Deflexiones (contraflechas) producidas por los cables de ...

Deflexiones

(contraflechas)

producidas por los

cables de

tensionamiento en las

vigas simples de

concreto

2017

I.C. ECCELINO FARÍAS GARCÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

UNIVERSIDAD SANTO TOMÁS - BOGOTÁ

Deflexiones en Cables – I.C. Eccelino Farías. - Página 1 de 38

DEFLEXIONES (CONTRAFLECHAS) PRODUCIDAS POR LOS CABLES DE

TENSIONAMIENTO EN LAS VIGAS SIMPLES DE CONCRETO

ECCELINO FARIAS


T1Introducción:

En general, las fórmulas más comunes de las deflexiones producidas por los

cables en las vigas preesforzadas se encuentran enunciadas, mas no deducidas, a

partir de la aplicación de los principios del análisis estructural. Por tanto,

consideramos importante, desde el punto de vista académico e investigativo,

acometer estas deducciones, tanto para las fórmulas conocidas como para

muchas otras de condiciones especiales que corresponde a la geometría real de

los cables.

Para este cometido, encontramos aplicable el principio de AREAS-MOMENTOS

derivado de la ecuación general de la línea elástica de las vigas. Dicho principio,

se encuentra enunciado en en el libro Resistencia de materiales, de Fred B. Seely

(1954), se basa en sus dos teoremas así:

I. “Cuando una viga recta es sometida a flexión, la diferencia de las

pendientes de la curva elástica en dos puntos cualesquiera está

representada en magnitud por el área limitada por el diagrama EIM y

las ordenadas levantadas en los puntos correspondientes”.

II. “Cuando una viga recta es sometida a flexión, la distancia de un punto

cualquiera (A) de la curva elástica, medida normalmente a la posición

original de la viga, a una tangente trazada a la curva elástica en otro

punto cualquiera (B), está representada en magnitud por el momento del

área del diagrama EIM , comprendida entre los dos puntos, con respecto

a una ordenada que pase por (A)”.


En estos enunciados, (M ) es el momento flexionante, ( E ) es el módulo de

elasticidad del material, e ( I ) es el momento de inercia de la sección con

respecto a su eje.

En el caso que nos ocupa, (M ) es el momento que produce en la viga el cable

tensionado tanto por la fuerza concentrada en el anclaje como por la carga

aproximadamente uniforme que produce la curvatura a lo largo de su cuerda.

Se ha procurado, además, lograr un coeficiente común ( EIL 82 ) en la mayoría de

las fórmulas para efectos comparativos.


T1Casos contemplados:

1) T2Cable recto de excentricidad constante (2y )

ELASTICA

L

F

M2 M2

y2

A

xG

L/2

tA

A B

EJE CENTROIDAL (E.C)

F

22 FyM

GA AXt

42

2 LL

EI

M

2

2

8M

EI

L

1

EI

M 2


2) T2Cable curvo (parabólico) con anclajes en el eje

ELASTICA

L

F

A

xG

L/2

tA

A B

G

E.C

f=y1

GA AXt

11 FyM

T3Cálculo de A

La ecuación de la parábola para la posición indicada es:

L

xf

L

xfy 44

2

2/

0

2/

0

2

44L L

dxL

xf

L

xfydxA

2/

0

22/

044

LL

dxL

xfdx

L

xfA

2/

0

22/

0

3

2

2/

0

2/

0

2

2 2

4

3

444LL

L L x

L

fx

L

fxdx

L

fdxx

L

fA

23

2

36

2

268

4

24

4 23

2

fLfLfL

fLfLL

L

fL

L

fA

EI

MEI

Mf 1


EI

LMA

23

2 1

T3Cálculo de GX

Por momentos estáticos:

xdxL

xf

L

xfyxdxAX

L L

G

2/

0

2/

0

2

44

2/

0

32/

0

2/

0

4

2

22/

0

3

2 3

4

4

444LL

LL

G

x

L

fx

L

fdxx

L

fdxx

L

fAX

61624

4

64

4 2234

2

fLfLL

L

fL

L

fAXG

222

48

5

48

8

48

3fL

fLfLAXG

28

5

16

5

23

248

5 2

LL

fL

fL

A

AXX G

G

1

22

11 54848

5

28

5

23

2M

EI

L

EI

LML

EI

LMAXG

O, finalmente: 1

2

658

MEI

L

Nota: En el centro de la luz 8

2

1

wLM siendo w la carga por metro lineal, en

este caso ascendente.

