Rafael Félix Mora Ramírez

Definición y características de las paradojas lógicas

“Aun los expertos más sutiles pueden ser incapaces de evitar proferencias que conducen a paradojas. Se cuenta que Russell preguntó en una ocasión a Moore si siempre decía la verdad y que consideró la respuesta negativa de Moore como la única falsedad emitida por Moore. No hay duda de que nadie ha tenido un olfato más fino para las paradojas que Russell. Sin embargo, es obvio que no se percató de que si, como él pensaba, todas las otras proferencias de Moore eran verdaderas, la respuesta negativa de Moore no sólo era falsa, sino paradójica”

SAÚL KRIPKE, Esbozo de una teoría de la verdad.

Resumen:

Éste artículo, que trata acerca de la naturaleza de la paradoja, se divide en cuatro partes. En la primera parte, se discuten los conceptos de aporía, antinomia y paradoja. En la segunda parte, se define la ‘paradoja lógica’ considerando que significa lo que significan sus partes. El significado de ‘paradoja’ y ‘lógica’ se construye de acuerdo a los criterios etimológico y gramático. Luego, se la caracteriza en sus dos presentaciones: la paradoja oracional será una oración infundada, circular y contradictoria, mientras que la paradoja argumental será un argumento válido o inválido. En la tercera parte, se caracteriza detalladamente la paradoja tipo oración y se mencionan algunos ejemplos. Finalmente, en la cuarta parte se expone y caracteriza las paradojas tipo argumento.

Palabras clave:

Antinomia, paradoja, lógica, paradoja lógica, paradoja del mentiroso, autorreferencia, circularidad, contradicción, argumento, falacia, paradoja verídica.

1. Paradoja, aporía y antinomia

1

La paradoja lógica mantiene una estrecha relación con la aporía aristotélica. La

paradoja es un argumento. La forma lógica de este argumento es P → (Q↔¬Q), o

P→(Q&¬Q). La aporía también es un argumento. Su forma lógica es (Q&¬Q)→P.

Es decir, mientras que la paradoja puede terminar en una contradicción, la aporía

se inicia en la misma. Pero la contradicción en ambos casos se produce por un

dilema. Escribe Aristóteles (1998, pp. 129-130) en el libro III de su Metafísica:

“(…) detenerse minuciosamente en una aporía es útil para el que quiere encontrarle una salida adecuada. En efecto, la salida adecuada ulterior no es sino la solución de lo previamente aporético. Por lo demás, quien no conoce el nudo no es posible que lo desate, pero la situación aporética de la mente pone de manifiesto lo problemático de la cosa. Y es que, en la medida en que se halla en una situación aporética, le ocurre lo mismo que a los que están atados: en ambos casos es imposible continuar adelante. Por eso es conviene considerar primero todas las dificultades, por las razones aducidas y también porque los que buscan sin haberse detenido antes en la aporía se parecen a los que ignoran adónde tienen que ir, y además <ignoran> incluso si han encontrado o no lo que buscaban. Para éste no está claro el final, pero sí que lo está para el que previamente se ha detenido en la aporía. Además quien ha oído todas las razones contrapuestas, como en un litigio, estará en mejores condiciones para juzgar. ”

Las aporías son contradicciones no culminantes que abren las puertas a la

investigación de ciertos conocimientos. Una aporía detiene nuestra investigación y

se convierte en constricción clave para elaborar buenas teorías. La aporía se

presenta como un dilema que indica que, o bien elijamos la tesis, o bien la

antítesis, deduciremos diferentes contradicciones. Además, al igual que las

aporías, las paradojas de teorías de conjuntos y las paradojas semánticas son

retos que deben superar todas las teorías para ser consistentes. La paradoja es

una contradicción que se infiere de un razonamiento válido. En algunos casos la

paradoja puede ser reinterpretada como parte de un razonamiento tipo reducción

al absurdo que se detuvo en la contradicción sin re-negar la conclusión. Sin

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embargo, a diferencia de la aporía, la paradoja lógica no se presenta al comienzo

de las investigaciones sino al final como un teorema algo desconcertante, es decir

como un resultado contradictorio y verdadero, que para ser “solucionado” necesita

ser “evitado” alterando los axiomas de los cuales se parten mediante artificios o

nuevos axiomas. Lo pedagógico de la aporía radica en ése carácter de primero.

Ahora bien, lo que hay que pensar en la aporía es el razonamiento que la justifica,

más que la sintética conjunción contradictoria. De igual modo, la paradoja lógica

se perfila como el mismo proceso de deducir la contradicción, es decir, la paradoja

no sólo es una conclusión conjuntiva y contradictoria. Pero no todos los

razonamientos son paradojas lógicas y algunas paradojas tradicionales son solo

falacias 1 . Si la paradoja lógica se tratara de una falacia, con sólo hallar el error

oculto resolveríamos el problema, pero resulta que la conclusión se deriva

correctamente de las premisas. Similarmente, la aporía no presenta errores de

razonamiento, si bien hay que revisarla y pensarla tantas veces como sea posible.

Más que desconcertarnos la aporía nos enseña a entenderla como la

contradicción previa que condiciona el razonamiento inmediato que se construirá.

La antinomia en un sistema formal es análoga a una señal de enfermedad.

Según “Verdad y Prueba” de Alfred Tarski, en la literatura en cuanto a las

antinomias se pueden encontrar dos enfoques enteramente opuestos. Un primer

enfoque consiste en pasarlas por alto, para enfrentarlas como sofismas, como

juegos que no son serios, sino maliciosos y que tienen como fin principal mostrar

1 Por ejemplo, las paradojas de Aquiles y la tortuga, (Kirk, Raven, y Schofield, 1983, p. 389), Kant (1984, p. 315), Galileo (1945, pp. 57-59) y Epiménides (Pablo, 2001, pp. 1193-1194) pueden ser interpretadas como falacias.

