Definición de geometríaLa geometría (Geo tierra y metria medida) es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura geometrica en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.

Aplicación de la geometría

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico, también da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global

Antecedentes históricos

La geometría (Del griego : γεωμετρία : geo = Tierra, Metria = medida). Se plantea como el ámbito de los conocimientos relativos a las relaciones espaciales. La geometría fue unos de los dos campos antecedentes a la moderna matemática, el otro campo es el estudio de los números.

Los antecedentes de la geometría clásica se centraron en la orientación y en la correcta construcción de edificios. Ahora en los tiempos modernos, los conceptos geométricos se han generalizado con un alto nivel de abstracción y complejidad, y han sido sometidos a los métodos de cálculo y álgebra abstracta, de modo que muchas modernas ramas son apenas reconocibles como las descendientes de los principios de la geometría.

ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Los primeros grabados sobre la geometría se remontan a la época de los cavernícolas, cuando se descubrió obtusos triángulos en el antiguo Valle del Indo (Harappan), y en la antigua Babilonia alrededor del 3000 AC.

Los principios de la geometría eran una colección de principios empíricamente descubiertos en relación con las longitudes, ángulos, áreas, y volúmenes, y que fueron desarrollados para satisfacer algunas necesidades en la agrimensura, la construcción, la astronomía, y diversas artesanías. Entre estos principios, destacan algunos sorprendentemente sofisticados, que para la matemática moderna o para un matemático le pueden resultar difícil de obtener algunos de ellos sin el uso del cálculo moderno. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios eran conscientes de las versiones del teorema de Pitágoras aproximadamente 1500 años antes que Pitágoras; los egipcios tenían una fórmula correcta para el volumen de un tronco de una pirámide cuadrada; los babilonios disponían de tablas de trigonometría.

GEOMETRÍA EGIPCIA

Los antiguos egipcios conocían la forma de aproximarse al área de un círculo de la siguiente manera:

Área del círculo = [ (Diámetro) x 8/9 ]2

El problema nº 50 del papiro de Ahmes utiliza este método para obtener la superficie de un círculo de acuerdo con la norma de que el área es igual al cuadrado de 8 / 9 del diámetro del círculo. Esto supone que π es de 4 × (8 / 9) ² (3.160493 …), con un error de poco más de 0,63 por ciento.

Este valor es ligeramente menos preciso que los cálculos de los babilonios (25 / 8 = 3,125, con un error del 0,53 por ciento), pero no fue superado hasta la llegada de Arquímedes cuya aproximación fue de 211875/67441 = 3,14163, donde había un error de poco más de 1 entre 10000 ).

En el problema 48 se usaba un cuadrado de lado de 9 unidades. Esta pieza fue cortada en forma de cuadrícula de 3×3. Los cuadrados de las diagonales fueron utilizados para hacer un octógono irregular con una superficie de 63 unidades. Esto dio un segundo valor de π de 3,111 …

Los dos problemas juntos indicaron un rango de valores de Pi entre 3.11 y 3.16.

El problema 14 del Papiro de Moscú muestra un único ejemplo antiguo al encontrar el volumen de un tronco de una pirámide, describiendo la fórmula correcta:

V = 1/3 * h(X12 + X1*X2 + X22)

GEOMETRÍA BABILONIA

Los babilonios conocían las normas generales para la medición de áreas y volúmenes. Se medía la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro lo que sería correcto si π fuese estimado como valor 3. El volumen de un cilindro se tomó como el producto de la base y la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o una pirámide cuadrada fue tomada incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases.

El teorema de Pitágoras era también conocido por los babilonios. Los babilonios también son conocidos por la milla babilónica, que fue una medida de distancia igual a siete millas actuales.

GEOMETRÍA INDIA

Periodo Harappan:Las primeras pruebas y antecedentes de la utilización de las matemáticas en el sur de Asia se encuentra en los artefactos de la civilización del Valle Indus , también llamada Harappan , durante el 3er milenio aC. Las excavaciones en Harapa, Mohenjo-Daro (en la actual Pakistán), Lothal (en la actual India) y otros lugares a lo largo del valle del río Indus han descubierto pruebas de la utilización de las matemáticas. Estos pueblos fabricaban ladrillos cuyas dimensiones eran de la proporción 4:2:1, considerado favorable para la estabilidad de una estructura de ladrillo. Utilizaron un sistema normalizado de pesos sobre la base de los ratios: 1 / 20, 1 / 10, 1 / 5, 1 / 2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, y 500, con la unidad peso que tiene aproximadamente 28 gramos.

Período Védico:Los manuscritos Vedas durante el período historico védico (finales del 2 milenio y comienzos del primer milenio aC), en su mayoría contienen menciones de los números relacionados con los rituales, entre ellos potencias de 10. Con una gran influencia de Mesopotamia en la forma del sistema sexagesimal.