Luego; EI

wLwL

EI

L 422

384

5

86

5

8

: fórmula conocida.

2


3) T2Cable curvo (parabólico) con excentricidad del anclaje hacia abajo (2y )

L

F

E.C

y1

y2

M2 M2

Llamando 11 FyM ,

22 FyM

Y teniendo en cuenta que los dos momentos producen deflexión ascendente (del

mismo signo), sumamos las fórmulas y

1

2

2

2

6/588

MEI

LM

EI

L ; 21

2

6/58

MMEI

L

4) T2Cable curvo (parabólico) con excentricidad del anclaje hacia arriba (2y )

L

F

E.C

y1

y2

M2 M2

En este caso la carga ascendente del cable ( lmw / ) produce deflexión hacia

arriba pero la excentricidad del anclaje hacia arriba produce deflexión hacia

abajo, por tanto, de la fórmula se resta la fórmula :

2

2

2

2

86/5

8M

EI

LM

EI

L ; 21

2

6/58

MMEI

L

Siendo 11 FyM ,

22 FyM

1 2

3

1 2

4


5) T2Cable recto con quiebre en el centro de la luz y los anclajes en el eje de

la sección

ELASTICA

L

F

A

xG

L/2

tA

A B

G

E.C

y1

23

2

22

1 1 L

EI

MLt A

34

1 LL

EI

M

EI

LM

12

2

1

En otra forma: 1

2

3/28

MEI

L

Siendo 11 FyM

6) T2Cable recto con quiebre en el centro de la luz y con excentricidad del

anclaje hacia abajo (2y )

5

EI

MEI

M 1


L

F

E.Cy2

y1

M2 M2

En este caso se suman las fórmulas y

1

2

2

2

3/288

MEI

LM

EI

L ; 21

2

3/28

MMEI

L

Siendo 11 FyM ,

22 FyM

7) T2Cable recto con quiebre en el centro de la luz y con excentricidad del

anclaje hacia arriba (2y )

L

F

E.C y2

M2 M2

y1

En este caso se restará la fórmula de la fórmula :

2

2

1

2

83/2

8M

EI

LM

EI

L ; 21

2

3/28

MMEI

L

8) T2Cable con tres tramos rectos y anclajes en el eje de la sección

1 5

6

1 5

7


ELASTICA

L

F

tA

A B

E.C

y1

a L-2a a

4

2

2

2

3

2

2

11 aLa

EI

MaLa

EI

Ma

4

2

2

2

6

2 2

1 aLa

aLa

EI

M

8

2

2

2

3

222

1 aLaaLa

EI

M

8

44

2

2

3

2222

1 aaLLaaLa

EI

M

24

1212324128 2222

1 aaLLaaLa

EI

M

221 4324

aLEI

M

EI

MEI

M 1

EI

M 1


En otra forma:

3

4

83

43

8

221

22

1 aL

EI

MaL

EI

M

22

1

2

22

1 2

3

11

83

41

8 L

a

EI

LM

L

a

EI

LM

Finalmente:

2

11

2 2

38 L

aMM

EI

L

9) T2Cable con tres tramos rectos y anclajes abajo del eje de la sección

L

F

E.C

y1

a L-2a a

M2 M2

y2

En este caso se suma la fórmula a la fórmula :

2

11

2

2

2 2

388 L

aMM

EI

LM

EI

L

2

112

2 2

38 L

aMMM

EI

L

10) T2Cable con tres tramos rectos y anclajes arriba del eje de la sección:

8

1 8

9


L

F

E.C

y1

a L-2a a

y2

M2 M2

En este caso se restará la fórmula de la fórmula :

2

22

11

2

8

2

38M

EI

L

L

aMM

EI

L

2

121

2 2

38 L

aMMM

EI

L

11) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al tercio de la luz y anclajes en

el eje de la sección

L

F

E.C

y1

L/3 L/3 L/3

En un caso particular de la fórmula cuando 3/La

El término

22

L

aqueda:

9

4

9

4322

22

L

L

L

L

1 8

10

8


Reemplazando en la fórmula :

27

427

827

4

89

4

38

11

2

11

2

11

2 MM

EI

LMM

EI

LMM

EI

L

Finalmente:

1

2

27

23

8M

EI

L

12) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al tercio de la luz y anclajes

abajo del eje

En este caso se suma la fórmula a la fórmula

2

2

1

2

827

23

8M

EI

LM

EI

L

21

2

27

23

8MM

EI

L

13) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al tercio de la luz y anclajes

arriba del eje

8

11

1 11

12


L

F

E.C

L/3 L/3 L/3

M2 M2

y1

y2

En este caso se resta la fórmula de la fórmula :

