Anlisis nodal:En la prctica anterior se present el anlisis de un circuito simple que contena solo dos nodos. Se descubri que el principal paso del anlisis se presentaba cuando obtenamos una ecuacin simple en trminos de una incgnita simple: el voltaje entre el par de nodos. Ahora se dejar que aumente el nmero de nodos y se proporcionar de manera correspondiente una cantidad desconocida adicional y una ecuacin extra para cada nodo agregado. De tal manera, un circuito deNnodos se formar por(N-1)voltajes y(N-1)ecuaciones.Como primer paso, se interpreta el circuito deseado haciendo nfasis en los nodos y se asocia un voltaje para cada nodo, pero se debe recordar que cada uno debe definirse como si existiere entre dos nodos de una red. Para esto se debe seleccionar unnodo de referencia, y se determina luego un voltaje entre cada nodo restante y el nodo de referencia, lo que nos asegurar que habrn(N-1)voltajes definidas en un circuito deNnodos.Considere el siguiente circuito:

Se aplica la LKC a los nodos 1 y 2. Esto se hace igualando la corriente total que sale del nodo a travs de varias resistencias con la corriente de la fuente total que entra al nodo. Es decir:Ecuacin del Nodo 1v1/2 + (v1- v2)/5 = 3.1o bien,0.7v1- 0.2v2= 3.1Ecuacin del Nodo 2v2/1 + (v2-v1)/5 = - (-1.4)o bien,-0.2v1+ 1.2v2= 1.4Con estas dos incgnitas se puede obtener el valor de los dos voltajes. Los resultados son v1= 5V y v2= 2V.El supernodo:Desde luego, se debe considerar la forma en que afectan las fuentes de voltaje, as como las fuentes dependientes, a la estrategia del anlisis nodal. Se considera el caso en que haya una fuente de voltaje entre dos nodos.

El mtodo ms sencillo para realizar este anlisis considera al nodo v1, al nodo v2y a la fuente de voltaje en conjunto como una especie desupernodoy se aplica la LKC en ambos nodos al mismo tiempo; el supernodo se indica por medio de una regin encerrada por la figura de color azul de la figura anterior.Al hacer el anlisis nodos con esta consideracin se percatar de que se tiene 2 incgnitas y solo una ecuacin (la del supernodo entre v1y v2). La ecuacin adicional se obtiene del supernodo mismo y es la siguiente:v2- v1= VsnCon esta ecuacin ya es posible obtener los voltajes de los nodos. Anlisis de malla:Un mtodo alternativo al anlisis nodal que en ocasiones resulta ms fcil de aplicar se conoce comoanlisis de malla. Si bien esta tcnica no es aplicable a toda red, se puede utilizar en la mayor parte de las redes que se necesita analizar. El anlisis de malla se aplica slo en aquellas redes que sonde forma plana, un trmino que se define a continuacin.Si se puede dibujar el diagrama de un circuito sobre una superficie plana de manera tal que ninguna rama pase sobre o por debajo de cualquier otra rama, entonces se afirma que es uncircuito de forma plana.Otras definiciones importantes, consideramos unamallacomo un lazo que no contiene ningn otro lazo dentro de l. Unacorriente de mallaes aquella que fluye solo alrededor del permetro de una malla. Considere el siguiente circuito con las corrientes de malla i1e i2debidamente identificadas.

Ecuacin de la Malla 1-42 + 6i1+ 3(i1- i2) = 0Ecuacin de la Malla 23(i2- i1) + 4i2- 10 = 0De esta manera se obtienen dos ecuaciones para calcular las dos corrientes requeridas.La supermallaEn el caso de que se encuentre una fuente de corriente entre dos mallas se puede crear un tipo desupermallaa partir de estas dos; la fuente de corriente est en el interior de la supermalla. De este modo se reduce en 1 el nmero de mallas para cada fuente de corriente presente. Si la fuente de corriente se ubica en el permetro del circuito, entonces se ignora la malla simple en la cual se encuentra. Considere el siguiente circuito con una supermalla.

