1

OPERACIONES AVANZADAS

DE MEVyT VIRTUAL

EJE DE MATEMÁTICAS

GUÍA

MODELO DE EDUCACIÓN PARA LA VIDA Y EL TRABAJO

(MEVyT)

DEPARTAMENTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS

OFICINA DE METODOS, CONTENIDOS Y MATERIALES

RECOPILACIÓN:

PROF. GONZALO RODRÍGUEZ HUERTA

FUENTES:

OPERACIONES AVANZADAS

3RA. EDICIÓN 2006

- LIBRO DEL ADULTO

- GUÍA DEL ASESOR

- REVISTA

- FOLLETO DE JUEGOS

MEVyT VIRTUAL Ver. 2.0

- OPERACIONES AVANZADAS v 1.0

- MATEMÁTICAS PROPEDÉUTICO PARA EL

BACHILLERATO v 1.0

ENCARTA VIRTUAL 2010

- Aritmética - Geometría

- Álgebra - Probabilidad y Estadística

MATEMÁTICAS TERCER GRADO

CUADERNO DE TRABAJO

Raúl Alberto Scherzer Garza

Ediciones Euterpe

Ediciones Lazzaro

2

ESTIMADO EDUCANDO:

Bienvenido al ITEA Instituto Tlaxcalteca para la Educación de

los Adultos, institución pública al servicio de la Educación que

reconoce tu esfuerzo y dedicación por crecer y prepararte para

los retos de la vida.

Esta guía es para apoyarte en el estudio de los temas de los

módulos del MEVyT Modelo Para la Educación de la Vida y el

Trabajo, es un resumen con el propósito de facilitar la

comprensión de los temas a tratar en una expresión sencilla.

Cabe aclarar que esta guía no sustituye al estudio del módulo

correspondiente, por lo que te recomendamos estudiar y

realizar las prácticas que se indican en el libro y cuaderno del

adulto que recibas para tu formación.

En ITEA tenemos plena confianza de que harás uso adecuado

de este material para el logro de tu certificación y que llevarás a

la práctica los conocimientos adquiridos para resolver retos y

mejorar en la vida personal, en la familia y en la sociedad.

UNIDAD 1: NÚMEROS CON SIGNO

PROPÓSITO 1

Leerá, comparará y escribirá números con signo.

Aprender cuales son los números positivos y cuales

los números negativos.

Para ello debes conocer los siguientes conceptos:

Los Dígitos son: 0,1, 2, 3, 4, 5 ,6 ,7 ,8 y 9.

LOS NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS O NATURALES

Son los números de 1 o más dígitos positivos (+):

+1, +2, +3, +4, +5, 11, 122, 1540, y así sucesivamente

Pueden indicar ganancia, aumento, u otro concepto similar:

$ 70, 24 °C, 45 °F, + 2200 m sobre el nivel del mar

EL CERO: El 0, no es positivo ni negativo.

LOS NÚMEROS NEGATIVOS

Van indicados con el signo – (menos):

-1, -2, -3, -4, -5,-15, -235, -1540 y así sucesivamente

Indican deuda, pérdida, disminución, baja, u otro concepto

similar:

-10 °C, -37°F, -$40, -30 m (bajo) el nivel del mar, - 80 m de

profundidad.

3

Los números enteros se pueden representar en una línea

llamada recta numérica, así:

Con los números y los signos + ó –, podemos expresar todo

cuanto nos rodea, como se muestra en los ejemplos:

Tlaxcala esta a 5 °C bajo cero → -5 °C

Chicago esta a 40 °F arriba de cero→ +40 °F

La mina esta 70 m de profundidad→ -70 m

El negocio tuvo pérdida de $ 7500→ -$7500

El barril de petróleo subio $10→ + $10

COMPARANDO NÚMEROS ENTEROS :

El símbolo “=“ se lee “igual a “ o “igual que”. Ejemplos:

A=A, 3 = 4 - 1, 7= 4 + 3 , 4 - 8 = - 4, - 15 + 4 = - 11

El símbolo “>” se lee “mayor que”. Ejemplos:

A>b, 5>3, 12>7, 15>11, 0 > -1, - 1> -3

Estas son comparaciones situadas en la recta númerica:

El símbolo “<” se lee “menor que”. Ejemplos:

a<B, 3<5, 7<12, 11<15, -1 <0, -3 < -1

Estas comparaciones situadas en la recta númerica:

POSITIVOS 60

NEGATIVOS

Altitud: 8 848 m sobre el nivel del mar (+ 8 848 m)

Profundidad: 11 000 m bajo el nivel del mar ( - 11 000 m)

< < < < 27

4

Escribir, leer y comparar números decimales,

fraccionarios, positivos y negativos.

NUMEROS FRACCIONARIOS.

Son expresiones que indican la división de dos números enteros.

Y representan la parte proporcional, igual o equivalente de algo (el

todo) que ha sido divido en partes iguales.

El deposito contiene 2/3 de gasolina, el todo es el deposito y

equivale a 3/3.

Ejemplos de lectura de fracciones:

FRACCIÓN SE LEE:

Un noveno

Cuatro séptimos

Doce dieciseisavos

Once veinteavos

Tres décimos

Veinticinco cuarenta y sieteavos

COMPARANDO NÚMEROS FRACCIONARIOS

NUMEROS DECIMALES

Un número decimal tiene dos partes:

La parte entera, son los números a la izquierda del punto decimal.

La parte decimal, son los números a la derecha del punto decimal.

