De Lagrange a Cauchy-Calculo Diferencial

LLULL, vol. 16, 1993, 327-370

DE LAGRANGE A CAUCHY: EL CALCULODIFERENCIAL EN LAS ACADEMIAS MILITARES

EN ESPAA EN EL SIGLO XIX*1VP ANGELES VELAMAZAN

ELENA AUSEJOUniversidad de Zaragoza

RESUMEN

El estudio de las aportacionesque desde las academias militaresespaolas se hacen al desarrollo delclculo infinitesimal en Espaa en elsiglo XIX permite establecer unhecho absolutamente novedoso en lapropia historia del clculo: el mtodode los incrementos ideales de GarcaSan Pedro como fundamentacin delconcepto de derivada. Este mtodo,original y autctono, se imponeentre los ingenieros militaresespaoles a lo largo del siglo de unamanera desvirtuada, de modo que suexistencia les sita en el nivel altode la banda de modernidad en laprimera parte del siglo XIX perosimboliza un cierto anquilosamientoen la segunda.

ABSTRACT

The study of the contribution of19th century Spanish militaryacademies to the development ofinfinitesimal calculus in Spainenables to set a novelty in thehistory of calculus: Garca SanPedro's ideal increments method asthe foundation of the concept ofderivative. This original andautochthonous method prevailsamong Spanish military engineersall through the century in a veryspoiled way, so that its existenceplaces them in a high modernitybound during the first part of thecentury but typifies a certainstagnation in the second part.

* Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el Proyecto de InvestigacinDGICYT PB90-0592 sobre Las Matemticas en Esparia en la EdadCorztempornea (1808-1936).

Recibido el 15 de noviembre de 1992

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Son los artilleros los que, fielesa la omnipresente influenciapolitcnica francesa, introducen laobra de Cauchy en la enseanzamilitar en la segunda mitad del sigloXIX.

Artillerymen, loyal to theomnipresent French polytechniciansinfluence, introduce Cauchy's worksinto military teaching in the secondhalf of the 19th century.

Palabras clave: Clculo Diferencial, Espaa, Siglo XIX, Ejrcito, Academias,Instituciones, Fernando Garca San Pedro, Educacin, Ingenieros,Matemticas.

De los profesores militares fueron ingenieros y artilleros los que sededicaron a la redaccin de libros de texto para el Clculo diferencial e integral.

A principios del siglo XIX los artilleros utilizaban el texto de P.Giannini, cuya primera edicin corresponde al ao 1795. Posteriormente, lostextos recomendados fueron el de S.F. Lacroix (1824), Jos Odriozola (1829),Francisco Sanchiz y Castillo -que public en 1851 un texto de Clculodiferencial y en 1863 el Clculo integral-, Navier (1865), Dmaso Bueno(1876), Diego 011ero y Toms Prez Grin (1889).

Los ingenieros, a principios del siglo XIX, utilizaban el texto de PedroPadilla publicado en 1756. Posteriormente los textos recomendados fueron elde S.F. Lacroix (1824), Femando Garca San Pedro (1828), Manuel DezPrado, Antonio Tomer Carb -que redact en 1864 una Memoria de Elementosdel Clculo integral que posteriormente se declar libro de texto-, AlejandroBeln -con el Clculo diferencial en el ao 1876-, Antonio Vidal y Ra -conlas Aplicaciones del Clculo diferencial a la teora de lneas y superficies en1880 y las Aplicaciones geomtricas del Clculo integral a la rectificacin delneas, cuadratura de superficies y cubatura de slidos en 1882- y Jos de Toroy Snchez -con el texto de Clculo diferencial y sus aplicaciones analticas en1894-.

En estas condiciones, el primer libro de texto de Clculo diferencial eintegral de un profesor militar escrito en el siglo XIX corresponde al tratado deFemando Garca San Pedrol.

Cuando redact esta obra Fernando Garca San Pedro era teniente deIngenieros y en ella afirma que est destinada a la enseanza en el RealColegio General Militar -centro que se abri tras el cierre de todas laAcademias militares despus del Trienio Liberal (1820-1823) y en el queGarca San Pedro fue profesor-. Cuando aos ms tarde volvi a abrirse la

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Academia de Ingenierol, Garca San Pedro pas a ella y su obra fue el libro detexto de esa asignatura en la Academia. Pero, adems, l cre un nuevomtodo de Clculo diferencial, el d los incrementos ideales, y durante todo elsiglo XIX los sucesivos profesores de la Ac,ademia que fueron redactando yampliando esta disciplina siguieron trabajando con dicho mtodo.

Segn Boyer2 entre los arios 1821 y 1827 el matemfico francs A.L.Cauchy, en sus lecciones de anlisis para la Escuela Politcnica, estabadeterminando las bases con las que actualmente se trabaja esta disciplina.

Puesto que Fernando Garca San Pedro public su obra en 1828,posiblemente no conoca los trabajos de Cauchy -Espafia atravesaba ademspor entonces la denominada dcada ominosa-. Pero para los profesores quesucedieron a Garca San Pedro en la Academia la situacin ya haba cambiadoy, a pesar de ello, siguieron el mtodo de los incrementos ideales,prefirindolo a otras formas de trabajo.

Garca San Pedro afirma en el prlogo de su libro que se haba propuestoenlazar los diversos mtodos hasta entonces existentes para presentar elClculo como eran el infinitesimal (Leibniz), el de las funciones derivadas(Lagrange), el de los lmites o ltimas razones (Newton), etc., haciendo quefuesen una sola teora algebraica.

El libro est escrito siguiendo el mtodo de pizarras -es decir, separandolas ecuaciones del texto, y colocndolas al fmal de cada captulo- y consta dedos partes. La primera comprende la parte terica del Clculo diferencial eintegral y se divide en ocho captulos y la segunda trata de las aplicaciones dela teora anteriormente establecida y consta de tres captulos.

En la primera parte, el primer captulo trata de las funciones de una solavariable. El segundo de las reglas o procedimientos generales para formar loscoeficientes diferenciales sucesivos de las funciones de una sola variable. Eltercero es la extensin de los dos captulos precedentes a las funciones de dos oms variables. El cuarto trata la aplicacin de los tres captulos precedentes alas funciones implcitas de una o ms variables. El quinto, sexto y sptimoson anlogos al segundo, tercero y cuarto, respectivamente pero para elClculo integral. El octavo es un capftulo denominadofunciones indefinidas,nombre con el que Garca San Pedn) designa el clculo de variaciones.

En la segunda parte, el captulo noveno est dedicado al desarrollo de lasfunciones en series, el captulo dcimo a los mximos y mnimos defunciones y el captulo undcimo a la teora de lneas y superficies.

330 M ANGELFS VELAMAZAN Y ELENA AUSETO

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El mtodo de los incrementos ideales se inicia con el estudio de lavariacin de una funcin f(x) cuando x toma un incremento positivo onegativo h.

Para analizar esta variacin lo primero que se plantea es expresar de unmodo algebraico la cantidad f(x+h), de manera que la h est separada en loposible de las dems cantidades que compongan dicha expresin (desarrollo deTaylor), pues de este modo es como puede formarse una idea de cmo losdiferentes valores de h pueden producir otros diferentes def(x+h).

La funcin f(x+h) debe convertirse en su funcin primitivaf(x) cuando sehaga en ella h=0; por consiguiente, su forma algebraica puede descomponerseen dos partes o dos sumandos, de los cuales uno ser f(x), y el otro unaexpresin que, para que se reduzca a cero cuando h=0, podr ser de la formah af(x,h); siendo a una cantidad positiva y f(x,h) una funcin que no seconvierta en cero ni en infinito para el caso h=0:

fix+h) = f(x) + haf(x,h)Como la funcin f(x,h), cuando h=0, no es cero ni infinito, se podr

descomponer tambin en dos sumandos: uno ser una cantidad finita A ,funcin de x solamente, y el otro una expresin que para h=0 no se conviertaen cero ni en infinito, y que podr ser de la forma h If'(x,h), siendo C unacantidad positiva yf'(x,h) una funcin que no puede convertirse ni en cero nien infinito cuando h=0:

f(x,h) = A + hf"(x,h)Como la funcin f'(x,h) est en las mismas condiciones que f(x,h),

admite una descomposicin anloga:

f'(x,h) = B + hr(x,h)Igualmente ocurre con f"(x,h) que podr descomponerse de la misma

manera y bajo las mismas condiciones:

f(x,h) = C + hr(x,h)Y as sucesivamente.

LLULL 16 DE LAGRANGE A CAUCHY 331

Este proceso se suceder infmitamente, o se terminar cuando se llegue auna funcin de las designadas porf' que sea independiente de h.

Sustituyendor en f", f" en f', ren f hasta Ilegar af(x+h), se obtienela siguiente expresin

f(x+h) = f(x) + Aha + Bha+ + Cha+1+ + Dha+ 54-Y

Garca San Pedro afirrna que cualquiera que sea la forma de la funcinf(x+h) sta siempre puede modificarse y expresarse por una serie de tnninosen nmero funto o infinito que sean todos potencias monomias respecto de h[p. 11].

Garca San Pedro segua aqu la concepcin de los matemticos de finaldel siglo XVIII. Como afirma Pierre Dugac3:

"Mais pour les mathmaticiens de la fm du XVIIIe siele il tait vident quetoute fonction tait dveloppable localement en srie de Taylor et ils taientabsolument 'certains que la srie de Taylor d'une fonction converge vers lafonction .

A continuacin Garca San Pedro pasa a estudiar la naturaleza y relacionesde los exponentes a, a+C, a+1+3 y de los coeficientes A, B, C, D,

Para ello, llama a = m, a+C = n, a+ C+ = p, a++8+y = q, Por lotanto la serie anterior puede escribirse como:

f(x+h) = f(x) + Ahm + Bhn + ChP + Dhq +Adems del incremento h dado a la x, se le da un nuevo incremento k. La

funcin f(x+h) pasa af(x+h+k), cuya expresin en serie, anloga a la anterior,se podr deducir de sta por dos medios diferentes: escribiendo en vez de h, h+ko bien, como f(x), A, B, C y D son funciones de x, haciendo que x seconvierta en stas en x+k.

Por el primer procedimiento se obtiene la siguiente serie:

f(x+h+k) = f(x) + A(h+k)'n + B(h+k)n + C(h+k)P + D(h+k)q +Por el segundo, al hacer que x se convierta en x+k en las funciones f(x),

A,B,C,D, se obtienen las siguientes series (1):

332 Md ANGELFS VELAMAZAN Y ELENA AUSETO LLULL 16

f(x+k) f(x) + Akm + Bkn + CkP +Dkq +

A + A'km ' + A"kn ' + A'"kP' +Awkq ' +>B + B' ic,"" + B"kn" + B"Y" +Blvkq " +--> C + Ck'n"' + C"kn"' + CkP"' +Civkq '" +

D + Erkrniv + D"kniv + DkPly +DIvkqiv +

Haciendo ahoraf(x+k+h) se obtiene:f(x+k+h)=f(x) + Akm + Bkn

+ CkP +Did ++ Ahm + Almkm + A "hmkn' AhmkP ' +

+ Bhn + BInIcm " + B"hnkn"ChP C1Pkm"'

+ Dhq +

Igualandof(x+h+k) conf(x+k+h) se tiene (2):f(x)+ A(h+k)m

+ B(h+k)n + C(h+k)P + D(h+k)q + =f(x) + Akm + Bkn + CkP + Dkq +

+ Ahm + Almkm ' + A"hmkn ' + AhmkP' ++ Bhn +Blnkm" + B"hnkn " +

+ ChP + CIPkm'" ++ Dhq +

Esta igualdad se verifica cualesquiera que sean los valores de h y k. Si sesupone k=h, entonces se puede escribir:

f(x) + A2'nhm + B2nhn + C2PhP + D2 qhq + =f(x) + Ahm

+ Bhn + ChP + Dhq ++ Ahm + A'hm+m ' + A"hm+n ' + Ahm+P ' +

+ Bhn + Blin+m" + B"hn+n " ...ChP + C1P +'n"' +

+ Dhq +

Los trminos que llevan h con exponente cero son f(x), los que llevan hcon exponente m o una cantidad igual a m, teniendo en cuenta que losexponentes son positivos y crecientes, son:

42mh'n = Ah'n + Ahm 2m=2 m=1

Como este es un razonamiento de tipo general que le lleva a determinarcomo 1 el valor del primer exponente m que aparece en el desarrollo de

o bien

DE LAGRANGE A CAUCHY 333LLULL 16

cualquier funcin de x, tambin puede aplicarse a A, B, C, D, (funcionesde x) para concluir que m' = m" = m'" = = 1.

A continuacin Garca San Pedro sigue calculando cules sern losvalores de n, p, q, Ilegando a n=2, p=3 , q=4, ... etc., y anlogamenten'=n"=n= ... =2, p'=p"=p--, ... =3, q'=q"=q".= ... =4, etc.

Para hallar . la relacin entre los coeficientes A, B, C, D, coloca los

valores de los exponentes as obtenidos en (2):f(x) + A(h+k) + B(h+k)2 + C(h+k)2 + D(h+44 +f(x) + Ak + Bk2 + Ck3 + Dk4 +

+ Ah + A'hk + A"hk2 + Ahk3 ++ Bh2 + B'h2k + B"h2k2 +....

+ Ch3 + C'h3 k ++ Dh4 +

Desarrollando las potencias del binomio (h+k) y tomando en ambosmiembros de la igualdad nicamente los tnninos en que k est elevada a ceroo a la unidad se tiene:

f(x) + Ah + Bh2 + Ch3 + Dh4 ++ Ak + 2Bhk + 3Ch2 k + 4Dh3k +

f(x) + Ah + Bh2 + Ch3 + Dh4 ++ Ak + A'kh + B'h2k + C'h3 k +

+

Igualando trminos semejantes se Ilega a que:

2Bkh = A'kh

3Ch2k = B'h2 k

4Dh3k = C'h3k

As pues, los coeficientes A', B', C', de los segundos trminos de losdesarrollos de A, B,C,D, nos permiten conocer los coeficientes B, C, D,

del desarrollo f(x+h) = f(x) + Ah + Bh2 + Ch3 + Dh4 + El problema dela obtencin del desarrollo de una funcin en x se reduce pues al clculo delcoeficiente A, ya que con ste se determina anlogamente A -y por lo tantoB-, B' -y por lo tanto C-, y as sucesivamente seg n las series (1).

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El estudio se centra as en lo sucesivo en el coeficiente A. Garca SanPedro empieza por darle un nombre y un signo algebraico que le distinga, elnombre esprimer coeficiente diferncial y el smbolo 1L7 2c

dx

Sobre esta eleccin, Garca San Pedro afirma:

"Hemos adoptado el nombre de primer coeficiente diferencial para la funcinA, por acomodamos a la nomenclatura ms recibida, y hemos tomado para espresar(sic) algebraicamente dicha funcin, el smbolo df(x) no slo por seguir en estadxparte el uso ms generalmente admitido y para lograr adems la comodidad yfacilidad con que se presta a la nueva clase de procedimientos algebraicos que debehacer nacer la presente teora, sino tambin porque slo l puede servir a enlazar almismo tiempo los diferentes mtodos seg n los cuales se ha presentado sta hastael da, haciendo que todos puedan deducirse del que aqu seguimos, y tenerse porestablecidos de un modo claro y completamente riguroso" [P. 16].

A continuacin se observa que si la funcinf(x) est multiplicada por unfactor constanteN, el primer coeficiente diferencial de la funcin N f(x) es elmismo que el de la funcinf(x) multiplicado porN.

Teniendo en cuenta que B, C, D, son los primeros coeficientesdiferenciales respectivos de A, B,C,D, multiplicados por los factores

1 1constantes 2 , 3 pueden establecerse las ecuaciones:

d df(x) A B 1 dA 1 dx dx ' 2 dx 2 dx

d df(x) ddiiix dx ddx

cl--- d dx ldB 11 dx

D= 1dC111 dx C= 3dx= 23 dx ' 4 dx 234 dx

Una manera abreviada de escribir estas expresiones ser poner losquebrados simblicos:

d2f(x) d3f(x) d4f(x) dx2 ' dx3dx4


que se llamarn, por analoga con el primer coeficiente diferencial, coeficientesdiferenciales de 29, 3Q , 49, orden.

Por ltimo, sustituyendo estas expresiones de A, B, C, D, en el

desarrollof(x+h) se obtiene (3):

df(x) 1 df(x) 1 d3f(x) h3f(x+h)=f(x)+ dx h + 2 dx2 h2 +2 .3 dr? .."

Obtenida la expresin que caracteriza la variacin de la funcin f(x)cuando x vara por los incrementos positivos o negativos h, Garca San Pedroafirma [p. 26] que a los nuevos estados de magnitud representados por lafuncin f(x+h) se les puede dar siempre la representacin algebraica contenidaen el desarrollo (3) (Primera ley).

Seguidamente, el autor se refiere a una cierta disposicin de la cantidadrepresentada en general por f(x) para crecer o decrecer con ms o menosrapidez.

Esta disposicin a crecer o decrecer de las cantidades estar medida por larelacin existente entre los incrementos de la funcin y de su variable, demanera que pasando al primer miembro de la ecuacin (3) el trminof(x) ydividiendo dicha ecuacin por h, se tendr expresada algebraicamente la referidadisposicin. El incremento de la funcin f(x) se representar por df(x) y elincremento h de su variable por dx, y como

f(x+h) - f(x) df(x) I d2f(x) h dx + 2 elx2

se tiene

df(x) df(x) 1 d2f(x) dx +Ax dx + 2 cl.t.2

Garca San Pedro afuma que

"es bien claro que dicha disposicidn a crecer o decrecer de las cantidades nadatiene que hacer con los valores de los incrementos reales y efectivos que ellastengan, y que su medida puede ser independiente de dichos valores" [p. 27].

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De aqu que si en la expresin anterior se prescinde de todos los trminosen los que aparece dx, o si se supone que dx=0, resultar por verdadera mediday expresin algebraica de la referida disposicin el primer coeficientediferencial.

A partir de ahora es cuando Garca San Pedro define sus incrementosideales de la siguiente manera:

"Para obtener esta medida que acabamos de hallar independiente de los valoresde los incrementos de la funcin y de su variable, hemos necesitado suponer, quedespus de haber tenido lugar estos incrementos reales y de haber formado unamedida general dependiente de ellos, se reducan a cero, quedndonos con aquellaparte de dicha medida general cuya existencia no dependa de la de talesincrementos. Desde luego se ve que esta medida particular, obtenida en estesupuesto, no puede nunca ser igual a la relacin que exista entre dos incrementosreales y efectivos de la funcin y de su variable; ms sin embargo de estaimposibilidad, el entendimiento puede concebir y aun formar dos incrementos, unode la funcin y ota-o de su variable cuya relacin d esta misma medida particular;los cuales, aunque verdaderamente ideales y diferentes de los que efectivamentetendrn lugar segn la dependencia que la variabilidad de la funci n tenga de la de suvariable, producirn la ventaja de dar una expresin de la medida que nos ocupa, quedependa de las variaciones de la cantidad, sino (sic) de las reales y efectivas, deunas ideales que podrn llenar, como veremos, el mismo objeto que si fuesenreales" [pp. 27-28].

A continuacin realiza los siguientes razonamientos para convencer deque se pueden concebir y formar los dos incrementos ideales de los que hahablado.

Si en la ecuacin

f(x+h) = f(x) + Ah + Bh2 + Ch3 + Dh4 +se pasa f(x) al primer miembro, se divide por h y se indica el incremento de lafuncin f(x+h) - f(x) por dfx, se tiene que:

(4) df(x) A + Bzix + Ctlx2 + Ddx3 + Edx4 +dx

Si en esta ecuacin se supone que dx, que est tomado en ellapositivamente, se convierte en la ecuacin anterior se transformar en


-df(x) - A - B dx + C4x2 - adx3 + Edx4 -dx

Y sumando las dos se forma la siguiente:

df(x) - df(x) (5) - 2A + 2C4x2 + 2E4x4 +AxSi en (4) se supone ahora que el incremento Ax de la variable se convierte

sucesivamente en AxTi, y en representando por d'f(x) y por d"f(x)los nuevos incrementos de la funcin relativos a estos supuestos, podremosobtener las siguientes ecuaciones:

47(x) A + Bdx

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Del mismo modo que al deducir de la ecuacin (4) la (5) han desaparecidodel segundo miembro de aqulla la mitad de todos los trminos que contiene-sin contar el primero A-, y que al pasar de esta ltima a la (7) handesaparecido de su segundo miembro la mitad de sus trminos no incluyendoel primero de ellos (2A), si en esta ecuacin (7) hacemos unas operacionesanlogas sustituyendo sucesivamente 4x por 4-

1 dx y 4 dx*V -1, obtendremosuna ecuacin cuyo segundo miembro ser el mismo que el de la ecuacin (7)multiplicado por 2 y disminuido en la mitad de sus trminos menos elprimero A. Continuando este proceso, con slo ir sustituyendo despus

8 -_j 16r-sucesivamente dx por 2 Az"V -1 ' 2 dx "s1 -1 , tremos disminuyendo cada vez enla mitad de sus trminos menos el primero A. De aqu que Garca San Pedroafirme:

"y por consiguiente que suponiendo llevada esta operacin tan lejos como seanecesario, podemos venir a formar, o juzgar que se forma, una ecuacin cuyosegundo miembro sea A, y el primero la relacin entre una combinacin algebraicade un nmero definido o indefinido de incrementos imaginarios de la funcin, quepueden mirarse como un incremento ideal de sta, y un incremento ideal de lavariable. De este modo es evidente la existencia de la ecuacin

incremento ideal de la funci n = Aincremento ideal de la variable

Los dos trminos del quebrado que forma el primer miembro de esta ecuacin,pueden considerarse siempre como cantidades finitas" [p. 29].

