Curso General de Física Nuclear y de...
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Cuadernos de Física de la Escuela Politécnica Nacional Edy Ayala A. Curso General de Física Nuclear y de Partículas
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Cuadernos de Física
de la Escuela Politécnica Nacional
Edy Ayala A.
Curso General de Física Nuclear y de
Partículas
Cuaderno de Física No. 1Curso General de Física Nuclear y de Partículas
Edy Ayala A.
Responsable de la Edición: Sandra GutiérrezAsistentes: Jonathan Quirola
Registro de derecho autoral No.ISBN:
Publicado por la Unidad de Publicaciones de la Facultad de Ciencias de la EscuelaPolitécnica Nacional, Ladrón de Guevara E11-253, Quito, Ecuador.
Primera edición: 2013Primera impresión: 2013
c© Escuela Politécnica Nacional 2012
Índice general
1 Introducción 31.1 Reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Situación actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Simetrías y leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 El núcleo atómico 112.1 Propiedades de los núcleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Familia de Núcleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Tamaño nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Dispersión de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Sección eficaz de Mott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.3 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.4 Sistema centro de masa y laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.5 Variables relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.6 Probabilidad de transición por unidad de tiempo (segunda regla
de oro de Fermi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.7 La distribución de la carga nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.8 La distribución de la materia nuclear . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Energía de enlace nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1 Inestabilidad nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 El núcleo atómico como sistema cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.1 Niveles nucleares de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.2 Momento angular nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.3 Paridad (π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.4 La paridad nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5.5 Isospin (T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.6 Momento dipolar magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.7 Momento cuadrupolar eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Fuerza entre nucleones 453.1 Sistema de dos nucleones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Deuterón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.2 Dispersión nucleón-nucleón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.3 Teoría general de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.4 Interacción neutrón-protón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
iii
iv Índice general
3.1.5 Interacción protón-protón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.6 Interacción neutrón-neutrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Propiedades de la fuerza nuclear y potenciales fenomenológicos . . . . 693.2.1 Potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2 Dependencia en el spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.3 Contribución no central (o tensorial) . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.4 Simetría e independencia de carga . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.5 Repulsión a distancias cortas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.6 Dependencia en la velocidad relativa entre nucleones . . . . . . 733.2.7 Modelo de fuerza de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Sistemas de tres nucleones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Modelos nucleares 834.1 Modelo de la gota líquida y fórmula semi-empírica de masas . . . . . . 83
4.1.1 Energía de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.2 Energía superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.3 Energía de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.4 Energía de asimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.5 Energía de paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Modelo gas de Fermi (de nucleones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Modelo de capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.1 Evidencia experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3.2 Modelo de capas de partícula simple . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.3 Momento dipolar magnético del núcleo . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.4 Momentos multipolares electromagnéticos . . . . . . . . . . . . 1044.3.5 Nucleones de valencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Modelo colectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.4.1 Núcleos Zpar-Npar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.4.2 Vibraciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.4.3 Rotaciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.4.4 Modelos unificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Reacciones nucleares 1255.1 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Decaimientos radiactivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.1 Ley del decaimiento radiactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2.2 Ley exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3 Filiación radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.3.1 Equilibrio secular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.3.2 Equilibrio transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3.3 Caso de no equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4 Series radiactivas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.5 Activación neutrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.6 Fuentes de neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.7 Decaimiento alfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.7.1 Modelo Barrera de Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Índice general v
5.7.2 Barrera de potencial cuadrada y arbitraria . . . . . . . . . . . . 1415.7.3 Constante de desintegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.7.4 Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.8 Decaimiento beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.8.1 Beta negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.8.2 Beta positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.8.3 Captura electrónica (CE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.8.4 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.8.5 Tiempo de vida media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.8.6 Clasificaciones de las transiciones beta . . . . . . . . . . . . . . 1585.8.7 Modelo de captura electrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.8.8 La no conservación de la paridad en el decaimiento beta . . . . 1645.8.9 Decaimiento β doble o ββ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.9 Decaimiento Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.9.1 Emisión de un foton gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.9.2 Conversión Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.9.3 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.9.4 Reglas de Selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.9.5 Isomerismo Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.9.6 Mezclas multipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.9.7 Conversión Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.10 Absorción Resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.10.1 Proceso de retroceso nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.10.2 Ensanchamiento Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.10.3 Efecto Mössbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.10.4 Experimento (arreglo experimental) . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.11 Interacciones Hiperfinas en el efecto Mössbauer . . . . . . . . . . . . . 1915.11.1 Desplazamiento isomérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.11.2 Interacción Cuadrupolar Eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.11.3 Interacción Dipolar Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.11.4 Efecto Doppler de Segundo Orden. . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares 1976.1 Consideraciones generales (Repaso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.1.1 Umbral energético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2 Características generales de secciones eficaces de reacción . . . . . . . 1996.3 Tendencias de las secciones eficaces para distintos tipos de reacciones
nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.3.1 Sección eficaz para dispersiones elásticas de neutrones . . . . . 2006.3.2 Sección eficaz característica para reacciones exotérmicas indu-
cidas por neutrones de baja energía . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.3.3 Sección eficaz característica para dispersión inelástica neutrónica2016.3.4 Sección eficaz característica para reacciones endotérmicas indu-
cidas por neutrones que llevan a la emisión de partículas cargadas202
vi Índice general
6.3.5 Sección eficaz para reacciones exotérmicas que involucran par-tículas incidentes cargadas y partículas salientes no cargadas . . 203
6.3.6 Sección eficaz característica para reacciones exotérmicas conpartículas incidentes y salientes cargadas . . . . . . . . . . . . . 203
6.4 Reacciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.5 Secciones eficaces de dispersión y reacción . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.5.1 Modelo Óptico nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.6 Reacciones Resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.6.1 Anomalías de resonancia en funciones de excitación . . . . . . . 2116.6.2 Fórmula de Breit - Wigner. (B-W) . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.7 Fisión nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.7.1 Teoría de reactores nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.7.2 El ciclo del neutrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.7.3 Teoría de transporte de neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.7.4 Modelo mono-energético de un reactor nuclear . . . . . . . . . . 2306.7.5 Sistemas de generación nuclear de potencia . . . . . . . . . . . 231
6.8 Fusión Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.8.1 Reacciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.8.2 Características generales de la fusión . . . . . . . . . . . . . . . 2336.8.3 Reactores de fusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7 Introducción a la Física de Partículas Elementales 2397.1 Introducción histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.2 Modelo estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.3 Interacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.3.1 Propiedades generales de las interacciones . . . . . . . . . . . . 2437.4 Probabilidad de transición por unidad de tiempo (segunda regla de oro
de Fermi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447.5 Anti-partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.5.1 Evidencia experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2507.6 Propiedades de las partículas, números cuánticos y leyes de conservación254
7.6.1 Número Bariónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2557.6.2 Números Leptónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.6.3 Extrañeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.7 Sobre las leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.8 Momento Angular e Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.8.1 Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.9 Paridad, Conjugación de Carga e Inversión temporal . . . . . . . . . . 269
7.9.1 Paridad (P) = imagen especular = simetría izquierda-derecha . 2697.9.2 Conjugación de Carga (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.9.3 Paridad G (conjugación G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.9.4 Inversión temporal (T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.10 Los kaones neutros y la violación de la simetría CP . . . . . . . . . . . 2737.11 La interacción débil y las leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . 2767.12 La interacción fuerte y el modelo de quarks de Gell-Mann . . . . . . . 278
Índice general vii
7.12.1 Relación de Gell Mann Nishijima . . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.13 El charmonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.14 Interacción débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
7.14.1 Interacción débil para leptones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2927.14.2 Interacción débil para quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
7.15 Quiralidad (chiriality) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2997.16 Sobre los neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.16.1 Oscilaciones de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3007.17 Polarización del vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8 Introducción informal a la electrodinámica cuántica 3058.1 Probabilidad de transición por unidad de tiempo . . . . . . . . . . . . 3058.2 Partículas con spin cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.3 Partículas con spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3128.4 Renormalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.4.1 Correcciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3178.4.2 El desplazamiento de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9 Campos 3239.1 Transformaciones propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3259.2 Teoría clásica de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.2.1 Ecuación de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3289.2.2 Conservación de la energía-cantidad de movimiento . . . . . . . 3299.2.3 Conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . 3309.2.4 Conservación de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.3 Teoría Cuántica de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3379.3.1 Método para determinar las reglas de Feynman . . . . . . . . . 3379.3.2 Las líneas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3389.3.3 Propagadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3389.3.4 Vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9.4 Teorías Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.4.1 Teoría de Yang Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3419.4.2 Mecanismo de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.5 La Teoría Electro-débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.5.1 La Cromodinámica Cuántica QCD . . . . . . . . . . . . . . . . 354
9.6 Más allá del Modelo Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Índice de figuras
1.1 Ladrillos fundamentales de la materia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Curva de estabilidad de los elementos estables presentes en la naturaleza. 112.2 Colisión de una partícula en un potencial central. . . . . . . . . . . . . 142.3 Esquema de la interacción de dos partículas. . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Colisión en el Sistema centro de masa y de laboratorio. . . . . . . . . . 192.5 Dispersión de una partícula y la definición del invariante t. . . . . . . . 212.6 Distribuciones de densidad de carga y los correspondientes factores de
forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 Distribución de carga nuclear de varios núcleos atómicos. . . . . . . . . 272.8 Energía de enlace por nucleón en función del número másico. . . . . . 312.9 Triplete isospínico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.10 Suma de momentos angulares y momentos dipolares magnéticos. . . . 382.11 Distribución de carga eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.12 Esquema de elipsoide de revolución prolato y oblato. . . . . . . . . . . 42
3.1 Esquema del deuterón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Pozo de potencial que representa la interacción de nucleones en el Deu-
terón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Función u(r) para el sistema Deuteron, caso ℓ = 0. . . . . . . . . . . . 503.4 Efecto del potencial en el desfase de la función de onda. . . . . . . . . 553.5 Representación de la dispersión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6 Sección eficaz de colisión n− p a bajas energías. . . . . . . . . . . . . . 593.7 Esquema del Para- y Orto-Hidrógeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.8 El signo de la longitud de dispersión indica si hay o no estado ligado
en el sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.9 Colisión entre partículas idénticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.10 Sección eficaz diferencial p− p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.11 Dependencia del ángulo δ0 como función de la energía . . . . . . . . . 683.12 Una pequeña variación de la función de onda produce una diferencia
razonable en el valor de la longitud de dispersión . . . . . . . . . . . . 713.13 Cambio de signo de δ0 al incrementarse la energía. . . . . . . . . . . . 723.14 Representación de colisiones que producen polarización del haz disper-
sado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
ix
x Índice de figuras
3.15 Representación de colisiones que producen polarización del haz disper-sado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.16 Dispersión nucleón nucleón por potencial spin-órbita. . . . . . . . . . . 753.17 Resultados experimentales de polarización. . . . . . . . . . . . . . . . . 753.18 Sección eficaz diferencial n− p a energías intermedias. . . . . . . . . . 763.19 Dispersión rasante de nucleones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.20 Esquema de interacción de intercambio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.21 Esquema de interacción de intercambio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1 Se muestra el papel de cada uno de los términos de corrección en lafórmula semi-empírica de masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Comportamiento de una familia de isóbaros (A impar) en el decaimien-to beta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Comportamiento de una familia de isóbaros (A par) en el decaimientobeta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Gas de Fermi de neutrones y protones en sus correspondientes pozosde potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 Energía de ionización de los elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6 Evidencia de la estructura de capas y los números mágicos. . . . . . . 944.7 Sección eficaz de absorción de neutrones. Se evidencia la estructura de
capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.8 Esquema de transiciones o colisiones permitidas y prohibidas por el
principio de exclusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.9 Esquema de varios potenciales que podrán usarse para representar la
interacción nuclear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.10 Funciones esféricas de Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.11 Esquema de niveles de energía para diferentes potenciales. . . . . . . . 1004.12 Esquema de niveles y llenado de protones y neutrones según el modelo
de capa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.13 Gráficas de Schuler-Schmidt (sólidas) para núcleo Z impar N par. . . . 1034.14 Gráficas de Schuler-Schmidt (sólidas) para núcleo Z par N impar. . . . 1044.15 Esquema de elipsoide de revolución prolato y oblato. . . . . . . . . . . 1064.16 Diagrama de estados excitados y el modelo de capas. . . . . . . . . . . 1094.17 Niveles excitados del Ca41 y Ca43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.18 Últimos niveles del Sn130. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.19 Últimos niveles del Sn130. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.20 Evidencias experimentales de la presencia de las propiedades colectivas
de los núcleos atómicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.21 Evidencias experimentales de la presencia de las propiedades colectivas
de los núcleos atómicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.22 Evidencias experimentales de la presencia de las propiedades colectivas
de los núcleos atómicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.23 Evidencias experimentales de la presencia de las propiedades colectivas
de los núcleos atómicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.24 Energía potencial del núcleo en función de la deformación. . . . . . . . 116
Índice de figuras xi
4.25 Vibración nuclear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.26 Modos normales de oscilación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.27 Estructura de niveles vibracionales nucleares. . . . . . . . . . . . . . . 1194.28 Núcleo prolato en rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.29 Estructura de niveles rotacionales de Hf180. . . . . . . . . . . . . . . . 1224.30 Niveles de Nilsson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1 Esquema de una reacción nuclear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Ley exponencial del decaimiento radiactivo. . . . . . . . . . . . . . . . 1315.3 Esquema de la desintegración de padre a hijo y a nieto. . . . . . . . . . 1315.4 Esquilibrio secular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.5 Equilibrio transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.6 Situación de no-equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.7 Diferentes decaimientos de un mismo núcleo padre. . . . . . . . . . . . 1345.8 Evolución del número de átomos activados mediante irradiación. . . . 1365.9 Esquema decaimiento alfa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.10 Diagrama de decaimiento alfa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.11 Pozo de potencial donde se encuentra confinada las partículas α. . . . 1415.12 Esquema del efecto túnel en: a) barrera rectangular, b) barrera arbitraria.1425.13 Bi-212 con sus decaimientos α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.14 Esquema decaimiento beta negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.15 Diagrama de decaimiento beta negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.16 Esquema decaimiento beta positivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.17 Diagrama de decaminiento beta positivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.18 Esquema del decamiento beta: captura electrónica. . . . . . . . . . . . 1505.19 Diagrama de decaimiento de captura electrónica. . . . . . . . . . . . . 1515.20 Diagrama de decaimiento del Cu-64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.21 Analogía entre fluorescencia y emisión beta. . . . . . . . . . . . . . . . 1525.22 Efecto del factor de Coulomb en el decaimiento beta. . . . . . . . . . . 1565.23 Representación de la gráfica de Kurie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.24 Efecto de la masa del neutrino en el espectro beta. . . . . . . . . . . . 1575.25 Espectro de neutrinos del decaimiento beta positivo y los de captura
electrónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.26 Operación de Paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.27 Violación de la paridad del decaimiento beta. . . . . . . . . . . . . . . 1645.28 Resultados experimentales del experimento de Wu y col. . . . . . . . . 1655.29 Posible decaimiento doble beta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.30 Forma alternativa de producción de decaimiento doble beta. . . . . . . 1665.31 Esquema del decaimiento Gamma: emisión de fotones. . . . . . . . . . 1685.32 Diagrama de decaimiento gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.33 Esquema del decaimiento gamma: emisión de un electrón de conversión
interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.34 Diagrama de decaimiento conversión interna. . . . . . . . . . . . . . . 1695.35 Esquema de decaimiento del Co-60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.36 Esquema de la distribución de carga y punto de observación. . . . . . . 171
xii Índice de figuras
5.37 Paridad de los momentos dipolares eléctricos y magnéticos. . . . . . . 1775.38 Diagrama de dos decaimientos gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.39 Espectro de electrones de conversión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.40 Esquema del proceso de absorción resonante . . . . . . . . . . . . . . . 1845.41 Líneas de emisión y absorción con sus correspondientes anchos natu-
rales y de Doppler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.42 Emisión de un gamma desde un núcleo en movimiento. . . . . . . . . . 1865.43 Aumento de la absorción resonante cuando se disminuye la tempera-
tura de la fuente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.44 Decaimiento gamma entre dos niveles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.45 Perfil de línea en forma de Lorenztiana. Ensanchamiento natural. . . . 1895.46 Diagrama de desintegración del Cobalto 57. . . . . . . . . . . . . . . . 1895.47 TRS transductor. CP contador proporcional. PA pre-amplificador. AMP
amplificador. HV fuente de alto voltaje. MCA analizador multicanal. . 1905.48 Pico típico de absorción resonante. El ancho no es 2Γ sino que conten-
drá un ensanchamiento Doppler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.49 Niveles energéticos de la fuente y absorbedor. . . . . . . . . . . . . . . 1925.50 Representación esquemática de la emisión de dos niveles y la absorción
en interacción cuadrupolar eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.51 Espectro Mössbauer con interacción cuadrupolar eléctrica. . . . . . . . 1945.52 Representación esquemática de la emisión de dos niveles y la absorción
en interacción dipolar magnética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.53 Espectro Mössbauer con interacción dipolar magnética. . . . . . . . . . 195
6.1 Colisión entre dos partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2 Colisión entre dos partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.3 Esquema de la tendencia de la sección eficaz. . . . . . . . . . . . . . . 2016.4 Esquema de la tendencia de la sección eficaz. . . . . . . . . . . . . . . 2016.5 Esquema de la tendencia de la sección eficaz. . . . . . . . . . . . . . . 2026.6 Esquema de la tendencia de la sección eficaz. . . . . . . . . . . . . . . 2026.7 Esquema de la tendencia de la sección eficaz. . . . . . . . . . . . . . . 2036.8 Esquema de la tendencia de la sección eficaz. . . . . . . . . . . . . . . 2046.9 Pico de resonancia en la sección eficaz del Indio natural (In115 95.8%). 2116.10 Esquema de un núcleo como un pozo y una barrera. . . . . . . . . . . 2166.11 Núcleos unidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.12 Energías de activación necesarias para la fisión inducida. . . . . . . . . 2186.13 Deformación del núcleo antes de la fisión. . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.14 Tiempos de vida media de fisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.15 Distribución de masa de los fragmentos de la fisión del U236 . . . . . . 2206.16 Esquema de un reactor nuclear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.17 Esquema del ciclo del neutrón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.18 Dependencia de la energía de la sección eficaz de fisión de uranio. . . . 2246.19 Dependencia de la población de neutrones en el factor k. . . . . . . . . 2256.20 Secciones eficaces de fusión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.21 Valores medios de σv para la fusión termonuclear. . . . . . . . . . . . . 236
Índice de figuras xiii
6.22 Potencia de pérdida por bremsstrahlung y potencia de salida de lasreacciones de fusión (densidad de iones 1021 por m3). . . . . . . . . . . 237
7.1 Esquema de los ladrillos fundamentales de la naturaleza según el mode-lo estándar e interacciones. La primera columna señala la carga eléctri-ca de las partículas. Las interacciones entre ellas las median partículasvirtuales de spin uno llamados bosones de interacción. . . . . . . . . . 241
7.2 Esquemas gráficos de las soluciones de la ecuación de Dirac con energíapositiva y negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.3 Diagrama en una cámara de burbujas de la huella de la aniquilacióndel anti-protón, y la posterior aniquilación del anti-neutrón. . . . . . . 251
7.4 Diagramas de Feynman para las interacción electromagnética electrón-electrón, e interacción fuerte protón-protón. . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.5 Diagrama de Feynman para la aniquilación positrónica. . . . . . . . . 2527.6 Diagrama que representa la simetría cruzada. . . . . . . . . . . . . . . 2527.7 Diferentes diagramas de Feynman de orden superior. . . . . . . . . . . 2537.8 Rotación espacial de un sistema cuántico. . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.9 Tres sabores de quarks y sus correspondientes extrañezas y componen-
tes z del isospin. El octeto de mesones que forman. . . . . . . . . . . . 2797.11 Decuplete de bariones (s = 3/2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2807.10 Octetos de mesones (s = 0) y bariones (s = 1/2). . . . . . . . . . . . . 2807.12 Decuplete de bariones (s = 3/2) en composición de quarks. . . . . . . . 2817.13 Mesones en SU(4) de quarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817.14 Bariones en SU(4) de quarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2827.15 Representación mediante diagrama de Feynman de la interacción de
dos quarks mediante el intercambio de de un gluón virtual . . . . . . 2847.16 Interacción que lleva al confinamiento de color y la libertad asintótica.
Interacción rango cero o de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.17 Esquema energético de los estados del Charmonium. . . . . . . . . . . 2867.18 Decaimiento del meson φ en dos kaones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.19 Decaimiento del mesón φ en tres piones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2877.20 Decaimiento del mesón J/ψ en tres piones. . . . . . . . . . . . . . . . . 2877.21 Generación de jets de hadrones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.22 Diagrama de Feynman representando el decaimiento beta del neutrón
sin partícula virtual de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2907.23 Diagrama de Feynman representando la interacción débil (cargada) de
dos leptones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2927.24 Diagrama de Feynman representando el proceso µ− + νe → e− + νµ. . 2927.25 Diagrama de Feynman representando el decaimiento del muón. . . . . 2927.26 Diagrama de Feynman representando la interacción débil no cargada. . 2937.27 Diagrama de Feynman representando el proceso: νµ + e→ νµ + e. . . . 2937.28 Diagrama de Feynman representandola dispersión e − e mediante in-
teracción electromagnética y débil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2937.29 Diagrama de Feynman representando la interacción débil cargada entre
quarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
xiv Índice de figuras
7.30 Diagrama de Feynman del decaimiento beta del neutrón. . . . . . . . . 2947.31 Diagrama de Feynman del decaimiento de pión. . . . . . . . . . . . . . 2947.32 Diagrama de Feynman n+ νe → p+ e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2957.33 Diagrama de Feynman del decaimiento (débil) de la partícula neutra
delta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2957.34 Diagrama de Feynman del decaimiento (fuerte) de la partícula neutra
delta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2957.35 Diagrama de Feynman de interacción débil no cargada entre quarks. . 2967.36 Diagrama de Feynman de la dispersión de un neutrino con un protón. 2967.37 Diagrama de Feynman del decaimiento (débil) de la partícula neutra
lambda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2977.38 Interacción débil entre quarks de diferente generación. . . . . . . . . . 2977.39 Diagrama de Feynman del decaimiento (débil) de la partícula Omega. 2977.40 Corriente débil neutra de hadrones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2987.41 Definición de partículas izquierdas y derechas. . . . . . . . . . . . . . . 2997.42 Rama de decaimiento a considerar en caso de oscilación de neutrinos . 3027.43 Diagrama de Feynman de los acoplamientos débiles de Ws y Z. . . . . 3027.44 Diagrama de Feynman de los acoplamientos electromagnéticos de Ws
y Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3037.45 Diagrama de Feynman de los acoplamientos fuerte entre gluones. . . . 3037.46 Diagramas de Feynman mostrando la Polarización del vacío. . . . . . . 3047.47 Vértices entre gluones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.1 Esquema de dispersión en el espacio-tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . 3078.2 Dispersión de una partícula cargada por un campo electromagnético. . 3088.3 Interacción electromagnética entre dos partículas cargadas. . . . . . . . 3098.4 Diagramas de Feynman para un campo escalar complejo. . . . . . . . . 3108.5 Diagramas equivalentes para la dispersión de partículas idénticas. . . . 3118.6 Dispersión partícula de Dirac con campo electromagnético. . . . . . . . 3148.7 Diagramas de Feynman para un campo de Dirac. . . . . . . . . . . . . 3148.8 Dispersión electromagnética electrón-muón. . . . . . . . . . . . . . . . 3158.9 Interacción electromagnetica de una partícula con una carga estática . 3168.10 Corrección de segundo orden en el propagador de la interacción elec-
tromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3178.11 Otros diagramas de orden α2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3198.12 Corrección de vértice de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3208.13 Correcciones de segundo orden en las líneas de campo. . . . . . . . . . 3208.14 Re-normalización de la carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.1 Reglas de Feynman de las lineas externas. . . . . . . . . . . . . . . . . 3389.2 Vértice de la electrodinámica cuántica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.3 Representación del potencial del nuevo campo. . . . . . . . . . . . . . 3439.4 Vértices del nuevo campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3449.5 Representación del potencial de campo complejo. . . . . . . . . . . . . 3449.6 Vértices de los dos nuevos campos introducidos. . . . . . . . . . . . . . 3459.7 Posible diagrama con boson de Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Índice de figuras xv
9.8 Definición del ángulo de mezcla θω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3519.9 Dispersión electrón-muón a través de un campo de Higgs. . . . . . . . 354
PREFACIO
Este es un libro de texto fue desarrollado a partir de los apuntes de la ma-teria de Física Nuclear y de Partículas, dictada en la carrera de Física dela Escuela Politécnica Nacional. Aún cuando el material expuesto es muyamplio, el curso puede organizarse de tal manera que cubra los tópicos deinterés del curso. La profundidad con que se estudie cada tema dependede los objetivos del curso y algunos capítulos pueden ser omitidos o vistossuperficialmente.
El estudio de la física nuclear se desarrolla a partir de los primeros expe-rimentos que llevaron al descubrimiento del núcleo atómico y sus propie-dades. Considerado el núcleo como un sistema de protones y neutrones(nucleones) se estudia, desde el punto de vista fenomenológico, la fuerzaque los mantiene unidos en un volumen tan pequeño como el nuclear, laspropiedades que presenta esta interacción entre nucleones y se postula unpotencial que tome en cuenta dichas propiedades. Se revisan los modelosnucleares colectivos como individuales que explican una serie de propie-dades observadas de los núcleos atómicos; modelos tales como de la gotalíquida, colectivo; el modelo de gas de Fermi y capas de partícula simple.
Se estudian también las reacciones nucleares, iniciando con las que pre-sentan decaimiento espontáneo, es decir, la radiactividad su ley generalde decaimiento, filiación radiactiva, ramas de decaimiento y la producciónde radio-isótopos a tasa constante. Se estudia además los tipos de decai-miento: alfa, beta y gamma y sus correspondientes modelos. Se abarcaligeramente la absorción resonante nuclear y el efecto Mössbauer. Se reto-ma las reacciones nucleares con el estudio de las tendencias de seccioneseficaces de reacciones específicas. Se estudia la teoría de la dispersión y dereacción desde el punto de vista de aproximación de las ondas parcialespara terminar en las reacciones resonantes.
Por otra parte, la física de partículas elementales empieza con un estudiofenomenológico, a partir de las observaciones. Se estudian las caracterís-ticas de las interacciones electromagnética, débil y fuerte. Se discuten losnúmeros cuánticos asociados a las partículas tales como, número barióni-co, leptónico, extrañeza, isospin, definidos de la observación o no de ciertasreacciones entre partículas, introduciendo un estudio mecánico cuánticode las simetrías y leyes de conservación. Se define las características ge-nerales de la interacción débil y de la interacción fuerte. Se introducela descripción de procesos entre las partícula a través de los diagramasde Feynman. A continuación se realiza un estudio informal de la electro-dinámica cuántica con el fin de obtener las reglas de Feynman para laobtención de secciones eficaces de procesos al menos en diagramas deFeynman de primero orden.
1
Por último se hace una introducción informal de la teoría de campos y conella una introducción de las teorías Gauge, introduciendo el mecanismode Higgs para aplicarlo en el modelo Electro-débil. Con lo que se abarcauna visión general de la física de partículas.
Edy Ayala A.EPN-2017
Capítulo 1
Introducción
La física nuclear trata sobre el estudio del núcleo atómico, su estructura y sus pro-piedades. El desarrollo de un modelo físico para el núcleo atómico se ha basado prin-cipalmente en la vasta evidencia experimental. Los resultados experimentales no hanpermitido que se elabore una única teoría sino más bien diferentes modelos (o aproxi-maciones), cada uno de los cuales describen varios conjuntos de datos experimentalespor separado.
El desarrollo de nuevas técnicas experimentales en las dos últimas décadas hadado un nuevo impulso a la física nuclear, no solo mejorando el conocimiento sobre elnúcleo atómico; sino llevando a cambios en la concepción de este sistema fundamental.
1.1 Reseña histórica
Desde el comienzo de la civilización, la humanidad se ha preocupado en tratar decontestar preguntas sobre su origen ó el origen del universo; una muy frecuente es,por ejemplo: ¿Cómo está constituido el universo y cuales son las leyes que lo rigen?
Empédocles 500 AC propuso que todo se encontraba compuesto de cuatro ele-mentos básicos: Aire, Agua, Tierra, Fuego. Tal vez lo más importante de este modelofue el intento de explicar el por qué esas substancias se combinan como lo hacen (esdecir su interacción). Empédocles propuso dos clases de fuerzas: repulsivas y atracti-vas. Esta idea fue aceptada por Aristóteles lo que la hizo perdurar por mucho tiempo(hasta el siglo XIX DC). Los atomistas griegos en esa época planteaban la divisiónde la materia hasta llegar a un trozo indivisible (llamado átomo). Dalton recogió estaidea y en 1808 propuso la existencia de átomos para explicar las proporciones en queintervienen los elementos componentes en una reacción química.
Se llegó a conocer las leyes del enlace químico cambiando el esquema anterioren: 92 elementos naturales (clasificados por Mendelejev) y las interacciones: eléctrica,magnética, gravitatoria y de cohesión y enlace. J. C. Maxwell llevó a cabo la primeraunificación, demostró que tanto las fuerzas eléctricas y magnéticas son manifestacio-nes de un mismo tipo de interacción. Por otra parte, se llegó a demostrar que la fuerzade cohesión no era más que residuos de la fuerza electromagnética.
3
4 Introducción
El nacimiento de la física nuclear parece remontarse a finales del siglo XIX cuan-do aparecieron los primeros trabajos sobre radiactividad de Bequerel (1896) y losCurie, conjuntamente con el descubrimiento del electrón por Thomson (1897); perofue precisamente el descubrimiento de los electrones lo que motivó al desarrollo demodelos de la materia (modelo de Thomson 1904) y no fue sino hasta 1911 cuandoRutherford, en base con sus experimentos de dispersión de partículas alfa sobre lá-minas delgadas de oro, propuso un modelo atómico formado por un núcleo masivo(donde además se concentra la carga positiva) rodeado de una nube electrónica (conigual carga pero del signo opuesto). Sin embargo, pese a sus contradicciones con lateoría electromagnética clásica, este modelo se mantuvo con la ayuda de las hipótesiso postulados adicionales introducidos por Bohr (vieja teoría cuántica), que elimina-ban las contradicciones antes mencionada mediante una proposición. Por otra parte,Rutherford, mediante el estudio de las reacciones N14(α, p)O17, observó la emisión deprotones por lo que propuso que los protones deben ser componentes nucleares, intro-duciendo una nueva interacción que a distancias nucleares superaba en intensidad ala repulsión coulómbica entre los protones (interacción fuerte). En 1913 J.J. Thomson(Aston 1919) descubrió que la masa del núcleo no estaba determinada únicamentepor su carga. Había varias masas correspondiendo a la misma carga (descubrimientode isótopos).
Los métodos químicos mostraron que la masa de los átomos se aproximaba a unnúmero entero veces la masa del hidrógeno, es decir,
M ≈ entero ×MH
a este número entero se lo denominó número másico A, y era mayor a las unidadesde carga eléctrica Z del elemento.
En realidad, ésto hizo plausible la primera hipótesis sobre la estructura nuclear.Se propuso un núcleo formado por: A protones (para justificar la masa) y (A−Z)electrones (para justificar la carga eléctrica). Sin embargo, la estabilidad de es-te modelo no se justificaba por la excesiva energía que debían tener los electronesdentro del volumen nuclear, energía estimada mediante el principio de incertidum-bre de Heisenberg en aproximadamente 20 MeV. En este modelo, el deuterio debíaestar formado por dos protones y un electrón, es decir, por tres partículas de spin1/2, lo que indicaría que el spin compuesto de dicho núcleo debería ser semi-entero.Experimentalmente se encuentra que dicho núcleo tiene un spin entero e igual a 1.Por otra parte, la presencia de un número de electrones dentro del núcleo implicaríamomentos magnéticos nucleares del orden de los magnetones de Bohr, sin embargoexperimentalmente se miden momentos magnéticos nucleares del orden 2000 vecesmás pequeños.
No fue sino hasta 1932 cuando Chadwick, mediante colisiones de partículas alfacon Berilo, descubrió el neutrón, partícula con masa muy próxima a la del átomo deHidrógeno y sin carga eléctrica (el neutrón en estado libre decae mediante emisiónbeta negativa con un tiempo de vida media de aproximadamente 870 segundos). Estedescubrimiento llevó a postular el modelo de núcleo atómico que se maneja hasta la
1.2 Situación actual 5
fecha, es decir, el formado por:
Z protones y (A−Z) = N neutrones
Estos protones y neutrones están enlazados formando el núcleo atómico mediante lainteracción fuerte, que a distancias nucleares (10−13 − 10−12 cm) prevalece a la repul-sión electrostática entre protones, y a distancias mayores a las nucleares (distanciasatómicas) se desvanece completamente. Como se mencionó, la masa tanto de los pro-tones como de los neutrones son aproximadamente 1840 veces mayores que la masadel electrón. Cuando los protones y los neutrones forman el núcleo atómico tomanel nombre de nucleones. Aunque inicialmente se pensó que los protones y neutroneseran partículas elementales, es decir, bloques elementales de la materia sin estructurainterna. Sus propiedades anómalas y datos experimentales iban evidenciando que setrataban de sistemas compuestos.
En la década de los 50, cuando se empezó a construir los aceleradores de partículasy en base a los resultados obtenidos en experimentos de dispersión, fue notoria una es-tructura interna para los nucleones. Estos elementos constitutivos fueron inicialmentellamados “partones” y posteriormente serían conocidos como quarks. La interacciónque liga a los quarks y les mantiene confinados formando los nucleones (en general loshadrones) es la interacción fuerte. Esta interacción fuerte entre quarks, de acuerdocon teoría cuántica de campos, es mediada por partículas virtuales llamadas gluonesy la teoría que describe esta interacción se le conoce como Cromo-dinámica Cuántica.
El siguiente esquema muestra los componentes fundamentales de la materia:
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bc
bcbc
bcbc
bc
bc bc
bcbc
bc bc bc
bc
bcbcbc
bc
Átomo Núcleo Nucleón
Electrones Quarks
Figura 1.1: Ladrillos fundamentales de la materia.
En este curso se estudia el modelo de núcleo atómico constituido por nucleones(protones y neutrones) interaccionando entre ellos. Esta es una buena aproximaciónpuesto que las energías cinética y potencial de los nucleones dentro del núcleo son unorden de magnitud menor a aquella energía que se requiere para excitar los quarks queconforman un nucleón individual (300 MeV). Un modelo del núcleo atómico basado enla teoría estándar de partículas elementales, es decir núcleos como sistemas de quarksy gluones es demasiado complicado hasta para describir las propiedades básicas delnúcleo atómico.
1.2 Situación actual
La física de partículas, hoy en día, esta descrita por el Modelo Estándar. Este modeloclasifica a las partículas elementales en dos grandes familias: los leptones y los quarks.
6 Introducción
Cada familia esta formada por tres pares (generaciones) de partículas.Tanto los leptones como los quarks son partículas de spin 1/2, es decir, son fer-
miones1.
Tabla 1.1: Familia de leptones y quarks.
Leptones Quarks
Tipo o SaborMasaGeV/c2
Cargaeléctrica
Tipo oSabor
Masa a
GeV/c2Carga
eléctricaElectrón e 0.000511 -1 Up u 0.003 2/3
Neutrino νe < 7× 10−9 0 Down d 0.005 −1/3Muón µ 0.106 -1 Charm c 1.3 2/3
Neutrino νµ < 0,0003 0 Strange s 0.1 −1/3Tao τ 1.7771 -1 Top t 172 2/3
Neutrino ντ < 0,03 0 Bottom b 4.7 −1/3aNote que las masas de los quarks u y d son pequeñas en comparación a la del nucleón
resultante.
Tanto los leptones como los quarks interaccionan a través de las cuatro interaccio-nes fundamentales (conocidas hasta ahora) las cuales se muestran en la Tabla 1.2. Losleptones son inmunes a la interacción fuerte (no poseen carga de color). De acuerdocon la teoría cuántica de campos, las interacciones están mediadas por el intercam-bio de partículas virtuales las cuales tienen spin 1. Las intensidades relativas de lasinteracciones referidas a la interacción fuerte entre dos protones se muestran en laTabla 1.2.
Tabla 1.2: Interacciones fundamentales.
InteracciónActúan
sobre:
Intensidad
relativa
Partículas que
median la interacción
Gravitacional Masa-Energía 10−38 agravitón???
ElectromagnéticaEléctricamente-
cargadas1/137
Fotones γ (sin carga, sinmasa)
Débil Sabor 10−5 W+,W−(80,22 GeV/c2)Z0 (91,187 GeV/c2)
Fuerte Carga de color 1-10 Gluones g (sin masa)
aLa teoría que lo plantea es no renormalizable.
Adicionalmente se debe mencionar que el modelo propone la existencia de uncampo escalar llamado de Higgs, que es el encargado de asignar masa a las diferentespartículas. Este campo escalar tiene asociada una partícula, boson de Higgs, que yaha sido detectada, con una masa aproximada de 125 GeV en el acelerador LHC (LargeCollider Hadrons).
1Los fermiones son partículas de spin semi-entero (cumplen con el principio de exclusión dePauli). Los bosones son partículas de spin entero (no satisfacen el principio de exclusión de Pauli).
1.2 Situación actual 7
A altas energías, el modelo estándar no unifica las interacciones: electro-débil yfuerte, sin embargo se trabaja en modificaciones que sí lo hacen, mediante, por ejem-plo, la introducción de una nueva simetría: teoría super-simétrica (SUSY)2, que en sumínima extensión al modelo estándar, plantea una compañera super-simétrica paracada partícula, las llamadas s-particulas. Además se necesitan dos campos de Higgscomplejos y se involucra a la gravedad.
En la antigua teoría de las partículas elementales se clasificaban a las partículascomo: Leptones y Hadrones. Siendo los hadrones las partículas que responden a lainteracción fuerte (los hadrones están formados por quarks). Los hadrones a su vezse clasifican, de acuerdo con su spin, en bariones (partículas con spin semi-entero) ymesones (partículas con spin entero). Actualmente, el modelo estándar considera alos bariones como sistemas formados por tres quarks y los mesones como formadospor quarks y antiquarks. Tanto los bariones como los mesones deben tener una cargade color total blanca, y carga eléctrica entera.
Tabla 1.3: Algunos Bariones.
Partículas Masa MeV/c2 Vida media (seg)Composición
en quarksCarga eléctrica
p 938.24 − uud 1n 939.57 887 udd 0Λ0 1115.7 2,6 10−10 uds 0∑+ 1189.4 0,8 10−10 uus 1∑0 1192.5 7,4 10−10 uds 0∑
− 1197.4 1,5 10−10 dds −1Ξ0 1314.9 2,9 10−10 uss 0Ξ− 1321.3 1,6 10−10 dss −1aΩ− 1672.4 0,8 10−10 sss −1Λ+c 2284.9 0,2 10−12 udc 1
aΩ− tiene spin 3/2, el resto tiene spin 1/2. El número bariónico de todas ellas es 1(sus antipartículas tienen número bariónico −1). La paridad intrínseca de todas ellas espositiva (sus antipartículas tienen negativas).
El barión ∆++ esta formado por tres quarks u con momento orbital relativo ℓ = 0y j = 3/2 su componente jz corresponde a los tres quarks (up), siendo su funciónde onda simétrica dando lugar a una estadística equivocada (de bosones). Fue portanto necesario introducir un nuevo número cuántico, el color. Cada sabor de quarktiene tres posibles colores (rojo, verde, azul). Note que diferentes cargas de color enestado jz = 3/2 impiden la violación del principio de exclusión de Pauli. Las mezclasde los tres colores dan un color blanco (que describe la carga de todos los hadronesexistentes ya que la separación de los quarks o aislamiento de quarks esta prohibido, aeste hecho se le conoce como confinamiento). Adicionalmente, los quarks que formanun hadrón se comportan como partículas cuasi-libres (libertad asintótica). No existecontradicción entre esta propiedad y la anterior, puesto que el confinamiento solo
2La teoría de cuerdas que se ha desarrollado durante más de 20 años busca una unificación totalque incluya la gravedad.
8 Introducción
se activa a largas distancias (del orden del radio del hadrón). La interacción entrecargas de color de los quarks es la que se la conoce como interacción fuerte en elmodeo estandar. la particulas que median esta interacción son los gluones y tienendoble carga de color.
La demostración experimental de la existencia física de la carga de color se basaen la producción electromagnética de hadrones, mediante la colisión: e+e− → γ → qqy contando el número de estados finales producidos.
Tabla 1.4: Algunos Mesones.
Partícula(antipartícula)a
Masa( MeV/c2)
Composición enquarks
Vida media(segundos)
Carga eléctrica
π+(π−) 139.57 du(ud) 2,6×10−8 1(−1)π0 134.97 uu/dd) 0,8×10−16 0
K−(K+) 439.6 us(us) 1,2×10−8 (−1)1
K0(K0) 497.6 ds(ds)
0,9×10−10 (KS)5,2×10−8 (KL)
0
η 547.4 uu/dd/ss 0,5×10−18 0
aLas partículas π0 y η coinciden con sus anti-partículas (partículas de Majorana). Losmesones tienen número bariónico cero y su paridad intrínseca negativa.
1.3 Simetrías y leyes de conservación
Las leyes de conservación de la física clásica son una consecuencia directa de quelas interacciones son invariantes respecto de sus cantidades canónicas conjugadas, esdecir, las leyes físicas son independientes del tiempo, de la localización y de la orien-tación (homogeneidad e isotropía del espacio tiempo). Si una ley es invariante bajocierta operación de simetría, existe un principio de conservación correspondiente. Enmecánica cuántica relativista las interacciones satisfacen una serie de leyes de con-servación (se les da el nombre de relativas porque unas interacciones las satisfaceny otras no). Ejemplos: la conservación del número bariónico, número leptónico, ex-trañeza, paridad P etc. La conservación de la paridad, en física atómica, juega unpapel importante en las transiciones electromagnéticas y define las reglas de selecciónconjuntamente con la conservación del momento angular. Los bosones y anti-bosonestienen la misma paridad intrínseca; mientras que los fermiones y anti-fermiones tie-nen paridades opuestas. Simetrías adicionales de importancia son la conjugación decarga C, que relaciona las partículas con las anti- partículas, la inversión temporal T(no tiene asociada ninguna cantidad conservada). Hay también simetrías combinadascomo la CP y la TCP . Al parecer todas las interacciones satisfacen la simetría TCP ;sin embargo la interacción débil muestra una violación de extrañeza, P , C y CP . Otrasimetría se deriva del hecho de que ciertos grupos (multipletes) de partículas tienenun comportamiento prácticamente idéntico con respecto a las interacciones fuertes.Se le conoce con el nombre de simetría de isospin (o spin isotópico), y solo se conservaen procesos debido a la interacción fuerte.
Aún cuando el descubrimiento de la partícula de Higgs es un gran espaldarazopara el modelo estándar. Éste esta muy lejos de ser la teoría definitiva pues además
1.3 Simetrías y leyes de conservación 9
de no considerar la interacción gravitacional, por no existir una teoría cuántica dela gravedad, tiene algunos problemas como el conocido problema de la jerarquía, elcual menciona que las correcciones radiativas de orden superior del campo de Higgsa través de lazos fermiónicos generan correcciones a su masa. La masa de la partículade Higgs encontrada es de 125.5 GeV y es igual a la masa del Higgs desnuda más lascorrecciones radiativas; ambos términos son del orden de la masa de Planck, i.e., 1019
GeV de modo que al no haber una simetría que le ayude, lo único que resta es creerque existe una sintonización finísima (fine tunning) en el valor de las masas de talmanera que justifique el valor observado.
Para terminar con esta introducción, es necesario mencionar que nuestra cosmo-visión es muy limitada, pues la materia que hemos descrito con el modelo estándarno representa sino el 5% de la materia y energía que se piensa existe en el universo,el resto lo conforman tanto la materia oscura 25%, como la energía oscura, 70%, alas cuales se les da tal denominación, por el hecho de desconocer completamente sunaturaleza.
Capítulo 2
El núcleo atómico
En este capítulo se estudian las propiedades principales del núcleo atómico, su tama-ño, sus distribuciones de carga y masa, la energía de enlace nuclear. Se describe elnúcleo a través de números cuánticos, sus momentos dipolar magnético y cuadrupolareléctrico.
2.1 Propiedades de los núcleos
En la naturaleza se observa dos tipos de elementos naturales, los estables y los ra-diactivos. Los estables permanecen a lo largo del tiempo desde su formación y losradiactivos se transforman a elementos más estables mediante la emisión de partícu-las.
Figura 2.1: Curva de estabilidad de los elementos estables presentes en la naturaleza.
11
12 El núcleo atómico
Los núcleos atómicos de diferentes tipos se distinguen unos de otros por la can-tidad de protones y neutrones que los conforman. La relación entre el número deprotones y neutrones en los nucleos no es arbitraria, en los núcleos estables ligeroshay aproximadamente el mismo número de protones y neutrones, mientras que en losnúcleos pesados estables hay aproximadamente 40% de protones y 60% de neutro-nes. Esto se evidencia en la figura 2.1 La naturaleza muestra además que hay unadiferencia entre el número de elementos estables cuando se los clasisfica de acuerdocon que si su número de protones o neutrones es par o impar como se muestra en lasiguiente tabla.
Tabla 2.1: Nucleos estables.
A Z N Tipo(Z −N)Nucleidos estables +nucleidos τ grandea
par par par p-p 166+11impar par impar p-i 55+3impar impar par i-p 51+3par impar impar i-i 6+4total 278+21
aTiempo de vida media mayor a 108 años
Estos elementos representados en una gráfica Z (número atómico) vs N (númerode neutrones) forma lo que se conoce como curva de estabilidad. Elementos cercanosa esta curva son inestables y tienden a decaer hacia los elementos estables.
2.2 Familia de Núcleos
A los nucleos se los suele representar mediante las siguientes nomenclaturas:(Nomenclatura ZE
AN ) aunque algunas veces se utiliza también1
(EAZ o ZE
A).
Isótopos (Z1 = Z2)
Núcleos con igual número de protones
1H1; 1H
2; 1H3
92U234; 92U
235; 92U238
Isotonos (N1 = N2)
Núcleos con igual número de neutrones.
1H32; 2He
42
1Las nomenclaturas son redundantes, pues para determinar el elemento unívocamente solo senecesita su número másico y nombre.
2.3 Tamaño nuclear 13
6C148 ; 7N
158 ; 8O
168 ; 9F
178
Isóbaros (A1 = A2)
Núcleos con igual número de nucleones.
1H32; 2He
31
17Cl4023; 18Ar
4022; 19K
4021; 20Ca
4020; 21Sc
4019
Isódiaferos (N1 − Z1) = (N2 − Z2)
Núcleos con igual diferencia entre neutrones y protones.
1H21; 2He
42; 3Li
63; 5B
105
92U234142; 90Th
230140; 86Ra
226136; 86Ra
226136; 84Pc218134; 82Pb
214132
Isómeros (núcleos excitados)
ZEA∗
N ; ZEAN
Núcleos Espejos
Son aquellos que satisfacen la siguiente condición:
Z1 = N2
N1 = Z2
2.3 Tamaño nuclear
El tamaño de los núcleos de los elementos estables se estimó inicialmente a partir delos resultados experimentales obtenidos por Rutherford. Al coincidir los resultadosexperimentales con los del modelo clásico, la masa y la carga del átomo debía estarconcentrado en una región muy pequeña y central. Fue necesario introducir el factorde forma y resolver el problema desde el punto de vista cuántico para determinar ladistribución de carga nuclear y su tamaño medio. Sin embargo, es necesario recalcarque el radio nuclear no es una cantidad bien definida, es decir, ni los núcleos ni losátomos son cuerpos con frontera bien definida. A pesar de esto, se utiliza una defini-ción operacional del radio nuclear (radio medio) con un ancho de piel correspondiente.Adicionalmente al estudio de la distribución de carga se debe estudiar la distribuciónde la masa nuclear.
2.3.1 Dispersión de Rutherford
El estudio experimental del núcleo atómico y de partículas se basa principalmenteen el análisis de los resultados de colisiones. Para el estudio del núcleo atómico, por
14 El núcleo atómico
ejemplo, se hace incidir un haz de electrones de alta energía sobre el núcleo bajo es-tudio. El uso de electrones en lugar de otro tipo de partícula, como protones, se debea que el electrón, siendo un lepton, no interacciona fuertemente con el núcleo por loque la única interacción en juego es la electromagnética. Se desarrolla, por tanto, elestudio clásico de la colisión entre partículas cargadas descrita por la dispersión deRutherford.
Si se considera una partícula de masa m y carga ze incidiendo sobre otra de masaM y carga Ze como se indica en la Figura 2.2
θm
b
z
r
χ
v0
χ0
r0
Figura 2.2: Colisión de una partícula en un potencial central.
La energía potencial eléctrica entre las cargas (en el sistema de unidades gaus-siano) será:
V (r) =zZe2
r(2.1)
la cual depende solo de la separación relativa entre las cargas, es decir, es unpotencial central, por lo que el momento angular será una constante del movimiento.
Suponiendo que la velocidad de la partícula incidente de masam (fuera del alcancede la interacción) es ~v0 y tomando una aproximación no relativista, la conservaciónde la energía implica,
E =1
2mv20 = cte (2.2)
v0 =
√2E
m
El modulo del momento angular será:
ℓ = mv0b = m
√2E
mb = b
√2mE (2.3)
siendo b el parámetro de impacto (que no es mas que la distancia mínima entre losdos cuerpos al no considerar la interacción)
1
b2=
2mE
ℓ2
2.3 Tamaño nuclear 15
Escribiendo la velocidad en coordenadas polares en el plano de movimiento,
~v = r~ur + rχ~uχ (2.4)
Las magnitudes con punto indican sus derivadas temporales, y ~µr , ~µχ son los vectoresunitarios radial y angular respectivamente, entonces
ℓ = |~r ×m~v| = mr2χ (2.5)
dχ
dt=
ℓ
mr2(2.6)
La conservación de la energía será:
E =1
2m
(dr
dt
)2
+1
2mr2
(dχ
dt
)2
+ V (r)
E =1
2m
(dr
dt
)2
+1
2mr2
(ℓ
mr2
)2
+ V (r)
dr
dt= −
[2
m
(E − V (r)− ℓ2
2mr2
)]1/2(2.7)
Se escoge el signo negativo al sacar la raíz, puesto que la coordenada radial decrececon el tiempo hasta alcanzar el punto más cercano de aproximación.
La ecuación anterior se la puede escribir como:
dr
dt= − ℓ
mrb
[r2(1− V (r)
E
)− b2
]1/2. (2.8)
Para la otra coordenada,
dχ
dt=
ℓ
mr2
dχ =ℓ
mr2dt =
ℓ
mr2dt
drdr
dχ = − bdr
r
[r2(1− V (r)
E − b2)1/2]
Integrando,
χ0 = b
∫ ∞
r0
dr
r
[r2(1− V (r)
E − b2)1/2] (2.9)
En el punto de máxima aproximación r0 (al cual le corresponde un ángulo χ0), la
16 El núcleo atómico
velocidad radial se anula.
(dr
dt
)
r=r0
= 0 (2.10)
E − V (r0)−ℓ2
2mr20= 0
r20
(1− V (r0)
E
)− b2 = 0 (2.11)
Así, dada la forma del potencial V (r) se puede determinar r0, y por lo tanto χ0 comofunción del parámetro de impacto b.
Definiendo el ángulo de dispersión θ como el cambio angular de las trayectoriasasintóticas, como se indica en la Figura 2.2,
θ = π − 2χ0 = π − 2b
∫ ∞
r0
dr
r
[r2(1− V (r)
E − b2)1/2] (2.12)
Para el caso de la interacción coulombica con potencial de la forma V (r) =zZe2
r
r0 =zZe2
2E
1 +
√
1 +4b2E2
(zZe2)2
(2.13)
θ = π − 2χ0 = π − 2b
∫ ∞
r0
dr
r
[r2(1− zZe2
rE − b2)1/2] (2.14)
Cambiando la variable y = 1r e integrando se tiene,
θ = π + 2b1
bcos−1
zZe2
E+ 2b2y
√(zZe2
E
)2
+ 4b2
0
y0
(2.15)
dando,
b =zZe2
2Ecot
θ
2(2.16)
Se introduce la sección eficaz de dispersión σ como una medida de la probabili-dad de que la partícula incidente sea dispersada en el proceso. Si se requiere mayorinformación se recurre a lo que se conoce como sección eficaz diferencial; que es unamedida de la probabilidad de que la partícula sea dispersada, por ejemplo, dentro de
un determinado ángulo sólido,dσ
dΩ.
2.3 Tamaño nuclear 17
Si se considera un flujo de partículas incidentes N0 que inciden sobre un centrodispersor, la probabilidad de que éstas sean dispersadas dentro de un ángulo sólidodΩ es:
− dσdΩ
dΩ = − dσ
dΩ2π sen θdθ = 2πbdb
dσ
dΩ= − b
sen θ
db
dθ
dσ
dΩ=
(zZe2
4E
)21
sen4(θ2
) (2.17)
La sección eficaz total es:
σTOT =
∫
4π
dσ
dΩdΩ→∞ (2.18)
Esto se debe al rango infinito de la interacción electromagnética.
Si se considera el retroceso del núcleo blanco se tiene la fórmula de Darwin:
dσ
dΩ=
(zZe2
m20
)1
sin4(θ/2)
[cos θ ±
√1− ε2 sin2 θ
]2
√1− ε2 sin2 θ
(2.19)
donde ε =m
M, con m la masa de la partícula incidente y M la masa del blanco.
Si ε < 1 solamente el signo positivo va en la raíz.Si ε > 1 se debe calcular con cualquiera de los signos dependiendo del problema.
2.3.2 Sección eficaz de Mott
En la colisión de Rutherford no se ha considerado el spin de las partículas tantoincidentes como blanco. A energías relativistas la sección eficaz se modifica por losefectos de spin,
(dσ
dΩ
)
Mott
=
(dσ
dΩ
)
Rutherford
(1− β2 sen2 θ
2
)con β =
v
c(2.20)
Esta expresión no considera la pequeña corrección debida al retroceso del núcleoatómico antes mencionada. A muy altas energías, β → 1, se tiene,
(dσ
dΩ
)
Mott
=
(dσ
dΩ
)
Rutherford
cos2θ
2(2.21)
Generalmente cuando se trabaja en colisiones se consideran dos sistemas de referencia:el sistema de laboratorio, donde la partícula incidente colisiona con la partícula blancoen reposo; y el sistema centro de masa donde la cantidad de movimiento de laspartículas que colisionan son iguales y opuestas. Las relaciones entre las magnitudes
18 El núcleo atómico
en los dos sistemas de referencia son algunas veces necesarias.
2.3.3 Sistemas de referencia
Considere dos partículas interaccionando entre si, como se muestra en la Figura 2.3,
x
y
z
b
O
~r2
~r1~RCM
~rm1
m2
Figura 2.3: Esquema de la interacción de dos partículas.
Si el potencial de interacción entre las dos partículas es V (|~r1−~r2|). Las ecuacionesde movimiento para cada partícula son:
m1~r1 = −∇1V (|~r1 − ~r2|) (2.22)
m2~r2 = −∇2V (|~r1 − ~r2|) (2.23)
Los subíndices en el operador ∇i hacen referencia a la coordenada de la partículacorrespondiente. Se define
~r = ~r1 − ~r2 (2.24)
~RCM =m1~r1 +m2~r2
m1 +m2(2.25)
De las ecuaciones anteriores
m1m2
m1 +m2~r = −∇V (|~r|) = −∂V
∂r~ur (2.26)
siendo ~ur el vector unitario en r, y donde se ha definido la masa reducida del sistema
como: µ =m1m2
m1 +m2
(m1 +m2) ~RCM = 0 por tanto,
~RCM = cte · ~uR (2.27)
2.3 Tamaño nuclear 19
donde ~uR es el unitario en la dirección ~RCM.
2.3.4 Sistema centro de masa y laboratorio
Considere la siguiente colisión elástica en los dos sistemas,
•
•v
θLab
v2 = 0
m2•
v1
m1
•
•
•m1
v1
θCMm2
v2•
v1
m1
m2v2
•
Figura 2.4: Colisión en el Sistema centro de masa y de laboratorio.
La velocidad del centro de masa y las velocidades de las partículas en el sistemacentro de masa están dadas por:
vCM =m1v1
m1 +m2, (2.28)
v1 = v1 − vCM =m2v1
m1 +m2(2.29)
v2 = vCM =m1v1
m1 +m2(2.30)
Las componentes de velocidad en el eje z y en otro perpendicular a éste son:
v cos θlab − vCM = v1 cos θCM (2.31)
v sen θlab = v1 sen θCM, (2.32)
lo que resulta en
tan θlab =sen θCM
cos θCM +vCM
v1
(2.33)
Si se define ξ =vCM
v1=m1
m2
cos(θlab) =cos θCM + ξ
(1 + 2ξ cos θCM + ξ2)1/2(2.34)
La relación entre las secciones eficaces diferenciales en los dos sistemas de referencia
20 El núcleo atómico
es:
dσ
dΩlab(θlab) sen θlabdθlab =
dσ
dΩCM
(θCM) sen θCMdθCM
dσ
dΩlab(θlab) =
dσ
dΩCM
(θCM)d(cos θCM)
d(cos θlab)
dσ
dΩlab(θlab) =
dσ
dΩCM
(θCM)(1 + 2ξ cos θCM + ξ2)3/2
(1 + ξ cos θCM)(2.35)
2.3.5 Variables relativistas
Considerando que una partícula de masa m1 incide sobre otra de masa m2. La ve-locidad del centro de masa se obtiene de la razón del momento total relativista y laenergía total.
~vCM
c= ~βCM =
(~p1 + ~p2)c
(E1 + E2)(2.36)
Si la partícula blanco se encuentra en reposo,
~βCM =(~p1)c
(E1 +m2c2)(2.37)
γCM =1√
1− β2CM
=E1 +m2c
2
√m2
1c4 +m2
2c4 + 2E1m2c2
. (2.38)
El valor en el denominador es un invariante relativista y es conocido como el invarientede Mandelstean s y se define para una colisión 1 + 2→ 3 + 4 como:
s = (p1 + p2)µ(p1 + p2)µ
s = m21c
4 +m22c
4 + 2E1m2c2 (2.39)
donde pµ1 y pµ2 son los cuadrivectores asociados a las partículas antes de la colisión.Puesto que es un invariante, en el sistema CM
s = (ECM1 +ECM2)2 = E2
CMtotal (2.40)
γCM =E1 +m2c
2
ECMtotal
=Elabtotal
ECMtotal
(2.41)
En dispersiones, a menudo es conveniente definir otro invariante denominado t ydefinido como:
t = (p3 − p1)µ(p3 − p1)µ = (p4 − p2)µ(p4 − p2)µ (2.42)
2.3 Tamaño nuclear 21
donde pµ3 y pµ4 son los cuadrivectores de las partículas salientes de la colisión. En elCM y para dispersiones elásticas,
t = −2p2CMc2(1− cos θCM) (2.43)
Puesto que la función coseno toma valores entre −1 y 1 se concluye que t ≤ 0.
√t
p1 p3
masa en reposo negativaes “virtual”
Figura 2.5: Dispersión de una partícula y la definición del invariante t.
Por conveniencia se define la variable q2 = − t
c2
En el sistema de laboratorio donde la velocidad de la partícula blanco es nula,
q2c2 = 2m2c2Efinal
cinlab2 (2.44)
Para el caso no relativista q2 = (m2v2)2 es el cuadrado del momento transferido a la
partícula blanco. La expresión relativista que relaciona los angulos en el sistema CMy LAB es:
tan θlab =β sen θCM
γCM( ˜β cos θCM + βCM)(2.45)
donde βc es la velocidad de la partícula dispersada en el sistema CM. Por último,la sección eficaz diferencial de Rutherford en términos del momento transferido estadado por:
dσ
dq=
4π(zZe2)2
v21
q4(2.46)
La dependencia en q−4 es una característica de la interacción Coulombica y refleja ladependencia del potencial en r−1.
2.3.6 Probabilidad de transición por unidad de tiempo (segundaregla de oro de Fermi2)
La colisión entre dos partículas puede reducirse al problema de dispersión de unapartícula por un centro dispersor. Desde el punto de vista mecánico cuántico uno lapodría considerar como una transición del estado de la partícula en su instante inicial
2Esta deducción puede ser omitida en el estudio, sin embargo la expresión de la segunda reglade Fermi debe ser muy bien explicada.
22 El núcleo atómico
(mucho antes de la colisión) a un estado final (mucho después de la colisión) debidoa un potencial perturbador (el centro dispersor).El comportamiento de un sistema mecánico cuántico se describe mediante su funciónde onda que es la solución de la ecuación de Schrödinger.
i~∂Ψ
∂t= HΨ (2.47)
donde H es el Hamiltoniano del sistema. Si H es dependiente del tiempo y se lo puedeseparar en una parte dependiente y en otra que no sea dependiente del tiempo
H = H0 +H ′(t) (2.48)
Conociendo las soluciones para H0 se buscan las de H, utilizando la teoría de pertur-baciones. Esta teoría considera que ||H ′|| << ||H0|| (a H ′ lo llamamos el Hamilto-niano de perturbación o de interacción). La función de onda del sistema no perturbado(solución de la ecuación con H0) tiene la forma
Ψ(~r, t) = u(~r)e−iEt/~ (2.49)
Si se asume que en t = 0 el sistema se encuentra en un estado inicial i no perturbado,se tiene que:
H0ui = Eiui (2.50)
donde ui y Ei son las funciones propias y valores propios de la energía del Hamilto-niano H0. Las funciones de onda ui son ortonormales:
∫u∗fuidV = δif (2.51)
Tan pronto como la perturbación comienza (la cual induce la transición). La funciónde onda se puede expresar como la superposición de las funciones de onda del sistemano perturbado,
Ψ =∑
i
ai(t)uie−iEit/~ (2.52)
donde la ui son independientes del tiempo, más no las ai, como se muestra explícita-mente. Además la condición inicial señala que para toda f
af (0) = δif (2.53)
Cuando la perturbación ha actuado por un tiempo t, la probabilidad de que el sistemaha efectuado una transición al estado f no es cero, el índice f caracteriza cualquierestado final de un espectro discreto o continuo. Para evaluar la probabilidad de tran-sición se tiene que encontrar los coeficientes af (t). Reemplazando la forma general deΨ en la ecuación de Schrödinger para el Hamiltoniano total, se tiene:
i~∂Ψ
∂t= (H ′ +H0)Ψ (2.54)
2.3 Tamaño nuclear 23
i~∑
i
∂ai∂tuie
−iEit/~ =∑
i
H ′aiuie−iEit/~ (2.55)
multiplicando por la conjugada de la función de onda propias e integrando en todoel volumen, la relación de orto-normalidad conduce a
∂af∂t
=1
i~
∑aiH
′fie
iωfit (2.56)
donde se ha definido
H ′fi =
∫u∗fH
′uidV (2.57)
y representan los elementos de la matriz de transición dadas por el Hamiltoniano deperturbación H ′, y
ωfi =Ef − Ei
~(2.58)
La aproximación de perturbación se usa para realizar la integración de la derivadade los coeficientes, y consiste en reemplazar H ′ por ǫH ′ y expresar las ai en serie depotencias del parámetro infinitesimal ǫ.
as = a(0)s + ǫa(1)s + ǫ2a(2)s + · · · (2.59)
hay que notar que:a(0)i = ai(0) = 1 (2.60)
reemplazando en la correspondiente ecuación se tiene:
∂a(0)f
∂t+ ǫ
∂a(1)f
∂t+ · · · = 1
i~
∑[ǫa
(0)i + ǫ2a
(1)i + · · · ]H ′
fieiωfit (2.61)
a) orden cero
∂a(0)f
∂t= 0
a(0)f = δfi = cte (2.62)
b) orden uno (primera aproximación)
∂a(1)f
∂t=
1
i~
∑
i
a(0)i H ′
fieiωfit =
1
i~H ′fie
iωfit, (2.63)
la cual se puede integrar para obtener:
a(1)f =
1
i~H ′fi
∫ t
0eiωfit
′
dt′ =1
~ωfiH ′fi
(1− eiωfit
)(2.64)
24 El núcleo atómico
Si se desprecian las aproximaciones de mayor orden. Se obtiene que la probabilidadde transición del estado inicial al final es:
∣∣∣a(1)f∣∣∣2= 4
∣∣H ′fi
∣∣2 (~ωfi)−2 sen2(1
2ωfit
)(2.65)
Si se tiene un grupo de estados finales cuya energía es casi la misma, se los puedetratar como un continuo y expresar el número de estados por intervalo de energíaalrededor de la energía final en forma de una densidad de niveles ρ(Ef ). Si se asumeque los elementos de matriz del Hamiltoniano de interacción varía suavemente conf dentro del grupo de estados finales en la región alrededor de Ef , al cuadrado deestos elementos de matriz se lo puede considerar independiente de Ef y tratarlo comoun valor constante. La probabilidad de transición por unidad de tiempo (en primerorden de perturbación) desde el estado inicial a todos los estados accesibles finalesestá dada entonces por:
Wfi =1
t
∑
f
|af |2 =1
t
∫ ∞
−∞|af |2 ρ(Ef )dEf (2.66)
note que dEf = ~dωfi.Si se consideran los estados finales de una banda de energía de ancho ∆E << Ef . Sepuede escribir,
Wfi =4∣∣∣H ′
fi
∣∣∣2ρ(Ef )
~t
∫ ∞
−∞
sen2(ωfit/2)
ω2fi
dωfi (2.67)
obteniéndose,
Wfi =2π
~ρ(Ef )
∣∣H ′fi
∣∣2 (2.68)
que se le conoce con el nombre de la segunda regla de oro de Fermi.
Como se ha mencionado anteriormente, existe una relación directa entre la pro-babilidad de transición y la sección eficaz. Para encontrar dicha relación se considerauna colisión elástica. En tiempos muy anteriores y muy posteriores a la colisión, laspartículas incidente y dispersada pueden ser consideradas libres. Si se toman las fun-ciones propias del operador cantidad de movimiento normalizadas con condiciones deborde periódicas,
−i~∇up(~r) = pup(~r)
up(~r) =1
L3/2ei~k ·~r (2.69)
La colisión elástica, producirá una transición en el estado (de cantidad de movi-miento) del proyectil. La probabilidad por unidad de tiempo de tal hecho, evaluadopor la aproximación de perturbación, esta dado por Wfi y no es otra que la razónentre el volumen de interacción efectivo, barrido por la partícula, y el volumen totalL3.Una partícula moviéndose a velocidad vi en el sistema centro de masa, barre un
2.3 Tamaño nuclear 25
volumen de interacción efectivo, por unidad de tiempo vidσ. De manera que:
Wfi =viL3dσ (2.70)
en colisiones elásticas no hay transferencia de energía en el CM sino solo de cantidadde movimiento. Esto sugiere que se utilice las funciones propias del operador canti-dad de movimiento en lugar de las energéticas para determinar la probabilidad detransición. Si se introduce el vector de onda inicial como
~ki = ~pi/~ (2.71)
y un análogo para el vector de onda final. Si además
~ki − ~kf = ~q (2.72)
con|~ki| = |~kf | = k (colisión elástica) (2.73)
asumiendo que la perturbación se produce por una fuerza de dispersión esférica-mentesimétrica,
H ′fi =
∫u∗fH
′uidV =1
L3
∫H ′ei~q ·~rdV (2.74)
en coordenadas polares,
H ′fi =
1
L3
∫ ∫ ∫H ′(r)eiqr cos θr2 sen θdrdθdφ (2.75)
H′fi =
4π
L3
∫ ∞
0H ′(r)r2
sen qr
qrdr (2.76)
Por otro lado, la densidad de estados finales esta dada como:
ρ(Ef ) =dNf
dEf=dΩ(~k)2d(~k)
h3dEf(2.77)
ρ(Ef ) =
(L
2π
)3 m
~2kfdΩ (2.78)
de la relación anterior,dσ
dΩ=L3
vi
Wfi
dΩ(2.79)
de manera que,dσ
dΩ=
∣∣∣∣2m
~2
∫ ∞
0H ′(r)r2
sen qr
qrdr
∣∣∣∣2
(2.80)
relación que se le conoce con el nombre de fórmula de colisión de Born.
26 El núcleo atómico
2.3.7 La distribución de la carga nuclear
La determinación de la distribución de carga nuclear se realiza mediante experimentosde dispersión elástica de electrones (para evitar la interacción nuclear). Para poderobservar un objeto de 1 fm es necesario utilizar un haz de partículas con longitud deonda de De-Broglie menor al tamaño del objeto. Es decir, con cantidad de movimientop > 100 MeV/c (electrones con energía de 100 MeV a 1 GeV).Se define el factor de forma como la razón entre la sección eficaz extendida y lapuntual de dispersión elástica (en primera aproximación).
|F (~q)|2 = dσexp
dσpuntual(2.81)
Este factor de forma de la colisión se lo puede expresar en término de los elementosde la matriz de interacción
F (~q) =
∫ψf
∗V (r)ψidV (2.82)
donde los estados inicial y final se consideran de la forma:
ψi ∝ ei~ki ·~r ψf ∝ ei
~kf ·~r
~q = ~ki − ~kfdonde los ~ki, ~kf son los vectores números de onda incidente y dispersado respectiva-mente; V (r) es el potencial de Coulomb en este caso, (el cual a su vez depende de ladensidad de carga dentro del núcleo). Entonces,
F (~q) =
∫ei~q ·~r′ρe(r′)dV ′ (2.83)
La densidad de carga nuclear es, por tanto, la transformada inversa de Fourier delfactor de forma.Varios ejemplos se muestran en la Figura2.6, en la cual: la primera columna corres-ponde a la función ρ(r), la segunda columna al factor de forma correspondiente y latercera a un ejemplo de sistema con dicha distribución. De los datos experimentalesde dispersión obtenidos, se encuentra que la densidad de carga nuclear toma la forma:
ρ(r) =ρ0
1 + e(r−a)/b(2.84)
donde
• ρ0 es un valor constante asignado a la densidad nuclear de carga.
• a = 1,07 A1/3fm. Algunas veces se considera a =√< r2 > que es el radio
cuadrático medio nuclear.
• b = 0,55 fm, es el ancho de piel.
Esta función se muestra en la Figura 2.7.
2.3 Tamaño nuclear 27
ρr F (~q) Sistema
Puntual
Exponencial
Gaussiana
Esferahomogénea
Esfera consuperficie
difusa
Constante
Dipolar
Gauss
Oscilante
Oscilancionescubiertas
40Ca
−
6Li
Protón
Electrón
Figura 2.6: Distribuciones de densidad de carga y los correspondientes factores de forma.
0
0.05
0.10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
12C
16O
58Ni 206Pb
Zρ(r)
r (fm)
Figura 2.7: Distribución de carga nuclear de varios núcleos atómicos.
28 El núcleo atómico
2.3.8 La distribución de la materia nuclear
La distribución de materia nuclear requiere un estudio experimental más elaborado.Una manera de hacerlo es mediante el estudio de dispersión de partículas α con nú-cleos blanco de Oro (Au197). Esta dispersión, para el caso de energías bajas, estádeterminada por la interacción coulómbica de las partículas α con los núcleos ató-micos. Si la energía de las partículas α se incrementa, la interacción con el núcleoblanco tendrá también su componente de interacción fuerte. Por otra parte, el mismodecaimiento α implica, de acuerdo con el modelo mecánico cuántico, la penetracióna través de una barrera de potencial. Los valores calculados dependen del radio de lamateria nuclear. Otra forma de estudiar esta distribución es mediante átomos piónicos(átomos en los que se ha reemplazado piones negativos por los electrones orbitales).En este caso la interacción de los núcleos con los piones no es solamente de naturalezaelectromagnética sino que también interviene la interacción fuerte o nuclear.
El resultado fundamental es que la distribución de materia nuclear escasi la misma de la distribución de carga (dentro de 0,1 fm).
Para este caso el valor ρ0 en la función de distribución de materia nuclear es 0,165nucleones/fm3; los parámetros a y b son los mismos de la distribución de carga nu-clear. ¿Comó se podría explicar este hecho para núcleos pesados donde el número Ncrece más rapidamente que Z?
Como conclusión general se puede decir que: la densidad de carga nuclear esla misma para todos los núcleos (a esta propiedad se le conoce con el nombre desaturación nuclear). Por tanto, el número de nucleones por unidad de volumen esconstante.
A43πR
3≈ cte R = radio medio nuclear (2.85)
Así se puede escribir que:R = R0A
1/3
donde R0 es un valor constante que puede ser encontrado experimentalmente (valortípico: R0 = 1,2 fm). Note que esta relación es válida para núcleos estables más nopara núcleos excitados.
Ejercicio 1. Hallar√< r2 > para una esfera de densidad uniforme y compacta de
radio R.
Respuesta: < r2 >1/2=
√3
5R.
La densidad de carga nuclear también se puede estudiar cuidadosamente exami-nando también las transiciones atómicas (es decir, mediante la medición de la energíade rayos X fluorescentes que reflejen los diferentes desplazamientos isoméricos de losniveles energéticos electrónicos, de los electrones tipo s (ℓ = 0), para dos isótoposdeterminados).
Puesto que la dimensión del núcleo atómico es finita, no se puede considerar supotencial como aquel de una partícula puntual para puntos interiores a la distribución.
2.4 Energía de enlace nuclear 29
Considerando este hecho, el potencial perturbador tendrá la forma:
V ′(r) = −Ze2
R
3
2− 1
2
( rR
)2(2.86)
donde R es el radio de la distribución. La densidad de probabilidad de los electronestipo s es distinta de cero dentro de la distribución de carga nuclear. Este hechoproduce pequeños cambios en el valor de los niveles energéticos de dichos electrones(desplazamiento isomérico). Este desplazamiento esta dado por:
∆E ≈ 2
5
Z4e2R2
a30(2.87)
donde se ha usado las funciones de onda electrónicas del átomo H y a0 representa elradio de Bohr.Para el caso de una familia de isótopos se tiene,
∆E(A′)−∆E(A) = −2
5
Z4e2
a30R2
0(A2/3 −A′2/3) (2.88)
Si se gráfica esta diferencia para una referencia dada A′, en función de A2/3, seobtiene una línea recta. El valor de la pendiente falla un poco con el valor numérico,puesto que la expresión para la onda 1s es una aproximación grotesca (debido a quese han usado las funciones del átomo de hidrógeno).
Las energía de los RX de la transición 2p→ 1s de dos isótopos A y A′ dan tambiéninformación del valor R0. Las transiciones ópticas son también medibles y pueden serutilizadas. El problema tanto con RX o transiciones ópticas radica en el hecho de queel efecto es pequeño. Para mejorar esto, lo que se hace es utilizar RX provenientes deátomos muónicos (átomos en los cuales los electrones orbitales son reemplazados pormuones) para amplificar este efecto, pues sus orbitas estarán mucho más próximas alnúcleo atómico 3.
2.4 Energía de enlace nuclear
La energía de enlace nuclear BE(Z,A) se define como aquella que mantiene unidotanto los protones como los neutrones en el núcleo. O en otras palabras, la cantidadde energía que se requeriría dar al núcleo para separar cada una de sus componentes.La masa de un núcleo desnudo esta dada por:
mnuc(Z,A)c2 = Zmpc
2 + (A− Z)mnc2 −BE(Z,A)
BE(Z,A) = Zmpc2 + (A− Z)mnc
2 −mnuc(Z,A)c2 (2.89)
3Leer el siguiente artículo: P. L. Lee et al, Phys. Rev. C17 (1978), 1859
30 El núcleo atómico
añadiendo y sustrayendo Z masas de electrones en el lado derecho de la ecuación,
BE(Z,A) = ZMHc2 + (A− Z)mnc
2 −Mat(Z,A)c2 + ZBe(H)−Be(Z) (2.90)
donde Be(H) representa la energía de enlace del electrón en el átomo de Hidrógeno yBe(Z) la energía de enlace de los Z electrones en el átomo. El término entre corcheteses pequeño en comparación con los otros y puede ser eliminado, de manera que:
BE(Z,A) = ZMH c2 + (A− Z)mnc
2 −Mat(Z,A)c2 (2.91)
• MH = 1,007825 uma
• mn = 1,008665 uma
• 1 uma c2 = 931,48 MeV
Si se conocen las masas atómicas se conocería la energía de enlace, ejemplo:
BE(H2) = (1,007825 + 1,008665 − 2,014103) uma c2 = 2,22 MeV
Si se define el defecto de masa por la cantidad:
∆M =Mat(Z,A) −A (2.92)
donde Mat está en unidades de masa atómica. La energía de enlace nuclear se puedeescribir como:
BE(Z,A) = Z(1 + ∆MH )c2 + (A− Z)(1 + ∆mn)c2 −Ac2 +∆M(Z,A)c2
BE(Z,A) = [Z∆MH + (A− Z)∆mn −∆M(Z,A)] (2.93)
La energía de enlace por nucleón será:
BE(Z,A)
A=
[Z
A(∆MH −∆mn) + ∆mn −
∆M(Z,A)
A
]c2
BE(Z,A)
A=
[−ZA(0,000840) + 0,008665 − P (Z,A)
]c2 (2.94)
donde
P (Z,A) =∆M(Z,A)
A(2.95)
se le conoce con el nombre de fracción de empaque.
Nótese que el segundo término es constante, aproximadamente 8 MeV/nucleón, yestá asociado al defecto de masa del neutrón. La razón Z/A tiene valores alrededorde 1/2 para núcleos ligeros, y menor para núcleos pesados. El primer término reducela energía de enlace. La fracción de empaque es positiva para núcleos ligeros A < 15 ypesados A > 190, y negativa para núcleos intermedios 15 < A < 190. Como aparece
2.4 Energía de enlace nuclear 31
con signo negativo en la expresión de la energía de enlace, para núcleos ligeros ypesados se traducirá en una reducción adicional, o un aumento para el caso de núcleosintermedios.Se define también la energía de separación de un protón (o más) ó un neutrón (omás) de acuerdo con la masa de núcleo padre y de sus productos.
Sn = [M(Z,A − 1) +mn −M(Z,A)]c2 (2.96)
Sp = [M(Z − 1, A− 1) +MH −M(Z,A)]c2 (2.97)
Si se toma un elemento estable (Z, A) y se le va quitando o agregando ya sea protoneso neutrones, la energía de separación se hará cada vez mas pequeña hasta anularse.Las energías de separación se mantienen positivas, forman las llamadas líneas “drip”dentro del esquema Z vs N de los elementos.
0123456789
0 50 100 150 200 250
b
b
bb
b bb
b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
2H
3He
6Li7Li
11B
24MgCa Fe Zn Kr Mo Te Sm Lu Hg Ra
4He••
17C
16O•
A
B/A
MeV
20Ne
Figura 2.8: Energía de enlace por nucleón en función del número másico.
2.4.1 Inestabilidad nuclear
La condición para que el núcleo (Z,A) sea estable, contra su rompimiento en otrosnúcleos (Z1, A1) y (Z2, A2), se puede expresar como:
M(Z,A) < M(Z1, A1) +M(Z2, A2) (2.98)
Ejemplo 1.
Li7 → He4 +H3
7, 016004 → 4, 002603 + 3, 016050
7, 016004 < 7, 018653 (en unidades de masa atómica)
En este caso, el Li7 es estable. La condición contraria implica inestabilidad del núcleoy decaimiento espontáneo 4, el cual está regido adicionalmente por otras reglas deselección.
En la naturaleza se pueden encontrar (o se pueden fabricar) núcleos atómicos
4Note que el decaimiento supuesto al menos debe conservar la carga electrica y el número másico.
32 El núcleo atómico
propensos a descomponerse (o decaer) espontáneamente. A este fenómeno lo llamamosradiactividad y se lo trata como un caso especial de una reacción nuclear.
2.5 El núcleo atómico como sistema cuántico
De acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg, la incertidumbre en ve-locidad de un nucleón debe ser del orden de los 107 m/s que es muy grande paraser compatible con una descripción clásica. También para nucleones de aproxima-damente una energía de 10 MeV, la longitud de onda asociada de De Broglie es deaproximadamente 9 fm, lo que muestra que su naturaleza ondulatoria es relevante ensu descripción.Adicionalmente, se han observado efectos cuánticos a nivel nuclear tales como el efec-to túnel en el decaimiento alfa y la fisión nuclear.
Una de las características más notorias de los núcleos es que tienen momentoangular intrínseco (spin nuclear), el cual es el resultado del acoplamiento de los spinesintrínsecos y angulares de cada uno de los nucleones que lo forman. Estados excitadostiene spines nucleares diferentes al del estado base. El hecho de que en el estado base,los spines de los núcleos con A par (excepto los seis estables tipo (i, i)) son cero, sugiereque hay una tendencia al arreglo de spines intrínsecos y angulares a cancelarse unoscon otros. Esto se corrobora con el hecho de que otros núcleos alcanzan estados despin bajos; si no hubiese tal cancelación los valores de spin de los núcleos serían altos.
El hecho de que los neutrones y protones son idénticos desde el punto de vista dela interacción fuerte, define una nueva simetría. El protón y el neutrón son asociadosa un duplete de isospin 1/2, es decir, una sola partícula (nucleón) con dos posiblesestados, (el protón: estado componente z del isospin +1/2 y el neutrón: estado −1/2).
2.5.1 Niveles nucleares de energía
Así como los electrones en los átomos ocupan solo ciertos estados energéticos, losnucleones poseen solo ciertos valores de energía que son los correspondientes a losvalores propios del operador Hamiltoniano del sistema núcleo atómico,
Hϕs = Esϕs (2.99)
El estado base es aquel de menor energía. La especificación de un nivel nuclear re-quiere conocer: Energía de excitación (respecto de un estado base), el spin nuclear,la paridad, el tiempo de vida media del estado y el isospin.
2.5.2 Momento angular nuclear
El momento angular total de un estado nuclear dado, es la resultante de los momen-tos angulares individuales de los nucleones constituyentes. Éste esta descrito por sunúmero cuántico j y su magnitud al cuadrado es j(j + 1)~2. Los valores de j varíansobre un conjunto de valores enteros para núcleos con A par y semi-enteros para los
2.5 El núcleo atómico como sistema cuántico 33
núcleos con A impar. El momento angular total es:
~J =∑
~Ji (2.100)
con ~Ji = ~Li + ~Si (acoplamiento j − j). O alternativamente,
~J = ~L+ ~S (2.101)
donde~L =
∑~Li y ~S =
∑~Si (2.102)
Aunque el resultado final debe ser el mismo en cualquier caso. El escogimiento decualquiera de los dos esquemas de acoplamiento puede afectar el grado de complejidadde los cálculos.
El acoplamiento spin-orbita (j − j) se lo escoge en problemas de interacción nu-clear, teniendo un carácter no colectivo, es decir, el momento orbital y el spin decada nucleón están fuertemente acoplados; mientras que los respectivos Ji se puedenconsiderar como cantidades esencialmente separadas, cuya suma vectorial construyeel momento angular total J .
Por otro lado, cuando hay una interacción colectiva de los momentos angularesorbitales y de spin (dentro del esquema de acoplamiento Russell-Saunders, esquemade acoplamiento (L−S)), uno puede tratar la interacción como suficientemente débily el acoplamiento de los momentos orbitales separadamente del de spines. Así, cadaestado nuclear tiene un valor particular de L y S asociado con él y puede ser definidomediante la notación espectroscópica.
2S+1Lj (2.103)
Los dos esquemas de acoplamiento mencionados solamente representan dos casosextremos. Se pueden emplear esquemas de acoplamiento intermedios.
La clasificación de los estados base de acuerdo con el spin nuclear se muestra enla Tabla 2.2 (con la misma notación de la Tabla 2.1).
Tabla 2.2
Núcleos Estables + T1/2 grandes Spin(estado base)i− i 6 + 4 enteroi− p 51 + 3 semi enterop− i 55 + 3 semi enterop− p 166 + 11 cero
Que todos los núcleos par − par tengan spin cero, en su estado base, sugiere quelos momentos angulares se compensan y anulan unos a otros.
Podemos suponer que los protones y neutrones están apareados, por separado, conspines opuestos. Bajo este argumento los núcleos con A impar se pueden considerarnúcleos par − par (de spin cero) más un protón o un neutrón extra, cuyo momen-to angular determinaría un spin nuclear semi-entero. De igual manera, los núcleos
34 El núcleo atómico
impar − impar se verían como núcleos par − par con la adición de un protón y unneutrón extras, cuyo momento combinado nos dará un spin nuclear entero. Así, paralos núcleos impar − impar en sus estados base se tienen un momento angular j, elcual yace en el rango
|jn − jp| ≤ j ≤ jn + jp, (2.104)
donde jn y jp son los momentos angulares totales del neutrón y protón desapareados.Este modelo que se acaba de describir se lo conoce con el nombre de modelo departícula simple o individual y se lo estudiará posteriormente.