Unidades enteras Unidades Decimales

decenas unidades décimas centésimas Milésimas

... 7 3 7 4 5

Algunos ejemplos de cómo se leen los números decimales:

2.5 “Dos con cinco décimas” (dos enteros, cinco décimas)

1.52 “uno con cincuenta y dos centésimas” (un entero, cincuenta y dos centésimas)

18.3 “dieciocho con tres décimas” (dieciocho, 3 décimas)

0.678 “seiscientos setenta y ocho milésimas”

5

PROPÓSITO 2

Sumará y restará números con signo. Conozca los siguientes conceptos:

En Aritmética el valor absoluto:

Es la distancia de dicho número al origen (al cero):

El valor absoluto de +6 y - 6 es 6 y se indica así: │6│

Suma de números con signo. Al sumar dos números con el mismo signo:

Se suman los números, y el resultado sigue con el mismo signo

(+4) + (+6) = +10 (– 8) + (– 1)= – 9

–1 –3 = – 4 +5 +2 = +7

Al sumar dos números con signo diferente: Al número mayor se le resta el número menor, y el resultado es

con el signo del número mayor

(+3) + (– 8) = – 3 (– 7) + (+9) = 2

– 4 + 2 = – 2 + 5 – 2 = +3

Resta de números con signo. Para restar números con signo, se cambia el signo del sustraendo, y se procede como en la suma de números con signo.

(+8) – (+ 7) = 1, es igual que: (+ 8) + (– 7) = 1

(– 9) – (– 4) = – 5, es igual que: (– 9) + (+ 4) = – 5

SUMA DE NÚMEROS EN LA RECTA

(– 5) + (+3) =– 5 + 3 = – 2

(–2) + (+6) = – 2 + 6 = 4

RESTA DE NÚMEROS EN LA RECTA

5 – 6 = – 1

6 – 8 = – 2

6

PROPÓSITO 3

Multiplicar y dividir números con signo. Ley de los signos

Al multiplicar Al dividir Al multiplicar o dividir con:

(+) (+) = +

(–) (–) = +

(+) ÷ (+) = +

(–) ÷ (–) = + Signos iguales da +

(–) (+) = –

(+) (–) = –

(+) ÷ (–) = –

(–) ÷ (+) = – Signos diferentes da –

Entonces:

Multiplicación (también conocida como producto):

Al multiplicar dos números con el mismo signo, el resultado es con

signo positivo (+).

Nota: Se puede omitir el signo “+” en el resultado (y se sobreentiende que el resultado es de signo “+”).

(+6) x (+8) = + 48 = 48

(–9) x (–7) = + 63 = 63

Al multiplicar dos números con signo diferente, el resultado es con

signo negativo (–)

(–5) (+3) = – 15

(+9) (–6) = – 42

Se puede omitir los simbolos “x” o “·” que indican multiplicación,

pues la presencia de paréntesis indica multiplicación:

(-7)(+3) = – 21

(+7)(+2) = 18

División (también conocida como cociente):

La división consiste en repartir en partes iguales un todo.

En la división de dos números con el mismo signo, el resultado es

con signo positivo (+).

Nota: Se puede omitir el signo “+” en el resultado

(y se sobreentiende que el resultado es de signo “+”).

(+8) ÷ (+4) = + 2 , = 4

En la división de dos números con diferente signo, el resultado es

con signo negativo (-)

(+20) ÷ (– 4) = – 5, = – 4

7

UNIDAD 2:

APLICACIONES DE LOS NÚMEROS CON SIGNO

PROPÓSITO 4

Ubicar puntos en el plano cartesiano a partir de sus

coordenadas (x, y) y viceversa.

Obtener las coordenadas a partir de la posición de un

punto en el plano.

En la figura se observa un plano cartesiano, tiene:

►El eje horizontal que se llama eje de abcisas ó eje X

►El eje vertical que se llama eje de ordenadas ó eje Y

►Punto y su coordenada: A (x, y)

►Y esta dividido en 4 cuadrantes: I, II, III, y IV.

Ubicar y reconocer los siguientes puntos y sus coordenadas en el

plano cartesiano:

PUNTOS COORDENADAS

(X, Y)

A (0, 9)

B (5, 2)

C (0, 2)

D (-8, 2)

E (0, 8)

F (0, 0)

G (8, 0)

H (6, -3)

I (-6, -3)

J (-8, 0)

K (0, 0)

E

j

e

V

e

r

t

i

c

a

l

(X, Y)

Verti

cal

8

Ahora localizando puntos y coordenadas en mapa del mundo, esto

nos sirve para facilitar la localización exacta de cualquier punto

sobre la superficie terrestre.

Las líneas que van del polo norte al polo sur se denominan

meridianos (o longitudes)

El meridiano de Grenwicch marca la longitud 0°

Las longitudes al este de la longitud 0° se indican con signo “+”

Las longitudes al oeste de la longitud 0° se indican con signo “–”

Las líneas que cortan transversalmente al globo de la tierra se

llaman latitudes (o paralelos)

El paralelo ubicado sobre el Ecuador, marca la latitud 0°

Las latitudes al Norte del paralelo 0° se indican con signo “+”

Las latitudes al Sur del paralelo 0° se indican con signo “–”

Entonces, localizando ciudades en el mapa con sus respectivas

coordenadas de los siguientes puntos:

PUNTO:CIUDAD COORDENADA LONGITUD LATITUD

Nueva York, U.S.A. (-74°, 40°) 74° O 40° N

Tokio, Japón (139°, 35°) 139° E 35° N

México, Mx. (-99°, 19°) 99° O 10° N

Lima, Perú (-77°, -12°) 77° O 12 S

La ubicación geografica es:

9

PROPÓSITO 5

Resolver problemas que involucran potencias.

Pontencia es la manera abreviada de escribir una multiplicación,

en donde el número llamado base se multiplica por sí mismo

tantas veces se indique en el exponente.

Y Se lee (en forma similar para otros): “5 elevado al cuadrado”

“5 elevado al exponente 2”

Así: 25 =2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

4 x 2

8 x 2

16 x 2 = 32

Resolviendo otras potencias, aplicando bien ley de los signos:

(-2)2 = (-2) x (- 2) = 4 22 = 2 x 2 = 4

(-2)3 = (-2) x (- 2) x (-2) = -8 23 = 2 x 2 x 2 =8

(-2)4 = (-2) x (- 2) x (-2) x (-2) = 16 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

(-2)5 = (-2) x (- 2) x (-2) x (-2) x (-2)= -32 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2=32

Del anterior ejemplo, se concluye que:

En un número de signo positivo elevado a cualquier

exponente, el resultado es “” (positivo).

En un número de signo negativo elevada a un exponente

par, el resultado es “” (positivo).

En un número de signo negativo elevado a un exponente

impar, el resultado es “–” (negativo).

PROPÓSITO 6

Utilizar la jerarquía de operaciones (incluyendo

potencias).

Al resolver una expresión aritmética con varias operaciones, es

adevuado seguir el siguiente orden:

Ejecutar las operaciones que esten dentro de paréntesis,

enseguida dentro corchetes y al final dentro de llaves.

Resolver las potencias o raíces

Solucionar las multiplicaciones y divisiones, y

Realizar las sumas y restas

Potenciate 12° S, 77° O

{3[(72+8)-(24-12)]+1}+125 = 5

{3[(49+8)-(16-12)]+1}+125 = 5

{3[(57)-(4)]+1}+125 = 5

{3[53]+1}+125 = 5

{159+1}+125 = 5

160+125 = 5 160+25 =185

10

PROPÓSITO 7

Utilizar la notación científica con exponentes enteros

positivos y negativos.

POTENCIAS DE BASE 10

Para escribir grandes números en forma abreviada se puede

utilizar las potencias de base 10, será el número con tantos ceros

tenga que se indicarán en el exponente con la base 10. Así:

Sí 100 tiene 2 ceros, será 10 elevado al exponente 2

y así sucesivamente

100 = 102 = 10 x 10

1000 = 103 = 10 x 10 x 10

10, 000 = 104 = 10 x 10 x 10 x 10

Si la distancia de la Tierra al Sol es de 150, 000, 000 km; en

notación científica se escribirá de la forma

150, 000, 000 km =1.5 x 108, de acuerdo a:

●Se escribe el 1er dígito de la izquierda del número.…...… 1

●Se escribe el punto…………………….……………………………...… 1.

●Después las cifras significativas (diferentes de cero)….... 1.5

●Se indica la multiplicación por 10….……………………………... 1.5 x 10

●escribe el exponente que indica el no. de posiciones que

hay desde el 2do. dígito hasta el último de la derecha:.…1.5 x 108

150, 000, 000 km = 1.5 x 108

7, 860, 000 = 7.86 x 106

990, 000, 000 = 9.9 x 108

El peso de la tierra es 6, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 kg

En notación científica: 6 x1024 kg

Al escribir un número pequeño (0.000045) en notación científica:

Se escribe el 1er. dígito significativo diferente de cero... 4

Se escribe el punto…………………………………………….……….. 4.

Después las cifras significativas (diferentes de cero)..... 4.5

Se indica la multiplicación por 10………………………….….... 4.5 x 10

Se escribe el exponente con signo (–) que indica el no.

de posiciones que hay después del punto decimal y

hasta el 1er. dígito significativo del número………………..4.5 x 10-5

Entonces: 0.000045 = 4.5 x 10-5

0.009412 = 9.412 x 10-3

0.00000059 = 5.9 x 10-7

0.000089 = 8.9 x 10-5

Al escribir una notación científica con exponente negativo a forma

decimal (5.8 x 10-6): ●Se escribe el cero y el punto……………………………….….... 0. ●Se escribe tantos ceros a la derecha como indique el

exponente (absoluto) menos 1, ejemplo: 6-1 = 5..…....0.000000 ●Después los dígitos significativos (diferentes de cero)

para el ejemplo son 5 y 8…………………………………………..0.0000058

Entonces: 5.8 x 10-6 = 0.0000058

El peso de un electrón es 9 x 10-28 g, en forma decimal es:

9 x 10-28 g = 0.0000000000000000000000000009 g

El coeficiente de expansión del mercurio es 1.81 x 10-4 g,

En forma decimal es:

1.81x 10-4 g = 0.000181 g

11

UNIDAD 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PROPÓSITO 8

Conocer y utilizar reglas de escritura algebraica.

La escritura algebraica sirve para expresar relaciones de una

determinada situación.

SIMBOLOS SIGNIFICADO EXPRESION

ALGEBRAICA SIGNIFICADO VERBAL a, b, n son números

=

“Es igual”, “es igual

a”

2a, 2(a) “el doble de un número”

x, ∙, ( ) ( )

“por”, “multiplica

a”

, “la mitad de un número”

/, ÷, – “entre” a + b “la suma de dos números”

“más” a – b “la resta de dos números”

– “menos”

(a)(b), ab “multiplicación de 2 números

∙∙∙ “y así

sucesivamente”

an

“un número elevado al exponente n”

Como se observa en la tabla, una expresión algebraica está

compuesta de símbolos, números y letras que tienen un significado

Literal

Una literal puede representar una incógnita, o valor

desconocido de una función.

A, B, C, x, y, z, a, b, c,…

Coeficiente

Es el número que multiplica a una literal:

5a 5 es el coeficiente

8b, 3c, 5x, 9y, etc.

Términos semejantes

Son expresiones algebraicas que tienen la misma literal,

o la misma literal elevada al mismo exponente.