A continuacin Garca San Pedro define el clculo diferencial basndoloen su mtodo de los incrementos ideales.

Segn la ecuacin (8)"la relacin entre dos ciertos incrementos ideales o imaginarios de la funcin

y de su variable es igual al primer coeficiente diferencial de la funcin; y comohemos dicho que ste mide la disposicin a crecer o decrecer de la cantidadrepresentada en dicha funcin, independientemente de los valores de todoincremento suyo, vems que seg n Io habamos previsto pueden concebirse yformarse dos incrementos ideales de la funcin y de su variable, cuya relacin llenede la propia manera el mismo objeto.

(8)

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Supuesto que en la ecuacin A = df(x) no hemos dado representaci6n algunadx

df(x) algebraica a cada tmo de los dos trruinos que forman el quebrado simblico dxsino al todo de este quebrado, podemos muy bien hacer ahora que el numerador df(x)represente el incremento ideal o imaginario de la funcidn f(x) contenido en elnumerador del quebrado que forma el primer miembro de la ecuacinincremento ideal de la funcidn

A, y que el denominador dx represente elincremento ideal de la variableincremento tambin ideal o imaginario de la variable x contenido en eldenominador del mismo quebrado" [p. 291.

Este hecho constituye para Garca San Pedro la segunda ley que rige lasvariaciones de la cantidad: en este modo ideal o imaginario de variar lacantidad, los incrementos de la funcin son proporcionales a los de la variable.

Para aplicar esta ley el camino es seguro y sencillo. Cuando se tenga unarelacin entre dos incrementos reales y efectivos, el uno de la funcin y el otrode su variable, se deben desechar de esta relacin todas aquellas cantidades quese opongan a que estos incrementos sean proporcionales, y entonces talesincrementos se convierten en los ideales que dice la ley, y dicha relacin en lamedida de la disposicin a crecer o decrecer de la funcin que se considere. Asla ecuacin

,df(x) A + Bdx + C4x2

dx

debe convertirse en:

dirx) Adr

desechando de ella todos los trminos que en su segundo miembro se oponen aque df(x) y dx vaden proporcionalmente4 , y haciendo despus de esto quedf(x) se convierta en df(x), y dx en dx.

A continuacin Garca San Pedro explica que la formacin de losincrementos ideales sucesivos se obtendr por los mismos medios indicadospara formar el de primer orden.

340 Ma ANGELES VELAMAZAN Y Fl FNA AUSEJO

LLULL 16

As dnf(x) representar por su numerador dnf(x) el incremento ideal dedrnorden n de la funcin f(x), y por su denominador dxn la potencia n delincremento ideal dx de la variable x.

Garca San Pedro realiza la siguiente observacin sobre la naturaleza delos incrementos ideales, precisando la defmicin de elemento de una cantidad.

"Elemento de una cantidad, puede decirse, es aquella parte suya infinitamentepequeria, por la cual principia a nacer o a tener existencia, y que sirvindole comode base a su creacidn o a su composicin, pueda obtenerse sta por la reunidn deinfinitas de dichas partes hechas de cierto y determinado modo para cada clase decantidad" [p. 36].

Dos son, pues, las cualidades de los elementos de las cantidades: laprnera que son unas cantidades infinitamente pequeas, si se quiere incluso seles podra atribuir el ltimo grado de pequefiez posible; y la segunda que lareunin de infinito n mero de estas cantidades infinitamente pequefias puedenformar o componer las cantidades correspondientes.

Garca San Pedro atribuye a los incrementos ideales df(x) y dx el serverdaderos elementos de las cantidadesf(x) y x respecvamente.

Tambin afirma que:

"nada es ms natural que ver a los incrementos ideales de las funcionesconvertidos por su pequeriez, en lo que puede llamarse elementos de la cantidad.Estos, hablando en general, no puede concebirse que sean cantidades reales yexistentes, porque a la verdad no cabe en el entendimiento que existan en lanaturaleza cantidades sirnples que no admitan el ser descompuestas en otrascantidades; y as los elementos de stas, de cualquier modo que se les conciba, nopueden menos de ser verdaderas cantidades ideales" [p. 38].

Por otra parte, a unos mismos smbolos df(x) y dx se les puede hacertornar, segn convenga, el carcter de verdaderas cantidades o el de verdaderoselementos de cantidades. Estos dos caracteres no los puede tener al mismotiempo, y si se considera a df(x) como una verdadera cantidad, slo suincremento ideal d2f(x) puede mirarse como un verdadero elemento de lacantidad f(x).

Este situar el Clculo infinitesimal dentro del Algebra lo expresa GarcaSan Pedro de la siguiente manera:

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"E1 clculo infinitesimal convertido en el clculo de los incrementos idealesque deben medir la disposicin a crecer o decrecer de las cantidades, puede tenertodo el rigor, exactitud y claridad que debe acompaar siempre a todos losprocedimientos algebraicos: cualidades que no tiene segn los mtodos que se hanseguido hasta el da para presentarle, y que no podra tener mientras fuese precisoestablecer la ecuacin df(x) = Adx por aproximacin, por ms que se empeasen enbuscar compensaciones al error que lleve consigo dicha aproximaci6n" [p. 39].

Todo parece indicar que Garca San Pedro llama a sus incrementos ideales'en el momento en que utiliza las cantidades imaginarias -frmula (7)-. Susclculos vienen a justificar la posibilidad de obtener de manera algebraica elprimer coeficiente diferencial, puesto que siempre existe una cantidadimaginaria para anular cualquier potencia del incremento dx. Desde el punto devista de la fundamentacin rigurosa del Clculo, sta parece ser para l unasolucin satisfactoria frente al mtodo de los l nites, cuya indeterminacin

lim Af(x) 0 repudia.Ax->49 isx

As, Garca San Pedro presenta el mtodo de los lmites en la exposicindel Clculo diferencial e integral, pero lo considera ms obscuro que el de losincrementos ideales y asegura que este mtodo de los limites o ltimas razonesno debe ser la base de la exposicin del Clculo.

Para enunciar su tercera ley Garca San Pedro realiza la siguienteconsideracin, si en la ecuacin:

df(x) A + Bdx + Cdx2 +

dx

suponemos que el incremento dx decrece, el Af(x) ir decreciendo tambin y larelacin entre estos dos incrementos se ir aproximando al primer coeficientediferencial A. Cuando estos dos incrementos lleguen a su lmite cero, entoncesdicha relacin ser la citada funcin A.

Seguidamente enuncia la tercera ley que rige las variaciones de la cantidad:

"cuando la cantidad f(x) vade por incrementos positivos o negativos, los dela llamada funcin y los de su variable estn sujetos a admitir en su limite cero unacierta relacin" [p. 39].

Despus afirma:

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"Sobre esta ley pueden establecerse todos los procedimientos y aplicacionesde la parte del lgebra que forma el asunto de este tratado. La marcha que seguimosen nuestra exposicin nos har ver, que si bien esta ley es surnamente apreciablepara obtener el planteo algebraico de muchas cuestiones, y en una palabra para lasaplicaciones de la parte del lgebra que nos ocupa, no es en manera algunanecesaria para servir de fundamento a los procedimientos algebricos que puededecirse forman la parte terica de este ramo. No slo no es necesaria para llenardicho objeto, sino que cuando se la emplee de ese modo, los procedimientosalgebraicos que de ella se deduzcan no pueden menos de tener la obscuridad que esconsiguiente a haber de operar con s nbolos cuya representancin se refiere enrealidad a cero; privando al lgebra de las ventajas que debe recibir de poder revestira estos snbolos de un modo claro y fcil, bien con el caracter de cantidadesfinitas, o bien con el de verdaderos elementos de cantidad. Como no es nuestroobjeto criticar en este lugar la exposicin de los llamados clculos diferencial eintegral por el mtodo de los lmites o ltimas razones, no nos estenderemos (sic)a manifestar el verdadero lugar que debe tener esta ley con respecto a losprocedimientos algebraicos, ni por consiguiente cuan distante est de deber ser labase sobre que se funde la esposicin (sic) de dichos clculos" [pp. 39-40].

Como se ha visto, el desarrollo de la funcin f(x+ h) contiene unasfunciones A, B, C, D, etc. dependientes entre si y de la funcin primitivaf(x).Esto da lugar a que pueda establecerse como cz4arta ley en las variaciones de lacantidadf(x) lo siguiente:

"Toda cantidad f(x) que pasa del estado de magnitud f(x) a otra cualquieraf(x+h), crea una serie de cantidades de n mero finito o infinito, cuya existencia estnimamente ligada con la de aquella y dependiente de ella, cuyas formasalgebraicas podrn deducirse sucesivamente de la de aquella segn ciertosprocedimientos, y cuyos modos de ser o de existir podrn conducir al conocimientode los que convengan a aquella, concibiendo retrgrados los referidosprocedimientos que rigen a su formacin" [p. 40].

Garca San Pedro atribuye esta ley a Lagrange y, aunque la consideraimportante para establecer con rigor toda la teora del clculo, opina que espoco fecunda en recursos para las aplicaciones de dicha teora.

Concretamente afirma lo siguiente:

"El clebre autor [Mr. La-Grange] que bajo el nombre de clculo de lasfunciones derivadas ha dado 1a esposicin (sic) de los principales procedimientosque comprende la parte del lgebra que nos ocupa, fundando dicha esposici6n (sic)en esta ley nicamente ha conocido bien su infecundidad en recursos para lasaplicaciones, cuando ha echado mano en su mecnica analtica de los mismosprocedimientos algebraicos que haba establecido as, pero fundados en otrosprincipios. La segunda de las leyes que nosotros acabamos de presentar, contiene ycontendr siempre los principios ms tiles, las verdades ms interesantes y los

LLULL 16

DE LAGRANGE A CAUCHY 343

medios ms fciles y fectindos para obtener el planteo algebraico y la solucin detodas las cuestiones a que pueda aplicarse" [p. 41].