El Satapatha Brahmana (9 º siglo aC) contiene normas para el ritual de las construcciones geométricas que son similares a las Sulba Sutras.

El Śulba sutras (literalmente, “aforismos de los acordes” en sánscrito védico) (c. 700-400 aC) contiene una lista de las reglas para la construcción de altares de sacrificio de fuego. Los altares estaban obligados a ser de cinco capas de ladrillo quemado, con la condición adicional de que cada capa fuera de 200 ladrillos.

Según (Hayashi 2005, p. 363), el Śulba sutras contenía el teorema de Pitágoras explicado de forma breve, a pesar de que ya se había conocido en el Viejo pueblo babilonio.

Período clásico:En los manuscritos Bakhshali , hay un puñado de problemas geométricos acerca de los volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito también emplea a un valor decimal con un sistema de valor o de número cero.

Dentro de la Aryabhata se incluyen el cálculo de áreas y volúmenes.

Brahmagupta escribió su trabajo astronómico Brahma Sphuṭa Siddhanta en el 628 cuyo capítulo 12 contiene 66 versos del sánscrito, este tratado se dividió en dos secciones: “Operaciones básicas” (incluidas las raíces cubo, fracciones, y el índice de proporción, y el trueque) y “prácticas de matemáticas” (incluidas series matemáticas, figuras planas, apilar ladrillos, aserrado de la madera, y la acumulación de grano). En este último punto, manifestó su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico.

Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales son perpendiculares, entonces la línea trazada perpendicular desde el punto de intersección de las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero siempre cortará el lado opuesto.

GEOMETRÍA CHINA

Las primeras matemáticas simples, antecedentes de las matematicas que aparecen en China pertenecen a los registros de la adivinación de la dinastía Shang (año 1600 -1050 antes de Cristo), sin embargo, el primer trabajo definitivo (o al menos más antiguo existente) sobre la geometría en China fue el Mo Jing, perteneciente a los primeros escritos del filósofo Mozi (470 aC-390 aC). Se compiló años más tarde después de su muerte por sus seguidores alrededor del año 330 aC.

A pesar de que el Mo Jing es el libro más antiguo existente de la geometría en China, existe la posibilidad de que incluso exista material aún más antiguo. Sin embargo, debido a la infame quema de los libros durante la gobernante dinastía Qin (año 210 aC), multitudes de libros desaparecieron. Además, el Mo Jing presenta conceptos geométricos en matemáticas que son tal vez demasiado avanzados y no ha tenido un antecedente conocido al respecto.

El Mo Jing describe diversos aspectos sobre muchos campos relacionados con la ciencia y la física y proporcionó un pequeño cúmulo de información sobre las matemáticas. Al igual que Euclides, el Mo Jing dijo que “un punto puede estar en la final de una línea, o en su inicio”. Al igual que las teorías de Demócrito s, el Mo Jing dijo que un punto es la unidad más pequeña, y no puede ser reducido a la mitad, ya que ‘nada’ no puede ser reducido a la mitad. Declaró que dos líneas de igual longitud siempre terminan en el mismo lugar, la vez que proporciona definiciones para la comparación de las longitudes y los paralelos, junto con los principios de espacio y limites espaciales.

Los nueve capítulos del arte matemático:Los nueve capítulos sobre el Arte de las Matemáticas, es el título con el que apareció por primera vez por el año 179 dC en una inscripción de bronce, que fue editado y comentado por el matemático Liu Hui del Reino de Cao Wei. Este libro incluye muchos de los problemas que la geometría aplicaba a campos como la búsqueda de superficies para cuadrados y círculos, los volúmenes de los sólidos en tres dimensiones, e incluyó el uso del teorema de Pitágoras. El libro ilustra un diálogo entre el anterior duque de Zhou y Shang

Gao sobre las propiedades del ángulo recto de los triángulos, el teorema de Pitágoras, así como las mediciones entre. Estableció como valor al número Pi 3,1555 utilizando 142/45. Liu Hui escribió también el estudio matemático para calcular la distancia entre las mediciones de profundidad, altura, anchura y superficie.

GEOMETRÍA CLÁSICA GRIEGA

Para los antiguos matemáticos griegos, la geometría era la joya de la corona de sus ciencias, llegando a una exhaustividad y una perfección de metodología que ninguna otra rama de su conocimiento había antes alcanzado. Se amplió la rama de la geometría a muchos nuevos tipos de cálculos, curvas, superficies, y sólidos, que cambió su metodología de ensayo y error a la deducción lógica, que reconoció que los estudios de geometría “eterna formas”, o abstracciones, de los cuales física los objetos son sólo aproximaciones, y desarrollaron la idea de una “teoría axiomática”, que, por más de 2000 años, se consideraba el paradigma ideal para todas las teorías científicas.

