OPERACIONES CON NÚMEROS.

COMPRESIÓN Y SIGNIFICADO

ÍNDICE

1. La suma

2. La resta

3. Experimentos y autores de la suma y la resta

4. Métodos de la suma y la resta

5. La multiplicación

6. La división

7. Experimentos y autores de la multiplicación y la división

8. Estudio experimental

9. Bibliografía

1. LA SUMA

1.1 ALGORITMO

Para lograr una correcta comprensión del algoritmo de la suma en el nivel simbólico es necesario, como mínimo, tener un conocimiento de la escritura del sistema de

numeración decimal. La suma de dos números se puede modelizar imaginando que corresponden a dos montones de caramelos que, por alguna razón, pretendemos juntarlos en un montón único y conocer cuántos caramelos hay en él.En forma simbólica se pueden disponer los números y el resultado de una suma colocando las cantidades una debajo de otra y justificándolas a la derecha y escribir el resultado debajo de los sumandos.

2453+ 6241______8694

Si alguna de las sumas parciales es igual o superior a 10, se aplica la regla del sistema de numeración decimal “cada diez unidades de un determinado orden constituyen una unidad del orden inmediato superior”, en caso de ser 14 se dice que se ponen 4, y las diez restantes han formado una nueva unidad de orden inmediato superior y se une a las correspondientes de ese orden en los sumandos. Se dice “me llevo una” aunque, quizá, fuera más correcto decir “se forma una”. Esa unidad que se forma se puede retener en la memoria, o puede hacerse una marca en la columna correspondiente.

3592+ 5165______8757

Una variante de este algoritmo lo constituyen los algoritmos en los que se van escribiendo las sumas parciales. Por ejemplo:

679+ 845_____14+ 1101400_____1524

O bien:

679+ 845_____14+ 1114_____1524

Errores: No tiene en cuenta el número que se lleva.

37+ 25___52

Confunde el papel del cero.

50+ 24___70

Los sumandos tienen distinto número de cifras. Sitúa de forma incorrecta los números en columnas a) o suma unidades de un determinado orden con unidades de distintos órdenes del otro sumando b).

a) 234 b) 123+ 5 + 5_____ _____734 678

1.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONES DE ADICIÓN

La suma es considerada como la reunión de varios números en uno solo y se puede definir a partir de las operaciones de unión. La suma de dos números naturales a y b se define del siguiente modo:

Siendo a cardinal (A) y b cardinal (B) consideramos, A Y B dos conjuntos distintos, es decir, cumplen que A П B = Ø. Se define la adición en el conjunto N de números naturales como la aplicación entre el producto cartesiano N x N y el conjunto de N, tal que si f (a, b) = c siendo c cardinal (A U B) donde A U B = { x / x Є A o x Є B}.

1.3 SITUACIONES EN LAS OPERACIONES DE ADICIÓN

Situación de cambio:

Cambio aumentando. En estos problemas se dispone una cantidad inicial que cambia cuando se le aumenta en otra determinada cantidad. Finalmente la cantidad inicial se transforma en otra mayor, es decir, un cambio como un aumento. Alguna de las estrategias informales para resolver problemas de cambios aumentando son:

- Contar todo: consiste en disponer las cantidades iniciales añadiendo a continuación las cantidades de aumento y contar todas empezando por la primera hasta la última. Es la estrategia más simple y utilizada.

- Contar a partir del primer sumando: los niños que tienen capacidad para contar hacia adelante a partir de un numero cualquiera, puede llegar a ser capaces de establecer un conteo a partir de la consideración del primer sumando “5, 6, 7, 8”.

A todas estas estrategias se les añade el conteo con dedos y el uso de simbolizaciones aritméticas adecuadas a cada caso. Es importante también, además del modelado directo de los momentos presentes en el problema planteado, manipular objetos.

En una situación de cambio los papeles de ambas cantidades no son intercambiables.

Problema: un novio tiene 5 canicas cuando empieza a jugar. Durante el juego gana 3 canicas. ¿Cuántas canicas tendrá al final?

Situación de combinación:

Este problema muestra dos cantidades cuya suma conduce al resultado final. En la misma operación aritmética resolveremos el problema planteado al completo. Desde el punto de vista del significado que se le atribuye observamos que ahora no hay cambio alguno de una cantidad inicial sino que aparecen dos cantidades iniciales ejerciendo ambas el mismo papel. La reunión de ambas es la acción que resuelve el problema, pero esta no es un cambio sino una combinación de las dos cantidades anteriores.

Los problemas de combinación se caracterizan básicamente para contar con dos cantidades estáticas que forman parte de un todo que las incluye. Es posible el modelado directo mediante objetos, dedos o exclusivamente de forma verbal.

Cuando en una situación de combinación las dos cantidades ejercen un papel similar, ello hace que el problema no varíe al intercambiar los papeles de las distintas cantidades.

En la situación de combinación las sumas conmutativas, las dos cantidades dadas tienen un significado indistinto. En la de cambio la suma no es conmutativa por ser el significado diferente de las dos cantidades.

Problema: Juan tiene 4 comics de su héroe favorito. Carmen tiene 3 comics distintos del mismo personaje. Si se reúnen los dos a leerlos, ¿Cuántos comics tendrán en total?

Situación de cambio y parte desconocidos:

La estructura general de los problemas (las cantidades y sus relaciones) son las mismas que la de los problemas que se plantearon inicialmente, es decir, el de cambio aumentando (final desconocido) y combinación (todo desconocido).

Por ello, la formulación lingüística emplea términos muy parecidos para descubrir la operación que resuelve el problema. No es posible realizar el modelado directo de los momentos planteados en estos problemas, pues se interrumpiría.

Problema: un niño tiene 5 canicas cuando comienza a jugar. Durante el juego gana varias canicas. Si al final tiene 8 canicas, ¿Cuántas canicas ha ganado?

Problemas de cambio con el comienzo desconocido:

En este caso un niño limitado a estrategias de modelado directo, no podría representar el conjunto inicial del que no se precisa la cantidad.

En el problema: un niño tiene varias canicas al comenzar el juego. Luego gana 3 canicas. Al final tiene 8 canicas. ¿Cuántas tenía al principio?; el niño gana 3 canicas que coloca encima de la mesa, al final se le dice que tiene 8 canicas que procederá a colocar al lado de las 3 anteriores. Dado que las palabras clave están asociadas a la adición (gana) sumará 3 y 8 para dar la respuesta correcta, 11.

1.4 PROPIEDADES DE LA SUMA

Propiedad conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, cambia el resultado, obteniendo de esta forma un resultado abstracto. a+b=b+a.

Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Un ejemplo es: a+(b+c) = (a+b)+c

Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.

Elemento opuesto o inverso aditivo: Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3.

Propiedad de cerradura: Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural. Por ejemplo a+b=c

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito.

2. LA RESTA

2.1 ALGORITMO

Como ocurre con el algoritmo de la suma, para lograr una correcta comprensión de este algoritmo es necesario un conocimiento de la estructura del sistema de numeración decimal y una cierta habilidad en el conteo. Facilitará mucho las cosas el conocimiento de la sumas básicas, la tabla de sumar, el dominio del contar descendente y del doble conteo, simultáneo, ascendente y descendente.Para restar 693 y 542 se puede considerar que estos números corresponden a un montón de caramelos distribuidos así: 3 caramelos sueltos, 9 bolsas de diez caramelos cada una y 6 cajas de diez bolsas cada una. Y que de ese montón se quieren quitar 2 caramelos, 4 bolsas y 5 cajas. Para saber cuántos caramelos quedan, la forma más sencilla de hacerlo es separar los caramelos, bolsas y cajas que hay que quitar y contar cuántos caramelos, bolsas y cajas quedan en el montón. Para facilitar la búsqueda de las unidades de un determinado orden, es deseable que estén colocadas en sitios cercanos y una forma de hacerlo, como ya se dijo en la suma, es respetando los principios del sistema de numeración, colocando las cantidades una debajo de otra y justificadas a la derecha, esto hace que el resultado se escriba también debajo de las citadas cantidades.

5693- 3542_____2151

Las estrategias numéricas a emplear son distintas, según el tamaño de los números o las preferencias de quien realiza los cálculos. Por ejemplo, 8 - 6 es 2 porque:• Estrategia a) Si a 8 le quito 6 me quedan 2.• Estrategia b) De 6 hasta 8 van 2.• Estrategia c) 6 + 2 es 8.

