Ecuaciones DiferencialesDefiniciones y Términos Básicos

Lcdo. Alexis J. Mendoza C.Coordinación de Matemática

P.N.F. en Sistemas de Calidad y AmbienteUniversidad Politécnica Territorial de Lara “Andrés Eloy Blanco”

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Definición: Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos Variados

Aparece la primera derivada de y con respecto a x y una función de x.

Una variable independiente (x) y una variable dependiente (y)

Aparece la segunda y la primera derivada de y con respecto a x, además la variable y sin derivar.

Aparece la segunda derivada de y con respecto a x y además la variable y sin derivar.

Aparece la segunda derivada de y con respecto a x y además la variable y sin derivar.

Viene dada en forma de diferenciales; se observan las variables x e y.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Definición: Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos VariadosUna variable independientes(x) y dos variables dependientes (u, v)

Aparecen las primeras derivadas de u y v con respecto a x.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Definición: Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos Variados

Aparece la segunda derivada parcial mixta de u con respecto a x e y.

Dos variable independientes (x, y) y una variable dependiente (u)

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Definición: Una ecuación diferencial (E.D.) es una ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos VariadosDos variables independientes (x, y) y dos variables dependientes (u, v)

Aparecen la primera derivada parcial de u con respecto a y y la primera derivada parcial de v con respecto a x.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

Según el Tipo: Se clasifican, en Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) y en Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales (EDP).

Ecuación Diferencial Ordinaria: La función desconocida depende de una sola variable.

Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales: La función desconocida depende de más de una variable.

Clasificación de las Ecuaciones DiferencialesSegún el Orden: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el orden de la derivada más alta que aparece en dicha ecuación.

Son de orden 1:

Son de orden 2:

Según la linealidad o no linealidad: Se dice que una ecuación diferencial es lineal si es de la forma:

Donde los son los coeficientes de la variable “Y” y todas sus derivadas.

Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:1.La variable dependiente “Y” junto con todas sus derivadas son de primer grado.2.Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x.

Se dice que una ecuación diferencial no lineal es una ecuación diferencial ordinaria que no cumple con las condiciones de linealidad o propiedades de linealidad.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Son Lineales:

Son No Lineales:

Definición: Se dice que una función f con dominio en un intervalo I es solución a una E.D. en el intervalo I, si la función satisface la E.D. en el intervalo I.

Teorema (Picard): Sea R una región rectangular en el plano XY definida por a<= x <=b; c<= y <=d que contiene al punto (x0,y0) en su interior.Si f(x, y) y f’ son continuas en R, entonces existe un intervalo I con centro en x0 y una única función y(x) definida en I que satisface el problema de valor inicial y’ = f(x, y); y(x0) = y0

La próxima clase presencial la comenzaremos con la siguiente definición, teorema y observación

Observación: Si todas las soluciones de la E.D. F(x, y, y0, …)=0 en un intervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1,…, Cn) mediante valores apropiados de Ci, entonces a G se le llama la solución general; una solución que no contenga los parámetros Ci se le llama la solución particular; una solución que no pueda obtenerse a partir de la solución general se le llama solución singular.Veremos mas adelante que la solución general a una E.D. lineal de orden “n” tiene “n” parámetros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener explícitamente una solución general.