Denbora finituan singulartasunak garatzen dituzten zenbait fluxu … · 2015. 11. 9. · Denbora...

Denbora finituan singulartasunak garatzen dituzten zenbait fluxu geometrikoren zenbakizko azterketa

Jakintza-arloa: Matematika

Egilea: FRANCISCO DE LA HOZ MENDEZ Urtea: 2007 Zuzendaria: LUIS VEGA GONZALEZ Unibertsitatea: UPV/EHU ISBN: 978-84-8438-172-3

Hitzaurrea Euskarazko bertsio baten zergatikoaz Azken unean ausartu naiz neure tesiaren bertsio guztiz elebiduna aurkeztera. Horrela, nireenak diren bi hizkuntzetan irakurtzeko aukera eman nahi izan dut. Baina edozer baino lehen, burura datorkidan gogoeta xume bat egin nahiko nuke, irakurleen onespenarekin. Alde batetik, jakin badakit nire erabakia ez dela bere praktikotasunetik ulertu behar; izan ere, zenbatzuek irakurriko dute gaztelaniazko bertsioa? Bakan batzuek. Halarik ere, apustu egingo nuke, galtzeko beldurrik gabe, euskarazko bertsioa inork ere ez duela irekiko, nahiz eta beharbada norbaiten estatistiketan nire izena agertu. Euskaldunok dauzkagun bertuteen artean, gure gaitzen errua beti besteei leporatzea dago. Eta euskararen osasuna kolokan baldin badago, beti beste norbaiten errua izango da. Nire ikuspuntua, aitzitik, guztiz bestelakoa da. Neuk gehien atsegin ditudan hitzak hauexek dira: KONPROMISOA eta BORONDATEA. Konpromisoak premiak non dauden ikusteko gauza bihurtzen gaitu; borondateak etengabeko lan isil eta eskuzabalaren bitartez haiek hobetzera garamatza. Bi hitzok norberari zaizkio aplikagarri; errealitatea barnetik azaltzen dute, ez kanpotik. Eta bi hitzoi esker daukazue, irakurle maiteok, nire tesiaren euskal bertsio osoa. Nerbioiaren itsasadarraren ezkerraldekoa izanik, azken garai honetan hain ospe txarra daukan A hizkuntz ereduan ikasi nuen. Ezkerraldean euskarak daukan presentzia guztiz anekdotikoa da: hizkuntza inkesten arabera, kaleko erabilera maila ehuneko 3koa da; alta, neurri handi batean amaren ahaleginari esker eta, berriro ere, neure borondateari eta konpromisoari esker, 16-17 urterekin elebiduna nintzen. Aditu onari hitz gutxi eta ulermen zorrotzeko irakurleak dakike, dagoeneko, nondik nora joan nahi dudan. Gutxi barru, Euskal Herriko Unibertsitatean jarduteko, nahitaezkoa izango omen da euskararen ezagutza; egoera berdintsua daukagu lanpostu publikoak betetzerakoan. Gizartean gero eta ikasle gehiago, beharbada laster guztiak, 3 urteetatik egon dira euskarazko murgiltze ereduetan. Eta erakunde ofizialetatikako dirua egon badago ia edozer finantzatzeko, “euskara” hitza agertze soilarekin... Zerrenda nahi beste luzeago genezake. Orduan, zergatik emaitzak ez dira desiratutakoak? Euskaldunon aurkako indar malefikoak batu direlako euskara suntsitzeko? Ene uste apalean, euskaldunok, zenbait gogoeta serioren beharrean gaude. EGA edozertarako ezinbesteko baldintza bihurtu ahalko dugu; irakaskuntza sistema bere osotasunean euskaldundu ahalko dugu; Euskarazko bertsio baten zergatikoaz sekulako dirutzak eman ahalko dizkiogu euskarari... Agian honela gustura eta zoriontsu lo egingo dute batzuek; agian kontzientziak lasaitzea lortuko dute; baina... Egin beza batbederak bere hausnarketa...

Euskarazko bertsioaren aferara itzuliz eta aitzinsolasa alferrik ez luzatzearren, irakurleek hutsune asko, zuzen edo hobe daitezkeen gauza ugari, aurkituko dituzte; barka bekizkit, korrika, denboraren kontra, presaka, lasterka, antxintxika aritu bainaiz eta onartu egiten dut. Baina konpromiso eta borondatearekin, zerbait egin daiteke beti eta ez dezagun ahantz maiz hoberena onaren arerioa dela... Matematikazko euskarazko tesiak oso gutxi izan dira; esku batez edo biz zenba litezke. Halaber, zientzi terminologiak ez dauka askotan tradizio sendorik eta gabezia eta kontraesan larriz beteta dago. Edonola ere, edozein hizkuntzak, erabat 21. mendekoa izan dadin, unibertsitate mailakoa izan behar du. Biz, bada, nirea, beste urrats ttipi bat euskarak behar duen heldutasuna eta edozertarakotasuna eskura ditzan. Eta hitzoz haratago joanez, barruan datzan matematikak ediren dezala irakurle txit agurgarrien onespena.

Agur t’erdi

Patxi de la Hoz Méndez Leioan, 2007ko irailaren 7an

Denbora finituan singulartasunakgaratzen dituzten zenbait fluxu

geometrikoren zenbakizko azterketa

Francisco de la Hoz MéndezLeioan, 2007ko irailean

Denbora finituan singulartasunakgaratzen dituzten zenbait fluxu

geometrikoren zenbakizko azterketa

Luis Vega González doktore jaunarenzuzendaritzapean

Francisco de la Hoz Méndez doktoregaiakaurkezten duen

tesia

Matematika SailaEuskal Herriko Unibertsitatea (UPV-EHU)

Denbora finituan singulartasunak garatzen dituzten

zenbait fluxu geometrikoren zenbakizko azterketa

Francisco de la Hoz Méndez

Leioan, 2007ko irailean

Euskal Herriko Unibertsitatean Matematika

Sailean Zientzietan doktore gradua lortze-

ko, Analisian katedraduna den Luis Vega

González doktore jaunaren zuzendaritza-

pean egindako lana.

Aitari eta Amari

On ne voit bien qu’avec le cœur.

L’essentiel est invisible pour les yeux.

Antoine de Saint-Exupéry

Esker onak

Matematikan doktore gradua eskuratzeko txosten hau aurkezteak niretzat beti erraza izan ez den etapa

luze baten amaiera sinbolizatzen du; horregatik, tartetxo honetan, lan hau amaitzeko beren laguntza

eman didaten hainbeste eta hainbeste laguni neure eskerrik beroenak adieraztea ezinbeztekotzat jotzen

dut. Urteotan nire bizitzatik igaro eta beren aztarna nigan utzi dutenak asko izan badira ere, izen-deitura

jakin batzuek, beren garrantzi bereziagatik, hementxe agertzea merezi dutela uste dut.

Hurrengo zerrendak ez dauka asmorik oso-osoa izateko. Edonola ere, baten batek bere izena ez aurkitu

eta bertan egotea merezi duela sentituko balu, oso litekeena da berak ere agertu behar izatea. Argi utzi

nahi dut ahanztura horiek ez ditudala fede txarrez egin.

• Lehenengo eta behin, neure gurasoei, Arsenio eta Mari Carmeni, neure esker ona, bizitza oso ba-tengatik.

• Neure tesi zuzendariari, Luis Vega Gonzálezi, prozesu honetan zehar nireganako neurrigabeko de-dikazio, eroapen eta giza eskuzabaltasuna erakutsi dituelako uneoro.

• Carlos García Cerverari, moralki nire bigarren tesi zuzendaria eta nire ikertzaile prestakuntzarakohainbeste egin duena.

• Eusko Jaurlaritzari, ikertzaileak prestatzeko BFI02.135 bekaren bidez emandako diru laguntzagatik,berau gabe tesi hau burutzeak urte batzuk gehiago beharko zituzkeelako.