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la inteligencia del hombre que las formula. De acuerdo con el segundo enfoque,

las antinomias constituyen un elemento muy importante del pensamiento humano,

deben aparecer una y otra vez en las actividades intelectuales y su presencia es la

fuente básica del progreso real. Sin embargo, Tarski (2000, pp. 205-206) prefiere

ubicarse en un punto intermedio. Él no puede reconciliarse con antinomias

eternas, pero tampoco puede darse el lujo de despreciarlas:

“(…) El surgimiento de una antinomia es para mí un signo de enfermedad. Comenzando con premisas que parecen intuitivamente obvias, empleando formas de razonamiento intuitivamente ciertas, una antinomia nos lleva a un sin sentido, una contradicción. Siempre que esto sucede, tenemos que someter nuestras formas de pensamiento a una revisión, para rechazar algunas de las premisas en que creíamos o para mejorar algunas de las formas de argumentos que empleamos. Hacemos esto con la esperanza no sólo de que la antigua antinomia sea dejada de lado sino [para] que no surja otra. Con este fin probamos nuestros sistemas de pensamiento reformados mediante todos los medios posibles y primero que nada, tratamos de reconstruir la anterior antinomia en la nueva estructura (…) ”

Etimológicamente, la palabra ‘antinomia’ procede del griego - ( ) y es

un vocablo jurídico que significa “contradicción en la leyes” (Yarza, 1988, p. 85).

Inmanuel Kant (1984, p. 315) entendió la antinomia como una dificultad conceptual

inevitable, pero necesaria en el ámbito de la razón pura. Para Quine (1976), la

presencia de las antinomias nos obligan a cambiar nuestros esquemas

conceptuales, principios lógicos y axiomas. En armonía con su significado

etimológico la antinomia puede ser definida como aquella oración demostrada

cuya forma lógica es la de una contradicción que sirve para negar presupuestos.

Como sugiere la cita, Tarski prefiere ponerse al medio de esta pugna entre el

enfoque de las antinomias como falacias y el otro enfoque que sostiene que ellas

hacen avanzar la ciencia. Su postura será un tercer enfoque. El enfoque tarskiano

califica a la antinomia como un signo de enfermedad. De acuerdo a él, en las

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teorías axiomáticas que se ven afectadas por la contradicción, no basta resolver la

paradoja, también es menester trabajar el sistema axiomático entero de tal manera

que nos garantice que no vuelva a surgir otra paradoja. El aspecto chocante de las

paradojas nos obliga a abandonar la lógica bivalente del sí o no, modificar el

principio del tercio excluido, el de no contradicción y hasta el significado del signo

de la negación dentro de otra lógica no convencional. En síntesis, la aporía y la

paradoja lógica son dilemas anteriores y posteriores (respectivamente) a la

elaboración de teorías aceptables. En cambio, la paradoja lógica y la antinomia

son oraciones que dan lugar a contradicciones relevantes para proteger de

inconsistencia a las teorías verdaderas.

2. Definición de las paradojas lógicas

Notemos que en la expresión ‘paradoja lógica’, la ‘paradoja’ y la ‘lógica’ entran en

contacto. Esto implica que para capturar la definición de la paradoja lógica,

nosotros tendremos que analizar cada uno de los significados de ‘paradoja’

agregándole cada uno de los posibles significados de ‘lógica’. Investiguemos

primero de qué trata la paradoja. Ayudándonos de algunos términos extraídos de

la Poética aristotélica (1992, p. 161), podemos afirmar que los significados de

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paradoja son dos: como sustantivo la posibilidad inverosímil 2, como adjetivo lo

falso verosímil.

1) Como sustantivo, la palabra ‘paradoja’ procede del griego - .

Significa etimológicamente más allá, o “contrario a la opinión” (Blánquez, 1985,

p. 1097), o a lo convencionalmente aceptado. La paradoja es la sentencia

inverosímil, increíble y contradictoria. Siguiendo a Ferrater Mora (1994, p. 2693) la

paradoja es “ (…) un acontecimiento que parece asombroso que pueda ser tal

como se dice que es (…)”. En este sentido, la paradoja se define como una

oración demostrada cuyo contenido no sólo no es evidente si no que hasta puede

resultar intuitivamente inaceptable. La definición anterior está asociada a la

definición de ‘teorema’. El teorema es la oración que tiene demostración. Y si bien

lo falso también se puede demostrar partiendo de premisas falsas, el teorema sólo

parte de premisas verdaderas. Además, el teorema que ya fue demostrado puede

‘independizarse’ de su demostración para ser utilizado como una oración suelta

como ocurre con los teoremas de Pitágoras, Pappus-Guldin, Cantor, etc. En estos

dos aspectos ‘paradoja’ y ‘teorema’ coinciden. Sin embargo, la sorpresa originada

por el resultado contraituitivo, no siempre es señal de algún error infiltrado en la

deducción que justifica el carácter de teorema de la oración paradójica de la

2 Aristóteles en Poética (1992) expresa su preferencia por las historias cuyo desarrollo y tema sean verosímiles e imposibles (o no necesarias) frente a otras que son inverosímiles a pesar de ser posibles. En los versos 1451b, 33-35, se expresa así: “De las fábulas, las episódicas son las peores, Llamo episódica a la fábula en que la sucesión de episodios no es ni verosímil ni necesaria”. Mientras, en los versos 1455ª, 22-27 se puede leer: “Es preciso estructurar las fábulas y perfeccionarlas con la elocución poniéndolas ante los propios ojos lo más vivamente posible, pues así, viéndolas con la mayor claridad, como si presenciara directamente los hechos, el poeta podrá hallar lo apropiado, y de ningún modo dejará de advertir las contradicciones.”

