Curso Transmisión y Análisis FFT (Parte...
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EL ANALIZADOR FFT
Los analizadores más u0lizados en el campo de la op0mización de sistemas de audio están basados en la transformada rápida de Fourier.
Los analizadores permiten obtener una gran can0dad de datos que tras su interpretación permiten al ingeniero producir las correcciones necesarias en el sistema de sonido.
Los analizadores actuales se dividen en 3 bloques claramente diferenciados:
• La respuesta Espectral.• La función de Transferencia.• La respuesta al Impulso.
LA RESPUESTA ESPECTRAL
La respuesta al espectro de una señal es el funcionamiento más básico en un analizador basado en la FFT.
La respuesta muestra el contenido en frecuencia de la señal bajo medición
La respuesta espectral es una técnica que nos permite detectar problemas pero no nos aporta información de porque estos se producen
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
La transformada de Fourier permite descomponer cualquier forma de onda en el dominio temporal en sus componentes espectrales
La transformada muestra la can0dad de sinusoides complejas que forman la señal.
La integral de análisis X(w) extrae la información espectral de una señal temporal
La integral de síntesis x(t) ob0ene la señal en el dominio del 0empo a par0r de la información espectral.
LA TRANSFORMADA DISCRETA
En el dominio digital obtenemos la señal como una serie de muestras
La DFT convierte una secuencia finita de muestras de la señal original en su representación espectral.
Las frecuencias de las sinusoides están igualmente equiespaciadas entre 0 y 2pi.
La relación entre la frecuencia discreta en radianes y en Hertzios viene determinada por la frecuencia de muestreo:
LA TRANSFORMADA DISCRETA
La DFT toma N muestras de la señal en el dominio temporal y ob0ene N muestras en el dominio de la frecuencia.
La DFT descompone la señal de entrada en sus exponenciales complejas y la can0dad de exponenciales complejas que se pueden calcular depende del tamaño de muestras analizadas.
Múltiplo exacto de FR
Múltiplo no exacto de FR
LA TRANSFORMADA DISCRETA
En el análisis de sistemas de sonido no trabajamos con señales complejas, sino con señales reales. La iden0dad de Euler nos permite expresar cualquier sinusoide real como la suma de dos sinusoides complejas
Al aplicar la DFT a una señal real, el resultado es básicamente 2 respuestas espectrales, una de frecuencia posi0va y otra de frecuencia nega0va
El algoritmo de Cooley-Tukey para el cálculo de la transformada rápida de Fourier (FFT) permite, siempre y cuando el tamaño de la longitud de la señal (N) sea potencia de 2, reducir los cálculos necesarios para la DFT de N² a N log₂ N.
LA TRANSFORMADA DE TIEMPO REDUCIDO (STFT)
la señal de entrada varía en el 0empo, por lo tanto, la STFT itera sobre trozos de la señal.
El tamaño del Hopsize (H) determina cuantas muestras de cada fragmento están presentes en la siguiente iteración del análisis.
El tamaño de cada fragmento viene determinado por el tamaño de la ventana de análisis.
La STFT nos muestra una secuencia de respuestas espectrales
LA VENTANA DE ANÁLISISEl tamaño de la ventana determina la resolución en frecuencia y por ende la constante de 0empo de la medición.
Un tamaño grande ofrece una buena resolución en frecuencia a cambio de una pobre resolución temporal. Un tamaño pequeño ofrece pobre resolución en frecuencia a cambio de una buena resolución temporal.
LA VENTANA DE ANÁLISIS
Rectangular: Es básicamente un truncamiento de la señal, donde todos los valores que no están contenidos dentro de la ventana son cero y uno para el resto. Hann: La ventana Hann muestra una anchura mayor que la ventana rectangular en su lóbulo principal, exactamente 4 bins. Hamming: La ventana Hamming es muy similar a la ventana Hann pero con un pequeño escalón en sus laterales. Blackman: La ventana Blackman genera una gran mejora en términos de la amplitud de los lóbulos secundarios, pero a cambio de una mayor anchura del lóbulo principal, en este caso 6 bins. Blackman-Harris: La amplitud de su lóbulo secundario es -92 dB, y su anchura de lóbulo principal es de 8 bins.
HOPSIZE
El tamaño de salto determina cuantas muestras del anterior segmento están presentes en el análisis del siguiente.