Pitágoras y Thales de MiletoThales (635-543 aC), de Mileto (en la actualidad en el suroeste de Turquía), fue el primero al que se le atribuye la deducción matemática.

Pitágoras (582-496 aC) de Ionia, y más tarde, Italia, y luego colonizado por los griegos, pudo haber sido un estudiante de Thales, y viajó a por Babilonia y por Egipto. El teorema que lleva su nombre puede no haber sido descubrimiento suyo, pero fue probablemente uno de los primeros en dar una prueba deductiva del mismo. Él reunió a un grupo de estudiantes a su alrededor para estudiar matemáticas, música, y  filosofía, y juntos descubrieron lo que la mayoría de los estudiantes de secundaria estudian hoy en día en sus cursos de geometría.

Euclides:Euclides (c. 325-265 aC), de Alejandría, probablemente un estudiante de uno de los estudiantes de Platón, escribió un tratado en 13 libros (capítulos) , titulado “Los Elementos de Geometría”, en la que presentó la geometría de una forma ideal axiomática, que vino a ser conocida como la geometría euclidiana.

El tratado era un compendio de todo lo que los matemáticos sabían en el momento acerca de la geometría, pero era tan superior que los demás cayeron en desuso y se perdieron. Fue llevado a la universidad en Alejandría por Ptolomeo I, Rey de Egipto.

Arquímedes:Arquímedes (287-212 aC), de Siracusa, Sicilia, cuando era una ciudad perteneciente al estado griego, es a menudo considerado el más grande de los matemáticos griegos, y, en ocasiones, incluso como uno de los tres más grandes de todos los tiempos (junto con Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss). Si no hubiera sido un matemático, seguiría siendo recordado como un gran físico, ingeniero e inventor. En su matemática,

desarrolló métodos muy similares a los sistemas de coordenadas de la geometría analítica, y la limitación del proceso de cálculo integral. El único elemento del que careció en dichos campos fue una mejor cultura del álgebra en la que expresar mejor sus conceptos.

Definición de RECTAUna recta  es una sucesión infinita de puntos , situados en una misma

dirección .

Una recta  t iene una sola dimensión: la longitud .Las rectas  se nombran mediante dos de sus puntos  o por una letra

minúscula .Dos puntos determinan una recta .

Una recta   indica  una dirección y dos sentidos contrarios .de recta

Secantes

 Las rectas secantes  se

cortan en  un punto .Paralelas

 Las rectas paralelas  no

se cortan en ningún punto .Coincidentes

 Dos rectas  son 

coincidentes  s i  todos sus

puntos  son comunes.Perpendiculares

 

Dos rectas  son perpendiculares  cuando a l cortarse forman cuatro

ángulos   iguales de  90º .Coincidentes

 Dos rectas  son 

coincidentes  s i todos sus puntos son comunes.

Definicion de ANGULO

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Tipo Descripción

Ángulo nulo

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de   rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados

centesimales).

Ángulo rectoUn ángulo recto es de amplitud igual a   rad.

Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.

La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a   rad y menor a   rad.

Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).

Ángulo llano

El ángulo llano tiene una amplitud de   rad.

Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo oblicuo

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.

Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo

completo

o perigonal Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de   rad.

Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Tipo Descripción

Ángulo convexoEs el que mide menos de   rad.

o saliente

Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de

200g centesimales).

Ángulo cóncavo,

reflejo o

entranteEs el que mide más de   rad y menos de   rad.

Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de

400g centesimales).

Definición de PUNTO

En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.

Definición de VERTICE

En geometría, el vértice es el punto donde se encuentran dos o más semirrectas o segmentos que conforman un ángulo. Vértice es el nombre que recibe el punto que marca la unión entre los segmentos que originan un ángulo o donde se fusiona un mínimo de tres planos. La cúspide de un cono o una pirámide también se conoce como vértice, al igual que el punto máximo o mínimo de una línea curva.

Definición de POLIGONOUn polígono es la figura geométrica de un plano que está establecida por líneas rectas. Se trata de un fragmento plano que está formado por segmentos consecutivos sin alineación, que reciben el nombre de lados.

Definición de PRISMASe conoce como prisma a un cuerpo cuyos límites lo establecen un par de polígonos iguales y planos, dispuestos de forma paralela, y diversos paralelogramos, de acuerdo a la cantidad de lados que dispongan sus bases. Esto quiere decir que si las bases son triángulos, estaremos hablando de un prisma triangular.

Definición de PIRAMIDESe conoce como pirámide a aquel cuerpo que cuenta con triángulos como caras. Estos triángulos se reúnen en un punto en común que recibe el nombre de vértice.El uso más frecuente de la noción se encuentra en la arquitectura, ya que se nombra como pirámide a la construcción que tiene una forma con las características mencionadas del polígono geométrico. Las pirámides solían construirse en la antigüedad a la manera de un monumento, para rendir distintos homenajes y tributos.Una pirámide, por lo tanto, es una construcción que suele contar con un cuadrado como base, cuyos cuatro lados se levantan como triángulos y coinciden en un vértice situado en el extremo superior.

