivel

de iteración.

)(),(

)(),(

),( 1

1

11

1

1

1

11111

11

1

111

2

1

1

2

1

n

i

n

i

n

i

iin

i

n

i

n

i

iin

i

n

i

n

iP

n

iPPP

P

PPfPP

P

PPfPPfff

)(),(

)(),(

),( 1

1

11

1

1

1

11111

11

1

111

2

1

1

2

1

n

i

n

i

n

i

iin

i

n

i

n

i

iin

i

n

i

n

iP

n

iPPP

P

PPfPP

P

PPfPPfff

)(),(

)(),(

),( 1

1

11

1

1

1

11111

11

1

111

2

1

1

2

1

n

i

n

i

n

i

iin

i

n

i

n

i

iin

i

n

i

n

iP

n

iPPP

P

PPfPP

P

PPfPPfff

Una vez que pf es linealizado en el tiempo, luego la transmisibilidad linealizada en el tiempo es

obtenido aplicando la siguiente relación:

1

2

1

2

1

1

2

1

n

iPi

n

ifGxTx



9.4.5. Linealización de los Términos de Acumulación El coeficiente de cambio de presión en el termino acumulación exhibe la no linealidad para un

fluido solo compresible. Esta no-linealidad resulta de la dependencia de la presión de 1n

gB

en la

definición de iB

9.4.6. Linealización de la Ecuación de flujo en el tiempo Como ser menciono anteriormente la ecuación de flujo para un fluido compresible exhibe el más alto grado de no-linealidad entre las ecuaciones de flujo en 1-D. Por consiguiente escogiendo la ecuación en 1-D demostraremos los varios métodos de Linealización.

Método Explícito En el método explicito las transmisibilidades, el rate de producción, los términos gravitacionales y las condiciones de frontera si se presentan son actualizadas al nivel de tiempo conocido (nivel

“n”). Todavía necesitaremos iterar en el término sB

la función dependiente de la presión del

término de acumulación. Bajo estas suposiciones la Ecuación (v) llega a ser:

n

i

n

i

n

is

g

ibi

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

)()(])()( 11

1

11

2

1

11

1

1

2

1 (v)

)()( 1

2

1

2

11

2

1

2

1

ii

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

i DDTxDDTx

Ubicando los niveles de iteración y re-arreglando términos, obtenemos la forma final de la ecuación e flujo para cualquier block “i”:

n

i

n

i

n

is

g

ibi

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

)()(])()( 11

11

1

11

1

2

1

11

11

1

2

1

n

ii

g

ii

i

g

in

i

n

ii

n

ii

n

ii

PBt

Vd

Bt

VTxTxb

Txc

Txa

)(

])([2

1

2

1

2

1

2

1



Los términos desconocidos que reflejan el tratamiento explicito de las transmisibilidades en la ecuación de flujo para el block “i” son las presiones en los blocks (i-1),(i) y (i+1) al nivel de

tiempo actual (n+1) y al nivel de iteración actual ((ν+1) ),,( 11

1

11

11

1

n

i

n

i

n

i PPP

n

iibi

n

ii

n

ii

n

ii QQdPcPbPa

)(11

1

11

11

1

Método de la simple Iteración En el método de simple iteración, las transmisibilidades, rates de flujo y condiciones de frontera si están presentes están actualizados al nivel de tiempo actual (n+1) con una iteración esperando por ello (ν). Los datos gravitacionales son actualizados al nivel de tiempo conocido

(nivel “n”). Tenemos que iterar el término sB

dependiente de la presión en el coeficiente del

término de acumulación. Aplicando esas suposiciones y ubicando los niveles de iteración la ecuación llega a ser:

n

i

n

i

n

is

g

ibi

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

)()(])()( 11

1

11

2

1

11

1

1

2

1

111

11

1

11

1

2

1

11

11

1

1

2

1 )()(])()(

n

i

n

i

n

ii

g

ibi

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

)()( 1

2

1

1

2

11

2

1

1

2

1

1

ii

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

i DDTxDDTx

n

ii

g

ii

i

g

in

i

n

ii

n

ii

n

ii

PBt

Vd

Bt

VTxTxb

Txc

Txa

)(

])([ 1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

Los términos desconocidos en la ecuación reflejan el tratamiento de simple iteración de las transmisibilidades en la ecuación de flujo para el grid-block “i” , son las presiones de los blocks (i) , (i+1) y (i-1) al nivel de tiempo actual (n+1) y nivel de iteración actual (ν+1).

),,( 11

1

11

11

1

n

i

n

i

n

i PPP

)()()( 1

2

11

2

1

11

1

11

11

1

ii

n

iiii

n

iiibi

n

ii

n

ii

n

ii DDdDDcQQdPcPbPa



Método totalmente implícito En el Método completamente implícito las transmisibilidades, los rates de producción y las condiciones de frontera si están presentes son actualizados al nivel de tiempo actual (n+1). Los términos gravitacionales son actualizados al nivel de tiempo conocido (n). Los términos no-lineales y las presiones desconocidas están al nivel de tiempo actual (n+1) y al nivel de iteración

actual (ν+1) y utilizando el nivel de iteración anterior (ν) en el cálculo de sB

.

111

11

1

11

1

2

1

11

11

1

1

2

1 )()(])()(

n

i

n

i

n

is

g

ibi

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

Para hacer más sencillo en 1-D el análisis despreciamos los términos gravitacionales e incluimos el término de no flujo en las fronteras.

)()(])()( 11

11

1

11

11

2

1

11

11

1

11

2

1

n

i

n

ii

g

ii

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPP

Bt

VQPPTxPPTx

….. (a)

Aplicando la Extensión del Teorema de Taylor para cada término de la Ecuación:

.....¡3

)(''')(

¡2

)('')()(')()()()()( 32 o

o

o

oooooo

xfxx

xfxxxfxxxfxxfxfxPn

Donde: xxx o

......!3

)('''

!2

)('')(')()( 321

n

i

n

in

i

n

i

n

i

tft

tfttfttftf

Donde: ttt nn 1

)()(),(),( oooo yyy

fxx

x

fyxfyxf

)()(),(),( )1(1)1(11

)1()1(

1

yyy

fxx

x

fyxfyxf

)()(),(),( )1(2)1(22

)1()1(

2

yyy

fxx

x

fyxfyxf

xxx )1(

yyy )1(

)(),(

)(),(

),( 1

1

11

1

1

1

11111

11

1

111

2

1

1

2

1

n

i

n

i

n

i

iin

i

n

i

n

i

iin

i

n

i

n

iP

n

iPPP

P

PPfPP

P

PPfPPfff



Donde: i

n

i

n

i PPP

111

Los primeros términos de la ecuación (a) de la izquierda podemos realizar la aproximación mediante el teorema de Taylor.

11

1

2

1

11

1

1

1

2

1

1

2

1

11

2

1

n

i

n

i

in

i

n

i

in

i

n

iP

P

Tx

PP

Tx

TxTx

…(b)

11

1

2

1

11

1

1

1

2

1

1

2

1

11

2

1

n

i

n

i

in

i

n

i

in

i

n

iP

P

Tx

PP

Tx

TxTx

… (c)

11

1

1

1

11

1

1

1

11

1

11

1

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

n

i PPPP

PPP

….. (d)

11

1

1

1

11

1

1

1

11

1

11

1

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

n

i PPPP

PPP

…. (e)

11

111

1

1

1

11

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

n

i PPPP

PPP

…. (f)

Los términos del lado derecho de la Ecuación se pueden aproximar

)()()()( 11

111

n

i

n

i

n

ii

g

in

i

n

ii

g

i PPPBt

VPP

Bt

V

…(g)

Reemplazando todos las aproximaciones en (a)

1111

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

n

i

in

iPPPPP

P

Tx

PP

Tx

Tx

)()( 11

11111

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

n

i

n

i

n

ii

g

in

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

n

i

in

iPP

Bt

VPPPPP

P

Tx

PP

Tx

Tx



En la ecuación anterior procedemos a operar algebraicamente y re-arreglar términos

considerando que en la operación los términos 22

111 )(;)(;)()(;))(( iiiiii PPPPPP son

despreciables, debido que en la iteración el producto de los términos pequeños son números más pequeños.

)()()()()(

])()()([

])([])([

11

1

1

2

1

11

1

1

2

1

1

111

1

1

2

1

1

2

1

11

1

1

2

1

1

2

1

11

1

11

1

1

1

2

1

1

2

1

11

1

11

1

1

1

2

1

1

2

1

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

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ii

g

i

n

ii

g

in

i

n

i

n

i

in

i

n

i

n

i

n

i

in

i

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

n

i

n

i

n

i

n

i

in

i

QPPTxPPTxPPBt

V

PBt

VPP

P

Tx

TxPPP

Tx

Tx

PPPP

Tx

TxPPPP

Tx

Tx

Reemplazamos el término ])()([min)()( 11 n

i

g

n

i

g

in

i

n

ii

g

i

BBt

VotérelporPP

Bt

V



9.4.7. Chequeo por Balance de Materiales para un Fluido Compresible Para la formulación implícita el chequeo del balance incremental y acumulativo de materiales de materiales para problemas de flujo en un fluido compresible está dado por la siguiente ecuación:

])()([)(])()([11

11

1

1

11

2

1

11

1

1

2

11

n

i

n

i

n

is

g

iI

ib

I

i i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

I

iPP

Bt

VQQPPTxPPTx

])()([][ 1

11

n

i

g

n

i

g

iI

ib

I

i iBBt

VQQ

1

])()([

1 1

1

1

I

i

I

i bi

I

i

n

i

g

n

i

g

i

QQ

BBt

V



10. Representación y Modelado de Pozos (Modelo de Peaceman) El objetivo final de un estudio de simulación de reservorios es predecir el régimen de flujo y/o las presiones fluyentes del fondo del pozo exactamente y estimar las distribuciones de presión y saturación. El tratamiento de pozos en simuladores de reservorio presenta dificultades que requieren especial consideración. En general estas dificultades pueden ser divididas en tres categorías. 1.- El block/celda que contiene la terminación del pozo es generalmente mas grande comparado con la dimensión del pozo, de tal forma que la presión del block así calculado por el simulador de reservorio es una pobre estimación de la presión fluyente del pozo Pwf. 2.- Asociando la interacción compleja entre el reservorio y el wellbore (pozo) es a menudo problemático, particularmente en el caso de pozos multi- estratos. 3.- Asignando los regimenes de producción de las fases en flujo multifásico cuando una simple fase o el rate de producción total de un pozo es especificado. Otros problemas se ponen de manifiesto cuando varios pozos están en una simple celda y un pozo no está localizado en el centro de la celda. El tratamiento de un pozo individual llega a ser aun mas complicado cuando consideramos IPR instantáneo, detalles de completación, cara de la formación (pozo), hidráulica del sistema de superficie y estimulación del pozo. REPRESENTACION

DEL POZO

PROCESO DE RECUPER.

