CAPITULO I

ESTADO DEL ARTE DEL MEF

1.1. Antecedentes Históricos

1.2. Estado Actual del MEF

1.3. Modelación de Sólidos

1.4. Diseño de Curvas

1.5. Diseño de Superficies

1.6. Generadores de Mallas en Sólidos

1.1. Antecedentes Históricos

En cuanto a su desarrollo histórico, el método del elemento finito se ha venido empleando desde la antigüedad, ya que los primeros geometras calcularon el número trascendente por medio de un método con el que Arquímedes calculó áreas y volúmenes de figuras geométricas conocidas, al que llamó método exhaustivo, hace 19 siglos antes que Sir Isaac Newton y G.W.Leibniz desarrollaran el cálculo infinitesimal. Sin embargo, el método se desarrollo principalmente en las décadas de los cincuenta y sesenta del siglo pasado por los ingenieros estructuralistas , esto debido sin duda fue a la cada vez más exigente necesidad de realizar cálculos el diseño de Ingeniería e industrial, ya que al diseñar estructuras más complejas en Ingeniería Civil, Aeronáutica y de otras ramas de la construcción en general, y al advenimiento en el desarrollo de las computadoras el análisis y la simulación numérica estos campos se vieron fuertemente favorecidos en este aspecto.

Varios de los principales trabajos que sobresalen son los estudios realizados por A. Hrennikof (1941) “Solution Of. Problems in Elasticity by the Framework Method” y D. Mc. Henry (1943) “A Lattice Analogy For the Solution of Plane Stress Problems”. En cuyos trabajos se utilizaron elementos discretos llamados barra y viga. Una aplicación directa del método basado en el principio de los trabajos virtuales de D’Alembert, fué el presentado por J.H. Argyris (1964) “Recent Advances in Matrix Methods of Structural Analysis” y S. Kelsey (1969) “Energy Theorems and Structural Analysis”.

M.J . Clough (1956) quien presento el método bajo la formulación de la matriz de rigidez, basado en los desplazamientos del sistema para un elemento triangular.De esta manera el término “Elemento Finito” fué introducido por R.W. Clough

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(1960) en “The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”, cuyo enfoque es puramente variacional en cuanto a la minimización de la funcional Energía total del Sistema se refiere.

No obstante de todo lo anterior, las bases matemáticas no habían sido formalmente establecidas para el Método del Elemento Finito, y no fué sino hasta que el interés en la solución de problemas en Ingeniería, tal como lo muestran los primeros trabajos realizados en este campo por Turner y Argyris en el diseño de estructuras complejas para alas de aviones, así como Alley y Gerringer que crearon métodos para el diseño de vehículos de lanzamiento espacial.

Otros ejemplos merecen ser citados como son “A Finite Element Approach for the Analysis on Thin Shells” publicado por R.W. Clough (1968).

El caso aximétrico fué tratado por P.E. Grafton (1963) en “Analysis of Axisymetrical Shells by the direct Stiffness Method”.

Por lo que cabe al estudio de los problemas no-lineales, y soluciones transitorias, han contribuido fuertemente Turner (1969), Zienkiewicz (1969 y Davis (1969) con su trabajo “The Damped Transient Behavior Of. Finite Beams and Plates”.

La primera prueba de convergencia del método en la literatura de Ingeniería, fué presentada por R.J. Melosh (1963) en “Basis of Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method”, utilizando el principio variacional de Reissner.

Otra contribución matemática que cabe mencionar, fué hecha por G. Birkhoff (1968) en “Piecewise Hermite Interpolation in one and two Variables Mit. Applications to Partial Differential Equations”.

El método del Balance de Energía fué publicado por Oden (1969) en la solución a problemas de termo elasticidad; mientras que Ztabo y Lee (1969) utilizaron el Método de Galerkin en la solución de problemas de elasticidad plana.

En la actualidad el Método del Elemento Finito se aplica en diferentes campos y ramas de la Ingeniería y de la Física, cuya formulación variacional es la más utilizada en la solución de problemas de ingeniería con valores en la frontera, como es el caso del Diseño y Cálculo del techo del Estadio Olímpico de Munich.

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1.2. Aplicaciones a la Ingeniería

Silvester y Chari [1] han empleado el método del elemento finito para el estudio de transformadores. Describieron técnicas para resolver problemas de campos magnéticos con núcleo de hierro o sin él, y determinaron con buena aproximación las reactancias medidas así como también las corrientes magnetizantes.

Un cálculo numérico posterior mediante el Método del Elemento Finito, fue capaz de calcular con mayor exactitud estos resultados, sin incrementar los costos de computación, lo cual señala los avances de la calidad del software utilizado por Konrad y Silvester [2]. Una desventaja que cabe mencionar es que no resuelve problemas asimétricos.

Sin embargo, una formulación más adecuada dada por Andersen [3], emplea un elemento de primer orden aproximado, el cual es exacto asintóticamente a grandes distancias radiales, pero menos exacto cerca del eje de simetría. Ambos requieren que el problema sea modelado por una malla topológicamente rígida, similar a la utilizada por Winslow [4], donde emplea un gran número de elementos de primer orden y mantiene el volumen de datos de entrada dentro de límites razonables.

M.V.K Chari [5] en un análisis de campos magnéticos de un turboalternador por medio de elementos finitos, resuelve la ecuación no lineal de Poisson que describe los campos magnéticos estáticos en hierro saturado minimizando la funcional de energía no lineal correspondiente , usando elementos de primer orden y un método de solución iterativo cuadrático convergente. El método se aplica al turboalternador el cual se utiliza para predecir los resultados de las pruebas normales. Encontrándose una validación entre los datos y valores experimentales y los valores numéricos calculados. El tiempo de procesamiento de los datos y cálculo de los resultados es mínimo, comparado con el efectuado por otros métodos numéricos como el método de las diferencias finitas que se obtienen los mismos resultados pero a un costo mayor.

O.W. Andersen [6] describe un programa en elementos finitos para el cálculo de campos electroestáticos, en donde la malla es generada automáticamente desde un tablero digital, y mediante un graficador obtiene los mapas de los campos electroestáticos obtenidos “CAE/CAD/FEM”.

Se presentan diversos ejemplos y cálculos numéricos obtenidos haciendo la comparación con las soluciones analíticas obtenidas. También, describe los algoritmos para generar automáticamente la malla, como también el algoritmo de aceleración de la convergencia a la solución. Finalmente, concluye que el método del elemento finito es una herramienta bastante útil para el cálculo de campos electroestáticos empleando la computadora digital. El preproceso que consiste de preparar el modelo del análisis, la adaptación del programa generador automático de mallas y la lectura de éste por los programas de solución numérica ahorran substancialmente la entrada de los datos, su manejo para el cálculo y las salidas de los resultados para formas complicadas de los electrodos, los dieléctricos, y de las condiciones de frontera del

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problema en cuestión. Además, se obtienen otros atributos o cualidades al respecto como son la rapidez del método, la confiabilidad de los resultados, y por ende la eficiencia de esta técnica.

P. Silvester y A. Conrad [7] analizan los fenómenos de fuga en transformadores por medio de elementos finitos de orden superior. Lo cual redunda en la reducción del rango de la matriz “de rigidez” en un factor de 5 a 10, comparado con los elementos de primer orden. Reduce los cálculos de las fuerzas a una secuencia de simples multiplicaciones de matrices, y no requiere de integración numérica. Concluyendo así, que con la utilización de elementos de orden superior, se obtiene una solución directa de las ecuaciones matriciales pequeñas, preferible a la solución iterativa de grandes sistemas de ecuaciones que involucran un gran número de elementos de primer orden.

P. Silvester y P. Rafinejad [8] describen una familia de elementos finitos con fronteras alabeadas o curvas, donde la densidad de flujo o permeabilidad pueden variar de manera compleja en el interior del elemento. Estos elementos son adecuados para el proceso de iteración de Newton-Raphson, dando convergencia cuadrática asintótica. Son compatibles con el elemento simple triangular. Las pruebas computacionales muestran que los nuevos elementos son capaces de una mejor exactitud para un tiempo dado de computación, y que tienen una flexibilidad más grande que los elementos triangulares. Los elementos triangulares de primer orden tienen dos serios inconvenientes: a saber, en un elemento de primer orden, la densidad de flujo magnético es, por definición, en cualquier lugar constante. Consecuentemente, también la permeabilidad y la reluctividad deben ser constantes dentro del elemento. En el interior de elementos curvilíneos, la densidad de flujo puede variar tanto en sentido y dirección, y en cierta dependencia de la forma topológica del elemento, dependencia que puede ser linearizada con la distancia en cualquier dirección. Se permite que la reluctividad varié de cualquier manera continua y uniforme dentro del elemento. También se describe la formulación matricial.