Definición de AXIOMAEn lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demás fórmulas.En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.

Definición de TEOREMALa palabra teorema consiste en una proposición que puede ser demostrada de manera lógica a

partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anticipación. Este proceso de demostración se lleva a cabo mediante ciertas reglas de inferencia.

El teorema, por lo tanto, puede ser descripto como una afirmación de importancia. Existen otras de menor rango, como ocurre con el lema (que pertenece a un teorema más largo), el corolario (que

sigue de manera inmediata al teorema) o la proposición (un resultado que no se encuentra asociado

a ningún teorema en específico).

Definición de POSTULADOLos postulados son fórmulas específicas de una teoría que se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo los números naturales y los números enteros, pueden comprender los mismos axiomas. Sin embargo los postulados expresan lo que es esencial de una estructura, o un conjunto de éstas. A diferencia de los axiomas lógicos, los postulados no son tautologías.Cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de postulados. Aunque se pensaba que, en principio, toda teoría se podía axiomatizar y formulizar, posteriormente esto se demostró imposible.En matemática son célebres los postulados de Euclides, expuestos en los Elementos, el tratado fundamental de la geometría clásica. Siglos después, cuando se cuestionó el quinto postulado de Euclides, surgió la llamada Geometría no euclidiana.Existen otros, como el postulado de Bertrand, referente a los números primos, y los postulados de Cauchy, enunciados por el matemático Augustin Louis Cauchy, relativos a vectores.

Definición de COROLARIO

Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada

usando las propiedades del teorema previamente demostrado.

Definición de METODO CIENTIFICO

Como método científico se denomina el conjunto de normas por el cual debemos regirnos para producir conocimiento con rigor y validez científica. Dicho de una forma sencilla, el método científico es una herramienta de investigación cuyo objetivo es resolver las preguntas formuladas mediante un trabajo sistemático y, en este sentido, comprobar la veracidad o falsedad de una tesis. De allí que un artículo científico sea el resultado de un estudio realizado y comprobado a través del método científico.

Definición de SISTEMA DE MEDICION DE ANGULOS

Sistema Internacional: Es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia; en este sistema se le conoce como medida angular unidad el radián, con abreviatura rad. Se utiliza en geometría, cálculos y análisis matemático, por ejemplo en sistema

de coordenadas polar, etc.

Sistema sexagesimal: Sistema de 360º, su unidad es el grado sexagesimal (º), cada grado a su vez se divide en 60 partes iguales llamados minutos (´), y estos a su vez se dividen en 60 partes iguales llamados segundos

(")

Sistema centesimal: Sistema de 400 grados, su unidad es el grado centesimal

Definición del Número π

π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Cabe destacar que el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías no euclidianas.

Biografía de SOCRATES(Atenas, 470 a.C. - id., 399 a.C) Filósofo griegoPlatón, que fue discípulo directo suyo, y Aristóteles, que lo fue a su vez de Platón.

Biografía Sócrates fue hijo de una comadrona, Faenarete, y de un escultor, Sofronisco, emparentado con Arístides el Justo. Pocas

cosas se conocen con certeza de la biografía de Sócrates, aparte de que participó como soldado de infantería en las batallas de

Samos (440), Potidea (432), Delio (424) y Anfípolis (422). Fue amigo de Aritias y de Alcibíades, al que salvó la vida.

La mayor parte de cuanto se sabe sobre él procede de tres contemporáneos suyos: el historiador Jenofonte, el comediógrafo

Aristófanes y el filósofo Platón. El primero retrató a Sócrates como un sabio absorbido por la idea de identificar el conocimiento y la

virtud, pero con una personalidad en la que no faltaban algunos rasgos un tanto vulgares. Aristófanes lo hizo objeto de sus sátiras en

una comedia, Las nubes (423), donde se le identifica con los demás sofistas y es caricaturizado como engañoso artista del discurso.

Estos dos testimonios matizan la imagen de Sócrates ofrecida por Platón en susDiálogos, en los que aparece como figura principal,

una imagen que no deja de ser en ocasiones excesivamente idealizada, aun cuando se considera que posiblemente sea la más justa.

Se tiene por cierto que Sócrates se casó, a una edad algo avanzada, con Xantipa, quien le dio dos hijas y un hijo. Cierta tradición ha

perpetuado el tópico de la esposa despectiva ante la actividad del marido y propensa a comportarse de una manera brutal y soez. En

cuanto a su apariencia, siempre se describe a Sócrates como un hombre rechoncho, con un vientre prominente, ojos saltones y labios

gruesos, del mismo modo que se le atribuye también un aspecto desaliñado.