EDP NO LINEALES





REPRESENTACIÓN DEL

POZO



En general la contribución (caudal) de cualquier grid-block del reservorio penetrado por un pozo al rate de flujo del pozo es independiente de la ecuación de flujo para ese block. Tal contribución tiene que ser estimada separadamente de y luego sustituido en la ecuación de flujo para ese block. El flujo de fluido hacia el pozo en un grid-block es radial sin considerar la dimensionalidad del problema de flujo. Un pozo es modelado como un término línea fuente ó sumidero. En este capítulo el énfasis en problemas de flujo en 1D y 2D es sobre la estimación del factor geométrico del pozo, mientras en problemas de flujo 3D el enfoque es sobre la distribución del rate (caudal) entre los diferentes blocks que son penetrados por el pozo. La estimación del factor geométrico del grid-block es presentado por un pozo contenido en un grid-block y que se encuentra en los límites del grid-block y un pozo contenido en un grid-block y que se encuentra sobre uno o dos límites de no flujo del reservorio (flujo 1D y 2D). Tratamiento de pozos en flujo Lineal 1D La figura 10.1 muestra el flujo de fluido en un problema de flujo lineal1D. La transferencia de Fluido ingresando ó saliendo de un grid-block tiene dos componentes, transferencia de fluido global y transferencia de fluido local. La transferencia de fluido global es lineal y mueve fluido de un grid-block a otro y la trasferencia de fluido local es radial y mueve fluido dentro del grid-block hacia la producción del pozo (ó de un pozo inyector). Aunque este tratamiento de pozos es nuevo para problemas de flujo 1D, es consistente con y ampliamente aceptado en el modelamiento de flujo de fluido en 2D, reservorios de estratos simples. Para un grid-block en problemas de flujo 1D fig. 10.2 es importante diferenciar entre el termino fuente que representa un pozo real (ó físico) y el término fuente que representa un pozo ficticio (ó condición limite). Esta diferenciación es crucial porque el flujo resultante de una condición límite es siempre lineal, mientras tanto el flujo hacia ó desde un pozo real es siempre radial. Por ejemplo el fluido que cruza el limite derecho del reservorio (grid-block 5 en la figura 10.2) es estimado delas condiciones específicas del límite, sin embargo el fluido que ingresa ó sale del grid-block (grid-block 1 en la figura 10.2) en cualquier punto incluyendo el punto limite, a través del pozo es estimado de la ecuación de flujo radial de un pozo real. Ec. 10.1.



Con excepción de los modelo de flujo hacia los pozos (r,Ө,z) los pozos en la simulación numérica de reservorios son representados mediante celdas/gris-block “fuente”. Una vez definida la malla ó sistema de grids que representa al reservorio, los pozos son ubicados en las celdas de acuerdo a su posición: A estas se les denomina “celdas productoras” ó inyectores. En mallas convencionales el ritmo de producción ó inyección de un pozo se asigna entonces a toda una celda ó grupos de celdas. No es posible para fines prácticos representar el detalle del flujo en el pozo. Por lo anterior, la presión calculada en las celdas con pozo, no corresponde a la presión que se tiene en el fondo del pozo, tampoco corresponde a la presión media de la celda como es el caso de las celdas sin pozo. Se han desarrollado modelos que permiten relacionar la presión calculada por el simulador en las celdas con pozo, con la presión correspondiente al pozo. A estos modelos se les conoce como “Modelado de pozos”. Fue Peaceman en un trabajo clásico publicado en 1978 quién desarrolló el primer modelo básico de pozos 10.1. Idea Básica: Establecer una relación entre Pi,j y Pwf (i,j) . Considerar: a) Flujo radial incompresible de una sola fase hacia el pozo (Caudal constante) b) Pozo centrado en la celda (gris-block) c) Medio isotrópico d) Medio Homogéneo e) Despreciando los efectos gravitacionales. El Modelo de Van Pollen realizó uno de los primeros intentos para desarrollar un modelo de pozo en simulación. Este modelo generalmente no es usado hoy pero es históricamente importante. Van Pollen uso la ecuación de flujo estable, en este modelo el termino “re” de la ecuación representa el radio de la celda que contiene el pozo. En otras palabras, el radio equivalente de la celda “req” es calculado de:

yxreq 2

Que resulta

yxreq

Para un block cuadrado Δx=Δy, la ecuación se reduce a:

xreq 5642.0

Se tiene entonces de la Ecuación de estado estable para el término Pavg Van Pollen asume que la presión en la celda que contiene el pozo wellblock es equivalente a la presión promedio de la celda:



]2

1)([

)(2127.1

]2

1)([

)(2127.1 ,

Sr

rLnB

PPhkxQ

Sr

rLnB

PPhkxQ

w

eq

wfjiH

SC

w

e

wf

SC

2

1)(

2127.1

Sr

rLn

hkG

W

e

H

L

B

PPGQ

jiwfji

jiLjiSC

)( ),(,

),(),(

…… (10.1)

En la cual Van Pollen asumía permeabilidades isotrópicas en la celda que contiene el pozo. Para propiedades de la celda anisotrópicas la permeabilidad promedio geométrica debería ser usada por kH esto es:

21

)( yxH kkk

Peaceman utilizando soluciones numéricas para una simple fase y un patrón five-spot mostró que el radio equivalente req de la celda que contiene el pozo (wellblock) al cual la presión en estado estable en el reservorio es Pe, es igual a la presión en el wellblock Pi,j y esta dado para un reservorio isotrópico y homogéneo por:

xreq 28.0

Utilizando la aproximación por diferencias finitas en un sistema 2D, ecuación de flujo de una simple fase como ec. Implementada en un grid-block que contiene un pozo, desarrollaremos un procedimiento para un dominio isotrópico, homogéneo que esta discretizado por grids cuadrados. De la EDP describiendo el flujo incompresible de una sola fase en un medio isotrópico y homogéneo esta puede ser escrito de la Ec. ()

)()(w

wwww

B

S

tQ

PoissondeEcQwww .0)(

Representación numérica aplicando la Ec. General de Flujo

0)()()()( ,1,,

2

1,

),1,

2

1,

,1,,

2

1,,,1,

2

1

jijijiji

jijiji

jijiji

jijiji

QTyTyTxTx



0)()()()( ,1,,

2

1,

),1,

2

1,

,1,,

2

1,,,1,

2

1

jijijiji

jijiji

jijiji

jijiji

QPPTyPPTyPPTxPPTx

Considerando las Transmisibilidades iguales y representando como:

hk

x

AkTyTyTxTx H

ji

jiH

jijijiji

,

,

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1

Además Δxi,j =Δyi,j y Ai,j = h (Δxi,j)

0)()[( ,1,,),1,,1,,,,1 jijijijijijijijijiH QPPPPPPPP

hk

0]4[ ,1,1,,,,1 jijijijijiH QPPPP

hk

……..(a)

Si la celda que contiene el pozo y las celdas vecinas son asumidas a ser localizadas fuera de las fronteras físicas del reservorio y otros pozos (en adición a la suposición de un medio poroso isotrópico y homogéneo) es razonable asumir que:

1,1,,1,1 jijijiji PPPP …. (b)

Combinando las ecuaciones (a) y (b)



jiSCjijiH QPP

hk,,,,1 ]44[

…….. (c)

La ecuación para el régimen de flujo estable puede ser escrito con las presiones de los blocks vecinos [por ejemplo grid-block (i+1,j)] y la celda que contiene al pozo (i,j)] y la distancia entre ellos, para S=0 esto es:

)(

)(2127.1 ,,1

eq

jijiH

SC

r

xLn

PPhkxQ

…………….. (d)

Sustituyendo (d) en (c)

xrex

r

r

xLn eq

eq

eq

208.0208.02

)( 2

Notar la diferencia en la definición de Peaceman del radio equivalente del wellblock req y la definición de Van Pollen del req . El modelo de Peaceman esta basado en la premisa que la presión calculada para un wellblock es equivalente a la presión fluyente a un radio equivalente req . La definición de req puede ser usada para relacionar la presión fluyente al rate de flujo Qsc a través de la presión del gridblock Pi,j .

),(

),(,

])([

)(2127.1jiwf

w

eq

jiwfjiH

SC PDespejando

Sr

rLnB

PPhkxQ

])208.0

([2127.1

,),( Sr

xLn

hkx

BQPPwf

wH

oSCjiji

Peaceman extendió la ecuación para un sistema de grids donde Δx≠Δy, además un sistema anisotrópico.

4

1

4

1

22

1

22

1

28.0

kx

ky

ky

kx

yky

kxx

kx

ky

req ¨



Para un sistema isotrópico Δx=Δy

xryxr eqeq 198.0)(14.0 2

1

22

Un Reservorio de petróleo de una sola fase consistente de una formación horizontal tiene varios pozos verticales en producción. Cada pozo está localizado en el centro de cada grid-block y penetra toda la formación. El Bo y la viscosidad son 1 bbl/STB y 2 cp respectivamente. El diámetro del pozo es de 7”. Calcular el factor geométrico para cada pozo.

Well ID Δx (fts) Δx (fts) h (fts) Kx (md) Ky(md) S

W-1 208 832 30 100 225 0

W-2 208 832 30 150 150 0

W-3 416 416 30 100 225 0

W-4 416 416 30 150 150 0

ftsreq 521.99

225

100

100

225

832225

100208

100

225

28.0

4

1

4

1

22

1

22

1

mdxkH 150)225100( 21

psiDarcycpbbl

Ln

xGL

/975.5

2

1)

12/5.3

521.99(

)30150.0(2127.1

Deberia ser notado que aunque los cuatro grid-blocks tienen el mismo espesor de 30 pies área de 173,056 pies cuadrados y permeabilidad horizontal de 150 md los factores geométricos son diferentes debido a la heterogeneidad y dimensiones de los grid-blocks. Considerar el pozo W-1 y estimar el factor geométrico para los siguientes casos:

a) No existe daños S=0 b) Pozo con daño S=1 c) Pozo estimulado S=-1



b) psiDarcycpbbl

Ln

xGL

/031.5

2

11)

12/5.3

521.99(

)30150.0(2127.1

c) psiDarcycpbbl

Ln

xGL

/354.7

2

11)

12/5.3

521.99(

)30150.0(2127.1

Este ejemplo demuestra el efecto del daño y la estimulación sobre el factor geométrico y en la producción del pozo. El daño reportado en el pozo reduce el factor geométrico en un 14.6 % y donde esta estimulado incrementa el factor geométrico en un 20.7%.