El algoritmo se complica cuando algún dígito del minuendo es menor que el correspondiente del sustraendo. Para resolver esta situación es imprescindible conocer que la regla de formación de una unidad de un determinado orden es reversible en el sentido de que pueden obtenerse diez unidades de un determinado orden a partir, por “rotura”, de una unidad del orden inmediato superior.Esta manera de restar es llamada coloquialmente “pedir prestado”. Otra forma de hacer es la que se conoce como “pedir y pagar”.

Errores: El cero en el sustraendo.

75- 40___30

El cero en el minuendo.

80- 36___56

No hay el mismo número de cifras en el minuendo y en el sustraendo. Colocación incorrecta de los números en columnas a), restar unidades de un cierto orden a unidades de órdenes distintos en minuendo b) y dejar incompleta la operación c).

a) 485- 26____XXX

b) 675- 4 ____231

c) 471- 58____13

2.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONES DE SUSTRACCIÓN

La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia.

Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a +b=c, entonces c–b=a.

En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.

En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.

Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.

2.3 RELACION INVERSA ENTRE LA SUMA Y LA RESTA

Hay una relación inversa entre la suma y la resta.

Ejemplo: Como 3 + 7 = 10 entonces los siguientes también son verdad:

10 - 3 = 7

10 - 7 = 3

Existen relaciones similares para la resta. Ejemplo: Como 10 – 3 = 7 entonces lo siguientes también son verdad:

3 + 7 = 10

7 + 3 = 10

Una ecuación es balanceada o igual a cada lado del signo igual (=). Si se realiza la misma operación en ambos lados de la ecuación, esta permanecerá balanceada o igual.

En el ejemplo anterior comenzamos con la ecuación 3+ 7 = 10.

Resta el mismo número a ambos lados 3 + 7 – 3 = 10 - 3 En el lado izquierda el 3 y el -3 producen 0 lo que deja

7 = 10 - 3

Damos vuelta la ecuación para presentarla en una forma más normal 10 - 3 = 7

2.4 PROPIEDADES DE LA RESTA

Propiedad 1, Operación No Interna:

El resultado de restar dos números naturales (esto es, su resta) no tiene porqué salir otro número ro natural.

Por esto se dice que la resta de números naturales no es una propiedad interna, el resultado final puede pertenecer a otro conjunto numérico.

Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero, ¿Qué pasaría si hiciéramos 2-3 en lugar de 3-2?:

El resultado (-1) es un tipo de número que ya estudiaremos más adelante (los números negativos) pero lo importante es que NO pertenece a los números naturales (nuestros números naturales empezaban en el 0).

Propiedad 2, No Conmutativa:

El orden de los sumandos influye mucho en el resultado de una resta.

Observa en el siguiente ejemplo como el resultado varía según cómo lo hagamos:

De hecho, se supone que el número -3 no existe en el conjunto de los números que nosotros estamos estudiando, o sea, se supone que ni siquiera lo debemos usar.

Propiedad 3, Elemento Neutro:

Un elemento neutro es un número que hace que al restar "no ocurra nada", o sea, cuando tenemos un número y le restamos su elemento neutro, nos sigue apareciendo el mismo número. Así, el 0 es el elemento neutro de la resta porque cuando a un número cualquiera le restamos el 0, se sigue quedando el mismo número (no le hemos restado nada).

Por ejemplo:

2.5 SITUACIONES EN LAS OPERACIONES DE RESTA

Situación de cambio: Con el cambio disminuido, se da lugar a dos dituaciones en las que es necesario el uso de la operación sustracción., como por ejemplo: “Un niño tiene 5 canicas cuando empieza a jugar, durante el juego pierde tres ¿Cuántas tendrá al final?”(final desconocido) ó “Un niño tiene 5 canicas por la mañana, si al final del día solo le quedan 2 ¿cúantas perdió por la tarde?”(cambio desconocido) . Los niños suelen encontrarse con estos problemas en la vida real, antes de haber aprendido sobre ellos en la escuela, motivo por el cual acostumbran a resolverlos usando los dedos de la mano como recurso mas elemental, utilizando dos estrategias:

-separar de : El niño dispone de la cantidad inicial, pasa a contar la cantidad del cambio realizado sobre lo que tenia en un principio (si realiza el cálculo con dedos, los flexionará). Le quedará un grupo de elementos que, al contarlos, le dará el resultado final. Esta es la estrategia mas elemental.

- Contar hacia atrás: Comienzan desde la cantidad inicial para contar hacia atrás tantos números como indique el cambio realizado.

Situación de combinación: Los problemas de combinación se caracterizan por contar con dos cantidades estáticas que forman parte de un todo que las incluye. Se convierten en problemas de sustracción dependiendo del tipo de incógnita, en este caso, al tratar el problema con una parte desconocida, como por ejemplo: “Juan tiene 4 chucherías de fresa, si Laura tiene en una bolsa chucherías de naranja y entre los dos tienen 7 chucherías ¿Cuántas chucherías tiene Laura?.” Para la resolución de este problema, la

estrategia más común es la de contar hacia atrás. Aún así, para ello son necesarios ciertos conocimientos aritméticos, lo que hace que la resolución de este tipo de problemas con una estrategia directamente sustractiva ,sea más difícil para los niños más pequeños.

Situación de comparación: Este tipo de problemas compara estáticamente dos cantidades dadas, que se dan simultáneamente, pero que no corresponden a dos conjuntos incluidos en un todo. Serán problemas con resolución sustractiva los de diferencia desconocida(Paco tiene 7 lápices y Paloma tiene 5.¿Cúantos lápices tiene Paco más que Paloma?) y referente desconocido(“Lucas tiene 5 pelotitas, y Ana tiene 2 pelotitas más que Lucas, ¿Cuántas pelotitas tiene Ana?”).

2.6 PROBLEMAS

SEPARACIÓN:

- Sandra compró 17 pasteles. Camino de casa se comió 9, ¿cuántos pasteles le quedan?

COMPARACIÓN:

- Andrés pesa 45 Kg y su hermana Ana pesa 25, ¿cuántos Kg de más pesa Andrés que Ana?

COMBINACIÓN:

- Julia tiene 35 libros. Cuatro de ellos son azules, 20 son rojos, y el resto son amarillos. ¿Cuántos libros amarillos tiene Julia?

UNIÓN:

- Lucía tenía veintitrés canicas, y su amigo Iván le regaló las suyas y ahora ella tiene cuarenta y siete canicas. ¿Cuántas canicas le regaló su amigo Iván?

ADICIÓN COMPLEMENTARIA:

- Virginia tenía algunas pulseras. Su madre le ha comprado 5 más y ahora ella tiene 14. ¿Cuántas pulseras tenía Virginia al principio?

SUSTRACCIÓN VECTORIAL:

- África perdió 15 caramelos hoy. Al salir de su casa perdió 10. Al volver después del colegio perdió dos más. ¿Cuántos caramelos perdió África por la tarde?

3. EXPERIMENTOS Y AUTORES DE LA SUMA Y LA RESTA

La mayoría de los estudios dedicados al significado de la adición y la sustracción se centran en realidad en la destreza de los niños para resolver “problemas de enunciado”. Dentro de los problemas de adicción nos encontramos con una gran variedad como pueden ser los problemas de cambio, combinación y/o comparación.

Algunos autores han realizado diversos estudios para ver como los niños son capaces de resolver los diferentes tipos de problemas, y aparte ver las dificultades que encuentran en el proceso de resolución de los mismos y que ejercicios les resultan más fáciles de resolver.

Entre estos autores podemos nombrar a Carpenter y Moser, Vergnaud, Nesher o Brown entre otros.

Uno de esos estudios se baso en dar alguna idea de las diferencias de dificultad a la hora de resolver problemas de diferentes tipos.

Brown: encontró que el 97% de un grupo de niños de 11 y 12 años resolvió con facilidad problemas de unión.

Vergnaud y Durand : observaron éxitos en el 25% de los niños en problemas de sustracción vectorial en el mismo grupo de edad.

Matthews : observo en un grupo de niños de 6-8 años que el 70% eran capaces de resolver con éxito problemas de unión en contraste con solo el 35% correspondiente a problemas de comparación.

Por lo tanto con estos resultados se comprobó que a pesar de que la adicción es un proceso aplicable a la resolución una variedad de tipos de problemas, no todas las formas de adición resultan igual de sencillas a los niños.