En el diseño de los capacitores, un punto importante es el conocimiento de cómo se distribuye el campo eléctrico entre las placas del capacitor. Para el capacitor de placas paralelas existen fórmulas para conocer la distribución del campo eléctrico entre las placas, pero para geometrías más complicadas muchos de los diseños se basan en técnicas tradicionales adquiridas empíricamente, o existen algunos métodos de cálculo los cuales son demasiado complejos y prácticamente no se utilizan.

El método del elemento finito se emplea para el estudio y cálculo de los campos electroestáticos en una gran variedad de configuraciones de electrodos y de materiales dieléctricos.

Las dos décadas pasadas han presenciado un crecimiento fenomenal en los sistemas de potencia, en los tamaños de las plantas eléctricas, y en el uso de dispositivos tales como transformadores, alternadores de polos salientes, máquinas de corriente

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directa, magnetos aceleradores, generadores de turbina, y otros más. Una predicción exacta de su funcionamiento se ha hecho más importante para cumplir con las especificaciones cada vez más estrictas. Para lograr economía en el diseño y asegurar la confiabilidad de operación, algunos de los índices de los cuales están interesados los diseñadores de máquinas y los ingenieros de sistemas eléctricos son los requerimientos de excitación en circuito abierto, en corto circuito, y en condiciones de plena carga, secuencias de reactancias, características transitorias, fuerzas de corto circuito, pérdidas con carga en el hierro, los efectos de las corrientes parásitas en máquinas de C.A., regulación con carga y características de conmutación en máquinas C.D., rigidez dieléctrica para soportar los picos de voltaje en diversas partes de las máquinas eléctricas.

Para evaluar estos, es necesario predecir correctamente los campos eléctricos y magnéticos, bajo varias condiciones de operación. Esto debido a las dificultades de los métodos analíticos clásicos y a las técnicas análogas, la necesidad de soluciones numéricas se reconoció en las primeras etapas del diseño. Sin embargo, no fue hasta el advenimiento de las computadoras a gran escala que tales métodos se pudieron desarrollar extensivamente y emplearse para la solución de distribuciones de campo en las máquinas eléctricas.

Todos los métodos numéricos empleados hoy en día están dentro de tres clases principales: esquemas de diferencias finitas, técnicas numéricas e integrales, y formulaciones variacionales.

El método variacional consiste en formular las ecuaciones diferenciales parciales del problema de campo en términos de una expresión variacional llamada funcional de energía. En la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, esta expresión puede ser identificada con la energía almacenada por el sistema.

En general, la minimización de la funcional energía es implementada en el método del elemento finito en forma numérica que aproxima a la solución definida en subregiones discretizadas de la región del campo.

1.3. Modelación de sólidos

La utilización de sistemas CAD se encuentra cada vez más extendida en la industria. Entre sus principales ventajas podemos citar la interactividad y facilidad de crear nuevos diseños. la posibilidad de simular el comportamiento del sistema antes de la construcción del prototipo modificando, si es necesario, sus parámetros la generación de planos con todo tipo de vistas, detalles y secciones, y la posibilidad de conexión con un sistema de fabricación asistida por computador para mecanización automática de un prototipo.

Los sistemas de CAD que permiten el diseño de objetos tridimensionales ( el diseño de piezas mecánicas, diseños en chapa, en plástico, diseños de obra civil, arquitectura y urbanismo, etc) pueden llegar a ofrecer al usuario las siguientes prestaciones.

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a) En un módulo de preproceso, se define interactivamente la forma tridimensional del objeto o conjunto de objetos a diseñar. El computador almacena un modelo tridimensional completo del mismo, que permite la generación de cualquier vista (diédrica, axonométrica, perspectivas), así como secciones, detalles y planos. Asimismo, el modelo de representación tridimensional contiene la información necesaria para el cálculo de las propiedades geométricas del objeto que se está diseñando; superficie, volumen, peso, centro de gravedad, momentos de inercia, etc.

b) En una segunda fase de proceso, se utiliza el modelo obtenido para realizar cálculos y simulaciones más complejos, como pueden ser el cálculo de tensiones por elementos finitos, o la simulación del comportamiento aerodinámico en el caso del diseño de carrocerías, perfiles de avión, etc.

c) En una tercera fase se pueden visualizar gráficamente los principales resultados de los programas de cálculo. Si no son correctos, el usuario incidirá sobre la forma del objeto, modificando el modelo y repitiendo el proceso; si en cambio ya son aceptables, el sistema podrá generar automáticamente un control numérico para la generación automática de un prototipo del objeto diseñado. Este último proceso es conocido con el nombre de CAM (Computer Aided Manufacturing).

En este capítulo nos centraremos en el modelado geométrico, que constituye la primera fase de entrada y visualización de objetos tridimensionales. Este proceso de diseño geométrico de la forma del objeto final constituye una parte importante de los sistemas CAD actuales, que difícilmente llegan a ofrecer todas las prestaciones antes indicadas.

Desde un punto de vista histórico, los antecedentes del modelado geométrico pueden situarse en los años 1955-1964 [1], con la aparición de los primeros lenguajes de control numérico - el APT -, las primeras experiencias de salida gráfica en computadores y el estudio de algoritmos relacionados con la geometría proyectiva.

Desde 1965 a 1972, aparecieron los primeros sistemas para dibujo en 2D, junto con algunos algoritmos para el diseño de curvas y superficies; curvas y superficies de Coon y Bezier. No obstante, debe esperarse hasta el período 1973-1978 [1] para disponer de sistemas completos de diseño de curvas y superficies basados, además, de técnicas ya conocidas, en la aproximación por B-splines. En este mismo período aparecen las bases teóricas y los primeros sistemas experimentales de diseño de sólidos, que utilizan modelos de fronteras, CGS y barrido. Finalmente, entre 1979 y 1984, los sistemas de diseño de superficies curvadas - o superficies esculpidas - se amplían con la posibilidad de subdivisión y edición de las mismas, mientras que los sistemas de modelado de sólidos aparecen ya en el mercado. Estos últimos sistemas, que almacena una información volumétrica completa del objeto, no tratan en cambio (en general) objetos delimitados por cualquier superficie curvada; se limitan a considerar modelos delimitados por caras planas cilíndricas, cónicas y en algunos casos esféricas - piezas mecánicas - . En la evolución prevista para los próximos años, es de esperar que los sistemas permitan tratar objetos delimitados a la vez por caras planas o cilíndricas y por superficies esculpidas.

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En los apartados siguientes se presenta el estado actual del modelado geométrico, tanto desde el punto de vista de sus características y prestaciones como de la comparación de los sistemas existentes y sus campos de aplicación, diferenciando los sistemas de modelado de sólidos de los de diseño de superficies esculpidas, en los apartados 2.2.2. y 2.2.8. se exponen las características de los primeros, mientras que en el apartado 2.2.2. trata de algoritmos para el diseño de curvas y los 2.2.6. y 2.2.9., del diseño de superficies curvadas.

1.3.1. MODELADO GEOMETRICO DE OBJETOS POLIEDRICOS, SISTEMAS DE REPRESENTACION INTERNA.

Todo sistema apto para el diseño de objetos delimitados en gran parte por caras planas y cilíndricas (y más raramente por caras cónicas, esféricas o toroidales) ha de permitir la entrada de información inicial sobre la forma del objeto, y debe almacenarla de manera que sea fácil su representación gráfica y modificación.

Ahora bien, no todos los sistemas de almacenamiento de la información del sólido diseñado en el computador ofrecen las mismas prestaciones. Por ejemplo, si lo único que se ha hecho ha sido introducir información de planos ya existentes, el sólido quedará representado en el computador por un conjunto de vistas y secciones. Esta información no es completa, aunque se venga utilizando extensamente, por ejemplo, en los sistemas de dibujo asistido por computador (no de diseño): por una parte, puede ser ambigua (el conjunto de vistas almacenado corresponde a más de un sólido real); por otra parte, es extremadamente complejo obtener otras proyecciones a partir de las ya almacenadas.