Considerar el pozo W-1y estimar la producción del pozo para las siguientes condiciones operativas:

a) Calcular el caudal si la gradiente de presión en el wellbore/sandface 300 psi/ft. b) Calcular el caudal si la presión Pwf(1) es igual a 2,000 psi y la presión promedia es igual

a 3,000 psia. c) Presión en Pwf (4) si la presión promedia en el block es = 3,500 psia y el caudal 1,500

STB/D.

a) De la Ecuación

rw

HWSC

r

P

B

hkrQ

2127.1

DSTBQSC /1.1394)300()2(1

)30()150.0()12/5.3(2127.1

b) De la ecuación:

])([

)(2127.1 ),(,

Sr

rLnB

PPhkxQ

w

eq

jiwfjiH

SC

DSTB

Ln

xQSC /5.731,2

)12/5.3

521.99()2(1

)000,2000,3()30()150.0(2127.1

c) Estimar la presión del fondo del pozo en el grid-block #4

Para un especificado Pwf la ecuación aplica: B

PPGQ

jiwfji

jiLjiSC

)( ),(,

),(),(

piesreq 364.82)416(198.0



psiDarcycpbbl

Ln

xGL

/195.6

2

1)

12/5.3

3641.82(

)30150.0(2127.1

Debería ser notado que aunque los 4 grid-blocks tienen el mismo espesor de 30 pies y área de 173,056 pies cuadrados una permeabilidad horizontal de 150 md, los factores geométricos son diferentes debido a la heterogeneidad y /o dimensiones de los grid-block.

psiaPwf 015,3195.6

)1()2(1500500,3)4(



11. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJO

En los capítulos anteriores se vio que al aplicar las ecuaciones resultantes del esquema de solución implícito a cada uno de los bloques que componen la malla (grillado/sistema de grid-blocks) se establece un determinado número de ecuaciones algebraicas con su correspondiente número de incógnitas. Este sistema lineal de ecuaciones simultáneas que resulta puede ser escrito en forma general empleando la notación matricial siguiente:

dPxA

Donde “A” es la matriz de coeficientes que es función de las características del reservorio y dimensiones del grid-block, “d” es un vector conocido y puede contener información concerniente a los rates de flujo e información de los intervalos de tiempo previos (conocidos) y “P” es el vector de incógnitas de presión en todos los puntos del sistema considerado. De esta manera, ahora el problema consiste en resolver el sistema para obtener el vector de incógnitas de presión, el cual pude ser muy simple ó muy complejo, dependiendo del fenómeno físico que se intenta resolver. Cuando la solución es relativamente fácil, como en el caso de problemas de una dimensión y muchos problemas de dos dimensiones, la solución al vector presión constituye solo una fracción del tiempo total de cómputo y del costo de la simulación del reservorio. Sin embargo en problemas más complejos como en caso de algunos modelos de dos y la gran mayoría de tres dimensiones, el esfuerzo que se requiere para resolver el vector “P” tiene un mayor significado con relación al resto del problema en la simulación del reservorio. Por lo anterior es fácil comprender que la eficiencia que tenga un simulador tanto para resolver el problema planteado como en el aspecto económico depende en gran medida del algoritmo que se utilice eficientemente para resolver el vector de presión establecido.

REPRESENTACION

DEL POZO

PROCESO DE RECUPER.

EDP NO LINEALES





SOLUCION: MÉTODO DIRECTO Y

MÉTODO INDIRECTO

SOLUCIÓN: MÉTODO DIRECTO Y

MÉTODO INDIRECTO



11.1. Métodos de Solución La mayoría de simuladores proporciona más de un método para solucionar las ecuaciones de flujo en reservorios, para seleccionar el mejor método para un problema en particular no es necesario saber en detalle como los algoritmos disponibles trabajan. Es útil sin embargo comprender los principios concernientes de los varios métodos de solución para que sus fortalezas y debilidades puedan ser apropiadamente apreciada cuando uno de varias soluciones deben ser ejercitadas. En esta sección se describirá de alguna manera superficial, los métodos de solución que son largamente utilizadas. También describiremos algunas técnicas que son de significancia histórica solamente y el resto para propósitos de exposición. Los métodos que se emplean para obtener la solución de la ecuación pueden dividirse en dos grandes grupos: Métodos directos y métodos indirectos. 11.1.1. Métodos Directos en la Solución de Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Como su nombre implica, el algoritmo que es usado resuelve la ecuación exactamente, la solución del sistema es obtenido por la completación de un número fijo de operaciones Los métodos directos no solo requieren almacenamiento de la información contenida en la matriz “A” y el vector conocido “d”, estos sufren de una acumulación del error de redondeo que ocurre durante los calculas. Algunos ejemplos de métodos directos son los siguientes:

Inversión de Matriz

Regla de Cramer

Eliminación de Gauss

Método de Gauss-Jordan

Descomposición matricial

Algoritmo de Thomas para sistemas tridiagonales. a) Método de Inversión de matriz



Se trata de un método bastante sencillo para lo cual se requiere determinar la matriz inversa de la matriz de coeficientes y mediante una pre-multiplicación obtener la solución del sistema dado

dPxA

determinando 1A y multiplicando por la Ec. Anterior dxAPxAxA

11 pero

sabemos que IAxA 1 matriz identidad dxAPdxAPxI 11

. La solución se

obtiene con los resultados que proporcione el producto del lado derecho dela ecuación. Como puede suponerse el uso del método es un tanto elaborado y lento debido a la necesidad de obtener la matriz inversa de la matriz de coeficientes, por lo que su empleo en trabajos de simulación es prácticamente nulo.

1)()( ABBIsElementalesOperacioneIA

41/441/541/7

41/1341/641/8

41/1441/341/4

100

010

001

100

010

001

012

423

321

10

10

1

012

423

321

3

2

1

P

P

P

3

62

174

10

10

1

457

1368

1434

41

1P

b) Regla de Cramer Este es un método extremadamente sencillo, pero no muy práctico para ser desarrollado en una computadora tal como lo requiere el tratar de obtener la solución del vector “P”

153

732

21

21

PP

PP Cuya ecuación matricial es

1

7

53

32

2

1

P

P

Se aplicará la regla de Cramer para obtener la solución, primero se calcula el determinante de la matriz de coeficientes:

19)33(5253

32

xxP

Se obtienen ahora los otros determinantes al hacer el intercambio de columnas tal como enuncia la regla .

1921213

7238335

51

3721

PP

En consecuencia la solución del sistema es:



119

192

19

38 2

2

1

1

P

PP

P

PP

La aplicación de este método en la simulación de reservorios prácticamente no se da, ya que solo es útil para resolver el sistema de ecuaciones pequeño y el querer resolver problemas mayores con él, provoca la utilización de un tiempo de cómputo extenso aún para casos relativamente sencillos. c) Método de eliminación de Gauss Este método consiste básicamente en sistematizar el teorema fundamental de equivalencia. Para ello se requiere aplicar a una matriz empleada (que se forma con la matriz de coeficientes y el vector de valores conocidos) un número determinado de operaciones, las cuales son llamadas operaciones sobre los reglones de una matriz, con el fin de obtener un sistema equivalente al anterior que proporcione las incógnitas de una forma sencilla y directa. Así pues tomando el sistema original, el objetivo es transformar la matriz de coeficientes “A” a una matriz triangular superior como se indica a continuación.

Dado el sistema: dPxA

El vector “d” es añadido es añadido a la matriz de coeficientes formando así, la matriz ampliada como sigue:

nnnnnn

n

n

daaaa

daaaa

daaaa

...........

.......................

.......................

......................

..........

............

321

22232221

11131211

'

'

333

'

222322

'

11131211

..............000

......................0

....................00

................00

..........0

............

nnn

n

n

dc

dc

dccc

dcccc

'

'

333

'

22322

'

1131211

.............000

.................0

...............00

.........00

..........0

..........

nn

n

n

n

c

cc

ccc

cccc

'

'

3

'

2

'

1

3

2

1

.

.

.

.

nn d

d

d

d

P

P

P

P

Lo cual después de efectuar un número determinado de operaciones elementales a los renglones de la matriz ampliada por la expresión anterior se reduce a la siguiente forma:



De esta manera el valor de “Pn” puede obtenerse directamente de nn

nn

c

dP

'

Los n-1, n-2, n-3,….3, 2,1 valores se calculan mediante la simple sustitución de los mismos que ya han sido obtenidos con anterioridad. A manera de ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones:

33324

423

14238

132842

16243

54321

54321

54321

54321

54321

PPPPP

PPPPP

PPPPP

PPPPP

PPPPP

3

4

14

13

16

31324

12311

23118

28412

11243

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P

x

La matriz ampliada del sistema anterior queda como sigue:

331324

412311

1423118

1328412

1611243

1260831520000

14679170000

498171700

2845710

412311

De esta manera los resultados se obtienen como se muestra a continuación:

14)4()1(2)2(2)3(

328)4(4)1(5)2(7

249)4(8)1(1717

1146)4(79170

43152

12608

11

22

33

44

55

PP

PP

PP

PP

PP

d) Método de Gauss-Jordan Se trata de un método útil y sencillo para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Es muy parecido al método de eliminación de Gauss visto con anterioridad, solo que aquí el aplicar las operaciones fundamentales en los reglones de la matriz ampliada es con el objeto de convertirlas en la matriz identidad “I”, a partir de la cujal se puede obtener la solución

directamente.



Características:

Método disponible más generalizado.

Método lento.