Además de esto, Brown por su parte llevo a cabo varios estudios sobre las dificultades que los niños encontraban a la hora de resolver un problema de adicción.

Un problema que uso para su estudio fue: “El indicador muestra que hay 18 km al oeste hasta Grange y 23 km hacia el este hasta Barton. ¿Cuántos km hay desde Grange hasta Barton? (UNIÓN)

***concretamente, a Hilary, se le planteó el problema, y después le plantearon el mismo tipo de problema con una situación más familiar, y con ayuda consiguió resolver el problema.

También pidió a 58 niños de 11 y 12 años que prepararan cuentos que contuvieran las expresiones 9+3 y 84+28 con el fin de disponer de tener pruebas de los diferentes significados que los niños podían dar a la suma. Alrededor de la tercera parte daban un modelo de “unión”.

Ej. Tres obreros de un edificio han puesto 84 ladrillos y un hombre ha puesto 28. ¿Cuántos ladrillos han puesto en total?

Otro tercio puso un ejemplo del tipo “adjunción”.

Ej. Pedro tenía 28 euros y su mama le dio otros 50.¿cuantos euros tiene Pedro ahora?

El tercio restante puso un problema del tipo “comparación”

Ej. Marina tenía 9 huevos y Susana 3 más. ¿Cuántos huevos más tiene una que otra?

Con este experimento podemos ver como los niños pueden atribuir diversidad de significados a una suma.

Por otro lado, al igual que para la suma, también para la sustracción se ha diferenciado y descrito una variedad de tipos de problemas de restas como son los problemas de separación, comparación, adición complementaria o sustracción vectorial.

Se llevo a cabo también un estudio con niños para comprobar que problemas les resultaban más difíciles dentro de los tipos de problemas de sustracción.

Vergnaud y Durand: encontraron que la mitad de los niños de siete años y la totalidad de los de nueve resolvían con éxito los problemas de “quitar” mientras que eran los niños de 10 los que resolvían problemas de adicción complementaria y los de 13, los que resolvían los del tipo sustracción vectorial, los cuales solo supieron resolverlos la mitad de los niños de 11 años.

Este estudio da una idea de la gama de dificultades dentro de la amplia variedad de problemas de adición y sustracción.

También se ha comprobado que para los niños resulta más sencilla la forma de “quitar”. Un estudio realizado por Schell y Bunrs mostró que en un grupo de niños de 7 a 8 años el orden de dificultad (menos a mayor) era: 1” quitar”, 2 “comparar” y 3 “adición complementaria”

Carpenter y Moser: en un estudio realizado, vieron que la mayoría de los problemas de sustracción correspondientes a la forma “adición complementaria” eran resueltos mediante técnicas de adición.

Azusa Pacific University (APU) constato que las 3/5partes de los de 11 años recurrían a la forma de añadir mentalmente para resolver estos y otros problemas de adicción similares.

Brown: comprobó, durante las entrevistas a niños de 11-13 años, que al plantearles un problema del tipo “adición complementaria” con números mayores de 100, los niños emplearon estrategias aditivas y en la mayoría de los casos los niños no alcanzaron a reconocer que el problema podía resolverse con una resta.

McIntosh : por su parte, proporciona algunos ejemplos de historias escritas por niños para efectuar la resta 72-29.

Ej. Un día en la escuela, me dijeron que hiciera la suma 72-29, la hice bien y me dieron un positivo.(8años)

Ej. Un día había 72 niños y 29 niñas, y eso era 43 niñas y un niño.(10/11 años)

Ej. Un cocodrilo tenía 72 dientes, y a la comerse algo se le cayeron 29. ¿Cuantos le quedaron? (9/10 años)

Ej. Tomas tiene 72 bolas y Paula tiene 29. ¿Cuántas bolas tiene más Tomas que Paula?

Estos ejemplos ponen de manifiesto que los niños pueden interpretar de muchas maneras expresiones como 72-29, aunque los resultados sugieren asimismo que en varios casos los niños sabían efectuar el cálculo, pero no supieron darle significado a la expresión.

4. METODOS DE LA SUMA Y LA RESTA

Para estudiar la comprensión que el niño tiene del significado y estructura de las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división), nos basaremos en las fases del desarrollo identificadas por Grossnickle (1959). Estas fases las describimos como:

-El significado de la operación en casos concretos

- El cómputo y las propiedades estructurales de las operaciones.

-Comprensión de las propiedades estructurales de las operaciones.

4.1 ESTRATÉGIAS

Dentro del apartado de los métodos de la enseñanza de la suma y la resta, podemos añadir una serie de estrategias a utilizar por el profesor que le pueden ser útiles a la hora de estructurar una clase, como son:

1. MATEMÁTICA GUIADA: El profesor es el encargado de guiar a los alumnos a través de un concepto matemático específico. Modela el pensamiento matemático y aporta nuevas estrategias adaptadas al individuo, con el fin de facilitar el aprendizaje de un concepto en particular. Este método puede ser utilizado en cualquier momento, sin estar determinado a un grupo concreto.

2. MATEMÁTICA COMPARTIDA : Consiste en la realización de actividades en grupo, lo que hace que los niños se comuniquen entre si, y que sea necesario el intercambio de ideas a la hora de resolver un problema o investigar una idea matemática.

3. MATEMÁTICA INDEPENDIENTE: Los alumnos trabajan individualmente, teniendo en cuenta que pueden pedir ayuda al profesor si lo ven necesario. Da libertad al alumno permitiéndole marcar su propio ritmo de trabajo y desarrollando independencia y autoconfianza, permitiéndole aplicar su propia estrategia.

4.2 MODELOS DE ILUSTRACIÓN

Los siguientes son modelos utilizados para ilustrar el significado de las operaciones de adición y sustracción. Encontramos dos tipos, dependiendo si se basan en el modelo discreto (Divisibles un número finito de veces) o en el continuo (Divisibles un número infinito de veces):

- OBJETOS INDIVIDUALES (modelo discreto): Se basa en la representación de la operación(adición o sustracción) mediante dos conjuntos de objetos formados por cantidades discretas, como podemos ver en el siguiente gráfico:

- LONGITUDES CONTÍNUAS (modelo continuo): Representa la operación realizada con cantidades continuas (longitudes), como podemos observar en el siguiente gráfico:

Estos modelos se utilizan para problemas de combinación (en la suma) o partición (en la sustracción), con objetos o longitudes. También permiten modelos de comparación. Para este modelo su puede utilizar como material las piezas de LEGO.

Con respecto a los experimentos, no hay muchas investigaciones referentes a la capacidad de los niños para usar estos modelos visuales a la hora de interpretar el significado de la suma y la resta, así pues, observaremos su utilidad viendo los experimentos realizados con las regletas de Cuissenaire (modelo continuo), y el modelo discreto, siendo considerado el modelo tradicional. Fennema realiza en 1972 este estudio que, como síntesis muestra que ambos métodos obtienen resultados similares y que, por tanto, ambos dan una imagen clara del concepto de la adición y la sustracción.

4.3 MATERIALES PARA LA DIDÁCTICA DE LA SUMA Y LA RESTA

RECTA NUMÉRICA:

La recta numérica es una representación lineal de los números enteros, mostrados como puntos separados por la misma distancia entre si. La recta incluye todos los números reales, continuando infinitamente hacia cada sentido. Se usa como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

La didáctica con la recta numérica se basa en la idea del orden de los números, para poder determinar si un numeral es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta. Así, decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero.

Pongamos un ejemplo de un problema de sustracción utilizando la recta numérica:

Me quiero comprar una bicicleta que cuesta 100 Euros, si ya tengo 87, ¿cuánto dinero me falta para poder comprarla? Utiliza la recta numérica para representarlo.

ESCALERA:

Se trata de un método lineal utilizado para aprender el oren de los números y aplicar sumas y restas sencillas. Se basa en la sucesión de términos y consiste en colocar los números repartidos en cada escalón de la escalera, de manera que queden ordenados y puedan ser contados uno a uno para llegar a los resultados de operaciones. Se utiliza para esto un dibujo como este:

Este método se utiliza mucho en niveles superiores para explicar las unidades de medida de longitud (km-mm), pesos (kg-mg)… para poder explicar su orden y aprender a pasar de una cantidad a otra correctamente.