En primer lugar, el sistema debe ser capaz de distinguir los sólidos geométricamente correctos de aquellos que no lo son, y sólo debe permitir almacenar los primeros (en muchos casos, el propio sistema de entrada ya asegura que el usuario sólo pueda generar diseños correctos). En concreto, se define como sólido representable [2], [3] el que cumple las siguientes restricciones:

a) Debe ser rígido: su forma ha ser independiente de la posición espacial y orientación.

b) Debe ser finito, ocupando una posición finita del espacio.

c) Su superficie externa debe ser cerrada y orientable: ha de determinar, sin ambigüedad, qué parte es interior al sólido y qué parte es exterior. Obsérvese que en la botella de Klein (figura 1.3.1a) no se cumple esta propiedad.

d) Debe cumplir la ecuación de Euler; C + V - A = 2 + R - 2H . [3], donde C es el número de caras, V es el número de vértices, A el de aristas, R el número de anillos interiores en las caras, y H el número de agujeros que atraviesan el cuerpo.

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e) Toda operación geométrica (traslaciones y rotaciones) o Booleana (unión, intersección o diferencia con otro sólido) entre sólidos representables debe producir como resultado otros sólidos representables. La definición de operadores regularizados [4] asegura el cumplimiento de esta propiedad.

a) b) c)

d) e)Fig. 1.3.1.

Por otra parte, es evidente que no todo sistema de almacenamiento de sólidos representables da las mismas prestaciones. Para poder comparar entre sí los distintos métodos que se utilizan, se definen los siguientes parámetros [2]:

1) Dominio: cuanto mayor es el dominio en un sistema de representación de sólidos, mayor es el número de objetos reales que son representables.

2) Ambigüedad: un sistema es ambiguo si un modelo representado en él corresponde a más de un sólido real.

3) Grado de unicidad: es deseable que todo sólido real tenga un único modelo de representación interna, para poder detectar y evitar posibles duplicaciones de la base de datos.

4) Validez: las representaciones internas deben corresponder a sólidos correctos.

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5) Ocupación de memoria: la cantidad de memoria necesaria para almacenar un determinado sólido real debe ser reducida.

6) Facilidad de creación de objetos: las herramientas para la creación de diseños por parte del usuario deben ser simples.

7) Finalmente, el sistema de representación debe permitir la generación, con facilidad, de todo tipo de visualizaciones, así como el cálculo de propiedades y las operaciones con otros sólidos.

No existe en estos momentos ningún sistema de representación de sólidos óptimo con respecto a todos estos parámetros. En lo que resta de este apartado analizaremos los más utilizados en la actualidad, comparándolos por lo que respecta a estas características.

1.3.2. El modelo de alambres

En realidad, sólo es posible obtener todo tipo de proyecciones del objeto diseñado si el computador almacena información tridimensional. Uno de los sistemas, tal vez el más sencillo, es el llamado modelo de alambres. En él, el computador dispone de las coordenadas en el espacio de todos los vértices del cuerpo, junto con información de qué pares de vértices se encuentran unidos mediante aristas. Mediante sencillas transformaciones geométricas de proyección, se puede obtener cualquier vista del objeto.

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Sin embargo, este modelo de alambres tiene el grave inconveniente de ser ambiguo [2], y de no permitir la producción de secciones y vistas con eliminación de partes ocultas. Por todo ello, es poco utilizado en sistemas avanzados de diseño.

Como muestra de la ambigüedad de este sistema, la figura 1.3.2a. presenta un modelo de alambres: dos paralelepípedos, uno dentro del otro, con los vértices homólogos unidos por aristas. Es inmediato observar que este modelo puede corresponder tanto al sólido de la figura 1.3.2b. como al de la 1.3.2c.

Existen algunos sistemas interactivos de generación de modelos tridimensionales no ambiguos (apartados siguientes), a partir de vistas en diédrico [5] o del modelo de alambres [6]. En todos ellos es precisa la intervención del usuario en el caso de modelos ambiguos, para decidir entre los posibles sólidos resultantes (decisión entre los de la figura 1.3.2b. y 1.3.2c. en el caso del modelo de la figura 1.3.2a.

Fig.1.3.2a.

Fig.1.3.2b.

Fig.1.3.2c.

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1.3.3. El modelo de fronteras

Fig.1.3.3

Uno de los sistemas de representación más utilizados en la actualidad, es el llamado modelo de fronteras. En este sistema, lo único que se hace es ampliar la información que almacenaba el modelo de alambres, incluyendo datos de los polígonos (un polígono es un conjunto de aristas, habitualmente plano y cerrado) y de las caras del objeto (una cara está formada por uno o más polígonos; en el segundo caso, uno de ellos constituye la frontera - cerrada - de la cara, y los demás pueden ser, por ejemplo, agujeros).

El modelo de fronteras contiene toda la información tridimensional, es no ambiguo (representa un único sólido real), es completo (permite representar un gran número de sólidos, incluyendo, por ejemplo, la posibilidad de caras cilíndricas y cónicas) y posibilita todo tipo de operaciones y representaciones realistas del sólido.

Una de las técnicas más utilizadas en los sistemas de modelado geométrico para la creación de nuevos sólidos es el llamado método de barrido (sweep). Con este sistema, el usuario genera el objeto tridimensional mediante traslaciones o rotaciones de caras planas que dibuja en la pantalla. Las figuras 1.3.4, 1.3.5, y 1.3.6 muestran las posibilidades del sistema de modelado con representación interna de fronteras que se presenta en [7], [8]. En concreto, la figura 1.3.4 describe el proceso detallado de generación de una pieza mecánica. En 1.3.4a. se ha dibujado mediante técnicas usuales de dibujo en 2D - una de las caras del objeto. Indicando al sistema cuál debe ser su espesor, éste genera un modelo tridimensional de fronteras que permite generar, por ejemplo, la vista axonométrica de la figura 1.3.4b. El barrido puede repetirse, y puede ser hacia el interior o el exterior del objeto. En la figura 1.3.4c, un barrido vertical hacia el interior de dos polígonos hexagonales laterales, produce el mecanizado de dos agujeros. El usuario, en la figura 1.3.4c, ha seleccionado ya la cara inferior - a tramos - para dibujar en ella un rectángulo, al cual aplicará un pequeño barrido hacia el interior del objeto; en esta misma figura, se ha pedido un último barrido, éste hacia el exterior del objeto, de un polígono con una concavidad semicircular dibujado en una cara lateral.

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a) b) c)Fig. 1.3.4

a) b)

c) d)Fig. 1.3.5.

En este sistema, como se observa en las figuras 1.3.4 y 1.3.5, las caras cilíndricas se aproximan por un número suficientemente elevado de caras planas. Mientras algunos sistemas de modelado incluyen caras analíticamente cilíndricas, otros - ver también [9], por ejemplo - consideran preferible su aproximación por caras planas, con el fin de aumentar la velocidad en los algoritmos de tratamiento del modelo de fronteras. En

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todo caso, es siempre posible, en el momento de la representación gráfica final y generación de planos, la obtención de una aproximación a la superficie real dentro de cualquier tolerancia especificada, mediante interpolación por splines.

La figura 1.3.5 muestra diversas visualizaciones del objeto diseñado en la figura 1.3.4, que ponen de manifiesto la no ambigüedad del modelo de fronteras. Puede observarse un dibujo con eliminación de las líneas ocultas en 1.3.5a (dibujo que no sería posible con un modelo de alambres, en que el sistema no posee información de los elementos opacos - las caras -; en las figuras 1.3.5b y 1.3.5c se presenta el objeto seccionado por varios planos (el resultado de la sección es otro sólido, con información tridimensional completa almacenada con el modelo de fronteras). Finalmente, una doble sección del sólido, en la figura 1.3.5d, puede representarse con simulación de iluminación en una pantalla de barrido.

Finalmente, en la figura 1.3.6 se presenta un conjunto de piezas ensambladas. Cada una de ellas ha sido obtenida por el procedimiento de barrido indicado, y el conjunto se visualiza con simulación de iluminación. Cabe observar que la base de datos no guarda información duplicada de los objetos. Así, existe un único modelo de fronteras del marco cuadrado que sirve de base; el marco superior utiliza este mismo modelo, aplicando una transformación geométrica de translación a sus puntos. Asimismo, en el caso de las columnas existe también un único modelo de fronteras, y las demás se generan automáticamente por replicación de éste.

