DECONVOLUCIÓN SISMICA ESTRUCTURAL

8/10/2019 DECONVOLUCIN SISMICA ESTRUCTURAL

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DECONVOLUCIN SSMICA

Prof. Gustavo Hernndez Dvila

DECONVOLUCION ESTRUCTURAL

CONCEPTOS BASICOS Y MARCO TEORICO.

El concepto de deconvolucin estructural fue introducido por D.G. Stone (1975) y se basa en

la inversin ssmica de la serie reflectiva del subsuelo a fin de obtener la ondcula ssmica

generadora de la traza ssmica. El mtodo ofrece los mejores resultados cuando se conoce

informacin snica de pozo que permite establecer una mejor estimacin de la serie

reflectiva.

El procedimiento tradicional de deconvolucin ssmica por ondcula es la optimizacin del

pulso ssmico a una forma de onda de fase cero mediante la aplicacin del mtodo de

diseo de filtro de Wiener-Hopf. El diseo de este filtro requiere del conocimiento de la

ondcula ssmica cuya forma se desea modificar, asumindose que sta es la fase mnima o

en el mejor de los casos, que puede estimarse predictivamente. Ninguno de estos

procedimientos arroja como resultado la forma de onda simtrica ptima deseada en el

proceso de deconvolucin.

El mtodo de deconvolucin estructural parte del modelo convolucional de la traza ssmica:

............................... (1)

Donde:

st= traza ssmica.

t= serie reflectiva del subsuelo.

ot= ondcula ssmica.

t= ruido aleatoria aditivo.

tttt Os +=


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Como se dijo anteriormente, el procedimiento normal de deconvolucin es tratar de invertir a

la ondcula ssmica, de forma que

................................. (2)

El procedimiento de deconvolucin estructural ssmica tratando de invertir a la serie

reflectiva del subsuelo de forma tal que, omitiendo temporalmente el factor de ruido aditivo,

se tiene:

.................................... (3)

Obiamente, esta ltima ecuacin iene dos problemas fundamentales; el primero se trata de

conocer el inverso de la serie reflectiva y el segundo es determinar la propia serie reflectiva.

El primer problema es eliminado partiendo de la aplicacin del filtro de Wiener-Hopf, el cual

establece que:

.................................. (4)

Donde:

d(t)= correlacin cruzada entre la serie reflectiva (t) y la salida deseada (Ot).

(t)= Autocorrelacin de la serie reflectiva t.

Ahora bien, en virtud que la serie reflectiva es una serie impulsiva aleatoria, entonces, la

funcin de autocorrelacin es un impulso unitario, esto es:

1= ftt Os

1= ftt rsO

)(

)(1

t

tdt

=


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.................................. (5)

por lo que la ecuacin (4) quedara de la forma:

.................................. (6)

Adicionalmente, si se supone que la seal de salida deseada es tambin un impulso unitario,

es decir:

Entonces:

................................... (7)

Expresado en palabras, la correlacin cruzada entre una seal cualquiera y un impulso

unitario, arroja como resultado la seal inicial, por lo que la ecuacin (6) quedara de la

forma:

................................ (8)

Para extraer el pulso ssmico se correlaciona la traza ssmica (st) con la serie reflectiva t,

es decir:

................................ (9)

[ ]

=

===

0;0

0;1)(

t

tt t

aleatoriot

)(1 tdt =

===

ttdSi tt

;0;1

tttd dct )( ==

tt 1 =

ttt csO

=


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[ ] [ ]=

+++++=N

t

tttttttt ayyayyayyayyaE1

**

1

***

11

*

1 )()()()(

Para el caso del filtro de orden 3, se tiene:

.................................. (12)

Haciendo a(2)1= a, entonces:

.

............................... (13)

El coeficiente (a) del filtro de error predictivo de orden 2 (1,a) puede ser calculado segn:

donde

................................. (15)

El vector [ ] ),,,( 100 NN

tt yyyy == es un vector de datos de longitud (N+1). y

*t es

conjugado complejo deyt.

