SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESALGEBRA LINEAL

INDICE DEFINICION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES2CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALLES Y TIPOS DE SOLUCION4INTERPRETACIN GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES 6METODOS DE SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (GAUS-JORDAN)16APLICACIONES21

1. DEFINICIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

En matemticas y lgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuacin es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la matemtica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seales, anlisis estructural, estimacin, prediccin y ms generalmente en programacin lineal as como en la aproximacin de problemas no lineales de anlisis numrico.En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incgnitas puede ser escrito en forma normal como:

Dondeson las incgnitas y los nmerosson los coeficientes del sistema sobre el cuerpo. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notacin matricial:

Si representamos cada matriz con una nica letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminacin de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

2. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCIN

=Clasificacin=Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales segn su nmero de soluciones de la siguiente forma:Sistemas con una solucin: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solucin del sistema.Sistemas sin solucin: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningn punto en comn, y por tanto no hay solucin.Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en comn, y por tanto todos ellos son solucin-Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:Una solucin: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales.Ejemplo:

Ninguna solucin: Los coeficientes de x e y de una ecuacin son proporcionales a los de la otra, mientras que los trminos independientes no lo son.Ejemplo:

Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el trmino independiente de una ecuacin, son proporcionales a los de la otra.Ejemplo:

3. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES

Sustitucin

El mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incgnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuacin, sustituirla en otra ecuacin por su valor.

En caso de sistemas con ms de dos incgnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuacin y una incgnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este mtodo reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitucin este sistema:

En la primera ecuacin, seleccionamos la incgnita ypor ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite ms las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuacin.

El siguiente paso ser sustituir cada ocurrencia de la incgnita yen la otra ecuacin, para as obtener una ecuacin donde la nica incgnita sea la x.

Al resolver la ecuacin obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incgnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualacin

El mtodo de igualacin se puede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin en el que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y a continuacin se igualan entre s la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el mtodo de sustitucin, si despejamos la incgnitaen ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas tambin son iguales entre s.

Una vez obtenido el valor de la incgnita x, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y.

La forma ms fcil de tener el mtodo de sustitucin es realizando un cambio para despejar x despus de averiguar el valor de la y.

Reduccin

Este mtodo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado para sistemas con dos ecuaciones e incgnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo.

A continuacin, se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple.Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos ms que multiplicar la primera ecuacin por -2para poder cancelar la incgnita y. Al multiplicar, dicha ecuacin nos queda as:

Si sumamos esta ecuacin a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuacin donde la incgnita yha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incgnita x:

El siguiente paso consiste nicamente en sustituir el valor de la incgnita xen cualquiera de las ecuaciones donde aparecan ambas incgnitas, y obtener as que el valor de yes igual a:

Mtodo Grfico

Consiste en construir la grfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El mtodo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensin 2.

El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo grfico se resuelve en los siguientes pasos:

Se despeja la incgnita (y) en ambas ecuaciones.

Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.

Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

En este ltimo paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los nicos valores de las incgnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".

Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.

Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin.

Mtodo de Gauss

La eliminacin de Gauss-Jordan, ms conocida como mtodo de Gauss, es un mtodo aplicable nicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incgnita, cuyo valor ser igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reduccin, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algortmico.

El Mtodo de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incgnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuacin tiene 3 incgnitas, la segunda ecuacin tiene 2 incgnitas, y la tercera ecuacin tiene 1 incgnita. De esta forma ser fcil a partir de la ltima ecuacin y subiendo, calcular el valor de las tres incgnitas.

En primer lugar, reducimos la incgnita x, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por 2/3, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda as:

El siguiente paso consiste en eliminar la incgnita yen la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por -2y por -4, respectivamente.

Por ltimo, eliminamos la z, tanto de la primera como de la segunda fila, sumndoles la tercera multiplicada por -2y por 1/2, respectivamente:

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: 1/2, 2y -1respectivamente, y obtener as automticamente los valores de las incgnitas en la ltima columna.

Pongamos un ejemplo del clculo de un sistema de ecuaciones por el mtodo de Gauss: Se renen 30 personas entre hombres, mujeres y nios. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los nios. Tambin se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al nmero de nios. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones. x=nmero de hombres; y=nmero de mujeres; y z=nmero de nios.Se renen 30 personas entre hombres, mujeres y nios: x+y+z=30.Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los nios: x+3y=2z+20.Tambin se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al nmero de nios: x+y=2z.

