RESISTENCIA DE MATERIALES

DEFLEXIONES DE VIGASINTEGRANTES:

CORTEZ GUARNIZ. JORGE

GARCÍA MIRANDA, FABRIZIO

MEDINA ULLOA, FIDEL

MANTILLA MIÑANO, JHONATAN

PEREDA SOLÓRZANO, BRAYAN

IDEAS GENERALES• Cuando una viga con un eje longitudinal recto se carga con fuerzas laterales, el eje se

deforma y adopta una forma curva, denominada CURVA DE DEFLEXIÓN de la viga.

• Determinaremos la ecuación de la curva de deflexión y también encontraremos las deflexiones en puntos específicos a lo largo del eje de la viga.

• Ocasiones las deflexiones se calculan con el fin de verificar que estén dentro de los límites tolerables.

ECUACIONES DIFERENCIALES

• La mayor parte de los procedimientos para determinar las deflexiones se basan en ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión y sus relaciones asociadas.

• La deflexión v es el desplazamiento en la dirección y de cualquier punto sobre el eje de la viga (figura). dado que el eje y es positivo hacia arriba, las deflexiones también son positivas hacia arriba.

• Debemos expresar la deflexión v como una función de la coordenada x.

• El punto m1 está ubicado a una distancia x desde el origen.

• También se muestra un segundo punto m2, ubicado a una distancia x + dx desde el origen. la deflexión en este segundo punto es v + dv, donde dv es el incremento en la deflexión conforme nos movemos a lo largo de la curva de m1 a m2.

• El ángulo de rotación θ del eje de la viga es el ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión, según se muestra para el punto m1 en la vista ampliada de la figura

• La pendiente de la curva de deflexión es la primera derivada dv/dx de la expresión para la deflexión v.

• Como dv y dx son infinitesimalmente pequeños, la pendiente dv/dx es igual a la tangente del ángulo de rotación θ.

VIGAS CON ÁNGULOS DE ROTACIÓN PEQUEÑOS• Las curvas de deflexión de la mayor parte de las vigas y columnas tienen ángulos de

rotación muy pequeños, deflexiones muy pequeñas y curvaturas muy pequeñas. en estas condiciones podemos hacer algunas aproximaciones matemáticas que simplifican en gran medida el análisis de la viga.

• Observamos que la distancia ds a lo largo de la curva de deflexión es prácticamente la misma que el incremento dx a lo largo del eje x.

• Con esta aproximación, la curvatura resulta:

• Relación entre la curvatura de una viga y su deflexión:

• Esta ecuación es válida para una viga de cualquier material, siempre que las rotaciones sean pequeñas.

• Si el material de una viga es linealmente elástico y sigue la ley de hooke, la curvatura es:

• En donde M es el momento flexionante y EI es la rigidez a la flexión de la viga.

VIGAS NO PRISMÁTICAS• La rigidez a la flexión EI es variable:

• Donde se agrega el subíndice x como recordatorio que la rigidez a la flexión puede variar con x. Al derivar los dos lados de esta ecuación y empleando las ecuaciones anteriores:

VIGAS PRISMÁTICAS• En el caso de una viga prismática (EI constante), las ecuaciones diferenciales

se convierten en:

• Con esta notación podemos expresar las ecuaciones diferenciales para una viga prismática en las siguientes formas:

• Nos referiremos a estas ecuaciones como ecuación del momento flexionante, ecuación de la fuerza cortante y ecuación de la carga, respectivamente.

DEFLEXIONES POR INTEGRACION DE LA ECUACION DEL MOMENTO FLEXIONANTE

• COMO SABEMOS LA ECUACION DEL MOMENTO FLEXIONANTE ES DE SEGUNDO GRADO POR LO QUE SU:

• PRIMERA INTEGRACION VENDRIA A SER LA PENDIENTE

• SEGUNDA INTEGRACION PRODUCE LA DEFLEXION V.

• EN CADA INTEGRACION VAMOS A OBTENER CONSTANTES QUE TIENEN QUE CUMPLIR CIERTAS CONDICIONES :

• C. DE FRONTERAS

• C. DE CONTINUIDAD

• C. DE SIMETRIA

CONDICIONES:

FIGURA Condiciones de frontera en apoyos simples

FIGURA Condiciones de frontera en un empotramiento

FIGURA Condiciones de continuidad en el punto C.

• LAS CONDICIONES DE FRONTERA SE RELACIONAN CON LAS DEFLEXIONES Y PENDIENTES EN LOS APOYOS DE UNA VIGA. POR EJEMPLO, EN UN APOYO FIJO SIMPLE (UNA ARTICULACIÓN O UN RODILLO) LA DEFLEXIÓN ES Y EN UN APOYO LA DEFLEXIÓN Y LA PENDIENTE SON. CADA UNA DE ESTAS CONDICIONES DE FRONTERA DA UNA ECUACIÓN QUE SE PUEDE EMPLEAR PARA EVALUAR LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN.

• LAS CONDICIONES DE CONTINUIDAD SE PRESENTAN EN PUNTOS DONDE LAS REGIONES DE INTEGRACIÓN CONFLUYEN, COMO EN EL PUNTO C EN LA VIGA LA CURVA DE DEFLEXIÓN DE ESTA VIGA ES FÍSICAMENTE CONTINUA EN EL PUNTO C Y, POR TANTO, LA DEFLEXIÓN EN EL PUNTO C DETERMINADA PARA LA PARTE IZQUIERDA DE LA VIGA DEBE SER IGUAL A LA DEFLEXIÓN EN EL PUNTO C DETERMINADA PARA LA PARTE DERECHA. DE MANERA SIMILAR, LAS PENDIENTES ENCONTRADAS PARA CADA PARTE DE LA VIGA DEBEN SER IGUALES EN EL PUNTO C. CADA UNA DE ESTAS CONDICIONES DE CONTINUIDAD DA UNA ECUACIÓN PARA EVALUAR LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN.

• LAS CONDICIONES DE SIMETRÍA TAMBIÉN PUEDEN ESTAR PRESENTES, SI UNA VIGA SIMPLE SOPORTA UNA CARGA UNIFORME EN TODA SU LONGITUD, SABEMOS DE ANTEMANO QUE LA PENDIENTE DE LA CURVA DE DEFLEXIÓN EN EL PUNTO MEDIO DEBE SER CERO. ESTA CONDICIÓN DA UNA ECUACIÓN ADICIONAL.

• CADA CONDICIÓN DE FRONTERA, DE CONTINUIDAD Y DE SIMETRÍA CONDUCE A UNA ECUACIÓN QUE CONTIENE UNA O MÁS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN. COMO EL NÚMERO DE CONDICIONES INDEPENDIENTES SIEMPRE ES IGUAL AL NÚMERO DE CONSTANTES DE INTEGRACIÓN, DE LAS ECUACIONES PODEMOS DESPEJAR LAS CONSTANTES. (LAS CONDICIONES DE FRONTERA Y DE CONTINUIDAD SOLAS SIEMPRE SON SUFICIENTES PARA DETERMINAR LAS CONSTANTES. CUALESQUIERA CONDICIONES DE SIMETRÍA PROPORCIONAN ECUACIONES ADICIONALES, PERO NO SON INDEPENDIENTES DE LAS OTRAS ECUACIONES. LA ELECCIÓN DE QUÉ CONDICIONES EMPLEAR ES UN ASPECTO DE CONVENIENCIA.)

DEFLEXIONES POR INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA FUERZA CORTANTE Y DE LA CARGA

• ESTAS ECUACIONES TAMBIEN SE PUEDEN INTEGRAR PARA OBTENER PENDIENTES Y DEFLEXIONES

• SU PROCEDIMIENTO ES SIMILAR AL USADO PARA RESOLVER LA ECUACION DEL MOMENTO FLEXIONANTE, EXCEPTO QUE EN ESTE SE NECESITAN MAS INTEGRACIONES.

• IGUAL QUE ANTES, ESTAS CONSTANTES SE ENCUENTRAN A PARTIR DE CONDICIONES DE FRONTERA, CONTINUIDAD Y SIMETRÍA. SIN EMBARGO, ESTAS ÚLTIMAS AHORA INCLUYEN CONDICIONES SOBRE LAS FUERZAS CORTANTES Y LOS MOMENTOS FLEXIONANTES ASÍ COMO CONDICIONES SOBRE LAS PENDIENTES Y LAS DEFLEXIONES.

• LAS CONDICIONES SOBRE LAS FUERZAS CORTANTES SON EQUIVALENTES A CONDICIONES SOBRE LA TERCERA DERIVADA . DE MANERA SIMILAR, LAS CONDICIONES SOBRE LOS MOMENTOS FLEXIONANTES SON EQUIVALENTES A CONDICIONES SOBRE LA SEGUNDA DERIVADA.

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

El método de superposición es un proceso utilizado para obtener deflexiones y pendientes (ángulos de rotación) en puntos específicos de vigas.