• Madrilgo Unibertsitate Autonomoari, bereziki Marco Antonio Fontelos Lópezi eta Enrike ZuazuaIriondori, beti besoak zabalik hartu nautelako eta beraiei esker Odisea cluster -a murrizketarik gabe

erabili ahal izan dudalako; tresna boteretsu hau gabe tesia hilabete asko atzeratuko zatekeen, agian

urteak ere.

• Benetako kultura entziklopediko baten jabe den Jesús de la Cal Aguadori; berak eta biok ordu luzezhainbeste eta hainbeste gai jorratu ditugu eta beti animatu nau lan hau bukatzera.

• Fernando Vadillo Arroyori. Fernandok metodo espektralen mundura sarrarazi ninduen, bere garaianMatlab erabiltzea iradokiz eta ez du inoiz zalantzarik eduki bere laguntza eskaintzeko beharrezkoa

v

Esker onak

izan denetan; halere, erabilitako oinarrizko bibliografiaren zati handi bat haren liburutegitik bertatik

datorrela azpimarratu behar dut.

• Julián Aguirre Estibálezi, txosten honen inguruko bere ohar eta iradokizun baliagarriengatik.

• Javier Duoandikoetxea Zuazori. Bera beti bere laguntza eskaintzeko prest dago, eskuzabaltasu-nez. Bereziki eskertzen dizkiot euskarazko terminologiari buruzko aholkuak, tesi honen euskarazko

bertsiorako oso baliagarriak.

• Héctor Cenicerosi, metodo espektralen inplementazioari buruzko bere kontseiluak oso baliotsuakizan zaizkidalako.

• Azken urte honetan bulegokide izan dudan María Merino Maestreri. María hilabetez izan da nirekinastean zehar ordu gehien eman dituen pertsona eta horregatik eta bere giza kalitate handiagatik,

esker on berezia merezi du.

• Doktoretza aurreko bekadun guzti-guztiei, bereziki Andoni García Alonsori; berau gauza askotaninoiz ezagutu dudan pertsonarik nire antzekoena da.

• José Antonio Sanz Paternain aita jesulagunari, niretzat hainbeste urtez bigarren aita bat izan delakoeta haren mundu ikuskerak nirean hainbesteko eragina izan duelako.

• Joxemari Sarasua Fernández lagun esperantozale handiari, zalantza izpirik gabe bere izenak hemenagertu behar duelako.

• Sophie Ricciri, promes bat beti promes bat delako...

• Beren sustengua erakutsi didaten UPV-EHUko unibertsitate kide guztiei, irakasleei, eskola emandiedan ikasleei, ZAP taldeari... Tesi honen burutzapenaz interesatu diren familiakide, lagun, ezagun,

paseko egaztiei... Hel bekie haiei guztiei nire esker ona.

Etapa berri bati ekiteko duela bost urte hasitako bide luze hau amaitzear nagoelarik, badago nire bur-

muinean etengabe ari den galdera bat: zer gertatuko zatekeen baldin eta...? Orain daukadan informazio

guztiarekin denboran atzerantz egin ahalko banu, nire bizitza aski ezberdina izango litzatekeela supo-

satzen dut, zientzi mailan zein giza mailan. Halarik ere, hausnarketa horiek erabat fruitugabeak dira,

existentzia idealaren eta errealaren arteko konpromiso bat baino ez baita.

Patxi de la Hoz Méndez

Leioan, 2007ko irailaren 7an

vi

Euskarazko bertsio baten zergatikoaz

Azken unean ausartu naiz neure tesiaren bertsio guztiz elebiduna aurkeztera. Horrela, nireenak diren

bi hizkuntzetan irakurtzeko aukera eman nahi izan dut. Baina edozer baino lehen, burura datorkidan

gogoeta xume bat egin nahiko nuke, irakurleen onespenarekin.

Alde batetik, jakin badakit nire erabakia ez dela bere praktikotasunetik ulertu behar; izan ere, zenba-

tzuek irakurriko dute gaztelaniazko bertsioa? Bakan batzuek. Halarik ere, apostu egingo nuke, galtzeko

beldurrik gabe, euskarazko bertsioa inork ere ez duela irekiko, nahiz eta beharbada norbaiten estatisti-

ketan nire izena agertu.