2

2

1

2

827

23

8M

EI

LM

EI

L

21

2

27

23

8MM

EI

L

14) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al cuarto de la luz y anclajes en

el eje de la sección

L

F

E.C

y1

L/4 L/2 L/4

En un caso particular de la fórmula cuando 4/La

El término

22

L

aqueda

4

1

16

442

2

2

2

L

L

L

L

Reemplazando en la fórmula :

1 11

13

8

8


12

12

84

1

38

11

2

11

2 MM

EI

LMM

EI

L

Finalmente:

1

2

12

11

8M

EI

L

15) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al cuarto de la luz y anclajes

abajo del eje

L

F

E.C

L/4 L/2 L/4

y1

y2

M2 M2

En este caso se sumará la fórmula de la fórmula :

2

2

1

2

812

11

8M

EI

LM

EI

L

21

2

12

11

8MM

EI

L

16) T2Cable con tres tramos rectos, quiebres al cuarto de la luz y anclajes

arriba del eje

14

1 14

15


En este caso se resta la fórmula de la fórmula :

2

2

1

2

812

11

8M

EI

LM

EI

L

21

2

12

11

8MM

EI

L

T3Nota: Cálculo aproximado de la carga ascendente mlw/ del cable parabólico:

a) T4Parábola completa:

F˜HEJE

f

F

F FL

A

Debido a que los cables son muy tendidos, el ángulo ( ) es muy pequeño y la

componente horizontal (H) puede considerarse igual a (F).

0 AM

222

2/2

LwLLwFf

884

222 wLwLwLFf

2

8

L

Ffw

1 14

16

a

2

wL

w

2

wL


b) T4Media parábola:

EJE

f

F

L

AF

0 AM

wLLwL

Ff 2

2

22

222 wLwL

wLFf

2

2

L

Ffw (w se computa a partir de A)

17) T2Planteamiento de una fórmula general para viga simple de una luz

y2

Efectos del cable

F

E.C

f=y1

BA

BA

Cable

x1 a a x1

M2 M2

wL

w

b

l


BA

BA

x1 x1L-2x1

BA

tAELASTICA

L/2

11 FyM ; 22 FyM

21 MM

(-) para 2y (anclaje arriba del eje)

(+) para 2y (anclaje abajo del eje)

waRA 2

2

a

Ffw

22 FyM 11waxM x

222

2

1

22

1

2

11

wawax

wawawax

waaxwM aax

4228

5

23

2

23

2

2

11

2

11

3

11

2

1

2

1

1

lax

lwawaxax

waaxxwax

wax

EIM

4228

5

323111

2

11

3

1

1

lax

laxax

aaxax

x

EI

waM

β

EI

M1

EI

M 2

2

2wa

1wax

2M


Pero 2

12

a

Fyw según fórmula

4228

5

323

2111

2

11

3

1

2

1

1

lax

laxax

aaxax

x

EI

a

a

FyM

4228

5

323

2111

2

11

3

11

1

lax

laxax

aaxax

x

EIa

FyM

Ahora:

4

2

2

21 11

122

xLx

xLM

EIM

4

2

2

2 11

12

2

xLx

xL

EI

MM

4

2

2

2 11

12

2

xLx

xL

EI

FyM

Luego la fórmula general queda:

4

2

2

2

4228

5

323

2

11

12

111

2

11

3

11

xLx

xL

EI

Fy

lax

laxax

aaxax

x

EIa

Fy

b

β

17


T3Casos particulares:

18)

F

E.C

y1

a L a

y2

M2 M2

11 FyM , 22 FyM

Si en la fórmula se hace 01 x y el cable llega con excentricidad hacia

arriba en los extremos de la viga, tenemos:

EI

LFylala

EI

Fy

831210

24

2

2221

T4Si en la fórmula se hace 01 x y el cable llega centrado a los

extremos de la viga, tenemos:

F

E.C

a L a

M2 M2

y1

y2

17

18

17

l

l


EI

LFylala

EI

Fy

831210

24

2

2221

T4Si en la fórmula se hace 01 x y el cable llega centrado a los

extremos de la viga, tenemos:

F

E.C

a L a

y1

221 3121024

lalaEI

Fy

T4Si la fórmula se hace 0l y el cable totalmente parabólico llega con

excentricidad hacia arriba antes de los extremos de la viga, tenemos:

F

E.C

a ax1 x1

y2

M2 M2

y1

4

2

4

2

8

5

323

2 11

121

2

11

3

11 xLx

xL

EI

Fyax

aaxax

x

EIa

Fy

19

17

20

17

21

l


Observaciones:

a) T5 Si en la fórmula se hace 0l y el cable totalmente parabólico

llega con excentricidad hacia arriba en los extremos de la viga, tenemos:

L

F

E.C

y1

M2 M2

L/2 L/2

y2

2

La

EI

LFyL

EI

Fy

EI

LFyL

EI

Fy

84

10

248210

24

2

221

2

2

2

1

EI

LFyL

EI

Fy

EI

LFyL

EI

Fy

812

10

8810

96

2

221

2

221

21

2

21

2

6

5

812

10

8FyFy

EI

LFyFy

EI

L

Que es la misma fórmula

b) T5 Análogamente, si en la fórmula se hace 0l y el cable

totalmente parabólico llega con excentricidad hacia abajo en los extremos

de la viga, tenemos:

18

4

19


L

F

E.C

y1

y2

M2 M2

L/2 L/2

21

2

6

5

8FyFy

EI

L que es la misma formula

c) T5Finalmente, si el cable totalmente parabólico llega centrado a los

extremos de la viga ( 02 y ), tenemos:

L

F

E.C

y1

L/2 L/2

1

2

6

5

8Fy

EI

L Que es la misma fórmula

19) T2Cable en un volado con excentricidad constante

3

2


22 FyM

EI

LMLL

EI

M

22

2

22

2

2

48

MEI

L

20) T2Cable en un volado con concavidad positiva y el anclaje extremo en el

eje de la sección.

22

EI

M 2


11 FyM

Se trata de una parábola de eje vertical:

Ecuación: kyx 2 ; para Lx EI

My 1 ;

EI

MKL 12 ;

EI

M

LK

1

2

1

2

M

EILK ; y

M

EILx

1

22 ;

2

2

1

L

x

EI

My ;

2

1

L

x

EI

My

Deflexión GAX

Cálculo de A: dxxEIL

Mdx

L

x

EI

MydxA

LLL

0

2

2

1

2

0

1

0

EI

LML

EIL

Mx

EIL

MA

L

333

1

3

2

1

0

3

2

1

a

EI

M1


Cálculo de GX : dxxEIL

Mxdx

L

x

EI

MyxdxAX

LLL

G

0

3

2

1

2

0

1

0

EI

LM

EIL

LMx

EIL

MAX

L

G444

2

1

2

4

1

0

4

2

1

LEIML

EIML

A

AXX G

G4

3

3

42

1

22

1

444

3

3M

EI

L

EI

MLL

EI

LMAXG

1

2

28

MEI

L

Nota: En el apoyo 2

2

1

wLM , siendo w la carga ascendente por metro lineal

Luego:

EI

wLwL

EI

L

822

8

422

(Fórmula conocida).

21) T2Cable en un volado con concavidad positiva y anclaje extremo abajo

del eje

23


11 FyM , 22 FyM

Se restará la fórmula de la fórmula :

2

2

1

2

48

28

MEI

LM

EI

L

21

2

428

MMEI

L

22) T2Cable en un volado con concavidad positiva y el anclaje extremo arriba

del eje

11 FyM , 22 FyM

Se sumarán las fórmulas y :

1

2

2

2

28

48

MEI

LM

EI

L

21

2

428

MMEI

L

22 23

24

22 23

25


T3Caso en que el cable con concavidad positiva no llega al extremo del volado

y el anclaje extremo está centrado en la sección

11 FyM

2

2wL

21

1

2

1 28

MEI

a Según

)(2 aLtgaL , pero aEI

M 1

3

1 , fórmula

38

2

38

2

3

12

8

1

2

11

2 aLa

EI

aMaaL

a

EI

M

EI

MaaLM

EI

a

12

4

24

28

24

886

24

8

24

6 1111 aL

EI

aMaL

EI

aMaLa

EI

aMaLa

EI

aM

11

12

44

12M

EI

aLaaL

EI

aM

23

a

EI

M1


13/2

8

4M

EI

aLa

Observaciones:

a) T4Si en la fórmula se hace 2

La , queda:

1

22

1

22

1

22

1 3/232

83/2

8*4

83/2

8

42

4

3/28

2/42/M

EI

LLM

EI

LLM

EI

LL

MEI

LLL

1

2

1

2

1

2

12

14

896

143/2

32

7M

EI

LM

EI

LM

EI

L

1

2

6/78

MEI

L

b) T4 Aún más, si en la fórmula expresamos 1M en función de la

carga ascendente mlw/ :