La ventana de análisis se desplaza a través de la señal de manera ordenada.
El tamaño de salto viene determinado por el 0po de ventana.
FRECUENCIA DE RESOLUCIÓN (FR)
S/R FFT FR S/R FFT FR
48000 32768 1,47Hz 96000 32768 2,93Hz
48000 16384 2,93Hz 48000 32768 1,47Hz
48000 8192 5,86Hz 24000 32768 0,73Hz
48000 4096 11,72Hz 12000 32768 0,36Hz
48000 2048 23,44Hz 8000 32768 0,24Hz
48000 1024 46,88Hz 4000 32768 0,12Hz
La frecuencia de resolución determina cuál es la mínima frecuencia que puede ser vista por el analizador.
la frecuencia de resolución no es más que la frecuencia que cabe en un periodo de la constante de 0empo de la ventana. Las demás frecuencias son múl0ples enteros de esta frecuencia fundamental.
CONSTANTE DE TIEMPO (TC)
FFT S/R TC FFT S/R TC
32768 48000 683ms 32768 96000 341ms
16384 48000 314ms 32768 48000 683ms
8192 48000 171ms 32768 24000 1365ms
4096 48000 85ms 32768 12000 2730ms
2048 48000 43ms 32768 8000 4096ms
1024 48000 21ms 32768 4000 8192ms
La constante de 0empo es el 0empo necesario para capturar determinado numero de muestras y depende de la tasa de muestreo:
La Constante de 0empo determina la mínima frecuencia que puede ser vista por el analizador: 1 / TC
PROMEDIOSRealizar promedios sobre trozos de señal enventanada permite estabilizar la respuesta y mejorar la relación señal-ruido 3dB cada vez que doblamos su número.
Cuanto mayor es el número de promedios más inmune se convierte la respuesta a los cambios transitorios.
ESPECTROGRAMAEl espectrograma, al igual que la respuesta espectral, es una medición de un único canal.
El espectrograma es una visualización en dos dimensiones de una función de 3 dimensiones (frecuencia, 0empo y magnitud),
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
El análisis de doble canal FFT es independiente de la fuente de excitación, siempre y cuando la señal de test contenga un amplio rango de contenido en frecuencia.
La respuesta espectral de la señal de test no es conocida de antemano y por lo tanto la señal de referencia (entrada) como la señal de medición (salida) deben ser capturadas y procesadas al mismo 0empo
La naturaleza de la señal de referencia hace que sea necesario aplicar un alto grado de promedios entre varias mediciones individuales para poder mostrar un resultado fiable.
RESPUESTA DE MAGNITUDLa magnitud se ob0ene como el módulo de la función de transferencia y nos aporta información sobre el nivel y la frecuencia rela0va.
Una medición de doble canal media sobre datos rela0vos. Podemos pensar en la función de transferencia como en una comparación, es decir, la comparación entre la señal de referencia y la señal de medición.
La respuesta de magnitud se suele representar de modo logarítmico como 20 veces el logaritmo en base 10 del módulo del valor obtenido.
RESPUESTA DE FASE
La respuesta de fase se ob0ene como la arcotangente del cociente entre el valor imaginario y el valor real de la función de transferencia
La respuesta de fase proporciona la información del 0empo rela0vo.
La función de transferencia es muy vulnerable a la falta de sincronización.
SINCRONIZACIÓNEn una medición, la diferencia temporal de la transmisión acús0ca debe ser conocida. Ambas señales deben tener el mismo 0empo de retraso para asegurar que la misma parte de la excitación está presente en ambos canales
El 0empo de sincronización permite relacionar el 0empo rela0vo de todos los disposi0vos que están presentes en el sistema de sonido
SINCRONIZACIÓN
Se ob0ene el 0empo de sincronización aplicando la transformada inversa a la función de transferencia y obteniendo su correlación cruzada.
La función de transferencia y la respuesta al impulso con0enen la misma información.
LA COHERENCIALa coherencia es una es0mación estadís0ca que nos permite conocer la linealidad y causalidad entre la señal de medición y referencia en una función de transferencia.
La coherencia es un indicador de la fiabilidad de la medición. Su valor oscila entre 0 y 1, por lo que es común mostrar la respuesta de coherencia en porcentajes.