Con el establecimiento de las cuatro leyes a que estn sujetas o puedensujetarse las variaciones de magnitud de la cantidadf(x), Fernando Garca SanPedro termina la presentacin del mtodo de los incrementos ideales con el quefundamenta su Clculo diferencial e integral.

Este mtodo cre escuela entre sus sucesores como profesores de Clculoen la Academia de Ingenieros, que optaron por l, valorndolo por encima delde los lmites. Ahora bien, estos sucesores no realizaron la demostracin deGarca San Pedro de la existencia de los incrementos ideales, sino otra muchoms sencilla, pero inadmisible matemticamente hablando.

Hacia 1840 a Femando Garca San Pedro le sucedi Manuel Dez de Pradoen el puesto de profesor de la asignatura de Clculo diferencial e integral en laAcademia de Ingenieros. Basndose en el tratado de Garca San Pedro, Dez dePrado redact cinco lecciones que sirvieron de texto en dicho centro y, seg nafirma Jos de Toro [p. 6], utiliz el mtodo de los incrementos ideales.Como estas lecciones no eran suficientes, se segua utilizando para sucomplemento el texto de Garca San Pedro.

En 1853 muri Dez de Prado y le sucedi en su puesto Antonio Torner yCarb. En el ao 1864 este profesor present al Concurso anual de premiospara memorias escritas por oficiales de Ingenieros un trabajo tituladoElementos de Clculo Inte_gral con el que consigui el primer premio.Posteriormente esta memoria5 fue declarada libro de texto en la Academia.

El prximo libro de texto de clculo escrito para los alumnos de laAcademia de Ingenieros fue debido al profesor Alejandro Beln y Torres. En1876 Beln redact un texto de Ckulo Diferencial afladiendo ocho lecciones alas cinco anteriormente citadas de Dez de Prado.

Beln afirma [p. VII] que con su texto no ha pretendido ms que llenar elvaco que exista entre las lecciones de Manuel Dez de Prado y la memoria deAntonio Torner completando el Clculo diferencial de Manuel Dez de Prado.

Trece son pues las lecciones que componen el texto de Alejandro Beln.En su primera leccin queda ya establecida la exposicin del Clculo bajo elttulo Definiciones. Disposicin variar de las funciones; medida de estadisposicin; desarrollo de una funcin Variable en forma finita; primercoeficiente diferencial; explicacin suya por los incrementos ideales.

344 141 ANGELES VELAMAZAN Y ELENA AUSETO LLULL 16

Tras las definiciones de cantidad constante, variable y funcin, Beln tratael tema de la disposicin de las funciones a crecer o decrecer, considerndolocomo un tiecho propio, peculiar . y determinado. Al igual que dos rbolesidnticos plantados al mismo tiempo y en el mismo lugar son de diferentetamarlo pasado algn tiempo, lo que prueba que en cada uno de ellos existamayor o menor disposicin a crecer, las cantidades variables tienen unadisposicin a crecer o decrecer que le es propia, que est enlazada intimamentea su esencia, y que las caracteriza y sirve para distinguirlas y determinarlas.

La cuestin siguiente es, dada la importancia de la referida disposicin,cmo lograr un medio seguro de medirla y conocerla, lo que conducenaturalmente al planteamiento de la expresin algebraica del nuevo estado demagnitud F(x) cuandox vara de un modo determinado.

Por el mismo razonamiento de Fernando Garca San Pedro, Beln llega aque si x se incrementa en una cantidad h, entonces

(9) F(x+h) = F(x) + Alr + Bhn + ChP +De esta expresin slo le interesa de thomento el valor de m y, de manera

idntica a Garca San Peclro, obtiene m=1. A continuacin pasa de la ecuacin(9) a:

F(x+h) - F(x) = Ah + hnf(x,h)Como el primer miembro representa el incremento de F(x) lo expresa

bajo el smbolo Y-F(x) y divide por h:PF(x) (10) h A+ hn-lf(x,h)

Haciendo h=rh', siendo r y h dos nmeros cualesquiera, obtiene:

YF(x) (11) r

' A + (rh7-1 - f(x, rh')h

Beln afirma que para que el segundo miembro de la ecuacin anteriormida la disposicin a crecer o decrecer de la cantidad variable F(x), ste debeser independiente de h; luego no debe existir el segundo trmino o debeverificarse que:


(12) (r h9n-1 f(x, rh') = 0

Esta ecuacin podr verificarse exactamente si h = 0 6 si f(x, h') = 0,y sensiblemente cuando h' sea infinitamente pequeo. Lo que a continuacinrealiza es la exposicin de cada uno de estos tres casos:

- Si la ecuaci6n (12) se verifica por ser h'=0, la cantidad A medir ladisposicin a crecer o decrecer de F(x), pero ser A= 0 y expresar la razn0entre el incremento cero de la funcidn y el incremento cero de la variable. Notrata el caso r=0 porque entonces el numerador del primer miembro de laecuacin (11) sera infinito.

- Si la ecuacin (12) se verifica sensiblemente por suponer el incrementoh' infinitamente pequeo, tambin A medir la disposicin a crecer o decrecerde F(x) y representar la razn entre dos incrementos infinitamente pequeos,el uno de la funcin y otro de su variable.

- Por ltimo, si la ecuacin (12) se verifica por el valor de r deducido dela ecuacinf(x, h') =0, en general trascendente, ser A la verdadera medida dela disposicin a variar que tenga F(x) y representar la relacin entre dosincrementos ideales o imaginarios, el uno de la funcin y el otro de suvariable; porque siendo el valor de r imaginable o ideal por deducirse de la

ecuacirif(x, rh')=0, en general trascendente, Y.F(x) o el incremento de la

funcidn ser tambin imaginario, y el incremento h'. h lo ser tambin comocociente de cantidades reales y cantidades imaginarias.

Tras este anlisis realiza una valoracidn sobre cul de las tres hiptesisanteriores es preferible a las dems. En el primer caso se trabaja con cero o lanada,faltando esencialmente a las preciosas cualidades de la claridad y rigormatemticos. La segunda encierra la idea vaga e inexacta de los infinitamentepequeos, y destruye la exactitud de la ecuaci6n (11). La tercera carece de todoslos vicios inherentes a estas dos ltimas hiptesis, y se conforma del modoms sadsfactorio a las verdades rigorosas de las matemticas, y adems laecuacidn (11) es exacta. Por ello, tendremos sobrado motivo para concluir queeste tercer supuesto, hijo de un feliz artificio anal ico debe preferirse a losotros dos en todo cuanto haga referencia a la cantidad A, que es el objetoexclusivo y nico de esta vasta ciencia Ilamada clculos [pp. 12-13].

346 M ANGELFS VELAMAZAN Y ELENA AUSEJO

LLULL 16

Finalmente Beln concluye el captulo primero de su texto exponiendocon toda claridad el procedimiento para calcular el primer coeficientediferencial:

incremento ideal de la funcin dF(x) se sigue"De ser la cantidad A = .incremento ideal de la vari =able dx

que en este modo ideal de variar la cantidad, los incrementos ideales de la funcinson proporcionales a los ideales de la variable, siendo su razn igual a la cantidadque mide su disposicin a variar; por consiguiente, el mtodo que ha de seguirse encada caso particular para determinar el primer coeficiente diferencial es uniforme;hllese la relacin entre dos incrementos reales y efectivos de la variable y sufuncin, deschense todos aquellos trminos que se opongan a la proporcionalidadde dichos incrementos y nos quedar el primer coeficiente diferencial o razn entrelos dos incrementos ideales: a medida que nos vayamos encumbrando iremosdescubriendo nuevas ventajas de este mtodo de los incrementos ideales.

Convertido as el clculo analtico infinitesimal en el de los incrementosideales que miden la disposicin a crecer o decrecer de las cantidades, veremos quetiene todo el rigor y fecundidad que conviene en las matemticas" [p. 13].

Parece claro que la exposicin de Beln representa un claro retrocesorespecto de Garca San Pedro, de quien toma denominaciones y algoritmospara el clculo diferencial, sin considerar ms que nominalmente los aspectosdel rigor y la demostracin. En el ltimo cuarto del siglo XIX susinjustificadas consideraciones sobre el uso del cero o sobre la trascendencia delas funciones, expuestas en tono de probada irrefutabilidad slo pueden sercalificadas de brbaras y no tienen justificacin alguna desde el punto de vistade una posible simplificacin pedaggica.

Con Alejandro Beln no termin la utilizacin del mtodo de losincrementos ideales: el siguiente profesor que redact un texto de Clculo,Antonio Vidal y R a, continu con esta tradicin. En los afios 1880 y 1882se publicaron respectivamente su Aplicacin del Clculo Diferencial a laTeora de Lneas y Supetficies y sus Aplicaciones geomtricas del ClculoIntegral a la rectzficacin de lneas, cuadratura de supelficies y cubatura deslidos. Vidal bas sus dos obras en los textos de Clculo diferencial de Belny del Clculo integral de Torner debido, como el mismo argumenta [1880, p.VI], a la necesaria unidad en la ensefianza.

Finalmente -y teniendo en cuenta que en este trabajo slo se analiza elsiglo XIX-, en el afio 1894 Jos de Toro y Snchez escribi un texto tituladoClculo Diferencial y sus aplicaciones analticas, tambin basado en losincrementos ideales.

LLUIL 16 DE LAGRANGE A CAUCHY 347

La leccin primera de este texto se titula Funciones. Variabilidad de lasfunciones. Primer coeficiente chferencial. Diferenciales, y en ella se realiza unaexposicin del mtodo de los incrementos ide,ales anloga a la efectuada porAlejandro Beln y en la que se compara este mtodo -atribuido a FernandoGarca San Pedro- con el de los infinitamente pequeos -atribuido a Leibnitz-y con el de los lmites -atribuido a Newton-. En una eleccin corporativista, elmtodo del militar espatiol resulta ser el mejor.

En esta primera leccin de fundamentacin del C.lculo diferencial, Jos deToro no menciona en ning n momento a Cauchy -aunque conoce su trabajo,puesto que en la leccin VIII, sobre el desarrollo de las funciones en serie,estudia la forma del resto debida a Cauchy-. Es ms, en el prlogo de su libroJos de Toro afirma que para la elaboracin de su trabajo ha tenido a la vistalas obras de Bertrand, Laurent, Edwards, etc. [p. 7] -concretamente Bertrandhaba sido profesor de anlisis de l'Ecole Polytechnique desde 1856 hasta1894-, luego conoca la forma de exposicin triunfante del Clculo; sinembargo, continu con la tradicin de la explicacin de esta disciplina en laAcademia de Ingenieros. Esta tradicin s se vio afectada, en cambio, en loreferente a los mtodos de exposicin: de los siete textos de clculo que se hancitado -excluyendo el de Dez de Prado, que deba ser manuscrito y no se haencontrado- el nico que est redactado siguiendo el mtodo de pizarras es el deGarca San Pedro.

