1- CURVAS VERTICALES

Se utilizan para empalmar dos tramos de pendientes constantes determinadas, con el fin de suavizar la transicin de una pendiente a otra en el movimiento vertical de los vehculos. Ayudan tambin a la seguridad, a la comodidad, a la mejor apariencia y con las caractersticas de drenaje adecuadas de la va.

Por lo general se utilizan arcos parablicos, en vez de arcos circulares como en las curvas horizontales, porque estos arcos parablicos producen un cambio constante de la pendiente y sus cotas se pueden calcular mas fcilmente.

PCV = Principio de la curva vertical. Es el punto Comn de la Tangente con la curva vertical en su origen.

PIV = Punto de interseccin de las tangentes verticales.

PTV = Terminacin de la curva vertical. Es el punto Comn de la curva vertical en su fin, con la Tangente.

2- TIPOS DE CURVAS VERTICALES

Para una operacin segura de los vehculos al circular sobre curvas verticales, especialmente si son convexas, deben obtenerse distancias de visibilidad adecuadas, como mnimo iguales a la de parada.

Debido a los efectos dinmicos, para que exista comodidad es necesario que la variacin de pendiente sea gradual, situacin que resulta ms crtica en las curvas cncavas, por actuar las fuerzas de gravedad y centrfuga en la misma direccin.

Debe tambin tenerse en cuenta el aspecto esttico, puesto que las curvas demasiado cortas pueden llegar a dar la sensacin de quiebre repentino, hecho que produce cierta incomodidad.

3- ELEMENTOS Y ECUACIONES DE LAS CURVAS VERTICALES

La curva vertical recomendada es la parbola cuadrtica, cuyos elementos principales y expresiones matemticas se incluyen a continuacin, tal como se aprecia en la Figura:

siendo:

L = Longitud de la curva vertical, medida por su proyeccin horizontal, (m).

S1 = Pendiente de la tangente de entrada, (%).

S2= Pendiente de la tangente de salida, (%).

A = Diferencia algebraica de pendientes, o sea

E = Externa: Ordenada vertical desde el PIV a la curva, que se determinar as:

X = Distancia horizontal a cualquier punto de la curva desde el PCV o PTV, (m)

Y = Ordenada vertical en cualquier punto (m) y, se calcula mediante la expresin:

Esta es la frmula utilizada para los clculos. Esta ordenada se le resta a las cotas de las tangentes en las curvas verticales tipo 1 y 2 y se le suma en las tipo 3 y 4.

Las cotas de la curva completa, que normalmente corresponden a las de los puntos de abscisas mltiplos de 10 metros que haya dentro de ella, pueden determinarse por desplazamientos desde la tangente de entrada tomando como origen de coordenadas el PCV, o tambin se puede determinar la primera mitad desde la tangente de entrada con origen en el PCV y la otra mitad a partir de la tangente de salida con origen en el PTV.

Ejemplo: Teniendo los siguientes datos realizar el diseo de la curva vertical.

Pendiente de entrada = - 4.0% Pendiente de Salida = + 2.0% Cota PIV = 428.360 m Abscisa del PIV = K9 + 400 m Longitud de la Curva = 60 m.

A= I S2 S1 I = I 2- (-4) I = 6

E= (6* (60/2)^2)/(200(60)) = 0.45 m.

DISEO DE LA CURVA (Un solo Origen)

COTA

TANGENTEX X2 Y

COTA

RASANTE

K0+ 370 429,560 0 0 0,000 429,560

K0+ 380 429,160 10 100 0,050 429,210

K0+ 390 428,760 20 400 0,200 428,960

K0+ 400 428,360 30 900 0,450 428,810

K0+ 410 427,960 40 1600 0,800 428,760

K0+ 420 427,560 50 2500 1,250 428,810

K0+ 430 427,160 60 3600 1,800 428,960

ABSCISA

DISEO DE LA CURVA (Dos Origenes)