La filosofía de Sócrates

La cuestión moral del conocimiento del bien estuvo en el centro de las enseñanzas de Sócrates, con lo que imprimió un giro

fundamental en la historia de la filosofía griega, al prescindir de las preocupaciones cosmológicas de sus predecesores. Como se ha

visto, el primer paso para alcanzar el conocimiento consistía en la aceptación de la propia ignorancia, y en el terreno de sus

reflexiones éticas, el conocimiento juega un papel fundamental. Sócrates piensa que el hombre no puede hacer el bien si no lo conoce,

es decir, si no posee el concepto del mismo y los criterios que permiten discernirlo.

El ser humano aspira a la felicidad, y hacia ello encamina sus acciones. Sólo una conducta virtuosa, por otra parte, proporciona la

felicidad. Y de entre todas las virtudes, la más importante es la sabiduría, que incluye a las restantes. El que posee la sabiduría posee

todas las virtudes porque, según Sócrates, nadie obra mal a sabiendas: si, por ejemplo, alguien engaña al prójimo es porque, en su

ignorancia, no se da cuenta de que el engaño es un mal. El sabio conoce que la honestidad es un bien, porque los beneficios que le

reporta (confianza, reputación, estima, honorabilidad) son muy superiores a los que puede reportarle el engaño (riquezas, poder, un

matrimonio conveniente).

El ignorante no se da cuenta de ello: si lo supiese, cultivaría la honestidad y no el engaño. En consecuencia, el hombre sabio es

necesariamente virtuoso (pues conocer el bien y practicarlo es, para Sócrates, una misma cosa), y el hombre ignorante es

necesariamente vicioso. De esta concepción es preciso destacar que la virtud no es algo innato que surge espontáneamente en

ciertos hombres, mientras que otros carecen de ella. Todo lo contrario: puesto que la sabiduría contiene las demás virtudes, la virtud

puede aprenderse; mediante el entendimiento podemos alcanzar la sabiduría, y con ella la virtud.

Sin embargo, en los Diálogos de Platón resulta difícil distinguir cuál es la parte de lo expuesto que corresponde al Sócrates histórico y

cuál pertenece ya a la filosofía de su discípulo. Sócrates no dejó doctrina escrita, ni tampoco se ausentó de Atenas (salvo para servir

como soldado), contra la costumbre de no pocos filósofos de la época, y en especial de los sofistas. Si, como parece, las ideas éticas

antes expuestas son del propio Sócrates, su filosofía se sitúa en la antípodas del escepticismo y del relativismo moral de los sofistas,

pese a lo cual, y a causa de su pericia dialéctica, fue considerado en su tiempo como uno de ellos, tal y como refleja la citada comedia

de Aristofánes.

Con su conducta, Sócrates se granjeó enemigos que, en el contexto de inestabilidad en que se hallaba Atenas tras las guerras del

Peloponeso, acabaron por considerar que su amistad era peligrosa para aristócratas como sus discípulos Alcibíades o Critias;

oficialmente acusado de impiedad y de corromper a la juventud, fue condenado a beber cicuta después de que, en su defensa, hubiera

demostrado la inconsistencia de los cargos que se le imputaban.

Según relata Platón en la Apología que dejó de su maestro, Sócrates pudo haber eludido la condena, gracias a los amigos que aún

conservaba, pero prefirió acatarla y morir, pues como ciudadano se sentía obligado a cumplir la ley de la ciudad, aunque en algún

caso, como el suyo, fuera injusta; peor habría sido la ausencia de ley.

PLATON

Platón Filósofo griego

"El hombre sabio querrá estar siempre con quién sea mejor que él" 

Platón 

Nacido el 427 a. C. en Atenas o Egina. Platón se llamaba en realidad Aristocles. Recibió el apelativo con el que le conocemos y que

significa "espalda ancha" por su corpulencia. Durante su juventud llegó a ser bicampeón olímpico de lucha.

Pertenecía a una familia noble. Su padre, Aristón, se decía descendiente del rey Codro, el último rey de Atenas. Su madre Períctiona,

descendía de la familia de Solón, el antiguo legislador griego. Era además hermana de Cármides y prima de Critias. Platón tuvo dos

hermanos, Glaucón y Adimanto, y una hermana, Potone. Tuvo una educación esmerada en todos los ámbitos del conocimiento.

De joven, Platón tuvo ambiciones políticas pero se desilusionó con los gobernantes de Atenas. Es posible que se iniciara en la filosofía

con las enseñanzas del heracliteano Cratilo. Cuando cuenta veinte años tiene lugar el encuentro con Sócrates que contaba entonces

63 años y se convertirá en su único maestro hasta su muerte. Proclamado discípulo de Sócrates, aceptó su filosofía y su forma

dialéctica de debate: la obtención de la verdad mediante preguntas. Parece ser que fue testigo de la muerte de su maestro. Temiendo

por su vida, abandonó Atenas algún tiempo y viajó a Italia, Sicilia y Egipto. En el año 387 Platón fundó en Atenas la Academia,

institución a menudo considerada como la primera universidad europea. Se daban materias como astronomía, biología, matemáticas,

teoría política y filosofía. Aristóteles fue su alumno más destacado. Ante la posibilidad de conjugar la filosofía y la práctica política,

viajó a Sicilia en el año 367 a.C. para ser tutor del nuevo gobernante de Siracusa Dionisio el Joven. El experimento fracasó. Platón

regresó a Siracusa en el año 361 a.C., pero una vez más su participación en los acontecimientos sicilianos tuvo poco éxito.