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conclusión. Ejemplos: “La masa relativista se incrementa con la velocidad”, “El

tiempo que transcurre en una nave que se desplaza a la velocidad de la luz, es

más lento que el tiempo de la Tierra”, “La parte de un infinito es igual que el todo”,

“El conjunto de los números reales entre cero y uno es infinito y no numerable”.

Estos cuatro ejemplos representan oposiciones a ciertas teorías o creencias: los

dos primeros van en contra de los principios de la Física clásica, y los segundos

están en contra de los prejuicios que se tienen respecto al concepto de ‘infinitud’.

Por lo tanto, podrá hablarse de paradojas cuando lleguemos mediante la

deducción a un resultado verdadero pero absurdo. Aristotélicamente, podemos

afirmar que la paradoja es lo que es posible e inverosímil, es decir, lo que sucede

necesaria y realmente, pero resulta difícil de creer para quien se deje llevar por el

sentido común. La paradoja es la oración que a pesar de ser contradictoria tiene

una demostración.

2) Como adjetivo, esta palabra funciona como sinónima de “inesperado, increíble,

extraño, maravilloso, raro, singular y extraordinario” (Pabón, 1997, p. 450). Según

Alberto Clemente de la Torre en Física Cuántica para filó-sofos: “(…) la palabra

[paradoja] [implica] (…) llegar a una conclusión evidentemente falsa o absurda por

un razonamiento aparentemente correcto (…)” (De la Torre, 2000, p. 98). Lo que la

cita sugiere es que la paradoja se concentra en la relación entre las apariencias de

la prueba y las conclusiones. Hay paradoja cuando llegamos mediante una prueba

aparentemente correcta a un resultado falso. En este punto ‘paradoja’ se relaciona

con ‘falacia’, que es un argumento inválido pero persuasivo. Pero, a diferencia de

la falacia, la paradoja como argumento también puede darse cuando llegamos

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mediante métodos erróneos a resultados verdaderos. De ahí que Russell

sospeche que las paradojas deban ser atenuadas mediante la identificación de

cierto principio de ‘círculo vicioso’ en las demostraciones. Incluso, según Morris

Kline (2000, p. 246), el matemático abocado al tema de los fundamentos de su

ciencia “(…) quería creer que las [paradojas] podían ser resueltas (…)” revisando

minuciosamente la prueba que la justifica para hacer cambios en la lógica del

sistema deductivo. En este sentido, podemos decir que lo paradójico es lo falaz

que, o bien demuestra oraciones verdaderas mediante argumentos definitivamente

inválidos (pero con apariencia de ser válidos para el no cultivado), o bien

demuestra oraciones falsas mediante argumentos válidos.

Ahora bien, en la expresión ‘paradojas lógicas’ se esconde un significado

que todavía tenemos que considerar tomando en cuenta el impacto de la palabra

‘lógica’ en la palabra ‘paradoja’. Sólo hay dos posibilidades de interpretación, o

bien se trata de una expresión conformada por términos del mismo tipo, o bien se

trata de una expresión conformada por términos de tipos diferentes. Consideramos

pertinente hacer esta distinción debido a la necesidad de explicar sus otros

posibles significados que justifican que “no hay paradojas lógicas”, y además para

evitar el inconveniente de “definir” conjunciones de conceptos opuestos.

1) En primer lugar, podríamos interpretar este constructo como siendo la

conjunción de dos cosas del mismo tipo. Supongamos que se trataran de dos

sustantivos, de tal modo que entendamos ‘paradojas lógicas’ o, mejor aún,

‘paradojas-de-la-Lógica’ de la misma manera en la que entendemos la expresión

paradojas físicas o ‘paradojas-de-la-Física’. En este caso, ‘Lógica’ significa teoría

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de la ciencia formal que estudia las técnicas, procedimientos, reglas, métodos y

principios utilizados para discriminar la inferencia válida de la no válida. Ahora

bien, si los axiomas de la Lógica son consistentes, no podrían existir ‘paradojas

Lógicas’ en el sentido de ser teoremas contradictorios derivables de una estructura

axiomática e inferencial. Por ello Marino Llanos (2003, p. 385), quien entiende la

palabra ‘Lógica’ estrictamente, como significando ciencia formal de la inferencia,

afirma que “(…) es importante advertir que no hay paradojas lógicas, o sea

paradojas derivables de alguna teoría formal lógica.” . Pero, si consideramos con

Oscar García (2007, p. 22) que de modo coloquial la palabra ‘lógica’ como

sustantivo es “(…) sinónimo de sentido común, buen sentido, razón o actitud

racional”, podríamos interpretar la expresión ‘paradojas-de-la-lógica’ como

significando posibles contradicciones del sentido común o de la razón natural.

Según esta visión, el constructo anterior se referiría a posibilidades inverosímiles

propias del sentido común. Sin embargo, ese constructo también podría tratarse

de la unión de dos adjetivos o sustantivos contradictorios, resultando un oxímoron,

es decir, una expresión reunidora de conceptos opuestos tales como ‘yin-yang’,

‘mujer hombre’, ‘pobre millonario’, o ‘frío-caliente’ ya que mientras que ‘lógica’

como sustantivo se refiere al sentido común y como adjetivo se refiere a lo

razonable, ‘paradoja’ como sustantivo se refiere a la posibilidad increíble y como

adjetivo se refiere a lo falaz e ilógico. En conclusión, la ‘paradoja lógica’, como la

conjunción de dos sustantivos o de dos adjetivos, es inadmisible.

2) En segundo lugar, podríamos interpretar la expresión ‘paradojas lógicas’ como

la conjunción de dos términos de distinto tipo. En este caso la única interpretación

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posible de dicho constructo es la que la considera como nombre con su respectivo

atributo. Esta es la interpretación más inmediata e intuitiva. Luego, mientras que

‘paradoja’ sería usada como sustantivo, ‘lógica’ sería usada como adjetivo. Para

ahondar más en este aspecto definamos ‘paradoja’ como una oración

contradictoria que tiene una demostración libre de irregularidades. Consideremos

también que la palabra ‘lógica’ como adjetivo “(…) hace referencia al carácter

coherente o adecuado que algo posee (…)” (García, 2007, p. 22). Por este motivo

la construcción ‘paradoja lógica’ significaría teorema contradictorio cuya prueba es

racional y adecuada. La demostración será racional porque se ajusta a principios y

reglas de inferencia. Será adecuada porque ella puede simplificarse mediante

equivalencias contradictorias de la forma P↔¬P, donde P es una oración cuyos

términos sintácticos y/o semánticos generan regresos al infinito e inconsistencia.

Basándonos en las declaraciones de los filósofos al respecto del tema de

las paradojas, podemos afirmar que existen dos niveles en los cuales puede ser

considerado algo como paradójico: el nivel oracional y el nivel argumentativo. El

primer nivel encuentra asidero en las declaraciones de Popper, Kripke, Thomson y

García Zárate. El segundo nivel, lo encuentra en las declaraciones de Russell,

Northrop, y Hart. En primer lugar, encontramos las oraciones (ya sean únicas o en

serie) que generan inconsistencias, y en segundo lugar, tenemos los argumentos

engañosos para el novato. Ahora bien, si tomamos en cuenta que un subconjunto

del primer nivel oracional está conformado por aquellas oraciones complejas (o

argumentos) cuyo conector condicional (→) es el de mayor jerarquía, afirmaremos

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que todo argumento es una oración, pero no toda oración es un argumento. 3 Esto

es lo mismo que decir que podemos definir argumentos en términos de oraciones,

pero no podemos definir oraciones en términos de argumentos. En resumidas

líneas, la paradoja puede presentarse o bien como una oración-teorema, o bien

como un argumento que se “resuelve” (o “disuelve”) analizando cada uno de los

pasos dados para llegar a la conclusión.

Si consideramos definir ‘paradoja lógica’ como una oración (o sistema de

oraciones) tendríamos que dar todas sus características. En primer lugar,

encontramos que la autorreferencia (como la mención de una oración a sí misma

mediante alguna propiedad) es manifiesta en las paradojas del Mentiroso. Es

obvio que no toda autorreferencia da lugar a paradojas, por ejemplo: “Esta oración

tiene cinco palabras” es verdadera. Esto ocurre debido a que si bien esa oración

es autorreferente también es fundada. La paradoja debe ser autorreferente e

infundada semánticamente (como ocurre en las paradojas del Mentiroso) o por lo

menos infundada sintácticamente (como ocurre en las paradojas de Russell). La

infundación consiste en que existan un conjunto B y una secuencia infinita de

conjuntos A, A’, A’’, ... tales que AB, A’A, A’’A’, etc. (Sartorio, 2000, p. 114)

Estos datos sucesivos en los que B abarca a A que abarca a A’, que a su vez

abarca a A’’, no tendrán asignado un valor de verdad dependiendo de instancias

3 Pero, las oraciones también pueden ser argumentos. Esto se debe a que cada oración puede implicarse a sí misma generando un argumento. Por ejemplo, dado p, podemos concluir p → p. Quizás este razonamiento sea terminante, pues se ve apoyado por la sintáctica de la axiomática formal. Pero, si utilizamos el criterio pragmático de la solidez, podemos acusar de petición de principio al constructo p → p. Además, creo que no toda oración es un argumento porque una conjunción no puede ser representada mediante signos de operadores lógicos condicionales de mayor jerarquía. Tendríamos que utilizar el signo de la negación, o el axioma antes mencionado.

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no sintácticas; toda la expresión conjuntista cobra sentido en virtud de su sola

construcción. En segundo lugar, la contradicción (como condicionales cuyos

antecedentes y consecuentes se contradicen entre sí) es una propiedad común a

toda paradoja. Ejemplos. Si “Esto es falso”, entonces “Esto no es falso”. Si “El

conjunto de Russell se contiene” entonces “El conjunto de Russell no se contiene”.

En tercer lugar, tenemos la circularidad. Este factor complementa la contradicción

y la regula de tal modo que pueda haber regreso al infinito. La circularidad es

aquella situación que se da cuando tratamos de definir, explicar o probar una

primera cosa en función de otra segunda cosa que, a su vez, presupone que ya

está definida, explicada o probada la primera, por lo que volvemos al punto de

partida. Por ejemplo, si tenemos la oración A que dice que ella misma es falsa, es

decir, (A) A es falsa, entonces si A es falsa, entonces A es verdadera, y si A es

verdadera, entonces A es falsa, y si A es falsa, entonces A es verdadera, y si… y

entramos así en un regreso al infinito. Tomando en cuenta lo anterior doy la

definición de paradoja lógica de la siguiente manera: paradoja es toda aquella

oración en el que se manifiestan al unísono las propiedades de infundación

(sintáctica o semántica (en el caso de las autorreferencias problemáticas)),

contradicción y circularidad. Ejemplos: la paradoja del Mentiroso, la de la tarjeta de

Jourdain, el libro antinómico de Tarski, la de las clases, la de las relaciones y la de

las propiedades. Las cuasiparadojas que presenten solo dos de las tres

propiedades de las paradojas serán llamados: o bien oraciones con valor de

verdad en el punto fijo máximo, o bien oraciones con valor de verdad en el punto

fijo intrínseco. Mientras que las primeras entidades presentarán las propiedades

de autorreferencia (infundada) y circularidad, las segundas entidades con punto

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fijo intrínseco presentarán las propiedades de autorreferencia (infundada) y

contradicción.

En segundo lugar, definiremos a la paradoja, según el criterio de la validez,

como aquél argumento correcto pero incompleto o incorrecto pero persuasivo. Es

menester aclarar que la esencia de la paradoja no radica en los resultados a los

que se llega ni en las premisas de las que se parte. El quid de la paradoja consiste

en la prueba que la fundamenta (tal y como ocurre en la aporía aristotélica). Sin

embargo, el argumento puede ser reducido a una única oración que concentre en

su construcción todas las desastrosas consecuencias. Recordemos que (con las

restricciones del caso) todo argumento es una oración, pero no viceversa. Por

ejemplo, de acuerdo a Tarski podemos construir tres paradojas oracionales a partir

de la síntesis de tres argumentos paradójicos. Tenemos la paradoja de la

satisfacción: “La función proposicional X no satisface a X” 4; la paradoja de

Grelling: “Las palabras heterológicas X no designan a X”; y la paradoja de Richard:

“El definiendum X no define a X”. Surgirán contradicciones cuando consideremos

si dichas oraciones que se refieren a sí mismas, son verdaderas de sí mismas o

no.

3. Características de las paradojas lógicas tipo oración

4 “ (…) Para obtener una antinomia partir de la noción de satisfacción, construimos la siguiente expresión: La función proposicional X no satisface a X.Surge una contradicción cuando consideramos la cuestión de si esta expresión, que es claramente una función proposicional se satisface a sí misma o no.” (Tarski, 1997, pp. 85-86)

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La definición de ‘paradoja’ formulada por García Zárate (2007, p. 199) resalta

formalmente su aspecto contradictorio y circular. Escribe en Lógica: “Las

paradojas son tipos especiales de contradicción [aquella dada por una oración]

cuya verdad implica su falsedad, del mismo modo que su falsedad implica su

verdad” y como ejemplo de paradoja expone la paradoja del Mentiroso en su

versión oracional más difundida: “Esta oración es falsa”. Notemos la presencia de

la autorreferencia, es decir, la propiedad de un escrito, oración, proposición u otro

ente de similares características de mencionarse a sí mismo mediante sus propios

signos. Esta propiedad forma parte de muchas paradojas lógicas, pero como ya

hemos anotado 5 no todas las oraciones autorreferidas son paradójicas. La

autorreferencia está presente en la paradoja del Mentiroso, en la de Epiménides,

en la de la tarjeta de Jourdain, en la del libro antinómico de Tarski, y en otras

versiones divulgadas por Kripke. Ella ha sido sospechosa de ser la principal

causante del problema del fundamento de la verdad de oraciones como la del

Mentiroso. Advertiremos que ‘autorreferencia indirecta’ suele ser considerada

sinónima de ‘circularidad’ cuando se utiliza una sucesión de más de una oración

cada una de las cuales se refiere a otra (a excepción de la última que afirma que

la primera es falsa) provocando así un ‘loop’ o ‘bucle’. Los sistemas de oraciones

con forma similar que utilizan la autorreferencia indirecta serán considerados la

única premisa del argumento paradójico. Esta idea encuentra justificación: en la

pretensión de Tarski de reducir la paradoja a una oración autorrefererida

construida con términos semánticos circulares; y en el hecho de que todo

argumento es una oración. Pero la propuesta de Tarski olvida considerar los

5 Cf. p. 11 de este trabajo.

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sistemas de oraciones los cuales tienen la propiedad de la autorreferencia

indirecta. En apariencia son muchas oraciones pero formalmente son semejantes.

Por ejemplo, observemos este bucle finito de 4 oraciones y este otro de sólo 3:

SISTEMA 1 (S1) SISTEMA 2 (S2)

(1) La oración (2) es verdadera. (1) Las oración (2) es verdadera.

(2) La oración (3) es verdadera. (2) Las oración (3) es verdadera.

(3) La oración (4) es verdadera. (3) Las oración (1) es falsa.

(4) La oración (1) es falsa.

El primer sistema finito oracional de 4 oraciones y el segundo sistema oracional de

3 oraciones serán consideradas cada una las únicas premisas genéricas de sus

respectivos argumentos:

Oración Genérica de (S1)

(X) La oración ((-2/3)X3+4X2+(-19/3)X+5) tiene la propiedad de ser Y,

donde si X=1, X=2 y X=3, Y es el predicado ‘verdadera’, pero si X=4, Y es el

predicado ‘falsa’.

Oración Genérica de (S2)

(W) La oración ((-3/2)W2+(11/2)W-2) tiene la propiedad de ser Z,

donde si W=1 y W=2, Z es el predicado ‘verdadero’, pero si W=3, Z es el

predicado ‘falsa’.

Como podemos apreciar, la propiedad de la autorreferencia se cumple para las

paradojas veritativas. En el caso de las paradojas oracionales de Russell, la

propiedad de la autorreferencia a nivel semántico se transforma en la propiedad

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de la infundación a nivel sintáctico. Recordemos que la infundación consiste en

que existan un conjunto B y una secuencia infinita de conjuntos A, A’, A’’, ... cada

uno de los cuales depende del siguiente mediante la relación de pertenencia. 6

Nunca podremos saber qué elementos de B pertenecen también a A, a A’, a A’’,

etc. Las oraciones infundadas (que contengan términos (o conjuntos) infundados)

no tendrán asignado un valor de verdad dependiendo de instancias no sintácticas.

Por ejemplo: “La propiedad impredicable”, la paradoja de Jourdain, de Tarski y de

Yablo (en virtud de que no son autorreferentes) son oraciones infundadas que no

tendrán un valor de verdad determinado, a menos que se apliquen restricciones a

la constructibilidad de las expresiones conjuntistas.

La segunda propiedad en manifestarse en la definición de las paradojas

propuesta por García Zárate es la propiedad de la ‘circularidad’ que, a diferencia

de la autorreferencia indirecta, se refiere a aquella situación que se da cuando

tratamos de definir 7, explicar o probar una primera cosa en función de otra

segunda cosa que, a su vez, presupone que ya está definida, explicada o probada

la primera, por lo que volvemos al punto de partida, como si estuviéramos

describiendo un círculo. Para García Zárate ‘a’ será una paradoja cuando

(Va Fa) & (Fa Va) o en términos abreviados cuando ( Va Fa ). Esta

incómoda situación argumental se origina cuando suponemos, por ejemplo, A

6 Cf. pp. 11-12 de este trabajo.7 Según Tarski, al respecto de una buena definición (aquella relación bicondicional que se establece entre el definiendum (la palabra que se quiere definir, lo desconocido) y el definiens (las palabras que utilizamos para definir el definiendum, lo conocido)): “En particular, no deberá aparecer en el definiens, ni la constante que se trata de definir, ni ninguna expresión definida con su ayuda; en tales casos la definición no sería correcta, contendría un defecto al que denominamos círculo vicioso en la definición” (1951, p. 53)

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porque B, B porque C, C porque D, … , X porque Y, Y porque Z y Z porque A.

Formalmente diríamos: B // A, C // B, D // C, E // D, F // E, G // F, …

, Y // X, Z // Y, A // Z. Y volvemos a estar al principio, pero estrictamente

nunca nos detenemos. La anterior sucesión de argumentos cada uno de los

cuales parte de una única premisa que es la conclusión del siguiente argumento,

se reduce a una única expresión, a saber, una que refleja la petición de principio,

según la cual es un error de razonamiento comenzar a deducir a partir de lo que

es preciso demostrar. Esta expresión es A // A (tipo argumento) o A A (tipo

definición), la cual es una expresión verdadera para cualquier valor de la variable

proposicional A. Esta expresión válida o verdadera contraviene la intuición de que

un argumento sólido no puede partir de la misma conclusión a la que, por medio

de las reglas de derivación y transformación, se debe llegar. Esto mismo ocurre en

las paradojas tipo ‘Mentiroso’ y ‘Russell’ en las que podemos llegar a deducir

mediante la conmutatividad y el silogismo hipotético8 que (Va Va) & (Fa Fa)

partiendo de (Va Fa) & (Fa Va), donde a ={“Esta oración es falsa”, “El

conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos se incluye a sí

mismo”, “La propiedad impredicable se aplica a sí misma”, “La relación que no

guarda consigo mismo un término la guarda un término consigo mismo”}. De modo

general, si a es una oración paradójica, o parte de una paradójica secuencia b (o

sistema b) de oraciones tales como b = {“La siguiente oración es verdadera: La

anterior oración es falsa”, “La segunda oración es verdadera. La tercera oración es

verdadera, … , La última oración es falsa. La primera oración es falsa”, “Las

siguientes oraciones son falsas. Las siguientes oraciones son falsas. … Las

8 Regla del silogismo hipotético: (p q) (q r) . . (p r)

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siguientes oraciones son falsas, …”} entonces dentro de una lógica n-valente:

V1(a)→V2(a) & V2(a)→V3(a) … & Vn-1(a)→Vn(a) & Vn(a)→V1(a). Luego, por n

silogismos hipotéticos: V1(a)→V1(a), V2(a)→V2(a), V3(a)→V3(a), etc.

Pero la circularidad no solo es un atributo de las definiciones y los

argumentos (o las demostraciones) sino que también lo es de los conceptos. Por

ejemplo, el concepto de verdad, (tal y como fue enfocado por Alfred Tarski

considerando como restricción clave de una consistente teoría semántica de la

verdad a la paradoja o antinomia del Mentiroso) resulta circular bajo el análisis de

Anil Gupta y Nuel Belnap (Gupta y Belnap, 1993). Además, no solo la verdad

resulta ser un concepto circular. Ejemplos de otros conceptos circulares son: el de

referencia, el de satisfacción, el de pertenencia, ejemplificación, necesidad, y

otros. Resulta una oportuna coincidencia que gran parte de estos conceptos

circulares aparezcan en la formulación de algunas paradojas lógicas. Por ejemplo,

la paradoja de Russell hace uso del concepto de pertenencia ( ), la versión de

Edward Zalta (Pelletier y Zalta, 2000) de la paradoja de Russell en su Teoría

Lógica de las Formas Platónicas (publicada en un artículo bajo el nombre de “How

to Say Goodbye to the Third Man”) utiliza el concepto de ejemplificación, la versión

de Yablo de la paradoja del Mentiroso hace uso tan sólo de la referencia; por

último, las versiones de Tarski de la paradoja del Mentiroso utilizan los conceptos

de satisfacción, designación y definición. Subyace a la propuesta de Belnap y

Gupta la idea de que hay dos tipos de conceptos: los conceptos ordinarios, cuyas

condiciones de aplicación nos permiten separar en dos grupos excluyentes a sus

objetos: los objetos a los que se aplican y los objetos a los que no se aplican; y los

18

conceptos circulares, que no tienen condiciones de aplicación definida. En este

último caso necesitamos una conjetura inicial acerca de la extensión del concepto

circular para decidir cuáles son los objetos a los que se aplica y cuáles no. Podría

suceder en el mejor de los casos, que objetos de un grupo se encuentren dentro

del grupo que no les corresponde, o en el peor de los casos, que esos objetos

tengan todas las razones para estar tanto en un grupo como en otro sin importar la

naturaleza opuesta de estos grupos. De acuerdo a Eduardo Barrio (2007) “ (…) la

extensión de los conceptos circulares sólo puede ser establecida de manera

hipotética y bajo ciertas circunstancias esas hipótesis pueden generar un

comportamiento patológico. (…)”.

Por último, tenemos que estudiar la contradicción. De acuerdo a Karl

Popper (1997, p. 34) en La defensa del Racionalismo:

“A las paradojas se les llama a veces “contradicciones”. Pero esto quizás sea un tanto desorientador. Una contradicción ordinaria (o algo que se contradice a sí mismo) es simplemente una afirmación falsa desde el punto de vista lógico, como: “Platón era feliz ayer y no era feliz ayer”. Si suponemos que tal enunciado es falso, no se suscita ninguna dificultad. Pero de una paradoja no podemos suponer no que es verdadera ni que es falsa, sin meternos en dificultades.”

Frente a la palabra ‘paradoja’, la ‘antinomia’ que solo resalta el aspecto de

contradicción en la ley, es usada como una palabra técnica por los abogados y los

lógicos para señalar la contradicción en el ámbito de la legislatura jurídica y lógica

respectivamente. Si fuera localizada una contradicción, inmediatamente se

justificaría que ciertos axiomas sean falsos. Sin embargo, frente a la ‘antinomia’ la

‘paradoja’ que no sólo resalta la existencia de axiomas falsos, es usada por

Popper para indicar una premisa que por reducción al absurdo deriva en una

19

oración que se contradice con la misma hipótesis. La paradoja no es falsa, su

esencia radica en no ser ni verdadera ni falsa ni ninguna otra opción emparentada.

En este sentido, Popper revela que la paradoja es una oración.

Por una parte, la virtud de la contradicción formal radica en estar

involucrada con el principio lógico de la no contradicción y en ser la base para la

prueba indirecta de reducción al absurdo. Por otra parte, el terror a la

contradicción es justificado porque éste elemento es la causa de la inconsistencia

de algunos sistemas, ya que de una contradicción se deduce que toda fórmula

construible es un teorema, o sea que se sigue que “Todas las cosas son

verdaderas”, como lo muestra la siguiente prueba:

1. p & p. // q2. p DE 1 POR SIMPLIFICACIÓN3. p q DE 2 POR ADICIÓN4. p DE 1 POR SIMPLIFICACIÓN5. q DE 3 Y 4 POR SILOGISMO DISYUNTIVO

Ahora daremos la definición final de paradoja lógica para un reducido campo de

oraciones de la siguiente manera: dado un argumento cualquiera, paradoja será

toda aquella oración o sucesión de oraciones (parte del cuerpo de premisas del

argumento) en el que, generalmente, se manifiestan al unísono las propiedades de

infundación (semántica o sintáctica), contradicción y circularidad. En este contexto

las paradojas oracionales son tremendamente relevantes respecto de la Teoría de

Modelos que es una ciencia que estudia ciertas maneras de interpretar lenguajes

formales, dando las condiciones de asignación de significado y relacionando

conjuntos de expresiones y entidades matemáticas mediante el concepto de

‘estructura’. Dicha ciencia elucida los conceptos de verdad, consecuencia lógica e

20

interpretación. Por ahora, solo señalaremos que entre la retahíla de términos que

barajan los investigadores entregados al tema de las paradojas lógicas

oracionales, los siguientes sobresalen por ser los más utilizados: referencia,

contradicción, punto fijo mínimo o máximo o intrínseco, fundamentación,

satisfacción, significado, metalenguaje, negación débil, negación fuerte, estructura,

interpretación, verdad, etc. Estos conceptos y herramientas serán de mucha

utilidad, cuando se trate de ver la manera de reformular la paradoja en otras

formas igualmente problemáticas ya que no solo basta disolver la paradoja sino

que también hay que ver la manera de que no se produzca otra.

4. Características de las paradojas lógicas tipo argumento

Recordemos que dijimos que la paradoja es un tipo de argumento. El argumento

tiene la forma de la siguiente oración condicional: “P Q”. Consideraremos

premisas a todas aquellas oraciones que estén ubicadas en el antecedente P, el

cual tendrá la forma lógica de una conjunción, “P=A&B&C…&Z”. Llamaremos

conclusión (o ‘teorema’) a la oración presente en el consecuente Q que tiene la

forma lógica de una contradicción, “Q=X&¬X”. El argumento será paradójico

cuando gracias a una reducción a absurdo podamos concluir ¬P. En este caso lo

que se pretende establecer es algo verdadero. Pero el argumento también puede

ser paradójico cuando las inferencias intermedias que parten de P para llegar a Q

(P→Q) pueden estar relacionadas con alguna especie de falacia. En este caso lo

que se pretende establecer es falso. Pero, en ambos casos habremos escapado a

21

la paradoja. En general, nuestra propuesta es que una paradoja es un argumento

susceptible de ser válido o inválido.

Podemos afirmar que esta dimensión argumental de la paradoja encuentra

sus fundamentos en el escrito de Quine “The Ways of Paradox”. Willard Van

Orman Quine (1976, pp. 1-18) divide a las paradojas en tres partes: antinomias,

paradojas verídicas y paradojas falsídicas. Dejemos de lado la antinomia, pues

solo así podemos extraerle el suficiente provecho a los quineanos términos

falsídico y verídico. Quine habla de ‘paradojas verídicas’ -en la cuales lo que se

pretende establecer es verdadero- y de ‘paradojas falsídicas’ –en las cuales lo que

se pretende establecer es falso-. Los términos ‘verídico’ y ‘falsídico’ provienen del

latín veridicus y falsidicus y atribuyen verdad (realidad) o falsedad (ilusión) a los

sustantivos que califican. Estos términos tienen cierta relación con el concepto de

validez lógica. Según Quine, aquellas paradojas en las que la presuposición de la

existencia de ciertas entidades conduce a una contradicción serán denominadas

paradojas verídicas, puesto que éste tipo de paradojas se presentan cuando la

afirmación que nos resulta inicialmente absurda, notamos luego que es verdadera,

al comprender el razonamiento por reducción al absurdo que la justifica.

Efectivamente, podemos concluir

1) que un barbero puede afeitarse al no afeitarse, y viceversa; o que un alcalde

pueda vivir en un lugar al no vivir en ese mismo lugar, y viceversa; o que un

catalogo de catálogos de biblioteca pueda incluirse como libro al no incluirse, y

viceversa. Estas quiméricas situaciones son conocidas como la familia argumental

22

de paradojas de Russell y son la paradoja del barbero, la paradoja del alcalde y la

del catálogo, respectivamente.

2) que el número de elementos del conjunto de todos los subconjuntos del

conjunto universal sea simultáneamente mayor (>) y menor o igual ( ) al número

de elementos del mismo conjunto universal. Este resultado es conocido como la

paradoja de Cantor.

3) que el máximo número ordinal sea menor que otro y, por lo tanto, no el máximo.

Esta es la paradoja de Burali-Forti.

4) que el número de oraciones de la aritmética es numerable pero limitado

expresivamente pues existen números no-enumerables más grandes que los

numerables. Esta es la paradoja de Richard.

En estos 4 casos las apariencias no nos engañan, puesto que lo único que

nos falta por hacer ante este hallazgo de contradicción es negar los presupuestos

de que tales o cuales entidades existen. Por ejemplo, tenemos que negar: que

exista un hombre o una ciudad o un catalogo siendo y no siendo algo, que puedan

existir ‘totalidades inconsistentes’ tales como un conjunto llamado universal o un

número llamado máximo ordinal; que la aritmética de los números finitos (o

enumerables) sea la misma que la aritmética de los números transfinitos (o no-

enumerables)).

23

Otras veces nuestras sospechas están totalmente fundadas y esa alerta de

que alguna mala información se ha dejado filtrar no debe ser descartada, sino que,

siguiendo a Alfred Tarski 9, tenemos todo el derecho de iniciar una investigación

que nos permita estar seguros de que teníamos razón al atribuirle toda la

responsabilidad a tal o cual premisa o regla deductiva. Ya Quine (1976) bautizó

esta última situación con el nombre de paradoja falsídica, puesto que se trata de

un razonamiento que no solo aparenta ser falaz, sino que lo es. Por ejemplo, para

Quine la paradoja de Galileo, las paradojas de Zenón, la paradoja de Epiménides

y la paradoja de Grelling serían paradojas falsídicas, según su definición. Notemos

que estas paradojas falsídicas se constituirán como argumentos incorrectos que

además pretenderán tener la apariencia de ser válidos. Estos argumentos son

falacias o sofismas, pues las falacias son “todas las formas de argumentación que

encierran errores o persiguen fines espurios” (García, 2000, p. 213). Un

argumento, por lo general, establece la verdad de su conclusión. Si no lo logra, se

convertirá en una falacia o sofisma.

Ahora bien, es cierto que, por ejemplo, la columna principal de la matriz

lógica de la falacia de afirmación del consecuente no es contradictoria sino

contingente, es decir, contiene tanto mundos posibles en el que resulta verdadera

como mundos posibles en el que resulta falsa. Además, la columna de la

9 “ (…) Comenzando con premisas que parecen intuitivamente obvias, empleando formas de razonamiento intuitivamente ciertas, una antinomia nos lleva a un sin sentido, una contradicción. Siempre que esto sucede, tenemos que someter nuestras formas de pensamiento a una revisión, para rechazar algunas de las premisas en que creíamos o para mejorar algunas de las formas de argumentos que empleamos. (…)” (Tarski, 2000, p. 206).

24

conclusión (p) no se comporta de la misma forma en la que la columna del

conector principal entre puntos (. .) se comporta. Difieren en la 4ta fila.

p q (p q) & q . . p

V V V V V V V

V F F F F V V

F V V V V F F

F F V F F V F

Esto nos recuerda que hay “que distinguir entre paradojas falsídicas y falacias (o

“sofismas”) pues las falacias pueden conducir tanto a conclusiones verdaderas

como a conclusiones falsas. " (Ferrater Mora, 1994, p. 2693). Por ello, toda falacia

será una paradoja falsídica, pero no toda paradoja falsídica será una falacia

puesto que aquéllas también podrán ser oraciones no paradójicas que tengan solo

dos de las tres propiedades básicas de toda paradoja oracional.

Wilbur Hart en “Les Liaisons Dangereuses” (2007) dice que las paradojas

no son oraciones sino más bien argumentos, y aunque específicamente se refiere

a las paradojas de Russell, de Cantor y de Burali-Forti consideramos justo hacer

nuestra esta postura y generalizar esta caracterización de las paradojas como

25

razonamientos. 10 Esto indica que mientras que para Hart las paradojas son

argumentos aporéticos, para Russell todas ellas son falacias que cometen el

círculo vicioso. En este enfrentamiento de concepciones nosotros rescatamos la

postura de Hart la cual presenta a las paradojas como razonamientos, no dejando

totalmente de lado el aspecto falaz que Russell atribuye a las paradojas, aspecto

que aparentemente está relacionado con una incompleta prueba de reducción al

absurdo que se detiene en la contradicción sin apresurarse a negar el supuesto

implícito.

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