5m +3m m es el término semejante

a2+3a2 a2 es el término semejante

Dos o más términos semejantes se pueden simplificar:

5m +3m = 8m

a2+3a2 = 4a2

-9b + 7b = -2b

m +m + 6m +2b + b = 8m + 3b

2u - 5v - 4u – 6v = 2u – 4u – 5v – 6v = -2u – 11v La multiplicación de dos o más literales puede representarse así:

(X)(Y) X ∙ Y XY

La división de una incógnita entre un número se puede

representar así:

X÷2 X/2 X

En general la división de una incógnita o valor desconocido entre otra incógnita o valor desconocido sería:

X÷Y X/Y

Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica, se dan valores específicos a las literales y se lleva a cabo la solución: Si m=2, b=4; entonces: 8m + 3b = 8(2) + 3(4) = 16 + 12 = 28 Si x=2, y=6; entonces: 6x - 2y = 6(2) – 2(6) = 12 – 12 = 0 Si u= 2, v=3; entonces: 4u2+5v = 4(2)2+5(3) =4(4)+5(3) =16 + 15 = 31

12

PROPÓSITO 9

Encontrar la regularidad que relaciona una lista de

cantidades.

La regularidad ocurre en una sucesión, cuando en un conjunto de

números, un número es indicado como el primero, otro como el

segundo y así sucesivamente.

La sucesión de números es creciente cuando va en aumento:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…

La sucesión de números es decreciente va disminuyendo:

100, 90, 80, 70, 60,…

Analice la siguiente sucesión y determine una expresión

algebraica:

Posición: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, 60,…

Sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,…, 120,…

2 2 2 2 2 2 2 2

Se determina que es la posición del número multiplicado por 2,

entonces:

2(1)=2, 2(2)=4, 2(3)=6, 2(4)= 8, 2(5) =10, 2(6)=12,…, 2n

Cuando se conoce la expresión algebraica de la sucesión:

2n – 1, se sustituye en la incógnita la posición del valor esperado

2(1)-1=1, 2(2)-1=3, 2(3)-1=5, 2(4)-1=7, 2(5)-1=9,…

Y la sucesión numérica es: 1, 3, 5, 7, 9,…

Determinar la expresión algébrica de las siguientes sucesiones:

6, 11, 16, 21, 26, 31,…; seria: 5(1)+1=6, 5(2)+1=11,…, 5n+1

5 5 5 5 5

1, 4, 9, 16, 25,…; seria: (1)(1)=16, (2)(2)=4, (3)(3)=9,…, (n)(n)=n2

Una función es una ecuación en donde el resultado de una variable

(dependiente) depende de otra variable (independiente) a la que

se le asigna valores, se conoce como función algebraica:

Resolviendo la función algebraica:

Valor de X Y = 2x + 3

0 Y =2(0) + 3 = 3

1 Y =2(1) + 3 = 5

2 Y =2(2) + 3 = 7

3 Y =2(3) + 3 = 9

∙∙∙

Otra función algebraica para resolver:

Valor de X Y = 2X2 + 4

1 Y = 2(1)2 + 4 = 6

2 Y = 2(2)2 + 4 = 12

3 Y = 2(3)2 + 4 = 22

4 Y = 2(4)2 + 4 = 36

5 Y = 2(5)2 + 4 = 54

6 Y = 2(6)2 + 4 = 76

7 Y = 2(7)2 + 4 = 102

8 Y = 2(8)2 + 4 = 132

Y= 2x + 3

Variable independiente Variable dependiente

Constantes Coeficiente

13

∙∙∙

PROPÓSITO 10

Utilizar el lenguaje algebraico.

Modelar con expresiones algebraicas situaciones de

la física y la geometría.

Utilizando el leguaje algebraico:

Un número más 15…………………………………… Y + 15

Un número menos 20………………………………. X + 20

El doble de un número…………………………….. 2X

El triple de un número……………………………… 3X

El cuádruple de un número………………………. 4X

La suma de 2 números……………………………… X +Y

El doble de un número más 12…………………. 2X + 12

El triple de un número menos 4……………….. 3w - 4

La mitad de un número…………………………….. ½ X

La mitad de un número menos 7………………. ½ X - 7

Tres cuartas partes de un número……………. ¾Y

Un número divido entre otro……………………. x/y

La multiplicación de 2 números………………… X Y

La multiplicación de 2 números más 5……… XY + 5

5 menos un número…………………………………. 5 - a

2000 menos un número…………………………… 2000 - b

6 más un número…………………………………….. 6 + a

Un número más la mitad del mismo………… y + (½)y

Ocho veces un número……………………………. 8x

Un número al cuadrado……………………………. Y2

Un número al cubo…………………………………… Y3

Un número elevado al exponente ocho……. X8

Expresando en Lenguaje algebraico situaciones de la física.

Si la cantidad de km que recorre un automóvil está en función de

14 km por litro, ¿Cuáles son las diferentes distancias (d) que puede

recorrer el automóvil a diferentes consumos de gasolina (l)?

Valor de l

(litros)

d = (14)(l)

(km)

1 d =14(1) = 14 km

10 d =14(10) = 140 km

20 d =14(20)= 280 km

30 d =14(30)= 420 km

40 d =14(40)= 560 km

∙∙∙

Expresando en Lenguaje algebraico situaciones de la geometría. Mary compró un terreno de 2000 m2. Ella quiere elegir las

dimensiones de acuerdo a sus necesidades en metros enteros

considerando que tendrá forma rectangular.

¿Cuáles son las dimensiones que puede tener el terreno?

Si área A= (l)(a), despejando a, entonces: a= A/ l = 200/ l

Largo l (m) Ancho a=200/ l (m)

100 a=2000/ l =2000/(100)=20 m

50 a=2000/ l =2000/(50) =40 m

40 a=2000/ l =2000/(40) =50 m

20 a=2000/ l =2000/(20) =100 m

14

10 a=2000/ l =2000/(10) =200 m

∙∙∙

UNIDAD 4: ECUACIONES DE PRIMER GRADO

PROPÓSITO 11

Aplicar la noción de ecuación de primer grado y una

incógnita.

Conceptos relacionados con ecuaciones algebraicas.

Igualdad indica que dos expresiones son equivalentes, iguales:

4 = 4 2(8) = 16 6x + 3 = 28 + x p = 3q

Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en

donde las literales son las incógnitas.

En la Ecuación de primer grado las literales o incógnitas están

elevadas al exponente 1 (x1, pero no suele escribirse x)

Ejemplo: ¿Qué número (x: es la incógnita) multiplicado por 8 da

40?

1er. Miembro 8x = 40 2do. Miembro Propiedades de la igualdad

Al sumar un número en ambos lados de la igualdad, el resultado

es el mismo x – 2 = 4

x – 2 + 2 = 4 + 2

Al restar un número en ambos lados de la igualdad, el resultado

es el mismo x + 5 = 15

x + 5 – 5 = 15 – 5 Al multiplicar por un número ambos lados de la igualdad, el

resultado es el mismo = 3

(4) = 3 (4)

Al dividir entre un número ambos lados de la igualdad, el

resultado es el mismo 2x = -30

2x = -30

2 2

PROPÓSITO 12

Resolver problemas que involucran ecuaciones de

1er. Grado de forma x ± a = b.

En las ecuaciones de la forma: x + a = b, x es la incógnita

x – a = b a, b son números

Ejemplo 1:

X + 20 = 60

Aplicando propiedades de la igualdad: X + 20 – 20 = 60 – 20 X = 40

Otra forma, es pasar la constante del miembro izquierdo hacia el

Miembro derecho de la igualdad con su operación contraria

(si está sumando, pasa restando): X + 20 = 60

X = 60 – 20

X = 60 – 20

X= 40

________________________________________________________

Ejemplo 2: – 45 – x = 8

– x = 8 – 45

Para que “x” sea positivo multiplicar ambos – x = – 37

miembros de la ecuación por (-1) x = 37

________________________________________________________

Ejemplo 3: X + 20 – 15 = 35

-bl

e

de

pe

nd

ie

nt

e

+

+ -

15

X + 5 = 35

x = 35 – 5

x=30

Resolviendo problemas con ecuaciones de 1er. Grado con una

incógnita de la forma x ± a =b.

Plantear las ecuaciones y soluciones correspondientes:

La temperatura del horno fue de 250° C y el pastel debió

hornearse a 180° C, ¿por cuantos grados (x) se pasó el horno?

° C de horneado + ° C que se pasó =250 °C del pastel de horneado 180 + x = 250

x = 250 – 180

x = 70

Entonces el pastel se pasó de horneado en 70 ° C

Lucía tiene 7 años, ¿Cuántos años (x) le faltan para votar?

La edad para votar es de 18 años

Años que falta para votar + edad actual = 18 años

x + 7 = 18

x = 18 – 7

x = 11

A Lucía le faltan 11 años para votar

Mary compro $ 286 de mercancía, paga con un billete de $ 500,

la cajera le pide $ 36 más, ¿Cuánto dinero (x) recibe de cambio?

Dinero de cambio + Compras – dinero a cajera = $ 500

x + 286 – 36 = 500

x + 250 = 500

x = 500 – 250

x =250

Mary recibirá de cambio $ 250

PROPÓSITO 13

Resolver problemas que involucran ecuaciones de

1er. Grado de la forma: ax=b y

xes incógnita a, bson números

Ejemplo 1, forma ax = b:

5x =50

Pasar el coeficiente que multiplica

al otro lado de la igualdad dividiendo

x =10

Ejemplo 2, forma = b:

= 20

Pasar el coeficiente que divide

al otro lado de la igualdad multiplicando x = 20 x 10 x = 200

Ejemplo 3 (forma ):

= 12

- +

÷

de

pe

nd

ie

nt

e

x

x ÷

÷

de

pe

nd

ie

nt

e

x

x ÷

16

Pasar al otro lado de la igualdad:

El coeficiente que divide pasa multiplicando x =

El coeficiente que multiplica pasa dividiendo X = 21

Resolviendo problemas con ecuaciones de 1er. Grado con una

incógnita forma: ax = b y

Plantear las ecuaciones y soluciones correspondientes: Una familia utiliza 29 cubetas de agua en la semana, lo que da un total de 580 litros, ¿de cuántos litros (x) es cada cubeta? 29 cubetas x litros (x) por cubeta = 580 litros 29x = 580 x = 580 29 Cada cubeta es de 20 litros x = 20 Una familia de 5 personas gasta diario 700 litros de agua para Bañarse, ¿Cuántos litros de agua gasta cada familiar? 5 personas x gasto de litros de agua (x) = 700 litros por persona 5x = 700 x = 700 5 Cada familiar gasta 140 litros x = 140 La comida en la fonda cuesta $35, es una tercera parte de lo que cuesta en el restaurant, ¿Cuánto cuesta comer en el restaurant?

(Costo de comida en restaurant) = $35

X = 35 3 El costo de la comida X = 35 x 3

en el restaurant es de $ 105 X = 105 Un señor cobra el doble que su hijo por hacer un trabajo. En este mes entre los 2 ganaron $ 4500, ¿Cuánto gano el papá y el hijo? 2(cobro de trabajo) + cobro de trabajo = 4500 2x +x = 4500 3x = 4500 El papa gana $3000 y el hijo $1500 X = 4500/3 =1500

PROPÓSITO 14

Resolver problemas que involucran ecuaciones de

1er. Grado de forma: ax + b = c y

Ejemplo 1 (forma ax + b = c): 5x + 10 = 50

5x = 50 -10

5x = 40

X= 40 5 X = 10

Ejemplo 2 (forma + b = c): + 30 = 84

= 84 – 30

= 54

X = (54) 10 X = 540

Ejemplo 3 (forma ax + b = c): 89x – 5 = – 1162

- +

x ÷

÷

de

pe

nd

ie

nt

e

x

- +

+ -

17

89x = – 1162 +5

89x = (– 1157)

x =

x = – 13

Resolviendo problemas con ecuaciones de 1er. Grado con una

incógnita forma: ax + b = c y

Plantear las ecuaciones y soluciones correspondientes: Doña Adelita recibió en total $2900 por 4 semanas de trabajo y una compensación de $300. ¿Cuánto gana semanalmente? 4(sueldo semanal) + Compensación = 2900 4x + 300 = 2900 4x = 2900 - 300 x = 2600 4 El sueldo semanal es de $ 650 x = 650 En un anuncio se colocaron 5 focos, juntos consumen 475 Watts. El 1ro. Es de 100 Watts, el 2do. Es de 150 Watts y los otros 3 consumen igual cantidad de energía eléctrica ¿Cuánto consume cada uno de los últimos 3 focos? 3 focos (x consumo) + Foco 100 W + Foco 150 W = 475 Watts 3x + 100+ 150 = 475 3x + 250 = 475 3x = 475 - 250