2.5.3 Paridad (π)
Cuando un sistema mecánico cuántico se describe por su función de onda, la cualdefine su estado en términos de su posición y spin (éste ultimo no cambia de signoen una inversión espacial). Ciertas de sus propiedades tales como decaimiento o pro-babilidades de interacción se ven afectadas por el carácter de la función de ondarespecto a una inversión espacial. Es por tanto, apropiado distinguir entre funcionesanti-simétricas y simétricas que definen el número cuántico paridad: positivo para lassimétricas y negativo para las anti-simétricas.
Esta propiedad de transformación de la función de onda afecta la fase de transicióno los elementos de matriz de interacción.
Para sistemas no relativistas la paridad está dada por el producto de las paridadesintrínsecas y las paridades debido a la inverión espacial.
π =
[∏
i
πi
] [(−1)
∑i ℓi]. (2.105)
Siendo las πi, las paridades intrínsecas que se asignan por convención5. Así el protóny el neutrón tienen paridad intrínseca positiva. Los piones, mesones K y η tienenparidades intrínsecas negativas.
La paridad está entonces asociada al movimiento angular y se la puede elucidarcomo sigue:
La inversión espacial implica una transformación de ~r por −~r, lo que en represen-tación de coordenadas esféricas equivale a:
r→ r (2.106)
θ → π − θ (2.107)
φ→ π + φ (2.108)
Ahora, la función de onda del sistema esta descrita por el vector posición y suspin y si se la puede escribir como:
Ψ(~r,~s) = ϕ(~r)χ(~s) (2.109)
5Se asigna paridad positiva alos fermiones negativa a los anti-fermiones. Los bosones gauge tienenparidad negativa.
2.5 El núcleo atómico como sistema cuántico 35
La parte de la función de onda correspondiente al spin es fundamentalmente de pa-ridad positiva, el carácter de la paridad por tanto, permanece en la parte espacial.
Si se supone un potencial de interacción que solo depende del módulo de ~r entoncesla función de onda espacial es,
ϕ(~r) = f(r)Yℓm(θ, φ), (2.110)
donde la función radial es simétrica, y la angular (que corresponde a los esféricosarmónicos) es funciones de ℓ y m.
Yℓm(θ, φ) = (−1)m[(2ℓ+ 1)(ℓ− |m|)!
4π(ℓ+ |m|)!
]1/2Pℓm(cos θ)e
imφ (2.111)
Pℓm [cos(π − θ)] = (−1)ℓ−mPℓm(cos θ)eim(π+φ) = (−1)meimφ.
Así,Ψ(~r,~s) = (−1)ℓΨ(−~r,~s) (2.112)
y la paridad depende solo del número cuántico ℓ. Extendiendo este argumento a unsistema de N partículas no interactuantes, la paridad del conjunto es:
(−1)∑ℓi (2.113)
Si las partículas son relativistas, la paridad del estado no se determina simplementepor el número cuántico ℓ.
2.5.4 La paridad nuclear
En primera aproximación, la función de onda de un estado nuclear se la puede escribircomo el producto de las funciones de onda de las partículas individuales
Ψ =∏
Ψi, (2.114)
cada una de las cuales tiene una paridad definida.La paridad nuclear π esta determinada unívocamente por el producto de las pari-
dades individuales. Por ejemplo, con base al modelo de partícula simple (mencionadoanteriormente) se podría esperar que el núcleo p − p en su estado base tenga unaparidad positiva, y de hecho lo tiene. Esto ha sido comprobado experimentalmente.La paridad de un núcleo con A impar en el estado base está dada por (−1)ℓ donde ℓes el momento angular del nucleón no apareado. De igual manera los núcleos i− i ensus estados base deberían tener una paridad dada por:
π = (−1)ℓn+ℓp . (2.115)
Hay pocas excepciones a esta regla. El carácter de la paridad de los estados base yexcitados juegan un papel importante en restricciones sobre las transiciones energé-ticamente posibles.
36 El núcleo atómico
2.5.5 Isospin (T )
Como se mencionó anteriormente, es posible también asociar un isospin con cadaestado nuclear. El isospin se incorpora como si fuese la relativa insensibilidad en losniveles energéticos de núcleos isóbaros en el intercambio de un protón y un neutrón.Para un núcleo dado, el valor de la componente z de isospin, Tz, es la misma paratodos los niveles energéticos y está dada por:
Tz = −1
2(N − Z) (2.116)
En un conjunto de isóbaros, algún miembro tendrá Tzmax, el cual es el más grandedel conjunto y por tanto T = Tzmax. Formando (2T + 1) estados de un múltipleteisobárico. Note que T será entero para A par y semientero para A impar. Adicio-nalmente, las masas atómicas de los 2T + 1 miembros del multiplete son diferentessolamente debido a la interacción Coulombica (término que será proporcional a Z2)y a la diferencia de masa entre el protón y el neutrón; y están dadas por6:
M(A,T, Tz) = a+ bTz + cT 2z , (2.117)
donde a, b y c son funciones de A y T .
Ejemplo 2.
Elemento C − 14 N − 14 O − 14
Tz -1 0 1
Ciertos niveles energéticos de este triplete tienen similares características comoson la paridad, el spin y hasta la energía (cuando no se considera la componentecoulombiana), tales niveles similares se consideran miembros del multiplete isospíni-co del grupo isobárico.
Así, de acuerdo con la Figura 2.9, los estados base del C14 y O14 junto con elprimer nivel excitado del N14 tienen un Jπ = 0+ y forman el triplete isospínico(T = 1); mientras el estado base del N14 es tan solo un singlete.
6Note que los miembros de un mismo multiplete tienen el mismo spin y paridad (Jπ) por lasimilitud de sus estructuras. Si A es el número másico y N es el número de neutrones, A = Z+N =2Z−(Z−N) = 2Z−2TZ . Note que la determinación de las constantes en la ecuación (2.117) requeriríaal menos tres ecuaciones linealmente independientes es decir (al menos un triplete isospínico)
2.5 El núcleo atómico como sistema cuántico 37
T = 1
T = 0
T = 1
T = 0
T = 0
T = 0 T = 1
β
β+
0,6%99,4%
0,156
2,312
3,945
4,915,10
0 1
0
1
02
2mec2 0+
14CTz = −1
14NTz = 0
14OTz = +1
Figura 2.9: Triplete isospínico.
Las funciones de onda para un sistema de nucleones en un multiplete isospínico eisóbaro son muy semejantes entre ellas, excepto por la sustitución de un neutrón porun protón. Se supone que sus energías (energías de sus estados) deben ser similaresdesde el punto de vista de la interacción fuerte, es decir, sin considerar la repulsiónelectromagnética.
Ejercicio 2. Estudie el multiplete isospinico A = 11. Consulte el esquema de nivelesde los dos núcleos y discuta sus diferencias.
2.5.6 Momento dipolar magnético
Las partículas elementales y los nucleones (formadores del núcleo atómico) tienengeneralmente un momento angular intrínseco y además un orbital que depende de sumovimiento relativo respecto al centro de masa del sistema. Estos momentos angularestienen asociados momentos dipolares magnéticos.
Los momentos dipolares magnéticos nucleares son del orden de magnitud delmagnetón nuclear (el cual es definido en forma similar al magnetón de Bohr pero conla masa del protón en lugar de la masa del electrón), es decir:
µN =e~
2mp(2.118)
La relación entre los módulos del momento dipolar magnético y el momento angulardefine lo que se conoce como razón giromagnética. Los momentos dipolares magnéticosangulares y de spin están dados por las siguientes expresiones:
~µL = gLµN~
~L y ~µS = gsµN~
~S (2.119)
donde los factores g son los correspondientes factores de Landé orbital y de spin.Por convención, todos los momentos magnéticos son citados como valores má-
ximos en la dirección de cuantización (mℓ = ℓ) y (ms = s) y son paralelos a suscorrespondientes momentos angulares para cargas positivas y anti-paralelos para car-
38 El núcleo atómico
gas negativas.
El núcleo como sistema compuesto presentará un momento dipolar magnético queseguramente provendrá del acople de varios de sus nucleones. Es por tanto necesariocalcular el momento dipolar magnético para el caso del acople de dos momentosangulares, en este caso el momento angular orbital y el intrínseco.
~J = ~L+ ~S (2.120)
Aún cuando los momentos dipolares magnéticos orbital y de spin son paralelos a suscorrespondientes momentos angulares, el vector momento dipolar magnético total noes paralelo al momento angular total, sino que precesiona a lo largo de la dirección~J , solamente la componente en esta dirección permanece constante, es precisamenteesta componente la asociada con el observable.
~µj = gjµN~
~J (2.121)
~J
~µj
~µs
~µℓ~µ
~S
~L
Figura 2.10: Suma de momentos angulares y momentos dipolares magnéticos.
µj = µ cos(~µ, ~J) = µ~µ · ~Jµ| ~J |
=~µ · ~J| ~J |
(2.122)
~µj =~µ · ~J|J |2
~J (2.123)
2.5 El núcleo atómico como sistema cuántico 39
puesto que
~µ = ~µℓ + ~µs
~µj =(~µℓ + ~µs) · ~J|J |2
~J
~µ =(gℓ~L+ gs~S
) µN · ~J|J |2~
~J
~µ =(gℓ
(~J − ~S
)+ gs~S
) µN · ~J|J |2~
~J
~µ =
[gℓ
(1−
~S · ~J|J |2
)+ gs
~S · ~J|J |2
]µN~
~J (2.124)
de donde,
gj = gℓ
(1−
~S · ~J|J |2
)+ gs
~S · ~J|J |2 . (2.125)
El valor
~S · ~J = ( ~J − ~L) · ~J = J2 − ~L · ~J = J2 − ~L · (~L+ ~S)
~S · ~J = J2 − L2 − ~L · ~S = J2 − L2 − ( ~J − ~S) · ~S~S · ~J = J2 − L2 + S2 − ~J · ~S~S · ~J =
1
2
(J2 − L2 + S2
),
por tanto,
gj = gℓ
(j(j + 1) + ℓ(ℓ+ 1)− s(s+ 1)
2j(j + 1)
)+ gs
(j(j + 1) + s(s+ 1)− ℓ(ℓ+ 1)
2j(j + 1)
)
(2.126)considerando los caso extremos de los valores que puede tomar j cuando ℓ y s estándefinidos,
a) j=ℓ+s
g+j =ℓ
ℓ+ sgℓ +
s
ℓ+ sgs
µ+j =
(ℓ
ℓ+ sgℓ +
s
ℓ+ sgs
)µN~j
µ+j = µℓ + µs
b) j=ℓ-s
g−j =ℓ+ 1
ℓ− s+ 1gℓ −
s
ℓ− s+ 1gs
µ−j =j(ℓ+ 1)
ℓ(j + 1)µℓ −
j
j + 1µs .
40 El núcleo atómico
Para el caso particular s = 1/2 que es de importancia en este estudio, por ser losnucleones partículas con ese valor de spin.
µ±j = j
[gℓ ±
gs − gℓ2ℓ+ 1
]µN . (2.127)
2.5.7 Momento cuadrupolar eléctrico
Una distribución discreta de carga, alrededor del origen de un sistema de referencia,genera un potencial eléctrico en un punto P , a larga distancia de la distribución, dela forma:
φp =∑
i
ei
|~R− ~ri|=∑
i
ei√R2 + r2i − 2Rri cos θi
=∑
i
ei
R
√1 +
(riR
)2− 2
(riR
)cos θi
(2.128)
~R
0
~ri
θi
P
Figura 2.11: Distribución de carga eléctrica.
Si R >> r, se desarrolla el término raíz en serie de potencias en r/R, obteniéndose,
φp =
∑
i
ei
R+
∑
i
eiri cos θi
R2+
∑
i
eir2i (cos
2 θi − 1)
2R3+ . . . (2.129)
Desarrollo que se puede también escribir como:
φp =1
R
∑
i
ei +1
R2
[ℓ∑
i
eixi +m∑
i
eiyi + n∑
i
eizi
]+
+1
R3
[1
2(3ℓ2 − 1)
∑
i
eix2i +
1
2(3m2 − 1)
∑
i
eiy2i+
+1
2(3n2 − 1)
∑
i
eiz2i + 3ℓm
∑
i
eixiyi + 3ℓn∑
i
eixizi + 3mn∑
i
eiyizi
]
donde ℓ, m y n son los cosenos directores de ~R,
ℓ =x
Rm =
y
Rn =
z
R
2.5 El núcleo atómico como sistema cuántico 41
y representa el desarrollo multipolar de la distribución. El primer término correspondeal potencial en el punto P generado por la carga total; el segundo término al potencialgenerado por el momentos dipolar eléctrico (con tres componentes px =
∑eixi,
py =∑eiyi y pz =
∑eizi); el tercero término al potencial generado por los momentos
cuadrupolares eléctricos (compuesto por seis componetes qxx qyy qzz qxy qxz qyz ),etc.
Si se tiene una distribución contínua de carga localizada descrita por ρ(~r ′) dis-tinta de cero en una región finita del espacio. El potencial coulombico debido a estadistribución, puede desarrollarse en términos de los armónicos esféricos como:
φ(~r) =1
4πε0
∫ρ(~r ′)dV ′
|~r − ~r ′| =1
4πε0
∑
ℓ=0
ℓ∑
m=−ℓ
4π
2ℓ+ 1qℓm
Yℓm(θ, φ)
rℓ+1(2.130)
Los coeficientes qℓm7 de los términos del desarrollo se definen como coeficientes mul-tipolares.
qℓm =
∫Y ∗ℓm(θ
′
, φ′
) · r′ℓρ(~r ′)dV ′ (2.131)
Preferentemente se trabaja con Qij el tensor momento cuadrupolar eléctrico de trazanula, definido como:
Qij =
∫(3x
′
ix′
j − r′2)ρ(~r ′)dV ′ (2.132)
Así el potencial se lo puede escribir como:
φ(~r) =1
4πε0
[qr+~p ·~rr3
+1
2
∑
ij
Qijxixjr5
+ . . .] (2.133)
Si la distribución de carga se encuentra sumergida en un campo eléctrico exterior,representado por el potencial ϕ(~r), la energía electrostática del sistema esta dada por:
W =1
2
∫ρ(~r ′)ϕ(~r ′)dV ′ (2.134)
Si se supone que el potencial varía poco en la región de la distribución de carga, sepuede desarrollar el potencial en serie de Taylor alrededor de un origen arbitrario.
ϕ(~r) = ϕ(0) + ~r · ∇ϕ(0) + 1
2
∑
i
∑
j
xixj∂2ϕ
∂xi∂xj
∣∣∣∣0
+ · · ·
ϕ(~r) = ϕ(0) − ~r · ~E(0)− 1
2
∑
i
∑
j
xixj∂Ei∂xj
∣∣∣∣0
+ · · · (2.135)
Como artificio y puesto que el campo externo cumple con ∇ · ~E = 0, al término
7De las propiedades de los armónicos esféricos: (−1)mq∗ℓm = qℓ−m
42 El núcleo atómico
tercero del desarrollo se resta 16r
2∇ · ~E, quedando el potencial:
ϕ(~r) = ϕ(0) − ~r · ~E(0)− 1
6
∑
i
∑
j
(3xixj − r2δij)∂Ei∂xj
∣∣∣∣0
+ · · ·
De manera que:
W =1
2
∫ρ(~r ′)ϕ(~r ′)dV ′ = qϕ(0) − ~p · ~E(0) − 1
6
∑
i
∑
j
Qij∂Ej∂xi
∣∣∣∣0
+ · · · (2.136)
Que pone en evidencia la característica de interacción de los distintos multipolos conel campo eléctrico externo. La carga con el potencial, los dipolos eléctricos con elcampo eléctrico, El momento cuadrupolar eléctrico con el gradiente de campo eléc-trico, etc.
Para una distribución esféricamente simétrica de carga, se tiene que:
〈x2〉 = 〈y2〉 = 〈z2〉 = 1
3〈r2〉, (2.137)
por tanto, el momento cuadrupolar eléctrico se anula, i.e., Q = 0.
Para núcleos con distribución de carga en forma de esferoide prolato, se tiene que:3〈z2〉 > 〈r2〉. Por tanto,
Q > 0
Una estimación de su valor es:Q ≈ +2〈r2〉. (2.138)
Para núcleos con distribución de carga de forma esferoide oblato, se tiene que: 3〈z2〉 <〈r2〉. Por tanto,
Q < 0
que aproximdamente, se puede escribir como:
Q ≈ −〈r2〉 . (2.139)
Prolato Oblato
Figura 2.12: Esquema de elipsoide de revolución prolato y oblato.
Tanto los núcleos con spin: j = 0 y j = 1/2 son esféricamente simétricos, por
2.5 El núcleo atómico como sistema cuántico 43
lo cual Q = 0. Cuando j = 0 el núcleo no tiene un eje preferido (la distribución decarga es esféricamente simétrica). Cuando j = 1/2 también se tiene una distribuciónde carga esféricamente simétrica. Esto se demuestra mediante el siguiente análisis:
z′ → ~r ′ ~JJ
=1
J(x′Jx + y′Jy + z′Jz)
z′2 =1
j(j + 1)
[x′2J2
x + y′2J2y + z′2J2
z + 2x′y′(JxJy + JyJx) + · · ·]
Por las relaciones de anticonmutación de las componentes de spin se tiene:
JxJy + JyJx = 0
J2x = J2
y = J2z = 1/4
j(j + 1) = 3/4
z′2 =4
3· 14(x′2 + y′2 + z′2) =
~r2 ′
3
Por tanto, para este caso también se tiene que: Q = 0.
Capítulo 3
Fuerza entre nucleones
En este capítulo se estudia la interacción entre nucleones a través de las propiedadesque presenta el sistema más simple de nucleones, llamado deuterón; y del estudio decolisiones entre nucleones a baja energía. Se discuten las propiedades de la interacciónnuclear obtenidas a través de datos experimentales y se plantea un potenial fenome-nológico que las contenga.
La interacción fuerte entre nucleones es la responsable de mantener a éstos unidosen un volumen bien reducido como es el del núcleo atómico. Algunas propiedades dela fuerza nuclear se pueden inferir directamente, así:
• A distancias cortas es más fuerte que la electromagnética (¡de allí su nombre!).
• A distancias del orden atómico es despreciable, la interacción entre núcleos demoléculas es solo de naturaleza electromagnética.
• Algunas partículas son inmunes a esta interacción. Estas partículas se denomi-nan leptones.
Si se empieza a explorar experimentalmente se pueden encontrar otras propiedadesde la interacción fuerte, así:
• La fuerza entre nucleones parece ser independiente de si los nucleones son pro-tones o neutrones (independencia de carga)
• La fuerza nucleón-nucleón depende de las orientaciones relativas de los spinesde los nucleones, es decir si éstos son paralelos o anti-paralelos.
• La fuerza nucleón-nucleón incluye un término repulsivo, la cual mantiene a losnucleones a una separación promedio.
• La fuerza nucleón-nucleón tiene una componente no central o tensorial, el mo-mento angular en consecuencia no es una constante del movimiento.
45
46 Fuerza entre nucleones
3.1 Sistema de dos nucleones
Los tres posibles sistemas formados por dos nucleones son (n, n) (p, p) y (n, p). Losdos primeros no tienen estados ligados, i.e., no existen. El sistema de nucleones mássimple que presenta un estado ligado estable es el (n, p) y se lo llama deuterón.
3.1.1 Deuterón
Este sistema consiste de un protón y un neutrón unidos por la interacción fuerte.El estado base del deuterón es el único ligado, es decir, no existen estados excitadosligados.
Protón
Neutrón
Deuterón
Figura 3.1: Esquema del deuterón.
La energía de enlace de los nucleones en el deuterón puede ser estimada de dife-rentes maneras. Por ejemplo midiendo con gran precisión la diferencia de masas delos siguientes compuestos:
Mat(C6H12)−Mat(C6D6) = (9,289710 ± 0,000024)10−3 uma
Mat(C5D12)−Mat(C6D6) = (84,610626 ± 0,000090)10−3 uma
de la primera, considerando que la masa de Hidrógeno es 1.007825037 uma se encuen-tra que:
Mat(H2) = 2,014101789 ± 0,000000021 uma
y de la segundaMat(H
2) = 2,014101771 ± 0,000000015 uma
utilizando cualquiera de las ecuaciones encontramos que la energía de enlace es:
BE =[Mat(H
1) +mn −Mat(H2)]= 2,22463 ± 0,00004 MeV. (3.1)
Se puede también determinar la energía de enlace mediante la reacción
H1 + n→ H2 + γ (3.2)
y midiendo la energía del rayo gamma emitido
BE = 2,2245893 ± 0,0000002 MeV. (3.3)
Otro método es mediante el proceso inverso al anterior, es decir, la foto disociación:
γ +H2 → H1 + n (3.4)
3.1 Sistema de dos nucleones 47
La energía mínima del rayo gamma que produce tal proceso será igual a la energíade enlace (con una pequeña corrección por retroceso). El valor encontrado es:
BE = 2,224± 0,002 MeV. (3.5)
Modelo básico
El valor promedio de la energía de enlace por nucleón, en la mayoría de núcleos, esde aproximadamente 8 MeV/nucleón, lo que muestra que el deuterón es un sistemadébilmente ligado.
Una descripción cuántica simplificada del sistema deuterón es el de considerar unapartícula de masa reducida m ubicada en un pozo de potencial finito de profundidad−V0, que representa la interacción fuerte entre los dos nucleones, i.e.,
V (r) =
−V0 para r < R
0 para r > R
DistanciaRE
−V0
V (r)
Figura 3.2: Pozo de potencial que representa la interacción de nucleones en el Deuterón.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo será:
− ~2
2m∇2Ψ+ VΨ = EΨ (3.6)
cuya solución general, para el caso de potenciales que solo dependen del módulo der, es de la forma
Ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) (3.7)
siendo Y (θ, φ) las funciones armónicas esféricas, etiquetadas por dos números cuánti-cos (ℓ,m). La función de onda radial R(r) satisface la siguiente ecuación diferencial:
1
r2d
dr
(r2dR
dr
)+
2m
~2
[E − V − ℓ(ℓ+ 1)~2
2mr2
]R = 0. (3.8)
Considerando entonces el valor de V (r) en cada región:
Región I (r < R)La componente radial de la función de onda, en este caso, es:
Rℓ(r) = C1Jℓ(k1r) (3.9)
48 Fuerza entre nucleones
donde Jℓ son funciones esféricas de Bessel y
k1 =
√2m(V0 + E)
~2(3.10)
las primeras funciones esféricas de Bessel son:
J0(k1r) =sen(k1r)
k1r
J1(k1r) =sen(k1r)
(k1r)2− cos(k1r)
k1r
J2(k1r) =
[3
(k1r)3− 1
k1r
]sen(k1r)−
3
(k1r)2cos(k1r)
Región II (r > R)La componente radial de la función de onda, en esta región, es:
R2(r) = C2 exp
(iπ
(ℓ+ 2)
2
)h(1)ℓ (ik2r), (3.11)
donde las funciones h(1)ℓ son las esféricas de Hankel de primera clase y k2 =
√−2mE~2
,
definido positivo puesto que E < 0, las primeras funciones de Hankel tienen la forma:
h(1)0 (ik2r) =
−1k2r
exp(−k2r) (3.12)
h(1)1 (ik2r) =
−1ik2r
(1 +
1
k2r
)exp(−k2r) (3.13)
h(1)2 (ik2r) =
1
ik2r
(1 +
3
k2r+
3
(k2r)2
)exp(−k2r) (3.14)
para grandes separaciones entre neutrón y protón (r ≫ R) se obtiene una formacomún para la solución en esta región, válida para todos los valores de ℓ.
R2(r)→ N2exp(−k2r)
k2r(3.15)
Una forma alternativa de la ecuación de Schrödinger para la componente en r,en un potencial central, se obtiene mediante el cambio de la función radial por unanueva definida como:
u(r) = rR(r) (3.16)
la ecuación de Schrödinger queda entonces
− ~2
2m
d2u
dr2+
[V +
ℓ(ℓ+ 1)~2
2mr2
]u(r) = Eu(r). (3.17)
3.1 Sistema de dos nucleones 49
Para el caso más simple (ℓ = 0), es fácil de resolver:
− ~2
2m
d2u
dr2+ V u(r) = Eu(r) (3.18)
Aplicando al caso del Deuterón,
Para la región I (r < R) se tiene:
u1(r) = A sen(k1r) +B cos(k1r) (3.19)
donde
k1 =
√2m(V0 + E)
~2
Para la región II (r > R) se tiene:
u2(r) = C exp(−k2r) +D exp(k2r) (3.20)
donde
k2 =
√−2mE~2
La condición de no divergencia de la función de onda R(r) para los casos límites:r tendiendo a infinito y r tendiendo a cero, eliminan necesariamente las constantesD y B en cada una de las regiones. Aplicando las condiciones de continuidad para lafunción de onda y su primera derivada se encuentra la ecuación trascendental:
k1 cot(k1R) = −k2 (3.21)
Está ecuación relaciona los valores de E, V0 y R. Si se conocen dos de ellos, seconoce el restante; así, si se conoce la profundidad y el ancho del pozo, sus solucionesdeterminan los valores propios de energía del problema.
De acuerdo con los datos de experimentos de dispersión, se conoce que el radionuclear del deuterón es R = 2,1 fm. Puesto que se conoce también la energía deenlace del deuterón E = −2,2 MeV, entonces de la ecuación trascendental se puedeestimar la profundidad del pozo, y ésta es: V0 = 35 MeV. La energía del primer estadoexcitado se la puede evaluar tomando la segunda solución de la ecuación trascendentalque sería próxima al segundo cero de la cotangente y cuyo valor es: k1R ≈ 3π/2. Unvalor positivo de esta energía indica que el estado es no ligado.
Se debería demostrar también que no existen estados ligados en el deuterón paracasos de ℓ 6= 0. Note que en estos casos, se tiene un potencial efectivo que incluye alpotencial centrífugo (repulsivo), el cual se incrementa al aumentar el valor de ℓ. Elpapel del potencial centrífugo es debilitar al pozo, haciendo al sistema menos ligado.Sería por tanto suficiente mostrar que no existe estado ligado para ℓ = 1.
50 Fuerza entre nucleones
0 2 4 6 8 10
R
u(r)
r(fm)
Figura 3.3: Función u(r) para el sistema Deuteron, caso ℓ = 0.
La figura 3.3 muestra la forma de la función u(r) de la cual se puede inferir ladensidad de probabilidad radial del sistema. Además indica que si la interacción fuerteentre los nucleones hubiese sido un poco más débil, no existiría el estado ligado deldeuterón y posiblemente ni el proceso de fusión nuclear.
Problemas
1. Encuentre la ecuación trascendental para el caso ℓ = 1.
2. Normalice la función de onda del Deuterón (para ℓ = 0) y halle el tiempo medioque los nucleones permanecen fuera del rango de la interacción fuerte.
3. A partir de la ecuación trascendental (para ℓ = 0) demuestre que el deuterónno puede hallarse en un estado excitado. (Solución: Encuentre los ceros de lafunción f = k1cot(k1R) + k2)
Spin y paridad del deuterón
Los valores medidos de estas propiedades para el deuterón son Jπ = 1+.El deuterón es un sistema compuesto, por tanto, su momento angular total resulta
de la suma de los spines del protón y neutrón y el momento angular orbital relativoentre los dos nucleones
~J = ~Sn + ~Sp + ~L (3.22)
sea~S = ~Sn + ~Sp (3.23)
El acople entre los dos spines genera tanto un estado singlete S = 0 como uno tripleteS = 1, éstos a su vez se acoplan con L, dando los posibles estados, que de acuerdocon lo observado, tienen el valor J = 1. Así,
S = 0 ; ℓ = 1 estado 1P1
S = 1 ; ℓ = 0 estado 3S1S = 1 ; ℓ = 1 estado 3P1
S = 1 ; ℓ = 2 estado 3D1
3.1 Sistema de dos nucleones 51
Debido a que la paridad del deuterón es positiva, los estados con ℓ = 1 se eliminan,quedando tan solo el estado triplete con ℓ = 0 y el triplete con ℓ = 2. Este resultadomuestra que el estado base del deuterón o es 3S1 o 3D1 o una superposición de los dos.Adicionalmente muestra que el estado ligado entre el protón y el neutrón (deuterón)se forma solamente cuando el acople de los spines de los nucleones que lo componenes triplete. Se puede inferir por tanto que cuando los nucleones se acoplan en singlete,la interacción fuerte entre los dos no es suficiente para formar un estado ligado.
Momento dipolar magnético del deuterón
El deuterón muestra un momento dipolar magnético experimental
µ = (0,8574376 ± 0,0000004)µN (3.24)
Si se considera que el deuterón se encuentra solo el estado puro S (ℓ = 0), su momentodipolar magnético estaría dado por:
~µ = ~µn + ~µp =gns µN~
~Sn +gpsµN~
~Sp (3.25)
donde los factores g de Landé para el neutrón y protón son:
gns = −3,826084 (3.26)
gps = 5,585691 (3.27)
El momento dipolar magnético observado es la componente z de µ cuando el spintiene el valor máximo de su componente z.
µ = 〈ψs | µz | ψs〉 (3.28)
µ =1
2µN (g
ns + gps) = 0,879804µN (3.29)
Resultado que muestra un valor cercano al experimental, pero no coincidente. Estadiscrepancia puede atribuirse a varios factores, uno de ellos podría ser: no se considerala contribución de los mesones de intercambio en la interacción n− p en el deuterón.
Por otra parte, si se asume que esta discrepancia se presenta porque el estado basedel deuterón puede ser un estado mezclado, es decir, además del estado S(ℓ = 0),tiene una contribución del estado D (ℓ = 2) de modo que su función de onda estadado como:
ψ = asψs + adψd, (3.30)
el momento dipolar magnético, en este caso es:
µ = a2s〈ψs | µz | ψs〉+ a2d〈ψd | µz | ψd〉, (3.31)
donde el operadorµz = µnσn + µpσp + ℓp (3.32)
52 Fuerza entre nucleones
(representado en unidades de µN/~), las σ son los operadores unitarios de spin delneutrón y del protón respectivamente, y
~ℓp = ~rp × ~pp~ℓp =
1
2~L
utilizando la identidad
µnσn + µpσp =1
2(µn + µp)(σn + σp) +
1
2(µn − µp)(σn − σp)
y notando que en el estado triplete los spines son paralelos. Tal que (σn−σp) se anula.Además,
~J = ~L+ ~S
~S =1
2( ~σn + ~σp)
Por lo tanto,µz = (µn + µp)Jz − (µn + µp − 1/2)Lz . (3.33)
Haciendo uso del hecho de que el momento magnético medido experimentalmente esaquel que corresponde al estado mz = j, y puesto que el momento angular orbital nose conoce, su valor medio se lo puede calcular como:
Lz =(~L · ~J)J2
Jz =J2 + L2 − S2
2J2Jz (3.34)
para el Deuterón
• J2 = j(j + 1)~2 = 2~2
• L2 = ℓ(ℓ+ 1)~2 = 0 (para el estado S).
• L2 = ℓ(ℓ+ 1)~2 = 6~2 (para el estado D).
• S2 = s(s+ 1)~2 = 2~2
• Jz = 1~
• 〈ψ | Lz | ψ〉 = 0, para el estado S
• 〈ψ | Lz | ψ〉 = 3/2, para el estado D
µ = a2s(µn + µp) + a2d
[(µn + µp)−
2
3
(µn + µp −
1
2
)]. (3.35)
(representado en unidades de µN ).
Si se considera como dato el valor experimental de µ, y que la suma de los cuadra-dos de las amplitudes de probabilidad de los estados S y D debe ser uno, se obtieneque:
a2s = 0,96 (3.36)
3.1 Sistema de dos nucleones 53
a2d = 0,04. (3.37)
Esto indica que el estado base del deuterón esta formado por una mezcla de estadosS y D (96% estado S y 4% estado D).
La consideración de un estado puro S (ℓ = 0) es buena pero no exacta al describirel momento dipolar magnetico del deuterón.
Momento cuadrupolar eléctrico
Tanto el neutrón libre como el protón libre no tienen momento cuadrupolar eléctricointrínseco, así que cualquier cuadrupolo distinto de cero medido en el Deuterón debetener su origen en el movimiento orbital. Así la contribución de estado puro S (ℓ =0) al momento cuadrupolar es nulo. Sin embargo, el Deuterón tiene un momentocuadrupolar distinto de cero. De hecho su valor experimental es:
Q = 0,00288 ± 0,00002 b. (3.38)
El cual es pequeño pero no cero, de esta forma se refuerza la hipótesis de que el estadobase del deuterón debe ser una mezcla. Si se considera una contribución del estadoD entonces el observable del momento cuadrupolar eléctrico será:
Q =
√2
10asad〈r2〉sd −
1
20a2d〈r2〉dd, (3.39)
donde
〈r2〉sd =∫r2R∗
s(r)Rd(r)r2dr (3.40)
y
〈r2〉dd =∫r2R∗
d(r)Rd(r)r2dr. (3.41)
Para calcular Q se debe conocer la función de onda del estado D. Usando los poten-ciales fenomenológicos realistas da una mezcla de 4% del estado D para producir elvalor de Q experimental.
Esta concordancia en la mezcla de estados deducida tanto del análisis del momentodipolar magnético como del momento cuadrupolar eléctrico debe ser considerada unafeliz coincidencia más no debe ser tomada seriamente puesto que las indeterminacionesen el cálculo teórico de estos observables son muy grandes. Así, en el caso de µ nohay justificación para suponer que se debe usar los momentos dipolares magnéticosde los nucleones libres (de hecho se verá posteriormente que hay una evidencia fuertede lo contrario). Desafortunadamente un nucleón en el deuterón yace entre su estadolibre y fuertemente ligado (es intermedio) y no se puede ver indicios claros sobre quévalor tomar para los momentos magnéticos. La interacción spin-orbita, los efectosrelativistas, los intercambios mesónicos pueden tener grandes efectos en el valor de µmás que la mezcla del estado D (pero también pueden cancelarse unos con otros).
Para el caso del momento cuadrupolar eléctrico, el poco conocimiento de la funciónde onda del estado D produce una gran incertidumbre.
54 Fuerza entre nucleones
Sin embargo, otros experimentos, especialmente de dispersión usando deuteronescomo blancos dan mezclas del estado D de un 4% (confirmando la existencia de dichamezcla). Es importante que se tenga un conocimiento exacto de la función de ondadel estado D porque la mezcla de valores L del deuterón es la mejor evidencia que setiene sobre el carácter no central (tensorial) de la fuerza nuclear o de la fuerza entrenucleones.
3.1.2 Dispersión nucleón-nucleón
Aunque el estudio del deuterón da un número de indicios sobre las propiedades de lainteracción nucleón-nucleón (fuerte), la cantidad de información disponible es limita-da. Para estudiar más a fondo la interacción entre nucleones en diferentes configura-ciones se realizan experimentos de dispersión.
En primera aproximación podemos resolver este problema considerándolo comoel de una partícula con E > 0 en interacción con un pozo de potencial cuadradosemejante al del problema del deuterón.
Si la partícula tiene velocidad v, su momento angular será mvR (R es del ordende los fermis) y su cuantización esta dada como:
mvR = ℓ~ (3.42)
Si mvR ≪ ~ entonces solo son posibles interacciones ℓ = 0. Así para este caso,
v ≪ ~
mRy si se está considerando nucleones, la energía debe cumplir con la condición
E ≪ ~2
2mR2≈ 20 MeV. (3.43)
La ecuación de Schrödinger a resolver, en general, es
− ~2
2m
d2u
dr2+
[V +
ℓ(ℓ+ 1)~2
2mr2
]u(r) = Eu(r). (3.44)
Para el caso de baja energía (ℓ = 0), se tiene:
− ~2
2m
d2u
dr2+ V u(r) = Eu(r) (3.45)
Las soluciones de la función de onda son:
i) Para la región r < R
u1(r) = A sen(k1r) +B cos(k1r) (3.46)
B = 0 (necesario cuando r tiende a cero) con k1 =
√2m(V0 + E)
~2.
ii) Para la región r > R
u2(r) = C ′ sen(k2r) +D′ cos(k2r) (3.47)
3.1 Sistema de dos nucleones 55
con k2 =
√2mE
~2.
La solución en la región r > R, se la puede reescribir como:
u2(r) = C sen(k2r + δ0) (3.48)
Las condiciones de continuidad de las funciones y sus primeras derivadas exigen:
u1(R) = u2(R)
u′1(R) = u′2(R)
lo que resulta en la ecuación trascendental:
k2 cot(k2R+ δ0) = k1 cot(k1R). (3.49)
o equivalentementek2 tan (k1R) = k1 tan (k2R+ δ0) (3.50)
La partícula incidente tiene un k = k2, y δ0 describe la dispersión que sufre la ondaen la interacción. Si se conocen los valores de E, V0 y R se puede encontrar el valorde δ0.
Note que puesto que V0 no puede medirse directamente, se usa la aproximaciónde longitud de dispersión que se desarrolla más adelante.
Si V0 es igual a cero no hay dispersión y k1 = k2 y δ0 se anula.El efecto del potencial nuclear, V = −V0, en la función de onda es muy claro en
este caso. Si V es negativo los ceros de la función se corren hacia el centro dispersor;mientras que ocurre lo contrario si V es positivo.
+V0potencialrepulsivo
−V0potencialatractivo
V0 = 0partícula
libre
desfasamientoδ > 0
desfasamientoδ < 0
kr
kr
kr
Figura 3.4: Efecto del potencial en el desfase de la función de onda.
En un experimento de dispersión lo que se mide es la sección eficaz del proceso osu distribución angular. Es por tanto necesario introducir la teoría de la dispersión.
56 Fuerza entre nucleones
3.1.3 Teoría general de dispersión
La dispersión de una partícula sobre un centro dispersor, desde un punto de vistacuántico, considera una onda plana incidente sobre el centro dispersor del cual seemiten ondas esféricas de salida que representan las partículas dispersadas. La funciónde onda del sistema, por tanto tiene la forma de la suma de la ondas planas másesféricas salientes.
Onda Plana
incidente
Ondas Esféricas
después de la colisión
Figura 3.5: Representación de la dispersión.
La onda plana incidente se expresa como una superposición de ondas esféricas en-trantes y salientes. Después de la dispersión, las ondas esféricas salientes se modificanpor dicho proceso.
La función de onda incidente (plana) se la expresa entonces en base de las funcio-nes esféricas de Bessel1 y las funciones de Legendre.
ψinc = Aeikz = A∞∑
ℓ=0
iℓ(2ℓ+ 1)jℓ(kr)Pℓ(cos θ). (3.51)
Cuando las ondas están lejos del centro dispersor, los esféricos de Bessel se puedenaproximar como:
jℓ(kr) =sen(kr − ℓπ/2)
kr= i
e−i(kr−ℓπ/2) − ei(kr−ℓπ/2)2kr
. (3.52)
así,
ψinc =A
2kr
∞∑
ℓ=0
iℓ+1(2ℓ+ 1)[e−i(kr−ℓπ/2) − ei(kr−ℓπ/2)
]Pℓ(cos θ). (3.53)
Considerando la colisión, la función de onda del sistema estará dada por2
ψ =A
2kr
∞∑
ℓ=0
iℓ+1(2ℓ+ 1)[e−i(kr−ℓπ/2) − ηℓei(kr−ℓπ/2)
]Pℓ(cos θ). (3.54)
1jℓ(kr) =(− r
k
)ℓ ( 1r
ddr
)ℓ ( sen(kr)kr
)
2También se le suele escribir como: ψ = Aeikz + f(θ)eikr
ry dσ
dΩ= |f(θ)|2
3.1 Sistema de dos nucleones 57
donde se ha introducido un factor de dispersión ηℓ en el término de las ondas esféricassalientes, y el cuál en general es un número complejo.Puesto que
ψ = ψinc + ψsc (3.55)
entonces
ψsc =A
2kr
∞∑
ℓ=0
iℓ+1(2ℓ+ 1)(1 − ηℓ)ei(kr−ℓπ/2)Pℓ(cos θ)
ψsc =A
2k
eikr
r
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)i(1 − ηℓ)Pℓ(cos θ). (3.56)
La componente r de la densidad de corriente de probabilidad dispersada es:
jsc =~
2im
(ψ∗
sc
∂ψsc
∂r− ∂ψ∗
sc
∂rψsc
)
jsc = |A2| ~
4mkr2
∣∣∣∣∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)i(1 − ηℓ)Pℓ(cos θ)∣∣∣∣2
. (3.57)
La densidad de corriente de probabilidad incidente es tan solo:
jinc =~k
m|A2|. (3.58)
La sección eficaz diferencial del proceso de dispersión está definida como:
dσ =jsc(r
2dΩ)
jinc, (3.59)
así,dσ
dΩ=
1
4k2
∣∣∣∣∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)i(1 − ηℓ)Pℓ(cos θ)∣∣∣∣2
, (3.60)
integrando esta expresión en todo el ángulo sólido
σsc =∞∑
ℓ=0
πŻ2(2ℓ+ 1)|1 − ηℓ|2. (3.61)
Cada término de la sumatoria corresponde a la contribución de cada onda parcial(en este caso sobre la sección eficaz total), es decir por ejemplo, ℓ = 0, 1, 2, 3, . . .corresponden a las contribuciones de las ondas parciales S,P,D, . . ..
Si la dispersión es elástica entonces: |ηℓ| = 1. Se considera por conveniencia unfactor ηℓ = e2iδℓ donde δℓ es el corrimiento de fase de la onda parcial ℓ-ésima3.
Se puede demostrar fácilmente que |1− ηℓ|2 = 4 sen2 δℓ.
De manera que para el caso de colisiones elásticas la sección de dispersión toma
3Para el caso de colisiones con absorciones, remitirse a la sección 6.5
58 Fuerza entre nucleones
la forma:
σsc =∞∑
ℓ=0
4πŻ2(2ℓ+ 1) sen2 δℓ. (3.62)
Para la dispersión de onda S, en particular se tiene:
σ0 = 4πŻ2 sen2 δ0. (3.63)
Este análisis muestra que la sección eficaz de dispersión esta relacionada con elcorrimiento de fase para cada componente de onda parcial.
Note que en corrimientos de fase δℓ = nπ no hay dispersión; mientras que si loscorrimientos de fase son δℓ =
π2 se tiene una máxima dispersión. En estos valores de
resonancia la sección eficaz depende de la longitud de onda de la partícula incidente.
3.1.4 Interacción neutrón-protón
Ahora se cuenta con la base teórica de colisiones para el análisis de los datos experi-mentales y se empieza con aquellos resultantes de la colisión neutrón-protón.
Regresando al análisis anterior de partícula en el pozo de potencial se puedecalcular el valor del parámetro δ0 y así obtener la sección eficaz para esta aproximación(ℓ = 0).
Considerando un valor de energía de dispersión en el CM menor a 10 keV, con unaprofundidad de pozo de V0 = 35 MeV se encuentran los siguientes valores numéricos:
k1 =
√2m(V0 + E)
~2= 0,92 fm−1 (3.64)
k = k2 =
√2mE
~2≤ 0,016 fm−1 (3.65)
Escribiendo la ecuación trascendental como:
k2 cot(k2R+ δ0) = −b (3.66)
dondeb = −k1 cot(k1R)
y con un poco de manipulaciones trigonométricas se puede demostrar que:
sen2 δ0 =(cos k2R+ (b/k2) sen k2R)
2
1 + b2/k22(3.67)
y así,
σ =4π
k2sin2 δ0 (3.68)
σ =4π
k22 + b2
(cos k2R+
b
k2sen k2R
)2
. (3.69)
3.1 Sistema de dos nucleones 59
Si se considera R = 2,1 fm, se observa que k22 ≪ b2 y k2 ≪ 1. De modo que:
σ ≈ 4π
b2(1 + 2bR) = 4,6 b (3.70)
que sugiere que la sección eficaz es constante a bajas energías. La Figura 3.6 muestradatos experimentales con relación a este resultado4.
0
10
20 •••••••••••••••• ••• •• •
•
••••
• •• • • ••
10 102 103 104 105 106 107
σ(b
arn
s)
Energía cinética del neutrón (eV)
Figura 3.6: Sección eficaz de colisión n− p a bajas energías.
Para valores bajos de energía la sección eficaz experimental toma un valor cons-tante de 20,4 b que numéricamente esta lejos del valor que se acaba de calcular.
Esta discrepancia podría atribuirse al hecho de que la interacción fuerte es de-pendiente de la orientación relativa de los spines de los nucleones involucrados en lacolisión. Puesto que éstos son un neutrón y protón y que son partículas de spin 1/2, alacoplar sus spines, se tiene un estado de spin singlete (S = 0) y otro triplete (S = 1)para el sistema. Entonces habrán cuatro orientaciones de spin relativo, tres asociadosal estado triplete y una al singlete. Cuando el nucleón incidente se aproxima al blanco,la probabilidad de estar en un estado triplete es 3/4 y en el singlete 1/4. Si la seccióneficaz es diferente para los estados singletes y tripletes, entonces:
σ =3
4σt +
1
4σs. (3.71)
El valor 4,6 b en el desarrollo anterior, se determinó haciendo uso de los valores V0y R utilizados en el modelo del deuterón, modelo que solamente describe el caso S = 1(acople triplete), por lo que ese valor de sección eficaz se le asigna a la dispersión enacople triplete. Reemplazando adicionalmente el valor experimental en la ecuaciónanterior se deduce que la sección eficaz de dispersión de los nucleones cuando estanen acople singlete S = 0 debería ser: σs = 67,8 b.
Esta interpretación es correcta. “ la fuerza nuclear depende de la orientación rela-tiva de los spines de las partículas interactuantes”.
4A energías menores a 1 eV, se presenta un incremento en la sección eficaz debido a que el protón,no podría ser considerado libre y el blanco es la molécula de hidrógeno.
60 Fuerza entre nucleones
Directamente, de la observación de las propiedades del deuterón, se hubiéra podidoinferir esta dependencia de la fuerza nuclear con el spin. Si no fuese dependiente enla orientación relativa de spines, se esperaría encontrar estados ligados con S = 0 yS = 1, esencialmente a la misma energía; pero como se ha visto, no existe tal estadoligado para el acople S = 0.
La verificación experimental de que la interacción fuerte tiene esta dependenciaen la orientación relativa de los spines de las partículas interactuantes, se realizamediante la determinación experimental de las secciones eficaces de dispersión deneutrones con moléculas de Orto-hidrógeno (los spines de los núcleos de la moléculason paralelos) y Para-hidrógeno (los spines de los núcleos de la molécula son anti-paralelos).
Para-Hidrógeno Orto-Hidrógeno
Figura 3.7: Esquema del Para- y Orto-Hidrógeno.
La diferencia entre las secciones eficaces de dispersión del neutrón con el orto-Hy el para-H evidenciaría la dependencia de la fuerza nuclear en la orientación relativade los spines de los nucleones interactuantes.
Para realizar este experimento se requiere que la longitud de onda del neutrónincidente sea tal que solape la función de onda de los núcleos protónicos de las molé-culas. Adicionalmente la energía del neutrón debe ser pequeña también para que seevite estados de excitación rotacionales de las moléculas (0,015 eV). Así se utilizanneutrones con energía cinética de 0,01 eV.
El experimento muestra efectivamente diferentes secciones eficaces de dispersiónpara el Para- y el Ortho-Hidrógeno, valores que se muestran a continuación:
σpara = 3,2± 0,2 b, (3.72)
σorto = 108 ± 1 b. (3.73)
Longitud de dispersión
Note que el desfase δ0 de la onda S se determina por la forma de la función deonda real y por ende de la forma del potencial de interacción. Sin embargo, parabajas energías se encuentra que la sección eficaz como función de su energía no sealtera por el escogimiento del potencial y por tanto induce a formular un análisisde dispersión independiente de la forma del potencial 5. Para este fin se ha desarro-llado un formalismo que describe la dispersión a baja energía en términos de uno odos parámetros: la longitud de dispersión, como aproximación de energía cero; y el
5La sección eficaz cuando k tiende a cero es 4πa2, la cual corresponde a la de una esfera impe-netrable por lo que se dice que no depende de la forma del potencial nuclear.
3.1 Sistema de dos nucleones 61
rango efectivo que se añade a la anterior y permite aprovechar una gran cantidad dedatos experimentales de colisiones protón-neutron hasta energías de unos pocos MeV.
La longitud de dispersión a, se define como:
lımk→0
σ = 4πa2. (3.74)
Para el caso analizado en esa aproximación se tiene dispersión de la onda S; asíσ = 4πŻ2 sin2 δ0, de modo que:
a ≈ ±sen δ0k≈ ±δ0
kcuando k → 0 (3.75)
Hay una ambigüedad en la definición debida al signo, pero por convención seescoge negativo6. Aunque la longitud de dispersión tiene dimensiones de longitud,este parámetro representa la fuerza de la dispersión y no su rango. Para ver esto,note que δ0 tiende a cero, cuando k tiende a cero de modo que “a” permanece finita.
Si se considera δ0 pequeño, entonces, tomando tan solo el término ℓ = 0 en eldesarrollo de la teoría de dispersión, se tiene:
ψsc = Aδ0e
ikr
kr= −Aae
ikr
r(3.76)
Así, “a” da un efecto de amplitud a la función de onda dispersada.A bajas energías se puede escribir7:
a ≈ −δ0k
(3.77)
y la función de onda dispersada (ecuación 3.48), viene a ser:
u(r) = C sen[k2(r − a)]. (3.78)
El valor de a está dado por el punto en el cual u(r) se hace cero 8. La función deonda que representa la del acople triplete para r > R se parece a la del estado ligadodel deuterón en esa región. Entonces “a” puede visualizarse como la intersección conel eje r de la función de onda de la región fuera del pozo de potencial, extrapoladalinealmente. Así, el valor de at es positivo. Por otra parte, analizando la función deonda, u(r) en la región r < R, y debido a que no existe estado ligado en este caso, lapendiente de la función de onda continua positiva hasta alcanzar la frontera r = Ry prosigue de esa forma en la región r > R. Al extrapolar linealmente la función deonda de esta última región, el cero se alcanza en la región negativa de las r de modo
6La longitud de dispersión se define también como: lımk→0
f(θ) = −a7La sección eficaz σ0 es independiente de θ debido a que λ ≫ R0. En el caso extremo k → 0,
σ0 permanece finito si δ0 → 0. En este caso el desfasamientro no es más el principal parámetro dedispersión. Uno mejor es la longitud de dispersión.
8En realidad la función de onda tiende a ser una línea recta en el límite E → 0 puesto que la
ecuación de Schrödinger, para la región fuera del pozo queda d2u2dr2
= 0
62 Fuerza entre nucleones
que se dice que as es negativo.
Se concluye por tanto que el signo de la longitud de dispersión lleva la informaciónsobre la existencia o no de estados ligados del sistema que se esta dispersando. Lafigura siguiente esquematiza las funciones de onda dispersadas de sistemas que tieneno no estado ligado según lo discutido.
u(r)
r = at
r = R
(a)
r
r = R
r = as
u(r)
r
(b)
Figura 3.8: El signo de la longitud de dispersión indica si hay o no estado ligado en elsistema.
Aplicando este formulismo de la longitud de dispersión al caso de la dispersión deneutrones con el para-hidrógeno y orto-hidrógeno, se pueden determinar las longitudesde dispersión asociadas a la interacción en acople triple y singlete; y con ellos losvalores de sus correspondientes secciones eficaces a bajas energías.
El operador de spin de una partículas de spin 1/2 es:
~Sop ≡ (Sx, Sy, Sz) =1
2~σop =
1
2(σx, σy, σz)
donde σ son las matrices de Pauli. El acople de spines entre dos partículas de spinun medio se cuantifica mediante el siguiente producto,
• ~Sn · ~Sp =1
4(para el acople triplete)
• ~Sn · ~Sp = −3
4(para el acople singlete)
Para obtener un resultado válido para cualquier estado de spin, la longitud de dis-persión triplete o singlete puede expresarse a través de la siguiente identidad:
a =1
4(3at + as) + (at − as)(~Sn · ~Sp)
si se considera que el neutrón interactúa con una molécula de hidrógeno, su longitudde dispersión estará dada por:
a =1
2(3at + as) + (at − as)~Sn · (~Sp1 +
~Sp2)
3.1 Sistema de dos nucleones 63
y puesto que por definición la sección eficaz es:
σ = 4πa2
a2 =1
4(3at + as)
2 + 2(3at + as)(at − as)~Sn · ~SH + (at − as)2(~Sn · ~SH)2
donde se ha usado ~SH = ~Sp1 +~Sp2 ,
El valor medio 〈~Sn · ~SH〉 = 0, adicionalmente
(~Sn · ~SH)2 =1
4~S2H =
1
4sH(sH + 1)
entonces,
a2 =1
4(3at + as)
2 +1
4(at − as)
2sH(sH + 1)
ahora,
sH = 1 en el orto-hidrógeno, y a2 =1
4(3at + as)
2 +1
2(at − as)
2
sH = 0 en el para-hidrógeno, y a2 =1
4(3at + as)
2.
Introduciendo una corrección por la dependencia en la velocidad del neutrón in-cidente, en este caso (velocidad de 770 m/s), las secciones eficaces se pueden escribircomo:
σpara = 5,7(3at + as)2 (3.79)
σorto = σpara + 12,9(at − as)2. (3.80)
Los valores de las secciones eficaces de dispersión experimentales (una vez corregidospor posibles procesos de absorción a la velocidad especificada del neutrón) son:
σpara = 3,2± 0,2 b, (3.81)
σorto = 108 ± 1 b. (3.82)
Si la fuerza fuerte fuese independiente del spin, las longitudes de dispersión parael acople triplete y singlete serían iguales, de manera que las secciones eficaces delpara-H y orto-H serían también iguales.
Los valores experimentales muestran una gran diferencia entre las longitudes dedispersión triplete y singlete, y también sugiere que deben tener signos diferentes, asípor ejemplo si se toma σpara pequeño, entonces −3at ≈ as.
Calculando los valores de las longitudes de dispersión desde los valores experi-mentales de las secciones eficaces se tiene:
as = −23,55± 0,12 fm (3.83)
at = 5,35 ± 0,06 fm. (3.84)
Hay otros experimentos que también son sensibles a diferenciar las longitudes de
64 Fuerza entre nucleones
dispersión triplete y singlete, estos incluyen:
1. La difracción de neutrones en cristales que contienen hidrógeno (hidruros).
2. Reflexión total de neutrones a ángulos pequeños en materiales ricos en hidrógeno(hidro-carbonos).
Sus resultados concuerdan con los obtenidos en el experimento previamente explicado.
La longitud de dispersión es independiente de la forma del potencial nuclear ydepende solo del valor experimental σ0.
La teoría que se ha desarrollado hasta ahora, es válida solo para ℓ = 0, es decir,partículas incidentes de baja energía, E ≪ 20 MeV. Al incrementar el valor de laenergía algunas de las ecuaciones utilizadas dejan de ser válidas. Sin embargo, toda-vía podemos mantenernos dentro de la aproximación ℓ = 0 y tratar el problema parak 6= 0; para ello es necesario desarrollar otra aproximación, la cual se la conoce comola aproximación del rango efectivo.
Radio efectivo
La aproximación del rango efectivo se desarrolla en base a las propiedades de lasfunciones de onda para los casos E 6= 0 y E = 0. Estas funciones y sus funcionesasintóticas asociadas (con V0 = 0) generan la relación:
k cot δ0 = −1
a+
1
2r0k
2 (3.85)
donde la cantidad a es la longitud de dispersión (a energía casi cero) ya definida, yr0 es un nuevo parámetro llamado “rango efectivo”, que es aproximadamente el radioal cual el potencial se anula, en realidad engloba el ancho y profundidad del pozo.Esta aproximación permite utilizar los datos de dispersión neutrón-protón hasta deenergías del orden de los 15 MeV 9.
Una de las ventajas de esta representación es que a y r0 caracterizan el potencialnuclear independientemente de su forma, es decir, repetiríamos todos los cálculos conotro potencial (distinto al pozo cuadrado) y deduciríamos los mismos valores de a yr0 analizando las secciones eficaces experimentales.
Similarmente a las longitudes de dispersión, el rango efectivo es diferente para losestados singlete y triplete. Para una serie de experimentos, se puede deducir el mejor
9Un desarrollo más detallado generaría una expresión más general con más términos de potenciasde k:
k cot δ0 = −1
a+
1
2r0k
2 − Ar30k4 + · · ·
el parámetro A, en el tercer término del lado derecho, define la forma detallada del pozo pero esmuy pequeño para la aproximación de onda S.
3.1 Sistema de dos nucleones 65
conjunto ℓ = 0 de parámetros para la interacción protón-neutrón:
as = −23,715 ± 0,015 fm r0s = 2,73± 0,03 fmat = 5,423 ± 0,005 fm r0t = 1,748 ± 0,006 fm
(3.86)
Se puede estimar la energía del estado singlete del sistema n− p, la cual es +77 keV,que es ligeramente no ligado.
Se sabe que la sección eficaz para el caso ℓ = 0 es:
σ0 =4π sin2 δ0
k2ó también, σ0 =
4π
k21
1 + cot2 δ0
que en función de la longitud de dispersión para velores pequeños de energía se lapuede escribir como:
σ0 =4π
k2 + 1a2(k)
(3.87)
En función de los parámetros a y r0
σ0 =4πa2
k2a2 +(1− 1
2r0k2a)2 . (3.88)
Los errores involucrados en la aproximación de r0 son más pequeños que las indeter-minaciones experimentales para la sección eficaz p− n en el rango hasta 15 MeV.
3.1.5 Interacción protón-protón
Este tipo de interacción, lo mismo que la interacción neutrón-neutrón tiene la par-ticularidad que son interacciones entre partículas idénticas. El proyectil y el blancoviene descritas por una función de onda común, y a causa de que los nucleones sonpartículas de spin 1/2 (es decir, fermiones) esta función de onda debe necesariamenteser anti-simétrica con respecto al intercambio de nucleones (principio de exclusión dePauli). Si consideramos dispersiones de baja energía, es decir ℓ = 0, el intercambio delas coordenadas espaciales de las dos partículas no cambia de signo. Así, la funciónde onda es simétrica con respecto al intercambio de coordenadas espaciales y debenecesariamente ser anti-simétrica con respecto al intercambio de coordenadas de spinde manera que la función de onda total sea anti-simétrica. La función de onda despin anti-simétrica, corresponde a un spin combinado total cero (acople singlete delos spines de los nucleones incidente y blanco) que se la puede representar por lafunción de onda:
χs =1√2[φ1(↑)φ2(↓)− φ2(↑)φ1(↓)] (3.89)
donde las funciones de onda son las de spin para las partículas correspondientes.Se puede decir, en este caso, que solo el acople singlete contribuye con la dispersiónde la onda S. A energías más altas, las dispersiones tipo P (estados espaciales anti-simétricos con ℓ = 1) pueden ocurrir acompañados solo por estados simétricos despin, es decir acople triplete. Las dos colisiones entre partículas idénticas en el sistemacentro de masa que se muestra en la Figura3.9 son equivalentes. No hay forma de
66 Fuerza entre nucleones
distinguir entre estas dos situaciones.
θ
θ
π − θ
π − θ
Figura 3.9: Colisión entre partículas idénticas.
La función de onda dispersada, o amplitud de probabilidad de dispersión, debepor tanto incluir contribuciones para la dispersión por un ángulo θ y por un ánguloπ − θ. Puesto que la sección eficaz es proporcional al cuadrado esta amplitud deprobabilidad, habrá un término proporcional a la dispersión por θ, otro a la dispersiónpor π − θ y otro de interferencia (puramente cuántico).
Al considerar la dispersión protón-protón, la función de onda debe describir tantola dispersión de Coulomb como la nuclear y por tanto habrá un término adicional deinterferencia Coulomb-nuclear en la sección eficaz. Además los términos de Coulomby nuclear se eliminan en el límite cuando e (carga eléctrica) tiende a cero y δ0 tiendea cero, respectivamente.
La sección eficaz diferencial de la dispersión protón-protón (en el sistema interna-cional de unidades) es:(dσ
dΩ
)=
(dσ
dΩ
)
Ruthθ
+
(dσ
dΩ
)
Ruth(π−θ)+
(dσ
dΩ
)
θ(π−θ)+
(dσ
dΩ
)
Ruth-nuclear
+
(dσ
dΩ
)
nuclear
(3.90)donde:
(dσdΩ
)Ruthθ
=(
e2
4πε0
)21
4E2
1
sin4 θ2(dσdΩ
)Ruth(π−θ) =
(e2
4πε0
)21
4E2
1
cos4 θ2(dσdΩ
)θ(π−θ) = −
(e2
4πε0
)21
4E2
cos[η ln tan2 θ2
]
sin2 θ2 cos2 θ2
(dσdΩ
)Ruth-nuclear
= − 2η sin δ0
(e2
4πε0
)21
4E2
(cos[δ0 + η ln sin2 θ2
]
sin2 θ2+
cos[δ0 + η ln cos2 θ2
]
cos2 θ2
)
(dσdΩ
)nuclear
= 4η2
(e2
4πε0
)21
4E2 sin2 δ0
(3.91)siendo, E la energía cinética (en el laboratorio) del protón incidente (protón blanco
3.1 Sistema de dos nucleones 67
en reposo) y θ el ángulo de dispersión en el sistema centro de masa.
η =α
βcon α la constante de estructura fina: α =
e2
4πε0~cy β = v/c.
Los términos pueden identificarse fácilmente:
1. Rutherford θ
2. Rutherford (π − θ)
3. Rutherford Interferencia θ y (π − θ)
4. Interferencia Coulomb-nuclear
5. Nuclear puro
10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.2
0.3
0.4
0.50.60.70.80.9
1
2
3
4
5
dispersión nuclearOnda S pura
dσ/dΩ
(barn
s)
Figura 3.10: Sección eficaz diferencial p− p.
Cuando la carga eléctrica tiende a cero, solamente el término nuclear puro sobre-vive y la sección eficaz coincide con la obtenida anteriormente.
Aunque parece ser complicado en la práctica, el procedimiento para estudiar lainteracción protón-protón es conceptualmente simple; puesto que δ0 es el único pará-metro desconocido en la sección eficaz diferencial. Se puede medir con relativa facili-dad la sección eficaz como función del ángulo de dispersión para un valor determinadode energía incidente de las partículas. De esta forma se extraería el valor de δ0 de unajuste de los datos experimentales con la expresión teórica escrita anteriormente. Asípara E = 3,037 MeV, δ0 = 50,966o.
Valores menores a la curva de nuclear pura en la Figura3.10, corresponden altérmino de interferencia Coulomb-Nuclear.
68 Fuerza entre nucleones
La dependencia de δ0 con la energía E se muestra en la Figura 3.11.
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5
Energía (MeV)
des
fase
(gra
dos)
Figura 3.11: Dependencia del ángulo δ0 como función de la energía
El próximo paso en la interpretación de estos datos es la representación de ladispersión en términos de cantidades independientes de energía, tales como longitudde dispersión y rango efectivo. Desafortunadamente esto no es sencillo puesto que lainteracción de Coulomb es de rango infinito y aún en el caso de que k tiende a cero nopodemos eliminar términos superiores en el desarrollo de la aproximación de rangoefectivo. Sin embargo con ciertas modificaciones y un análisis experimental muchomás elaborado se obtienen los siguientes valores:
a = −17,1± 0,2 fm (3.92)
r0 = 2,84± 0,03 fm. (3.93)
3.1.6 Interacción neutrón-neutrón
El estudio de la dispersión neutrón-neutrón estaría libre de efectos coulombicos ysu análisis sería más sencillo, sin embargo desde el punto de vista experimental elproblema es bien complejo por lo que se realiza mediante medidas indirectas dondeuna tercera partícula esta involucrada. Experimentos delicados, que consideran unaserie de correcciones, pueden dar los valores de la longitud de dispersión y rangoefectivo en este caso. Así, algunas reacciones involucradas son:
π− +H2 → 2n0 + γ (3.94)
n+H2 → 2n0 + p. (3.95)
Es posible deducir los parámetros de la dispersión n − n de la comparación de lareacciones espejo:
He3 +H2 → H3 + 2p (3.96)
H3 +H2 → He3 + 2n0. (3.97)
3.2 Propiedades de la fuerza nuclear y potenciales fenomenológicos 69
El análisis mostró:
a = −16,6± 0,5 fm (3.98)
r0 = 2,66± 0,15 fm (3.99)
donde el a negativo indica la no formación de estado ligado en el sistema neutrónneutrón.
3.2 Propiedades de la fuerza nuclear y potenciales feno-
menológicos
De lo estudiado anteriormente en la interacción entre dos nucleones, se propone plan-tear un potencial fenomenológico que considere todas las propiedades deducidas eneste estudio. Además se considera el hecho de que la interacción fuerte satisface lassimetrías de paridad e inversión temporal, es decir:
• Paridad (inversión espacial) ~r → −~r
• Inversión temporal t→ −t
La conservación de la paridad implica la invariancia del potencial con relación a laindistinguibilidad de las partículas interactuantes fuertemente.
3.2.1 Potencial central
La interacción entre dos nucleones, consiste de un pozo de potencial atractivo Vc(r)como primera aproximación a la interacción fuerte, que depende de la distancia inter-nucleónica.
3.2.2 Dependencia en el spin
¿Cuál es la forma del término adicional que debemos añadir al potencial nuclear paratomar en cuenta esta dependencia en el spin? Este término debe depender de losspines de ambos nucleones pero no todas las combinaciones son posibles. La fuerzanuclear debe satisfacer las simetrías anteriormente mencionadas, que restringen laforma del potencial que se busca.
En una inversión espacial, el momento angular no varía (pseudo vector) mientrasque si lo hace en una inversión temporal. De modo que términos ~s1, ~s2 o combinacio-nes lineales de estos son prohibidos. Se debe entonces plantear términos cuadráticos~s1
2, ~s22 y ~s1 · ~s2. Todos estos son invariantes respecto a la paridad. El término más
simple que involucra los dos spines de los nucleones es el más apropiado.Consideremos este valor para los estados singlete y triplete.
S2 = ~S · ~S = (~s1 + ~s2) · (~s1 + ~s2)
~s1 ·~s2 =1
2(S2 − s21 − s22) =
1
2[S(S + 1)− s1(s1 + 1)− s2(s2 + 1)] ~2.
70 Fuerza entre nucleones
Para nuestro caso s1 y s2 valen 1/2.Entonces, para el estado singlete y triplete se tiene:
~s1 ·~s2 = −3
4~2
~s1 ·~s2 =1
4~2.
Así, la expresión que se debe incluir en el potencial por la dependencia del spin será:
VS(r)(~s1 ·~s2) (3.100)
que dará diferentes secciones eficaces calculadas para los estados singlete y triplete. Lamagnitud VS puede ajustarse para dar las diferencias correctas entre dichas seccioneseficaces. La dependencia radial se puede ajustar para dar la apropiada dependenciaen energía. Podríamos también escribir este potencial en función de más parámetros:
V (r) =
(~s1 ·~s2~2
− 1
4
)V1(r) +
(~s1 ·~s2~2
+3
4
)V3(r) (3.101)
donde V1 y V3 son potenciales que separadamente dan los apropiados comportamien-tos de los estados singlete y triplete.
3.2.3 Contribución no central (o tensorial)
La evidencia experimental de una fuerza tipo tensorial esta dado por el valor Qdistinto de cero del momento cuadrupolar eléctrico del Deuterón en el estado base.Un estado S puro (ℓ = 0) tiene una función de onda esféricamente simétrica y eneste caso Q debería anularse. Es por tanto necesario que sea una mezcla de estado Sy estado D (ℓ = 2). Las funciones de onda con mezclas de ℓ deben ser el resultadode potenciales no centrales. Esta fuerza tensorial se la puede representar por unpotencial que depende del vector posición antes que de su modulo. Para un nucleónsimple el escogimiento de una cierta dirección espacial es arbitrario, su única direcciónde referencia es la de su spin y por tanto solo términos de la forma (~s ·~r) o (~s× ~r) ,los cuales relacionan ~r a la dirección de ~s, son los que contribuirían al potencial. Parasatisfacer los requerimientos de invariancia de paridad debe haber un número par defactores de ~r, y así para dos nucleones el potencial debe depender de términos talescomo:
(~s1 ·~r)(~s2 ·~r)(~s1 × ~r) · (~s2 × ~r)
se puede demostrar que estos dos términos pueden escribirse uno como función delotro. Sin pérdida de generalidad, la contribución tensorial al potencial inter-nucleónicopuede ser de la forma:
VT = V4(r)
[3
r2(~s1 ·~r) · (~s2 ·~r)− (~s1 ·~s2)
](3.102)
3.2 Propiedades de la fuerza nuclear y potenciales fenomenológicos 71
el cual da a la fuerza fuerte su carácter tensorial y cuyo promedio en todas las direc-ciones se anula.
3.2.4 Simetría e independencia de carga
La simetría de carga (nuclear) se puede expresar, para la interacción de dos nucleones,diciendo que la interacción entre dos protones es idéntica a la interacción entre dosneutrones:
Fpp = Fnn (3.103)
De acuerdo con lo anteriormente discutido, los parámetros de las dispersiones (p, p)y (n, n) son:
(p, p) (n, n)a = −17,1± 0,2 fm a = −16,6± 0,5 fmr0 = 2,84± 0,03 fm r0 = 2,66± 0,15 fm
La independencia de carga, en forma similar, la podemos representar mediante laecuación:
Fpp = Fnn = Fpn (3.104)
que es un criterio más fuerte que el de simetría de carga. En efecto los parámetrosde dispersión para (n, p) son de aproximadamente (a = −23,7 fm) para el estado deacople singlete, que a primera vista, parece diferir de los valores de la longitud dedispersión para (p, p) y (n, n) que están alrededor de los valores (a = −17 fm).
a = −23 fm a = −17 fm R = 2 fm↑ ↑ ↑
Figura 3.12: Una pequeña variación de la función de onda produce una diferencia razonableen el valor de la longitud de dispersión
Sin embargo, como se puede en la Figura 3.12, las longitudes de dispersión sonextremadamente sensibles a las funciones de onda nuclear cerca de r = R. Unapequeña variación de la función de onda puede producir una gran variación de lalongitud de dispersión. Así, la gran diferencia en este parámetro para (n, n), (p, p) y(n, p) corresponden a diferencias menores del orden del 1% entre los potenciales.
Si se considera entonces la independencia de carga, se podría introducir un po-tencial de la forma:
V1 = V (r)(~T1 · ~T2) (3.105)
Si se quisiera tomar en cuenta la diferencia Fpp = Fnn y Fpn, se podría introducir un
72 Fuerza entre nucleones
potencial nuclear de la forma:
V1 = V (r) ·Tz1Tz2
Un término con el operador Tz1 + Tz2 nos permitiría distinguir entre las fuerzas Fpp,Fnn y Fnp.
Ejercicio Encuentre los valores propios de los siguiente tres operadores:
a) (~T1 · ~T2)
b) Tz2Tz2
c) Tz1 + Tz2
3.2.5 Repulsión a distancias cortas
La interacción nucleón-nucleón viene a ser repulsiva a distancias cortas, esta conclu-sión proviene de consideraciones cualitativas de la densidad nuclear: mientras másnucleones añadimos al núcleo, el núcleo crece de tal forma que su densidad centralpermanece siempre constante y así “algo” impide a los nucleones amontonarse entreellos. Cuantitativamente se puede estudiar la dispersión nucleón-nucleón a altas ener-gías. La Figura 3.13 muestra los desplazamientos de fase para la onda S hasta los500 MeV. A estas energías los desfases de las ondas P y D contribuyen también a lasección eficaz.
100 200 300 400 500
100
50
−50
0
Cre
cim
ient
ode
fase
Energía (MeV)onda P
onda S singlete
onda S triplete
Figura 3.13: Cambio de signo de δ0 al incrementarse la energía.
El desfase de la onda S se puede extraer muy fácilmente de la sección eficazdiferencial, pues éste será el término independiente de θ . Alrededor de los 300 MeV,este desfase cambia de signo (se vuelve negativo) lo que corresponde a un cambiode una fuerza atractiva a una repulsiva. Para considerar esta fuerza repulsiva se
3.2 Propiedades de la fuerza nuclear y potenciales fenomenológicos 73
debe modificar los potenciales antes usados introduciéndoles un término repulsivo adistancias cortas. Así por ejemplo:
V (r) =
∞ r < Rcore
−V0 Rcore < r < R0 r > R
(3.106)
y se puede ajustar Rcore hasta tener un ajuste satisfactorio con el desfase observadopara la onda S (el valor Rcore = 0,5 fm se ajusta bien).
3.2.6 Dependencia en la velocidad relativa entre nucleones
Los datos experimentales de las colisiones entre nucleones muestran una dependenciaen la velocidad relativa entre nucleones, esta dependencia se refleja en el hecho de quelos haces dispersados adquieren una cierta polarización (orientación preferente de suspin), en colisiones entre partículas incidentes y blancos depolarizados.
Esta dependencia se la puede representar por un potencial que contenga la can-tidad de movimiento. Bajo la operación de paridad, ~p cambia de signo y tambiénlo hace bajo la inversión temporal. Así cualquier término que incluya ~p viola ambassimetrías. Si desea mantener una dependencia lineal en la cantidad de movimiento,se ve que el término ~r× ~p satisface paridad pero viola inversión temporal. Sin embar-go, se puede construir todavía un término lineal que satisface ambas operaciones desimetría, y éste es:
V = Vso(r)(~r × ~p) · ~S = Vso(r)~L · ~S (3.107)
donde S es el spin total del sistema de nucleones. Aunque pueden existir términos deorden superior, éste es el de primer orden en ~p que satisface ambas simetrías.
La evidencia experimental que soporta la interacción spin-orbita viene de la ob-servación de la polarización de los nucleones dispersados de colisiones no polarizadas.La polarización de un haz de nucleones (o de nucleones blanco) se define como:
Pol =N(↑) −N(↓)N(↑) +N(↓) (3.108)
donde N(↑) y N(↓) se refieren al número de nucleones con componentes de spin paraarriba y abajo respectivamente. Este parámetro varía de -1 a 1, un haz no polarizadotiene Pol = 0, es decir, igual número de nucleones con spin para arriba y para abajo.
Considere el siguiente experimento de dispersión que muestra una salida de hacespolarizados:
74 Fuerza entre nucleones
θ−θ
Incidentes Blanco
dispersados
Figura 3.14: Representación de colisiones que producen polarización del haz dispersado.
Un haz no polarizado se dispersa con un nucleón blanco con spin para arriba.Suponga que la interacción causa que los nucleones con spin para arriba se dispersenun ángulo θ y los que tienen spin para abajo un ángulo -θ.
Este mismo experimento se lo puede interpretar como la dispersión de un haz nopolarizado por un nucleón blanco con spin para abajo. Y una vez más se ve que losnucleones incidentes con spin para arriba se dispersan un ángulo θ y aquellos conspin para abajo un ángulo −θ. Aunque esta situación parecería violar la simetría dereflexión, uno podría convencerse que no es así mirando la imagen espejo del primerexperimento. La paridad se conserva si en el ángulo θ se observa una polarización Poly el ángulo −θ una polarización −Pol.
θ−θ
Incidentes Blanco
dispersados
Figura 3.15: Representación de colisiones que producen polarización del haz dispersado.
Veamos como la interacción spin-órbita puede dar lugar a este tipo de dispersióncon polarización. La Figura 3.16 muestra dos nucleones cada uno con spin para arribasobre un blanco con spin también para arriba, considerando las dispersiones de cadapartícula individualmente con la partícula blanco, se tiene que, en este caso S = 1(las dispersiones que incluyen solamente ondas S deben ser esféricamente simétricasy por tanto no habrá polarización, es decir, ℓ = 0 en el término spin-orbita. Lasondas P (ℓ = 1) que se dispersan con nucleones idénticos tienen una función de ondaespacial anti-simétrica y por tanto la de spin simétrica). Se asume Vso negativo. Parael nucleón incidente 1, ~L = ~r× ~p está dirigido hacia adentro de la página y por tanto~L · ~S es negativo ya que ~L y ~S apuntan en direcciones opuestas. La combinación totales positiva y hay una fuerza repulsiva entre el nucleón blanco y el incidente 1, el cualsale hacia la izquierda en la Figura 3.16. Para el nucleón 2, ~L apunta hacia arriba y~L · ~S es positivo, lo que hace que este potencial sea negativo, es decir hay una fuerza
3.2 Propiedades de la fuerza nuclear y potenciales fenomenológicos 75
atractiva entre el nucleón blanco y el incidente 2, saliendo este ultimo también haciala izquierda.
b
b
b
nucleón 1
nucleón 2
blanco
pr
r
p
Figura 3.16: Dispersión nucleón nucleón por potencial spin-órbita.
Los nucleones con spin para arriba son por lo tanto potencialmente dispersados ala izquierda. Siguiendo el mismo argumento, los nucleones con spin para abajo serándispersados potencialmente a la derecha. Así, la fuerza spin-orbita puede producirhaces dispersados polarizados cuando un haz no polarizado incide sobre un blanco.
A bajas energías donde la dispersión de onda S domina, no esperaríamos observarpolarización, pero a medida que la energía se incrementa, la contribución de dispersiónde la onda P se incrementa y observaríamos un incremento en la polarización. LaFigura 3.17 muestra datos de un experimento que corrobora este argumento. Dela variación de Pol con el ángulo θ y con la energía E, se podría deducir algo deinformación sobre Vso(r). El tópico general de polarización en reacciones nucleares esmucho más complicado que el analizado aquí, en especial en lo referente a las técnicasexperimentales utilizadas.
Figura 3.17: Resultados experimentales de polarización.
76 Fuerza entre nucleones
De esta cantidad enorme de información experimental (secciones eficaces diferen-ciales, dependencias de spin, polarización) es posible proponer un conjunto de poten-ciales fenomenológicos que se ajustan razonablemente con los datos experimentales.Los cuales pueden usarse en cálculos de núcleos más complicados.
Añadiendo términos al potencial nuclear siempre lograremos un ajuste con losdatos experimentales, pero no incrementamos nuestro conocimiento acerca del meca-nismo de la interacción nucleón-nucleón.
3.2.7 Modelo de fuerza de intercambio
Parece extraño el hecho de que la fuerza nuclear dependa de que si el sistema denucleones está acoplado en estado singlete o triplete y que además dependa si el mo-mento angular es par o impar. Estas dependencias pueden ser justificadas, de maneramuy simple, mencionando que se debe al hecho de que provienen de un intercambiode mesones, lo que lleva a considerar las fuerzas de intercambio.Existen dos argumentos principales que sugieren la presencia de fuerzas de intercam-bio dentro del núcleo:
• Saturación de la fuerza nuclear (densidad nuclear constante). Esto muestra queun nucleón dentro del núcleo atómico interactua con los vecinos más próximossolamente pero no lo permite solaparse mucho tampoco, emulando un enlacecomo el covalente.
• Dispersión (n, p) a altas energías. La sección eficaz diferencial muestra un picofuerte a un ángulo cercano a cero y a 180.
Figura 3.18: Sección eficaz diferencial n− p a energías intermedias.
Se podría estimar los valores de θ para el pico frontal de la sección eficaz dife-rencial. Para pequeños ángulos de deflexión donde la transferencia de cantidad demovimiento ∆p es pequeña,
3.2 Propiedades de la fuerza nuclear y potenciales fenomenológicos 77
θ
∆PP sen θ ≈ θ ≈
∆p
p.
Figura 3.19: Dispersión rasante de nucleones.
Si F es la fuerza promedio que actúa sobre el tiempo de colisión ∆t, entonces∆p = F∆t, la fuerza es: F = −dV/dr, entonces la fuerza promedio debería ser delorden de V0/R, donde V0 es la profundidad del pozo y R su rango (aún si el potencialno fuese cuadrado, se tendría la misma aproximación). El tiempo de colisión sería delorden de R/v, siendo v la velocidad del proyectil. Así,
θ =∆p
p=F∆t
p=V0R
pRv=V0pv
=V02E
siendo E la energía cinética del proyectil.Para valores de energía usados en la figura 3.18, se tiene que los picos frontales
de la sección eficaz diferencial se ubican en el rango de ángulos hasta 10. Puesto quela interacción nuclear actuará a distancias nucleares, se esperaría que las colisionescon pequeño θ son más probables que aquellas con grandes ángulos de desviación.Ciertamente no se esperaría ver picos a 180, aunque es tentador considerar que estepico de reversa en el centro de masa es el resultado de colisiones directas, la indicaciónarriba argumentada dice que tal explicación es poco probable.
Una explicación más exitosa se basa en el intercambio, es decir, si durante lacolisión el neutrón y el protón intercambian lugares. Así en lugar de considerar dis-persiones a grandes ángulos, estas también vienen a ser dispersiones a ángulos chicos.
θ
n
n
pp
Figura 3.20: Esquema de interacción de intercambio.
En este caso se dice que la interacción puede verse como un intercambio de partí-culas virtuales, que es precisamente la forma como se tratan las interacciones desdeel punto de vista de la teoría cuántica de campos. En este caso las partículas eninteracción tienen el siguiente comportamiento,
N1 → N1 + x
x+N2 → N2
¿Cómo es posible que un nucleón emita partículas con energía en reposo mxc2 y
permanezca como el mismo nucleón sin violar la ley de conservación de la energía?Esto no es posible a menos que la emisión y la absorción de dicha partícula tenga lugar
78 Fuerza entre nucleones
en un tiempo ∆t en el cual no hay manera de saber si el principio de conservación hasido violentado. Este tiempo, de acuerdo con la relación de Heisenberg, es:
∆t <~
mxc2. (3.109)
El rango de la fuerza se define como la distancia que estas partículas creadas puedenviajar en el tiempo ∆t.
R = c∆t =~c
mxc2. (3.110)
Para las fuerzas nucleares de rango de 1 fm, se tiene que las partículas de intercam-bio (virtuales) son del orden de los 200 MeV. Se observa la fuerza que resulta delintercambio de partículas pero no a las partículas (virtuales) en sí. Las partículas quemedian la interacción fuerte son los piones (inicialmente llamados mesones). Parasatisfacer toda la variedad de intercambios debe al menos haber 3 piones con cargaseléctricas ±1, 0. Los piones tienen spin cero y masa en reposo (139,6 MeV los carga-dos y 135 MeV el no cargado). Estos son responsables de la interacción a rango largo(1,0 a 1,5 fm) a rangos menores (0,25 fm) el mesón ω (783 MeV) puede contribuir alcentro repulsivo. El intercambio del mesón ρ (769 MeV) puede proveer de la parte deinteracción spin-orbita.
tiempo
π0 π+
n n n p
p p p n
Figura 3.21: Esquema de interacción de intercambio.
El intercambio de un pión puede ser equivalente, por tanto, a un intercambio decarga, y si la emisión o absorción del pión por un nucleón esta ligada al spin delnucleón, el intercambio del pión puede dar lugar también a un intercambio de spin.Se puede pensar entonces que los nucleones intercambian sus coordenadas espacialesy de spin.
Esta es la llamada teoría de intercambio de mesones y fue desarrollada por Yu-kawa. El intercambio mesónico puede ser representado por un potencial de la forma:
V (r) =e−r/R
r(3.111)
donde R representa el rango de la fuerza R ≈ ~
mπcaproximadamente 1,5 fm. Este
potencial se deduce de la ecuación de onda para mesones de spin cero y masa m, lacual es: (
∇2 +m2c2
~2− 1
c2∂2
∂t2
)Φ = 0 (3.112)
3.2 Propiedades de la fuerza nuclear y potenciales fenomenológicos 79
la ecuación independiente del tiempo:
(∇2 + µ2
)Φ = 0 (3.113)
donde µ =mc
~.
Una solución con simetría esférica es:
Φ = ge−µr
r(3.114)
la energía de interacción sería:
V = gΦ = g2e−µr
r(3.115)
Un potencial más detallado es el potencial de intercambio de un pión (OPEP) elcual esta dado por la ecuación:
V (r) =g2π(mπc
2)3
3 (Mc2)2 ~2(2~T · ~T − 1)
[~s1 ·~s2 + s12
(1 +
3R
r+
3R2
r2
)]e−r/R
r/R(3.116)
donde la constante gπ es la constante de acoplamiento de la interacción fuerte.Otra forma de considerar a las interacciones fuertes, en lugar de un intercambio
de mesones virtuales, es el de las fuerzas de intercambio, es decir potenciales quesatisfacen unas ciertas operaciones de simetría. Existen tres fuerzas de intercambio:
1. Intercambio espacial. Fuerzas de Majorana
2. Intercambio de spines. Fuerzas de Bartlett
3. Intercambio espacial y spin. Fuerzas de Heisenberg (intercambio de isospin).
Se puede añadir una fuerza adicional de no intercambio, llamada de Wigner.Mucho antes de considerar a las interacciones como un intercambio de partículas
virtuales, el análisis de las fuerzas de intercambio se hacía de la siguiente manera.Para un sistema de dos nucleones, la función de onda se la puede escribir como unafunción de onda que depende de la posición relativa de las dos partículas y otradependiente del spin, es decir,
Ψ(~r1, ~r2, s1, s2) = Ψ(~r)χ12. (3.117)
De acuerdo con el formalismo mecánico-cuántico, se pueden entonces escribir cuatrotipos de interacciones entre dos cuerpos, una de no intercambio, y las restantes deintercambio. Éstas estan representadas por el producto de potenciales de ajuste yoperadores de intercambio.
a) No intercambio (Wigner)V12 = V (r)W12, (3.118)
donde el operadorW12 es el operador unidad. Las fuerzas son siempre atractivas.
