SUMA DE MATRICES Y PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

 

DEFINICIÓN 1.11 Si y son matrices, entonces la suma

A + B se define como la matriz C de orden m x n, A + B = C, donde .

 

La suma de matrices solo esta definida para matrices del mismo orden (tienen el mismo número de filas y de colunas).

 

Ejemplo 20

TEOREMA 1.4 (Propiedades de la suma de matrices)

Sean A, B y C matrices de Rm x n, entonces se verifican las siguientes propiedades:

1. Clausurativa.

 

2. A + B = B + A Conmutativa.

 

3. A + (B + C) = (A + B) + C Asociativa.

 

4. A + 0 = 0 + A = A Modulativa donde O es la matriz nula (todas sus componentes son cero)

 

5. A + (-A) = 0 Invertiva donde - A es la inversa aditiva de A.

 

DEMOSTRACIÓN.

 

2. Sea y , entonces , pero como las matrices son reales se tiene

 

que ya que , se cumple porque la suma de reales

 

cumple la propiedad conmutativa.

 

5. Sea una matriz y definamos la matriz , donde

para ,

 

, luego para , y por tanto

y a la matriz B

 

se le llama la inversa aditiva de A y se denota - A.

 

 

Las demostraciones 1, 3 y 4 se dejan como ejercicio al lector.

 

 

DEFINICIÓN 1.12 (Diferencia de Matrices).

 

Sean A y B matrices de orden m x n, definamos la diferencia .

 

En palabras A menos B es igual a la suma de A mas el inverso aditivo de B.

 

 

DEFINICIÓN 1.13 (Producto de un Escalar por una Matriz).

 

Dada una matriz y un escalar ( un número real) definimos el producto del escalar por

 

la matriz A como .

Ejemplo 21

TEOREMA 1.5 (Propiedades del producto por un escalar)

 

Sean A y B matrices de Rm x n y escalares:

1.

 

2. distributiva del producto por un escalar con respecto a la suma de escalares.

 

3. distributiva del producto por un escalar con respecto a la suma de matrices.

 

4. Asociatividad del producto por un escalar.

 

5. Identidad.

 

 

DEMOSTRACIÓN.

 

1. Sea y .

 

. Como y son números reales, entonces son

números reales para ,

 

y por lo tanto .

 

3. Sean y matrices de Rm x n y .

 

por definición de suma de matrices.

por definición de producto de un escalar por una matriz.

propiedad distributiva del producto en los reales con respecto a la suma de reales.

Definición de suma de matrices.

Definición del producto de un escalar por una matriz.

 

 

Las demostraciones de las propiedades 2, 4 y 5 quedan como ejercicio.

 

DEFINICIÓN 1.14 (Matriz Traspuesta).

 

La traspuesta de una matriz es la matriz , donde y

. Si A es una matriz cuadrada, es decir m = n puede ocurrir que .

Una matriz que cumpla que se llama matriz simétrica.

 

La diagonal principal de una matriz es el conjunto ordenado de los

componentes donde .

Ejemplo 22