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuacin a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuacin se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer ms operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuacin:

Sustituyendo z en la segunda ecuacin obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z y en la primera ecuacin obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

Mtodo de Cramer

La regla de Cramer da una solucin para sistemas compatibles determinados en trminos de determinantes y adjuntos dada por:

Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-sima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas:

La regla de Cramer da la siguiente solucin:

4. METODOS DE SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Matemticamente se conoce a un sistema de ecuaciones, como un conjunto de dos o ms ecuaciones con varias incgnitas, las cuales conforman o representan un problema matemtico, y cuyo fin consisten en encontrar las incgnitas que satisfacen dichas ecuaciones.En un sistema de ecuaciones algebraicas las incgnitas son valores numricos o ms generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones, una solucin de dicho sistema es por tanto, un valor o una funcin que sustituida en las ecuaciones del sistema hace que stas se cumplan automticamente sin que se llegue a una contradiccin. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incgnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.Existen diferentes mtodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales dentro de los cuales se destacan: Mtodo de reduccin, mtodo de sustitucin, mtodo de igualacin y mtodo de gaus-jordan. GAUS-JORDANEste mtodo debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y as hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reduccin del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendr una incgnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.Este mtodo, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultneas. Lo que lo diferencia del mtodo Gaussiano es que cuando es eliminada una incgnita, se eliminar de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuacin principal as como de las que la siguen a continuacin. De esta manera el paso de eliminacin forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitucin hacia atrs para conseguir la solucin.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mtodo Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notacin matricial, por ejemplo:

Tambin se le llama matriz aumentada.Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:

Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarn en todos los elementos de la fila.En dicha matriz identidad no vemos los trminos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los trminos sern la solucin del sistema y verificarn la igualdad para cada variable que se correspondern de la forma siguiente: d1 = x d2 = y d3 = zAhora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este mtodo con un ejemplo concreto. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo anotaremos en forma matricial:

Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para as convertirla en la matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:

Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de matriz identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por el inverso de 2, o sea . Veamos como nos queda:

A continuacin debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo buscaremos el opuesto de los nmeros que se encuentren por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3 ser -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los opuestos de estos nmeros por cada uno de los elementos de la fila primera y estos se adicionarn a los nmeros de sus respectivas columnas Por ejemplo en el caso de la segunda fila, se multiplicar a -3 que es el opuesto de 3, por cada uno de los elementos de la primera fila y se aadir el resultado con el nmero correspondiente de la columna de la segunda fila. Veamos el ejemplo: A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y columnas de la matriz, observaremos como esta se transforma en el modelo de la matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos finalmente en la cuarta columna los valores de las variables. Veamos entonces como nos quedara:x= 1y= -1z= 2

Resuelto el sistema de ecuaciones, podemos verificar como ltimo paso:

5. APLICACIONES

Los sistemas de ecuaciones sirven para resolver problemas aplicados a la vida diaria recuerda que las matemticas son fundamentales y todo lo que nos rodea son matemticas imagnate este problema

En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, cuntas preguntas ha acertado Juan?, cuntas ha fallado?.

Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez ledo detenidamente el enunciado del problema y entendido ste, hay que tener claro qu es lo que se pregunta y cmo vamos a llamar a las incgnitas que vamos a manejar en la resolucin del problema.

Est claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuntas preguntas ha fallado y cuntas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al nmero de respuestas acertadas e y al de falladas.

En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cmo hemos nombrado las incgnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:

El nmero total de preguntas es 20, luego: x + y = 20La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8

Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es decir, la resolucin del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los mtodos vistos en las secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el mtodo de sustitucin tendremos:

De la segunda ecuacin: x = 2y + 8 ;sustituyendo en la primera:2y + 8 + y = 20 3y = 12 y = 12/3 y = 4 ;sustituyendo en la ecuacin del principio: x = 16 .

Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habamos nombrado las incgnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solucin es correcta.

Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendra en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarn el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, segn el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y la solucin hallada es correcta y vlida.

13