El consumo de c/u de los 3 focos es 75 Watts x = 75 En Tlaxcala la cosecha anual de maíz es de 1200 Kg en una hectárea, que es 1000 kg Menos que 2 terceras parte de lo que se

debe producir una hectárea ¿cuánto debe la cosecha normal?

(Cosecha normal) -1000 kg = 1200 kg

(x) – 1000 = 1200

x = 1200 + 1000

x = (2200)

La cosecha debe ser de 3300 kg/hectárea x = 3300

UNIDAD 5: RELACIONES EN EL PLANO CARTESIANO

PROPÓSITO 15

Resolver problemas que involucran la relación entre

dos variables.

En una situación que plantea utilizar 2 variables (incógnitas), se dice que el valor de una variable está en función de la otra. En una función el valor de la variable dependiente “f(x)” ó “Y” será determinada por el valor que se asigne a la variable independiente “x”; y al construir la función con una serie de datos, esta función se expresa en forma de ecuación:

Variable Dependiente y = mx + b Variable Independiente Ejemplo: X Y = 8X – 3 (X,Y)

÷

de

pe

nd

ie

nt

e

x

18

Los taxis cobran $5.00 por cada km recorrido más $ 8.00 por el servicio ¿Cuánto cobran por un viaje? Si: viaje = $5.00 (x km recorridos) + $8.00 por recorrido Entonces: y = 5x +8

X km Y = 5x + 8

1 Y = 5(1) +8 =13

2 Y = 5(2) +8 =18

3 Y = 5(3) +8 =23

4 Y = 5(4) +8 =28

5 Y = 5(5) +8 =33

6 Y = 5(6) +8 =38

Graficando:

PROPÓSITO 16

Graficar la relación entre 2 variables.

Plantear la ecuación y solución correspondiente: Si el impuesto sobre la renta representa el 10 % del salario del trabajador, entonces: ¿Cuánto dinero recibe al mes una persona por su trabajo? Salario mensual neto= salario total – 10 % de salario total y = x – 0.10 x Asignando valores a “x”

x y = x – 0.10x

$ 3000 Y = 3000 – 0.10(3000)=$ 2,700

$ 4000 Y = 4000 – 0.10(4000)=$ 3,600

$ 5000 Y = 5000 – 0.10(5000)=$ 4,500

$ 6000 Y = 6000 – 0.10(6000)=$ 5,400

$ 7000 Y = 7000 – 0.10(7000)=$ 6,300

19

$ 8000 Y = 8000 – 0.10(8000)=$ 7,200

Graficando:

PROPÖSITO 17

Resolver problemas utilizando gráficas.

Las tablas y las gráficas permiten encontrar regularidades en los

datos y compararlos. Ejemplo:

Quiere usted saber que le conviene más, contratarse:

Por $2,300 al mes más $10 de comisión por cada venta, o sea:

Salario total (Y) = $2300 + $10 (X no. de ventas)

Y = 2300 + 10X

Por $1,500 al mes más $30 de comisión por cada venta, o sea:

Salario total (Y) = $1500 + $30 (X no. de ventas)

Y = 1500 + 30X

Asignando valores a “X”

X Y =2300 + 10X Y =1500 + 30X

10 Y = 2300 + 10(10)=$ 2,400 Y = 1500 + 30(10)=$ 1,800

20 Y = 2300 + 10(20)=$ 2,500 Y = 1500 + 30(20)=$ 2,100

30 Y = 2300 + 10(30)=$ 2,600 Y = 1500 + 30(30)=$ 2,400

40 Y = 2300 + 10(40)=$ 2,700 Y = 1500 + 30(40)=$ 2,700 50 Y = 2300 + 10(50)=$ 2,800 Y = 1500 + 30(50)=$ 3,000

Con más de 40 ventas le conviene el segundo contrato.

UNIDAD 6: SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS

INCÓGNITAS.

PROPÓSITO 18

Resolver problemas que involucran un sistema de

ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

mediante los métodos de suma o resta, y sustitución.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se

utiliza básicamente el método de eliminación de una incógnita que

implica reducir el sistema a una sola ecuación aplicando:

Eliminación por Igualación

Eliminación por sustitución

Eliminación por suma o resta

Nota: Se hará referencia de ecuaciones como ①, ②, ③, ….

Y= X - 0.10X

20

Ejemplo:

Luz compró el uniforme escolar de sus hijas, por 4 blusas y 2 faldas

pago $1200; En esa tienda Rita por 2 blusas y 3 faldas pago $1200.

¿Cuál es precio de cada blusa y cada falda del uniforme?

MÉTODO DE SUMA Y RESTA

Si b= blusa, f=falda, el sistema de ecuaciones es:

: 4b + 2f = 1200

: 2b + 3f = 1200

x(-2): -4b – 6f =-2400

+ : 4b + 2f = 1200

­ 4f = – 1200

Por (-1) (-1) (­ 4f = – 1200)

4f = 1200

f= 1200 =300

4

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Gaby elabora tapetes de dos tamaños, el tapete pequeño lo vende

en $250 y el tapete grande lo vende en $450. En total vendió y

reunió $4000. ¿Cuántos tapetes de cada tamaño vendió?

