Curso Met-Exp Clase 17 27 Agosto

Dr. Ing. Helga Patricia Bermeo AndradeCorreo-e: [email protected]

Programa de Ingeniería Industrial

Ibagué, Sem B/2009

Curso: Curso: Métodos ExperimentalesMétodos Experimentales

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UNIDAD 1. Análisis estadístico univariado y bivariado

Fechas Temas Lecturas recomendadas

03-Feb Estadística inferencial: fundamentos, introducción al SPSS

Manual on-line

06-10-Feb Estimación de parámetros Montgomery & Runger, Cap. 713-17-Feb Inferencia estadística para una muestra Montgomery & Runger, Cap. 820-24 Feb Inferencia estadística para dos muestras Montgomery & Runger, Cap. 927 Feb- 03 Mar

1er. Parcial 25%

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UNIDAD 1. Análisis estadístico univariado y bivariado

Univariado

Bivariado

Multivariado

Paramétricas

No Paramétricas

Nivel de análisis Tipo de técnica

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1.3 Inferencia estadística para una muestra

La Prueba de Hipótesis Hipótesis estadística: Es una proposición o enunciado respecto a los

parámetros de una o más poblaciones; o el enunciado acerca de ladistribución de probabilidad de una variable aleatoria.

Prueba de hipótesis: Procedimiento de toma de decisiones a partir de hipótesis. Su planteamiento puede derivarse de: La experiencia pasada, en cuyo caso se desea determinar si hay cambios en

parámetros ya conocidos. Una teoría o un modelo en estudio, en cuyo caso el objetivo será de verificación

de la teoría o el modelo. Por especificaciones (ej. De diseño), en cuyo caso el objetivo es adelantar una

prueba de conformidad.

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La Prueba de Hipótesis Tipos de hipótesis estadísticas

Hipótesis nula (Ho), o hipótesis que quiere probarse y que constituye unenunciado (en valor exacto) acerca de un parámetro de la población.

Hipótesis alterna (H1), o hipótesis a considerar si se rechaza Ho. Puede ser dedos colas o de una sola cola.

Ejemplo:La media de la rapidez de combustión del propulsor de un sistema de expulsión detripulantes en cabinas de aviación es de 50 cm/s.

scmHscmH

/50:/50:

1

0

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+z-z

f(z)


La Prueba de Hipótesis La prueba se apoya en la distribución teórica de la Normal, que tiene la

siguiente configuración:

68.3%

95.5%

99.7%

-3s -2s -1s +1s +2s +3s

Se caracteriza por:•Es unimodal•Es simétrica•Es mesocúrtica (curtosis cero)•Escala en puntuaciones “Z”•El área de probabilidad total bajo la curva es 1 (uno).•Es una función acumulada •La media, mediana y moda coinciden en el mismo punto

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La Prueba de Hipótesis Errores en los que se incurre en la decisión

La decisión se prueba sobre un valor crítico (nivel de significancia) en el cualse rechaza o no la hipótesis nula, dado que hay o no suficiente pruebaestadística para ello.

Tipos Decisión

No rechazar

Rechazar

Ho cierta Correcta Error I ( )

Ho falsa Error II () Correcta

Error tipo I: probabilidad de rechazar Ho cuando ésta es verdaderaError tipo II: probabilidad de no rechazar Ho cuando ésta es falsaPotencia de la prueba: probabilidad de rechazar Ho cuando la H1 es verdaderaValor P: el valor de probabilidad más bajo de α, a partir del cual se rechazaría Ho

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La Prueba de Hipótesis

Nivel de significancia: Es un valor de certeza o probabilidad que fija el analista a priori, de no equivocarse en su decisión de “ rechazar o no rechazar la hipótesis de investigación”.

En estudios de ingeniería se acepta un nivel de significancia hasta del 5% o menos, esto es, un nivel de confianza de no menos del 95% para que el analista generalice sobre los resultados de la muestra, sin incurrir en graves errores de muestreo (por no ser la muestra representativa o por sesgo en la selección de los elementos muestrales).

El nivel de confianza se toma generalmente sobre la distribución muestral de la media.

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1.3 Inferencia estadística para una muestraLa Prueba de Hipótesis

Ejemplo:A partir del resultado de una muestra de 10 ensayos de laboratorio (media de combustiónentre 48.5 y 51.5 cm/s), indicar: a) cuál es la probabilidad de incurrir en el error Tipo I si seconsidera que la verdadera velocidad media de combustión es de 50cm/s, y se tiene unadesviación estándar ±2.5 cm/s ?Solución (a)

+X-X 51.5 cm/s +3s048.5 cm/s 50 cm/s90.1

79.00.505.51

1

X

XZ

+z-z Z1=1.90 +3s0Z2=-1.90

79.0105.2 nx

0576.00288.00288.0)90.1()90.1(

ZPZP

Existe una probabilidad de 0.057 de rechazar Ho, aun cuando la verdadera media de la velocidad de propulsión es de 50cm/s.

scmH /50:0

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Ejemplo:A partir del resultado de 10 ensayos de laboratorio, indicar: b) cuál es la probabilidad de incurriren el error Tipo II si se considera que la verdadera velocidad media de combustión es de52cm/s? ¿Cuál es la potencia de esta prueba? La desviación estándar es 2.5cm/s.

Solución (b)

X-X

050cm/s 52 cm/s

43.479.0

0.525.481

X

XZ

79.0x

2643.0)63.043.4(

ZP

Existe una probabilidad de 0.2643 de no rechazar Ho, cuando la verdadera media de la velocidad de propulsión es de 52cm/s.

La potencia de la prueba es de 0.7357

scmH /52:0

63.079.0

0.525.512

X

XZ

51.5 cm/s48.5 cm/s

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Taller :A partir del ejemplo indicado del propulsor de vuelo, resolver:

a) Cuánto cambia el error tipo I si se aumentan las experimentaciones a una muestra de 20?

b) Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II si la verdadera muestra está en 49 cm/s?

c) Cuáles serían los límites en los que podría tomar valor la velocidad media de combustión, sise desea asumir un nivel de significancia del 5%?

d) Cuáles serían los límites en los que podría tomar valor la velocidad media de combustión , sise desea asumir un nivel de significancia de sólo el 1%?

e) Realizar los ejercicios 8-1, 8-2, 8-3, 8-4 del libro guía, pág. 307.

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Procedimiento general: Identificar el parámetro de interés Establecer la hipótesis correspondientes (Ho, H1) Elegir un nivel de significación α Elegir un estadístico de la prueba apropiado Establecer la región de rechazo del estadístico Calcular el estadístico de la prueba Decidir si rechazar o no Ho y contextualizar la solución

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1.3 Inferencia estadística para una muestraInferencia sobre la media poblacional

con varianza conocida

o

o

HH

::

1

0

Prueba de hipótesis

Estadístico de prueban

XZ oo

Regla de decisión No rechazar Ho si 2/2/ zZz o

Zo-z 0-Zα/2

α/2 α/2

-Zα/2

Región crítica

Región crítica

Región de no rechazo

Distribución de Zocuando Ho: µ=µo

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1.3 Inferencia estadística para una muestraInferencia sobre la media poblacional


oo HH :;: 10

Ejemplo: En el caso del sistema de propulsión, qué puede concluirse si el promediomuestral de 20 experimentos dio 51 cm/s?

1. El parámetro de interés es µ

7888.1205.25051

nXZ o

o

5. Regla de decisión: No rechazar Ho sio si Valor P<0.05

645.1 ZZo

Zo0

α

-Zα

Región crítica


2. Hipótesis:

3. Nivel de significancia α=0.05, 95% de confianza

4. Selección y cálculo del estadístico de la prueba

6. Conclusión: A un nivel de confianza del 95% se encuentra suficiente evidencia estadística para rechazar Ho, y se estima que la verdadera media de velocidad de expulsión es superior a los 50 cm/s.

036.0)7888.1( ZPPValor

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Intervalos de confianza


Rango o intervalo en el cual está el valor del parámetro desconocido de una población. Se calcula con base en los estadísticos de las muestras.

3%7.992%5.95

%3.68

Relación de la distribución normal estándarrespecto a los niveles de confianza

Coeficientes de Confianza (1-α) es el nivel de confianza que se tiene que el intervalo contenga el valor desconocido del parámetro de la población.

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1.3 Inferencia estadística para una muestraIntervalo de confianza para la media


Ejemplo: Cuál es el IC a un 95% para el caso de la velocidad de expulsión con unamedia de 50 cm/s y una desviación estándar de 2.5 cm/s en una muestra de 20?