Euskaldunok dauzkagun bertuteen artean, gure gaitzen errua beti besteei leporatzea dago. Eta eus-

kararen osasuna kolokan baldin badago, beti beste norbaiten errua izango da. Nire ikuspuntua, aitzitik,

guztiz bestelakoa da. Neuk gehien atsegin ditudan hitzak hauexek dira: KONPROMISOA eta BORON-

DATEA. Konpromisoak premiak non dauden ikusteko gauza bihurtzen gaitu; borondateak etengabeko

lan isil eta eskuzabalaren bitartez haiek hobetzera garamatza. Bi hitzok norberari zaizkio aplikagarri;

errealitatea barnetik azaltzen dute, ez kanpotik. Eta bi hitzoi esker daukazue, irakurle maiteok, nire

tesiaren euskal bertsio osoa.

Nerbioiaren itsasadarraren ezkerraldekoa izanik, azken garai honetan hain ospe txarra daukan A

hizkuntz ereduan ikasi nuen. Ezkerraldean euskarak daukan presentzia guztiz anekdotikoa da: hizkuntz

inkesten arabera, kaleko erabilera maila ehuneko 3koa da; alta, neurri handi batean amaren ahaleginari

esker eta, berriro ere, neure borondateari eta konpromisoari esker, 16-17 urterekin elebiduna nintzen.

Aditu onari hitz gutxi eta ulermen zorrotzeko irakurleak dakike, dagoeneko, nondik nora joan nahi

dudan. Gutxi barru, Euskal Herriko Unibertsitatean jarduteko, nahitaezkoa izango omen da euskara-

ren ezagutza; egoera berdintsua daukagu lanpostu publikoak betetzerakoan. Gizartean gero eta ikasle

gehiago, beharbada laster guztiak, 3 urteetatik egon dira euskarazko murgiltze ereduetan. Eta erakunde

ofizialetatikako dirua egon badago ia edozer finantzatzeko, “euskara” hitza agertze soilarekin... Zerrenda

nahi beste luzeago genezake. Orduan, zergatik emaitzak ez dira desiratutakoak? Euskaldunon aurkako

indar malefikoak batu direlako euskara suntsitzeko?

Ene uste apalean, euskaldunok, zenbait gogoeta serioren beharrean gaude. EGA edozertarako ezin-

besteko baldintza bihurtu ahalko dugu; irakaskuntza sistema bere osotasunean euskaldundu ahalko dugu;

vii

Euskarazko bertsio baten zergatikoaz

sekulako dirutzak eman ahalko dizkiogu euskarari... Agian honela gustura eta zoriontsu lo egingo dute

batzuek; agian kontzientziak lasaitzea lortuko dute; baina... Egin beza batbederak bere hausnarketa...

Euskarazko bertsioaren aferara itzuliz eta aitzinsolasa alferrik ez luzatzearren, irakurleek hutsune asko,

zuzen edo hobe daitezkeen gauza ugari, aurkituko dituzte; barka bekizkit, korrika, denboraren kontra,

presaka, lasterka, antxintxika aritu bainaiz eta onartu egiten dut. Baina konpromiso eta borondatearekin,

zerbait egin daiteke beti eta ez dezagun ahatz maiz hoberena onaren arerioa dela...

Matematikazko euskarazko tesiak oso gutxi izan dira; esku batez edo biz zenba litezke. Halaber,

zientzi terminologiak ez dauka askotan tradizio sendorik eta gabezia eta kontraesan larriz beteta dago.

Edonola ere, edozein hizkuntzak, erabat 21. mendekoa izan dadin, unibertsitate mailakoa izan behar du.

Biz, bada, nirea, beste urrats ttipi bat euskarak behar duen heldutasuna eta edozertarakotasuna eskura

ditzan. Eta hitzoz haratago joanez, barruan datzan matematikak ediren dezala irakurle txit agurgarrien

onespena.

