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OSCILADORES NO LINEALES Y FORZAJE PARAMÉTRICO
Pendulo simple con forzaje vertical
γ
Ω
2ω0ω0
Inestabilidades paramétricas: Lengua de Arnold
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OSCILADORES NO LINEALES Y FORZAJE PARAMÉTRICO
Pendulo simple con forzaje verticalEcuación de Mathieu:
θ = −(g
l+ γ sin(Ωt)
)sin θ − µθ (1)
γ
Ω
2ω0ω0
Inestabilidades paramétricas: Lengua de Arnold
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OSCILADORES NO LINEALES Y FORZAJE PARAMÉTRICO
Pendulo simple con forzaje verticalEcuación de Mathieu:
θ = −(g
l+ γ sin(Ωt)
)sin θ − µθ (1)
γ
Ω
2ω0ω0
Inestabilidades paramétricas: Lengua de Arnold
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Parametrically driven damped pendula chain
In the continuos limit this system is decribe by
where ωο is the natural frequency, γ and ω are the amplitude and frequency of forcing, µ is the damped and k is coupled constant.
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Amplitude equationThe above model can be simplified if we restrict ourselves to the small amplitude solutions, whose main harmonic frequency is close toωo. Intoducing the ansatz
where and . The amplitude satisfies the parametrically driven and damped non-linear Schrodigerequation
Nonlinear Schrodinger equation
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Bifurcation diagram of the amplitude equation close to subharmonic instability
ν
γ
1
5 3
FaradayInstabilitySoliton
spatiotemporal
chaos
OscilatorySoliton Pattern
Bloch-Wall
vertical solution
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Stability of uniform steady states inside Arnold's Tongue
The parametrically driven damped Non-linear Schrodingerequation,
has the uniform solution
which is unstable and marginal only for zero detuning.
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ESTABILITADAD DE LA SOLUCIÓN ESTATIONARIA HOMOGÉNIA DE LA PDNLS
Variacion del espectro
Diagrama de bifurcación de la PDNLS
3©
5©
γ
ν
γ = 2µ
1©
Entonces segun la ecuación de shcrödinger paremetrica no lineale lasolución estacionaria homogénia es inestable dentro de la lengua de Arnold.
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PDNLS ENMENDADO
Derivando la ecuación de amplitude con los nuevos terminos pertinantes dela expansión de Taylor, encontramos la nueva ecuación amplitud:
PDNLS Enmendado
∂τ A = −iνA− i |A|2 A− i∂2x A− µA + γA
+ia |A|4 A + γ(
b |A|2 A + cA3)
(8)
LS de la PDNLS Enmendado(b)(a)
(d)(c)
!(A
)
!(A
)
!(A
)
!(A
)
! !
-20
0
1
0xy 0
20
-1-140
-40
!(A
)
-20
40
-40-40
20
ba
40
-40
-20y x
0
1
0
!(A
)
0
20
40
20
-20
Entonces recuperamos el comportamiento del sistema inicial.
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CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modelo
Hamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =
NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
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CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
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CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
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CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
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CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
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CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modeloHamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
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CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modelo
Hamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
~~Si = −~Si ×∂H∂~Si
(10)
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CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS CLÁSICOS
El modelo
Hamiltoniano y ecuación de movimiento
El Hamiltoniano
H =NXi
h−J~Si~Si+1 + 2D(Sz
i )2 − gµ(Sx
i )Hx
i(9)
Interacción dentro spines vecinosAnisotropía: permite la existencia defácil-planoCampo magnético exterior
La ecuación de movimiento
∂H∂~Si
= −J~Si+1 + 2J~Si − J~Si−1 + 4DSzi~ez − gµHx~ex − 2J~Si (10)
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ECUACIÓN DE LANDAU-LIFSHITZ-GILBERT (LLG)
límite continua: ~Si(t) → ~S(x, t)
=⇒ Jdx~
(−~Si+1 − 2~Si +~Si−1
dx
)→ lex∂
2x~S(x, t)
lex:longitud de interaccionLuego, despues algunos normalizaciones llegamos à:
Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
Mt = M×Mxx − β (M ·~ez) (M×~ez) + M×H− αM×Mt (11)
Atenuación de Gilbert≡ Disipación de Rayleighα = 0:sistema reversible (t → −t) con simetría de reflexión(Mx, My, Mz) → (Mx,−My,−Mz)Aproximación cuasi-reservible:α 1, h2 1, ∂xM 1 =⇒ Mx =√
1− (M2y + M2
z ) ≈ 1− M2y +M2
z
2 + · · ·
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ECUACIÓN DE LANDAU-LIFSHITZ-GILBERT (LLG)
límite continua: ~Si(t) → ~S(x, t)
=⇒ Jdx~
(−~Si+1 − 2~Si +~Si−1
dx
)→ lex∂
2x~S(x, t)
lex:longitud de interaccionLuego, despues algunos normalizaciones llegamos à:
Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
Mt = M×Mxx − β (M ·~ez) (M×~ez) + M×H− αM×Mt (11)
Atenuación de Gilbert≡ Disipación de Rayleighα = 0:sistema reversible (t → −t) con simetría de reflexión(Mx, My, Mz) → (Mx,−My,−Mz)Aproximación cuasi-reservible:α 1, h2 1, ∂xM 1 =⇒ Mx =√
1− (M2y + M2
z ) ≈ 1− M2y +M2
z
2 + · · ·
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ECUACIÓN DE LANDAU-LIFSHITZ-GILBERT (LLG)
límite continua: ~Si(t) → ~S(x, t)
=⇒ Jdx~
(−~Si+1 − 2~Si +~Si−1
dx
)→ lex∂
2x~S(x, t)
lex:longitud de interaccionLuego, despues algunos normalizaciones llegamos à:
Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
Mt = M×Mxx − β (M ·~ez) (M×~ez) + M×H− αM×Mt (11)
Atenuación de Gilbert≡ Disipación de Rayleighα = 0:sistema reversible (t → −t) con simetría de reflexión(Mx, My, Mz) → (Mx,−My,−Mz)Aproximación cuasi-reservible:α 1, h2 1, ∂xM 1 =⇒ Mx =√
1− (M2y + M2
z ) ≈ 1− M2y +M2
z
2 + · · ·
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CADENA DE SPINES COMO OSCILADOR NO LINEAL
Después de largos cálculos obtenemos:
Mz = −H0 (β + H0) Mz +βH0
2M3
z + (β + 2H0) ∂2x Mz
−α (β + 2H0) Mz − β2 sin(Ωt)Mz (12a)
My ≈ α
H(t)(β + H(t)) Mz (12b)
Entonces si introducimos el mismo ansatz que en la cadena de péndulollegamos a la misma ecuación de amplitud enmendado con:
ω0 =√
H0(β + H0) (13a)
µ =α
2(β + 2H0) (13b)
γ =h2(β + 2H0)
4ω0(13c)
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ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS
Simulaciones numericas
Solución homogénea
My(z)
z
My(z)
z
(b)
(a)
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ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS
Simulaciones numericas
KinkMy(z)
z
My(z)
z
(b)
(a)
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ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS
Simulaciones numericas
Estructura Localizadade tipo horne
My(z)
z
My(z)
z
(b)
(a)
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ESTRUCTURAS DE LA CADENA DE SPINES FERROMAGNÉTICOS
Simulaciones numericas
Estructura LocalizadaMy(z)
z
My(z)
z
(b)
(a)
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