Fig. 1.3.6

1.3.4. La Representación Mediante Octtrees

Aparte del modelo de fronteras, existe otra gran familia de esquemas de representación interna no ambigua, denominada métodos de enumeración espacial. En ellos se divide el espacio en una serie de celdas, y para cada una de ellas se guarda información de si es interior o exterior al objeto. Existen no obstante, diversas opciones en lo que respecta a la forma y tamaño de las celdas elementales. La elección más simple es suponer el espacio dividido en una malla de cubos idénticos en cuanto a tamaño. Si la porción de espacio en que tenemos al objeto a modelar se divide en N divisiones, según cada eje, obtendremos N3 cubos, equivalentes a un total de N3 bits (1 si el cubo es interior, 0 si es exterior) para representar cualquier objeto. Aunque este sistema de representación es claramente no ambiguo, válido, y asegura la unicidad de los objetos modelados, la ocupación de memoria es excesiva; por otra parte, el objeto no queda

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representado de forma exacta: las caras inclinadas, por ejemplo, quedan almacenadas como una escalera de pequeños bloques cúbicos.

Una mejora que reduce considerablemente la memoria necesaria consiste en la codificación mediante octtrees (o árboles octales). El espacio se divide en cubos, pero no todos son del mismo tamaño; sólo se llega a la mínima división en la periferia del objeto, no en su interior [10], [11]. El espacio cúbico inicial que contiene el objeto a diseñar se divide en 8 octantes, y para cada uno de ellos se analiza si es blanco (exterior al objeto), negro (interior) o gris (en parte interior y en parte exterior). Se vuelven a dividir en 8 octantes sólo estos últimos nodos grises, hasta llegar a nodos blancos o negros o bien alcanzar la mínima división. El modelo resultante tiene estructura de árbol, ya que de cada nodo gris descienden 8 nodos correspondientes a sus octantes. Existen diversos métodos para la representación del árbol en memoria, [10], [11], [12], que permiten un gran ahorro respecto a la simple enumeración espacial. Por otra parte, se tienen algoritmos simples para la visualización de un octtree; también es simple el cálculo de las propiedades volumétricas (la masa, por ejemplo, es la suma de las masas de los nodos negros), y la realización de operaciones de unión, intersección y diferencia entre objetos (únicamente deben interceptarse los nodos cúbicos negros), que conducen a algoritmos recursivos muy claros. Sin embargo, la ocupación de memoria es generalmente mucho más alta que en el modelo de fronteras, y todavía se tiene el problema de una representación escalonada en la superficie del objeto.

En [13], [14] se presenta un nuevo esquema de representación basado en octtrees, en el que se permiten tipos de nodos distintos a los clásicos (blanco, negro, gris); nodos cara, que pueden contener parte de una de las caras del objeto; nodos arista, que contienen parte de una arista junto con las caras que confluyen en ella, y nodos vértice, que contienen uno de los vértices del poliedro representado. Como se observa en la figura 1.3.7, el número total de nodos y, por tanto, la memoria necesaria se reduce considerablemente [14]. La visualización y la posible reconversión al modelo de fronteras son ahora exactas, mientras que los algoritmos de operaciones Booleanas continúan siendo simples [14].

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Figura 1.3.7. Partes Mecánicas Generada por un Algoritmo Octtree

1.3.5. La representación mediante árboles CSG

En los sistemas que usan el modelo de geometría constructiva de sólidos (CSG), en vez de generar volúmenes a partir de caras, el usuario puede combinar sólidos elementales (prismas, cilindros, conos y esferas), moldeando con ellos la forma del cuerpo final. Las operaciones que puede realizar con estos sólidos primitivos son:

1) Traslación, escalado y rotación, para situar las primitivas en la posición adecuada;

2) Unión

3) Intersección

4) Substracción.

Fig. 1.3.8. Simple Operación de Substracción

Estos sistemas almacenan únicamente las primitivas utilizadas y el conjunto de operaciones que se ha realizado con ellas. Así, en la generación del objeto, en la parte superior de la figura 1.3.9. el usuario ha empezado uniendo un paralelepípedo y un cilindro; restando de este conjunto otro cilindro concéntrico al primero consigue practicar un agujero; finalmente, la parte central puede desaparecer si restamos un

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paralelepípedo de dimensión adecuada. La información que guarda el sistema es únicamente:

- las dimensiones de las primitivas utilizadas,

- la localización espacial de las mismas,

- un árbol con las operaciones realizadas: unión, diferencia, intersección, y por tanto, la representación interna es mucho más compacta que cuando se utiliza el modelo de fronteras o los octtrees.

Existen algoritmos para el cálculo de propiedades volumétricas , al igual que en los métodos de enumeración espacial; únicamente es necesario combinar las propiedades de los sólidos primitivos.

Fig. 1.3.9. Operaciones Booleanas

Por otra parte, las operaciones Booleanas entre objetos se reducen a combinar los dos árboles CSG para producir el árbol final.

Ahora bien, en la actualidad sólo existen algoritmos aproximados para la visualización directa de árboles CSG en tiempo real [15], [16], [17]. Si lo que se desea es una representación exacta del objeto diseñado, para la realización de planos o control de un proceso de CAM, es preciso efectuar una conversión al modelo de fronteras, y esta conversión es costosa [2], [18].

1.3.6. Conversión entre sistemas de representación

Los sistemas de representación no ambiguos presentan prestaciones muy diferentes en cuanto a los distintos parámetros definidos al principio de este apartado. Así, y como ya se ha visto, mientras el modelo de fronteras es especialmente adecuado para la generación de proyecciones y vistas, los octtrees y árboles CSG son útiles para la realización de las operaciones de unión, diferencia e intersección. Algunos sistemas de modelado geométrico, en consecuencia, utilizan simultáneamente más de un sistema de representación [1], [18], y poseen algoritmos para la actualización constante de todos ellos con el fin de evitar incoherencias en la base de datos. Los cambios de representación más utilizados son los siguientes:

a) Conversión de barridos (conjuntos de caras y movimientos de rotación o translación) a modelo de fronteras. En este caso, el algoritmo únicamente ha de generar el conjunto de caras que aparecen en el movimiento de barrido.

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b) Conversión del modelo de fronteras a octtrees. Supone estudiar para cada nodo cúbico, si es interior o no al cuerpo, utilizando los algoritmos clásicos de determinación de puntos interiores [18]. La conversión puede ser útil para la realización de operaciones Booleanas.

c) Conversión de árboles CSG a octtrees. Como en el caso anterior, se utilizan algoritmos de detección de puntos interiores.

d) Conversión de octtrees a modelo de fronteras. Como ya se ha mencionado en el apartado 5.2.3, sólo es posible realizarla de forma exacta si los tipos de nodos permitidos incluyen nodos que contienen una o más caras.

e) Conversión de árboles CSG a modelo de fronteras. Es imprescindible para la visualización y dibujo preciso del modelo diseñado. Uno de los posibles algoritmos [18] intersecta - en una primera fase - todos los objetos primitivos entre sí. Los trozos de caras de primitivas a que da lugar este proceso se almacenan y en una segunda fase se analizan con respecto al árbol CSG, eliminando las caras interiores o exteriores al objeto representado por él.

En cambio, las conversiones de modelo de fronteras o de octrees a modelo CSG no son únicas, y prácticamente no se utilizan en los sistemas de modelado.

1.3.7. PRESENTACIONES DE LOS SISTEMAS DE MODELADO

La fase final de todo proceso de modelado, una vez diseñada interactivamente la forma del sólido y modificada con las operaciones Booleanas y de sección, debe generar salidas numéricas y gráficas que permitan el análisis de sus características y la posible fabricación de un prototipo. Entre este tipo de salidas se encuentran:

a) Las propiedades volumétricas - o integrales - del mismo: volumen, masa, momentos y productos de inercia. Estos valores se calculan mediante algoritmos conocidos [19], [20], directamente a partir del modelo de representación. En concreto, el cálculo a partir del conocimiento del modelo de fronteras es particularmente simple [19], ya que se reduce a la integral de determinadas funciones a lo largo de la superficie exterior del objeto. Lógicamente, los cálculos son también inmediatos en cualquier sistema de enumeración espacial.

b) La representación del objeto mediante proyecciones bidimensionales. Como ya se ha indicado, el modelo de fronteras es el más adecuado para este tipo de salidas. EL proceso de representación consta de dos etapas, en la primera de las cuales se obtiene - mediante una transformación geométrica [21] - la proyección de todos los puntos del modelo. En una segunda fase, puede procederse a una eliminación de las líneas - aristas - que quedan ocultas por las caras del objeto, o bien a una eliminación de superficies ocultas [21], [22]. En el primer caso, se genera una vista o dibujo (figura 1.3.4a), mientras que en el segundo se obtiene una imagen con simulación de iluminación (figuras 1.3.4 y 1.3.5).