Hasta aqu, pues, se ha descrito cmo los profesores de este centroexponan los fundamentos del Clculo diferencial. A partir de este nexo comnse va a analizar lo que los sucesivos profesores fueron aportando con laredaccin de sus propios libros de texto, tomando para ello como punto departida el tratado de Femando Garca San Pedro.

En el captulo II Garca San Pedro expone las reglas para calcular loscoeficientes diferenciales sucesivos de las funciones de una sola variable. Paraello empieza por las funciones simples o elementales, y en primer lugar conlas potencias de la forma z=xm.

Garca San Pedro aplica a la funcin z=xm los dos desarrollos establecidosen el captulo anterior, llegando as a las siguientes ecuaciones:

dz 1 d2z(13) (x+h)m = xm + h + h2 +dx 2 dx2***

(14) (x+hr = xm + Ah + Bh2 +

348 144 ANGELES VELAMAZAN Y FI ENA AUSEJO LLULL 16

Haciendo x=1 en la ecuacin (14) los coeficientes A, B, se conviertenen las cantidades finitas A', B',

diferentes de cero e independientes de h yresulta:

(1 +h)m =1 +A'h+B'h2+...

Como los coeficientes A', B no dependen de h, deben depender de m,puesto que h y m son las nicas variables. Escribiendo A'=F(m) la ecuacinanterior se transforma en:

(1 + h)m = 1 + hF(m) +

En vez de h coloca h y resulta:

1 + hx)m = 1 +

x

h F(m) +

Multiplicando por x'n:

(15) (x+h)in = x'n + x1n- 1 hF(m) +

Dando a m un incremento cualquiera representado por m' obtiene:

(16) (x+h)m+m. = x'n+'n ' + h F(m+m) +Considerando que m' es uno de los varios estados de magnitud que puede

tener m, la ecuacin (15) la escribe como:(17) (x+hr . = x'n. + hF(m) +

Multiplicando ordenadamente las ecuaciones (15) y (17):(18) (x+hri- m. = ..147149n. + h(F(m) + F(m')) +Al considerar que- los dos desarrollos (16) y (18) son dos transformaciones

de igual naturaleza de la funcin (x+h)m-fm., iguala trmino a trmino y:(19) F(m+m') = F(m) + F(m)

Aplica a la funcin F(m+m') su desarrllo correspondiente dando a m' ym el papel de x y h, respectivamente y escribe:

LLULL 16 DE LAGRANGE A CAUCHY

dF(m) 1 c12F(m) m2(20) Ffm' m+m) = F(m) dm, + 2 dm ,2

Las ecuaciones (19) y (20) conducen a:

(21) F(m) dF(m) 1 d2F(m) m2 + -dm m 2 dm'2

Como esta ecuacin (21) no debe establecer ninguna relacin entre lascantidades m y m', que son independientes entre s, es necesario que dF(m) seadm'igual a una constante, y consecuentemente d2F(m) , d3dmF(m,3 ') sern igual admcero. Por lo tanto esta ecuacin la transforma en:

F(m)= am.

Al tener que ser uno mismo el valor de la constante a cualesquiera quesean los que se le asignen a m, haciendo m=1 en la ecuacin (15) se tiene queF(m)=1 y como consecuencia a=1 y F(m).m. Sustituyendo este resultado enla ecuacin (15) llega a que:

(x+hYn = xm +xm- ihm +

La necesaria identidad entre este desarrollo y el considerado en la ecuacin(13), le lleva a afirmar que:

"Lo cual nos dice que el primer coeficiente diferencial de una potenciacualquiera de una sola variable, es siempre igual a la potencia de un grado menor enuna unidad de la misma variable, multiplicada por el esponente (sic) de la potenciadada" [p. 56].

Como se puede observar, pese a que Garca San Pedro define el mtodo delos incrementos ideales, no lo emplea para calcular la derivada o el primercoeficiente diferencial de la funcin potencia anteriormente considerada. Dichoclculo es, en realidad bastante semejante al que realiza Lagrange en susLelons sur le calcul des fonctions [1806, pp. 16-21], y bien distinto a lasencillez del Trait lmentaire de Calcul diffrentiel et de Cakul intgral[1828, pp. 15-17] de Lacroix.

349

350 Mi ANGELES VELAMAZAN Y ELENA AUSEJO

LLULL 16

Lacroix parte de que la diferencial del producto de dos funciones se obtienemultiplicando cada funcin por la diferencial de la otra y sumndolas.

duv = udv + vduSi se dividen los dos miembros por la funcin primitiva uv, se obtiene:

duv du dv+uv u v

Aplicando este resultado a un logra lo siguiente:

dun ck4 du du+un u u u

Luego

dun du= n un

De donde concluye que:

dun = n un -i du

(n veces)

Garca San Pedro aborda a continuacin el clculo del primer coeficientede las funciones exponenciales de la forma z=ax. Al igual que ocurre en el casoanterior tampoco aqu utiliza el mtodo de los incrementos ideales y labsqueda de la derivada ia efecta de la siguiente manera:

A la funcin az+ h le aplica el desarrollo correspondiente y forma laecuacin:

(22) ax+h ax h z h2 1 cf? z "dx 2 dx2 732

Escribe:

ax+h = ar ah,

pone (1 +b)h en vez de ah para obtener:ax+h = ax (.1 +b)h

LLULL 16

DE LAGRANGE A CAUCHY

351

y como (1 +b)h es la funcin estudiada en el apartado anterior:

ar+h = (1 + hb + b2 + 11(12-1 ) (11-2) b3 + )2

Efectuando las operaciones indicadas en la ecuacin anterior

b2 b3ax+ h = ax + (b - + - + ) h +2 3 4

y cambiando b por su igual a-1:

(a-1)2 + (a-10 (a-1)4 ar+h = crz + ((a-1)- + ) h +2 3 4

Llamando K a la expresin:

(a-1)- (a-1)2 + (a-1)2 - (a-1 )4 +2 3 4se sigue que:

(23) ax+ h = ax + Kaxh +

Por ltimo, comparando el desarrollo (22) con el (23) llega a laconclusin de que:

dz = Kazdx

Por lo tanto

"el primer coeficiente diferencial de toda funcin esponencial (sic) z=ax , esigual a la misma esponencial (sic) a x multiplicada por un factor constante K, que encada caso particular depender de la base a que se considere " [p. 57].

Teniendo en cuenta esta regla puede formar todos los coeficientesdiferenciales sucesivos:

71-t-2(Pz = K2ax

352 MIANGELES VELAMAZAN Y Fl FNA AUSEJO

LLULL 16

d3z 3d-73 =K ax

Finalmente calcula el valor de la constante K. Para ello escribe lasiguiente ecuacin:

K2 ., K3 3ax+ h = ax (1+Kh+-ThL + +...),

divide por ar:

K2K3ah =1 +Kh + h2 + h3 +2 23

y sustituye h por 1 K

1 1 1ailh = 1 + 1 + 2 + 2-3 + 23-4

+ .... =2'718281828459 = e

log a Luego al/h = e y tomando logaritmos K log e'Para calcular la derivada de la funcin exponencial z=ax Lacroix, en su

Trait de Calcul Diffrentiel et de Calcul intgral [pp. 31-33], realiza unanlisis bastante parecido a Garca San Peclro, pero utilizando el concepto delimite -concepto sobre el cual Lacroix bas el clculo-.

Lacroix considera la funcin exponencial u=ax y arladiendo a la variable xel incremento dx, coloca el siguiente cociente de incrementos:

ax+dx axadx - 1) ardx dx

sustituye a por por 1 +b y desarrolla en potencias de dx:

adx = (1 +b)dx = 1 +-dl b + dx(dx-1) b2 +cli(dr-1)(dx-2)1 12 123 b3 +

Luego

adx-1 b (dx-1) b2 (dx-1)(dx-2) +dx1+ 12 + 12

LLULL 16


A continuacin, Lacroix dice que si se hace dx=0 en el segundo miembrode esta ecuacin, quedar por el l nite:

b b2 b3

Cambiando de nuevo b por su valor a-1 obtiene:

dar = az (a-1 _(a-1)2 (a-1)3dx

1 2

y haciendo

K a-1 (a-1)2 4.(a-10 -1 2

puede escribir.

dar = Kaxcbc

El valor de K est calculado del mismo modo que en el texto de GarcaSan Pedro.

De nuevo las analogas para el clculo de la derivada de la funcinexponencial hay que establecerlas entre Lagrange [pp. 25-27] y Garca SanPedro.

En el captulo II de su texto, Garca San Pedro calcula adems elcoeficiente diferencial de las funciones logartmicas de la forma z=log x, de lasfunciones circulares de la forma z=sen x, y termina con el estudio de loscoeficientes diferenciales en las funciones compuestas formadas a partir de lassimples o elementales.

Esta misma estructura tiene el captulo II de los textos de AlejandroBeln y Jos de Toro y Snchez, aunque ellos s que utilizaron el mtodo delos incrementos ideales.

Concretamente Jos de Toro calcula del siguiente modo el primercoeficiente diferencial de una potencia.

En primer lugar recuerda cul es el mtodo que debe utilizarse para hallardicho coeficiente diferencial en una funcin cualquiera.

354 M4 ANGELES VELAMAZAN Y ELENA AUSEJO LLULL 16

"Consiste en encontrar la relacin entre dos incrementos reales y efectivos dela funcin y de su variable; desechar luego todos los terminos que se opongan a laproporcionalidad de dichos incrementos, que sern todos los trminos en queentren por factor el incremento de la variable: de este modo, se habrn convertidolos incrementos reales en ideales, y la razn de estos dos incrementos ideales nosdar el primer coeficiente diferencial" [p. 29].

Despus toma la funcin y=x1n , a x le da el incremento h y designa por kel de la funcin:

y + k = (x+hrA continuacin desarrolla el segundo miembro por la frmula del

binomio:

y + k = x'n + mh 1 +m(171-1)h2xm-22divide el incremento de la funcin, y+k-xm por h:

mx'n- 1 + m(m-1) hxm -2 +2y pasando de los incrementos reales a los ideales, para lo cual desecha lostrminos del segundo miembro multiplicados por h, obtiene que:

_ mxm-1dx

Veamos a continuacin el clculo que Alejandro Beln realiza delcoeficiente diferencial de la funcin exponencial.