El procedimiento es despejar en una ecuación una incógnita y

sustituir su expresión algebraica en la otra ecuación, realizando las

operaciones necesarias para obtener su solución.

p= Tapete Chico

t= Tapete Grande

: p + g = 12

: 250p + 450g = 4000

Despejando “x” de: p = 12 – g

Sustituyendo “p” en: 250(12 - g) + 450g = 4000

3000 – 250g + 450g = 4000

3000 + 200g = 4000

200g = 4000 – 3000

g =

g = 5 Sustituyendo g=5 en : p + g = 12 P + (5) = 12 p = 12 – 5 p = 7 Comprobando en : p + g = 12 (7) + (5) = 12 12 = 12

PROPÓSITO 19

Aplicar métodos para resolver un sistema de

ecuaciones con dos incógnitas: suma o resta,

sustitución y método gráfico.

MÉTODO DE IGUALACIÓN. Por 7 veladoras y 8 kg de piloncillo, Toño cobro $74; y por 9 veladoras y 3

kg de piloncillo cobro $66. ¿Cuánto vale 1 veladora y 1 Kg de piloncillo?

X= veladora, y= kg de Piloncillo; determinando el sistema de ecuaciones:

7x + 8y = 74

9x + 3y = 66

Despejando “y” en ambas ecuaciones:

7x + 8y = 74 9x + 3y = 66

8y = 74 – 7x 3y = 66 – 9x

Básicamente el método consiste en igualar los números de una de las incógnitas a eliminar en ambas ecuaciones, de tal manera que una resulte de signo contrario a la otra, para realizar la suma algebraica y sea eliminada, obteniendo una sola ecuación con una incógnita.

21

y = 74 – 7x y = 66 – 9x

8 3

Igualando las dos expresiones algebraicas de “y”; luego resolviendo hasta obtener el valor de “x”: 74 – 7x = 66 – 9x

8 3

3(74 – 7x) = 8(66 – 9x)

222 – 21x = 528 – 72x

72x – 21x = 528 – 222

51x = 306

x =

x = 6

Sustituyendo el valor de x en cualquier ecuación del sistema original:

7x + 8y = 74 8y = 74 – 42 y =

7(6) + 8y = 74 8y = 32 y = 4

42 + 8y = 74

MÉTODO DE GRAFICACIÓN.

¿En una tienda hay 20 paquetes de papel sanitario, pero no se sabe

cuántos son de 18 rollos y cuantos de 24 rollos?, solo se sabe que

en total hay 384 rollos.

X = paquete de 18 rollos; y = paquete de 24 rollos

Se determina el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 20

18x + 24y = 384

Despejando “y” en ambas ecuaciones:

x +y = 20 18x + 24y = 384

y = 20 – x 24y = 384 –18x

y = 384 – 18x

24

Realizando una tabla de datos asignando valor a X, y calculando Y

X y = 20 – x y = 384 – 18x

24

0 20 16

4 16 13

8 12 10

12 8 7

16 4 4 20 0 1

Analizando la gráfica realizada, se concluye que:

22

Como las líneas se cortan en el punto (16, 4):

X = 16, Y= 4

Entonces hay 16 paquetes de 18 rollos y 4 paquetes de 24 rollos

Comprobando en una de las ecuaciones del sistema original:

18x + 24y = 384

18(16) + 24(4) = 384

288 + 96 = 384

UNIDAD 7: MONOMIOS Y POLINOMIOS

PROPÓSITO 20

Modelar Monomios y Polinomios con figuras

geométricas.

Monomio:

Es la expresión algebraica compuesta por un solo término.

3xy -x5

Literal: Es la letra que representa a una incógnita El doble de un número 2x donde la literal x es la incógnita

Coeficiente y Exponente:

5X4

Términos semejantes

Cuando 2 o más expresiones algebraicas (monomios) tienen las mismas

literales y los mismos exponentes se dice que son semejantes.

x, 2x , 25x tienen como termino semejante a x

4xy3, 12xy3, 6xy3, xy3 tienen como termino semejante a xy3

Binomio:

Es la expresión algebraica compuesta por 2 binomios indicando la

operación de suma o resta.

ax – by, 3ab2 + 10ab x2 + 2x2 - 4a +a

Polinomio

Expresión algebraica compuesta por 2 o más términos indicando la

operación de suma o resta.

a2 + 2b – c2 2x2y3 + 5xy – 4ax + 8by

Suma algebraica (suma y/o resta) de términos semejantes

Exponente n $ Literal

Coeficiente

23

Un polinomio se puede reducir al sumar o restar los términos

semejantes que lo componen:

-9x + 21x +2y – y

11x + y

2n + 5mn2 + 4n = 6n + 5mn2

-6xy2 + 2x3y + 2xy2 –x = - 4xy2 +2x3y – x

MODELANDO MONOMIOS EN FIGURAS GEOMETRICAS

Si el contorno de una figura geométrica es el perímetro.

Podemos expresar este perímetro como un monomio:

5a 6d

MODELANDO POLINOMIOS EN FIGURAS GEOMÉTRICAS

Verificando que el perímetro de la figura se expresa como un

polinomio

P= 3m + 4n +6p

PROPÓSITO 21

Sumar y restar Monomios y Polinomios.

Al realizar la suma algebraica de un polinomio, lo que se realiza es

la suma o resta de los términos semejantes del polinomio

(simplificación).