Es el primer pensador griego cuya obra se ha conservado íntegramente, y Aristóteles transmitió incluso fragmentos de su enseñanza

oral en la Academia, al parecer discordante con sus escritos. Sus escritos adoptaban la forma de diálogos, exponiendo ideas

filosóficas, se discutían y se criticaban en el contexto de una conversación o un debate en el que participaban dos o más personas. El

primer grupo de escritos de Platón incluye 35 diálogos y 13 cartas. Pasó los últimos años de su vida dando conferencias en la

Academia y escribiendo. Murió próximo a los 80 años en Atenas en el año 348 o 347 a.C. 

ARISTOTELES

Aristóteles Filósofo y científico griego 

Nacido en Estagira (actual Stavros), Macedonia, en el año I de la Olimpiada XCIX, hacia el año 386/385 o 384 a.C.

Hijo de Nicómaco, médico personal del rey de Macedonia Amintas III. A la muerte de su padre y de su madre, Festis, y después de

su único hermano Arimnesto, se traslada a la ciudad de Atarneo. Allí tuvo como tutor a Próxeno. Viajó a Atenas con 17 años con

intención de asistir a la Academia dePlatón. Aristóteles fue discípulo suyo y de otros pensadores como Eudoxo durante los veinte

años que estuvo en la Academia, donde se le apodó "el inteligente".

Al fallecer Platón en el año 347 a.C., viaja a Assos, ciudad de Asia Menor en la que gobernaba su amigo Hermias, al que sirvió como

asesor, casándose además con su sobrina e hija adoptiva,Pythias, con la que tuvo tuvo una hija. Se relacionó también con Hepylis,

con la que tuvo otro hijo al que llamó Nicómaco y dedicó su Etica a Nicómaco.

Tras ser ejecutado Hermias a manos de los persas en el 345 a.C., Aristóteles se trasladó a Pella, capital de Macedonia, donde fue

tutor del hijo menor del reyFilipo II, que sería conocido como Alejandro III el Magno. Filipo mandó a llamarle por ser el filósofo de

más fama y más extensos conocimientos. Fueron premiadas sus enseñanzas reedificándose de nuevo la ciudad de Estagira, su

ciudad natal, que el mismo Filipo había asolado. Durante 8 años el alumno recibió una enseñanza integral en el paraje de Miéza, cerca

de Pella. Parece que Alejandro no sólo aprendió la ética y la política, sino que tomó también conocimiento de otras enseñanzas

reservadas a las que los filósofos llamaban, "acromáticas" y "epópticas", y que no comunicaban a la "muchedumbre". En el año 335

a.C., al acceder Alejandro al trono, volvió a Atenas y fundó su propia escuela: el Liceo.

Aristóteles abrió el Liceo hacia 334 a.C. en un espacio cercano a la puerta de Diócares. El nombre le viene de Apolo Licio, dios al

cual Aristóteles consagra su institución. En el Liceo, como antes en la Academia, había dos grupos de discípulos: los que participaban

de las enseñanzas más profundas y los que recibían enseñanzas más sencillas y prácticas. Como gran parte de los debates se

desarrollaban mientras paseaban por el Liceo, el centro fue conocido como escuela peripatética.

Resumió todo el saber de su época, pero brilló especialmente en las ciencias naturales descriptivas. Fue autor de la

primera clasificación de los animales, padre de la anatomía comparada y maestro de otros científicos, como el botánico Teofrasto,

su sucesor en el Liceo. Rechazó la teoría atómica de Demócrito y sostuvo que la materia se origina en la mezcla de cuatro

propiedades fundamentales: caliente, frío, húmedo y seco, que se combinan entre sí para dar lugar a los cuatro elementos o esencias:

tierra, agua, aire y fuego, a los que añadió un quinto (la quinta esencia o éter), que formaría los cuerpos celestes.

Demostró por varios métodos la esfericidad de la Tierra y sostuvo que ésta está situada en elcentro del universo. Es el primero

en clasificar las ciencias, que dividió en teóricas (matemáticas, física y metafísica), prácticas (ética, política y economía)

y poéticas (poética, retórica, etc.). En esta clasificación no se incluye la lógica, descubierta por él, pues es el instrumento para el recto

discurrir en todas ellas. También inventó el silogismo, instrumento fundamental del pensamiento occidental.