En la funcin ax le da el incremento h a la variable x y considera larelacin de incrementos de la funcin y de la variable:

Yax ax(ah-1) Yx h

Beln afirma que el segundo miembro de esta ecuacin no determinar elprimer coeficiente diferencial pedido mientras no sea independiente de h; luegoser constante el factor que multiplica a a x y Ilamndolo k, obtiene:


dav-c-rx = kal

A continuacin determina el valor de k:

k= ah-1h

de donde ah = 1 + kh, y escribiendol en vez de h obtiene:

ahlk = i + h

k-h log a = log (1 +h)

Despejando K, llega a que:

k log a log a - 1 --h log (1 +h) log 1+h

y teniendo presente que:

1417-h.1 +1 +1-+L+...=2718251...=e2 6ser

k - loka log e

Como se observa en los textos de Beln y De Toro el mtodo de losincrementos ideales no era ms que un feliz arufico de clculo6 que lespermita obtener la derivada de forma distinta a la del mtodo de los lmites.

., Analizados los procedimientos de clculo del coeficiente diferencial en losdiversos autores hasta aqu considerados se ve como los ingenieros militaresespaibles defendieron y cultivaron su propio mtodo particular. Sin embargo,conviene distinguir entre Garca San Pedro y sus sucesores. Garca San Pedroaparece como un matemtico profundo conocedor de los desarrollos delParadigma Lagrangiano7, sensible a la problemtica de la fundamentacin y elrigor del Clculo al que nicamente se le puede reprochar su inadvertencia de laimportancia de los trabajos de Cauchy como punto de partida del nuevo

356 Mir ANGELES VELAMAZAN Y ELENA AUSEJO LLULL 16

Paradigma Hilbertiano 8 en sus obras posteriores y, sobre todo, tras su visita a

Pars de 1838. Esta ignorancia de la nueva fundamentacin del Clculo en lossucesores de Garca San Pedro es, conforme avanza al siglo, cada vez menosdisculpable. En su descargo, y sobre todo en el de Garca San Pedro, cabeconsiderar las dificultades que la introduccin del moderno Anlisisinfinitesimal tiene en la misma Francia. As, Nicole y Jean Dhombresdestacan como, en parte por razones polticas, la gran novedad de los cursos deCauchy no tuvo un impacto inmediato en los manuales al uso en las aulas. Elxito de los mediocres Elments de calcul diffrential et intgral de Boucharlat,que suponan un retroceso incluso respecto del Trait lmentaire du calculdzffrentiel et du calcul intgral de Lacroix -a caballo entre Euler y la teora delmites-, o la competencia que el poco analtico libro de Bzout Cours demathmatiques l'usage des gardes du pouillon et de la marine [Pars, 1764-1769] hizo al propio Lacroix a lo largo de todo el siglo XIX son buena pruebade ello9.

En lo que respecta a los desarrollos tericos del Clculo diferencial,Alejandro Beln y Jos de Toro fueron los sucesores de Garca San Pedro. Agrandes rasgos el texto de Beln no presenta grandes diferencias respecto del deGarca San P,edro. En cambio, Jos de Toro s introdujo nuevas teoras: en laleccin V desarroll el tema, no presente en los autores anteriores, de losdeterminantes funcionales y las funciones de variable compleja o imaginaria;dentro de los determinantes funcionales estudia el jacobiano y hessiano de unsistema de funciones, el teorema de Bertrand, el jacobiano de un sistema defunciones de funciones y el jacobiano de las funciones inversas.

Tambin el texto de Garca San Pedro influy en el manual de ClculoIntegral redactado por Antonio Torner.

Ambos autores utilizaron la denominacin defunciones indefinidas parael generalmente llamado Clculo de variaciones.

Garca San Pedro presenta dicho clculo de la siguiente manera:

Si se supone que z vara por las variaciones de x en f(x,z) y que estindeterminada la relacin algebraica que existe entre estas dos variables, severificar que z ser de forma indefinida con respecto a x y que los incrementospositivos o negativos de x producirn otros positivos o negativos en z, quesern indeterminados hasta que no se haga desaparecer la indefinicin de lafuncin z fijando la relacin que exista entre ella y x.

Garca San Pedro denomina a esta clase de funciones, como la zanteriormente considerada, con el nombre defunciones indefinidas.

LLULL 16 DE L4GRANGE A CAUCHY 357

A continuacin concreta como pueden aplicarse las cuatro leyesestablecidas en el primer captulo a esta clase particular de cantidades,llamando ahora a los incrementos ideales incrementos ideales indefinidos obien dij'erenciales indefinidas.

Depus aade:

"Hasta ahora se conoce la teora que forma el asunto de este captulo, con elnombre impropio de clculo de las variaciones, y se han llamado variaciones a losincrementos ideales que yo acabo de nombrar indefinidos. Respeto, como he dado entender en otros parages (sic) de esta obra, los nombres que la ciencia tiene yaadmitidos, y que se hace un uso general, y soy de parecer, que sin una necesidad osin que resulte de ello conocidas ventajas, no deben alterarse; pero en el casopresente creo indispensable variar los ya referidos, porque su significaci n no esten mariera alguna en armona con las ideas que deben espresar (sic). De este modollamar en lo sucesivo la presente teora, teora diferencial de las funcionesindefinidas, segn indica el encabezamiento cle este captulo; y los incrementosideales que se refieran las funciones que ella abraza, los distinguir con el nombreque ya va espresado (sic)" [p. 207].

Y termina este captulo con el siguiente comentario:

'Todo lo que llevamos dicho en este captulo, prueba que la aplicacin de losprincipios y procederes del clculo diferencial a las funciones indefinidas, se hacedel mismo modo que si fuesen funciones cualesquiera de dos o ms variablesindependientes, y por los mismos medios ya establecidos para las funciones engeneral; teniendo siempre presente el concepto de indefinicin sobre que seprocede, por el cual las variables se miran como independientes, y las pocas ysencillas observaciones a que da lugar este concepto. Solo una confusin de ideasque no ha permitido ver claramente todo el campo hasta donde se estiende (sic) lateora que hemos establecido en el primer captulo, ha hecho que al mal llamadoclculo de las variaciones se considere en cierto modo como independiente delclculo diferencial, y se le haya querido dar una metafsica particular,constituyndole ms bien como un medio particular de resolver ciertos problemasde mximos y mnimos, que como la teora de una cierta especi de cantidades ofunciones. Nosotros tendremos lugar de observar en la mecnica, que esta teora delas funciones indefinidas, simple y fcil, por estar completamente ligada a la teoradiferencial de las funciones en general, puede aplicarse, no solo a la resoluci n decuestiones de mximos y mnimos, sino tambin a todas aquellas cuyo planto ysolucin algebraica pueda o deba depender de los principios generales del clculodiferencial, y que versen sobre funciones que tengan el carcter de indefinidas" [p.211].

Antonio Torner, en su captulo XX, tambin desarroll la Teora de lasfunciones indefinidas, y sobre esta denominacin dice:

358 M1ANGELES VELAMAZAN Y ELENA AUSEJO LLULL 16

"Esta teora de las funciones indefinidas es conocida generalmente con elnombre de Clculo de las variaciones, habiendo admitido nosotros la primeradenominacin que fue dada por el serior D. Femando Garca San Pedro, brigadier quefue del Cuerpo de Ingenieros, por ser ms propia, seg n manifiesta este autor en suTratado de Clculos Diferencial e Integral al ocuparse de este asunto" [p. 338].

Finalmente, el ltimo captulo del libro de Garca San Pedro est dedicadoa la Teora de lneas y superficies. Con este mismo ttulo Antonio Vidal yRa public en 1880 su libro sobre Aplicacin del Clculo Diferencial a laTeora de lneas y superficies. Dos aos ms tarde redact otxo tratado cuyottulo coincide con uno de los apartados que Garca San Pedro haba realizadoen dicho captulo, las Aplicaciones geomtricas del Clculo Integral a larectificacin de lneas, cuadratura de supeificies y cubatura de slidos. Comoya se ha indicado, Antonio Vidal bas sus aplicaciones geomtricas en lostextos de Clculo diferencial de Alejandro Beln y de Clculo integral deAntonio Tomer.

Vidal dividi el texto de las Aplicaciones del Clculo Diferencial a laTeora de lneas y superficies en dos partes, separando por completo el estudiode las lineas del de las superficies e incluyendo en la primera el de las lneas dedoble curvatura. Vidal observa que algunos autores exponen la teora de laslineas de doble curvatura despus de la de las superficies, basndose en que estateora est relacionada con el conocimiento de las superficies desarrollables yen el hecho de que una lnea en el espacio puede considerarse originada por lainterseccin de dos superficies, pero l piensa -siguiendo a Garca San Pedro-que las lneas de doble curvatura pueden mirarse como engendradas por elmovimiento de un punto en el espacio, de modo que sus coordenadasrectilneas satisfagan un sistema de dos ecuaciones con tres variables; adems,segn l, las nociones de teora de superficies necesarias para el estudio de laslineas de doble curvatura son tan elementales que no hay razn para alterar laexposicin de las ideas, sobre todo cuando el estudio de las superficies necesitaen alguna de sus partes del conocimiento de las lneas en el espacio.

A continuacin aade que en la Teora de lneas procura explicar elanlisis de una curva considerando su ordenada como una cantidad variable yaplicando las ideas generales del Clculo diferencial para llegar as msdirectamente al conocimiento de todas las circunstancias de la curva. As, porejemplo, la nocin de curvatura no resulta de la comparacin de la curva en11110 de sus puntos con otra curva ms sencilla (la circunferencia), sino que esuna cualidad inherente y caracterstica de la lnea en cada uno de sus puntos. Ladefinicin de curvatura de una curva del texto de Vidal muestra pues, de nuevo,la huella de Garca San Pedro.


Garca San pedro define la curvatura de una curva plana a travs de lacurvatura de.1 crculo osculador -crculo que en un punto de la curva forma conla recta tangente un ngulo igual al de la curva con la misma tangente-. Acontinuacin analiza algebraicamente esta situacin e indica que considerandoen una curva dos tangentes consecutivas correspondientes a dos puntos muyprximos el ngulo que formasen entre s estas dos tangentes podra medir lacurvatura de la curva en esa zona considerada; otro proceclimiento sera medir ladiferencia que hubiese entre el ngulo de la primera tangente con el eje X,

dzrepresentado por y el de la segunda tangente con el mismo eje. Estadiferencia de los dos ngulos, a su vez, podra considerarse como unincremento o decrecimiento del primero de ellos, al pasar del primer punto decontacto al segundo. Despus aade:

"Este paso, que no puede efectuarse real y verdaderamente, por ser imposiblemarcar y determinar la diferencia de las abscisas correspondientes a estos dospuntos inmediatamente prximos, puede verificarse idealmente, concibiendo un

d zincremento ideal del primer ngulo, representado por d dx correspondiente a unincremento tambin ideal dx de la abcisa x. La ecuacin que encerrar la relacin

dzentre estos dos incrementos ideales del rtgulo y de la abcisa, ser la d dx = Bdx; y

dzcomo en esta las dos cantidades d dx y dx son completamente indeterminadas, ypodemos atribuirles todos los valores que queramos, podemos tambin suponer quela primera de ellas sea la diferencia efectiva que haya entre el ngulo de la primeratangente con el eje (x) y el de la tangente consecutiva e inmediata con el mismo

d zeje; por consiguiente dicho incremento ideal d dx puede medir la curvatura de lacurva en el paraje que se considere" [p. 292-2931.