Expandiendo la expresin (15) se tiene:

.

..........(16)

=

1

0

0

11)2(

12

)2(

1

)3(

2

)3(

1 aCa

a

a

=

=

2

)3(

2

2

)3(

1

Ca

aCaa

[ ] 0=

=

a

EaEMin

a

[ ] 2

1

2

1

1

= +++= tt

N

t

tt ayyayyaE


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=

=

=

=

=

=

+

===

+++=

+++=

+++==

N

t

tttt

N

t

tt

N

t

ttttttt

N

t

t

ttttttt

N

t

t

ttttt

N

t

t

yyyy

yy

aa

yyyyayyyy

yayyyyayyy

ayyyayyy

a

E

1

*

11

*

1

*

1

)2(

1

1

*

11

**

1

*

1

1

**

1

*

11

*

1

1

**

11

1

*

1*

)(

2

)()(

)(

)()(0

[ ]

[ ]

=

=

+++++

++=

N

t

tttttttt

N

t

tttt

ayyayyayyayy

ayyayy

C

2

*

1

*

212

*

1

*

1

2

1

*

1

*

2

2

)()()()(

)()(2

De aqu que:

..................... (17)

para el caso del coeficiente C2, ste puede estimarse segn la ecuacin:

..........(18)

La ecuacin (18) es un caso particular del algoritmo de Riley-Burg descrito en el captulo

dedicado a deconvolucin por entropa mxima y slo tendr una derivacin particular en el

presente captulo de la manera siguiente:

Para el caso del filtro de error predictivo de orden 2: A(Z) = 1 + aZ, se consider la

minimizacin del valor esperado de (a) con respecto al error predicitivo hacia delante y hacia

atrs en la serie de tiempo [yt] que define la data, segn lo expresado en la ecuacin (15).

Una extensin natural de esta ecuacin surge al considerar un filtro de error predictivo de

orden 3: A(Z) = 1 + a1Z + a2Z2. Entonces, el valor esperado de los coeficientes del filtro (a1;

a2) vendra dado segn la ecuacin:


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[ ] 2

*

2

*

11

*

2

2

2

221121 , ttt

N

t

ttt yayayyayayaaE +++++= =

[ ] [ ] [ ] 2** 1*2* 1* 22* 12

212 tttttt

N

t

tt yyaCayyyayCyyCE +++++= =

+=

+=

1

*

2

1

ttb

ttf

yayK

ayyK

.............(19)

Sin embargo, existen series de tiempo para las cuales este filtro de error predictivo no es

convergente en el crculo unitario complejo, lo que hace insatisfactorios los estimados de

coeficientes de reflexin que del mismo se deriven.

De aqu que, en lugar de minimizar E ( a1, a2) se minimice a E [C2] donde este ltimo viene

dado segn la ecuacin:

......... (20)

Haciendo un cambio de notacin de forma que:

............................. (21)

La ecuacin (20) quedara como:

.......... (22)

[ ] [ ]==

+=+=N

t

fbbfbffb

N

t

bf KCKKCKKCKKCKKCKCE2

**

2

**

22

2*

2

*

2

2

22 )))((


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Minimizando E [C2] en (22) con respecto a ( C*2) se tiene:

............................. (23)

Haciendo los cambios de variable expresados en (21), la ecuacin (23) es similar a la (18).

El proceso interativo para el resto de los coeficientes se repite aplicando el algoritmo:

Paso No. 1 : J =2

=

=

==

=

=

+=

++=

+=

+=

N

t

bbff

N

t

fb

bbff

N

t

fbf

N

t

b

fffbbbf

N

t

b

fbfbf

N

t

b

KKKK

KK

C

KKKKCKKKK

KKCKKKKCKK

KCKKKCKK

2

**

2

*

2

**

2

2

*

2

*

*

2

**

2

2

*

*

2

*

2

2

*

2

)()(0

=

=

+=

N

jt

j

b

j

b

j

f

i

f

N

jt

j

f

j

b

j

KKKK

KK

CNoPaso)*()()*()(

)()*(2

:2.