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c) La conexión de objetos con otros elementos de una base de datos [23], [25]. Estos elementos pueden ser objetos diseñados por el mismo sistema, con lo que es posible generar conjuntos con estructura de base de datos gráfica jerárquica (figura 1.3.5), [7]. En ellos el diseño está formado por un cierto número de subconjuntos, y éstos a su vez por elementos cada vez más detallados. No obstante, puede conectarse la información gráfica diseñada con elementos de una base de datos no gráfica; en este caso, el conocimiento de estos atributos numéricos permitirá la generación, por ejemplo, de presupuestos y listas de materiales.

1.4. DISEÑO DE CURVAS

Supongamos que se desea diseñar una superficie curvada en el espacio (carrocería, fuselaje, o en general, cualquier diseño en chapa). El proceso habitual de modelado de la superficie parte de uno o más perfiles diseñados de forma interactiva, que el ordenador unirá luego automáticamente para formar la superficie. Este proceso, que se presenta con más detalle en los siguientes apartados, permite la generación de superficies a partir de un diseño cómodo para el usuario.

Por todo ello, se empieza por estudiar los principales métodos de diseño de curvas mediante ordenador. En todos ellos se sigue el siguiente algoritmo interactivo:

1) El usuario introduce un conjunto de puntos que permiten definir la forma de la superficie. Habitualmente, la entrada se realiza mediante movimientos de cursor en la propia pantalla gráfica del computador, o a través de una mesa digitalizadora.

2) El computador calcula la ecuación matemática de una curva o conjunto de curvas que se adaptan a los puntos introducidos. Tal como se verá a continuación, algunos de los métodos generan curvas que pasan por (interpolan) los puntos introducidos por el usuario, mientras que en otros, los puntos iniciales sólo sirven para controlar la forma de la curva.

3) A partir de esta ecuación matemática, se calcula un conjunto suficientemente elevado de puntos de la curva, y se dibuja en pantalla. (Realmente, lo que se genera es el dibujo de una poligonal suficientemente fina, que no se distingue de la curva deseada y que puede aproximarse a ella todo lo que desee, calculando un número suficientemente elevado de puntos.)

4) Si la forma de curva no es la deseada, los sistemas de diseño permiten la modificación interactiva de la posición de alguno de los puntos iniciales, volviendo al paso 2). En este proceso de modificación cabe distinguir entre los métodos globales, en que la variación de un solo punto afecta a la forma de toda la superficie, y los métodos locales en que sólo se modifica la zona de curva cercana al punto trasladado.

A continuación se expondrán con más detalle los métodos de diseño de curvas más utilizados en la actualidad.

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1.4.1.Curvas Bezier

Fig. 1.4.1.Generación de Curvas Bezier

A partir de un conjunto de puntos P1... Pn en el plano o en el espacio, se puede obtener una curva Bezier ponderando sus coordenadas mediante unas determinadas funciones de forma Uk(t). Suponiendo que el usuario haya introducido los puntos en el plano x-y, Pk(xk,yk), se pueden calcular puntos intermedios de la curva Bezier, x(t), y(t) con 0 t 2.

o abreviadamente,

P ( t ) = =

donde

Uk ( t ) =

En este caso se genera una curva polinomial de grado n-2. La curva Bezier cumple además las siguientes propiedades [35], [36]:

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1) Es una curva que parte del punto inicial P1 cuando t = 0 y llega al punto final PN

cuando el parámetro t vale 2. En cambio, no pasa por los puntos intermedios P2 , P3 , ... PN - 1 .

2) Aunque no interpole los puntos introducidos por el usuario, la forma de la curva se parece a la de la poligonal P1 P2 P3 ... PN . Por ello es posible variar la forma del perfil diseñado modificando la posición de alguno de estos puntos.

3) La dirección de salida y llegada de la curva viene determinada por los puntos P2 y Pk - 1 ; la curva sale del punto P1 en dirección P1 P2 y llega a PN en dirección PN- 1

4) Es un método global, en el sentido que ya se ha comentado; la modificación de un solo punto afecta a la forma de toda la curva.

En la figura 1.4.2. puede observarse una curva Bezier con los puntos introducidos por el usuario para definirla, y un conjunto de cuatro curvas Bezier unidas con continuidad de la pendiente. En los próximos apartados veremos cómo es posible definir superficies Bezier a partir de estas curvas.

Fig. 1.4.2.

20

1.4.2. Interpolación con splines cúbicos

Fig. 1.4.3.

Ahora el enfoque es distinto al empleado en las curvas Bezier [37], [38]. En vez de una única función polinómica de grado n-1, tenemos una ecuación distinta para cada intervalo; todas ellas son polinomios cúbicos, que conectan adecuadamente entre sí.

Splines cúbicos locales

En este caso, a partir del conjunto de puntos P1 ... Pn introducidos por el usuario (que continuaremos suponiendo en el plano x-y, aunque podrían ser puntos cualesquiera en el espacio), se obtiene una curva que pasa por todos los puntos, tiene comportamiento local al modificar la posición de algunos de ellos, y es un polinomio cúbico en cada intervalo entre dos puntos consecutivos.

El proceso completo de obtención del Spline cúbico local a partir de un conjunto de puntos es P1 ... PN [39]:

a) En la primera fase, se estima el valor de la pendiente (xk,yk). Las derivadas se calculan respecto al parámetro t en cada uno de los puntos Pk(xk,yk). En el cálculo de estas pendientes se utilizan normalmente fórmulas de interpolación de las coordenadas de los puntos cercanos al Pk. Cabe distinguir dos casos: si la curva es abierta, empezando en P1 y terminando en Pn, normalmente se utilizan fórmulas especiales para el cálculo de las pendientes en estos extremos; en cambio, si la curva es cerrada, la fórmula utilizada es idéntica para todos los puntos, ya que para todo punto queda perfectamente definido cuál es su predecesor y cuál es el siguiente.

b) En una segunda fase, se puede demostrar que la ecuación de la curva final en el intervalo entre Pn-1 y Pn es

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donde el parámetro t varía entre 0 y 1: en el punto Pk tenemos t = 0 , en Pk+1 , t = 2.

Como ya se ha dicho, los Splines cúbicos locales están formados por polinomios cúbicos distintos en cada intervalo. Es fácil comprobar que poseen continuidad C1: la pendiente es continua a lo largo de toda la curva, incluso al pasar de una cúbica a otra. Además, a diferencia de las curvas Bezier, su comportamiento es local: la modificación de un punto afecta sólo a una parte de la curva completa. La figura 1.4.4. muestra un ejemplo de construcción de una curva cerrada. Como última ventaja respecto a las curvas Bezier, podemos indicar que no es preciso esperar a que el usuario haya introducido todos los puntos para dibujar la curva; ésta puede irse dibujando de forma automática a medida que se van introduciendo nuevos puntos al sistema.

Figura 1.4.4.

1.4.3. Splines cúbicos globales

En este caso, se genera también una curva formada por trozos de cúbicas, siguiendo los mismos pasos anteriores (estimación de las pendientes, generación posterior de la cúbica en cada intervalo). La única diferencia es que ahora [37], [38] las pendientes se calculan de manera que quede asegurada la continuidad C2 - de la pendiente y de la curvatura - entre las distintas cúbicas que forman el Spline completo. El proceso de cálculo de las pendientes a partir de las coordenadas de los puntos, en este caso, no es trivial y lleva a tener que resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas [8]. Por otra parte, este sistema, que en el caso de curvas cerradas da una única solución, contiene dos grados de libertad en el caso del diseño de curvas abiertas. Ello permite una cierta flexibilidad al usuario por lo que respecta a la elección del comportamiento de la curva de las proximidades de los extremos P1, Pn [39].

En consecuencia, se puede concluir que en los splines cúbicos globales:

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1) Al igual que en las curvas Bezier, es preciso conocer todos los puntos P2... Pn a priori, para poder resolver el sistema de ecuaciones que se plantea.

2) Poseen comportamiento global. La modificación de un punto afecta a la forma de toda la curva.