Las corrientes de malla i1, i2e i3ya se han asignado; adems la fuente de corriente nos lleva a crear una supermalla cuyo interior es el de las mallas 1 y 3, como se ve en la figura anterior. Aplicando la LKV alrededor de este lazo:Ecuacin de la Malla 1-7 + 1(i1- i2) + 3(i3- i2) + 1 i3= 0o bien,i1- 4 i2+ 4 i3= 7Ecuacin de la Malla 21(i2- i1) + 2 i2+ 3(i2- i3) = 0o bien,-i1+ 6 i2- 3 i3= 0Ecuacin de la Supermallai1- i3= 7Al resolver estas ecuaciones en conjunto, encontramos los valores de i1, i2e i3.Fuente: Hayt, W. y Kemmerly, J. Anlisis de Circuitos en Ingeniera. 6ta Edicin. McGraw Hill. Mxico 2003.Este es el fin de la Explicacin. Ahora puede pasar a la parte Analtica de la Prctica, donde se le plantearn los ejercicios que deber llevar a cabo para certificar esta Prctica. Utilice los enlaces en la parte inferior de esta pgina para navegar entre las distintas etapas de la Prctica.

MetodosNodos, Supernodos, Malla y Supermalla

Anlisis de nodosFigura 1: La ley de corrientes de Kirchhoff es la base del anlisis de nodos.En anlisis de circuitos elctricos, el anlisis de nodos, o mtodo de tensiones nodales es un mtodo para determinar la tensin (diferencia de potencial) de uno o ms nodos.Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podran usar anlisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o anlisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el anlisis de nodos se escribe una ecuacin para cada nodo, con condicin que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga nunca puede acumularse en un nodo. Estas corrientes se escriben en trminos de las tensiones de cada nodo del circuito. As, en cada relacin se debe dar la corriente en funcin de la tensin que es nuestra incgnita, por la conductancia. Por ejemplo, para un resistor,

Irama= Vrama* G, donde G es la Conductancia del resistor.

El anlisis de nodos es posible cuando todos los nodos tienen conductancia. Este mtodo produce un sistema de ecuaciones, que puede resolverse a mano si es pequeo, o tambin puede resolverse rpidamente usando lgebra lineal en un computador. Por el hecho de que forme ecuaciones muy sencillas, este mtodo es una base para muchos programas de simulacin de circuitos (Por ejemplo, SPICE). Cuando los elementos del circuito no tienen conductancia, se puede usar una extensin ms general del anlisis de nodos, El anlisis de nodos modificado.Los ejemplos simples de anlisis de nodos se enfocan en elementos lineales. Las redes no lineales (que son ms complejas) tambin se pueden resolver por el anlisis de nodos al usar el mtodo de Newton para convertir el problema no lineal en una secuencia de problemas lineales.ProcedimientoFigura 2: Se elige el nodo con ms conexiones como nodo de referencia (cuya tensin es 0) y se asignan 3 variables Va, Vb y Vc

1. Localice los segmentos de cable conectados al circuito. Estos sern los nodos que se usarn para el mtodo.2. Seleccione un nodo de referencia (polo a tierra). Se puede elegir cualquier nodo ya que esto no afecta para nada los clculos; pero elegir el nodo con ms conexiones podra simplificar el anlisis.3. Identifique los nodos que estn conectados a fuentes de voltaje que tengan una terminal en el nodo de referencia. En estos nodos la fuente define la tensin del nodo. Si la fuente es independiente, la tensin del nodo es conocida. En estos nodos no se aplica la LCK.4. Asigne una variable para los nodos que tengan tensiones desconocidas. Si la tensin del nodo ya se conoce, no es necesario asignarle una variable. (Vase Figura 2)5. Para cada uno de los nodos, se plantean las ecuaciones de acuerdo con las Leyes de Kirchhoff. Bsicamente, sume todas las corrientes que pasan por el nodo e igualelas a 0. Si el nmero de nodos es n, el nmero de ecuaciones ser por lo menos n 1 porque siempre se escoge un nodo de referencia el cual no se le elabora ecuacin.6. Si hay fuentes de tensin entre dos tensiones desconocidas, una esos dos nodos como un supernodo. Las corrientes de los dos nodos se combinan en una nueva ecuacin muy sencilla.7. Resuelva el sistema de ecuaciones simultneas para cada tensin desconocida.

Ejemplos Ejemplo 1: Caso bsicoFigura 3: Circuito sencillo con una tensin desconocida V1.

La nica tensin desconocida en este circuito es V1. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razn, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, as:Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:Se resuelve con respecto a V1:Finalmente, la tensin desconocida se resuelve sustituyendo valores numricos para cada variable. Despus de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensin, es fcil calcular cualquier corriente desconocida.