80 Fuerza entre nucleones
b) Intercambio de spin (Bartlett)
V12 = V (r)B12. (3.119)
El operador B12 intercambia los spines, es decir,
B12χ12 = χ21. (3.120)
Para el estado triplete (S = 1) χ12 es simétrica, y para el estado singlete χ12 esantisimétrica, de manera que las fuerzas de Bartlett son atractivas para estadostripletes y repulsivas para los singletes.
c) Intercambio espacial (Majorana)
V12 = V (r)M12. (3.121)
En este caso el operador M12 es el operador paridad. De modo que las fuerzasde Majorana son atractivas para estados de paridad par (estados S, D, . . .) yrepulsivas para estados de paridad impar (estados P,F, . . .)
d) Intercambio espacial y de spin (Heisenberg)
V12 = V (r)H12, (3.122)
donde el operador H12 intercambia las coordenadas espaciales y de spin. Evi-dentemente,
H12 =M12B12. (3.123)
El potencial es atractivo para estados triplete pares y estados singletes impares, esdecir, para estados donde la función de onda Ψ(~r1, ~r2, s1, s2) es simétrica; y repulsi-va para los estados triplete impares o singletes pares, es decir, estados donde Ψ esantisimétrica.
Puesto que la función de onda completa es:
ψespacialψspinψcarga
y debe ser anti-simétrica, la función de onda de carga (o isospínica) debe ser anti-simétrica para el caso de potencial atractiva y simétrica para el caso de potencialrepulsivo.
Los diferentes operadores pueden representarse matemáticamente en función delos operadores de spin y de isospin de la siguiente manera:
W12 = 1 (3.124)
B12 =1
2(1 + ~σ1 ·~σ2) (3.125)
M12 = −1
4(1 + ~σ1 ·~σ2)(1 + ~T1 · ~T2) (3.126)
H12 =1
2(1 + ~T1 · ~T2) (3.127)
3.3 Sistemas de tres nucleones 81
Esto prueba que los potenciales de intercambio o una combinación lineal cualquie-ra de ellos están presentes al describirse la interacción fuerte por medio del potencialtotal planteado anteriormente.
El modo en que las fuerzas de intercambio producirían la saturación nuclear esevidente. Cuantos más nucleones entren en el núcleo, las fuerzas repulsivas tiendena compensar las atractivas e impiden el colapso nuclear. Puesto que en un núcleoatómico habrá aproximadamente tantos nucleones en estados de momento angularimpar como par, un gran predominio de las fuerzas de Majorana sobre las de Wignerconduciría a la saturación (pero esto no se observa). Las fuerzas de Bartlett y Heisen-berg no pueden ser dominantes ya que conducen a repulsión en el estado singlete Sdel deuterón y se sabe que este estado, aunque no tanto como el triplete es tambiénatractivo.
3.3 Sistemas de tres nucleones
Los sistemas de tres nucleones que podemos formar son:
• (n, n, n) no existe.
• (p, p, p) no existe.
• (p, n, n) H3 núcleo del Tritio es núcleo beta radiactivo.
• (p, p, n) He3 Helio 3 núcleo estable.
Tanto H3 como He3 no tienen estados excitados y forman un duplete isospínico.Las principales propiedades de estos elementos se muestran en la Tabla 3.1.
Tabla 3.1
Propiedades H3 He3
Jπ (estado base) 1/2+ 1/2+
µ (en unidades µN ) 2.9786 −2,1274Energía de enlace (MeV) 8.482 7.718Energía de enlace por nucleón (MeV) 2.827 2.573Masa ( uma) 3.016050 3.016030Los valores de momentos dipolares magnéticos excluyen la posibilidad de un estado S puro.
Problemas
1. Considerando que el estado del deuterón es una superposición de estados purosS y D, deduzca por qué hay un término cruzado en el valor medio del momentocuadrupolar eléctrico y no en el dipolar magnético.
2. Evalúe la energía de interacción entre los dipolos magnéticos intrínsecos deldeuterón y compárelos con la energía de enlace. Use como separación media delos nucleones 2 fm.
82 Fuerza entre nucleones
3. Resuelva el problema del deuterón, considerando un potencial con centro repul-sivo finito, es decir:
V (r) =
C 0 ≤ r ≤ b−V0 b ≤ r ≤ R0
0 r ≥ 0.
V0 > 0 C >> V0. Encuentre la función de onda para una partícula con E < 0.
4. A partir de la sección eficaz de dispersión singlete y (ℓ = 0) para p−n (67,8 barn)encontrar la energía del estado del deuterón para este caso. Mostrar que es noligado.
5. A energías del orden de 1 MeV, no es suficiente describir la interacción nucleón-nucleón en términos de la longitud de dispersión. ¿Qué nuevo parámetro seintroduce adicionalmente. El signo de la longitud de dispersión lleva informaciónfísica acerca del sistema? ¿Cuál?
6. El momento cuadrupolar eléctrico del deuterón se lo puede escribir como:
Q =1
10
∫ (√2u(r)w(r) − 1
2w2(r)
)r2 dr
en términos de las funciones de onda u(r) y w(r) de los estados 3S1 y 3D1.Estas funciones están dadas como:
u(r) =
√2k√
1 + n2e−kr ; w(r) =
n√2k√
1 + n2e−kr con k =
√−2mEb
~2
donde: Eb es la energía de enlace del deuterón (2,2246 MeV) y m es la masareducida del sistema.
Considere: mp = 938,28 MeV/c2 y mn = 939,57 MeV/c2. Use la informaciónexperimental del momento cuadrupolar del deuterón, i.e., Q = 0,00288 b, paradeterminar la cantidad de estado D en el deuterón en este modelo.
Capítulo 4
Modelos nucleares
El comportamiento de los núcleos atómicos y sus propiedades llevan a considerardiferentes modelos nucleares que describen de buena manera el comportamiento delos mismos en diferentes situaciones experimentales. El sistema núcleo atómico puedetratarse através de dos aproximaciones bien definidas: a) cuando los nucleones estánmuy ligados los unos a los otros y que se basa en la evidencia experimental de laconstancia de la densidad de materia nuclear, así como de la constancia de la energíade enlace por nucleón, lo que lleva a homologar al núcleo atómico como una gota deun líquido incompresible con energía de condensación constante, b) nucleones pocoligados (casi libres) moviéndose casi independientemente dentro de un potencial neto,modelo de Fermi y modelo de capas.
4.1 Modelo de la gota líquida y fórmula semi-empírica de
masas
Como se ha discutido anteriormente la masa del núcleo atómico la podemos represen-tar como la suma de las masas de sus componentes menos la energía de enlace entreellos.
Mat(Z,A) = ZmH + (A− Z)mn −BE(Z,A)/c2 . (4.1)
Si se pudiese evaluar BE de una fórmula general, todas las masas nucleares seríanencontradas teóricamente. En el modelo nuclear de la gota líquida, la energía de enlaceBE hace el papel de la energía de condensación, considerando las propiedades básicasde la interacción fuerte se puede proponer una fórmula semi-empírica para BE, hechasde varias contribuciones cuyas magnitudes relativas se determinan empíricamente porajuste de parámetros.
4.1.1 Energía de volumen
La mayor contribución a BE proviene de la interacción mutua de los nucleones bajo lainfluencia de la interacción fuerte. Algunas características importantes de las fuerzasinternucleónicas pueden deducirse de la evidencia ya presentada. Por ejemplo, laconstancia de esas fuerzas se indica por la constancia de la energía de enlace por
83
84 Modelos nucleares
nucleón casi sobre todo el rango de A (la variación para Z bajos y altos se debe a queeste efecto es superado por otros). Además la constancia de la densidad nuclear indicaque las fuerzas nucleares son de rango corto, así que las interacciones entre nucleonesson esencialmente confinadas a vecinos más próximos. Si el enlace fuese influenciadopor vecinos no próximos, la fuerza se incrementaría al crecer el número de nucleonesy sería proporcional a A2 en lugar de A, y la densidad también se incrementaría conA en vez de permanecer constante. Entonces:
• BE/A = constante
• BE1 = aVA,
donde aV es la constante a determinarse empíricamente.
4.1.2 Energía superficial
La estricta proporcionalidad entre BE y A asume implícitamente la constancia entrelas fuerzas de interacción de cada nucleón y su inmediata vecindad. Sin embargo losnucleones que se encuentran ubicados en la región superficial están más débilmenteligados que los vecinos interiores debido a que tienen menos vecinos inmediatos. Elnúmero de tales nucleones es proporcional al área de superficie del núcleo, y puestoque R ≈ A1/3, entonces:
BE2 = −aSA2/3 . (4.2)
El signo negativo se debe a que este efecto es opuesto al de ligadura. Siguiendo conla analogía de la gota líquida, vemos que ésta es menor (mayor estabilidad) cuandola gota es esférica, puesto que en este caso el área superficial es mínima. Esperamosque los núcleos esféricamente simétricos son más estables, este argumento no se aplicapara A < 30 y a algunos núcleos pesados pero estables.
4.1.3 Energía de Coulomb
La repulsión electrostática entre cargas de un mismo signo disminuirá la energía deenlace entre nucleones, ésta será proporcional a Z2 y dependerá de la distribución decarga. Suponiendo una distribución de carga esférica y uniforme se tiene un potencialde interacción electrostático
V =3
5
Z2e2
R.
Para una distribución superficial de carga, solamente el coeficiente es el que cambiaa un valor 1/2. Puesto que esta repulsión se opone al enlace entre nucleones, tendrásigno menos, entonces:
BE3 = −aCZ2
A1/3(4.3)
Este término contiene una fracción de auto-energía para cada protón, substrayendoeste término para cada protón, en lugar de Z2 se tendría Z(Z − 1).
4.1 Modelo de la gota líquida y fórmula semi-empírica de masas 85
4.1.4 Energía de asimetría
¿Por qué la naturaleza no presenta materia neutrónica en condiciones normales? Sepuede decir que la naturaleza busca la estabilidad de la materia y ella esta contenidaen la condición de que el número de protones y neutrones en el núcleo atómico debenser iguales (la desviación de esta condición es por la presencia de otros efectos, asípara núcleos pesados hay más neutrones debido a la gran repulsión coulómbica entreprotones). Mientras los efectos anteriores son de tipo clásico, el origen del decrementoenBE debido a la asimetría N , Z yace en un efecto puramente cuántico (vea el modelode gas de Fermi). Para tener una idea de la forma de este término, se nota que paraun líquido de composición dada, la energía es proporcional a la cantidad de líquido,esperaríamos por analogía que el término sea proporcional a A. Se quiere también quesea dependiente sobre N y Z, de tal forma que sea mínima para N = Z, que ademássea simétrica en N y Z. Eso lleva a proponer un término con un numerador de laforma (N−Z)2, el cual se anula en N = Z lo mismo que su primera derivada respectoa Z lo que indica un valor máximo de energía de enlace en ausencia de interacciónde coulomb. Este término se lo normaliza por un factor (N + Z)2, entonces:
BE4 = −aaA(N − Z)2(N + Z)2
= −aa(N − Z)2
A= −aa
(A− 2Z)2
A(4.4)
El signo menos se debe a que esta contribución implica un debilitamiento al enlacepor la asimetría entre el número de protones y neutrones.
4.1.5 Energía de paridad
Al hacer un estudio sobre los elementos estables naturales, se encuentra que los núcleoscon Z par y N par (p − p) son muy estables; los núcleos Z par N impar (p− i) y Zimpar N par (i− p) son algo menos estables; mientras que aquellos con Z impar y Nimpar (i − i) son principalmente inestables, excepto por algunos que salen fuera delmodelo, esto se evidencia en la tabla 2.1. Para tomar en cuenta este efecto de paridadse introduce un término adicional dado por:
BE5 = δ para núcleos (p− p)BE5 = 0 para núcleos (i− p) y (p− i)BE5 = − δ para núcleos (i− i),
donde δ puede escribirse como:
δ = apA−1/2 . (4.5)
Diferentes aproximaciones y procedimientos se han seguido para determinar el valorde las constantes empíricas. Así por ejemplo un conjunto de estos valores es tabuladoa continuación:
• aV = 15,835 MeV
• aS= 18,33 MeV
86 Modelos nucleares
• aC= 0,714 MeV
• aa= 23,2 MeV
• ap= 11,2 MeV
0
5
10
15
20
0 50 100 150 200 250
Energía de volumen
Energía de superficie
Energía de Coulomb
Energía de asimetría
Energía de enlace total
A
Figura 4.1: Se muestra el papel de cada uno de los términos de corrección en la fórmulasemi-empírica de masa.
La fórmula semi-empírica de masa no solo evalúa las masas atómicas de los nú-cleos y las energías de enlace nuclear sino que predice teóricamente un número decaracterísticas del núcleo y su comportamiento, que se discuten a continuación.
Constante del radio desde el coeficiente de CoulombSi se considera conocida la distribución de carga del núcleo atómico, se conoceráentonces un valor para R0 puesto que éste esta contenido en aC . Estableciendo en-tonces un valor de aC junto con sus límites de error con base en un análisis demínimos cuadrados, se puede determinar el valor de R0 y su probable error. Un valorde aC = 0,71051 MeV genera un valor R0 = 1,216 fm. Más recientemente un valoraC = 0,6904 MeV lleva a un valor R0 = 1,251 fm que coincide con aquellos halladospor otros métodos.
Constante del radio desde la energía de enlace para núcleos espejoComo se ha mencionado, los núcleos espejo son aquellos que tienen igual númeromásico pero intercambiado el número de protones y neutrones. Las respectivas masasatómicas para estos núcleos las podemos escribir como: Mat(Z,A) y Mat(A − Z,A)y la diferencia de estas masas lleva a:
∆M =Mat(Z,A) −Mat(A− Z,A) = (A− 2Z)[(mn −mH )− aCA2/3], (4.6)
4.1 Modelo de la gota líquida y fórmula semi-empírica de masas 87
donde (A− 2Z) no es más que el exceso de neutrones del núcleo (Z,A). La diferenciade energías de enlace entre los núcleos espejo es simplemente
∆(BE) = BE(Z,A)−BE(A−Z,A) = (A−2Z)(mn−mH )−∆M = aCA2/3(A−2Z),
(4.7)de allí, el valor ∆(BE) para núcleos espejo da un valor para aC y por ende un valorpara r0.
Fisión del UranioCuando el núcleo de U235 captura un neutrón térmico se forma un isótopo inestableU236 el cual decae por fisión en dos elementos más livianos X y Y más un ciertonúmero de neutrones. Este proceso libera una cantidad de energía de alrededor de1 MeV/nucleón o 200 MeV por núcleo de Uranio.
U235 + n→ U236 → X + Y + xn.
Si se considera las masas de los fragmentos de fisión iguales para este análisis, sepuede estimar el valor Q de la reacción como:
Q =Mat(Z,A) − 2Mat(Z/2, A/2) = aSA2/3(1− 2
1/3) + aCZ2A−1/3(1− 2
−2/3) (4.8)
Q = − 0,2599asA2/3 + 0,3700aCZ
2A−1/3, (4.9)
que para el Uranio 235 da un valor aproximado de 173 MeV.Aún cuando este valor es meramente estimativo, la diferencia es grande para quesea ignorada. La explicación esta en el hecho que los 200 MeV se logra cuando losnúcleos de fisión son estables, en general los productos de fisión son inestables y sedesintegran por una serie de decaimientos los cuales llevan el resto de la energía.
Es importante notar que los dos términos que contribuyen con Q son originadospor la energía de Coulomb la cual se libera, y la energía superficial la cual tiene que sersuplida. El balance de energía en la fisión es una lucha entre las fuerzas electrostáticasy la tensión superficial en el modelo de la gota. Examinando la curva (BE)/A vs Ase puede ver que el proceso de fisión es exotérmico también para núcleos más livianosque el torio y el uranio, de hecho es exotérmico para núcleos hasta A = 150. Sinembargo no se presenta el decaimiento por fisión para estos elementos debido a labarrera de potencial que inhibe este el proceso de fragmentación.
Comportamiento de isóbaros en el decaimiento betaLa estabilidad de los emisores beta puede predecirse por la fórmula semi empírica demasa. Un estudio profundo de los emisores beta muestra que el conjunto de isóbarosA par a menudo incluye dos o tres miembros estables; mientras que conjunto deisóbaros de A impar muestra tan solo un núcleo estable. La fórmula de masas tieneuna dependencia de tipo Z2 con el número atómico, es decir representa una parábola.Así
Mat(Z,A) = k1A+ k2Z + k3Z2 ± δ. (4.10)
88 Modelos nucleares
(Note que el Z estable se encuentra derivando esta función respecto a Z e igualandoa cero).
Zestable =−k22k3
(4.11)
0
1
2
3
4
5
42 43 44 45 46 47
•
•
•
•
•
• β inestable
β estable
A = 101
MeV/c2
Mo Tc Ru Rh Pd Ag
Figura 4.2: Comportamiento de una familia de isóbaros (A impar) en el decaimiento beta.
Para el caso de A par, al decaer mediante la emisión beta, los núcleos cambian de(p, p) a (i, i) cambiando de parábola a parábola, terminando en el valle de la parábolap− p con dos o más núcleos estables.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
43 44 45 46 47 48 49
• β inestable
β estable
A = 106
MeV/c2
Tc Ru Rh Pd Ag Cd In
•
• •
•
β−β+
i− i
p− p
Figura 4.3: Comportamiento de una familia de isóbaros (A par) en el decaimiento beta.
Problemas
4.1 Modelo de la gota líquida y fórmula semi-empírica de masas 89
1. Dedúzcase una expresión para el número atómico del isótopo más estable deuna serie de isóbaros, y explíquese el posible proceso de desintegración de losisóbaros de A par. Por ejemplo, A = 64.
2. Muestre que en el caso de isóbaros de A impar:
M(Z,A) −M(Z0, A) = γ(Z − Z0)2,
donde: γ depende de A, y Z0 es la carga del isótopo más estable. Obténgase losvalores de γ y Z0 para A = 51 a partir de las siguientes reacciones:
V51(p, n)Cr51 Q = −1,53 MeV
H3(p, n)He3 Q = −0,76 MeV
Ti51 decae por beta negativo a V51 + 2,44 MeV
H3 decae por beta negativo a He3 + 0,02 MeV
Rta. 1,595 MeV, 23.
3. Usando el modelo de la gota líquida, hallar el isóbaro más estable para undeterminado A impar. Aplicar a A = 25.
4. ¿Qué fracción de la parte repulsiva o negativa de la energía de amarre es atri-buída a la repulsión de Coulomb para el He4, Ca40, Pb206?
5. Calcular el valor de la energía de transición β+ entre los núcleos espejos N13 yC13. De ese resultado, evalúe el parámetro r0 del radio nuclear.
6. Haciendo uso de la forma semi-empírica de masa calcular la energía de laspartículas α emitidas por el U235. Compárese el resultado de esta prediccióncon el valor experimental.
7. Hacer uso de la fórmula semi-empírica de masa para averiguar si los nuclidos:a) Xe138, b) Xe142, c) Hf181 son emisores beta positivo o negativo.
8. Las masas del Na23 y Mg23 son 22, 989771 y 22, 994125 uma respectivamente apartir de estos datos calcular el valor de la constante aC .
9. Empleando la fórmula semi-empirica de masa, calcular las masas atómicas delC12, Al27, Sr88, Re185 y U235, comparar con los valores medidos y juzgar laprecisión de la fórmula.
10. Comprobar que la energía de repulsión de Coulomb en el Pu238 es el 70% de laenergía total de enlace medida. ¿Qué fracción de esta ultima corresponde a laenergía de superficie?
11. El Si27 y el Al27 son núcleos espejo; el primero es un emisor de positrones conEKmax = 3,48 MeV ¿qué radio puede calcularse a partir de la relación de núcleosespejo? ¿qué valor de r0 resulta?
90 Modelos nucleares
12. Usando la fórmula semi-empírica de masa, dibújese una parábola para A = 153.Su único elemento estable es Eu153. ¿Predice este resultado la fórmula semi-empírica de masas?
13. A partir de la fórmula semi-empírica de masa, dedúzcase una expresión paraB/A (energía de enlace por nucleón) ¿Cuál es el valor previsto para núcleos demasa media?
14. Compárese las energías del efecto superficial para el He4 y el U238.
15. Usar la fórmula semi-empírica de masa para calcular la distribución porcentual ala energía de enlace promedio por nucleón de la energía volumétrica, superficial,de coulomb y asimétrica, para A = 60 y A = 240.
16. De la masa medida para el Sn116 115,901745 uma. Calcular B y B/A en MeV.Calcular las energías de separación para un protón y para un neutrón. Calculartambién los diferentes términos de la fórmula semi-empírica de masa para elSn116 a partir de ellos determinar B, B/A, Sn y la masa.
17. A partir de la fórmula semi-empírica de masa, dedúzcase una expresión para laenergía de desintegración Q liberada en el decaimiento alfa de un núcleo (A,Z).Fijando un valor Z (dígase 84 ) mostrar como varía Q al ir aumentando el nú-mero de neutrones en ese núcleo inicial. Aplicar al decaimiento del núcleo Po212.Usar el valor empírico de 28,3 MeV para la energía de enlace de la partículaalfa.
4.2 Modelo gas de Fermi (de nucleones)
Este es uno de los más primitivos modelos nucleares de partícula independiente dondeal núcleo atómico se lo trata como un gas de nucleones degenerado de Fermi. Estemodelo asume que los nucleones pueden moverse libremente y cumplen el principiode exclusión de Pauli, en el volumen nuclear. Esta situación se puede representar pordos pozos de potencial, uno para neutrones y otro para protones. Los pozos tienendiferentes formas a causa de la repulsión coulombica de los protones.
Se considera el gas como completamente degenerado, de manera que los nucleonesocupan los niveles de más baja energía.
El número de estados ocupados de neutrones es:
N =2V Vp
h3. (4.12)
El número de estados ocupados de protones es:
Z =2V Vp
h3(4.13)
4.2 Modelo gas de Fermi (de nucleones) 91
V0
0
EF,n
−B′
EC
Neutrones Protones
0
EF,p
nivelde Fermi
barrerade Coulomb
Figura 4.4: Gas de Fermi de neutrones y protones en sus correspondientes pozos de poten-cial.
El valor máximo de la cantidad de movimiento de los neutrones será:
PN =~
R0
(9πN
4A
)1/3
. (4.14)
De igual manera para los protones:
PZ =~
R0
(9πZ
4A
)1/3
. (4.15)
El valor de la energía de Fermi tanto para neutrones y protones se lo puede estimarconsiderando N = Z = A/2, y puesto que estamos en aproximación no relativista,
EF =P 2F
2m≈ 40 MeV . (4.16)
La energía media por nucleón
〈E〉 = 3
5EF ≈ 25 MeV . (4.17)
En un desarrollo más detallado, la energía media total del gas de nucleones esta dadacomo:
〈E(Z,N)〉 =N〈EN 〉+ Z〈EZ〉 =3
10m(NP 2
N + ZP 2Z) (4.18)
〈E(Z,N)〉 = 3~2
10mR20
(9π
4
)2/3(N5/3 + Z5/3
)
A2/3, (4.19)
donde se ha considerado iguales valores de masa para los protones y neutrones eiguales anchos de pozo para ambos casos.
Para un valor dado A, el término 〈E(Z,N)〉 tiene un mínimo para el caso Z = N .Para estudiar el comportamiento de 〈E(Z,N)〉 alrededor de este mínimo se define:
92 Modelos nucleares
Z −N = ε y puesto que Z +N = A, entonces,
Z =1
2A(1 +
ε
A
)(4.20)
N =1
2A(1− ε
A
)(4.21)
y considerando que ε/A << 1
〈E(Z,N)〉 = 3~2
10mR20
(9π
8
)2/3 [A+
5
9
(Z −N)2
A+ · · ·
](4.22)
el primer término es proporcional a A, y contribuye a la energía de volumen, elsegundo es de la misma forma que aquel término de corrección por asimetría entre Zy N . El coeficiente de este término es apenas la mitad de aquel correspondiente a aa,esto se debe a que en esta deducción se ha considerado que la profundidad del pozono depende del exceso de neutrones (Z − N). Esta consideración no es muy buenaporque el promedio de interacciones entre nucleones similares es menor que aquelentre neutrones y protones principalmente por el principio de exclusión. El cambioen la profundidad del pozo por este hecho se estima como:
∆V0 = (30± 10)(Z −N)
AMeV,
lo que justifica la subestimación en el factor de asimetría
Problemas
1. Desde el punto de vista del gas de Fermi y suponiendo que la profundidad delcorrespondiente pozo de potencial es de 60 MeV, calcular la energía cinética quedebería poseer una partícula alfa para que al bombardear un núcleo de Ni60 seprodujera la reacción (α, 2n) de forma tal que, en el estado final, la partícula alfaquedara ligada periféricamente al correspondiente núcleo residual. Considereque los neutrones salientes son a) Cualquiera. b) Los del nivel de Fermi (Elradio de la partícula alfa es 2,1 fm).
2. Demostrar que en el gas de Fermi de neutrones, el número de estados degenera-dos con energía menor ~2k2/2m es (2π/9)(kR)3 donde R es la dimensión linealdel volumen en el que están contenidas dichas partículas.
3. Calcular la profundidad del potencial en el modelo de Fermi para los neutronesy para los protones en el Pb208 y en el Ca40.
4.3 Modelo de capas
4.3.1 Evidencia experimental
La teoría cuántica ha sido la base para el desarrollo de la teoría atómica, clarificandomucho los detalles complicados de la estructura atómica. Los físicos nucleares han
4.3 Modelo de capas 93
ensayado, por tanto, su uso para atacar el problema nuclear. En los átomos, se llenanlos estados cuánticos con electrones en orden ascendente con la energía y satisfacien-do el principio de exclusión de Pauli. Cuando se hace esto, se van llenando capas ydejando algunas a medio llenar, el modelo asume que las propiedades atómicas estándeterminadas por los últimos electrones (llamados electrones de valencia). En parti-cular, se observa variaciones regulares y finas en las propiedades atómicas, pero derepente se dan cambios dramáticos en estas propiedades cuando se llena una capa yse va a la siguiente.Por ejemplo, en la Figura 4.5 se muestra como varía la energía deionización de los elementos como función del número de atómico.
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90ZP
ote
nci
alde
ioniz
aci
ón
(eV
)
210
18 36 54 86
Figura 4.5: Energía de ionización de los elementos.
Cuando se quiere llevar este modelo al dominio nuclear aparecen algunas objecio-nes. Así por ejemplo, en el caso atómico, el potencial es suministrado por el campocoulombiano del núcleo. Los orbitales se establecen por un agente externo. Se resuelvela ecuación de Schrödinger para este potencial y se calcula la energía de cada orbitaldonde se ubican los electrones. En el núcleo no hay tal agente externo, los nucleonesse mueven en un potencial que ellos mismos crean.
Por otra parte, como el modelo atómico de capas, el modelo nuclear de capasgeneraría periodicidades en algunas propiedades nucleares. Efectivamente, estas pe-riodicidades han sido encontradas en abundancias relativas de isótopos e isótonos,energías de decaimiento alfa y energías de enlace nuclear. Así, se notó que núcleoscon número de nucleones (protones o neutrones) con valores 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126,...están asociados con una estabilidad particular. A estos números se los conoce con elnombre de números mágicos. Esta observación sugería la presencia de una estructuranuclear de capas. Adicionalmente, se observa que los primeros números correspondenexactamente con aquellos correspondientes al llenado de capas de electrones atómicos.
94 Modelos nucleares
012345
−1−2−3−4−5
50 100 150
S2n(MeV)
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
bbb
b
b
bb
bb
b b
b b b bbb
b
b bb
b
820
2850 82 126
Ca
Ni
Kr Cd
Ce
DyHf
PtPb
U
Figura 4.6: Evidencia de la estructura de capas y los números mágicos.
Otra evidencia de la estructura nuclear de capas se observa en el hecho de que laenergía de separación para los núcleos con masa mayor a un nucleón de aquellos mar-cados con los números mágicos, es mucho menor. Entonces, los núcleos con númerosmágicos estan más fuertemente ligados y requieren mayor energía para ser excitados.
El efecto de los números mágicos se extiende también a estados excitados másaltos, i.e., el espacio entre niveles excitados es mayor para núcleos con números má-gicos. Una evidencia adicional a favor del modelo de capas es la sección eficaz decaptura de neutrones de energía de 1 MeV. En la Figura 4.7 se muestra la seccióneficaz de dicho proceso.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120130
•Na
• Al
•Mg
•Cl
•Si
•Ar
•K
•
V
•Ca
•Mn
•Ni
•Cu
•
Rb
• Sr•Kr
• Xe
• Be
• Ce•La•Ce• Br
• Y•Mo
•Pb
•Bi
• Sn•
Mo
•Nd
• Nd•W •
Pt
•
Hg
•Au
• Re•Re
•Lu
•Lu
•Ta
•Co •Cu
•Ga •Zn
•As
•
Br
• Rb•Ru • Ru• Nb•
Br
•
Ag
•
Sb
•Rb
• In
Número de neutrones
Figura 4.7: Sección eficaz de absorción de neutrones. Se evidencia la estructura de capas.
Al parecer, para núcleos con número de neutrones coincidente con números má-gicos, el neutrón incidente (a ser capturado) tiene mayor dificultad de encontrar unnivel nuclear vacío a la energía correcta, y por tanto su probabilidad de capturadisminuye.
4.3 Modelo de capas 95
A pesar de esta evidencia experimental y debido al éxito relativo del modelo dela gota líquida, se insistió en que la interacción fuerte entre nucleones debería ser tanfuerte que inhibe cualquier estructura de capas. Esta proposición puede sostenersemediante el siguiente argumento.
A partir del principio de incertidumbre de Heisenberg, se conoce que:
Γτ ≥ ~, (4.23)
suponiendo que los nucleones interactúan fuertemente dentro del núcleo y que eltiempo medio entre colisiones es τ .
Si se trataría de determinar la energía que tiene un nucleón en la colisión, éstatendría una incertidumbre dada por: ~/τ . El mayor tiempo entre colisiones que seríarazonable para un núcleo de radio R, será del orden del tiempo que demora un nucleónen atravesar el núcleo. Si v es la velocidad del nucleón dentro del núcleo, entonces,
τ =R
v=
R
p/m=mR
h/λ(4.24)
Considerando adicionalmente que la longitud de onda de los nucleones es del ordende las dimensiones del núcleo atómico, por tanto,
Γ =~2
mR2(4.25)
Que es del mismo orden de magnitud de los espaciamientos energéticos entre losniveles energéticos de los nucleones.
Esto se puede verificar considerando al núcleo como un pozo de potencial infinitopara los nucleones. Los niveles energéticos de los nucleones serán de orden de magnitud
E =~2
mR2(4.26)
Así, los niveles energéticos no estarían claramente definidos puesto que sus anchos sesolaparían, perdiéndose la estructura de capas.
El error en este argumento fue encontrado por Weisskopf. Él mostró que el prin-cipio de exclusión de Pauli restringe severamente la posibilidad de colisiones entrenucleones, así que los tiempos entre colisiones son mucho más grandes que los esti-mados, reduciendo por tanto los anchos de los niveles energéticos y permitiendo unaestructura de capas.
Prohibidas Permitidas
Figura 4.8: Esquema de transiciones o colisiones permitidas y prohibidas por el principiode exclusión.
96 Modelos nucleares
El movimiento de un nucleón simple es gobernado por un potencial causado portodos los otros nucleones. Si se los trata de esta manera se puede permitir a losnucleones, a su turno, ocupar los niveles energéticos como en el caso electrónico.
4.3.2 Modelo de capas de partícula simple
De acuerdo con lo discutido anteriormente, la consideración básica de cualquier mo-delo de capas es que a pesar de la fuerte atracción entre nucleones que provee laenergía de enlace, el movimiento de cada nucleón es prácticamente independiente decualquier otro nucleón. Si todos los acoplamientos inter-nucleónicos son ignorados, selo llama modelo de capas de partícula simple o individual.
En términos de la ecuación de Schrödinger, cada nucleón se mueve en el mis-mo potencial. El potencial en el caso más simple es esféricamente simétrico, aunquehay evidencia de que el potencial tiene forma elíptica para núcleos con número denucleones lejos de los números mágicos.
En cualquier potencial esférico, la función de onda que resuelve la ecuación deSchrödinger puede separarse en su parte radial y angular:
ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) (4.27)
La componente angular son las funciones esféricas armónicas, las cuales están etique-tadas por dos números cuánticos ℓ y m.
La ecuación para la parte radial de la función de onda esta dada como:
1
r2d
dr
(r2dR
dr
)+
2m
~2
[E − V (r)− ℓ(ℓ+ 1)~2
2mr2
]R = 0 (4.28)
o si se cambia a la variable u(r) = rR(r), ésta ecuación se la puede escribir como:
− ~2
2m
d2u
2r2+
[ℓ(ℓ+ 1)~2
2mr2+ V (r)
]u(r) = Eu(r) (4.29)
La condición de no divergencia para u(r) cuando r tiende a infinito, lleva a la condiciónde que u(r) sea un polinomio finito, el cual generalmente depende de los númeroscuánticos (n, ℓ) lo mismo que los valores propios de energía.
Entre los potenciales que se utilizan en la interacción nuclear y que describen elconfinamiento de los nucleones están:
1. Potencial tipo oscilador armónico:
V (r) =1
2mω2r2 (4.30)
2. Potencial pozo infinito.
3. Potencial pozo finito cuadrado.
4.3 Modelo de capas 97
4. Potencial pozo redondeado (Wood-Saxon):
V (r) = −V01
1 + e(r−a)/δ(4.31)
5. Potencial exponencial.V (r) = −V0e−r/a (4.32)
6. Potencial de Yukawa:
V (r) = −V0e−r/a
r/a(4.33)
7. Potencial con centro repulsivo impenetrable.
V (r) =
∞ r < b
−V0 b < r < R(4.34)
El uso de cualquiera de estos potenciales da una descripción similar del comporta-miento cualitativo de los niveles energéticos nucleares. Estos potenciales se ilustranen la Figura 4.9.
r
V (r)
(1)
r
V (r)
(2)
r
V (r)
(3)
r
V (r)
(4)
r
V (r)
(5)
r
V (r)
(6)r
V (r)
(7)
Figura 4.9: Esquema de varios potenciales que podrán usarse para representar la interacciónnuclear.
Si se desarrolla el problema con el potencial armónico, la estructura de los nivelesenergéticos que se obtiene es muy sencilla, así, se encuentra que los niveles energéticosestán igualmente espaciados con valores de energía dados por:
En =
(n+
3
2
)~ω0, (4.35)
siendo n el número cuántico principal. Los valores permitidos de ℓ para varios valores
98 Modelos nucleares
de n se tabulan a continuación
n = 0 ℓ = 0n = 1 ℓ = 1n = 2 ℓ = 0, 2n = 3 ℓ = 1, 3
(4.36)
y así sucesivamente.
Para tener una mejor visión de este asunto, se considera el caso simple de pozode potencial infinito.
V (r) =
∞ r > R
0 r < R(4.37)
En este caso, la ecuación radial a resolver es:
1
r2d
dr
(r2dR
dr
)+
2m
~2
[E − ℓ(ℓ+ 1)~2
2mr2
]R = 0 (4.38)
cuyas soluciones son las funciones esféricas de Bessel.
Rℓ(r) = jℓ(kr) =(− rk
)ℓ(1
r
d
dr
)ℓ(sen(kr)
kr
)(4.39)
donde k =
√2mE
~.
Cada función está etiquetada por el número cuántico ℓ, y tiene un conjunto deceros para dicho número. La condición de contorno para la función de onda define losnúmeros de onda permitidos, los cuales están dados por kR = ηℓ. Siendo ηℓ los cerosde las funciones de Bessel.
De tal manera que los niveles energéticos estarán dados por:
Ej,ℓ =~2η2ℓ,j
2mR2 . (4.40)
Tabla 4.1: Primeros ceros de las funciones esféricas de Bessel
ℓ = 0 3,142 (π) 6,283 (2π) 9,425 (3π)ℓ = 1 4,493 7,725 10,904ℓ = 2 5,764 9,095 12,323ℓ = 3 6,988 10,417 -ℓ = 4 8,183 - -ℓ = 5 9,356 - -ℓ = 6 10,513 - -ℓ = 7 11,657 - -
4.3 Modelo de capas 99
Usando la notación espectroscópica se van ordenando los niveles energéticos enorden ascendente de acuerdo con su aparecimiento. Así, se tiene:
1s, 1p, 1d, 2s, 1f, 2p, 1g, 2d, 1h, 3s, 2f, 1i, 3p, . . .
Note que por ejemplo, 2s indica el segundo cero de la función j0, 1f indica el primercero de j3.
0
0.5
1.0
−0.5
5 10 15
j0(x)
j1(x)
j2(x)
Figura 4.10: Funciones esféricas de Bessel.
Cada nivel puede acomodar 2(2ℓ + 1) nucleones.Si se mejora la aproximación utilizando un potencial finito de profundidad V0 (los
valores R y V0 se pueden encontrar ajustando de valores de energías de enlace y radiosnucleares estimados). Para el caso de potencial finito, la función de onda radial en elrango r > R no se anula sino que toma la forma
hℓ(kr) = jℓ(kr) + iN0(kr) (4.41)
donde las funciones hℓ(kr) y N0(kr) son las funciones de Hankel y Newman esféricas.Además los valores propios de energía varían un poco, de aquellos del pozo infinito,pero la estructura de niveles de mantiene.
Otra mejora tal vez sería la resolución con un potencial pozo finito con bordesredondeados. El resultado muestra un corrimiento de los valores propios de la energíapero la estructura de niveles se mantiene como la del pozo finito, es decir, con númerosmágicos diferentes a los observados. Si se continua cambiando el potencial para tratarde obtener los números mágicos deseados, se pierde el contenido físico del modelo. Porlo que se considera la opción de añadir términos adicionales al potencial para mejorarla situación. En 1949 Mayer y sus colaboradores incluyeron un término de spin-orbitaque produjo la separación deseada. Debe estar muy claro que ésta interacción spin-orbita no es de tipo electromagnético sino nuclear. El potencial que describe estainteracción está dado por:
V = −Vso(r)~L · ~S . (4.42)
La forma de Vso no es importante. El factor ~L · ~S causa el reordenamiento de niveles.La presencia de esta interacción hace que se etiqueten los niveles con los númeroscuánticos j y ℓ (de momento angular total y momento angular orbital).
Para una partícula de spin 1/2, j puede tomar dos valores j = ℓ+ 1/2 y j = ℓ− 1/2
100 Modelos nucleares
Si ℓ = 0 entonces j = 1/2Se calcula el valor ~L · ~S de
J2 = L2 + S2 + 2~L · ~S
~L · ~S =~2
2[j(j + 1)− ℓ(ℓ+ 1)− s(s+ 1)] (4.43)
Por ejemplo, para el caso del nivel 1f que tiene una degeneración de 14, los posiblesvalores de j son 5/2 y 7/2 teniendo entonces que este nivel se separa en un doblete1f5/2 y 1f7/2 cada uno con una degeneración de (2j + 1). La interacción spin-orbitadesdobla el nivel con 14 estados en un doblete de 6 y 8 estados respectivamente. Ladegeneración del f se conserva pero se reagrupan de diferente forma.
La energía de separación entre los dobletes es mayor mientras mayor es el valordel número cuántico ℓ. Esto se puede demostrar evaluando
~L · ~S(ℓ+1/2) − ~L · ~S(ℓ−1/2) =1
2(2ℓ+ 1)~2 . (4.44)
Si se escoge Vso negativo, el miembro del doblete con j mayor tiene menor energía.
Figura 4.11: Esquema de niveles de energía para diferentes potenciales.
Como ejemplo demostrativo del modelo de partícula simple, considere el llenado
4.3 Modelo de capas 101
de los niveles para O15 y O17
protones neutrones protones neutrones
Estados llenosEstados vacíosO15 O17
1d5/2
1p1/2
1p3/2
1s1/2
Figura 4.12: Esquema de niveles y llenado de protones y neutrones según el modelo decapa.
En los dos casos, los ocho protones llenan completamente el nivel y no contribuyenen propiedades nucleares. El modelo de partícula simple (modelo externo de capas)asegura que solo el nucleón no apareado determina las propiedades del núcleo. Enel caso del O15 este neutrón está en el nivel P1/2 por tanto, se puede predecir queel estado base tiene spin 1/2 y paridad (−1)ℓ; mientras que el estado base del O17
tendría spin 5/2 y paridad positiva. Estas predicciones están en exacto acuerdo conlos spines y paridades observadas experimentalmente. De hecho, acuerdos similares seencuentran a través de los intervalos de núcleos A impares (A < 150 y 190 < A < 220)
Se podría dar reglas de llenado para obtener el mejor acuerdo con el experimento.Así,
a) núcleos con protones impares.
1s1/2 1p3/2 1p1/2 1d5/2 2s1/2 1d3/2 1f7/2 1s1/2 1p3/2 1p1/2 1d5/2 2s1/2 1d3/21f7/2 2p3/2 1f5/2 2p1/2 1g9/2 1g7/2 2d5/2 1h11/2 2d3/2 3s1/21h9/2 2f7/2 3p3/2
b) núcleos con neutrones impares
1s1/2 1p3/2 1p1/2 1d5/2 2s1/2 1d3/2 1f7/2 2p3/2 1f5/2 2p1/2 1g9/2 2d5/2 1g7/23s1/2 2d3/2 1h11/2 2f7/2 1h9/2 3p3/2 2f5/2 3p1/2 1i13/2 2g9/2 3d5/2 1i11/2 2g7/2
En la referencia Introductory Nuclear Physics de Krane, se da la siguiente distribu-ción, tanto para los protones como para los neutrones:
1s1/2 1p3/2 1p1/2 1d5/2 2s1/2 1d3/2 1f7/2 2p3/2 1f5/2 2p1/2 1g9/2 1g7/2 2d5/2 2d3/23s1/2 1h11/2 1h9/2 2f7/2 2f5/2 3p3/2 3p1/2 1i13/2 2g9/2 3d5/2 1i11/2 2g7/2 4s1/2
Para cuando los núcleos son A pares, se sabe de antemano que los núcleos par− partienen Jπ = 0+; mientras que los impar − impar tendrán tanto un protón desapa-rejado como un neutrón. Si se considera, en base al modelo de capa de partículaindividual, que las propiedades nucleares estarán dadas por aquellas resultantes delacople de los nucleones desaparejados, entonces:
π = (−1)ℓn+ℓp y (4.45)
102 Modelos nucleares
|jn − jp| ≤ j ≤ jn + jp (4.46)
donde jn y jp son los momentos angulares totales del neutrón y protón desapareados.En este caso, al haber varias posibles soluciones, se utiliza el llamado criterio de Nordheimel cual define el número de Nordheim, N = jp − ℓp + jn − ℓn
Criterio fuerte: Si N = 0 entonces j = |jp − jn|Criterio débil: Si N = ±1entonces j = |jp − jn| o j = jp + jn
(4.47)
Utilizando la última configuración para el llenado de nucleones encuentre Jπ delestado base nuclear de los siguientes elementos: N14, K42, Br80, Tl208. Sus valoresexperimentales son: 1+, 2−, 1+, 5+ respectivamente.
4.3.3 Momento dipolar magnético del núcleo
Los momentos magnéticos orbitales de los nucleones están definidos mediante los si-guientes valores de factores g de Landé:
gℓ = 1 (para el protón) y
gℓ = 0 (para el neutrón por ser partícula sin carga eléctrica)
Sin embargo las magnitudes de los momentos magnéticos de spin son anómalas.Éstas son:
µs = 2,79276µN para el protón (en lugar de µs = µN que se esperaría de acuerdocon Dirac).
µs = −1,91315µN para el neutrón (en lugar de cero de acuerdo con Dirac).
De esta manera se asignan los factores g de Landé para el protón y el neutrón:
gs = 2(2,79276) = 5,585691 (para el protón)
gs = 2(−1,9131) = −3,826084 (para el neutrón)
El resultado anterior se puede utilizar para derivar los momentos magnéticosnucleares según el modelo de capas de partícula simple.
En los núcleos par-par tanto los protones y los neutrones están apareados dandoJ = 0 y por tanto un momento magnético cero.
En los núcleos de tipo impar-par y par-impar, el valor del momento magnético estádeterminado ya sea por el protón o neutrón desapareado respectivamente. Insertando
4.3 Modelo de capas 103
los valores:
gpℓ = 1 gps = 5,58
gnℓ = 0 gns = −3,82
para núcleos Z impar y N par (contribución del protón)
~µj = ~J
(1 +
2,29
j
)µN para j = ℓ+ 1/2
~µj = ~J
(1− 2,29
j + 1
)µN para j = ℓ− 1/2.
(4.48)
Para los núcleos Z par y N impar (contribución del neutrón)
~µj = ~J
(−1,91
j
)µN para j = ℓ+ 1/2
~µj = ~J
(1,91
j + 1
)µN para j = ℓ− 1/2,
(4.49)
a estas relaciones se las conoce con el nombre de fórmulas de Schmidt.
Dibujando estas expresiones en función de j se tiene las llamadas líneas de Schüler-Schmidt, a lo largo de las cuales uno espera que yazcan todos los momentos magnéticosmedidos de núcleos A impar.
Experimentalmente se ve que no es así, sino más bien yacen entre ellas con muypocas excepciones
j = ℓ+ 1/2
j = ℓ− 1/2
Spin nuclear j
1/2 3/2 5/2 7/2 9/2
0
2
4
6
Mom
ento
dipol
arm
agné
tico
Figura 4.13: Gráficas de Schuler-Schmidt (sólidas) para núcleo Z impar N par.
104 Modelos nucleares
j = ℓ − 1/2
j = ℓ + 1/2
Spin nuclear jMom
ento
dipol
arm
agné
tico
−2
−1
0
1
1/2 3/2 5/2 7/2 9/2
Figura 4.14: Gráficas de Schuler-Schmidt (sólidas) para núcleo Z par N impar.
Se nota que en la mayoría de ejemplos la medida del momento magnético puedeusarse para la discriminación entre j = ℓ+ 1/2 y j = ℓ− 1/2 y de aquí, un valor cono-cido de j establece un valor para ℓ, lo que lleva a determinar la paridad de estado enforma directa.
Para el caso de núcleos Z impar -N impar, se podría estimar un valor teórico delmomento dipolar magnético encontrando los gj correspondientes al protón y al neu-trón desaparejado. Posteriormente se haría el acople ~J = ~Jp + ~Jn. En este caso sepodría tener como resultado uno o dos valores dependiendo si el momento angular jse ha discriminado por el criterio de Nordheim para el núcleo en consideración.
Las formulas anteriores de los momentos magnéticos nucleares en sus estadosbase difieren de las expresiones derivadas de la consideración de todo el conjunto deconstituyentes nucleares en movimiento colectivo (modelo colectivo).
Hay evidencia también de que existen núcleos con momentos magnéticos de ordensuperior.
4.3.4 Momentos multipolares electromagnéticos
Muchos de los conocimientos que se tienen acerca de la estructura nuclear provienendel estudio de la interacción electromagnética con el núcleo mismo. Esto es, la inter-acción nuclear fuerte establece la distribución y movimiento de los nucleones dentrodel núcleo y se prueban estas distribuciones con interacciones electromagnéticas. Sepueden usar campos electromagnéticos tal que afecten poco el movimiento de losnucleones.
Los diferentes momentos multipolares generados por la distribución de carga ycorriente de los nucleones están restringidos por consideraciones de paridad. Cadamultipolo electromagnético tiene asociada una paridad determinada. Así los eléctricostienen (−1)ℓ y los magnéticos (−1)ℓ+1 donde 2ℓ es el orden del multipolo.
4.3 Modelo de capas 105
Cuando se calcula los valores esperados, desde sus correspondientes operadores∫
Ψ∗OopΨdV (4.50)
la paridad de la función de onda no es importante puesto que al multiplicarle por suconjugada se tiene paridad (+), entonces es la paridad del operador Oop la importante,y si dicho operador tiene paridad (−) la integral en todo el espacio se anula.
De esta manera, para el núcleo atómico, los momentos electromagnéticos aparecenintercalados:
E0,M1, E2,M3, E4,M5, . . . (4.51)
Por ejemplo,
El momento dipolar eléctrico
DZ =
∫zρ dV (4.52)
ρ = |ψ|2 con ψ = ψ(~r n1 , . . . ~r
nN , r
pA−N , . . . ~r
pA )
DZ = e
A∑
k=A−N
∫zk|ψ(. . . ~r p
k . . . )|2 dV
DZ = 0.
Las componentes del momento cuadrupolar eléctrico se calcula como:
Qij =
∫(3x
′
ix′
j − r′2δij)|ψ(~r ′)|2dV ′
(4.53)
Para una distribución esféricamente simétrica de carga,
〈x2〉 = 〈y2〉 = 〈z2〉 = 1
3〈r2〉, (4.54)
por tanto Q = 0.
Para núcleos con forma esferoide prolato, 3〈z2〉 > 〈r2〉
Q > 0Q ≈ +2〈r2〉. (4.55)
Para un núcleo de forma esferoide oblato, 3〈z2〉 < 〈r2〉
Q < 0Q ≈ −〈r2〉 .
(4.56)
106 Modelos nucleares
Prolato Oblato
Figura 4.15: Esquema de elipsoide de revolución prolato y oblato.
Tanto los núcleos con spin: j = 0 y j = 1/2 son esféricamente simétricos, por locual Q = 0.
Momento cuadrupolar eléctrico nuclear
El calculo de los momentos cuadrupolares eléctricos en el modelo de capas se realizaevaluando el operador (3z2 − r2) en un estado en el cual el momento angular totalde la partícula no apareada tiene su máxima proyección a lo largo del eje z (estoes mj = j). Se asume por ahora que la partícula no apareada es un protón, si sumomento angular está alineado (tan cerca como lo permite la mecánica cuántica) conel eje z. Entonces éste tiene que estar orbitando mayoritariamente en el plano xy.Este daría un momento cuadrupolar negativo Q ≈ −〈r2〉
〈r2〉 ≈ 0,03 b (A = 7)
〈r2〉 ≈ 0,3 b (A = 209) .
Un cálculo mecánico cuántico más fino genera la siguiente expresión para el momentocuadripolar para el modelo de partícula simple, en el caso del protón desaparejadoen el estado j, se tiene
〈Qsp〉 = −2j − 1
2(j + 1)〈r2〉, (4.57)
considerando una esfera uniformemente cargada se puede aproximar
〈r2〉 = 3
5R2 =
3
5R2
0A2/3 . (4.58)
Otra manera de evaluar cuantitativamente los valores de Q es mediante la siguienterelación:
Q =2j − 1
2(j + 1)Q0 . (4.59)
Donde
Q0 =2
5Z(a2 − b2
)≈ 6
5ZR2
(∆R
R
). (4.60)
Con a y b los semiejes del elipsoide de rotación. Adicionalmente se tiene
R3 = a2b R+∆R = b . (4.61)
4.3 Modelo de capas 107
De acuerdo con el modelo de capa de partícula simple, los valores calculados tienenel signo correcto pero son de 2 a 3 veces pequeños. Mayores dificultades se presentanpara el caso de los núcleos con neutrón no apareado. Un neutrón (no cargado) fuera deuna sub-capa llena no debería tener momento cuadrupolar en absoluto. Sin embargose observa que existe aunque son menores al caso del protón no apareado.
Tabla 4.2: Momentos cuadrupolares eléctricos: teóricos y medidos.
Modelo
capas Q calculado
Q medido
Partícula simple 2j en el subnivel
Estado (protón) p n p n
1p3/2 −0,013 −0,0366(Li7) —— 0,0407(B11) 0,053(Be9)
1d5/2 −0,036 −0,12(F19) −0,026(O17) 0,140(Al27) 0,201(Mg25)
1d3/2 −0,037 −0,0825(Cl35) −0,064(S33) 0,056(K39) 0,45(S35)
1f7/2 −0,071 −0,26(Sc43) −0,080(Ca41) 0,4(Co59) 0,24(Ti49)
2p3/2 −0,055 −0,209(Cu63) −0,0285(Cr53) 0,195(Ga67) 0,2(Fe57)
1f5/2 −0,086 ——- −0,20(Ni61) 0,274(Rb85) 0,15(Zn67)
Cuando un sub-nivel contiene más de una partícula, todas las partículas en elsub-nivel pueden contribuir al momento cuadrupolar. Puesto que la capacidad dellenado de cualquier sub-nivel es (2j + 1), es el número de nucleones en la capa nollena variará de 1 a 2j. El correspondiente momento cuadrupolar es:
〈Q〉 = 〈Qsp〉[1− 2
n− 1
2j − 1
], (4.62)
donde n es el número de nucleones en la subcapa (1 ≤ n ≤ 2j) y Qsp es el momentocuadrupolar de partícula simple.
En el caso n = 1 Q = Qsp,
En el caso n = 2j Q = −Qsp.
En la Tabla 4.2 se muestra una evidencia para el cambio de signo de Q predicho porla ecuación anterior.
El modelo falla en predecir momentos cuadrupolares grandes, observados paraciertos núcleos pesados. Esto nos lleva a observar en el núcleo atómico otros aspectosde su estructura que no pueden ser explicados por el modelo de capas.
4.3.5 Nucleones de valencia
A pesar de la simplicidad del modelo de capas de partícula simple, se puede decir quedescribe muy bien casi todos los spines y paridades de los estados base de los núcleosA impar, aunque es poco menos exitoso en la descripción de los momentos dipolaresmagnéticos nucleares así como de los momentos cuadrupolares eléctricos. Como seha mencionado, la consideración básica de este modelo es que todos los nucleonesmenos uno son apareados y las propiedades nucleares surgen del movimiento del no
108 Modelos nucleares
apareado. Esto obviamente, es una simplificación y como una mejor aproximación, sepuede considerar que sean todas las partículas en el último suborbital las que definenlas propiedades nucleares.
Así, en el caso del núcleo Ca43 se tienen 3 neutrones por encima del sub-nivel llenoque corresponde a N = 20. La versión del modelo de partícula simple solo toma encuenta el último no apareado, en este caso deberíamos considerar los tres neutronesdel último nivel, a los que llamaríamos de valencia. Para el Ti45 deberíamos considerarcinco partículas, pues tendremos 2 protones y 3 neutrones de valencia, que están porencima de los niveles con Z = 20 y N = 20 respectivamente.
Si el modelo de partícula simple fuese sólido, estaríamos en la capacidad de repro-ducir diagramas de orbitales nucleónicos, estudiando los niveles excitados nucleares(o viceversa). Considere los núcleos espejo O17 y F17, cada uno de los cuales tiene soloun nucleón arriba del doblete mágico (Z = 8, N = 8) y sus estados bases y excitadosse muestran en la Figura 4.30.
El estado base de ambos núcleos es 5/2+. De la estructura de capas se esperaríaencontrar estados excitados con Jπ de 1/2+ y 3/2+ correspondiente a los niveles 2s1/2y 1d3/2. De acuerdo con esta consideración si se añade más energía al núcleo, su centro,o niveles inferiores, permanece inerte y la partícula no apareada absorbe dicha energíay se muda a niveles más altos. El valor 1/2+ aparece como el primer estado excitado.El 3/2+ es más alto, pero ¿cómo se puede explicar los estados 1/2−, 3/2−, 5/2−?.Los estados de paridad negativa, 2p1/2, 2p3/2, 1f5/2, están muy por encima del nivel1d3/2 en la configuración nucleónica.
La formación del estado 1/2− puede explicarse de la siguiente manera, en lugarde excitar y enviar a otro estado al nucleón desapareado, un núcleo del par del nivel1p1/2 es desacoplado y enviado a 1d5/2 apareándose con el que yace allí, y dejandodesapareado el restante en el nivel 1p1/2, dando lugar al estado 1/2−.
A causa de que la energía de emparejamiento crece con ℓ, es energéticamentefavorable romper un par del nivel con ℓ = 1 y forma otro con ℓ = 2. La verificaciónde esta hipótesis requiere que se determine experimentalmente si las propiedades delestado 1/2− coinciden con aquellas esperadas para el estado 1p1/2 del modelo decapas. Una consideración similar se podría hacer para el estado 3/2− (rompiendo unpar de 1p3/2); pero aún no existe explicación sencilla para el estado 5/2−. Sin embargose podría sugerir que un nucleón del par 1p1/2 se desacopla saltando al estado 2s1/2,quedando en este caso tres nucleónes desaparejados. El acople de sus respectivos jtiene un valor posible de 5/2 y paridad negativa.
4.3 Modelo de capas 109
0
1
2
3
4
5
5/2+
1/2+
1/2−
5/2−3/2−3/2+
1d3/2
2s1/21d5/21p1/21p3/21s1/2
178O9
179F8
Figura 4.16: Diagrama de estados excitados y el modelo de capas.
La siguiente Figura 4.17 muestra los estados base y excitados del Ca41 y Ca43. Siel modelo de partícula simple fuese cierto, las estructuras de niveles serían similares.
0
1
2
3 7/2−
7/2+
1/2+
5/2+5/2−
3/2−
3/2+
3/2−
7/2−
11/2−
5/2+
3/2+
3/2−
5/2−
7/2−
4120Ca21
4320Ca23
E(M
eV)
Figura 4.17: Niveles excitados del Ca41 y Ca43.
Note que las estructuras son muy diferentes. Hay más estados de menor energíapara Ca43 debido al acoplamiento de las tes partículas en el nivel 1f7/2 e ilustra ladiferencia entre un modelo completo de capas y el de partícula simple.
Problemas
1. Usando el esquema de niveles del modelo de capas. Hallar la configuraciónnucleónica, spin y paridad de los siguientes nuclídos: H2, H3, He3, He4, Li7,C12, C13, Cl35, Cl38, N14, Ca43, Co60, Bi206.
i) Hallar los spines y paridades de O15, Mg23, Li6.
110 Modelos nucleares
ii) ¿Qué transiciones son posibles en spin y paridad para un neutrón tipo Fdesde los estados Jπ = 2+, (3/2)−?
iii) ¿Que valores de ℓ debe tomar un protón al ser emitido por un núcleo desdeun estado (5/2)−, al estado (3/2)+?
2. ¿Cuáles son los valores posibles del momento angular total del estado funda-mental del P32? El valor experimental del estado fundamental es J = 1 y el delprimer estado excitado J = 2.
3. Mostrar por qué los estados 3S, 1P , 3P y 3D del sistema neutrón-protón sonlos únicos estados compatibles con el spin nuclear 1.
4. El estado fundamental del Be9 tiene un Jπ = 3/2− y el del Na23 es 3/2+.Calcúlese en magnetones nucleares, el momento magnético de estos núcleos,suponiendo el modelo de partícula simple.
5. Cuando un Haz de moléculas de fluoruro de sodio atraviesa un campo uniformede 4000 Gauss, se observa que puede inducirse una reorientación del núcleode Fluor mediante un campo de radiofrecuencia de 17,36 MHz. Calcúlese enmagnetones nucleares la razón giro-magnética para el núcleo de flúor. Rta. 5,69
6. De acuerdo con el modelo de capas y suponiendo que el núcleo puede ser descritopor un pozo de potencial rectangular de profundidad 30 MeV y ancho 6 fm.Deducir el esquema de niveles energéticos de los estados S(ℓ = 0).
7. De acuerdo con el modelo de capas de una partícula simple predecir el momen-to dipolar magnético de los núcleos B11 y C13 y compararlos con los valoresexperimentales.
8. Estimar δR/R0 para el Lutecio176 que es uno de los núcleos más deformados.
9. ¿Cuál es momento cuadrupolar del Pb207 y Sn117?
10. ¿Qué signo se espera y por qué, para el momento cuadrupolar del K36, In117,Sb125, Co57, Cu61?
11. Estimar el momento cuadrupolar del Ca39 (J = 3/2).
12. Si δR0/R0 es 2,99% para el Gd155 y si R0 = 1,4 fm, hallar el momento cuadru-polar de este núcleo. Rta. Q = 130 Fm2
13. Demostrar que el momento cuadrupolar eléctrico para un elipsoide de revoluciónuniformemente cargado, definido por la ecuación:
x2 + y2
a2+z2
b2= 1,
está dado por:
Q =2Z
5
(b2 − a2
)=
6Z
5R2
0
(δR0
R0
),
4.4 Modelo colectivo 111
siendo Ze la carga total del núcleo, y el radio nuclear promedio se considera
como R30 = a2b, con R0 + δR0 = b, y el volumen del elipsoide es
4
3πa2b.
4.4 Modelo colectivo
El modelo colectivo se devela mediante el análisis de los primeros estados excitadosde los núcleos par-par. Se observa experimentalmente que los núcleos par-par tienensiempre un primer nivel excitado con jπ = 2+ independientemente de su configuraciónnucleónica. El modelo colectivo sugiere la existencia de una estructura fina dentrode los niveles energéticos nucleares debido al movimiento colectivo del núcleo. Paraelementos con pocos nucleones fuera de una estructura de capa llena se producirá unavibración nuclear; mientras que para núcleos con una gran cantidad de nucleones fuerade la estructura de capa llena, producirá una deformación y con ello una rotación de laorientación nuclear que mantiene la deformación (que es energéticamente favorecida).
4.4.1 Núcleos Zpar-Npar
Para el análisis, se considera el caso de Sn130. El modelo de capas predice que estosnúcleos en su estado base tienen 0+. De acuerdo con el modelo de capas, los 50protones llenan el nivel g9/2 y los 80 neutrones fallan en dos para alcanzar el númeromágico 82, en el nivel h11/2.
Un esquema de los primero niveles excitados se muestra en la Figura 4.18.
0
1
2
E(M
eV)
0+
2+
7−4+2+
5−4−6+
Figura 4.18: Últimos niveles del Sn130.
¿Cómo se podría explica el primer estado excitado 2+?
A partir del modelo de capa discutido, para formar un estado excitado se puederomper un acoplamiento de un par de nucleones de los niveles inferiores y llevar auno de ellos al último nivel, el acoplamiento entre los dos neutrones desapareados(que ahora se tiene) determinará el momento y la paridad del núcleo. El movimiento
112 Modelos nucleares
de un protón o de un neutrón de los niveles g9/2 o h11/2 a un nivel vacío mayor,requiere gran energía, por que en este caso se está saltando a una capa superior.Por tanto se espera que las funciones de onda de los estados excitados correspondana excitaciones neutrónicas dentro del último nivel mayor ocupado. Por ejemplo, siconsideramos que la configuración del estado base corresponde a niveles 2d3/2 lleno,3s1/2 lleno y 10 neutrones en el nivel 1h11/2 de la última capa, se podría formar unestado excitado rompiendo el par 3s1/2 y llevando a uno de esos neutrones al nivel1h11/2. Las propiedades del sistema estarían entonces dadas por aquellas que resultendel acoplamiento de estos dos neutrones.
2d3/2
3s1/2
1h11/2
Figura 4.19: Últimos niveles del Sn130.
En este caso se tiene Jπ = 5−, 6−.Otra posibilidad sería cuando un neutrón del nivel 2d3/2 se desacopla y va para
el 1h11/2. En este caso se tiene Jπ = 4−, 5−, 6−, 7−.Varios de estos estados aparecen en el diagrama de energía del Sn130 a valores
mayores a 2 MeV de energía, que es un valor de energía característica para romperun par y enviar a un nucleón a otro nivel dentro de la capa pero no justifican lapresencia del estado 2+. Otra posibilidad seria la de romper un par en el nivel h11/2y que se mantengan allí y se re-acoplen. En este caso,
Jπ = 0+, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+, 7+, 8+, 9+, 10+, 11+.
Pero los dos neutrones que se re-acoplan son partículas idénticas en el mismo nivelℓ = 5 que restringe los momentos angulares a valores pares solamente, es decir, losvalores permitidos son:
Jπ = 0+, 2+, 4+, 6+, 8+, 10+.
En este caso, aparece un estado 2+, pero su energía correspodería a un valor deloden de los 2 MeV de energía. Así mismo, se podría considerar una doble transiciónde neutrones del nivel 2d3/2 a 1h11/2, generando una configuración algo estable, ydesacoplando y re acoplando los dos restantes niveles del 2d3/2. De igual forma, sepuede proponer que un neutrón del nivel 2d3/2 y otro del 3s1/2 completen el nivel1h11/2, y los desapareados en cada nivel se acoplen. Todos estos casos describen unestado excitado 2+, sin embargo se esperaría que su energía esté también alrededorde los 2 MeV por lo expuesto anteriormente.
Restringiendo el análisis a la justificación del primer nivel excitado 2+ de alre-dedor de 1,2 MeV de energía. Se observa que las excitaciones nucleónicas discutidasdescriben dicho nivel pero falla en el valor de energía que se observa para dicho nivel.
4.4 Modelo colectivo 113
La siguiente tabla muestra los posibles valores del momento angular total delacople de varios nucleones ubicados en un mismo sub-nivel con valor j fijo.
Tabla 4.3: Momento angulares totales de nucleones en un sub-nivel determinado.
j # nucleones Momento angular total1/2 1 1/2
3/2 1 3/2
2 0, 25/2 1 5/2
2 0, 2, 4
3 3/2 5/2, 9/2,7/2 1 7/2
2 0, 2, 4, 6
3 1/2 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 15/2
4 0, 2, 4, 5, 6, 89/2 1 9/2
2 0, 2, 4, 6, 8
3 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 15/2, 17/2, 21/2
4 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12
5 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 17/2, 21/2, 25/2
Por supuesto, el modelo de capas es solo una aproximación y no es tan probableque solo existan estados puros, sino que se presente mezcla entre ellos. Una mejoraproximación es reconocer que si se desea usar el modelo de capas para interpretarla estructura, entonces los estados físicos se deben describir como superposiciones delos estados puros. Así para el caso del estado 2+, se plantearía una función de onda:
Ψ(2+) = aΨ(1h11/2 ⊕ 1h11/2) + bΨ(2d3/2 ⊕ 2d3/2) + cΨ(2d3/2 ⊕ 3s1/2) + · · · (4.63)
donde los términos entre paréntesis hacen referencia a los correspondiente acopla-mientos tales que dan el nivel 2+. Pero cada estado puro constituyente tiene unaenergía de aproximadamente 2 Mev. ¿existirá entonces dicha mezcla?. A primera vis-ta y observando la estructura de niveles energéticos del Sn130, uno se inclinaría apensar que ésta estructura es el resultado de la configuración de los últimos nivelesocupados y las posibles transiciones con sus posteriores acoples de los nucleones devalencia. Sin embargo, como ya se mencionó,cuando se examinan otros núcleos par-par, se encuentra que de los cientos de dichos núcleos, en la región del modelo decapas, cada uno presenta un estado anómalo 2+ a una energía alrededor de la mitad(o menor) de la energía que se necesita para romper un acople de un par y llevara uno de los nucleónes otro nivel de la misma capa. En casi todos los núcleos esteestado es el de más baja energía.
114 Modelos nucleares
En conclusión, la presencia de este estado no es accidental que resulta de la estruc-tura del modelo de capas del núcleo Sn130, sino que es un estado que aparece debidoa una propiedad colectiva del núcleo, puesto que se la encuentra en un gran númerode núcleos par-par en un gran rango de masas, e independiente de su configuraciónde llenado de nucleones de acuerdo con el modelo de capas.
Se puede ver que hay otras propiedades generales que son comunes en todo núcleo,y es razonable relacionar estas propiedades no al movimiento de los nucleones devalencia sino más bien al movimiento colectivo del núcleo.
Las propiedades colectivas varían suave y gradualmente con el número másicoy en su mayor parte independiente del número de nucleones de valencia (aunqueestos nucleones de valencia contribuyen a la estructura de capas que se acopla conla estructura colectiva). En las figuras a continuación se puede observar dos regionesclaramente marcadas que nos lleva a considerar dos tipos de estructuras colectivas:la región A < 150 y la región 150 < A < 190.
Los núcleos con A < 150 son generalmente tratados en términos de un modelobasado en vibraciones alrededor de una forma esférica; mientras que los núcleos con150 < A < 190, muestran estructuras más características de la rotación de sistemasno esféricos. Tanto las vibraciones como las rotaciones son los principales tipos demovimientos nucleares colectivos.
El modelo nuclear colectivo cae dentro del modelo de la gota líquida. Pues se con-sidera al núcleo como una gota de un líquido incompresible con movimientos internos.Las siguientes Figuras 4.20, 4.21, 4.22, 4.23 muestran las evidencias experimentales dela presencia de las propiedades colectivas de los núcleos atómicos y donde se evidenciatambién la estructura de capas cerca de los números mágicos.
Figura 4.20: Evidencias experimentales de la presencia de las propiedades colectivas de losnúcleos atómicos.
4.4 Modelo colectivo 115
Figura 4.21: Evidencias experimentales de la presencia de las propiedades colectivas de losnúcleos atómicos.
Figura 4.22: Evidencias experimentales de la presencia de las propiedades colectivas de losnúcleos atómicos.
116 Modelos nucleares
Figura 4.23: Evidencias experimentales de la presencia de las propiedades colectivas de losnúcleos atómicos.
El modelo se basa en la idea de que el movimiento conjunto de la materia nuclearproduzca una deformación permanente del núcleo, esto, debido a movimiento de losnucleones fuera de las capas llenas. La energía potencial del núcleo se puede presentaren función de la deformación β (parámetro a introducirse), como se muestra en laFigura 4.24.
ener
gía
pote
nci
al
deformación β
número de nucleonesfuera de capa completa
estable
Figura 4.24: Energía potencial del núcleo en función de la deformación.
Los núcleos situados en la proximidades de las capas llenas favorecen el agrupa-miento de pares de nucleones (con momento angular nulo) produciendo una forma deequilibrio esféricamente simétrica y un movimiento colectivo de vibración. A medidaque aumenta el número de nucleones de valencia la forma esférica se hace inesta-ble y el núcleo adquiere una deformación colectiva y una rotación que la mantienedeformada.
4.4 Modelo colectivo 117
4.4.2 Vibraciones nucleares
Imaginemos un núcleo vibrando a alta frecuencia, aunque la forma promedio es laesférica, la forma instantánea no lo es. En este caso es conveniente dar la coordenadainstantánea R(t) de un punto en la superficie nuclear en coordenadas (θ, φ).
R(t) en θ, φRav
Figura 4.25: Vibración nuclear.
En términos de los esféricos armónicos Yλµ(θ, φ), cada componente esférica armó-nica tendrá una amplitud αλµ(t). Así
R(t) = R+∞∑
λ=1
λ∑
µ=−λαλµ(t)Yλµ(θ, φ), (4.64)
donde, αλµ no son completamente arbitrarios. La simetría de reflexión requiere queαλµ = αλ(−µ). Si se asume al líquido nuclear incompresible, aparecen otras restriccio-nes.
El valor λ = 0 en el desarrollo no se considera dentro de la sumatoria puesto quees constante y está contenido en R, el parámetro que lo podemos aproximar comor0A
1/3.Una vibración tipo λ = 1 se la conoce como dipolar. Para λ = 2 es cuadripolar.
Para cualquier valor de λ, 2λ−polar.
• • •
R = Rλ = 1dipolo
λ = 2cuadrupolo
λ = 3octopolo
Figura 4.26: Modos normales de oscilación.
Note que λ = 1 implica un desplazamiento del centro de masa nuclear y por tantono puede ser el resultado de la acción de las fuerzas nucleares internas 1. La primera
1Esta oscilación da origena lo que se conoce como Gigant Dipole Resonance observada en algunosnucleos.
118 Modelos nucleares
vibración debida a la interacción fuerte sería entonces la cuadrupolar λ = 2, y comola vibracional viene en paquetes de energía (fonones). Una unidad simple de λ = 2 selo llama fonón cuadrupolar.
Consideremos el efecto de añadir una unidad de energía de vibración de este tipoal estado base 0+ de un núcleo par-par. El fonón de este tipo lleva un momento an-gular de dos unidades (esto añade una dependencia Y2µ a la función de onda nuclear)y una paridad (−1)2. Así se obtiene un estado excitado con Jπ = 2+ (la energía delfotón cuadrupolar no se predice por la teoría y se la considera un parámetro ajusta-ble). Suponga que se excita un segundo fonón cuadrupolar. Se tendría que sumar dosfonones (bosones) de spin 2 dando los siguientes momentos angulares ℓ = 0, 1, 2, 3, 4que por consideración de simetría de su función de onda nos quedarían los valoresℓ = 0, 2, 4. Así se esperaría ver un triplete de estado 0+, 2+, 4+, a dos veces la energíadel primer estado excitado 2+ (puesto que los dos fonones idénticos tendrán el mismovalor de energía). Este triplete de estados es una característica común en un núcleovibracional y es un fuerte soporte al modelo. Estos estados no están exactamente ala misma energía debido a efectos adicionales que no se han considerado.
Un cálculo similar considerando la excitación de tres fonones cuadrupolares danlos siguientes estados: 0+, 2+, 3+, 4+, 6+. El próximo modo excitado de vibración másalto corresponde a λ = 3 (octopolar) el cual lleva tres unidades de momento angulary paridad negativa. Añadiendo un fonón octopolar al estado base 0+ da un estado3−. Estos estados se encuentran en los núcleos vibracionales, generalmente a energíasalgo más arriba del triple debido a la excitación de los dos fonones cuadrupolares. Alir a mayores energías, la estructura vibracional da camino a la excitación de nucleonespor ruptura de pares de su configuración llevándolo a una mezcla de estados excitadosnucleónicos y vibracionales del estado base.
El modelo vibracional hace varias predicciones que se pueden probar en el labo-ratorio. Si la forma de equilibrio es esférica, los momentos cuadrupolares eléctricosdel estado 2+ deberían anularse, esto se muestra en la Figura 4.23 para A < 150.El momento dipolar magnético se predice que debe ser 2(Z/A) (en unidades de µN ),que esta en el rango 0,8− 1,0 que también esta de acuerdo con el valor experimental4.22.
La Figura 4.27 muestra un ejemplo de la estructura de los niveles de baja energíade un típico núcleo vibracional y muchas de las características predichas son obser-vadas.
4.4 Modelo colectivo 119
0
1
2
0+
2+
0+4+2+
2+
0+6+4+3+3−
Figura 4.27: Estructura de niveles vibracionales nucleares.
El problema de la energía de una gota de líquida vibrante fue resuelto por Rayleigh(líquido incompresible). Su Hamiltoneano se lo puede escribir como:
H =1
2
∑
λ
∑
µ
Bλ|αλµ(t)|2 +1
2
∑
λ
∑
µ
Cλ|αλµ|2 (4.65)
donde
Bλ =ρR5
λy Cλ = SR2(λ− 1)(λ+ 2)− 3
2π
Z2e2
R
λ− 1
2λ+ 1(4.66)
(recuerde que λ hace el papel de ℓ y toma valores desde 1 puesto que el valor ℓ = 0considera la forma esférica).El parámetro S representa la tensión superficial que puede calcularse por la fórmulaempirica de masa como:
4πR2S = asA2/3 (MeV) (4.67)
La frecuencia de cada modo de vibración será entonces:
ωλ =
√CλBλ
(4.68)
En núcleos par-par con capas llenas para los dos nucleones se presenta una vibraciónnuclear la cual cambia el volumen y no la forma del nucleo (se la llama breathingmode). En este caso aparece un estado excitado 0+.
4.4.3 Rotaciones nucleares
El movimiento rotacional puede observarse solo en núcleos con forma no esférica enequilibrio. Estos núcleos pueden tener distorsiones sustanciales de la forma esférica yse los llama núcleos deformados. Estos se encuentran en el rango 150 < A < 190 yA > 220 (tierras raras y actinidos) una representación común de las formas de estosnúcleos son los elipsoides de revolución.
120 Modelos nucleares
Figura 4.28: Núcleo prolato en rotación
La superficie de estos núcleos esta descrita por:
R(θ, φ) = R[1 + βY20(θ, φ)] (4.69)
la cual es independiente de φ dando al núcleo simetría cilíndrica. El parámetro dedeformación β está relacionado a la excentricidad de la elipse:
β =4
3
√π
5
∆R
R(4.70)
donde ∆R es la diferencia entre el semieje mayor y menor de la elipse. Es costumbretomar R = r0A
1/3 la descripción no es exacta debido a que el volumen a que elvolumen descrito por la primera ecuación no es 4
3πR3. El eje de simetría de la ecuación,
es el eje de referencia sobre la cual θ es definido.Cuando β > 0 se tiene un elipsoide prolato y si β < 0 se tiene un elipsoide oblato.Un indicador de la deformación estable del núcleo es su valor Q grande. La relación
entre el parámetro de deformación y el momento cuadrupolar es:
Q0 =3√5πR
2Zβ(1 + 0,16β) (4.71)
donde Q0 es el momento cuadrupolar intrínseco, que sería aquel observado en elsistema de referencia en el cual el núcleo esta en reposo. Si el sistema esta rotando Qes muy diferente a Q0.
Para Q0 > 0 se observa un Q < 0. La relación entre ellos depende del momentoangular. Así para un estado2 2+, Q = −2
7Q0.
2Para un A impar en el estado j cualquiera, se pueden relacionar los dos momentos como:
Qj =j(2j + 1)
(j + 1)(2j + 3)Q0
Para un núcleo par par, se tiene:
Qj = −j
(2j + 3)Q0
4.4 Modelo colectivo 121
De la Figura 4.22, se observa que Q = −2b para la región 150 < A < 190 detal forma que Q0 = 7b, y de la ecuación anterior se halla β = 0,29. Este valorcorresponde a un desviación sustancial del núcleo esférico. La diferencia en longitudentre los semiejes es 0, 3 del radio nuclear. Para el caso simple de núcleos par-par. Laenergía cinética de rotación es
E =1
2Iω2 (4.72)
donde I es el momento de inercia del núcleo y ω su velocidad angular. Además elmomento angular J = Iω, entonces la energía es:
E =J2
2I=
~2j(j + 1)
2I(4.73)
Un incremento del número cuántico j corresponde a añadir energía al núcleo y losestados excitados nucleares forma una secuencia, conocida como bandas rotacionales.
El estado base de núcleos par-par3 es siempre 0+ y la simetría de espejo restringela secuencia de estados rotacionales solo a valores pares de j. Por tanto, se espera lasiguiente secuencia de estados:
Si~2
2I≡ γ
E(0+) = 0
E(2+) = 6γ
E(4+) = 20γ
E(6+) = 42γ
E(8+) = 72γ
De la energía del primer estado excitado de un núcleo en rotación se puede calcularγ = 15,2 keV. Aplicando este factor a los siguientes estados se tiene:
E(4+) = 300 (medido 300)
E(6+) = 614 (medido 614)
E(8+) = 1097 (medido 1025)
No son exactos, quizá porque el núcleo no se comporte como un sólido rígido conmomento de inercia constante. Sin embargo la coincidencia es muy buena y muestrasu origen. En particular, la razón E(4+)/E(2+) es de 3.33 en gran coincidencia conlo observado para 150 < A < 190 y A > 230. La Figura 4.29 muestra los estadosexcitados de un típico núcleo en rotación.
3Para núcleos A impar, la expresión de la energía toma la forma:
E =j2
2I=
~2
2I[j(j + 1)− F
2]
donde F caracteriza el movimiento intrínseco.
122 Modelos nucleares
0+ 02+ 93.3
4+ 309.3
6+ 641.7
8+ 1085.3
10+
Energía keV
Figura 4.29: Estructura de niveles rotacionales de Hf180.
Se puede sacar alguna información sobre la estructura del núcleo deformado con-siderando el momento de inercia en dos casos extremos:
1. Un elipsoide sólido de revolución de masa M tiene un momento de inercia,
Irígido =2
5MR
2(1− 0,31β) (4.74)
Para un núcleo típico deformado en la región (A = 170). Esto da una constantede energía rotacional γ = 6 keV, el cual es del orden de magnitud correcto perodemasiado pequeño al observado (γ = 15 keV). Esto indica que el momento deinercia es sobre estimado en un factor de 2 a 3 veces.
2. Se considera el núcleo como un contenedor con fluido en su interior. Esta apro-ximación da:
Ifluido =9
8πMR
2β (4.75)
para el cual se puede determinar un valor γ = 90 keV. En este caso el momentode inercia es subestimado en un factor de 6. Concluyendo entonces que:
Ifluido < I < Irígido. (4.76)
Los movimientos colectivos de vibración y rotación producen un momento magnéticoen el núcleo. Si no se considera los momentos anómalos de los protones y neutro-nes (pues se supone que estos se anulan por estar completamente aparejados en unnúcleo Z par N par), se puede decir que los movimientos orbitales de los protonesy neutrones generan un momento angular orbital, pero tan solo los protones (porser eléctricamente cargados) contribuyen al momento dipolar magnético nuclear quetiene la forma:
µ(j) = j
(Z
A
)µN (4.77)
resultado general en el modelo colectivo. Que para el caso resultado jπ = 2+ tiene elvalor
µ(2+) = j
(Z
A
)µN (4.78)
4.4 Modelo colectivo 123
donde j representa el spin nuclear del estado excitado. Esto se debe a que tanto elmovimiento orbital del protón como los intrínsecos del protón y neutrón contribuyencolectivamente.
Es claro que los núcleos poseen no solo una estructura de niveles y/o propiedadescolectivas por separado, sino las dos a la vez. Por lo que hay que buscar un modelounificado.
4.4.4 Modelos unificados
La deformación nuclear, como ya se mencionó, se produce debido a una acción polari-zadora de los nucleones fuera de la estructura de la capa llena, debido a su movimientodentro de un campo esferoidal (ya no esfericamente simétrico). Para el caso de unapartícula simple bajo estas condiciones, se ha calculado la secuencia de estados ener-géticos en función de la deformación. Los estados pierden su degeneración de acuerdocon |mj |. Se los conoce como niveles de Nilsson y en cada uno de estos niveles se tieneuna estructura fina de rotación.
Figura 4.30: Niveles de Nilsson.
Problemas
1. Encontrar la energía de interacción entre un cuadripolo eléctrico y el gradientede campo eléctrico.
2. Consulte como se puede determinar los momentos cuadrupolares eléctricos me-diante espectroscoía Mössbauer.
3. ¿Cómo se puede observar la deformación nuclear en experimentos de dispersióncon haces de electrones?
124 Modelos nucleares
4. Demostrar que el valor medio del operador cuadripolo eléctrico se anula paraestados con spin 0 y 1/2.
5. Considere el núcleo de Hf170 un cuerpo rígido, calcular muy aproximadamente,la fuerza centrífuga para el estado con J = 20. Que le sucedería al núcleo si suspropiedades mecánicas fueran similares a las del acero? Apoye sus conclusionescon cálculos crudos.
6. Asuma que el momento de inercia I es función de la energía de rotación E.Calcule I(E) en unidades convenientes para los niveles rotacionales en Hf170,Pt184 y U238. Grafique I(E) vs E y muestre que una regresión lineal reproducelos datos empíricos.
7. considere un núcleo par-par con deformación de equilibrio δ0 y spin J = 0 ensu estado base. La energía en un estado excitado con deformación δ y spin J esla suma de términos cinéticos y potenciales
E = α(δ − δ0)2 +~2
2Ij(j + 1).
Considerando un movimiento irrotacional I = bδ2, y usando la condición (dE/dδ) =0 encontrar la ecuación para la deformación de equilibrio en el estado con spinJ . Mostrar que para pequeñas desviaciones de la deformación desde la defor-mación de su estado base que el núcleo se alarga y que la energía de los estadosrotacionales puede ser escrita como: E = Aj(j + 1) +B(j(j + 1))2.
Capítulo 5
Reacciones nucleares
En este capítulo se estudia la cinemática de las reacciones nucleares donde se incluyeel Q de la reacción y la energía umbral de reacción. Como reacciones nucleares es-pontáneas, se estudia los diferentes decaimientos radiactivos, sus modelos, sus reglasde selección y sus principales características.
5.1 Cinemática
Se habla de una reacción nuclear cuando un núcleo X colisiona con otro (o unapartícula) x, y sufren una transmutación a un núcleo W , y a otro núcleo (o partícula)w. Se representa como:
X + x→W + w
X(x,w)W
x
m1
X
m2
ω
m3
W
m4
Figura 5.1: Esquema de una reacción nuclear.
En reacciones de este tipo, además de la conservación de la energía y cantidadde movimiento, se conserva la carga eléctrica, es decir Z y también el número denucleones A (para procesos de bajas energías en los cuales no hay formación demesones ni reacomodación de quarks). A bajas energías se conservan el número deprotones y neutrones por separado.
Si las masas de las partículas x, X, w y W son m1, m2, m3, m4 respectivamente,la ley de conservación de la energía es:
E1 + E2 = E3 + E4 (5.1)
125
126 Reacciones nucleares
siendo Ei la energía total de las partícula i-ésima, es decir la energía en reposo másla energía cinética.
Esta ecuación se la puede escribir como:
E01 + E02 + EK1 + EK2 = E03 +E04 +EK3 + EK4 (5.2)
Se define “el Q” de la reacción como:
Q = E01 + E02 − (E03 + E04) = EK3 + EK4 − (EK1 + EK2) (5.3)
Si Q < 0 la reacción se llama reacción endoérgica.Si Q > 0 la reacción se llama reacción exoérgica.
Para el caso de reacciones endoérgicas, la reacción no se produce espontáneamente,puesto que la masa en reposo de las partículas finales es mayor a las de las iniciales.Sin embargo, esta reacción se podría producir si la energía cinética de las partículasiniciales es lo suficientemente grande para generar este aumento de masa en reposonecesario.
La energía umbral de la reacción se define entonces como aquella mínima quedebería tener la partícula incidente para producir dicha reacción. Esta energía umbralse la encuentra suponiendo que se produce la reacción y los núcleos producto tienenuna energía cinética cero en el sistema centro de masa.
De tal manera que,Q = −E′
K1 − E′K2 (5.4)
Solamente si m1, m3 ≪ m2, m4 entonces la energía umbral será aproximadamente−Q.
El valor de la energía umbral de una reacción se lo puede determinar de unamanera sencilla mediante cuadrivectores.
Considerando la reacción en el sistema de laboratorio, el cuadrumomento totalantes de la colisión es:
pµ =
(E
c, ~p
)(5.5)
Donde en este caso la energía total será la suma de la energía total de la primera ysegunda partícula y el momento representará aquel de la partícula incidente pues elblanco se encuentra en reposo.
E = E01 + EK1 + E02
Si se considera el cuadrumomento después de la reacción en el sistema centro de masapara la condición umbral
pµ =
(E′
c,~0
)(5.6)
DondeE′ = E03 + E04
5.1 Cinemática 127
Igualando los cuadrados de los dos cuadrumomentos se tiene:
(E1 + E02)2 − ~p 2 = (E03 + E04)
2
(E1 + E02)2 − (E2
1 − E201) = (E03 + E04)
2
2E1E02 + E202 + E2
01 = (E03 + E04)2
2E1E02 + (E01 + E02)2 − 2E01E02 = (E03 + E04)
2
2E1E02 − 2E01E02 = (E03 + E04)2 − (E01 + E02)
2
2(E01 + EK1)E02 − 2E01E02 = (−Q)∑
i
E0i
2EK1E02 = (−Q)∑
i
E0i
EumbK1 = (−Q)
∑
i
E0i
2E02(5.7)
Ejercicio 1) Calcular la energía umbral de los siguientes procesos:
• La producción tripleγ + e− → e− + e− + e+
• La producción protón-antiprotón por colisión protón-protón
p+ p→ p+ p+ p+ p
• La producción protón-antiprotón por colisión electrón-positrón
e− + e+ → p+ p
Ejercicio 2) ¿Son posibles todas estas reacciones nucleares?
128 Reacciones nucleares
α+ Be9 → C12 + n
n+ B10 → Li7 + α
α+ Al27 → P30 + n
p+ Li7 → α+ He4
γ + Be9 → He4 + He4 + n
C12 + U238 → Cf244 + 6n
n+ U235 → Sb133 + Nb99 + 4n
p+H1 → H2 + e+ + ν
p+H2 → He3 + γ
H2 +H3 → He4 + n
p+ C12 → N13 + γ
p+ C13 → N14 + γ
ν +H1 → n+ e+
Tareas adicionales
1. Consulta: Aceleradores de partículas: Aceleradores lineales, synchotrones.
2. Consulta: Detectores de centelleo, semiconductores, cámaras de burbuja, cáma-ras de chispa.
Problemas
1. Si un haz de 500µA de protones de 20 MeV choca sobre un blanco en el cual escompletamente absorbido, a) ¿cuántos protones son absorbidos por segundo?b) ¿cuánto calor es generado si hay conversión perfecta de energía cinética encalor? ¿Qué fuerza ejerce el haz de protones? d) ¿En qué porcentaje la masarelativista de los protones excede a su masa en reposo?
2. Se deja que los protones rápidos que emergen desde un acelerador choquensobre un blanco adecuado, produciéndose un haz de mesones π de 170 MeV.Asumiendo que estas partículas tienen un tiempo de vida media de decaimientoτ = 2, 6 × 10−8 ls. Calcular la longitud de la trayectoria S desde el blancocorrespondiente a una disminución del 50% en intensidad para un haz de pionesparalelos.
3. Chadwick descubrió los neutrones al bombardear con partículas α, provenientesde una fuente natural de polonio, un blanco de Berilio. Observó que se producíaradiación altamente penetrante y sin carga, además de iones en retroceso cuyaenergía máxima en el caso del hidrógeno fue medida como EH = 5, 7 MeV; yen el caso del nitrógeno como EN = 1, 5 MeV. Asumiendo que la colisión es
5.2 Decaimientos radiactivos 129
elástica, calcular la masa de las partículas neutras y compararlas con el valoractual de la masa del neutrón.
4. Si el número cuántico del momento angular total de un núcleo con A = 100es J = 1 y si se debe a la rotación del núcleo como un cuerpo rígido, aproxi-madamente cuántas rotaciones por segundo efectuaría y cuánta energía estaríainvolucrada en esta rotación según la mecánica clásica?
5. Un electrón está apresado dentro de un núcleo, cuyo diámetro es 10−14m, cal-cular su mínima energía cinética.
6. Calcúlese:
a) la energía de enlace por nucleón, expresada en MeV del núcleo de Ca40;
b) la cantidad de energía expresada en MeV necesaria para disociar comple-tamente 1 g de Ca40 en sus partículas constituyentes.
7. Calcúlese la energía de los rayos γ emitidos en reacción Sn115 (n, γ) Sn116 conneutrones térmicos, sabiendo que las masas atómicas del Sn115 y Sn116 sonrespectivamente: 115, 9385 uma y 116, 9421 uma.
8. a) Determine el valor Q de la reacción N14(α, p)O17.
b) Si la energía cinética de la partícula α es de 7 MeV, calcule la energíacinética aproximada del protón.
5.2 Decaimientos radiactivos
Se describe de una manera general los decaimientos radiactivos que se presentanen la naturaleza debido a la inestabilidad nuclear de algunos núcleos (Q > 0) quelleva, en algunos núcleos, a la emisión espontánea de radiaciones. Los principios deconservación de energía cantidad de movimiento carga eléctrica, número másico secumplen.
5.2.1 Ley del decaimiento radiactivo
Un sistema aislado inestable permanecerá en su estado de elevada energía un ciertotiempo antes de decaer. La probabilidad de que cualquier núcleo decaiga dentro deun intervalo de tiempo pequeño es independiente de cualquier influencia externa,incluyendo el decaimiento de otro núcleo y es proporcional al tamaño del intervalo detiempo. Sea P (dt) la probabilidad de que un núcleo decaiga en un tiempo dt.
P (dt) ∝ dt
P (dt) = λdt (5.8)
Siendo λ la constante de decaimiento radiactivo del radioisótopo en cuestión.
130 Reacciones nucleares
KiloBequerel (kBq) 103 Bq
MegaBequerel(MBq) 106 Bq
GigaBequerel (GBq) 109 Bq
Tetra(tera)Bequerel (TBq) 1012 Bq
PetaBequerel (PBq) 1015 Bq
ExaBequerel (EBq) 1018 Bq
Tabla 5.1: Supraunidades de actividad.
Si al tiempo t se tienen N núcleos radiactivos, el número de núcleos que decaenen un intervalo dt será la probabilidad de decaimiento multiplicado por N . Así,
−dN = P (dt)N (5.9)
−dN = λNdt (5.10)
−dNdt
= λN ≡ A (5.11)
Se define la “Actividad A” de la muestra radiactiva como el número de desinte-graciones (o decaimientos) que ocurren por unidad de tiempo.
La unidad más comúnmente usada para medir la actividad es el “Curie”, el cual sedefine como la actividad de una muestra en la que ocurren 3,7×1010 desintegraciones/segundo (basada originalmente en la actividad de 1 gramo de Ra226). El sistemainternacional de medidas define al Bequerel como la unidad de actividad y
1 Bequerel = 1 Bq =1 desintegración/ segundo.1 Rutherford = 1 Rd = 106 desintegraciones /segundo
Se define también la actividad específica de una muestra radiactiva como la acti-vidad por unidad de masa.
5.2.2 Ley exponencial
Si se resuelve la ecuación diferencial anterior se tiene que el número de núcleos ra-diactivos N(t) decrece en el tiempo:
N(t) = N0e−λt (5.12)
Siendo N0 el número de átomos radiactivos en tiempo inicial.Si se multiplica por λ los dos lados de los ecuación, se tiene:
A(t) = A0e−λt (5.13)
Siendo A0 la actividad de la muestra en un tiempo inicial.Se define el tiempo de vida media T1/2 del elemento radiactivo, como aquel tiempo
en el cual las actividad de la muestra se reduce en la mitad. Así,
A(T1/2) =A0
2= A0e
−λT1/2 de donde T1/2 =ln 2
λ(5.14)
5.3 Filiación radiactiva 131
A0
A0/2
A0/4
A0/8A0/16 t
A
T1/2 2T1/2 3T1/2 4T1/2
Figura 5.2: Ley exponencial del decaimiento radiactivo.
Este tiempo no hay que confundirlo con el tiempo medio de decaimiento de unnúcleo radiactivo que está definido como:
〈t〉 =∫tdN∫dN
=1
N0
∫ ∞
0tN0e
−λtλdt =1
λ(5.15)
Note que la actividad en muchos casos no coincide con el número de partículas emi-tidas por unidad de tiempo. Esto se debe a que algunos decaimientos emiten más deuna partícula, y por otra parte, por que se habla de decaimiento como la transiciónde su estado inicial a su estado final estable (pasando por varios estados excitadosintermedios).
5.3 Filiación radiactiva
Se denomina así al proceso de decaimiento de un núcleo radiactivo (padre) a otro quetambién es radiactivo (hijo) el cual a su vez decae en un núcleo (nieto) que puede serestable o radiactivo.
Padre
λ1
Hijo
λ2
Nieto
Figura 5.3: Esquema de la desintegración de padre a hijo y a nieto.
Si en t = 0 solo hay N01 núcleos radiactivos del padre pero sin núcleos hijos ninietos, se desea determinar la cantidad de núcleos hijo que tendremos al transcurrirel tiempo.
Para el padre:
−dN1
dt= λ1N1 (5.16)
N1(t) = N01e−λ1t (5.17)
A1(t) = A01e−λ1t (5.18)
132 Reacciones nucleares
Para el hijo:
dN2
dt= λ1N1 − λ2N2 (5.19)
dN2
dt+ λ2N2 = λ1N01e
−λ1t (5.20)
la solución de está ecuación diferencial es:
N2(t) = N01λ1
λ2 − λ1[exp(−λ1t)− exp(−λ2t)]
multiplicando ambos lados de la ecuación por λ2,
A2(t) = A01λ2
λ2 − λ1[exp(−λ1t)− exp(−λ2t)] (5.21)
Si el tercer elemento es estable, el número de átomos de este elemento se incrementade acuerdo a la expresión
N3 = N01
(λ2
λ1 − λ2e−λ1t +
λ1λ2 − λ1
e−λ2t + 1
)
Podríamos calcular el tiempo donde la actividad del hijo es máximo, esta es:
tm =ln(λ1/λ2)
λ1 − λ2(5.22)
Para el caso general
N1λ1−→ N2
λ2−→ N3λ3−→ · · · λk−1−−−→ Nk
Si en t = 0 N2(0) = N3(0) . . . = 0Para i 6= 1
Ni(t) = N1(0)[γ1e
−λ1t + γ2e−λ2t + · · · γie−λit
](5.23)
Ni(t) = N1(0)
i∑
k=1
γke−λkt
donde
γi =λ1λ2λ3 · · ·λi−1
(λ1 − λi)(λ2 − λi) · · · (λi−1 − λi)(5.24)
5.3.1 Equilibrio secular
Se presenta cuando λ2 ≫ λ1 En este caso el exponencial de λ2 es muy pequeño y
A2(t) = A01e−λ1t (5.25)
A1 = A2 (5.26)
5.3 Filiación radiactiva 133
5 10 15minutos
12(λ1N1)0
32(λ1N1)0
(λ1N1)0
actividad de 137Ba (T1/2 = 2,5 min)
actividad de 137Cs
t
λN
Figura 5.4: Esquilibrio secular.
5.3.2 Equilibrio transitorio
Se presenta cuando λ2 > λ1 En este caso, el exponencial de λ2 también es pequeño y
A2(t) = A01λ2
λ2 − λ1e−λ1t (5.27)
A2(t) =λ2
λ2 − λ1A1 (5.28)
λN(λ1N1)0
Horast
Actividad de Mo99(T1 = 66 horas)
Actividad de Tc99(T2 = 6 horas)
6624120
Figura 5.5: Equilibrio transitorio
5.3.3 Caso de no equilibrio
Si λ1 > λ2e−λ1t ≪ e−λ2t
N2(t) = N01λ1
λ2 − λ1exp(−λ2t) (5.29)
t
A1(t)
A2(t)
Figura 5.6: Situación de no-equilibrio.
134 Reacciones nucleares
Ramas de decaimiento
Si un núcleo radiactivo tiene diferentes formas de decaer como se indica en la Figura5.7, se tiene:
P
A
B
C
+
+
+
a
b
c
Figura 5.7: Diferentes decaimientos de un mismo núcleo padre.
−dN = −dNa − dNb − dNc
−dN = λaN + λbN + λcN−dN = (λa + λb + λc)N = λtotN
(5.30)
integrando,N(t) = N0 exp(−λtott) (5.31)
donde(λa + λb + λc) = λtot (5.32)
Note que la actividad del decaimiento vía la rama a es:
−dNa
dt= λaN
−dNa
dt= λaN0 exp(−λtott)
Aa(t) =λaλtot
Atot(t) (5.33)
donde la razónλaλtot
se le conoce como la razón del decaimiento tipo a.
5.4 Series radiactivas naturales
Los elementos pesados naturales son generados en las estrellas (explosiones superno-vas) algunos de estos materiales son radiactivos. Estos materiales radiactivos natu-rales empiezan desde Z = 84 a Z = 92 y están clasificados en familias. Las familiasagrupan elementos radiactivos que difieren en cuatro nucleones y provienen un núcleoradiactivo padre natural.
5.5 Activación neutrónica 135
SERIE ELEMENTO TIEMPO DE VIDA MEDIA(4n) Series del Torio Th232 1,30× 109 años(4n + 1) (Np237) 2,2× 106 años(4n + 2) Serie del Uranio U238 4,5× 109 años(4n + 3) Series del Actino-Uranio U235 7,13× 108 años
Consulta: Investigue sobre los diferentes métodos que se utilizan para la dataciónde muestras geológicas, que son las que dan información, por ejemplo, sobre la edaddel planeta Tierra.
Adicionalmente a los elementos radiactivos naturales que pertenecen a las series,hay otros elementos radiactivos naturales debido a su tiempo de vida media grandes.
Ejemplo. (Consulte sus respectivos tiempos de vida media)
Ejemplo 3.
ELEMENTO T1/2 (años)
K40
Rb87
Sm147
Lu176
Re187
5.5 Activación neutrónica
Cuando un núcleo estable es irradiado con un haz de neutrones, este núcleo podríatener la capacidad de capturar dicho neutrón y como consecuencia tranformarse enun núcleo radiactivo, el cual en un tiempo posterior se transformará mediante algúnproceso de decaimiento radiactivo.
Sea N el número de núcleos activados. Note que N(t = 0) = 0. El número denúcleos activados por unidad de tiempo seguirán una ecuación de balance,
dN
dt= S − λN (5.34)
donde S es la tasa de producción de los núcleos activados (es una función del tiempocuando el número de átomos blanco son del mismo orden del número de átomosactivados). Para el caso en estudio, el número de átomos activados es muy pequeño encomparación con el número de núcleos blanco, por tanto S se lo considerar constante.
S = φNbσ (5.35)
Donde φ es el flujo del haz de neutrones, Nb es el número de los núcleos blanco quese están activando, y σ es la sección eficaz de captura neutrónica.
dN
S − λN = dt
d(S − λN)
S − λN = −λdt
136 Reacciones nucleares
[ln(S − λN)]∣∣t0= −λt
(S − λN)t = (S − λN)0 exp(−λt)
N(t) =S
λ
(1− e−λt
)(5.36)
Recuerde que la actividad no es más que: A(t) = λN(t), por tanto,
A(t) = φNbσ(1− e−λt) (5.37)
N(t)
tFigura 5.8: Evolución del número de átomos activados mediante irradiación.
Note que la actividad del radio-nuclído generado crece hasta un valor de saturacióndado por Q para tiempo de irradiación bastante largos (muchas veces el tiempo devida media del radio-nuclído activado). De hecho la tasa de crecimiento del radio-nuclído depende de su tiempo de vida media.
Una vez que se desconecta la irradiación, la cantidad de material activado comen-zará a decaer mediante la ley del decaimiento radiactivo.
5.6 Fuentes de neutrones
Las principales fuentes de neutrones son:
i) Reactores de fisión. El proceso de fisión, anteriormente discutido, genera neu-trones. Por lo tanto, en el núcleo del reactor tenemos altos flujos de neutrones.
ii) Fuentes isotópicas. Están constituidas por una fuente alfa rodeada de Berilo demanera que se produzca la reacción: Be9(α, n)C12
La tabla5.2 muestra algunas fuentes isotópicas de neutrones y sus principalescaracterísticas.
El escogimiento de la fuente debe considerar: precio, tiempo de vida, rendimien-to de neutrones, blindaje de gammas, toxicidad etc. Así, la fuente de Plutonio,además de tener un tiempo de vida muy largo, es altamente tóxica. La fuente deradio tiene un alto nivel de radiación gamma. La de Cm244 no esta disponibletodavía. Entonces la de Am241) es altamente recomendada.
iii) Generador de Neutrones. Se basa en la reacción H3(H2, n0)He4 donde el neutrónde salida tiene una energía de aproximadamente 14 MeV. La sección eficaz dela reacción deuterio-tritio muestra un máximo de 5 barn para una energía dedeuterón de 107 keV y es hasta dos ordenes superior de aquella de la reaccióndeuterio-deuterio que también podría usarse para producir neutrones (en este
5.6 Fuentes de neutrones 137
Tabla 5.2: Parámetros de fuentes isotópicas de neutrones
Núclido Vida media Energía α Rendimiento Energía n0 γ-dose a 1 m por 106 n/s(años) ( MeV) (n0/s. Ci) MeV (mGy/h)
Pu239 24360 5.14 1,6× 106 4.59 < 0,01
Am241 458 5.48 2,2× 106 4.54 0.01Ra226 1620 7.69 - 4.77 1,1× 107 3.94 0.5Cm244 18.1 5.79 3× 106 4.31 < 0,01
caso de 2,5 MeV). El blanco consiste de un porta-muestra de Titanio con lamuestra de Tritio en forma de hidruro. Un haz de un miliamperio ( mA) dedeuterones acelerados a unos 200 keV produce 1,4× 1011 n/s(4π).
Adicionalmente, la técnica experimental de activación neutrónica requiere delconocimiento de la espectroscopia gamma.
Consulta Datación radiactiva (geocronología)
Problemas
1. Un reactor provee un haz externo de neutrones lentos (En = 0, 025 eV) cuyoflujo es Φ = 5× l06 neutrones/cm2s. Tomando el tiempo de vida media de losneutrones libres como τ = 1, 01 × 103 s. Calcular el número de neutrones quedecaen por cm3 en 1 minuto a medida que emergen desde el reactor.
Rta.1, 36 neutrones/cm3min.
2. Determínese la cantidad de Po210 necesaria para dotar a una fuente de partículasalfa de una actividad de 5 mCi. El período de semi-desintegración del Polonio-210 es 138 días. Rta.1,1 µg.
3. ¿Cuál es la masa de 1 µCi de Co60, si su tiempo de vida media es de 5.27 años?
4. Experimentalmente se encuentra que el potasio natural emite 31 partículas betapor segundo por gramo y 3.4 rayos gamma por segundo por gramo. Con estosdatos determinar el período de semi-desintegración del K40 (la concentraciónisotópica del K40 es 0,0118%) (el esquema de decaimiento muestra un betanegativo del 89%, beta positivo del 11% seguida por una emisión gamma de1,46 MeV) Rta. 3,661016 s
5. Una muestra de Bismuto 210 (t1/2 = 5 días) pesa 2× 10−10 g en un ciertoinstante t = 0. El Bi210 se desintegra emitiendo una partícula beta, dando lugara un elemento radiactivo cuyo período es de 183 días. ¿En qué momento a partirde t = 0, el número de átomos del elemento transformado es máximo? ¿Cuál essu número?
138 Reacciones nucleares
6. Un elemento A (t1/2 = 2,1 h) decae en un elemento B (t1/2 = 4,6 h) el cual asu vez decae en otro elemento C. Si la cantidad inicial del elemento B es cero,¿cuál es el valor de la razón NB/N0A al cabo de 2 horas? Rta. 0.41
7. La actividad de una muestra de Cr55 en un cierto instante es de 19,2 mCi.Después de 15 min. La actividad de la muestra es de 0,99 mCi. ¿de qué cantidadde Cr55 disponemos 20 min. antes de la primera medida?
8. Se bombardea un bloque de hierro de 1000 kg con un flujo de 1014 neutrinos/cm2sprocedentes de un reactor nuclear. Si la sección eficaz para la formación del Mn56
por desintegración beta inversa es de 10−44 cm2 ¿Cuál será la actividad totalinducida en el hierro al cabo de un día? El t1/2 del Mn56 es 2,6 h. Rta. 0,0107 Bq.
9. El Radio que es un elemento de la serie del Uranio se halla en los yacimientosde Uranio. Si los períodos del Radio y del Uranio son: 1620 años y 4,5 × 109
años. Calcúlese las proporciones relativas de dichos elementos en un mineral deUranio que ha alcanzado el equilibrio y del cual no se ha desprendido ningúnmaterial radiactivo.
10. Una fuente radiactiva consistente de Na24 (t1/2 = 15 h) se desea preparar. Paraeso se bombardea 500 g de NaF con neutrones térmicos. La rapidez de produc-ción del Na24 es de 50 Ci/h. ¿Cuál es la máxima actividad posible y que fraccióndel número total de átomos de sodio es entonces radiactiva? Qué valor alcan-za la actividad después de la irradiación por un tiempo nt1/2. Rta. 1,082 kCi;4,36× 10−5 %
11. Sea la reacción de decaimiento RaE → RaF → RaG (estable) Una muestrarecién purificada de RaE pesa 2× 10−10 g en el instante t = 0. Si la muestra nose perturba, calcúlese en qué instante será máximo el numeró de átomos RaF yhállese este número (t1/2 del RaE = 5 d) y (t1/2 del RaF= 138 d) Rta. 24,85 d,5,07× 1011 tomos
12. ¿Qué cantidad de Torio-234 cabe esperar actualmente en el mineral de Uranio?¿Cómo varía en el tiempo la razón entre los átomos producto y padre cuandosus vidas son aproximadamente iguales? (t1/2 del U238 = 42109 d) (t1/2 delTh234 = 24 d)
5.7 Decaimiento alfa
La radiación α no es más que un haz de núcleos de He4 (núcleos formados por 2protones y dos neutrones), los cuales son emitidos por núcleos pesados inestables.
Si se considera un núcleo padre (Z,A) que decae mediante desintegración α, a unnúcleo hijo (Z − 2, A− 4) como se muestra en la Figura5.9.
5.7 Decaimiento alfa 139
Núcleo padre
(Z,A)
Núcleo hijo
(Z − 2, A − 4)
+partícula α
Figura 5.9: Esquema decaimiento alfa.
La conservacion de la energía indica
mnuc(Z,A)c2 = mnuc(Z − 2, A− 4)c2 + EkN +mαc
2 + Ekα (5.38)
entonces,
Qα = mnuc(Z,A)c2 −mnuc(Z − 2, A − 4)c2 −mαc
2 = EkN +Ekα (5.39)
Poniendo las masas nucleares en términos de masas atómicas mediante la suma y laresta de Z masas de electrones y sus correspondientes energías de enlace,
Qα =Mat(Z,A)c2 −Mat(Z − 2, A− 4)c2 −Mat(2, 4)c
2 = EKN + EKα (5.40)
De la conservacion de la cantidad de movimiento,
0 = mnuc~vN +mα~vα
EKN =mα
mnucEKα
entonces,
Qα =A
A− 4EKα (5.41)
Para un mismo decaimiento el valor de Q será fijo y por tanto también la energía dela partícula α emitida, es decir, el espectro de energía de la partícula alfa es discreto.
Ejemplo 4.
92U238 → 90Th234 + α (Ekα = 6,72 MeV)
90Th223 → 88Ra219 + α (Ekα = 7,55 MeV)
86R220n → 84Po216 + α (Ekα = 6,282 MeV)
Diagrama de decaimiento. Es la representación del decaimiento radiactivo en ungráfica de energía (eje de ordenadas) vs número atómico (eje abscisas), donde serepresentan tanto los estados energéticos del padre y del hijo y la transición entreellos.
140 Reacciones nucleares
M(Th234) +mα
Qα
M(U238)
α
Figura 5.10: Diagrama de decaimiento alfa.
En el decaimiento radiactivo alfa, un núcleo excitado (o radiactivo) decae a unnúcleo más estable mediante la emisión de un núcleo de Helio doble ionizado (partículaα). Un análisis experimental de emisores alfa muestra una correlación entre el tiempode vida media y la energía de la partícula alfa emitida. Esto se muestra en la siguientetabla.
Emisor alfa E[ MeV] Tiempo de vida mediaPolonio 212 8.8 3× 10−7 s
Polonio 214 7.7 1,6× 10−4 s
Polonio 210 5.3 1,38× 102 d
Radio 226 4.7 1,62× 103 aos
Uranio 238 4.1 4,5× 109 aos
Tabla 5.3: Energía de emisores α vs tiempo de vida media.
Las investigaciones pioneras de Geiger y Nuttal, quienes midieron las constantesde decaimiento y los rangos de las partículas alfa en aire, llevaron a proponer lasiguiente relación:
log λ = a+ b logRα (5.42)
donde a y b son constantes empíricas.El rango Rα es una medida directa de la energía Eα.Además lograron relacionar el Rango de las partículas alfa en aire con su velocidad
mediante una ecuación empírica:
Rα ∼= cv3 (regla de Gieger)
donde c es otra constante empírica.Una relación de Geiger-Nuttal mucho más conocida es:
log λ = C +D√Eα
(5.43)
donde C y D varían lentamente con Z y son independientes de N . (Para Z = 90,C = 52 y D = 140) y Eα es la energía de la partícula alfa expresada en MeV.
Otra relación empírica fue propuesta por Swinne la cual es:
log λ = d+ evf (5.44)
5.7 Decaimiento alfa 141
donde d y f son constantes empíricas con f en el intervalo [1, 2].
Solo con el advenimiento de la mecánica cuántica se tuvo una explicación satis-factoria de la fuerte relación que existe entre la constante de decaimiento y la energíade la partícula en el decaimiento alfa.
5.7.1 Modelo Barrera de Potencial
El campo de fuerza ejercido sobre una partícula se lo puede representar por el poten-cial nuclear. Una partícula cargada positiva estará sujeta a la combinación entre lafuerza nuclear y la repulsiva electromagnética.
V (r)
r
pozo rectangular
barrera de potencial netaCoulomb
Centrífuga
Zze2
r
R
ℓ(ℓ+1)~2
2mr2
Figura 5.11: Pozo de potencial donde se encuentra confinada las partículas α.
Clásicamente, una partícula con energía E ≤ zZe2
R no será capaz de atravesar labarrera de potencial.
Sin embargo la mecánica cuántica indica que existe una probabilidad finita deque la partícula atraviese la barrera (tunneling) por efecto túnel. Este efecto es con-secuencia directa del principio de incertidumbre de Heisenberg.
∆p∆x ≈ ~
∆p ≈ p
∆x ≥ ~
p= Ż
Si Ż excede el tamaño de la barrera habrá efecto túnel.
5.7.2 Barrera de potencial cuadrada y arbitraria
La Figura 5.12a muestra un caso particular de barrera donde es fácil el cálculo delcoeficiente de transmisión a través de la barrera.
142 Reacciones nucleares
E
V (x)
V0
b x
E
V (x)
xa b
a) b)
Figura 5.12: Esquema del efecto túnel en: a) barrera rectangular, b) barrera arbitraria.
El coeficiente de transmisión se define como el flujo de probabilidad que atraviesala barrera sobre el flujo de probabilidad incidente, y en este caso se encuentra que es:
T =
1 +
V 20
4E(V0 − E)
[1
4
(e2bk2 + e−2bk2
)− 1
2
]−1
(5.45)
para el caso de barreras anchas donde bk2 ≫ 1
T ≈ e−2b[2m(V0−e)]1/2/~ (5.46)
la cual se conoce como la fórmula de Gamow.Se generaliza este resultado para barreras de potencial en forma arbitraria. La
transparencia puede ser aproximada crudamente de la fórmula de Gamow donde labarrera se reemplaza por una suma de barreras infinitesimales rectangulares (métodoWKB). Así,
T ≈ exp
−2
~
∫ b
a[2m(V (x)− E)]
1/2 dx
(5.47)
esto se muestra en la Figura 5.12b.Para el caso nuclear, la resolución de la ecuación de Schrödinger lleva a una
ecuación radial de la forma1:
− ~2
2m
d2u
dr2+
(V +
ℓ(ℓ+ 1)~2
2mr2
)u = Eu (5.48)
para la función u(r) = rR(r), donde aparece una contribución centrífuga al potencial,de modo que hay una contribución repulsiva adicional, la cual está representada enla Figura 5.11 general de pozo de potencial.
Para el caso del decaimiento α el efecto de un alto valor de ℓ, por ejemplo ℓ = 5,es producir un incremento en la vida media en un factor de 10. El cálculo de Tconsiderando este potencial es complicado y se realiza numéricamente.
Considerando el caso ℓ = 0, el alto de la barrera es zZe2
R , que depende de la carga zde la partícula incidente. Así para un protón sería de 13,02 MeV y para una partículaα es 23,97 MeV. La transparencia depende del ancho de la barrera, a la altura de laenergía de la partícula, antes que de la altura de la barrera y es determinada por b yR.
Si se supone que se conoce la transparencia T , entonces, se busca una relación de
1La energía del sistema E = Eα(1+4/A), ℓ y m son: el número cuántico momento angular relativoy la masa reducida del sistema partícula alfa y núcleo hijo.
5.7 Decaimiento alfa 143
ésta con la constante de decaimiento.
5.7.3 Constante de desintegración
Si se asume que en t = 0, las partículas α tienen una intensidad I0 e inciden sobre labarrera, se transmitirá una cantidad TI0 y se reflejará otra igual a (1−T )I0. Despuésde n intentos de atravesar la barrera, se tendrá una intensidad dentro del núcleo iguala:
In = (1− T )nI0 = I0en ln(1−T ) (5.49)
Si se considera el valor de T muy pequeño, debido a que los tiempos de decaimientoson largos para los emisores α , tenemos:
ln(1− T ) ≈ −T
y por tanto,In = I0e
−nT (5.50)
Ahora, el tiempo promedio que una partícula α toma para atravesar el núcleo atómico,es igual al intervalo de tiempo entre dos intentos sucesivos de escape, y será:
t0 =2R
v(5.51)
donde v es la velocidad de la partícula.
Entonces, si hay n de tales intentos en un tiempo t, se tiene:
n =t
t0=
v
2Rt (5.52)
In = I0e−(v/2R)Tt
puesto que la tasa de repetición de escape es muy alta,
dn
dt=
1
t0=
v
2R≈ 1021 Hz (5.53)
se justifica el tratamiento continuo en lugar de discreto. Por tanto,
In → I(t) = I0e−λt (5.54)
donde la constante de decaimiento
λ =v
2RT = λ0T (5.55)
con
λ0 =dn
dt=
v
2R= 1021 Hz
Asi,I = I0e
−λ0Tt (5.56)
144 Reacciones nucleares
Si se analiza el Uranio U238, por ejemplo, con T1/2 = 6,5 × 109 años, el número deintentos de penetrar la barrera es n ≈ 1038.
Ahora,
T = exp
−2
~
∫ b
R[2m(V (r)− E)]
1/2 dr
(5.57)
y si,λ = λ0e
−G (5.58)
con
G =2
~
∫ b
R[2m(V (r)− E)]1/2dr =
(8m
~2
)1/2 ∫ b
R
(zZe2
r− E
)1/2
dr (5.59)
G es conocido con el nombre del factor de Gamow.
G =
(8zZe2mb
~2
)1/2[arc cos
(R
b
)1/2
−(R
b− R2
b2
)1/2]
(5.60)
donde b =zZe2
E.
Considerando el caso de barreras gruesas, R → 0 , en una primera aproximacióncuando E ≪ Ec (alto de la barrera) entonces b≫ R y la expresión se aproxima a:
G =
(8zZe2mb
~2
)1/2[π
2−(R
b
)1/2]
(5.61)
de modo que G se puede escribir como:
G ≈ A−BR1/2 (5.62)
donde las constantes A y B son independientes del radio nuclear y son:
A =
(2π2zZe2mb
~2
)1/2
B =
(8zZe2m
~2
)1/2
(5.63)
Por otra parte podemos ignorar totalmente la dependencia en R, el término entrecorchetes tiende a uno. Obteniéndose una expresión muy simplificada de G, correctadentro de un intervalo de confianza de 30%.
En este caso,
G =
(8zZe2mb
~2
)1/2
(5.64)
La constante de decaimiento λ la podemos escribir entonces como una relación deGeiger-Nuttal
log10 λ = 21−[(8m)1/2ze2
2,303~
]ZE−1/2 (5.65)
Por tanto, la teoría cuántica explica bien el decaimiento α mediante el modelo de
5.7 Decaimiento alfa 145
Transición E( MeV) Intensidad (%)α1 5.147 72.5α2 5.134 16.8α3 5.096 10.7
Tabla 5.4: Emisiones alfa del Plutonio 239.
penetración de barrera.
Muchas de las propiedades del decaimiento pueden explicarse tratando al núcleocomo una gota líquida, aunque algunas veces efectos del modelo de capas muestranla necesidad de usar la aproximación de partícula simple.
De acuerdo con la teoría de Gamow, la probabilidad de emisión α crece rápida-mente al crecer la energía. Por tanto, en el decaimiento α , se esperaría que las líneasmás energéticas sean más intensas. Este es el caso general, pero hay excepciones.
Ejemplo 5. Considere el siguiente decaimiento alfa:
P239u → U235 + α
Uno de los puntos débiles de la teoría de Gamow es la pre-formación de las partí-culas α dentro del núcleo atómico en un 100%. Esta debilidad se acentúa más con elhecho de que la intensidad de algunas líneas α no disminuye al disminuir su energíaconforme predice la teoría. Aunque esta última observación se la justifica introdu-ciendo la aportación del potencial centrífugo en la discusión.
Figura 5.13: Bi-212 con sus decaimientos α.
146 Reacciones nucleares
Línea E( MeV) I(%)α0 6.090 27.2α1 6.050 70.0α2 5.764 1.7α3 5.621 0.1α4 5.601 1.0α5 5.480 0.01α6 5.341 0.001α7 5.298 0.0001
Tabla 5.5: Intensidades relativas de las partículas alfa de la gráfica anterior.
Por otra parte, en general se define a la radiación α de rango corto y largo de lasiguiente manera:Corto: Grupo de α que hacen la transición a estados excitados del hijo.Largo: Grupo de α que se emiten desde estados excitados del padre.
Note que de la expresión de Gamow para la constante de decaimiento se puededeterminar el valor de r0 = RA−1/3 si λ se determina experimentalmente (esta fue laprimera manera de determinar experimentalmente el valor de r0).
La desintegración espontánea de un núcleo, por decaimiento α , es inhibida porel alto valor del factor G. Los grandes valores de Z y b para núcleos pesados tiendena hacer grande el valor de G de tal forma que aunque energéticamente posible, eldecaimiento es inhibido. Así por ejemplo, para un núcleo A = 200, específicamente:
Pb200 → Hg196 + α+ 3,3 MeV
Si se supone que la energía cinética de la partícula α es igual a la energía de lareacción, se obtiene un valor del parámetro b = 69,81 fm comparado con R = 8,13 fm.Por tanto, para este caso la transparencia llega a ser muy baja, G = 111, dando unτ = 3× 1019 años.
5.7.4 Leyes de conservación
Las leyes de conservación imponen ciertas restricciones a las transiciones α. Así dela conservación del spin isotópico, se sigue que el núcleo padre (Z,A) y el hijo (Z −2, A− 4) deben tener el mismo spin isotópico, puesto que la partícula α no lo tiene.
De la conservación de la paridad y momento angular total se sigue que la paridad yel momento del estado inicial y final deben estar conectados con la paridad y momentoangular de la partícula α mediante las relaciones:
|Ji − Jf | ≤ ℓα ≤ (Ji + Jf )πiπf
= (−1)ℓα (5.66)
puesto que el momento angular y paridad intrínseca de la partícula α es Jπ = 0+.
5.7 Decaimiento alfa 147
Note que el momento angular de la partícula alfa incidirá directamente en laprobabilidad de emisión de la línea (intensidad) puesto que un momento angularmayor implicará una barrera de potencial neto mayor.
Ejercicios
1. Usando el principio de indeterminación estime la velocidad y energía cinéticamínima de un nucleón confinado en el interior de un núcleo pesado.
2. Encontrar el coeficiente de transmisión de una partícula de energía < 10 MeVque incide sobre una barrera de potencial en forma de triangulo recto de altura10 MeV y base 10 fm.
3. Estimar el ancho de la línea del Rn222 a temperatura ambiente, si T1/2 = 3,823 dy E = 5,49 MeV.
4. Utilizando la fórmula semi-empírica de masa, demostrar que la emisión de lapartícula α por un núcleo es posible para A > 180; pero que la emisión deun neutrón o un protón no es posible ni aún para los nuclidos más pesadosconocidos. (No utilizar la fórmula para la partícula α , adicionalmente Z ≈ 0,4Apara A > 120).
5. Las partículas emitidas en la desintegración del Ra226 y Th226 tienen energíasde 4.9 y 6,5 MeV, respectivamente. Si se supone que el radio nuclear es elmismo para ambos nuclidos, demostrar que la razón de las vidas medias esaproximadamente 2,5× 10−7.
6. ¿Cuál es la probabilidad que un neutrón térmico tipo P penetre dentro de unnúcleo de plomo?
7. El núcleo de Po212 en su estado base tiene un tiempo de vida media de 3× 10−7 sen la emisión de las partículas α de 7,78 MeV. ¿Cuál es la probabilidad de quelas partículas penetren en el Pb208 bajo una colisión central?
8. ¿Cuál es el momento angular orbital de un neutrón emitido en el decaimientodel núcleo de Ni58 cuya barrera de potencial tiene exactamente la misma alturaque aquella de onda S para el protón?
9. El estado base del Po212 (T1/2 = 3× 10−7 s , E = 7,78 MeV) decae por emisiónalfa. Adicionalmente, este núcleo tiene un estado iomérico excitado a 2,93 MeVel cual tiene un tiempo de vida media de 46 s y emite una partícula alfa de11,65 MeV. La explicación de este hecho (que el estado isomérico tiene un tiem-po de vida media mucho más grande que el estado base a pesar de mayor valorde energía de la partícula alfa) es el más alto momento angular con el cual lapartícula alfa es emitida en este caso. Estime el valor de ℓ.
Integral estándar: ∫dx
x(bx+ cx2)1/2=−2(bx+ cx2)1/2
bx
148 Reacciones nucleares
5.8 Decaimiento beta
5.8.1 Beta negativo
El núcleo radiactivo emite un electrón y un anti-neutrino tipo electrón.
Núcleo padre
(Z,A)
Núcleo hijo
(Z + 1, A)
+partícula β
+Anti-neutrino
Figura 5.14: Esquema decaimiento beta negativo.
La emisión del anti-neutrino fue propuesta por Pauli para salvar la dificultad queaparecía en el decaimiento beta como consecuencia del espectro energético continuode los electrones emitidos. Veinte años más tarde se los pudo detectar2.
La ecuación de conservación de la energía indica
mnuc(Z,A)c2 = mnuc(Z + 1, A)c2 +mec
2 +mνc2 + EKN + EKe + EKν (5.67)
si se considera la masa en reposo del neutrino como cero (aunque recientemente lasmediciones de oscilaciones de neutrinos muestran que en realidad si poseen masa) yadicionalmente que la energía de retroceso nuclear es despreciable. Entonces,
Qβ− = mnuc(Z,A)c2 −mnuc(Z + 1, A)c2 −mec
2 = EKe + EKν (5.68)
Poniendo las masa nucleares en términos de masas atómicas mediante la suma y restade Z masas de electrones y sus correspondientes energías de enlace electrónicas,
Qβ− =Mat(Z,A)c2 −Mat(Z + 1, A)c2 = EKe + EKν (5.69)
La energía de la transición es repartida entre el electrón y el neutrino, razón por lacual se observa el espectro energético continuo de los electrones emitidos.
2En 1956 C. Cowan y F. Reines, en un reactor nuclear como fuente de neutrinos de flujo 1012−1013
neutrinos/cm2seg. incidiendo sobre agua provocaron la siguiente reacción:
νe + p→ n0 + e+
Posteriormente, se utilizó Cloruro de Cadmio para detectar los neutrones producidos, mediante lareacción:
n0 + Cd108 → Cd109∗ → Cd109 + γ
El rayo gamma de esta reacción tiene un retardo de 5 microsegundos respecto del detectado por laaniquilación del positrón.
5.8 Decaimiento beta 149
Ejemplo 6. Emisores beta negativos
n→ p+ + e− + νe EKmax = 0,78 MeV
Cu64 → Zn64 + e− + νe EKmax = 0,573 MeV
p32 → S32 + e− + νe EKmax = 1,718 MeV
M(Cu64)
β−
M(Zn64)
Qβ−
Figura 5.15: Diagrama de decaimiento beta negativo.
5.8.2 Beta positivo
El núcleo radiactivo, en este caso emite positrones y neutrinos tipo electrón. El es-pectro de energía de los positrones y neutrinos es continuo.
Núcleo padre
(Z,A)
Núcleo hijo
(Z − 1, A)
+partícula β+
+neutrino
Figura 5.16: Esquema decaimiento beta positivo.
Ejemplo 7. Emisores beta positivo.
Na22 → Ne22 + e+ + νe Eβmax = 1,8 MeV
Cu64 → Ni64 + e+ + νe Eβmax = 0,656 MeV
El balance de masa-energía será:
mnuc(Z,A)c2 = mnuc(Z − 1, A)c2 +mec
2 +mνc2 + EKN +EKe + EKν (5.70)
si se considera la masa en reposo del nuetrino como cero igual que la energía cinéticadel núcleo en retroceso. El factor Q de la reacción es:
Qβ+ = mnuc(Z,A)c2 −mnuc(Z − 1, A)c2 −mec
2 = EKe + EKν (5.71)
Ubicando las masas atómicas en lugar de las nucleares,
Qβ+ =Mat(Z,A)c2 −Mat(Z − 1, A)c2 = 2mec
2 + EKe + EKν (5.72)
Diagrama de desintegración
150 Reacciones nucleares
M(B11)
β+
M(C11)
2mc2Qβ+
Figura 5.17: Diagrama de decaminiento beta positivo.
Para que la desintegración beta positiva se produzca, es necesario que la diferenciaentre las masas atómicas de los núcleos padre e hijo sea mayor a dos veces la energíaen reposo del electrón (2mec
2 = 1,022 MeV)
5.8.3 Captura electrónica (CE)
Este modo o canal de desintegración beta compite con la desintegración beta positivay consiste en el hecho de que electrones orbitales tipo s tienen una probabilidad finitade encontrarse en el volumen nuclear, por lo que el núcleo excitado opta por capturaral electrón intruso, llevando a una transmutación de un protón nuclear en un neutróny la correspondiente emisión de un neutrino.
p+ + e− → n0 + νe
(Z,A)
Núcleo padre
e− orbital
(Z − 1, A)
Núcleo hijo
+neutrino
Figura 5.18: Esquema del decamiento beta: captura electrónica.
Ejemplo 8.
K40 + e− → Ar40 + νe
Cu64 + e− → Ni64 + νe
El balance de energía, en este caso, es:
mnuc(Z,A)c2 +mec
2 −Be = mnuc(Z − 1, A)c2 +mνc2 + EKN + EKν (5.73)
donde Be representa la energía de enlace del electrón atómico a capturarse.Considerando que la masa del neutrino es depreciable, lo mismo que la energía
cinética de retroceso de núcleo hijo.
QCE = mnuc(Z,A)c2 +mec
2 −mnuc(Z − 1, A)c2 = EKν + BeQCE =Mat(Z,A)c
2 −Mat(Z − 1, A)c2 = EKν + Be(5.74)
(El término Be debe ser discutido cuidadosamente) La energía de desintegraciónes la misma que la del decaimiento beta positivo y toda ella escapa como energía
5.8 Decaimiento beta 151
cinética del neutrino generado (mono-energético). La diferencia con el decaimientobeta positivo es que no requiere un mínimo de energía para producirse.
Diagrama de desintegración
M(Mn55)
Q
M(Fe55)
EC
Figura 5.19: Diagrama de decaimiento de captura electrónica.
El siguiente diagrama de desintegración para el Cu64 muestra todos los decai-mientos beta en un mismo elemento.
γ
CE
1%
CE
41%
β+(19%)
Ni6428
2m0c2
Cu6424
β−(39%)
Zn6430
Figura 5.20: Diagrama de decaimiento del Cu-64.
5.8.4 Modelo
La teoría de Fermi (1933-34) provee una descripción dinámica del decaimiento β. Estateoría describe tanto la forma observada del espectro β (en energía o en cantidad demovimiento) como el tiempo de vida media de los emisores β. Adicionalmente, lateoría da una clasificación para las transiciones β y sus correspondientes reglas deselección.
Fermi desarrolló su teoría en términos de transición de probabilidad por unidadde tiempo, similar a la teoría que describe la fluorescencia de luz en átomos.
La Figura 5.21 muestra tanto la descripción del modelo para fluorescencia comopara el decaimiento β.
152 Reacciones nucleares
Átomo excitado
núcleo excitado
Átomo
núcleo
+
+
fotón de luz
electrón
neutrino
Figura 5.21: Analogía entre fluorescencia y emisión beta.
La transición del estado inicial al estado final se efectúa a través de un proce-so de interacción débil, con la emisión de un campo leptónico, (expresado por unHamiltoniano).
Para la fluorescencia de átomos el campo de radiación es el electromagnético mien-tras que para la teoría del decaimiento β se tiene un campo de radiación leptónico.
El Hamiltoniano de interacción transforma al sistema nuclear de su estado iniciala uno de varios posibles estados finales a través de la creación de un campo leptónicopor medio de la interacción débil. La fuerza de la interacción débil esta expresado porel elemento de matriz
Hfi =
∫Ψ∗fHΨidV (5.75)
La segunda regla de oro de Fermi da la probabilidad de transición por unidad detiempo
Wfi =2π
~ρ(Ef )|Hfi|2 (5.76)
donde ρ(Ef ) representa la densidad de estados finales y está dada por:
ρ(Ef ) =dn
dE0(5.77)
Si las cantidades de movimiento de los electrones emitidos, correspondientes al in-tervalo de energía dE0 en la vecindad de Ef , varían de p a p + dp, se sigue que laprobabilidad de transición por unidad de tiempo permite calcular el número mediode partículas beta emitidas con ese rango de momentos. Así,
N(p)dp =Wfi =2π
~
dn
dE0|Hfi|2 (5.78)
puesto que el núcleo hijo queda, después del proceso, con una energía de retrocesoy excitación bien determinadas, la energía restante de la transición es compartidaentre los leptones de muchas maneras diferentes. La energía leptónica no está biendefinida sino que tiene una indeterminación dE0, que numéricamente es igual a laindeterminación de la energía del sistema original, es decir, el núcleo padre. Así,
∆Ei =~
τi(5.79)
5.8 Decaimiento beta 153
donde τi es el tiempo de vida media del núcleo padre. Debido a que se asume queel hijo tiene una energía bien marcada, entonces el ensanchamiento o expansión deenergía se encuentra en la energía leptónica.La densidad de estados accesibles finales del núcleo hijo sobre el intervalo dE0, lla-mado también factor estadístico, es la densidad de posibles estados finales del campoelectrón-neutrino. Si se supone que el electrón está localizado dentro del volumen Vel número de estados cuánticos en el intervalo de momentos entre p y p+ dp, es3:
dne =V 4πp2dp
h3(5.80)
De igual forma para el neutrino, se tiene:
dnν =V 4πp2νdpν
h3(5.81)
La probabilidad de encontrar a ambas partículas simultáneamente emitidas será:
dn = dnednν
y por tanto,dn
dE0=
16π2V 2
h6p2p2ν
dpνdE0
dp (5.82)
eliminando las variables correspondientes al neutrino, que se lo considera como unapartícula de masa en reposo nula.
pν =Eνc
E0 = E + Eν
p2ν
(dpνdE0
)=
1
c3(E0 − E)2
de manera que,dn
dE0=
16π2V 2
h6c3p2(E0 − E)2dp (5.83)
Si los elementos de matriz de interacción |Hfi|2 son independientes de la energía ycantidad de movimiento, la forma del espectro β estaría dado como:
N(p)dp = Cp2(E0 − E)2dp (5.84)
Sin embargo, |Hfi|2 no es independiente de E y p.
Considerando los elementos de la matriz de interacción
Hfi =
∫Ψ∗fHΨidV (5.85)
3No se considera las multipolaridades del electrón y el neutrino (se podrían tomar en cuenta mástarde de acuerdo con su acople.)
154 Reacciones nucleares
si ϕi es la función de onda del núcleo padre y ϕf la del núcleo hijo, y si φe y φνrepresentan las funciones de onda del electrón y del neutrino, se tiene
Ψi = ϕi
Ψf = ϕfφeφν
Hfi = gF
∫(ϕfφeφν)
∗MϕidV (5.86)
donde gF es una constante empírica fundamental y M el operador Hamiltoniano deinteracción adimensional.
gF = 1,41× 10−49 erg · cm3
Esta constante llamada “de acoplamiento de Fermi”, expresa la fuerza de la interaccióndébil.
A causa de que la interacción entre el núcleo y los leptones es débil, las funcionesde onda leptónicas son poco distorsionadas por el potencial nuclear y se las puedeconsiderar como ondas planas. Así,
φe(r) = Neei~ke~r y φν(r) = Nνe
i~kν~r (5.87)
normalizando las funciones se encuentra que
Ne = Nν =1
V 1/2
Las funciones de onda ϕi y ϕf son diferentes de cero dentro de las dimensionesnucleares.
Puesto que la extensión del núcleo es muy pequeña comparado con el volumenen el cual los leptones son localizados, podemos desarrollar las funciones de onda delelectrón y el neutrino en serie de potencias alrededor de (r = 0) (lugar del núcleoatómico)
φe(~r) =1
V 1/2
(1 + i(~ke~r) + . . .
)
φν(~r) =1
V 1/2
(1 + i(~kν~r) + . . .
) (5.88)
Si tan solo se considera el primer término de la serie, se tiene
φe(0) = φν(0) =1
V 1/2(5.89)
Por tanto, se podría escribir:
Hfi = gFφ∗e(0)φ
∗ν(0)
∫ϕ∗fMϕidV
Hfi =gFV Mfi
(5.90)
5.8 Decaimiento beta 155
donde
Hfi =
∫ϕ∗fMϕidV (5.91)
con un conocimiento poco preciso de ϕi, ϕf y M .Los elementos de matriz Mfi es la integral del solapamiento de las funciones de
onda del núcleo padre e hijo. En el caso de las transiciones permitidas es indepen-diente de E y su magnitud es del orden de la unidad; mientras que para las asíllamadas transiciones prohibidas tiende a cero. Su valor se lo puede calcular cuandola estructura del núcleo padre e hijo se conocen.
El espectro beta queda entonces como:
N(p)dp =g2F
2π3c3~7|Mfi|2p2(E0 − E)2dp (5.92)
Factor de corrección de Coulomb
A través de la interacción de coulomb con la carga nuclear, la velocidad y por tantola energía de los electrones emitidos decrece (o de los positrones crece) afectando laforma del espectro y la probabilidad de decaimiento.
El cambio de la cantidad de movimiento debido al campo de coulomb es mejorcuando el movimiento de las partículas beta es lento. En consecuencia la influenciaes mayor en la parte baja del espectro.
Se puede considerar que la perturbación causa una distorsión en la función deonda del electrón y la forma del espectro es deformado.
Si |φe(0)|Z representa la función de onda del electrón en el origen modificada porla presencia de la carga nuclear. Se introduce la función de Fermi,
F (E,Z) =|φe(0)|2Z|φe(0)|2
(5.93)
de manera que si considera la corrección de Coulomb, se tiene que:
|Hfi|2 = g2FF (E,Z)|φe(0)|2|φν(0)|2|Mfi|2 (5.94)
F ≥ 1 para emisión β negativaF = 1 caso de no corrección de CoulombF ≤ 1 para la emisión β positiva
Para una aproximación no relativista, la función F (E,Z) toma la forma:
F (E,Z) = x(1− e−x)−1 (5.95)
donde
x = ±2πZc
137vpara partículas β positivas o negativas con velocidad v.
En la región baja del espectro x≫ 1
F ≈ x para el decaimiento β negativoF ≈ |x|e−|x| para el decaimiento β positivo
156 Reacciones nucleares
β−
E
β+
N(E)
Figura 5.22: Efecto del factor de Coulomb en el decaimiento beta.
Un efecto que no se ha tomado en cuenta en el factor F es el apantallamiento quesufre la carga nuclear por presencia de la nube electrónica.
El espectro beta lo podemos escribir como:
N(p)dp =g2F
2π3c3~7|Mfi|2F (E,Z)p2(E0 − E)2dp (5.96)
Gráfico de Kurie
Es el procedimiento estándar para comparar la teoría con el experimento, y consisteen escribir la ecuación anterior como:
C(E0 − E) =
[N(p)
p2F (E,Z)
]1/2(5.97)
Figura 5.23: Representación de la gráfica de Kurie.
La masa del neutrino tiene una incidencia directa en la forma de la parte finaldel espectro beta, la pendiente en la energía de transición se hace infinita, como sepuede observar en la Figura 5.24.
5.8 Decaimiento beta 157
mν = 0
mν 6= 0
p
N(p)
pmax
E0
mνc2 E
Figura 5.24: Efecto de la masa del neutrino en el espectro beta.
5.8.5 Tiempo de vida media
La constante de decaimiento λ es justamente la probabilidad de tiempo por unidadde tiempo para la emisión de partículas β con una energía arbitraria entre 0 y E0.
λ =
∫ p0
0N(p)dp =
g2F2π3c3~7
∫ p0
0|Mfi|2F (E,Z)(E0 − E)2p2dp (5.98)
re-escribiendo en términos de una nueva variable ω (energía total del electrón enunidades de la energía en reposo del electrón)
ω = 1 +E
mec2
λ =
(g2Fm
5ec
4
2π3~7
)|Mfi|2
∫ ω0
1F (ω,Z)(ω2 − 1)
1/2(ω0 − ω)2ωdω
λ =|Mfi|2τ0
f(ω0, Z) (5.99)
donde
τ0 =2π3~7
g2Fm5ec
4≈ 7000 s (5.100)
La función integral de Fermi f(ω0, Z) se determina por el factor estadístico y losefectos de Coulomb.
Los valores de f(ω0, Z) se extienden sobre un gran rango de valores. A altas ener-gías f(ω0, Z) es aproximadamente proporcional a ω5
0 mientras a más bajas energías,esta crece aún más rápidamente con ω0. Esta fuerte dependencia de f con ω0 lleva aque λ sea muy dependiente del valor de energía E0. El tiempo de vida media es:
τ1/2 =ln 2
λ=τ0 ln 2
|Mfi|21
f(ω0, Z)(5.101)
Muchas veces lo que se hace es compara el producto f(ω0, Z)τ1/2 con los datos experi-mentales. A este producto se lo conoce con el nombre de tiempo de vida comparativo
ft ≡ f(ω0, Z)τ1/2 =τ0 ln 2
|Mfi|2(5.102)
158 Reacciones nucleares
Los valores de ft , por tanto proveen el inverso de la medida de los elementos de lamatriz de transición. Se le expresa en segundos y cubre un amplio rango de valoresque van desde los 103 a 1023 s. Con un agrupamiento alrededor de los 104 y 1023 s.
5.8.6 Clasificaciones de las transiciones beta
En un principio hubo razón de pensar que los tiempos de vida media para el decai-miento β generaban dos categorías de transiciones: Permitidas y Prohibidas, siendolas últimas aproximadamente 100 veces más inactivas que las permitidas.
Gamow propuso, basado en la teoría de Fermi, que esto podría explicarse a travésde cambios en el momento angular y paridad de los estados del padre y el hijo, e hizola siguiente ligera clasificación:
Permitidas. No involucran cambios en el spin nuclear o paridad (∆J = 0;∆π =no)
Prohibidas. Involucran cambios en el spin nuclear o paridad (∆J = 1;∆π = si)
Sin embargo, estas conclusiones, basadas en escasos datos experimentales fueronmuy ingenuas para representar una situación real de muchos datos experimentalesreunidos últimamente con emisores beta artificialmente activados, debiéndose reem-plazar por una clasificación más elaborada basada sobre evaluaciones más complicadasy varios criterios de diagnóstico.
Uno de estos criterios, pero no el único, es el del tiempo de vida comparativoft, cantidad que es más conveniente para describir el grado de prohibición que fy τ1/2 separadamente y debe ser suplementada por otras consideraciones teóricas yespectrales.
En la siguiente tabla se presenta las correspondientes transiciones en función desu valor ft
Transiciones log ft
Super permitidas 2,9-3,7Permitidas 4,4-6,0Prohibidas 1 (no únicas) 6-9Prohibidas 1 (únicas) 8-10Prohibidas 2 10-13Prohibidas 3 >15
El bloque de las transiciones permitidas está alrededor de valores log ft = 5− 6,y después de éstas las prohibidas.
Grados de prohibición
El producto de las funciones de onda planas del electrón y neutrino es:
φ∗eφ∗ν ≈ exp(~ke + ~kν) ·~r (5.103)
5.8 Decaimiento beta 159
si consideramos los vectores de onda muy parecidos entre ellos, y correspondientes aenergías de 1 MeV. Entonces,
ke ≈ kν ∼= 1011 cm−1
(ke + kν)r ≈ (ke + kν)R ≈ 1011 × 10−12 ≤ 110
(5.104)
Puesto que la probabilidad de transición es proporcional a |φeφν |2 se sigue que lostérminos consecutivos de la serie o expansión de la función de onda difieren por casidos ordenes de magnitud. El primer término de la expansión genera los elementosde matriz de las transiciones permitidas y los términos sucesivos (desarrollo multi-polar) se refieren a las transiciones prohibidas de orden superior. Los últimos tienenprobabilidades bajas pero no nulas. Una influencia adicional es la del movimientointrínseco de los nucleones con velocidad media vN dentro del núcleo. Esto da lugar auna corrección extra relativista al elemento de matriz, de magnitud
vNc
más pequeño
que el término no corregido. Puesto quevNc
y kR son del mismo orden de magnitud,
el término relativista adicional puede ejercer una influencia apreciable. En adición aestos parámetros, un tercer parámetro entra en juego cuando el efecto coulombianodel núcleo se toma en cuenta.
Las transiciones super permitidas se presentan cuando las funciones de onda delpadre y del hijo son muy parecidas. Un solapamiento entre las dos resulta en un valormayor de los elementos de matriz Mfi. Estas transiciones generalmente se presentanen el decaimiento de núcleos espejo. Si se asume que las fuerzas nucleares son las mis-mas para neutrones y protones, se concluye que las funciones de onda y las energías delos neutrones y protones dentro del núcleo son iguales. Entonces el decaimiento betaen este caso no es más que el intercambio del nucleón en un mismo estado cuánticoy se espera un solapamiento grande de las funciones de onda.
Los decaimientos permitidos se caracterizan por la ausencia de factores de inhibi-ción y por ausencia de cambios de paridad en la transición (∆J = 0,±1;∆π = no).
Las transiciones prohibidas 1 se asocian con el cambio de paridad y spin nuclear
(∆J = 0,±1,±2;∆π = si) y contienen uno de los dos factoresvNc
ó kR.
Las transiciones prohibidas 2 deben distinguirse entre dos grupos. El primero, querepresenta correcciones a transiciones permitidas puesto que ellas obedecen las mismasreglas de selección de las permitidas (∆J = 0,±1;∆π = no) y están siempre acompa-
ñadas de los factoresvNc
o kR; y el segundo, un grupo con (∆J = ±2,±3;∆π = no)
las cuales constituyen las verdaderas transiciones prohibidas 2.
Una clasificación alternativa basada en el acople de spines del campo leptónico ysu correspondiente momento angular orbital, con fines de resolución de problemas, semuestran en la siguiente tabla:
160 Reacciones nucleares
Tipo de transición ℓ ∆J(Sev = 0) ∆π(Sev = 0) ∆J(Sev = 1) ∆π(Sev = 1)
Permitida 0 0 No (0), 1 NoProhibida 1 1 (0), 1 Si 0,1,2 SiProhibida 2 2 (1), 2 No 2,3 NoProhibida 3 3 (2), 3 Si 3,4 SiProhibida 4 4 (3), 4 No 4,5 No
Transiciones Fermi y Gamow-Teller
Las transiciones permitidas (especialmente las super-permitidas) ofrecen el medio dederivar información cuantitativa sobre las fuerzas de acoplamiento y el valor de gF .Se acostumbra a dividir las transiciones permitidas, para las cuales los momentosangulares orbitales del par electrón-neutrino es cero, ~Leν = 0 en dos categorías cuyastasas de transición son aproximadamente las mismas:
Transiciones Fermi, en las cuales el electrón y el neutrino son emitidos con spinesmutuamente antiparalelos, en un estado relativo singlete, (~Seν = 0) así que: ~Jeν =~Leν + ~Seν = 0
Transiciones Gamow Teller, en las cuales el electrón y neutrino son emitidos conspines paralelos, en un estado de spin relativo triplete (~Seν = 1)
~Jeν = ~Leν + ~Seν = 1 (5.105)
El correspondiente momento angular total del par electrón-neutrino está relacionadoa los correspondientes valores de los estados iniciales y finales de la transición.
~Ji = ~Jf + ~Jeν∆J = | ~Ji − ~Jf | = | ~Jeν |
(5.106)
que toma valores:
0 para las transiciones Fermi y,0,±1 para las transiciones Gamow-Teller
Al mismo tiempo, la regla de selección de paridad, para ambos casos es:
πeν = (−1)ℓeν = + (5.107)
por tanto,πiπf = + o, ∆π = no.
5.8.7 Modelo de captura electrónica
Aunque este proceso en donde un electrón orbital del átomo se aventura al núcleoy es capturado por un protón puede verse similar al inverso del decaimiento betapositivo, p++ e− → no+ ν, las energías de las dos partículas producto no tienen unadistribución espectral continua, sino más bien discreta. Los neutrinos emitidos son
5.8 Decaimiento beta 161
mono-energéticos y se emiten con una energía
Eν = QCE −Be (5.108)
donde QCE es la energía de la transición y Be la energía de enlace del electrón orbitalcapturado. Esto da lugar a la línea espectral del neutrino. Si la captura tiene lugarsimultáneamente de más de un nivel atómico, varias líneas discretas aparecen en elespectro energético del neutrino a las apropiadas energías, como se muestra en laFigura5.25.
L
K
Be(K)
Eν
N(Eν)
Eβ+ max (E
β+ max+ 2mec
2)
Figura 5.25: Espectro de neutrinos del decaimiento beta positivo y los de captura electró-nica.
La teoría del decaimiento β (desarrollada previamente) se puede aplicar a la cap-tura electrónica. Esta tiene relevancia para la evaluación del tiempo de vida mediade captura y el valor del tiempo comparativo ft.
Tiempo de vida media y comparativo de la captura electrónica
La constante de decaimiento λ y el tiempo de vida media, para la captura electrónicase la puede encontrar de igual manera la probabilidad de transición por unidad detiempo de que un núcleo pase de un estado inicial a otro final, dada por la segundaregla de oro de Fermi,
λ =1
τ=
2π
~|Hfi|2
dn
dEν(5.109)
puesto que el neutrino de salida es mono-energético.El factor estadístico se los determina a partir de los estados accesibles del neutrino
solamente,
dn→ dnν =V 4πp2νdpν
h3(5.110)
suponiendo nuevamente que la masa en reposo del neutrino es cero, es decir,
pν =Eνc
y
dnν =V 4πE2
νdEνh3c3
(5.111)
Los elementos de la matriz de interacción son parecidos al del decaimiento beta. Así
162 Reacciones nucleares
para transiciones permitidas toma la forma:
|Hfi|2 = g2|φe(0)|2|φν(0)|2|Mfi|2 (5.112)
expandiendo la función de onda del neutrino y tomando tan solo el primer término,
|φν(0)|2 =1
V(5.113)
Sin embargo la función de onda del electrón antes de la captura tiene que ser aquelladel nivel apropiado.
Así, para electrones tipo K,
φe(~r)K =1√π
(Z
a0
)3/2
e−(Z/a0)r (5.114)
donde a0 es el radio de Bohr y está definido como:
a0 =~2
mee2
de manera que,
|Hfi|2K = g2F1
V π
(Zmee
2
~2
)3
|Mfi|2 (5.115)
insertando un factor 2 para tomar en cuenta la presencia de las 2 electrones en elnivel K, se tiene que:
λK =2g2Fπ2~10
(Zmee
2
c
)3
|Mfi|2E2ν (5.116)
que expresándola en unidades de energía en reposo del electrón:
ων =Eνmec2
=QCE −Bemec2
= ω0 − εB (5.117)
donde: ω0 =QCEmec2
y εB =Be
mec2
Así,
λK =|Mfi|2τ0
4π
(Ze2
~c
)3
(ω0 − εB)2 (5.118)
siendo τ0 la misma constante definida en el decaimiento beta.
Se puede notar que la captura electrónica tiene lugar con mayor facilidad ennúcleos pesados, puesto que al aumentar Z el radio orbital decrece y el radio nuclearaumenta.
Si introducimos una función integral de Fermi para la captura electrónica definidacomo:
fCEK = 4π
(Ze2
~c
)3
(ω0 − εB)2 (5.119)
5.8 Decaimiento beta 163
de tal manera que:
λK =|Mfi|2τ0
fCMK (5.120)
Este forma de la integral de Fermi se la puede escribir en términos de la constante de
la estructura fina α =e2
~cpuesto que la energía de enlace del nivel K en unidades de
masa en reposo se la puede aproximar por: εK ≈ 12(αZ)
2 de manera que:
fCEK = 4π(αZ)3[ω0 −
1
2(αZ)2
]2(5.121)
Sin embargo, esta expresión debe ser modificada por la inclusión de dos correcciones,las cuales son muy importantes para el caso de núcleos pesados: por efectos relativistasy por apantallamiento de la carga nuclear por los electrones orbitales.
Los efectos de apantallamiento de la función de onda del electrón distorsionada porCoulomb, en el caso de los electrones K y L, puede tomarse en cuenta sustituyendouna carga nuclear efectiva:
Z∗K = Z − 0,35
Z∗L = Z − 4,15
Los valores del tiempo comparativo están dados por:
ft = fCEτ1/2 =τ0 ln 2
|Mfi|2(5.122)
y coinciden de buena manera con aquellos correspondientes a la transición beta po-sitiva. La buena concordancia entre los valores ft para la captura electrónica y eldecaimiento beta en el caso de las transiciones super-permitidas (Be7 → Li7) indicanque la intensidad de la interacción debe ser la misma (aproximadamente) para ambosprocesos.
Los varios grados de prohibición también se aplican a las transiciones de capturaelectrónica de acuerdo con los elementos de la matriz de interacción, pero en la prác-tica casi exclusivamente las transiciones CE super-permitidas y permitidas han sidoobservadas con valores de log ft de entre 4,5 y 6,5
Puesto que el decaimiento beta positivo es un proceso competitivo con la captu-ra electrónica, en muchos casos. Se puede ver que la razón entre las constantes dedecaimiento de estos dos procesos es independiente de los elementos de la matriz deinteracción. Así,
λKλβ+
=4π
f(ω0, Z)(αZ)3(ω0 − εK)2 (5.123)
La adquisición de los datos experimentales para la CE es muy difícil puesto que losneutrinos son casi indetectables. En la práctica se realiza ya sea mediante el estudiode los núcleos excitados hijos (decaimiento γ posterior) u observando procesos dedes-excitación del átomo hijo (radiación X característica o electrones Auger).
164 Reacciones nucleares
5.8.8 La no conservación de la paridad en el decaimiento beta
En principio un test decisivo requiere que las medidas de un arreglo experimental,usado para observar el decaimiento beta, sea comparado directamente con medidassimilares realizadas sobre un sistema el cual, excepto que su geometría es una imagenespejo del arreglo experimental, correspondan exactamente con este.
z
yx
Espejo
y′′
= −y
x′′
= x
z′′
= z
180o y
′
= −y
z′
= −z
x′
= −x
z
y
x
L y′
= −y
z′
= −z
x′
= −x
Figura 5.26: Operación de Paridad
La inversión de paridad es equivalente a una inversión de espejo, puesto que ellasdifieren solo a través de una invariante física que es la rotación de 180 respecto al eje.El siguiente experimento se realizó para observar la no conservación de la paridad enel decaimiento β. Wu y col. estudiaron la probabilidad de emisión de electrones denúcleos polarizados de Co60, los cuales decaen por transiciones Gamow-Teller (∆J =1,∆π = no) a núcleos Ni60, junto con su imagen espejo. Ellos encontraron que laemisión ocurría en la dirección opuesta a aquella del spin nuclear.
Co-605+
4+
2+
0+
β−
γ
γ
Ni-60Espejo
Figura 5.27: Violación de la paridad del decaimiento beta.
Como se puede advertir, el espejo cambia la dirección del spin pero deja igual ladirección de emisión. La conservación de la paridad requiere que las probabilidadesde decaimiento deben ser las mismas en los dos casos. Las medidas mostraron unaclara asimetría, incompatible con la conservación de la paridad.
5.8 Decaimiento beta 165
Figura 5.28: Resultados experimentales del experimento de Wu y col.
5.8.9 Decaimiento β doble4 o ββ
Considerando que el decaimiento beta se debe a la interacción débil y ésta no satisfacealgunas leyes de conservación, uno estaría tentado en estudiar un tipo especial dedecaimiento doble beta para ver si en algún grado, también la conservación en elnúmero leptónico no es absoluta. Este tipo especial de decaimiento beta doble es aquelque no emitiría neutrinos (sin emisión de neutrinos), el cual mostraría directamentedicha violación. En este caso, la emisión de los electrones emitidos, en coincidencia,mostrarían un pico claro en el espectro continuo beta. Hay varios núcleos donde eldecaimiento beta doble normal, i.e., con emision de dos neutrinos, es energéticamenteposibl; estos son núcleos con A par (ver figura 4.3). Algunos de ellos son: Ge76, Se82,Mo100, Te128, Xe136.
Considerando, por ejemplo el decaimiento de Ca48 a Sc48. El valor de Q de es-te decaimiento es 0,281 MeV, pero los únicos estados accesibles en este caso serían4+, 5+, 6+ los cuales requerirán decaimientos prohibidos de cuarto, quinto y sextoorden (ft = 23, T1/2 = 108 años), se concluye por tanto que Ca48 es estable. Sinembargo habría un modo alternativo de decaimiento de segundo orden, el cual seríael decaimiento beta doble (decaimiento ββ) que se lo representaría como:
Ca48 → Ti48 + 2e− + 2νe
4Una revisión básica sobre la búsqueda de decaimiento beta doble se puede encontrar en Reviewor Modern Physics, Vol. 50, No 1, pp 11-21.1978
166 Reacciones nucleares
48Ti
E MeV
1
2
3
4
0+
ββ
0+
48Ca
β
48Sc6+
4+
5+
Figura 5.29: Posible decaimiento doble beta.
Note que es un proceso directo (que puede llegarse a confundir con dos decaimien-tos beta consecutivos) y no requiere pasar por Sc48; en este caso, la transición es detipo 0+ → 0+ que entra dentro de las transiciones permitidas.
Otra forma de garantizar el decaimiento ββ es cuando el núcleo intermedio tieneun nivel base de mayor energía que el del padre. Este es el caso de los núcleos con Apar mencionados anteriormente.
0
1
2
0+
128Te
1024 años
1+
128I
ββ
0+
128Xe
E MeV
Figura 5.30: Forma alternativa de producción de decaimiento doble beta.
Para un decaimiento ββ con la emisión de neutrinos (2νββ) se tiene:
λββ ∝ espacio de fase (4 partículas) ∝ Q10−12
siendo algo más formales se tendría
λββ =
(mec
2
~
)[fg2F
m4ec
2|Mfi|22π3~6
]2(5.124)
donde f representa la función integral de Fermi. Esta expresión da un valor para eltiempo de vida media de ≈ 1025 años para valores típicos de los parámetros.
Si se supone ahora que la emisión ββ es sin neutrinos, i.e., (0νββ), se tiene que
λββ ∝ espacio de fase (2 partículas) ∝ Q5
lo que lleva a tiempos de vida media de ≈ 1019, es decir, de cinco a seis ordenes demagnitud menores. Por otro lado, esta emisión estaría restringuida en algun gradopor la variación grotesca de la helicidad que requiere este proceso.
5.8 Decaimiento beta 167
Los experimentos generalmente se basan en la determinación del espectro de ener-gía total de los electrones emitidos para lo cual se necesitarían detectores de muy altaresolución. Estos espectros se diferenciarían claramente para los dos procesos. Sinembargo los procesos de decaimiento con y sin neutrinos no son excluyentes, es decir,se pueden producir tanto el uno como el otro. Aunque los métodos experimentalespara determinar este decaimiento ββ son muy dificultosos y sujetos a muchas inde-terminaciones sistemáticas (se ha llegado a un límite de sensitividad de 1025 años), elpropósito de éstos es de un valor incalculable a causa de que puede resolver problemastales como la conservación del número leptónico y masa del neutrino.
Ejercicios
1. Calcule el espectro de electrones emitido en el decaimiento beta del neutrón.Haga la gráfica.
2. Si un estado 5/2+ decae por una transición prohibida de primera especie, cualesson sus posibles Jπ del estado final.
3. El Zn63 decae principalmente al estado base del Cu63 con una energía máximadel positrón de 2,35 MeV. El tiempo de vida media es de 38 min. Calcular el fty determinar si la transición es prohibida o permitida. ¿Cuál es la probabilidadpara la captura electrónica?
4. Hay una relación numérica simple entre la energía media del espectro beta y laenergía de transición E0. Deducir: esta expresión para los casos no relativistay ultra relativista. Considerando la forma del espectro beta como:N(p)dp =C · (E0 − E)2p2dp; C = constante.
5. Los siguientes pares muestran las medidas del espectro beta para el decaimien-to del In114: (Energía en MeV; tasa de contaje u.a.); (0,4; 386), (0,8; 425),(1,2; 323), (1,6; 116). Dibuje un diagrama de Kurie y de el determine la energíade transición. También calcule la energía media de los electrones. Por facilidadtome la función de Fermi F (Z,E) (de corrección de Coulomb) constante y usela aproximación ultra relativista.
6. En el proceso de captura electrónica del Be7 al Li7, la diferencia de masa entrelos dos átomos es equivalente a 0,864± 0,003 MeV. Usando un espectrómetroelectrostático se midió la energía del retroceso nuclear en 55,9± 1,0 eV. Lafuente en este experimento fue una mono-capa de Be en un sustrato de tugsteno.¿Qué conclusiones puede sacar de esta medida con relación a la masa en reposodel neutrino? ¿con qué exactitud sería necesario medir la energía de retrocesopara estar en posición de establecer si el neutrino tiene o no masa mayor a 10%de la del electrón)
7. Calcule el espectro electrónico en un hipotético decaimiento beta donde juntocon el electrón se emiten dos neutrinos sin masa. (considere solo el cambio enel factor estadístico)
168 Reacciones nucleares
5.9 Decaimiento Gamma
Son transiciones isoméricas de un núcleo que pasa de un estado excitado a otro menosexcitado o al estado base.
+ γNúcleo Padre Núcleo Hijo Fotón
*(Z,A) (Z,A)
Figura 5.31: Esquema del decaimiento Gamma: emisión de fotones.
La transición isomérica lleva a la emisión de un fotón de alta energía.
5.9.1 Emisión de un foton gamma
La desexcitación del núcleo atómico se realiza a través de la emisión de una ondaelectromagnética de muy alta frecuencia llamado fotón gamma.
Ejemplo 9.Ba137∗ → Ba137 + γ
El balance de energía es:
mnuc(Z,A)∗c2 = mnuc(Z,A)c
2 + EKN + Eγ (5.125)
El factor Q de la desintegración
Qγ =Mat(Z,A)∗c2 −Mat(Z,A)c
2 = EKN + Eγ (5.126)
El valor de la energía de retroceso del núcleo es pequeño de modo que la energíade transición es muy próxima a la energía del gamma emitido. Sin embargo para elestudio de absorción resonante es muy importante el papel que juega esta energía deretroceso, la cual se la puede calcular de la conservación de la cantidad de movimiento.
~pN + ~pγ = 0
EKN =p2N
2mnuc=
p2γc2
2mnucc2=
Eγ2mnucc2
Eγ (5.127)
que como se puede ver es muy pequeña puesto que la energía gamma es de unos pocosMeV mientras que la energía en reposo del núcleo es de algunos GeV.
5.9 Decaimiento Gamma 169
M(Ba137)
M∗(Ba137)
γ
Figura 5.32: Diagrama de decaimiento gamma.
5.9.2 Conversión Interna
El núcleo en su estado excitado transfiere su exceso de energía a un electrón orbitaltipo s que se ha aventurado en el volumen nuclear (es decir, la probabilidad deencontrar a electrones tipo s en el volumen nuclear es finita). El electrón es emitidoentonces del átomo con una energía cinética igual a la energía transferida por el núcleoexcitado menos la energía de enlace del electrón en su orbita.
+Núcleo Padre Núcleo Hijo Electrón
(Z,A) (Z,A)
e− orbital
Figura 5.33: Esquema del decaimiento gamma: emisión de un electrón de conversión in-terna.
El balance energético conduce a:
mnuc(Z,A)∗c2 +mec
2 − Be = mnuc(Z,A)c2 +mec
2 + EKN + EKe (5.128)
de manera que
QCI =Mat(Z,A)∗c2 −Mat(Z,A)c
2 = EKN + EKe + Be (5.129)
El electrón de conversión interna se emite siempre con la misma energía para unatransición dada, es decir, es monoenergético.
M(Fe57)
M∗(Fe57)
CI
Figura 5.34: Diagrama de decaimiento conversión interna.
Una de las fuentes más utilizadas es la de Cobalto 60, su diagrama de decaimientose presenta a continuación
170 Reacciones nucleares
Co6027
β− (99, 85%)
β−
(0, 15%)
γ2 (1, 17 MeV)
γ1 (1, 33 MeV)
Ni6028
Figura 5.35: Esquema de decaimiento del Co-60.
5.9.3 Modelo
Como se mencionó anteriormente, el decaimiento γ no es más que la des-excitaciónde un núcleo radiactivo mediante la emisión de un fotón de luz de alta frecuencia oun electrón orbital tipo s, llamado electrón de conversión.
Si el emisor γ se forma de un decaimiento α, la energía del gamma emitido es me-nor a medio MeV, a causa de la extrema dependencia en energía de la probabilidadde penetración de la barrera de Gamow. Si el emisor γ se forma de un decaimientoβ, la energía del gamma emitido puede ser del orden de los 2 MeV a causa de que λtiene una dependencia en energía de potencia 5, más baja que la del decaimiento α.
El modelo que se desarrolla para el decaimiento gamma es un modelo semi-clásico(descripción clásica modificada con conceptos cuánticos) de un sistema de corrientes(núcleo atómico) que emite radiación electromagnética al pasar de un estado iniciala otro final. El promedio del flujo de energía se desarrolla en una serie de términosmultipolares, de los cuales se encuentra tanto su constante de decaimiento como susmomentos angulares y paridades.
Emisión espontánea
Una partícula de carga e y sin momento magnético intrínseco radia energía:
∫~S · d ~A =
2
3
e2
c3~r 2 para(v ≪ c) (5.130)
donde ~S representa el vector de Poynting.En general, a causa de la interferencia no se puede usar una simple suma para
encontrar la potencia radiada por dos partículas que se mueven una con relacióna otra. Sin embargo, si las partículas se describen por movimiento periódico, cadauna con diferente frecuencia, no hay un promedio en el tiempo de la interferencia.El primer paso en resolver el problema de radiación es analizar la distribución decorrientes en sus componentes de frecuencia, a cada una de las cuales se las puedeconsiderar separadamente.
5.9 Decaimiento Gamma 171
Se define las componentes de Fourier de las densidades de corriente como:
~J(~r, t) =∑
ω
~Jω(~r, t) (5.131)
~Jω(~r, t) = ~Jω(~r)e−iωt + c · c (c · c indica la compleja conjugada)
De aquí en adelante, solo se trata con una sola componente de Fourier y se omite elsub-índice ω.En la zona de radiación (r′ ≪ r; r′2 ≪ rλ)
〈~S〉 = c
4π〈 ~E × ~H〉 (5.132)
~H = ~n× ~E
~E = −1
c~A
~A =
∫ ~J(~r′)dV ′
|~r − ~r′|
de manera que,
~S =k~k
2πcr2
∣∣∣∣∫
~J⊥(~r′)e−ikr′dV ′
∣∣∣∣2
(5.133)
donde k es el módulo del vector de onda
~k =ω
c~ur y
~J = ~J⊥ + ~Jq
que se refieren a las componentes perpendicular y paralelas de la densidad de corrientecon relación a la dirección de k.
0
k
rJ
r’
Figura 5.36: Esquema de la distribución de carga y punto de observación.
Para un tratamiento mecánico-cuántico se puede considerar la densidad de co-rriente no como continua, sino debida al movimiento de partículas de carga e, masam y cantidad de movimiento p,
~J(~r′, t) =e
m~p ·n(~r′, t) (5.134)
172 Reacciones nucleares
donde n(r′, t) es la densidad volumétrica de las partículas con similares expresionespara los componentes de Fourier.
La cantidad de movimiento tiene un operador asociado, de manera que:
~p⊥(~r′) = −i~∇′⊥ (5.135)
La mecánica cuántica atribuye la radiación a la transición desde un estado inicial auno final más no a la densidad de partículas en estado estacionario. Así
〈~S〉 = k~k
2πcr2
∣∣∣∣∫
Ψ∗fe
−i~k · ~r′ em~p⊥ΨidV
′∣∣∣∣2
(5.136)
la frecuencia de la radiación
ω =Ef − Ei
~= kc (5.137)
generalizando para el caso que la función de onda describe un sistema de N partículascargadas, se tiene:
〈~S〉 = k~k
2πcr2
∣∣∣∣∣
N∑
α=1
∫Ψ∗fe
−i~k · ~r′α eαmα
(~p⊥)αΨidV′∣∣∣∣∣
2
(5.138)
Sea Q(θ, φ) es el número de fotones emitidos por segundo por unidad de ángulo sólido,
de frecuenciaω
2π, entonces:
Q(θ, φ) =r2〈~S〉~ω
(5.139)
Note que la integración de esta expresión en todo el ángulo sólido da el número defotones emitidos por unidad de tiempo, es decir, la constante de decaimiento,
λ =
∫
4πQ(θ, φ)dΩ (5.140)
Q(θ, φ) =ω
2πc3~
∣∣∣∣N∑
α=1
∫Ψ∗fe
−i~k · ~r′α eαmα
(~p⊥)αΨidV′∣∣∣∣2
(5.141)
Para problemas de radiación atómicos y nucleares, las dimensiones del radiador sonpequeñas comparadas con la longitud de onda de la radiación emitida, de manera queel exponencial en la integral se lo puede expandir:
e−i~k ·~r = 1− i~k~r + 1
2(i~k~r)2 + . . . (5.142)
Así, se obtiene un desarrollo multipolar con términos:
Qℓ(θ, φ) =ω
2πc3~
∣∣∣∣∣
N∑
α=1
∫Ψ∗f
(−i~k · ~r′α)ℓ−1
(ℓ− 1)!
eαmα
(~p⊥)αΨidV′∣∣∣∣∣
2
(5.143)
Si el tamaño de la distribución de corriente se la denota por R, entonces la contribu-
5.9 Decaimiento Gamma 173
ción de los términos sucesivos del desarrollo multipolar decrecen como:
[kR
ℓ− 1
]2(5.144)
Ejemplo 10. Para un gamma de E = 0,5 MeV
R = 7× 10−13 cm A = 100
kR = 1/60 [kR
ℓ− 1
]2≈ 3× 10−4
(ℓ− 1)2
El término con ℓ = 1 corresponde a la contribución de la radiación dipolar eléc-trica, el término con ℓ = 2 representa la contribución cuadrupolar eléctrica y dipolarmagnética a la vez, y así sucesivamente los términos superiores. Es decir que el tér-mino ℓ contiene las contribuciones 2ℓ polar eléctrica y 2ℓ−1 polar magnética. Esto sepuede ver para el caso de ℓ = 2 para ello se analiza la expresión equivalente clásico,
Qℓ(θ, φ) ≈∣∣∣∣∫
(~k · ~r′)ℓ−1 ~J(~r′) · dV ′∣∣∣∣2
(5.145)
El término con ℓ = 2 es proporcional a:
(~k ·~r) ~J =e
m(~k ·~r)~p
usando ~L = ~r × ~p se puede obtener la identidad vectorial
~k × ~L = ~k × (~r × ~p) = (~k · ~p)~r − (~k ·~r)~p~k × ~L =
[~k · (~p ·~r + ~r · ~p)− 2(~k ·~r)~p
]
(~k ·~r) ~J =e
m(~k ·~r)~p = − e
2m~k × ~L+
e
2~k(~v ·~r + ~r ·~v)
(~k ·~r) ~J = − e
2m~k × ~L+
e
2~kd
dt(~r ·~r) (5.146)
El término primero del lado derecho de la ecuación representa un momento dipolarmagnético asociado con un lazo de corriente y el segundo término, un momentocuadrupolar eléctrico.