82

2/

2

222

1

wLLwwaM

Luego:

86

7

8

22 wl

EI

L

EI

wL4

384

7

26

26

26`

26`

26``



y el anclaje extremo abajo del eje

L

FE.C y1

y2

M2

L-a a

11 FyM , 22 FyM


2

2

1 48

3/28

4M

EI

aM

EI

aLa

21 43/248

aMMaLEI

a


y el anclaje extremo arriba del eje

L

F

E.C

y1

y2

L-a a

M2

11 FyM , 22 FyM

Se sumará la fórmula a la fórmula :

22 26

27

22 26


2

2

1 48

3/28

4M

EI

aM

EI

aLa

21 43248

aMMaLEI

a

23) T2Cable en un volado con concavidad negativa y el anclaje extremo en el

eje de la sección

2

2

11

wLFyM

El diagrama de momentos lo descomponemos en el que produce la reacción wL

del extremo del volado y en el que produce la carga w por metro lineal, en este

caso descendente. El primero produce deflexión ascendente a y el segundo

deflexión descendente b :

ba

28

w

wL

EI

wL2

EI

wL

2

2

ELASTICA


EI

wLL

EI

wLLa

33

2

2

1 42

EI

wLL

EI

wLLb

84

3

23

1 42

Ver

EI

wL

EI

wL

EI

wL

EI

wL

EI

wL 44444

24

5

24

3

24

8

83

38

10

24

10

224

10

2

2

24

5 1

2

1

22222 M

EI

LM

EI

LwL

EI

LwL

EI

L

1

2

3

10

8M

EI

L

24) T2Cable en un volado con concavidad negativa y el anclaje extremo

abajo del eje

11 FyM , 22 FyM


2

2

1

2

483

10

8M

EI

LM

EI

L

23

29

22 29


21

2

43

10

8MM

EI

L

25) T2Cable en un volado con concavidad negativa y el anclaje extremo

arriba del eje

11 FyM , 22 FyM

Se sumará la fórmula a la fórmula

2

2

1

2

483

10

8M

EI

LM

EI

L

21

2

43

10

8MM

EI

L

T3Caso en que el cable con concavidad negativa no llega al extremo del

volado y el anclaje extremo está centrado en la sección

30

22 29

31


ELASTICA

11 FyM ó

2

2wa

21

1

2

1 3108

MEI

a según

aL 2

aEI

wa

EI

waa

23

1

2

1 22

según 1ª teorema.

11

233

323

2

3

2

236

1

2

1M

EI

a

EI

aM

EI

awa

EI

wa

EI

wa

12 3/2 MEI

aaL

29

EI

wa2

EI

wa

2

2

wa


11

2

323108

MEI

aaLM

EI

a

11

2

328

832

8

5M

EI

aaLM

EI

a

1

22

1

2

3/28

88532

8

85M

EI

aaLaM

EI

aaLa

1

2

3/28

38M

EI

aaL

13/28

38M

EI

aLa


volado y el anclaje extremo abajo del eje

L

F

E.C y1

y2

M2

L-a a

11 FyM , 22 FyM

La fórmula se resta de la fórmula :

2

2

1 48

3/28

38M

EI

aM

EI

aLa

;

32

22 32


21 432388

aMMaLEI

a


volado y el anclaje extremo arriba del eje

L

F

E.C

y1

y2

L-a a

M2

11 FyM , 22 FyM

La fórmula se sumará a la fórmula

2

2

1 48

3/28

38M

EI

aM

EI

aLa

21 432388

aMMaLEI

a

t2 Conclusiones

Las fórmulas anteriores están referidas, obviamente, a la actuación de un cable

individual en cada caso analizado. Si actúan varios cables, como es el caso

frecuente, se sumarán sus efectos. No me parece aconsejable, como indican

algunos autores, que se pueda proceder con el cable medio, es decir, con el

33

22 32

34


cable resultante de todos, pues éste puede tener variaciones bruscas

especialmente cuando algunos de los cables afloran a la cara superior de las vigas

antes de llegar a los apoyos, lo cual es frecuente en las vigas de los puentes.

T1BIBLIOGRAFIA:

Fred, B. & Seely, M.S. (1954). Resistencia de materiales.

Lin, T. Y. (1978). Diseño de Estructuras de Concreto Presforzado.

Nilson, A. H. (1982). Diseño de Estructuras de Concreto Presforzado.

Deflexiones (contraflechas) producidas por los cables de ...

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