Ejemplo 2Figura 4: Grfico del Ejemplo 2

Ejemplo: Del circuito de la figura 4 debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos'Solucin:1. Se localizan todos los nodos del circuito.2. Se busca el nodo con ms conexiones y se le llama nodo de referencia Vd (Figura 5).3. No hay fuentes de tensin.4. Se le asignan variables a los nodos Va, Vb y Vc5. Se plantean las ecuaciones segn las leyes de Kirchhoff, as:o Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia de 2 tiene la polaridad de la Figura 5. AsFigura 5Simplificando: Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrn la polaridad de la Figura 6:Figura 6factorizando obtenemos Para la polaridad del nodo Vc asumimos as:Figura 7factorizando obtenemos:Sistema de ecuaciones:Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar los valores del los voltajes en los nodos.Solucionando el sistema lineal, nos da como resultado los voltajes: Va = 42.5V, Vb = 22.5V y Vc = 12.5V

SupernodosFigura 8: En este circuito, VA est en medio de dos tensiones desconocidas, y adems es un supernodo.

En este circuito, inicialmente tenemos dos tensiones desconocidas, V1y V2. La tensin en la terminal positiva de VBya se conoce porque la otra terminal se encuentra en el nodo de referencia. La corriente que pasa por la fuente de voltaje VAno puede ser calculada directamente. Adems no podemos escribir las ecuaciones de corriente para V1y2. Incluso si los nodos no pueden resolverse individualmente, sabemos que la combinacin de estos nodos es cero. Esta combinacin de los dos nodos es llamada el mtodo de supernodo, y requiere una ecuacin adicional, que involucre las tensiones que afectan a la fuente, V1= V2+ VA.El sistema de ecuaciones para este circuito es:Al sustituir V1 en la primera ecuacin y resolviendo con respecto a V2, tenemos:

Ejemplo de resolucin por supernodosFigura 9: Ejemplo de supernodoPara calcular la tensin entre las terminales de la fuente de tensin, sumamos las tensiones de las resistencias que estn unidas a estos nodos, y adems consideramos los dos nodos de la fuente de tensin como uno solo, as:

Tensin en la resistencia de 4:factorizando Observamos el supernodo en los nodos Vby Vc, tomamos estos dos nodos como uno solo, por lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas aVby Vc:factorizando Finalmente, planteamos una ecuacin para la fuente de voltaje la cual es la cada de voltaje en los nodos as:Vb Vc= 10Observacin: Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta ltima ecuacin, y as obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes.Sistema de ecuaciones:

Resolviendo Va= 62,5 V, Vb= 22,5 V y Vc= 12,5 V

Anlisis de mallas

Figura 1: Circuito plano con mallas esenciales 1, 2, y 3. R1, R2, R3, 1/sc, y Ls representan la impedancia de las resistencias, el condensador y el inductor. Vs e Is representan la tensin y la corriente de la fuente de tensin y de la fuente de corriente, respectivamente.

El anlisis de mallas (algunas veces llamada como mtodo de corrientes de malla), es una tcnica usada para determinar la tensin o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano. Un circuito plano es aquel que se puede dibujar en un plano de forma que ninguna rama quede por debajo o por arriba de ninguna otra. Esta tcnica est basada en la ley de tensiones de Kirchhoff. La ventaja de usar esta tcnica es que crea un sistema de ecuaciones para resolver el circuito, minimizando en algunos casos el proceso para hallar una tensin o una corriente de un circuito.1Para usar esta tcnica se procede de la siguiente manera: se asigna a cada una de las mallas del circuito una corriente imaginaria que circula en el sentido que nosotros elijamos; se prefiere asignarle a todas la corrientes de malla el mismo sentido. De cada malla del circuito, se plantea una ecuacin que estar en funcin de la corriente que circula por cada elemento. En un circuito de varias mallas resolveramos un sistema lineal de ecuaciones para obtener las diferentes corrientes de malla.

Corrientes de malla y mallas esenciales

Figura 2: Circuito con corrientes de malla marcadas como i1, i2, y i3. Las flechas muestran la direccin de la corriente de malla.