3) Se tiene continuidad de la curvatura, lo que da lugar a una curva mucho más suave que la obtenida en el caso de splines locales. En realidad, se puede demostrar matemáticamente [37], que es la curva de máxima suavidad que pasa por los puntos introducidos. Esta es la razón por la cual los splines cúbicos globales son ampliamente utilizados en el diseño geométrico de curvas y superficies.

La figura 1.4.4. presenta la obtención de una curva cerrada a partir de cuatro puntos de paso definidos por el usuario. En ella se pueden comparar los splines globales con los Splines locales, que únicamente proporcionan continuidad de la pendiente y, por tanto, curvas menos suaves.

1.4.4. Generación de curvas con B-splines

En un principio, el método de construcción de curvas mediante B-splines, parece muy similar al basado en curvas Bezier: a partir de un conjunto de puntos P2... Pn (conocidos habitualmente como vértices de control) que suministra el usuario, se genera una curva por combinación lineal de los Pk mediante un conjunto de funciones base o funciones de forma, Bk(t):

Fig.1.4.5.

x ( t ) = , y ( t ) =

La expresión matemática de las funciones base [37], [40] es, sin embargo, distinta a la de las Uk(t) que aparecían en las curvas Bezier. Ahora, las Bk(t) son funciones polinomiales a tramos, y por ello la curva final [x(t), y(t)] será también un conjunto de polinomios unidos convenientemente. En el caso particular de que las Bk(t) estén formadas por trozos de polinomios cúbicos, se obtienen los B-splines cúbicos, que son los más utilizados. En este caso:

1) Se puede demostrar que, con la elección adecuada de los puntos de control P2.… Pn , se pueden generar las mismas curvas que se obtendrían con los splines cúbicos globales. En este sentido, estamos ante una generalización de aquellos.

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2) Asimismo, es posible generar las curva Bezier, con n=4; y en general, se puede demostrar que las curvas Bezier con n puntos pueden generarse como un caso particular de los B-splines de grado n -2.

3) Finalmente, los B-splines permiten especificar en cada punto la continuidad deseada; si todos los vértices de control Pk son distintos, se obtendrá una curva con curvatura continua, al igual que los splines cúbicos globales. Si en cambio, se sitúan dos vértices de control en la misma posición, en este punto tendremos sólo continuidad de la pendiente. E incluso se podrá generar una discontinuidad en la pendiente - un vértice - en la curva, situando tres vértices de control coincidentes. Esta última propiedad es la que da lugar a la conocida flexibilidad de los B-splines en el diseño de curvas y a su amplia utilización.

La figura 1.4.6. a, b, y c presenta el diseño de un perfil de ala de avión. Para generar la discontinuidad de la pendiente en el punto posterior se han hecho coincidir tres vértices de control. Así mismo se observa el efecto local de la modificación de uno de los vértices de

Figura 1.4.6.

control, y lo fácil que es ajustar la forma de la parte inferior del ala. El único inconveniente de este método es tener que trabajar con puntos de control y no con puntos de paso, aunque como se verá en los algoritmos de diseño de superficies, este problema se puede subsanar con la generación automática de los vértices de control a partir de puntos de paso.

1.5. DISEÑO DE SUPERFICIES

1.5.1. Obtención de superficies a partir de un perfil curvado.

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Una vez obtenido un perfil curvado por alguna de las técnicas expuestas en el apartado anterior, es posible generar superficies por técnicas de barrido similares a las expuestas en el apartado de modelado geométrico. Si el barrido consiste en la revolución del perfil alrededor de un eje [35], se obtienen diseños como el que se presenta en la figura 1.5.1. En esta figura, no obstante, - y en la mayoría de los sistemas existentes - el objeto generado está constituido por un conjunto suficientemente elevado de pequeñas caras, que aproxima de forma aceptable la superficie teórica de revolución que se deseaba obtener. Estas caras, que según la precisión pueden ser planas o bicúbicas, se van incorporando al modelo de fronteras final del objeto. Por otra parte, existen los sistemas que no almacenan caras, sino la expresión analítica del Spline que forma la superficie de revolución. En este caso, la discretización debe realizarse cada vez que es necesario efectuar una representación gráfica de la superficie.

Otra operación que puede realizarse con el perfil generado es la de barrido de traslación. De esta forma, se pueden generar superficies tubulares de eje rectilíneo, o incluso de eje curvado, si se impone que la traslación se realice a lo largo de una segunda curva diseñada con anterioridad.

Figura 1.5.1.

Finalmente, es posible obtener por interpolación entre dos o más perfiles curvados. En el caso de dos perfiles, el computador genera la superficie intermedia por interpolación lineal entre los extremos; el resultado final podría ser, por ejemplo, un conducto de unión entre dos aberturas de distinta forma. En el caso de más de dos perfiles, ya no es posible la interpolación lineal, que produciría cambios bruscos de pendiente en la superficie final. La solución más extendida [41] es la utilización de splines cúbicos - globales o locales, según la aplicación- para generar las curvas longitudinales que unen puntos homólogos de los distintos perfiles. La figura 1.4.6.d presenta la superficie generada por interpolación entre perfiles del tipo ala de avión.

1.5.2. Superficies generadas a partir de una malla de puntos en el espacio

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En el caso en que se deseen construir superficies más complejas que las anteriores, el usuario debe introducir un número suficientemente elevado de perfiles, para especificar de forma correcta la forma deseada de la superficie final. Si suponemos un conjunto de m perfiles, cada uno definido por n puntos, el sistema dispone en total de una malla de n x m puntos para la generación de la superficie. Existen varios procedimientos para la obtención de la superficie a partir de la malla de puntos:

1) Una vez generadas, por interpolación con splines cúbicos, las curvas correspondientes a los m perfiles en sentido longitudinal y a los n perfiles en sentido transversal, puede llenarse cada uno de los trozos rectangulares de la malla con una superficie que se adapte a sus fronteras. El primer algoritmo para esta interpolación fue debido a Coons [42]. Un estudio de las condiciones que se requieren para aumentar la suavidad y la continuidad entre trozos adyacentes ha conducido a los trozos de Adini [43] y Gregory [44], entre otros.

2) Puede utilizarse un método de interpolación bidimensional basado en splines cúbicos globales o locales. En este caso, (camino a y b de la figura 1.5.2), la superficie cumple las mismas propiedades que tenía en el diseño de curvas: pasa por todos los n x m puntos de la malla; en el caso de splines cúbicos globales, la superficie es suave, pero su comportamiento no es local: la modificación de uno solo de los puntos de la malla afecta a la forma de toda la superficie. En el caso de utilización de splines cúbicos locales, se consigue un comportamiento local por lo que respecta a las modificaciones, a costa de una menor continuidad - y por tanto suavidad - de la superficie diseñada. Los aspectos matemáticos del proceso de cálculo, que se obtienen por generalización inmediata del caso unidimensional, pueden encontrarse en [45], [46].

3) Puede utilizarse en cambio, una interpolación bidimensional con B-splines (véase también [46] para la formulación matemática de este algoritmo). En este caso, que correspondería el camino d y e de la figura 1.5.2., la superficie obtenida no pasa por los puntos de la malla que ha suministrado el usuario. Estos puntos en realidad constituyen los vértices de control, que modelan la forma de la superficie interpolante. Aunque este método permite modificaciones locales y conduce a superficies suaves, de curvatura continua, tiene el grave inconveniente de no interpolar los puntos iniciales.

4) Finalmente, puede utilizarse un método híbrido entre los anteriores, que queda representado por el camino a, c, e en la figura 1.5.2. El usuario introduce la matriz de puntos de paso en el espacio (normalmente, el proceso de entrada de esta matriz será perfil a perfil e interactivamente en una terminal gráfica). En el siguiente paso, el sistema calcula automáticamente (en [45] resolviendo un sistema lineal de n x m incógnitas, y en [46] mediante dos productos matriciales) la matriz de vértices de control tal que, interpolando con B-splines dará lugar a una superficie que pasa por la malla inicial de puntos introducida por el usuario. Dado que ahora disponemos a la vez del conjunto de puntos de paso y de vértices de control, es posible, en la fase posterior de modificaciones interactivas, cambiar alguno de los primeros o de los segundos. Evidentemente, si lo que se modifica es la posición de un vértice de control, el cambio en la forma de la superficie quedará localizado.

26

Figura 1.5.2.

