Rony J. Letona 8 de diciembre de 2010

Deduccion de la Ecuacion de SchrodingerNotas de la conferencia del Dr. Sergio Aragon

Se parte de la idea de que un electron se puede modelar como una onda y por ende, como unaonda sinusoidal cos (kx), donde k = 2π

λ.

Figura 1: Funcion Coseno

λ en este caso denota la longitud de la onda. Si λ es 1, la longitud de onda para cos (kx)sera de 1, como se muestra en la Figura 1. Si se suman varias ondas a diferentes longitudes deonda para tomar en cuenta todas las posibilidades en las que el electron puede vibrar1 se dara unainterferencia constructiva en el origen.

Figura 2: Interferencia constructiva de ondas en el origen.

La suma de todas las ondas se plantea como una integral, entonces el electron, modelando comouna onda, tiene una funcion similar a la siguiente.

ψ (x) =

∫

∞

−∞

g (k) cos (kx) dk (1)

g (k) es un Coeficiente de Fourier, al cual no se le prestara atencion por el momento. Ahora,la ecuacion modela a un electron estatico. Para agregar dependencia temporal, se debe de anadirun termino que permita a la onda moverse a lo largo del eje. Para esto serıa de utilidad conocerel perıodo de la onda, ası ya solo se anade una dependencia temporal proporcional al perıodo a lafuncion.

1Principio de superpocision

1

Rony J. Letona 8 de diciembre de 2010

Continuando con el modelaje del electron como onda, se puede calcular su energıa de la siguienteforma: E = hν. Para obtener el perıodo se hace el siguiente manipuleo

E = hν =h

2π2πν = ~ω (2)

Ahora se conoce el perıodo de la onda. Aprovechando la facilidad de calcular con exponencialesy no con funciones trigonometricas, se convertira la ecuacion (1) a su forma compleja. La funcionde onda tomara entonces la siguiente forma

Ψ (x, t) =

∫

∞

−∞

g(k) ei(kx−ωt)dk (3)

Considerese ahora el momento del electron. Este se define como p = h

λ. Si esta ecuacion anterior

se manipula igual que la energıa, se obtendra una expresion dependiente de ~, lo cual puede llevara una simplificacion de la ecuacion de onda

p =h

λ=

2π

λ

h

2π= k~ (4)

Notese que del resultado anterior, se obtuvo tambien k. Si k se sustituye por p en la ecuacionde onda, el diferencial no sufre cambios significativos, pero el exponencial cambia llegando a unaforma en la que ya solo se incluyen momento y energıa.

Ψ (x, t) =

∫

∞

−∞

g(p) ei

~(px−Et)dp (5)

Para terminar, la ecuacion de onda se presenta usualmente como una ecuacion diferencialtambien conocida como la Ecuacion de Schrodinger. Es por esto que ahora se procedera a derivaresta ecuacion parcialmente.

∂

∂tΨ (x, t) =

∫

∞

−∞

g(p)

(

−iE

~

)

ei

~(px−Et)dp (6)

Serıa conveniente que la energıa en el exponencial dependiera del momento, ası todo el expo-nencial depende de una misma variable. Tomando en cuenta que el electron tambien se puede vercomo una partıcula, este debe de obedecer a las ecuaciones cineticas, por lo que el momento sepuede expresar como E = p2

2m. La ecuacion anterior se puede reescribir ası

∂

∂tΨ (x, t) =

∫

∞

−∞

g(p)

(

−ip2

2m~

)

ei

~(px−Et)dp (7)

Finalmente se multiplica la ecuacion por i~ por ambos lados obteniendo entonces

i~∂

∂tΨ (x, t) =

∫

∞

−∞

g(p)

(

p2

2m

)

ei

~(px−Et)dp (8)

Ahora se procedera a derivar dos veces la ecuacion (5), pero con respecto a x. El resultado esel siguiente

∂2

∂x2Ψ (x, t) =

∫

∞

−∞

g(p)

(

ip

~

)2

ei

~(px−Et)dp (9)

2

Rony J. Letona 8 de diciembre de 2010

Finalmente se multiplica esta ecuacion por −

~2

2my se opera el cuadrado dentro de la integral

para obtener

−

~2

2m

∂2

∂x2Ψ (x, t) =

∫

∞

−∞

g(p)

(

p2

2m

)

ei

~(px−Et)dp (10)

La ecuacion (8) y la ecuacion (10) son lo mismo, por lo que la ecuacion de onda se puedereescribir como

i~∂

∂tΨ (x, t) = −

~2

2m

∂2

∂x2Ψ (x, t) (11)

A esta ultima expresion se le conoce como la Ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempopara una partıcula libre en 1 dimension. Con esto se concluye entonces la deduccion de la Ecuacionde Schrodinger.

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