0% indica que la señal de medición no está correlacionada sobre la señal de referencia, mientras que una coherencia del 100% indica que la señales están perfectamente correlacionadas.
LA COHERENCIALa coherencia se ve afectada por 2 0pos de inferencias: causales y no causales.
• Causal: La fuente de interferencia está correlacionada con la medición. Efectos como las reflexiones o la reverberación producen una pérdida de inteligibilidad en el sistema, la coherencia es un buen indica0vo para detectarlas. La coherencia es muy sensible a los desajustes temporales, es decir a la falta de sincronización.
• No causal: Cuando la fuente de interferencia no está correlacionada con la medición. Fenómenos como el ruido y el viento afectan a la medición y por lo tanto, a la coherencia.
La función de coherencia se ob0ene a par0r del espectro cruzado (cross-spectrum) entre la señal de referencia y medición y una medición de la densidad de potencia espectral (PSD) promediada
LA RESPUESTA AL IMPULSO
Cualquier sistema, por ejemplo, un altavoz o una sala, bajo la condición de que es lineal e invariante en el 0empo, queda unívocamente determinado por su respuesta al impulso.
En la acús0ca arquitectónica, una gran can0dad de parámetros acús0cos son determinados a par0r de la respuesta impulsiva. Del mismo modo, la respuesta al impulso de un altavoz determina su comportamiento.
La mayoría de técnicas actuales son mediciones indirectas, es decir, se ob0ene la respuesta impulsiva a par0r de algún 0po de medición de doble canal o manipulación de la señal:
• La transformada inversa de Fourier (IFFT)• La técnica del barrido exponencial
LA TRANSFORMADA INVERSA (IFFT)Es la técnica más u0lizada por los analizadores basados en la FFT.
La respuesta en frecuencia obtenida a par0r de la función de transferencia y la respuesta al impulso con0enen la misma información pero en dominios dis0ntos.
Ob0ene el impulso del sistema indirectamente como la IFFT de la función de transferencia.
El uso de una señal de test aleatoria introduce un cierto grado de ruido. La solución es promediar sobre varias mediciones consecu0vas. Cada vez que se dobla el numero de promedios la relación señal-ruido mejora 3dB.
El uso de una señal de test pseudo-aleatoria minimiza la necesidad del uso de promedios y ob0ene mejor relación señal-ruido.
SWEEP EXPONENCIAL
El uso de barridos sinusoidales como señal de excitación produce una mayor inmunidad contra la distorsión y el ruido.
Los barridos más comunes son el barrido lineal y el exponencial, muchas veces llamado logarítmico. En ambos casos, la frecuencia es una función creciente en el 0empo.
El barrido exponencial 0ene energía constante para cada ancho de banda logarítmico y la frecuencia varía exponencialmente a través del 0empo.
Una propiedad del barrido exponencial es que 0ene inversa, la función inversa se ob0ene subs0tuyendo t por –t y modulando la amplitud para obtener un decaimiento logarítmico de 3 dB por octava:
SWEEP EXPONENCIAL
La convolución entre el barrido exponencial y su función inversa devuelve una respuesta al impulso.
Por el efecto de la convolución, el impulso se desplaza la can0dad de muestras equivalentes a la duración del barrido.
SWEEP EXPONENCIAL
El método para obtener la respuesta de un altavoz o una sala consiste en excitar el sistema con un barrido exponencial y obtener la respuesta mediante un micrófono de medición omnidireccional.
El impulso se ob0ene convolucionando el resultado obtenido con el inverso del barrido generado.
Una convolución en el dominio temporal equivale a una mul0plicación en el dominio de la frecuencia, mucho más eficaz algorítmicamente.
DISTORSIÓN ARMÓNICA
Una propiedad interesante de este método es que las distorsiones no lineales presentes en la medición son obtenidas antes de la llegada del impulso
El uso de una ventana temporal adecuada permite obtener la respuesta lineal y mantener a salvo la respuesta al impulso de la posible distorsión no lineal.
MODO LINEALSe visualiza la amplitud en el eje de ordenadas versus el 0empo en el eje de abscisas.
No aporta demasiada información acús0ca.
Puede ser ú0l para visualizar la distancia entre dis0ntas reflexiones con alto contenido en frecuencias o para detectar la polaridad de un altavoz
La visualización en modo lineal es poco sensible a la llegada de energía proveniente de reflexiones o de otros altavoces con contenido en baja frecuencia.