U0

α/2

51.09

Interpretación: A un nivel de confianza del 95%, la media tomará un valor de 50 ± 1.095 cm/s.

nZXnZX // 2/2/

El intervalo de confianza a un nivel α esta dado por:

205.2*96.150205.2*96.150

095.51904.48

5048.90

α/2

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1.3 Inferencia estadística para una muestraPrueba de hipótesis para la media

con media y varianza desconocida

o

o

HH

::

1

0Prueba de hipótesis

Estadístico de pruebanS

XT oo

Regla de decisión prueba de dos colas

No rechazar Ho si 1,2/1,2/ non tTt

to-t 0-tα/2,n-1

α/2 α/2

-tα/2,n-1

Región crítica

Región crítica


Distribución de Zocuando Ho: µ=µo

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1.3 Inferencia estadística para una muestraPrueba de hipótesis para la media

con media y varianza desconocida

50:;50: 10 HH

Ejemplo: En el caso del sistema de propulsión, puede concluirse que la velocidadpromedio es mayor a 50, dado que el promedio muestral de 20 experimentos dio 52cm/s con desviación estándar muestral de =2 cm/s?

1. El parámetro de interés es µ

447.0200.25052

nsXt o

o

5. Regla de decisión: No rechazar Ho si 729.119,05.0 tto

t0

α

tα/2,19=1.729

Región crítica


2. Hipótesis:



6. Conclusión: A un nivel de confianza del 95% se encuentra suficiente evidencia estadística para no rechazar Ho, y se estima que la velocidad media de expulsión no es superior a los 50 cm/s.

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1.3 Inferencia estadística para una muestraPrueba de hipótesis sobre una proporción

01

00

::

ppHppH

Uso: En casos en donde la variable aleatoria objeto de estudio, sigue unadistribución Binomial (n ensayos de bernoulli, donde la VA en cada ensayo, sólopuede tomar dos valores).

Ejemplos de aplicación:• Análisis de la proporción de defectuosos en un lote de producción•Estudio de la proporción de población desplazada en un ciudad•Análisis de la proporción de empleados que dicen estar ‘a gusto’ con la empresa

)1( 00 pnpnpXZ o

o

Regla de decisión: No rechazar Ho si

2/zzo z0

α/2

zα/2

Región crítica


Hipótesis a comprobar:

Estadístico de prueba:

α/2

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1.3 Inferencia estadística para una muestraPrueba de hipótesis sobre una proporción

05.0:;05.0: 10 pHpH

Ejemplo: Un fabricante de autopartes requiere que su proceso de fabricación nopresente un % de defectuosos mayor al 5%. En reciente muestreo de control decalidad con n=200 piezas revisadas, se encuentra que 5 de ellos ‘no conformes’.Puede el fabricante estar tranquilo con su proceso actual?

Conclusión: Puesto que |Zo|<Zα=1.645, no hay suficiente evidencia estadística para rechazar Ho, por lo que se considera que la proporción actual del proceso es mayor a 0.05 y por tanto es deficiente. z0

α=0.05

Zα=-1.645

Región crítica


Hipótesis a comprobar:

Estadístico de prueba:

Parámetro de interés: la proporción de defectuosos del proceso, p

6222.1)95.0)(05.0(200

)05.0(2005

oZ

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La Prueba de Hipótesis Intervalos de confianza

1.3 Inferencia estadística para un muestra

ZX

xZsX

xtsX

pZp

pZsp

xsXt

np

)1(

npps p

)1( n

ssx

Estadístico Muestra Varianza I.C. .

Media

Proporción Conocida

Desconocida

Grande

PequeñaDesconocida

Desconocida

Conocida

Pequeña

Donde:

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1.3 Inferencia estadística para un muestra

xZsX 254,08,10127,0*)2(8,10

nssx

%5.95

%95381,08,10127,0*)96,1(8.10

68.3%95.5%99.7%

INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA

TASA DE DESEMPLEO A 1,2 Y 3 DESVIACIONES

MUESTRALES

Ej. Cálculo e interpretación de los I.C.

Un estudio realizado en varias ciudades de Colombia, fue diseñado para hacer inferencias sobre las tasas de desempleo del país. Una muestra de 200 ciudades reporta una tasa promedio de 10.8% de desempleo y con una desviación estándar de 1.8%. Cual sería el intervalo de la tasa de desempleo del país a un nivel de confianza del 95.5% y cual a un nivel de significancia del 5%?