Así, el factor (~k ·~r) ~J es proporcional a un dipolo magnético más la derivadatemporal de un cuadrupolo eléctrico.
Aunque el término ℓ = 2 incluye tanto la radiación dipolar magnética como lacuadrupolar eléctrica, estas radiaciones son muy diferentes. Los campos de un cuadru-polo varían como sin θ · cos θ , mientras que los del dipolo como sin θ. La dependenciaen frecuencia de las dos clases de amplitudes de campo también es diferente.
Si solo se estuviese interesado en expresiones en orden de magnitud solamente,
Q2 ≈ω
c3~
∣∣∣∣∫
Ψ∗f
(ωµN +
eω2
cr′r′)ΨidV
′∣∣∣∣2
(5.147)
174 Reacciones nucleares
al quitar el sumatorio se ha considerado que un nucleón, o varios nucleones hancambiado durante la transición (supuesto que cae dentro del espíritu del modelo decapas). Si se asume que la integración en la densidad de probabilidad produce unvalor del orden de la unidad para las dimensiones nucleares.
Q2 ≈ω3
c3~µ2N +
ω5e2
~c5R4 (5.148)
Note que no se ha tomado en cuenta la radiación originada por los momentosdipolares magnéticos intrínsecos de las partículas en la expresión anterior, y deberáser incorporada con el operador de spin apropiado. Resta entonces, arreglar el tér-mino multipolar para tener en cuenta transiciones magnéticas intrínsecas. Para ello seobserva que la derivada del momento dipolar eléctrico es proporcional a la densidadde corriente. Así,
~d = e~r
~d = e~r =e
m~p = ~J
Por lo tanto, el operador completo que se debería usar en nuestra expresión debería
ser: ~d+ ~µ, donde el primer término el operador densidad de corriente y el segundo laderivada del momento dipolar magnético intrínseco. Si se escribe, ~µ = ωµ~σ en funciónde los operadores de Pauli. Se tiene la expresión completa:
Q(θ, φ) =ω
2πc3~
∣∣∣∣N∑
α=1
∫Ψ∗fe
−i~k ·~r′α(eαmα
(~p⊥)α + ωµ(~σ⊥)α
)ΨidV
′∣∣∣∣2
(5.149)
Emisión espontánea de un dipolo eléctrico y de dipolo magnético intrínseco
Si se integra Q sobre todo el ángulo sólido, se obtiene la probabilidad de transiciónpor unidad de tiempo del sistema. Por simplicidad, se considera el caso dipolar, esdecir, el exponencial en el integrando se toma como uno (se esta tomando el términodel desarrollo para (ℓ = 1)) y se considera el sistema formado por una partícula.
Note que para el término dipolar contiene dos términos que se los analiza porseparado. Entonces la primera integral se reduce al elemento de matriz,
⟨f∣∣∣e
m~p⊥∣∣∣ i⟩
(5.150)
Desde el punto de vista clásico, es claro escribir,
e
m~p⊥ = e~v′⊥ = e~r′⊥ = ieω~r′⊥
Así, para una partícula, la primera integral es:
Q1e(θ, φ) =ω3e2
2π~c3|〈f |e~r′⊥|i〉|2 (5.151)
5.9 Decaimiento Gamma 175
donde r′⊥ = r′ sin θ′. Puesto que k no aparece en la aproximación dipolar, el cuadradodel elemento de matriz varía como sin2 θ. De manera que si se integra sobre todo elángulo sólido, se tiene
∫
4πQ1e(θ, φ) · dΩ =
1
τe=
4
3
ω3
~c3|〈f |~r′⊥|i〉|2 (5.152)
Si se procede de idéntica forma con el término dipolar magnético intrínseco, se tiene:
∫
4π
˙Q1m(θ, φ) · dΩ =1
τm=
4
3
ω3
~c3|〈f |µ~σ⊥|i〉|2 (5.153)
Estas dos expresiones anteriores pueden escribirse en un solo formato.
1
τ=
4
3
ω3
~c3| ~Mfi|2 (5.154)
donde los elementos de la matriz están definidos como:
~Mfi = e~rfi para el caso del dipolo eléctrico,~Mfi = µ~σfi para el caso del dipolo magnético intrínseco.
Note que la tasa de transición resultante del momento magnético intrínseco y deldipolo magnético orbital, obtenido previo a esta discusión, son del mismo orden demagnitud
ω3
~c3µ2N (5.155)
Por otra parte, este valor que es pequeño comparado con aquel del momentodipolar eléctrico por un factor dado por:
(µN
eR
)2≈ 5× 10−3 A−2/3 (5.156)
donde R = 1,5 × 10−13 A−1/3 que para A = 100, la razón toma el valor 2,4 × 10−4,próximo al valor entre la relación del cuadripolo y dipolo eléctrico, para una energíade 0,5 MeV.
Por tanto, es conveniente pensar en que las transiciones cuadrupolar eléctrica ydipolar magnética, tuviesen un tiempo de vida media 103 a 104 veces mayor quela dipolar eléctrica (en realidad la emisión dipolar eléctrica nuclear es inhibida porla ausencia de carga negativa y es del orden de la dipolar magnética y cuadrupolareléctrica).
Generalizando el resultado obtenido para las radiaciones dipolares a otras multi-polares de orden superior y considerando que los elementos de matriz son del orden
176 Reacciones nucleares
de la unidad, se puede escribir5:
1
τelec=e2
~cω(ωc
)2ℓ R2ℓ
[(ℓ− 1)!]2para 2ℓ polo eléctrico, (5.157)
1
τmag=
1
τelec× 5× 10−3A−2/3 para 2ℓ polo magnético. (5.158)
5.9.4 Reglas de Selección
Se ha visto que se puede predecir la rapidez de la transición de un proceso de radiación,por medio de la expansión en serie de potencias de ~k ·~r′, considerar los términoscomponentes del desarrollo multipolar. Ahora se muestra que frecuentemente puedeser necesario pasar algunos términos de la serie antes de encontrar uno no nulo.La razón es que más de la mitad de todos los procesos de radiación posibles sonprohibidos debido a las leyes de conservación de momento angular y paridad. Estasreglas de selección se aplican tanto a la radiación nuclear como a la atómica. Ademáshay una limitación adicional sobre la radiación dipolar eléctrica nuclear a causa de ladistribución homogénea de la carga nuclear, este proceso es 1000 veces menor al quesería de esperar.
Heitle mostró que un fotón resultante de una transición 2ℓ polar eléctrica o mag-nética lleva un momento L = ℓ~ con respecto al origen al cual el multipolo es referido.
La conservación del momento angular requiere que:
~Ji = ~Jf + ~L∣∣ji − jf∣∣ ≤ ℓγ ≤ (ji + jf )
(5.159)
La conservación de la paridad exige que,
πi = πfπγ (5.160)
Experimentalmente se ha encontrado que en los decaimientos electromagnéticos estaregla de selección se obedece con un alto grado de precisión.
La radiación multipolar de orden ℓ (ó 2ℓ polar) eléctrica tiene una paridad,
πelec = (−1)ℓ (5.161)
y la multipolar magnética de orden ℓ (ó 2ℓ polar) magnética tiene una paridad,
πmag = −(−1)ℓ = (−1)ℓ−1 (5.162)
La radiación multipolar eléctrica de orden ℓ tiene paridad opuesta a la radiaciónmultipolar magnética de orden ℓ.
El efecto de operación de paridad para los campos eléctricos y magnéticos dedipolos eléctricos y magnéticos se ilustra en la Figura5.37.
5En el sistema gaussiano la constante de estructura fina α = e2/~c
5.9 Decaimiento Gamma 177
~E ~E
~B
~B
Figura 5.37: Paridad de los momentos dipolares eléctricos y magnéticos.
Las radiaciones Eℓ o Mℓ de paridad par son: M1, E2,M3, E4, . . .
Las radiaciones Eℓ o Mℓ de paridad impar son: E1,M2, E3,M4, . . .
Se puede notar que los multipolos eléctricos con ℓ par tienen paridad par. Unademostración cualitativa de esto, puede obtenerse de los coeficientes de expansiónmultipolar de una distribución de carga:
aℓ =
∫ρ(r) · rℓPℓ(cos θ)dV
a0 =
∫ρdV
a1 =
∫ρzdV
a2 =1
2
∫ρ(3z2 − r2)dV
de donde se puede observar que aℓ es par o impar dependiendo de que si ℓ es par oimpar respectivamente.
En el caso más simple de un dipolo magnético, la componente z del momentomagnético producida por una corriente eléctrica es proporcional a la componente zdel momento angular orbital
Lz = xpy − ypxcomo tanto las coordenadas como las cantidades de movimiento cambian de signoen una operación de paridad, Lz es invariente bajo está operación; y por tanto tieneparidad par o positiva para una transición M1.
Si se analiza la paridad de los estados iniciales y finales en una transición isoméricase puede decir que:
∆π = no para ordenes impar Mℓ y ordenes par Eℓ.∆π = si para ordenes par Mℓ y ordenes impar Eℓ.
Tres reglas adicionales se deben considerar pues el isospin T es un buen número
178 Reacciones nucleares
cuántico en la interacción electromagnética:
1. Todas las transiciones γ son prohibidas cuando |∆T | > 1.
2. La transición γ es prohibida entre dos estados en un mismo núcleo conjugado(N = Z) cuando ∆T = 0.
3. Hay un efecto de inhibición en otros multipolos (sobre M2) cuando ∆T = 0.
El carácter multipolar de la radiación γ se puede determinar solo indirectamente,comparando datos experimentales con predicciones teóricas de distribuciones angu-lares, polarizaciones, coeficientes de conversión, tiempos de vida media.
1−
0+
1+
0+
Figura 5.38: Diagrama de dos decaimientos gamma.
Ejemplo 11. En el primer esquema la transición implica un ℓ = 1 para el fotónasociado y un cambio de paridad lo que indica que la transición es de tipo dipolareléctrica pura E1. En el segundo esquema también ℓ = 1 pero no hay cambio deparidad entre los estados de la transición, lo que indica que la transición es de tipodipolar magnética pura M1.
Si se considera al núcleo como una esfera cargada uniformemente, se quisiéra saber:¿qué movimientos del núcleo dan las diferentes radiaciones multipolares eléctricas omagnéticas? Así, la radiación E1 podría ser causada por una oscilación traslacionaldel núcleo entero (como un todo), el centro de masa del núcleo tendría que oscilara la frecuencia de la radiación emitida. Un núcleo no se comporta de esta forma.En otras palabras, no se esperaría ninguna radiación dipolar eléctrica en absoluto.Experimentalmente se observa que hay algo de radiación dipolar eléctrica, pero éstaes miles de veces menos probable de la que se esperaría.
Las radiaciones E2 aparecerían de las oscilaciones elipsoidales del cuerpo.La radiación Eℓ corresponde a movimientos ondulatorios más complicados en la
superficie del núcleo.La radiación Mℓ se podría explicar si los diferentes constituyentes del núcleo
tienen diferentes razones giro-magnéticas, tal que el momento total magnético noyace en la dirección del momento angular total.
Las reglas de selección se pueden resumir en función de los tiempos de vida mediapara transiciones con energía aproximada de 1 MeV.
La espectroscopia gamma es el estudio de las transiciones isoméricas nucleares.La espectroscopia óptica es el estudio de las transiciones atómicas.
5.9 Decaimiento Gamma 179
Tabla 5.6: Relación entre los tiempos de vida media y las multipolaridades de las radiacionesemitidas.
T1/2(Eγ ≈ 1 MeV) 10−12 s 10−7 s 10−3 s
Radiación Eℓ Dipolar-cuadrupolar Octopolar Hexedecapolar|∆j| ≤ ℓγ ≤
∑j 1 2 3 4
∆π si no si noRadiación Mℓ Dipolar Cuadrupolar Octapolar|∆j| ≤ ℓγ ≤
∑j 1 2 3
∆π No Si No
Contrario al caso nuclear, las transiciones permitidas atómicas están confinadasal tipo E1(ℓ = 1, π =negativa) por las reglas de selección de las transiciones elec-trónicas en los átomos: ∆ℓ = ±1;∆j = 0,±1 (pero no 0 → 0 ) ∆mj = 0,±1 y∆π = si. Todas las otras polaridades corresponden a transiciones prohibidas y sonmuy rara vez observadas. Sin embargo, los núcleos no pueden ser desexcitados porprocesos no radiactivos como colisiones de agitación térmica, mecanismos que sirvenpara disipar la energía de excitación de los átomos, por tanto, los núcleos incluyen lasotras radiaciones multipolares que de otra forma serían prohibidas en sus esquemasde decaimiento (especialmente E2).
5.9.5 Isomerismo Nuclear
Cuando la emisión gamma es inhibida en gran parte por las reglas de selección, talque el tiempo de vida media excitado excede el límite arbitrario de 0,1 segundo. Esteestado (de vida media larga) se llama estado isomérico y se asume que se encuentraen un estado meta estable Así de los emisores gamma con tiempo de vida media entre10−16 y 108 segundos; aquellos con tiempo de vida media mayor a 0,1 s son asociadoscon decaimientos fuertemente inhibidos de orden multipolar alto. Se estudia talesestados isoméricos para evidenciar diferencias grandes de spin y pequeñas diferenciasde energía. Situaciones de este tipo involucran transiciones E3, M3, E4, M4,. . .las cuales tienen lugar principalmente por conversión interna. Se encuentra solo ennúcleos de masa media y pesados (A > 39).
5.9.6 Mezclas multipolares
En el decaimiento gamma, de acuerdo con los spines de los estados inicial y final,se puede tener la emisión de varias radiaciones multipolares. En la práctica hay unamarcada diferencia en los tiempos de vida media de cada una de ellas por sus diferentesordenes de ℓ y por el carácter eléctrico y magnético de las mismas, lo que reduce lasposibilidades de mezcla a dos componentes principales:
Mℓ⊕
E(ℓ+ 1) (5.163)
Por ejemploM1, E2
180 Reacciones nucleares
M2, E3
La relación de mezcla, cuyo cuadrado da la razón de las intensidades de las dosradiaciones multipolares, está definido como la razón de los elementos de la matriz detransición reducida (el cuadrado del elemento de transición multipolar), promediadossobre los estados magnéticos:
δ =〈jf |ℓ+ 1|ji〉〈jf |ℓ|ji〉
(5.164)
el valor de δ < 1 indica que la radiación 2ℓ polar está presente predominantemente;mientras que si δ > 1, hay un exceso de radiación 2ℓ+1 polar.
Los porcentajes de mezcla son por tanto,
(1 + δ2)−1 para Mℓδ2(1 + δ2)−1 para E(ℓ+ 1)
La distribución angular de la radiación gamma emitida, y las técnicas angulares decoincidencia pueden dar información de la mezcla multipolar spines de los nivelesnucleares.
5.9.7 Conversión Interna
Es un proceso competitivo de la emisión de radiación gamma. La conversión internay la formación interna de pares6 (energía de excitación nuclear mayor a 2mec
2) seproducen para des-excitar la energía de un núcleo el cual es prohibido de decaer poremisión de partículas, ya sea por la ley de conservación de la energía o las reglas deselección. La interacción es directa con los electrones orbitales (tipo s) que se aven-turan al volumen nuclear, produciendo la transferencia de energía a dicho electrón,el cual tiene ahora suficiente energía para librarse del átomo y la restante la utilizacomo energía cinética. La vacancia dejada por el electrón posteriormente produciráuna des-excitación del átomo mediante la emisión de rayos X fluorescente o la emisiónde electrones Auger.
Las mismas reglas de selección de la emisión gamma son aplicables para la con-versión interna, excepto que las transiciones: 0+ → 0+, en este caso son permitidas.Transiciones de la forma 0+ → 0−, no se producen por ningún proceso de conversión.Se plantea una posibilidad para que ocurra a través de un proceso doble (involucrandoun estado virtual intermedio).
Un espectro de electrones de conversión se muestra en la Figura5.39, aunque elespectro real de este tipo superpone al espectro beta, puesto que un decaimiento betageneralmente antecede a un gamma. Por otra parte, la probabilidad de formación depares internos es apreciablemente menor 10−4 con relación al decaimiento gamma oconversión interna.
6La probabilidad de este proceso aumenta al aumentar la energía de transición, es mayor paramultipolaridades pequeñas y es casi independiente de Z.
5.9 Decaimiento Gamma 181
150 170 190 210230 250 270
Be(K)
Be(L)
Be(M)
Eγ
N(Ee)
Ee(keV)
Figura 5.39: Espectro de electrones de conversión.
Coeficientes de conversión
La razón de probabilidad entre los procesos de conversión y la emisión gamma danuna medida de la probabilidad relativa en una transición dada. Por tanto se define elcoeficiente de conversión como:
α =Probabilidad de conversiónProbabilidad de emisión γ
=λCl
λγ=
NCl
Nγ(5.165)
En términos de la constante de decaimiento o el número de electrones de conversióny el número de fotones emitidos por unidad de tiempo.
Estos coeficientes pueden definirse de acuerdo con el tipo de electrón que ha sidoeyectado. Así,
αK =NK
NγαL =
NL
NγαM =
NM
Nγ(5.166)
y su suma da el coeficiente total,
αK + αL + αM = α (5.167)
la constante de decaimiento total para una transición dada será:
λ = λγ + λCI = λγ(1 + α) (5.168)
Los tratamientos iniciales han dado lugar a expresiones simples aunque inexactas.Sin embargo, han servido para ver de una manera general la tendencia de dichasexpresiones.
Para el caso Be(K) < QCI < mec2 para una transición eléctrica de 2ℓ-polar, el
coeficiente parcial K toma la forma,
αeleK =
ℓ
ℓ+ 1Z3
(e2
~c
)4(2mec
2
QCI
)ℓ+5/2
(5.169)
y para magnética de 2ℓ-polar,
αmagK = Z3
(e2
~c
)4(2mec
2
QCI
)ℓ+3/2
(5.170)
182 Reacciones nucleares
donde α crece con Z, ℓ, y decrece cuando QCI crece.Para el caso especial de la transición mono polar 0+ → 0+ la tasa de transición,
de acuerdo con Blatt y Weisskopf, está dada por:
W(0→0)fi =
32√2
9Z3
(e2mec
~2
)(R2
a20
)(QCI −Be(K)
mec2
)1/2
(5.171)
donde R2 corresponde al radio cuadrático medio nuclear (realmente es un elementode matriz el cual se anula para niveles con paridad diferente). Si consideramos,
R2 =3
5(r0A
1/3)2
entonces,
τ0→0K ≈ 0,37
Z3A4/3
(mec
2
QCI −Be(K)
)1/2
(5.172)
que para valores de Z = 60; A = 150; QCI = 1 MeV da: τK ≈ 2× 10−9 segundos.
Reglas de selección
Aunque en esencia las reglas de selección para la conversión interna son las mismasque para la emisión gamma, algunas características especiales merecen atención. Unaya mencionada es la ocurrencia de la transición 0+ → 0+ prohibida para la radiacióngamma (la cual no puede tener una componente ℓ = 0). Es sin embargo posible paraelectrones tipo S cuya función de onda penetra dentro del volumen nuclear y tomanla energía del núcleo excitado en un proceso de conversión directa. Si esto ocurre, latransición debe ser E0 y no M0 puesto que no existe campo de interacción mono-polar magnética. Entonces transiciones con ∆π = si, se excluyen para transiciones deconversión. Una posibilidad para la transición 0+ → 0− es la emisión de un electróny un fotón o un par de electrones de conversión. Ninguno de estos casos han sidoobservados.
Ejercicios
1. Estimar la tasa de transición para el decaimiento gamma desde un estado s1/2(excitación 0,9 MeV) al estado d5/2 de O17. Justifique el método usado.
2. El primer estado excitado (estado vibracional 2+) del Cd114 tiene una energíade excitación de 0,56 MeV. Estimar la tasa de transición entre este estado y elestado base.
3. La irradiación de Co59 con neutrones produce una mezcla de dos isómeros delCo60, uno con vida media de 10,4 min y otro con vida media de 5.27 años. Elúltimo de estos tiene un Jπ = 5+ y decae mediante una transición permitidabeta negativa de energía máxima igual a 0,31 MeV, seguida de la emisión dedos gammas de 1.17 y 1,33 MeV. El estado de 10,4 min produce un decaimientobeta negativo con energía máxima de 1,56 MeV, seguido de una emisión gamma
5.9 Decaimiento Gamma 183
de 1,33 MeV. Cada gamma corresponde a una transición cuadru-polar eléctrica.Construir el esquema de decaimiento del Co60. Indicar el spin y la paridad de losniveles en el núcleo hijo. ¿Cuál es la diferencia en energía entre los dos estadosdel Co60?
4. Los tres niveles energéticos más bajos del S34 tienen las siguientes energíasde excitación y Jπ. El estado base (0 MeV y 0+). El primer estado excitado:(2,13 MeV y 2+). El segundo estado excitado: (3,3 MeV y 2+). Cuando el nu-clido es producido en su nivel de 3,3 MeV se observan tres rayos gamma en suproceso de desexcitación. Dibuje el diagrama de decaimiento y escriba las multi-polaridades de cada fotón. Prediga cualitativamente las intensidades relativasde cada fotón.
5. Para las siguientes transiciones gamma, dar todos los multi-polos permitidos eindicar cual multi-polo sería el más intenso en la radiación emitida.
a) (9/2)− → (7/2)+
b) (1/2)− → (7/2)−
c) 1− → 2+
d) 4+ → 2+
e) (11/2)− → (3/2)+
6. El primer estado 3+ excitado del Li6 a 2,184 MeV decae ya sea por emisióngamma a su estado base 1+, o mediante la emisión de un deuteron a He4.Relativo al estado base del Li6 la energía para la combinación (He4 + d) es1,471 MeV. Si el ancho total del primer estado es 21 keV, ¿cuál es la razón deprobabilidades para las dos transiciones?
7. Siguiendo el decaimiento beta del Hf181 a Ta181, las siguientes líneas gamma semidieron en un espectrómetro de cristal (las correspondientes multi-polaridadesse dan entre paréntesis):
3,9± 0,10 keV (M1)136,02 ± 0,02 keV (M1)345,85 ± 0,20 keV (E2)615,5± 0,5 keV (M3)133,02 ± 0,02 keV (E2)136,86 ± 0,04 keV (M1)482,0± 0,2 keV (M1)
Construya el esquema de niveles de Ta181 (el cual tiene un estado base 7/2+)designando valores apropiados de spin y paridad. El estado base del Hf181 esJπ = 1/2−
8. De las medidas en un espectrómetro beta de radio de curvatura de 20 cm,empleando una fuente de Co60 se observa que la máxima detección de electronesde conversión de tipoK del Ni60 se dan con las intensidades de campo magnético
184 Reacciones nucleares
265.5 y 293,5 Gauss. ¿Cuál es el valor de las dos correspondientes transicionesgamma, se la energía de enlace de los electrones K es de 8,5 keV?
5.10 Absorción Resonante
La resonancia atómica fue predicha por Rayleigh a fin del siglo XIX y descubiertapor Wood en 1904. La resonancia nuclear empezó en 1929.
El proceso de resonancia se puede describir fácilmente, suponiendo un sistemacuántico de dos niveles energéticos. El nivel de menor energía llamado base y el demayor energía llamado excitado. Si se supone en un inicio el sistema en el estadoexcitado y sufre un proceso radiactivo de des-excitación a su nivel base, se emitiráun fotón de luz. Si este fotón interacciona con un sistema idéntico al primero que seencuentra en el estado base, y si este sistema es capaz de absorber dicho fotón y llevaral sistema a su estado excitado, se dice que se ha producido una absorción resonante.
Figura 5.40: Esquema del proceso de absorción resonante
Los niveles energéticos tienen en realidad un ancho natural que está dado por elprincipio de indeterminación de Heisenberg,
Γτ ≈ ~ (5.173)
donde τ es el tiempo medio de vida del estado en consideración. Por ejemplo, siτ ∼ 10−8 sec entonces:
Γ ∼ 6,5× 10−8 eV
Por otra parte, un análisis cinemático simple muestra que tanto los procesos deemisión como de absorción generan y requieren cantidades muy próximas pero dife-rentes de energía. La absorción resonante se producirá siempre y cuando los picos deemisión y absorción se solapen. Por otra parte, cualquier pequeña perturbación escapaz de desplazar el delicado solapamiento de las líneas de emisión y absorción, ypor tanto, destruir la absorción resonante.
5.10.1 Proceso de retroceso nuclear
Si se considera el núcleo excitado en reposo, la emisión del fotón producirá un retro-ceso en el núcleo, de acuerdo con las leyes de conservación de la energía y cantidadde movimiento.
~pγ + ~pN = 0
ER =p2N2M
=p2γ2M
=E2γ
2Mc2(5.174)
5.10 Absorción Resonante 185
La diferencia entre los niveles de energía E0 será:
E2 − E1 = E0 = Eγ + ER (5.175)
Haciendo un análisis similar pero para el proceso de absorción de un fotón en elsistema CM, se obtien que dicho fotón será absorbido si tiene una energía dada por:
Eγ = E2 − E1 + ER = E0 +ER (5.176)
Ejemplo 12.E0 ∼ Eγ ≈ 104 eV (10 keV)
M ≈ 100 uma
EntoncesER ≈ 5× 10−4 eV
Se observa que la energía de retroceso del núcleo es mucho más grande que losanchos naturales de línea, por lo que un solapamiento entre las líneas de emisión yabsorción es poco probable, lo que inhibe la absorción resonante a nivel nuclear. Parael caso atómico, la energía de los fotones emitidos es del orden de los eV por lo quela energía de retroceso es del mismo orden de los anchos naturales de las líneas deemisión y absorción, lo que permite el solapamiento de ambas líneas y por tanto laabsorción resonante se produce con mayor facilidad.
Ancho natural0, 00002 eV
Ancho Doppler(0, 36 eV)
(0, 46 eV)
Pico deemisión
(412 keV) Pico deabsorción
Energía de retroceso
Figura 5.41: Líneas de emisión y absorción con sus correspondientes anchos naturales y deDoppler.
5.10.2 Ensanchamiento Doppler
Tanto en estado gaseoso como sólido, el núcleo no se encuentra en reposo, sino que semueve a una cierta velocidad. Este movimiento producirá variaciones en las frecuen-cias de emisión y absorción del sistema (en realidad incremanetara el ancho de laslíneas de emisión y absorción). Para un núcleo en movimiento con ~p =M~v se tiene,
E0 +~p 2
2M= Eγ +
~p′2
2M(5.177)
Note que se considera la masa del núcleo en el estado base y en el excitado de igualvalor.
~p = ~p ′ + ~pγ
186 Reacciones nucleares
P
Pγ
P ′α
Figura 5.42: Emisión de un gamma desde un núcleo en movimiento.
Eγ = E0 +p2
2M− (~p− ~pγ)2
2M
Eγ = E0 −p2γ2M
+2~p · ~pγ2M
Eγ = E0 −p2γ2M
+ppγM
cosα
Eγ = E0 −p2γ2M
+v
cEγ cosα (5.178)
donde el último término es una medida de ensanchamiento de las líneas de emisión yabsorción por el efecto Doppler.
D ≈ v
cE0 (5.179)
la altura de las líneas se reduce en un factor Γ/D, esto se debe a que Γγ se mantieneigual, mientras Γtot se ha incrementado.
Si ER < D, las líneas de emisión y absorción se solapan y se obtiene absorciónresonante.
Ejemplo 13. A nivel atómico,
M = 100 uma
Γ = 10−7 eV
E0 = 1 eV
D ≈ 10−6 eV
ER = 10−11 eV
A nivel nuclear (dos casos).
M = 100 umaE0 = 1 keV E0 = 300 keVD ≈ 10−3 eV D ≈ 10−2 eVER = 10−5 eV ER = 10−3 eV
El solapamiento es pequeño en el caso nuclear y grande en el caso atómico. Elensanchamiento de la línea se puede lograr calentando el emisor y/o el absorbedor.
5.10 Absorción Resonante 187
5.10.3 Efecto Mössbauer
Mössbauer estaba interesado en reducir la absorción resonante del Ir191 para el cualse tiene:
Eγ = 129 keV
ER = 0,047 eV
D ∼ 0,1 eV (a temperatura ambiente)
mediante un enfriamiento del emisor y del absorbedor (con aire líquido), para luegoir aumentando poco a poco la temperatura e ir observando el incremento de la absor-ción resonante. Sin embargo se observó que al reducirse la temperatura la absorciónresonante aumentaba.
Figura 5.43: Aumento de la absorción resonante cuando se disminuye la temperatura de lafuente.
La explicación yace en el hecho de que el núcleo emisor se encuentra fuertementeligado dentro del cristal. El cristal, a cierta temperatura, excita varios modos devibraciones de red (fonones). Esto puede ser visto como que si en el cristal se tieneuna estructura de niveles vibracionales con valores discretos de energía. Si la energíamínima que acepta un sólido para excitarse (o excitar un fonón) es Em y si la energíade retroceso nuclear es menor a ese valor, es decir, ER < Em, el sólido no aceptarádicha energía y el gamma que emite el núcleo tiene una energía E0 (es decir, el gammase emite sin retroceso nuclear) y ancho natural, puesto que el ensanchamiento Dopplerproviene de la excitación térmica (siempre existe una probabilidad finita de que laemisión del fotón excite la red, sin tener energía para ello, por efecto túnel).
De acuerdo con el modelo de Debye, los cristales pueden modelarse como un siste-ma de osciladores acoplados con sus correspondientes modos normales de vibración,que no son sino oscilaciones independientes cuyos niveles de energía están cuantizadosy cuya energía media esta condicionada por el número de modos normales.
Si se considera el sistema de dos niveles,
188 Reacciones nucleares
Ee
Eg
E0
Figura 5.44: Decaimiento gamma entre dos niveles.
La des-excitación isomérica se puede realizar ya sea por la emisión de rayos gammao vía electrones de conversión. El coeficiente de conversión interna está dado comola razón de las probabilidades de emisión por unidad de tiempo para la conversióninterna y la emisión gamma. De acuerdo con lo expuesto, la emissión (o absorción) através de los dos caminos de decaimiento pueden realizarse sin retroceso.
NCI
Nγ= α = αK + αL + αM (5.180)
Si E0 aumenta, α disminuye. Si Z aumenta α aumenta.
La probabilidad de emisión será:
W ≈ |Ψe|2 ≈ e−Γt (5.181)
el número de núcleos que decaen es:
−dn = Γndt (5.182)
con Γ = ΓCI + Γγ = Γ(1 + α)
Si se considera el campo eléctrico ε de la radiación emitida:
ε(t) ∝ ρ(t) ≈ Ψ∗gΨe
ε(t) ≈ e−i(Ee−iΓ/2)teiEgt
ε(t) ≈ ei(E0−iΓ/2)t (5.183)
su transformada de Fourier es:
F (ω) =
∫ ∞
−∞ε(t)eiωtdt
F (ω) =
∫ ∞
−∞e−i(E0−iΓ/2)teiωtdt
considerando E0 = ~ω0
F (ω) ≈ −i(ω − ω0) + iΓ/2
(5.184)
La intensidad de emisión será:
I(ω) = |F (ω)|2 ≈ 1
(ω − ω0)2 + (Γ/2)2(5.185)
5.10 Absorción Resonante 189
la cual representa la curva Lorentziana, que se representa en la siguiente Figura5.45.
Figura 5.45: Perfil de línea en forma de Lorenztiana. Ensanchamiento natural.
Una transición muy utilizada en el desarrollo experimental de esta espectroscopiaes la que tiene lugar entre el primer estado excitado y el estado base del hierro-57. Lafuente que genera esta transición es el decaimiento beta de los nucleos radiactivos deCobalto-57. Este elemento, Co57, tiene un exceso de protones en su núcleo por lo quees es una fuente radiactiva beta (tipo captura electrónica), con el siguiente diagramade decaimiento:
0Fe − 57
e 90%γ 10%
Fe∗ − 5714 keV
9% 81%
Fe∗∗57136 keVγ γ
CE
Co − 57 (271,3 días)
Figura 5.46: Diagrama de desintegración del Cobalto 57.
Γ ∼ 4,6× 10−9 eV
τ ∼ 10−7 s
α = 9
Ee = 14,4 keV
Γ = Γ/(1+α) = 4,6× 10−10 eV
la sección eficaz de absorción resonante toma la forma:
σ = σ04Γ2
(E − E0)2 + 4Γ2(5.186)
donde σ0 depende de las multiplicidades de los niveles involucrados en la transicióny la longitud de onda de De Broglie y corresponde a la absorción resonante máxima,i.e., cuando E = E0
σ0 = 2πŻ22Je + 1
2Jg + 1× 1
1 + αt(5.187)
donde los Je y Jg representan los spines del núcleo en sus estados excitado y base
190 Reacciones nucleares
respectivamente. La intensidad de la emisión esta dada por:
I(v, ~ω) =f(t)Γ/2π
[E − E0(1− v/c)]2 + (Γ/2)2(5.188)
Donde∫I(v, ~ω)dω = f(T ) y es la fracción de transiciones isoméricas sin retroceso.
La fracción transmitida del haz incidente al atravesar un absorbedor de ancho d será:
D(E) = e−nσ(E)d
σ(E) = σabs + σres
donde
σres = βfa(T )σ0(Γ/2)2
(E − E0)2 + (Γ/2)2(5.189)
Siendo β la abundancia isotópica del elemento resonador.
Ejemplo 14.Para el Fe57
σ0 = 2, 36 × 10−18cm2
f(T ) = 0, 8 (a 300K)σres = 3, 6 × 10−20cm2
σfoto = 0, 9× 10−20cm2 (dominante a 14, 4keV)
5.10.4 Experimento (arreglo experimental)
FunctionGenerator
MCA
TRS
fuentemuestra
AMPPACP
HV
Figura 5.47: TRS transductor. CP contador proporcional. PA pre-amplificador. AMPamplificador. HV fuente de alto voltaje. MCA analizador multicanal.
En el experimento se cuenta el número de fotones transmitidos a través de la muestra,en función de la velocidad.
N(v) = (1− f)enσabsd +
∫I(v,E)D(E)dE (5.190)
Cuando v tiende a cero σ(E) = σabs y se tiene
N(∞) = e−nσabsd (5.191)
que representa la línea base del experimento.
5.11 Interacciones Hiperfinas en el efecto Mössbauer 191
Normalizando para este valor,
N(v)
N(∞)= (1− f) +
∫I(v,E)e−nσresddE (5.192)
la integral se resuelve utilizando las funciones de Bessel.
Para el caso de muestras delgadas, nσresd≪ 1 de manera que:
e−nσresd ≈ 1− nσresd
1− N(v)
N(∞)= ndβffaσ0
Γ3
8π
∫ ∞
−∞
dE
[E − E0(1 + v/c)]2 + (Γ/2)2[(E − E0)2 + (Γ/2)2]
1− N(v)
N(∞)= ndβffaσ0
(Γ/E0)2
(v/c)2 + (Γ/E0)2(5.193)
Esta ecuación muestra la señal obtenida como función de la velocidad de la mues-tra y tiene la forma de la figura 5.48.
Figura 5.48: Pico típico de absorción resonante. El ancho no es 2Γ sino que contendrá unensanchamiento Doppler.
5.11 Interacciones Hiperfinas en el efecto Mössbauer
5.11.1 Desplazamiento isomérico
El tamaño finito del núcleo atómico y su interacción con los electrones orbitales,especialmente con los tipo s que tienen simetría esférica y una probabilidad finitade encontrarse en el volumen nuclear, introducen una corrección en la interacciónelectrostática entre los electrones y el núcleo. El estado base se desplazará, en laescala de energía, un valor entre 10−8 y 10−9 eV. Puesto que el núcleo excitado tieneuna distribución de carga distinta (por que su tamaño es diferente) el estado excitadose desplazará un valor del mismo orden pero diferente al que lo hace el estado base.
192 Reacciones nucleares
fuenteabsorbedor
1/2
3/2
Figura 5.49: Niveles energéticos de la fuente y absorbedor.
La energía de la nube electrónica en el campo del núcleo atómico para r > R es:
E0 = −Ze2
K
∫ρ(r′)dV ′
r(5.194)
donde K es la constante dieléctrica, r es la distancia radial y −eρ la densidad decarga de los electrones. Para un núcleo esférico de radio R y para el caso r < R:
E = −e∫ρnφedV (5.195)
donde ρn es la densidad de carga nuclear y φe el potencial electrostático de los elec-trones. El cambio en la energía electrostática causada por el tamaño finito nuclear sepuede expresar como:
W = e
∫ R
0ρnφedV −
Ze2
K
∫ R
0ρdV
r(5.196)
La densidad de probabilidad de un electrón s en la vecindad de una carga puntualesta dada, en la teoría de Dirac, por:
ρe =2(ρ+ 1)|Ψs(0)|2
Γ2(2ρ+ 1)
(2Z
a0
)2ρ−2
r2ρ−2 (5.197)
dondeρ =
√1− α2Z2 (5.198)
• α es la constante de estructura fina.
• a0 es el radio de Bohr.
• Ψs(0) la función de onda no relativista de Schrödinger, evaluada en r = 0.
• Γ(n) la función gamma definida como:
Γ(n) =
∫ ∞
0e−xxn−1dx para n > 0
Si la carga nuclear se toma uniformemente distribuida, el cambio en la energíaelectrostática entre el modelo de la carga puntual y el radio finito esta dado por:
W =24π(ρ + 1)|Ψs(0)|2Ze2
K(2ρ+ 1)(2ρ + 3)Γ2(2ρ+ 1)
(2Z
a0
)2ρ−2
R2ρ (5.199)
5.11 Interacciones Hiperfinas en el efecto Mössbauer 193
La diferencia en energía causada por el cambio en el radio nuclear será entonces:
∆W =24π(ρ + 1)|Ψs(0)|2Ze2
K(2ρ+ 1)(2ρ+ 3)Γ2(2ρ+ 1)
(2Z
a0
)2ρ−2
R2ρ δR
R(5.200)
El desplazamiento isomérico medido en un experimento Mössbauer es la diferen-cia de estas diferencias de energía entre dos ambientes químicos, de la fuente y delabsorbedor.
δ =24π(ρ + 1)
|Ψs(0)|2A − |Ψs(0)|2F
Ze2
K(2ρ+ 1)(2ρ + 3)Γ2(2ρ+ 1)
(2Z
a0
)2ρ−2
R2ρ δR
R(5.201)
Muchas veces se considera ρ = 1, lo cual no es válido para Z altos (Z = 26; ρ =0,98) (Z = 80; ρ = 0,8). Si se toma K = 1 y ρ = 1
δ =4πZe2
5
|Ψs(0)|2A − |Ψs(0)|2F
R2 δR
R(5.202)
El núcleo generalmente no es esférico y por tanto el desplazamiento isoméricoes función de los valores cuadráticos medios de los radios del estado excitado y delestado base.
〈R2e〉 − 〈R2
g〉≡ 6
5R2 δR
R(5.203)
Así,
δ =2πZe2
3
|Ψs(0)|2A − |Ψs(0)|2F
〈R2
e〉 − 〈R2g〉
(5.204)
En la práctica el término nuclear es dato para una transición dada, de manera que:
δ = cte|Ψs(0)|2A − |Ψs(0)|2F
(5.205)
La densidad de electrones s en el núcleo será afectada no solo por la población deelectrones s sino por los efectos de apantallamiento de los electrones tipo p, d, f,y por la co-valencia y formación de enlace. Los métodos de medida de los radiosnucleares son generalmente, el desplazamiento isotópico (Rayos X, datos ópticos), eldesplazamiento isomérico, etc.
5.11.2 Interacción Cuadrupolar Eléctrica.
Existe solo para núcleos no esféricos puesto que son estos los que poseen un momentocuadrupolar eléctrico Q. Éste interactúa con el gradiente de campo eléctrico cristalino,perdiéndose la degeneración de los niveles energéticos. El campo eléctrico sobre elnúcleo es muy débil, pero sus derivadas pueden ser muy intensas (que resulta de laestructura electrónica del átomo y de los átomos vecinos). El gradiente solo existepara un campo in-homogéneo que tiene su origen en una distribución asimétrica (sinsimetría cúbica o esférica) de todas las cargas que producen el campo. Los orbitalestipo s tienen simetría esférica y no intervienen en la interacción cuadrupolar. Losorbitales p, d, f, · · · tienen simetría no esférica y producen un campo in-homogéneo(excepto cuando están llenos o semillenos: p6, d10, f14 y p3, d5, f7).
194 Reacciones nucleares
En un gradiente de campo eléctrico con simetría axial solo permanece la componenteVzz que se llama componente principal.
Vzz = −(∂2V
∂z2
)
0
(5.206)
y la energía de interacción con el cuadrupolo eleéctrico es:
WQ =eQVzz
4j(2j + 1)[3m2
j − j(j + 1)] (5.207)
1/2
3/2 fuenteabsorbedor
Figura 5.50: Representación esquemática de la emisión de dos niveles y la absorción eninteracción cuadrupolar eléctrica.
Figura 5.51: Espectro Mössbauer con interacción cuadrupolar eléctrica.
ε = EAγ2 − EAγ1 =1
2eQVzz (5.208)
Para el caso en que el gradiente de campo eléctrico no sea simétrico,
WQ =eQ
2Vzz
(√1 +
η2
3
)(5.209)
donde
∇2V = Vxx + Vyy + Vzz = 0
η =Vxx − Vyy
Vxx(5.210)
5.11 Interacciones Hiperfinas en el efecto Mössbauer 195
Este último factor mide la asimetría del gradiente de campo eléctrico y depende dela estructura de las cargas alrededor del núcleo Mössbauer.
5.11.3 Interacción Dipolar Magnética
Los núcleos atómicos con spin mayor o igual a 1/2 poseen momentos dipolares mag-néticos, los cuales en presencia de un campo magnético toman varias orientacionesfijadas por la mecánica cuántica. El campo magnético puede ser externo o interno(debido a un orden magnético del compuesto), o el campo hiperfino producido porlos electrones no apareados en el volumen nuclear.
Wµ = −~µ · ~H = gNµNmjH (5.211)
donde gN : es el factor de Landé del núcleo en cuestión, µN : el magnetón nuclear, mj: lacomponente z del momento angular nuclear. Para transiciones dipolares magnéticas.La regla de selección es: ∆mj = 0,±1
1/2
3/2 fuenteAbsorbedor
Figura 5.52: Representación esquemática de la emisión de dos niveles y la absorción eninteracción dipolar magnética.
Figura 5.53: Espectro Mössbauer con interacción dipolar magnética.
Existe una dependencia angular entre el campo magnético H y la dirección delfotón de salida. Esta inferencia se observa en la razón de las alturas de picos enel espectro Mössbauer. Si se considera el campo magnético total sobre el núcleo,suponiendo la presencia de un campo externo,
H = [Hext −DM + (4/3)πM ] +HS +HL +HD (5.212)
La parte entre corchetes es pequeña con relación a los otros términos, que correspon-den a las contribuciones de los electrones tipo s, ℓ, d.
196 Reacciones nucleares
5.11.4 Efecto Doppler de Segundo Orden.
Tiene un efecto directo en la posición del pico Mössbauer dentro del espectro, esdecir, compite con el desplazamiento isomérico, sin embargo son efectos de distintanaturaleza y pueden ser discriminados. El Hamiltoniano de la red esta dado como:
H =∑(
P2i
2mi+ V (u1, · · · ui, · · · )
)(5.213)
donde los ui son los desplazamientos relativos de los núcleos en el cristal. Los Hamil-tonianos del núcleo antes y después de irradiar el fotón los podemos escribir como:
Hantes −Hdespués =P 20
2(M + ~ω0/c2)− P 2
0
2M
Hantes −Hdespués =P 20
2M
[1
1 + ~ω0/Mc2− 1
]
Hantes −Hdespués = −P 20
2M
~ω0
Mc2
Hantes −Hdespués = −~ω0
Mc2M2〈u0 · u0〉
2M= −~ω0
c2〈ˆu20〉
Hantes −Hdespués = −~ω0
c2〈v2〉
Note que
〈u20〉 =1
M
⟨L∣∣∣∑
(Ni + 1/2)~ωi
∣∣∣L⟩
〈u20〉 =1
MEred(T )
el desplazamiento Doppler de segundo orden está relacionado a la temperatura de lared.
~ω = ~ω0 −~ω0Ered(T )
2NLMc2(5.214)
NL del orden del número de Avogadro. Esta técnica espectroscópica es de gran preci-sión puesto que se puede medir por espectroscopia Mössbauer, efectos con diferenciasde doce ordenes de magnitud.
Γ
E0≈ 10−12 (5.215)
Problemas
La línea gamma de 14,4 keV del Fe57 se utiliza en un experimento de absorciónresonante, donde los átomos del absorbedor se encuentran en reposo y son libres.¿Cuánto difiere la energía del gamma (de la resonancia) y la velocidad a la que sedebe mover la fuente (emisión sin retroceso) para alcanzar la máxima absorción?.Calcular la velocidad de la fuente para el caso donde la fuente emite con retroceso.
Capítulo 6
Características Fundamentales delas Reacciones Nucleares
6.1 Consideraciones generales (Repaso)
La mayoría de las reacciones involucran la interacción entre dos cuerpos se represen-ta en la 6.1. Se hace una revisión rápida de los principales conceptos utilizados enreacciones.
m1v1
v2 = 0
m2
m3
m4
φ
θ
Figura 6.1: Colisión entre dos partículas.
Las reacciones nucleares cumplen una serie de leyes de conservación como ya seha mencionado. Así, la conservación de la energía, requiere que la energía total antesde la colisión sea igual a la energía total despues de la colisión
E(1)Total + E
(2)Total = E
(3)Total + E
(4)Total (6.1)
(E(1)K + E
(1)0 ) + (E
(2)K + E
(2)0 ) = (E
(3)K + E
(3)0 ) + (E
(4)K + E
(4)0 ) (6.2)
El valor Q de la reacción esta definido como:
Q = Eantes0 − Edespues
0 (6.3)
Q = [(m1 +m2)− (m3 +m4)]c2
note que de la definición de Q se tiene:
Q = Edespuésk − Eantes
k (6.4)
197
198 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
La conservación de la cantidad de movimiento se expresa como:
~pantes = ~pdespués (6.5)
Adicionalmente se tiene,La conservación del momento angular representado de la siguiente manera:
Jµν = Lµν + Sµν
La conservación de la carga eléctricaLa conservación del número bariónico y paridad (para las interacciones nuclearesfuertes y electromagnéticas).
6.1.1 Umbral energético
La energía mínima para llevar a cabo una reacción endoérgica se la llama energíaumbral Eumb (expresado en el sistema de laboratorio) la energía umbral es suficientepara iniciar el proceso en el cual los productos de la reacción se forman con velocidadcero en el sistema centro de masa (CM), de lo que se sigue que la energía cinéticaneta en sistema CM es cero (pero no en el sistema de laboratorio). Note que Q esindependiente del sistema de referencia.Así, la energía cinética total en el sistema laboratorio es E(1)
k y en el CM
ECM = E(1)′
k + E(2)′
k = E(1)k
m2
m1 +m2(6.6)
La energía cinética neta final en el sistema CM se obtiene simplemente añadiendoQ, lo que permite encontrar la energía umbral,
[E
(1)k
(m2
m1 +m2
)+Q
]
umb
= 0
(E
(1)k
)
umb= −Q
(m1 +m2
m2
)Q≪ m2c
2 (6.7)
Esta relación es apenas una aproximación en la cual se ha ignorado la influencia deQ sobre la razón de masas. La fórmula exacta (que es no relativista) para la energíaumbral es: (
E(1)k
)umb
= −Q(
m3 +m4
m3 +m4 −m1
)(6.8)
solo en el límite (m1m3)≪ (m2m4)
(E
(1)k
)umb−→ |Q|
La expresión general para la energía umbral es:
(E
(1)k
)umb
= −Q∑
iE0i
2E02(6.9)
6.2 Características generales de secciones eficaces de reacción 199
donde la suma se extiende para tomas las partículas antes y después de la reacción.
6.2 Características generales de secciones eficaces de reac-ción
Considere la reacción A(a, b)B y los parámetros cinemáticos asociados a cada una deellas.
va
a ja
JA
A
jb
vb
b
JB
B(Prácticamente en reposo)
Figura 6.2: Colisión entre dos partículas.
Se supone que la reacción es un proceso aleatorio y no involucran resonancias.De acuerdo con la segunda regla de oro de Fermi, la probabilidad de transición porunidad de tiempo será:
Wif =2π
~|Hif |2
dn
dEf(6.10)
y depende directamente sobre la densidad de estados finales y del cuadrado de loselementos de la matriz de transición que involucra la inetracción de las partículas através de H. Esta probabilidad por unidad de tiempo esta relacionada con la seccióneficaz del proceso mediante:
Wif =vaL3dσ (6.11)
El número de estados accesibles finales tal que b tenga su cantidad de movimiento pbentre pb y pb + dpb en un volumen V es:
dn =4πp2bdpbh3
V (2jb + 1)(2JB + 1) (6.12)
los últimos factores toman en cuenta la multiplicidad generada por los estados despin1.Usando la relación relativista entre la energía y la cantidad de movimiento,
dEf = vbdpb (6.13)
dn
dEf=
4πp2bvb
V (2jb + 1)(2JB + 1) (6.14)
entonces
Wif =1
π~4p2bvbV |Hfi|2(2jb + 1)(2JB + 1) (6.15)
1Se ha considerado que la partícula B solo tiene un estado cinético de salida.
200 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
Se puede derivar una ecuación para la sección eficaz2 , en términos de na (densidadde partículas a incidentes) el flujo incidente es por tanto nava, y si se asume que hay
una partícula incidente por volumen, i.e., na =1
V, se tiene:
σ =1
π~4p2bvavb|V Hfi|2(2jb + 1)(2JB + 1) (6.16)
Estrictamente esta relación se refiere al CM , pero si A y B son lo suficientementemasivos los sistemas de laboratorio y centro de masa casi coinciden. En general, paraciertas reacciones nucleares, los términos |V Hfi|2 y (2jb+1)(2JB+1) no se los conoce.Sin embargo, se puede asumir que los elementos de matriz de interacción no varíanapreciablemente para los diferentes estados accesibles dentro de un estrecho rangode energía de las partículas incidentes y por tanto estos términos desconocidos sepueden tratar como constantes, de este modo se podría hacer un análisis cinemáticodel comportamiento de las secciones eficaces en función de las magnitudes dinámicasde las partículas involucradas. Así,
σ ≈ p2bvavb
(6.17)
En algunas reacciones que involucren partículas cargadas, |Hfi|2 contiene las pe-netrabilidades a la barrera nuclear de Coulomb, las cuales pueden modificar σ. Loselementos de matriz involucran las funciones de onda inicial y final. Si la partículaincidente lleva carga, cada una se reduce en amplitud en el núcleo por la transparen-
cia(e−Ga
)1/2donde Ga es el factor de Gamow de la partícula a con una energía Ea.
De aquí que, en el caso de absorción y emisión de partículas cargadas positivamente,se tendría una dependencia que involucraría:
|Hfi|2 ≈ e−(Ga+Gb) (6.18)
6.3 Tendencias de las secciones eficaces para distintos ti-
pos de reacciones nucleares
6.3.1 Sección eficaz para dispersiones elásticas de neutrones
Puesto que la dispersión (n, n) es elástica se sigue que:
va ≈ vb
si se considera que la energía de retroceso es despreciable,
σ ≈ p2bvavb
→ p2nv2n
= m2n = const
2σ =Wif
nava
6.3 Tendencias de las secciones eficaces para distintos tipos de reaccionesnucleares 201
que se ha confirmado hasta energías de 5 eV.
σ(n, n)
EnFigura 6.3: Esquema de la tendencia de la sección eficaz.
6.3.2 Sección eficaz característica para reacciones exotérmicas in-ducidas por neutrones de baja energía
Las reacciones involucradas son del tipo (n, γ) (n, p) (n, α) (n, f) los cuales tienenvalores grandes de Q. Así, para energías moderadas del neutrón incidente (∼ eV),vb es sensiblemente constante y lo es pb, puesto que pequeñas variaciones en va = vnno pueden afectar apreciablemente a vb. La dependencia de G en |Hfi|2 tambiénse anula, puesto que Ga es cero para una partícula neutra y e−Gb es groseramenteconstante, cuando la partícula emergente casi no varía con su energía (es decir, lapartícula emitida toma un valor de energía determinado no un rango de valores).
p2bvavb
→ 1
vn
p2nvb
= const.1
vn
σ(n, x)
∼ 1vn
EnFigura 6.4: Esquema de la tendencia de la sección eficaz.
6.3.3 Sección eficaz característica para dispersión inelástica neutró-nica
El proceso (n, n′) es un ejemplo de una reacción endotérmica en la cual va excede a
vb y el núcleo A es abandonado con una energía de excitación.
E∗ = −Q ≈ 1 MeV
Esto implica una comparativamente alta reacción umbral. Por arriba de este umbral,un cambio pequeño directo en la energía incidente En se manifiesta como un cambiogrande en En′ . Por tanto, aún cuando vn pueda ser considerado como una constanteen la vecindad inmediata del umbral, la velocidad del neutrón dispersado obedece larelación:
v2n′ =
exceso de energía arriba de la umbral
(1/2)mn
202 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
vn′ ≈ (En − E∗)1/2
y por tanto,p2bvavb
→ 1
vn
p2n′
vn′
≈ vn′ ≈ (En − E∗)1/2
y de aquí, cerca del umbral se tiene:
σ ≈ (En − E∗)1/2
σ(n, x)
EnE∗ ∼ 1 MeV
Figura 6.5: Esquema de la tendencia de la sección eficaz.
6.3.4 Sección eficaz característica para reacciones endotérmicas in-ducidas por neutrones que llevan a la emisión de partículascargadas
El hecho de que las partículas cargadas se emiten en tales reacciones (n, p) ó (n, α) ne-cesitan una leve modificación de la sección eficaz anterior, un factor de transparenciae−Gb debe ser incluido. Así,
σ ≈ e−Gb (En − E∗)1/2
donde
Gb =
(8mb
~2
)1/2 ∫(Ub − Eb)1/2 dr →
2πZBZbe2
~vb
donde: Ub = (carga de b)(potencial de Coulomb del núcleo residual B)Esto causa que la curva de la sección eficaz se curve hacia el eje de la energía.
σ(n, x)
En
√En − E∗ exp (−Gx)
Figura 6.6: Esquema de la tendencia de la sección eficaz.
6.3 Tendencias de las secciones eficaces para distintos tipos de reaccionesnucleares 203
6.3.5 Sección eficaz para reacciones exotérmicas que involucran par-tículas incidentes cargadas y partículas salientes no cargadas
Estos procesos incluyen, entre otros, procesos del tipo (p, γ) (α, γ)Asumiendo que la energía Ea ≪ QSe sigue que,
p2bvavb
→ 1
va
donde el factor exponencial tiene que ser incluido para tomar en cuenta la transpa-rencia de la barrera de Coulomb a las partículas cargadas incidentes.
σ ≈ 1
vae−Ga
σ(x, y)
Ex
1vx
exp (−Gx)
Figura 6.7: Esquema de la tendencia de la sección eficaz.
Esta sección eficaz evidencia la falta de umbral y es cualitativamente similar enforma a la sección eficaz previa.
6.3.6 Sección eficaz característica para reacciones exotérmicas conpartículas incidentes y salientes cargadas
Por ejemplo, (α, p) y no hay de nuevo umbral
p2bvavb
→ 1
va
que se multiplica ahora a los factores de penetrabilidad. De manera que la seccióneficaz la podemos escribir como:
σ ≈ 1
vae−(Ga+Gb)
y muestra una mayor dependencia en energía que la sección eficaz previa.
204 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
σ(x, y)
Ex
1vx
exp [−(Gx +Gy)]
Figura 6.8: Esquema de la tendencia de la sección eficaz.
6.4 Reacciones inversas
Una situación interesante en la naturaleza es la que se refiere a la razón entre lassecciones eficaces de una reacción y su inversa, es decir,Sea la reacción:
a+A←→ b+B (6.19)
Para la reacción directa (estado inicial hacia el estado final) se tiene:
σfi =1
π~4p2bvavb|V Hfi|2(2jb + 1)(2JB + 1) (6.20)
mientras que para la reacción inversa,
σif =1
π~4p2avavb|V Hif |2(2ja + 1)(2JA + 1) (6.21)
puesto que el Hamiltoniano de perturbación es Hermitiano (Hfi = Hif );y la razón,
σfiσif
=p2bp2a
(2jb + 1)(2JB + 1)
(2ja + 1)(2JA + 1)(6.22)
las secciones eficaces representan promedios sobre varios estados de spin y suma desecciones eficaces parciales para los varios estados accesibles finales. Esta fórmulapuede considerarse como una forma restringida del principio de balance detallado.Este principio puede tomarse tanto con las secciones eficaces totales o diferenciales,en el último caso, siempre que los ángulos en el CM sean los mismos para la reaccióndirecta y la inversa. Las energías también deben ser las mismas en CM , tomando encuenta el valor de Q. Por supuesto, las secciones eficaces y momentos son referidos alsistema CM .El balance detallado requiere que las probabilidades de transición por unidad detiempo del proceso directo e inverso, bajo condiciones comparables, sean iguales,
Wfi
ρ(Ef )=
Wif
ρ(Ei)(6.23)
ésto implica que deben estar multiplicados por sus factores de momento (pero nopor sus factores de multiplicidad). Se plantea por tanto una condición más débil:“el principio de balance semi− detallado” que considera las probabilidades de tran-
6.5 Secciones eficaces de dispersión y reacción 205
sición promediados sobre todos los estados de spin.
Wfi =Wif (6.24)
El principio de balance detallado puede aplicarse para la determinación de ciertoparametro desconocido (como el spin) de alguna partícula involucrada en la reacción,así por ejemplo:
p+ p↔ π+ + d− 137 MeV
cuando el haz incidente no polarizado choca con blancos no polarizados, produce:
σ(pp→dπ)
σπd→pp=p2πp2p
(2jd + 1)(2Jπ + 1)
(2jp + 1)(2Jp + 1)
donde las secciones eficaces y momentos están referidas al CM .A causa de que en la reacción inversa las partículas salientes son idénticas se acostum-bra a incorporar un factor de 1/2 a la sección eficaz medida. Si se considera conocidolos spines de los protones y del deuterón, entonces:
σ(pp→dπ)
σ(πd→pp)=p2πp2p
3(2Jπ + 1)
2
y si se mide las correspondientes secciones eficaces, en los valores conocidos de pp ypπ , el spin de la partícula π quedaría determinado.
6.5 Secciones eficaces de dispersión y reacción
Dispersión
Para el análisis de los resultados experimentales de las dispersiones entre dos nucleo-nes, ya se desarrolló la teoría general de la dispersión, donde se encontró que el flujode probabilidad dispersado estaba dado por la siguiente expresión:
jsc = |A|2~
4mkr2
∣∣∣∣∣
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)i(1 − ηℓ)Pℓ(cos θ)∣∣∣∣∣
2
(6.25)
La densidad de corriente de probabilidad incidente es tan solo:
jinc =~k
m|A|2 (6.26)
La sección eficaz diferencial del proceso de dispersión3 esta definida como:
dσ =jsc(r
2dΩ)
jinc(6.27)
3La sección eficaz elástica esdσ
dΩ= |f(θ)|2 con f(θ) =
1
2k
∑ℓ(2ℓ+ 1)i(1− ηℓ)Pℓ(cosθ)
206 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
Así:dσ
dΩ=
1
4k2
∣∣∣∣∣
∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)i(1 − ηℓ)Pℓ(cos θ)∣∣∣∣∣
2
(6.28)
Integrando esta expresión en el ángulo sólido
σsc =∞∑
ℓ=0
πŻ2(2ℓ+ 1) |1− ηℓ|2 (6.29)
Si la dispersión es elástica entonces: |ηℓ| = 1. Se considera por conveniencia un factorηℓ = e2iδℓ donde δℓ es el corrimiento de fase de la onda parcial ℓ− sima.
Se puede demostrar fácilmente que |1− ηℓ|2 = 4 sin2 δℓDe manera que para el caso de colisiones elásticas la sección de dispersión toma laforma:
σsc =
∞∑
ℓ=0
4πŻ2(2ℓ+ 1) sin2 δℓ (6.30)
Reacción
Si se considera otros procesos además de la dispersión elástica (dispersiones inelásticasy otras reacciones), se puede construir también la sección eficaz de reacción, la cualtoma en cuenta la pérdida de partículas, en este caso |ηℓ| < 1. Para encontrar estasección eficaz se debe determinar la tasa a la cual las partículas están desapareciendodel canal de reacción con número de onda k. Esto se halla de la diferencia entre elflujo de probabilidad incidente y el saliente, |jinc| − |jout|, así,
σr =
∫(|jinc| − |jsc|) r2dΩ (6.31)
de donde la sección eficaz de reacción viene a ser:
σr =
∞∑
ℓ=0
πŻ2(2ℓ+ 1)(1− |ηℓ|2
)(6.32)
y la sección eficaz total (teorema óptico)4
σtotal = σsc + σr (6.33)
σtotal =
∞∑
ℓ=0
2πŻ2(2ℓ+ 1) (1−Re(ηℓ)) (6.34)
Note que para el caso de dispersión elástica |ηℓ| = 1 , la sección eficaz de reacción seanula y la total viene a ser la dada anteriormente. Adicionalmente, note que un valorde ηℓ para el cual la sección eficaz de reacción no se anula implica también un valor
4En función de la amplitud de dispersión, el teorema óptico se puede escribir como:4π
kImf(0) =
σtotal.
6.5 Secciones eficaces de dispersión y reacción 207
no nulo (siempre) para la de dispersión.El valor máximo de σr se alcanza para ηℓ = 0; y para un valor fijo de ℓ tiene el mismovalor que la sección eficaz de dispersión σsc , es decir,
σℓ,sc = σℓ,r = πŻ2(2ℓ+ 1) (6.35)
Como ejemplo, si se considera un núcleo negro de radio R, con R ≫ Ż, es decircompletamente absorbente, ηℓ = 0 para todas las ondas parciales con ℓ ≤ R/Ż; ycompletamente transparente, |ηℓ| = 1 para todas las ondas parciales con ℓ > R/Ż.De aquí,
σtotal = 2πŻ2R/Ż∑
ℓ=0
(2l + 1) ≈ 2πŻ2(R
Ż+ 1
)2
(6.36)
σtotal = 2π (R+ Ż)2 ≈ 2πR2 (6.37)
la cual es dos veces la sección eficaz geométrica, esta duplicación es causada por ladispersión de la onda y puede ser interpretada como: la difracción de la onda planapor el núcleo que genera una “sombra” detrás del núcleo decreciendo su diámetro apa-rente de tal manera que a ciertas distancia desaparece la perturbación causada por elnúcleo en la onda plana. En este caso se dice que la parte del haz que es difractadadebe ser la misma de aquella absorbida.
Es muy común escribir las secciones eficaces de dispersión elástica y la de reacciónen término de los factores de fase anteriormente introducidos. Hay dos posibilidadesque se puede considerar:
1. ηℓ = e2iδℓ con δℓ = αℓ + iβℓ complejo.
2. ηℓ = ρℓe2iδℓ con δℓ y ρℓ reales.
En el caso (2)
σr =
∞∑
ℓ=0
πŻ2(2ℓ+ 1)(1− ρ2ℓ
)(6.38)
donde la sección eficaz de reacción se anula cuando ρℓ = 1. Por otra parte5,
e2iδℓ = cos 2δℓ + i sin 2δℓ = 1 + 2ieiδℓ sin δℓ
La amplitud de dispersión en el caso elástico, ηℓ = e2iδℓ
f(θ) =1
k
∑
ℓ
(2ℓ+ 1)(eiδℓ sin δℓ
)Pℓ(cos θ) (6.39)
5e2iδℓ = cos 2δℓ + i sin 2δℓ = cos2 δℓ − sin2 δℓ + i2 sin δℓcosδℓ = 1 − 2 sin2 δℓ + 2i sin δℓcosδℓ =1 + 2i sin δℓ(cos δℓ + i sin δℓ) = 1 + 2ieiδℓ sin δℓ
208 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
y la sección eficaz de dispersión queda,
σsc =∞∑
ℓ=0
4πŻ2(2ℓ+ 1) sin2 δℓ (6.40)
la cual toma sus máximos valores (en resonancia) para cuando se cumple δℓ = nπ
2La sección eficaz total, se la puede escribir como:
σtotal = πŻ2∞∑
ℓ=0
(2ℓ+ 1)(4 sin2 δℓ + 1− ρ2ℓ
)(6.41)
El parámetro de dispersión ηℓ se lo determina mediante el análisis de la variación dela función de onda en la superficie del núcleo atómico. La condición de continuidadde la función de onda en la superficie del núcleo, i.e., en r = R, requiere que
(u
′(r)
u(r)
)
dentro
=
(u
′(r)
u(r)
)
fuera
(6.42)
Considerando neutrones tipo s como partículas incidentes para evitar las ba-rreras de coulomb y centrífuga, y notando que
udentro ≈ rψdentro
ufuera ≈ rψfuera =(4π
v
)1/2 i
2k
(e−ikr − η0eikr
)(6.43)
Se ha considerado la constante de normalización A =1
v1/2para tener un flujo de
partículas incidentes igual a uno.Introduciendo una cantidad adimensional f
f = lımr→R
(R
u
du
dr
)(6.44)
(u
′(r)
u(r)
)=f
R=k
i
e−ikR + η0eikR
e−ikR − η0eikR
η0 =f + ikR
f − ikRe−2ikR (6.45)
En general el factor f es un número complejo
f = fre + ifim (6.46)
En el caso que, f sea real, la dispersión es netamente elástica |η0| = 1 (mientras si|η0| < 1 fim < 0).
Las secciones eficaces de reacción y dispersión, para este caso ℓ = 0, se las puede
6.5 Secciones eficaces de dispersión y reacción 209
escribir como:
σr = πŻ2(1− |η0|2
)= πŻ2
[ −4fimkR(fre)2 + (kR − fim)2
](6.47)
σsc = πŻ2|1− η0|2 = 4πŻ2∣∣∣∣eikR sin(kR) +
kR
i(kR− fim)− fre
∣∣∣∣2
(6.48)
La sección eficaz de dispersión, al operar el cuadrado, contiene tres términos:
1. Un primer término de la forma 4πŻ2 sin2 kR debido a la dispersión del potencial.
2. Un segundo término de la forma 4πR2
(fre)2+(kR−fim)2llamado término de dispersión
resonante.
En la vecindad de la energía de resonancia se puede expandir el parámetro fen serie de Taylor
f = f(E0) +
(∂f
∂E
)
E0
(E − E0) + · · · (6.49)
Tomando los dos primeros términos de la serie6
f(E0) = 0 y
(∂f
∂E
)
E0
= −2kR
Γ(6.50)
donde el segundo término se toma como la definición de Γ, el ancho de pico deresonancia. Entonces,
f = −2kR
Γ(E − E0)
que corresponde a su valor real:
fre = −2kR
Γ(E − E0) y fim = 0 (6.51)
quedando una sección eficaz de resonancia
σres = πŻ2Γ2
(E − E0)2 + (Γ/2)2(6.52)
3. Un tercer término de interferencia entre los dos anteriores que generan unasciertas depresiones en la sección eficaz y que no se discute en este texto.
6Note que la resonancia estará ligada a la continuidad de la función u en R. Si u es una funciónsinusoidal en los dos lados de R las amplitudes de u tenderán a ser iguales.
210 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
6.5.1 Modelo Óptico nuclear
Es un modelo simple del núcleo atómico que considera en forma general tanto lasdispersiones elásticas como los procesos de absorción del núcleo atómico. En estemodelo se representa los procesos de colisión en términos de un potencial complejode la forma:
U(r) = V (r) + iW (r) (6.53)
donde las funciones V y W se seleccionan para dar al potencial su apropiada de-pendencia radial. La parte real del potencial es la responsable de las dispersioneselásticas; mientras que la parte compleja, de los procesos de reacción.Si se considera un potencial de la forma pozo cuadrado, es decir:
U(r) =
−V0 − iW0 r ≤ R0 r ≥ R
(6.54)
Las ondas radiales dispersadas salientes son de la forma
eikr
rdonde k =
1
~
√2m(E + V0 + iW0) (6.55)
es decir, k es un número complejo
k = kr + iki (6.56)
la función de onda entonces tiene una componente oscilatoria y otra atenuada.
eikrre−kir
r(6.57)
y por tanto la densidad de probabilidad radial tendrá un factor de atenuación e−2kir,se dice entonces que la función de onda es atenuada exponencialmente al pasar através del núcleo.Si se asume una absorción relativamente débil, es decir, E + V0 ≫W0, entonces k sepuede escribir como:
k =1
~
[√2m(E + V0) +
iW0
2
√2m
E + V0
](6.58)
Note que la distancia a la cual el cuadrado de la función de onda se atenúa un factore−1 esta dada por:
d =1
2ki=
~
W0
√E + V02m
(6.59)
Tomando la distancia del orden del tamaño nuclear, entonces se puede estimar queW0 es aproximadamente 10 MeV.
En el modelo óptico por tanto se debe escoger un pozo de potencial (e.g. Wood-Saxon) donde los parámetros del potencial deben ser ajustados con los datos de
6.6 Reacciones Resonantes 211
dispersión. El potencial W a bajas energías debe tener una forma muy diferente.A causa del principio de exclusión de Pauli los nucleones interiores del núcleo nojugarán ningún papel en los procesos de absorción sino solo los de valencia, se sueleescoger W proporcional a la derivada de V respecto de r, (dV/dr), del potencial depozo redondeado. A mayores energías los nucleones interiores pueden participar enlos procesos de absorción y la forma de W debe ser otra (es necesario también untérmino spin-orbita en el potencial, como se estudió anteriormente).
6.6 Reacciones Resonantes
6.6.1 Anomalías de resonancia en funciones de excitación
La aparición de resonancias muestra discontinuidades en las curvas de tendencia dela sección eficaz como función de la energía. Tales irregularidades indican que los ele-mentos de matriz en lugar de ser casi constantes, fluctúan con la energía, un fenómenoel cual puede ser observado en todas las reacciones que proceden vía un estado nuclearintermedio; especialmente pronunciado en procesos tales como la captura radiactivade neutrones lentos.Así, la reacción In(n, γ)In muestra un pico resonante a energía de 1, 457 MeV.
Figura 6.9: Pico de resonancia en la sección eficaz del Indio natural (In115 95.8%).
Esta resonancia puede atribuirse a la captura de la onda S del neutrón por elisótopo In115 (concentración isotópica 95,8%; spin del estado base J0 = 9/2) paraformar un estado excitado del In116(J = 5). Los datos se ajustan a una curva simétricacerca de la energía de resonancia y tiene la forma,
σR =1
(E − E0)2(6.60)
212 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
siendo E0 la energía de resonancia.
Una explicación de estas características se propone postulando la formación deun núcleo compuesto C, como un paso intermedio de la transición total, volviéndoseun proceso de segundo orden, es decir,
a+A→ C → B + b (6.61)
Aplicando la teoría de perturbación de segundo orden se encuentra la probabilidad detransición por unidad de tiempo. Para reacciones que proceden de un estado iniciali, vía un estado intermedio C, a un estado final f , dicha probabilidad de transiciónpor unidad de tiempo se determina por la primera regla de oro de Fermi:
Wfi =2π
~
∣∣∣∣Hi→CHC→f
Ei − EC
∣∣∣∣2 dn
dEf(6.62)
Suponiendo que la densidad de partículas incidentes es de una partícula por volumenV . La sección eficaz esta dada por:
σi→C→f =1
π~4p2bvavb
∣∣∣∣Hi→CHC→f
Ei − EC
∣∣∣∣2
(2jb + 1)(2JB + 1) (6.63)
Esta relación da claramente una forma de resonancia para cuando Ei tiende a EC .En realidad, en lugar de tender al infinito para ese valor de energía solo crece abrup-tamente y toma un valor grande pero finito.
6.6.2 Fórmula de Breit - Wigner. (B-W)
La forma del pico resonante puede ser descrita por una función Lorentziana.
f(E) =K
(E − E0)2 + (Γ/2)2donde K es una constante. (6.64)
E es la energía incidente cercana a E0 (la energía de resonancia) y Γ es el anchototal (FWHM) del estado compuesto (resultante de la suma de los anchos parciales,Γ = ΣΓi). El estado intermedio C tiene un tiempo de vida τ ≥ ~/Γ
En la resonancia, la sección eficaz alcanza su valor máximo (máximo dado porla expresión de la sección eficaz absoluta) teniendo un simple pico en energía E0 ymomento angular orbital ℓ. Para colisiones de partículas sin spin,
σℓ = πŻ2(2ℓ+ 1) (6.65)
entonces en la vecindad de la resonancia, la sección eficaz para la formación de unnúcleo compuesto (NC), está dada por la expresión:
σNC = σℓTf(E) (6.66)
6.6 Reacciones Resonantes 213
donde, T toma en cuenta la transparencia de la barrera de penetración del NC a laenergía E incidente. Esta transparencia puede en principio variar de 0 a 1, y puestoque σNC ≤ σℓ, se tiene que f(E) ≤ 1. La función f se la puede normalizar a travésde la introducción de ”nivel medio de separación” D entre los estados estacionarios,en el sistema compuesto:
1
D
∫ ∞
−∞f(E)dE = 1 (6.67)
lo que corresponde a poner el valor medio de f igual a la unidad, después de prome-diar sobre varias resonancias cuyo espaciamiento de energía se toma como un valorconstante D. De esta manera se puede encontrar el valor de K en la fórmula paraf(E).
K =DΓ
2π(6.68)
quedando la sección eficaz de resonancia
σNC(E) = πŻ2(2ℓ+ 1)TDΓ/2π
(E − E0)2 + (Γ/2)2(6.69)
Evaluación de la transparencia T . Este parámetro se evalua en términos delancho parcial Γa para la formación (o decaimiento) del estado compuesto NC através del canal correspondiente a la partícula a. La relación entre la probabilidad dereacción por unidad de tiempo (o constante de decaimiento) y la transparencia es:
λa ≡1
τa=
Γa~
= T × (tasa de repetición) (6.70)
para encontrar la tasa de repetición se procede de la siguiente forma: se expresa lafunción de onda neta Ψ del estado del NC, como la superposición de las funcionesde onda que describen estados vecinos de energía cercana a la de resonancia.
Ψ =∑
anψne−iEnt/~ (6.71)
En = ε0 + nD (6.72)
Ψ = e−iε0t/~∑
n
anψne−inD
~t (6.73)
en el cual, el segundo término exponencial es periódico y tiene un período
∆t =2π~
D=h
D(6.74)
en otras palabras, a tiempos t, t + (h/D), t + 2(h/D), · · · etc., la configuración delestado se reproduce. La tasa de repetición es entonces D/h, y por tanto,
Γa~
= TD
h(6.75)
214 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
T =2πΓaD
(6.76)
Reemplazando en la relación de la sección eficaz de formación de un núcleo compuestocerca de la resonancia:
σNC = πŻ2(2ℓ+ 1)ΓaΓ
(E − E0)2 + (Γ/2)2(6.77)
después de la formación del núcleo compuesto, éste decaerá mediante varios canalesde salida a todos los posibles estados finales accesibles f (compuestos de los productosde reacción, b y B). Proceso que ocurrirá con una probabilidad dada por la razónΓb/Γ, por tanto,
σ(a,b) = σNCΓbΓ
= πŻ2(2ℓ+ 1)ΓaΓb
(E − E0)2 + (Γ/2)2(6.78)
para la sección eficaz de reacción (a, b) cerca de la resonancia7.
A través de considerables simplificaciones se ha obtenido la fórmula de Breit-Wigner de un solo nivel. La denominación “un solo nivel” viene de la consideracióninherente que solo un nivel de resonancia del núcleo compuesto esta involucrado en lareacción neta (a, b). Se debe notar que la expresión anterior no incluye contribucio-nes no resonantes. La fórmula se aplica exclusivamente a procesos resonantes y porejemplo, pueden usarse para describir dispersiones inelásticas de resonancia (a, a
′)
Sin embargo, no se puede usar para el caso de dispersiones resonantes elásticas (a, a),que ya ha sido discutida.La sección eficaz que se encuentra considerando una entrada particular (canal) y su-mada sobre todos los canales de salida (excepto la elástica) se llama sección eficaz dereacción y es:
σr =∑
b
σ(a,b) = σNC∑
b
ΓbΓ
= σNC
(1− Γa
Γ
)(6.79)
Introduciendo la sección eficaz elástica:
σtotal = σr + σelastica (6.80)
Es importante notar que la sección eficaz total se compara con el experimento.Por otra parte, la sección eficaz elástica contiene dos términos: el término compuestotambién llamado dispersión de resonancia (vía un estado excitado compuesto); y eltérmino de forma, también llamado dispersión por potencial en la cual no hay unapenetración apreciable al blanco o la formación de un complejo intermedio.
σelastica = σcomp + σforma (6.81)
mientras a σform se la puede calcular directamente de un potencial de dispersión
7Si el spin de las partículas incidente y blanco son considerados, el factor (2ℓ + 1) se remplaza
por (2j+1)(2sa+1)(2sA+1)
donde ~J = ~Sa + ~SA + ~L
6.6 Reacciones Resonantes 215
dado, a σcomp no. Sin embargo, las dos pueden ser estimadas mediante una teoríamodificada de B −W .
Si las dispersiones elásticas de forma fuesen completamente eliminadas y másaún, si las restantes dispersiones compuestas provinieran en resonancia de un estadointermedio, la fórmula de B −W se podría escribir en este caso como:
σelastica = σ(a,a)res = πŻ2Γ2
(E − E0)2 + (Γ/2)2(6.82)
Ejercicios
1. Cuando se utilizan neutrones térmicos para inducir la reacción exotérmicaB10(n, α)Li7 las partículas alfa emitidas tienen 1, 83 MeV. Dado que las masasde B10, neutrón y partícula alfa son: 10, 0167 uma, 1, 00894 uma y 4, 00836 uma.¿Cuál es la masa del Li7?
2. Defina el concepto de la sección eficaz. Describa cualitativamente la dependenciarespecto a la energía de la sección eficaz de una reacción típica (n, γ) en el casode neutrones lentos.
3. Neutrones con energía cinética de 30 MeV inciden sobre un blanco de núcleos(A ≈ 150). Las partes reales e imaginarias del potencial óptico son 40 MeV y−8 MeV respectivamente. Use estos valores para estimar la probabilidad que elneutrón pase diametralmente a través del núcleo.
4. Calcule la sección eficaz absoluta para la captura de un neutrón de 5 MeV(tratado como partícula puntual), el cual incide sobre un núcleo de Kr82 conun momento orbital tal que la colisión puede ser considerada como rasante.
5. Un blanco de C12 es bombardeado por neutrones, formando un núcleo compues-to de spin- paridad 1/2+ y una energía de excitación de 10, 76 MeV. Si el estadobase del núcleo C13 yace 4, 947 MeV más debajo de aquel del sistema (C12+n)calcule las secciones eficaces absoluta y geométrica de captura del neutrón.
6. Un núcleo tiene una resonancia de neutrón a 80 eV y no otras resonanciascercanas. Para esta resonancia: Γn = 0, 5 eV; Γγ = 1 eV; Γα = 3 eV. ¿Cualesson las secciones eficaces para (n, γ) y (n, α) a 85 eV?
7. La sección eficaz de la reacción D −D H2(d, p)H3 con deuterones (onda S) deenergía 100 keV (lab) es 28 mb y el valor Q = 4, 0329 MeV. Calcular la seccióneficaz de la reacción inversa con protones (onda S) los cuales tiene una energíatal que se alcanza la misma energía de excitación del estado intermedio.
8. La sección eficaz total para la foto-desintegración del deuterón H2(γ, n)H1 (Q =−2, 23 MeV) es 1,4mb para un γ incidente de 10 MeV. Qué energía deben tenerlos neutrones para dar lugar a un γ de la misma energía cuando ellos participanen la colisión inversa H1(n, γ)H2. ¿Cuál es la magnitud de la sección eficaz dela reacción inversa bajo estas condiciones?
216 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
6.7 Fisión nuclear
Después del descubrimiento del neutrón en 1932 por medio de Chadwick, se comenza-ron a irradiar materiales con neutrones y se produjo lo que hoy se llama la activaciónneutrónica (Premio Nobel, Fermi 1938). La investigación se redireccionó hacia la for-mación de elementos transuránicos, donde por separación química se encontró unelemento con propiedades del Bario y se pensó que era el Radio, sin embargo la pro-ducción del Radio a partir del Uranio es muy poco probable. Hahn y Strassmann en1939 probaron que efectivamente era Bario. Posteriormente, otros trabajos mostraronla presencia de núcleos con masas intermedias formadas al bombardear Uranio conneutrones. Adicionalmente los experimentos con cámaras de ionización mostrabanque estos procesos liberaban una gran cantidad de energía, 100 MeV (mucho másgrandes que la energía liberada, por ejemplo en el decaimiento alfa).Meitner y Frish en 1939 propusieron que el núcleo de Uranio, después de la capturaneutrónica, era altamente inestable y se fraccionaba o dividía (proceso que lo llama-ron fisión)La fisión, se podría decir, no es más que la competición entre la fuerza nuclear yla coulómbica en núcleos pesados. Se sabe que la energía de enlace nuclear crece alaumentar A, mientras que la repulsión coulómbica crece con Z2.
Si se plantea un modelo parecido al del decaimiento alfa para la fisión, se podríadecir que la emisión se produciría si los fragmentos están cerca del tope de la barrera(donde la pared es muy fina y fácil de tunelizar). La fisión puede ocurrir espontá-neamente como un decaimiento natural o puede inducirse por la absorción de algunapartícula como neutrón o fotón, llevando al núcleo a un estado excitado de mayorenergía con mayor probabilidad de escape o sobre la barrera.El proceso de fisión es solo importante para núcleos pesados (más allá del Th).
214 MeV
250 MeV
Figura 6.10: Esquema de un núcleo como un pozo y una barrera.
Como se mencionó el proceso de fisión tiene dos características muy importantes:
1. Hay una alta energía liberada;
2. Adicionalmente a los fragmentos de fisión se liberan varios neutrones lo quepermite la posibilidad de reacciones de fisión en cadena.
Un análisis sencillo de la energía de enlace por nucleón permite ver que si un núcleopesado se divide en dos fragmentos, esta división lleva a un sistema más ligado con
6.7 Fisión nuclear 217
liberación de energía:238× 7, 6 = 1809 MeV
2(119 × 8, 5) = 2033 MeV
Se liberan 214 MeV (en forma de n0, gammas y energía cinética de los fragmentos).El 80% se libera como energía de retroceso de los fragmentos por la alta repulsióncoulómbica de los fragmentos en el proceso.En el cálculo de la probabilidad de decaimiento hay un término que depende de laenergía liberada (mientras mas energía es liberada hay mayor forma de compartir laenergía entre los productos y por tanto, mayor cantidad de estados finales, es decirmayor probabilidad).
El decaimiento por fisión espontánea del Uranio 238 existe pero es poco probable:T1/2(alfa) 4, 5×109 años; T1/2 (fisión espontánea) 1,0×1016 años. Este último procesoaparece con mayor probabilidad para núcleos con A > 250. Ejemplo Cf252 4% (fisión)y 96% (alfa). Lo que inhibe el proceso de fisión espontánea es la barrera de Coulomb(como inhibe al decaimiento alfa discutido anteriormente).La barrera potencial para los fragmentos se la puede estimar como:
R
R = R1 +R2
Figura 6.11: Núcleos unidos.
V =z1z2e
2
R(6.83)
que es igual a 250 MeV8 e impide la separación de los fragmentos lo que hace que eldecaimiento sea poco probable.
Lo que si es cierto es que el alto de la barrera es aproximadamente igual a laenergía liberada en la fisión de los núcleos pesados y hay ciertos núcleos para los cua-les la energía liberada es tal que pone apenas a los fragmentos abajo del tope de labarrera dándoles buena posibilidad para penetrarla (fisión espontánea). Los núcleosque ubican o “tienen” a los fragmentos arriba de la barrera son aquellos con A > 300y no existen.Otros núcleos pueden estar abajo del tope, pero al absorber un neutrón o un fotónpueden formar un estado intermedio que esté arriba de la barrera (fisión inducida).
8Note que estos números son solo aproximados.
218 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
Si el estado intermedio esta abajo de la barrera, la fisión es inhibida y ocurre otrotipo de decaimiento. La habilidad de que un núcleo sufra una fisión inducida dependecríticamente de la energía del sistema intermedio. Para algunos núcleos la captura deun neutrón térmico es suficiente.Un cálculo detallado de la energía necesaria para inducir la fisión se esquematiza enla siguiente gráfica:
Figura 6.12: Energías de activación necesarias para la fisión inducida.