MODO LOGARÍTMICOLa respuesta logarítmica no es más que aplicar 20 veces el logaritmo en base 10 al valor absoluto del impulso obtenido de manera lineal.
Aporta mucha información acús0ca, y permite de manera cómoda ver el 0empo de propagación, la llegada de la primera energía, las reflexiones tempranas, la pendiente de decaimiento, las reflexiones discretas y el ruido de fondo.
La visualización logarítmica muestra el eje de ordenadas en decibelios y el 0empo en el eje de abscisas.
MODO ENERGY TIME CURVE (ETC)La respuesta ETC también denominada envolvente de la llegada al impulso representa la magnitud de la energía sobre el 0empo pero ignorando la fase. Usa la transformada de Hilbert.
La respuesta ETC produce un suavizado sobre la respuesta logarítmica y es una herramienta muy ú0l para sincronizarse sobre la llegada de bajas frecuencias.
La respuesta ETC se ob0ene aplicando la transformada de Hilbert sobre el impulso lineal previamente obtenido y produce un desplazamiento de 90º de fase. +90º para las frecuencias nega0vas y -90 para las posi0vas
ESPECTROGRAMAEl espectrograma de la función impulso analiza la respuesta al impulso obtenida en modo lineal.
La respuesta nos muestra en el eje de abscisas el 0empo, en el de ordenadas la frecuencia y el cambio de color nos muestra la diferencia de energía.
La función itera sobre la respuesta al impulso aplicando la STFT y ob0ene la respuesta para cada bloque de la señal enventanada.
El tamaño de ventana afecta a la resolución de los datos.
Resolución temporal Resolución en frecuencia
INTEGRAL DE SCHROEDERM.R. Schroeder demostró que la curva de decaimiento puede ser encontrada con mayor precisión con una integración inversa de la respuesta al impulso.
La integral cumula0va de la respuesta al impulso al cuadrado proporciona la curva de decaimiento equivalente al promedio de infinitos decaimientos de ruido blanco estacionarios.
Los cálculos de La EDT o del 0empo de reverberación se realizan a par0r de una regresión lineal respecto de la integral de Schroeder.
TIEMPO DE REVERBERACIÓNel 0empo de reverberación desarrollado por W.C Sabine se define como el 0empo necesario para que un sonido estacionario en una sala decaiga 60 dB una vez éste ha finalizado. En la prác0ca, el ruido de fondo normalmente imposibilita poder medir un decaimiento por debajo de este umbral.
RT20: mide el 0empo necesario para que a par0r del momento en que la energía a caído 5dB respecto de la llegada inicial ésta se ha atenuado 25 dBRT30: exactamente lo mismo pero encontrando el valor donde la energía a decaído -35dB.
EARLY DECAY TIME (EDT)
El EDT es una medición alterna0va del 0empo de reverberación y permite relacionar de mejor manera la percepción subje0va.
Dos salas con el mismo 0empo de reverberación pero con EDT diferentes son percibidas de dis0nta forma. La sala con menor EDT tendrá una percepción de un 0empo de reverberación menor.
El cálculo se realiza sobre la integral de Schroeder localizando el 0empo donde la curva de decaimiento a disminuido 10 dB respecto de la llegada original, su ecuación es la siguiente:
CLARIDAD
La claridad define la capacidad de percibir los detalles sin que estos se vean enmascarados por la reverberación. La claridad se calcula como la relación entre la energía temprana y la energía tardía.
Cuando las reflexiones 0enen un retraso no mayor que 50-80 ms sobre la llegada del sonido directo, el oído integra estas contribuciones conjuntamente con el sonido original y se percibe como un único sonido que ha sido amplificado respecto de la energía reverberante.
Relación entre la a energía temprana y la energía tardía.
Descomposición de la claridad en tercios de octava
INITIAL TIME DELAY GAP (ITDG)
Ini0al Time Delay Gap ITDG: Es el intervalo existente entre la llegada del sonido directo y la primera reflexión significa0va.
Este indicador relaciona la percepción subje0va de la in0midad de la sala.
Leo Beranek sugiere que si el tamaño es mayor a 45 ms la sala no 0ene in0midad (L. Beranek, 1962).
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