COTA

TANGENTEX X2 Y

COTA

RASANTE

K0+ 370 429,560 0 0 0,000 429,560

K0+ 380 429,160 10 100 0,050 429,210

K0+ 390 428,760 20 400 0,200 428,960

K0+ 400 428,360 30 900 0,450 428,810

K0+ 410 428,560 20 400 0,200 428,760

K0+ 420 428,760 10 100 0,050 428,810

K0+ 430 428,960 0 0 0,000 428,960

ABSCISA

Este ltimo procedimiento es el ms utilizado porque es ms sencillo y se adapta mejor a la cartera de rasantes.

4- LONGITUD DE CURVAS VERTICALES

Existen cuatro criterios para determinar la longitud de las curvas verticales:

a. Criterios de comodidad. Se aplica al diseo de curvas verticales cncavas, en donde la fuerza centrfuga que aparece en el vehculo al cambiar de direccin, se suma al peso propio del vehculo. Generalmente queda englobado siempre por el criterio de seguridad.

b. Criterios de operacin. Se aplica al diseo de curvas verticales con visibilidad completa, para evitar al usuario la impresin de un cambio sbito de pendiente.

c. Criterios de drenaje. Se aplica al diseo de curvas verticales convexas o cncavas, cuando estn alojadas en corte. Para advertir al diseador la necesidad de modificar las pendientes longitudinales de las cunetas.

d. Criterio de seguridad. Se aplica a curvas cncavas y convexas. La longitud de la curva debe ser tal, que en toda la curva la distancia de visibilidad sea mayor o igual a la de parada. En algunos casos, el nivel de servicio deseado puede obligar a disear curvas verticales con la distancia de visibilidad de adelantamiento.

Distancias de visibilidad en curvas verticales

Las longitudes de las curvas verticales en funcin de las distancias de visibilidad (DV), se calculan segn se trate de curvas verticales convexas o cncavas.

a. Curvas verticales convexas

La longitud mnima de las curvas convexas, que cumpla con los requisitos mnimos pendientes en porcentaje (A), se determina para dos casos:

Primer caso (DV < L)

Cuando el conductor y el objeto estn sobre la curva, la distancia de visibilidad determinada es menor que la longitud de la curva, tal como se aprecia en la Figura.

En trminos generales, la longitud de la curva vertical se determina mediante la siguiente expresin:

en donde:

H= Altura del ojo del conductor o altura de las luces delanteras del vehculo, (m)

h = Altura del objeto, (m).

Para la distancia de visibilidad de parada, teniendo en cuenta que:

DV = DVP; H = 1.15 m; h = 0.15 m; A en %; se tiene:

Y

en donde:

K, es el radio de la circunferencia inscrita en el vrtice de la parbola y se presenta en el grfico de la Figura. El valor de la expresin anterior corresponde a la distancia de visibilidad de parada en recta.

En los alineamientos curvos en planta se debe definir el valor de K en funcin de la coordinacin resultante entre la planta, el perfil y la seccin transversal.

Aunque los parmetros anteriores siempre estn al lado de la seguridad en los alineamientos en planta.

Por lo que:

L = A K

Para la distancia de visibilidad de paso o de adelantamiento, tomando:

DV = DVA; H = 1.15 m; h =0.15 m; y A en %.

Segundo caso (DV > L)

Cuando el conductor y el objeto estn fuera de la curva, la distancia de visibilidad es mayor que la longitud de la curva, de acuerdo con lo indicado en la Figura.

En trminos generales, la longitud de la curva vertical se determina as:

Para la distancia de visibilidad de parada, tomando como:

DV = DVP; H = 1.15 m; h = 0.15 m y A en %,

Para la distancia de visibilidad de adelantamiento, paso o de rebase asumiendo:

DV = DVA; H = 1.15 m; h = 1.35 m y A en %,

b. Curvas verticales cncavas

La Figura de los Tipos de Curvas Verticales se muestran 3 tipos diferentes de curvas cncavas, de acuerdo con diferentes combinaciones de pendientes. Para establecer la longitud que se va a emplear, se deben considerar cuatro caractersticas de seguridad vial y operacin de vehculos, las cuales son:

Distancia de visibilidad, determinada por el alcance de las luces delanteras.