Una aproximación instructiva para el entendimiento de la fisión espontánea sedesarrolla a partir de la fórmula semi-empírica de masa.Si se parte de un núcleo esférico que se deforma en un elipsoide de revolución de igualvolumen
V V
V =4π
3ab2
Figura 6.13: Deformación del núcleo antes de la fisión.
donde a y b son el semi-eje mayor y menor respectivamente.
a = R(1 + ε) (6.84)
b =R√1 + ε
(6.85)
6.7 Fisión nuclear 219
siendo ε la excentricidad de la elipse
ε = β
√5
4π(6.86)
y β el parámetro de deformación.
Note que, R3 = ab2, puesto que V permanece constante.Mientras la esfera se deforma, la superficie crece como:
S = 4πR2
(1 +
2
5ε2 + · · ·
)(6.87)
y el término de la energía de enlace superficie crece.El término de la energía de coulomb se modifica por un factor
(1− 1
5ε2 + · · ·
)
la diferencia en la energía de enlace nuclear entre el estado deformado y no deformadoes,
∆E = BE(ε)−BE(ε = 0) (6.88)
y esta dada como:
∆E = −asA2/3
(1 +
2
5ε2 + · · ·
)−acZ2A−1/3
(1− 1
5ε2 + · · ·
)+asA
2/3+acZ2A−1/3
∆E ≈(−2
5asA
2/3 +1
5acZ
2A−1/3
)ε2 (6.89)
Si el segundo término es más grande que el primero, la diferencia en energía es positiva.Entonces se gana energía por la deformación y el núcleo se deformará más hastafisionarse (el núcleo es inestable por la deformación y sufrirá una fisión). Para lafisión espontánea se cumple:
1
5acZ
2A−1/3 >2
5asA
2/3 (6.90)
Z2
A> 47 (6.91)
Este estimado se debería modificar para considerar la barrera de penetración la cualpermite la fisión espontánea aún cuando la energía de deformación sea negativa.Además para núcleos en la región del Uranio su forma, en el estado base, es tambiéndeformada.
En la Figura6.14, el eje x señala el valor Z2/A. Mientras más grande es el valorde este parámetro más pequeño es el tiempo de vida media de la fisión espontánea.
220 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
Figura 6.14: Tiempos de vida media de fisión.
Si este parámetro es mayor o igual a 47, la fisión ocurre espontáneamente.
La distribución de masa de fragmentos de la fisión del Uranio 235
U235 + n0 → Rb93 + Cs141 + 2n0
no es única sino que hay una distribución como la que se muestra en la Figura6.15.
Figura 6.15: Distribución de masa de los fragmentos de la fisión del U236
La distribución muestra dos picos a los que se les conoce con el nombre de rama defragmentos livianos y pesados respectivamente. Para distintos materiales fisionableslos fragmentos de fisión pesados son casi los mismos mientras que los livianos seincrementan linealmente al crecer A del elemento fisionable, es decir, el pico de losfragmentos livianos se corre hacia el de pesados al incrementarse la masa del núcleofisionable.
6.7 Fisión nuclear 221
Aunque la fisión se lo trata como un fenómeno colectivo y de hecho se utiliza el modelode la gota líquida para la descripción de sus parámetros, la forma de la distribución demasa de los fragmentos se puede justificar mediante los números mágicos y nucleonesde valencia del modelo de capas.
6.7.1 Teoría de reactores nucleares
La física de los reactores de fisión se ocupa de proveer de métodos y modelos quepermitan calcular y medir las propiedades de un reactor nuclear. Entre éstas se en-cuentran: dimensiones críticas, forma geométrica del núcleo del reactor, distribuciónde potencia, comportamiento cinético y análisis de seguridad, cambios de reactividada consecuencia del quemado de combustible y blindaje requerido por el sistema.A continuación se presentan los principios físicos fundamentales que se aplican en elanálisis de un reactor nuclear.
En general, se puede decir, que un reactor nuclear esta compuesto por:
i) Núcleo. Región que contiene al combustible, al moderador (reactor térmico) yrefrigerante.
ii) Cobertor. Aquí se dan los procesos de conversión y cría de isótopos físiles apartir de materiales fértiles.
Th232(n, γ)Th233 → Pa233 → U233
iii) Reflector. Materiales cuyas propiedades físicas le hacen un excelente modera-dor y usualmente envuelve el núcleo del reactor o a su cobertor, disminuyendola fuga de neutrones del núcleo.
iv) Barras de control. Materiales que se caracterizan por ser fuertes absorbedoresde neutrones y cuya movilidad dentro del núcleo permite modificar la poblaciónde neutrones en el núcleo.
v) Blindaje térmico. Material que se usa para frenar la radiación emitida delnúcleo del reactor para evitar esfuerzos térmicos en la vasija del reactor.
vi) Vasija del reactor. Recipiente que da cabida a cada una de las componentesdel reactor.
vii) Blindaje contra radiaciones. Barrera física que protege al personal de ope-ración de sobreexponerse a la radiación.
viii) Estructura de contención. Construcción que aloja al reactor y protege a lapoblación en caso de accidente con emisión de productos de fisión.
222 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
refrigerante
vasija
barras de control
reflector
refrigerante
blindaje térmico
cobertor
núcleo contención
blindaje
Figura 6.16: Esquema de un reactor nuclear.
6.7.2 El ciclo del neutrón
El funcionamiento de un reactor se basa en la capacidad de mantener la reacción defisión en cadena auto-sostenida y estable. Para esto es primordial establecer condicio-nes que permitan que la velocidad de reacción de absorción de neutrones y de fuga delos mismos este compensada por la velocidad de producción de neutrones resultantede las reacciones de fisión.Considere un neutrón que aparece en el sistema como resultado de la fisión con ener-gía aproximada a 2 MeV. En el proceso de frenado hacia energías térmicas, el neutróndebe salvar las energías umbrales de fisión rápida de isótopos fértiles y fisionables queestán presentes en el combustible (ejemplo: el combustible puede ser U238 enriquecidodel 5% al 20% con U235. La energía umbral de fisión de U238 es de aproximadamente1, 2 MeV). En el proceso de moderación el neutrón va perdiendo su energía hastaalcanzar la región de resonancias de absorción en donde puede perderse o atravesarlapara pasar a la región térmica. En este punto el neutrón puede ser absorbido por elcombustible u otro material. Si ocurre lo segundo, entonces el neutrón se pierde delsistema. De otra manera existe mayor probabilidad de que pueda dar lugar a otrafisión. Prolongando la reacción en cadena. Este ciclo del neutrón lo podemos esque-matizar en la siguiente figura.
neutrón iniciadorde la reacción
Fisión
neutrones absorbidosen el combustible
fisiónrápida
neutrones
térmicos
η
ε
p
f
(1− ℓfℓ)
(1− ℓt)
neutrones rápidos
que se fugan
del sistema
neutrones térmicos
que se fugan
del sistema
Figura 6.17: Esquema del ciclo del neutrón.
La medida de la capacidad del sistema para auto-sostener la reacción en cadena
6.7 Fisión nuclear 223
esta dada por la relación entre el número de neutrones en una generación con respectoal número de neutrones en la generación previa. A esta relación se le denomina factorde multiplicación del sistema y se denota por k.Siguiendo el esquema anterior, si se considera que un neutrón aparece como resultadode la fisión y si se define un factor de fisión rápida, ε , como la razón de entre elnúmero total de neutrones de fisión (rápidas y térmicas) y el número de neutronesde fisión térmica. Entonces antes de alcanzar la región de resonancias tendremos εℓfneutrones, donde se ha definido (1− ℓf ) como la probabilidad de fuga de un neutrónrápido del sistema físico. Definiendo también p como la probabilidad de escape a laregión de resonancias (es decir la fracción de neutrones que se arreglan para salvar laregión de resonancia. Ver figura6.18). Entonces el número de neutrones que llegan aenergías térmicas es εpℓf . Si (1 − ℓt) representa la probabilidad de fuga del neutróntérmico del sistema físico, entonces el número de neutrones térmicos disponibles paralas reacciones de fisión será εpℓfℓt. Ahora bien, no todos los neutrones son absorbidosen el combustible y aquellos que lo hacen no necesariamente conllevan a reacciones defisión. El número de neutrones térmicos absorbidos por el combustible serán εpfℓfℓtdonde f es el factor de utilización térmica y esta dado por:
f =ΣcaΣa
(6.92)
es decir, la razón entre las secciones macroscópicas de absorción del combustible y latotal.De los neutrones que son absorbidos en el combustible, la fracción que produce fisiónse denota por η y es llamada la eficiencia del combustible y es dada por:
η = νσcfσca
(6.93)
con ν , el número promedio de neutrones emitidos en la fisión y las σcf y σca son lassecciones eficaces de fisión y absorción del combustible.Así, el número de neutrones en la nueva generación es simplemente k = ηεpfℓf ℓtEs importante notar que se inició el ciclo con un solo neutrón y al finalizar se tienenηεpfℓfℓt neutrones. Si el sistema físico considerado tuviera dimensiones infinitas, lasfugas del sistema se hacen cero y en este caso, ℓf = ℓt = 1, y se define k∞ = ηεpfque se le conoce como el factor de multiplicación infinito.
De la definición del factor de multiplicación se desprende que:
• Si k = 1 entonces en promedio el número de neutrones en una generaciónrespecto de la anterior es conservado y se tiene una reacción en cadena auto-sostenida (reactor crítico).
• Si k > 1 la población neutrónica aumenta de generación a generación (reactorsuper-crítico) y
• Si k < 1 la población de generación a generación decrece y el resultado finalpuede ser el paro total de la reacción en cadena (reactor sub-crítico).
224 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
Figura 6.18: Dependencia de la energía de la sección eficaz de fisión de uranio.
El factor de multiplicación se lo puede definir también en términos de las relacionesde balance de neutrones, es decir como la razón entre la velocidad de producción deneutrones en el reactor y la velocidad de pérdida de neutrones (absorción y captura)en el reactor.
k =P (t)
L(t)(6.94)
Donde P (t) es la tasa de producción de neutrones y L(t) la tasa de pérdida deneutrones.Si se introduce el concepto de tiempo de vida del neutrón (tiempo promedio depermanencia del neutrón desde que aparece como resultado de la fisión hasta que esabsorbido o capturado en algún núcleo de los materiales que componen el reactor ose fuga del mismo) como:
ℓ =N(t)
L(t)(6.95)
siendo N(t) el número de neutrones en el reactor al tiempo t.Una ecuación de balance para la población neutrónica se puede entonces escribircomo:
dN(t)
dt= P (t)− L(t) (6.96)
dN(t)
dt=k − 1
ℓN(t) (6.97)
Suponiendo a k y ℓ independientes del tiempo y la condición inicial N(0) = N0
N(t) = Noet/τ (6.98)
con
τ =ℓ
k − 1(6.99)
al cual se lo llama “período del reactor” y se lo puede entender como tiempo derelajación del sistema, es decir, el tiempo requerido para modificar la población de
6.7 Fisión nuclear 225
neutrones por un factor e = (2, 7118 . . .).Si k > 1, τ toma valores positivos y la densidad de neutrones crece exponencialmenteen el tiempo. Si por el contrario, k < 1 entonces τ toma valores negativos y la den-sidad neutrónica decrece exponencialmente en el tiempo. Si el sistema es crítico, lapoblación permanece igual a la inicial.
N(t)
t
k > 1
k = 1
k < 1
N0
Figura 6.19: Dependencia de la población de neutrones en el factor k.
6.7.3 Teoría de transporte de neutrones
La distribución de neutrones en el dispositivo permite determinar la velocidad a laque ocurren las diferentes reacciones nucleares que se dan en el reactor. Del com-portamiento de la población neutrónica en el reactor podemos inferir acerca de laestabilidad de la reacción de fisión en cadena.Para determinar la distribución de los neutrones en el reactor es preciso considerar elmovimiento de ellos dentro del núcleo del reactor, sus colisiones (dispersiones y ab-sorciones) y sus fugas. En otras palabras hay que plantear su ecuación de transportede Boltzmann.El conocimiento de la función de distribución es de poco interés ya que es difícilasociarla a cantidades físicas observables experimentalmente, se prefiere trabajar conpromedios, es decir, densidad media, velocidad media, etc. Utilizando este procedi-miento es posible obtener la ecuación de Boltzmann para la función de distribuciónreducida para una partícula.Por facilidad, se obtiene la ecuación de transporte de neutrones como una ecuaciónde balance.Dos definiciones importantes son:
1. Sea N(~r, t)d3~r el número promedio de neutrones en un elemento de volumend3~r alrededor de ~r en el tiempo t (no es la función más general que se puededefinir).Si v es la velocidad de los neutrones y Σ la sección eficaz macroscópica de unproceso determinado, entonces la densidad de velocidad de reacción esta dadapor: vΣN(r, t)d3~r.
2. Sea el flujo neutrónico se define:
ψ(~r, t) = vN(~r, t) (6.100)
Un análisis más detallado del balance neutrónico requiere la definición de sus fun-ciones de distribución angular y en energía. Se introduce la distribución de densidad
226 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
neutrónica angular tal que la cantidad
n(~r,E, ~Ω, t)d3~r · dE · d~Ω (6.101)
representa el número promedio de neutrones en el elemento de volumen dV ≡ d3~ralrededor de ~r, en el tiempo t con energías entre E y E+dE y moviéndose en un ángulosólido dω en una dirección dada por ~Ω. De igual manera se define una distribuciónde flujo neutrónico angular como:
φ(~r,E, ~Ω, t) = vn(~r,E, ~Ω, t) (6.102)
la densidad de corriente angular se define como:
~j(~r,E, ~Ω, t) = v~Ωn(~r,E, ~Ω, t) (6.103)
Note que,
N(~r, t) =
∫dE
∫n(~r,E, ~Ω, t)d~Ω (6.104)
ψ(~r, t) =
∫dE
∫φ(~r,E, ~Ω, t)d~Ω (6.105)
además~J(~r, t) =
∫dE
∫~j(~r,E, ~Ω, t)d~Ω (6.106)
La rapidez de cambio de la densidad neutrónica angular en d3~r · dE · dΩ esta dadapor:
∂
∂tn(~r,E, ~Ω, t)d3~rdEd~Ω = [Ganancias − Perdidas] d3~r · dE · dΩ (6.107)
En el término de ganancias contribuyen las fuentes de neutrones y los neutrones queson dispersados dentro del elemento d3~r · dE · d~Ω como resultado de colisiones en otroselementos.
1. Las fuentes de neutrones se las describe mediante la función S(~r,E, ~Ω, t) talque al multiplicarla por d3~rdEdΩ da el número de neutrones que aparecen porunidad de tiempo en d3~r · dE · dΩ al tiempo t.
2. Los neutrones que son dispersados dentro de d3~r · dE · dΩ por colisiones dentrode otros elementos son:
d3~r · dE · dΩ∫
4πdΩ
′
∫ ∞
0dE
′
Σ(~r,E′ → E, ~Ω
′ → ~Ω)φ(~r,E′
, ~Ω′
, t) (6.108)
En donde se ha definido:
Σ(~r,E′ → E, ~Ω
′ → ~Ω) ≡ Σs(~r,E′
)P (~r,E′ → E, ~Ω
′ → ~Ω) (6.109)
note queΣs(~r,E
′
)φ(~r,E′
, ~Ω′
, t) (6.110)
6.7 Fisión nuclear 227
es el número de dispersiones por unidad de tiempo en d3~rdE′dΩ
′al tiempo t, y
P (~r,E → E′
, ~Ω→ ~Ω′
)dEdΩ (6.111)
la probabilidad de que una dispersión en el punto ~r de un neutrón con energía E′y
dirección ~Ω′lleve a que el neutrón termine con energía entre E y E + dE y dirección
~Ω′dentro del ángulo sólido dΩ.
A las pérdidas contribuyen:
1. Las dispersiones que arrojan a los neutrones fuera del intervalo de energía yángulo sólido considerado. Estas dispersiones por unidad de tiempo serán:
Σs(~r,E)φ(~r,E, ~Ω, t)d3~r · dE · dΩ (6.112)
Las absorciones, es decir, el número de neutrones que son absorbidos por unidad detiempo en el rango de energía y ángulo sólido considerado, y que son simplemente:
Σa(~r,E)φ(~r,E, ~Ω, t)d3~r · dE · dΩ (6.113)
Los neutrones que se fugan por unidad de tiempo del elemento en consideración comoresultado del transporte de los mismos, esta dado por:
dEdΩ
∫~j(~r,E, ~Ω, t) · d ~A (6.114)
utilizando el teorema de la divergencia de Gauss, la expresión viene a ser:
dEdΩ
∫d3~r ~Ω · ∇φ(~r,E, ~Ω, t) (6.115)
La ecuación de balance toma la forma:[1
v
∂
∂t+ ~Ω ·∇+Σt(~r,E)
]φ(~r,E, ~Ω, t) =
∫
4πdΩ
′
∫ ∞
0dE
′
Σ(~r,E′ → E, ~Ω
′ → Ω)φ(~r,E′
, ~Ω′
, t) + S(~r,E, ~Ω, t) (6.116)
donde Σt = Σa +Σs es la sección eficaz total macroscópica.
La ecuación de balance de neutrones es limitada en el análisis de reactores por sucomplejidad intrínseca, sin embargo es el punto de partida para la obtención de laecuación de difusión de neutrones.Una simplificación inicial consiste en suponer que no hay intercambio de energíacuando un neutrón sufre una colisión con los núcleos del medio, lo que implica trabajarcon los neutrones a una única energía (ecuación de transporte mono-energética)Si se selecciona las secciones eficaces apropiadas, esta aproximación provee una buenadescripción de un reactor nuclear.Bajo esta aproximación se tiene que:
Σ(~r,E′ → E, ~Ω
′ → Ω) = Σ(~r, ~Ω′ → Ω)δ(E
′ −E) (6.117)
228 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
siendo δ(E′ −E) la función delta de Dirac.
La ecuación de balance queda:[1
v
∂
∂t+ ~Ω ·∇+Σt(~r)
]φ(~r, ~Ω, t) =
∫
4πdΩ
′
Σ(~r, ~Ω′ → Ω)φ(~r, ~Ω
′
, t) + S(~r, ~Ω, t) (6.118)
que se la puede re-escribir como:
1
v
∂
∂tψ(~r, t) +∇ · ~J(~r, t) + Σt(~r)ψ(~r, t) =
ΣS(~r)ψ(~r, t) + S(~r, t) (6.119)
Para encontrar una relación entre ψ y ~J se consideran los dos primeros términos deldesarrollo en serie siguiente:
φ(~r, ~Ω, t) =1
4π
[A(~r, t) + 3 ~B(~r, t) · ~Ω+ · · ·
](6.120)
lo que implica que se está suponiendo que la distribución de neutrones tiene unapequeña dependencia angular, es decir, es “casi isótropa”.Note que si a esta última ecuación se la integra en un ángulo sólido, se tienenψ = A, y si se multiplica por ~Ω y luego se integra en todo el ángulo sólido, setiene, ~B(~r, t) = ~J(~r, t).
Sustituyendo el desarrollo en la ecuación de balance se tiene:
1
v
∂
∂t~J(~r, t) +
1
3∇ψ(~r, t) + Σtr(~r) ~J(~r, t) = F (~r, t) (6.121)
donde Σtr es la sección eficaz macroscópica de transporte, definida como: Σtr =Σt − µΣs siendo µ el coseno promedio del ángulo de dispersión y
F (~r, t) =
∫dΩ · ~ΩS(~r, ~Ω, t) (6.122)
la función fuente.La ecuación de balance escrita en las dos formas previas se le conoce como ecuacionesP1 y es equivalente a desarrollar el flujo angular en serie de polinomios de Legendrey retener solamente los dos primeros términos.Se introducen dos aproximaciones adicionales para simplificar estas ecuaciones. Laprimera es considerar la fuente de neutrones isótropa, es decir,
S(~r, ~Ω, t) =S(~r, t)
4π(6.123)
6.7 Fisión nuclear 229
mientras que la segunda establece que el término 1v∂∂t~J(~r, t) es despreciable en la
ecuación en comparación a los restantes.Si inicialmente se considera el caso de ausencia de fuente, se tiene que:
~J(~r, t) = −D(~r)∇ψ(~r, t) (6.124)
que se la conoce como la ecuación de Fick y
D(~r) =1
3Σtr(6.125)
La otra forma de la ecuación de balance, con estas aproximaciones, queda:
1
v
∂
∂tψ(~r, t)−∇ · [D(~r)∇ψ(~r, t)] + Σa(~r)ψ(~r, t) = S(~r, t) (6.126)
esta ecuación se la conoce como las ecuación de difusión de neutrones y es fundamen-tal en el análisis de reactores nucleares.
Para un medio homogeneo está ecuación toma la forma:
1
v
∂
∂tψ(~r, t)−D∇2ψ(~r, t) + Σa(~r)ψ(~r, t) = S(~r, t) (6.127)
Las soluciones de esta ecuación dependen de sus respectivas condiciones iniciales yde frontera. La primera, la condición inicial, toma la forma sencilla:
ψ(~r, 0) = ψ0(~r) (6.128)
mientras que las segundas, es decir, las condiciones de frontera, pueden considerarsecomo:
1. Valores de frontera en el infinito. El flujo de neutrones debe permanecerfinito y positivo en cualquier lugar del medio difusor excepto en la vecindadinmediata de una fuente de neutrones.
2. Valores de frontera en interfases. El flujo y la densidad de corriente debenser continuos en cualquier lugar en el interior del medio dispersor, excepto enuna fuente de neutrones en donde la corriente es discontinua.
3. Valores de frontera entre un medio material y el vacío. Ningún neutrónretorna al medio dispersor desde el vacío. Esta condición no puede ser satis-fecha exactamente en la aproximación de difusión, así que se la sustituye poruna condición más débil la cual consiste en establecer que el número neto deneutrones que retorna al medio dispersor del vacío es cero.Para una geometría plana
∫
Ωx>0d~Ω ·Ωxφ(xs,Ωx, t) = 0 (6.129)
230 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
donde xs representa cualquier punto de la interfase. Esta condición se reduce a:
1
ψ
∂ψ
∂x= − 1
2D(6.130)
si en la vecindad de la frontera se reemplaza con una función lineal
ψ(x, t) = ψ(0, t)(1 + ax) (6.131)
inmediatamente se tiene que
a = − 1
2D= −3Σtr
2(6.132)
expresión que muestra que el flujo no se anula sino que por el contrario seextrapola linealmente a cero en el punto
z0 =2
3Σtr=
2
3λtr (6.133)
fuera de la frontera. A la cantidad z0 se le denomina el punto final de extra-polación lineal o distancia de extrapolación. En general, el flujo cerca de lafrontera no es lineal, si la forma real del flujo se extrapola a cero se obtendríaun punto final diferente. Entonces en la interfase medio dispersor-vacío, el flujose debe calcular como si se anulara a la distancia z0 más allá de la frontera.Es importante recalcar que esto es solo un artificio matemático para el calculode la distribución de neutrones dentro del reactor y de ninguna manera quieredecir que el flujo de neutrones se hace cero en ese punto.
La validez de aplicación de la teoría de difusión. Como el flujo fue desarrolladoen serie en ~Ω y solo se incluyeron los términos de orden cero y uno, entonces si elflujo es altamente anisótropo, la aproximación de difusión no es válida. Esto ocurreen medios caracterizados por secciones eficaces de absorción altas o cualquier mediosuficientemente cercano a una frontera (algunas trayectorias libres medias). La teoríade la difusión no es adecuada para describir el sistema si también las secciones eficacesson funciones que varían rápidamente con la posición.
6.7.4 Modelo mono-energético de un reactor nuclear
Debido a que este modelo es mono-energético, la presencia del moderador no es ne-cesaria, sin embargo, para hacer de este modelo algo significativo, el moderador,refrigerante y materiales estructurales se encontrarán mezclados con el material fi-sionable. En este modelo se considera que ν neutrones son emitidos por fisión. Deestos neutrones algunos son absorbidos en materiales diferentes al combustible, otrosabsorbidos por el combustible sin dar lugar a fisiones, y otros se fugan del sistema.Como se requiere que la reacción se auto-sostenga con los neutrones producidos por
6.7 Fisión nuclear 231
fisión, el término fuente en la ecuación de difusión estará dado por:
ν ·Σf (~r)ψ(~r, t) (6.134)
Así que la ecuación que describe el modelo de reactor propuesto será:
1
v
∂
∂tψ(~r, t)−∇ · [D(~r)∇ψ(~r, t)] + Σa(~r)ψ(~r, t) = ν ·Σf (~r)ψ(~r, t) (6.135)
Si se considera que el reactor es homogéneo, entonces las secciones eficaces y el coefi-ciente de difusión no dependen de la posición. Más aún si se supone que la dependenciatemporal del flujo está dada por:
ψ(~r, t) = ψ(~r) exp(−Λt) (6.136)
(Σa − ν ·Σf −D∇2
)ψ(~r) =
Λ
vψ(~r) (6.137)
De la dependencia en tiempo supuesta para el flujo podemos concluir que para Λ = 0se tiene un estado estacionario. Para Λ > 0 la densidad neutrónica decae exponen-cialmente y si Λ < 0 el flujo se incrementa exponencialmente (lo que hace intuir unaconexión con entre Λ y k).
La solución de esta ecuación se la puede considerar como una superposición delas soluciones de la ecuación de valores propios:
∇2ψn(~r) +B2nψn(~r) = 0 (6.138)
con los mismos valores de frontera. Es decir,
ψ(~r) =∑
n
Anψn(~r) (6.139)
con An constantes a determinar de acuerdo con las condiciones del problema.
Hasta aquí con el análisis de la ecuación de transporte de neutrones para teoríade reactores.
6.7.5 Sistemas de generación nuclear de potencia
Las centrales nucleares que operan hoy en día se pueden clasificar de acuerdo con laclase de reactores que poseen y a la forma como su energía es empleada. Así,Los reactores enfriados con agua ligera de ciclo indirecto (reactores de agua pre-surizada PWR) y ciclo directo (reactores con agua en ebullición BWR). Tambiénlos reactores pueden ser enfriados con agua pesada, se los llama del tipo CANDU ,o enfriados por gas (HGTR), o enfriados por metal líquido como el sodio (LMFBR).
La mayor parte de las centrales nucleares operan en un ciclo de vapor, en los
232 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
cuales, el vapor presurizado hace mover una turbina que convierte parte del calorde entrada en energía mecánica y posteriormente en eléctrica. En las centrales nu-cleares la energía que se produce por fisión se utiliza para producir vapor, el cualse usa directamente, (BWR) o con intercambiadores de calor normalmente llamadosgeneradores de vapor (PWR, HTGR, LMFBR, etc) que luego moverán las turbinas.
Después de que el vapor ha pasado a través de la turbina, el calor no aprovechadoes generalmente desechado a través de condensadores de vapor localizados despuésde la salida de vapor de la turbina. El agua condensada es entonces comprimiday bombeada de regreso al generador de vapor. Esto completa el ciclo de vapor. Laeficiencia total de una central nuclear se expresa como:
η =W
QR(6.140)
siendo W la energía eléctrica de salida del generador (Megawatts eléctricos) y QR laenergía térmica de salida del reactor.
La diferencia entre QR y W es la suma del calor en el sistema y el calor cedido alenfriador del condensador.Los reactores de agua liviana requieren que el combustible sea enriquecido al menosen un 2, 5% ya que la absorción de neutrones por el agua impide alcanzar la criticidaddel reactor con Uranio natural. Sin embargo los reactores que utilizan agua pesadao grafito como moderadores pueden alcanzar la criticidad usando como combustibleuranio natural (en realidad son pastillas o cápsulas de óxido de uranio UO2 de 1 cm.de diámetro y 1, 5 cm. de altura de densidad 10 g/cm3, encapsuladas en varillas dealeación de zirconio, que forman la barra de combustible).
6.8 Fusión Nuclear
El proceso que combina dos núcleos ligeros dando lugar a uno más pesado es lo quese conoce con el nombre de fusión nuclear. Este proceso libera una cierta cantidadde energía. El control de esta energía llevaría al desarrollo de lo que se conoce comoreactor de fusión nuclear. Un reactor de fusión sería una fuente casi ilimitada de ener-gía para el planeta. La energía obtenida por fusión tiene varias ventajas con aquellaproducida por fisión, especialmente con el hecho de que los productos de la fusión sonnúcleos livianos y no radiactivos. Sin embargo hay una gran desventaja que ha impe-dido hasta el momento el desarrollo de los reactores de fusión y ésta es que, puestoque dos núcleos livianos deben fusionarse, deben sobrepasar sus respectivas repul-siones coulombicas. Este problema puede ser sobrellevado calentando el contenedorde los núcleos a fusionarse (confinamiento) a temperaturas tales que se venza dicharepulsión (1011K), por lo cual el proceso toma el nombre de fusión termo-nuclear. ElSol es un reactor de fusión natural dentro del cual se consiguen las condiciones parael proceso de fusión mediante gravedad (confinamiento gravitacional).
6.8 Fusión Nuclear 233
6.8.1 Reacciones básicas
Aunque en principio la reacción de fusión más eficiente sería
H2 + H2 → He4 + γ (6.141)
puesto que el Q de la reacción es 23, 8 MeV. Sin embargo, esta reacción no se observaexperimentalmente, puesto que el Helio no puede acomodar este valor de energía in-ternamente (no tiene estados excitados), y además esta energía es mayor a la energíade separación de los nucleones en el Helio.
Las reacciones que si se producen son:
H2 + H2 → He3 + n (Q = 3, 3 MeV)H2 + H2 → H3 + p (Q = 4, 0 MeV)
(6.142)
a las cuales se las conoce como reacciones D −D (Deuterio−Deuterio).
Una reacción también importante dentro del proceso de fusión es la D − T(Deuterio− Tritio).
H2 + H3 → He4 + n (Q = 17, 6 MeV) (6.143)
A causa de que la energía liberada en esta reacción es mayor, ésta es la escogida parael estudio de reacciones de fusión controladas. Sin embargo, la desventaja de estareacción es que la mayoría de energía es cedida al neutrón (14, 1 MeV).
La fusión de cuatro protones lleva en últimas a la formación de He4 proceso pre-sente en las estrellas y en particular en el sol. El proceso de fusión en el sol no seconsidera en este texto.
La principal reacción utilizada actualmente en los prototipos de los reactores defusión es la D−T , utilizando el confinamiento electromagnético (Tokamak); sin em-bargo se ha desarrollado instalaciones tales como el Lawrence Laboratory, donde serealiza la fusión en confinamiento inercial (en este caso particular, mediante la inci-dencia de luz láser). El confinamiento inercial en un futuro usará haces de partículas.
6.8.2 Características generales de la fusión
Si se considera que la reacción de fusión es
A(a, b)B (6.144)
La energía liberada en la fusión es compartida por las partículas producto. Es decir,considerando que las energías cinéticas de las partículas incidentes son pequeñas con
234 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
relación al valor de Q, se tiene que
Q =1
2mbv
2b +
1
2mBv
2B (6.145)
donde los sub-índices b y B corresponden a las partículas producto.
La barrera de Coulomb para las partículas incidentes toma la forma,
Vc =ZaZAe
2
Ra +RA(6.146)
siendo los Ra y RA los radios de las partículas iniciales.
La barrera de potencial depende exponencialmente de ZaZA por tanto, la probabi-lidad de fusión decrece rápidamente con ZaZA. Para la reacción D−T , Vc = 0, 4 MeV.
Para producir la fusión en un plasma de cierta densidad de iones es necesario defi-nir el tiempo en el que podemos mantener al plasma a una temperatura que permitael proceso.Sea τ el tiempo de confinamiento, y sea Prad la potencia perdida por radiación enel plasma (esta potencia tiene principalmente dos contribuciones: la pérdida porbreemsstrahlung y la pérdida por radiación de ciclotrón).
Si se considera un cierto volumen de plasma en el tiempo de confinamiento, laenergía, digase de entrada Ei, tiene que ser menor a la energía de salida Es.La energía de entrada será aquella necesaria para mantener al plasma en condicionesde mantener el proceso de fusión. No toda la energía de entrada (o que se invierte)mantendrá al plasma en condiciones óptimas sino solamente una fracción. Si ε esdicha fracción (o eficiencia), entonces,
Ei =3nkT + τPrad
ε(6.147)
siendo n el número de iones de una especie.
La energía de salida será:
Es = 3nkT + τPrad + τPfus (6.148)
y por tanto,3nkT + τPrad + τPfus ≥ (3nkT + τPrad)/ε (6.149)
que representaría la condición para que se produzca la ignición, es decir, que la pro-ducción de energía por fusión sea auto-sustentada. Generalmente se suele representaresta condición por un valor del factor nτ .Así para reacciónes D − T se encuentra que nτ ≥ 1014s/cm3. Para el caso de las
6.8 Fusión Nuclear 235
reacciones D −D este valor es mayor en dos ordenes de magnitud9.La determinación de la potencia de fusión requiere la determinación de la seccióneficaz de fusión, la cual se analiza a continuación.La sección eficaz de fusión se la puede adaptar de la consideración general hecha enreacciones nucleares
σ ∝ 1
v2e−2G (6.150)
siendo G el factor de Gamow definido anteriormente.
Figura 6.20: Secciones eficaces de fusión.
La tasa de reacción multiplicada por la energía por reacción permite conocerla densidad de potencia. La tasa de reacción de una reacción nuclear depende delproducto “σ · v”. Para fusiones termonucleares las partículas tendrán una función dedistribución de velocidades de Maxwell de manera que:
∫∫
~v1 ~v2
|~v1 − ~v2|σ (|~v1 − ~v2|) f(~v1)f(~v2)d3 ~v1d3 ~v2 (6.151)
Cambiando de variables a la velocidad relativa y a la velocidad del centro de masa,la expresión puede reducirse a:
〈σv〉 ∝∫ ∞
0
1
ve−2Ge−mv
2/2kT v2dv (6.152)
los valores correspondientes a este producto se muestran a continuación,
9Se lo llama criterio de Lawson
236 Características Fundamentales de las Reacciones Nucleares
Figura 6.21: Valores medios de σv para la fusión termonuclear.
La energía liberada por unidad de volumen de las reacciones de fusión en el plasmaes:
Efusión =1
4n2〈σv〉Qτ (6.153)
siendo n la densidad de los reactantes, Q la energía liberada por reacción y τ es eltiempo de confinamiento de plasma de modo que las reacciones ocurran.
6.8.3 Reactores de fusión
El control de las reacciones de fusión y la extracción de la energía utilizable de éstasse basa en el calentamiento del combustible termonuclear hasta temperaturas del or-den de 108K (10 keV de energía cinética media de las partículas) y simultáneamenteel mantener una densidad alta un tiempo suficiente para que la tasa de reaccionesde fusión sea lo suficientemente grande para generar la potencia deseada. A estastemperaturas los átomos se ionizan y, por tanto, el combustible es un plasma.El problema de confinamiento de plasma es un gran problema puesto que cualquierintercambio de calor con el contenedor enfriaría el combustible y derretiría el conte-nedor mismo. Son dos los tipos de confinamiento que se encuentran bajo estudio:
1. El confinamiento magnético. Confina el plasma por medio de campos magnéti-cos diseñados cuidadosamente.
2. Confinamiento inercial. Una bola sólida es repentinamente calentada y confina-da por bombardeo de haces de partículas o fotones en múltiples direcciones.
6.8 Fusión Nuclear 237
Aún si el plasma esta confinado hay muchas formas de que éste pierda su energía,un mecanismo de perdida de energía importante en este caso es el bremsstrahlung.Cuando dos partículas se dispersan su aceleración producirá la emisión de radiacióny la consecuente pérdida de energía. La emisión de radiación es proporcional al in-verso de la masa de la partícula, por tanto son los electrones los que perderán grancantidad de energía, y como ellos se encuentran en equilibrio térmico con los iones,todo el plasma perderá energía. La perdida de energía de los iones hace más difícil lapenetración de la barrera de potencial para producir el proceso de fusión.La siguiente figura muestra la comparación las pérdidas por bremsstrahlung con lapotencia de salida de las reacciones DD y DT .
Figura 6.22: Potencia de pérdida por bremsstrahlung y potencia de salida de las reaccionesde fusión (densidad de iones 1021 por m3).
Ejercicios
1. En un plasma de fusión, una mezcla de 50−50 de deuterio y tritio debería teneruna densidad de 1021 iones/m3 y un equivalente de temperatura de 10 keV.¿Cuál es la densidad en (kg/m3) de dicha mezcla? ¿Cuál es la presión?
2. En un reactor de fusión, la reacción H3(d, n) procede con una rapidez tal queproporciona una densidad de potencia de 100 W/cm3. Póngase atención en uncentímetro cúbico de este reactor. ¿Cuál es la dosis equivalente debida a losneutrones a una distancia de 10 metros? Suponga que no hay blindaje.
Capítulo 7
Introducción a la Física dePartículas Elementales
En el capítulo primero de este libro se hizo una pequeña descripción de la situaciónactual de la física nuclear, la cual describe precisamente, de una manera rápida, el mo-delo estándar de partículas elementales. En este capitulo se detalla dicha descripciónen lo referente a los fundamentos generales de la física de partículas, su clasificación,sus propiedades y sus interacciones.
7.1 Introducción histórica
El descubrimiento del neutrón permitió completar el modelo del núcleo atómico y deesta manera el del átomo. El átomo entonces esta formado por un núcleo atómico,compuesto de protones y neutrones, y una nube electrónica formada por un númerode electrones igual al de protones. Los sistemas formados de esta manera, dependien-do del número de protones en su núcleo, definen el elemento. En la naturaleza existen92 elementos naturales (y se han forjado hasta el 118). Al parecer la mayor partede toda la materia en el universo esta formada por electrones, protones y neutrones.Sin embargo, el estudio experimental de los rayos cósmicos, al interaccionar con losátomos de la atmósfera superior de la Tierra, mostró la presencia de varias partículas,que viven un instante de tiempo pequeño y luego se desintegran en partículas esta-bles. Entre estas se tiene al muón (que se la confundió inicialmente con la partículaplanteada por Yukawa como la mediadora de la interacción fuerte entre nucleones,el pión), piones, kaones y otras, sin mencionar el descubrimiento del positrón comoanti- partícula del electrón.Por otra parte, estas partículas interaccionan entre sí a través de las siguientes fuerzasfundamentales de la naturaleza conocidas hasta la fecha: la electromagnética, la fuer-te (responsable de mantener unidos en el núcleo atómico a los protones y neutrones),la débil (causante del decaimiento beta de algunos elementos) y la gravitatoria. Conel advenimiento de los aceleradores de partículas la proliferación de partículas fueextrema y se tuvo que clasificarlas de la siguiente manera:
• Leptones. Partículas de spin 1/2 que no interaccionan fuertemente: e−, µ−, τ−,
239
240 Introducción a la Física de Partículas Elementales
neutrinos.
• Hadrones: Partículas que interaccionan fuertemente. Se las agrupa en:Bariones. Los bariones tienen spin semi-entero (ejemplo: p, n, Σ, Ξ, δ).Mesones. Los mesones tienen spin entero (ejemplo: π, K, δ, η).
Posteriormente nos dimos cuenta que los hadrones no eran partículas elementales sinosistemas compuestos de partículas elementales llamados quarks. Los bariones son sis-temas de tres quarks y los mesones son sistemas quark-antiquark.Con las interacciones electromagnética, débil, fuerte y gravitacional.
El estudio de las partículas elementales se realiza en base a colisiones. Inicialmentese requiere unos cuantos electrón-voltios (eV) para ver que el átomo esta conformadopor electrones. Rutherford mediante la incidencia de partículas alfa de unos pocosmega-electrón-voltios (MeV) descubrió el núcleo atómico dentro de la estructura ató-mica. Si se quiere ir más profundo en este viaje de exploración se requiere mayorenergía de las partículas incidentes. Existen dos maneras de obtener haces de partí-culas de mayor energía: los rayos cósmicos (haces de partículas erráticas en energía ynaturaleza) y los aceleradores de partículas (haces controlados). Los aceleradores quese han desarrollado permiten colisionar protones con protones o anti-protones (colisio-nes llamadas “sucias” pues las partículas que chocan tienen una estructura interna),electrones con positrones (cuya colisión es mas limpia pues se consideran partícu-las elementales) y colisiones mixtas tales como electrones con protones o neutrones.Algunos aceleradores se presentan en la siguiente tabla.
Tabla 7.1: Principales aceleradores.
NOMBRE LUGAR ENERGÍA Y PARTÍCULASDESY Hamburgo Alemania 1964 3.8 GeV electrones y positronesSLAC Standford California 1966 7 GeV electrones
Serpukhov URSS 1967 12 GeV protonesADONE Frascati Italia 1969 3 GeV electrones y positrones
ISR CERN Ginebra 1971 62 GeV protonesFermi Lab Chicago USA 1972 32 GeV protonesSPEAR Standford California 1973 4.4 Gev electrones y positrones
Super-proton-Syncrotron CERN 1976 30 GeV protonesPETRA Hamburgo Alemania 1978 38 GeV electrones y positrones
PEP Standford California 1980 36 GeV electrones y positronesCollider CERN 1981 540 GeV protonesTevatron Chicago Illinois 1986 2000 GeV protones y anti protones
SLC Standford California 1986 100 GeV electrones y positronesLEP CERN 1987 100 GeV electrones y positronesKEK Tsykuba Japon 1987 60 GeV electrones y positrones
HERA Hamburgo Alemania 1992 310 GeV electrones y positronesLEP-200 CERN 1997 210 GeV electrones y positrones
LHC CERN 2010 14000 GeV protones
7.2 Modelo estándar 241
7.2 Modelo estándar
La física de partículas, hoy en día, esta descrita por el “Modelo Estándar”. Estemodelo clasifica a las partículas elementales en dos grandes familias: los leptones ylos quarks. Cada familia esta formada por tres pares (o generaciones) de partículas.Cada partícula tiene su correspondiente anti-partícula. Tanto los leptones como losquarks son partículas de spin 1/2, es decir, son fermiones1. Algunas poseen cargaeléctrica y otras no, como se muestra el la figura y tabla siguientes:
0−12/3−1/3
(νee
) (νµµ
) (νττ
)
(ud
) (cs
) (tb
)interacción
fuerteSU(3)
interacciónelectromagnética
U(1)
interaccióndébil
electro-débilSU(2)× U(1)
SU(2)
Leptones
Quarks
Q
Figura 7.1: Esquema de los ladrillos fundamentales de la naturaleza según el modelo es-tándar e interacciones. La primera columna señala la carga eléctrica de las partículas. Lasinteracciones entre ellas las median partículas virtuales de spin uno llamados bosones de
interacción.
Tabla 7.2: Carga eléctrica y “masas aproximadas” de leptones y quarks.
Leptones Quarks
Tipo o SaborMasaGeV/c2
Cargaeléctrica
Tipo oSabor
Masa a
GeV/c2Carga
eléctricaElectrón e 0.000511 -1 Up u 0.003 2/3
Neutrino νe < 7× 10−9 0 Down d 0.005 −1/3Muón µ 0.106 -1 Charm c 1.5 2/3
Neutrino νµ < 0,0003 0 Strange s 0.1 −1/3Tao τ 1.7771 -1 Top t 172 2/3
Neutrino ντ < 0,03 0 Bottom b 4.7 −1/3aNote que las masas del los quarks u y d son pequeñas en comparación a la del nucleón
resultante.
Tanto los leptones como los quarks interaccionan a través de las cuatro interac-ciones fundamentales (conocidas hasta ahora: gravitatoria, electromagnética, débil yfuerte) las cuales se tabulan a continuación. Los leptones son inmunes a la interac-ción fuerte (no poseen çarga de color"). De acuerdo con la teoría cuántica de campos,las interacciones están mediadas por el intercambio de partículas virtuales las cualestienen spin 1. La interacción gravitatoria no tiene actualmente una teoría cuántica(representa “el problema” de la física del siglo XXI). Las intensidades relativas de las
1Los fermiones son partículas de spin semi-entero (cumplen con el principio de exclusión dePauli). Los bosones son partículas de spin entero (no satisfacen el principio de exclusión de Pauli).
242 Introducción a la Física de Partículas Elementales
interacciones (referidas a la interacción fuerte entre dos protones) se muestran en lasiguiente tabla.
Tabla 7.3: Interacciones Fundamentales de la naturaleza.
Interacción Actúa sobre: Intensidad relativaPartículas que median
la interacciónGravitacional Masa-Energía 10−38 Gravitón???
ElectromagnéticaEléctricamente
-cargadas1/137
Fotones γSin carga, sin masa
Débil Sabor 10−5 W+, W− (80,22 GeV/c2)Z0(91,187 GeV/c2)
Fuerte Carga de color 1-10 8 Gluones g (sin masa)
Resumiendo, se podría mencionar que el modelo estándar está constituido por 12fermiones y sus antipartículas, 13 bosones, donde se incluye el bosón de Higgs queserá discutido posteriormente (y como se ha mencionado, este modelo no incluye a lagravedad). Los números cuánticos asociados a los quarks se tabulan a continuación yse discutirán más adelante.
Tabla 7.4: Sabores de quarks (cada quark viene en tres colores) y sus números cuánticos.
Quarks B I I3 S C B Tu (up) 1/3 1/2 1/2 0 0 0 0d (down) 1/3 1/2 -1/2 0 0 0 0c (charm) 1/3 0 0 0 1 0 0s (strangeness) 1/3 0 0 -1 0 0 0t (truth) 1/3 0 0 0 0 0 1b (beauty) 1/3 0 0 0 0 -1 0
Donde:
• B es el número bariónico.
• I es el Spin isotópico.
• I3 es la componente en z del spin isotópico.
• S es el número cuántico extrañeza.
• C es el número cuántico encanto.
• B es el número cuántico belleza.
• T es el número cuántico verdad.
7.3 Interacciones 243
7.3 Interacciones
Las interacciones, a excepción de la gravedad2, han sido satisfactoriamente descritaspor la teoría cuántica de campo, donde la interacción se representa como el intercam-bio de partículas virtuales, cuya masa depende en parte del rango de la interacción.Las intensidades de las interacciones están descritas a través de las constantes deacoplamiento de las mismas. Una rápida descripción de las interacciones se realiza acontinuación:
7.3.1 Propiedades generales de las interacciones
• Interacción gravitatoria (Gravedad), representada por un potencial de la forma:
V (r) = GNm2
r
GN~c
= 6, 7 × 10−39 (GeV/c2)−2 (7.1)
siendo GN la constante de la gravitación universal y m la masa de la partícula.La teoría que describe la interacción gravitatoria es la relatividad general deEinstein y es una teoría clásica. Considera la interacción gravitacional comouna deformación del espacio-tiempo por la presencia de la masa y la energía.
• Interacción electromagnética, representada por un potencial tipo Coulomb.
V (r) =e2
r
siendo e la carga eléctrica elemental.La energía aproximada en un intervalo de longitud es: e2 = 1, 44 MeV · fm.(1fm = 10−15m)
e2
~c=
1
137(7.2)
La electrodinámica cuántica QED es la teoría que describe esta interacción conuna precisión extraordinariamente buena.
• Interacción Fuerte, causante de la existencia del núcleo atómico, sistema forma-do por protones y neutrones. Es de rango corto y se la puede representar porun potencial tipo Yukawa.
V (r) = g2se−r/a
r
donde g2s es la constante de acoplamiento de la interacción, y su rango aproxi-mado es
a ≈ ~
mπc
2Una teoría cuántica de la gravedad representa el problema principal de la física contemporánea,varias décadas de estudios en teorías tales como: la “teoría de cuerda” no han sido suficientes paradescifrar el problema de la gravedad.
244 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Siendo mπ la masa del mesón π (∼ 135 MeV)
La energía aproximada a 1fm es: 100 MeV
Del experimento se observa que la constante de acoplamiento es del orden
g2s~c
= 15 (7.3)
Esta interacción esta descrita en su escencia por la cromo-dinámica cuántica,QCD la misma que describe la interacción entre los quarks, y se presenta soloentre los 3 pares de quarks, cada uno de tres tipos o colores (rojo, azul, verde),además los quarks tienen carga eléctrica e interaccionan eléctrica y débilmente.La interacción fuerte entre quarks se realiza mediante el intercambio de gluones(los cuales no poseen masa y poseen doble carga de color)
• Interacción Débil, es de rango corto y también se la puede representar por unpotencial tipo Yukawa.
V (r) = g2we−r/a
r
donde g2w es la constante de acoplamiento de la interacción, y su rango es apro-ximadamente
a ≈ ~
mwc
siendo mw la masa del bosón W (∼ 90 GeV). Del experimento
g2w~c
= 0, 004 (7.4)
La teoría que la describe es la electro-débil, que la unifica con la electromagné-tica y las partículas que median la interacción débil son W+ W− y Z0.
Para estudiar un poco más a fondo las propiedades principales de las interac-ciones, es necesario hacer una pequeña revisión de la probabilidad de transiciónpor unidad de tiempo. Esto debido a que cualquier proceso (colisión o decai-miento) que involucre una interacción determinada, desde el punto de vistade la mecánica cuántica, puede considerarse como la transición de un sistemacuántico desde un estado inicial a un estado final.
7.4 Probabilidad de transición por unidad de tiempo (se-
gunda regla de oro de Fermi)
La probabilidad por unidad de tiempo de que un sistema mecánico cuántico, pase deun estado inicial a uno final, debido a una interacción descrita por un operador H,
7.4 Probabilidad de transición por unidad de tiempo (segunda regla deoro de Fermi) 245
esta dado por:
Wif =2π
~ρ(Ef )|〈i|H|f〉|2 (7.5)
donde ρ(Ef ) es densidad de estados finales (en energía), 〈i|H|f〉 es el elemento de lamatriz de interacción y representa
∫ψ∗fHψidq.
El sistema cuántico (partículas en colisión) estando en su estado inicial, formadopor las dos partículas antes de la colisión; pasa a su estado final, formado por laspartículas salientes después de la colisión, debido a su interacción (a través de H querepresenta el Hamiltoniano de la interacción). Así, el tiempo promedio de la transi-
ción (o tiempo de vida media de interacción) es: τ =1
Wficon una indeterminación
en energía del orden de Γ ≈ ~Wfi
Considerando los decaimientos radiactivos estudiados (alfa, beta y gamma) co-mo resultado de las diferentes interacciones, se calcula la densidad de estados parareacciones de tipo:
• Caso I. A→ B + CConociendo el estado de una de las partículas finales (incluido su estado despin), la densidad de estados, relacionada con la otra partícula, esta dada por:
ρ(E) = γV 4πp2dp
h3dE(7.6)
donde, γ es la multiplicidad debido al spin de la partícula, p y E son la canti-dad de movimiento y la energía de la segunda partícula y V es el volumen detrabajo.La densidad de estados se puede evaluar considerando las siguientes aproxima-ciones:
No relativista:
E =p2
2m
ρ(E) = γV 2π(2mc2)3/2
h3c3E1/2 (7.7)
RelativistaE2 = p2c2 +m2c4
ρ(E) = γV 4πE(E2 − E2
0)1/2
h3c3(7.8)
Ultra-relativistaE = pc
246 Introducción a la Física de Partículas Elementales
ρ(E) = γV 4πE2
h3c3(7.9)
• Caso II. A→ B + C +DSi se considera tan solo el caso de que una de las partículas finales se encuentraen un estado final conocido, y que la energía de transición se comparte principal-mente entre las otras dos partículas ET = EC +ED (tomando la aproximaciónultra-relativista para una de las partículas). La densidad de estados se la puedeescribir como,
ρ(ET ) = γ(V 4π)2E5
T
30(2π~c)6(7.10)
En este caso el factor γ representa el producto de multiplicidades de spin de lasdos partículas.
Si se estiman las probabilidades de transición3 (emisión) y los tiempos de vidamedia para las diferentes interacciones (con excepción de la gravedad). Estostiempos son referenciales y generalmente ayudan a dilucidar que tipo de inter-acción esta involucrada en una reacción en particular.
1. ElectromagnéticaEmisión de un fotón de 10 MeV por el núcleo. En este caso se debería utilizarla expresión de la densidad de estados ultra-relativista, así
ρ(E) ≈ 0, 66 × 10−6 MeV−1
Wfi = 6× 1015 s−1
Γ ≈ 4× 10−6 MeV
τ ≈ 1, 6 × 10−16 s
2. FuerteEmisión de un nucleón de 10 MeV por el núcleo, esta energía comparada con laen reposo del nucleón es muy pequeña, por tanto se usa la expresión de densidadde estados no relativista:
ρ(E) ≈ 0, 8× 10−3 MeV−1
Wfi ≈ 8× 1022 s−1
Γ ≈ 52, 8 MeV
τ ≈ 0, 12 × 10−22 s
Los sistemas que decaen por interacción fuerte tienen vidas medias muy cortas.
3. Débil3El valor hc = 1, 241 GeV · fm = 1241 eV ·nm
7.5 Anti-partículas 247
Emisión de campo leptónico de 10 MeV por el núcleo. En este caso se tiene que:
ρ(E) ≈ 1, 46 × 10−13 MeV−1
Wfi ≈ 14 s−1
Γ ≈ 9× 10−21 MeV
τ ≈ 0, 07 s
Sus vidas medias son largas por la debilidad de la interacción y por que ladensidad de estados es mucho menor.
Es importante enfatizar que los tiempos de vida media de las interacciones son radical-mente diferentes, por lo que podría servir de parámetro característico de la presenciade cierta interacción en un proceso determinado.
7.5 Anti-partículas
Aún cuando vivimos en un Universo formado de materia donde sus ladrillos fun-damentales han sido llamadas partículas elementales, exite también la anti-materia(anti-partículas que han sido observadas experimentalmente). Por tanto, además delas partículas elementales se tiene a las anti-partículas, éstas se forman en procesosde colisión y/o en decaimientos de algunas partículas producidas también a travésde colisiones. De una manera simple y concisa se podría decir que: cada leptón yquark, mencionado en la descripción del modelo estándar, poseé su correspondienteanti-partícula.
La descripción de la anti-materia aparece directamente y conjuntamente con la dela materia a través de la mecánica cuántica relativista. La generalización directa dela ecuación de Schrödinger al caso relativista, para una partícula libre, consideraríala ecuación relativista de la energía y se podría plantear una ecuación mediante elreeemplazo directo de los operadores correspondientes por las magnitudes dinámicas:
E2 = c2p2 +m2c4 (7.11)
Considerando el sistema natural de unidades4 donde c = ~ = 1 se tiene,
E2 = p2 +m2
−∂2ψ
∂t2= −∇2ψ +m2ψ
∂2ψ
∂t2−∇2ψ +m2ψ = 0 (7.12)
donde ψ representa la función de onda asociada a la partícula.
4En este sistema la masa esta dada en GeV; la longitud y el tiempo en GeV−1;
248 Introducción a la Física de Partículas Elementales
En notación cuadri-vectorial∂µ∂
µψ +m2ψ = 0 (7.13)
Relación que toma el nombre de Klein-Gordon.Multiplicando esta ecuación por −iψ∗; su ecuación conjugada por iψ y sumándolasse obtiene la ecuación de continuidad
∂ρ
∂t+∇ ·~j = 0 o ∂µj
µ = 0 (7.14)
con
ρ = i
(ψ∗ ∂ψ
∂t− ψ∂ψ
∗
∂t
)(7.15)
~j = −i(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) (7.16)
jµ = (ρ,~j)
La solución de la ecuación de Klein Gordon proporciona los siguientes valores propiosde energía para una partícula libre:
E = ±√p2 +m2 (7.17)
Si se mantiene la misma interpretación de aquella de la mecánica cuántica no rela-tivista, la solución para la partícula con el valor propio de energía negativa es unasolución no deseada.Dirac trató de resolver este problema mediante la linealización de la ecuación relati-vista, es decir, planteó una ecuación lineal entre H y ~p:
Hψ = (~α · ~p+ βm)ψ (7.18)
La misma que debe ser coherente con la ecuación relativista de la energía,
H2ψ = (~p 2 +m2)ψ (7.19)
H2ψ = (αi · pi+βm)(αj · pj+βm)ψ = [α2i p
2i+(αiαj+αjαi)pipj+(αiβ+βαi)pim+β2m2]ψ
Igualando las dos ecuaciones, se deben satisfacer las siguientes condiciones:
∀ i α2i = 1 β2 = 1 (7.20)
α1, α2, α3, β todas anti-conmutan entre sí.Estas condiciones requieren una función de onda con cuatro componentes y la intro-ducción de las matrices γµ = (β, β~α) llamadas de Dirac. La ecuación obtenida, parael caso de partícula libre, es:
iγµ∂µψ −mψ = 0 (7.21)
El bono adicional que obtuvo Dirac al desarrollar su ecuación, es que ésta describepartículas de spin1/2 (el spin del electrón dejó de ser un número cuántico que seintroducía de manera ad- hoc dentro de la teoría, y vino a ser parte de la teoría).Sin embargo, al calcular los valores propios de la energía, persistía el problema, es
7.5 Anti-partículas 249
decir se tenía nuevamente que los valores propios de energía eran:
E = ±√p2 +m2 (7.22)
Tratando de justificar estos valores propios negativos, Dirac sugirió que todos los esta-dos de energía negativa estaban ocupados (lo que se dio por llamar “el mar de Dirac”),de este modo los electrones con energía positiva NO podrían hacer una transición aestados de energía negativa puesto que todos ellos estarían ocupados (principio deexclusión).Si de alguna manera se excitaba un electrón de un estado de energía negativa haciaun estado vacío de energía positiva, la ausencia de un electrón de carga −e y energía−E podía interpretarse como la presencia de un positrón con carga +e y energía E.La situación final sería el aparecimiento de un par electrón-positrón.Note que para partículas que no satisfacen el principio de exclusión (bosones), la in-terpretación del “mar de Dirac” no puede mantenerse (en este caso bosones de energíapositiva podrían hacer transiciones a estados de menor energía sin ninguna restricciónpues no cumplen el principio de exclusión).
Analizando con más detenimiento estos valores propios de energía negativa y, porfacilidad, regresando a la ecuación de Klein-Gordon, se podría decir que ésta es laecuación relativista para partículas de spin cero. La solución de partícula libre tienela forma:
ψ = A exp[i~p ·~r − iEt] (7.23)
evaluandoρ = 2E|A|2 (7.24)
~j = 2~p|A|2 (7.25)
o en notación cuadri-vectorialjµ = 2|A|2pµ (7.26)
Note que si se mantiene la interpretación de ρ como una densidad de probabilidad,para el caso en que E es negativa, conllevará a probabilidades negativas (??) y no soloeso, sino que se producirán transiciones a estados de energía cada vez menores(??).Weisskopf y Pauli insertaron la carga −e tanto en ρ como ~j y le interpretaron comouna densidad de carga y una corriente de carga. En este caso soluciones con energíanegativa se pueden considerar como soluciones de energía positiva de partículas decarga opuesta (a éstas se las llamó antipartículas). Esta interpretación podría seraplicada tanto a fermiones como a bosones y no se tendría el problema de la inter-pretación del mar de Dirac para bosones.
La interpretación de las antipartículas que se maneja hoy en teoría de campos sedebe a Feynman y Stuckelberg y corresponde a las soluciones con energía negativas;esta interpretación se la puede evidenciar fácilmente de la siguiente manera: Si seconsidera un electrón con energía cantidad de movimiento (E, ~p) y carga −e, entonces
jµ(−e) = −2e|A|2(E, ~p) = −2e|A|2pµ (7.27)
250 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Si se considera un positrón con energía cantidad de movimiento (E, ~p) y carga +e,entonces
jµ(+e) = +2e|A|2(E, ~p) = −2e|A|2(−E,−~p) (7.28)
Así, la emisión de un positrón con energía E es equivalente, por tanto, a la absorciónde un electrón de energía −E.
Esto se observa de mejor manera considerando la parte temporal de la función deonda, se ve que las soluciones de partículas con energía negativa viajando atrás enel tiempo equivalen a soluciones de antipartículas con energía positiva viajando endirección del tiempo:
e−i(−E)(−t) = e−i(E)(t)
Esta interpretación es muy útil y nos permite describir pictóricamente las interaccio-nes de las diferentes partículas como gráficas (conocidas como diagramas de Feyn-mann). Así de acuerdo con lo discutido, se tiene la siguiente representación gráfica:
dirección del tiempo
electrón E > 0
electrón E < 0positrón E > 0
Figura 7.2: Esquemas gráficos de las soluciones de la ecuación de Dirac con energía positivay negativa.
7.5.1 Evidencia experimental
Es importante mencionar que ya en 1932 se observó al positrón en una cámara deburbujas.En la actualidad la forma más simple de obtener positrones es la producción de fuentesradiactivas beta positivas, cuyos núcleos tienen exceso de protones (ejemplo: Na22,C11, P30).Por otra parte, el anti-protón se obtiene de la reacción:
p+ p→ p+ p+ p+ p
y como se ha mencionado anteriormente, se los ha utilizado y utiliza para chocarloscon protones a muy altas energías y estudiar los elementos fundamentales con los queestá formada la materia y sus interacciones.
Los anti-neutrones se los obtiene de la reacción:
p+ p→ n+ n
7.5 Anti-partículas 251
Este proceso que se lo puede observar por la traza que deja un anti-protón en unacámara de burbujas y la posterior colisión del antineutrón con un protón
n+ p→ 3π+ + 2π−
pp+ p→ n+ n
n+ p
2π−
3π+
Figura 7.3: Diagrama en una cámara de burbujas de la huella de la aniquilación del anti-protón, y la posterior aniquilación del anti-neutrón.
Por último, la producción del anti-deuterón se la obtiene colisionando protonesde 19,2 GeV contra núcleos de Berilo, aun cuando el rendimiento de producción esmuy bajo:
Yield(d)Yield(π)
= 1, 2× 10−9
De lo discutido, la unión de la relatividad especial y la mecánica cuántica nos llevaa una simetría materia-antimateria. La observación experimental de que nuestro uni-verso (universo observable) se encuentra en su mayor parte hecho de materia indicaque hay “algo” que rompe esta simetría. Por el momento, se responsibiliza de estehecho a la ruptura de una simetría llamada CP por parte de la interacción débil, locual será discutido más adelante.
Recapitulando lo expuesto anteriormente, la interpretación de Feynman y Stuc-kelberg de las antipartículas permite representar los diferentes procesos de colisióno desintegración (con cualquiera de las interacciones) mediante los llamados diagra-mas de Feynman, a los cuales se aplican las famosas reglas de Feynman5 (deducidasa partir de la lectura directa del Lagrangiano correspondiente) para obtener así lasección eficaz de un proceso de interacción particular. En teoría cuántica de camposlas interacciones están representadas por el intercambio de partículas virtuales y surepresentación en los diagramas de Feynman es mediante líneas encerradas entre vér-tices (se los suele llamar propagadores).A continuación se presentan algunos diagramas de Feynman para diferentes colisionesconocidas.
5Amplitudes de probabilidad asignadas a los campos asociados a las partículas en interacción, alos campos de los bosones que median la interacción, y a la interacción entre los campos anteriores(vértices).
252 Introducción a la Física de Partículas Elementales
e− + e− → e− + e− p+ n→ p+ ny
tiempo
dispersión de Moller dispersión pn− pn
e e
e e
γ
p p
n n
π
Figura 7.4: Diagramas de Feynman para las interacción electromagnética electrón-electrón,e interacción fuerte protón-protón.
La aniquilación electrón-positrón e− + e+ → 2γ se le esquematiza como:
e− γ
e+ γ′
Figura 7.5: Diagrama de Feynman para la aniquilación positrónica.
En física de partículas se utiliza mucho lo que se conoce como “crossing simetry”por medio del cual una partícula en un lado de la reacción es reemplazada por suantipartícula en el otro lado.
A+B → C +D
A→ B + C +D
A+ C → B +D
C +D → A+B
A C
B D
D B
C A
B A
D C
Figura 7.6: Diagrama que representa la simetría cruzada.
La crossing symetry corresponde a una rotación de los diagramas respecto de laflecha de tiempo. Es muy importante definir la dirección del tiempo para que no hayaambigüedad en el proceso que esta representando el diagrama.
7.5 Anti-partículas 253
Note que no tiene nada que ver con lo que se conoce en física nuclear como la reaccióninversa.Las líneas internas (entre vértices), dentro de los diagramas representan partículasvirtuales (no observables) y el aparecimiento de más de una corresponde a correccionesde orden superior del proceso. El número de vertices en el diagrama define su ordenen el desarrollo perturbativo.
A C
B D
Figura 7.7: Diferentes diagramas de Feynman de orden superior.
Los diagramas de Feynman son puramente simbólicos, no representan trayectoriasde partículas sino tan solo una representación pictórica de procesos entre partículas,y permite calcular la probabilidad de ocurrencia (sección eficaz) de dicho proceso.Hay un infinito número de diagramas para cada proceso, cada vértice en el diagra-ma introduce una constante de acoplamiento de la interacción, afortunadamente, losdiagramas de orden superior (correcciones radiativas) contribuyen menos al resultadofinal, una vez se haya procedido con la renormalización de la teoría.
Por otra parte, dentro de la evolución histórica de la física de partículas cabe men-cionar el descubrimiento del neutrino. Su origen se remonta al estudio del espectro deemisión electrónico observado en la desintegración beta, el cual resultó ser continuo.Esto llevó a proponer la existencia de una nueva partícula para preservar la ley deconservación de la energía en el proceso de desintegración. Su existencia fue confir-mada experimentalmente 25 años después y dicha partícula fue llamada “neutrino”.
El decaimiento beta del neutrón y otros decaimientos se muestran a continuación:
n→ p+ e− + νe
π− → µ− + νµ
µ− → e− + νe + νµ
Muestran la existencia de varios tipos de neutrinos (tipo electrón, muón y tau) cadauno de ellos asociados a los decaimientos de sus leptones asociados.El neutrino al no poseer carga eléctrica es difícil de detectar, los datos del decaimientobeta no eran concluyentes para asignarle un valor de masa, sin embargo en el caso detenerla su valor debería muy pequeño. Actualmente el proceso conocido como oscila-ción de neutrinos (que no es más que la transformación de un neutrino de un tipo aun neutrino de otro tipo, y que está siendo verificado experimentalmente) asignaríaun valor de masa distinta de cero a dichas partículas.
254 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Por otra parte, la evidencia experimental del decaimiento beta doble, sin la emisiónde neutrinos la cual tendría un menor período de desintegración, no ha sido verificadaexperimentalmente, lo que implica que, al parecer, el neutrino y su antipartícula sonpartículas diferentes.
7.6 Propiedades de las partículas, números cuánticos yleyes de conservación
Las partículas de materia y aquellas asociadas a las diferentes interacciones dentro demodelo estándar poseen propiedades intrínsicas como masa, carga eléctrica, spines,momentos dipolares magnéticos. Algunas de estas propiedades se muestran en lastablas 7.2 y 7.3. Las partículas de acuerdo con su spin se clasifican en:
Fermiones Son partículas de spin semi-entero que satisfacen el principio de exclu-sión de Pauli (un estado cuántico solo puede ocuparse por una partícula). Si se tieneun sistema de fermiones idénticos, su función de onda debe ser anti-simétrica respectodel intercambio entre dos de ellos. Tanto los leptones como los quarks son fermionesde spin 1/2.
Bosones Son partículas de spin entero que no satisfacen el principio de exclusiónde Pauli (un estado cuántico puede ocuparse por cualquier número de partículas).Si se tiene un sistema de bosones idénticos, su función de onda debe ser simétricarespecto del intercambio entre dos de ellos. Las partículas asociadas a los procesos deinteracción, de acuerdo con teoría cuántica de campos, son bosones de spin uno. Lapartícula de Higgs tiene spin cero.
Como se ha mencionado, toda partícula tiene su correspondiente antipartícula.La antipartícula tiene igual masa que su correspondiente partícula pero sus númeroscuánticos opuestos. Algunas partículas son su misma antipartícula (π0).
Cuando se estudia un tipo de reacción entre partículas, ésta debe cumplir conciertos requisitos o leyes de conservación que a lo largo de años de experimentaciónse las ha llegado a conocer. Así por ejemplo, no se ha observado nunca una reaccióndonde la carga eléctrica no se conserve. En otras palabras, se cree que hay una seriede principios de conservación en el dominio subatómico, el problema es, en este caso,que no se conoce todas las leyes relevantes por falta de comprensión teórica de lasinteracciones. Consecuentemente se debe deducir del experimento el tipo de magnitu-des o números cuánticos que se conservan y las leyes de conservación que son propiaspara cada interacción entre partículas.Se ha visto que si a los fermiones se les asigna un número, a sus anti-partículas (delos fermiones) se les asigna el mismo número pero negativo. Este número “fermiónico”se conserva.
7.6 Propiedades de las partículas, números cuánticos y leyes deconservación 255
7.6.1 Número Bariónico
De igual manera que la conservación de la carga eléctrica ha sido inferida de laobservación experimental, varios números cuánticos han tenido igual origen. Así porejemplo, si se examina la siguiente reacción:
p→ e+ + π0
Se puede observar que es energéticamente posible, puesto que el Q de la reacción serápositivo, y además conserva la carga eléctrica; sin embargo nunca se ha observadoesta reacción. Esto sugiere que cierto principio de conservación la prohíbe. Se puededefinir y asignar un “número bariónico” B = 1 a todos los bariones, y B = −1 atodos los anti-bariones. Así mismo se asigna B = 0 a los leptones, mesones y fotones.Por tanto, se puede evidenciar, con base a las reacciones existentes, que el númerobariónico se conserva en todos los procesos físicos. Una consecuencia de esto seríaque siendo el protón el más liviano de los bariones, éste nunca decaerá. No existeevidencia experimental del decaimiento del protón hasta el momento.Desde el punto de vista de los quarks, los bariones y mesones son sistemas tri-quarky quark-anti-quark respectivamente. Como se ha mencionado, los quarks vienen entres familias, es decir, hay seis tipos de quarks a los cuales se les asigna el nombrede sabores de quarks. La siguiente tabla muestra los diferentes tipos de sabores dequarks con sus respectivas masas y su forma de decaimiento.
Tabla 7.5: Sabores de quarks, sus valores de masas, decaimientos típicos
Sabor de quark Masa (GeV) Decaimiento (tiempo medio)u 0.003 -d 0.005 d→ u+W (1000 sec)s 0.1 s→ u+W (10−8 − 10−10 sec)
c 1.3c→ s+W (10−12 − 10−13 sec)c→ d+W (10−12 − 10−13 sec)
b 4.7 b→ c+W (10−12 − 10−13 sec)t 172 t→ b+W (10−25 sec)
La fuerza o interacción fuerte entre dos quarks es independiente del sabor (ejem-plo: Fsd = Fud). El mismo principio se satisface para la fuerza entre quark-anti-quarkpara los diferentes sabores. Lo que si debe quedar claro es que la fuerza qq es diferenteqq puesto que en el último caso hay aniquilación (un canal adicional de decaimientoque incrementa la densidad de estados finales).En lo referente a conservación en el sabor se puede mencionar que si se define el nú-mero de sabor como la diferencia entre el número de quarks con sabor determinado,menos el número de antiquarks con anti-sabor correspondiente:
Nf = N(f)−N(f) (7.29)
256 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Esta magnitud se conserva solamente para el caso de las interacciones fuertes y elec-tromagnéticas. Si se quiere incluir a la interacción débil la magnitud que se conservaes otra, y es el número total de quarks, que se define como la diferencia entre elnúmero de quarks y el número de anti-quarks.
Nq = N(q)−N(q) (7.30)
Número que a su vez define al número bariónico, pues
B = Nq/3 (7.31)
7.6.2 Números Leptónicos
Como en el caso anterior, se podría asignar a los leptones un número cuántico llamadoleptónico, a sus anti-partículas el mismo número pero negativo y a los hadrones unnúmero leptónico cero. Sin embargo, reacciones, que siendo energéticamente posibles,tales como:
µ− → e− + γ
νµ + n→ e− + p
No se han observado. Por lo que se sugiere que debe haber diferentes tipos de númerosleptónicos. Así, al electrón y su neutrino se les asigna un número leptónico tipoelectrón Le = 1, al muón y su neutrino un número leptónico muónico Lµ = 1; y a lapartícula tau y su neutrino un número leptónico6 Lτ = 1. Sus antipartículas tienenlos valores negativos. La conservación de los distintos tipos de números leptónicos enlas reacciones se ha confirmado experimentalmente.
7.6.3 Extrañeza
Este número cuántico se introdujo para explicar el comportamiento extraño de algu-nos hadrones (K,Λ,Σ) que siendo generadas por interacciones fuerte, tenían vidasmedias relativamente grandes (tiempos de vida media del orden de 10−10 segundos)característicos de la interacción débil. Es decir, se creaban en procesos fuertes (losexperimentos mostraban que sus secciones eficaces eran consistentes con esta inter-acción, secciones eficaces grandes, del orden de los mili-barn7); pero decaían a travésde procesos débiles.Estas partículas siempre se producen en pares. Así por ejemplo,
π− + p→ K0 + Λ0 (interacción fuerte)
6La universalidad de la interacción leptónica, interacción entre las partículas de cada par, essimilar por no decir idéntica. Adicionalmente el decaimiento de la partícula Z0 proporciona la infor-mación de que el número de pares de leptones debe ser tres. ¿Se violaría la conservación del númeroleptónico en los procesos conocidos como oscilaciones de neutrinos, y en el decaimiento beta doblesin emisión de neutrinos?
71barn= 10−24cm2
7.6 Propiedades de las partículas, números cuánticos y leyes deconservación 257
Posteriormente decaen como:
Λ0 → π− + p (interacción débil)
K0 → π+ + π− (interacción débil)
Se observa que Λ0 se produce conjuntamente con K0 pero no se produce con π0. Seobserva también que Λ0 se produce con K+ pero no con K−.De igual manera, se producen las partículas K+ y Σ+ mediante la reacción:
π+ + p→ K+ +Σ+
Las cuales se desintegran posteriormente como:
Σ+ → π+ + n
K+ → π+ + π0
Se observa que Σ+ siempre se produce con K+ pero nunca con π+.Se observa también que Σ+ se produce con K0 (y un π+ adicional).Por otra parte, Σ−se produce asociado con K+
π− + p→ Σ− +K+ pero no se observa π− + p→ Σ+ +K−
A estas partículas, por su comportamiento, se las llamó “extrañas” y se les asignó unnuevo número cuántico llamado extrañeza S, el cual debía conservarse para el caso deinteracción fuerte y podía no conservarse para el caso de la interacción débil. Todoslos bariones y mesones ordinarios (así como el fotón) se asumían como partículas noextrañas, es decir, S = 0.De las reacciones de producción de estas partículas se podía inferir el valor del númerocuántico extrañeza asociado a cada una de ellas, de modo que este nuevo númerocuántico se conserve en las reacciones de producción. Así:
S = 1 : K+ K0
S = −1 : K− K0 (7.32)
tambiénS = −1 : Λ0 Σ+ Σ− Σ0 (7.33)
De igual manera, de las siguientes reacciones fuertes:
K− + p→ Ξ− +K+
K0+ p→ Ξ0 +K+
Se asignaS = −2 : Ξ− Ξ0
S = −3 : Ω− (7.34)
258 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Esta última partícula fue encontrada posteriormente a su postulación.La extrañeza se conserva solamente para las interacciones electromagnéticas y fuertes.
Desde el punto de vista del modelo de quarks (como componentes básicos de lamateria), las partículas extrañas son aquellas que tienen en su composición uno omás quarks s o antiquarks s. Por cada quark s se les asigne un valor de extrañezaS = −1; y por cada antiquark s se le asigna un valor S = 1 Así, si un barión (sistemade tres quarks) está compuesto por tres quarks s, éste tendrá una extrañeza S = −3(esta es la partícula referida como Ω−).
7.7 Sobre las leyes de conservación
Cuando una ley física es invariante respecto de una operación de simetría general-mente existe un principio de conservación correspondiente (Teorema de Noether).En realidad se lo puede usar en los dos sentidos siguientes,
1. Si se encuentra o sospecha una simetría, se busca la cantidad conservada.
2. Si una cantidad se conserva se busca la correspondiente simetría.
La Invariancia en traslación de tiempo (tiempo homogéneo, se conserva la energía E)La Invariancia en traslación del espacio (espacio homogéneo, se conserva la cantidadde movimiento ~p).La Invariancia de la rotación espacial (espacio isotrópico, se conserva el momentoangular ~L).La descripción mecánico-cuántica de un sistema se realiza mediante su función deonda, que a su vez es solución de una ecuación de movimiento:
i~∂ψ
∂t= Hψ (7.35)
El valor de un observable F en el estado cuántico ψ(t) está dado por su valor medio〈F 〉. Si este valor no depende del tiempo,
d〈F 〉dt
=d
dt
∫ψ∗FψdV =
i
~
∫ψ∗(HF − FH)ψdV
entonces,d〈F 〉dt
= 0 (7.36)
Se tiene, en este caso, que F y H son operadores conmutables,i.e.,
HF − FH = 0
[H,F ] = 0 (7.37)
¿Cómo se puede encontrar las cantidades conservadas?El caso difícil se presenta cuando H no es bien conocido; pero por fortuna no se
7.7 Sobre las leyes de conservación 259
necesita conocer H explícitamente.El observable conservado se puede encontrar si se establece la invariancia de H bajouna operación de simetría.Para definir una operación de simetría se introduce un operador de transformaciónU , tal que:
ψ′(r, t) = Uψ(r, t) (7.38)
Tal transformación es admisible solo si la condición de normalización no cambia, esdecir, solo si: ∫
ψ′∗ψ′dV =
∫(Uψ)∗(Uψ)dV =
∫ψ∗U+UψdV (7.39)
es decir, U es un operador unitario U+U = 1
Ahora, U será un operador de simetría si satisface la ecuación de movimiento,
i~∂
∂t(Uψ) = H(Uψ) (7.40)
Si se considera que U es independiente del tiempo, se sigue que
i~∂
∂tψ = U−1HUψ
H = U−1HU
UH = HU
[H,U ] = 0 (7.41)
El operador de transformación será de simetría si conmuta con el Hamiltoneano.Si U es Hermítico, éste será un observable.Si U no es Hermítico, se puede encontrar un operador Hermítico relacionado a U queconmuta con H.En lo que respecta a las transformaciones de interés en física, existen dos tipos detransformaciones:
1. Continuas
2. Discretas (Ejemplo: Operación de paridad la cual es hermítica y unitaria)
Un ejemplo de las transformaciones continuas son las rotaciones ordinarias. Una ro-tación de ángulo finito α sobre un cierto eje, se la puede obtener mediante una seriede rotaciones infinitesimales.
Si se considera en general una transformación U de la forma:
U = eiεF (7.42)
260 Introducción a la Física de Partículas Elementales
donde ε es un parámetro real; y al operador F se le conoce como el generador de U .Entendiéndose el exponencial como un desarrollo,
Uψ = eiεFψ =
1 + iεF +
(iεF )2
2!+ · · ·
ψ (7.43)
Como regla generaleiεF 6= e−iεF
†
Y por tanto, U no es hermítico (no corresponde a un observable). Sin embargo lacondición de unitariedad produce:
eiεF e−iεF†= eiε(F−F †) = 1
F = F † (7.44)
Entonces, el generador F de la transformación U es Hermítico (y corresponde a unobservable).Para encontrar al generador F se consideran transformaciones infinitesimales de ma-nera que se pueda tomar tan solo hasta el primer orden de la expansión en serie:
U = eiεF = 1 + iεF (7.45)
Si el sistema es invariante bajo una transformación finita, seguro lo es bajo unatransformación infinitesimal.Si U es un operador de simetría, éste conmuta con H, así,
H(1 + iεF )− (1 + iεF )H = 0
[H,F ] = 0 (7.46)
F es un operador Hermítico cuya magnitud dinámica asociada se conserva si U es eloperador de simetría.
Ejemplos
1. Invariancia de fase de la función de onda
2. Número Bariónico
3. Número Leptónico
4. Hiper-carga
Ejemplo 15. Encuentre el operador F para el caso de una traslación del espacio.Considere por facilidad una dimensión.
Sea un sistema mecánico cuántico con función de onda de ψ(x) centrada en uncierto punto x0. Si se hace un desplazamiento δ se tiene la función ψδ(x). Las dos
7.7 Sobre las leyes de conservación 261
funciones en el mismo punto x están conectadas por el operador de transformaciónU .
ψδ = Uψ(x) (7.47)
Si el sistema es invariante bajo la operación de traslación ψ y ψδ satisfacen la mismaecuación de Schrödinger, y obviamente H y U conmutan. La invariancia implica quela función de onda no cambia al producirse la traslación, por tanto,
ψ(x) = ψδ(x+ δ) (7.48)
Para determinar tanto la forma del operador de transformación U y su función gene-rador F ,
ψ(x) = ψδ(x) +dψδ
dxδ + · · · ≈ ψδ(x)
(1 + δ
d
dx
)(7.49)
ψδ(x) ≈ ψ(x)(1− δ d
dx
)
U = 1− δ ddx
(7.50)
de acuerdo con la teoría anterior, el operador F será de la forma:
F = −i ddx
F =px~
(7.51)
el cual es proporcional al operador cantidad de movimiento.
Ejemplo 16. ¿Cual es la simetría tras la conservación de la carga eléctrica?
Considere que ψq es la función de onda que describe al sistema en el estado decarga q y satisface la ecuación de Schrödinger
i~∂
∂tψq = Hψq (7.52)
Si Q es el operador carga eléctrica, éste será el observable puesto que la carga eléctricaes la cantidad conservada.
Qψq = qψq (7.53)
El operador unitario de transformación es:
U = eiεQ (7.54)
Que representa una transformación de medida (gauge) de primera clase global. Estainvariancia de medida transforma la función de onda como:ψ′q = Uψq la cual también satisface la ecuación de Schrödinger,
i~∂
∂tψ′q = Hψ′
q (7.55)
262 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Note que la magnitud que se conserva es aditiva y puede ser cualquier en naturalezay no se la puede identificar con la carga eléctrica. Para hacer esto es necesario intro-ducir una invariancia de fase local, como se verá posteriormente.
7.8 Momento Angular e Isospin
Considere un sistema que es invariante bajo una rotación espacial.
z
α
Figura 7.8: Rotación espacial de un sistema cuántico.
Por facilidad se toma una rotación de un ángulo α respecto del eje z.
~rR = Rz(α)~r (7.56)
ψR(~r) = Uz(α)ψ(~r) (7.57)
Si el estado del sistema no se afecta por la rotación, la función de onda en el punto~r del sistema original, es idéntica a la función de onda rotada en el punto rotado, ~rR
ψ(~r) = ψR(~rR) (7.58)
Note que la ecuación anterior a esta última ecuación, conecta ψ(~r) con ψR (larotada en el mismo punto ~r); mientras la última ecuación, conecta con ψR (en elpunto rotado).
El operador U se puede encontrar si ψR(~rR) se expresa en términos de ψR(~r).Considerando una rotación infinitesimal se tiene:
ψR(~rR) = ψR(~r) +∂ψR(~r)
∂φδα + · · · =
(1 + δα
∂
∂φ
)ψR(~r) (7.59)
Invirtiendo la relación,
ψR(~r) =
(1− δα ∂
∂φ
)ψ(~r) (7.60)
7.8 Momento Angular e Isospin 263
donde se ha usado el hecho de que
ψ(~r) = ψR(~rR) (7.61)
La expresión general para el operador
F = −i ∂∂φ
(7.62)
Si U conmuta con H, también lo hace F , que es el observable.
F =Lz~
(7.63)
La invariancia del sistema bajo rotación alrededor de z, lleva a la conservación de Lz.
Generalizaciones. Si el sistema tiene un momento angular total ~J , se tiene queel operador F , en este caso es proporcional a Jz en lugar de Lz.
Para rotaciones respecto de una dirección ~n cualquiera,
Un(δ) = e−iδ~n · ~J~ (7.64)
Si el sistema es invariante bajo estas rotaciones alrededor de ~n, entonces,
[H,Un] = 0 (7.65)
[H,~n · ~J ] = 0
la componente Jn se conserva.
Note que de la ecuación para Un, se puede encontrar directamente las relacionesde conmutación
[Jx, Jy] = i~Jz y las cíclicas.
Una partícula con spin ~J y momento dipolar magnético intrínseco ~µ, se describenpor un Hamiltoneano de la forma
H = H0 +Hmag (7.66)
Usualmente H0 es isotrópico y
[H0, ~J ] = 0 (7.67)
Si se enciende un campo magnético se rompe la simetría y
[H0 +Hmag, ~J ] 6= 0 (7.68)
sin embargo la componente del momento angular en la dirección del campo magnéticocontinua conservándose.
264 Introducción a la Física de Partículas Elementales
7.8.1 Isospin
El isospin o spin isotópico es un nuevo número cuántico que se introduce dentro de lainteracción fuerte por el hecho de que hay partículas que teniendo masas muy pare-cidas y diferente carga eléctrica (que difieren en unidades de carga en pasos de uno),tienen comportamientos similares desde el punto de vista de dicha interacción. Loque debe quedar claro es que la matemática del isospin es igual a la de los momentosangulares.