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xZsX 254,08,10127,0*)2(8,10

nssx

%5.95

%95381,08,10127,0*)96,1(8.10

68.3%95.5%99.7%

INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA

TASA DE DESEMPLEO A 1,2 Y 3 DESVIACIONES

MUESTRALES

Ej. Cálculo e interpretación de los I.C.

Un estudio realizado en varias ciudades de Colombia, fue diseñado para hacer inferencias sobre las tasas de desempleo del país. Una muestra de 200 ciudades reporta una tasa promedio de 10.8% de desempleo y con una desviación estándar de 1.8%. Cual sería el intervalo de la tasa de desempleo del país a un nivel de confianza del 95.5% y cual a un nivel de significancia del 5%?

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Pruebas de bondad de ajuste: Ji cuadrada (X2). Usualmente utilizada para comprobar la hipótesis de que una distribución empírica se ajusta a

una distribución teórica. Confronta el valor esperado contra el valor observado de una variable.Se evalúa si hay buen ajuste entre ellas.

La decisión: no rechazar Ho si Xo2 < X2

.,g.l

1.. sklg

k

i I

ii

EEOX

1

220

)(

f(X2)

“No rechazar Ho”

X2α/2, g.l

Ho: La variable se ajusta a una distribución teórica conocida

S: parámetros estimados de los datos

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1.4 Inferencia estadística para dos muestras

La Prueba de Hipótesis Procedimiento general:

Identificar el parámetro de interés Establecer la hipótesis correspondientes (Ho, H1) Elegir un nivel de significación α Elegir un estadístico de la prueba apropiado Establecer la región de rechazo del estadístico Calcular el estadístico de la prueba Decidir si rechazar o no Ho y contextualizar la solución

),( 2111 Nn ),( 2

222 Nn

Población 1 Población 2Independientes

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1.4 Inferencia estadística para dos muestrasInferencia sobre la diferencia en medias


0211

0211

0211

0210

::::

HHHH

Prueba de hipótesis Estadístico de prueba

2

22

1

21

021 )(

nn

XXZo

Regla de decisión No rechazar Ho si:

zz

zz

o

o

2/

Zo-z 0-Zα/2

α/2 α/2

-Zα/2

Región crítica

Región crítica


Distribución de Zocuando Ho: µ1- µ2=Δo

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con varianza conocidaEjemplo: Se analizan los tiempos de secado de dos procedimientos de pintura de piezas, cuyadesviación estándar suele ser de 9 min. Se aplica cada procedimiento a 10 piezas cada uno, y seobtienen unas medias de 120 y 110 minutos de secado respectivamente. A qué conclusión puedellegar el analista de laboratorio sobre la diferencia o no de los procedimientos, a un nivel α=0.05?

1. El parámetro de interés es la diferencia de medias

5. Regla de decisión: No rechazar Ho sio si Valor P>0.05

96.12/ ZZo

Zo0

α/2

Zα=1.96

Región crítica


2. Hipótesis:



6. Conclusión: A un nivel de confianza del 95% se encuentra suficiente evidencia estadística para rechazar Ho, y se concluye que los dos procedimi-entos de pintura son diferentes en sus tiempos medios de secado.

013.00065.00065.0)484.2()484.2(

PValorzPzPPValor oo

0:;0: 211210 HH

484.2

109

109

0)110120()(22

21

2

22

1

21

021

nn

XXZo

α/2

-Zα=-1.96

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1.4 Inferencia estadística para dos muestrasTamaño de la muestra para inferir sobre

la diferencia de medias

Estimación de la diferencia:

Ejemplo: En el caso de la comparación de los tiempos de secado de pintura obtenidos en dos procedimientos, cuál sería el tamaño de la muestra a analizar si la verdadera diferencia en los tiempos de secado es de 12 minutos, dado un nivel α =0.05 y un mínimo β=0.90?

6. Conclusión: El tamaño de muestra requerido para identificar una diferencia en las medias de 12 minutos, dado un nivel de confianza del 95%, es de 12 muestras para cada uno de los experimentos.

22

21

0

d

Estimación de la muestra:

)()()(

0

22

21

22/

zz

n

Estimación de la muestra a partir del uso de las curvas de operación características, dado un nivel de probabilidad β de error Tipo II y un nivel de significancia α de error tipo I.

