Riley Rm Cap 8 Deflexiones en Vigas Reducido

8-1 INTRODUCCIONEn el capitulo 7 se presentaron relaciones importantes entre carga aplicada y esfuerzo (porflexion y cortante) en una viga. Sin embargo, frecuentemente, un disefio de viga no estacompleto hasta que se haya determinado la cantidad de deflexion para la carga especifica-da. La falta de control de las deflexiones en las vigas dentro de limites apropiados en laconstruccion de edificios se refleja, con frecuencia, en la generacion de grietas en los mu-ros y techos con aplanado. En muchas maquinas, las vigas deben deformarse solamente lacantidad correcta para que los engranes y otras partes hagan un contacto adecuado. En in-numerables ejemplos, los requerimientos de una viga incluyen una capacidad dada de so-porte de carga con una deflexion maxima especificada.

La deflexion de una viga depende de la rigidez del material y de las dimensiones de laviga, asi como de las cargas aplicadas y de los apoyos. Aqui se presentan cuatro metodoscomunes para el calculo de las deflexiones de las vigas debidas a esfuerzos por flexion: 1)el metoda de integracion, 2) el metodo de la funcion de singularidad, 3) el metodo de la su-perposicion y 4) un metodo de energia.

8-2 ECUACION DIFERENCIAL DE LA CURVAELAsTICACuando una viga recta esta sujeta a cargas y el comportamiento es elastico, el eje centroi-dal de la viga es una curva definida como la .curva elastica. En regiones de momento flexio-nante constante, la curva elastica es un arco de circulo de radio p como se indica en la figura8-1. Ya que la parte AB de la viga esta flexionada solamente con pares, las secciones planasA y B permanecen planas y la deformacion de las fibras (alargamiento y contraccion) es pro-porcional a la distancia desde la superficie neutra, cuya longitud no cambia. De la figura 8-1, se tiene

(}=L=L+8p p + c

de donde

c 8 (J Me-=-=€=-=-p L E E1

(8-1)

475

Por 10 tanto, se obtiene

476 CAPITIJLO 8 CA.RGAPOR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

Figura 8-2

yM-negativo M -positivo

c~;z:z;+= .. ';±. =""'~=,==~

d'y . .dx' - negatrvo

iJ2y ..dx2 - posinvo

~----~~----~~~~------xFigura 8-3

1 M-=--p EI

(8-2)

que relaciona el radio de curvatura p de la superficie neutra de la viga con el momenta fle-xionante M, el modulo de elasticidad E del material y el segundo momento I del area de laseccion transversal.

La ecuacion 8-2 para la curvatura de la curva elastica es util solamente cuando el mo-mento flexionante es constante para el intervalo considerado de la viga. En la mayoria delas vigas, el momento flexionante es unafuncion de la posicion a 10 largo de la viga y serequiere una expresion mas generaL

A partir del calculo diferencial e integral, la curvatura es la siguiente (vease cualquier li-bro de texto estandar de calculo diferencial e integral):

1 d2y/dx2

P [1 + (dy/dx)2]3/2

Para la mayoria de las vigas, la pendiente dy/dx es muy pequeiia, por 10 que su cuadra-do puede despreciarse en comparacion con la unidad. Con esta aproximacion, se obtiene

1 d2y=p axz

y la ecuacion 8-2 se transforma en

(8-3)

que es la ecuacion diferencial para defmir la curva elastica de una viga, en la cual el mo-mento M es una funcion de x, M(x).

La ecuaci6n diferencial de la curva elastica (ecuacion 8-3) tambien puede obtenerseapartir de la forma de la viga flexionada, como se muestra en la figura 8-2, donde es eviden-te que dy/dx = tan 0 ~ 0 para el caso de angulos pequeiios y que d2y/axz = dO/dx. Nueva-mente, a partir de la figura 8-2, se obtiene

dO = dL == dxP P

para angulos pequefios, Por 10 tanto,.f'

1p

MEI

: I'"

o

(8-3)

En laecuaci6n 8-3 se usara la convenci6n de signos para calcular momentos flexionan-tes establecida en la seccion 7-5. Tanto E como I siempre son positivos; por 10 tanto, los Big-nos del momento flexionante y de la segunda derivada deben ser consistentes. Con los ejescoordenados rnostrados en la figura 8-3, la pendiente cambia de positiva a negativaen el in-tervalo de A a B; por 10 tanto, la segunda derivada es negativa, 10 que concuerda con la con-venci6n de signos para el momento establecida en la seccion 7-5. Para elintervalo BC, tantotfy/axz como M son positivos. .

La figura 8-3 tambien revela que los signos del momento flexionante y de la segunda de-rivada tambiensonconsistentes cuandoel origen del sistema coordenado se selecciona enel extremo derecho 4e la viga ton x positivo a la izquierda y y positivo hacia arriba.

Las ecuaciones 7-lOd, 7-1lc y 8-3 son un medio para correlacionar las derivadas suce-sivas de la deflexion y de la curva elastica con las cantidades fisicas que representan en elcomportamiento de la viga. Ellas son

deflexion = y

pendiente = :d2y

momento = EI cJX2 (de la ecuacion 8-3)

dM ., d~fuerza cortante = dx (de la ecuacion 7-lle) = EI -3 (para EI constante)

- dxdV·., d4y

carga = - (de la ecuacion 7-1 Od) = EI --4 (para EI constante)dx - dx

donde los signos son como estan dados en la seccion 7-5.Antes de desarrollar metodos especificos para el calculo de las deflexiones en vigas, es

aconsejable considerar las suposiciones hechas en el desarrollo de la ecuacion basica, laecuacion 8-3. Todas las limitaciones que se aplican a la formula de la flexion se aplican alcalculo de deflexiones, porque se uso la formula de la flexion en la obtencion de la ecua-cion 8-3. Se supone ademas 10 siguiente:

1. EI cuadrado de la pendiente de la viga es despreciable en comparacion con la unidad.2. La deflexion dela viga debida a los esfuerzos cortantes es despreciable (se supone que

una seccion plana permanece plana).3. Los valores de Eel permanecen constantes para cuaiquier intervalo a 10 largo de la vi-

ga. En caso de quealguno de los dos vane y pueda expresarse como una funcion de ladistancia x a 10 largo de la viga, es posible una solucion de la ecuacion 8-3 que conside-re esta variacion.

~

~

~

~~ 8-3 DEFLEXION POR INTEGRACIONSiempre que las suposiciones de la seccionanterior sean esencialmente correctas y el mo-

~ mento flexionante pueda expresarse facilmente como una funcion integrable de x, puede re-~ solverse la ecuacion 8-3 para obtener la deflexion y de la curva elastica de una viga en

j.__ cualquier punto x -a 10 largo de -Ia viga. Las constantes de integracion pueden evaluarse a

, partir de las condiciones aplicables de frontera 0 de coincidencia.Una condicion de frontera se define como un conjunto conocido de valores para x y y, 0

para x y dy/dx, en una ubicacion especifica a 10 largo de la viga. Una condici6n de fronterapuede usarse para determinar una y solamente una constante de integraci6n. Por ejemplo, unrodillo 0 un seguro en cualquier punto de una viga (figuras 8-4a y b) representan un apoyosimple en el cualla viga no puede flexionarse (a menos que se establezca otra cosa en el pro-blema) pero puede girar. En un extremo fijo, como se representa en las figuras 8-4c y d, laviga no puede flexionarse ni puede girar, amenos que se establezca otra cosa. Entonces, unacondicion de frontera es y = 0 en el seguro de apoyo de Ia figura 8-4a, y y = 0 en el rodilIode apoyo de la figura 8-4b. En el apoyo fijo mostrado en l~ figura 8-4c, (0 d), las condicio-nes de frontera son y = 0 y dy/dx = O.

Muchas vigas estan sujetas a cambios abruptos en la condicion de carga aplicada a 10.largo de la viga, tales como cargas concentradas, reacciones 0, incluso, cambios defmidosen la magnitud de la carga uniformemente distribuida. Debido a que lasexpresiones paracalcular el momento flexionante a la izquierda y a la derechazle cualquier cambio a?rupto

8-3 DEFLEXION POR INTEGRACION 477

(a)

(c)Fiaura 8-4

=-,

(Ii)

478 CAPiTULO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

(a)

If~x~V(x)

(b)

w

Figura 8-5

en la carga son diferentes funciones de x, es imposible escribir una ecuacion individual pa-ra determinar el momento flexionante en terminos de funciones algebraicas ordinarias, quesea valida para la longitud completa de la viga. Esto puede resolverse escribiendo ecuacio-nes separadas para definir el momento flexionante en cada intervalo de la viga. Aun cuan-do los intervalos estan delimitados por cambios abruptos en la carga, la viga es continua enestos lugares; por 10 tanto, la pendiente y la deflexion en la union de intervalos adyacentesdeben coincidir. Una condicion de coincidencia se define como la igualdad de pendiente 0 ",t.,',.

de deflexi6n, como se determina en la uni6n de dos intervalos a partir de las ecuaciones pa- ••ra definir la curva elastica en ambos intervalos. Una condicion de coincidencia (por ejem-plo, en x igual a L13, y de la ecuacion izquierda es igual a y de la ecuacion derecha) puedeusarse para determinar una y solamente una constante de integracion,

El procedimiento para obtener las deflexiones de una viga cuando se requieren condicio-nes de coincidencia es largo y tedioso. En la seccion 8-5 se presenta un metodo en el cualse usan funciones de singularidad en la obtencion de una ecuacion individual, para calcularel momento flexionante, que sea valida para la longitud completa de la viga; esto elimina lanecesidad de las condiciones de coincidencia y, consecuentemente, reduce el trabajo consi-derado.

EI calculo de la deflexion de una viga por el metodo de integraci6n doble, es decir, in-tegrando dos veces la ecuaci6n 8-3, incluye cuatro pasos definidos, por 10 que se recomien-da mucho la siguiente secuencia para estos pasos.

1. Seleccione el intervalo 0 intervalos de la viga que han de usarse; enseguida, coloque unconjunto de ejes coordenados en la viga con el origen en el extremo de un intervalo yluego indique el rango de los valores de x en cada intervalo. Por ejemplo, dos intervalos'adyacentes pueden ser:

y L/3 $x $L

2. Enumere las condiciones disponibles de frontera y de coincidencia (donde se usen dos 0

mas intervalos adyacentes) para cada intervalo seleccionado. Recuerdese que se requie-ren dos condiciones para evaluar las dos constantes de integraci6n para cada intervalousado.

3. Exprese el momento flexionante como una funcion de x para cada intervalo selecciona-do e igualelo a EI(d2yldx2

).

4. Resuelva la ecuacion 0 ecuaciones diferenciales del mimero 3 y evalue todas las cons- 'tantes de integraci6n. Verifique las ecuaciones resultantes en cuanto a homogeneidad diemensional. Calcule la deflexion en puntos especificos cuando se requiera.

Lossiguierites ejemplos ilustran el uso del metoda de Hidoble integracion para calcularlas deflexiones de las vigas.

Problema de Ejemplo 8-1 Una viga esta apoyada y sometida a cargas, como semuestra en la figura 8-5a. Determine:

a) La ecuacion de la curva elastica.b) La deflexion en el extremo Izquierdo de la viga.c) La pendiente en el extremo Izquierdo de la viga.

SOLUCION

a) La viga se secciona en la posicion x y se dihuja un diagrama de cuerpo libre para elsegmento de la viga a la izquierda de la seccion, como se muestra en la figura 8-5b.Las notacionesjl/(r) y M(x) indican que la fuerza cortantey el momento flexionante

son funciones de x. La suma de momentos alrededor de un eje horizontal en el planode la seccion elimina la fuerza cortante y resulta

wx2

+ L~Mo = M(x) +2 = 0

de donde

wx2

M(x) = --2

Entonces, la ecuacion 8-3 resulta

d2y wx2

El dx2 = - 2La integracion sucesiva da como resultado

El dy = _ wx3 + C

dx 6 1

y

donde C1 Y C2 son constantes de integracion que deben determinarse conel uso de lascondiciones de frontera. Las condiciones de frontera disponibies son

dy = 0dxy=O

cuando x=L

cuando x=L

Al reemplazar las variables de la ecuacion (a) por las de la ecuacion (c) y las de laecuaci6n (b) por las de la ecuacion (d), se obtiene 10 siguiente:

o = - wL3 + C1 C1 = wL

3

6 6

y

o = - WL4 + wL3

(L) + C24.6 ... 2

de los valores C1 Y C2 en la ecuacion (b) nos da la ecuacion de la curva elastica parala viga. Entonces, se tiene

Respuesta

Observese que la ecuaci6n de la curva elastica es dimensionalmente homogenea,b) En el extremo Izquierdo de la viga, x = 0; por 10 tanto, se tiene

w wL4 wL4Y = - -- (0 - 0 + 3L4

) = - - =-J-24El 8eT 8El

Respuesta

El signo negativo indica que la deflexion es hacia abajo.c) La pendiente de la curva elastica esta dada por la ecuaci6n (a) como

dy = _ ~ (x3 _ L3)dx 6El

8-3 DEFLEXION POR lNTEGRACION 479

(a)

(b)

(c)

(d)

••. Las condiciones de frontera son, simplemente,condiciones que una funcion debe satisfacer [eneste caso y(x)] en las fronteras 0 extremos del in-tervalo. La conexion en cantiliver en el muro pro-duce cualquier fuerza que sea necesaria para evi-tar el movimiento vertical (y = 0 en x = L) ycualquier momento que se necesario para evitar larotacion (dy/dx = ()= 0 en x = L).

480 CAPhmo 8 CARGAPOR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

~ Con frecuencia, se coloca el origen de las coor-denadas en el apoyo izquierdo para simplificar ladeterminacion de las constantes de integracion, Yaque la deflexion es cero en un apoyo, esta e1ec-cion hace que y = 0 en x = 0, 10 que luego haceque C2 = O.

de donde la pendiente en el extremo izquierdo de la viga, donde x = 0, es

d .,3 .,32 = - ~(O -L3) = + ~ = ~d!.dx 6El 6El 6El Respuesta

El signo positivo indica que la pendiente de la viga en el extremo izquierdo es positi-va (hacia arriba y hacia la derecha).

~

"'-''"'"""~'-''-'~

'-''"''"'~

h

""~".~~

h~

.'-'~

~

~

~

~

~

~

",'"'JI

Problema de Ejemplo 8-2 En la viga apoyada y sometida a cargas, como semuestra en la figura 8-6a, determine:

a) La ecuaci6n de la curva elastica para el intervalo entre los apoyos.b) La deflexion a la mitad de la distancia entre los apoyos.c) El punto de deflexion maxima entre 10s apoyos.d) La deflexion maxima en el. intervalo entre los apoyos.

SOLUCION

a) A partir de un diagrama de cuerpo libre de la viga y de la ecuacion 1MB = 0, se tiene

Como se indica en la figura 8-6b, el origen de las coordenadas se selecciona en el apo-yo izquierdo y el intervalo que debe usarse es °::;;x ::;;L. Las dos condiciones de fron-tera requerida soh y = 0 cuando x = 0 y y = 0 cuando x = L. Del diagrama de cuerpolibre de la parte de la viga mostrada en la figura 8-6b, la ecuaci6n 8-3 nos da como re-sultado:

d2y 7wL wL2 (X)El- = M(x) = --x - - - wx -dx2 12 12 2

La integraci6n sucesiva proporciona 10 siguiente:

El dy = 7wL X2 _ wL2

X _ W x3 + Cdx 24 12 6 1

w

wJ l-- . B

12 a-+ L

(a)

y

I wM(x)

'WL'( nx~V(x)12

7wL12(b)

Figura 8-6,~,

y

7wL 3 wL22 W 4EIy=--x ---X --X + C1X+ C272 24 24

donde C1 Y C2 son constantes de integracion que deben determinarse con el uso decondiciones de frontera. La sustitucion de la condicion de frontera y = 0 cuando x = 0nos da

C2 = 0

La sustituci6n de la condici6n de frontera restante y = 0 cuando x = L nos da

wL3C ---

I- 72

Por 10 tanto, la ecuacion de la curva elastica es

Respuesta

b) La deflexi6n a la mitad de la viga, entre los apoyos, se obtiene substituyendo x por LI2en la ecuacion de la curva elastica. Entonces, se tiene

de donde

y _ _ WL4 __ 7.81{lO-3)wL4 = 7.81(1O-3)wL4 J,128EI EI EI

Respuesta

c) La deflexion maxima se presenta cuando la pendiente dy/dx es cera:

dy = _ ~ (l2x3 - 21.LC + 6L2x + L3) = 0dx 72EI

de donde

La solucion de esta ecuacion cubics en x nos da el punta de deflexion maxima en x =-O.1l62L; x = 0.54IL Y x = 1.325L. Entonces, se tiene

X = 0.541La la derecha del apoyoizquierdo ,Respuesta

d) La deflexi6n maxima puede obtenerse facilmente sustituyendo a x por 0.541L en laecuaci6n de la curva elastica. El resultado es

__ 7.88(10-3)wL4 _ 7.88(10-3)wL4 J,Y - EI - EI' 'Respuesta

Problema de Ejemplo 8-3 Para la viga apoyada y .sometida a carga, como se-muestraen la figura 8-7a, determine la deflexi6n del extremo derecho.

SOLUCIONApartir del diagrama de cuerpo libre de la figura .8-7b, lasecuaciones de equilibria nosclan

+l' IFy = VA - w(L/3) = 0+ tIMA= MA - w(L/3)(5L/6) = 0

VA = wLl3tMA = 5wL2/18~


~ La ecuaci6n cubica l~ - 21U + 6L2x + L3

= 0 tiene tres raices;x = -0. 1162L, x = +0.54ILY x = + l.325L. SoIamenteIa segunda raiz tienesignificado fisico en este problema.

482 CAPITuLO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

w

~A 2U3-J~_U3 ---J C

(a)y

w

5wL2 M(x)18(t~nWL~x~V(X)3

(c)

~

~

~

~

~

'"'"'j;

"'"'"~h~

'"~""AA~

~

~

~

AAAAAAAAA

W5wL2

m-( t(b) ~LI,

x

(d)

Figura 8-7

Con la convencion de signos establecida en la seccion 7-5, estos resultados son

5wL2M ----

A - 18y

En Ia figura 8-7b hay dos intervalos que deben considerarse, especificamente la par-te de la viga sometida a carga y la parte de la viga libre de carga. Debe usarse la partesujeta a carga de la viga porque contiene el punto donde se requiere la deflexion. Sin em-bargo, una revision rapida revela la ausencia de condiciones de frontera en este interva-10. Por 10 tanto, es necesario usar ambos intervalos as! como condiciones de coincidenciay de frontera; entonces, el origen de las coordenadas se selecciona en el extremo izquier-do de la viga, como se muestra. Los intervalos son

O::s; x::s; 2L13 un ::s;x::s; L

Las condiciones de frontera disponibles son

y

Las condiciones de coincidencia disponibles son, cuando x';' 2L13,

dy de la ecuaci6n izquierda = ddxYde la ecuacion derechadx

y de la ecuacion izquierda = y de la ecuacion derecha

dotide la ecuacion izquierda es parael intervalo 0 :5 x :5 2L13 y la ecuaci6n derecha es pa-ra el intervalo 2L13 :::;;s s: L. Cuatro condiciones (dos de frontera y dos de coincidencia)son suficientes para la evaluacion de las cuatro constantes de integracion (dos en cada unade las dos eeuaciones diferenciales de la curva elastica); por 10 tanto,el problema puederesolverse de la siguiente manera.

A partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 8-7C, donde la viga se secciona en elintervalo libre de carga, la ecuaci6n 8-3 nos da 10 siguiente para 0 :5 x :::;;2L/3:

d2y wL 5wL2

EI- = M(x)= -x - -- (a).~ dx2 3 18

dy = 0-dx

y=O

cuando x=O

cuando x=O

!r>:

r>.

A

A partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 8-7d, donde la viga se secciona enel intervalo con carga aplicada, para 2L13 :::;x :::;L, la ecuacion 8-3 nos da 10 siguiente:

EI d2

y = M(x) = wL x _ 5wL2

_ W (x ~ 2L)(X - 2L13) (b)dx2 3 18 3 2

La integraci6n de las ecuaciones (a) y (b) nos da como resultado

EI dy = wL X2 - 5wL2

X + C 0:5 x:5 2L13 (c)dx 6 18 I

EI dy = wL X2 _ 5wL2

X _ W (x - 2L)3 + C 2L13 :5 x -s L (d)dx 6 18 6 3. 3

La sustituci6n de dy por la condicion de frontera !!J!... = 0 cuando x = 0 en la ecuaci6ndx dx

(c) resulta

C1 =0Ya que la viga tiene una pendiente continua en x = 2L13, se tiene

: [de la ecuaci6n (c) en x = 2L/3] = 1;[de la ecuaci6n (d) en x = 2L13]

10 que resulta

La integraci6n de las ecuaciones diferenciales resultantes nos da

Ely = wL x3 - 5wL2

x2 + C2 . 0:5 x:5 2L/318 36wL 3 5wL2.2 W ( 2L)4Ely = 18x - ~ x - 24 x - 3 + C4 2L13 :5 x :5 L

EI uso de la condicion de frontera restante nos da C2 = O.EI uso de la condicion de coin-cidencia final nos da C4 = O.

Ahora puede obtenerse la deflexi6n del extremo derecho de la viga a partir de la ecua-cion de~la curva elastica para el intervalo derecho reemplazando x por su valor L. EI re-sultado es

Ely = wL (L3) _ 5wL2

(L2) _ ~ (L _ 2L)418 36 24 3

. ..

de donde:

__ ~WL4 _~WL4J,Y - 1 944 EI - 1 944 EI Respuesta

Problema de Ejemplo 8-4 Determine la deflexi6n del extremo izquierdo de laviga en cantiliver de ancho variable, mostrada en la figura 8-8.

SOLUCIONYa que el ancho w de la viga varia linealmente con respecto a la posicion x a 10 largo dela longitud de la viga, el segundo momento de area I de la secci6n transversal tambien va-ria linealmentecon respecto a la posicion x. Entonces, en la posicion x, se tiene

1= wh3= (bxIL)h

3= (bh3)(~) =1 (~)

12 12 12 L ~.L L


Figura 8-8


~ La ecuacion (a) indica que el esfuerzo maxi-mo por flexion no depende de la posicionx, sinoque es constantea 10 largo de toda la longituddela viga. Frecuentemente, se denomina a este tipo

.. de viga como viga de esfuerzo constante.