)()()1(:3. jbjj

f

j

f KCKKNoPaso =+

)()*()()1(:4. jfj

j

j

b

j

b KCKKNoPaso =+

7.1:5. NopasoalirNJNoPaso >


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APLICACIN DE LOS VALORES ESTIMADOS.

Una vez finalizado el proceso de estimacin del tren de coeficientes de reflexin (es decir la

serie reflectiva), se debe proceder a verificar sus caractersticas de espectro plano,

analizando la funcin de autocorrelacin de la serie reflectiva estimada, la cual debe dar un

impulso unitario si todo ha sido llevado correctamente. En caso contrario, lo mas comn es

la existencia de energa reverberativa que no ha sido adecuadamente sustrada en el

proceso preliminar de deconvolucin predictiva.

La serie reflectiva [ t] se forma a partir del tren de coeficientes de reflexin [ Cj], trmino a

trmino, tomando en cuenta que el incremento del subndice (j) est relacionado a la

variable de tiempo en funcin de la rata o intervalo de muestreo (t) de la ventana [ yt] de

datos de la cual se estim [ Cj].

Para obtener la traza ssmica ajustada por la ondcula extrada se correlaciona esta ltima

con la traza ssmica de manera que:

................................ (24)

En virtud de la ecuacin (9) la ecuacin (24) puede ser reformulada como:

.............................. (25)

2.1:6. NopasoalirjJNoPaso +=

.:7. TerminarNoPaso

ttt OcSSw

*

=

tsstttt ctcScSSw )(***

=

=


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Adicionalmente, en virtud que

.

.............................. (26)

se tiene que

............................... (27)

Las ecuaciones (25) y (27) describen dos procesos de filtrado de la serie reflectiva del

subsuelo con una funcin de autocorrelacin.

La correlacin final por distorsin de fase se hace aplicando la ecuacin de Wiener para la

definicin del filtro:

............................. (28)

Donde od (t) es la correlacin cruzada de la ondcula ssmica con la seal de salida

deseada del filtro, la cual es un impulso unitario en el centro de la ondcula. Esta operacin

equivale a un proceso de filtrado cuya salida es de fase cero, por lo que cualquier desviacin

del pulso que define un evento, de la simetra de fase, implicara interferencia de eventos

muy cercanos. De aqu que la versin final de la traza ssmica procesada por deconvolucin

estructural sera:

ttt OS =

[ ] )( 00*

tOcOS tttttw =

[ ]

=

)(

1)(

00

*

0t

cth dt


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................................. (29)

Adicionalmente a la informacin sustrada, podra considerarse otros tipos de presentacin

de la informacin ssmica procesada, dependiendo de ello de la calidad de los estimados de

coeficientes de reflexin y de la informacin disponible de velocidad ssmica en la primera

capa del subsuelo que defina una interfase ssmica. Esta ltima informacin podra lograrse

en primera instancia en funcin de las velocidades calculadas por refraccin ssmica para la

correlacin de la capa meteorizada o en su defecto mediante informacin de registros

snicos de pozo cercanos al sitio. La presentacin sera en funcin de velocidades ssmicas

en una primera aproximacin, segn la ecuacin:

................................ (30)

Donde:

Vi= iava

Ci= i

velocidad intervlica

avo

coeficiente de reflexin.

Esta presentacin podra perfeccionarse si se dispone de la informacin de densidad, a fin

de hacer la frmula (30) completa.

[ ] [ ]

)(

)(

1)()(

*

t

tctt

hSS

odt

oo

odoot

ttt Wf

=

=

=

+=+

i

i

iiC

CVV

1

11


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