La introducción de este nuevo número cuántico se debe principalmente a la pro-piedad de la interacción fuerte llamada independencia de carga, que fue evidenciadaen los experimentos de dispersión entre nucleones, es decir en dispersiones: n−p, p−py n−n (ver subsección 3.2.4). Esta propiedad, de acuerdo con el modelo estándar, esla que se conoce como la independencia de sabor. Heisenberg en 1932 trató al protóny neutrón como dos estados diferentes de una misma partícula llamada nucleón. Sinconsiderar la interacción electromagnética, los dos estados tendrían presumiblementela misma masa; sin embargo su presencia hace que las masas se diferencien ligera-mente (adicionalmente los “factores de forma” magnéticos del protón y del neutrónresultaron tener la misma dependencia funcional, apoyando la hipótesis de ser estadosdiferentes de la misma partícula). La independencia de sabor permite la generaliza-ción de este número cuántico (llamado “isospin”) a los demás hadrones, haciendo quelos hadrones se asocien en familias (multipletes cargados) con casi la misma masa, di-ferenciándose tan solo en su estado de carga (n, p), (π+, π0, π−), (∆++,∆+,∆0,∆−).Para estudiar estos estados se introdujo el espacio ficticio de isospin (o de carga), parahacer una analogía idéntica a los estados de spin de una partícula en el espacio común.
El nucleón es entonces una partícula de isospin 1/2. Si su componente z, o terceracomponente, es 1/2 se lo llama protón; y si es −1/2 se lo llama neutrón. En notaciónde Dirac, se los puede representar mediante el ket |I, I3〉, así,
protón : |1/2, 1/2〉
neutrón : |1/2,−1/2〉Muchas veces, al hacer referencia del spin isotópico del protón y el neutrón se hablade un duplete isospínico. Un multiplete isospínico esta relacionado con el número departículas en él. Existen una serie de multipletes isospínicos tales como: el tripleteisospínico (cuyo spin isotópico será 1):
π+
π0
π−
cuyos estados isospínicos se los puede representar como:|1; 1〉, |1; 0〉 y |1;−1〉 para lospiones π+, π0 y π− respectivamente.
La carga eléctrica de las partículas involucradas está relacionada con la compo-
7.8 Momento Angular e Isospin 265
nente z del spin isotópico mediante la relación:
Q = I3 +B + S
2
donde B representa el número bariónico, y S la extrañeza. La suma toma el nombrede Hipercarga8.
Como ya se mencionó, la matemática relacionada con los operadores isospínicoses idéntica a aquella del momento angular. Se definen de igual forma los operadoresI2, I3, I+ e I−.
De las propiedades de la interacción fuerte se puede inferir lo siguiente:
1. La independencia de carga muestra que el Hamiltoneano de interacción fuerteconmuta con todas las componentes de isospin. El espacio de spin isotópico esisótropo. Todos los estados isospínicos de un mismo multiplete son degenerados(misma masa) para la interacción fuerte.
[Hf , ~I ] = 0 (7.69)
2. La interacción electromagnética destruye la isotropía del espacio isospínico yrompe la simetría. El Hamiltoneano de interacción electromagnético no conmutacon I±, pero si con I3. Puesto que tanto el Hamiltoneano de interacción fuertey electromagnético conmuta con el operador carga eléctrica y este operador es,a su vez, proporcional a la componente tres del isospin.
[Hf +Hem,Q] = 0 (7.70)
[Hf +Hem, I3] = 0 (7.71)
3. La interacción débil no conserva ninguna de las componentes de isospin.
Una de las ventajas de la definición del número cuántico isospin es que la conser-vación del mismo (en la interacción fuerte) permite relacionar las secciones eficacesde los procesos fuertes que ocurren entre partículas que pertenecen a multipletes isos-pínicos determinados.
La segunda regla de oro de Fermi indica que la probabilidad de transición porunidad de tiempo para una reacción de la forma: C → A+B, esta dada por:
2π
~ρ(Ef )|〈C|Hf |AB〉|2 (7.72)
8La introducción de los números cuánticos C (encanto), B (belleza) y T (verdad) sugieren unamodificación a la relación
Q = I3 +B + S + C + B + T
2
266 Introducción a la Física de Partículas Elementales
La conservación del isospin implica que IC = IT (IT = IA + IB) y I3C = I3T .Los elementos de matriz son independientes de la componente z del isospin, puestoque todas las partículas de un mismo mutiplete se comporta igual en la inetracciónfuerte, en otras palabras,[Hf , I±] = 0.Si se considera un sistema de dos partículas A y B, entonces:
|A〉 = |IA, I3A〉
|B〉 = |IB , I3B〉|AB〉 = |IA, I3A, IB , I3B〉
El momento angular total (de isospin):
~IT = ~IA + ~IB
Su número cuántico toma valores
iT = |iA − iB |, · · · , (iA + iB) (en pasos de uno) (7.73)
Algunas veces se requiere la descomposición explícita de |A〉|B〉 en estados de mo-mento angular total
|AB〉 = |IA, I3A, IB , I3B〉 =iA+iB∑
i=|iA−iB |CIT IAIBI3T I3AI3B
|IT I3T 〉 (7.74)
con I3T = I3A + I3B . Los números C son los coeficientes de Clebsch-Gordan.
En la reacción A + B → D + E la amplitud de probabilidad de transición porunidad de tiempo será proporcional a:
〈I, I3|Hf |I ′, I ′3〉siendo Hf el operador de dispersión o hamiltoneano de interacción fuerte
〈I, I3|Hf |I ′, I ′3〉 = Hf (I)δII′δI3I′3 (7.75)
Para realizar varios ejemplos de lo que se acaba de discutir, se presentan lassiguientes tablas con los principales bariones y mesones y sus propiedades, especial-mente sus números cuánticos de extrañeza y componente tres de isospin.
7.8 Momento Angular e Isospin 267
Tabla 7.6: Bariones (con su composición de quarks)
PartículaMasa
(MeV/c2)Vida media(segundos)
Composiciónen quarks
CargaEléctrica
ExtrañezaS
IsospinI3
p 938, 24 - uud 1 0 1/2
n 939, 57 887 udd 0 0 -1/2Λ0 1115, 7 2, 6 × 10−10 uds 0 -1 0Σ+ 1189,4 0, 8 × 10−10 uus 1 -1 1Σ0 1192, 5 7, 4 × 10−10 uds 0 -1 0Σ− 1197, 4 1, 5 × 10−10 dds -1 -1 -1Ξ0 1314, 9 2, 9 × 10−10 uss 0 -2 1/2
Ξ− 1321, 3 1, 6 × 10−10 dss -1 -2 -1/2Ω 1672, 4 0, 8 × 10−10 sss -1 -3 0Λ+C 2284, 9 0, 2 × 10−12 udc 1 - -
La partícula Ω− tiene spin 3/2, el resto tiene spin 1/2. El número bariónico de to-das ellas es 1 (sus correspondientes anti-partículas tienen número bariónico −1). Laparidad intrínseca de todas ellas es positiva (sus antipartículas tienen negativas).
Tabla 7.7: Mesones (con su composición de quarks)
Partícula(antipartícula)
Masa(MeV/c2)
Composiciónen quarks
Vida media(segundos)
CargaEléctrica
ExtrañezaS
IsospinI3
π+ (π−) 139, 57 du(ud) 2, 6 × 10−8 1 (-1) 0 1 (-1)π0 134, 97 uu/dd 0,8× 10−16 0 0 0
K−(K+) 439, 6 us(us) 1, 2 × 10−8 -1 (1) -1 (1) -1/2 (1/2)
K0(K0) 497, 6 ds(ds)
0, 9 × 10−10 (KS)5, 2 × 10−8 (KL)
0 -1 (1) 1/2 (-1/2)
η 547, 4 uu/dd/ss 0, 5× 10−18 0 0 0
Las partículas π0 y η coinciden con sus anti partículas. Los mesones tienen númerobariónico cero y su paridad intrínseca negativa.
Ejemplo 17. Considere la siguiente reacción:
p+ p→ d+ π+
|1/2, 1/2〉|1/2, 1/2〉 → |0, 0〉|1, 1〉Se acoplan los I de cada lado y se suman las correspondientes componentes 3.
|1,1〉 → |1,1〉
268 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Note que en el lado izquierdo el acople singlete no existe puesto que la componente 3es uno. En el lado derecho, el acople es solamente uno.Considere ahora una segunda reacción:
p+ n→ d+ π0
|1/2, 1/2〉|1/2,−1/2〉 → |0, 0〉|1, 0〉a|1, 0〉 + b|0, 0〉 → |1, 0〉
Los coeficientes de Clebsch-Gordan, a y b se los encuentra de las tablas y, para este
caso, son iguales a1√2.
La sección eficaz de la primera reacción es:
σ = |〈1, 1|Hf |1, 1〉|2 = H2f
La sección eficaz de la segunda reacción será:
σ ≈∣∣∣∣(
1√2〈1, 0| + 1√
2〈0, 0|
)|Hf |1, 0〉
∣∣∣∣2
=
∣∣∣∣1√2〈1, 0|Hf |1, 0〉
∣∣∣∣2
+
∣∣∣∣1√2〈0, 0|Hf |1, 0〉
∣∣∣∣2
=1
2H2f
La razón entre secciones eficaces es entonces:
σ(p+ p→ d+ + π+)
σ(p + n→ d+ + π0)=
2
1
Note que en la razón se simplifican los términos correspondientes a Hf porque enlas dos reacciones corresponden a un mismo valor I, i.e., Hf (I = 1).
Ejemplo 18. Considere el siguiente grupo de reacciones de interacción fuerte y en-cuentre las razones de sus correspondientes secciones eficaces:
π+ + n→ π0 + p
π− + p→ π0 + n
π0 + n→ π0 + n
π0 + p→ π0 + p
En resumen se puede decir, que en este tipo de reacciones las partículas inicialesy las finales, miembros de sus respectivos múltipletes isospínicos, se descomponen delproducto directo de sus representaciones a la suma directa de las representacionesirreducibles.
Por ejemplo, la reacción:
π+ + n→ Λ0 +K+
7.9 Paridad, Conjugación de Carga e Inversión temporal 269
haciendo la descomposición de su lado izquierdo,
|1, 1〉|1/2,−1/2〉 → a1|3/2, 1/2〉+ a2|1/2, 1/2〉
|1, 1〉 tiene una representación D(1)
|1/2,−1/2〉 tiene una representación D(1/2)
El producto directo se la transforma a su suma directa,
D(1) ⊗D(1/2) → D(3/2) ⊕D(1/2)
que se representaría matricialmente como:
A B CD E FG H I
·
(a bc d
)=
A
(a bc d
)B
(a bc d
)C
(a bc d
)
· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·
→
α β γ χ· · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · 0· · · · · · · · · · · ·
0 η κτ ν
Los coeficientes de los estados de la suma directa se los encuentra mediante las tablasde coeficientes Clebsh-Gordan.
7.9 Paridad, Conjugación de Carga e Inversión temporal
Se discuten las transformaciones discontinuas que tienen la característica de ser detipo: U2 = 1; tales operadores son Hermíticos y unitarios.
7.9.1 Paridad (P) = imagen especular = simetría izquierda-derecha
La paridad se conserva en los procesos hadrónicos y electromagnéticos pero no en losdébiles.
~rp−−→ −~r
~pp−−→ −~p
~Jp−−→ ~J
Se define el operador P tal que:
Pψ(~r) = ψ(−~r) (7.76)
P 2ψ(~r) = Pψ(−~r) = ψ(~r)
P 2 = 1 (7.77)
270 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Los valores propios del operdor P son ±1.
Considere un sistema descrito por el Hamiltoneano H que conmuta con P , esdecir [H,P ] = 0. En este caso se puede escoger la función de onda de modo que seapropia tanto de H como también de P ,
Hψ = Eψ (7.78)
Operando con PHPψ = PHψ = PEψ = EPψ
Hψ′ = Eψ′ (7.79)
donde se ha tomado ψ′ = PψNote que ψ y Pψ satisfacen la misma ecuación de Schrödinger con el mismo valor deE. Por tanto, hay dos posibilidades: ψ y Pψ son dos estados diferentes degenerados,o ψ y Pψ son el mismo estado (describen la misma situación) y son proporcionalesentre si, en este caso:
Pψ = πψπ = ±1 (7.80)
Ejemplo 19. En colisiones donde un potencial de interacción central esté involucra-do, la paridad estará definida por el comportamiento de la función angular,
Yℓm(θ, φ)→ (−1)ℓYℓm(θ, φ)
La ley de conservación es multiplicativa, es decir que en colisiones,
A+B → D + E
se tiene(−1)ℓπAπB = (−1)ℓ′πDπE (7.81)
donde los π representan las paridades intrínsecas de las partículas. Los bosones gaugetienen paridad intrínseca −1. Los fermiones tienen +1, e.g, el neutrón y el protón sedefinen con paridad intrínseca 1, a los anti-fermiones se les asigna −1; mientras quelos piones (mesones) tienen −1. Generalizando, la paridad asociada a los mesones(sistema qq) es P = (−1)(−1)ℓ = (−1)ℓ+1, donde el sistema quark-antiquark tieneuna paridad negativa puesto sus paridades son opuestas. El término restante corres-ponde a la paridad asociada al movimiento orbital relativo entre ellos.
7.9.2 Conjugación de Carga (C)
Esta operación de simetría cambia la partícula por su correspondiente antipartícula.Si una partícula se describe por |N〉 donde N representa el conjunto de sus números
7.9 Paridad, Conjugación de Carga e Inversión temporal 271
cuánticos aditivos (número bariónico, leptónico, extrañeza, carga eléctrica) entonces:
C|N〉 = | −N〉 (7.82)
Cambia el signo de los números cuánticos aditivos pero no cambia su momento ni suspin. Al aplicarlo dos veces se tiene:
C2 = 1 (7.83)
Se plantea la posibilidad de encontrar los valores propios de dicho operador, para ellose toma |N〉 como estado propio del operador carga eléctrica Q.
Q|q〉 = q|q〉, así
C|q〉 = | − q〉 (7.84)
Se calcula el conmutador de los dos operadores
CQ|q〉 = qC|q〉 = q| − q〉
QC|q〉 = Q| − q〉 = −q| − q〉(CQ−QC)|q〉 = 2q| − q〉 = 2CQ|q〉
[C,Q] = 2CQ No conmutan (7.85)
Por tanto, una partícula cargada no satisface una ecuación de valores propios talcomo:
C|N〉 = número|N〉 = ηC |N〉 (7.86)
Esto debido a que la naturaleza ha escogido de antemano partículas con estadospropios del operador Q. El mismo argumento se aplica al número bariónico y a lahipercarga. Las partículas aparecen como estados propios del número bariónico ehipercarga (B y Y ) y éstos operadores no conmutan con C.Sin embargo, las partículas neutras (en todos los números cuánticos aditivos) q = 0,B = 0 y Y = 0 pueden estar en estado propio C. Para tales sistemas:
C|N = 0〉 = ηC |N = 0〉 (7.87)
ηC = ±1 se la llama paridad-C o de carga (recuerde es multiplicativa).El fotón tiene un valor −1, el pion π neutro +1 y el eta η neutro +1. En general, losmesones (sistema qq) tienen una paridad de conjugación de carga asociada: (−1)ℓ+s.
La conjugación de carga no se conserva en interacciones débiles. El neutrino y elantineutrino deberían tener la misma helicidad si se conservase, lo cual no es ciertopuesto que su helicidad es opuesta. Para la electromagnética y la fuerte se conserva(dentro del límite experimental).
272 Introducción a la Física de Partículas Elementales
7.9.3 Paridad G (conjugación G)
Se la define como una inversión en el espacio isospínico en combinación con la conju-gación de carga, y esta dado por:
G = C · eiπI2 (7.88)
Siendo C el operador de conjugación de carga y I2 la segunda componente del isospin.Las partículas cargadas pueden en este caso ser funciones propias de este operador.Es un operador que ayuda a definir los multipletes isospínicos de las anti-partículas.Asi, el duplete isospinico formado por el anti-neutrón y el anti-protón es (−n, p)
7.9.4 Inversión temporal (T )
Esta operación de simetría cambia la dirección del tiempo. El problema que se pre-senta es que esta transformación no es unitaria.
tT−−→ −t
~rT−−→ ~r
~pT−−→ −~p
~JT−−→ − ~J
La ecuación de Schrodinger no es invariante respecto de esta operación.Si T es un operador de simetría y satisface [H,T ] = 0 entonces Tψ y ψ obedecen lamisma ecuación de Schrodinger. Sin embargo esto no es cierto puesto que:
i~∂Tψ
∂t= HTψ (7.89)
Tψ(t) = ψ(−t) (7.90)
Escribiendo −t = t′
−i~∂ψ(t′)
∂t′= Hψ(t′) (7.91)
Que no es la misma ecuación que la anterior.La transformación correcta de inversión temporal es:
Tψ(t) = ψ∗(−t) (el cual es un operador anti-unitario) (7.92)
Al aplicarlo a la función de onda de una partícula libre con cantidad de movimientop, se tiene la función de onda de una partícula libre con cantidad de movimiento −p.Note que la ecuación de valores propios no tiene sentido por la definición misma dela transformación.La operación de T también deja invariante la norma,
∫ψ∗ψdV
7.10 Los kaones neutros y la violación de la simetría CP 273
7.10 Los kaones neutros y la violación de la simetría CP
Los kaones fueron las primeras partículas con extrañeza que se observaron. Sin em-bargo los kaones como tal tienen un comportamiento aún más extraño que las otraspartículas extrañas, este comportamiento es el que se pretende describir a continua-ción.Se puede decir que hay dos tipos de kaones neutros: el KL (τ = 5, 17× 10−8 sec) y elKS (τ = 0, 893 × 10−10 sec) o se podría decir también que hay dos clases de kaones:el K0 y el anti-K0. Si se tiene un K0 entonces hay un 50% de probabilidad de quesea KL y otro 50% de ser KS . Lo mismo se tiene para el anti-K0. Por otra parte,si se tiene un KL hay una probabilidad del 50% de que se comporte como un K0
y otro 50% como anti-K0, lo mismo para el caso de un KS . Pero un KL nunca secomportará como un KS ; ni un K0 como un anti-K0.Los números cuánticos extrañeza S y tercera componente del isospin I3 no se adju-dican a KL ni a KS , sino solo a K0 y al anti-K0 (ver tabla 7.7).La producción de kaones esta dada por la reacción,
p+ p→ Σ+ + p+K0
En este caso se puede estar seguro que el K0 tiene extrañeza uno (S = 1) puesto quesigma positivo tiene extrañeza menos uno, (S = −1).
La hipercarga es el único número cuántico que distingue a los kaones neutros desu anti-partículas. Puesto que las interacciones fuerte y electromagnética conservanla hipercarga, K0 y anti-K0 aparecen como dos partículas diferentes en experimentosque involucran estas interacciones. Sin embargo la interacción débil no conserva la hi-percarga y pueden ocurrir transiciones virtuales entre ellas mediante esta interacción,así,
K0 ↔ 2π ↔ K0
En ausencia de interacción débil, K0 y K0, son estados degenerados desconectados9,
si la interacción débil esta presente, los estados se conectan10.Si se considera la operación conjugación de carga se tiene:
C|K0〉 = |K0〉C|K0〉 = |K0〉
(7.93)
Después de encontrar que la paridad P no se conserva para la interacción débil, se vioclaramente que C tampoco lo hace, i.e., no conmuta con el hamiltoneano total. Lacombinación de las operaciones de simetría CP es un mejor escogimiento de simetríaen busca de esta conmutación con el hamiltoneano total.Para hallar el efecto de CP sobre los kaones es necesario conocer que la paridad
9Dos pozos de potencial separados por una pared de altura infinita.10La pared de separación entre los pozos tiene altura finita
274 Introducción a la Física de Partículas Elementales
intrínseca de los kaones es negativa11.
P |K0〉 = −|K0〉P |K0〉 = −|K0〉 (7.94)
Aplicando el operador conjugación de carga
CP |K0〉 = −|K0〉CP |K0〉 = −|K0〉
(7.95)
Si el hamiltoneano total conserva CP
[H,CP ] = 0 (7.96)
Entonces las funciones propias de H se pueden escoger como las funciones propiasdel CP . Definiendo:
|K1〉 = 1√2|K0〉+ 1√
2|K0〉
|K2〉 = 1√2|K0〉 − 1√
2|K0〉
(7.97)
Se puede verificar que son funciones propias de CP con valores propios (o paridades-PC) −1 y +1 respectivamente.
CP |K2〉 = +|K2〉CP |K1〉 = −|K1〉
(7.98)
K0 es la anti-partícula de K0
mientras que K2 no es antipartícula de K1. Tanto K1
como K2 tienen energías algo diferentes.Además se observa que K1 y K2 decaen diferente.
K2 → 2π K2 tiene spin cero.
CP |ππ〉 = +|ππ〉 (7.99)
Tanto K2 como los dos piones tienen la misma paridad de carga.
Como el valor propio del operador CP para K1 es −1. Éste no decae en dos pionessino en al menos tres piones, es decir,K1 no decaen en 2π sino en:
K1 → 3π (7.100)
Esto sería así, si se conservase la simetría CP . Sin embargo las medidas experimentalesmuestran que:
Int(KL → 2π)
Int(KL → todas las ramas)= 2× 10−3 (7.101)
11La paridad de los mesones esta dada por el producto de la paridad intrínseca que es negativa,ya que esta formada por una partícula y su antipartícula, y (−1)ℓ. Es decir, la paridad es P =−(−1)ℓ = (−1)ℓ+1
7.10 Los kaones neutros y la violación de la simetría CP 275
Resultado que demuestra la violación de la simetría CP .
Si se supone que se tiene un haz de kaones neutros que incide sobre una láminade cualquier material, éstos sufrirán toda clase de interacciones, sin embargo losanti-K0 se eliminan (o se absorben) más fácilmente porque tienen otros canales deinteraccionan que no los tienen los K0, así por ejemplo,
K0+ p→ π+ + Λ0
K0+ n→ π0 + Λ0
mientras que los K0 no tienen estos canales de interacción.
Si se hace pasar un haz de kaones por un blanco delgado después de viajar 10−8s.Las partículas que sobreviven al paso del blanco son K0, las partículas que no sehan desintegrado en ese tiempo son probablemente KL y no KS . Si ponemos otrosblancos en el camino del haz, cada vez el haz será absorbido en un 50% del otro 50%de partículas que se transmiten, el 50% decaerá inmediatamente.La interacción fuerte conserva la extrañeza por tanto cuando se genera un kaón se sabeque es K0 o un anti-K0 pero después de transcurrir un tiempo de 10−10 segundos,se sentirá la interacción débil y ya no son buenos números cuánticos ni S ni I3. Estecomportamiento extraño de los kaones se explica muy fácilmente desde el punto devista mecánico cuántico considerándolos como superposición de estados, es decir:
ψKL= 1√
2ψK0 + 1√
2ψK
0
ψKS= 1√
2ψK0 − 1√
2ψK
0
ψK0 = 1√2ψKL
+ 1√2ψKS
ψK
0 = 1√2ψKL
− 1√2ψKS
(7.102)
A esto se le conoce con el nombre de “El problema de dos estados” referenciados enel pie de página número 10, 11. Note que las funciones de onda han sido etiquetadascon KL y KS en lugar de K1 y K2, puesto que estos últimos fueron hipotéticos en elcaso de que la simetría PC se conservase.En palabras simples se podría decir: tanto K0 como anti-K0 se desintegran en dospiones, sin embargo al ser estados superpuestos existirá una cierta interferencia entrelos dos estados formadores, si la interferencia es constructiva, la partícula se desinte-gra rápidamente (KS); mientras si la interferencia es destructiva el sistema no puededesintegrarse en dos piones sino tres, que es mas demoroso (KL).Sobre la violación CP (una partícula es igual a la imagen especular de su antipar-tícula) se diría, la desintegración de KS respeta exactamente la simetría especular,mientras que KL (si se respetaría se desintegraría en 3 piones) presenta un ligerofallo, pues dos de cada mil partículas KL se desintegraban en dos piones. Por lo quese deduce que la interacción débil viola ligeramente la simetría PC o existe una nuevainteracción llamada “superdébil” cuya su única finalidad sería sabotear la conserva-ción de la simetría PC.Por último cabe mencionar que la simetría CPT (el orden de los operadores es irre-
276 Introducción a la Física de Partículas Elementales
levante) conmuta prácticamente con todo hamiltoneano, que sea inveriante respectode las transformaciones de Lorentz, i.e., [H,CPT ] = 0. La simetría CPT predice,por ejemplo, que las masas y los tiempos de vida media de partículas que decaendébilmente (tales como los muones) deben ser iguales. No se ha encontrado, hasta elmomento, ninguna evidencia experimental de violación de la simetría CPT .
7.11 La interacción débil y las leyes de conservación
La interacción débil es una interacción muy peculiar pues muestra una cierta intole-rancia a algunas simetrías y con ello a la conservación de algunos números cuánticos.Mientras la interacción fuerte solo se presenta entre quarks, y la electromagnética en-tre leptones cargados y quarks; la interacción débil se presenta entre todos los quarksy leptones (cargados y no cargados). Esta interacción, debido a la naturaleza de laspartículas que la sienten, se la podría clasificar en tres clases de pendiento de las par-tículas involucradas (en un inicio se pensó que era algo diferente para los hadrones,un poco menos intensa, que para leptones). Estas clases son:
1. Procesos hadrónicos, el estado final esta constituido solo por hadrones.
Λ0 → π− + p
Σ+ → p+ π0
K0 → π+ + π−
Ξ− → Λ0 + π−
Muestra que tanto el isospin y la extrañeza no se conservan. Sin embargo, sepuede definir unas ciertas reglas de selección para este tipo de violaciones
|∆I3| =1
2|∆S| = 1 |∆I| = 1
2,3
2
Además el cambio de extrañeza debe ser igual al cambio de carga.
Las transiciones con variación en el isospin 3/2 son altamente suprimidas (o muypoco probables) lo mismo que aquellas que tienen una variación de extrañeza 2(que no se menciona).
2. Procesos semi-leptónicos donde leptones y hadrones están presentes en elestado inicial y/o final.
n→ p+ e− + νe
π− → µ− + νµ
π+ → π0 + e+ + νe
K+ → µ+ + νµ
K+ → π0 + µ+ + νµ
7.11 La interacción débil y las leyes de conservación 277
Λ0 → p+ e− + νe
Σ− → n+ e− + νe
De estos ejemplos, viendo su variación en extrañeza e isospin, se pueden sub-clasificar en:
(a) 1. Aquellos que conservan la extrañeza
|∆S| = 0 |∆I3| = 1 |∆I| = 1
(b) 2. Aquellos que no conservan la extrañeza.
|∆S| = 1 |∆I3| =1
2|∆I| = 1
2,3
2
Las transiciones con variación en el isospin 3/2 son altamente impedidas(suprimidas) lo mismo que aquellas que tienen una variación de extrañeza2.
3. Procesos leptónicos, solo leptones están presentes.
µ− → e− + νe + νµ
En este caso no aparece ninguno de los números cuánticos que se están discu-tiendo.
Es muy importante considerar algunas características que presentan las co-rrientes hadrónicas débiles neutras, las cuales en primer orden, no muestran uncambio de sabor en los quarks.
Por otra parte, para el caso de decaimientos electromagnéticos tales como:
π0 → γ + γ
η0 → γ + γ
Σ0 → Λ0 + γ
La extrañeza se conserva lo mismo que la componente z del isospin; pero elisospin no.
|∆S| = 0 |∆I3| = 0 |∆I| = 0, 1
Haciendo un resumen de lo tratado, tanto a nivel de las interacciones comode las propiedades definidas, se podría resumir las leyes de conservación quesatisfacen las diferentes interacciones en la siguiente tabla.
278 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Tabla 7.8: Se muestra las interacciones y las cantidades que conservan.
Interacción Fuerte Electromagnética DébilEnergía-cantidad de movimiento SI SI SI
Momento angular total SI SI SINúmero Bariónico SI SI SI
Números Leptónicos SI SI SICarga Eléctrica SI SI SI
Extrañeza SI SI NOTercera componente del isospin SI SI NO
Isospin SI NO NOParidad P SI SI NO
Conjugación de carga C SI SI NOConjugación G (operador) SI NO NO
Simetría CP SI SI NO (casi)Simetría CPT SI SI SI
7.12 La interacción fuerte y el modelo de quarks de Gell-Mann
Gell-Mann, estudiando las partículas elementales existentes en su tiempo (es deciraquellas que se habían producido en el laboratorio), y analizando sus valores asocia-dos de extrañeza y carga eléctrica, se dio cuenta que se formaban dos hexágonos, unode 8 mesones con igual spin, y otro de ocho bariones con igual spin. Al analizar, deigual manera, bariones más pesados se generaba un decuplete de ellos. En el tiempode este análisis solamente existian nueve de aquellos bariones. Gell Man y su modelopredecía el barion faltante como una partícula de extrañeza S = −3 y carga eléctri-ca negativa. De hecho predecía también aproximadamente el valor de su masa. Estapartícula fue encontrada posteriormente y se la llamó Ω−. Toda esta organización delos hadrones en octetes y decupletes podrían explicarse considerando que los mesonesy bariones son sistemas de partículas más elementales llamadas quarks (los mesonescomo sistemas quark-antiquark, qq; y los bariones como sistemas tri quarks, qqq)12.Estos quarks, para los cuales la interacción fuerte es la misma, podrían intercambiarseen el sistema hadrónico sin modificar la naturaleza del sistema (tal vez un poco sumasa), dirigía a pensar en la existencia de una simetría. Estos intercambios vendríana ser los elementos del grupo de simetría asociado, llamado SU(3), puesto que sepostularon tres tipos de quarks: up (arriba), down (abajo) y strange (extraño). Losquarks yacen en la representación 3 del grupo de simetría, y los anti-quarks en larepresentación compleja conjugada 3.
12Actualmente se los considera como quarks de valencia, y son estos los que definen los númeroscuánticos del hadrón
7.12 La interacción fuerte y el modelo de quarks de Gell-Mann 279
Para los mesones, que son sistemas qq, se admite la formación de un octete y unsinglete (pseudo-escalar), pues 3⊗ 3 = 8⊕ 1. Tomando en cuenta que los quarks sonpartículas de spin 1/2, entonces el sistema qq puede tener un acople de spin de cero yuno; por tanto, el singlete y octete vendrán por duplicado, i.e.,mesones de spin cero(pseudoescalares) y mesones de spin 1 (vectoriales).
Para los bariones, que son sistemas qqq, se generarán 27 combinaciones, con laaparición de un decuplete, dos octetes y un singlete: 3⊗ 3⊗ 3 = 10⊕ 8⊕ 8⊕ 1 dondeel decuplete es simétrico, los octetes son mixtos y el singlete es anti-simétrico. Si seconsidera el spin de los quarks, se tiene para los bariones de baja energía los acoplesde spin 1
2 y 32 .
d
s
u
I3
S
0− 12
12
−1
0
u
s
d
I3
S
0− 12
12
1
0
S
I3
du
su
ds
uudd
sd
us
ud
−1− 120 1
21
−1
0
1
Figura 7.9: Tres sabores de quarks y sus correspondientes extrañezas y componentes z delisospin. El octeto de mesones que forman.
7.12.1 Relación de Gell Mann Nishijima
La asignación de la extrañeza inicialmente fue realizada de una manera ad-hoc, dehecho, fue llevada a cabo con la observación fenomenológica (en mente) de que lacarga de los hadrones esta relacionada con los otros números cuánticos a través de lasiguiente relación:
Q = I3 +Y
2= I3 +
B + S
2
donde Y = B + S y se le conoce como la “hipercarga fuerte”A continuación se muestran los diferentes octetos y decuplete, asociándoles sus par-tículas correspondientes
280 Introducción a la Física de Partículas Elementales
S
I3−1− 32
− 120 1
21 3
2
−3
−2
−1
0∆−
Σ∗
Ξ∗
Ω−
Q = −1
∆0
Σ∗0
Ξ∗0
Q = 0
∆+
Σ∗+
Q = 1
∆++
Q = 2
Figura 7.11: Decuplete de bariones (s = 3/2).
S
I3−1 − 12
0 12
1
−1
0
1
π−
K−
Q = −1
K0
π0
η0
K0
Q = 0
K+
π+
Q = +1
S
I3−1 − 12
0 12
1
−2
−1
0
Σ−
Ξ−
Q = −1
n0
Σ0
Λ0
Ξ0
Q = 0
p+
Σ+
Q = 1
Figura 7.10: Octetos de mesones (s = 0) y bariones (s = 1/2).
Notas.
1. Como ya se mencionó, además del octete y singlete de mesones con spin cero;hay un octete y singlete de mesones con spin uno (ρ,K∗, ω, φ). Se podría gene-rar multipletes de mayor orden, considerando el momento angular del sistemadistinto de cero (esto también se aplica al caso de bariones).
2. Puesto que se forman sistemas tri-quarks de idénticos quarks, estos sistemasdeben tener una función de onda anti-simétrica, el producto de las componen-tes de función de onda espacial, de spin y de isospin es simétrica (lo que obligala introducción de otro número cuántico, cuya función de onda debe ser antisi-métrica, el color). Hecho necesario para no violar el principio de exclusión dePauli.
3. Los dos octetos bariónicos, de simetría mixta, estan conectados por una trans-formación de simetría unitaria, por lo que describen los mismos estados.
Los nombres asignados a los quarks son: up (arriba), down (abajo) y strange (ex-traño).
El cuadro de partículas elementales hasta ese momento se podría resumir comodos parejas de leptones: un electrón y su neutrino y el muón con su correspondiente
7.12 La interacción fuerte y el modelo de quarks de Gell-Mann 281
S
I3−1− 32
− 120 1
21 3
2
−3
−2
−1
0ddd
dds
dss
sss
Q = −1
ddu
dus
uss
Q = 0
duu
uus
Q = 1
uuu
Q = 2
Figura 7.12: Decuplete de bariones (s = 3/2) en composición de quarks.
neutrino. Adicionalmente una pareja de quarks (u, d) y un solo quark adicional (?, s).
Glashow y Bjorken postularon la existencia de un cuarto quark, por razones desimetría y, de esta forma, el esquema de partículas elementales quedaba conformadocon dos pares de leptones y dos de quarks. El nuevo quark propuesto fue bautizadocomo quark encanto (o encantamiento) pues su presencia mágicamente cancelaba va-rios infinitos en la teoría de la interacción débil no renormalizable que se pretendíadesarrollar. De todas maneras la teoría se mantenía no renormalizable (las cancela-ciones eran incompletas). Adicionalmente la teoría de los tres quarks predecía que laspartículas extrañas se desintegraban a veces de manera que no lo hacían (reaccionescon ∆S = 2; y las llamadas “Flavour Changing Neutral Currents”, FCNC); mágica-mente la introducción de este cuarto quark eliminaba esos canales de desintegraciónindeseables, por este motivo a la introducción de un cuarto quark se lo llamó el “me-canismo GIM”. En realidad, una generalización del principio de Cabibbo, desarrolladoinicialmente para corrientes cargadas débiles, y aplicado al modelo con cuatro quarks.
La introducción de un nuevo quark en la teoría, podía tratarse considerando deigual manera el grupo de simetría SU(4) de sabor; esto generaba toda una gammade nuevas partículas que en su composición incorporaba este nuevo quark. Así losmesones, con representación 4⊗ 4 = 15⊕ 1, tanto con spin cero (pseudo-escalares) ycon spin uno (vectoriales).
Figura 7.13: Mesones en SU(4) de quarks.
282 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Para el caso de bariones se tiene la representación 4 ⊗ 4⊗ 4 = 20 ⊕ 20 ⊕ 20 ⊕ 4,donde los dos grupos de veinte intermedios tienen simetrías mixtas y estan relaciona-dos mediante una transformación unitaria, es decir, describen los mismos estados (despin 1
2). El primer grupo de veinte es simétrico (le corresponde un spin 32 y el grupo
de 4 techo es anti-simétrico.
Figura 7.14: Bariones en SU(4) de quarks.
La partícula centro de atención para la búsqueda experimental del cuarto quarkfue su mesón asociado, es decir, el formado por el quark encanto y su antiquark,cc. Dicha partícula fue encontrada y llamada “Gipsy” (J/Ψ) (dos nombres diferentesdados por los dos grupos diferentes que la descubrieron en 1974, con una masa aproxi-mada de 3.1 veces la del protón). Aun cuando en un principio no se le identificó comoel mesón cc, debido a que su tiempo de vida media era tres ordenes más grande de loque se esperaba para un mesón, posteriormente se verificó que si era el mesón encan-tado buscado, y el hecho de que su tiempo de vida media era tres ordenes más grandese debía a que el mesón no podía fácilmente desintegrarse en hadrones13 (ya que laenergía de desintegración era muy alta, la intensidad de la interacción fuerte debíaser pequeña y por tanto le costaría trabajo desintegrarse a través de hadrones). Porotra parte, esta partícula reivindicaba el modelo de interacciones débiles de los ha-drones. Este descubrimiento marcó una verdadera revolución en la física de partículas.
Prontamente al descubrimiento del quark encanto, le siguió el descubrimientodel leptón pesado τ y su neutrino asociado. Dos años despues se encontró el mesónpesado upsilon, el mismo que contenía un nuevo quark, al que se le llamó bottom. Pos-teriormente vino una epoca experimentalmente rica donde se encontraban diferentesbariones y mesones que contenían este nuevo sabor de quark.
Tuvo que pasar mucho tiempo para descubrir la partícula más pesada del modeloestándar, el quark top, Su proceso de producción es tanto através de la interacciónfuerte (en pares top-antitop, mediante procesos de aniquilación qq y fusión de gluo-nes) como de la interacción electrodébil (procesos que involucran vértices de la formaWtb). La gran masa de este quark y su tiempo de vida media pequeño (1×10−25seg.)hace que decaiga rápidamente principalmente en bosones W y quarks b, antes de que
13Ver “mecanismo de Ozi”
7.12 La interacción fuerte y el modelo de quarks de Gell-Mann 283
ocurra la hadronización y generación de jets.
Es importante mencionar que a los quarks se los comenzó a “observar” experi-mentalmente dentro de los bariones mediante reacciones (con leptones) altamenteinelásticas (reacciones de gran transferencia de cantidad de movimiento) y a los cua-les se les dio el nombre de partones. La identificación de los quarks con los partonesno fue inmediata debido principalmente a la cantidad de problemas que presentaba lateoría de quarks, entre estos problemas estaba, por ejemplo: el barión ∆++ esta for-mado por tres quarks u con momento orbital relativo ℓ = 0 y j = 3/2 su componentejz corresponde a los tres quarks (up), siendo su función de onda simétrica dando lugara una estadística equivocada (de bosones). Fue por tanto necesario introducir ad-hocun nuevo número cuántico, el “color”. Cada sabor de quark tiene tres posibles colores(rojo R, verde G, azul B). Note que diferentes números cuánticos de color en estadojz = 3/2 impiden la violación del principio de exclusión de Pauli. Las mezclas delos tres colores dan un color blanco (que describe la carga de color que poseen todoslos hadrones existentes ya que la separación de los quarks o el aislamiento de quarksesta prohibido, a esta prohibición se le conoce como confinamiento de quarks). Adi-cionalmente, los quarks que forman un hadrón, a pequeñas distancias, se comportancomo partículas cuasi-libres (libertad asintótica14). No existe contradicción entre estapropiedad y la anterior, puesto que el confinamiento solo se activa a largas distancias(del orden del radio del hadrón).La demostración experimental de la existencia física de la carga de color se basa enla producción electromagnética de hadrones, mediante la colisión: e+e− → γ → qq ycontando el número de estados finales producidos.Cada estado de color se caracteriza por la conservación de dos cargas de color llamadasisospin de color e hipercarga de color (no dependen del sabor).
Tabla 7.9: Color y cargas de color.
Quark IC3 Y C Anti-Quark IC3 Y C
R 1/2 1/3 R −1/2 −1/3G −1/2 1/3 G 1/2 −1/3B 0 −2/3 B 0 2/3
14La libertad asintótica fue posteriormente encontrada por Gross Wilczek y Politzer al analizarteorías tipo Yang Mills, las correcciones radiativas a la intensidad de la interacción son tales quehacen que ésta interacción decrezca en intensidad a pequeñas distancias. Determinaron la siguientedependencia en energía de la constante de acoplamiento para la interacción fuerte
αs(E) =12π
(33− 2nq) · log (E/Λ)2
con Λ una constante del orden de los 200 MeV y nq el número de quarks. Es importante notar quecuando E tiende a Λ la intensidad de la interacción crece indefinidamente, de manera que los quarksy gluones se encuentran confinados en una región de dimensión
≈~c
Λ= 1fm
284 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Para los sistemas multi-partículas las cargas de color se adicionan. En este casosolamente estados con carga de color de valor CERO se observan como partículaslibres (singletes de color) (hipótesis de confinamiento de color).La función de onda del sistema tendría tres componentes, una función de onda espa-cial, otra de spin y otra de color.
ψ = ψespψspinψcolor
Si las funciones de onda espaciales y de spin son simétricas, como en el caso de∆++,Ω−, la función de onda de color debe necesariamente ser antisimétrica. Utili-zando el determinante de Slatter, dicha función se la podría escribir como:
ψcolor =1√6r1g2b3 + r3g1b2 + r2g3b1 − r1g3b2 − r3g2b1 − r2g1b3
Note que los sistemas tales como qq y qqq están prohibidos por el confinamiento decolor; y los sistemas qqqq15 y qqqqq, son factibles, y se ha conseguido alguna evidenciaexperimental de su existencia.
La teoría cuántica de campos asociada a la interacción de color, entre quarks, ase-gura que dicha interacción se realiza mediante el interacambio de partículas virtuales,a las que se las llamó gluones (particulas de masa en reposo cero), que a diferenciade los fotones, posee dos cargas de color y por tanto pueden interaccionar entre sí.
q(R)
q(B)
q(B)
q(R)
gdoble color
Figura 7.15: Representación mediante diagrama de Feynman de la interacción de dos quarksmediante el intercambio de de un gluón virtual
La conservación de la carga de color en los vértices:
IC3 (gluón) = IC3 (R)− IC3 (B) = 1/2
Y C(gluón) = Y C(R)− Y C(B) = 1
Los gluones pueden existir en ocho tipos y, de igual manera que los quarks, estánconfinados. La interacción entre gluones puede representarse mediante los diagramasde Feynman, como se ilustran a continuación:
15Actualmente ha aparecido una primera evidencia experimental de la existencia de mesones ybariones de este tipo.
7.13 El charmonio 285
Figura 7.16: Interacción que lleva al confinamiento de color y la libertad asintótica. Inter-acción rango cero o de contacto
Si la intensidad de la interacción fuerte fuese suficiente, los gluones podrían for-mar estados estables llamados “glueballs” que aparecerían en forma de mesones conS = 0 C = 0 y B=0. El más liviano sería un mesón JPC = 0++ con una masacorrespondiente entre 1.5 y 1.7 GeV/c2. Puesto que los quark están inmersos en elmodelo, estos estados no son puros sino que se solapan con los estados qq.
7.13 El charmonio
A medida que se avanza en el sabor de los quarks, Estos se vuelven más pesados porlo que el sistema qq esta más ligado. Este sistema puede considerarse como un sistemasimple no relativista y se le puede asociar un potencial de interacción que considereel confinamiento.
Uno de estos sistemas es el “charmonio” cc para el cual uno de sus estados16 seríala partícula J/ψ, un estado con número principal n = 1 y que en notación espectros-cópica es 3S1. Está partícula se suponía debía decaer de acuerdo con: J/ψ → D+Dsin embargo 2MD > MJ/ψ. Por lo que la ley de conservación de la energía impide di-cho decaimiento de una manera espontánea. Por otra parte se esperaba que el tiempode vida media sea del orden de 10−22 segundos y fue de tan solo 10−20 segundos (seesperaba que Γ ≈ 50 MeV y fue tan solo de 90 keV). Lo que representaba que suformación no se podía justificar en términos de los quarks u, d y s. El valor de lasdos masas de las partículas D representa la energía umbral del proceso.
Puesto que la partícula J/ψ se produce en la aniquilación e−e+ mediante un fotónde intercambio, esta debería tener una conjugación de carga C = −1.Los estados más altos en masa del charmonio con JPC = 1−− donde P = −(−1)ℓ yC = (−1)ℓ+s se observan de la aniquilación e−e+ y otros con valores JPC diferentesse identificaron de los decaimientos posteriores. Así: n = 1, 1S0 ηC (2980) se encontróde los decaimientos:
ψ(3686) → ηC(2980) + γ
J/ψ(3097) → ηC(2980) + γ
16Como todo sistema mecánico cuántico poseerá una serie de estados cuánticos con sus corres-pondientes energías (el de menor energía será su estado base, los otros los estados excitados).
286 Introducción a la Física de Partículas Elementales
Una serie de estados χci(i = 0, 1, 2) se encuentran del decaimiento,
ψ(3686) → χci + γ
Estados que corresponden a n = 1 3P0, 3P1, 3P2
Estos estados se muestran en la siguiente figura:
ηc(2,98)
J/ψ(3,10)
ηc(3,64)
ψ(3,69)
hc(3,53)
χc0(3,42)
χc1(3,51)
χc2(3,56)
1S03S1
1P13P0
3P13P2
0−+1−−1+−0++1++2++
JPC
Figura 7.17: Esquema energético de los estados del Charmonium.
A diferencia del mesón φ (sistema ss) que decae ya sea en dos kaones o tres piones(el primer decaimiento es más probable que el segundo), el mesón J/ψ no decae endos partículas D, como ya se mencionó, sino tan solo en tres piones. La “regla de Ozi”establece que este tipo de procesos, es decir, “aquellos que pueden cortarse” solamentea través de la línea de gluones son menos probables. Esta regla esta relacionada a lalibertad asintótica.Los decaimientos correspondientes a estos dos mesones se representan mediante susdiagramas de Feynman:
φ→ K+ +K−
u
u
u
u
u
u
φ
s
s
K−
K+
s
s
u
u
Figura 7.18: Decaimiento del meson φ en dos kaones
φ→ π+ + π− + π0
7.13 El charmonio 287
u
u
uu
u
u
u
uφ
π+
π0
π−
s
s
u
dd
dd
u
g
g
g
Figura 7.19: Decaimiento del mesón φ en tres piones.
Para la partícula J/ψ no se presenta el decaimiento siguiente porque está prohi-bido energéticamente:
J/ψ → D+ +D−
La masa de las dos partículas D es mayor que la masa de J/ψ. Por tanto, la partículaJ/ψ decae solamente en tres piones.
J/ψ → π+ + π− + π0
Este decaimiento es el permitido pero es menos probable, de acuerdo con la regla deOzi, lo que explica la longevidad de J/ψ.
u
u
uu
u
u
u
uJ/ψ
π+
π0
π−
c
c
u
dd
dd
u
g
g
g
Figura 7.20: Decaimiento del mesón J/ψ en tres piones.
Como se mencionó anteriormente, con el incremento de la energía de colisión enlos grandes aceleradores de partículas, fue relativamente simple encontrar el quintoquark, denominado b (bottom) el cual era tres veces más pesado que el quark c. Unaestructura similar a la del charmonium se reproduce para el bottomium bb cuya ener-gía umbral es 2MB (10.56 GeV/c2). Por otro lado, el quark top no forma tal sistemadebido a que su tiempo de vida es muy pequeño.
Es importante recalcar que la misma combinación de quarks forma diferentespartículas. Así, ∆+ es un trío (uud) igual que el protón p+ (uud). Se podría decir quesolo son diferentes estados de un mismo sistema, sino que para sistemas de quarks,la separación en energía entre sus niveles es tan grande que siendo el mismo sistemade quarks, se les puede considerar como partículas distintas. En principio se podríatener muchas partículas que no serían sino estados excitados del mismo sistema de
288 Introducción a la Física de Partículas Elementales
quarks. Sin embargo es claramente observable que algunos casos son excluidos.
En base al modelo de quarks, uno estaría tentado a estudiar las propiedades delos bariones (sistemas tri-quarks), tales como: sus spines, momentos dipolares magné-ticos y la masa del sistema, para ver si las predicciones del modelo de quarks coincidecon las observadas experimentalmente. El justificar el spin del protón a partir delas componentes del sistema tri-quarks no es sencillo y realmente muestra una grancontribución de los gluones en ello.Sin embargo definiendo de ante-mano el spin del sistema se podría hacer un estudiocorto del momento dipolar magnético de sistemas tri-quaks que tienen un spin 1/2.
Para bariones de spin 1/2, si se considera que el sistema tri-quark tiene un mo-mento angular orbital cero, el momento dipolar magnético estaría dado por la contri-bución de los momentos dipolares magnéticos de cada quark. Definiendo, para ellos,los siguientes momentos:
µf = γMp
mfµN
Donde el factor γ (esta relacionado a la carga del quark) es 2/3 para los quarks: u,c, t ; y −1/3 para los quarks: d, s, b.Mp y mf son las masas del protón y del correspondiente quark respectivamente.µN es el magnetón nuclear.Si se considera el caso del sistema uds que corresponde a la partícula Λ(1116) puestoque el sistema tiene spin 1/2, la evidencia experimental muestra que los quarks udestán acoplados en sus estado de spin cero y por tanto
µΛ = µs = −Mp
3msµN
Para bariones de spin 1/2 formados por sistemas q1q1q2, es decir con dos quarks igua-les. Este par se encuentra en el estado de acople spin 1 (como lo muestra la evidenciaexperimental, i.e., para que los números cuánticos coincidan con los del barión), portanto el barión tendrá dos contribuciones: una con componente z de spin Sz = 1 yotra con componente Sz = 0, en el primer caso se aporta al momento magnético con2µq1 − µq2 ; y en el segundo con µq2 .Puesto que el estado de la partícula esta dado como: |SB , SZ〉 =
∑Cq|Sq, Szq2〉|Sq1q1 , Szq1q1〉
y para este caso: |1/2,1/2〉 =√
23 |1/2,−1/2〉|1, 1〉 −
√13 |1/2, 1/2〉|1, 0〉.
Entonces: µB =2
3(2µq1 − µq2) +
1
3µq2 =
4
3µq1 −
1
3µq2
Aplicando al caso del protón y del neutrón se tienen los siguientes resultados:
µp = 2, 73µN
µn = −1, 82µNQue muestran una pequeña desviación con los valores experimentales, la considera-ción de que los estados tri-quark sean puros con momento angular cero al parecer no
7.13 El charmonio 289
es exacta, sino que hay pequeñas mezclas con momento angular distinto de cero.
De los experimentos de partículas a altas energías se destacan dos observacionesimportantes:
1. la colisión a altas energías de núcleos pesados que en cierto estadio de la colisión(a densidades de energía altas) hay un “desconfinamiento en un volumen mayoral del hadrón” formando lo que se conoce como plasma quark-gluón. Estadoque se cree existe en el interior de una estrella de neutrones (la temperaturade transición de este estado se ha estimado por simulaciones QCD y es de 1012
K. la formación de este nuevo estado de la materia estaría evidenciado porvarios procesos posibles de observarlos tales como una producción abundantede mesones ss y por tanto una gran producción de partículas extrañas. Porotra parte podría observarse un déficit en la producción de partículas J/ψ porla separación y mezcla de c y c, produciendo mesones encantados, en su lugar.
2. Las colisiones entre leptones de alta energía, especialmente e − e+, llevan a laproducción de jets de hadrones, que se representa en el siguiente diagrama deFeynman:
u
u
u
u
γ
e+
e−
q
q
hadrones
hadrones
Figura 7.21: Generación de jets de hadrones.
Este proceso es el predominante en el rango de los 15 − 40 GeV en el CM. Elproceso de fragmentación de los quarks en los jets de hadrones es muy com-plicado, sin embargo la conservación de la cantidad de movimiento define lastrayectorias de los quarks generados. La distribución angular de los jets al haz deelectrones refleja a su vez la distribución angular del quark anti-quark, y al com-pararse con los resultados teóricos tienen muy buena concordancia. Los eventoscon la producción de tres jets ocurren a altas energías y se puede considerarcomo la emisión de un gluón del par quark anti-quark antes de la fragmentación.
Por último debemos mencionar que la existencia de los tres tipos de coloresasociados a la interacción fuerte y no más, se basa en el resultado experimentalde que la razón:
R =σ(e+e− → hadrones)σ(e+e− → µ+µ−)
290 Introducción a la Física de Partículas Elementales
No depende de la energía de la aniquilación.Posteriormente, al incrementarse la energía de los grandes aceleradores, se co-menzaron a estudiar metódicamente las colisiones altamente inelásticas (coli-siones con gran transferencia de cantidad de movimiento). Las colisiones en elSLAC (con electrones) mostraron la propiedad de scalling que consiste en quela sección eficaz resultaba prácticamente independiente de la energía transmiti-da y de la energía total por separado; dependiendo solo del cociente de ambas.Feynman se dio cuenta que lo que ocurría se podía explicar considerando quelos electrones colisionaban con centros de dispersión que no interaccionan entresi dentro del hadrón (protón) que parecía estar compuesto por partes duras sinestructura. Se le llamó el modelo de partones.
7.14 Interacción débil
La interacción débil se devela al estudiar el decaimiento beta de algunos núcleos ra-diactivos, una vez desarrollado el modelo atómico. Los núcleos atómicos no contienenelectrones dentro del núcleo, tan solo neutrones y protones, sin embargo algunos deellos (los que tiene un exceso de neutrones) se transmutan a otro elemento mediantela emisión de un electrón (rayo beta) desde el núcleo. La energía de este electrón emi-tido varía desde cero hasta un valor límite, que corresponde con el Q de la reacción yal que se denominó: energía de transición. Esto llevó a Pauli a postular la existenciade una nueva partícula de masa cero y sin carga eléctrica a la que Fermi lo llamoneutrino, la cual fue descubierta 25 años después de su postulación. La intensidadde esta interacción, causante de este decaimiento, se encontró ser más débil que laelectromagnética razón por la cual fue bautizada como interacción nuclear débil.El decaimiento beta del neutrón (τ = 1000 sec) se representa en el siguiente esquema:
n→ p+ e− + νe
Fue precisamente Fermi quién desarrolló la primera teoría para la interacción débil,siguiendo un modelo similar a la emisión de luz de un átomo. Lo que el núcleo emitíaen el decaimiento beta era un campo leptónico (formado por el electrón y el anti-neutrino). El proceso se producía en un mismo punto y no había partícula mediadoracomo en el caso de la electromagnética que era mediada por un fotón.
n
ν
p
e
Figura 7.22: Diagrama de Feynman representando el decaimiento beta del neutrón sinpartícula virtual de intercambio
La teoría de Fermi era una teoría que describía muy bien los experimentos (des-
7.14 Interacción débil 291
cripción del espectro de emisión electrónico y positrónico en los decaimientos betanegativo y positivo); y no solamente los decaimientos, sino también las colisionesneutrino-electrón o neutrino-protón (neutrón), pero solamente en primera aproxima-ción y a baja energía. Si la energía se incrementaba se hacía inconsistente puesto quelas probabilidades de los procesos tomaban valores mayores a 1, si se recurría a se-gundos términos de aproximación para talvez corregir estos valores, se obtenía valoresinfinitos que eran imposibles de manejarlos mediante procesos de renormalización (sedice entonces que la teoría de Fermi no es renormalizable).
La generalización al modelo de Fermi, basada en el modelo electromagnético, esdecir la interacción de la corriente eléctrica con fotones, llevó a considerar a la interac-ción débil como la interacción de corrientes débiles; si cambian de carga las partículas(es decir el electrón se convierte en un neutrino) se les denomina corrientes débi-les cargadas. En este caso la densidad de energía de este proceso es proporcional alproducto entre la corriente débil cargada y su conjugada. Un paso importante en eldesarrollo de la teoría de la interacción débil fue la demostración de que esta interac-ción no conserva la paridad. Los neutrinos son izquierdos (los derechos, si los hay, nointeraccionan débilmente). De esta manera las corrientes cargadas débiles asociadas alos procesos de interacción de los leptones y hadrones deberían ser una mezcla de uncampo vectorial y un axial (seudo-vectorial) que cambia de signo bajo una operaciónde paridad, se la llamó teoría V-A, puesto que la paridad no se conservaba.
Otra modificación al modelo de Fermi, desarrollado por Lee y Yang, considerabaque aun cuando la interacción es de rango corto, habían partículas virtuales respon-sables de la interacción, se las llamó W+ W−. Estas partículas debían ser cargadas ycon valores de masas varias masas las del protón (ahora sabemos que son aproxima-damente 85 veces la masa del protón). Esta teoría mantenía también problemas derenormalización. Posteriormente Glashow postuló la existencia de una tercera partícu-la virtual mediadora de la interacción débil W 0 (Z0) y debido a que tiene propiedadessimilares al fotón, mezcla la interacción débil con la electromagnética. Se suele decirque el fotón tiene una componente débil y la Z tiene una componente electromag-nética. Una consecuencia de esta unificación es que Z debe tener una masa un pocomayor a las W , lo que fue confirmado experimentalmente. Las partículas W ′s y Zinteraccionan débilmente entre sí, lo que llevó a reconsiderar las teorías de Yang Millscomo aquellas que podían resolver el problema de la interacción débil. Sin embargohabía una gran dificultad. El problema radicaba en el hecho que si se considera lateoría de Yang Mills las partículas virtuales responsables de la interacción no tienenmasa y si se les asigna masas inicialmente, el modelo se vuelve no renormalizable(este problema fue posteriormente resuelto mediante el mecanismo de Higgs, que in-volucra la introducción de un nuevo campo que asigna masa a las partículas cuandola simetría de vacío se rompe. Se consideró a éste un campo escalar de modo tal quesu estado de menor energía corresponde a una intensidad de dicho campo distinta decero).
El modelo de Glashow predecía interacciones débiles sin intercambio de carga,
292 Introducción a la Física de Partículas Elementales
mediadas por las partículas Z (corrientes neutras) posteriormente observadas en in-teracciones con neutrinos. Para la interacción débil no existe lo que se podría llamar“carga débil” pero se la podría definir. Los quarks y los leptones sienten esta interac-ción y por lo tanto tendrían esta carga. La interacción débil se la puede tratar comode dos tipos: la cargada (que se realiza mediante intercambio de W±) y la neutra(mediante intercambian Z0). Se estudia algunos aspectos de la interacción débil porseparado para leptones y quarks y se representa su interacción mediante los diagramasde Feynman (corresponde a los vértices).
7.14.1 Interacción débil para leptones
En este caso se las puede representar mediante los siguientes diagramas de Feynman17
equivalentes:
u ue− ν
W−
u ue− ν
W+
Figura 7.23: Diagrama de Feynman representando la interacción débil (cargada) de dosleptones.
Los leptones involucrados en el proceso pertenecen a una misma familia. Un ejem-plo de este proceso de interacción sería la colisión: µ−+νe → e−+νµ (proceso que esmuy difícil de implementarlo en laboratorio) representado en el siguiente diagrama:
u u
u
µ νµ
W−
u u
νe e−
Figura 7.24: Diagrama de Feynman representando el proceso µ− + νe → e− + νµ.
Sin embargo, si se “tuerce” el diagrama (es decir se rota la línea que representa elneutrino entrante respecto de su vértice) se obtiene el diagrama correspondiente deldecaimiento de muón (que sucede en la naturaleza todo el tiempo)
u u
u
µ νµ
W−
u
u νe
e−
Figura 7.25: Diagrama de Feynman representando el decaimiento del muón.
17En la lectura de los diagramas de Feynman el tiempo corre de izquierda a derecha
7.14 Interacción débil 293
El siguiente vértice representa lo que se conoce como corrientes neutras,
u ue e
Z
Figura 7.26: Diagrama de Feynman representando la interacción débil no cargada.
Un ejemplo de esta interacción es la dispersión: νµ + e→ νµ + e
u uνµ νµ
Z
u u
e− e−
Figura 7.27: Diagrama de Feynman representando el proceso: νµ + e→ νµ + e.
Note que la dispersión entre dos electrones será tanto a nivel de interacción elec-tromagnética como a nivel de la interacción débil (para este segundo caso, la partículavirtual de intercambio es la Z).
u ue− e−
γ
u u
e− e−
u ue− e−
Z
u u
e− e−
Figura 7.28: Diagrama de Feynman representandola dispersión e− e mediante interacciónelectromagnética y débil.
Los estudios experimentales de la reacción e−+e+ → µ−+µ+ a muy alta energíamostraron evidencia inconfundible de la contribución de Z en la interacción débil.
7.14.2 Interacción débil para quarks
Las corrientes cargadas se pueden representar por el siguiente vértice:
294 Introducción a la Física de Partículas Elementales
u u
u
q(−1/3) q(2/3)
W−
Figura 7.29: Diagrama de Feynman representando la interacción débil cargada entrequarks.
Este vértice generalmente conecta miembros de una misma generación de quarkscomo es en el caso de los leptones. Es decir, se transmutan los siguientes quarks a suscorrespondientes pares mediante el intercambio de un W−, en este caso,
d→ u
s→ c
b→ t
(En estas transiciones, el quark saliente lleva el mismo color del incidente, se puededecir que hay un cambio de sabor pero no de color)
Como ejemplo de este tipo de interacción se tiene al del decaimiento beta delneutrón. Este decaimiento se representa por el siguiente diagrama de Feynman:
u uu u
u ud d
u ud u
u
u ν
e−
W−
Figura 7.30: Diagrama de Feynman del decaimiento beta del neutrón.
El decaimiento del pión negativo es: π− → µ− + νµ y se lo representa medianteel siguiente diagrama de Feynman:
uu
u
u
u
d
µ
νµ
W−π−
Figura 7.31: Diagrama de Feynman del decaimiento de pión.
El diagrama del decaimiento beta, rotando la rama del neutrino respecto del
7.14 Interacción débil 295
vértice, representa el proceso de dispersión n+νe → p+e. Estos procesos generalmenteconsideran que un par de quarks (en este casou, d) del hadron, que no intervienen enel proceso, son simplemente espectadores.
u u
u
d u
W−
u u
νe e−
Figura 7.32: Diagrama de Feynman n+ νe → p+ e.
Note que existen tipos de decaimiento que puede tener dos ramas de decaimiento,cada uno mediante una interacción diferente. Este es el caso del decaimiento de la par-tícula delta neutra (resonancia del neutrón). Su decaimiento a través de la interaccióndébil se describe en el siguiente diagrama de Feynman:
∆0 → p+ π−
u uu u
u ud d
u ud u
u
u u
d
∆0 p
π−
W
Figura 7.33: Diagrama de Feynman del decaimiento (débil) de la partícula neutra delta.
Su segundo decaimiento es a través de la interacción fuerte y se representa me-diante el siguiente diagrama:
u u
u u
u u
d d
u
d u
uu u
u
d
∆0 p
π−
Figura 7.34: Diagrama de Feynman del decaimiento (fuerte) de la partícula neutra delta.
La corriente neutra (o interacción no cargada) entre quarks está representado porel siguiente diagrama:
296 Introducción a la Física de Partículas Elementales
u uq q
Z
Figura 7.35: Diagrama de Feynman de interacción débil no cargada entre quarks.
Un ejemplo de este tipo de interacción sería la dispersión del neutrino, que seilustra en la siguiente figura:
u uu u
u u
d d
u uu uu
νeνe
up p
Z
Figura 7.36: Diagrama de Feynman de la dispersión de un neutrino con un protón.
Es muy importante observar que en primer orden, no hay transiciones permitidasentre quarks de la misma carga, es decir, no hay corrientes neutras con cambio desabor de fermiones, es decir, transiciones como las siguientes
s↔ d
c↔ u
b↔ s
b↔ d
En segundo orden si se pueden producir estas transicones, por ejemplo b → s,en el caso del decaimiento b → sss en B0 → φK0. Estas transiciones son conocidascomo pinguin diagrams.
En la interacción débil, se podría decir que los quarks remedan a los leptones.Una diferencia sería que debido a la propiedad de confinamiento, en las interaccionesdébiles entre quarks, existen quarks espectadores. Una diferencia más radical entre lainteracción débil entre quarks con aquella que se tiene entre leptones sería entoncesque el vértice que involucra la interacción débil entre quarks no solo opera en cada ge-neración, como en el caso de leptones, sino entre las distintas generaciones de quarks.Esto explica una serie de decaimientos donde, por ejemplo, existe un cambio en laextrañeza que involucran la interacción débil, tal como en los siguientes ejemplos:
1. El procesoΛ0 → p+ + π−
7.14 Interacción débil 297
u uu u
u u
d d
u us u
u
u u
d
Λ p
π−
W
Figura 7.37: Diagrama de Feynman del decaimiento (débil) de la partícula neutra lambda.
donde se produce un cambio del quark s a un quark u mediante el intercambiode una W−; además la vida media de este decaimiento es 20 veces más largaque los decaimientos débiles normales, lo que sugiere que el acople débil de W−
y el quark s, representado por el vértice en la siguiente figura, es menor que enlos otros casos.
u u
u
s u
W−
Figura 7.38: Interacción débil entre quarks de diferente generación.
Un segundo ejemplo es:
2. El proceso de decaimiento del barión Ω:
Ω− → Λ0 +K−
u u
s s
u u
s u
W
u
s duu u
u
s
Ω− Λ
K
Figura 7.39: Diagrama de Feynman del decaimiento (débil) de la partícula Omega.
Los decaimientos débiles entre distintas generaciones de quarks tienen vidas me-dias un orden de magnitud más grande que aquellos en una misma generación lo quesugiere que el acople débil de los quarks con W es, en estos casos, un orden menoral que se esperaría. Los procesos débiles entre quarks de diferentes generaciones escomún y al parecer, muestra una diferencia con los leptones y podría dudarse dela universalidad de la interacción débil. La solución o explicación a esta diferencia
298 Introducción a la Física de Partículas Elementales
mostrada por los quarks en la interacción débil, fue sugerida por Cabibbo (1963), yaplicada a los procesos neutros por Glashow Illiopulus & Maine (1970); y extendidaa las tres generaciones de quarks por Kobayashi y Maskawa (1973). La idea esenciales que las generaciones de quarks están “rotadas” para el caso de las interaccionesdébiles. Es decir, en lugar de las tres generaciones de quarks:
(ud
) (cs
) (tb
)se tiene
(ud′
) (cs′
) (tb′
)
donde los quarks primados son combinaciones lineales de los no primados.d′
s′
b′
=
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
dsb
y la matriz que les relaciona es conocida como “la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa”. Los coeficientes representan las vértices débiles correspondientes.
La solución dada por Cabibbo menciona entonces que lo que interacciona con lapartícula W no es el quark s o el quark d sino una superposición de los dos18. Aunqueel mecanismo de Cabibbo dio buenos resultados con corrientes débiles cargadas semantenía la dificultad con corrientes neutras de hadrones, el siguiente proceso eramuy poco probable, millones de veces menos probable al valor que el modelo deCabibbo preveía.
s→ d+ (Z0) + νe + νe
u u
s d
Z
uu
ν
ν
Figura 7.40: Corriente débil neutra de hadrones.
Fue un físico de apellido Hara (secundado por otros científicos como Glashow yBjorken) quien inicialmente dio una posible salida a este conflicto, considerando laexistencia de otro quark (el cuarto) similar al quark u pero de mayor masa (el famosoquark c). Esta existencia hipotética llevaba a que la probabilidad de desintegraciónanalizada recibía contribuciones, de igual magnitud pero de signo contrario de losquark u y c, que la cancelaban (a o que se le llamó el mecanismo GIM). En noviembrede 1974 se descubrió el quark c y todo comenzó a encajar pieza por pieza.
18Cabibbo había supuesto solo la mezcla de dos quarks.
7.15 Quiralidad (chiriality) 299
7.15 Quiralidad (chiriality)
Se dice que un fenómeno es chirial si no es idéntico a su imagen en el espejo. A laacción de la paridad actuando sobre un fermión de Dirac se le llamó simetría Chirial.El spin de una partícula se usa para definir si la partícula es izquierda o derecha.
~s ~p
~p~s
Figura 7.41: Definición de partículas izquierdas y derechas.
La grafica superior define a una partícula como derecha (o dexo) y la inferiorcomo izquierda (o levo).
Matemáticamente se define la helicidad de una partícula como la proyección delspin en la dirección de la cantidad de movimiento.Las partículas de masa en reposo cero tienen una quiralidad absoluta (helicidad). Elspin de una partícula sin masa no se ve afectado por una transformación de Lorentz,puesto que al no tener masa se mueven a la velocidad de la luz y, por tanto, no existiráun sistema de referencia donde su velocidad cambie de sentido.Las partículas con masa tienen una quiralidad relativa la cual depende del sistemade referencia del observador.La interacción débil manifiesta diferentes intensidades para fermiones izquierdos yderechos. En algunas circunstancias dos fermiones izquierdos interaccionan más fuerteque dos derechos o un derecho y otro izquierdo.Para un campo de Dirac, la quiralidad se define como uno de los dos valores propiosdel operador γ5 (+1 o −1)
(1− γ5
2
)y
(1 + γ5
2
)
Que corresponden a los operadores que proyectan su componente izquierda y derecharespectivamente. Con éstos operadores se los puede tratar a las componentes derechaso izquierdas por separado (proceso que se conoce como: “chiral bias”).Las teorías gauge vectoriales con fermiones de Dirac (sin masa) muestran simetríachiral, es decir una rotación del izquierdo independientemente del derecho, no haceninguna diferencia. Para fermiones masivos estas teorías no exhiben esta simetría (eltérmino mψψ en el Lagrangiano rompe la simetría chiral).Los neutrinos son izquierdos, no tienen imagen especular, o quizá si tenga pero no seha observado, es decir, si hay neutrinos derechos, éstos no participan directamente enlas interacciones débiles. Esto fue mostrado por Marshak y Sudarshan al analizar lascorrientes débiles en el modelo V-A que involucran neutrinos.
300 Introducción a la Física de Partículas Elementales
7.16 Sobre los neutrinos
Desde su introducción hipotética en el estudio del decaimiento beta, el neutrino hamostrado ser una de las partículas más exóticas no solo por la dificultad que se tienepara detectarla (debido a ser no cargada y de tener masa en reposo casi cero) sinoporque la única interacción que siente (a excepción de la gravedad) es la débil. Adi-cionalmente a las propiedades de esta partícula que se ha mencionado a lo largo deeste estudio se topan algunas más que son de utilidad.
La universalidad leptónica hace referencia al hecho de que la interacción débil entreel electrón, muón y partícula tau con sus correspondientes neutrinos es igual (aúncuando la diferencia de masa de los leptones es muy marcada, el electrón es establemientras que el muón y la partícula tau no lo son). Esta universalidad leptónica puedeverificarse comparando las tasas de decaimiento leptónico del muón y de la partículatau son proporcionales a la quinta potencia de los valores Q del decaimiento, así:
Γ(τ− → e− + νe + ντ )
Γ(µ− → e− + νe + νµ)=Q5τ
Q5µ
= 1, 37 × 106
que concuerda con el valor experimental 1, 35 × 106
Adicionalmente la tasa de decaimiento de la partícula Z0, que se puede determinarexperimentalmente y separarse teóricamente su parte hadrónica, leptónica cargada ysu parte de neutrinos, muestra que solo existen tres tipos de neutrinos (es decir, tresgeneraciones de leptones).Los neutrinos de los tres tipos han sido detectados en el laboratorio pese a su pequeñasección eficaz de interacción. Los primeros en ser detectados fueron los neutrinos tipoelectrónico en la reacción νe + p→ e+ + p. Un alto flujo de antineutrinos se obtieneen los reactores de fisión por el gran número de material radiactivo emisor beta quese obtiene de los fragmento de fisión. Por otra parte, el decaimiento de los pionescargados genera un gran flujo de neutrinos tipo muón que se los detecta mediante lareacción νµ + n → µ + p. Los neutrinos tipo tau fueron más escurridizos y apenasen el año 2000 se tenia evidencia experimental de ellos mediante experimentos en elDESY.
7.16.1 Oscilaciones de neutrinos
El desarrollo de las técnicas de detección de partículas llevó también al desarrollode detectores de neutrinos19. La utilización de los detectores Kamiokande y Super-Kamiokande como detectores de neutrinos posibilitaron el estudio experimental deéstos (al incrementar el número de eventos de detección de neutrinos), y con ello, laconfirmación del problema del déficit de neutrinos provenientes del Sol (que emite1038 neutrinos por segundo) que había sido conocido años atrás, y mostraba que elnúmero de eventos detectados eran un factor dos (o tres) menor de aquel que se es-peraba de acuerdo con el modelo solar. Este problema planteó la posibilidad de que
19Algunos detectores inicialmente diseñados para otros propósitos (e.g.,detección del decaimientodel protón)
7.16 Sobre los neutrinos 301
existiesen oscilaciones de neutrinos, es decir, que en el recorrido de grandes distancias,un neutrino de un tipo (dígase electrónico) se transforma en un neutrino de otro tipo(dígase muónico). Si este proceso realmente se presenta implicaría que los neutrinostendrían masa, pues la amplitud de probabilidad de la oscilación depende de la dife-rencia de los cuadrados de las masas de los neutrinos involucrados en el proceso. Unexperimento definitivo de que realmente se produce esta oscilación de neutrinos esel realizado por el SNO (Sudbury Neutrino Observatory), donde su detector de neu-trinos permite detectar los neutrinos de los tres tipos (a diferencia de los detectoresanteriores que solo detectan neutrinos tipo electrón). Se observó, en sus resultados,que efectivamente había un déficit de neutrinos tipo electrónico, pero el número deneutrinos totales (de todo tipo) coincidía con el teórico.La oscilación de neutrinos puede tratarse de una manera simple desde el punto devista teórico (similar al comportamiento de los quarks d, s, b en la interacción débil).Se podría suponer que los neutrinos νe, νµ, ντ no son estados propios del operador demasa asociado. Los que sí serían, se los llama ν1, ν2, ν3 con valores propios (masasasociadas) de m1,m2,m3. Los neutrinos que se generan en la naturaleza, en procesosde interacción son entonces superposiciones de estos neutrinos y por tanto:
νeνµντ
=
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
ν1ν2ν3
(7.103)
donde a los elementos de la matriz de los conoce como ángulos de mezcla. Los da-tos acumulados hasta la fecha en experimentos de osilación de neutrinos generan lasiguiente matriz:
+0,8 + 0,5 ± 0,2+0,4 − 0,5 + 0,7−0,4 + 0,6 + 0,7
donde el signo del tercer término de la primera fila es todavía indeterminado.
Como se mencióno la probabilidad de oscilación de neutrinos desde un tipo α auno β esta dada por:
Pαβ = sin2(2θ) · sin2(∆m2L
4Eν
)(7.104)
donde θ es el ángulo de mezcla, Eν la energía del neutrin0, L la longitud recorrida y∆m2 la diferencia del cuadrado de las masas20.
La existencia de tres neutrinos genera dos valores de ∆m2 que vienen a ser lasfrecuencias de las oscilaciones neutrínicas21. Aun cuando no se conoce la jerarquia enmasa de los neutrinos, estimaciones cosmológicas muestran que:
∑mν < 136 meV.
La oscilación de neutrinos lleva necesariamente a reconsiderar la ley de conser-
20En el denominador del argumenta del segundo seno cuadrado hay un factor ~c que en el sistemade unidades natural es uno.
21Sin embargo medidas reciente (no concluyentes todavía) muestran una oscilación no compatiblecon tres neutrinos. Esta anomalía se trata de explicar con la existencia de un cuarto neutrino al quese le ha llamado esteril por el hecho de no interaccionar debilmente.
302 Introducción a la Física de Partículas Elementales
vación del número leptónico que se discutió anteriormente, pues uno podría esperarprocesos donde se produzca la oscilación de neutrinos, así por ejemplo en el siguienteproceso τ− → µ− + γ representado por el diagrama de Feynman,
u
u
u
τ−ντ νµ
µ−
γ
W−
Figura 7.42: Rama de decaimiento a considerar en caso de oscilación de neutrinos
Sin embargo, debido al rango muy corto de la interacción débil ≈ 10−18 m, losprocesos que involucran esta interacción y que van acompañados de oscilación neu-trínica son poco probables, del orden de 10−40, así la razón de decaimiento de lapartícula tau a través de esta rama es completamente despreciable, la estimaciónteórica muestra que es 40 ordenes de magnitud menos probable. Por tanto, se puedeseguir sosteniendo la ley de conservación del número leptónico22.
Una de las consecuencias mas importantes dentro de los modelos desarrolladosa partir de la teoría cuántica de campos para las partículas y sus interacciones esque para el caso de la teoría electro-débil y la cromodinámica cuántica apareceninteracción entre los bosones mediadores de la interacción y por lo tanto se tienenacoplamientos débiles y electromagnéticos de las W± y Z0, los cuales se representanen los siguientes diagramas:
u u
W W
Z
u
u
u
u
W
W
W
W
u
u
u
u
W
Z
W
Z
Figura 7.43: Diagrama de Feynman de los acoplamientos débiles de Ws y Z.
22Un problema más crítico con la definición del número leptónico se presentaría si el neutrino esuna partícula de Majorana, es decir, su anti-partícula es su partícula, en este caso ya no tendríasentido un número leptónico.
7.17 Polarización del vacío 303
u u
W W
γ
uu
uW
Z
W
γ
u uW
γ
W
γ
Figura 7.44: Diagrama de Feynman de los acoplamientos electromagnéticos de Ws y Z.
Estos diagramas son muy importantes dentro de la consistencia interna de lateoría pero de limitada importancia práctica.En cromodinámica cuántica, estos acoplamientos son de mucha importancia pues, losgluones siendo bosones de masa cero, su intercambio genera una interacción de rangocorto (rango del orden de los fermis: 1fm = 10−15 m).
Figura 7.45: Diagrama de Feynman de los acoplamientos fuerte entre gluones.
Un aspecto muy importante dentro de la teoría cuántica de campos y los acopla-mientos entre los bosones mediadores de la interacción aparece en lo que se conocecomo la polarización del vacío.
7.17 Polarización del vacío
El vacío desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos es un mar de par-tículas virtuales apareciendo y desapareciendo en intervalos de tiempo menores alque está permitido por el principio de indeterminación de Heisenberg. Se lo puederepresentar por una serie de diagramas de Feynman. Para el caso de la interacciónelectromagnética, descrita por la electrodinámica cuántica, dos de estos diagramas semuestran en la siguiente figura:
304 Introducción a la Física de Partículas Elementales
u u
u u
u u
u uFigura 7.46: Diagramas de Feynman mostrando la Polarización del vacío.
El vacío se comporta como dieléctrico, para distancias menores a la longitud deonda de Compton (λC), la carga efectiva crece. Por lo que en una medida, cuyo ob-jetivo es determinar el valor de la carga, mide la carga apantallada por una nube depares electrón-positón virtuales que rodean la carga desnuda.Lo mismo sucede en la cromo-dinámica cuántica, QCD, pero con un ingrediente im-portante, no solo se tiene vértices quark-gluon-quark sino también vértices gluónicos,que se deben incluir.
u u
u u
u u
u u
u u
u u
Figura 7.47: Vértices entre gluones.
Los diagramas de polarización de quarks incrementa la constante de interacciónfuerte a distancias pequeñas. La polarización gluónica reduce la constante de aco-plamiento a pequeñas distancias. El primero depende del número de tipos de quark(sabor de quark) “f ” en la teoría. El segundo depende del número de cargas de color“n”. Hay una competencia entre los dos efectos, criterio que se describe mediante leexpresión: a = 2f − 11n, cuyo valor negativo, hasta el momento a = −21, indica queαs en QCD decrece a pequeñas distancias. Este hecho se lo conoce como ¡la libertadasintótica!
Otra diferencia fundamental entre la QED y la QCD que ya se ha mencionadoes que no existen partículas individuales que lleven carga de color, confinamientode quarks23. Es decir, los quarks forman sistemas de 3 quarks (bariones) o sistemasquark-antiquark (mesón) cuya carga de color total es blanca24.
23La prueba del confinamiento en QCD se basa en los jets de partículas24Se investiga sobre la posibilidad de sistemas pentaquarks.
Capítulo 8
Introducción informal a laelectrodinámica cuántica
En este punto del curso nos encontramos con la posibilidad de avanzar rápidamenteen el estudio de los diferentes modelos o teorías que describen las interacciones enla naturaleza. La electrodinámica cuántica (QED) representada por el grupo U(1),la interacción débil representada por el grupo SU(2), y la cromodinámica cuántica,QCD, representada por el grupo SU(3)1. Sin embargo, antes de hacer una introducciónrápida a la teoría de campos y las representaciones del grupo propio de Lorentz, esimportante revisar los diagramas y las reglas de Feynman desde un punto de vistamás simple y práctico (es decir, a partir de generalizaciones de conceptos mecánicocuánticos conocidos por los estudiantes). Esto permitirá que el estudiante conozca:como se calculan las secciones eficaces de los diferentes procesos, los diagramas deorden superior de los procesos, los métodos de re-normalización de la carga y masaen QED y sus consecuencias y con ello desarrollar el lenguage comunmente utilizadoen física de partículas. Posteriormente se estará en capacidad de desarrollar la teoríaelectro-débil y la cromo-dinámica cuántica a partir de un lagrangiano y sus ecuacionesde campo, introduciendo la invariancia respecto de una transformación “local” en elespacio de carga.
Sistema de unidades naturalEn física de partículas, se utiliza el sistema de unidades naturales, en el cual
~ = c = 1
Note que h = 2π~ = 2π
8.1 Probabilidad de transición por unidad de tiempo
Los procesos de decaimiento y colisión pueden ser vistos como transiciones, de un sis-tema, desde un estado cuántico inicial a alguno de los estados finales. La probabilidad
1Grupos de transformaciones unitarias en el espacio de cargas: de color, de isospin débil y dehipercarga débil.
305
306 Introducción informal a la electrodinámica cuántica
de transición por unidad de tiempo de que se produzca dich proceso esta dada por lasegunda regla de oro de Fermi, ya discutida en este curso, y que se deduce tomandoel primer orden de teoría de perturbaciones dependientes del tiempo (primer términodel desarrollo iterativo de la ecuación integral para el operador evolución temporalen la representación de interacción).
La probabilidad por unidad de tiempo esta dada por:
W = lımT→∞
|Tfi|2T
(8.1)
donde
Tfi = −i∫ T/2
−T/2dt′∫φ∗fV φidq e
i(Ef−Ei)t′
o en forma covariante
Tfi = −i∫ψ∗fV ψidΓ (8.2)
de tal modo que,
W = lımT→∞
2π|Vfi|2T
δ(Ef −Ei)∫ T/2
−T/2ei(Ef−Ei)tdt
W = 2π|Vfi|2δ(Ef − Ei)La función delta de Dirac expresa el hecho que la energía del sistema se conserva enla transición.
Integrando sobre los estados iniciales y finales. Considerando tan solo un estadoinicial y una densidad de estados finales
W = 2π
∫|Vfi|2ρ(Ef )δ(Ef − Ei)dEf
W = 2π|Vfi|2ρ(Ei) (8.3)
con
Vfi = −i∫φ∗fV φidq (8.4)
Expresión que representa la segunda regla de oro de Fermi.
Si se considera ahora el segundo término de aproximación del desarrollo se tiene:
Tfi = 1ra aprox − 2πi∑
n 6=iVfn
1
Ei − En + iεVniδ(Ef − Ei) (8.5)
Gráficamente esta amplitud de probabilidad se la puede representar a través delos siguientes diagramas:
8.2 Partículas con spin cero 307
u
u
i
f
Vfi
u
uu
u
i
fn
Vni Vfn
1ra aproximación 2da aproximación
Figura 8.1: Esquema de dispersión en el espacio-tiempo.
Note que a los vértices de las dispersiones se les puede asociar, genéricamente, lostérminos Vab y a la línea entre dos vértices (propagador), el inverso de la diferenciade energía:
≈ 1
Ei − EnPuesto que los diagramas de Feynman representan procesos de interacción y estánconformados por: partículas entrantes, vértices de interacción (estas dos primerasestarían representadas por el campo y los elementos de interacción de la matriz detransición respectivamente) y líneas internas entre vértices (que su forma dependerádel campo).
8.2 Partículas con spin cero
Estos conceptos simples se aplican a un campo escalar en interacción electromagné-tica, el campo escalar tiene como ecuación de movimiento a la ecuación de Klein-Gordon, y representa a una partícula sin spin y de masa m.La ecuación de movimiento para la partícula libre es:
(∂µ∂µ +m2)φ = 0 (8.6)
En el caso de estar en interacción con un campo electromagnético definido porsu vector potencial magnético Aµ = (A0, ~A). En la ecuación de movimiento hay quereemplazar:
pµ → pµ +Aµ o i∂µ → i∂µ + eAµ
La ecuación de Klein Gordon se la puede escribir en este caso como:
(∂µ∂µ +m2)φ = −V φ (8.7)
donde la perturbación electromagnética esta dado por:
V = −ie(∂µAµ +Aµ∂µ)− e2A2
La pequeñez del acoplamiento electromagnético nos permite aplicar teoría de pertur-
baciones, es decir desarrollar en serie de α = e2/4π =1
137.
En primera aproximación se elimina el término cuadrático en A.
308 Introducción informal a la electrodinámica cuántica
De acuerdo con lo tratado anteriormente, la amplitud Tfi para la dispersión desdeel estado φi al φf en un potencial electromagnético Aµ, representada por el siguientediagrama, esta dada por la expresión:
u u
φi φf
Aµ
Figura 8.2: Dispersión de una partícula cargada por un campo electromagnético.