Utilizando correctamente las leyes de los signos resolver:

Primero las operaciones dentro de paréntesis

Si hay operaciones en paréntesis dentro de paréntesis, resolver

Las operaciones de paréntesis interiores y después las siguientes

Operaciones de paréntesis hacia el exterior

= (2n + 4n) + (45nm – 7mn2 +8n)

= 2n +4n + 45nm – 7mn2 +8n

= 14n + 45nm - 7mn2

= (2n + 4n) – (45mn +7mn2 + 8n)

= 2n + 4n – 45mn – 7mn2 – 8n

= - 2n – 45mn – 7mn2

= - (2n + 4n) – [- (9mn +15n) + (45mn +7mn2 8n)]

= - (2n + 4n) – [- 9m - 15n + 45mn – 7mn2 + 8n]

= - 2n – 4n + 9m + 15n - 45mn + 7mn2 – 8n

= n - 36mn + 7mn2

Al restar polinomios, una forma es cambiar el signo a al sustraendo

y realizar la suma correspondiente:

= (3a2 - 6ab) - (7a3 – 8ab)

= (3a2 - 6ab) + (–7a3 + 8ab)

= 3a2 - 6ab – 7a3 + 8ab

= – 4a3 + 2ab

Otra forma de realizar la suma algebraica (suma y/o resta) de

polinomios es acomodar los polinomios en filas con términos

4n 6p

3m

24

semejantes y en caso de resta cambiar el signo al sustraendo y

realizar la suma algebraica correspondiente.

(5mn + 9x2y + 7y) – (8x2y + 3mn – 7y)=

5mn + 9x2y + 7y –

3mn + 8x2y – x 5mn + 9x2y + 7y –3mn – 8x2y + x 2mn + x2y + 7y +x (3a3 – 6ab) – (7a3 – 8ab) =

3a3 – 6ab

–

7a3 – 8ab 3a3 – 6ab –7a3 + 8ab –4a3 + 2ab

(10b2 + 7x3 – 5x) – (6b2 – 9x3 + + x) =

10b2 + 7x3 – 5x

–

6b2 – 9x3 + x 10b2 + 7x3 – 5x

–6b2 + 9x3 – x 4b2 + 16x3 –6x

PROPÓSITO 22

Multiplicar monomios, y un polinomio por un

monomio.

Recordando

Monomio: a 3a 7a2

Binomio: 3m + 2b –7a + 8b2 5x – 3y

Polinomio: 2x – 6y + 5z+ 3w 10a + 5b – 13c +25b2 + c3

Podemos modelar monomios en figuras geométricas y calcular

también sus áreas

Calcular el área de la figura

Si el área de un = lado x lado,

obteniendo las áreas individuales

Entonces:

Área = a2 + ab + ab + b2

Área = a2 + 2ab + b2

25

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.

Al multiplicar un monomio por otro monomio, multiplicar sus

coeficientes y sus literales semejantes.

(a)(a)=a2 (x y) (x y)=x2y2 (x2y2) (x2y2)= x4y4 (x3y2) (x2y3)= x5y5

Al multiplicarse literales semejantes, se obtiene la literal con la

suma de sus exponentes

(x3y2)(x2y3)= x5+2y2+3 = x5y5

(2m)(8m) = (2) (3) (m) (m) = 6m2

(3x)(6y) = (3) (6) (x) (y) = 18xy

(5m2)(4ab) = (5) (4) (m2) (a) (b) = 20m2ab

(m)(m) = m2

(5m)(8m) = (5) (8) (m) (m) = 40 m2

(4x2y2)(2x2y3) = (4) (2) (x3+2) (y2+3) = 8x4y5

MULTIPLICACION DE UN POLINOMIO CON UN MONOMIO

Multiplicar el monomio por cada término del polinomio

(8x + 2xy – y)(5x)= (8x) (5x) + (2xy)(5x) – (y)(5x) = 40x2 + 10x2y – 5xy

Otra forma es: Otro ejemplo:

(8x + 2xy – y) (7x + 4m) (-5x + 3m) =

x (5x) (7x + 4m)

– 40x2 + 10x2y – 5xy x (-5x + 3m)

-35x2 – 20mx

. + 21mx + 12m2

-35x2 + mx + 12m2

.

UNIDAD 8: TEOREMA DE PITAGORAS

PROPOSITO 23

Resolver problemas con potencias cuadradas.

“Raíz cuadrada de”

Si: (L)(L) = L2 Entonces: = L

Si: (L)(L)(L) = L3 Entonces: = L

En ecuaciones con literales elevadas al exponte 2, realizar la

solución hasta despejar la incógnita de la siguiente forma:

X2 + 3 = 28

X2 = 28 – 3

X2 = 25

=

x =

x = 5

26

El área de un kiosco circular es de 200.96 m2, Calcular el radio

= 3.1416

r = radio =?

Área del circulo: A = r2

También: r2= A

Despejando a “r”: r2 =

r =

r =

r =

r = 8 m

PROPÓSITO 24

Conocer y aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.

27

TEOREMA DE PITÁGORAS

“En un triángulo rectángulo

la suma de los cuadrados de los catetos (a2 + b2)

es igual al cuadrado de la hipotenusa (c2)”

Sea: L, a, b, c = lados del cuadrado

A = Área del cuadrado = L2, a2, b2, c2

u2= de 1 x 1

Entonces: L2= L x L

a2 = a x a

b2 = b x b

c2 = c x c

Observado la figura: a= 3, b= 4, c= 5

Por lo tanto: a2 = (a) (a) = 3 x 3 = 9 u2

b2 = (b) (b) = 4 x 4 = 16 u2

c2 = (c) (c) = 5 x 5 = 25 u2

Relacionando valores: 25 = 9 + 16

Relacionando variables: c2 = a2 + b2

despejando “c”: c2 = a2 + b2

c =

despejando “a”: a2 = c2 - b2

a =

despejando “b”: b2 = c2 - a2

b =

¿Cuál es el alto del mástil del velero?

Si a = 5 m y c = 14 m

Entonces: b =

Sustituyendo valores: b =

b =

b =

b = 13.07 m es la altura del mástil.

28

Un poste de 8 m de altura está sujeto por 2 cables que se fijan a

4.5 m de él, de acuerdo a la figura.

¿Cuál es la longitud de cada cable?

Si a =4.5 m

y b = 8 m

Entonces: c =

Sustituyendo valores: c =

c =

c =

c = 9.2 m es la altura del mástil.