Comodidad y seguridad de los pasajeros.

El drenaje adecuado sobre la va.

Los aspectos geomtricos de la carretera.

En las curvas cncavas, el anlisis de visibilidad considera nicamente las restricciones que se presentan en la noche, y estima la longitud del sector de carretera hacia adelante, como la distancia de visibilidad. Dicha distancia depende de la altura de las luces delanteras, para la cual se asume un valor de 0.60 m y un ngulo de divergencia del rayo de luz hacia arriba respecto al eje longitudinal del vehculo de 1 grado.

Primer caso (DV < L)

Cuando el conductor y el objeto estn dentro de la curva, la distancia de visibilidad es menor que la longitud de la curva. La Figura ilustra la anterior situacin.

En trminos generales, se tiene que:

para la distancia de visibilidad de parada, teniendo en cuenta que:

DV = DVP; H = 0.60 m; h = 0.15 m; TD = tan 1 = 0.0 1745; y A en %,

Y

Donde K es una constante para cada velocidad de diseo, y se representa en la Figura por: L=AK.

Para la distancia de visibilidad de adelantamiento, de paso o de rebase, no es indispensable su clculo, porque se pueden ver las luces del vehculo que viene en sentido contrario.

Segundo caso (DV >L)

Cuando el conductor y el objeto estn fuera de la curva, la distancia de visibilidad es mayor que la longitud de la curva, tal como se representa en la Figura.

En trminos generales, la longitud de la curva vertical se determina as, para la distancia de visibilidad de parada, tomado como:

DV = DVP; H = 0.60 m; h = 0.15 m; TD = tan 1 = 0.0 0175; entonces

Para la distancia de visibilidad de adelantamiento de paso o de rebase, no es indispensable su clculo, porque se pueden ver las luces del vehculo que viene en sentido contrario.

Longitud mnima de cualquier curva vertical

La longitud mnima de una curva vertical puede determinarse empleando los lmites inferiores fijados por investigadores en forma emprica para pequeos valores de A y mediante la siguiente relacin matemtica:

en donde:

L : Longitud de la Curva Vertical, (m).

K : Factor que establece, para una determinada velocidad, condiciones ptimas de visibilidad y drenaje en el sector de la curva, (m/%).

A : Diferencia algebraica de pendientes en el PIV, (%).

Existen valores de lmite inferior obtenidos en forma emprica, para cada velocidad de diseo, los cuales estn representados en los grficos mediante lneas verticales.

Por razones de economa, comodidad y seguridad, se deben tener en cuenta dos condiciones especiales, para el diseo y clculo de curvas verticales.

Para una diferencia algebraica de pendientes (A) y una velocidad de diseo (VD) determinada, la curva vertical que empalma los alineamientos debe proporcionar, en la operacin de los vehculos, una distancia de visibilidad no menor que la distancia de visibilidad de parada, para lo cual se determina un valor de K, como funcin de la velocidad de diseo. En los casos en que sea econmicamente factible, se puede adoptar distancias de visibilidad mayores que la de parada, incluso hasta obtener distancias de visibilidad de adelantamiento, cuando la condicin del diseo horizontal lo permita, para lo cual se puede incrementar el valor de K.

El empleo de valores de K mayores a los establecidos para cada velocidad de diseo en los grficos de las Figuras 3.4.9 y 3.4.11, tienen un lmite superior; ste tiene que ver especficamente con la capacidad de drenaje de la va. La situacin ms desfavorable en la provisin de un buen drenaje se presenta cuando se empalman dos tangentes de signo contrario; para lo cual la AASHTO considera que un valor de A igual a 0.6% en una longitud de curva igual a 30 metros, provee el adecuado drenaje en el sector ms plano de las curvas.

