CAPTULO 1

Delta de Dirac

1.1 Impulso unitario

Supongamos que tenemos que empujar un objeto: para ello podemos aplicarle una fuerza durante un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determi- nada energa cintica la fuerza F aplicada nos determina la duracin t para alcanzar dicha energa cintica. Si aumentamos F el tiempo necesario ser menor. En el lmite cuando t ! 0 tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Sera el equivalente fsico a un "martillazo": un golpe instantneo de gran fuerza.

Con frecuencia, sobre los sistemas mecnicos, actan fuerzas externas (o FEM so- bre los circuitos elctricos) de gran magnitud slo durante un lapso muy breve. Por ejemplo:

1. En un ala de aeroplano que se encuentre oscilando, puede caer un rayo,

2. cuando se da un golpe brusco a una masa en un resorte con un martillo,

3. o cuando una bola de baseball (golf o tenis), es puesta a volar golpendola violen- tamente con un bate, un palo de golf o una raqueta.

La funcin,

8> 0, to > 0 y podra servir como modelo matemtico para este tipo de fuerzas. Para valores pequeos de ", " (t to) es, esen- cialmente, una funcin constante de gran magnitud que se encuentra "encendida" slo durante un lapso muy pequeo, alrededor de to. El comportamiento de " (t to) cuando " ! 0 se muestra en la figura 1.1(b). A esta funcin, se le llama IMPULSO UNI- TARIO porque tiene la propiedad de integracin,

Z 1 " (t to) dt = 1 (1.2)0

1.2 Delta de Dirac

En la prctica conviene trabajar con otro tipo de impulso unitario, con una "fun- cin" definida con el lmite,

(t to) = lim " (t to) (1.3)"!0

que se puede caracterizar mediante las dos propiedades siguientes:

CAPTULO 1. DELTA DE DIRAC( 0, t = to

Pg.: 2Prof. Terenzio Soldovieri C. MECANICA CUANTICA - 2011. (t to) =

1, t = toZ 1

(1.4)1 = (t to) dt (1.5)0

A este impulso unitario se le denomina funcin DELTA DE DIRAC.Las propiedades (1.4) y (1.5) dejan claro que la funcin delta de Dirac no es una funcin en el sentido rigurosamente matemtico, puesto que la integral (1.5) (si existe) de una funcin que es nula en cualquier punto excepto en uno de ellos debe anularse.

Como ya hemos visto antes, podemos desarrollar cualquier vector de estado j (x)ien trminos de un conjunto base ortonormal fj n (x)ig mediante,

1.2. DELTA DE DIRAC1j (x)i =

X

n= 1

an j n (x)i (1.6)

A los an se les denominan coeficientes del desarrollo. Aqu se debe cumplir que,Z 1h n j mi =

(x)

(x) dx = nm (1.7)n m 1

que es la condicin de ortonormalidad para los elementos del conjunto base.

Es posible calcular ahora los an. Al multiplicar ambos miembros de (1.6) por h m (x)jresulta,

h m (x) j (x)i =

1X

n= 1

an h m (x) j n (x)i =

1X

n= 1

an nm = am (1.8)que al sustituirla en (1.6) resulta,

j (x)i =

1X

n= 1

h n (x0 ) j (x0 )i j n (x)i (1.9)

que se denominan series generalizadas de Fourier.

Ahora bien, la anterior expresin puede ser escrita como,

j (x)i =

1X

n= 11

j (x0 )i h n (x0 ) j n (x)i

Z 1= X j (x0 )i

(x0 )

(x) dx0n nn= 1 1Z 1 " 1= j (x0 )i X

(x0 )

#

(x)

dx0

n= 1

o,Z 1

n nn= 1

donde,

j (x)i =

j (x0 )i (x x0 ) dx0 (1.10) 1

1 (x x0 ) =

X (x0 )

(x) (1.11)n nn= 1

que no es ms que la funcin delta de Dirac unidimensional y su propiedad ms im- portante es la expresada en (1.10).

CAPTULO 1. DELTA DE DIRACEs posible encontrar otras formas de expresar la funcin delta de Dirac. Considrese el caso de las funciones armnicas,

n (x) =

1 (2l)1=2

xein l (1.12)

Sustituyendo (1.12) en (1.11) resulta,

1 1 x0 1 x (x x0 ) =

X e in l

1=2n= 1 (2l)

(2l)

1=2

ein l1 1 = X2ln= 1

1= 1 X2

(x x0 )

ein l

keik(x x0 ) (1.13)

2l=donde k = n =l y 1

n= 1

2 k puesto que n = 1. Si l ! 1 ( k ! 0) en (1.13) la sumacambia por una integral,

1 Z 1

ik(x

x0 ) (x x0 ) = 2 e 1o,

dk (1.14)1 Z l

2 (x x0 ) = liml!1 l

eik(x x0 )

dk = liml!1

Sen [l (x x0 )] (x x0 )

(1.15)Las ecuaciones (1.14) y (1.15) son dos representaciones mpliamente usadas para la funcin delta de Dirac. En tres dimensiones se escribe,

donde, y,

( !r !r 0 ) = (x x0 ) (y y0 ) (z z0 ) =

( !r ) = 0, !r = !0

Z 1

!1(2 )3

Z 1 ei k ( !r !r 0 )d3 k (1.16) 1

La delta de Dirac es par,

( !r !r 0 ) d3 r = 1 (1.17) 1

( !r !r 0 ) = ( !r 0 !r ) (1.18)