cURSO GRATIS DE MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTESQUES UNAMATRIZ?Es algo muy simple, se trata de un conjunto de elementos (casi siempre nmeros) debidamente colocadosen filas y columnas.Ejemplo:4-6185

-5-71113

1234

8-81014

22-10169

Esta matriz consta de 20 nmeros colocadosenfilasycolumnas.El nmero de filas es 5 y el de columnas 4.Comprobars que (o nmeros)Para buscar un elemento indicamos primero la fila donde se encuentra y seguidamente la columna:El nmerose halla en el lugar (5,2) (52)El nmero10 se halla en el lugar (4,3) (43)Tiene alguna utilidad escribir datos en forma de filas y columnas, es decir, en forma de matriz?Matrices las encontramos en la vida de cada da.No has hecho alguna vez tu horario de clases?La tabla que tienes ms arriba es una matriz. En esa tabla o matriz puedes encontrar con facilidad la materia que tienes a la tercera hora los mircoles, por ejemplo.Como ves, te sirves de la fila y la columna.Tambin te diriges a una tabla o matriz para ver como marcha tu equipo de ftbol favorito.

Si deseo saber los partidos empatados por el Lrida me dirijo a la fila donde se halla este equipo y despus a la columna deEM.Se pueden poner mltiples ejemplos. Como vers, el asunto de las tablas o matrices es algo que lo utilizamos con frecuencia.Para qu sirven las matrices?Esta pregunta nos la podemos hacer puesto que no vamos a estudiar MATRICES para hacer unas tablas como las que hemos visto ms arriba.Sirven para otras cosas tambin, especialmente, para resolver ecuaciones de primer grado con muchas incgnitas.ESCRIBIR UNA MATRIZComo podemos tener varias matrices, lo normal ser dar nombre a cada una de ellas. Basta con designarla con una letra mayscula.Los elementos que contiene una matriz conviene escribirlos entre parntesis:

Cada elemento, en este caso cada nmero ocupa un lugar determinado teniendo en cuenta su fila y columna, en este orden:El 7 ocupa el nmero 1 de fila y 1 de columna, (1,1).El 8 ocupa el nmero 2 de fila y 2 de columna, (2,2).El 2ocupa el nmero 3 de fila y 1 de columna, (3,1).Primero se tiene en cuenta el nmero de fila y en segundo lugar el de la columna.(Puedes omitir las comas)En la vida de cada da dnde puedo ver esto de las matrices?Como has ledo anteriormente cuando has de resolver ecuaciones de primer grado con varias incgnitas:Un sistema de ecuaciones de primer grado podra ser:

Tomando los coeficientes (con sus signos) de las incgnitas podemos escribir la siguiente matriz:

Con los trminos independientes (los que se encuentren a la derecha del signo igual), podemos escribir la siguiente matriz:

Lo veremos mejor en los siguientes ejercicios, continuemos....Ejercicio #1Qu lugar ocupa el nmero 4 en

Respuesta: (12)A continuacin tienes una matriz indicando con subndices el lugar que ocupa cada elemento dentro de la misma. El primer nmero del subndice se refiere al nmero de fila y el segundo nmero del subndice al nmero de la columna:

DIAGONALES DE UNA MATRIZCUADRADASe llama matriz cuadrada a la que tiene tantas filas como columnas.Las matricesAyBque las acabas de estudiar son cuadradas porque tienen tantas filas como columnas.Estas matrices tienen dosdiagonalesllamadasprincipalysecundaria.En el ejemplo que tienes debajo ves una matriz cuadrada (4 filas y 4 columnas).Los elementos sealados con la lnea roja componen ladiagonal principal.Son los que ocupan los lugares (11),(22),(33) y (44):

Los elementos sealados con la lnea azul componen ladiagonal secundaria.

Son los que ocupan los lugares (14),(23),(32) y (41).Ejercicio #2Escribe una matriz que tenga 3 filas y 3 columnas. Escribe los nmeros que integran sus diagonales principal y secundaria.Respuestas:4,9,1:(11),(22),(33)y3,9,6:(13),(2,3),(3,1)SolucinEn color rojo la lnea de la diagonal principal.En color azul la lnea de la diagonal secundaria. 4, 9, 1: (11),(22),(33)3, 9, 6: (13),(2,3),(3,1)

TIPOS DE MATRICESMatriz fila:La que consta de una sola fila:Matriz columna:La que consta de una columna:

Matriz cuadrada:La que tiene tantas filas como columnas:

Matriz rectangular:La que tiene distinto nmero de filas que de columnas:

Matriz traspuesta:La que se obtienea partir de otrapero que tiene las filas por columnas. Fjate bien en el ejemplo:Tenemos la matriz siguiente:

Su traspuesta es:

La traspuesta se representa con unatoTpor ndice de la letra que representa el nombre de la matriz.Ejercicio #3Cul es la matriz traspuesta de:

Respuesta:

Matriz nula:La que todos sus elementos son iguales a cero:

Se la conoce tambin con el nombre dematriz cero.Matriz opuesta:Sabemos que el opuesto de 4 es 4.El opuesto de- 3 es 3La matriz opuesta a otra es la que obtiene al cambiar de signo a cada uno de sus elementos. Por supuesto, su nombre aparecer con el signo opuesto:Matriz simtrica:Supongamos la siguiente lnea compuesta de rectas y curvas:

Una figura simtrica a sta sera la que al doblar por un eje, todos los puntos coinciden:

En color rojo, el eje, lo podemos llamareje de simetra. A su derecha su figura simtrica. Al doblar el papel por el eje de simetra todos los puntos de la lnea poligonal de la izquierda del eje coinciden con sus puntos homlogos de la lnea poligonal situada a la derecha de dicho eje.Esto mismo nos sucede con lasmatrices simtricas.En un pequeo trozo de papel escribe la siguiente matriz cuadrada:

Traza con una regla una lnea que pase por ladiagonal principal:

Dobla el papel por la raya roja y vers que el 2 coincide con el 2, el 3 con el 3 y el 5 con el cinco.Esto sucede cuando una matriz esigual a su traspuesta:

Si cambias las filas de la matriz H por columnas obtienes su traspuesta HT.Debes tener en cuenta que:

Ejercicio #4Es simtrica la matriz que tienes a continuacin?

Por qu?Comprueba.Respuesta:S porque es igual a su traspuesta. Trazando una lnea por la diagonal principal hay coincidencia con sus elementos.Matriz antisimtrica:Se trata de una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de la traspuesta.Todos los elementos de la diagonal principal han de ser iguales a ceroya que no existe el, existe el cero. No existe el menos cero ni el ms cero. Es un concepto. Existe una pera o no existe una pera. No puede existir lapera.Conviene leer despacio para no liarnos.Observa la matriz siguiente:

Se trata de una matriz antisimtrica porque Comprueba y vers que los valores de las filas de la primera coinciden con los opuestos de los valores de las columnas de la segunda.Ejercicio #5Si trazamos una lnea por la diagonal principal (eje de simetra) y doblsemos por ella el papel coinciden los valores simtricos?Respuesta: No, coinciden sus valores opuestos.Matriz escalonada:Se dice que una matriz es escalonada cuando alprincipiode unafila hay un cero msque en la fila anterior:

Al principio de la segunda fila hay un cero ms que al comienzo de la fila anterior que es la primera.Al comienzo de la tercera fila hay dos ceros, es decir, uno ms que en la fila anterior que es la segunda.Al comienzo de la cuarta fila hay tres ceros, es decir, uno ms que en la fila anterior que es la tercera.Ejercicio #6Son escalonadas la matrices A y B:

Respuesta: S. Los elementos nulos o ceros en nuestro caso, cuentan apartir del comienzode cada lnea.Ejercicio #7Es escalonada la matriz:

Respuesta: No, porque al comienzo de la tercera fila hay 2 ceros, lo mismo que en la 2. Si en la 3 hubiera tres, entonces s sera escalonada.Matriz diagonal:Es la que todos sus elementos,excepto los que componen su diagonal principalsonnulos o ceros:

Matriz identidad:Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:

Matriz identidad:Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:

Matriz triangular superior:Es la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos:

Matriz triangular inferior:Es la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos:

Existen otros tipos de matrices que proceden como resultado de operaciones entre ellas.OPERACIONES CON MATRICESSumar y restar matricesPara sumar y restar matrices, stas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El nmero de filas y columnas de una han de ser igual al nmero de filas y columnas de la segunda.Sumar:Sumamos los valores que ocupan la misma posicin.El valor que se halla en la posicin (11) de A con el valor de la posicin (11) de la matriz B.El valor que se halla en la posicin (12) de A con el valor de la posicin (12) de la matriz B.El valor que se halla en la posicin (13) de A con el valor de la posicin (13) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.Vamos a sumar las matrices A y B:

Restar matrices:Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:

Ejercicio #8Cunto vale:

Respuesta:

Multiplicar matrices:Vamos a considerar 2 casos:1) Multiplicar una matriz por un escalar

Multiplicamos cada elemento por el escalar:

2) Multiplicar dos matrices es preciso que la1tengatantas columnascomofilas la 2matriz. El resultado ser una matriz que tiene el mismo nmero de filas como tiene la 1 y tantas columnas como tiene la 2:Multiplicamos las matrices:

Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1 fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).El segundo elemento de la fila 1 de A (2) por el 2 elemento de la fila de B (-4).El tercer elemento de la 1 fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Hago lo mismo con los elementos de la 2 fila de A:Multiplico el primer elemento de la 2 fila de A ( 2) por el primer elemento de la fila de B (2).El segundo elemento de la fila 2 de A (4) por el 2 elemento de la fila de B (-4).El tercer elemento de la 2 fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

Quiz te resulte algo complicado la operacin de multiplicar.Posiblemente te ayude saber:1) Slo se pueden multiplicar matrices cuando el nmero de columnas del multiplicando coincide con el de filas del multiplicador.2) Un procedimiento sencillo de llevar a cabo esta operacin es colocar cada fila del multiplicando en forma de columna y colocarla enfrente del multiplicador y hacer el producto de los elementos que hallen uno frente al otro:Ejemplo:

Y lo mismo con la 2 fila que sera:

3)El resultado de un producto de matrices es una matriz con el nmero filas igual al multiplicando y el nmero de columnas igual a las que tiene el multiplicador.