942.099

1222

d

1266.11)012(

)99()28.196.1(2

222

n

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1.4 Inferencia estadística para dos muestrasIntervalo de confianza para la diferencia en dos medias


Ejemplo: Cuál es el IC a un 95% para el caso anterior, de los dos procedimientosde secado de pintura analizados?

Interpretación: Dado que el IC no contiene el valor de 0, no existe probabilidad de que no haya diferencia entre los dos procedimientos de pintura, por tanto, a un nivel de confianza del 95%, se concluye que los tiempos de secado de pintura del procedimiento (1) exceden a los tiempos de secado de pintura del procedimiento (2), en un tiempo que oscila entre 2.11 y 17.88 minutos.

2

22

1

21

2/21212

22

1

21

2/21 nnZXX

nnZXX

El intervalo de confianza a un nivel α esta dado por:

888.17111.2 21

109

10996.1110120

109

10996.1110120

22

21

22

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con varianzas desconocidas que se suponen iguales

0211

0211

0211

0210

::::

HHHH


21

021

11)(

nnS

XXT

p

o


2,

2,2/

21

21

nno

nno

tt

tt

Intervalo de confianza

2)1()1(

21

222

211

nn

SnSnS p

212,2/2121

212,2/21

11112121 nn

StXXnn

StXX pnnpnn

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con varianzas desconocidas que se suponen desiguales

0211

0211

0211

0210

::::

HHHH


2

22

1

21

021*0

)(

nS

nS

XXT


2,

2,2/

21

21

nno

nno

tt

tt

2

11 2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

nnS

nnS

nS

nS

v


2

22

1

21

,2/21212

22

1

21

,2/21 nS

nStXX

nS

nStXX vv

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con varianzas desconocidasEjemplo: En la manufactura de dos semiconductores se estánexperimentando los resultados de usar dos soluciones de grabado.Para ello, se aplicó cada solución en 10 obleas de material cadauno, con los siguientes resultados en milipulgadas/min (ver tabla).

a) Los datos apoyan la afirmación de que la rapidez de grabadoes la misma para las dos soluciones? Suponga varianzasiguales.

b) Cuál es el valor P de la prueba según el enciso a)?

c) Bajo el supuesto de varianzas iguales, cual sería el intervalo deconfianza del 95% para la diferencia de medias de la rapidez degrabado?

d) Apoyarían los datos la afirmación de diferencia de medias en larapidez de grabado si se suponen varianzas desiguales?

e) Bajo el supuesto de varianzas desiguales, cuál seria el intervalode confianza al 90%?

n S1 S21 9.9 10.22 9.4 10.63 9.3 10.74 9.6 10.45 10.2 10.56 10.6 10.07 10.3 10.28 10.0 10.79 10.3 10.410 10.1 10.3Media 9.970 10.400

D.Est. 0.422 0.231

R/ a) Se rechaza Ho; b)0.010<valor P<0.020; c)-0.749<Δ0<-0.115

Hber

meo.

Curso

de M

étodo

s Exp

erim

ental

es, U

I, Se

m. B

200

9 –Co

pyrig

ht ®


Prueba t-pareada

01

01

01

00

::::

D

D

D

D

HHHH


nSDT

D /0

0


1,

1,2/

no

no

tt

tt


nStdnStd DnDDn // 1,2/1,2/

Hber

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200

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pyrig

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Prueba t-pareadaEjemplo: En la manufactura de un tipo de camiseta, se analizó eltiempo de fabricación de 10 operarias de confección, antes ydespués de un proceso de entrenamiento por parte deldepartamento de tiempos y movimientos. Los resultados de laoperación de costura de 10 camisetas polo, antes y después delproceso de entrenamiento, dados en segundos son los indicadosen la tabla.

a) Los datos apoyan la afirmación de que el programa deentrenamiento está siendo efectivo? Suponga varianzasiguales.

b) Cuál es el valor P de la prueba según el enciso a)?

c) Bajo el supuesto de varianzas iguales, cual sería el intervalo deconfianza del 95% para la diferencia de medias de la rapidez decostura de las operarias?

n S1 S21 195 1872 213 1953 247 2214 201 1905 187 1756 210 1977 215 1998 246 2219 294 27810 310 285MediaD.Est.R/ a) to=8.387, s3 rechaza Ho

Curso Met-Exp Clase 17 27 Agosto

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