Aristóteles escribió libros de divulgación, de los que sólo se conservan fragmentos, y otros de notas, para el círculo de sus iniciados,

de los que quedan 47. La edición de Andrónico de Rodas (h. el 70 a. C.) es la base del Corpus aristotelicum, tal como ha llegado a

nosotros, que se compone de los siguientes títulos o colecciones: "Organon" (tratados de Lógica), "Física" "Del cielo", "De la

generación y la corrupción", "Meteorología", "Metafísica", "Historia de los animales", "De los movimientos de los animales",

" De la generación de los animales", "Política", "El alma", "Moral a Nicómaco", "Moral a Eudemo", "Retórica", "Poética" y "Parva

Naturalia".

Aristóteles murió en Calcis, Reino de Macedonia, en el 322 a. C. probablemente de una afección estomacal en torno a los sesenta y

tres años de edad. Antes de fallecer escribió un testamento por el cual deja a su familia (su hija Pitias, su hijo Nicómaco y su segunda

mujer Herpilis) bajo la protección de Antipáter (lugarteniente de Alejandro), y a Teofrasto la dirección del Liceo. Asimismo a la hija de

su primer matrimonio la entrega en nupcias a su ahijado Nicanor, hijo de su tutor Próxeno y oficial de estado mayor de Alejandro.

EUCLIDES

Matemático griego

Se desconoce su fecha de nacimiento y muerte aunque algunos datos apuntan al 330-275 a. C. También hay razones para sospechar

de la no existencia de Euclides; no se conoce fidedignamente nada de él, además de diferencias notables de estilo en sus obras.

Se cree que cursó estudios en Atenas con discípulos de Platón. Dio clases de geometría enAlejandría donde fundó una escuela de

matemáticas. Durante el reinado del faraón helenistaTolomeo I (305-285 a. C.) quien, deseando modernizar los tratados de geometría

existentes, encomendó a Euclides escribir una compilación o refundición completa. El resultado fue Los Elementos", en trece

volúmenes, a los que posteriormente se añadieron dos más, atribuidos aHipsicles de Alejandría.

Los Cálculos, los Fenómenos, la Óptica, la División del canon (estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido a

Euclides, aunque hoy se cree que alguna se le han adjudicado erróneamente. Los historiadores cuestionan además algunas de sus

aportaciones. Probablemente las secciones geométricas de los Elementos fueron en un principio una revisión de las obras de

matemáticos anteriores, como Eudoxo, aunque se considera que hizo algunos descubrimientos en la teoría de números.

Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años. La primera edición impresa de sus obras apareció en Venecia

en 1482, una traducción del árabe al latín. Esta obra es el coronamiento de las investigaciones realizadas por los geómetras de

Atenas. Euclides no hace sino volver a tratar con mayor perfección los ensayos anteriores; hace una selección de las proposiciones

fundamentales y las coordina convenientemente desde el punto de vista lógico utilizando una forma deductiva.

En los Elementos Las definiciones que emplea son nominales, entre las que encontramos las siguientes:

1 - Punto: "Cosa que no tiene parte"

2 - Línea: "Es una cosa que no tiene sino largo, es una longitud sin ancho"

3 - Los extremos de líneas son puntos

4 - Superficie es lo que tiene sólo largo y ancho

5 - Ángulo es la inclinación de una línea respecto a otra

6 - Ángulo agudo es aquel menor que el recto y ángulo obtuso, el mayor que el recto

Probablemente el primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra

Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea

entera es al segmento mayor como el mayor es al menor. Además, definió los triángulos isósceles, rectángulos, etc. y dio definiciones

de elementos que (al igual que los antes mencionados) aún seguimos usando.

Tales de Mileto 

Filósofo griego 

Nació en el 624 a.C.en Mileto ciudad griega en la Jonia (hoy Turquía), año primero de la XXXV Olimpiada.

Relacionado con Anaximandro, su discípulo, y con Anaxímenes, discípulo de Anaximandro, denominándose a los tres como

la Escuela Jónica o "de Mileto". Es el primero de los siete sabios de Grecia, reconocidos por su sabiduría práctica.

Ya en su tiempo se le reconocieron sus conocimientos de astronomía tras predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585

a.C. Diógenes Laercio dijo que "fue el primero que averiguo la carrera de un trópico a otro, y el primero que comparando la

magnituddel sol con la de la luna, manifestó ser ésta setecientas veinte veces menor que aquél, como escriben algunos", que fue el

inventor de las estaciones del año y asignó a este trescientos sesenta y cinco días. Parece ser que fue el introductor de la geometría

en Grecia.

Se cuenta que consiguió medir la altura de las pirámides por medio de su sombra, proporcionándola con la nuestra cuando esta es

igual al cuerpo, esto es, Tales esperó a que la sombra de una persona tuviera la misma longitud que la altura del cuerpo de la misma

persona, afirmando entonces que la longitud de la sombra de la pirámide habría de ser igual a la altura de ésta.