Para poder trabajar con esta medida, eludiendo el inconveniente delcarcter ideal o imaginario que posee, Garca San Pedro considera que uncrculo que pase por el punto de la curva en cuestin, que tenga all la mismatangente que la curva y para quien se verifique que la medida ideal de sucurvatura sea la misma hallada para la curva, tendr la misma curvatura questa; y como en el crculo la curvatura puede medirse por la longitud de suradio, la de la curva podr referirse a esta medida que ya no ser ideal oimaginaria. El crculo en quien todo esto se verifica es el osculador; de aquconcluye que el radio de este crculo puede ser, y es en efecto, la medida de lacurvatura de las lneas curvas [p. 2931.

360 1VP ANGELFS VELAMAZAN Y ELENA AUSEJO LLULL 16

dzEsta idea de Garca San Pedro de que el incremento ideal d mide ladxdisposicin a crecer o decrecer del ngulo formado por la tangente a la curvacon el eje X y que dicho incremento ideal puede medir la curvatura de la curvaes la que se encuentra en el texto de Vidal, que calcula su valor como cocientede incrementos ideales.

La definicin de curvatura en el texto de Vidal es la siguiente:

"Una cualidad muy esencial al estudio de las curvas es su curvatura. Esta lapodemos definir por la propensin variar de direccin que tiene la tangente lacurva, cuando se supone que su punto de tangencia v recorriendo sucesivamentelos diferentes puntos de dicha curva" [1880, p. 23].

El clculo de la curvatura lo realiza del siguiente modo:

Sea la curva AB (fig. 1) de la ecuacin y=f(x). Para hallar la curvatura enuno cualquiera de sus puntos M medir la variabilidad del ngulo e comparadacon la variabilidad arbitraria del punto M sobre la curva. Para esto da a laabcisa OP=x un incremento ideal dx, obteniendo el MM que adquiere la curva

dey que designa por ds; obteniendo tambin la expresin de la relacin dsmedir la curvatura en el punto M.

Para hallar ds, o sea la diferencial de un arco de curva plana, considera unacurva cualquiera AB (fig. 2) donde A es el punto de origen a partir del cualcuenta los arcos de dicha curva. Se trata de hallar la expresin del incrementoque toma el arco AM cuando la abscisa OP toma un incremento PP'=Ix.

LLULL 16


0 p p

Figura 2

Vidal comenta que este incremento PP siempre puede ser lo bastantepequeo para que el arco MM'=Is vuelva su concavielad hacia un mismo lado yno corte a la tangente MT. En este caso la longitud del arco MM' estarcomprendida entre la de la cuerda MM' y la de la lnea quebrada MTM' y asescribe:

> cuerda MM'(24) arc MM'

< MT + TM'

A continuacin determina las magnitudes MM', MT y TM'.

Para MM' tiene:

MM' = I x2 + Iy2

Para hallar MT observa que del tringulo MT7V obtiene que:

MT = MN2 + TN2

362 M4 ANGELFS VELAMAZAN Y ELENA AUSETO LLULL 16

Como MN es igual a Ix y

TN = MN tangTMN = lx c-11dx

se tiene:

MT ="\I Ix2 + (Ix dy. 2dx)Por ltimo, para TM'encuentra que:

TM' = TN - M'N = - 41 - Iydx

Sustituyendo estos valores en la expresin (24) obtiene que:

2 2> Ix + Iy

Is

< lx2 + (Ix dj)2 + lx41-lydxo equivalentemente:

>'\41 1 (Lylx)

LLULL 16 DE LAGRA1VGE A CAUCHY 363

(25) ds = +dx -\/ 1 + d-92 = +< dx2 + dy2dx Una vez finalizada la determinacin de ds, Vidal afirma que a esta

expresin tambin poda haber llegado fundndose en la consideracin de loslmites. Para ello, en la misma figura 2 antes propuesta, Vidal toma un puntoM prximo a M y escribe que:

cuerda MM' = +< MN2 + M'N2 = +< 1x2 + 1y2

A continuacin considera que M' se aproxima indefinidamente a M y laigualdad anterior se seguir verificando, pero en el lmite la cuerda MM' seconfundir con un elemento de la curva y su longitud ser igual a ds, y loscatetos MN y M'N sern respectivamente dx y dy, con lo que se Ilegar a lamisma frmula (25) antes enunciada.

Sobre este hecho Vidal realiza el siguiente comentario:

"Esta demostraci6n, aunque sencilla, no es en cambio tan rigorosa (sic) comola que hemos dado; sirt embargo, conviene conocerla causa de su grandsimasencillez, y ser de mucha aplicacin la f&mula ds = dx 2 + dy2

" [pp. 26-27].

0 sea, que una vez ms el mtodo de los lmites tena sus reservas y elriguroso era el de los incrementos ideales.

Finalmente Vidal concluye su anlisis de la curvatura de una curvacualquiera mediante la determinacin de la diferencial del ngulo de curvaturade.

Para ello parte de la expresin:

tang e =

que pone bajo la forma

e = arc (tang = /x)

Diferenciando

364 M4 ANGELES VELAMAZAN Y ELENA AUSEJO LLUI.L 16

(26) de = d arc ( tang =) dx .1

d21 dxd dx dx2+ (41)2

Dividiendo la expresin (26) por la (25) obtiene:

(Py de dx2 Curvatura en el punto M - (i + (db2)3/2

dsEl doble signo del valor de la curvatura proviene del de y ste de quedxel arco s crezca o de,crezca para el valor positivo dx.

As, pues, como afirmaba Vidal, la curvatura as definida era una cualidadinherente y caracterstica de la curva en cada uno de sus puntos.

Hasta aqu la exposicin de la produccin de los ingenieros militaresespaoles en el terreno del Clculo diferencial e integral, en la que cabedestacar significativamente la importancia cualitativa y cuantitativa de la obrade Garca San Pedro como autor bien documentado que incluso se adentra en elterreno de la investigacin, fundamentalmente por la va de los fundamentos.Que sentara ctedra y creara escuela de la manera en que lo hizo no puede sernicamente achacado al corporativismo, y cabe pensar en la altura de sumagisterio para explicar la longevidad de una obra en la que precisamente nodestacan las virtudes pedaggicas. En efecto, la obra de Garca San Pedro es deuna dureza expositiva ms que notable, y quizs este hecho est en el origentanto de la confusin conceptual que se aprecia en algn sucesor como delinjusto rechazo que ha provocado en alg n historiador.

En un marco ms amplio de estudio de la matemtica espaola del sigloXIX, tambin el texto de Fernando Garca San Pedro fue el elegido porSantiago Garma l para realizar un anlisis de la calidad cientfica de las obrasescritas por matemticos espaoles para la enseanza superior. En este casolos textos a comparar eran el de Garca San Pedro y el de Boucharlat, traducidopor Gernimo del Campo. En esta superficial comparacin, poco conocedoradel trabajo de Garca San Pedro, el que sale perdiendo es el militar espaol.

Empieza Garma su estudio de la siguiente forma:

LLULL 16


"El primero de ellos, del teniente de ingenieros Garca San Pedro, se edita enMadrid en 1828 con el largo ttulo siguiente: Teora algebraica elemental de lascantidades que varan por incrementos positivos o negativos de sus variablescomponentes, o sea Clculo diferencial e integral. El libro de Boucharlatconsultado, Elementos de Clculo diferencial e integral es la traduccin, como yase ha dicho, del ingeniero de caminos, G. del Campo de la cuarta edicin franc,esa,publicado en Madrid en 1830. La primera edicin de este libro es de 1810, lo quesigrfica que nos encontramos con dos obras, de las que la francesa es anterior a laespaola y adems ms moderna. Veremos que, a pesar de la posterior edicin deltexto espaol, su contenido es ms anticuado que el francs. La responsabilidad deesta seleccin poco adecuada de las obras recae sobre los que juzgaron y sobrequienes eligieron el tribunal que seleccion los libros y ambos criterios, los deltribunal y los del Ministerio, fueron los fracasados principalmente" [p. 57].

Para empezar, la traduccin de Gernimo del Campo es del ao 1834, y lacuarta edicin francesa es de 1830, en la que Boucharlat, como l mismoafirma, completa y aade nuevos temas a sus ediciones anteriores, luego nonos encontramos con dos obras, de las que la francesa es anterior a la espaola,sino al revs.

Ms adelante Ganna contina:

"Es decir, que aun siendo obras prcticamente contemporneas, la espaolaevidencia un contenido anticuado, no slo con respecto al libro francs, sino conrespecto a la matemtica que se hace en ese momento" [p. 58].

" Desde luego Garma no se ha ledo pausadamente el libro de Garca SanPedro, de lo contrario no se puede entender este dictamen. Si se tiene en cuentael concepto de banda de modernidad definido por Hormign il como un ciertoentorno en el que se instalan las comunidades matemticas y en el que puedenintercambiar posiciones sin salirse de l, el texto de Garca San Pedro no es enabsoluto anticuado. Como se observa por su libro, Garca San Pedro conocelos trabajos de Leibniz, Newton y Lagrange, como ocurre con Boucharlat-quien en el pn5logo de su obra termina su relacin de matemticos igualmentecon Lagrange-, pero adems Garca San Pedro reflexion y discurri sobre lafundamentacin del anlisis -tema clave en esos momentos- y cre un mtodoque, aunque imperfecto -como ocurra con todos los mtodos de esa mismapoca, incluido el de Boucharlat- funcionaba -como todos, para funcionesdesarrollables en serie de Taylor-. Indudablemente Garca San Pedro no eraCauchy, pero la publicacin de su obra coincidi prcticamente con lostrabajos en los que Cauchy fijaba definitivamente las bases del nuevo anlisis.Por lo tanto, en el sentido de reflexionar sobre la fundamentacin del anlisis,el texto de Garca San Pedro fue modemo.