1.5.3. Operaciones con tramos bicúbicos

Así como los splines cúbicos estaban formados por trozos cúbicos, cualquiera de las superficies que pueden ser generadas mediante los algoritmos presentados en los apartados 5.1 y 5.2 contiene un conjunto de trozos cuadrangulares de ecuación bicúbica, que conectan adecuadamente (con continuidad C1 o C2 ) entre sí. Cada uno de estos trozos viene determinado por un conjunto de 16 parámetros, que pueden escogerse como puntos de paso, vértices de control o bien posiciones o derivadas en los 4 puntos extremos.

El hecho de disponer de la ecuación independiente de cada uno de los trozos bicúbicos que forma la superficie, permite su posterior tratamiento, edición y modificación:

a) Si se observa que la superficie obtenida no es suficientemente suave y posee ondulaciones (existen fundamentalmente dos métodos para detectar estos defectos en la superficie final, o bien, se simula su iluminación y se analizan posibles cambios de gris o de color, o bien se representan gráficamente las líneas de igual curvatura Gausiana), existen algoritmos para la modificación automática de algunos parámetros de la superficie [47] con el fin de aumentar su suavidad.

b) La existencia de algoritmos de subdivisión de splines cúbicos [48] generalizables al tratamiento de superficies, permite partir un trozo

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bicúbico en un conjunto de trozos menores que se apoyan completamente sobre él [49] (figura 1.5.3a).

c) De la misma manera, es posible generar un segundo trozo bicúbico desplazado en la dirección de la normal a cada punto del primero (figura 1.5.3b). El espesor entre ambos trozos, si su curvatura no es excesivamente elevada, será sensiblemente constante. Este algoritmo permite generar sólidos tridimensionales a partir del diseño de su superficie exterior - o interior.

Fig. 1.5.3.

d) Dados dos tramos bicúbicos, puede generarse automáticamente uno o varios tramos de unión que conecten con ellos con pendiente continua. Esto permite completar diseños - de carrocerías, por ejemplo - , generados por tramos [49] (fig. 1.5.3c.).

e) Puede sustituirse un tramo bicúbico por otro más pequeño - y no necesariamente en el mismo plano- generando automáticamente 8 tramos de unión que conectan de forma suave [49] el contorno del trozo reemplazante con los adyacentes que se han suprimido (Fig. 1.5.3d).

f) Puede generarse un agujero en un trozo bicúbico, diseñando primero la forma de su contorno, dividiendo luego este contorno en un conjunto de cúbicas (4 en la figura 1.5.3e), y generando finalmente los 8 trozos alrededor del agujero que sustituirán al inicial, de forma idéntica al proceso que se seguía en la figura 1.5.3a. Finalmente, pueden generarse tramos triangulares o pentagonales para conectar tres trozos bicúbicos con distinta orientación en el espacio, en su vértice común [50]. También puede optarse por una suavización posterior de la unión de varios trozos bicúbicos con aristas de pendiente discontinua. [51].

1.5.4. APLICACIONES DEL DISEÑO DE SUPERFICIES

En este último apartado se presentan algunas aplicaciones del diseño de superficies con las técnicas expuestas. En todas ellas, aparte de la facilidad de generación de planos, cálculo de propiedades del objeto diseñado y posible conexión a un sistema de fabricación asistida, existe la gran ventaja de que el diseño es interactivo y que la modificación de alguna de sus partes se efectúa simplemente cambiando la posición de determinados puntos de control.

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En lo que respecta, al diseño en la industria del automóvil - fundamentalmente su carrocería, el paquete Unisurf [52], basado en curvas y superficies de Bezier, es usado principalmente en Renault y Citroen. Otras empresas, como Benz [53], Opel [54], y Volkswagen [55], utilizan de forma combinada las superficies generadas con B-splines, trozos bicúbicos que interpolan una malla de puntos y superficies de Bezier. Todos estos sistemas ofrecen posibilidades de edición de superficies, generación de superficies de unión y diseño de agujeros y aberturas.

El diseño de casco de buques [56], [57], se basa en un primer diseño (a partir de ciertos parámetros introducidos por el usuario) de determinados perfiles básicos que determinan la forma final: la sección en planta, del casco, a la altura de la línea de flotación y en su parte más elevada; el perfil en alzado del casco; y el área transversal deseada en función de la coordenada longitudinal. A partir de estas primeras curvas, el sistema genera automáticamente un conjunto de secciones transversales que definen la forma del casco, y finalmente, una interpolación cardinal de éstos genera la superficie final.

En [58] se presenta una aplicación al diseño de zapatos mediante la generación de un conjunto de perfiles básicos e interpolación posterior entre los mismos. En este caso, pequeñas variaciones posteriores en la posición de los vértices de control de los perfiles permiten generar la gama completa de tallas del zapato diseñado. Finalmente, en [59] puede encontrarse un abanico bastante amplio de aplicaciones del diseño de superficies esculpidas.

1.6 Generadores de Mallas en Sólidos.

Enseguida, presentamos un generador de mallas automático en cuyos nodos se evaluarán polinomios de interpolación lineal.

1.6.1. El Generador GRID

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Considerando que los datos de los elementos son la fuente mayor de errores al correr los programas de elemento finito, ya que estos datos de los elementos también representan una tarea laboriosa. Existen programas que automáticamente generan los datos de los elementos. Tales programas operan bajo principios diferentes, pero todos realizan la misma función; localizar los puntos nádales dentro de una región y luego subdividir la región en elementos. El resultado final es una lista de los números de los nodos de los elementos e información de sus coordenadas.

El programa GRID aquí presentado genera los datos de los elementos para luego ser utilizados por el programa del elemento finito. Para definir al cuerpo bajo consideración GRID usa un grupo de regiones cuadriláteras cuadráticas definidas cada una por ocho nodos.

Este programa es capaz de modelar dominios bidimensionales compuestos de triángulos y rectángulos con fronteras curvas de segundo orden. Los nodos de los elementos son numerados, y se utiliza la cantidad (R+1) para determinar el ancho de banda. No se intenta minimizar R con renumeración de los nodos. La minimización del ancho de banda y los programas para lograr esto son descritos por Collins (1973).

La Región Cuadrilateral

La única región disponible en GRID es el cuadrilátero cuadrático. Sin embargo, este elemento es bastante versátil; puede usarse como rectángulo, cuadrilátero general o, triángulo, como se muestra en la fig. 1.6.1.

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Fig. 1.6.1. Regiones Posibles para el Cuadrilátero

Los ocho nodos que definen a la región son nominados como muestra la fig.2.4.1. El nodo 1 siempre está localizado en las coordenadas = = - 1 . Nótese que uno de los nodos (nodo 5) siempre estará en la hipotenusa de la región triangular.

Cinco funciones básicas se realizan al considerar cada región cuadrilateral.

1. El número de filas y columnas de nodos son definidos de acuerdo a los datos de entrada.

2. Se checa si cualquiera de los nodos frontera ha sido numerado previamente. Si la prueba es positiva, los nodos en la frontera especificada se le dan valores idénticos a los anteriores.

3. Los nodos son numerados en una secuencia que empieza en = -1, = +1, procede de derecha a izquierda ( = -1 a = +1) y de arriba hacia abajo ( = +1 a = -1). Todos los nodos previamente numerados son saltados.

4. Todos los nodos en las fronteras son almacenados para referencias futuras al considerar regiones que son adyacentes a la región bajo consideración.

5. La región es subdividida en elementos triangulares. Cada elemento es numerado y la cantidad (R+1) es calculada y comparada con el valor más grande (R+1) calculado previamente.

La región es subdividida en elementos considerando cuatro nodos que forman un cuadrilátero tal como el área mostrada en la figura 1.6.2. La longitud de las dos diagonales son calculadas y comparadas. El cuadrilátero elemental es entonces

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subdividido en dos elementos triangulares usando la diagonal más corta. Este procedimiento es repetido hasta que todos los conjuntos de cuatro nodos han sido analizados.

El tamaño de los elementos puede ser variado colocando los nodos 2,4,6,8 en un punto diferente del centro del lado. El movimiento de estos nodos desplaza el origen de coordenadas. Estos nodos intermedios deben de permanecer dentro del intervalo -1/2 < < 1/2 o -1/2 < < 1/2 (Steinmueller, 1974).

Fig.1.6.2.