Tfi = −i∫φ∗f (x)V (x)φi(x)d
4x
Tfi = i
∫φ∗f (x)ie(A
µ∂µ + ∂µAµ)φi(x)d
4x (8.8)
Integrando por partes el primer término del integrando, i.e.,∫φ∗f∂µ(A
µφi)d4x = −
∫(∂µφ
∗f )A
µφid4x
y eliminando el término en la superficie, se tiene:
Tfi = −i∫Jfiµ A
µd4x
conJfiµ = −ie(φ∗f (∂µφi)− (∂µφ
∗f )φi) (8.9)
Si se consideran las funciones de onda como de partícula libre para los estados inicialy final, es decir,
φi = Nie−ipix
φf = Nfe−ipfx
donde los productos punto entre cuadrivectores se los está representando como:px = pµxµ.
Las constantes de normalización son: N =1√V
(aunque hay que redefinirlas
puesto que nos son invariantes de Lorentz).
Jfiµ = −eNiNf (pi + pf )µei(pf−pi)x (8.10)
Nota. Para una dispersión, A + B → C +D se definen los invariantes de Man-delstan de la siguiente manera:
s = (pA + pB)2
8.2 Partículas con spin cero 309
t = (pA − pC)2
u = (pA − pD)2
Además,s+ t+ u = m2
A +m2B +m2
C +m2D
La√s representa la energía total del proceso en el centro de masa.
Si se considera que el campo electromagnético se genera en otra partícula, setiene la dispersión, A+B → C +D, entre dos partículas descrito por el diagrama deFeynman siguiente2
u u
u u
pA pC
pB pD
γ q
J(1)µ
J(2)µ
Figura 8.3: Interacción electromagnética entre dos partículas cargadas.
Como se mencionó, el potencial electromagnético se le asocia (su fuente) a la cargade una de las partículas, digamos la partícula (2). Entonces la ecuación para el campoelectromagnético es
∂µ∂µAν = jν (8.11)
Considerando un campo de la forma: Aµ = Nµeiqx con q = pD − pB
∂µ∂µeiqx = −q2eiqx
De modo que:
Aν = − 1
q2Jν(2) (8.12)
donde la corriente fuente es de la misma forma que la anterior,i.e.,
Jν(2) = −eNBND(pB + pD)νei(pD−pB)x (8.13)
De esta manera, la amplitud
Tfi = −i∫J (1)µ (x)
(− 1
q2
)Jµ(2)(x)d
4x
2A la reacción A+B → C +D se la suele llamar el canal s; mientras que a A+D → C +B selo llama el canal u y a D +B → C + A el canal t.
310 Introducción informal a la electrodinámica cuántica
reemplazando las corrientes e integrando se tiene que:
Tfi = NANBNCND(2π)4δ4(pD + pC − pB − pA)(−im ) (8.14)
donde −im se le conoce como la amplitud invariante y es:
−im =
[ie(pA + pC)
µ
(−igµν
q2
)ie(pB + pD)
ν
](8.15)
La sección eficaz del proceso es proporcional al cuadrado de la amplitud invariante.
De esta forma, en base a lo realizado para el campo escalar, se pueden definir lassiguientes reglas de Feynman para dicho campo:
b
u
u
u u
campo entrante
campo saliente
vértice
propagador
1
1
ie(p + p′)µ
− igµνq2
p p′
Figura 8.4: Diagramas de Feynman para un campo escalar complejo.
La amplitud invariante del proceso descrito por el diagrama de Feynman, figura8.3, se la escribe entonces como el producto de las correspondientes amplitudes de:(campo saliente) (vértice) (campo entrante) (propagador de campo electromagnético)(campo saliente) (vértice) (campo entrante).. Estas amplitudes son las que toman elnombre de reglas de Feynman.
Si las partículas son diferentes este diagrama es suficiente para resolver el problemaen primera aproximación (o primer orden). Si las partículas son idénticas es necesarioresolver otro diagrama. La amplitud invariante es la suma (resta) de las amplitudesde cada diagrama para bosones (fermiones).
8.2 Partículas con spin cero 311
u uA B
γ
u u
C D
uA
γ
u
C
uu
B
D
Figura 8.5: Diagramas equivalentes para la dispersión de partículas idénticas.
Como ya se ha mencionado, para el proceso: A+B → C +D.
La probabilidad de transición por unidad de tiempo esta dada como:
Wfi =|Tfi|2TV
(8.16)
Wfi = (2π)4δ4(pC + pD − pB + pA)
V 4|m |2 (8.17)
La sección eficaz será:
σ ≈ Wfi(número de estados finales)flujo incidente
El número de estados finales es γV d3p
(2π)3. La multiplicidad γ es uno para el campo
escalar. Si la normalización se considera3 como de 2E partículas por volumen V . Elnúmero de estados finales por partícula es:
V d3p
(2π)32E
Para el caso del proceso en cuestión: estados finales =V d3pC
(2π)32EC
V d3pD(2π)32ED
El flujo inicial (flujo de partículas incidente por la densidad de blancos)
flujo inicial = |~vA|2EAV
2EBV
dσ =|m |2F
dQ
3La condición de que la constante de normalización de la función de onda plana sea una invarianterelativista, hace que ésta deba ser proporcional a E partículas por unidad de volumen. Generalmentese toma 2E partículas por volumen.
312 Introducción informal a la electrodinámica cuántica
donde los factores dQ y F son:
dQ = (2π)4δ4(pC + pD − pB + pA)d3pC
(2π)32EC
d3pD(2π)32ED
F = |vA|2EA2EBEl factor d3p
E es un invariante relativista.En el sistema centro de masa,
dQ =1
4π
pf4√sdΩ
F = 4pi√s
De esta forma, (dσ
dΩ
)
CM
=1
64π2s
pfpi|m |2 (8.18)
8.3 Partículas con spin 1/2
Procediendo de igual manera para el campo de Dirac, el cual tiene cuatro componentesy resuelve la ecuación de onda:
(iγµ∂µ −m)ψ = 0
La función de onda para la partícula libre es: ψ(x) = u(p)e−ipx. Por tanto u(p) essolución de:
(γµpµ −m)u(p) = 0
a u(p) se le conoce como el espinor de Dirac.
Al resolver esta ecuación se tiene cuatro soluciones independientes, las dos prime-ras soluciones describen estados con energía positiva E > 0, y las otras dos, estadoscon energía negativa E < 0. Estas dos últimas se interpretan como estados de posi-trón con energía positiva.Las dos primeras soluciones de la ecuación de Dirac:
u(1,2)(p)e−ipx (8.19)
Describen un electrón libre con energía E y cantidad de movimiento ~p.Las dos soluciones de energía negativa, que describen un electrón con energía −E ycantidad de movimiento −~p:
u(3,4)(−p)e−i(−p)x = v(2,1)(p)eipx (8.20)
que se le interpreta como un positrón con energía E y cantidad de movimiento p.
8.3 Partículas con spin 1/2 313
Las ecuaciones para los espinores quedan,
(p−m)u(p) = 0 (8.21)
(−p−m)u(−p) = 0
(p+m)v(p) = 0 (8.22)
donde se ha introducido la notación p = γµpµ.
Introduciendo ahora la interacción con un campo electromagnético, la ecuaciónde Dirac queda:
[γµ(i∂µ + eAµ)−m]ψ = 0 (8.23)
Para la normalización de los espinores se escoge 2E partícula por unidad de vo-lumen, así: ∫
ψ†ψdV = u†u = 2E (8.24)
Ademásu(s)†u(r) = 2Eδrs, de igual manera, v(s)†v(r) = 2Eδrs
Si se define, u ≡ u†γ0; se tiene u(p −m) = 0, de igual manera, v(p+m) = 0.De estas ecuaciones se pueden encontrar las relaciones de completitud:
∑
s=1,2
u(s)(p)u(s)(p) = p+m
∑
s=1,2
v(s)(p)v(s)(p) = p−m
La ecuación de Dirac para los espinores en presencia de un campo electromagnéticoes
[γµ(pµ + eAµ)−m]ψ = 0
(γµpµ −m)ψ = γ0V ψ (8.25)
Con V ′ = γ0V = −eγµAµConsiderando el primer término de teoría de perturbaciones
Tfi = −i∫ψ†f (x)V
′(x)ψi(x)d4x (8.26)
Tfi = ie
∫ψf (x)γµA
µψi(x)d4x (8.27)
DefiniendoJfiµ = −eψfγµψi = −eufγµui · ei(pf−pi)x (8.28)
314 Introducción informal a la electrodinámica cuántica
Se tiene
Tfi = −i∫Jfiµ A
µd4x (8.29)
La cual puede interpretarse como la interacción del espinor con un campo elec-tromagnético y se lo representa en la siguiente gráfica,
u u
ui uf
ieγµ
Figura 8.6: Dispersión partícula de Dirac con campo electromagnético.
Siguiendo el mismo procedimiento como para el caso de partículas sin spin, sepodría ya definir unas reglas de Feynman:
u
u
u
u
u u
campo entrante
campo saliente
anti-partícula entrante
anti-partícula saliente
vértice
propagador
propagador
u
u
v
v
ieγµ
− igµνq2
i q +m
q2 −m2
Figura 8.7: Diagramas de Feynman para un campo de Dirac.
Donde adicionalmente se ha introducido también un nuevo diagrama que repre-senta el propagador del campo de Dirac.
Considere la dispersión electromagnética elástica electrón-muón: e+ µ→ e+ µ
8.3 Partículas con spin 1/2 315
u u
u u
pa pc
pb pd
γ
e e
µ µ
Figura 8.8: Dispersión electromagnética electrón-muón.
Tfi = −i∫J (1)µ (x)
(− 1
q2
)Jµ(2)(x)d
4x
Tfi = −i(2π)4δ4(pa + pb − pc − pd) ·m
−im =
[(ieucγ
µua)
(−igµν
q2
)(ieudγ
νub)
](8.30)
Debido a que las partículas (y anti-partículas) tienen spin, entonces se puedenconsiderar las secciones eficaces polarizadas o despolarizadas. La sección eficaz des-polarizada se calcula usando la amplitud invariante:
|m |2 = 1
(2sa + 1)(2sb + 1)
∑
todo s
|m |2 (8.31)
El cálculo de las amplitudes invariantes y con ello, de las secciones eficaces requie-re la determinación de los diferentes campos (espinores) o campos vectoriales (en elcaso de fotones) que permitan obtener ya sean los resultados polarizados o despolari-zados. Para el caso último se han desarrollado varias técnicas analíticas que permitenun cálculo de la sección eficaz despolarizada sin tener que conocer las polarizadas.Estos procedimientos estan fuera del alcance de este texto.
La electrodinámica cuántica, como lo hemos visto, se basa en un desarrollo enserie del proceso de interacción (teoría de perturbaciones). Lo que se ha hecho hastaahora es describir un proceso de interacción mediante un pictograma (diagrama deFeynman) que representa dicho proceso y se ha mencionado la forma de calcular laprobabilidad de que dicho evento ocurra. Sin embargo este valor sería tan solo elcálculo en primera aproximación habiendo todavía un número infinito de términos enla serie (que se podría decir) que no se calculan por el hecho de que seguramente sondespreciables.Si se considera un proceso simple de interacción y se estima un diagrama de segundoorden del proceso el resultado nos dará infinito (el cálculo mediante las reglas deFeynman resulta en una integral divergente). Este problema se presentará en todoslos diagramas de orden superior. El tratamiento de estos infinitos y la manera de
316 Introducción informal a la electrodinámica cuántica
ocultarlos, se lo llama método de re-normalización (y no siempre es posible aplicarloen cualquier teoría).
8.4 Renormalización
Para enfrentar de mejor manera esta situación, se podría discutir el problema de ladispersión de una carga puntual por una distribución de carga estática (dispersión deRutherford).
u upi pf
Aµ
Figura 8.9: Interacción electromagnetica de una partícula con una carga estática
En este caso,
Tfi = −i∫Jfiµ (x)Aµ(x)d4x
dondeJfiµ (x) = −eµfγµui · e−iqx
el campo Aµ está asociado a la carga estática y q = pi − pf
Tfi = ieufγµuiAµ(q)
Aµ(q) es la transformada de Fourier del campo, i.e.
Aµ(q) =
∫Aµ(x) · e−iqxd4x
Para una carga estática: Aµ(x) no depende el tiempo
Aµ(q) =
∫e−iqxdt
∫Aµ(x) · e−iqxd3x = 2πδ(Ef − Ei)Aµ(q)
Aµ(q) se la puede calcular a partir de la ecuación de Maxwell
Aµ(~q) =1
|q|2Jµ(~q)
Esta Jµ(q) está asociada a la fuente del campo, en nuestro caso a la distribuciónde carga. La amplitud invariante, de acuerdo con las reglas de Feynman discutidasanteriormente será:
−im =
[(ieufγ
µui)
(−igµν
q2
)(−iJν(~q))
]
8.4 Renormalización 317
Para la carga estática:J0(x) = Zeδ(x)
J(x) = 0
−im =
[(ieufγ0ui)
(−iq2
)(−iZe)
]
Ecuación que describe la dispersión de Rutherford.
q2 = (pi − pf )2 = −2k2(1− cos θ) = −4k2 sin2(θ/2)
8.4.1 Correcciones de orden superior
La amplitud invariante del diagrama anterior tiene dos vértices y por tanto es delorden de α (constante de estructura fina, a la vez proporcional a e2); pero la seccióneficaz es proporcional a α2. Como se ha mencionado anteriormente este diagramarepresenta el primer término de un desarrollo en serie (que representa la serie deperturbación). Si se analiza el siguiente diagrama de orden superior:
u u
u u
q
q − pp
q
Figura 8.10: Corrección de segundo orden en el propagador de la interacción electromag-nética
Este diagrama muestra que el fotón virtual de pronto se convierte en un parelectrón-positrón virtual, que luego se aniquila y sigue como fotón virtual, este dia-grama y otros de orden superior llevarán a modificar la ley de coulomb.Aplicando las reglas de Feynman a este diagrama se tiene la siguiente amplitud inva-riante:
−im = (−1)1(ieufγµui)(−igµµ′
q2
)∫d4p
(2π)4
[(ieγµ
′
)αβi(p +m)βλp2 −m2
(ieγν′
)λτi(q − p+m)τα(q − p)2 −m2
]×
×(−igν′ν
q2
)(−iJµ(q))
Un factor (−1)n se debe incluir en la amplitud invariante para un diagrama quecontiene n lazos de fermiones. La integración en p se debe a que la cantidad demovimiento del lazo no esta restringida. Una forma simple y esquemática de ver esto
318 Introducción informal a la electrodinámica cuántica
es mencionar que el propagador del campo electromagnético ha sido reemplazado por:(−igµν
q2
)−→
(−igµν
q2
)+
(−igµµ′
q2
)Iµ
′ν′(−igν′ν
q2
)
(−igµν
q2
)−→
(−igµν
q2
)+
(−iq2
)Iµν
(−iq2
)
con
Iµν =
∫d4p
(2π)4Tr
[(ieγµ)αβ
i(p +m)
p2 −m2(ieγν)λτ
i(q − p+m)τα(q − p)2 −m2
]
Iµν = −iηµνq2I(q2) + · · ·Esta integral es divergente. Para propósitos explicativos se le asigna los siguientesvalores:
I(q2) = − α
3πlog
(M2
m2
)+
α
15π
q2
m2para valores pequeños de (−q2)
I(q2) = − α
3πlog
(M2
−q2)
para valores grandes de (−q2)
donde se ha introducido como un límite finito el valor M para la integral impropia.Reemplazando en la amplitud invariante de la dispersión que se está discutiendo,
−im = (−1)1(ieufγµui)(− i
q2
)·(1− α
3πlog
(M2
m2
)+
α
15π
q2
m2+ · · ·
)· (−iZe)
la cual puede ser escrita como:
−im = (−1)1(ieufγµui)(− i
q2
)·(1− e2R
60π2q2
m2
)· (−iZe)
con el valor de nuevo de carga
eR =
(1− e2
12π2log
(M2
m2
))1/2
La situación es que si se define inicialmente la carga eléctrica por el valor expe-rimental, las correcciones de orden superior divergen; sin embargo esas divergenciasse las puede esconder redefiniendo la carga como se ha hecho en la última ecuación.Esta es la carga medida y al utilizarla en los diagramas de orden superior se obtienenvalores finitos y pequeños que no son más que correcciones a las amplitudes invarian-tes.La forma como se justifica este proceso de renormalización es el mencionar que lacarga eléctrica desnuda es infinita, pero el momento en que desea medirla, tiene queubicar una carga de prueba, la cual genera en su interacción, múltiples pares virtua-les electrón-positrón (polarización del vacío) que apantallan la interacción y vuelven
8.4 Renormalización 319
finita a la carga eléctrica.
8.4.2 El desplazamiento de Lamb
Cuando se considera la polarización del vacío en la interacción electromagnética entreel electrón y el núcleo, aparece un término adicional al potencial de Coulomb. Cuandoel electrón en el átomo esta cerca del núcleo este efecto se acentúa, el potencial extrade atracción produce un desplazamiento en el nivel energético del electrón:
V (r) = −Ze2R
4πr− Ze4R
60π2m2δ(~r)
El cálculo del desplazamiento se realiza utilizando mecánica cuántica ordinaria con-siderando el segundo término como una perturbación, el desplazamiento energéticoen este caso es:
∆Enℓ = −e4R
60π2m2|ψnℓ(0)|2δℓ0
Este corrimiento ha sido medido con gran precisión en la transición 2s1/2 → 2p1/2 yse lo conoce el desplazamiento de de Lamb.
Adicionalmente al diagrama de segundo orden estudiado, existen otros como semuestra en la figura:
Figura 8.11: Otros diagramas de orden α2
El tercer gráfico de la figura modificará la estructura de la densidad de corriente,es decir, el término: −eufγµui. Al desarrollar la amplitud invariante de la gráficase tendrá dos términos, uno de los cuales contribuyen al desplazamiento de Lamby el otro al momento dipolar magnético. Esta última corrección (de los diagramasde orden α2) genera un pequeño desplazamiento en el valor del factor g de Landédel electrón y con ello una pequeña corrección en su momento dipolar magnéticointrínseco.gs = 2 +
α
πdonde α es la constante de la estructura fina y coincide con el valor experimentalhasta el octavo dígito.
(g − 2
2
)= (1159655,4± 3,3)× 10−9
320 Introducción informal a la electrodinámica cuántica
(g − 2
2
)
exp
= (1159657,7± 3,5)× 10−9
La redefinición de la carga discutida anteriormente se hizo en base al diagramaque genera un par virtual en propagador del campo electromagnético. Note que dichare-definición no depende de la partícula que se esta dispersando. En los diagramas dela última figura se tiene que los lazos se encuentran en las líneas y dichas integralestambién divergen a no ser que se proceda, como en el caso anterior, a esconder losinfinitos. Uno estaría tentado a pensar que estas sería otras redefiniciones de la carga(para diferentes partículas dependiendo de la dispersión que se estudie). Sin embargoen electro-dinámica cuántica se verifica que la modificación de la carga por el diagrama
Figura 8.12: Corrección de vértice de segundo orden.
Se cancela exactamente con las modificaciones de la carga introducida por los dosdiagramas siguientes:
Figura 8.13: Correcciones de segundo orden en las líneas de campo.
De esta manera se concluye que solo el diagrama de la polarización del vacíomodifica la carga. Entonces eR es la carga renormalizada. Esta cancelación se repitepara todo orden de perturbación en la teoría. Esta conspiración de los diagramasúltimos tratados (diagramas de vértice) refleja una propiedad básica de las teoríasde campo “gauge” y se le conoce como identidades de Warp. La carga medida por elexperimentador para una dispersión de partículas cargadas a baja energía α = 1
137es entonces la contribución de todos los diagramas de Feynman que consideran a lasmodificaciones solo del propagador. Si se define por e0 a la carga desnuda del electróny e la experimental, se podría decir que:
8.4 Renormalización 321
u u
u u
e
e
u u
u u
e0
e0
u u
u u
e0
e0
u u
u u
e0
e0
= + + + · · ·
Figura 8.14: Re-normalización de la carga.
La teoría cuántica de campos ha demostrado ser la teoría que describe las in-teracciones existentes en la naturaleza a excepción de la gravedad. Excluyendo estaúltima de este estudio, se sabe que las partículas descritas en el modelo estándar, deacuerdo con la teoría cuántica de campos, están descritas por campos: los leptonesy quarks mediante campos de Dirac; mientras que los bosones de interacción de lateoría electro-débil y los gluones de la interacción fuerte, mediante campos vectoria-les. Adicionalmente el bosón de Higgs mediante un campo escalar. Estos campos noson más que representaciones del grupo propio de Lorentz. En el próximo capítulo seprocede a introducir los campos asociados a las partículas de interés y para ello seconsidera que el estudiante conoce la relatividad especial de Einstein y sobre el grupopropio de Lorentz.
Capítulo 9
Campos
Las teorías físicas actuales (una de ellas tratada, de manera informal en este curso,y que describen existosamente todos los experimentos hasta ahora llevados a cabo)están fundamentadas en teorías de campo. Así, la relatividad general es una teoríade campo clásica que describe la gravedad; mientras que el modelo estándar es unateoría de campos cuántica que describe las otras tres interaciones existentes en lanaturaleza: electromagnética, débil y fuerte.
Como se acaba de mencionar, el modelo estándar de partículas elementales des-cribe a la materia y tres de sus cuatro interacciones (a excepción de la gravedad), através de campos cuánticos. Es interesante notar como todas las partículas a las quese les ha llamado materia estan descritos por un mismo tipo de campo (el campo deDirac); de igual manera las tres interacciones mencionadas se describen a través deun mismo tipo de campo, el campo vectorial. Además el modelo estandar añade uncampo escalar encargado de asignar masa tanto a las partículas de materia como aalgunas asociadas a las interacciones.
El concepto de campo no es tan fácil de describir. Aquí se hace el siguiente intento:Un campo es un algo (una cantidad) que se extiende a lo largo de todo el espacio-tiempo y en cada uno de los puntos del espacio-tiempo asocia o define un conjunto denúmeros (llamadas componentes de campo). Este campo, así definido, es un objetogeométrico, es decir, contiene la misma información independientemente del sistemade referencia inercial (u observador).
Desarrollando un poco más esta definición, considere dos sistemas de referenciainerciales K y K ′ cuyas cooordenadas estan relacionadas a través de las tranforma-ciones de Lorentz L. Si se realiza cierto experimento en el punto P de un sistema dereferencia K, obteniéndose un conjunto de valores ψ(i)
K con (i = 1, 2, . . . , n). El mismo
experimento descrito por el sistema S′ genera los valores ψ(j)K ′ con (j = 1, 2, . . . , n). Si
se cambian las condiciones físicas en el punto P obviamente cambiarán los ψ(i)K . Si se
repite muchas veces este proceso y es posible encontrar una relación funcional entrelos dos grupos de valores, es decir,
ψ(j)K ′ = f (j)(ψ
(i)K ) ψ
(i)K = g(i)(ψ
(j)K ′ )
la cual se mantiene para todos los experimentos. Es claro que tanto ψ(i)K como ψ(j)
K ′
323
324 Campos
llevan la misma información y un conjunto se puede determinar a partir del otro. Seasume que una relación funcional se ha encontrado entre ψ(i)
K ψ(j)K ′ para todo par de
sistemas de referencia inercial y para todo punto en la región del espacio tiempo.
Esta información común lleva al concepto de campo ψ siendo ψ(i)K las componentes
de dicho campo en el sistema K, y ψ(j)K ′ sus componentes en el sistema K ′.
El campo ψ, a diferencia de sus componentes, no depende del sistema de referenciausado para describirle. Por tanto, el campo es un objeto geométrico (respecto delgrupo general, completo o propio de Lorentz dependiendo de las trasformaciones Lpara las cuales las relaciones funcionales se encuentran).
Las formas funcionales f (j) las cuales relacionan ψ(i)K , ψ
(j)K ′ generalmente dependen de
las coordenadas de los sistemas, y con ello de las transformaciones de Lorentz L; perose supondrá que no depende del punto P . Adicionalmente se considera a las formasfuncionales lineales y homogéneas.De esta manera las componentes del campo están relacionadas mediante;
ψ(j)K ′ (P ) = D(L)
(j)(i)ψ
(i)K (P )
donde D(L) es una matriz cuadrada de orden n no singular cuyos elementos solodepende de L. En forma resumida,
ψK ′(P ) = D(L)ψK(P )
Si S es una matriz no singular n× n, que no depende de L, se tiene que:
S−1ψK ′(P ) = (S−1D(L)S)S−1ψK(P )
Note que tanto S−1ψK y S−1ψK ′ podrían ser usados como componentes del campo ψ.Así que las componentes de campo se definen hasta una transformación no singular ylas matrices de transformación D(L) se define hasta una transformación de semejanza.
Si las componentes ψ(i)K se han especificado completamente respecto de un sistema de
referencia, se dice que se ha escogido una base particular y con respecto a ésta baseparticular, las matrices de transformación D(L) están completamente especificadas.Si L es la transformación de Lorentz de K a K ′ y L′ la de K ′ a K ′′, entonces:
ψK ′′(P ) = D(L′)ψK ′(P ) = D(L′)D(L)ψK(P )
La transformación de coordenadas de K a K ′′ puede hacerse mediante una sola trans-formación L′L. De manera que:
ψK ′′(P ) = D(L′L)ψK(P )
Así,D(L′L) = D(L′)D(L)
Como se conoce, el conjunto de todas las transformaciones homogéneas propias deLorentz forma un grupo, llamado “el grupo propio de Lorentz”. Ahora, a cada elemento
9.1 Transformaciones propias 325
L del grupo se le asocia una matrizD(L); a la transformación L′L se le asocia la matrizD(L′L) = D(L′)D(L). El conjunto de matrices D(L) forman también un grupo. Aeste grupo se le denomina representación del grupo propio de Lorentz de dimensiónn. El campo ψ se dice que lleva la representación D del grupo propio de Lorentz.Un ejemplo muy didáctico que se aconseja desarrollar es el grupo de rotaciones en unespacio tri-dimensional y ver algunas representaciones de dicho grupo.
9.1 Transformaciones propias
Considerando que dos sistemas de referencia K ′ y K están relacionados mediante lastransformaciones de Lorentz L tal que K ′ = LK.Un campo satisface:
ψ(j)K ′ (P ) = D(L)
(j)(i)ψ
(i)K (P )
donde D es una representación del grupo propio de Lorentz. El interés está en lastransformaciones homogéneas. Una transformación infinitesimal esta descrita por ro-taciones infinitesimales en un plano particular (µν), φµν donde φµν = −φνµ.La matriz correspondiente D a esta transformación infinitesimal se la puede escribircomo:
D(φ) = 1 +1
2φµνB
νµ
conBµν = −Bνµ
donde 1 (es la matriz identidad de dimensión n), D y B son matrices de igual dimen-sión.De esta ecuación y del hecho de que D(L′L) = D(L′)D(L), se obtiene que la matrizD correspondiente a una rotación finita por un ángulo φ en el plano (µν) es:
D(φ) = eφBνµ
exponencial que se debe entender como un desarrollo en serie de potencias.
La transformación homogénea propia de Lorentz más general puede formarse espor medio de seis rotaciones, de modo que:
D(φ) = eαB21eβB
13eγB
21eδB
30eεB
13eϕB
21
De esta manera solo se necesita determinar tres matrices: B21 , B
13 , B
30 para determinar
las matrices D.Para que las matrices D sean una representación del grupo propio de Lorentz, lasmatrices Bν
µ deben satisfacer ciertas relaciones de conmutación. Estas relaciones deconmutación se obtienen a partir de relaciones de semejanza de transformacionesinfinitesimales equivalentes. Las representaciones del grupo propio de Lorentz que seconsiguen se denotan por un par de números (ℓ0, ℓ), donde ℓ0 es un número entero osemi-entero no negativo1 y ℓ cualquier número. Estos números determinan a su vez
1Para el caso ℓ0 entero hay solo una representación irreducible si ℓ0 es semi-entero hay dos con
326 Campos
las matrices Bνµ de la representación.
Ejemplo 20. Campos con una componente
Hay solo una representación irreducible (0, 1) para la cual las matrices Bνµ son
cero. Se lo llama campo escalar
Ejemplo 21. Campos con dos componentes
Caso 1. Hay una representación reducible (0, 1) ⊕ (0, 1) formada por dos de lasanteriores. La matriz D es la matriz identidad en dos dimensiones. Cada componentedel campo se transforma como un escalar.
Caso 2. Hay también dos representaciones irreducibles (12 ,32) y la (12 ,−3
2 ). Lasmatrices Bν
µ en la base canónica son:
B21 = − i
2σ3 B3
2 =i
2σ1 B1
3 = − i2σ2
B30 = ±1
2σ3 B1
0 = ∓1
2σ1 B2
0 = ±1
2σ2
donde los signos superiores son para la representación (12 ,−32), y los inferiores para
la representación (12 ,32). Las matrices σj son las matrices de Pauli:
σ1 =
(0 11 0
)σ2 =
(0 −ii 0
)σ3 =
(1 00 −1
)
Ejemplo 22. Campos con cuatro componentes
Caso 1. Solo hay una representación irreducible del grupo propio de Lorentz (0, 2)o su equivalente (0,−2). Las matrices Bν
µ en la base canónica son:
B21 =
0 0 0 00 −i 0 00 0 0 00 0 0 i
B2
1 =
0 0 0 0
0 0 −2−1/2 0
0 −2−1/2 0 −2−1/2
0 0 −2−1/2 0
B21 =
0 0 −i 00 0 0 0i 0 0 00 0 0 0
signo deferentes.
9.1 Transformaciones propias 327
Las matrices de rotación en diferentes planos se escriben a continuación,
D(φ) =
1 0 0 00 cosφ sinφ 00 sinφ cosφ 00 0 0 1
plano (1,2)
D(φ) =
1 0 0 00 cosφ 0 − sinφ0 0 1 00 sinφ 0 cosφ
plano (3,1)
D(φ) =
cosh φ 0 0 sinhφ0 1 0 00 0 1 0
sinhφ 0 0 coshφ
plano (0,3)
Los campos que llevan esta representación se llaman campos vectoriales (cuadri-vectores).
Caso 2. Hay también una representación reducible de cuatro dimensiones muyimportante en física de partículas y es la (12 ,−3
2)⊕ (12 ,32). Las matrices Bν
µ en la basecanónica son:
Bµν =1
4(γµγν − γνγµ)
donde las matrices γ se llaman matrices de Dirac.
γ0 =
(0 σ0
σ0 0
)γk =
(0 σk
−σk 0
)
σ0, σk son las matrices: unidad 2× 2 y las matrices de Pauli respectivamente.Mediante una transformación de semejanza se obtienen las matrices de Dirac en labase estándar. En esta base:
γ0 =
(σ0 00 −σ0
)γk =
(0 σk
−σk 0
)
Y las matrices D (en la base estándar) son:
D(φ) =
eiφ/2 0 0 0
0 e−iφ/2 0 0
0 0 eiφ/2 0
0 0 0 e−iφ/2
plano (1,2)
328 Campos
D(φ) =
cos(φ/2) sin(φ/2) 0 0− sin(φ/2) cos(φ/2) 0 0
0 0 cos(φ/2) sin(φ/2)0 0 − sin(φ/2) cos(φ/2)
plano (1,2)
D(φ) =
cosh(φ/2) 0 sinh(φ/2) 00 cosh(φ/2) 0 − sinh(φ/2)
sinh(φ/2) 0 cosh(φ/2) 00 − sinh(φ/2) 0 cosh(φ/2)
plano (0,3)
Los campos que llevan esta representación se llaman campos de Dirac y se les asociaa los leptones y quarks cargados (de spin 1/2).
Relaciones útiles entre las matrices de Dirac.
2ηµν = (γµγν + γνγµ)
(γ0γµ)† = γ0γµ
(γiγj)† = −γiγj
Se define además γ5 = γ0γ1γ2γ3 la cual, en la base estándar, es
γ5 = −i(
0 σ0
σ0 0
)
9.2 Teoría clásica de campos
Esta basada en el principio de relatividad de Einstein. Las ecuaciones de campo sederivan de un lagrangiano.
9.2.1 Ecuación de campo
Se podría decir que los experimentos muestran que todos los campos conocidos (libreso en interacción) satisfacen ecuaciones de la forma:
∂L∂ψ(α)
− ∂µ[
∂L∂(∂µψ(α))
]= 0 α = 1, 2, . . . , n
donde la función L es la densidad lagrangiana2 y es función de las componentes decampo y de sus primeras derivadas; además es un escalar con respecto al grupo propiode Lorentz.
L = L(P ) = L(ψ(α)(P ), ∂µψ(α)(P ))
Las componentes del campo y sus primeras derivadas se consideran variables inde-pendientes. La función escalar L, como consecuencia de la ecuación de campo, y lascondiciones de frontera determinan completamente el campo ψ en el espacio tiempo.
2Hay ecuaciones relativistas que no se derivan de un Lagrangiano.
9.2 Teoría clásica de campos 329
Las ecuaciones de campo son una consecuencia del principio variacional que se desa-rrolla a continuación:Se considera la integral
W21 =
∫ σ2
σ1
L(ψ(α), ∂µψ(α))dΩ
tomada sobre el volumen Ω del espacio tiempo el cual esta acotado por dos superficiesespaciales3 σ1, σ2. El principio de mínima acción establece que ψ(P ) hace a la integraluna extremal respecto de variaciones de campo sujeta a la condición de que el campono varía en las superficies σ1, σ2.
δW21 =
∫ σ2
σ1
L(ψ(α) + δψ(α), ∂µψ(α) + δ∂µψ
(α))dΩ−∫ σ2
σ1
L(ψ(α), ∂µψ(α))dΩ = 0
ψ(α)∣∣∣σ1
= ψ(α)∣∣∣σ2
= 0
Para una variación arbitraria δψ(α) de las componentes de campo dentro de Ω.
0 =
∫ σ2
σ1
∂L∂ψ(α)
δψ(α) − ∂L∂(∂µψ(α))
∂µδψ(α)
dΩ
donde se ha utilizado δ∂µψ(α) = ∂µδψ(α)
Integrando por partes el segundo término, haciendo uso de la siguiente expresión:
∂µ
[∂L
∂(∂µψ(α))δψ(α)
]=
[∂µ
∂L∂(∂µψ(α))
]δψ(α) +
∂L∂(∂µψ(α))
∂µδψ(α)
0 =
∫ σ2
σ1
∂L∂ψ(α)
− ∂µ∂L
∂(∂µψ(α))
δψ(α)dΩ+
∫
σ1
−∫
σ2
∂L
∂(∂µψ(α))δψ(α)dσµ
donde se ha usado el teorema de Gauss en el último término, el cual se anula por lavariaciones δψ(α) en la frontera.Las ecuaciones de campo derivadas del principio variacional, son por tanto invariantesrespecto de las transformaciones propias de Lorentz.
Dos lagrangianos L y L′ los cuales difieren en una constante o en una divergenciade una función vectorial de ψ(α), son equivalentes puesto que generan las mismasecuaciones de campo.
L′ = aL+ ∂µvµ(ψ(α))
9.2.2 Conservación de la energía-cantidad de movimiento
Considere el punto P con coordenadas xν y el punto vecino Q con coordenadas xν+εν
donde εν es infinitesimal.
3Superficies donde los intervalos S2AB ≤ 0
330 Campos
Las componentes del campo en P y Q están relacionadas
ψ(α)(Q) = ψ(α)(xν + εν) = ψ(α)(xν) + εν∂νψ(α) = ψ(α)(P ) + εν∂νψ
(α)
y los lagrangianos de estos puntos, a su vez, están relacionados
L(Q) = L(ψ(α)(Q), ∂µψ
(α)(Q))
L(Q) = L[ψ(α)(P ) + εν∂νψ
(α), ∂µψ(α)(P ) + εν∂ν∂µψ
(α)]
L(Q) = L(P ) + ∂L∂ψ(α)
εν∂νψ(α) +
∂L∂(∂µψ(α))
εν∂ν∂µψ(α)
L(Q) = L(P ) + εν∂νLDe las dos ecuaciones se tiene que
εν∂µ
∂L
∂(∂µψ(α))∂νψ
(α) − ηµνL
= 0
y puesto que εν es arbitrario∂µT
µν = 0
con
T µν =∂L
∂(∂µψ(α))∂νψ
(α) − ηµνL
Al tensor T µν se lo conoce como tensor energía cantidad de movimiento. Integrando∂µT
µν en un volumen del espacio tiempo Ω acotado por dos superficies espaciales σ1
y σ2. ∫
Ω∂µT
µν dΩ =
∫
σ1
T µν dσµ −∫
σ2
T µν dσµ = 0
Por tanto, ∫
σ1
T µν dσµ =
∫
σ2
T µν dσµ = pν
que no es más que el vector energía cantidad de movimiento y es por tanto una magni-tud conservada. Puesto que pν es independiente de σ se puede escoger por simplicidaduna superficie espacial con x0 = cte , en un sistema de referencia particular. Entoncesdσ0 = d3~r y dσj = 0. Sus componentes serán entonces:
p0 =
∫T 00 d
3~r pj =
∫T 0j d
3~r
9.2.3 Conservación del momento angular
Considere dos sistemas de referencia inerciales K yK ′ relacionados mediante la trans-formación infinitesimal de Lorentz L0, K ′ = L0K.Un punto P ubicado en xν respecto a K, tiene coordenadas x′µ = xµ+φµνxν respectode K ′ donde φµν es un tensor simétrico infinitesimal.
9.2 Teoría clásica de campos 331
El lagrangiano L en P con respecto a K será igual al lagrangiano en P con respectoa K ′.
L[ψ(α)(P ), ∂µψ
(α)(P )]= L
[ψ′(α)(P ), ∂′µψ
′(α)(P )]
donde ψ(α) y ψ′(α) son las componentes del campo respecto de K y K ′ respectiva-mente.
ψ′(α)(P ) =
δ(α)(β) +
1
2φµνB
ν(α)µ(β)
ψ(β)(P )
∂′γ = ∂γ + φνγ∂ν
∂′γψ′(α)(P ) = ∂γψ
(α)(P )+φνγ∂νψ(α)+
1
2φµνB
ν(α)µ(β)∂γψ
(β) (hasta términos lineales en φ)
L[ψ′(α)(P ), ∂′µψ
′(α)(P )]= L
[ψ(α)(P ), ∂µψ
(α)(P )]+
∂L∂ψ(α)
1
2φµνB
ν(α)µ(β)ψ
(β) +
+∂L
∂(∂γψ(α))
[φνγ∂νψ
(α) +1
2φµνB
ν(α)µ(β)∂γψ
(β)
]
Usando la ecuación de campo y considerando que φ es antisimétrico y arbitrario
∂L∂ψ(α)
= ∂µ
[∂L
∂(∂µψ(α))
]
∂γ
(∂L
∂(∂γψ(α))
)1
2φµνB
ν(α)µ(β)ψ
(β)
+
∂L∂(∂γψ(α))
φνγ∂νψ(α) = 0
∂γ
(∂L
∂(∂γψ(α))
)1
2φµνB
ν(α)µ(β)ψ
(β)
+1
2
∂L∂(∂γψ(α))
φνγ∂νψ(α)− 1
2
∂L∂(∂νψ(α))
φγν∂γψ(α) = 0
Sacando el factor 12φ
µν y redefiniendo los índices,
∂γ
(∂L
∂(∂γψ(α))
)Bµν(α)
(β)ψ(β)
− T νµ + T µν = 0
puesto que,∂γ [−T γµxν + T γνxµ] = −T νµ + T µν
la ecuación anterior se la puede escribir como:
∂γMγµν = 0
con
Mγµν = −T γµxν + T γνxµ +∂L
∂(∂γψ(α))Bµν(α)
(β)ψ(β)
Integrando ∂γMγµν en un volumen del espacio tiempo Ω acotado por dos superficiesespaciales σ1 y σ2
∫
Ω∂γM
γµνdΩ =
∫
σ1
Mγµνdσγ −∫
σ1
Mγµνdσγ = 0
332 Campos
Por tanto, ∫
σ2
Mγµνdσγ =
∫
σ1
Mγµνdσγ =Mµν
Que es una magnitud conservada y además es un tensor anti-simétrico Mµν = −Mνµ,llamado momento angular (total). Note que este tensor tiene dos componentes:
Mµν = Lµν + Sµν
que incluye tanto al momento angular orbital como al de spin, definidos como:
Lµν =
∫
σ−T γµxν + T γνxµ dσγ
Sµν =
∫
σ
∂L∂(∂γψ(α))
Bµν(α)
(β)ψ(β)dσγ
que depende de las transformaciones de campo a través de B.Estos momentos angulares por separado NO se conservan.
9.2.4 Conservación de la carga
Considere ahora el caso en que el lagrangiano es invariante respecto a una transfor-mación de medida de primera clase, definida como:
ψ(α) → ψ(α)eiεδ(α)
donde ε es real y arbitrario; y δ(α) es igual a +1, −1, 0.Para ε infinitesimal,
L(ψ(α), ∂µψ
(α))= L
(ψ(α) + iεδ(α)ψ(α), ∂µψ
(α) + iεδ(α)∂µψ(α))
L(ψ(α), ∂µψ
(α))= L
(ψ(α), ∂µψ
(α))+iε
∑
α
(∂L∂ψ(α)
δ(α)ψ(α) +∂L
∂(∂µψ(α))δ(α)∂µψ
(α)
)= 0
Puesto que ε es arbitrario y haciendo uso de la ecuación de movimiento,
∂L∂ψ(α)
= ∂µ
[∂L
∂(∂µψ(α))
]
Se tiene
∂µ
∑
α
∂L∂(∂µψ(α))
δ(α)ψ(α)
= 0
∂µJµ = 0
9.2 Teoría clásica de campos 333
donde se define Jµ como:
Jµ = ie∑
α
∂L∂(∂µψ(α))
δ(α)ψ(α)
y representa las componentes del vector densidad de corriente (Se ha añadido el factore que depende del sistema de unidades que se escoja)
La ecuación ∂µJµ = 0 se la conoce también como ecuación de continuidad y llevaa la conservación de la carga.
Q =
∫
σJµdσµ
Conclusión: “las cantidades conservadas corresponden a las invarianzas del Lagran-giano”
Ejemplo 23. Campo escalar real, asociado a una partícula neutra sin spin y de masam.
L(φ, ∂µφ) =1
2
(∂µφ∂
µφ−m2φ2)
La ecuación de movimiento para este caso es:
(∂µ∂
µ +m2)φ = 0
T µν = ∂µφ∂νφ− ηµνLBµν = 0
Sµν = 0
Jµ = 0
L no es invariante respecto a la transformación φ→ φe±iε
Ejemplo 24. Campo complejo, asociado a partículas cargadas sin spin y de masa m.
L (φ, φ∗, ∂µφ, ∂µφ∗) =(∂µφ
∗∂µφ−m2φ∗φ)
Las ecuaciones de movimiento son:
(∂µ∂
µ +m2)φ = 0 y
(∂µ∂
µ +m2)φ∗ = 0
T µν = ∂µφ∗∂νφ+ ∂νφ∗∂µφ− ηµνLBµν = 0
Sµν = 0
L es invariante respecto de las transformaciones: φ→ φe−iε y φ∗ → φ∗e+iε
Jµ = ie (φ∗∂µφ− ∂µφ∗φ)
es el vector densidad de corriente.
334 Campos
Ejemplo 25. Campo de Dirac, asociado a partículas cargadas de spin 1/2 y masam.
L(ψ, ψ, ∂µψ, ∂µψ
)=i
2
ψγµ∂µψ − ψγµ∂µψ
−mψψ
Recuerde que ψ = ψ†γ0 en la base estándar
ψ =
ψ(1)
ψ(2)
ψ(3)
ψ(4)
ψ =
(ψ∗(1) ψ∗(2) −ψ∗(3) −ψ∗(4) )
Las matrices de Dirac satisfacen
γµγν + γνγµ = 2ηµν
Las ecuaciones de movimiento no son independientes y resultan ser:
−iγµ∂µψ +mψ = 0
i∂µψγµ +mψ = 0
T µν =i
2
ψγµ∂νψ − ∂ν ψγµψ
Bαβ =1
4
(γαγβ − γβγα
)
Sµν =1
4
∫ψ (γαBµν −Bµνγα)ψdσα
El lagrangiano L es invariante respecto de las transformaciones: ψ → ψe−iε y ψ →ψe+iε La densidad de corriente es:
Jµ = eψγµψ
Ejemplo 26. Campo electromagnético
Experimentalmente, se observa que la densidad de corriente es la fuente del campoelectromagnético, descrito por Fµν . Este campo interacciona con una carga eléctricade acuerdo con la ecuación de la fuerza de Lorentz:
dpµ
dτ= qFµνuν (válida para pequeños valores de reacción de radiación)
Fµν es el tensor de Faraday Fµν = −F νµ
τ es el tiempo propio
uν =dxµ
dτes la cuadri-velocidad, que define a su vez al vector energía cantidad
de movimiento pµ = m0uµ
9.2 Teoría clásica de campos 335
Es importante considerar las siguientes observaciones de la ecuación de Lorentz:
1. Define el campo electromagnético Fµν (si se tiene una carga de prueba de valorunidad)
2. Define la carga eléctrica de cualquier partícula (define el vector densidad decorriente Jµ)
3. Predicedpµ
dτpara una partícula de carga q en el campo Fµν .
Experimentalmente se observa que se cumple las ecuaciones de Maxwell,
∂µFµν = Jν
∂σFµν + ∂νFσµ + ∂µFνσ = 0
Estas dos ecuaciones más las condiciones de borde determinan Fµν unívocamente.Sin embargo, en lugar de definir el campo electromagnético a través de Fµν (tiene6 componentes puesto que es anti-simétrico), es suficiente utilizar un vector (de 4componentes) Aµ llamado potencial vectorial.Las componentes están relacionadas como:
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ
Esta ecuación no define al vector Aµ completamente. El tensor Fµν queda invarianteal hacer una transformación de medida (“gauge”) de segunda especie al potencialvectorial4:
Aµ(P )→ Aµ(P ) + ∂µϕ
Aµ no es un observable, es decir, no se lo puede determinar experimentalmente puestoque esta indeterminado por ∂µϕ. Esta indeterminación de Aµ permite por convenien-cia imponer algunas condiciones, así, por ejemplo: ∂µAµ = 0 a la que se le conocecomo “medida de Lorentz”. Esta ecuación no define aún a Aµ completamente puestoque todavía se puede hacer una transformación Aµ → Aµ+∂µϕ con cualquier campoque cumpla ∂ν∂νϕ = 0.En un sistema particular de referencia, es posible escoger ϕ tal que A0 = 0, estamedida se llama transversal ∂ℓAℓ = 0 (los índices latinos hacen referencia solo acoordenadas espaciales)5. Esta medida y la ley de Gauss muestra que solo dos de lascomponentes de Aµ son distintas de cero para este sistema. Así se podría decir quepara una medida arbitraria tan solo dos componentes de Aµ son independientes. Lainvariancia de los observables con respecto de las transformaciones “gauge” de segun-da especie están relacionadas con el hecho de que: mγ = 0.Imponiendo sobre la condición de Lorentz, la primera ecuación de Maxwell se escri-biría como:
∂µ∂µAγ = Jγ
4Esta arbitrariedad en el cuadrivector A es la que se llama “invariancia gauge”5Es equivalente a ∇ · ~A = 0
336 Campos
Ecuación que puede derivarse del siguiente Lagrangiano:
L (Aν , ∂µAα) = −1
2∂µA
α∂µAα − JαAα
En este caso, el tensor
T µν = ∂µAα∂νAα + ηµν
1
2∂γA
α∂γAα + JαAα
Como se conoce que Aµ lleva la representación (0, 2) del grupo propio de Lorentz, demanera que:
A′α = Aα + φαβAβ = Aα +
1
2φµν
ηαµη
βν − ηναηµβ
Aβ
Bν(α)µ(β) = ηαµη
βν − ηναηµβ
Sµν =
∫
σ
(Aµ∂βAν −Aν∂βAµ
)dσβ
El lagrangiano no es invariante respecto de una transformación: Aα → Aαe±iε.JµA = 0 (densidad de corriente de campo electromagnético, no confundir con densidadde corriente de cargas electricas, descrita por otros campos).
Ejemplo 27. Interacción entre el campo de Dirac y el campo electromagnético.
Introduciendo en la ecuación de onda del campo electromagnético la forma expli-cita de la densidad de corriente de partículas cargadas de spin 1/2.
∂µ∂µAγ = Jγ = eψγγψ
Ecuación que se deriva del siguiente lagrangiano,
L = Lψ + LA + LI
L =i
2
ψγµ∂µψ − ψγµ∂µψ −mψψ
− 1
2∂µA
α∂µAα − eψγµψAµ
Además de la ecuación de onda del campo electromagnético, arriba escrita, las ecua-ciones de onda para el campo de Dirac son:
−iγµ∂µψ +mψ = −eγµψAµ
i∂µψγµ +mψ = −eψγµAµ
T µν = −∂µAα∂νAα + ηµν1
2∂βA
α∂βAα +i
2
ψγµ∂νψ − ∂νψγµψ
la densidad de corrienteJµ = eψγµψ
Note que los observables de los campos de doble valor (tal como el campo de Dirac
9.3 Teoría Cuántica de Campos 337
que tiene un signo indeterminado) son cuadráticos en las componentes del campo,eliminando cualquier problema de signo.
9.3 Teoría Cuántica de Campos
Sin entrar en mucho detalle y formalismo se debe mencionar que la teoría clásicade campos no fue suficiente buena para la descripción de diferentes procesos de lanaturaleza y por tanto se tuvo que desarrollar la teoría cuántica campos. Esta teoríasigue los mismos lineamientos de la clásica pero se debe introducir una serie de pos-tulados. Así, considerando el marco referencial de la relatividad especial de Einstein,se postula:
1. El conjunto de valores asociados a un campo en un punto del espacio tiempoψi ya nos son números sino funcionales (operadores).
2. Los parámetros medibles tienen asociados operadores hermíticos, en un espaciode Hilbert, funciones de ψi y ∂µψi.
3. El valor que se obtiene como resultado de una medida de la magnitud dinámicaes uno de los valores propios del operador asociado.
4. Las componentes de campo satisfacen una ecuación de movimiento (ecuaciónde Lagrange).
5. Los valores de energía con relacion al vacío son siempre positivos.
Como ya se mencionó, este estudio no tiene como objetivo un desarrollo detalladode teoría cuantica de campos, sino más bien el resumirlo en una serie de procedimien-tos operativos que permitan abarcar el estudio del modelo estandar de una formasimple y rápida.
Es claro que las teorías de campo tinen una densidad Lagrangiana, función de ψi
y ∂µψi, que es un escalar respecto del grupo de Lorentz y cumple con un principio
variacional.
9.3.1 Método para determinar las reglas de Feynman
Una vez que se han introducido los lagrangianos de algunos campos, se esquematizael procedimiento de cómo se obtienen las reglas de Feynman de dicho lagrangiano.Posteriormente se puede hacer una deducción más completa de dichas reglas.
1. Líneas externas. Del lagrangiano de las partículas libres se obtiene la ecuaciónde movimiento. La solución de la ecuación homogenea provee la regla para estosdiagramas.
2. Propagadores. De la ecuación de la onda de cada uno de los campos se obtienela función de Green causal, entonces:
propagador de campo = i(función de Green causal)
338 Campos
3. Vértices. De los términos del lagrangiano de interacción (términos con mezclade campos), se obtiene el coeficiente del producto de los campos, entonces:
Vértice = (+i)(coeficiente)
Del lagrangiano de la electrodinámica, las ecuaciones de onda de las partículas libresson:
−iγµ∂µψ +mψ = 0
i∂µψγµ +mψ = 0
∂µ∂µAγ = 0
9.3.2 Las líneas externas
u
u
u
u
Electrón incidente ψ(x) = e−ikxu(k)
Electrón saliente ψ(x) = eikxu(k)
Positrón incidente ψ(x) = e−ikxv(k)
Positrón saliente ψ(x) = eikxv(k)
Fotón incidente Aµ(x) = e−ikxεµ(k)
Fotón saliente Aµ(x) = eikxεµ(k)
Para el campo de Dirac
Para el campo electromagnético
Figura 9.1: Reglas de Feynman de las lineas externas.
9.3.3 Propagadores
Propagador del campo de Dirac:La ecuación que determina la función de Green para el campo de Dirac es:
(iγµ∂µ −m)G(x) = δ4(x)
En el espacio del momentos esta es:
(γµkµ −m)S(k) = 1
S(k) =1
γµkµ −m=γµkµ +m
k2 −m2
ik +m
k2 −m2
9.4 Teorías Gauge 339
S(k) = −i γµkµ +m
m2 − k2 − iεdonde ε es infinitesimal e indica el tratamiento de los polos para escoger la funcióncausal.
Propagador del campo electromagnético:La ecuación que determina la función de Green para el campo electromagnético es:
ηµν∂α∂αG(x) = −δ4(x)
−ηµνkαkαS(x) = 1
iS(k) = −i ηµνk2 + iε
−i ηµνk2+iε
donde ε es infinitesimal e indica el tratamiento de los polos para escoger la funcióncausal.
9.3.4 Vértice
Del lagrangiano de interacción
vértice = −ieγµ
(la carga ha sido escogida explícitamente con signo negativo).
u u
Figura 9.2: Vértice de la electrodinámica cuántica.
9.4 Teorías Gauge
Considerado el hecho de que la electrodinámica cuántica describe al experimento conuna muy buena precisión, uno estaría tentado a generalizar el concepto de la inva-riancia Gauge, estas generalizaciones se conseguían aumentando las componentes delpotencial; y se las conocen con el nombre de teorías de Yang Mills. Empieza por elgrupo de simetría U(1) como el ejemplo más fácil y corresponde a la electrodinámicacuántica.
340 Campos
Considere el lagrangiano de un campo de Dirac (asociado al electrón).
L =i
2
ψγµ∂µψ − ψγµ∂µψ
−mψψ
Se puede ver directamente que este lagrangiano es invariante respecto a la siguientetransformación:
ψ → e−iαψ donde α ∈ R
Es decir es invariante respecto a un cambio global de fase. Se conoce que esta simetríalleva a la conservación de la carga.La transformación de fase global puede considerarse como una multiplicación delcampo ψ por una matriz unitaria 1× 1, i.e., U = e−iα.El grupo de tales matrices unitarias es el U(1) y es de aquí que la simetría involucradaes U(1).
Si ahora se exige que dicho lagrangiano sea invariante respecto a un cambio defase local, es decir, α = α(x)
ψ(x)→ e−iα(x)ψ(x)
Se puede ver que el término que impide la invariancia del lagrangiano respecto deeste cambio de fase local es:
∂µψ = ∂µ
(e−iα(x)ψ(x)
)= e−iα(x)∂µψ(x) − i∂µα(x)e−iα(x)ψ(x)
Sin embargo se puede obtener la invariancia del lagrangiano definiendo la derivadacovariante como aquella que satisface:
Dµ
(e−iα(x)ψ
)= e−iα(x)Dµψ
De esta manera garantizamos que el lagrangiano sea invariante respecto de la trans-formación de fase local. Para ello la derivada covariante se debe define como:
Dµ = ∂µ + iqAµ(x)
donde se tiene la necesidad de introducir un nuevo campo (vectorial) Aµ que satisfaceademás un cambio de medida de la forma:
Aµ → Aµ +1
q∂µα(x)
El nuevo lagrangiano, invariante respecto a un cambio de fase local, es por tanto:
L =i
2
ψγµDµψ −Dµψγ
µψ−mψψ
Al reemplazar la forma de la derivada covariante y desarrollarla, se obtiene el lagran-giano del campo de Dirac y se adiciona el lagrangiano de interacción entre el campo
9.4 Teorías Gauge 341
de Dirac y el vectorial (que se le asocia al campo electromagnético). Solo restaríaintroducir un término lagrangiano del nuevo campo vectorial y se obtendría el la-grangiano de la electrodinámica cuántica.
9.4.1 Teoría de Yang Mills
Considere ahora la generalización del proceso anterior para el caso de dos campos deDirac:
ψ =
(ψ1
ψ2
)ψ =
(ψ1 ψ2
)
L =i
2
ψγµ∂µψ − ψγµ∂µψ
−Mψψ
donde,
M =
(m1 00 m2
)
Aunque inicialmente se introduce el término de masa en el lagrangiano, estos térmi-nos se podrían obviar e introducir las masas de las partículas por otro mecanismo.6.
El lagrangiano admite una invariancia global general
ψ → Uψ
Donde U es una matriz 2× 2 unitaria U †U = 1
ψ → ψU †
La invariancia global se la puede considerar como una rotación (en el espacio de cargaisotópica) y se la escribe como función de las matrices generadoras del grupo ~τ .
ψ(x)→ e−i~τ2·~λψ(x)
Si se obliga al lagrangiano a ser invariante respecto a una transformación local, i.e.,
ψ(x)→ e−i~τ(x)2·~λψ(x)
Se debe definir la derivada covariante tal que:
Dµ
(e−i
~τ(x)2·~λψ
)= e−i
~τ(x)2·~λDµψ
Para ello la derivada covariante introduce un nuevo campo, en realidad tres nuevoscampos vectoriales:
Dµ = ∂µ + ig~τ
2· ~Wµ(x)
6El mecanismo de Higgs, que se discute más adelante.
342 Campos
donde~Wµ =
(W 1µ ,W
2µ ,W
3µ
)
Campos que satisfacen el cambio de medida,
~Wµ(x)→ ~Wµ(x) +1
g∂µ~λ(x) + ~λ(x)× ~Wµ(x)
El reemplazo en el lagrangiano de la derivada covariante, genera el término de in-teracción entre los campos. Si adicionalmente se introduce un lagrangiano para losnuevos campos de la forma:
−1
4~Gµν ~G
µν
donde~Gµν = ∂µ ~Wν − ∂ν ~Wµ + g ~Wµ × ~Wν
Esta teoría genera entonces “tres fotones” de masa cero, spin uno, uno neutro y doscargados. El modelo no tenía donde ser aplicado. Sin embargo, había fuertes indiciosde la existencia de bosones cargados (y el neutro) en la interacción débil. El problemaradicaba en que estos bosones de la interacción débil poseen masa (una gran masapor el rango cortísimo de la interacción). Si se introducía la masa de las partículasde interacción como parte del lagrangiano del campo, se pierdía la invariancia gaugey la teoría se volvía no renormalizable y hasta allí llegó.
9.4.2 Mecanismo de Higgs
Un mecanismo para sobre pasar este problema, es decir evitar la introducción detérminos de masa en el lagrangiano de los bosones vectoriales, es el concepto de rom-pimiento espontáneo de simetría a través de la introducción de un nuevo campo elcual será encargado de dar masa a las partículas. Este procedimiento se conoce comoel “mecanismo de Higgs”7.
Se estudia este mecanismo en detalle, para ello se empieza con un campo escalary un lagrangiano del tipo,
L =1
2∂µφ∂
µφ+ e−(αφ)2 α ∈ R
desarrollando el exponencial se tiene:
L =1
2∂µφ∂
µφ+ 1− (α ·φ)2 + 1
2(α ·φ)4 − 1
6(α ·φ)6 + · · ·
El valor unidad en el lagrangiano no representa nada y se lo puede eliminar. (Eltérmino cuadrático representa el de la masa del campo escalar).Si se toma el lagrangiano con la forma de los dos primeros términos del desarrollo
7Al parecer es correcto puesto que ya se ha encontrado al bosón de Higgs asociado
9.4 Teorías Gauge 343
(excluido el 1) se tiene:
L =1
2∂µφ∂
µφ+1
2µ2 ·φ2 − 1
4λ2 ·φ4 µ, λ ∈ R
Definiendo explícitamente el coeficiente del término cuadrático positivo no se tendráuna interpretación como masa puesto que su valor sería un número imaginario.El cálculo de Feynman es un procedimiento de perturbación el cual empieza en elestado base de mínima energía (vacío) y se trata a los campos como fluctuacionessobre este estado.Para el lagrangiano que se esta estudiando, el estado de energía mínima no corres-ponde al valor φ = 0, sino a otro diferente de cero. Esto se lo puede ver se la siguientemanera.El lagrangiano no es más que la energía cinética menos la potencial, i.e., L = K − V
K =1
2∂µφ∂
µφ
V = −1
2µ2 ·φ2 + 1
4λ2 ·φ4
El valor mínimo ocurre en:φ = ±µ
λ
V
φ−µλ −µ
λ
Figura 9.3: Representación del potencial del nuevo campo.
Si se define un nuevo campo η(x) como un campo en la vecindad del mínimo
η(x) = φ(x)± µ
λ
En términos de este nuevo campo, el lagrangiano será:
L =1
2∂µη · ∂µη − µ2 · η2 ± µλη3 −
1
4λ2 · η4 + 1
4
(µ2
λ
)2
El coeficiente del término cuadrático es negativo y representa una masa real de valor√2µ. El último término es una constante que se puede omitir del lagrangiano. Los
términos tercero y cuarto representan vértice de tres y cuatro campos respectivamen-te.
344 Campos
η η
η
η η
η η
Figura 9.4: Vértices del nuevo campo.
Técnicamente los dos lagrangianos representan el mismo sistema físico. Pero elprimero no es conveniente para el calculo de Feynman (la serie de perturbación en φno converge porque su expansión se realiza en un punto inestable).El segundo lagrangiano da un desarrollo convergente y genera un término de masacoherente y adicionalmente un término de vértice.
El ejemplo desarrollado ilustra lo que se conoce como rompimiento espontáneo dela simetría. El lagrangiano Lφ es par en φ, i.e., invariante respecto a la transformaciónφ → −φ, pero el lagrangiano reformulado Lη no es par en η y la simetría ha sidorota (o escondida). La simetría se rompe porque el vacío (estado de mínima energía)no comparte la simetría del lagrangiano; y como ningún agente externo interviene enésta, se lo llama “rompimiento espontáneo de simetría”.
Considere ahora un campo complejo con lagrangiano,
L =1
2∂µφ1 · ∂µφ1 +
1
2∂µφ2 · ∂µφ2 +
1
2µ2(φ21 + φ22)−
1
4λ2(φ21 + φ22)
2
V
φ1
φ2
Figura 9.5: Representación del potencial de campo complejo.
Para este lagrangiano el mínimo yace en un círculo de radioµ
λ
φ21min + φ22min =(µλ
)2
9.4 Teorías Gauge 345
Para aplicar el procedimiento de perturbaciones se lo debe hacer sobre un estadoparticular de vacío. Así puede ser en el punto:
φ1min =µ
λφ2min = 0
Se introduce entonces dos campos:
η = φ1 −µ
λξ = φ2
El lagrangiano escrito para los nuevos campos es:
L =
[1
2∂µη · ∂µη − µ2 · η2
]+
[1
2∂µξ · ∂µξ
]+
[µλ(η3 + ηξ2)− λ2
4(η4 + ξ2 + 2η2ξ2)
]+1
4
(µ2
λ
)2
que describe una partícula de masa√2µ y otra de masa cero. Además los vértices:
η η
η
ξ ξ
η
η η
η η
ξ ξ
ξ ξ
η η
ξ ξ
Figura 9.6: Vértices de los dos nuevos campos introducidos.
El lagrangiano no es simétrico, la simetría ha sido rota (o escondida) para unestado base particular escogido.El campo ξ no tiene masa, este hecho no es accidental, se podría demostrar que elrompimiento espontáneo de simetría siempre viene acompañado por la aparición departículas sin masa y spin cero, “llamados bosones de Goldstone”.Para ver como este mecanismo asigna masa a las partículas mediadoras de la inter-acción se toma el lagrangiano del campo escalar complejo (φ = φ1 + iφ2) de Higgs:
L =1
2(∂µφ)
∗ · (∂µφ) + 1
2µ2 ·φ∗φ− 1
4λ2 · (φ∗φ)2
El cual es invariante respecto de una transformación de fase global
φ→ φ · eiα
Si se le hace invariante respecto de una transformación de fase local
φ→ φ · eiα(x)
Se debe introducir un nuevo campo a través de lo que hemos llamado la derivadacovariante,
Dµ = ∂µ + iqBµ
Así, en el lagrangiano se debe ubicar las derivadas covariantes e introducir otro tér-
346 Campos
mino correspondiente al lagrangiano del nuevo campo.
L =1
2(Dµφ)
∗ · (Dµφ) +1
2µ2 ·φ∗φ− 1
4λ2 · (φ∗φ)2 − 1
4FµνF
µν
conFµν = ∂µBν − ∂νBµ
L =1
2(∂µ + iqBµ)φ
∗ · (∂µ + iqBµ)φ+1
2µ2 ·φ∗φ− 1
4λ2 · (φ∗φ)2 − 1
4FµνF
µν
Siguiendo el procedimiento anterior, se definen los campos:
η = φ1 −µ
λξ = φ2
El lagrangiano, para éstos nuevos campos, es:
L =
[1
2∂µη · ∂µη − µ2 · η2
]+
[1
2∂µξ · ∂µξ
]+
[−1
4FµνF
µν +1
2
(qµλ
)2BµB
µ
]−
− 2i(qµλ
)∂µξ ·Bµ + q [η · ∂µξ − ξ · ∂µη]Bµ + q2
µ
λη ·BµBµ +
1
2q2(ξ2 + η2)BµB
µ −
− µλ(η3 + ηξ2)− λ2
4(η4 + ξ4 − 2η2ξ2) +
1
4
(µ2
λ
)2
donde se podría interpretar que el campo η tiene una masa m =√2µ; el campo ξ
tiene una masa m = 0. En el tercer término del lado derecho del lagrangiano se puedeobservar el término de campo libre Bµ con otro cuadrático en éste, que representa eltérmino de masa, es decir, el campo mediador ha adquirido “milagrosamente”8 masay su valor asignado es:
m = 2(qµλ
)
Adicionalmente se tiene una serie de términos de interacción con el otro campo ξ, alcual se le da el nombre de “bosón de Goldstone”, términos tales como
2i(qµλ
)∂µξ ·Bµ
muestran diagramas del tipo:
Figura 9.7: Posible diagrama con boson de Goldstone
Diagrama que indica que el bosón escalar ξ se convierte en el bosón mediador
8Con la ruptura espontánea de simetría, y proviene del término de interacción entre los camposφ y Bµ
9.5 La Teoría Electro-débil 347
(vectorial) Bµ y viceversa. Estos términos bilineales (de dos campos) indican quese han identificado incorrectamente a las partículas fundamentales dentro de la teo-ría. Estas dificultades están relacionadas con el campo ξ. Este problema se resuelveexplotando la invariancia local de medida de L,
φ′ = φ · eiα = (cosα+ i sinα) · (φ1 + iφ2)
φ′ = (φ1 cosα− φ2 sinα) + i(φ1 sinα+ φ2 cosα)
Tomando,
tanα = −φ2φ1
Se tiene que φ′ es real y φ′2 = 0
El lagrangiano toma la misma forma pero desaparecen los términos del campo ξ.
L =
[1
2∂µη · ∂µη − µ2 · η2
]+
[−1
4FµνF
µν +1
2
(qµλ
)2BµB
µ
]+
+ q2µ
λη ·BµBµ +
1
2q2(η2)BµB
µ − µλ(η3)− λ2
4(η4) +
1
4
(µ2
λ
)2
Se podría decir que con el escogimiento astuto de la medida (gauge) se ha elimina-do los bosones del Goldstone, y esas formas bi-lineales no deseables del lagrangiano.Se tiene entonces un campo escalar (Higgs) masivo y un campo de interacción masivo.Nuevamente se recalca el hecho de que la introducción directa de un término de masadentro del lagrangiano vuelve a la teoría no renormalizable.
9.5 La Teoría Electro-débil
Se realiza la descripción de la teoría considerando un campo compuesto a su vezpor dos campos de Dirac como por ejemplo el par electrón-neutrino; pero se podríaconsiderar cualquiera de los otros pares de leptones o quarks.
(eνe
) (µνµ
) (τντ
) (ud′
)(cs′
)(tb′
)
El campo electrónico se lo puede escribir como conformado por sus dos componentesde quiralidad, R (positiva) y L′(negativa). Es decir, el campo e = R+ L′, donde
R =1 + γ5
2e L′ =
1− γ52
e
El neutrino siempre tiene una helicidad negativa. Su spin es contrario a su cantidadde movimiento. Por tanto, en conjunto con la componente izquierda del electrón y
348 Campos
del neutrino se puede escribir:
L =1− γ5
2
(eν
)
De esta manera se puede decir que R es un singlete en el espacio de spin isotópicoy es la base de una representación del grupo de simetría U(1); y L un doblete en elespacio de spin isotópico y es la base de una representación del grupo de simetríaSU(2)⊗ U(1).
Los lagrangianos de los campos son del tipo campos de Dirac y se los considera in-variantes respecto de transformaciones de fase locales. Lo que introduce las derivadascovariantes correspondientes:
LR =i
2
RγµD′
µR−D′µRγ
µR
LL =i
2
LγµDµ −DµLγ
µL
ConD′
µ ≡ ∂µ + ig′Bµ
Dµ ≡ ∂µ + ig~τ
2· ~Wµ + ig′
Bµ2
Adicionalmente se debe incorporar los correspondientes lagrangianos de los camposque han sido introducidos:
LM = −1
4BµνB
µν − 1
4GµνG
µν
Bµν = ∂µBν − ∂νBµGµν = ∂µ ~Wν − ∂ν ~Wµ − g ~Wµ × ~Wν
y cada uno de los campos satisface adicionalmente una invariancia de medida.Note que se ha escogido los lagrangianos, sin términos cuadráticos en los campos,es decir, sin términos de masa explícitamente, pues como se ha mencionado ante-riormente son estos términos los que no permiten renormalizar la teoría cuando seintroduce la invariancia local.Para añadir masa a las partículas debemos hacer uso del mecanismo de Higgs que yase lo ha discutido anteriormente. Se introduce por tanto un campo escalar complejoque es un duplete en el espacio de spin isotópico. El potencial de este campo es de laforma:
aφ†φ− b(φ†φ)2
y además se le exige que tenga la simetría SU(2)⊗ U(1).Se introduce por tanto el lagrangiano del nuevo campo como:
Lφ = (D′′µφ)
+(D′′µφ) + aφ†φ− b(φ†φ)2
9.5 La Teoría Electro-débil 349
Tal que,
D′′µ ≡ ∂µ + ig
~τ
2· ~Wµ − ig′
Bµ2
El campo
φ ≡(φ+φ0
)=
√1
2
(φ1 + iφ2φ3 + iφ4
)
La energía potencial del campo tiene un mínimo en
φ†φ = a/2b es decir en:1
2
(φ21 + φ22 + φ23 + φ24
)=
a
2b
Esta relación define el estado base (de menor energía) o vacío (hay muchas posibili-dades). Rompiendo la simetría y desarrollando la teoría alrededor del estado de vacíoparticular:
(φ1 + φ2 + φ4) = 0 y φ3 =
√a
2b
φ0 =1√2
(0λ
)tal que λ =
√a
b
Las fluctuaciones alrededor de este mínimo se las expresa como,
φ(x) = ei~τ · ~θ(x)/λ(
0λ+χ√
2
)con θ = (θ1, θ2, θ3)
En primera aproximación,
φ(x) =
(θ2 + iθ1
λ+ χ− iθ3
)
Esto se hace para eliminar los campos θ (llamados bosones de Goldstone) mediantela transformación de medida del campo
φ′(x) = φ(x)e−i~τ2· ~α(x)
En forma explicita.
φ′ = ei~τ · ~θ′/λ(
0λ+χ′√2
)= e−i
~τ2~α(x)
(0
λ+χ√2
)· ei~τ · ~θ/λ
entonces:χ′ → χ
~θ ′ → ~θ − λ
2~α
escogiendo la medida
~α =2
λ~θ
350 Campos
Implica que θ′ = 0 (y desaparecen estos campos)
Para proveer de masa al electrón se usa el mismo campo y se realiza la mismaruptura de simetría del vacío, y por tanto se introduce un nuevo término al lagran-giano:
Lm(e) = −fe(Rφ†L+ LφR
)
El lagrangiano total de la interacción electro-débil será:
L = LR + LL + LM + Lφ + Lm(e)
L =i
2
RγµD′
µR−D′µRγ
µR+i
2
LγµDµ −DµLγ
µL− 1
4BµνB
µν − 1
4GµνG
µν +
+ (D′′µφ)
†(D′′µφ) + aφ†φ− b(φ†φ)2 − fe
(Rφ†L+ LφR
)
El cual es invariante respecto de los cambios de fase local U(1)
L′(x) = e−iα(x)2 L(x)
R′(x) = e−iα(x)2 R(x)
φ′(x) = eiα(x)2 φ(x)
Invariante frente al campo de medida
B′µ(x) = Bµ(x) +
1
g′∂µα(x)
Invariante respecto a los cambios de fase local SU(2)
L′(x) = e−i~τ(x)2·~λ(x)L(x)
φ′(x) = e−i~τ(x)2· ~θ(x)φ(x)
Invariante frente a los cambios de medida
~W ′µ(x) = ~Wµ(x) +
1
g∂µ~λ(x) + ~λ(x)× ~Wµ(x)
La teoría contiene además dos constantes de acoplamiento: g′ y g.
Desarrollando el término del lagrangiano correspondiente al campo de Higgs.
Lφ =1
2∂µχ · ∂µχ+
1
4g2W µ+W−
µ (λ+ χ)2 +
+1
8
(W 3µ , Bµ
)
g2 gg′
gg′ g′2
(W µ
3
Bµ
)(λ+ χ)2 +
a
2(λ+ χ)2 − b
4(λ+ χ)4
9.5 La Teoría Electro-débil 351
La matriz formada por g′ y g se la puede diagonalizar, resultando en los siguientesvalores y vectores propios:
λ1 = 0
λ2 = g2 + g′2
vλ2 =1√
g2 + g′2(g g′
)
vλ1 =1√
g2 + g′2(−g g′
)
Si se toman las nuevas coordenadas (campos) Aµ y Zµ, es decir,
(AµZµ
)=
1√g2 + g′2
(−g′ gg g′
)·(W 3µ
Bµ
)
y la matriz en la nueva base, (0 0
0 g2 + g′2
)
Si se define la relación: g′ = g · tan θω
g
g′
√g′2 + g2
θω
Figura 9.8: Definición del ángulo de mezcla θω.
La matriz de transformación queda(− sin θω cos θωcos θω sin θω
)
Usando la matriz en la nueva base y los nuevos campos, el lagrangiano queda:
Lφ =1
2∂µχ · ∂µχ− aχ2 +
g2λ2
8
(W µ+†W+
µ +W µ−†W−µ
)+λ2
8
(g2 + g′2
)ZµZ
µ +
+λg2
2W µ+W−
µ χ+g2
4W µ+W−
µ χχ+λ
4
(g2 + g′2
)ZµZ
µχ+1
8
(g2 + g′2
)ZµZ
µχχ+
+a2
4b−√abχχχ− b
4χχχχ
En el cual aparecen los términos que dan masa a las partículas mediadoras de lainteracción electro-débil.Desarrollando ahora el lagrangiano Lm(e), con la transformación introducida,
Lm(e) =feλ√2ee− fe√
2eeχ
352 Campos
De igual manera con el lagrangiano LM
LM = −1
4
(AµνA
µν + ZµνZµν +W+†
µν Wµν+ +W−+
µν Wµν−)−
− g2
2
[W+µ W
µ−W+ν W
ν− −W+µ W
µ+W−ν W
ν−+
+ 2cos2 θω(W+µ W
µ−ZνZν −W+
µ ZµW−
ν Zν)+
+ 2 sin2 θω(W+µ W
µ−AνAν −W+
µ AµW−
ν Aν)+
+ 2 sin θω cos θω(W+µ A
µW−ν Z
ν +W+µ Z
µW−ν A
ν − 2W+µ W
µ−ZνAν)]−
− ig[(cos θω∂µZν − sin θω∂µAν)
(W µ−W ν+ −W µ+W ν−)+
+ (cos θωZν − sin θωA
ν)(∂µW
−ν W
µ+ − ∂µW+ν W
µ−)++ (cos θωZ
µ − sin θωAµ)(∂µW
−ν W
ν+ − ∂µW+ν W
ν−)]
donde se ha utilizado la notación:
Aµν = ∂µAν − ∂νAµ
Zµν = ∂µZν − ∂νZµW±µ = ∂µW
±ν − ∂νW±
µ
Los términos del lagrangiano LR,LL al aplicar la matriz de transformación,
LL + LR =i
2(νγµ∂µν − ∂µνγµν + eγµ∂µe− ∂µeγµe)−
− g√2
(eγµW+
µ
1 + γ5
2ν + νγµW−
µ
1− γ52
e
)−
− g sin θωeγµAµe−
g
2Zµ
(1
cos θωνγµν+
+sin2 θω − cos2 θω
cos θωeγµ
1− γ52
e+2 sin2 θωcos θω
eγµ1 + γ5
2e
)
El campo Aµ viene a ser el campo cuadri-potencial electromagnético, y la derivadacovariante se puede escribir como:
∂µ + igt · ~Wµ +1
2g′Y Bµ
donde Y es el operador hipercarga débil y t = ~τ/2 es el operador de spin isotópicodébil.
Tomando solo la tercera componente del producto punto (segundo término dellado derecho)
∂µ + igt3 ·W 3µ +
1
2g′Y Bµ
9.5 La Teoría Electro-débil 353
Usando la matriz de transformación de campos y escribiendo el término en Aµ
ig sin θω
(t3 +
1
2Y
)·Aµ
(t3 +
1
2Y
)= Q (operador de carga)
entoncesg sin θω = q (carga del electrón)
Resumiendo lo realizado en cada uno de los lagrangianos, se obtiene:
1. Un lagrangiano correspondiente al electrón que contiene un término de masame =
fλ√2
i
2eγµ∂µe− ∂µeγµe −meee
2. Un lagrangiano para el fotón sin masa
−1
4AµνA
µν
3. Un lagrangiano para la partícula de Higgs con masa mχ =√2a
1
2
∂µχ · ∂µχ−m2
χχχ
4. Un lagrangiano para la partícula neutra Z con masa mZ = gλ2 cos θW
−1
4ZµνZ
µν +1
2m2ZZµZ
µ
5. Un lagrangiano para cada uno de los bosones W+ y W−, cada uno con masamW = 1
2gλ
−1
4W±†µνW
µν± +1
2m2WW
±µ W
µ±
6. Un lagrangiano de interacción entre el electrón y el campo electromagnético
qeAµγµe
7. Un lagrangiano de corrientes débiles cargadas
− g√2
[eγµW+
µ
1− γ52
ν + νγµW−µ
1− γ52
e
]
354 Campos
8. Un lagrangiano de corrientes débiles neutras
−g2
[1
cos θWνγµZµν +
sin2 θW − cos2 θWcos θW
eγµZµ1− γ5
2e+ 2
sin2 θWcos θW
eγµZµ1 + γ5
2e
]
9. Un lagrangiano de interacción con el campo de Higgs
λg
2W µ+W−
µ χ+g2
4W µ+W−
µ χχ+λ
4(g2 + g′2)ZµχZµ +
+1
8(g2 + g′2)ZµZµχχ−
√abχχχ− b
4χχχχ− f√
2eχe
10. Un lagrangiano de interacción entre los bosones de interacción o de medida (verejercicio cinco).
Ejercicio 3. Escriba el correspondiente lagrangiano de interacción entre los camposde medida (bosones de interacción).
Considerando la suma de los correspondientes lagrangianos se pueden encontrarlas ecuaciones de movimiento; y las reglas de Feynman para campos libres, propaga-dores, y vértices de interacción de los distintos campos. Es importante recalcar quela teoría ha sido construida de tal manera que se mantenga renormalizable y que ala vez se le asigne masa al electrón, a los bosones mediadores, cargados y neutro, dela interacción débil, el campo de Higgs también posee masa.
Ejercicio 4. Encuentre los propagadores para las partículas W y Z y los correspon-dientes vértices con el campo del electrón.
Ejercicio 5. Escriba la correspondiente amplitud invariante del siguiente proceso:
u u
u u
1 3
2 4
χ
e e
µ µ
Figura 9.9: Dispersión electrón-muón a través de un campo de Higgs.
Nota: para ello necesita obtener las reglas de Feynman tanto para el vértice (campode Dirac-Higgs) como para el propagador de Higgs.
9.5.1 La Cromodinámica Cuántica QCD
La interacción fuerte, representada como la interacción entre quarks, debido a suscargas de color, es una teoría de campo de tipo gauge y lleva la representación del
9.5 La Teoría Electro-débil 355
grupo SU(3) de color.En este caso se tendrá un lagrangiano tipo Dirac con tres componentes (tres cam-pos de Dirac) debido a los tres tipos de cargas de color. Este campo será invarianterespecto de una transformacion de carga global en el espacio de color. Esta transfor-mación corresponde a transformaciones unitarias de determinate uno SU(3) y tieneocho matrices generadoras. El obligar al lagrangiano a ser invariante respecto de unatransformacion de fase local implicará la definición de una derivada covariante la cualcontendrá ocho campos vectoriales (que representan las partículas de intercambio dela interacción a los cuales se los llama gluones).
ψ =
ψ1
ψ2
ψ3
ψ =
(ψ1 ψ2 ψ3
)
L =i
2
ψγµ∂µψ − ψγµ∂µψ
−Mψψ
donde,
M =
m1 0 00 m2 00 0 m3
El lagrangiano admite una invariancia global general
ψ → Uψ
Donde U es una matriz 3× 3 unitaria U †U = 1
ψ → ψU †
La invariancia global se la puede considerar como una rotación (en el espacio de cargaisotópica) y se la escribe como función de las ocho matrices generadoras del grupoλa.
ψ(x)→ e−iλa
2·αaψ(x)
Si se obliga al lagrangiano a ser invariante respecto a una transformación local, i.e.,
ψ(x)→ e−iλa
2·αa(x)ψ(x)
Se debe definir la derivada covariante tal que:
Dµ
(e−i
λa
2·αa(x)ψ
)= e−i
λa
2·αa(x)Dµψ
Para ello la derivada covariante introduce ocho nuevos campos vectoriales:
Dµ = ∂µ + igλa2·Aaµ(x)
La introducción de la derivada covariante genera los lagrangianos de interacciónentre los campos asociados a las partículas y entre los campos vectoriales entre sí
356 Campos
introducidos. Adicionalmente hay que introducir un lagrangiano para los ocho camposvectoriales libres de la forma:
−1
4GaµνG
µνa
dondeGaµν = ∂µA
aν − ∂νAaµ + gfabcA
bµA
cν
El modelo estándar es entonces una teoría gauge SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Y ,que considera la cromodinámica cuántica (que describe la interacción fuerte entrequarks y gluones debido a sus cargas de color) y la teoría electrodébil (que unifica lainteracción débil y el electromagnetismo).
9.6 Más allá del Modelo Estándar
El éxito del modelo estándar es extraordinario. Sus predicciones han sido verificadasexperimentalmente con gran precisión y en un gran rango de energías. Sus prediccio-nes más exitosas tienen que ver con las corrientes débiles neutras, la violación de lasimetría CP y la inclusión de un nuevo campo, que genera la partícula de Higgs.
Aún cuando su brillantez trata de ocultar sus limitaciones, es importante recordarque esta teoría o modelo no toma en cuenta la gravedad. El problema de la gravedades que no existe una teoría cuántica de esta interacción. Sin embargo se han genera-do modelos nuevos de mayores dimensiones o teorías como la de las cuerdas que lapueden incluir.
Hay varias razones, tanto teóricas como evidencias experimentales, que muestranla limitación del modelo estándar y la existencia de nueva física más allá de dichomodelo. Entre las razones teóricas aparece principalmente el problema de la Jerarquiapara el mismo campo de Higgs y su ultra-fina sincronización de masa (poco probable).El hecho es que las correcciones radiativas del campo de Higgs son proporcionales alcuadrado de la escala de energía (que de acuerdo con una teoría de unificación tieneque ser del orden de la escala de Planck 1019GeV ). Por lo que el valor de su masadesnuda debe ser tal que su diferencia con la de las correcciones radiativas de el valor125 GeV. Un problema adicional es el de jerarquia de las masas de los fermiones.Los problemas de jerarquia se resuelven introduciendo la supersimetría (simetría en-tre fermiones y bosones), la misma que introduce socios supersimétricos para cadaparticula, es decir, sfermiones y sbosones. Además introduce una partícula de spin 2(graviton) y su compañero supersimétrico de spin 3/2 (gravitino).
Una de las primeras teorías de unificación, postulada en la decada de los setenta,fue la SU(5) que proponía la unificación de la tres interacciones. Una de sus predic-ciones fue la desintegración del protón con un tiempo de vida media de 1029 segundos.Inmediatamente se llevó a cabo una serie de experimentos en busca de dicha desin-tegración con resultados negativos. Hoy en día se considera (en base a los resultadosde los experimentos) que la vida media del protón es mayor a 1033.
9.6 Más allá del Modelo Estándar 357
Por otra parte, la evidencia experimental en lo referente a la oscilación de neu-trinos (que ha sido discutida ligeramente en este texto) y la existencia de materiaoscura muestran que no todas las preguntas estan contestadas y que hay algo másallá del modelo estándar. Estos temas estan fuera del alcance de este texto.