1

donde h= bh3/l2 es el segundo momento de area de la seccion transversal de la viga enel apoyo. Esta variacion del segundo momento de area I debe incluirse en el proceso deintegracion empleado para determinar la ecuacion de la curva elastica de la viga. Laecuaci6n de la curva elastica de la viga se obtiene mediante la integraci6n sucesiva dela ecuacion 8-3. Por tanto,

E d2y = M(x) = .: Px = _ Px PLdx2 I I h(x/L) h

La integraci6n sucesiva nos da

De las condiciones de frontera,

dy =0 cuando x =L,dx

Cj = PL2

PL3

C2= ---2

y = 0 cuando x=L,

Entonces, la ecuacion de la carga elastica es

En el extremo izquierdo de la viga donde x = 0, la deflexion es

Y__ PL3 _ 6PL3 J.,- 2Eh - Ebh3

, ,Respuesta

Tambien es interesante observar como el esfuerzo maximo por flexion varia a 10 largode la longitud de la viga. A partir de la ecuaci6n 7-9, se tiene

Mea:. =-=max I (a)

·t

~

,~

~

.~

y

I"PI "..,

1'""\

A~ BL r"'"\

;.

Figura P8-1.~. . "".

'1. '\

#

PROBLEMAS

8-1* Una viga esta apoyada y sometida a carga como se muestraen la figura P8-1. Determine:a. .La ecuaci6n de la curva elastica. Use los ejes designados.b. La deflexi6n en el extremo izquietdo de la viga.c. La pendiente en e1 extremo izquierdo de la viga.

Problemas Introductorios

8-2* Una viga est! apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-2. Determine:

a. La ecuacion de la curva elastica. Use los ejes designados.b. La deflexion en el extremo derecho de la viga.c. La pendiente enel extremo derecho de la viga,

y

I

Figura P8-2

·8-3 Una viga est! apoyada y sometida a carga, como se muestraen la figura P8-3. Determine:

a. La ecuacion de la curva elastica. Use los ejes designados.b. La deflexion a la mitad de la distancia entre los apoyos.c. La pendiente en el extremo izquierdo de la viga.

y

I w

B

Figura P8-3

8-4 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se muestraen la figura P8-4. Determine: .•.

a. La ecuacion de la curva elastica. Use los ejes designados.b. La deflexion en el extremo Izquierdo de la viga.c. La pendiente en el extremo Izquierdo de la viga,

Figura P8-4

·8-5* Una viga est! apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-S. Determine:

.a. La ecuacion de la curva elastica, Use los ejes designados.b. La deflexi6n a la mitad de la distancia entre los apoyos.c. La pendiente en el extremo derecho de la viga. (

c

PROBLEMAS 485

Figura P8-5

8-6* Para la viga de acero [E = 200 GPa e 1= 32.0(l06)mm4]mostrada en la figura P8-6, determine la deflexion en una see-cion a la mitad de la distancia entre los apoyos.

lOkN lOkN

A

~ l"'lllm·_IJ!'!~_2m__ --*-_

Figura P8-6

8-7 Para la viga de acero (E =; 30 000 klb/pulg/ e 1= 32.1 pulg")mostrada en la figura P8-7, determine la deflexion en una see-cion a la mitad de la distancia entre los apoyos.

7~~~ 7~~~

t!l=--"·"!PO =~)~ 12ples----~·

Figura P8-7

8-8 La viga en cantiliver mostrada enla figura P8-8a se fabricacon tres barras de aluminio (E = 70 GPa) de 30 X 120 mrn, co-mo se muestra en la figura P8-8b. Determine la deflexion en elextremo izquierdo de la viga.

20kNr-:P!i!!l!lllllil __ i!Ii!!!iIi!I!!I!!!

:..:1.30mmI120mm.-l30mm

~120rmJl

Bl.2m

l~20kN I~ 2m------1

(a) (b)

Figura P8-8

8-9* La viga mostrada en la figura P8-9 es una seccion de patinancho de acero estructural (E = 29 000 klb/pulg") WlO X 30(vease el apendice B). Determine:

a. La ecuacion de la curva elastica. Use 10s ejes designados .b. La deflexion en el extremo izquierdo de la viga siw = 2 000

lb/pie y L = 10pies.

486 CAPITULO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

y

I

FiguraP8-9

8-10* Una viga en cantiliver esta empotrada en el extremo iz-quierdo y soporta una carga w uniformemente distribuida sobrela longitud completa de la viga. Ademas, el extremo derechoesta sujeto a un momento de +3wL2/8, como se muestra en lafigura P8-1O. Determine la deflexion maxima en la viga si I.=2.5(106) mm", E = 210 GPa, L = 3 my w = 1 500 N/m.

yI

Figura P8-10

8-11 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra, en la figura P8-11. Determine:

a. La ecuacion de la curva elastica. Use los ejes designados.b. La deflexion a la mitad de Ia distancia entre los apoyos.

y

I

~----------L----------~

Figura P8-11

t8-12 Una viga esta apoyada y sometida a carga como se muestra

en la figura P8-12. Determine:

a.. La ecuacion de la curva elastica para el intervale entre losapoyos. Use los ejes designados..

b. La deflexion a la mitad de la distancia entre los apoyos. {.

y

I w

Figura P8-12

Problemas Intermedios

8-13* Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues.tra en la figura P8-13. Determine: h

hhk~)...,

J-~~

kh---~,k

'-')

",k"'"''-'"".~

"h~

'"~h~

a. La ecuacion de la curva elastica. Use los ejes designados.b. La pendiente en el extremo izquierdo de la viga.c. La deflexion a la mitad de la distancia entre los apoyos.

y

Ip

U2~U2

Figura P8-13

8-14* Una pieza de madera de 100 X 360 mm que tiene un mo-dulo de elasticidad de 8 GPa esta apoyada y sujetada a carga,como se muestra en la figura P8-14. Determine:

a. La deflexion en la carga de 7 kN.b. La deflexion en el extremo libre de la vlga.

7kN

Figura P8-14

8-15 Determine la deflexion maxima para la viga-mostrada en lafigura P8-1S.

M

B

~-----L-------'----L----li

Figura P8-15

ii~~i~.;.•i,;8-16 Un muchacho con una masa de 60 kg esta parado sobre un

~ trampolin de madera (E == 10 GPa) de 40 X 300 rom, como se~ j muestra en la figura P8-16. Si la longitud AB es de 0.6 m y la~::," longitud BC es de 1.5 m, determine la deflexion maxima del

r"\II trampolin.

~5

~,~~,

A B

Figura P8-16

8-17* Determine la deflexion maxima de la viga mostrada en lafigura P8-17.

Figura P8-17

8-18* Una viga de madera de 150 rom de ancho X 300 rom deperalte esta apoyada y sometida a carga, como se muestra en lafigura P8-1S. El modulo de elasticidad de la madera es de 10GPa. Un puntero esta unido al extremo derecho de la viga, De-termine:

a. La deflexion en el extremo derecho del puntero.b. La deflexion maxima de la viga.

P==8900N

!f--------S.5 m -----lj(-

Figura P8-18

8-19 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura PS-19. Determine:

a. La ecuacion de la curva elastica. Use los ejes designados.b. La pendiente en el extreme derecho de la viga.c. La deflexiqn a la mitad de la distancia entre los apoyos,

. f

PROBLEMAS 487

y p

A

Rigido

---2U3--~

Figura P8-19

8-20 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-20: Determine:

a. La deflexion maxima entre 10s apoyos,b. La deflexion en el extremo derecho de la viga.

w

B c

--------*--' U2~

Figura P8-20

8-21* Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-21. Determine:

a. La ecuacion de 'la curva elastica. Use 10s ejes designados.b. La pendiente en el extremo izquierdo de la viga.

y

I:; A~ _

Figura P8-21

8-22* Determine la deflexion a la mitad de la distancia entrelos apoyos para la viga AB de la figura P8-22. El segmentoBC de la viga es rigido.

wL2

Figura P8-22

8-23 La viga mostrada en la figura P8-23 es una seccion T deacero estructural (E = 29 000 klb/puli) WT8 X 25 (vease elapendice B). Determine:

488 CAPiTIJLO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

a. La ecuacion de la curva elastica para la region de la vigaentre los apoyos. Use los ejes designados.

b. La deflexion a la mitad de la distancia entre los apoyos siw = 400 lb/pie y L = 12 pies.

y

I w

Figura P8-23

8-24 La viga mostrada en la figura P8-24 es una secci6n de patinancho de acero estructural (E = 200 GPa) W203 X 60 (vease elapendice B). Determine:

a. La ecuacion de la curva elastica para la region de la vigaentre los apoyos. Use los ejes designados.

b. La deflexion a Ia mitad de la distancia entre los apoyos siw = 3.5 kN/m y L = 5 m.

y

M=wL2/2 J w

B

~ Ll2---liE--- L--~~

Figura P8-24

Problemas DiflciJes

8-25* Una viga AB esta apoyada y sometida a carga, como semuestra en la figura P8-25. La carga P se aplica par medio deun collarin que puede colocarse en la barra de carga DE encualquier lugardelintervalo L14< a< 3L/4: Determine:

a. La ecuacion de la curva elastica para la viga AB.b. La ubicacion de Ia carga P para obtener la deflexion maxi-

ma en el extremo B.c. La ubicacion de la carga P para obtener la deflexion igual

a cero en el extremo B.y

IL

B1A

D C

a

p ,:Figura P8-25 ':j-

8-26* La viga en cantiliver ABC mostrada en la figura P8-26 tie-ne un segundo momento de area 21 en el intervalo AB y un Se-gundo momento de area I en el intervalo BC. Determine:

a. La deflexion en la seccion B.b. La deflexion en la seccion C.

1

'"~A,L.

AAA.AfAAA

1

~

p

~_L~L~C

Figura P8-26

8-27 La viga ABCD simplemente apoyada, mostrada en la figu-ra P8-27, tiene un segundo momento de area 21 en la secci6ncentral BC y un segundo momento de area I en las otras dossecciones cerca de los apoyos. Determine:

a. La deflexion en la seccion B.b. La deflexi6n maxima en la viga.

p

i,--'

B C. L-lU2~U2LL

Figura P8-27

8-28 Determine la deflexion maxima para la viga mostrada en lafigura P8-28. ,.

y

Iw

C

~A L __ -,.--;~:--B__ L-'-' ----;JFigura P8-28


a. La deflexi6n en el extremo izquierdo de la viga.b. La deflexion a la mitad de la distancia entre los apoyos.

y

IA ~L~!~~~~--2L--~

~Figura P~-29

1"".

"........'.

8-4 DEFLEXIONES POR INTEGRACION DE ECUACIONES DE FUERZA CORTANTE 0 DE CARGA 489

8-30* La viga en cantiliver ABC mostrada en la figura P8-30 tie-ne un segundo momento de area 41 en el intervalo AB y un se-gundo momento de area I en el intervalo Be. Determine:

a. La deflexion en la seccion B.b. La deflexion en la seccion e.

2w

8-33* Una viga esta apoyada y sometida carga, como se mues-tra en la figura P8-33. Determine:

a. Lapendiente en el extremo izquierdo de la viga.b. La deflexion maxima entre los apoyos.

wL

~' ,. L----+- L----+- L - ...

Figura P8-30

8-31 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-31. Determine la deflexion a la mitad de ladistancia entre los apoyos.

y

I

Figura P8-33

w

8-34 La viga en cantiliver ABC mostrada en la figura P8-34 tie-ne un segundo momento de area 41 en el intervalo AB y un se-gundo momento de area I en el intervalo Be. Determine:

B

Figura P8-31 .e. La deflexion en la seccion B.f La deflexion en la seccion e.8-32 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-

tra en la figura P8-32. Determine la deflexion en el extremo iz-quierdo de la carga distribuida.

y

Iw

.1(--- L --~'----

Figura P8-32 Figura P8-32

8 .•4 .DEFLEXIONES POR INTEGRACION DE ECUACIONES DE FUERZACORTANTE 0 DE CARGA

_ .~< En la secci6n8-3 se obtuvo la ecuaci6n de la curva elastica integrando la ecuaci6n 8-3 yapli-i: ,cando lascondiciones de frontera apropiadas para evaluar las dos constantes de integracion.i. De una manera similar, la ecuacion de la curva elastica puede obtenerse a partir de ecuacio-a nes de carga y de fuerza cortante. Las ecuaciones diferenciales que relacionan la deflexion yf con la carga w(x).? la deflexion y co~ !a fuerza cortante ~(~) se obtienen al.sustituir las vari-},;: abIes de la ecuacion 8-3 por Ia ecuacion 7-11c 0 la ecuacion 7-11d, respectivamente, Enton-,l;~*.~; ces, se tiene

d2yE1 d2 = M(x)

d3yE1 dx3 = Vex)

d4yEI dx4 = wc.xp

(8-3)

(8-4)

(8-5)

Cuando se usa la ecuacion 8-4 u 8-5 para obtener la ecuaci6n de la curva elastica, se re-queriran tres 0 cuatro integraciones en lugar de las dos integraciones requeridas con laecuaci6n 8-3. Estas integraciones adicionales introduciran otras constantes de integraci6n.Sin embargo, las condiciones de frontera incluyen ahora condiciones sobre las fuerzas cor-tantes y los momentos flexionantes, ademas de las condiciones sobre las pendientes y lasdeflexiones. EI uso de una ecuacion diferencial especifica se hace, normalmente, basando-se en la conveniencia matematica 0 en la preferencia personal. En aquellos casos en los cua-les la expresi6n para definir la carga sea mas facil de escribir que la expresion para obtenerel momento, se preferiria la ecuacion 8-5 en lugar de la ecuacion 8-3. Los siguientes ejem-plos ilustran el uso de la ecuacion 8-5 para calcular las deflexiones de las vigas.

490 CAPITIJLO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VlGAS

w

Figura 8-9

•• La constante C1 tambien pudo haber sido de-terminada a partir de una condicion de fronteraque inc\uyera la fuerza cortante V. Por ejemplo,la fuerza cortante presenta un saito hacia arriba dewL/2 a traves del apoyo izquierdo. Por 10 tanto,en x = 0, la ecuaci6n de fuerza cortante nos daV = 'w(O) + C1 = wLI2 y la primera constante deintegraci6n es C, = wL/2.

B

Problema de Ejemplo 8-5 Una viga esta apoyada y sometida a carga como semuestra en la figura 8-9. Determine:

a) La ecuacion de la curva elastica.b) La deflexion maxima de Ia viga.

SOLUCION

a) Ya que esta dada la ecuaci6n para definir la distribuci6n de carga [w(x) = w = cons-tante], se usara la ecuacion 8-5 para determinar la ecuacion de la curva elastica. En laseccion 7-5 (vease la figura 7-15), se considero positiva la direccion hacia arriba parauna carga distribuida w; por 10 tanto, la ecuacion 8-5 se escribe como

La integracion sucesiva nos da

Las cuatro constantes de integracion se determinan aplicando las condiciones de fron-tera. Entonces, se tiene

Enx = O,y = 0;Enx = O,M= 0;

por 10 tanto, C4 = 0por lo tanto, C2 = 0

wLpor 10 tanto, C1 =2

wL3

por 10 tanto, C3 = -: 24

Enx=L,M=O;

Enx = L,y = 0;

Entonces, resulta 10 siguiente:

W 4 3 3Y = - -- [-x + 2Lx - L x]24E1

Respuesta

~:1J;'

;(:',.;.(;(~

~

~

~,.(

~

A,l,

AA,l~

A-,l-.,);,.l,

A,..(~;(,J,

AA)I,

~,

~.

I~

~

8-4 DEFLEXIONES POR INTEGRACION DE ECUACIONES DE FUERZA CORTANTE 0 DE CARGA 491b) La deflexion maxima se presenta en x = LI2, que cuando sustituye a x en la ecuacion

de la curva elastica resulta:

wL4 wL4

Y -------tmax - 384EI - 384EI Respuesta

rI Problema de Ejemplo 8-6 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como semuestra en la figura 8-10. Determine:

a) La ecuacion de la curva elastica.b) La deflexion en el extremo derecho de la viga.c) Las reacciones VA y MA del apoyo en el extremo izquierdo de la viga.

SOLUCION

a) Ya que esta dada la ecuacion para la distribucion de carga y no es facil escribir laecuacion de momento, se usara la ecuacion 8-5 para determinar las deflexiones. Enla seccion 7-5 (vease la figura 7-15), se considero positiva la direccion hacia arribapara una carga distribuida w; por 10 tanto, la ecuacion 8-5 se escribe como

d4y 7TXEI- = w(x) = -wcos-

dx4 2L

La integracion sucesiva nos da

Las cuatro constantes de integracion se determinan aplicando las condiciones de fron-tera. Entonces, se obtiene

16wL4

por 10 tanto, C4 = 4'TT

Enx = O,y = 0;

En x = 0 !!L = O', dx ' por 10 tanto, C3 = 0

Enx =L, V= 0;2wLpor 10 tanto, C 1 = --

'TT

t 2wL2por 10 tanto, C2 = '- --

'TTEnx = L,M= 0;

Entonces, resulta 10 siguiente:

Respuesta

y

I

Figura 8-10

492 CAPITULO 8 CARGAPOR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

b) La deflexion en el extremo derecho de la viga es

YB = Yx=L = - ~ (_7?L4 + 31T3L4 - 48L4)31T EI

= _ (27? - 48)wL4 = -O.04795wL4IEI(31T4El)

c) La fuerza cortante Vex) y el momento flexionante M(x) a cualquier distancia x a partirdel apoyo son

Respuests

2wL [ 1TX]Vex) = -- 1 - sen-1T 2L

2wL [1TX JM(x) = -2- 2L cos - + 1TX - 1TL1T 2L

Entonces, las reacciones en el apoyo del extremo izquierdo de la viga son

Respuesta

Respuesta

1PROBLEMAS

a. La ecuacion de la curva elastica.b. La deflexion maxima de la viga.

y

I

a. La ecuacion de la curva elasticab. La deflexion a la mitad de la distancia entre 10s apoyos.

y

I

Problemas lntroductorios 8-37 Para la viga y la carga mostradas en la figura P8-37,deter-mine:

8-35* Para la viga y la carga mostradas en la figura P8-35, de-termine:

y

I W(X)=W~/L3

~

AAA.f-AAAAA~

h~

~).,

~JL,k~

~--------L--------~. FiguraP8~37

----------L--------~eFigura P8-35


8-36* Para la viga y la carga mostradas en la figura PS-36, de-termine:

8-38* Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura PS-3S. Determine:

a. La ecuacion de la curva elastica.b. La deflexion maxima de la viga.

y

I

a. La ecuaci6n de la curva elastica.b. La deflexi6n en el extremo izquierdo de la viga.c. Las reacciones VB y MB en el apoyo. .

A~~ L _

Figura P8-38

----------L--------~.Figura P8-36 i''r


a. La ecuacion de la curva elastica.b. La deflexi6n a la mitad entre los apoyos.c. La deflexion maxima de la viga.d. Las reacciones RA y RB en los apoyos.

Figura P8-39

8-40 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-40. Determine:

a. La ecuaci6n de la curva elastica.b. La deflexi6n maxima de la viga.

y

I

Figura P8-40

Problemas Dificiles

8-41 Una viga esta apoyada y sometida a carga, comose mues-tra en la figura P8-41. Determine:

a. La ecuaci6n de la curva elastica.b. La deflexi6n en el extremo izquierdo de la viga.c. Las reacciones VB y MB en el apoyo.

y

Ir-w..L

A~~ L ~

Figura P8-41

8-42* Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-42. Determine: ,~

PROBLEMAS 493

a. La ecuaci6n de la curva elastica.b. La deflexi6n a la mitad de la distancia entre los apoyos.c. La pendiente en el extremo izquierdo de la viga.d. Las reacciones RA y RB en los apoyos.

yw(x) = w sen (nx/L)

Figura P8-42


a. La ecuaci6n de la curva elastica.b. La deflexi6n a la mitad de la distancia entre los apoyos.c. La deflexi6n maxima de la viga.d. La pendiente en el extremo izquierdo de la viga.e.. Las reacciones RA y RB en los apoyos.

y

Figura P8-43


a. La ecuaci6n de la curva elastica.b. La deflexion en el extremo izquierdo de la viga.c. La pendiente en el extremo izquierdo de la viga.d. Las reacciones VB y MB en el apoyo.

y

Figura P8-44


8-5 FUNCIONESDE SINGULARIDADEl metodo de la doble integracion de la seccion 8-3 se hace tedioso y toma mucho tiempocuando se requieren varios intervalos y varios conjuntos ide condiciones de coincidencia. Sinembargo, el trabajo requerido en la solucion de problemas de este tipo puede disminuirse sise utilizan las funciones de singularidad, siguiendo el metodo desarrollado en 1862 por elmatematico aleman A. Clebsch (1833-1872).1

Las funciones de singularidad estan estrechamente relacionadas con la funcion de esca-lon unitario empleadas por el fisico britanico O. Heaviside (1850-1925) para analizar la res-puesta transitoria de los circuitos electricos, Las funciones de singularidad se usaran aquipara escribir una ecuacion de momento flexionante que se aplique en todos los intervalos a10 largo de una viga, eliminando asi la necesidad de condiciones de coincidencia.

Una funcion de singularidad de x se escribe como <x- xo)n, donde n es cualquier en-tero (positivo 0 negativo), incluyendo cero, y Xo es una constante igual al valor de x en lafrontera inicial de un intervalo especifico a 10 largo de una viga. Los corchetes < ) sereemplazan por parentesis ( ) cuando x :::?: Xo Ypor cero cuando x < Xo. Aqui se enumeranpropiedades seleccionadas de las funciones de singularidad que se requieren para resolverlos problemas de deflexiones en vigas para enfasis y referencia rapida.

< r _{(x- xotx -Xo - ocuando n > 0 Yx :::?: Xo

cuando n > 0 Yx < Xo

cuando x:::?: Xocuando x < Xo

f (x- xot dx = _l_<x ~ xot+l + C. n+ 1 cuando n :::?: 0

cuando n :::?: 1

En la figura 8-11 se muestran varios ejemplos de funciones de singularidad.Haciendo uso de estas propiedades de las funciones de singularidad, se puede escribir

una ecuacion individual para definir el momento flexionantede una viga y obtener el valor

./ Y/

2

y= t(x-W1

x-1

y

2y = (x + 1)1- (x - 1)1

-2 (x-2)O

x2 3

y

2y=.(x-l)1

y

-1

Figura 8-11

2y = 2 (x- 2)°

/I

~

hh~

~

hh~

~

h

__ .1-_.j--~...I.-_...l-_...!-__ X

2 3

---~--+---...l-__~ __-L x2 3

I Para una historia muy completa del metodo de Clebsch y de sus numerosas extensiones, vease Walter D. Pil-key, "Clebsch's Method for Beam Deflections", Journal of Engineering Education, enero de 1964, p. 170.