REGLETAS DE CUISENAIRE:

Las regletas Cuissenaire son un material matemático destinado a que los niños aprendan a base de su uso, la composición y descomposición de los números, además de iniciarles en las actividades de cálculo, todo ello sobre una base manipulativa. El material consta de un conjunto de regletas de madera de diez tamaños y colores diferentes, y cada regleta equivale a un número determinado, como podemos ver a continuación:

-La regleta blanca, con 1cm representa al 1.

-La regleta roja, con 2 cm. representa al número 2.

-La regleta verde claro, con 3 cm. representa al número 3.

-La regleta rosa, con 4 cm. representa al número 4.

-La regleta amarilla, con 5 cm. representa al número 5.

-La regleta verde oscuro, con 6 cm. representa al número6.

-La regleta negra, con 7 cm. representa al número 7.

-La regleta marrón, con 8 cm. representa al número 8.

- La regleta azul, con 9 cm. representa al número 9.

-La regleta naranja, con 10 cm. representa al número 10.

Se pretenden conseguir con el uso de este material una serie de objetivos, como son asociar la longitud con el color, establecer equivalencias, aprender a formar la serie de numeración del 1 al 10, trabajar las relaciones de mayor qué y menor que de los números basándose en la comparación de longitudes, realizar seriaciones, introducir la composición y la descomposición de números, iniciación de la suma y la resta, iniciación en los conceptos de doble y mitad y realizar repartos. Con su uso podemos visualizar los números primos, cubos y cuadrados, división y multiplicación, divisores y múltiplos, tablas de multiplicar, números pares e impares…

BALANZAS:

Consiste en una balanza y un conjunto de números con distinto peso, de manera que al colocar dos números, en el otro lado debas colocar el resultado de la suma de ambos para equilibrar la balanza, por ejemplo al colocar el 2 y el 3 en un lado de la balanza, deberías colocar el 5 al otro lado para equilibrarla (2+3=5). Se utiliza para aprender las operaciones sencillas, ya sea de adición o de sustracción.

En este enlace podemos ver un juego online basado en la balanza:http://juegosgratisde.com/juegos-de-habilidad/juegos-matematicas/monkey-math-balanceCUBOS LÓGICOS:

Consiste en representar mediante el cubo lógico la unidad (mostrada mediante un dado pequeño), la decena (mostrada por una barra conformada por 10 dados), la centena (una tabla constituida por 100 dados pequeños) y las unidades de millar (mostrado mediante un cubo compuesto por 1000 dados pequeños).

Se utiliza para hacer al niño visualizar las cantidades y manipularlas, de forma que el concepto sea asimilado de forma íntegra. Además se usa para expresar operaciones, no solo de adición y sustracción, sino también de multiplicación y división.

DIAGRAMA DE VENN.

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en las Matemáticas en la teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada uno mediante un círculo, de forma que facilitan la comprensión de la teoría. Sen una buena herramienta, que nos permite realizar las operaciones entre los diversos conjuntos de una forma más sencilla.

ÁBACO:

Un ábaco es un objeto que sirve para realizar operaciones de suma, resta y multiplicación y reforzar el aprendizaje y la comprensión de los algoritmos, a través de la manipulación y el juego.

Tiene como uso principal enseñar el cálculo y su metodología. Consiste en una serie de cuentas que han de colocarse en su posición correspondiente para expresar un número concreto. Se utiliza deslizando las cuentas a lo largo de una serie de barras que representan las unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar.... Estas cuentas se pueden colocar o quitar dependiendo de la cifra

que se desee representar, siendo la posición de la bolita en la barra la que determina su valor.

En esta fotografía podemos ver un ábaco que muestra el número 46.513. Las barras marcan de derecha a izquierda las unidades, decenas, centenas, unidades de millar y decenas de millar. El número que se representa en cada barra depende del número de cuentas que hay en ella, teniendo en cuenta el hecho de que, puede haber un máximo de 9 cuentas en cada barra, pasando la décima a la barra siguiente.

Es un material muy eficaz para dar a entender al niño la situación de las unidades y la importancia de la misma, así como introducirlo en sus primeras operaciones, tanto con números grandes como con números pequeños, de manera visual. Además es muy útil a la hora de explicar el motivo por el que al acumular diez unidades, obtenemos una unidad nueva por ejemplo en las decenas. Pero, seguramente lo más importante de este método es que permite la manipulación y el juego con el material, lo que motiva al individuo y facilita el aprendizaje.

4.4 MARIA ANTONIA CANALS

Propone una serie de métodos orientados a la ordenación y clasificación de elementos, así como los primeros pasos para las operaciones básicas de un modo lúdico y sencillo.Uno de los métodos más conocidos de los dictados por ella son las regletas, similares a las regletas de Cuissenaire, pero ampliadas y adaptadas principalmente al alumnado de primaria.Las regletas de María Antonia Canals constan, además de conjuntos de regletas de distinto tamaño y diez colores, de una serie de tablas cuadradas (que representan el cuadrado del número que su color simboliza) y cubos, que representan el cubo del número designado, de igual manera, por su color.

Podemos ver otros materiales explicados por ella en el video al que conduce el enlace siguiente:http://montessorihoy.blogspot.com/2010/02/m-antonia-canals.html

5. LA MULTIPLICACION

5.1 ALGORITMO DE LA MULTIPLICACION

Un algoritmo de multiplicación es un método para multiplicar dos números. Dependiendo del tamaño de los números, existen diferentes algoritmos. Los algoritmos de multiplicación existen desde el advenimiento del sistema decimal. La multiplicación de números naturales está relacionada con la adición, por lo que el producto de dos números naturales es una suma repetida. Diremos que un sujeto comprende dicho algoritmo si es capaz de “emplearlo” espontáneamente y con éxito en todas aquellas situaciones que lo requieran.

Para utilizar el método habitual para multiplicar dos números enteros, es necesario el aprendizaje y dominio previo de las tablas de multiplicar y la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, además del conocimiento del sistema decimal, la propiedad conmutativa y la capacidad de descomposición de números. La multiplicación se empieza desde la derecha, teniendo en cuenta la colocación de las unidades de un orden bajo las unidades del mismo orden (unidades bajo unidades, decenas bajo decenas, centenas bajo centenas, etc.). Luego se suman los productos de cada cifra del segundo factor por todas las del primero.

Antes de enseñar el algoritmo estándar, es bueno explicar bien a los alumnos cómo multiplicar en partes:

Para multiplicar, por ejemplo, 2 × 76, separamos 76 a 70 y 6 (decenas y unidades). Luego multiplicamos esas partes por separado, y sumamos los resultados. Así calculamos 2 × 70 = 140 y 2 × 6 = 12, y sumamos 140 + 12 = 152.

Y ahora ya podremos aplicar el algoritmo a través de varios ejemplos cada vez más complejos:

76 será el multiplicando y el 2 el multiplicador.

Se coloca el multiplicador debajo del multiplicando, haciendo coincidir las columnas de las unidades por la derecha.

76× 2

152

Los pasos aquí son los mismos. Primero multiplicamos las unidades: 2 × 6 = 12, anotando 2 de las unidades, y llevando 1 unidad a las decenas. Luego multiplicamos 2 × 7 = 14, añadimos el 1 que nos hemos llevado consiguiendo 15, y lo escribimos en el lugar de las decenas.

Pero como esta manera de escribirlo es demasiado directa para los niños, existe otra un poco más larga y detallada.

.76× 2

...12 + 140…

152

Se multiplica primero 6 x 2 = 12 y luego 70 x 2 = 140 y se suman.

- Ahora tomamos la multiplicación 274 x 2.

a) Conforme a las tablas elementales, se multiplica la cifra de unidades (2) del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando, empezando por las unidades (4) sumando las unidades que nos llevamos, aquí por ejemplo, al multiplicar por las decenas (2 x 7 = 14) nos llevaríamos 1 unidad, que añadiremos como suma al resultado de multiplicar la cifra siguiente, las centenas [(2 × 2) + 1 = 5], continuándose de igual forma con las demás cifras del multiplicando si las hubiera.

274× 2

548

b) O bien se hace descomponiendo el número en unidades, decenas y centenas, y se multiplica paso a paso, para después sumarlo. ( 2 x 4 = 8) + ( 2 x 70 = 140) + (2 x 200 = 400); 8 + 140 + 400 = 548.