Requiere una gran cantidad de almacenamiento. Para una mejor comprensión se resolverá un ejemplo. Considérese el siguiente sistema de Ecuaciones:

321

31

321

62

000.100.100.000.0

000.200.000.100.0

001.300.000.000.1

5621

19508

4763

1958

4763

PPP

PP

PPP

000.1

000.2

001.3

3

2

1

P

P

P

El método de Gauss-Jordan no es un método de aproximaciones sucesivas, por lo tanto su solución debería ser exacta, pero no lo es debido a los errores que se presentan en el desarrollo del mismo. La solución del ejemplo resuelto con anterioridad es en realidad P1=3, P2=2, P3=1. Que difiere de los resultados obtenidos, debido a que al efectuar las operaciones se trabajó redondeando a tres cifras decimales, incurriéndose en un error de 0.01 en el valor de “P1”. Este problema se presenta al resolver sistemas de ecuaciones lineales en computadoras, ya que éstas tienen siempre un “límite” con respecto al número de dígitos en las constantes con las que se trabajan. Se puede demostrar que si selecciona como “pivote” el mayor elemento en valor absoluto en la matriz de coeficientes, se minimiza el error por redondeo. e) Método de la Descomposición Matricial Como mencionamos anteriormente, la matriz de coeficientes en problemas de simulación de reservorios son matrices banda, para pequeñas matrices banda, la solución directa por factorización es un método eficiente. Por ejemplo para modelos areales 2D, menos de 150 grids en ancho, la solución directa ó factorización usualmente será el método preferido. Este método implica la transformación de la matriz de coeficientes en otras matrices las cuales son por regla general más fáciles de operar, después utilizando estas matrices se obtiene la solución. La descomposición de la matriz de coeficientes puede hacerse en dos matrices triangulares superior e inferior. La descomposición es seguida por una sustitución hacia atrás la cual calcula la incógnita en dos pasos sucesivos de sustitución. El proceso de descomposición es como sigue:

Dado: dPxA

Entonces: UxLA



Donde:

nnnnn LLLL

LLL

LLL

LLL

LL

L

L

.................

0................................................

0..................

0..................

0.................

0...................0

0..................00

321

352515

342414

332313

2212

11

1........................000

................................................

................10000

...................1000

................100

...............10

..............1

5

4

334

22423

1141312

n

n

n

n

n

U

U

UU

UUU

UUUU

U

dPxUxL

Llamando al producto PxU

como vector “y”

yPxUydyxL

Como ejemplo resolveremos lo siguiente:

631

321

111

100

10

1

0

00

53

34

15

631

321

111

23

1312

333231

2221

11

3

2

1

U

UU

x

LLL

LL

L

P

P

P

631

321

111

332332133132123131

2322132122122121

1311121111

LULULLULL

ULULLULL

ULULL

121

211

111

333231

232221

131211

LLL

ULL

UUL

0

19

15

100

210

111

3

2

1

P

P

P

xdyxL

0

4

11

3

2

1

P

P

P



f) Método del Algoritmo de Thomas para sistemas tridiagonales 1-D Es un método basado en la eliminación gaussiana y reduce el consumo de memoria de la máquina ya que no almacena los elementos que son ceros. Este detalle es muy importante cando se trabaja con sistemas grandes de más de 1000 ecuaciones que normalmente se representan en los problemas de Ingeniería Química y problemas de simulación numérica. Básicamente consiste en dos etapas:

Etapa de triangulación (Eliminación)

Etapa de sustitución regresiva Características del método:

Variación del método de Gauss-Jordan

Muy exacto

Más rápido que el método standard

Matriz de estructura específica (Tridiagonal. Características de las Ecuaciones Tridiagonales

Cada ecuación contiene 3 variables desconocidas (La primera y la última ecuación contienen solo dos variables).

Las variables desconocidas son ordenadas de tal forma que para una ecuación dada, dos de las variables desconocidas ocurren con la ecuación previa y dos ocurren en la próxima ecuación.

La forma matricial Tridiagonal general es: Ejemplo: Para un sistema de 3 ecuaciones:

34323

2322212

12111

dPcPa

dPcPbPa

dPcPb

3

2

1

3

2

1

33

222

11

0

0

d

d

d

P

P

P

x

ba

cba

cb

Para un sistema de 4 ecuaciones:

44433

3433323

2322212

12111

dPbPa

dPcPbPa

dPcPbPa

dPcPb

4

3

2

1

4

3

2

1

44

333

222

11

00

0

0

00

d

d

d

d

P

P

P

P

x

ba

cba

cba

cb



Etapa de eliminación Si b1≠0, entonces elimina P1 solo de la 2º ecuación y se obtiene una nueva 2º ecuación.

1

122

'

22

'

2

1

122

'

2

'

23

'

22

'

2 ;;:b

daddcc

b

cabbcondPcPb

Si b2≠0 se elimina P2 solo en la 3º ecuación y así se obtiene una nueva 3º ecuación

'

2

23

3

'

33

'

3'

2

233

'

3

'

34

'

33

'

3 ;;:b

daddcc

b

cabbcondPcPb

En la última ecuación si b3≠0 se elimina P3 y se obtiene:

'

3

34

4

'

4'

3

344

'

4

'

44

'

4 ;:b

dadd

b

cabbcondPb

Etapa de sustitución regresiva Se procede a la sustitución regresiva calculando primero P4, luego P3 a continuación P2 y finalmente P1.

1

211

1'

2

3

'

2

'

2

2'

3

4

'

3

'

3

3'

4

'

4

4 ;;;b

PcdP

b

PcdP

b

PcdP

b

dP

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema Tridiagonal usando el algoritmo de Thomas.

4.362

1.2

3423

138

14

54

543

432

321

21

PP

PPP

PPP

PPP

PP

4.3

1.2

3

13

1

62000

11100

04230

00118

00014

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P

x

4.3

1.2

3

13

1

0

1

4

1

1

6

1

2

1

4

2

1

3

8

0

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

d

d

d

d

d

d

c

c

c

c

c

C

b

b

b

b

b

B

a

a

a

a

a

A



Etapa de Triangulación

114

)1)(8(13;1;1

4

)1)(8(1

1

122

'

22

'

2

1

12

2

'

2

b

daddcc

b

cabb

361

)11)(3(3;4;5

1

)1)(3(2

'

2

'

23

3

'

33

'

3'

2

233

'

3 b

daddcc

b

cabb

1.55

)36)(1(1.2;1;2.0

5

)4)(1(1

'

3

'

34

4

'

44

'

4'

3

344

'

4

b

daddcc

b

cabb

6.472.0

)1.5)(2(4.3;0;16

2.0

)1)(2(6

'

4

'

45

5

'

54

'

4'

4

45

5

'

5

b

daddcc

b

cabb

Etapa de Sustitución Regresiva

925.04

)7.4)(1(1

7.41

)7.15)(1(11;7.15

5

)625.10)(4(36

625.102.0

)975.2)(1(1.5;975.2

16

6.17

'

1

21

'

11

'

2

32

'

2

2'

3

43

'

3

3

'

4

54

'

44'

5

'

5

5

b

PcdP

b

PcdP

b

PcdP

b

PcdP

b

dP

En consecuencia el vector solución está dado por:

975.2

625.10

7.15

7.4

925.0

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P



Generalización del Sistema

Etapa de Triangulación

Si '

ib ≠0, se elimina Pi, solo en la ecuación (i+1) con lo que se obtiene como nueva ecuación

(i+1) lo siguiente:

'

12

'

11

'

1 iiiii dPcPb Para i= 1, 2, 3, 4…………. (n-1)

Con '

'

1

1

'

1

'

'

1

1

'

1 ;;i

ii

iiii

i

i

iib

daddcc

b

abb

Para la Etapa de la Sustitución Regresiva:

'

1

''

'

'

;i

iii

i

n

n

nb

PcdP

b

dP

Para i= (n-1), (n-2), (n-3)…………. 2, 1.

El sistema Tridiagonal BPxA

Puede ser escrito como:

iiiiiii DPCPBPA 11

Que se muestra en forma matricial del siguiente modo, para sistemas grandes es un procedimiento más adecuado que en esencia tiene la forma anteriormente descrita:

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

55

44

333

222

11

000

000

00

00

000

D

D

D

D

D

P

P

P

P

P

x

BA

BA

CBA

CBA

CB

Este Sistema puede ser triangulado de la siguiente forma: Para la etapa 1, según el algoritmo de Thomas usando la ecuación anterior: i=1

12111 DPCPB

La cual se resuelve para P1 como:

1

21

1

1

1B

PC

B

DP Haciendo cambio de variables:

1

11

1

1

1B

Dqy

B

Cr



Entonces: 2111 PrqP

Para la etapa 2 la ecuación básica combinada con la anterior permite obtener:

)(;)(

)()()(

)(

122

1222

122

22

3

122

2

122

1222123221222

232222112

2322212

rAB

qADq

rAB

Cr

PrAB

C

rAB

qADPqAPCDrABP

DPCPBPrqA

DPCPBPA

De forma general podemos definir:

1

1

1

1

;

iii

iii

i

iii

ii

iiii

rAB

qADq

rAB

Cr

PrqP

En la última etapa “n” la última ecuación se aísla a “Pn=qn”, resolviendo el sistema anterior utilizando el algoritmo de Thomas con:

4.3

1.2

3

13

1

0

1

4

1

1

6

1

2

1

4

2

1

3

8

0

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

d

d

d

d

d

d

c

c

c

c

c

C

b

b

b

b

b

B

a

a

a

a

a

A

Para la primera etapa: 25.04

1;25.0

4

1

1

1

1

1

1

1 B

Dq

B

Cr

Para la segunda etapa:

11)25.0)(8()1(

)25)(.8(13;1

)25.0)(8()1(

1

122

122

2

122

22

rAB

qADq

rAB

Cr

Para la tercera etapa:

2.7)1)(3()2(

)11)(3()3(;8.0

)1)(3()2(

4

233

233

3

233

33

rAB

qADq

rAB

Cr



Para la cuarta etapa:

5.25)8.0)(1()1(

)2.7()1()1.2(;5

)8.0)(1()1(

1

344

344

4

344

4

4

rAB

qADq

rAB

Cr

Para la quinta etapa:

975.2)5)(2()6(

)5.25()2()4.3(;0

)5)(2()6(

0

455

455

5

455

5

5

rAB

qADq

rAB

Cr

En la última etapa se aísla P5 como también q5, luego se calcula los valores de Pi sucesivas:

925.0)7.4)(251.0(25.0

7.4)7.15)(1(11

7.15)625.10)(8.0(2.7

625.10)975.2)(5(5.25

975.2

2111

3222

4333

5444

55

PrqP

PrqP

PrqP

PrqP

qP

975.2

625.10

7.15

7.4

925.0

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P



Ordenamiento en las matrices Para continuar el razonamiento será conveniente usar otra notación manejable corta. En la matriz de coeficientes la presencia de elementos diferentes de cero serán identificados por “x” si un elemento es cero, el espacio será dejado en blanco con esta notación.

comodorepresentaes

aa

aaa

aa

3332

232221

1211

0

0

xx

xxx

xx

Notaciones simplificadas también serán usadas para identificar los grid-blocks con el propósito de indicar el orden en el cual términos en las ecuaciones de presión para los grids, aparecen en la matriz de coeficientes. Un grid será identificado por un número simple y términos presentes en las ecuaciones serán identificados como números en los grid-blocks. Ordenamiento Standard Los grids en un modelo (Nx x Ny) (Nx blocks en cada fila y Ny blocks en cada columna) son numerados fila por fila en secuencia. Por ejemplo para un modelo (4 x 3) y (2 x 6) son numerados como se indica:

• 9

• 10

• 11

• 5

• 6

• 7

• 1

• 2

•

3

• 4

• 8

• 12

ORDENAMIENTO (4 X 3)



Con la notación simplificada de la Ecuación de la presión para el grid-block número 2 del modelo (4 x 3) será:

222322212 ePdPcPbPa

Donde la subscripción se refiere al número del grid block. La ecuación involucra solo 4 presiones debido a que el block 2 comunica solo con los blocks # 1,3 y 6. Las matrices coeficientes para estos dos modelos son indicados:

ORDENAMIENTO (2 X 6)

• 9

• 11

• 7

• 5

• 3

• 1

• 2

• 4

• 6

• 8

• 10

• 12



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 x x x 2 x x x x 3 x x x x 4 x x x 5 x x x x 6 x x x x x 7 x x x x x 8 x x x x 9 x x x 10 x x x x 11 x x x x 12 x x x Matriz Pentadiagonal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 x x x 2 x x x 3 x x x x 4 x x x x 5 x x x x 6 x x x x 7 x x x x 8 x x x x 9 x x x x 10 x x x x 11 x x x 12 x x x Matriz Triangular El # total de Ecs. Es Nx x Ny = 12 es el mismo para ambos modelos pero la distribución de términos en las matrices para los dos modelos difieren, la matriz coeficiente para el modelo (4x3) es una matriz banda de ancho nueve, pero el modelo (2x6) es una matriz banda de ancho cinco. El trabajo requerido para resolver un set de ecuaciones con matrices banda por el método de factorización discutido anteriormente es una función del ancho dela matriz así como del número de ecuaciones. Resolver el modelo (4x3) tomaría más del doble del trabajo que resolver el modelo (2x6).



Métodos Directos en prácticas de Simulación En años recientes ha habido mejoramientos en los métodos directos de aproximación para solucionar las ecuaciones de presiones. Estos métodos han desarrollado como resultado de los grandes adelantos en la tecnología escasa de matrices, que son usados en diseños de transmisión de poder e investigación de operaciones y otros campos relacionados. La confianza de estas nuevas aproximaciones es reordenar las matrices de tal forma minimizar el trabajo computacional realizado en los procesos de eliminación. Un algoritmo es luego diseñado para resolver el sistema tan eficientemente como sea posible operando solo sobre los elementos diferentes de cero de la matriz reordenada. Como resultado de estos métodos de reordenamiento y esquemas computacionales la velocidad incrementada de la ejecución ha hecho estos métodos competitivos para muchos problemas de reservorios que eran anteriormente demasiados grandes. 1) Ordenamiento Natural El primer esquema es el ordenamiento natural por fila para la eliminación Gauseana donde la numeración es a lo largo de la más corta dimensión, este ordenamiento es utilizado para minimizar el ancho de la banda por la aplicación de una rutina para resolver por banda. El trabajo involucrado el almacenamiento requerido es :

23 JxISJxIW

• 3

• 6

• 9

• 2

• 5

• 8

• 1

• 4

•

7

• 10

• 11

• 12



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 x x 2 x x x 3 x x x 4 x x x x 5 x x x x x 6 x x x x 7 x x x x 8 x x x x x 9 x x x x 10 x x x 11 x x x x 12 x x x

2) Ordenamiento Diagonal En este ordenamiento las celdas son numeradas consecutivamente a lo largo de diagonales comenzando con la más corta dimensión, este método agrupa las celdas por cuenta diagonal, cal por inspección se incrementa a medida que movemos de la parte inferior izquierda a través del dominio hasta la parte derecha superior. El trabajo y almacenamiento requerido está dado por la siguiente relación:

32

32

43 J

JxISJ

JxIW

• 4

• 7

• 10

• 2

• 5

• 8

• 1

• 3

•

6

• 9

• 11

• 12



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 x x x 2 x x x x 3 x x x x 4 x x x 5 x x x x x 6 x x x x 7 x x x x 8 x x x x x 9 x x x 10 x x x x 11 x x x x 12 x x x

Diagonal Número de elementos

Celdas

(1) 1 1 (2) 2 2,3 (3) 3 4,5,6 (4) 3 7,8,9 (5) 2 10,11 (6) 1 12

3) Ordenamiento Punto Alternante (Ordenamiento A3)

Este ordenamiento cíclico obtenido por la división de las celdas en dos grupos, círculos y cuadrados, luego numerando los puntos de tal forma que dos celdas similares no son consecutivamente numeradas. El trabajo involucrado en el esquema de ordenamiento cíclico es:

22

23 JxIS

JxIW

• 5

• 11

• 6

• 9

• 3

• 10

• 1

• 7

•

2

• 8

• 4

• 12



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x x x 2 x x x x 3 x x x x x 4 x x x x 5 x x x 6 x x x x 7 x x x x 8 x x x 9 x x x x k10 x x x x x 11 x x x x 12 x x x 4) Ordenamiento Diagonal Alternante (Ordenamiento D4). Este esquema ordena los puntos de las celdas sobre diagonales alternantes esto puede ser visto como una combinación de los puntos alternantes y ordenamiento diagonal. Ello ha producido la reducción más grande en trabajo de los métodos examinados. El trabajo involucrado está dado por la siguiente relación:

622

323 JJxIS

JxIW

• 2

• 9

• 5

• 7

• 3

• 10

• 1

• 8

•

4

• 11

• 6

• 12



La falta de elementos diferentes de cero en el cuadrante superior derecho de los dos últimos ordenamientos de la Ecuación facilita el uso de la eliminación Gauseana para remover todos los términos en el cuadrante inferior izquierdo, esta operación es convenientemente expresada en notación matricial, si las matrices son particionadas en las fronteras de los cuadrantes en cuatro blocks, cada uno de los cuales incluye todos los elementos del cuadrante esto representa:

2

1

2

1

2221

1211

2221

1211

q

q

P

P

BB

BB

BB

BB

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 B11 B12 3 4 5 6

7 8 9 10 B21 B22 11 12 Notar que el particionamiento no es una operación matemática es solo una notación conveniente manejable. El set de ecuaciones puede entonces ser expresado como:

2222121

1212111

qPBPB

qPBPB

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 x x x 2 x x x 3 x x x x 4 x x x x 5 x x x x 6 x x x x 7 x x x x 8 x x x x 9 x x x x 10 x x x x 11 x x x 12 x x x





En este ejemplo la eliminación gauseana sobre la matriz particionada es expresada en la misma manera como si la matriz represente dos simples ecuaciones, si eliminamos P1 en la primera ecuación el resultado en la segunda ecuación será:

'' 2222 qPB

Dónde:

1

1

112122

12

1

11212222

'

'

qBBqq

BBBBB

Solo una pequeña cantidad de trabajo es requerido en la forma B22’ debido a que B11 es una matriz diagonal y su inversa B11ˉ¹ es simplemente el reciproco de términos de la diagonal. Para completar la solución B22’xP2= q2’ por eliminación Gauseana (La mayor parte del trabajo se realizara en estas etapa) luego resolver para P1.



11.1.2. Métodos Indirectos en la Solución de Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Como se trato anteriormente la exactitud de un vector solución obtenido a través de los procesos directos depende de la precisión de la computadora utilizada en el estudio. Los errores de redondeo pueden acumularse y crecer incontrolablemente y pueden dominar la solución, especialmente en el caso de grandes conjuntos de ecuaciones lineales. Los métodos de solución iterativo no requieren almacenamiento de la matrix coeficiente “A” como los métodos de solución directo. En adición estos métodos no sufren de la acumulación de los errores de redondeo que ocurren durante los cálculos. En los métodos iterativos los grid-blocks son generalmente ordenados utilizando la secuencia del ordenamiento natural. El proceso de solución iterativo implica un cálculo sistemático de una aproximación, la cual es mejor en cada iteración. El proceso involucra la selección de un grupo inicial de valores desconocidos generalmente llamado vector inicial, este vector es operado para producir una mejor aproximación. Para un criterio de convergencia el error en cada paso se reduce y el nuevo valor de la incógnita “Pn” que se obtiene se aproxima a la solución correcta “P* “ a medida que se sigue iterando. Una tarea importante cuando un solucionador de ecuaciones iterativo es usado, es establecer el criterio de convergencia para el problema dado. Una prueba de convergencia chequea la diferencia entre las soluciones obtenidas en dos niveles de iteración sucesiva. Para terminar el proceso, el criterio de convergencia es establecido y las iteraciones se paran cuando este criterio es encontrado.

P

Pⁿ

P*

∞ n



Dentro de los métodos Iterativos más importantes se tienen:

Método de Jacobi (Para problemas 1D)

Método de Gauss Siedel (Para problemas 1D)

Método PSOR (Point Succesive Over-Relaxation) Sobre relajación sucesiva en una punto (Para problemas 1D)

Método LSOR (Line succesive Over-Relaxation) sobre relajación sucesiva en línea. (Para problemas 2D-3D)

Método ADIP (Alternating Direction Implicit Procedured) Procedimiento implícito de dirección alternante. (Para problemas 2D-3D)

Método SIP ( Strongly Implicit Procedure) Procedimiento fuertemente Implícito. a) Método de Jacobi Si tenemos la siguiente ecuación:

i

n

ii

n

ii

n

ii ePcPbPa

1

1

11

1

Para un sistema de grid -blocks donde el modelo es 1-D: Grid Ecuación

1 12111 ePcPb

2 2322212 ePcPbPa

3 3433323 ePcPbPa

4 4544434 ePcPbPa

5 5655545 ePcPbPa

6 66656 ePbPa

De

1 )(1

)(1

211

1

1

1211

1

1

kk Pceb

PPceb

P

2 )(1

)(1

32122

2

1

232122

2

2

kkk PcPaeb

PPcPaeb

P

• 1

• 2

•

3

• 4

• 5

• 6



3 )(1

)(1

43233

3

1

343233

3

3

kkk PcPaeb

PPcPaeb

P

4 )(1

)(1

54344

4

1

454344

4

4

kkk PcPaeb

PPcPaeb

P

5 )(1

)(1

65455

5

1

565455

5

5

kkk PcPaeb

PPcPaeb

P

6 )(1

)(1

566

6

1

6566

6

6

kk Paeb

PPaeb

P

66

555

444

333

222

11

0000

000

000

000

000

0000

ba

cba

cba

cba

cba

cb

Ejemplo: Se presenta un sistema de grid-blocks 1D con los siguientes datos en un reservorio Isotrópico y homogéneo.