La lnea no continua localizada en los grficos de las Figuras para K=50, permite al diseador conocer la capacidad de drenaje del sector de acuerdo con el diseo vertical, el cual debe ser siempre mejorado al coordinarlo con el diseo horizontal y la seccin transversal, especialmente para valores de K mayores a 50. De todas formas valores amplios de K se pueden utilizar en el diseo vertical de carreteras, siempre y cuando se conserve la capacidad de drenaje del sector.

En cualquier caso, se recomienda que la longitud mnima de una curva vertical sea, teniendo en cuenta la estabilidad de los vehculos:

Lmin= 0.6 V

En que la longitud resulta en metros tomando la velocidad en KPH.

5- MAXIMOS Y MINIMOS EN CURVAS VERTICALES

En ocasiones es necesario conocer la abscisa y la cota del punto ms alto de una curva vertical convexa o del ms bajo de una curva vertical cncava. En general estos puntos no se encuentran sobre la vertical que pasa por PIV, sino antes o despus de ella.

La cota Hx de un punto cualquiera de una curva vertical situado a una distancia x del PCV se obtiene de la siguiente expresin:

Hx = HA + S1X +y

Donde HA es la cota del PCV y como se tiene:

Hx = HA + S1X/100 +AX2/200L La posicin X de este punto est determinada por:

X= S1 * L A

Si al calcular X resulta un valor negativo o mayor que L, esto indica que el mximo o mnimo no est dentro de la curva.

Ejemplo: En una curva cncava se tiene que S1 = -2.0%, S2= +1.5%, la Abscisa del PCV es K0+140 con una cota de 752.45m y la longitud de la curva es de 100m. Calcular si X est dentro o fuera de la curva.

X= S1 * L = 2*100 = 57.14 m (del PCV) A 3.5

Con esto tenemos que la Abscisa de este punto es K0+140+57.14 = K0+197.14 m. Lo que indica que si est dentro de la curva.

Hx=752.45 + ((-2)*57.14/100) + (3.5*(57.14)2/(200*100))

Hx= 751.88 m.

6- CASOS ESPECIALES

Curvas asimtricas: Es posible que una curva parablica asimtrica (con tangentes desiguales) se ajuste ms que una curva simtrica (con tangentes iguales, como las hasta ahora tratadas) y haya que emplearla y calcularla, por razones de orden topogrfico, cotas obligadas, etc. Las hay cncavas y convexas,

Para su diseo es necesario contemplar lo siguiente:

L1= Distancia entre el PCV y el PIV. S1= Pendiente de entrada.

L2= Distancia entre el PIV y el PTV. S2= Pendiente de salida.

Se debe calcular la excentricidad e como:

e = A * L1 * L2 2(L1 + L2)

A partir de cada uno de los Extremos (PCV y PTV) se calculan los valores de las y asi:

Tramo de entrada: y = ((X/L1)^2) * e

Tramo de salida: y = ((X/L2)^2) * e

Ejemplo: Disear la curva vertical asimtrica que tiene estos datos: Abscisa del PIV=K1+180; cota del PIV=724.14 m; L1=60 m; L2=40 m; S1=4.0% y S2=-2.4%.