Es un resultado matemático que permite descomponer un problema lineal en 2 o mas sub-problemas mas sencillos, de tal manera que el problema original se obtiene como superposición o suma de estos sub-problemas mas sencillos

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

En el caso de deflexiones de vigas, el principio de superposición es valido en las siguientes condiciones:

• Que el material cumpla la Ley de Hooke• Las deflexiones y rotaciones de la viga sean

pequeñas• Las deflexiones no alteren las cargas

* Para cargas parcialmente distribuidas, el método requiere de la doble integración. Si de lo que se trata es de calcular la deflexión o la pendiente en un punto determinado, lo mejor es le método del área de momentos.

MÉTODO DE ÁREA-MOMENTOEste método del área de momento es un procedimiento que generalmente es muy útil cuando se desea obtener las pendientes y las deflexiones solamente en ciertos puntos seleccionados a lo largo de la viga.

Se podría decir también que este método es mucho más conveniente que el método de integración cuando la viga es sometida a varias cargas concentradas o a cargas distribuidas discontinuas.

Por lo tanto es valido solo para vigas linealmente elásticas con pendientes pequeñas.

1° TEOREMA DEL MÉTODO DE ÁREA-MOMENTO“El ángulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos cualesquiera (A y B) de una elástica continua es igual al área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos”.

2° TEOREMA DEL MÉTODO DE ÁREA-MOMENTO“La desviación tangencial del punto B desde la tangente en el punto A es igual al momento estático del área del diagrama M/EI entre A y B, evaluado con respecto a B”.

TEOREMA DE CASTIGLIANO

El teorema de Castigliano proporciona un medio para determinar las deflexiones de una estructura a partir de su energía de deformación.

Para ilustrar lo que queremos decir con este enunciado, considere una viga en voladizo con una carga concentrada P que actúa en el extremo libre (figura 35a). La energía de deformación de esta viga se obtiene con la ecuación (a).

FIGURA 1 FIGURA

35f

Ahora derivamos la expresión (a) con respecto a la carga P:

La ecuación (b) muestra que la derivada de la energía de deformación (U) con respecto a la carga (P) es igual a la deflexión que corresponde a la carga (P).

FIGURA 35f

  La derivada parcial de la energía de deformación de

una estructura con respecto a cualquier carga es igual al desplazamiento correspondiente a esa carga.

El teorema de Castigliano en términos generales como sigue:

La ecuación (87) es la representación general del teorema de castigliano.

87

TEOREMA DE CASTIGLIANO MODIFICADO Para deducir se parte de la ecuación para la energía de deformación

Se aplica el teorema de Castigliano (ecuación u)

Al seguir las reglas del cálculo, podemos derivar la integral obteniendo la derivada bajo el signo de integración (ecuación 88)

88f

EJEMPLO

Una viga simple AB soporta una carga uniforme con intensidad q = 1.5 k/ft y una carga concentrada P = 5 k (figura 9.40). La carga P actúa en el punto medio C de la viga que tiene longitud L = 8.0 ft, módulo de elasticidad E = 30 × 106

psi y momento de inercia I = 75.0 in4. Determine la deflexión hacia abajo en el punto medio de la viga mediante los métodos siguientes: (1) obtenga la energía de deformación de la viga y utilice el teorema de Castigliano y (2) utilice la forma modificada del teorema de Castigliano (derivación bajo el signo de integración)

FIGURA 40

SOLUCIÓN

Debido a que la viga y sus cargas son simétricas con respecto al punto medio, la energía de deformación para toda la viga es igual al doble de la energía de deformación para la mitad izquierda de la viga. Por tanto, sólo necesitamos analizar dicha mitad.

La reacción en el apoyo izquierdo A (figuras 40 y 41) es

Por tanto, el momento flexionante M es

  en donde x se mide desde el apoyo A. La

energía de deformación de toda la viga (de la ecuación 80a) es

METODO (1)

FIGURA 40f

FIGURA 41

Después de elevar al cuadrado el término entre paréntesis y efectuar la integración obtenemos

Como la deflexión en el punto medio C (figura 40) corresponde a la carga P, podemos determinar la deflexión empleando el teorema de Castigliano (ecuación 87):

METODO (2)

Al utilizar la forma modificada del teorema de Castigliano (ecuación 88), evitamos la larga integración para determinar la energía de deformación. El momento flexionante en la mitad izquierda de la viga ya se determinó (ecuación x) y su derivada parcial con respecto a la carga P es

Por tanto, el teorema modificado de Castigliano toma la forma

GRACIAS