K= 0.1 md ; µ= 1.3 cp ; Ct = 1510 psi ; Ø=0.3; ∆x=100 pies; ∆t=10 días; Pi = 1,500 psi;

h=100’ pies; Qo= 50 STBD

)2()](1

[)2( 11

1

1

11

1

iiiib

n

i

n

i

n

i

n

i DDDQQTx

PPPP Ec grid intermedios

)2()](1

[)1( 1

1

1

1

iiib

n

i

n

i

n

i DDQQTx

PPP

Ec para el primer grid.

)2()](1

[)1( 1

11

1

iiib

n

i

n

i

n

i DDQQTx

PPP Ec. Para el último grid.

00722.0)2.1()3.1(100

)10)(10(127.15.7

)238.6()10(641.25

)2.1(100

238.6

1 4422

TxB

t

x o

64.25)10()3.0(3.1

0001.05

Ct

k



11250)1500(5.75.8 21 PP

112505.9 321 PPP

79.4324)00722.0

5011250(5.9 432 PPP

112505.9 543 PPP

112505.9 654 PPP

112505.8 65 PP

)11250(5.8

12

1

1

kk PP

)11250(5.9

131

1

2

kkk PPP

)8.4324(5.9

142

1

3

kkk PPP

)11250(5.9

153

1

4

kkk PPP

)11250(5.9

164

1

5

kkk PPP

)11250(5.8

15

1

6

kk PP

# Iteración P1 P2 P3 P4 P5 P6

0 0 0 0 0 0 0

1 1323.5294 1184.2105 455.2421 1184.2105 1184.2105 1323.5294

2 1462.8482 1371.4496 704.5495 1356.7844 1448.1831 1462.8482

3 1484.8764 1482.5576 742.4246 1410.8139 1481.0139 1493.9038

4 1497.9479 1418.6632 759.8075 1418.2566 1489.9702 1497.7663

5 1490.4309 1421.8689 753.8652 1421.0292 1491.1603 1498.8200

6 1490.8081 1420.4522 754.4945 1420.529 1491.5630 1498.9600

7 1490.6414 1420.5581 754.2927 1420.6376 1491.5251 1499.0074

8 1490.6538 1420.5193 754.3153 1420.6124 1491.5415 1499.0029

9 1490.6493 1420.5230 754.3086 1420.6165 1491.5384 1499.004

10 1490.6497 1420.5218 754.3094 1420.6154 1491.539 1499.0045

11 1490.6496 1420.5220 754.3091 1420.6156 1491.5389 1499.0045

12 1490.6496 1420.5219 754.3092 1420.6155 1491.5389 1499.0045

b) Método de Gauss- Siedel Este método es prácticamente idéntico al de Jacobi, la única diferencia consiste en que el método de Gauss-Siedel se acelera cuando existe la convergencia a la solución debido a que

una vez que calcula el componente 1k

iP , la utiliza inmediatamente en la misma iteración.



Grid Ecuación

1 12111 ePcPb

2 2322212 ePcPbPa

3 3433323 ePcPbPa

4 4544434 ePcPbPa

5 5655545 ePcPbPa

6 66656 ePbPa

1 )(1

)(1

211

1

1

1211

1

1

kk Pceb

PPceb

P

2 )(1

)(1

32

1

122

2

1

232122

2

2

kkk PcPaeb

PPcPaeb

P

3 )(1

)(1

43

1

233

3

1

343233

3

3

kkk PcPaeb

PPcPaeb

P

4 )(1

)(1

54

1

344

4

1

454344

4

4

kkk PcPaeb

PPcPaeb

P

5 )(1

)(1

65

1

455

5

1

565455

5

5

kkk PcPaeb

PPcPaeb

P

6 )(1

)(1 1

566

6

1

6566

6

6

kk Paeb

PPaeb

P

Ejemplo:

)11250(5.8

12

1

1

kk PP

)11250(5.9

13

1

1

1

2

kkk PPP

)8.4324(5.9

14

1

2

1

3

kkk PPP

)11250(5.9

15

1

3

1

4

kkk PPP

)11250(5.9

16

1

4

1

5

kkk PPP

)11250(5.8

1 1

5

1

6

kk PP



# Iteración P1 P2 P3 P4 P5 P6

0 0 0 0 0 0 0

1 1323.5294 1323.5294 594.5609 1246.7958 1315.4521 1478.2884

2 1479.2387 1402.5052 734.1158 1399.9545 1487.1834 1498.4921

3 1488.5300 1418.1732 751.8871 1419.9021 1491.4099 1498.9894

4 1490.3733 1420.2379 754.2042 1420.5909 1491.5347 1499.004

5 1490.6162 1420.5074 754.3050 1420.6147 1491.5388 1499.004

6 1490.6479 1420.5213 754.3090 1420.6155 1491.5389 1499.0045

7 1490.6495 1420.5219 754.3092 1420.6155 1491.5389 1499.0045

8 1490.6496 1420.5219 754.3092 1420.6155 1491.5389 1499.0045

Método de sobre-relajación (PSOR) Se trata de un método que acelera la obtención de la solución con respecto a los métodos iterativos visto anteriormente, vale decir la velocidad de convergencia es acelerada con el objetivo de reducir el número de iteraciones requeridas para una solución, en este método el

nuevo valor de 1k

iP se obtiene con parte de la nueva iteración y con parte de la anterior, para

ello se introduce el término de “Parámetro de relajación ω “ cuya presencia acelera el proceso de convergencia. Donde 1 < ω < 2 . El parámetro de sobre-relajación tiene un óptimo valor que es llamado el parámetro óptimo de sobre-relajación “ωop”. El uso de este óptimo valor mejora la convergencia de este método que es dos veces la velocidad de convergencia que el método de Gauss-Siedel. El parámetro óptimo de sobre-relajación es estimado utilizando la siguiente relación:

GS

OP

11

2

k

MAX

k

i

k

i

K

MAX

k

i

k

i

MAX

k

i

MAX

k

i

GSPP

PP

d

d

1

111

Donde ρGS es el radio espectral.

Grid Ecuación

1 12111 ePcPb

2 2322212 ePcPbPa

3 3433323 ePcPbPa

4 4544434 ePcPbPa

5 5655545 ePcPbPa

6 66656 ePbPa

Despejando:

112505.9 21 PP

112505.9 321 PPP

79.43245.9 432 PPP

112505.9 543 PPP



112505.9 65 PP

kkk PwPceb

wPPce

bP 1211

1

1

1211

1

1 )1()()(1

1

kkkk PwPcPaeb

wPPcPae

bP 232

1

122

2

1

232122

2

2 )1()()(1

2

kkkk PwPcPaeb

PPcPaeb

P 343

1

233

3

1

343233

3

3 )1()(1

)(1

3

kkkk PwPcPaeb

PPcPaeb

P 454

1

344

4

1

454344

4

4 )1()(1

)(1

4

kkkk PwPcPaeb

PPcPaeb

P 565

1

455

5

1

565455

5

5 )1()(1

)(1

5

kkk PwPaeb

PPaeb

P 6

1

566

6

1

6566

6

6 )1()(1

)(1

6

kkk PwPw

P 12

1

1 )1()11250(5.8

kkkk PwPPw

P 23

1

1

1

2 )1()11250(5.9

kkkk PwPPw

P 34

1

2

1

3 )1()8.4324(5.9

kkkk PwPPw

P 45

1

3

1

4 )1()11250(5.9

kkkk PwPPw

P 56

1

4

1

5 )1()11250(5.9

kkk PwPw

P 6

1

5

1

6 )1()11250(5.8

# It

w P1 P2 P3 P4 P5 P6 ρGS

0 - 0 0 0 0 0 0

1 1 1323.5294 1323.5294 594.5609 1246.7958 1315.4521 1478.2884

2 1 1479.2387 1402.5052 734.1158 1399.9545 1487.1834 1498.4921 0.11616

3 1.03086 1488.8167 1418.6878 752.4913 1420.5833 1491.6142 1499.0295 0.12012

4 1.03198 1490.4889 1420.3657 754.3468 1420.6288 1491.6042 1499.0117 0.08994

5 1.02355 1490.6346 1420.5280 754.3104 1420.6224 1491.5389 1499.0044 0.08746

6 1.02287 1490.648 1420.5236 754.3101 1420.6155 1491.5389 1499.0045 1.000

7 1.02153 1490.6641 1420.5236 754.3093 1420.6156 1491.5389 1499.0045



# Iter d1 d2 d3 d4 d5 d6 dMAX

0 0 0 0 0 0 0

1 1323.5294 1323.5294 594.5609 1246.7958 1315.4521 1478.2884 1478.2884

2 155.7093 78.9758 139.5549 153.1587 171.7313 20.2037 171.7313

3 9.578 16.1826 18.3755 20.6288 4.4308 0.5374 20.6288

4 1.6722 1.6779 1.8555 0.0455 -0.01 -0.0178 1.8555

5 0.1457 0.1623 -0.0364 0.0064 -0.0653 -0.0073 0.1623

6 0.0134 -0.0044 -0.003 -0.0069 0.000 0.0001 0.0134

7 0.0161 0.0000 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0161

Método ADIP El método es básicamente un proceso de dos etapas que involucra dos ecuaciones diferentes más que el único usualmente utilizado para un nivel de tiempo. El nivel de tiempo del reservorio es dividido en dos sub-niveles de tiempo iguales. Durante el primer sub-nivel de tiempo el grupo de celdas es barrido en la dirección “x” por cada fila resolviendo para las presiones desconocidas. En el segundo sub-nivel de tiempo el sistema es barrido en la dirección “y” por cada columna resolviendo para las presiones desconocidas.