La tcnica de anlisis de mallas funciona asignando arbitrariamente la corriente de una malla en una malla esencial. Una malla esencial es un lazo que no contiene a otro lazo. Cuando miramos un esquema de circuito, las mallas se ven como una ventana. En la figura uno las mallas esenciales son uno, dos y tres. Una vez halladas las mallas esenciales, las corrientes de malla deben ser especificadas.2Una corriente de malla es una corriente que pasa alrededor de la malla esencial. La corriente de malla podra no tener un significado fsico pero es muy usado para crear el sistema de ecuaciones del anlisis de mallas.1 Cuando se asignan corrientes de malla es importante tener todas las corrientes de malla girando en el mismo sentido. Esto ayudar a prevenir errores al escribir las ecuaciones. La convencin es tenerlas todas girando a la manecillas del reloj.2 En la figura 2 se muestra el mismo circuito antes pero con las corrientes de malla marcadas.La razn para usar corrientes de malla en vez de usar LCK y LVK para resolver un problema es que las corrientes de malla pueden simplificar cualquier corriente planteada con LCK y LVK. El anlisis de mallas asegura el menor nmero de ecuaciones, simplificando as el problema.

Planteando las ecuaciones

Figure 3: Circuito simple usando anlisis de mallas

Despus de nombrar las corrientes de malla, se plantea una ecuacin para cada malla, en la cual se suma todas las tensiones de todos los componentes de una malla. Para los elementos que no son fuentes de energa, la tensin ser la impedancia del componente por la corriente que circula por l. Cuando un componente se encuentra en una rama que pertenece a dos mallas, su corriente ser resultado de la resta de las corrientes de malla a las que pertenezca. Es importante tener esto en cuenta a la hora de expresar la tensin en la rama en funcin de la intensidad que circula por ella. Por ejemplo, la tensin de la resistencia R2en la figura 2 es: VR = R(i3i1), siendo i3la corriente de malla de la que estamos escribiendo su ecuacin e i1la malla vecina; considerando positiva la corriente de la malla que estamos describiendo y negativa la corriente de malla vecina. Es importante tener en cuenta los signos.Si hay una fuente de tensin en la corriente de malla, la tensin en la fuente es sumada o sustrada dependiendo si es una cada o subida de tensin en la direccin de la corriente de malla. Para una fuente de corriente que no este contenida en dos mallas, la corriente de malla tomar el valor positivo o negativo de la fuente de corriente dependiendo si la corriente de malla est en la misma direccin o en direccin opuesta a la fuente de corriente.2 A continuacin se plantean las ecuaciones del circuito de la figura 3, as:Una vez halladas las ecuaciones, el sistema puede resolverse usando alguna tcnica que resuelva sistema de ecuaciones lineales.Observacin: En circuitos resistivos (donde solo hayan resistencias), si al resolver el sistema una corriente de malla es negativa significa que esa corriente circula en sentido contrario al que nosotros hemos supuesto. En circuitos de corriente alterna con condensadores, bobinas, ser importante el criterio de signos ya que a la hora de restar intensidades, como trabajaremos con nmeros complejos, a travs de la frmula de Euler, tendremos cambios de modulo y de fase en la intensidad resultante, no nos basta con fijar la de mayor mdulo como positiva; tenemos que acudir al patrn de corriente positiva en sentido horario (o anti horario, a nuestra eleccin).

Casos especiales

Figura 4: Circuito con una supermalla. Supermalla ocurre porque la fuente de corriente est en medio de las mallas esenciales.

Hay dos casos especiales en la tcnica de anlisis de mallas: supermallas y fuentes dependientes.

Supermalla

Existe una supermalla cuando una fuente de corriente est entre dos mallas esenciales. Para tratar la supermalla, se trata el circuito como si la fuente de corriente no estuviera all. Esto produce una ecuacin que incorpora las dos corrientes de malla. Una vez que se plantee esta ecuacin, se necesita una ecuacin que relacione las dos corrientes de malla con la fuente de corriente, esto ser una ecuacin donde la fuente de corriente sea igual a una de las corrientes de malla menos la otra. A continuacin hay un ejemplo de supermalla.Fuentes dependientes

Figura 5: Circuito con fuente dependiente. ix es la corriente que la fuente dependiente de tensin depende.Una fuente dependiente es una fuente de corriente o de tensin que depende de la tensin o de la corriente de otro elemento en el circuito.Cuando una fuente dependiente est en una malla esencial, la fuente dependiente debera ser tratada como una fuente normal. Despus de que se haya planteado la ecuacin de malla, se necesita una ecuacin para la fuente dependiente. Esta es una ecuacin que relaciona la variable de la fuente dependiente con la corriente o tensin que la fuente depende del circuito. A continuacin hay un ejemplo simple de una fuente dependiente.