274× 2

…8140

+ 400…

548

Pero es mejor que los alumnos se acostumbren al primer modelo, pues si no les será más complicado multiplicar por números de dos cifras. Además, este ultimo modelo tan largo, alarga el algoritmo innecesariamente, no facilita demasiado las cosas, no aprovecha la potencia del sistema decimal de numeración y se adapta más al algoritmo de la suma.

Por ejemplo,

Si ahora nuestro multiplicador fuera de dos cifras (32) el proceso seria el mismo, comenzar multiplicando las unidades del multiplicador (2), al igual que antes. A continuacion, repetiriamos el proceso con las decenas (3), escribiendo el resultado debajo de la fila anterior. Es como multiplicar (2 x 274) + (30 x 274).

274 x 32…………. _______......

548………… + 8220……….. ________.....

8768

En lugar de:

274×32

….8140

+ 400…120

2100..6000..

8768..

Un modo mas sencillo de realizar las multiplicaciones cuyo multiplicador es de dos cifras, es en este mismo ejemplo 274x32, en lugar de multiplicar 274 x 2 y luego escribir justo debajo el resultado de 274 x 30 para sumarlo, es multiplicar 274 x 2 y luego 274 x 3, escribiendo el resultado debajo y un lugar más a la izquierda. Así conseguimos realizar cálculos más sencillos (3x4, 3x7 y 3x2 en lugar de 30x4, 30x7 y 30x3). El resto será igual:

274 x 32…………. _______......

548………… + 822 ……..

________.. 8768...

.

-Otro modo de algoritmo de multiplicación es la multiplicación egipcia o duplicación. La explicaremos a través del ejemplo 68 x 9:

Se hacen dos columnas. En la columna de la izquierda colocamos el primer factor (68) y en la segunda la unidad (1). Se van duplicando ambos escribiendo el resultado debajo de ellos hasta acercarnos en la segunda columna lo más posible al segundo factor (9). Entonces se suman los términos de la primera columna que corresponden a los números que suman el segundo factor (9) en la segunda.

68 1136 2272 4544 8

9 = 1 + 8 ; 68 x 9 = 68 + 544 = 612

-otro algoritmo de la multiplicación es la multiplicación rusa o por doble y mitad. Tomaremos el ejemplo de 42 x 21

Se hacen dos columnas. En la primera colocamos el primer factor (42) y en la segunda el segundo factor (21). El primero se duplica y el segundo se divide por dos (suprimiendo los decimales), anotándose debajo de estos sucesivamente hasta llegar a uno en la columna de la derecha. El resultado se obtiene sumando todos los términos de la primera columna que corresponden a los números impares de la segunda.

42 2184 10 (=10’5)168 5336 2672 1

42 x 21 = 42 + 168 + 672 = 882

- un nuevo algoritmo bastante curioso es el geométrico, que por el momento no se enseña en las escuelas.

Cojamos el ejemplo 34x21

Primero representaremos el número 34 con líneas. 3 líneas paralelas y un poco más abajo 4 líneas paralelas. Luego colocamos perpendicularmente las líneas pertenecientes al número 21, 2 a la izquierda y 1 a la derecha. Contamos los cruces de la esquina superior izquierda y ponemos el número a la izquierda (4), contamos los de la equina superior derecha y los de la inferior izquierda y los sumamos y ponemos el número a continuación del anterior. Por último contamos los de la esquina inferior derecha y ponemos el número. En este caso hemos obtenido un número central de dos cifras (11), sería lo que en la multiplicación decimos comúnmente, “me llevo tantas unidades” por lo que la pasamos a las centenas, quedando así: 714.

Si realizáramos la multiplicación del modo común para comprobarlo, veríamos que es cierto el resultado obtenido:

34 x 21…………. _______...... 34………… + 68 ……..

________.. 714…

5.2 EL SIGNO DE MULTIPLICAR:

El signo de multiplicar (x) fue utilizado por primera vez en el siglo XVII por William Oughtred en su obra Clavis Mathematicae en lugar de la palabra “veces”.

Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el punto para indicar la multiplicación en el siglo XVII.

5.3 SITUACIONES EN LAS QUE APLICAR LA MULTIPLICACION:

- De proporcionalidad simple: se da en los contextos en los que hay que reiterar una cantidad un número de veces (términos “cada”). Por ejemplo, 4x3=___ es una situación en la que hay que unir 4 conjuntos de 3 objetos cada uno. Así se formará un conjunto de 12 elementos.un ejemplo sería: Hay 4 cajas y en cada una tenemos 13 caramelos, ¿Cuántos caramelos hay en total?también se pueden dar contextos de tasa, en los que se usa el término “por”. Por ejemplo: he repartido caramelos entre 4 niños y han tocado a 3 caramelos por niño, ¿cuántos caramelos he repartido?

- De comparación: se utilizan términos como doble, triple… y en general “veces”. Son adiciones repetidas. Pueden ser de aumento (Javier tiene 3 veces más que Iván), de igualdad (Javier tiene tantas veces como Iván) y de disminución (Javier tiene 3 veces menos que Iván). Son situaciones de comparación entre dos cantidades A y B, en la que una es el referente, otra el comparado o referido, y se da un factor de comparación o escalar. Javier (referido) tiene el triple (factor escalar, 3) de coches que Iván (referente).

puesto que cada una de las cantidades puede funcionar como referente o como referido, se pueden realizar dos comparaciones que son inversas entre sí: una de aumento y otra de disminución.

- De producto cartesiano: se pueden dar dos formas posibles de combinarse 2 conjuntos. Una es la situación de combinatoria, representable mediante

diagrama de árbol, o la situación de producto de medidas, en la que dos magnitudes se combinan para dar lugar a una tercera, por ejemplo el área.

5.4 TIPOS DE PROBLEMAS

Los problemas multiplicativos pueden ser en general de 3 tipos:

- Factor multiplicante: Juan tenía 28 lacasitos. Susana tenía 7,5 veces más. ¿Cuántos lacasitos tenía Susana?

- Razón: Hay 6 cajas y en cada una tenemos 13 caramelos. ¿Cuántos caramelos hay en total?

- Producto cartesiano: En una tienda hay caramelos de 5 tamaños distintos y de cada tamaño hay 13 colores distintos. ¿Cuántos caramelos distintos puedes comprar?

5.5 PROPIEDADES:

- Propiedad conmutativa: el producto de dos números es el mismo aunque se altere el orden de los factores.

a x b = b x a

- Propiedad asociativa: el producto de tres números puede hacerse de dos formas dado que es una operación binaria: puede multiplicarse primero los dos primeros números y el resultado por el tercero, o multiplicar los dolultimos y lo que resulte por el primero.

(a x b) x c = a x (b x c)

- Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: se obtiene el mismo resultado si hacemos la suma y multiplicamos el resultado por el factor, que si multiplicamos el factor por cada sumando y sumamos los resultados.

a x (b + c) = axb + axc

- Ley de composición interna: la multiplicación la cumple.

- Elemento neutro de la multiplicación = 1

5.6 MODELOS DE LA MULTIPLICACION:

Hay varios modelos de multiplicación, de los cuales cada uno enfatiza un contexto del número.

- Modelo lineal: son modelos de recuento en los que se utiliza la línea numérica. Se hacen intervalos de longitud “a” y el producto n x a se hace contando la longitud “a” n veces.

- Modelo cardinal: se puede dar por un lado la unión repetida de conjuntos normalmente con los mismos objetos, por otro, las matrices (distribución de objetos en un esquema rectangular con filas y columnas), la representación mediante producto cartesiano (cuadro de doble entrada o diagrama de árbol), y utilizando conjuntos mediante diagramas de flechas.

- Modelo de medida: con las regletas de Cuissenaire (colocando las dos regletas pertenecientes a los números a multiplicar, una encima de la otra en cruz. Se toman tantas regletas debajo como indique la longitud de la de arriba y lo que sumen las de abajo es el resultado) o con la balanza de platillos (colocar tantas veces una unidad de peso indicada en el multiplicando como nos indique el multiplicador, y en el otro platillo poner el peso que equilibre la balanza (resultado)).

- Modelo numérico: un contexto estrictamente simbólico, y los números simbolizados. El producto es una suma reiterada.

- Modelo de razón aritmética: comparación de dos conjuntos, o dos cantidades, en términos de “cuantas veces más”.

- Modelo funcional: la multiplicación aparece con carácter de función u operador. Hay un estado inicial (2), un estado operador (x4) y un estado final (12).