Q

y

~-----------------L------------------~

Figura 8-12correcto del momento en cualquier intervalo a 10 largo de la viga. Para amplificar esta afir-macion, considerese la viga de la figura 8-12. Las ecuaciones de momento en las cuatro see-ciones designadas son

M, =RLXM2 = RLx - P(x - Xl)

M3 = RLx - P(x - Xl) + MAM4 = RLx - P(x - Xl) + MA - (w/2)(x - X3)2

0< X < Xl

Xl <X <X2

X2 <X <X3

X3 <x <L

Estas cuatro ecuaciones de momentos pueden combinarse en una ecuacion individual pormedio de las funciones de singularidad para dar

donde M(x) indica que el momento es una funcion de x.Las cargas distribuidas que son continuas par secciones (la carga distribuida no puede

representarse por medio de una funcion individual de X para obtener todos los valores de x)se obtienen rapidamente por superposicion, como se ilustra en los siguientes ejemplos.

Problema de Ejemplo 8-7 Para la viga apoyada ysometida a carga, como semuestra en 1a figura 8-13a, determine la deflexion en el extremo derecho.

SOLUCIONEl diagrama de cuerpo libre de la figura 8-13b y las ecuaciones de equilibrio sr, = 0 y"iMo= o nos dan

+t !'Fy == VA - w(L/3) = 0+ ~!.Mo = MA - w(L/3)(5L/6) = 0

VA = wL/3tMA = 5wL2118 ~

~' ...'.".'-

,Las condiciones de frontera, en el intervalo 0 :S x :S L, son dy/dx = 0 cuando x = 0 y

y = 0 cuando x = 0 usando los ejes mostrados en la figura 8-13b. Cuando la expresion pa-ra calcular el momenta flexionante, la cual se obtuvo a partir del diagrama de cuerpo li-bre de la figura 8-13c, sustituye a las variables de la ecuacion 8-3, el resultado es

La primera integracion nos da

8-5 FUNCIONES DE SINGULARIDAD 495

~ El diagrama de cuerpo libre (figura 8-13c) seconstruyehaciendouna secci6nde la viga en el in-tervalo ubicado en el extremo derecho y conser-vando la parte de la viga a la izquierdade la see-cion. Esto asegura que la ecuacion de momentoque resulte sera valida para la viga completa.Si elcorte se hubiera hecho entrex = 0 y x = 2L/3, en-tonces la carga distribuidaentre x = 2L/3 Yx = Lno apareceria en el diagramade cuerpo libre 0 enla ecuacionde momentos.Esta ecuacionno podriaser valida para aplicarse en puntos de la viga bajola carga distribuida. .

496 CAPiTULO 8 CARGAPOR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

~ Debido a que las funcionesde singularidadnopermiten que las cargas distribuidasterminen a lamitad de la viga, la carga "realse reemplaza conuna carga equivalente, que se puede expresar enterminos de las funciones de singularidad.La car-ga distribuida original se prolonga continuamen-te hasta el final de la viga, y se aplica a la viga

una carga, distribuida de anulacion desde x =- L/2 basta x = L.

f----- 2 L/3 ------7,~ LI3~ C

(a)

y

(t~~~(b)

(c)

Figura 8-13

La condicion de frontera dy/dx = 0 cuando x = 0 nos da C} = 0 porque el termino entrelos corchetes es cero cuando x :::;2L13. Una nueva integracion nos da

El = _ 5wL 2x2 + wLx3_ ~ (x _ 2L)4 + C

y 36 18 24 3 2

La condicion de fronjera y = 0 cuando x = 0 nos da C2 = 0 porque el termino entre los "corchetes es cero cuando x :5 2L13.

La deflexion en el extremo derecho de la viga se obtiene sustituyendo a x por L en laecuacion de la curva elastica, El resultado es

~ _ ~ wL4 = ~WL4J..Y " """"1 944 EI 1 944 El Respuesta..

Este resultado concuerda con el del problema de ejemplo 8-3.

Problema de Ejemplo 8-8 Determine la deflexion en el extremo izquierdo de laviga de1a figura 8-14a.

SOLUCIONEl diagrama de cuerpo 1ibre de la figura 8-14h y la ecuacion de equilibrio IMB = 0 nos da

+ rIME = RL(L) - w(L/2)(7L/4) + wL2/2 = 0 RL = 3wL/siPara expresar el momento de la carga distribuida en el extremo izquierdo de la viga, enterminos de funciones de singularidad que son validas para 1a longitud completa de la vi-ga, la carga distribuida debe representarse en el diagrama de cuerpo libre con cargas dis-tribuidas equivalentes en 1as partes superior e inferior de la viga, como se muestra en 1a

y

-,

U2-r-U2lI ~1}2

m!

(a)

B

3wU8(c)

Figura 8-14

Figura 8- J 4c. Cuando la expresion para definir el momento flexionante obtenida del dia-grama de cuerpo libre de la figura 8-14c sustituye a las variables de la ecuacion 8-3, el re-sultado es

d2y W 2 W ( L)2 3~L 1 wL2( L)OEI- = - - (x + L) + - x + - + -- (x - 0) + - x - -dx' 2 2 2 8 2 2

donde el primer termino despues del signo de igualdad representa la carga distribuida so-bre la parte superior de la viga y el segundo termino representa la carga distribuida en laparte inferior de la viga. El efecto de los dos terminos es la terminacion de la carga distri-buida en.! = - L/2. Las condiciones de frontera son y = 0 cuando x = 0 y y= ° cuandox = L. Dos integraciones de la ecuacion de momento nos dan

!!:£ W 3 W ( L)3 3wL 2EI dx = - "6(x + L) +"6 x + 2: + 16" (x - 0)

+w~2(x"'-ir + c,

y

W 4 W ( L)4 wL < )3Ely = - - (x + L) + - x + - + - x - 024 24 2 16

wL2 I L)2+4 \x - 2: + C1x + C2

La primera condicion de frontera, y = 0 cuando x = 0, nos da

o = - wL4

+ wL4

+ 0 + 0 + 0 + C24 384 2

i 5C = +-wL4

2 128

La segunda condicion de frontera, y = 0 cuando x = L, nos da

0= _ 16wL4 + 81wL

4 + wL4 + wL

4 + C i + 5wL4

24 384 16 16 1 128

8-5 FUNCIONES DE SINGULARIDAD 497

••• Observese que aun cuando el origen de las coor-denadas esta en eJ apoyo izquierdo (de modo quey = °en x = 0), la constante de integraci6n C2 no

Les cero. Enx = 0, (x + L)4 = L4; (x + _)4 =2

L4 L16; (x - 0)3 = 03 = 0; y (x - '2)2 =

(- ~ )2 = 0 (debido a que una funci6n de singu-

laridad es cerosiempre que su argumento es ne-gativo).

498

La deflexi6n en el extremoizquierdo se obtiene sustituyendo a x por - L en la ecua-cion de la curva elastica. EI resultado es

'"'A~

AA~

A~

A~A~

A~

CAPITULO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

~ La carga distribuida inicial es una funcion li-neal de x, W :0 ax + b. Las constantes a y b de-ben escogerse de modo que W :0 0 cuando x = x I,

(0 = axl + b) y W = WI cuando x = X2, (WI

= ax2 + b). Conjuntamente, estas dos condicio-nes nos dan a = WI Y b = WIXI , de

Xz - XI X2 - XI

modo que W = - WI (x - Xl). La pen-X2 -XI

diente de la segunda carga triangular tiene que serla misma que la primera (simpiemente inicia pos-

teriormente); W = - WI (x - Xz) ..Xz - XI

7 5 97Ely = 0 + 0 + 0 + 0 + - wL3(-L) + - WL4 = - - wL424 128 384

Entonces,

__ !!J.-.wL4 -!!J.-. WL4ty - 384 EI - 384 EI Respuesta

Problema de Ejemplo 8-9 Usense funciones de singularidad para escribir unaecuaci6n individual del momento flexionante, en cualquier secci6n de la viga mostrada enla figura 8-15a.

SOLUCIONLacondici6n de carga en la viga de la figura 8-i5a puede considerarse una combinaci6nde las cargas mostradas en la figura 8-15b, c, dye, donde las cargas que actuan haciaabajo se muestran en la parte superior de la viga y las cargas que acnian hacia arriba enla parte inferior. La magnitud de la carga de variac ion lineal en cualquier punto x ;:::Xl

es

(b)

(c)

(d)

W2(e)

Figura 8-15

~~j

~

AAA

PROBLEMAS 499

M = - 1[ WI (x - Xd] (x - XI)(X - xI)!3 = - (WI (x - XI)32 X2 - XI 6 X2 - XI)

Una vez que se introduce el termino de momento para la carga de variaci6n lineal en laecuacion de momentos para X = X I, su efecto continua hasta el final de la viga. Como re-sultado, deben introducirse terminos en las ubicaciones apropiadas para terminar los efec-tos. EI efecto se reduce al de una carga distribuida constante de magnitud WI introduciendola carga linealmente distribuida de la figura 8-ISc en x = X2. La magnitud de esta cargadistribuida constante se reduce de WI a W2 introduciendo la carga distribuida constante WI

- W2 en x = X2, como se muestra en la figura 8-1Sd. Finalmente, la carga distribuidaconstante de magnitud W2 se termina en x = X3 introduciendo la carga distribuida cons-tante W2, como se muestra en la figura 8-ISe. Entonces la ecuacion de momentos para laviga se escribe en terminos de funciones de singularidad como

El momento de la carga de variacion lineal en cualquier punto x ;::::x I es

Respuesta

,.(

~1PROBLEMAS

Problemas introductorios

a. A una distancia x = L a partir del apoyo.b. En el extremo derecho de la viga.

PL

8-45* Una viga en cantiliver esta apoyada y sometida a carga,como se muestra en la figura P8-45. Usense funciones de sin-gularidad para determinar la deflexion: ~

P

!. A IB'" Ie~L--+--L~

.. Figu,raPS-46

y

I P P 8-47 Una viga en cantiliver esta apoyada y sometida a carga, co-mo se muestra en la figura P8-47. Usense funciones de singu-laridad para determinar 10 siguiente:

a. La deflexi6n bajo la carga P.b. La deflexion en la mitad del claro.c. La deflexi6n maxima en la viga.

Figura P8-45

8-46* Una viga en cantiliver esta apoyada y sometida a carga,como se muestra en la figura P8-46. Usense funciones de sin-gularidad para determinar la deflexion:

P

1iIIIiiiiI ••

~Ll4L-3L14----"4Figura P8-47.

a. Para una distancia x = La partir del apoyo... b. En el extremo derecho de lit viga.

500 CAPrruLO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN V1GAS

8-48 Una viga esta apoyada y sujeta a cargas, como se rnuestraen la figura P8-48. Usense funciones de singuiaridad para de-tenninar la deflexi6n:

a. A una distancia x = L a partir del apoyo izquierdo.b. En el centro del claro.

Py

IP

BI CI .~ L-t- L-t- L---1

Figura P8-48

8-49* Una viga esta apoyada y sujeta a cargas, como se muestraen la figura P8-49. Usense funciones de singularidad para de-terminar la deflexi6n:

a. En el extremo derecho de Ia viga.b. En una secci6n a la mitad de la distancia entre 10s apoyos.

I P

f. c

Figura P8-49

8-50 Una viga esta apoyada y sujeta a la condici6n de carga quese muestra en la figura P8-S0. Usense funciones de singulari-dad para detenninar:

a. La deflexi6n en e1 centro del claro.b.. La deflexi6n maxima de 1a viga.

1

8-51 Una viga esta apoyada y sujeta a cargas, como se muestraen 1a figura P8-51. Usense funciones de singularidad para de-tenninar la deflexion:

a. En e1 punto de aplicacion de 1acarga concentrada 3P.b. En el extremo derecho de 1a viga.

yI 3P

tA f. 2~~--:""'L-----;*-Ll2~

Figura P8-51

8-52 Una viga esta apoyada y sujeta a las condiciones de apli.caci6n de carga que se muestran en la figura P8-S2. Usensefunciones de singu1aridad para detenninar la deflexi6n:

a. En el extremo izquierdo de la viga.b. En un punto a la mitad de la distancia entre los apoyos.

y

IP

2PLA -3- B

,c •.•_. "ox- ,;.,~_, w••• ~~ ••. ~" ••""".""""_ •• ~"<.~.-._.-~ ... ~".. __ ~ ~ •• ~~~."W~ __

lL/3 ~/2-+-D2~

Figura P8-52

Problemas Intermedius

8-53* Usense funciones de singularidad para determinar la de-flexi6n en el extremo izquierdo de la viga en cantiliver mostra-da en la figura P8-S3.

yIl4;L

A~~

L-1.5L~L-7

Figura P8-53

8-54* Una viga en cantiliver esta apoyada y sujeta a las condi-ciones de aplicacion de carga que se muestran en la figuraP8-S4. Usense funciones de singularidad para detenninar ladeflexi6n:

a. A una distancia x = L a partir del apoyo.b. En el extremo derecho de la viga.

y

;-A L----; :---__ L~C

Figura P8-54

8-55 Una viga esta apoyada y sometida a 1a condici6n de apli-cacion de la carga que se muestra en la figura P8-55. Usensefunciones de singularidad para deterrninar la deflexion:

a. f:n el extremo izquierdo de la viga.b. En una secci6n a la mitad de la distancia entre 10s apoyos.

I,'"AAA

AI

('\

j~I

1"""'\

~

.~

'"

r<;

""'

""'

1"""'\

r»;

'"

~

r"\

~

r"\

~

~

~~" r=-;

'"r>.

,.-...,.-...

'"rr-,

rr-.

~r-.

rr-.

r>.

r>.

y

w

Figura P8-55

8-56 Una viga esta apoyada y sometida a la condicion de cargaque se muestra en la figura P8-56. Usense funciones de singu-laridad para determinar:

a. La deflexion a la mitad de la distancia entre 10s apoyos.b. La deflexion maxima de la viga.

2wL

Figura P8-56

8-57* Una viga en cantiliver esta apoyada y sometida a la condi-cion de carga que se muestra en la figura P8-57. Usense funcio-nes de singularidad para determinar: /

a. La deflexion en el extremo izquierdo de la viga.b. La deflexion al centro de la carga distribuida.

y

Iw

Figura P8-57

8~58 Una viga esta apoyada y sometida a la condicion de cargaque se muestra en la figura P8-58. Usense funciones de singu-laridad para determinar:

a. La deflexion en el extremo derecho de la viga.b. La deflexion a la mitad de la distancia entre los apoyos.

wL-,.: w

c

;-~-- L ----'---4--

Figura P8-58 fi. ,

PROBLEMAS 501

Problemas Dificiles

8-59* Usense funciones de singularidad para determinar la de-flexion en el extremo derecho de la viga en cantiliver mostra-da en la figura P8-59.

y

I

Figura P8-59

8-60* Una viga esta apoyada y sometida a la condicion de cargaque se muestra en la figura P8-60. Usense funciones de singu-laridad para determinar la deflexion:

. a. En el extremo izquierdo de la carga distribuida.b. En una seccion a la mitad de la distancia entre los apoyos.

y w

~a-J-a-J-a~Figura P8-60

8-61 Una viga en cantiliver esta apoyada sometida a cargas, co-mo se muestra en la figura P8-61. Usense funciones de singu-

.Iaridad para determinar la deflexion:

a. En una distancia x = L a partir del apoyo.b. En el extremo derecho de la viga.

2w

c

~-- L---H---

Figura P8-(il

8-62 Una viga esta apoyada y sometida a cargas, como se mues-tra en la figura P8-62. Usense funciones de singularidad paradeterminar:

a. La deflexion a la mitad de la distancia entre los apoyos,b. La deflexi6n maxima de la viga.

wL

1.---- L _-_ '----

. Figura P8-62


8-63* Una viga esta apoyada y sometida a una carga, comosemuestra en la figura P8-63. Usense funciones de singularidadpara determinar:

a. La deflexi6n a la mitad del claro.b. La deflexi6n maxima en la viga.

y

r----- L ~

Figura P8-63

8-64 Una viga esta apoyada y sometida a cargas, como se mues-tra en la figura P8-64. Usense funciones de singularidad paradeterminar: .

a. La deflexi6n a la mitad del claro.b. La deflexi6n maxima en la viga.

y

r L -----l L ~

Figura P8-64

Problemas de Computadora

C8-65 Un clavadista de 160 lb camina lentamente sobre untrampolin. EI trampolin es una plancha de madera (E = 1 800klb/pulg') deIO pies de longitud, 18 pulg de ancho y 2 pulg deespesor, y se Ie modela como la viga en cantiliver mostrada en lafigura C8-6S. Para el clavadista en las posiciones, a = nL/S (n =1, 2,..., 5), calcule y grafique la curva de deflexiones del trampo-lin (grafique y como una funci6n de x para 0 sx s 10 pies).

Y p= 160lbt=a~B··e~.--

c~,..~ .!,~"",,::.:::-~

( L=lOpies JFigura C8-65

C8-66 Un trampolin consiste en una plancha de madera (E = 12GPa) que esta asegurada en el extremo izquierdo y descansa so-bre un apoyo m6vil, como se muestra en la figura C8-66. La ta-bla tiene 3 m de longitud, 500 mm de ancho y 80 mm de espe~or.Si un clavadista de 70 kg de peso esta parado en el extremo dela tabla:

a. Calcule y grafique la curva de deflexiones para 13viga (gra-fique y como una funcion de x para 0 s x es 3 m) para elapoyo derecho en las posiciones b = 0.5 m, 1.0 m, 1.5 m.

~.

b. Si la rigidez de la tabla se define como la relacion entre elpeso del clavadista y la deflexion en el extremo de la tabla(k = W/y), calcule y grafique la rigidez de la tabla comouna funci6n de b para 0 :::;b :::;1.5 m. l,La rigidez dependsdel peso del clavadista?

Ym =70kg

~ L=3m ~

Figura C8-66

C8-67 La pasarela entre un bote de pescar y unmuelle consisteen una plancha de madera (E = 1 800 klb/pulg/) de 10 pies delongitud, 12 pulg de ancho y 2 pulg de espesor. Si la planchase modela como la viga simplemente apoyada que se muestraen la figura C8-67, calcule y grafique la curva de deflexionesde la pasarela (grafique y como una funci6n de x para 0 :::;x :5

10 pies) a medida que un hombre de 170 lb camina por la pa-sarela. Grafique curvas cuando el hombre esta en las posicionesa = nL/5 (n = 1, 2, 3, 4).

Y

A c

I( L = 10 pies )1Figura C8-67

C8-68 Un puente sobre un pequefio arroyo en un campo de golfconsiste en una cubierta de madera (que pesa 1 000 newtons pormetro) colocada sobre dos vigas de madera (E = 12 OPa). Ca-da una de las vigas tiene 5 ill de longitud; 100 mm de ancho yh mm de altura; cada viga soporta la mitad de la carga sobre elpuente. Se desea que el puente soporte el peso de un carrito degolf cargado (peso total de 2 400 N) con una deflexion maxi-ma no mayor ,de 50 mm. Modele las.vigas y la carga como semuestra en la figura C8-68 Y

600N 600N

'1 !500N/m

~ 5m ~

Figura Cs..6.8

8-6 DEFLEXIONES POR SUPERPOSICION 503

'~ ~I?~~:" b.~ '~::f..~., ~ y

1!t"C8-69 Una tropa de Exploradores Cachorros esta marchando a~:~;; 'Jraves de un pequefio puente de peatones que consiste de una,

"plancha de madera (E = 1 800 klb/pulg'') de8 pies de longitud,12 pulg de ancho y 1.5 pulg de espesor. Los exploradores estanseparados por una distancia de 2 pies y se modelan como car-gas estaticas concentradas (cada una de 75 Ib) sobre una vigasimplemente apoyada, como se muestra en la figura C8-69.Grafique la curva de deflexiones del puente (grafique y comouna funcion de x para 0 :s x :s 8 pies) a medida que la tropamarcha por el puente. (Inicialmente, solo un explorador esta so-bre el puente, en la posicion B. Luego, dos exploradores estansobre el puente, en las posiciones B y C. La tropa continua mar-chando hasta que, finalmente, solo un explorador permanece enel puente, en la posicion D.)

a. Determine el peralte minimo hmin de las vigas que sopor-taran el peso dado,Si h = 125 mm, calcule y grafique la curva de deflexionespara la viga (grafique y como una funcion de x para 0 :sx:S L) para el carrito en lasposiciones a= I m, 2 my 3 m. ~,

del palo de madera (E = 12 GPa) es horizontal y ellado delga-do (10 mm) es vertical. La aproximacion que se usa en la teo-ria de vigas simples

(a)

no es muy buena aqui, ya que ni las deflexiones ni las pendien-tes son pequeiias. En lugar de ello, debera resolverse la ecua-cion diferencial precisa:

EI [1 + (dy/dx)2]312 = M(x) (b)

a. Calcule y grafiquela curva de deflexiones (grafique y co-mo una funcion de x para 0 :s x::;; 1m) usando la teoria devigas simples [ecuacion (a)].

b. En la misma grafica, la curva de deflexiones (grafique y co-mo una funcion de x) usando la ecuacion diferencial precisa[ecuacion (b)]. (Nota: Esta curva no proseguira hasta x = 1m. Es la longitud del palo la que es de 1 m y no el alcancehorizontal del palo.)

~------------lm------------~

Figura C8-70

8-6 DEFLEXIONES POR SUPERPOSICIONEl .metodode las superposiciones sebasa enelhecho de que.elefecto resultante de varias

,"cargas que acnian simultaneamente sobre un miembro es la suma de las contribuciones decada una de las cargas aplicada individualmente. Con frecuencia, se dispone de los resulta-dos dados por las cargas separadas a partir de trabajos anteriores 0 se determinan facilmen-te a traves de metodos anteriores. En estos casos, el metodo de las superposiciones se:convierte en un poderoso concepto 0 herramienta para encontrar los esfuerzos, las deflexio-onesy similares. El metodo es aplicable a todos los casos en los cuales exista una relacionlineal entre los esfuerzos 0 las deflexiones y las cargas aplicadas.