Se tiene que

A= I -2.4 4 I = 6.4 e = 6.4*60*40/(200*(60+40)) = 0.77 m. Con estos datos se obtiene la siguiente tabla: (La curva es cncava)

PUNTOCOTA

TANGENTEX X/L (X/L)

2 YCOTA

RASANTE

PCV K0+ 120 721,740 0 0,000 0,000 0,00 721,74

K0+ 130 722,140 10 0,167 0,028 0,02 722,12

K0+ 140 722,540 20 0,333 0,111 0,09 722,45

K0+ 150 722,940 30 0,500 0,250 0,19 722,75

K0+ 160 723,340 40 0,667 0,444 0,34 723,00

K0+ 170 723,740 50 0,833 0,694 0,53 723,21

60 1,000 1,000 0,77

40 1,000 1,000 0,77

K0+ 190 723,900 30 0,750 0,563 0,43 723,47

K0+ 200 723,660 20 0,500 0,250 0,19 723,47

K0+ 210 723,420 10 0,250 0,063 0,05 723,37

PTV K0+ 220 723,180 0 0,000 0,000 0,00 723,18

ABSCISA

K0+ 180 724,140PIV 723,37

Curvas reversas: Se dan las curvas verticales reversas cuando dos curvas verticales con una tangente comn, como se ilustra en la Figura, pueden representar el alineamiento vertical para una rampa de intercambio entre dos vas.

7- CRITERIOS GENERALES PARA EL ALINEAMIENTO VERTICAL

Existen controles generales para el alineamiento vertical, que deben aplicarse en forma coordinada con los del alineamiento horizontal, como ms adelante se detalla. Estos controles son:

a. En lo posible, se deben buscar cambios graduales de la pendiente, de acuerdo con las caractersticas topogrficas de la zona y el tipo de carretera; esta solucin es preferible a la de una lnea con numerosos quiebres y pendientes de corta longitud.

b. Los perfiles de tipo tobogn, compuestos de subidas y bajadas pronunciadas deben evitarse, especialmente cuando el alineamiento horizontal es recto. Este tipo de perfil contribuye a crear accidentalidad, sobre todo cuando se realizan maniobras de adelantamiento, ya que el conductor que adelanta toma la decisin despus de ver aparentemente libre la carretera ms all del tobogn, existiendo la posibilidad de que un vehculo que marche en sentido contrario quede oculto por la protuberancia y hondonada. Incluso, en toboganes de hondonadas poco profundas, esta forma de perfil es desconcertante, puesto que el conductor no puede estar seguro de si viene o no un vehculo en sentido contrario.

c. En tramos largos de ascenso, es preferible proyectar las mayores pendientes iniciando el tramo y las ms suaves cerca de la parte superior del ascenso, o dividir la pendiente sostenida larga en tramos de pendiente ms suave, que puede ser slo un poco ms baja que la mxima permitida. Esto es particularmente aplicable para carreteras con velocidades de diseo bajas.

d. En carreteras donde se presentan bifurcaciones, para el sector de la interseccin se recomienda disear con pendiente longitudinal mxima del 4%, siendo deseable reducirla en beneficio de los vehculos que giran, ya que esto ayuda a disminuir la inseguridad del usuario.

e. Una curva vertical convexa de longitud pequea, puede llegar a reducir la distancia de visibilidad de parada, transmitiendo al usuario de la carretera la sensacin de incomodidad. En las Figuras se muestra un ejemplo de mal y buen empleo de la longitud de la curva vertical convexa.

f. El uso de curvas verticales cncavas de longitud pequea, transmite al usuario cierta sensacin de incomodidad, pues stas aparecen como quiebres y, especialmente en la noche, presentan inseguridad por la escasa visibilidad que permite la curvatura misma. Las Figuras muestran un ejemplo de mal y buen empleo de la longitud de la curva cncava, para condiciones semejantes de planta y perfil.

La Figura muestra un ejemplo de mal y buen empleo de la longitud de la curva vertical cncava, coincidente con un sector de curva horizontal.

g. Un perfil longitudinal con dos curvas verticales de la misma direccin separadas por una tangente corta, generalmente debe evitarse, particularmente en curvas cncavas, donde la visibilidad completa de ambas curvas no es placentera. Las Figuras corresponden a ejemplos de mal y buen diseo vertical, en el cual, mediante el uso de longitudes mayores de curva vertical, la apariencia esttica de la va se mejora notablemente.