5.7 NIVELES DE ENTENDIMIENTO DEL ALGORITMO: UN ESQUEMA CLASIFICATORIO

De un análisis de las situaciones en las que aparece sentido el algoritmo estándar del producto elaboramos una clasificación con cuatro categorías básicas de utilización que proporcionan distintos indicadores de la comprensión de este algoritmo:

- Categoría 1 (Identificativa) : En esta categoría de referencia el algoritmo de la multiplicación no se utiliza de ningún modo pero es reconocido por el alumno como un método de cálculo distinto al de la suma o la resta.

- Categoría 2 (Sintáctica) : El algoritmo se utiliza de forma mecánica como un instrumento para resolver: a) Ejercicios donde se presentan números de diferentes para multiplicar.Son tareas típicas escolares planteadas a los alumnos para que practiquen y mejoren su destreza en el manejo del algoritmo. Éste aparece descontextualizado, sin relación alguna con el concepto de multiplicación. b) Problemas aritméticos de enunciado verbal de estructura multiplicativa escolares y situaciones que tienen lugar en un contexto no escolar donde es necesario multiplicar para resolver un problema (situaciones de mercado,...). En estos casos, el algoritmo de la multiplicación compite con otros métodos alternativos de cálculo escrito o mental y con la calculadora.

- Categoría 3 (Funcional) : De usar el algoritmo clásico del producto como herramienta se pasa a razonar sobre su propio mecanismo en problemas donde se ponen en juego procedimientos heurísticos (por tanteo, reglas empíricas…). Se incluyen en esta categoría la resolución de multiplicaciones con cifras desconocidas (unas tareas en las que hay que relacionar aspectos del funcionamiento y la estructura del algoritmo).

- Categoría 4 (Justificativa) : Problemas de justificar regularidades y propiedades acerca del algoritmo tradicional de la multiplicación. El conocimiento de los principios en los que se fundamenta el algoritmo es requisito indispensable para poder abordar los problemas de esta categoría.

Para determinar la comprensión que tiene un alumno del algoritmo estándar del producto será necesario analizar cómo es utilizado en cada una de las situaciones señaladas.

Para terminar podemos decir que la comprensión de la multiplicación y su algoritmo se van desarrollando progresivamente con los años, sirviendo de ayuda elementos tales como los diagramas, o la calculadora (ayuda a fijar la atención en la estructura y el orden del problema).

6. LA DIVISION:

6.1 DEFINICION ARITMETICA

La división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.

Según su resto, las divisiones se clasifican como exactas si su resto es cero (r = 0), transcriptas como a = b · c , ó inexactas (r ≠0) cuando no lo es, siendo r mayor que d (el divisor), en este caso, su transcripción sería a = b · c + r con 0 ≤ r ‹ b .

Al resultado entero de la división se denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:

Que también puede expresarse:

Dividendo = cociente × divisor + resto

6.2 CONCEPTO DE LAS OPERACIONES

Dividir un nº n por un nº d, es repartir un conjunto de n elementes en tantos subconjuntos de d elementos en tantos subconjuntos de d elementos como sea posible. El nº de subconjuntos es el cociente y los que quedan el resto.

6.3 FORMALIZACION DE LA DIVISION

Resta reiterada de sustraendos iguales.

De esta manera 21 : 7 = ___ se puede interpretar como restar tantos 7 de 21 como sea necesario hasta que el resto sea cero o un número menor que 7, es decir, la división considerada como una sustracción repetida.

En el caso 21 : 7 tenemos que: 21 – 7 = 14, 14 – 7 = 7, 7 – 7 = 0 (el cociente es tres, que es el número de veces que hemos restado siete).

a : b = ((a - b) - b) - … ..…

El dividendo se corresponde con el minuendo inicial de la sustracción, el divisor con el sustraendo que se repite y el cociente es el número de veces que el sustraendo puede restarse del minuendo inicial.

6.4 ALGORITMO DE LA DIVISION

En la aritmética el algoritmo de la división, también llamado división euclídea, es un teorema que afirma que para cualesquiera enteros D y d, llamados dividendo y divisor respectivamente, con d no nulo, existen enteros únicos c y r, llamados cociente y resto respectivamente, tales que

El algoritmo de la división suele ser representado de acuerdo al modelo:

EXPLICACION EJEMPLIFICADA DEL ALGORITMO DE LA DIVISION:

Un algoritmo para dividir dos números, por ejemplo 8593 (dividendo) y 23 (divisor), es el siguiente:

Se escribe el dividendo a la izquierda y el divisor a la derecha, contenido en una escuadra abierta hacia la derecha o galera.

Se toma la primera cifra del dividendo (8) y se divide por la primera del divisor (2). En el caso de que la primera cifra del dividendo sea menor que la del divisor se toman dos cifras del dividendo.

Ahora se trata de encontrar el máximo cociente que multiplicado por el divisor sea menor que las dos primeras cifras del dividendo (o tres en el caso señalado).

Puesto que 8:2=4, se multiplica 4x23=92, que excede a 85 (es decir, 92>85), por lo que se toma una unidad inferior, en este caso 3. En efecto, 3x23=69. Este producto se resta de las dos primeras cifras (o tres en el caso señalado), obteniendo 85-69=16.

A este resto se le añade la cifra siguiente del dividendo, 9. Con dicho número, 169, se procede de igual manera que con las primeras cifras, y sucesivamente con todas las cifras del dividendo.

Las dos primeras, en este caso, 1<2. 16:2=8. 8x23=184; 169<184. Por lo que consideramos una unidad menos, 7x23=161, cuyo resto con 169 es 8. Se "baja" ahora la cifra siguiente del dividendo 3, formándose ahora el número 83. 8:2=4; 4x23=92; 83<92. Se toma el 3. 3x23=69; 83-69=14.

y .

Al no haber más cifras del dividendo, este 14 es el resto, que siempre ha de ser menor que el divisor.

El resultado es el siguiente: 8593 dividido por 23 da un cociente de 373 y un resto de 14; donde se ha de verificar que: 373x23+14=8593.

6.4 PROPIEDADES

Propiedad 1, Operación No Interna:

El resultado de dividir dos números naturales (esto es, su cociente) no tiene por qué salir otro número natural.

Por esto se dice que el cociente de números naturales no es una propiedad interna, el resultado final puede pertenecer a otro conjunto numérico.

Por ejemplo, esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero, ¿qué pasaría si hiciéramos 2 : 4 en lugar de 4 : 2?

Propiedad 2, No Conmutativa:

El orden de los sumandos influye mucho en el resultado de una división.

Como ya hemos visto:

Propiedad 3, Elemento Neutro:

Un elemento Neutro es un número que hace que al dividir "no ocurra nada", o sea, cuando tenemos un número y lo dividimos entre su elemento neutro, nos sigue apareciendo el mismo número. Así el 1 es el elemento neutro de la división porque cuando a un número cualquiera lo dividimos entre 1, se sigue quedando el mismo número.

Por ejemplo:

Propiedad 4, El cero y la división:

1. Cero dividido entre cualquier número da siempre 0. Esto también tiene mucho sentido, si no tenemos ninguna bola que repartir, a todos nos tocarán 0 bolas siempre.

2. No se puede dividir por 0. En la división no es posible tener 20 bolas y no repartirlas entre nadie.

Propiedad 5, La división exacta:

6.6 RELACION INVERSA ENTRE LA MULTIPLICACION Y LA DIVISION

La multiplicación y la división son operaciones inversas.

De una multiplicación obtenemos dos divisiones exactas, y de una división exacta, una multiplicación y otra división del mismo tipo.

7 · 5 = 35 → { 35 : 7 = 5 35 : 5 = 7

42 : 6 = 7 → { 7 · 6 = 42 42 : 7 = 6

Para todo par de números naturales ay b b≠ 0, a : b es el único número natural c, si existe, tal que b · c = a, es decir, a : b =c ↔ a= b · c .

Propiedad 6, La división entera:

En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

Por ejemplo: 7 = 3 · 2 + 1 D = d · c + r

En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.

Por ejemplo: 6 = 3 · 2 D = d · c

De tal manera que si queremos obtener el cociente de 35 : 7 = ___ podemos obtenerlo buscando el número que multiplicado por 7 nos da 35, es decir: 35 = 7 · ___ .

6.7 DIVISIBILIDAD

Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que: b = a · c

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a.

Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división entera de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:

Un número es divisible por 2 si es par (su última cifra es 2, 4, 6, 8 ó 0).

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Un número es divisible por 4 si el número formado por las últimas dos cifras es múltiplo de 4 o termina en doble 0.

Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3.

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de 7.

Un número es divisible por 8 si el número formado por las últimas tres cifras es múltiplo de 8.

Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Un número es divisible por 10 si termina en 0.

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de los lugares pares y la suma de los valores absolutos de los lugares impares, en el sentido posible, es múltiplo de 11.

Un número es divisible por 12 si es divisible por 3 y 4.

Estos criterios sirven en particular para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.

6.8 DIVISON CUOTITIVA Y LA DIVISION PARTITIVA

El reparto de una cantidad de objetos pude hacerse de dos maneras, lo que conduce a la distinción de dos tipos de división.

La división cuotitiva (agrupamiento): Considerada la división como medida. Físicamente el reparto se realiza separando sucesivamente subconjuntos de cuatro elementos hasta que no podamos quitar más, es decir, se trata de una resta sucesiva y tenemos que averiguar cuántas veces se puede resta un nº d a otro nº D. Lo que desconocemos en esta ocasión es: ¿cuántos subconjuntos podré formar?

Por ejemplo: 21 : 3 = ___ puede significar que hay un conjunto de 21 objetos con los que se quieren formar subconjuntos de 3 elementos cada uno.

La división partitiva (repartir) : Considerada la división como partición. El reparto se realiza colocando un objeto en cada una de sus partes, a continuación otro y así sucesivamente hasta que se agotan los elementos a repartir. En este caso la pregunta que plantea el procedimiento: ¿cuántos objetos habrá en cada parte?

Por ejemplo: 21: 3 = ___ también puede sugerir que tenemos un conjunto de 21 objetos que deberá ser separado en 3 partes iguales.

6.9 PROBLEMAS

DIVISIÓN CUOTITIVA:

- María tiene 25 ceras de colores y quiere repartirlas entre ella y sus compañeros de clase Pablo, Alicia, Alberto, Joseja y Ana. ¿Entre cuántos podrá repartir sus ceras si regala 5 a cada uno? ¿Cuántos se quedarán sin las ceras de María?

- Víctor compra varios paquetes de 13 chicles cada uno; en total ha comprado 52 chicles, ¿cuántos paquetes ha comprado?

- Hay 24 niños jugando en casa de Pablo. En cada habitación juegan 8 niños. ¿En cuántas habitaciones hay niños jugando?

DIVISIÓN PARTITIVA:

- Lucía e Irene quieren invitar a sus amigos Virginia, Raúl, Estela y María a golosinas. Entre las dos tienen 80 céntimos. Si cada golosina cuesta 5 cent., ¿cuántas golosinas podrá comer cada uno?

- En un cumpleaños hay 8 invitados; el cumpleañero ha comprado en total 48 golosinas diferentes procurando dar el mismo número a cada uno, ¿cuántas golosinas podrá comer cada invitado?

-Mi madre ha partido una tarta en 12 trozos. Reparte los trozos entre 6 de mis amigos. Para que todos mis amigos coman por igual, ¿cuántos trozos de tarta podrán comer cada uno?

6.10 MODELOS ASOCIADOS A LA DIVISION

Hay varios modelos asociados con la división y cada uno de estos enfatiza un contexto particular del número.

a) Modelos lineales: Considerado como modelo de recuento. Utiliza la línea numérica tiene un soporte gráfico, el producto n · a (“n vec3es a”) se modeliza formando un intervalo de longitud a unidades y contando n veces. Cuando la recta no tiene soporte material se cuenta sobre la sucesión numérica de a en a, hasta n veces ese recuento.

El esquema de la división es similar; consiste en contar hacia atrás desde el dividendo, y de tanto en todo, según indique el divisor. El número de pasos dados es el cociente. En este caso se cambia el modelo usual de la división, el divisor no es ahora el número de partes que se hacen, sino la cantidad igual a que toca cada parte.

Si el divisor es pequeño, 2 o 3, puede intentarse con el modelo de la línea numérica, su división en las partes iguales correspondientes, sin cambiar así los papeles del divisor y el cociente.

La utilización más sencilla de este modelo es como resta reiterada y contando hacia atrás, y no tanteando los puntos en los que la longitud total del dividendo queda partida en partes iguales.

b) Modelos cardinales: Es utilizado en un contexto cardinal. Las matrices son una distribución de objetos en un esquema rectangular. La división 24: 8 = ___ puede representarse preguntando cuántas columnas hay en una matriz de 24 elementos dispuestos en 8 filas

c) Modelos de medida: Las regletas de Cuisenaire nos proporcionan un modelo adecuado del número como longitud. Para realizar la división 12 : 4 utilizando las regletas se hace una fila de reglas de longitud 12 y a continuación se hace otra fila de

0 1 2 3 4 5

igual longitud con una regleta de longitud 4; como las 4 regletas tiene la misma que la fila inicial, 12 : 4 = 3.

Para representar la división 6 :3 = ___ se cuelga una pesa en el gancho del número 6 y se colocan el número de pesas (con igual peso que la anterior) que sean necesarias en el número tras del otro brazo para que se equilibre la balanza.

La división con estos materiales consiste en establecer la equivalencia entre una longitud o peso global (dividendo) y otro más pequeño (divisor) que hay que reiterar varias veces hasta conseguir el equilibrio. El número de veces en ambos casos se obtiene contando y nos da el cociente.

d) Modelos numéricos: Estos modelos son estrictamente utilizados en un contexto simbólico, y los números aparecen únicamente simbolizados. La división se interpreta como una resta reiterada 12 : 4 consiste en ver cuántas veces puede restarse 4 de 12, hasta llegar a 0.

e) Modelos funcionales: La división aparece con el carácter de función u operador.

En este caso cada opción se puede considerar como una máquina-operador que transforma números-estados en números-estados. Se suele decir que cada máquina es inversa de la otra. En este modelo se pone de manifiesto la multiplicación y la división como operaciones inversas.

N · 3 = 18 ↔ 18 : 3 = n

6.11 ESTRATEGIAS

Las estrategias de cálculo empleadas por los niños cuando resuelven problemas de división varían en función de su edad, su desarrollo y su habilidad. Entre las iniciales destacan:

1. Modelar directamente una situación mediante materiales concretos.2. Contar en grupos, a menudo utilizando los dedos para representar los

grupos y a veces empleando los dedos como un lote de los grupos ya contados.

3. Recitar patrones numéricos, p.ej. “3, 6, 9, 12, 15…”4. Aplicar directamente hechos numéricos conocidos.5. Aplicar hechos derivados.

: 4

12 ---------- Operador -------» 3

Estado Estado

7. EXPERIMENTOS Y AUTORES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Numerosos autores han señalado que la multiplicación y la división son considerablemente más difíciles que la adición y la sustracción. Nesher y Katriel demuestran que estas operaciones necesitan unas definiciones mucho más complejas a la hora de definirlas lógicamente.

Luriya, se dedico a experimentar con enfermos mentales y descubrió que podían resolver adiciones y sustracciones, e incluso problemas simples de división, pero en vez de representar por ejemplo 12 : 6 = 6 representaban 12 – 6 = 6

Hart también en sus experimentos descubrió que a la hora de realizar problemas de razón, la mayoría de los niños hacía una suma reiterada en lugar de una multiplicación.

Brown en sus investigaciones, pidió a los niños que les plantearan distintos enunciados a una serie de expresiones aritméticas y llegó a la conclusión de que la mayoría fallaba en la multiplicación, después en la división y donde menos fallos se producían era en la sustracción.

Brown atribuyó a esta dificultad superior a que en la adición y sustracción son conjuntos que se combinan o disocian y en la multiplicación y división sin embargo aparte de conjuntos de elementos diferentes, es preciso asociar en cada caso a un elemento de uno de los conjuntos con un subconjunto del otro conjunto.

Brown también atribuyó una palabra a cada operación de esta manera:

Suma: AñadirResta: QuitarDivisión: Repartir Multiplicación: Tantas veces

Tantas veces no es un concepto que quede muy claro y por eso puede pensarse que a los niños les cueste asignarle un claro significado.

Juan tenía 3 coches. Juana 4 veces más que él. ¿Cuántos coches tiene Juana?

Factor Multiplicante (Brown)

4 niños tienen 3 coches cada uno. ¿Cuántos coches tienen en total?