Para demostrar que las deflexiones de las vigas pueden determinarse con precision utili- "zando el metodo de las superposiciones, considerese la viga en cantiliver de la figura 8-16

, con las cargas Q, W YP. Para determinar la deflexion en c't'llquier punto de esta viga usan-.do el metodo de la doble integracion, es necesario expresar el momento flexionante en ter-minos de las cargas aplicadas. Para cadaintervalo a 10 largo de la viga, el valor de M es lasuma algebraica de los inomentos debidosa las cargasseparadas. Despues de dos integra-, Q fI!__ iiiIciones sucesivas, la solucion de la deflexion en cualquier punto todavia sera la suma alge-

·,~b'~aicade 1as contribuciones de cada carga aplicada. AUn mas, para cualquier valor dado de:;\ la relacion entre la carga aplicada y la deflexi6n resultante s~ra lineal. Es evidente, por 10

pw

Figura 8-16s

c


tanto, que la deflexi6n de una viga es la suma de las deflexiones producidas por las cargasindividuales. Una vez que han sido determinadas las deflexiones producidas por unas cuan,tas cargas individuales comunes con alguno de los metodos ya presentados, el metodo delas superposiciones es una forma rapida para resolver una:amplia variedad de problemas mascomplicados por medio cfe diferentes combinaciones de resultados conocidos. A medida quese dispone de mas datos, se puede resolver un rango mas amplio de problemas mediante lasuperposici6n.

Se proporcionan los datos del apendiceB (tabla B-19) para usarse en el dominio del me-todo de las superposiciones. No se intenta dar un gran numero de resultados, ya estos datosestan facilmente disponibles en diferentes manuales. Los datos dados y los ejemplos ilustra-tivos cumplen el prop6sito de aclarar el concepto y los metodos.

J Problema de Ejemplo 8-10 Una viga simplemente apoyada de 16 pies delon-gitud soporta unacarga uniformemente distribuida de 500 lb/pie y una carga concentradade I 000 lb, como se muestraen la figura 8-17a. La viga ha sido labrada toscamente(4 pulg de ancho X 8 pulg de altura, 1= 170.67 pulg") de abeto Douglas desecado al aire(E = I 900 klb/pulg"). Determine la deflexion y c en el centro de la viga.

SOLUCIONLa deflexi6n en el centro de la viga consta de dos partes, Yl debida a la carga distribuiday Y2 debida a la carga concentrada. Como se muestra en la figura 8-17b, la viga originalcon dos cargas puede reemplazarse con dos vigas, cada una de las cuales soporta una delas dos cargas. I

Del caso 7 de la tabla B-19 (apendice B), la deflexion en el centro de la viga debida ala carga distribuida, con L = 16 pies = 192 pulg, esta dada por

_ 5wL4 _ 5(500/12)(192)4_Yl - - 384EI - - 384(1.9)(106)(170.67) - -2.2736 pulg

En forma similar, del easo 5 de la tabla B-19 (en el eual b = 6 pies = 72 pulg es la distan-cia mas corta entre la carga concentrada y el extremo de la viga), la deflexi6n en el cen-tro de la viga debida a la carga concentrada esta dada por

_ Pb(3L2 - 4b2) _ 1 000(72)[3(192f - 4(72)2]Y2 - - 48EI - - 48(1.9)(106)(170.67) = - 0.4156 pulg

.1 OOOlb500 Ib/pie

1E-------16 pies-----~(a) +

1000 Ib

1aT-----__L-->~. Y2 .

(b)

Figura 8-17

;~: ~. l'

:'hh].fh..

, ~rh~

'1'r'~

8-6 DEFLEXIONES POR SUPERPOSICI6N 505

- En consecuencia, la deflexion total del centro de la viga es

Yc = Yl + Y2 = (-2.2736) + (-0.4156)=~2.6892 pulg == 2.69 pulg-l- Respuesta

i".

Problema de Ejemplo 8-11 Una viga en cantiliver de 5 m de longitud soportauna carga unifonnemente distribuida de 7.5 kN/m y una carga concentrada de 25 kN, co-

,mo se muestra en la figura 8-18a. La viga de acero (E = 28 GPa) es una seccion de patinancho [1= 500(10-6) m4]. Determine la deflexion en el extremo derecho de la viga.

SOLUCIONComo se muestra en la figura 8-18b, la viga en cantiliver can dos cargas puede reempla-

-zarse can dos vigas, cada una de las cuales soporta una de las dos cargas. La curva elas-tica de la cargaconcentrada se muestra muy exagerada en la figura 8-18b. La deflexion enel extrema derecho esta dada como YI + Y2, donde Yl es la deflexi6n en la posici6n de lacarga concentrada YY2 es la deflexi6n adicional de los 2 m libres de carga. Del caso I dela tabla B-19 (apendice B), se tiene

PL3 25(103)(3)3Yl = - 3E1 = - 3(28)(109)(500)(10-6) = -0.016071m

Desde la carga concentrada hasta el extremo de la viga, la pendiente es constante. Nueva-mente, del caso I de la tabla B-19, la pendiente constante de la viga es

Y la deflexion Y2 esta dada par

Y2 = (JL = -0.008036(2) = -0.016071 m~ La expresi6n correcta para Y2 deberia sertan e = f.Sin embargo;ya que la deflexion(yel angulo de deflexi6n) es pequefia,tan e == e yY2 == ()L.

" Yl + Y2 = (-0.016071) + (-0.016071) = -0.03214 m = 32.14 mm-l-

En consecuencia, la deflexi6n total del extrema derecho de la viga debida a la carga con-centrada es

25kN

B

25 kN

1 B

~3m-J. I~-----5m~

(a)

A

+

(b)


Tambien se muestra la curva elastica de la carga distribuida (muy exagerada) en la fi-gur~ 8-18b. Del caso 2 de la tabla B-19 (apendice B), la deflexi6n del extremo derecho dela viga debida a la carga distribuida es

__ wL4 __ f·· 7.5(103)(5t _ _Y3 - 8El - 8(28)(109)(500)(10-6) - -0.04185 rn - 41.85 mm.l

Finalmente, la deflexi6n total del extremo derecho de la viga debida a ambas cargases

Y = (Yl + Y2) + Y3 = (-32.14) + (-41.85)= -73.99 rnrn == 74.0 mm-l- Respuesta

~ Debido a que la pendiente en la mitad de la vi-ga es cera, la mitad izquierda de la viga podriareemplazarse con un apoyo en cantiliver, sin quese modifique ninguno de los esfuerzos, fuerzas, 0

momentos en Ia mitad derecha de Ia viga.

10001b/pie

"'---7.5 pies-4.4500lb

Problema de Ejemplo 8-12 Para la viga de la figura8-19a, determine ladefle-xi6n maxima cuando E es 12(IQ6)lb/pulg2 e I es 81 pulg", '. .

SOLUCIONDe la simetria y de la ecuacion de equilibrio J..Fy = 0, las reacciones son iguales y de 4 500Ib hacia arriba. Debido a la carga simetrica, la pendiente de la viga es cero en el centro delclaro, y la mitad derecha (0 izquierda) de la viga puedeconsiderarse una viga en cantilivercon dos cargas. Como se muestra en la figura 8-19b, para la mitad derecha, el cantiliver condos cargas puede reemplazarse con dos vigas (designadas I y 2), cada una de las cuales so-porta una de las dos cargas.

(1) I~ 4.5 pies-+- 3 pies-1

(b)y

/1 000 lb/pie

.~.'.'

+

y

I //;1,

t.

· .// .1 Y7.5

~_l45OO1J

(c) (Ii)

Figura 8-19 1

.. ".¥'"

, ".

-e.•, .~ -~

.. ;~

8-6 DEFLEXIONES POR SUPERPOSICION 507

La curva elastica (exagerada) para la parte 1, como se muestra en la figura 8-19c, pro-porciona la deflexion en el extremo derecho como Y4.5 + Y3, donde Y4.5 es la deflexionen el extremo de la carga uniformemente distribuida y Y3 es la deflexion adicional de los3 pies libres de carga. Del caso 2 de la tabla B-19 del apendice B, .fe obtiene

wL4 (1 000/12)[4.5(12)]4Y4.5 = - 8El = - 8(12)(106)(81) = -0.09113 pulg

En forma similar, se tiene

wL3 (1 000112)[4.5(12)]3()4.5= - 6El = - 6(12)(106)(81) = -0.002250 rad

Y3 = (}L = (-0.002250)(3)(12) = -0.0810 pulg

En consecuencia, la deflexion total del extremo derecho de la parte 1 es

Y7.5 = Y4.5 +Y3 = (-0.09113) + (-0.0810)= -0.17213 pulg = 0.17213 pulg-l-

En la figura 8-19d se muestra la curva elastica (exagerada) de la parte 2. Del caso 1 dela tabla B-19 del apendice B, se obtiene

= + PL3 = + 4 500[7.5(12)]3 = + 1.1250 ul = 1.1250 ul i

Y7.5 3El 3(12)(106)(81) P g P g

La suma algebraica de las deflexiones para las partes 1 y 2 es

YR = Yl + Y2 = (-0.17213) + (1.1250). = +0.9529 pulg ~ 0.953 pulgi

10 que significa que el extremo derecho de la viga esta a 0.953 pulg arriba del centro. Ob-viamente, el extremo derecho no se mueve y la deflexi6n maxima esta en el centro, la cuales

Ymax= 0.953 pulg-l- Respuesta

., Problema de Ejemplo 8-13 Una viga esta apoyada y sujeta a carga, como semuestra en la figura 8-20a. Usese el metoda de superposicion para detenninar la defle-xion:

a) En un punto a la mitadde la distancia entre los apoyos<b) En el extremo derecho de la viga. .

].fL La deflexion en un punto ubicado a la mitad de la distancia entre los apoyos se deter-mina usando la viga mostrada en la figura 8-20b. Los efectos del voladizo sujeto a car-


(a)

Figura 8-20

~ Las reacciones en los apoyos A y C no se mo-difican si la carga distribuida en el voladizo CDse reemplaza por una fuerza-par equivalente en C.De la misma forma, la fuerza cortante y el mo-mento flexionante en los puntos ubicados entre 10sapoyos no se modifican si la carga distribuida enel voladizo CD se reemplaza por una fuerza-parequivalente en C. Por 10 tanto, la deflexion y lapendiente en puntos ubicados entre los apoyos noseran modificadas si la carga distribuida en el vo-ladizo CD se reemplazacon una fuerza-par equi-valente en C.

V=wL

(b)

(d)

ga sobre el claro A C de la viga pueden representarse por medio de una. fuerza cortan-te V = wL y por un momento M = wL2/2. Ya que la fuerza cortante V no contribuye ala deflexi6n en ningun punto del claro AC de la viga, la deflexi6n en el centro del cla-ro, como se muestra en las figuras 8-20c y d, puede expresarse como

~~YB = Yw + YM

Las deflexiones Yw Y YM se mencionan en los casos 7 y 8, de la tabla B-19 del apen-dice B, respectivamente. Entonces, se tiene .

= _ 5w(2Lt + (wL2/2)(2L)2 = _ wL4 = WL4.t Respuesta

YB - 384El 16El 12El 12El

b) La deflexi6n en el extremo derecho de la viga se produce mediante los efectos combi-nadas de la carga distribuida sabre el voladizo y la rotaci6n de la secci6n transversalde la viga en el apoyo C, como se muestra en las figuras 8-20c, dye. Entonces, setiene

Los angulos OwY OM Y la deflexion Yw se enumeran en 108 caSo~7, 8 Y 2 de Ia tablaB-19 del apendice B, respectivamente. Entonces, se obtiene

= w(2L)3(L) _ (wL2/2)(2L)(L) _ wL4 = _ wL4 = WL4,J;. YD 24EI i;. 3EI 8EI. 8EI 8EI

Respuesta

.. ~

: '~? r-..~

,'"'!l

;h.~

h~-'"~

<t PROBLEMAS

PROBLEMAS 509

Nota: usese el metodo de la superposicien para determinar las \'deflexiones en los problemas siguientes.


. 8-71 * Determine: la deflexion en el extremo derecho de la viga

. en canti1iver mostrada en la figura P8-71.

P=wL

. IB IC~------2L------~~L~

Figura P8-71

8-72* Determine la deflexion en e1 extremo derecho de 1a vigaen cantiliver mostrada en la figura P8-72.

Figura P8- 72

8-73 Para la viga en cantiliver mostrada en 1a figura P8-73, de-termine:

a. La pendiente y la deflexion en la secci6n B.b. La pendiente y la deflexion en la seccion C.

p p

IB . Ic(-------'-L ~ L------>IA

Figura P8-73

8-74 Determine la deflexion a la mitad de 1a distancia entre 10sapoyos de la viga mostrada en la figura P8-74 cuando P = 13.5kN, L = 3 m, I= 80(lO6) mm", y E = 200 GPa.

2P P

A B3L/4LL-lWFigura P8-74

8-75* Determine la deflexion en el extreme derecho de la viga encantiliver mostrada en la figura P8-75.

P=wL

Figura P8-75

8-76* Determine la deflexi6n en el extremo derecho de la vigamostrada en la figura P8-76.

P4P""3

A

Figura P8-76

8·77 En la viga mostrada en la figura P8-77, determine:

510 CAPj'nJI,O 8 CARGAPOR FLEXI6N: DEFLEXIONES EN VIGAS

a. La deflexi6n en la mitad de la distancia entre los apoyos.b. La deflexi6n en el extremo derecho de la viga.

P=wL

w

A

Figura P8-77

8-78 Determine la deflexi6n en el extremo derecho de la vigamostrada en la figura P8-78.

w

A

Figura P8-78


8-79* Determine la deflexi6n en el extremo derecho de la vigamostrada en la figura P8-79.

w

...w.llA--.z .Ll2--4j(-----

DB

Figura P8-79

8":80* Determine la deflexi6n en la mitad de la distancia entre108 apoyos de la viga mostrada en la figura P8-80.

Figura P8-80

8-81 El miembro AB de la figura P8-81 es el rniembro a flexi6nde una bascula que se usa para pesar cornida en un homo demicroondas. Determine la deflexi6n del punto C cuando W 0: 5Ib, L = 2 pulg Y EI = 100 Ib . pulg"•...

w

Ac

E----Ll2--~)~r---Ll2~

Figura P8-81

8-82 Determine la deflexi6n en el extremo libre de la viga encantiliver mostrada en la figura P8-82 cuando w = 7 kNlm,L = 1.8 m, 1= 130(10-6),m4 y E = 200 GPa.

2w

A

E-----L---~----

Figura P8-82

8-83* Determine la deflexi6n en un punto a la mitad de la dis-tancia entre los apoyos de la viga mostrada enla figura P8-83.

