Definición de transformada de Laplace

Sea una función definida para . Entonces la integralL{f(t)}=∫∞0e−stf(t)dt

se llama Transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una función de s. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace. La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como

sigue:   La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).Propiedades de la transformadad de LaplaceLinealidad de la transformadad de Laplace

Transformada de Laplace de t elevado a la n. tn

Transformada de laplace del Seno

Transformada de laplace del Coseno

Transformada de laplace del Seno hiperbólico

Transformada de laplace del Coseno hiperbólico

Transformada de laplace del Logaritmo natural

Transformada de laplace de la Raíz n-ésima

Función de Bessel de primera especie

Función modificada de Bessel de primera especie

Función error

Derivación

(que crece más rápido que ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , no es una función de orden exponencial. Los pasos para resolver del problema planteado son:

Aplicar Despejamos y solucionamos Y(s)

Aplicamos para tene Y(t)Tenemos la solución del problemaIntegraciónL{∫t0f(τ)dτ}=1sL{f}

De la definición de convolucionf(t)∗g(t)=∫0∞f(τ)g(τ)dτCuandog(t−τ)=1 entoncesf(t)∗1=∫0∞f(τ)dτpor lo que tenemos que:f(t)=∫0∞f(τ)dτDesplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal en t

Nota: es la función escalón unitario.Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con período p

Otras transformadas inversas comunesEjemplo 1Evalúe .

Solución: De acuerdo con la definición,

Se sobre entiende que en el límite superior queremos decir que cuando para . Ejemplo 2Evalúe .

Solución: De acuerdo con la definición, . Al integrar por partes con llegamos a;

Ejemplo 3

Evalúe .

Solución: De acuerdo con la definición,

El resultado depende del hecho de , para ó . Ejemplo 4

Evalúe . Usando los teoremas de las transformadas Transformadas de Algunas Funciones BásicasFunción Transformada de Laplace

Algunas DemostracionesSenoL{sen(k∗t)}==∫∞0(sen(k∗t))e−s∗tdt=limb−>∞∫b0(sen(k∗t))e−s∗tdt=limb−>∞[e−s∗t(−k∗cos(k∗t)−s∗sen(k∗t)s2+k2)]=limb−>∞[e−s∗b(−k∗cos(k∗b)−s∗sen(k∗b)s2+k2)−e−s∗0(−k∗cos(k∗0)−s∗sen(k∗0)s2+k2)]=−(−ks2+k2)=ks2+k2 Al momento de evaluar la integral dentro del límite vemos que la primera parte se hace 0 (por propiedades de los límites) y en la segunda parte simplemente evaluamos cada expresión con el 0 sustituido.CosenoL{cos(k∗t)}=∫∞0(cos(k∗t))e−s∗tdt=limb−>∞∫b0(cos(k∗t))e−s∗tdt=limb−>∞[e−s∗t(k∗sen(k∗t)−s∗cos(k∗t)s2+k2)]=limb−>∞[e−s∗b(k∗sen(k∗b)−s∗cos(k∗b)s2+k2)−e−s∗0(k∗sen(k∗0)−s∗cos(k∗0)s2+k2)]=−(−ss2+k2)=ss2+k2 Al igual que en la anterior, la primera parte de evaluar la integral dentro del límite se hace 0 y en la segunda parte simplemente evaluamos cada expresión con el 0 sustituido.Seno HiperbólicoL{senh(k∗t)}=∫∞0(senh(k∗t))e−s∗tdt=∫∞0(ek∗t−e−k∗t2)e−s∗tdt=limb→∞∫b0(ek∗t−e−k∗t2)e−s∗tdt=limb→∞(e−t(s+k)2(s+k)−e−t(s+k))2(s−k))=limb→∞(e−b(s+k)2(s+k)−e−b(s−k))2(s−k)−e0(s+k)2(s+k)+e0(s−k))2(s−k))=12(s−k)

−12(s+k)=2(s+k)−2(s−k)2(s−k)(s+k)=2k2(s2−k2)=k(s2−k2) Para poder realizar esta demostración fue necesario cambiar el senh por la fórmula con la que está definido. Después de haber hecho este cambio se integra y se evalúa el límite como los ejemplos anteriores. Es importante mencionar que para la primera parte del límite sea 0 es necesario hacer un pequeño cambio en el exponente para que todo tienda a 0.Coseno HiperbólicoL{cosh(k∗t)}=∫∞0(cosh(k∗t))e−s∗tdt=∫∞0(ek∗t+e−k∗t2)e−s∗tdt=limb→∞∫b0(ek∗t+e−k∗t2)e−s∗tdt=limb→∞(−e−t(s+k)2(s+k)−e−t(s−k))2(s−k))=limb→∞(−e−b(s+k)2(s+k)−e−b(s−k))2(s−k)+e0(s+k)2(s+k)+e0(s−k))2(s−k))=12(s+k)+12(s−k)=2(s−k)+2(s+k)2(s−k)(s+k)=2s2(s2−k2)=s(s2−k2) Al igual que en la anterior, para poder realizar esta demostración fue necesario cambiar el cosh por la fórmula con la que está definido. Después de haber hecho ese cambio se continúa con el procedimiento de forma normal. También es necesario hacer un pequeño cambio en el exponente para que la primera parte del límite se haga 0.Ejemplo 5

Evalúe . Usando los teoremas de las

transformadas Ejemplo 6

Evalúe . . Usando los teoremas de las

transformadas Ejemplo 7

Determinar Dado el 1er teorema de traslacion obtenemos que restamos el

corrimiento. Ejemplo 8

Determine la tansformada de Laplace Forzamos el seno para que tenga la forma

Aplicamos la tranformada Ejemplo 9

Aplicar la transformada de Laplace de Aplicamos la Transformada de Laplace y

obtenemos Ejemplo 10

Aplicar la transforamada de Laplace de:

Teorema de Contraccion o expansion de la transformada de LaplaceL{f(t)}=F(s) y g(t)=f(at)→L{g(t)}=1aF(sa) L{gt}=L{f(at)}=∫∞0f(at)eatdt hacemos u=at entonces dua=dt sutituimos 1a∫∞0f(u)esaudu por lo tanto L{gt}=1aF(sa) Pedido por la taringuera laurisnavy.

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