Razón (Brown)Isomorfismo de medidas (Vergnaud)

Un coche se fabrica en 4 tamaños y 3 Producto cartesiano (Brown)

colores. ¿Cuántos coches diferentes se pueden fabricar?

Producto de medidas (Vergnaud)

Por último autores como McIntosh, Brown y Kücheman sugieren que la multiplicación también resulta más difícil puesto que a menudo se confunden sus enunciados con problemas de adicción o de sustracción.Autores como Vergnaud y Brown se encargaron de clasificar los diferentes tipos de problemas de la multiplicación. Dividieron los problemas en 3 tipos diferentes:

Brown realizó investigaciones para descubrir cuál de los dos últimos les resultaba más sencillo a los niños y descubrió que el producto cartesiano les resultaba mucho más complicado.

Brown también les pidió a un grupo de 66 niños que hiciesen un enunciado para un problema 9 x 3 y los resultados sacaron a la luz que la mayoría de los que lo hacían bien utilizaban el método de Razón, después el Factor multiplicante pero ninguno utilizó el producto cartesiano.

Brown y McIntosh llegaron a la conclusión de que los niños interpretaban de manera más fácil lo que era la multiplicación a través de una división.

Brown también divide los problemas de división en dos grupos:

Juan tiene 12 caramelos. Si los coloca en 4 hileras iguales, ¿Cuántos ha de poner en cada una?

Repartir (Brown)Repartir (William y Moore)

Juan tiene 12 caramelos, quiera colocarlos en hileras de 4, ¿Cuántas hileras puede hacer?

Agrupamiento (Brown)Sustracción repetida (William y Moore)

Hill y Brown al hacer experimentos para probar la diferencia entre estos modelos concluyen que hay poca diferencia de dificultad entre ambos modelos, pero Gunderson y Zweng al hacer experimentos con niños más pequeños (de 4 a 8 años) obtienen que los de agrupamiento les resultaban más sencillos.

Pero sin embargo a la hora de plantear enunciados de problemas para la operación 9 : 3 demostraban que la mayoría de los niños los planteaban de repartir, probablemente porque es la palabra a la que asocian la división de pequeños.

8. ESTUDIO EXPERIMENTAL

El estudio experimental que hemos realizado consiste en pasar una serie de problemas relacionados con el análisis de las cuatro operaciones de las que tarta nuestro trabajo. Estos problemas han sido realizados por los componentes del grupo y repartidos en tres colegios diferentes, el C.P Feria-Isabel Morán, el CP Luis de Mateo y el CP San Pablo.

Los criterios de creación de los problemas han sido sus distintos tipos dependiendo de la operación de la que hablamos. El objeto de estudio planteado fueron los descubrimientos de los distintos niveles de comprensión y resolución que demuestran los alumnos en la proceso de solución del problema referentes a estas operaciones. Ha sido necesaria la aplicación de los conocimientos de las operaciones y adaptarlos correctamente al enunciado utilizando el método de cálculo apropiado en cada caso.

En conclusión, los alumnos resuelven con mayor éxito los problemas relacionados con la suma (a excepción de la sustracción vectorial, en la que muestran un notable déficit de planteamiento), y con la multiplicación. Por el contrario observamos importantes carencias y dificultades a la hora de resolver problemas relacionados con la resta y la división, en las cuales, no llega al 50 % de los alumnos tomados como muestra, resuelve satisfactoriamente los ejercicios matemáticos planteados.

De forma más general los niveles de comprensión y resolución más elevados observados se concentran durante el 1º y 2º ciclo de primaria, mientras los más bajos se localizan en el 3º ciclo de primaria, donde los problemas son resueltos de forma más caótica, menos estructurados, y con porcentajes más altos de planteamientos erróneos en el proceso resolutivo.

SUMA:

Suma: (1º ciclo, 2º primaria)-Adición/añadir: el 81’82% resuelve bien este problema, la mayoría de los fallos vienen al hacer el algoritmo o equivocarse al plantear los datos.

-Comparación: el 54’55% de los alumnos obtiene el resultado correcto, los fallos vienen porque resuelven dos veces la operación.

-Sustracción complementaria: 50% de los alumnos consiguen hacerlo bien. Los fallos provienen de plantear una resta en vez de una suma.

-Unión: 86’36% lo resuelven adecuadamente. Errores en el planteamiento de los datos.

-Unión (números con letra): 77’27% consiguen resolverlo. Los que lo hacen mal se equivocan al escribir con cifras los números.-Adición vectorial: 22’70%. La mayoría de errores viene de sumar todos los datos.

RESTA:

Resta: (1º ciclo, 2º primaria)

-Separación: un 41’6% de los niños resuelven bien este problema, mientras que 58’4% no entiende el tipo de operación que deben emplear, sustituyendo la resta por la suma.

-Comparación: un 50% lo hace bien y el otro 50% no lo resuelve de manera adecuada, volviendo a confundir la resta con la suma.

-Adición complementaria: Un 16’6% consigue obtener el resultado adecuado, mientras que un 83’4 % no lo hace bien. Suman todos los datos de una vez.

-Sustracción vectorial: El 25% lo resuelve adecuadamente, mientras que el 75% se equivoca, porque la mayoría de ellos escogen como operación sumar.

MULTIPLICACION:

Suma, resta y multiplicación (2º ciclo, 3º y 4º de primaria)

-Sustracción vectorial de la suma: un 91´7% plantea correctamente este tipo de problema, mientras que el 8´3% no lo consigue.

-Sustracción vectorial de la resta: los resultados de la resolución de estos problemas son en un 66´6% tal y como se esperaban y son resueltos correctamente, mientras que en 33´4% estos resultados son negativos y los niños no lo resuelven positivamente.

-Razón de la multiplicación: en todos los casos sometidos a experimentación, los alumnos resuelven con éxito este tipo de problemas.

-Factor multiplicante: en todos los casos estudiados, el alumno comprende y resuelve correctamente este tipo de problemas.

-Producto cartesiano: en su gran mayoría, el 75% de los alumnos saben resolver estos ejercicios correctamente, y solo una minoría del 25% no lo hace. Una curiosidad es que los niños recurren a la representación gráfica, evitando realizar cualquier operación en el proceso de resolución.

*** Aproximadamente, más de la mitad de los casos estudiados suman en vez de multiplicar en ejercicios que requieren la multiplicación en el proceso resolutivo, mientras, el resto del alumnado, multiplica cuando procede.

Multiplicación: (3º ciclo, 6º primaria)- Razón: el 100% de los alumnos lo hicieron bien.- Factor multiplicante: el 70’5% de los niños lo plantearon bien (aunque un 29’5% se equivoco al multiplicar), y el otro 29’5% no lo plantearon bien. - Producto cartesiano: el 94% de la clase lo hizo bien y el 6% lo resolvió mal.

DIVISION:

División: (2º ciclo, 3º y 4º de primaria)

-División partitiva: el 46´6% de los alumnos superan exitosos estos problemas, mientras que les superan algunos que no lo hacen en un 58´3%, los cuales no lo resuelven por completo.

-División cuotitiva: la dificultad de estos ejercicios es muy similar a la anterior, con un porcentaje del 42´3% de aciertos y un 57´7% de fracaso en su resolución.

División: (3º ciclo, 6º de primaria)- Repartir: un 35’5% de los niños lo hizo mal mientras que el resto, un 64’5% lo resolvió correctamente - Mezcla multiplicación-división-resta-suma: un 41’2% de los alumnos lo hizo correctamente y el otro 58’82% se equivoco al resolverlo.

-Agrupar: Un 32’5% consigue resolver bien el ejercicio, mientras que 68’5% falla en este problema.

9. BIBLIOGRAFÍA

www.wikipedia.org

http://www.aaamatematicas.com/pro.htm

http://www.elabueloeduca.com/aprender/matematicas/restar/restar.html

http://www.vitutor.net/

http://www.geothesis.com/

http://juegosgratisde.com/juegos-de-habilidad/juegos-matematicas

http://www.youtube.com/watch?v=hOkD9V6S8Q8

http://www.youtube.com/watch?v=vvLF9I4hIIc&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=AMHkrydaCho&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=BoQE99vfow8&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=oPg_EkoFpSQ&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=0Hae8E4GuuE&feature=related

Libro: Didáctica de la matemática en Educación Primaria

http://www.youtube.com/watch?v=5JtliQVoOZo