w wL4

~~~~C~~~D

-+---c----*---3U4J

A

Figura P8-83

8-84* Determine la deflexion en un punto ala mitad de la dis-tancia entre los apoyos de la viga mostrada en la figura P8-84.

wL2

•1. Figura P8-84

8-85 Determine la deflexi6nenel extremo derecho de la viga'encantiliver mostrada en la figura P8-85.

w

(-A L -l_B L-JC

Figura P8':'85

8-86 Determine la deflexion en el extremo derecho de Ia viga encantiliver mostrada en la figura P8-86.

Figura P8-86

.Problemas Diflciles:{dn.i8-87* Determine la deflexion a la mitad del claro de la viga AC::dela figura P8-87 si ambas vigas tienen la rnisma rigidez a la fle-t! __ ,- IOn.

~\

A

p

LC

D E

Figura P8-87

'-88* Determine la deflexion en el extremo derecho de la vigaen cantiliver mostrada en Ia figura P8-88.

w

A

Figura P8-88

PROBLEMAS 511

8-89 Determine la deflexion en el extremo libre de la viga encantiliver mostrada en la figura P8-89.

Figura P8-89

8-90 Determine la deflexi6n en el extremo libre de la viga encantiliver mostrada en la figura P8-90 cuando w = 7.5 kN/m,L = 3 m, 1= 180(106

) mm" y E =200 OPa.

2w

C

~ L------.; ;.----

Figura P8-90

8-91 * Determine la deflexion en el extremo libre de la viga encantiliver mostrada en la figura P8-91.

Figura P8-91

8-92* Determine la deflexion en el extremo libre de la viga encantiliver mostrada en hi figura P8-92.

w

Figura P8-9l




U2-t-U2~C

Figura P8-93

Figura 8-21

.•.. !: ..-

.;;-~~:'?:....?-'. ''.:' '"

{~~~j~~~:-.~-''-

~:·.7.f,.:1. _ •.- "\.• 1••••••••• "".•."• ~ :t,

Figura P8-94

x

8-7 DEFLEXIONES DEBIDAS A ESFUERZO CORTANTEComo se mencion6 en la secci6n 8-2, las deflexiones de las vigas calculadas hasta ahora ig-noran la deflexion producida por los esfuerzos cortantes en la viga. En vigas cortas someti-das a inucha carga, esta deflexion puede ser significativa, por 10 que ahora se establecera unmetodo aproximado para la evaluacion de estas deflexiones. La deflexi6n de la superficieneutra dy debida a los esfuerzos cortantes en el intervalo dx a 10 largo de la viga de la figu-ra 8-21 es .

dy = rydx =~ dx = VQ dxG Glt

~

'"'"J.,

"'""~'"~.f,.

~~

"~rl.~

~

~

~

y ya que el cortante en la figura 8-21 es negativo, se obtiene

Glt dy = -VQ dx

(8-6)

Puesto que el esfuerzo cortante vertical varia desde la parte superior hasta la parte inferiorde una viga, la deflexi6n debida al cortante no es uniforme. Esta deflexion no uniforme de-bida al cortante se refleja en un ligero alabeo de las secciones transversales de la viga. Laecuaci6n 8-6 proporciona valores demasiado grandes debido a que se usa el esfuerzo COI-

tante maximo (en la superficie neutra) y tambien porque se ignora la rotaci6n del elementocortante diferencial.

Con objeto de obtener una idea de la magnitud relativa de lasdeflexiones de la viga de-bidas al esfuerzo cortante, considerese una secci6n transversal rectangular para la viga de lafigura 8-21 y usese el esfuerzo maximo para el cual

VQ 3 Vr,. =--=--max It 2A

o

donde A es el area de la secci6n transversal de la viga. La expresion para defmirdy se trans-forma en .

d - 3wxdxy -.a 2AG .

8- 7 DEFLEXIONES DEBIDAS A ESFUERZO CORTANTE 513

'donde V se reemplaza por el valor -wx. La integraci6n a 10 largo de la viga completa da elcambio en y debido al cortante como/

3w fL 3wL2Ys = 2AG 0 x dx = 4AG

'que es igual a la deflexi6n en el extremo izquierdo. Para esta misma viga, la magnitud deadeflexi6n en el extremo izquierdo debida a los esfuerzos por flexion es

wL4 3wL4

Yf = 8El = 2EAd2

y la magnitud de la deflexi6n total en el extremo izquierdo se transfonna en

3wL4 3wL2 3wL2 (2L2G )Y = Yf+ Ys = 2EAd2 +. 4AG = 4AG ;PE + 1

jUt ecuaci6n (a) indica que la relaci6n entre lasdos deflexiones aumenta con el cuadrado de,LId, 10 que significa que Ia deflexion debida al cortante es de importancia solarnente en el

aso de vigas muy cortas y de gran peralte.

, Problema de Ejemplo 8-14 Una viga en cantiliver de acero estructural (E =.29 000 klb/pulg/ Y G = II 000 klb/pulg") con una secci6n transversal rectangular de 2.pulg de ancho X 4 puig de peralte soporta una carga concentrada de I 000 lb en el ex-tremo de un claro de 3 pies. Determine el porcentaje de incremento de Ia deflexi6n delextremo libre de Ia viga que resulta de los esfuerzos cortantes.

SOLUCION, La deflexi6n dy de la superficie neutra debida a los esfuerzos cortantes en un intervalo dx,a 10 largo de la viga es

'T ViQdy = vdx = -dx =-dxG ItG

Para una viga con una secci6n transversal rectangular, 1= bh3/12 Y Q = bh2/8. Tambien,,.i7= - Ppara una viga en cantiliver que sustenta una carga concentrada P en el extremo)ibre. Entonces, .

3Pdy= ---dx2bhG

{'La deflexi6n Ys del extremo libre de la viga debida a los esfuerzos cortantes es

= IL d = _ 3PL = _ 3Q 000)(3)(12) = -0.0006136 ulYs Q Y 2bhG 2(2)(4)(11)(106) P g

-,Conio se menciono, este iesultado es demasiado alto porque se use el esfuerzo cortante maximoen cada pun-. El uso de un metodo de energia (como el teorema de Castigliano que se estudia en la siguiente seccion)

que promedie el esfuerzo cortante a naves de la seccion transversal, nos daria Ys = 3wL2/5AG y la ecuaci6n. -. .' 3wL4 3wL2 3wL2 (5L2G )}se transformariaeny = 2EAd2 +5AtJ = 5AG 2d2E + I .

(a)

. ,

514 cAPfruLo 8 CARGAPOR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

La deflexion Yj en el extremo libre de la viga debida a flexion es

yr= - PL3

__ 4PL3 = _ 4(1000)[3(12)]3 = -0.05028 pulg

J 3El Ebh3 29(106)(2)(4)3

Por 10 tanto,

0.0006136Incremento = (100) = 1.220%0.05028

Respuesta

1PROBLEMAS8-95* Una viga en cantiliver de acero estructural (E = 29 000

klb/pulg2 y G = 11 000 klb/pulgf), con una seccion transversalcircular de 4 pulg de diametro, soporta una carga concentradade I 200 lb en el extremo de un claro de 4 pies. Determine elincremento, en porcentaje, de la deflexion en el extremo librede la viga que resulta de los esfuerzos cortantes.

8-97 Una viga deacero estructural (E = 29 000 klb/pulg/ y G =

11 000 klb/pulg'') con una seccion transversal rectangular hue-ca de 3 pulg de ancho X 5 pulg de peralte esta hecha de unaplaca de II2 pulg de espesor. La viga esta simplemente apoyaday soporta una carga concentrada de 4 000 Ib al centro de un cla-ro de 8 pies. Determine el aumento en porcentaje de la deflexi6nal centro del claro que resulta de los esfuerzos cortantes.

8-96* Una viga en cantiliver de aleacion de aluminio (E = 73GPa y G = 28 GPa) con una seccion transversal rectangular de50 mm de ancho X 100 mm de peralte soporta una carga uni-formemente distribuida de 5.0 leN/m sobre un claro de 1.5 m.Detenriine el porcentaje de increrriento de la deflexion en el ex-tremo libre de la viga que resulta de los esfuerzos cortantes.

8-98 Una seccion de patin ancho W203 X 60 de acero estructural(E = 200 GPa y G = 76 GPa se usa como una viga simplementeapoyada para sustentar una carga distribuida de 20 leN/mpara unclaro de 4 m. Determine el incremento en porcentaje de la defle-xion al centro del claro que resulta de los esfuerzos cortantes.

8-8 CALCULO DE·DEFLEXIONES CON LOS METODOS DEENERGIA. TEOREMA DE CASTIGLIANOCon frecuencia, se usan tecnicas de energia de deformacion para analizar las deflexiones devigas y estructuras. De los muchos metodos disponibles, la aplicacion del teorema de Cas-tigiliano, que se va a desarrollar aqui, es uno de los de mas amplio uso. Fue presentado en1873 por el ingeniero italiano Alberto Castigliano (1847-1884). Aunque el teorema se ob-tendra considerando la energia de deformacion almacenada en las vigas, es aplieable acual-quier estructura para la cuallas relaciones de fuerza-deformacion son lineales.

El concepto de energia de deformacion se ilustra en la figura 8-22, en la cualla figura8-22a representa Una barra de seccion transversal uniforme sujeta a una carga axial P que

. seaplica lentamente y queesta sostenida en su extremo superior por un apoyo que se supo-ne rigido. A partir del diagrama de carga-deformacion (figura 8-22b), el trabajo Wk que sehaee para alargar la barra una longitud 02 es

. fOzWk = Pdo

o

.. -".. "

donde P es una funcion de O. El trabajo efectuado sobre la barra debe ser igual al cambiode energia en el material,' por 10 que este cambio de energia, debido a que inc1uye a la con-figuracion deformada del material, se denomina energia de deformaci6n U. Si 0 se expresaen terminos de deformacion unitaria axial (0 = LE) YP en terminos del esfuerzo axial (P= Au), la ecuacion (a) se transforma en.:;: :

--" ''''jit'

f€2 f€2Wk = U =. (u)(A)(L) de =AL'0' . 0

a de

-------:. . . . . ..' . a .3 Conocido como el teotema de Clapeyron, en honor del ingeniero frances B. P.E. ClapeYr~n (i799-1864).

~\/\, ''1

?-\

1 !;1;-'"

:h,;;-,.

irK; %. r-.

1

(a) , ~.

h;"(b)

L

'1...

l ] ()2-IlP2(a)

igura 8-22

8-8 CALCULO DE DEFLEXIONES CON LOS METODOS DE ENERGiA-TEOREMA DE CASTIGLIANO 515

p

donde 0" es una funcion de € (vease la figura 8-22c).f. Si se aplica la ley de Hooke, se tiene

0"€=-

Ey

La ecuacion (b) se transforma en..t '

U = AL(;l) (c)

La ecuaci6n (c) nos da laenergia elastica de deformacion (que en general es recuperable")'para la carga axial de un material que obedece la ley de Hooke. La cantidad en parentesis,·crl/(2E), es la energia de deformacion elastica u a tension 0 a compresion por unidad deyolumen, 0 intensidad de fa energia de deformacion para un valor particular de 0". Para car-ga cortante, la expresi6n seria identica excepto que 0" seria reemplazadopor 'T y E por G.ii., Si a la viga mostrada en la figura 8-23 se le aplican lenta y simultaneamente las dos fuer-zas PI Y P2, Y se obtienen las deflexiones resultantes YI Y Y2, la energia de deformacion Ude la vigaes, poi el teorema de Clapeyron, igual al trabajo efectuado por las fuerzas. Por 10nto, se tiene

U= ~ PIYI ;.: ~ P2Y2

ea la fuerza PI incrementada por una pequefia cantidad MI,Y sean aYl Y ay~ los cam-. ios de deflexi6n debidos a este incremento de carga. Debido a que las fuerzas PI Y P2 ya

,{in presentes, el aumento en la energia de.deformaci6n es

(d)

(e)

histeresis elastica se ignora aqui como una complicacion innecesaria.'r

e

516 CAPITIlLO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

Figura 8-23

Si se invierte el orden de carga de modo que el incremento de fuerza, !J.P I, se aplique pri-mero, seguido de PI YP2, la energia de deformacion resultante es '

La energia de deformacion resultante debe ser independiente del orden de carga; entonces,por la combinacion de las ecuaciones (d), (e), y (f), se obtiene

!J.PIYI = PI ~YI + P2 ~Y2

Las ecuaciones (e) y (g) pueden combinarse para dar 10 siguiente:

su 1!J.P

I= YI + "2 ~Yl

o si se toma ellimite a medida que !J.P I se aproxima a cero '

auaP1

= Yl

Para casos generales en los cuales intervienen muchas cargas, la ecuacion (h) se escribecomo

au. ap. = Yi

. . .' I .'

El siguiente es un enunciado del teorema de Castigtiano:

(8:-7a)

Si la energia de deformacion de una estructura linealmente elastica se expresa en ter-minos del sistema de cargas extemas, la derivada parcial de la energia de deformacioncon respecto a una carga extema concentrada es la deflexion de la estructura en el pun-to de aplicacion y en la direccion de esa carga ..

Por medio de un desarrollo similar, tambien puede demostrarse que el teorema de Castiglia-no es valido para momentos aplicados y para rotaciones resultantes (0 cambios de pendien-te) de la estruct,ura. Entonces, se tiene

5Se usa la derivada parcial porque la energia de deformaci6n es una funci6n tanto de PI como de P2.

v

\: :-,'"', ~l'-\

~

~j .1("'l ,~

(g)

(h)

; ~~',.-".Ji'(---.

t;"r .~

;r'I,}l,

.~

. r-'\

~r-'\

8-8 CALCULODE DEFLEXIONES CON LOS METODOS DE ENERGIA-TEOREMA DE CASTIGLIANO 517

Si se requiere la deflexion en un punto donde no haya una carga puntual unica 0 en una. eccion que no este alineada con la carga aplicada, se introduce una carga ficticia en el

punto deseado que acme en la direccion apropiada. La deflexion se obtiene diferenciandoprimero la energia de deformacion con respecto a la carga ficticia y luego tomando el limi-t~a medida que la carga ficticia se aproxima a cero. Tambien, para la aplicacion de la ecua-'ci6n 8-7b, debe aplicarse en el punto i un momento puntual unico 0 un momento ficticio.El momento sera en la direccionde rotacion en el punto. Observese que si la carga consis-te en varias cargas puntuales, todas expresadas en terminos de un parametro individual (porejemplo, P, 2P, 3P, wL,2wL) y si se requiere la deflexion en una de las cargas aplicadas,aebeni escribirse la ecuacion de momentos con esta carga como un termino identificable por.~eparado0 sumar una carga ficticia (por decir Q) en el punto, de modo que pueda tomarse(a derivada parcial solamente con respecto a esta carga.

Anteriormente se demostro que la energia de deformacion por unidad de volumen paraun esfuerzo uniaxial es (T2/(2E); entonces, la energia total de deformacion bajo un esfuer-ZO uniaxial es

I 2

U= ~dV-s u:

:1

;'farauna viga de seccion transversal constante (0 que varia lentamente) sujeta a flexion pu-'ra; los esfuerzos principales son paralelos al eje de la viga; por 10 tanto, usando la ecuacion7-3, la energia de deformacion se transforma enr"

U= _1 I (- My)2 dV2E vol I

Ji se escribe dV como dA dx (donde x se mide a 10 largo del eje de la viga), la ecuacion (i); ~e'transforma en

1 iL (M2 i ) 1 iL M2U=- - ldA dx=- -dx2E 0 ]2 area 2E 0 I

(8-8)

La ecuaci6n 8-8 se desarrollo para una viga sujeta a flexion pura. Sin embargo, la ma-:-yoria de las vigas reales estaran sujetas a cargas transversales que inducen esfuerzos cor-(tantes y, en el caso de carga distribuida, esfuerzos normales transversales. Se supone que,el esfuerzo normal transversal es suficientemente pequefio pataignorarse, y en la seccion?-7 se demostro que, con excepcion de vigas cortas y de gran peralte, la deflexion deb i-'da a los esfuerzos cortantes tambien es suficientemente pequefia para. Entonces, la ecua-cion 8-8, que ignora la energia de deformacion debida a estos esfuerzos, es aplicable aJas vigas reales comunes. Cuando se aplica laecuacion 8~1 0 la ecuacion 8-8, normal-mente es mucho mas sencilla la aplicacion de la regla de Leibnitz" para diferenciar bajoel signa de la integral, de modo que

(8-9)

Problema de Ejemplo 8-15 Determine la deflexion en el extremo iibre de unaD~igaen cantiliver de section transversal constante y longitud L, que est! sujeta a una fuer-Za P en el extremo libre y a una carga distribuida que varia lirIealmente desde cero en el

,,'extremo libre hastaw en el apoyo, como se muestra en la figura P8-24a.

W. Kaplan, Advanced Calculus, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1953, p. 219.

(i).

(a)

Figura ,-24

518 CAPITuLO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

P SOLUCIONDel diagrama de cuerpo libre de la figura 8-24b, la ecuacion de momentos es

(b)Figura 8-24

y

I

A

w

wL PRA="2 +"2

~Figura 8-2:;

wL PRC="2 +"2

c

wx3M= -Px--

6L

La derivada parcial de M con respecto aPes -x, y la ecuaci6n 8-9 se transfonna en

EI = iL

MdM

dxy 0 dP

iL ( WX3)= 0 -Px- 6L (-x)dx

= iL (px2 + WX4) dx = + PL3

+ wL4

o 6L 3 30

Los signos positivos indican que la deflexi6n esta en la direcci6n de la fuerza P; enton-ces,

Respuesta

EI resultado puede verificarse consultando el apendice B.

Problema de Ejemplo 8-16 Determine la deflexion en el centro de una vigasimplemente apoyada de secci6n transversal constante y claro L que soporta una carga uni-fonnemente distribuida w sobre su longitud completa. .

SOLUCIONLa deflexi6n se requiere en un punto en eJ cual no hay carga puntual unica, Entonces, seintroduce una carga ficticia P al centro de la viga en la direccion de la deflexion deseada.En el diagrama de cuerpo libre de la figura 8-25, la fuerza P dibujada con linea discon-tinua representa a lacarga ficticia. La ecuaci6n de momentos es

M = M + M = wLx _ w~ + Px _ P Ix _ £)1w p 2 2 2 \; 2

donde la cantidadec-: U2) les ceropara toda x::;; LI2 (vease la seccion 8~5)~La deriva- .da parcial de M con respecto aPes .

La fuerza ficticia P se iguala acero, y la deflexi6n esta dada por

la cual, por facilidad .de integracion, puede escribirse como

PROBLEMS 519

Ya que la deflexion es positiva, esta en la direccion de la fuerza:

5wL4y---.1

384E[Respuesta

SOLUCION ALTERNATIVALa ecuaci6n de momentos se escribe como

M = wLx + Px _ wx2

2 2 2

M=wLx + Px _ wx2 -p(x _ L)2 2 2 2

Las derivadas parciales de M con respecto a P son

dM x=

dP 2

aM x L L x-=--x+-=---ap 2 2 2 2

Si la fuerza ficticia P se iguala a cero y se usa la ecuacion 8-9, se obtiene

E[y = lLI2 (WLx _ W~)(~) dx + fL (WLX _ W~)(L _ ~) dx = 5wL4.

. 0 2 2 2 Ll2 2 2 2 2 384

que es 10 mismo que el resultado obtenido anteriormente con el uso de funciones de sin-"gularidad. Sin embargo, observese adicionalmente que las energias de deformacion en losdos segmentos de la viga son iguales debido a la simetria de las cargas. Por 10 tanto, esnecesario extender la integracion solamente hasta la mitad de la viga si se duplica la ener-gia de deformacion. Entonces, de la ecuacion 8-9, se tiene

Ely=21L12 (WLx _ WX2)(~) dx = 5wL4

o . 2 2 2 384

PROBLEMAS

ota: usese el teorema de Castigliano para resolver los preble-as siguientes. IgnerenseIos efectos del cortante transversal .

.99* Determine la deflexion y la pendiente en el extremo iz-. quierdo de la vigaen cantiliver mostrada en la figura P8-99. .Figura P8-99

520CAPI11JLO 8 CARGAPOR FLEXION:DEFLEXIONESEN VIGAS

8-100* Determine la deflexion y la pendiente en el extremo iz-quierdo de la viga en cantiliver mostrada en la figura P8-lOO.

Figura P8-100

8-101 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-10 1. Determine la deflexion en la carga con-centrada P.

P

B

LISJc-----4L1S ----li

Figura P8-101

8-102 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-102. Determine la deflexi6n en la carga con-centrada P.

P

PL

<--------L-----LLll-~?Figura P8-102

8-103* Determine la deflexion y la pendiente en el extremo iz-quierdo de la viga en cantiliver mostrada en la figura P8-103.

P

Figura P8-103

8-104 Una viga esta apoyada y sometida a carga como se mues-tra en la figura P8-104. Determine la deflexi6n:

a. En la carga concentrada P.b. En un punto a la mitad de la distancia entre los apoyos,

P

A"&I&I~B~~•••••••••C

LL----+--2L-~Figura P8-104


8-105* Una viga esta apoyada y sometida a cargas, como semuestra en la figura P8-105. Determine la deflexion en el pun-.to medio de la carga distribuida.

Figura P8-105

8-106* Determine la deflexi6n en el extremo izquierdo de la vi-ga en cantiliver mostrada en la figura P8~106.

4wL25

Figura P8-106

8-107 Para la viga mostrada en la figura P8-107, determine.lapendiente y la deflexion en la secci6n de la viga donde seapli-ca el par M.

FiguraP8-107

8-108 Determine la deflexi6n en el punto B de la viga mostradaen la figura PS-lOS. .

w

c

Figura P8-108

8-109* Determine las deflexiones en 10s puntos A y B de 1a vi-ga mostrada en 1a figura PS-109.

P P

FiguraP8-109

8-110 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en 1a figura PS-ll O. Determine la deflexi6n:

a. En el extremo Izquierdo de la viga.b. En un punto a la mitad de la distancia entre los apoyos.

p

JLW-*--Ll2lL12

Figura P8-110

2PL

Problemas Dificiles

8-111* Determine la deflexion en una seccion a la mitad de ladistancia entre los apoyos cuando la viga esta apoyada y sometidaa cargas, como se muestra en la figura PS-ili.

wLw

IE-~--L---Ib----

Figura P8-111

PROBLEMAS 521

8-112* Una viga esta apoyada y sometida a carga,como semuestra en la figura PS-112. Determine la deflexi6n en el ex-tremo Izquierdo de la viga.

w

Figura P8-112

8-113 La viga en cantiliver mostrada en 1a figura PS-1l3 tieneun segundo momento de area 21 en el intervalo AB e 1 en el in-tervalo Be. Determine la deflexi6n en el punto C.

p p

Figura P8-113

8-114 Determine la deflexion en el punto B de la viga mostradaen Ia figura PS~ 114. EI segundo momento de area es 21 en laseccion central Be e 1 en las secciones cerca de los apoyos.

P

Figura P8-114

522 CI\PiTULO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

8-9 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADASUna viga, sujeta solamente a cargas transversales, con mas de dos componentes de reacci6nes estaticamente indeterminada porque las ecuaciones de equilibrio no son suficientes par~determinar todas las reacciones. En estos casos se usa la forma de la deformacion de la vi-ga sometida a carga para obtener las relaciones adicionales necesarias para una evaluaci6nde las reacciones (u otras fuerzas incognitas). Para problemas en los que interviene el com-portamiento elastico, cada restriccion adicional en una viga suministra informacion adicio-nal con respecto alas pendientes 0 las deflexiones. Esta informacion, cuando se usa con lasecuaciones apropiadas de pendiente 0 de deflexion, proporciona expresiones que comple-mentan alas ecuaciones independientes de equilibrio.,

El metodo de integraci6n. Para vigas estaticamente determinadas, se emplearon pen-dientes y deflexiones conocidas para obtener las condiciones de frontera y de coinciden-cia, a partir de las cuales pudieran evaluarse las constantes de integracion en la ecuacionde la curva elastica. Para vigas estaticamente indeterminadas, los procedimientos sonidenticos. Sin embargo, las ecuaciones de momentos contendran reacciones 0 cargas queno.pueden evaluarse a partir de las ecuaciones de equilibrio disponibles, por 10 que se re-quiere una condicion de frontera adicional para la evaluacion de cada una de estas incog-nitas. Por ejemplo, si una viga esta sujeta a un sistema de fuerzas para el cual hay dosecuaciones independientes de equilibrio y si hay cuatro reacciones 0 cargas no conocidasen la viga, se requieren dos condiciones de frontera 0 de coincidencia adicionales a aque-Bas necesarias para la determinacion de las constantes de, integraci6n. Estas condicionesadicionales de frontera, cuando sustituyen a las variables en las ecuaciones apropiadas dela curva elastica (pendiente 0 deflexion), proporcionaran las ecuaciones adicionales nece-sarias. Los siguientes ejemplos ilustran el metodo.

Problema de Ejemplo 8-17 Una viga esta apoyada y sujeta a carga, como semuestra en la figura 8-26a. Determine las reacciones en A y B.

SOLUCIONDel diagrama de cuerpo libre de la figura 8c26b, se observa que hay tres componentes in-cognitas de las reacciones (M, V y R) y que solamente se dispone de dos eCllacione~ inde-pendientes de equilibrio. La incognita adicional requiere el uso de la ecuacion de la curvaelastica, para 10cual necesita otra condicion de frontera ademas de las dos que se requie-ren para determinar las constantes de integracion. Debido a que se dispone de tres condi-ciones de frontera para el intervalo entre los apoyos, solamente es necesario escribir unaecuacion de la curva elastica. El origen de las coordenadas secoloca arbitrariamente en elmuro, y para el intervalo 0 ::::;x ::::;L las condicion~s de frontera son: cuando x ~ 0, dy/dx= 0; cuando x = 0, y = 0; y cuando x = L, Y = O. De la figura 8-26c y de la ecuacion8-3, se obtiene

d2y' w~El = M(x) = Vx+ M - -" dX2" 2

La integraci6n nos da

, El dy = V~ + Mx _ w,i3 + Cdx 2 6 1

i- '"

i'"'j~

~

8-9 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 523

yI

c

(a)

(b)

(c)

Figura 8-26

La primera condicion de frontera dy/dx = 0 cuando x = 0 nos da C1 = O.Unasegunda in-tegracion resulta

EI = Vx3 + M:x:- _ wx4 + Cy 6 2 24 2

.La segunda condicion de frontera y = 0 cuando x = 0 nos da C2 = 0, y la ultima condi-cion de frontera y = 0 ceando x ~ L proporciona

VL3 ML2 WL40=-+----6 2 24

10 que se reduce a.... ,"

4VL + 12M = wL2 (a)

La ecuacion de equilibrio "2.MR = 0 para el diagrama de cuerpo libre de la figura ·S-26b es

la que se reduce a 10 siguiente:

32VL -+ 32M = 15wL2 (b)

La solucion simultanea de las ecuaciones (a) y (b) resulta

. . 7wL2 7~L2M=-64=64~ Respuesta.

524 CAPillJL08 CARGAPOR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

~ Una solucion alternativa seria colocar el ori-gen de las coordenadasen el apoyo derechoy es-cribir la ecuaci6n de momentos para el intervaloo ~ x -s L. Esta ecuacion incluiriasolamenteunaincognita, la reaccion R. AI integrar y evaluar lasconstantes,la terceracondici6nde fronteranos da-ria directamenteel valor de R. Entonces, podrianusarse las dos ecuacionesindependientesde equi-librio para evaluarMy V.

(a)

Figura 8-27

y

Finalmente, la ecuacion 'iFy = 0 para la figura 8-26b es la siguiente:

+ikFy = R + V- w(5L14) = 0

de donde

R = + 43wL = 43wLi64 64

Respuesta

Respuesta

Problema de Ejemplo 8-18 Una viga esta apoyaday sometida a una condicionde carga, como se muestra en la figura 8-27a. Determine:

a) Las reacciones en los apoyos A y B.b) La deflexion a la mitad del claro.

SOLUCION

a) Haytres componentes de reaccion no conocidas (MB' VB Y R) en el diagrama de cuer-po libre de la figura 8-27b. Debido a que hay tres componentes desconocidas de reac-cion y solamente dos ecuaciones independientes de equilibrio, el problema esestaticamente indeterminado y sera necesaria una ecuacion de deformacion con objetode obtener el valor de las tres incognitas. Surgen complicaciones adicionales debido aque se requieren dos ecuaciones de rnomentos, una para el intervalo 0 :S x :S L y otrapara el intervalo L :S X :S 2L. Al integrar dos veces cada una de las ecuaciones de rno-mentos se obtienen cuatro constantes de integraci6n, junto con la reaccion inc6gnita R.La solucion de las ecuaciones resultantes requiere de tres condiciones de frontera (unaen A y dos en B) y de dos condiciones de coincidencia en el punta donde se aplica elmomento. Los calculos algebraicos complicados pueden simplificarse si se usan funcio-nes de singularidad. La ecuaci6n de momentos es

d2yEI tk = M(x) = Rx - M(x -Ll o s x:S 2L

que al integrarse nos da

dv ~ -EI~ = - -M(x -LY + C1dx 2

Rx? M' 'Ely = ---(x-L? + C1x+ Ci6 2

El uso de la condici6n de frontera y = 0 cuando x = &n08 da C2 = O.La condici6n defrontera dyldx = 0 cuando x = 2L proporciona 10 siguiente:

2RL2 - ML +C1 = 0

y la condicion de frontera y = 0 cuando x = 2L nos da

. 4RL3

_ML2 +2CL=O3 2 I.

(a)

(b)

·l·PROBLEMAS

PROBLEMAS 525

La solucion simultanea de las ecuaciones (a) y (b) resulta:

Respuestay

Las dos incognitas restantes se encuentran usando las ecuaciones de equilibrio y el dia-grama de cuerpo libre mostrado en la figura 8-27b.

'1' 9M .+ I IF = R - VB = - - VB = 0y 16L

I ~ . . 9M+ ~"""MB = -R(2L) + M + MB = - - (2L) + M + MB = 016L

Las reacciones -en B que se obtuvieron a partir de las dos ecuaciones anteriores son

V = + 9M = 9M-1-B 16L 16L y MB = + M = M') Respuesta

8 8b) Hacienda x = L en la ecuacion de la curva elastica:

Rx3. MElY=6+T(x-LJ + C,x+ C2

se obtiene

El = l.( 9M) (L)3 + .L (M)(O)2 + (-. ML) (L) + 0Y 6 16L 2 8

de donde la deflexion a la mitad del claro es

ML2 ML2y = - 32E1 = 32E1-1- Respuesta

Nota: usese el metodo de integration (con funciones de singu-laridad si es necesario) para resolver los problemas siguientes. ..

a. Las reacciones enlosapoyos 4- y B.b. La deflexion a la mitad del claro.

. Problemas Introductorios

. 8-115* Una viga esta apoyada y sujeta a condiciones de carga,como se muestra en la figura P8~115. Determine:

8-116* Cuando se aplica el momento Mala viga mostrada enla figura P8-116, la pendiente en.el extremo izquierdo de la vi-ga es cero. Determine la magnitud del momento M.

Figura P8-11S Figura P8-116

526 CAPlTtJLo 8 CARGAPOR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

8-117 Una viga esta apoyada y sujeta a la condicion de carga quese muestra en la figura P8-117. Determine la magnitud del mo-mento M que se requiere para hacer igual a cero la pendientedel extremo izquierdo de la viga.

• Figura P8-117

8-118 Cuando se aplica el momento Mal extremo izquierdo dela viga en cantiliver mostrada en la figura P8-118, la pendien-te en el extremo izquierdo de la viga es cero. Determine lamagnitud del momento M.

p

~t L --JB

Figura P8-118

8-119* Cuando se aplica la carga Pal extremo derecho de la vi-ga en cantiliver mostrada en la figura P8-119, la deflexion enel extremo derecho de la viga es cero. Determine la magnitudde la carga P.

Figura P8-119

8-120 Una viga esta apoyada y sujeta a la condicion de carga quese muestra en la figura P8-120. Determine las reacciones en losapoyos A y B.

B

~----~-----L------------~

FiguraP8-120


8-121* Una viga esta apoyada y sujeta a carga, como se mues.tra en la figura P8-121. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A y B.b. La deflexion maxima en la viga.

Figura P8-121

8-122* Una viga esta apoyada y sujeta a cargas, como se mues-tra en la figura P8-122. Determine la magnitud de la carga Pque se requiere para hacerque la pendiente de la viga sea ceroen el extremo derecho.

p

Figura P8-122

8-123 Una viga esta apoyada y sujeta a carga, como se muestraen la figura P8-123. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A y B.b. La deflexion maxima en la viga ..

y

w(x) = kx2

IE----------,------L---------~

~ Figura P8..123

.~.\

~

~

8-124 Una viga apoyada y sujeta a la carga quese muestra en lafigura PS-124. Determine las reacciones en los apoyos A y B.

y w(x) = w sen (nxl2L)

w

1<-------- L------ .•

Figura P8-124

; 8-125* Una viga esta apoyada y sometida a una carga, como semuestra en la figura PS-125. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A y B.b. La deflexi6n al centro del claro.

Figura P8-125

8-126* Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, como semuestra en la figura PS-126. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A y B.b. La deflexion al centro del claro.

p

Figura P8-126

8~127 Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, como se mues-tra en la figura PS7127. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A y B.b. La deflexi6n al centro del claro.

p

U2~U2 __ B~

Figur, P8·127

PROBLEMAS 527

8-128 Una viga esta apoyada y sujeta a carga, como se muestraen la figura PS-12S. Determine las reacciones en los apoyos B,CyD.

p

Problemas Dificlles

8-129* Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, como semuestra en la figura PS-129. Deterinine:a. Las reacciones en los apoyos A, B y C.b. El momenta sobre el apoyo central. .c. La deflexi6n a la mitad del claro Be. .

1<----L L--~

Figura P8-129

8-130* Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, como semuestra en la figura P8-130. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A, C YD.b. La deflexi6n a la mitad del claro Ae.

p

Figura P8-130

8-131 Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, como se mues-tra en .la figura P8-131. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A, B Y C.b. El momento flexionante sobre el apoyo central.c. ]1momento flexionante maximo en la viga ..

Figura P8-131

c


8-132 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra.en la figura P8-132. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A, B y C.b. El momento flexionante sobre el apoyo central.

Figura P8-132

8-133* Una viga esta apoyada y sometida a cargas, como semuestra en la figura P8-133. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A, B y D.b. La deflexion en C si E = 30 000 klb/pulg2 e I = 26 pulg".

3000lb 2 000 Ib

Figura P8-133

8-134 Una viga esta apoyada y sometida a cargas; como se rnues-tra en la figura P8-134. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A yD.b. La deflexion en B si E = 200 GPa e I = 350(106) mm",

36kN

A lL". k-:-3 m 3 rn . . 6m.--~

Figura P8-134

Problemas de Computadora

C8-135 Una viga de 30 pies de longitud soporta una carga uni-formemente distribuida y esta simplemente apoyada, como semuestraenla figura C8-135a:. Los disefios modificados de laviga .consi$ten .~Ilreemplazar la viga.individuallarga con unpar de vigas mas cortas (figura C8~135b) 0 afiadir un apoyocentral a la vigalarga (figura C8-135c). Si todas las vigas es-tan construidas de madera (EI = 12000 klb . pie2), calcule y

grafique las curvas de .deflexien para los tres casos (grafique-".... ;".... '

y como una funcion de x para 0:::; x:::; 30 pies). Grafiquelostres casos en la misma grafica (ignore las reacciones horizon-tales en los apoyos.)

y

I 600 lb/pie

D

1<-------30 pies-----~

(a)

600 lb/pie

o'

(b)

D

(c)

Figura C8-135

C8-136 Una viga de 10 m de longitud soporta una carga unifor-memente distribuida y esta apoyada como se muestra en la fi-gura C8-136. Las reacciones horizontales en los apoyos puedenignorarse. Si la Viga esta construida de madera (El = 1 500kN . m2), calcule y grafique:

a. Las curvas de deflexion para la viga (grafique y como unafuncion de x para 0:::; x:::; 10 m) para ubicaciones del apo-yo central de b = 2 IIi, 4 m y 7 111•

b. La distribuciondel momentoflexionante a 10 largo de la vi-ga (grafique M como una funcion,de x para 0 :::;x:s 10m)para ubicaciones delapoyo central de b = 2 m, 4 m y 7 m.

c

Figura C8.;.136

~.7--

.h]""""

1 ~

,ih,,:~h

\ ~,-... ~, r--.,

.8:137 Una carga concentrada P = 3 900 Ib se mueve lentamen-" te a traves de la viga mostrada en la figura C8-137. Pueden ig-

norarse las reacciones horizontales en los apoyos. La viga de 16pies de longitud es una seccion de acero estructural W4 X 13.

<; Calcule y grafique 10siguiente:

Las curvas de deflexion parala viga (grafique y como una·funci6n de x para 0 ::::;x ::::;16 pies) para posiciones de Ja·carga de b = 3 pies, '7 pies y 11 pies.·Ladistribuci6n del momento flexionante a 10 largo de la vi-ga (grafique M como una funci6n de x para 0 ::::;x ::::;16 pies)para posiciones de la carga de b = 3 pies, 7 pies y 11 pies.Los esfuerzos maximos por flexion en la viga como unafunci6n de b para 1 ::::;b ::::;8 pies. l,Que rango de b seria

·aceptable para esta viga?y

~b p= 3900 Ib

c

1f--~-8 pies-~-'-*c----~---,8 pies-~-7I

Figura ,C8-137

8-138 Se usa una seccion de acero estructural WT 178 X 51 de6 m de longitud para la viga en cantiliver mostrada en la figu-

:1, ra C8-13K El patin esta en la parte superior de la viga. Si seafiade un apoyo de rodillo a la viga en B, calcule y grafique:

Las curvas de deflexi6n para la viga (grafique y como unafunci6n de x para 0 ::::;x ::::;6 m) para posiciones del apoyode b ~ 3 rn,4 in y 5 m.La distribucion del momento flexionante a 10largo de la vi-ga (grafique M como unafuncion de x para 0 ::::;x ::::;6 m)para posiciones del apoyocentral de b = 3 m, 4 m y 5 m.Los esfuerzos maximos por flexion a tension y a compre-sion en la viga como una funcion de b (1 ::::;b :5 6 m). l,Querange de b seriaaceptable para esta viga?

f--~~~~~-6 m 7'. ~~~---''--~~