366 1VP ANGELES VELAMAZAN Y ELENA AUSEJO LLULL 16

Finalmente Ganna, tras analizar nicamente la definicin de derivada enambos autores, termina con un juicio absolutamente severo ydesproporcionado del autor espaol:

"Despus de leer los dos textos, sacamos como conclusiones claras que: 1) eltexto de San Pedro es rebuscado, especulador, intil hasta el punto de que se puedeconsiderar difcil sacar una idea clara de qu es la derivada de una funcin de unavariable real, y 2) el texto del francs e,s didctico y breve, pues aun cuando todavanos

se tena muy clara la forma de la definicin de la derivada, sta saban exponerlabien. El contenido matemtico de los textos es el mismo hasta la ltima pgina,por lo que las observaciones son vlidas no slo en la parte confrontada, sino paratoda la obra. Una de las cosas que hace ms ineficaz el texto espaol es que separalas frmulas y las ecuaciones del texto general, colocndolas al fin de cadacapt-ulo, con lo que se hace dos veces ms difcil seguir las explicaciones" [p. 61].

No es de gran rigor la generosa extensin que Garma aplica a todo eltexto de Garca San Pedro tras el estudio de una definicin, ni tampoco lacontradiccin comparativa segn la cual el contenido del texto de Garca SanPedro es a la vez anticuado e idntico respecto del de Boucharlat. Por otro lado,la separacin de las ecuaciones y frmulas del texto vuelve a incidir en el temade la modernidad. El mtodo de pizarras era una influencia de la EscuelaPolitcnica francesa: hablar en este primer tercio del siglo XIX en Espaa delconocimiento y puesta en prctica de un mtodo de enseanza de lospolitcnicos no parece nada despreciable.

Con la inclusin de este estudio comparativo realizado por Garmaterminan en este trabajo las referencias al texto de Garca San Pedro, ya que elbreve anlisis que a continuacin se realiza sobre el C.lculo en la Academia deArtillera va a tener sus propios redactores de manuales para la enseanza, yartilleros e ingenieros no parecen mantener ning n tipo de contacto sobre estehecho.

Los artilleros, a principios del siglo XIX, utilizaban en su enseanza eltexto de Clculo diferencial e integral de Pedro Giannini, cuya primera edicincorresponde al ao 1795. Posteriormente, en el Plan de estudios del ao 1819,los textos aconsejados para la enseanza de las distintas disciplinasmatemticas fueron los de Lacroix. Como el texto de Clculo diferencial eintegral de Lacroix estaba sin traducir utilizaban I2 el de Mariano Vallejo, hastaque en el ao 1829 se edit el clculo de Jos de Odriozola.

El Clculo diferencial e integral formaba parte de una obra matemticams amplia, siendo concretamente el tomo IV del Curso completo deMatemticas Puras escrito por Odriozola, cuyos tres primeros tomos -quecontenan el primero la aritmtica y el lgebra elemental, el segundo la


geometra eleme ntal y la trigonometra y el tercero el lgebra sublime y lageometra analtica- haban empezado a publicarse en 1827.

En el Clculo diferencial e integral de Odriozola, basadofundamentalmente en Lagrange, se pueden distinguir cuatro apartados: elclculo diferencial, las aplicaciones geomtricas y analticas del clculodiferencial, el clculo integral y el clculo de variaciones.

Mayor cambio representa, con relacin a los autores hasta aquconsiderados de Clculo diferencial, el siguiente artillero que escribi6 un librosobre esta disciplina en el ao 1851: Francisco Sanchiz y Castillo. Sanchiz yCastillo, en su definicin de derivada, ya ha asimilado el trabajo de Cauchy.

El cambio que supone Cauchy en el Clculo lo expresa Belhoste"claramente en el libro que realiza sobre este matemtico:

"Le Rsum des lecons donnes l'Ecole Roy. ale Polytechnique sur le calculinfinitsimal de 1823 appliquait les concepts fondamentaux de limite, d'infinimentpetit et de continuit au calcul diffrentiel et intgral. Le concept-cl tait celui dedrive d'une fonction continue d'une variable relle f(x), c'est- -dire la limite durapport aux diffrences [f(x+h)-f(x)1/h quand h tend vers 0, note f(x) d'aprsLagrange. Cauchy ne mettait pas en doute que cette limite existe quand f estcontinue; en d'autres termes que toute fonction contirtue est drivable. La dfinitinde la drive par Cauchy est identique celle du coefficient diffrentiel donne parLacroix mais le contexte est tout diffrent. Pour Lacroix, toute fonction estdveloppable en srie entire et c'est ce dveloppement qui permet de calculereffectivement le coefficient diffrentiel, c'est- -dire le coefficient du second termede la srie. Dans le Calcul infinitsimal de 1823, le mthode des limites permettaitnon seulement de dfinir mais aussi de calculer la drive. Cauchy donnait desrgles de calcul, par exemple pour le calcul de la drive d'une fonction compose.De la notion de drive, il dduisait ensuite celle de diffrentielle df(x) d'unefonction d'une seule variable f(x), gale f(x)dx o la diffrentielle dx est uneconstante quelconque.

En introduisant le calcul diffrentiel par la mthode des limites, Cauchyn'avait pas supposer une fonction continue toujours dveloppable en srieentire, comme l'avaient fait ses prdcesseurs. C'tait l , en vrit, la raisonprofonde du choix de cette mthode" [pp. 108-109].

Unos aflos ms tarde, en 1863, Sanchiz y Castillo tambin public6 unlibro de Clculo integral, pero dos despus, en 1865, se determin6 seguir parala ensefianza del Clculo en la Academia de Artillera el texto de Navier. TantoNavier como Cauchy haban sido profesores de la Escuela Politcnica,concretamente Cauchy desde 1815 a 1829 de las clases de anlisis y Navier de

368 MI ANGELES VELAMAZAN Y ELENA AUSFJO LLULL 16

estas mismas clases de 1,831 a 1832, y de las clases de mcanica desde 1833 a1836.

Sobre las lecciones de anlisis dadas por Navier en la Escuela Politcnica,completadas con notas de Liouville -quien tambin haba sido profesor deanlisis en dicho centro desde 1839 a 1850- se haba realizado en el ao 1851una traduccin al castellano por el arquitecto Eugenio de La Cmara.

Ms tarde fue de nuevo el trabajo de un artillero el seleccionado comolibro de texto de esta asignatura. As, en el ao 1876 el profesor DmasoBueno public su Anlisis transcendente para la enseanza en la Academia.Uno de los matemticos citados en esta obra es Duhamel, igualmente profesorde anlisis de la Escuela Politcnica desde 1851 a 1868.

Finalmente otros dos profesores de la Academia de Artillera, Diego011ero y Toms Prez Grin redactaron otro manual de C.lculo infinitesimalen 1889. Como ellos mismos afirman, para realizar su libro habanconsultado fundamentalmente las obras de Ho el, Bertrand, Serret, Rubini,Sturm y Duhamel. De nevo los politcnicos estn presentes en la redaccinde este texto; de los autores citados tres fueron profesores de anlisis en laEscuela Politcnica; el ya nombrado Duhamel, Sturm -profesor de estaasignatura desde 1851 a 1855- y Bertiand -responsable de ella desde 1856 hasta1894-.

Con este ltimo texto culmina el estudio del Clculo diferencial eintegral en las academias militares espaolas. En ellas, junto a laomnipresencia francesa, cabe destacar el relevo que los artilleros toman de losingenieros en la segunda mitad del siglo con la introduccin de la obra deCauchy como paliativo de la va muerta en la que se empantanaron lossucesores de Garca San Pedro.

NOTAS

1 Sbbre la importancia de Garca San Pedro en la enseanza de lasmatemticas entre los ingenieros militares espaoles vase:

VELAMAZAN, M a A. & AUSEJO, E. (1989) "Los planes de estudio en laAcademia de Ingenieros del Ejrcito de Espaa en el siglo XIX". Llull, 12(23), 415-453.

VELAMAZAN, M a A. & AUSEJO, E. (1991) "La enseanza de las

Matemticas en la Academia de Ingenieros en Espaa en el siglo XIX". In: ManuelValera & Carlos Lpez Fernndez (eds.), Actas del V Congreso de la SociedadEspaola de Historia de las Ciencias y de las Tcnicas. Murcia, Promociones yPublicaciones Universitarias, S.A., vol. 2, pp. 1307-1317.


2 BOYER, C.B. (1986) Historia de la Materntica. Madrid, AlianzaEditorial, p. 647.

3 DUGAC, P. (1982) Sur les fondements de l'analyse a la fin du XVIllemesicle d'aprs le trait de S.F. Lacroix. Option d'Histoire des Sciences exactes,Histoire des Mathmatiques. Universit Pierre et Marie Curie (Paris VI), p. 14.

4 Por ejemplo, dada la funcin x2 el procedimiento consistir en hacer4if(x) (x+h)2 - x2 x2 .+ 2xh + h2 - x2 2xh di(x) h

+ h2 = 2x + h y tomar dx =

dxA = 2x.

5 Estudio Histrico del Cuerpo de Ingenieros del Ejrcito (1911). Madrid,Establecimiento Tipogrfico Sucesores de Rivadeneyra (reedicin de 1987), tomoI, p. 428.

6 Esta expresin la utiliza Jos de Toro y Snchez en el prlogo de su libroLecciones de Clctdo diferencial y de sus aplicaciones analticas [1894, p. 6].

7 HORMIGON, M. (1980) "Paradigmas y Matemticas". Publicaciones de laSecci de Matemtiques de la Universitat Autnotna de Barcelona, 20, 51-54.

8 HORMIGON, M. (1984) "El Paradigma Hilbertiano en Espaa". In:Mariano Hormign (ed.), Actas del 11 Congreso de la Sociedad Espaola de Historiade las Ciencias (Jaca, 27 de septiembre - I de octubre 1982). Zaragoza, SociedadEspaola de Historia de las Ciencias, vol. 2,_pp. 193-212.

9 DHOMBRES, N. & DHOMBRES, J. (1989) Naissance d'un pouvoir:Sciences et savants en France (1793-1824). Pars, Payot, pp. 626-629.

10 PESET, J. L.; GARMA, S.; PEREZ GARZON, J. S. (1978) Ciencias yensetianza en la revolucin burguesa. Macirid, Editorial Siglo XXI.

11 HORMIGON, M. (1981) "Un modelo te6rico para la investigacin de laModemidad en Historia de las Matemticas". In: Actas del I Simposio sobreMetodologa de la Historia de las Ciencias. Madrid, Universidad Complutense deMadrid (Facultad de Ciencias Biolgicas), pp. 19-27.

12 Esta informacin se encuentra en la documentacin correspondiente aJos de Odriozola. Archivo General Militar de Segovia (Secci6n 1 1, Legajo 0-106).

13 BELHOSTE, B. (1985) Cauchy, un mathmaticien lgitimiste au X1Xesicle. "Un savant, une poque". Paris, Belin.

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De Lagrange a Cauchy-Calculo Diferencial

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