Sostenía que el principio de todas las cosas es el agua, de la que todo procede. Creía que la Tierra era un disco circular plano que

flotaba sobre el agua (el mar universal).

Cansado de la burla de sus conciudadanos ya que decían que era raro que siendo tan sabio no fuese igualmente rico. Se enriqueció

especulando con el aceite sabiendo que iba a haber una buena cosecha de olivas, tomó en arriendo todas las prensas que pudo

encontrar, monopolizando el mercado, y luego las alquiló al precio que él puso y se hizo rico en un solo año. Tras esto vendió prensas

y tierras y volvió a sus estudios eliminando al mismo tiempo las chanzas de que era objeto.

No dejó escritos; y de lo que de él se sabe, procede de lo que se cuenta en la Metafísica deAristóteles.

Tales de Mileto falleció el 543 a.C. mientras contemplaba unos juegos gimnásticos en la LVIII Olimpiada, según recoge Diogenes

Laercio.

Arquimides de Siracusa

Matemático e inventor griego 

Nació en el 287 a. C. en Siracusa, Sicilia, aunque se educó en Alejandría (Egipto).

Arquímedes fue primo del rey Hierón II del cual fue consejero y responsable de la defensa de la ciudad. El empeño del rey Hierón era

la construcción de una gran flota e hizo construir el Syrakosa, la mayor nave de su época, que en el momento de su botadura quedó

embarrancado. Arquímedes con ayuda de poleas compuestas ayudadas por palancas apuntaladas en el casco consiguió levantarlo a

flote ante la fascinación del rey.

Se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, en las matemáticas puras. Fue capaz de demostrar que el

volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. Además, en mecánica, definió la ley de la palanca y

es reconocido como el inventor de la polea compuesta. En Egipto inventó el 'tornillo sin fin' para elevar el agua de nivel. Famoso por el

descubrimiento de la ley de la hidrostática, también llamado principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en

un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Se cuenta que este descubrimiento lo

hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba

La mayor parte de la vida de Arquímedes transcurrió en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, y la dedicó a la investigación y los

experimentos. Durante la conquista romana de Sicilia se puso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus

instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra destacan sus inventos de la catapulta y

un sistema de espejos que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.

Cuando Siracusa fue conquistada durante la segunda Guerra Púnica, se cree que fue asesinado en 212 a. C. por un soldado romano

que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Dicen que Arquímedes estaba tan metido en las operaciones que

ofendió al intruso al decirle: "No desordenes mis diagramas". 

Escribió varias obras:

1. Esfera y cilindro

2. Medida del círculo

3. Gnoides y esferoides

4. Espirales

5. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad

6. Cuadratura de la parábola

7. El arenario

8. Cuerpos flotantes

9. Los lemas

10. El método

PITAGORAS

 Filósofo y matemático griego 

Nació el 570 a.C.en la isla de Samos, junto a Mileto, siendo hijo de Menesarco, tal vez un rico comerciante de Samos.

Probablemente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvió a Samos durante la dictadura de Policrates (538-522). Hacia 529 viajó al sur

de Italia y fundó en Crotona la fraternidad pitagóricaInstruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios como Tales de Mileto, Anaximandro yAnaxímenes. Hacia el 530 a.C. se

radica en Crotona, colonia griega al sur de Italia, allí funda un movimiento con propósitos políticos y filosóficos, conocido

como pitagorismo.

La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos. Los pitagóricos aconsejaban la obediencia y el silencio,

la abstinencia, la sencillez en el vestir y el autoanálisis. El primer vegetariano moderno prominente fue Pitágoras. La dieta pitagórica

vino a significar el evitar la carne de animales masacrados. La ética pitagórica se convirtió primero en una moral filosófica entre 490-

430 a.C. con el deseo de crear una ley universal y absoluta incluyendo una orden de no matar ''criaturas vivas'', abstenerse de la

''desagradable matanza estridente'', en particular sacrificios de animales, y ''nunca comer carne'' - de ''El Festín de los herejes''. Creían

en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra

de Troya.

Entre las investigaciones matemáticas de los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares, de

los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Cultivaron el concepto de número, que llegó a ser

para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base

científica para las matemáticas.

En geometría descubrieron el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de

la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En astronomía los pitagóricos

significaron un avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globoque gira

junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de

acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Pensaban que los cuerpos celestes

estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas y mantenían que el movimiento

de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.

Los pitagóricos consiguieron gran influencia política en Magna Grecia (sur de Italia), lo que provocó reacciones contra ellos. La

primera forzó a Pitágoras a abandonar Crotona y retirarse a Metaponte, donde se dice que se dejó morir de hambre el 495 a.C.,

aunque hay otras versiones de su muerte.