~~~~-b~~~~~... ' Figura C8.~138

'1.39 Se usa una seccion de acero estructural S12 x 35 de 20ipies de longitud para la viga de doble claro mostrada en la fi-gura C8-139. La viga soporta una carga uniformemente distri-

);buida w de 1 800 lb/pie. El apoyo en A se asienta con el tiempo\hasta que ya no ofrece resistencia a la deflexi6n de la viga.

t • • •

PROBLEMAS 529

a. Determine lzmax, Ia magnitud maxima que el apoyo A seasentara.

b. Calcule y grafique las curvas de deflexion para la viga (gra-fique y como una funci6n de x para 0 ::::;x::::; 20 pies) parael apoyo A en su condici6n inicial (a = 0) y cuando se ha

.asentado (a = amax/3 y a = 2ama)3).c. Calcule y grafique la distribuci6n del momento flexionante a

10 largo de la viga (grafique M como una funci6n de x paraQ ::::;x::::; 20 pies), para el apoyo A en su condicion inicial(a = 0) ycuando se ha asentado (a = amaxl3 ya = 2amax/3).

d. Calcule y grafique los esfuerzos maximos por flexion en laviga como una funci6n de a (0 -s a :s amax). l,Que rango dea seria aceptable para esta viga?

y

I w

Figura C8-139

C8-140 . Se usa una seccion de acero estructural S457 X 104 de6 m de longitud para la viga de doble claro de la figura C8-140. La viga soporta una carga uniformemente distribuida wde 100 kN/m. El apoyo en B se asienta con el tiempo hastaque ya no ofrece resistencia a la deflexion de la viga.

a. Determine bm{m la magnitud maxima que el apoyo B seasentara.

b. Calcule y grafique las curvas de deflexion para la viga (gra-fique y como una funci6n de x para 0 ::::;x ::::;6 m), paw elapoyo B en su condici6n inicial (b = 0) y cuando se ha asen-tado (b = bmax/3 y b = 2bmax/3).

c. Calcule y grafique la distribucion del rnomento flexionante a10 largo de la viga (grafique M como una funci6n de x parao ::::;x ::::;6 m) para el apoyo B en su condicion inicial (b =O) y cuando se ha asentado (b = bmaxl3 y b = 2bmax/3).

d. Calcule y grafique los esfuerzos maximos por flexion en laviga como una funci6n de b (0::::;b::::; bmaJ. l,Que rango deb seria aceptable para esta viga?

Figura C8-140


••. EI apoyo central ejerce cualquier fuerza quesea necesaria para evitar que el centro de la vigase asiente.Por 10 tanto, el problemaha sido refor-mulado: "Determine la fuerza hacia arriba en Cque haga que ladeflexi6n en C sea iguala cero."

El metodo de las superposiciones. El concepto (estudiado en la secci6n 8-6)de queuna pendiente 0 deflexion debidas a varias cargas es Ia suma algebraica de las pendientes 0

deflexiones debidas a cada una de las cargas que actuan individualmente, se usa con fre-cuencia para suministrar las ecuaciones de deformaci6n necesarias para complementar lasecuaciones de equilibrio en la soluci6n de problemas de vigas estaticamente indeterminadas.Para proporcionar las ecuaciones necesarias de deformaci6n, se retiran restficciones selec-cionadas y se reemplazan con cargas incognitas (fuerzas y pares); se dibujan los diagramasde deformacion que corresponden alas cargas individuales (tanto conocidas como inc6gni_tas); y se suman las componentes de las deflexiones 0 de las pendientes para producir laconfiguracion conocida. Los siguientes ejemplos ilustran el uso de la superposici6n para es-te proposito. '

Problema de Ejemplo 8-19 Una viga de acero (E = ~O 000, klb/pulg'') de 20pies de longitud esta simplemente apoyadaen los extremos y enel punto medio, como semuestra en la figura 8-28a. Determine las reacciones en los apoyos A, B y C. El segundomomento de area de la seccion transversal con respecto al eje neutro es de 100 pulg",

SOLUCI(}NCon tres reacciones incognitas y solamente dos ecuaciones de equilibrio disponibles, la vi-ga es estaticamente indeterminada. Reemplace el apoyo central con una carga incognitaaplicada. La viga resultante simplemente apoyada es equivalente ados vigas con cargasindividuales, como se muestra en la figura 8-28b. La deflexion resultante en el punto me-dio de la viga es la deflexion YR debida a Re, mas la deflexion Yw debida a la carga uni-forme; es decir,

Y = YR + Yw = 0

La deflexi6n Yw puede obtenerse del caso 7 de la tabla B-19 en el apendice B, y es

Y__ 5wL

4__ 5(400112)[20(12)t = -0.4800 ul

w - 384EI - 384(30)(106)(100) ," p g

, 400lb/pie

C

(a)

400 lb/pie . 400lb/pie '

R,,1i

(b)

Figura 8-28

(a)

8-9 VIGAS ESTATICAMENfE INDETERMINADAS 531

"La deflexion yj, puede obtenerse en terminos de Re del caso 6 de la tabla B-19 en el apen-dice B, yes

_ ReL3 _ Rc[20(12)]3 -'- ' -6

YR - 48El - 48(30)(lO6)(lOO) - 96(10 )RePulg

Cuando estos valores substituyen a las variables de la ecuacion (a},-el resultado es

Y = 96(l0-6)Re - 0.4800 = 0

Re = :t-5 OOOlb = 5 coo n.tLa ecuacion de equilibrio sr, = 0 y la simetria nos dan

Respuesta

RL = RR = ~ [400(20) - 5 000] = +1 5001b = 1 5001bi Respuesta

Con frecuencia, se simplificara la aritmetica en problemas de deflexion de vigas si se sus-tituyen expresiones para las deflexiones en la ecuacion de deflexiones en forma simboli-ca. En este ejemplo, la ecuacion (a) se transforma en

ReL3 _ 5wL4 =048El 384El

R - 5wL'c---8

Rc = 5(400)(20) = 5 000 IbT8 "

Problema de Ejemplo 8-20 Una viga est! apoyada y sujeta a una carga, comose muestra en la figura 8-29a. Determine las reacciones en los apoyos A y B.

,SOLUCION,.Say cuatro reacciones incognitas (un cortante y un memento en cada extreme), y solamen-'~tese dispone de cuatro ecuaciones de equilibrio; por 10 tanto, la viga es estaticamente in-determinada y son necesarias dos ecuaciones de deformacion. La restriccion del extreme>derecho puede reemplazarse con una fuerza y un par incognitas. La viga en cantiliver que:resulta es equivalente a tres vigas con cargas individuales, como se muestra en la figura8~29b.Observese que el cortante y el momento no conocidos del extremo derecho se

. ;1huestran' ambos como valores positivos, de modo que el signa algebraico del resultado sea,,;correcto. A partir de la forma de la viga restringida, Ia pendiente resultante y Ia deflexi6n

resultante en el extremo derecho son ambas iguales a cero. La pendiente y la deflexion en.el extremo de cada una de las tres vigas de reemplazo pueden obtenerse a partir de las ex--"'presiones de la tabla B-19 del apendice B. Entonces, la primera viga con carga P (vease:,el caso 1 de la tabla B-19) tieneuna pendiente constante desde P hasta el extremo de la

'{viga, que es

, Pa2

(J ---'P - , 2El

~ El apoyo empotrado del extremo derecho ejer-ce cualquier fuerza que sea necesaria para evitarque el extremo derecho de la viga se asiente 0 gi-reoPor 10 tanto, el problema ha sido reformulado:"Determine la fuerza y el momento en B que ha-ganque la deflexion y la pendiente de la viga enB sean iguales a cero."

532 CAPITULO 8 CARGAPOR FLEXION:DEFLEXIONES EN VlGAS

p.

A

f----a -----;

p

~--~~-L------~(a)

p

Figura 8-29

+VR~-~bY,

+

(b)

YP

La deflexion Yp en el extremo esta compuesta de dos partes; Yl para una viga de longituda, YYz la deflexion sumada del segmento tangente (linea recta) desde P hasta el extremade la viga. Esta deflexion es

Pa3

yp = Yl + Yz= - 3EI + (L - a)8p" -

Pa3( paZ) Pa3 PazL

= -3EI + (L ~a)- lEI = 6E/- 2EI ;. ........,

-La pendiente y la deflexion "en el extremodela viga debidasal cortante VR (tambienproveniente del caso 1 de la' tabla B-19) son .

. VLz8v= - _R_

2EI Y

Finalmente, la pendiente Y la deflexi6n en el extremo derecho dela viga debidas a MR(vease elcaso 4 de la tabla B-19) son

y

Ya que la pendiente resultante es cero, se obtiene

(J + (J + e = ~ Pc? _ VRL2 + MRL = O·

p V M 2EI. 2EI EI .

. ;'.

;' • .i .•

PROBLEMAS 533

En forma similar, se tiene

+ + _ Pa3 _ Pa2L _ VRL5 + MRL2 _ 0yp Yv YM - 6EI 2EI 3EI 2EI-

La solucion simultanea de estas dos ecuaciones resulta:

y v - -'--Pa2(3L - 2a) Respuesta

R- j}

. Cuando las ecuaciones de equilibrio se aplican a un diagrama de cuerpo libre de la vigacompleta, se encuentra que el cortante y el momento en el extremo izquierdo son .

. M __ Pa(L - a)2L - L2 Respuestay

PROBLEMAS

, Nota: iisese el metodo de las superposiciones para resolver lossiguientes problemas.

8-143 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-143. Determine las reacciones en los apoyosAyB.


8-141* Una viga esta apoyada y sometida a cargas, como semuestra en la figura P8-141. Determine la magnitud del mo-mento M que se requiere para hacer quela deflexion en el ex-tremo izquierdo de la viga sea cera.

a.------.--:-,- L -----~)I

Figura P8-143

Figura P8-141 8-144 Una viga esta apoyada y sujeta a la condicion de carga quese muestraen Ia figuraP8-144. Determine las reacciones en 10sapoyos A 'lB. ' . ,<i142* Una viga esta apoyada y sometida ~ cargas, como se

muestra en la figura P8.142. Determine la magnitud de la car-ga P que se requiere para hacer que la pendiente en el extremoizquierdo de la viga sea cera.

,",.~ .'


534 CAPiTUL08 CARGAPOR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

8-145* Una viga esta apoyada y sometida a una carga,como semuestra en la figura P8-14S. Determine las reacciones en losapoyosA y B.

Figura P8-145

8-146* Una viga esta apoyada y sometida a carga, como semuestra en la figura P8-146. Determine las reacciones en losapoyos A y B.

p

.•..A----- L ----~~Ll2~

Figura P8-146

8-147 Una viga esta apoyada y sometida a una carga, como semuestra en la figura P8-147. Determine las reacciones en losapoyos A, B Y C.

w

Figura P8-147

8-148 Una viga esta apoyada y sometida a una carga, como semuestra en la figura P8-148. Determine las reacciones en losapoyos A y B.

Figura P8-148


8-149* Una viga esta apoyada y sometida a una carga, como semuestra en la figuraP8-149. Cuando se aplica la carga P, la pen-diente en del extremo derecho de la viga es cero. Determine:

a. La magnitud de la cargaP. ;

c

b. Las reacciones en los apoyos A y B.p

~---L )~Ll4JFigura P8-149

8-150* Una vigaesta apoyada y sometida a Ias condiciones decarga que semuestran en la figura P8-150. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A, B y C.b. La deflexion a la mitad del claro AB.

w

If---L L------7/

Figura P8-1S0

8-151 Una viga esta apoyada y sometida a una carga, como semuestra en la figura P8-151. Determine:

. a. Las reacciones en los apoyos A y C.b. La deflexion en el extremo derecho de la carga distribuida.

c

Figura P8-151

8-152 Una viga esta apoyada y sometida a cargas, como se mues-tra en la figura P8-1S2. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A X C.b. La deflexi6n en el extremo derecho de la carga distribuida.

2wL '.

f------2L-----!~.~~ c

Figura P8-1S2

8-153* Una viga esta apoyada y sometida a la aplicacion de car- 'gas que se muestra en la figura P8-153. Determine la magnituddel momento M que se requiere para hacer que:

a. La pendiente en elextremo derecho de la viga sea cero.b. La deflexion en el extremo derecho de la viga sea cero.

p

~-------L------~-

Figura P8-153

8-154* Una viga esta apoyada y sometida alas cargas que semuestran en la figura P8-154. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A y B.,'. b. La deflexion en el centro del claro.

pp

A B

f-- U3 --+-- U3 --+-- U3 ~

Figura P8-154

,,8-155 Dibuje diagramas completos de fuerza cortante y de mo-menta flexionante para la viga mostrada en la figura P8-155.

Q,

f-----L

Figura P8-155

8-156 Dibuje diagramas completes de fuerza cortante y de mo-, menta flexionante para la viga.mostrada enla figuraP8-156.

Figura P8-156 '

PROBLEMAS 535

Problemas Dificiles

8-157* Una viga de acero (E = 29 000 klb/pulg' e 1= 120 pulg")esta apoyada y sometida a carga, como se muestra en la figuraP8-157. Elpuntal BD es una pieza de madera (E= 1 500 klb/pulg')de 6 x 6 pulg que esta arriostrada para evitar el pandeo. Determi-ne la carga soportada par el puntal si este se encuentra libre de-es-fuerzos antes de aplicar la carga distribuida de 530 Ib/pie.

10 pies 10 pies

Figura P8-157

8-158* Dos vigas estan apoyadas y sujetas a una carga, como semuestra en la figura P8-158. Determine las reacciones en los apo-yos A, B yD. Ambas vigas tienen la misma rigidez a la flexion.

p

IE

BIDL~U2 •• ~J

Figura P8-158

8-159 La viga de madera (E = 1 200 klb/pulg'') de 4 pulg de an-choX 6 pulg de peralte mostrada en la figura P8-159 esta empo-trada en el extremo izquierdo y sostenida en el extremo derechocon un tirante quetiene un area transversal de 0.125 pulg', De-

.-~..,,"'J,':.' -. .. ,

. . .':

30 pies

'~."

Placa de apoy

~-----10 pies--------i

FigUra P8-159


termine la tensi6n en el tirante si esta libre de esfuerzos antesde aplicar la carga a la viga de madera y

a. EI tirante esta hecho de acero (E = 30 000 klb/pulg"),b. EI tirante esta hecho de una aleaci6n de aluminio (E = 10 000

klb/pulg') ..

8-160 Una carga uniformerriente distribuida de 7 kN/m esta so-portada por dos vigas de madera (E = 8.5 GPa) de 100 X 100mm, dispuestas como se muestra en la figura P8-160. La vigaAB esta empotrada en el muro y la viga CD esta simplementeapoyada. Antes de aplicar la carga,las vigas estan en contactoen B, pero la reacci6n en B es cero. Despues de aplicar la car-ga distribuida de 7 kN/m, determine:

a. EI esfuerzo maximo por flexi6n en cada viga.b. EI esfuerzo cortante longitudinal maximo en cada viga.

7kN/m

1.5 m-:Figura P8-160

8-161 * Dos vigas de acero (E = 29 000 klb/pulg/) soportan unacarga concentrada de I 600 lb, como se muestra en la figuraP8-161. En la condici6n libre de carga, la viga AB toea perono ejerce ninguna fuerza sobre la viga CD. La viga AB es unasecci6n norteamericana estandar S4 X 9.5 Y la viga CD esuna secci6n S5 X 14.75 (vease el apendice B). Determine:

a. EI esfuerzo maximo por flexion en cada viga.b. El esfuerzo cortante transversal maximo en cada viga.

3 pies

c

D

Figura P8-161

8-162* Una viga esta apoyada y sometida a cargas, como semuestra en la figura P8-l62.

a. Determine las reacciones en los apoyos A y C.b. Dibuje diagramas completos de fuerza cortante y momenta

flexionante para la viga.4P P

AIB JD~ Ll2-+-- Ll2--t:-Ll2 .

Figura P8-162

8-163 Una viga esta apoyada y sometida a una carga, como semuestra en la figura P8-l63. .

a. Determine las reacciones en los apoyos A y. C.b. Dibuje diagramas completos de fuerza cortante y momenta

flexionante para la viga.

c

I~(--L-- --L----li

Figura P8-163

8-164 pna viga esta apoyada y sometida a una carga, como semuestra en la figuraP8-l64.

a. Determine las reacciones en los apoyos A, B Y C.b. Dibuje diagramas completos de fuerza cortante y momenta

flexionante para la viga. . .

r-----L----~*~----L----~Figura P8-164

8-165* Una viga de.madera (E;!; 1 800ldh/pulg2) esta apoyada

y sujeta a cargas, COlD.O se muestra en lafigura P8-165.ta tensionen la varilla BD de 112pulg de diametro es cero antes'de aplicarla carga a la viga. Determine la reaccion en B si:

a. EI tirante BD esta hecho de acero (E = 30 000 klb/puli).

(\.

b. El tirante ED esta hecho de una aleacion de aluminio (E =

10 000klb/pulg2).

rD

16 pies

16pies-4

400 1b/pie . I I6pulg-..l

~4PUlg~

~---12 pies----

Figura P8-165

J166 En la figura P8-166, el tirante de aleacion de aluminio atra-, viesa un orificio de la viga en cantiliver de aleacion de alumi-;, nio, asi como el resorteespiral colocado en el extremo del

tirante. Antes de aplicar carga bay un espacio libre de 2.5 mm

8-9 VIGAS ESTAnCAMENTE INDETERMINADAS 537

entre la parte inferior de la viga y la parte superior del resorte.El area transversal del tirante es de 100 mnr', el segundo mo-mento de area de la seccion transversal de la viga con respec-to al eje neutro es de 40(106) mm", el modulo de elasticidad dela aleacion de aluminio es de 70 GPa y el modulo del resortees de I 000 kN/m. Determine el esfuerzo axial en el tirantecuando M= 9 kN· my w = 90 kN/m ..

1~1.25m

.~mml==u

;.--------1.25 m+-----"--li

Figura P8-166

etodo de energia. Teoremade Castigliano. EI teorema de Castigliano (vease la,cion 8-8) es un suplemento efectivo de las ecuaciones de equilibrio para obtener la solu-n de estructuras estaticamente indetenninadas. Si se conoce la deflexion en algun puntouna estructura (una condici6n de frontera), se aplica la ecuacion 8-7a en este punto y seala con la deflexi6n conocida, La ecuacion resultante contendra una 0 mas fuerzas incog-s. Si la ecuaci6n contiene mas de una incognita, deben escribirse ecuaciones adiciona-

,como las ecuaciones de equilibrio 0 la aplicacion de la ecuacion 8-7b. Sin embargo, hay'rtas restricciones necesarias para asegurar que las ecuaciones son independientes; tam-'n, pueden ser convenientes algunos comentarios relacionados con el procedirniento. EIguiente esbozo puede ser de utilidad. '

'; Para cualquier sistema de cargasy reacciones, pueden escribirse tantas ecuaciones inde~,pendientes de energia (ecuacion 8-7a u 8-7b) como incognitas redundantes (que se defi-nen como incognitas que no son necesarias para conservar el equilibrio de la estructura)

.' .aya.Esta restriccion es equivaiente a la restriccion que requiere una condicion de fron-'tera para cada incognita extra.Si solamente puede escribirse una ecuaci6n independiente de energia y la ecuaci6n demomentos contiene dos incognitas (fuerzas 0 pares, incluyendo cargas ficticias), uria, e las inFognitas. debe expresarse en terminos de la om por medio de una ecuaci6n de.quilibrio. Este caso se ilustra en la solucion altemativa del problema de ejemplo 8-21

')\ he sigue. Si pueden escribirse dos ecuaciones independientes de. energia, estas pue-':;qen contener dos incognitas que pueden obtenerse a partir de una solucion de las dos"'cuaciones de energia, como se ilustra en el problema de ejemplo 8-22 siguiente.Si la carga cambia a 10 largo de la viga, puede escribirse la ecuaci6n de momentosara todo el claro usando la notaci6n de singularidad de Ia seccion 8-5 y, despues de;Uitiplicar por rJM/flPj 0 dM/Mj (tambien con el uso de notacion desingularidades),~ede efectuarse la integracion para todo el claro. Sin embargo, este procedimiento

538 CAPI11JLO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

W

MA

(l AVA

(b)y

w IM(t

V

(c)y

I wMA M

(t !)VA V

(d)Figura 8-30

Las otras componentes de las reacciones (MA Y VA) se obtienen del diagrama de cuerpolibre mostrado en la figura 8-30b Y de las ecuaciones de equilibrio IMA = 0 Y IFy =O. Entoncesse tiene ~

requiere la integracion por partes de expresiones tales como x(x '---L)ldx.Algunas Ve-ces es mas conveniente escribir una ecuacion de momentos algebraica ordinaria paracada intervalo, multiplicar por dM/dPi 0 dM/aMi (diferente para cada intervalo), ei~te!Srar sobre cada intervalo; entonces, se suman 10s resultados de todas las integra_crones.

Problema de Ejemplo 8-21 Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, comose muestra en la figura P8-30a. Usese el teorema de Castigliano para determinar las reac.ciones en los apoyos A y B.

SOLUCIONEl diagrama de cuerpo libre de la figura 8-30b indica que el problema es estaticamente in-determinado, debido a que hay tres componentes de reaccion desconocidas y solamente sedispone de dos ecuaciones independientes de equilibrio.

Si seretirara la parte de la viga a la derecha de la reaccion R y se reeinplazara pOTunafuerza cortante y un momento flexionante equivalentes en la seccion transversal arriba deR, ni R ni la curvaelastica cambiarian en el intervalo 0 s x S L. Entonces, es necesariotratar solamente con la energia de deformacion de la viga en el intervalo 0 sx S L. Conel sistema coordenado colocado como se muestra, la ecuacion de momentos resultante quese obtiene del diagrama de cuerpo libre de la figura 8-30c es

M = Rx _ w (x + £)2 = Rx _ wr _ wLx _ wL2

2 4· 2 4 32

De la ecuacion 8-7a, la deflexion en el apoyo derecho esta dada por

au 1 LL aMYo =aR = E1 0 MaR dx

Ya que la derivada parcial de M con respecto aRes x, la expresion para calcular la defle-xion es '

1 1L ( wr wLx WL2\,Yo = E1 0 Rx - 2- -4- - nlx)dx

=_1_1L(JU?_ wx3.; wL~ _ WL2X)dx

E1 0' . 2 4 32

Cuando se integra y se sustituyen los limites se transforma en

Yo= ~I (~3_~4 _~~4_:~4}Ya que el apoyo no sevence (y = 0 cuando x =0), la expresion anterior puede igualarsea cero y despejar R, 10 que nos da .

·R = + 43wL'= .43wLj64 '~64

Respuesta

+ t IMA ~ MA T w(5L14)(5L18)~;R(L) .'.' ..

=M ,+25wL2

~ 43wL('L)' = '0. A32 . '64 .v :

8-9 VIGAS ESTATICAMENTEINDETERMINIDAS 539

M =- 7wL2

= 7wL2 L

A . 64 64 Respuesta

;- .'

+1'~F = VA + R - w(5L14) = VA + 43wL - 5wL = 0y 64 4

. ': ,de donde

V = + 37wL = 37wLjA 64 64 Respuesta

SOLUCION ALTERNATIVAEsta soluci6n empleara el diagrama de cuerpo libre de la figura 8-30d, a partir de la cualla ecuaci6n de momentos es

Ya que hay dos incognitas en la ecuacion de momentos y solamente puede escribirse unaecuaci6n independiente de energia, se usara la ecuaci6n de equilibrio ~MB = 0 (figurag'-30b) para obtener una relaci6n entre las dos incognitas. Entonces, se tiene

. . . .

MA = 15wL2

- V L32 A

o V - 15wL _ MAA - 32 L

<'ia eliminaci6n de MA de la ecuacion de momentos resulta:

w~:; 2

y entonces

aM--=x-LaVA

De la ecuacion 8-7a, la deflexion del apoyo izquierdo esta dada por

YA = au = _1 fL M aM dxaVA EI 0 aVA

. 1 ·fL [ w~· . 15wL2 ]=_. VA(x-Li--(x-L)+ (x-L) dx=OEI 0 . 2. 32.

v = + 37wL = 37wLjA 64 64 Respuesta

~Las otras componentes dereacci6n (MA y R) pueden obtenerse a partir de las ecuacionesid~e~milibrio. o· .•

t.Pr;.·:.I:····;,·

540 CAPITIJtO 8, CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

p

~--a---~---,--- L -----l

(a)

y

Figura 8-31

Problema de Ejemplo 8,-22 Determine las reacciones en el extremo izquierdode la viga de la figura 8-3Ia.

SOLUCIONEl diagrama de cuerpo libre de la figura 8-31h indica cuatro componentes incognitas delas reacciones y, ya que solamente hay dos ecuaciones independientes de equilibrio, sonnecesarias dos ecuaciones complementarias. Estas se obtienen aplicando 'las ecuaciones8-7a y 8-7b y resolviendo las ecuaciones simultaneas resultantes para obtener Mo y Vo.Con el origen en el apoyo izquierdo, las condiciones de frontera son y = 0 y () == 0 para

.x = O. Ya que la ecuacion de momentos es

M = Mo + Vox - P(x - aYla deflexion en el extremo izquierdo esta dada por la ecuacion 8-7a como

Yo = au = _.L fL M aM dxcWo E1 0 avo

= ~1r[u; + Vox - P(x - a)l] (x) dx

1 [MoX2 Vox3 -: ,(X 2 1 3)]L.= -. -- + -- - P - (x - a) - - (x - a)E1 2 3 . 2 6,' 0

donde el ultimo termino se integro por partes. La substitucion de los limites nos da

E1y = MoL2 + VoL3 _PL (L _ a)2 + P (L _ a)3o 2 3 2 6

La aplicacion de la condicion de frontera Yo == 0 nos da

M. L2 V; L3 PL3 PL2a Pa3_0_+_0 + ' =02 3 3 2 6

Cuando se aplica la ecuacion 8-7b, la rotacion en el extremo izquierdo esta dada por la ex-presion siguiente:

eo = au = ~tM aM dxaMo E1 0 .aMo1 'fL= - (Mo + Vox- P(x - a)l) dx

E1 0

1 [ . V; X2 P ]L= -, M. x + _0 - - - (x - afE1 0 2. 2 0

La sustitucion de los limites nos da .

VaL2 PE1()o= MoL + -- - -(L - ai

22·

.La aplicacion de la condicion de frontera 00 = 0 nos da, . 2 . 2 2 '.

M. L + VoL - PL + PaL _ Pa = 0 (M."o 2 2 2 V)

Se resuelven las ecuaciones (a) y (b) para obtener los siguientes resultados:. 2 3'V; = P - 3Pa + 2Pa Respuesta

o . L2 L3

y

M. =-pfJ + 2Pa2' _ p~3

o '11' L L2 'Respuesn

.:; -,

(a)

'h'~

"h~:r-

fh, :~"''0

,k

'f'\

c

PROBLEMAS 541

PROBLEMAS

Nota: usese el teorema de Castigtiano para resolver los slgulen-tes problemas.

. Problemas Introductorios

·8-167* Una vigaesta apoyada y sometida a la condici6n decarga que se muestra en la figura P8-167. Cuando se aplica elpar Q, la pendiente en el extremo derecho de la viga es cero.Determine la magnitud del par Q.

J;---,-----'- L -'-----~

Figura P8-167

.:,8-168* Una viga esta apoyada y sometida a una carga, como semuestra~n la fignra P8-168. Determine la reacci6n en el apoyo B.

Figura P8-168

,8-169 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-169. Determine las reacciones en los apoyosAyB.

Figura r8-169

.8-170 Una viga esta apoyada y sometida a la condici6n decargaque se muestra en la figura P8-170. Determine las reaccionesen 10s apoyos A y B.

, .

B

IE-:,----.,--- L------.;

Figura P8-170

8-171 * Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, como semuestra en la figura P8-171. Determine las reacciones en losapoyos A y B .

Figura P8-171

8-172 Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, como se mues-tra en la figura P8-172. Determine las reacciones en los apoyosA,ByC.

w

Figura P8-172


8-173* Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, como semuestra en la figura P8-173. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A, B Y D.b. La deflexipn bajo la carga concentrada P.

'" p

. Ie--lIE---L--4---L

Figura ~8-173

8-174* Una viga esta apoyada y sometida ala condici6n decarga que se muestra en la figura P8-174. Determine las reac-

·~dones en los apoyos A y B.

B c:r)M= wL'I 4--~-*-Ll2---1 .

Figura P8-174


8-175 Una viga esta apoyada y sometida a carga, como se mues-tra en la figura P8-17S. Determine las reacciones en los apoyosA yB.

2P P

~L-LL""·Figura P8-17S

8-176 Una viga esta apoyada y sometida a una carga, como semuestra en la figura P8-176. Determine las reacciones en losapoyos A y C.

Af---- L L2L-------J,1Figura P8-176

8·177* Una viga esta apoyada y sujeta a cargas, como se mues-tra en la figura P8-177. Determine las reacciones en los apoyosAyD.

Figura P8-177

8-178 Una viga esta apoyada y sujeta alas cargas que se mues-tran en la figura P8-178. Determine las reacciones en los apo-yosAyK

2wL ..

Figura P8-178

Problemas Dificiles

8-179* La viga mostrada enla figura P8-179 esta simplementeapoyadaen el extremo izquierdo y unida a una columna en elextreme derecho. Cuando se aplica la carga, los extremos de laviga permanecenal mismonivel, pero el extremo derecho gira .

(debido a la carga del claro adyacente) en el sentido de lasma-necillas del reloj hasta que la pendiente de Ill: curva elastica eswL3(24El) hacia abajo a la derecha. Determinela reacci6nenel apoyo A.

Figura PS-179

8-1S0* Dibuje diagramas completos de fuerza cortante y mo-mento f1exionante para la viga mostrada en la figura P8-1S0.

Figura PS-180

8-181 Dibuje diagramas completos de fuerza cortante y momen-to f1exionante para la viga mostrada en la figura P8-181.

Figura P8-181. '-

8-1'82 Dibuje diagramas completes de fuerza cortante y momen-to f1exionante para la viga mostrada en la figura PS-182.

. .. , . ' \

i' .

. .,-" ", . ". :",

I . I .....' IIE---- L ~ L·~

Figura P8-182. , .

,l-,

'""""",~"""~/~

hh

'"""".A

8-10 PROBLEMASDE DISENO 543

8-183* Se usa una seccion norteamericana estandar S6 X 17.25para una viga que esta apoyada y sujeta a carga, como se mues-tra en la figura P8-183. Determine:

8-184Se usa una seccion norteamericana estandar S178 X 30para una viga que esta apoyada y sujeta a cargas, como semuestra en la figura P8-184. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A, B Y C.b. Los esfuerzos cortantes maximos por flexion y transversal

en la viga si W = 500 lb/pie y L = 6 pies.

a. Las reacciones en los apoyos A, B Y C.b. Los esfuerzos cortantes maximos por flexion y transversal

en la viga si W = 10 kN/m y L = 2 m.


8-10 PROBLEMASDE DISENOCuando se estudio el disefio de las vigas, en el capitulo 7, el parametro de control era la re-sistencia a la flexi6n 0 la resistencia al cortante. En este capitulo se introducira un parame-tro adicional, que es la deflexion. Entonces, el disefio de una viga puede basarse en elesfuerzo por flexion, en el esfuerzo cortante, 0 en la deflexion. El procedimiento de disefioes similar al presentado en el capitulo 7. La viga se disefia primero basandose en el esfuer-zo por flexion y luego se revisa con respecto al esfuerzo cortante y la deflexion. Si el es-fuerzo cortante y la deflexion estan dentro de limites admisibles, el disefi~ es adecuado. Siel esfuerzo cortante 0 la deflexion son mayores que el valor admisible, la viga debe redise-fiarse hasta que se satisfagan todos los limites admisibles. Es claro que este es un procedi-miento de prueba y error. Los siguientes ejemplos ilustran los procedimientos para el disefiode las vigas, en los cuales se dan Iimites admisibles para el esfuerzo por flexion, el esfuer-zo cortante y la deflexion .

. Probleina de Ejemplo8-23 Una viga de madera (E= 13 GPa) deabeto Dou-glas desecado al aire, esta sometida a una carga, como se muestra en la figura 8-32. Si elesfuerzo admisible por flexion es de 8 MPa, el esfuerzo cortante admisible es de 0.7 MPay la deflexi6n admisible es de 14 mm, determine la pieza de madera estructural ,estandarmas ligera que se puede usar para la viga.

w=850N/m

Figura 8-32

544 CAPITIJW 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

SOLUCIONEn las figuras 8-33a, bye se muestran los diagramas de carga (cuerpo libre), fuerza Cor-tante y momento flexionante, respectivamente, para la viga de la figura 8-32. Ya que lacarga esta uniformemente distribuida sobre la longitud completa de la viga,

RA = u, = 1. (850)(5) = 2 125 N2

Vrnax = 2 125 N Mrnax = 1. (2 125)(2.5) = 2 656 N . m2

EI modulo de seccion minima que se necesita para satisfacer el valor admisible del es-fuerzo par flexion esta dado par la ecuacion 7-9 como

La pieza de madera estructural estandar mas ligera indicada en la tabla B-16 con S ::::332.0(103

) mnr' es una pieza de madera con dimensiones nominales de 51 X 254 mm. AI-gunas propiedades de esta pieza de madera que seran necesarias posteriormente son

Masa/unidad de longitud = 6.38 kg/mArea = 9.88(103) mrrr' = 9.88(10-3) m2

. 1= 48.3(106) mm" = 48.3(10-6) m"S = 400(103) mrrr' = 400(10-6) m3

W= 850N/m

A tRA = 2 125 N I R8 = 2 125 Nt BI 2.5 m -----"1- 2.5 m ----7,I I II : I W II I· I

V, N + I 2 125 I :>, : I

I I. I :

Io .I'IIIII'II (b)IIIIII

: 2 656

IIIIIII

.tJ

MN'm I, +

o(c)

Figura 8-33

r-t

·".i};~

'I

Ya que la secci6n transversal es rectangular, el esfuerzo cortante maximo es

T . = 1.5 Vrnax = 1.5 2125=, A 9.88(10-3)

= 0.3226(106) N/m2 = 0.3226 MPa < 0.7 MPa

Entonces, se satisface el requerimiento del esfuerzo cortante.Para una viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida, el caso

7 de la tabla B-19 nos da la deflexi6n maxima como

5wL4 5(850)(5)4lYmaxl = 384E1 = 384(13)(109)(48.3)(10-6)

= 11.017(10-3)m = 11.017 nun < 14 nun

Por 10 tanto, se satisface el requerimiento de la deflexion. La pieza de madera estructuralestandar de 51 X 254 mm satisface los requerimientos de esfuerzo por flexion, esfuerzocortante ydeflexi6n; sin embargo, el analisis ignoro hasta ahora el peso de la viga. La vi-ga de madera pesa (6.38)(9.81) = 62.59 N/m. La suma de esta carga uniformemente dis-tribuida a la carga aplicada nos da una carga uniformemente distribuida w = 850 + 62.6 =912.6 N/m. Para esta carga, la fuerza cortante maxima es de 2 282 N Y el momento fle-xionante maximo es de 2 852 N . m. EI m6dulo de seccion necesario para satisfacer el re-querimiento del esfuerzo por flexion es

s = Mmax = 285: = 356.5(10-6) m3 = 356.5(103) mnr' < 400(103) mnr'ITtodo 8 (10 ) .

Entonces, la pieza de madera de 51 X 254 mm satisface el requerimiento del esfuerzo porflexion. EI esfuerzo cortante maximo y la deflexion maxima con el peso de la viga inclui-do son

T . = 1.5 Vrnax = 1.5 2282rnax A 9.88(10-3)

= 0.3465(106) N/m2 = 0.3465 MPa < 0.7 MPa

5wL4 5(9'2.6)(5)4IYrnax I = 384E1 = 384(13)(109)(48.3)(10-6)

~ 11.828(10-3) m = 11.828 nun < 14 nun

Entonces.Ja pieza de madera estructural estandar de 51 X 254 mm satisface todos los re-querimientos con el peso de la viga incluido.

Problema de Ejemplo 8-24 Una viga de acero estructural (E = 29 000 klb/pulg') •esta sujeta a cargas, como se muestra en la figura 8-34. Si el esfuerzo admisible por fle-xiones de 24 000 lb/pulg", el esfuerzo cortante permisible es de 14 000 lb/pulg', Y ladeflexion permisible a la mitad de la distancia entre los apoyos A y B es de 0.5 pulg, de-termine la seccion norteamericana estandar mas ligera (forma de S) que puede usarsepara la viga. •

SOLUCION ~En las figuras 8-35a, bye se muestran diagramas de carga (cuerpo libre), fuerza cortan-te y momento flexionante, respectivamente, para la viga de la figura 8-34. La ecuacion demomentos 2MB = 0 nos da .

+ r 'kMB = RA(l6) - 500(16)(8) - 1 000(6) =0+1'~Fy = 4 375 - 500(16) - 1 000 + RB ~~O

RA = 4 3751bRB = 4 6251b

8-10 PROBLEMAS DE DISENO 545

~ Para una seccion rectangular,eI area es A =bh, el segundomomentode area es I = bh31l2, yel esfuerzo cortante maximo se presenta en el. bh2

eJe neutro, Entonces,Q = (h/4)[b(h/2)] = -8- y

VQ V(bh2/8)el esfuerzo cortante es T = - = ---'.-=-3--'-L-It (bh 112)b

V V= 1.5 bh = 1.5 A'

546 CAPITULO 8 CARGA POI{ FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

Figura 8-34

p= 1 000 Ib

De 109 diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, se obtiene

Vmax = 4 625 lb

Mmax = .~ (4375)(8.75) = 19 1411b· pie

EI modulo de seccion minima requerido para satisfacer el valor admisible del esfuer-zo par flexion esta dado par la ecuacion 7-9 como

~Figura &-35

S= 19141(12) = 9.571 ul 324000 P g

p = 1000Ib

•

tRA =4 375lbI 8.75 pies--~):: (a) ~I

V,lb+ I

o

IIIIIIIII

M lb-pie I, +

II1IIII

19 141~

o(c)

~

h

"hi-,h~

.hh

La viga norteamericana estandar mas ligera (forma de S) enumerada en la tabla B-3 conS 2':: 9.571 pulg' es una seecion S7 X 15.3. Para esta seccion, se tienen los valores sigu-ientes:

S = 10.5 pulg'd = 7.00 pulg

1= 36.7 pulg"talma = 0.252 pulg

El valor promedio del esfuerzo cortante en el alma es

v, . 4625Tpcorn = max = = 2 953 lb/pulg'' < < 14 000 lb/pulg''

Aalm• 6.216(0.252)

Entonces, se satisface el requerimiento de esfuerzo cortante debido a que el esfuerzo cor-tante maximo en el alma de una viga norteamericana estandar es solo ligeramente mayorque elesfuerzo cortante promedio. .

La deflexi6n en la mitad del claro se encuentra usando el metodo de las superposicio-nes Y la tabla B-19. La carga dada es equivalente alas dos cargas, partes 1 Y 2, como semuestra en la figura 8-36b. Para la parte 1, la deflexi6n al centro del claro esta dada co-mo el caso 7 de la tabla B-19. Esto es,

_ 5wL4_ 5(500112)[16(12)t_

Yl - - 384E1 - - 384(29)(106)(36.7) - -0.6927 pulg

Para la parte 2, la deflexi6n al centro del claro esta dada como el caso 5 de la tabla B-19."'"' Esto es,

-

Pb(3L2 --,. 4b2) 1000(72)[3(192f - 4(72f]Y2 = - 48E1 = - 48(29)(106)(36.7) = -0.12664 pulg

La deflexi6n al centro del claro es la suma algebraica de Yl Y Y2 Y es la siguiente:

IYcentcol = 0.6927 + 0.12664 = 0.8193 pulg > 0.5 pulg

Ya que lYcentrol es mayor que Ytodo, debe seleccionarse una nueva secci6n con suficienteI para satisfacer el requerimiento de la deflexion. Entonces, se obtiene

_ 5wL4 + Pb(3L2 - 4b2)IYcentrol - 384E1 48E! .,

"

p= 1000 lb•

~---10 pies ~6 pi"

(a)

1000 lb

500 lb/pie

(b).1cigura 8-36,

8-10 PROBLEMAS DE DISENO 547

1000 lb

I- (2) f


Al resolver la ecuacion par definir I se obtiene

1= __ 5w_L_4_,-- + Pb(3L2 - 4b2)

384ElYcentroi 48ElYcentroi

5(500/12)(192)4 + 1 000(72)[3(192f - 4(72f] = 60.14 pulg"384(29)(106)(0.5) 48(29)(106)(0.5)

La forma S mas ligera en la tabla B-3 con I 2: 60.14 pulg" es una viga S8 X 23 con 1=64.9 pulg" y S = 16.2 pulg ', La viga S8 X 23 satisface los requerimientos para el esfuer-zo por flexion, el esfuerzo cortante y la deflexion.

Considerese ahora el efecto del peso de la viga sobre la deflexion. La viga S8 X 23 pe-sa 23 Ib/pie. La sumadel peso de la viga a la carga distribuida aplicada de 500 Ib/pie dauna carga uniformemente distribuida w = 500 + 23 = 523 Ib/pie, 10 que conduce a valoresmaximos de fuerza cortante y momento flexionante de 4 809 lb y 19 870 lb . pie, respec-tivamente. El valor de I requerido como el resultado de este aumento en la carga es

5wL4 Pb(3L2- 4b2

)I = + --'-.,----~384ElYcentroi 48ElYcentroi

_ 5(523/12)(192)4 + 1 000(7?)[3(I92f - 4(72)2] = 62.49 pulg"- 384(29)(106)(O.5} 48(29)(106)(0.5)

Para la viga S8 X 23, 1= 64.9 pulg" > 62.49 pulg"; por 10 tanto, ·la surna del peso de laviga no cambia la seleccion de hi viga. Una viga S8 X 23 satisface todos los requerimien-tos de esfuerzo por flexion, esfuerzo cortante y deflexion.

1PROBLEMAS

Problemas Introductorios lock del este estructural seleccionado (E = I 200 klb/pulg/) conesfuerzos adrnisibles a la flexion y cortante de I 300 Ib/pulg2 Y80 lb/pulg", respectivamente, La deflexion adrnisible es de 0.2pulg. Seleccione la pieza de madera estructural estandar mas li-gera que puede usarse para construir las vigas.

8-185* Una viga de abeto Douglas desecado al aire (E = I 900klb/pulg/) esta simplemente apoyada y tiene un claro de 16 pies.La viga esta sujeta a una carga unifonnemente distribuida degoo Ib/piesobreroda su longitud, Siel esfuerzo admisible porflexion es de 1 200 lb/pulg'', el esfuerzo cortante admisible esde 90 lb/pulg'' y la deflexion admisible a la mitad del claroes de 1/2 pulg, seleccione la pieza de madera estructural estan-dar mas ligera que puede usarse para soportar la carga.

500lb

8-186* Una viga simplemente apoyada de 3 m esta sujeta a unacarga uniformemente distribuida de 2.6 kN/m sobre toda ~ulongitud. La viga esta hecha de abeto Douglas desecado al ai-re (E = 13 GPa) con un esfuerzo adrnisible a la flexion de 8MPa y un esfuerzo cortante pennisible de 0.7 MPa. La defle-xion maxima en el centro del claro no debe sobrepasar de ;10mm. Seleccione la pieza de madera estructural estandar mas li-gera que puede usarse para la viga. .

Figura P8-187

8-187 En la figura P8-187 se muestra una parte de un anden parapeatones a 10 largo dellado de un puente. Se muestra una de las .vigas en cantilivir que soporta la carga. Las vigas son de Hem- .~.

8-188 Un tubo de acero (E = 200 GPa) estructuralestandar ha desoportar la carga mostrada en la figura P8-J88. El esfuerzo porflexion y la defleton admisiblesson de 150 MPa y de 5 mm,.

,~19.0* Una flecha circular solida hecha de .acero A36 ASTM,,' (E = 200 GPa) es soportada por apoyos separados a 1.5 m, La

~~"\' flecha debe.soportar una carga de 4 kN perpendicular a la fle-~~"., cha; la carga puede colocarse en cualquier punto entre los

__All i.~.·....:/apoyos. El esfuerzo ~~misible por flexion es de 152 ~a, el e~-M!'~;' fuerzo cortante admisible es de I00 MPa y la deflexion admi-..,.J;~~;.;~ible es de 5 mm. Si se disp?ne de flechas c~? diametr?s en~ ~~}:... mcrementos de 5 mm, determine la flecha de diametro mas pe-

~~. quefio que puede usarse para soportar la carga. Ignore el peso~ ~~cde la flecha.~~'1

~,!'t~l~;~'!Ii.'J.j."..; --'- ••.••••• _1mi:'"/~{RESUMEN.~.j.,

!~~n frecuenci~ un disefio de viga no esta completo hasta que se determina la magnitu~ de.~",]adeflexion. La falta de control de las deflexiones de las vigas dentro de limites apropia-i~dos en la construccionde edificios se refleja, frecuentemente,en el -desarrollo de grietas

.y~>t'en'los. muros y tec~os co.n aplanado. ~a defl,exion de una viga depe~de de l~ rigid.ezdel;·'t''1'~,inatenal y de las dimensiones de ·la viga, asi como de las cargas aphcadas y del tipo de-, jl;~:" ":.,. . "0 ". 1apoyos. . . ; ." ..'

. ~." Cuando se aplican cargasa una viga recta y el comportamiento eselastico, eleje cen-...' ...!.:troidal de la vigaes unacurva definida como la curvaelastica. Pararegiones de momen-'~)otlexionanteconstante;'lacurva elastica es unarco de circulo de radio p. En estas;;regiones de la viga, las secciones planas permanecen planas y la deformacion de las fi-

·espectivamente. Seleccione el tubo de acero estandar admisi-le mas ligero que puede usarse para soportar la carga. Ignore

10s efectos de la fuerza cortante.

Figura P8-188

oblemas Intermedius

89 Una viga de acero estructural (E = 29 000klb/pulg2) sim-

plemente apoyada tiene un claro de 24 pies y soporta una carga.:un1forinerhe~te distribuidade 1 200 lb/pie. La viga tiene un es-

fuerzo admisible pOI flexion de 24 klb/pulg', un esfuerzo cor-. tante admisible de 14 klb/pulg2 y una deflexion admisible de:F 1/360 del claro. Seleccione la viga norteamericana estandar (for-

ma de S) mas ligera que puede usarse para soportar la carga.

RESUMEN 549Problemas Dificiles

8-191 * La viga simplemente apoyada mostrada en la figuraP8-191 esta hecha de abeto Douglas desecado al aire (E =

1 900 klb/pulg') con un esfuerzo admisible por flexion de 1 900lb/pulg'', un esfuerzo cortante admisible de 85lb/puli y una de-flexion admisible de 11360 del claro. Seleccione la pieza de ma-dera estructural estandar mas ligera que puede usarse parasoportar las cargas mostradas en la figura.

4 200 Ib 4 200 Ib

1 !~

. Figura P8-191

8-192 La viga simplemente apoyada de acero estructural (E =200 GPa) mostrada en la figura P8-192 tiene un esfuerzo admi-sible por flexion de 165 MPa, un esfuerzo cortante admisiblede 1OOMPa y una deflexion admisible de 1/360 del claro. Se-leccione la viga de patin ancho mas ligera que puede usarse pa-ra soportar las cargas mostradas en lafigura.

70kN 70kN 70kN

1.5 m 1.5 m

. FiguraP8-192.

550 CAPiruLO 8 CARGA POR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

bras (alargamiento y contraccion) es proporcional ala distancia desde la superficie neutra,cuya longitud no se modifica. Entonces, se tiene

e 8 (T Me-=-= E=-=--P L .E El

(8-1)

Por 10 tanto,

1 M-=-p El

(8-2)

que relaciona el radio de curvaturade la superficie neutra de la viga con el momento flexio-nante M, hi rigidez E del material y el segundo momento I del area transversal de la vigacon respecto al eje neutro.

Laecuacion 8-2 para definir la .curvatura de la curva elastica solo es util cuando el mo-mentoflexionante es constante end intervalo considerado de la viga. Para la mayoria delas vigas, el momento flexionante es una funci6n de la posicion a 10 largo de la viga yserequiere una expresion mas general. Del calculo diferencial e integral,la curvatura esta da-da por

1p

= __ d-,,2y_ldx_2~;;::-[1 + (dyldxf]312

Para la mayoria de las vigas, la pendiente d;J/dx es muy pequefia, por 10 que su cuadradopuede ignorarse en comparacion conla unidad. Con esta aproximacion, la ecuaCion,8-2 setransforma en

d2El -.X. = Mi(x)

dx2 (8-3)

que es la.ecuacion diferencial de la curva elastica de una viga, en lacual el momento M esuna funcion de x.

Siempre que el momento flexionante pueda expresarse rapidamentecomo unafuncionintegrable de x, la ecuacion 8-3 puede resolverse para obtener la deflexion y de la curva elas-tica de una viga en cualquier punto s a 10 largo de la viga. Las constantes deintegracion seevahian a partir de las condiciones de frontera aplicables. '

Muchas vigas estan sujetas a cambios abruptosde carga a 10 largo de ellas.Debido a quelas expresiones para calcular el momento flexionante a la izquierda y it laderecha de cual-quier cambio abrupto de carga son diferentes funciones der, es imposible escribir unaecua-cion individual para determinar el momento flexionante, en terminos de funciones algebraicascomunes, que sea valida para toda la longitudde la viga. Esto puede resolverse escribiendoecuaciones individuales de momento flexionante en cada intervalo dela viga. Aunque los in-tervalos esten delimitados por cambios abruptos en la carga, la viga es continua en esas po-sicionesjpor 10 tanto, la pendiente y la deflexion en la union de intervalos adyacentes debencoincidir. Una condicion de coincidencia se define como hi. igualdad de la pendiente 0 dela deflexion, segun se determine en la union de dosintervalos, a partir de las ecuacionesde la curva elastica para ambos intervalos. Una condicionde coincidencia (por ejemplo,parax igual a L13, y d~ la ecuacion izquierda es igual a y de laecuaci6n derecha) puede

. usarsepara determinar una y solamente una constante de .integracion.El metodo de doble integracion para la determinacion dedeflexiones de vigas se hace

tedioso y consume rnucho tiempo cuando se requieren varies intervalos y varios conjuntosde condiciones de coincidencia. Sin embargo, el trabajo que se requiere en la solucion deproblemas de este tipo puede disminuir.sise hace uso de.funciones de singularidad. Las fun-ciones de' singularidad seusan para .escribir una ecuaci6n demomento flexionante que seaplique en todos los intervalos a 10.largo de la viga, eliminando asl la necesidad de condi-ciones de coincidencia, t . . .,,;

PROBLEMAS DE REPASO 551

~Elmetodo de las superposiciones para la determinacion de las deflexiones en las vigas:basa en el hecho de que el efecto resultante de varias cargas que acnian simultaneamen-<~nun miembro es la suma de las contribuciones de cada una de las cargas aplicadas in-vidualmente. Con frecuencia se dispone de los resultados para las cargas separadas de'bajo anterior 0 se determinan con facilidad con metodos previos. Los resultados para va-s cargas comunes se enumeran en tablas en el apendice B.Con frecuencia seusan tecnicas de energia de deformacion para analizar las deflexiones

.vigasy estructuras. Mediante el teoreina de Castigliano, si la energia de deformacion de. estructura linealmente elastica se expresa en terminos del sistema de cargas externas, larivada parcial de la energia de deformacion con respecto a una carga externa concentra-es la deflexion de la estructura en el punto de aplicacion y en la direccion de esa carga.

auap· =YjI

auaM. = OJ

I

(8-7a)

(8-7b)

ise requiere la deflexion en un punto donde no haycarga puntualunica 0 en unadirec-ton que no esta alineada con la carga aplicada, se introduce una carga ficticia en el puntoeseado que acme en la direccion apropiada. La deflexion se obtiene diferenciando prime- .

.0 la energia de deformacion con respecto a la carga ficticia y luego tomando ellimite cuan- ,o la magnitud de la carga ficticia tiende a cero.

Una viga sujeta solamente a cargas transversales, con mas de dos componentes de reac-, Cion, es estaticamente indeterminada debido a que las ecuaciones de equilibrio no son sufi-\;ientespara determinar todas las reacciones.: Las relaciones adicionales necesarias para una

.. ~valuacion de Ias reacciones (u otras fuerzas no conocidas) se obtienen de ecuaciones de de-')(formacion (pendiente 0 deflexion),

~."

.~~!' -~:t 8-193* Durante la fabricacion de un area de madera laminada,-- una delas planehas de abeto Douglas (E = 1 900 klb/puli) de

10 pulg de ancho xI pulg de espesor se dobla hasta tener unradio de 12 pies. Determine el esfuerzomaximo por flexion quese desarrolla en Ia plancha.:'1>,4;

P\~ 8-194* Las tablas de una cimbra para concreto deben doblarsei') hasta obtener.una curvade circulode 5 m de radio. "Que espe-

sor maximo puede usarse si el esfuerzo no debe sobrepasar de15 MPa? EI :thodulo de elasticidad de la madera es 10 GPa .

. .; i;'~.

'. 8-195 La viga !~ncantiliver mostrada en la figura P8-195a se fa-';r ., brica con dos' barras de acero (E = 30 000 klb/puli.) de 1 X 3

pulg, comosernuestraen lafigura P8-195b.Deterinine:

a. El radio de curvatura de la viga.b. La deflexion en el extremo derecho de la viga.c. La deflexion a 3 m del apoyo.

(a) , (b)

figura' P8-195,....

552cAPi'l1JLO 8 CARGAPOR FLEXION: DEFLEXIONES EN VIGAS

8-196 Una viga esta apoyada y sujeta a una carga, como se mues-tra en la figura P8-196. Determine:

a. La ecuacion de la curva elastica, usando 10s ejes designa-dos.

b. La pendiente en el extremo derecho de la viga.c. La deflexion en el extremo derecho de la viga.

y

I

Figura P8-196

8-197* Una viga en cantiliver esta apoyada y sometida a unacarga, como se muestra en la figuraP8-197. Determine Ia de-flexion:

a. En el extremo izquierdo de la carga distribuida ..b. En el extremo libre de la viga.

Figura P8-197

8-198* Una viga en cantiliver se fabrica atomillando juntas dossecciones de canal de acero estructural (E = 200 GPa) e127 X10, como se muestra en la figura P8-198. Determine:

a. La deflexion en el extremo derecho de la viga.b. El esfuerzo maximo por flexion a tension en la viga.

500N

B CIIm-L-lm~ Secciontransversal... ;;"

. Figura P8~198

;8~199 Seleccione la viga mas ligera de acero estructural (E =29 000 klb/pulg'') de patin ancho 0 norteamericana estandar(apendice B) que puede usarse para la viga mostrada en la fi-gura P8-199 si el esfuerzo ma~~opor flexion nq debe sobre-

pasar de 10ldb/pulg2 y si la deflexion maxima no debe so-brepasar de 0.200 pulg cuando L = 8 pies y w = 2 000 lb/pie,

··EI:.... ··,- -.

t: .

t~

~

"~ .~.~~

~.~

~

~

~

t··.:.··'1

:t'.

..:.:.;...• '...... .

·t·.:····.:.·

... ~i'

w

Figura P8-199

8-200 Seleccione laviga mas ligera de acero estructural (E =200 GPa) de patin ancho 0 norteamericana estandar (apendiceB) que puede usarse para la viga mostrada enla figura P8-200,si el esfuerzo maximo por flexion no debe sobrepasar de 75MPay si la deflexion maxima no debe sobrepasar de 8 mm cuandoL =3 m yw = 15kN/m.

ywL

Figura P8-200

8-201 * Una viga de aluminio (E = 10 000 klb/pulg' e I = 48pulg") esta apoyada y sujeta a la coadicion de carga que semuestra en la figura P8-201. Determine:

a. La deflexion en el extremo izquierdo de la viga.b. La deflexion en el centro del claro BD.

22001b

A B

l3pies

Figura :P8-201.:i ; .• ;'"

8-202* La viga AB de acero (E = 200 GPa) dela figura P8-202esta empotrada en 10s extremos A y B y sostenida en el centroporlos puntales CD y CE de madera:(E = 10 GPa) conectadoscon un seguro. El area transversal decadapuntal esde 6 400mm2 y el segundo momentodel area transversal de.la vigacon

respecto al eje neutro es de 25(106) mm", Determine la fuerza

en cada puntal despues de aplicarla carga distribuida de 6kN/m a la viga.

Figura P8-202

8-203 En la figura P8-203, la viga AC esta hecha de laton y lat"" viga BC esta hecha de acero. El segundo momenta del area'\ transversal 'de la viga Be con respecto al eje neutro es el doble

,-,;, del de la viga A C Y el modulo de elasticidad del acero es el do-'ble delmodulo delaton.La reaccion en C es cero antes de apli-

'earlacarga w. Determine:

a. La reaccion en C sobre la viga Be.,. b. Las reacciones en los apoyos A y B.~:,;::!' w

;.-i ".~:.

U2~ L )1 :;

a. Las reacciones en los apoyos A, Bye. .b. La deflexi6n en elextremoderecho de la viga.

wL3"

w

Figura P8-204

8-205* Una viga estaapoyada y sometida alas cargas que semuestran en la figura P8-20S. Determine:

Q

PROBLEMAS DE REPASO 553

a. Las .reacciones en los apoyos A, B y D.b. La deflexion en C si E ~ 30 000 klb/pulg2 e 1= 26 pulg",

3 000 lb 2 000 lb

Figura P8-205

8-206* Una viga esta apoyada y sujeta a cargas, como se mues-tra en la figura P8-206. Determine:

a. Las reacciones en 10s apoyos A y D. .b. La deflexion en B si E = 200 GPa e 1= 350(106) mm".

36kN

13m13ml-6m ,

Figura P8-206

8-207 Una viga esta apoyada y sujeta alas cargas que se mues-tran en la figura P8-207. Determine:

a.b.

2 pies

8-208 Una viga esta appoyada y sujeta a la carga que se mues-tra en.la figura P8-208. Determine:

a. Las reacciones en los apoyos A, B Y C.b. La deflexion a la mitad de la distancia entre los apoyos B

y C.w

,Ie 2L ,I

Figura P8-208

Riley Rm Cap 8 Deflexiones en Vigas Reducido

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