Región de Conectividad

Un cuerpo o dominio generalmente es modelado usando varias regiones cuadriláteras conectadas unas con las otras a lo largo de uno o más lados. La posibilidad de una frontera común entre dos regiones requiere suministrar cierta información para asegurar que los nodos en esta frontera común tengan los mismos números, sin

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importar que región está siendo considerada. Números idénticos de nodos se aseguran suministrando lo que se llama "Datos de Conectividad". Los datos de conectividad comunican a la computadora cómo está conectada la región bajo consideración con otras regiones.

Los datos de conectividad para una sola región consisten en cuatro números, uno para cada lado. Cada valor es el número de la región conectada al lado particular. Los lados del cuadrilátero son identificados como se muestra en la figura 1.6.2. El lado uno está entre los nodos 1 y 3, el lado dos entre nodos 3 y 5, y así sucesivamente.

Fig. 1.6.3.

La determinación de los datos de conectividad se ilustra por medio de un ejemplo, tal como el cuerpo de cuatro regiones de la fig. 1.6.3.

El sistema coordenado , , y el número de región han sido asignados. La numeración de las regiones es arbitraria. La orientación del sistema coordenado , , generalmente es colocado de tal manera que se obtenga el ancho de banda más pequeño posible. Esto no se ha hecho en la fig. 1.6.3. porque el objetivo era ilustrar los datos de conectividad. Los lados de cada región son indicados por los números (1) a (4). Los datos de conectividad para el cuerpo de cuatro regiones de la figura 1.6.3., se muestran a continuación:

L A D O

REGION 1 2 3 4

33

1 2 3 0 0

2 4 0 0 1

3 4 1 0 0

4 2 3 0 0

La primera línea de datos dice que el lado uno de la región uno está conectado a la región dos, y que el lado dos de la región uno está conectado a la región 3. Los dos ceros indican que los lados tres y cuatro no están conectados a alguna región. Hay una línea de datos para cada región.

Comentarios del Programa de Computadora

Los datos de entrada para GRID pueden subdividirse en cinco clasifaciones: un título, parámetros, coordenadas x ,y de los nodos que definen la región cuadrilátera, los datos de conectividad, y los datos de región.

El título es un enunciado descriptivo que se imprime en el margen superior de las páginas de salida para propósitos de identificación. Los parámetros contienen tres datos con el formato 3I3.

INRG número de regiones

INBP número de puntos frontera

IPCH opción de impresión : 0 - no imprimir : 1 - imprimir

Las coordenadas x,y son leídas separadamente. Se leen todas las coordenadas x, y luego todas las coordenadas y. Luego se leen los datos de conectividad; NRG es el número de la región, y los datos de conectividad se almacenan en la variable JT.

Después, los datos de región son leídos. La definición de los nombres de las variables son:

NRGNROWSNCOLNDN

Numero de RegiónNúmero de Filas de NodosNúmero de Columnas de NodosNúmero Globales de los Nodos para definir los Cuadriláteros.

34

Hay ocho valores para NDN, por lo cual se tiene el formato 11I3.

Las mayores subdivisiones del programa se indican por comentarios.

Algunos de los nombres de las otras variables importantes son:

NXCYCNN

NNRB

Las Ocho Funciones de Forma del Cuadrilátero CuadráticoCoordenadas x,y de los Nodos de las Regiones

Número de los Nodos de RegiónNúmero de los Nodos en la Frontera de la Región, esta es una Variable Tridimensional definida como NNRB (Región, Lado, Número de Nodo)

XE,YE,NE las coordenadas x,y , y los números de los nodos del cuadrilátero elemental de cuatro nodos, el cual es subdividido en dos triángulos.

En el listado del programa GRID, la secuencia de enunciados de la línea 162 a 169 determina (R+1) usado para calcular el ancho de banda.

Problema Ejemplo

Por medio de un ejemplo se ilustrará la preparación de datos para GRID. La región básica (área sombreada) se muestra en la fig. 1.6.4.

Fig.1.6.4 Fig.1.6.5.

El cuerpo cuadrado se define como una sola región. La numeración de los nodos para definir las regiones cuadriláteras es arbitraria. Se selecciona una subdivisión de cinco filas y cinco columnas para la región.

Los datos de entrada para esta región se dan en la tabla 1.6.2., junto con un enunciado descriptivo para cada grupo de datos. Hay una línea de datos de conectividad y una línea de datos generales para cada región.

35

La subdivisión final de elementos de la tabla 1.6.1, se muestra en la figura 1.6.5. junto con los números de los nodos. El arreglo de regiones mostrado aquí resulta en el valor más pequeño de (R+1) que es posible obtener usando GRID.

Como regla general para minimizar (R+1) empezar con la región superior y trabajar hacia abajo y hacia la derecha.

GENERACIÓN DE ELEMENTOS titulo

__3_18__1 parámetros

Datos para formar la red del problema 1, generados por el programa GRID.

Datos de Entrada

Los datos de entrada para el programa GRID son los siguientes:

1. Parámetros.

INRG = 1 , una región

INBP = 8 , nodos de la región

IPCH = 1 , opción de impresión de datos

2. Datos de Conectividad.

3.

Puesto que únicamente es una región, sus lados 1,2,3,4, tienen

cero conectividad con otras regiones. Esto es,

Región Lado 1 Lado 2 Lado 3 Lado 4

1 0 0 0 0

3. Datos de la Región.

36

Región Filas Columnas

1 5 5

La región 1 se subdivide en 5 filas y 5 columnas.

Nodos de la Región

1,2,3,4,5,6,7,8

Datos de Salida. Los datos de salida se muestran en la Tabla 1.

37

TABLA 2.1

1 6 7 2 .0000 6.0000 2.0000 6.0000 2.0000 8.0000

2 6 2 1 .0000 6.0000 2.0000 8.0000 .0000 8.0000

3 7 8 3 2.0000 6.0000 4.0000 6.0000 4.0000 8.0000

4 7 3 2 2.0000 6.0000 4.0000 8.0000 2.0000 8.0000

5 8 9 4 4.0000 6.0000 6.0000 6.0000 6.0000 8.0000

6 8 4 3 4.0000 6.0000 6.0000 8.0000 4.0000 8.0000

7 9 10 5 6.0000 6.0000 8.0000 6.0000 8.0000 8.0000

8 9 5 4 6.0000 6.0000 8.0000 8.0000 6.0000 8.0000

9 11 12 7 .0000 4.0000 2.0000 4.0000 2.0000 6.0000

10 11 7 6 .0000 4.0000 2.0000 6.0000 .0000 6.0000

11 12 13 8 2.0000 4.0000 4.0000 4.0000 4.0000 6.0000

12 12 8 7 2.0000 4.0000 4.0000 6.0000 2.0000 6.0000

13 13 14 9 4.0000 4.0000 6.0000 4.0000 6.0000 6.0000

14 13 9 8 4.0000 4.0000 6.0000 6.0000 4.0000 6.0000

15 14 15 10 6.0000 4.0000 8.0000 4.0000 8.0000 6.0000

16 14 10 9 6.0000 4.0000 8.0000 6.0000 6.0000 6.0000

17 16 17 12 .0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 4.0000

18 16 12 11 .0000 2.0000 2.0000 4.0000 .0000 4.0000

19 17 18 13 2.0000 2.0000 4.0000 2.0000 4.0000 4.0000

20 17 13 12 2.0000 2.0000 4.0000 4.0000 2.0000 4.0000

21 18 19 14 4.0000 2.0000 6.0000 2.0000 6.0000 4.0000

22 18 14 13 4.0000 2.0000 6.0000 4.0000 4.0000 4.0000

23 19 20 15 6.0000 2.0000 8.0000 2.0000 8.0000 4.0000

24 19 15 14 6.0000 2.0000 8.0000 4.0000 6.0000 4.0000

25 21 22 17 .0000 .0000 2.0000 .0000 2.0000 2.0000

26 21 17 16 .0000 .0000 2.0000 2.0000 .0000 2.0000

27 22 23 18 2.0000 .0000 4.0000 .0000 4.0000 2.0000

28 22 18 17 2.0000 .0000 4.0000 2.0000 2.0000 2.0000

29 23 24 19 4.0000 .0000 6.0000 .0000 6.0000 2.0000

30 23 19 18 4.0000 .0000 6.0000 2.0000 4.0000 2.0000

31 24 25 20 6.0000 .0000 8.0000 .0000 8.0000 2.0000

32 24 20 19 6.0000 .0000 8.0000 2.0000 6.0000 2.0000

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