Función de dos Variables

Definición:

Una función de 2 variables es una regla de correspondencia, que asigna a cada

par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D (subconjunto de R2), un

número real único denotado por f(x, y).

Ejemplo:

La grafica de f es la superficie que tiene la ecuación Z=x2+ y2. La traza de la

superficie en el planoX ,Y se obtiene al utilizar la ecuación Z=0 simultáneamente

con la ecuación de la superficie. Al hacerlo resulta x2+ y2=0 la cual representa el

origen. Las trazas en los planos X ,Z y Y ,Z se obtiene al emplear las ecuaciones

z=x2+Y 2. Estos trazos son las parábolas z=x2 y z= y2.

Z=x2+ y2

Función de tres Variables

Definición:

Una función de 3 variables, f, es una regla que asigna a cada terna ordenada (x, y,

z) de un dominio D (subconjunto de R3) un número real denotado por f(x, y, z).

Ejemplo 1:

La aceleración de la gravedad (gravedad local) de un punto sobre la superficie

terrestre, depende de su longitud x, su latitud y y su elevación z cobre el nivel del

mar, entonces escribimos:

G.local = f(x, y, z)Es muy difícil visualizar funciones de 3 variables (o más) puesto que se

encuentran en un espacio de 4 dimensiones (o más), pero sus superficies de nivel

nos dan idea de su comportamiento.

Ejemplo 2:

La intensidad del campo magnético en un punto de la Tierra se define por las

coordenadas x, y, z de dicho punto, entonces la correspondencia funcional se

escribe:

I = f(x, y, z)

Dominio de Una Función de Dos Variables:

Definición:

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá

un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que

corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contra dominio.

Una función de dos variables se denota usualmente con la notación

z = f (x, y) =

Ejemplo 1: Halle el dominio de f ( x , y )=√x+ y+1x−1

Al igual que en el caso de las funciones de varias variables, debemos identificar las restricciones de f, para garantizar que f(x, y) R2. D = Dom = {x, y│ x + y + 1 ≥ 0, x ≠ 1}

Ejemplo 2: Halle el dominio de f ( x , y )=xln( y2−x)

El dominio es el conjunto de puntos “fuera” de la parábola” con vértice en origen y2 > x

D=Dom={x , y|y2−x>0 }={x , y∨ y2>x }

Límites de funciones de dos variables o más:

Definición:

Sea f una función de 2 variables o mas cuyo dominio D incluye puntos

arbitrariamente cercanos a (a, b, c). Entonces decimos que el límite de f(x, y,z)

cuando (x, y, z) se aproxima infinitesimalmente a (a, b, c) [(x, y, z) → (a, b, c)] es L

y escribimos:

Tres o más Variables

lim f(x, y) = L (x, y) → (a, b)

Dos Variables

lim f(x, y,z) = L (x, y, z) → (a, b, c)

Importante:

Si f(x, y) → L1 cuando (x, y) → (a, b) por una trayectoria C1 y f(x, y) → L2 cuando (x, y) → (a, b) por una

trayectoria C2, donde L1 ≠ L2, entonces:

Ecuaciones y Teoremas:

1. Limites por curvas.

Sea f: R2 →R. Si lim (x,y)→(a,b) f(x, y) = L entonces para toda función real y

continua g definida en un entorno de a, tal que g(a) = b , se cumple lim x→a f(x,

g(x)) = L . Geométricamente esto Significa que el lımite a lo largo de cualquier

curva y = g(x) debe ser L.

Ejemplo:

lim f(x, y) = NO EXISTE(x, y) → (a, b)

2. Limites iterados.Dada una función f de R2 en R, sean

Se llaman limites iterados de f en (a, b) a

Si la función f tiene limite L en (a, b) y existen f1(x) y f2(y) entonces existen L1 y L2

siendo ambos iguales a L.

Ejemplo:

3. Método general.

Una forma de probar que consiste en acotar

siendo

Para acotar convenientemente recurriremos a:

(1) Utilización de acotaciones del tipo:

(2) Utilización de límites conocidos, por ejemplo

Ejemplo:

Teorema del Emparedado:

El teorema del emparedado es un teorema usado en la determinación del límite de

una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en

un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores

tendrá el mismo límite en el punto.

El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones

de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el

límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite

conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma

geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π. Aunque la

formulación moderna fue obra de Gauss.

Ejemplos generales de Límites de funciones de dos variables:

a) Encontrar el limite de

Proponemos:

Ahora proponemos:

El límite no existe.

b) Encontrar el límite de si

Entonces iniciamos por encontrar el límite cuando una de ambas variables es

cero. Debemos notar que tanto en el numerador como en la raíz en el

denominador el hecho de hacer una de las variables igual a cero, sin importar cual

sea, el resultado será el mismo. Por esta razón haremos el análisis para una sola

variable.

Para

Usando L'Hôpital y con algo de algebra tenemos:

Intentando encontrar que el límite no existe hacemos otra prueba mas con :

L'Hôpital

Otro intento mas con

L'Hôpital

El límite tiende posiblemente a 2.

Continuidad de una función de dos Variables

Definición:

Una función de 2 variables es continua en un punto (a, b) si el límite en ese punto

existe, es decir, si se cumple con el teorema de “valor absoluto”.

(x, y) → (a, b)

Teoremas de Continuidad:

Teorema 1. Caracterización de la continuidad usando límites: f es

continua en (a, b)↔lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = f(a, b).

Teorema 2: Si k ∈ R y f, g son continuas en (a, b) entonces las siguientes

funciones son continuas en (a, b):

1. k · f (Múltiplo escalar).

2. f ± g (Suma y diferencia).

3. f · g (Producto).

4. f/g si g(a, b) 6= 0 (Cociente).

lim f(x, y) = f(a, b)

5. Si f(x, y) es continua en (a, b) y h(z) es continua en z0 = f(a, b) entonces

(h o f)(x, y) = h (f(x, y)) (Función compuesta continua en (a,b))

Ejemplo: