Algebra Lineal.Mijangos Prez Xchelyairs RodrigoVC-2Fecha solicitada: 24/feb/14 Fecha de entrega: 26/feb/14

Definicin y notacinUnamatrizes un arreglo bidimensional de nmeros (llamadosentradasde la matriz) ordenados enfilas(orenglones) ycolumnas, donde una fila es cada una de las lneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las lneas verticales. A una matriz connfilas ymcolumnas se le denomina matrizn-por-m(escrito) donde. El conjunto de las matrices de tamaose representa como, dondees elcampoal cual pertenecen las entradas. El tamao de una matriz siempre se da con el nmero de filas primero y el nmero de columnas despus. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamao y los mismos elementos en las mismas posiciones.A la entrada de una matriz que se encuentra en la filasima y la columnasima se le llama entradao entrada-simo de la matriz. En estas expresiones tambin se consideran primero las filas y despus las columnas.Casi siempre se denotan a las matrices con letras maysculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matrizde tamaoque se encuentra en la filasima y la columnasima se le denota como, dondey. Cuando se va a representar explcitamente una entrada la cul est indexada con uno uncon dos cifras se introduce una coma entre el ndice de filas y de columnas. As por ejemplo, la entrada que est en la primera fila y la segunda columna de la matrizde tamaose representa comomientras que la entrada que est en la fila nmero 23 y la columna 100 se representa como.Adems de utilizar letras maysculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemticos. Ases una matriz, mientras quees unescalaren esa notacin. Sin embargo sta notacin generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer sta distincin tipogrfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.Otra notacin, en si un abuso de notacin, representa a la matriz por sus entradas, i.e.o incluso.Otra definicin, muy usada en la solucin desistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Unvector filaovector renglnes cualquier matriz de tamaomientras que unvector columnaes cualquier matriz de tamao.A las matrices que tienen el mismo nmero de filas que de columnas,, se les llamamatrices cuadradasy el conjunto se denotao alternativamente.

ORDEN DE UNA MATRIZEs el nmero que designa, en una matriz cuadrada, el nmero de filas o columnas.Matriz numrica:Conjunto de nmeros colocados en filas y en columnas.

mxn

Matriz de orden (m,n):Conjunto de nmeros reales, dispuestos en filasm,i en columnasn.Cada uno de los nmeros que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posicin.

Subndices:Cada elemento tiene unos subndices que sirven para indicar su posicin dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna.

Orden de la matriz:El nmero de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz est determinado por un par de nmeros naturales;myn.

figura 1.1

Lasfilasson los nmeros dispuestos enmhorizontales. En el ejemplo, la primera fila estara formada por los nmeros [ 1 2 3 ].Lascolumnasson los nmeros dispuestos ennverticales. En el ejemplo, la primera columna estara formada por los nmeros [ 1 1 4 6 ].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de nmeros dispuestos enmfilas yncolumnas.Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica as porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos sealar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posicin, la cual queda definida por su fila y su columna. Por ejemplo, si queremos dar la posicin del nmero 7 (figura 1.1), sera de la siguiente forma:am,n esa2,3mindica la fila en la cual se encuentra el nmero. Pasa exactamente lo mismon,que indica la columna en la que se encuentra.

Tipo de matrizDefinicinEjemplo

FILAAquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden1n

COLUMNAAquella matriz que tiene una sola columna, siendo su ordenm1

RECTANGULARAquella matriz que tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su orden mn ,

TRASPUESTADada una matrizA, se llama traspuesta deAa la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa porAt AT

OPUESTALa matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta deA es -A.

NULASi todos sus elementos son cero. Tambin se denomina matriz cero y se denota por 0mn

CUADRADAAquella matriz que tiene igual nmero de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es deorden n.Diagonal principal:son los elementos a11, a22, ..., annDiagonal secundaria:son los elementos aijcon i+j = n+1Trazade una matriz cuadrada :es la suma de los elementos de la diagonal principaltrA.

Diagonal principal :

Diagonal secundaria :

SIMTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At ,aij =aji

ANTISIMTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At ,aij =-aji Necesariamente aii=0

DIAGONALEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAREs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDADEs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a1.Tambien se denomina matriz unidad.

TRIANGULAREs una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONALUna matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible :A-1 = ATLa inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 -1.

NORMALUna matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simtricas, antisimtricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSADecimos que una matriz cuadradaA tiene inversa,A-1,si se verifica que :AA-1 = A-1A = I

PropiedadesSean, dondees uncampoentonces se cumplen las siguientes propiedades para la operacin binariaAsociatividad

Demostracin.Dada la definicin de la operacin binariase sigue el resultado ya quedebido a quepara todo.Conmutatividad

DemostracinDada la definicin de la operacin binariase sigue el resultado ya quedebido a quepara todo.Existencia del elemento neutro aditivoExistetal que

DemostracinTmesetal quepara cualquier(dnde este ltimo es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquierse sigue queya quepara cualquier, dado que las entradas estn en un campo.Existencia del inverso aditivoExistetal que

a esta matrizse le denota por.DemostracinDadatmesetal que. Entonces; luego, por las propiedades de campodondees el inverso aditivo deen el campo para cualquier.

En efecto, stas propiedades dependen el conjunto en el que estn las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son(losnmeros reales) y(losnmeros complejos).Por como se defini la operacin binaria adicin se dice que sta operacin es unaoperacin internapor lo que se cumple intrnsecamente la propiedad de quees cerrado bajo adicin. Con stas propiedades se tiene quees ungrupo abeliano.En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea unanillo, la operacin de adicin de matrices contina dotando de estructura degrupo abelianoa, ya que bajo unanillose tiene quees ungrupo abeliano. En el caso de que las entradas estn en ungrupo, ste necesita ser ungrupo abelianopara que la adicin de matrices siga dotando de estructura degrupo abelianoa.