1

,,

1

,

,,

,

2

1,

,

1

2

1,

1

,

1

1,

1

2

1,

1

,1

1

,

1

,2

1

1

,

1

,1

1

,2

1 )()()()()(

n

ji

n

ji

n

ji

tjiji

jib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jiPP

t

CVQQPPTyPPTyPPTxPPTx

Linealizando la Ecuación de flujo para dos dimensiones:

ji

n

ji

n

ji

tjiji

jib

n

ji

n

jiji

n

ji

n

jiji

n

ji

n

jiji

n

ji

n

jiji

PPt

CVQQPPTyPPTyPPTxPPTx ,,

1

,

,,

,

2

1,

,

2

1,

1

,

1

1,

2

1,

1

,1

1

,,

2

1

1

,

1

,1,

2

1)()()()()(

Si hacemos:

jiji

aTx ,,

2

1

jiji

eTy ,

2

1,

jiji

cTx ,,

2

1

jiji

dTy ,

2

1,

jijijijijiji

jijit

jijijijibfedca

t

VCTyTyTxTx ,,,,,,

,,

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1 )()615.5

(

ji

jijitf

t

VC,

,,

615.5

Además

jijijib

n

ji

jijitgQQP

t

VC,,,,

,,)(

615.5



a i- 1, j

)()()()( 1,,

2

1,

,1,

2

1,

,1,,

2

1,,1,

2

1,

jijiji

jijiji

jijiji

jijijï

ji DDTyDDTyDDTxDDTx

Para un reservorio isotrópico y homogéneo en 2D la ec. General será: Si desarrollamos la ecuación en dos dimensiones: Si j hacemos Δx = Δy

ojijijiji Bx

AkTxyTyTyTxTx

1

2

1,

2

1,,

2

1,

2

1


jiib

n

ji

jijitn

ji

n

ji

n

ji

jijitn

ji

n

ji QQTxy

TxyP

t

VC

Txy

TxyPTxyPTxyP

t

VC

TxyTxyPTxyPTxy ,,

,,1

1,

1

,1

1

,

,,1

,1

1

1, )(615.5

)615.5

14(

Si hacemos: 238.6

1 2

oB

t

x

jiib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jiTxy

QQTxy

PPPPPP ,,

1

1,

1

,1

1

,

1

,1

1

1,

1)(

1)4(

Ecuación para el barrido horizontal por cada grid en la dirección “x”.

jiib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jiTxy

QQTxy

PPPPPP ,,1,2

1

,12

1

,2

1

,11,

1)(

1)4(

jiib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jiTxy

QQTxy

PPPPPP ,,1,1,2

1

,12

1

,2

1

,1

1)(

1)4(

d i, j +1

b i, j

c i+ 1, j

e i, j-1

Termino asumido conocido previo Time Step nivel “n”

Termino asumido conocido Time Step nivel “n”



a i- 1, j

Realizando un barrido en la dirección “y”:

jiib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jiTxy

QQTxy

PPPPPP ,,

1

1,2

1

,1

1

,2

1

,1

1

1,

1)(

1)4(

jiib

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

ji

n

jiTxy

QQTxy

PPPPPP ,,2

1

,12

1

,1

1

1,

1

,

1

1,

1)(

1)4(

Ec. General para los grid blocks que se encuentran fuera de la frontera, desarrollando la ecuación para un sistema de 6 grids blocks: Realizando un barrido en la dirección “X” se generan las siguientes ecuaciones:

• 1

• 2

•

3

• 4

• 5

• 6

d i, j +1

b i, j

c i+ 1, j

e i, j-1

Termino asumido conocido recién calculado time Step nivel “n+½ ”

Termino asumido conocido recién calculado time Step nivel “n+½”



Grid Ecuación

1 nn

nn

PPPP 142

1

12

1

2 )2(

2

X

nnnnn

T

qPPPPP 2

252

1

12

1

22

1

3 )3(

3 nn

nn

PPPP 362

1

22

1

3)2(

4 nn

nn

PPPP 412

1

42

1

5 )2(

5 nn

nnn

PPPPP 522

1

42

1

52

1

6 )3(

6 nn

nn

PPPP 632

1

52

1

6)2(

Reagrupando términos: Grid Ecuación

1 nn

nn

PPPP 412

1

12

1

2 )2(

2 n

X

nnnn

PT

qPPPP 5

22

2

1

12

1

22

1

3 )3(

3 nn

nn

PPPP 632

1

22

1

3)2(

4 nn

nn

PPPP 142

1

42

1

5 )2(

5 nn

nnn

PPPPP 252

1

42

1

52

1

6 )3(

6 nn

nn

PPPP 362

1

52

1

6)2(

Reemplazando términos: Grid Ecuación

1 750,125.9 12 PP

2 79.324,45.10 123 PPP

3 750,125.9 23 PP

4 750,125.9 45 PP

5 750,125.10 456 PPP

6 750,125.9 56 PP



Utilizando el método de sobre-relajación:

kkk PwPw

P 12

1

1 )1()12750(5.9

kkkk PwPPP 23

1

1

1

2 )1()79.4324(5.10

1

kkk PwPw

P 3

1

2

1

3 )1()750,12(5.9

kkk PwPw

P 45

1

4 )1()750,12(5.9

kkkk PwPPw

P 56

1

4

1

5 )1()750,12(5.9

kkk PwPw

P 6

1

5

1

6 )1()750,12(5.9

# It

w P1 P2 P3 P4 P5 P6 ρGS

0 - 0 0 0 0 0 0

1 1 1342.10 539.7038 1398.9161 1342.1 1342.1 1483.379

2 1 1388.9161 678.3449 1413.5099 1483.3789 1496.834 1499.6667 0.1106

3 1.0292 1414.228 681.2763 1413.8275 1500.142 1500.0736 1500.0177 0.10833

4 1.0286 1413.8893 681.1886 1413.8088 1500.0039 1500.00 1499.999 0.0202

5 1.0051 1413.8089 681.1816 1413.8085 1499.9999 1499.9999 1500.00 0.02373

6 1.0209 1413.8085 681.1816 1413.8085 1499.9999 1500.00 1500.00

# Iter d1 d2 d3 d4 d5 d6 dMAX

0 0 0 0 0 0 0

1 1342.1 539.7038 1398.9161 1342.1 1342.1 1483.379 1398.9161

2 46.8161 138.6411 14.5938 141.2789 154.734 16.2877 154.734

3 25.3119 2.9314 0.3176 16.7631 3.8296 0.351 16.7631

4 0.3387 0.0877 0.0187 0.1381 0.0736 0.0179 0.3387

5 0.0804 7E-3 -3E-4 -4E-3 1E-4 1E-4 0.0804

6 -4E-4 0.00 0.00 0.00 0.001 0.000

Donde GS

w

11

2



Realizando un barrido en la dirección “Y” se generan las siguientes ecuaciones: Grid Ecuación

1 n

nnn PPPP 1

2

1

2

1

1

1

4 )2(

4 nn

nn PPPP 4

1

12

1

5

1

4)2(

2

Y

nn

nn

n

T

qPPPPP 2

22

1

3

1

22

1

1

1

5 )3(

5 nn

nn

n

PPPPP 5

1

22

1

6

1

52

1

4 )3(

3 n

nnn PPPP 3

2

1

2

1

3

1

6 )2(

6 nnn

n

PPPP 6

1

3

1

62

1

5 )2(

Reagrupando términos y reemplazando se establecen las siguientes ecuaciones: Grid Ecuación

1 1816.931,111816.68115005.75.9 14 xPP

4 750,121500500,15.75.9 14 xPP

2 5093.71522077.69258085.14138085.1413500,15.75.10 25 xPP

5 9999.1499500,15.75.10 25 xPP

3 1816.681500,15.75.9 36 xPP

6 750,125.9 36 PP

• 1

• 2

•

3

• 4

• 5

• 6



Resolviendo directamente tenemos los siguientes resultados: P1= 1412.8428 psi P4= 1490.8255 psi P2= 817.8516 psi P5= 1435.0334 psi P3= 1412.8428 psi P6= 1490.25 psi Métodos Directos vs Métodos Indirectos En los métodos directos convencionales, la eliminación Gauseana o descomposición matricial (Lx U) por ejemplo el requerimiento de memoria y el tiempo de cómputo aumentan drásticamente en la medida que aumenta el número de ecuaciones, por esta razón los métodos directos son generalmente preferidos cuando el número de ecuaciones no es muy grande. ¿Qué es grande y que es pequeño? Es una pregunta difícil de contestar. Con el desarrollo de las denominadas supercomputadoras el calificativo puede ser demasiado objetivo, lo que antes era un sistema grande puede ahora considerársele un sistema pequeño. Es también indudable que con el desarrollo de los métodos de matrices dispersas y de técnicas especiales de ordenamiento, los métodos directos tienen ahora un mayor potencial de aplicación, el tamaño delos sistemas de ecuaciones que puede resolverse eficientemente mediante estos métodos es cada vez mayor y lo seguirá haciendo en la medida en que los sistemas de computo sean más poderosos. Una desventaja de los métodos iterativos es la falta de metodología para el cálculo de los parámetros de iteración óptimos. Los métodos existentes para el cálculo de estos parámetros han sido desarrollados bajo una serie de simplificaciones. En algunas situaciones los parámetros teóricos no solo no resuelven eficientemente el problema sino que provocan problemas de convergencia en el método.



Modelamiento de Flujo Multifásico en Reservorios de Petróleo En los primeros capítulos se presentó los procedimientos utilizados en el desarrollo del simulador de diferencias finitas. Como lo indica el diagrama que muestra estos procedimientos para sistemas de flujo Multifásico, en este capítulo tratará estos procedimientos como se aplican a problemas de flujo Multifásico. En el proceso de formulación la ecuación de continuidad (Ec. De balance de materia diferencial), una ecuación de estado (matemática descripción del comportamiento del flujo de fluido con la temperatura/volumen/presión PVT) y la ecuación de transporte (Ley de Darcy) fueron combinados para desarrollar una ecuación diferencial parcial (EDP) que describe el flujo de una simple fase a través del medio poroso. Cuando estas ecuaciones se aplican son aplicadas para problemas de flujo Multifásico un sistema de EDP es generado con cada ecuación para cada componente hidrocarburo y una para la fase agua. Estas EDP son acopladas una con otras por ecuaciones adicionales restrictivas y relaciones de presión capilar. Se estudió la aplicación del proceso de discretización a la ecuación de flujo de una sola gase. Para sistemas de flujo Multifásico el procedimiento de discretización espacial es usado para convertir los operadores diferenciales continuos a ecuaciones algebraicas. Para una simple fase la variable “λ” en el operador diferencial es definida como la movilidad efectiva y la variable dependiente es la presión. El proceso de discretización resulta en un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales, se presentó varios métodos de Linealización de los términos no lineales, términos dependientes de la presión en la ecuación de flujo de una simple fase. Estos métodos son el tratamiento explicito, el tratamiento de la simple iteración y el tratamiento totalmente implícito de los términos de la transmisibilidad. En este capítulo se presenta como estos métodos son aplicados a situaciones de flujo Multifásico y presentamos métodos adicionales que pueden ser usados para linealizar los términos dependientes de la saturación en sistemas de flujo Multifásico. En sistemas de flujo multifásico se trata con ecuaciones múltiples en múltiples variables desconocidas para cada grid-block, se puede formular la ecuación final en varias formas dependiendo sobre cuál de las variables desconocidas son resueltas directamente de las ecuaciones de flujo (términos principales) y cuales son resultas de las ecuaciones adicionales restrictivas. Una vez formulado varios métodos de solución pueden ser usados para generar los coeficientes de la matriz. Estos son los métodos de Solución Simultánea (SS), Método de solución implica en la presión y explicita en la saturación (IMPES) y el método de solución Secuencial (SEQ).



Finalmente la representación de pozos en simulación de reservorios es complicada en la presencia de producción multifase. En un flujo de simple fase las dos posibles especificaciones de pozo son presión en el fondo y el rate de producción e inyección. Para sistemas de flujo Multifásico hay muchos más posibles especificaciones, estos incluyen presión en el fondo del pozo, rate de inyección y producción de petróleo/gas/agua, rate de producción de líquidos y rate de vaciamiento del pozo (condiciones de reservorio) Este capítulo presenta las bases del modelamiento de un reservorio Black-oil. En este contexto se presenta los conceptos necesarios de ingeniería para flujo Multifásico en medio poroso, seguido por la derivación de la ecuación de flujo para cualquier componente en el sistema en un reservorio 1D rectangular. Entonces utilizando la terminología CVFD, se presenta la ecuación general de flujo en un sistema Multifásico y multidimensional que aplica a los grid-blocks interiores y de frontera del reservorio. Desde estos componentes de la ecuación de flujo, los modelos básicos de flujo de dos fases petróleo/agua, petróleo/gas y gas/agua y los tres componentes petróleo/gas /agua son derivados. Los términos de acumulación en las ecuaciones de flujo son expresados en términos de cambios en las variables desconocidas en los grid-blocks sobre un intervalo de tiempo. Se presentan las ecuaciones para la fase con rates de inyección y producción desde los pozos de simples grid y multigrid operando a diferentes condiciones. El tratamiento de las condiciones de frontera es presentado y discutido en detalle. Los Métodos de Linealización de los términos no lineales en flujo Multifásico son presentados. Método IMPES El objetivo del método IMPES es obtener una simple ecuación de la presión para cada grid-block combinando todas las ecuaciones de flujo para eliminar los valores de saturación desconocidos. Para alcanzar esto, las presiones capilares y las transmisibilidades tienen que ser evaluadas explícitamente (Al nivel de tiempo “n”) ó al nivel de iteración anterior “ʋ”. Se usa el tratamiento explicito, consecuentemente el método IMPES es usado solo cuando los cambios de saturación cambian lentamente de un intervalo de tiempo al siguiente. La ecuación de la presión es escrito para cada grid-block (celda) desde i= 1, 2, 3, 4….n y el resultante grupo de ecuaciones es resuelto directamente ó iterativamente para la distribución de presión de la fase petróleo. El segundo paso en el método IMPES involucra la solución explicita para los valores de saturación desconocidas sustituyendo las presiones al nivel de tiempo “n+1” en la ecuación apropiada de flujo para los grid-block individuales. Aunque la función “fp” en la transmisibilidad puede ser tratado implícitamente este tiene una débil no-linealidad y por consiguiente su evaluación explicita no causa problemas de estabilidad severos.



De las ecuaciones generales de flujo tenemos los siguientes:

o

oo

oXo

B

S

tq

xx

* …….. (1)

W

WW

WXW

B

S

tq

xx

* ……. (2)

Multiplicando por Volumen Bruto del elemento infinitesimal a ambos lados:

o

oo

oXo

B

S

tViq

xxVi

]*[

Reemplazando por su igualdad por diferencias finitas

QoPoPoTxoPoPoTxoqxx

Vi n

i

n

ii

n

i

n

ii

oo

Xo

)()(]*[ 1

1

1

2

1

11

1

2

1

O

On

i

n

ii

n

i

n

ii B

SViQoPoPoTxoPoPoTxo

)()( 1

1

1

2

1

11

1

2

1 …… (3)

Desarrollaremos la expresión:

O

O

B

SVi

…….. (4)

t

Sw

t

SoSoSw

1 ………………. (5)

De (4)

t

BoSot

So

BoB

S

O

O

)(

………………….. (6)

De (6) y la Ecuación (7.39)

]

)1

(

[)( 1

t

Po

P

Bo

t

Po

Bo

CrSo

t

SS

BoB

S n

w

n

w

O

O

……….. (7)

t

Po

Po

Bo

Bo

CrSo

t

SS

BoB

S n

w

n

w

O

O

]

)1

(

[)( 1

…………….. (8)



n

i

n

i

i

ii

n

w

n

w

O

O PoPoP

Bo

Bo

Cr

t

SwVi

t

SS

BoVi

B

SVi

11

](

)1

(

[)1()(

…….(9)

Si hacemos )(1Dia

STB

tBoViC

i

i

…... (10) y

)(

)1

()1( 1

2

psix

Dia

STB

Po

Bo

Bo

Cr

t

SwViC

i

ii …… (11)

Reemplazando (11) y (10) en (9)

n

i

n

i

nn

i

n

i

n

O

O PoPoCSwSwCB

SVi

1

2

1

1 )(

…………..(12)

Ec (12) en (3)

)()()()( 1

2

1

1

1

1

1

2

1

11

1

2

1

n

i

n

i

nn

i

n

i

nn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPoPoCSwSwCQoPoPoTxoPoPoTxo

…(13)

De la Ecuación (2)

W

WW

WXW

B

S

tViq

xxVi

]*[ ……..(14)

W

Wn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i B

SViQwPwPwTxwPwPwTxw

)()( 1

1

1

2

1

11

1

2

1 …. (14A)

t

BwSwt

Sw

BwB

S

W

W

)(

…………….. (15)

De (15)

t

Pw

Pw

Bw

t

Bw

)()(

………………. (16)



t

Pc

t

Po

t

PwPcPoPwPwPoPc WO

WOWO

………(17)

Reemplazando (17) en (15)

t

Pc

t

Po

Pw

Bw

Bw

CrSw

t

SwSw

BwB

S WOi

n

i

n

i

n

i

W

W

)1

()( 1

…….. (18)

Operando:

t

Sw

Sw

Pc

Pw

Bw

Bw

CrSw

t

Po

Pw

Bw

Bw

CrSw

t

SwSw

BwB

S WOi

n

ii

n

i

n

i

n

i

W

W

)1

()1

()( 1

Si hacemos )(

)1

(1

3

psixDía

STB

Pw

Bw

Bw

Cr

t

SwViC i

n

i …….. (20) y

)(34Día

STBC

Sw

Pc

tBwViC WO

i

i

……. (21)

)(

)1

(

)(

)1

()( 11

1n

i

n

iWOi

n

in

i

n

ii

n

i

n

i

n

i SwSwSw

Pc

Pw

Bw

Bw

Cr

t

SwViPoPo

Pw

Bw

Bw

Cr

t

SwVi

t

SwSw

BwVi

Factorizando )( 1 n

i

n

i SwSw

y reemplazando C3 y C4 en la Ecuación resultará:

LHSSw

Pc

Pw

Bw

Bw

Cr

t

SwVi

tBwViSwSwPoPoC

WO

i

i

n

iin

i

n

i

n

i

n

i

n

_11

3

1

)()(

….(22)

LHSSw

PcC

tBwViSwSwPoPoC

WOnin

i

n

i

n

i

n

i

n

_

3

11

3 )()(

………(23)

De (23) en (19)



)()( 1

4

1

3

n

i

n

i

nn

i

n

i

n

W

W SwSwCPoPoCB

SVi

……. (24)

Reemplazando en (14 A):

)()()()( 1

4

1

3

1

1

1

2

1

11

1

2

1

n

i

n

i

nn

i

n

i

nn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iSwSwCPoPoCQwPwPwTxwPwPwTxw

..(25)

Sabemos que WOWO PcPoPwPwPoPc (26)

n

i

n

i

nn

i

n

i

nn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iSwSwCPoPoCQwPcPcPoPoTxwPcPcPPoTxw

1

4

1

131

1

1

1

2

11

11

1

2

1 )]()[()]()[( ..(27)

De la Ec (27) y (13) aparece la Swi en el lado derecho de las dos ecuaciones los cuales deben ser combinados para eliminar este término para obtener la Ecuación en términos de Poi

)()()()( 1

2

1

1

1

1

1

2

1

11

1

2

1

n

i

n

i

nn

i

n

i

nn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iPoPoCSwSwCQoPoPoTxoPoPoTxo

….(13)

Operando Algebraicamente y haciendo n

n

iC

C

4

1

Multiplicamos por “αi” a la Ecuación (27) para eliminar el termino de las saturaciones de agua y

sumamos las ecuaciones (13) mas (27).

LHSQwQoPcPcTxwPcPcTxwPoPoTxwTxoPoPoTxwTxo iii

n

iiii

n

ii

n

i

n

i

n

ii

n

i

n

i

n

i

n

ii

n

i

1

2

11

2

1

1

1

1

2

1

2

1

11

1

2

1

2

1

RHSPoPoCC n

i

n

i

n

i

n 1

32

Realizando operaciones algebraicas en la Ecuación anterior resultará la ecuación de la presión:

iiiiiii dPocPobPoa 11

n

ii

n

ii TxwTxoa

2

1

2

1

nn

i

n

ii

nn

i

n

ii CTxwTxwCTxoTxob 3

2

1

2

12

2

1

2

1

n

ii

n

ii TxwTxoc

2

1

2

1

)()()()( 1

2

11

2

132

n

i

n

i

n

ii

n

i

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

i PcPcTxwPcPcTxwQwQoPoCCd



Despejando de la Ecuación (13) la saturación de Agua 1n

iSw resultará:

)()()(1 1

2

1

1

1

2

1

11

1

2

1

1

1 n

i

n

i

nn

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i PoPoCQoPoPoTxoPoPoTxoC

SwSw

Donde la Transmisibilidad es igual a:

2

1

2

12

1

1

ii

L

n

iKro

BooxGTxo

2

1

2

12

1

1

ii

L

n

iKrw

BwwxGTxw

x

AxKxGL

127.1

Curso de Simulación UNP

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