Agur t’erdi

Patxi de la Hoz Méndez

Leioan, 2007ko irailaren 7an

viii

Aurkibide Orokorra

Esker onak v

Euskarazko bertsio baten zergatikoaz vii

Aurkibide Orokorra ix

Laburpena xiii

Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Txostenaren egitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

1. kapituluaren laburpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

2. kapituluaren laburpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

3. kapituluaren laburpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi

1. Schrödinger-en aplikazioa plano hiperbolikoan 1

1.1. Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. 1. teoremaren frogapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. T, e1 eta e2 bornatuta daude. A3 koefizientearen kalkulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Eranskinak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1. ∧− eragiketaren zenbait propietate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2. Λ transformazioaren lorketa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Schrödinger-en aplikaziorako zenbakizko metodoak 23

2.1. Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Sareari buruzko burutapenak. Zehaztasunaren neurketa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. T-ren integrazioa, diferentzia finituen bidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1. Hastapen datuaren parametrizazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.2. Metodoa muga baldintza finkoekin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.3. Zenbakizko esperimentuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ix

Aurkibide Orokorra

2.3.4. Diferentzia finituak, mutur hurbilduekin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.5. Denboran aurreranzko kasua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.6. X-ren eboluzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4. Tt = T ∧± Tss ekuazioaren proiekzio estereografikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.1. zt = izss ∓ 2iz̄1±|z|2 z2s ekuazioaren soluzio autoantzekoak . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.2. X-ren kurbatura eta bihurdura, z-tik abiatuz. T, e1 eta e2 z-tik abiatuz . . . . . . 57

2.4.3. Proiekzio estereografikoa eta Cornuren kiribilak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5. ut = iuss +N (u, t) ekuazioaren zenbakizko ebazpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.1. Metodo espektraletarako sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5.2. Zenbakizko metodoa, Chebysheven polinomioak erabiliz . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.5.3. Metodoaren hasiaraztea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.4. Zenbakizko metodoa, Chebysheven diferentziazio matrizeekin . . . . . . . . . . . . 72

2.6. zt = izss ∓ 2iz̄1±|z|2 z2s ekuazioaren zenbakizko ebazpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6.1. Hastapen datuaren parametrizazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6.2. Lehenengo muga baldintza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.6.3. Bigarren muga baldintza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.6.4. Hirugarren muga baldintza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6.5. Denboran aurreranzko kasua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.6.6. Metodo ezberdinen arteko erkaketa. Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.7. Schrödinger-en ekuazio kubikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.7.1. Schrödinger-en ekuazio kubikoaren dedukzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.7.2. Eboluzioa, ψ-ren muga balio zehatza ezagutuz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.8. Transformazio konformea eta denboran deskonposaketa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.8.1. Transformazio konformea. Egonkortasun emaitza bat . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.8.2. Denboran deskonposaketa-metodoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.8.3. Metodoaren egiaztapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.8.4. Soluzio konstantearen perturbazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.9. Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.10. Eranskinak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.10.1. Jacobiren polinomioak. Chebysheven polinomioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.10.2. Chebysheven polinomioen propietateak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.10.3. Funtzio baten garapena Chebysheven polinomio seriez . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.10.4. Chebysheven koefizienteen lorketa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.10.5. Deribatuak eta integratuak Chebysheven polinomioak erabiliz . . . . . . . . . . . . 115

2.10.6. Chebysheven matrizeen bidezko deribatua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

x

Aurkibide Orokorra

3. Korteweg-de Vriesen ekuazioaren fluxu geometrikoa 119

3.1. Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.2. u(x)-ren integrazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.3. KdV ekuazioaren fluxu geometrikoaren eboluzioarako zenbakizko metodo bat . . . . . . . 127

3.3.1. k(s, 1) periodizatzen eta θ(s, 1) lortzen.∫

k(s′, t)ds′ integralaren kalkulua . . . . . 130

3.3.2. θ integratzeko zenbakizko metodoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.3.3. Zenbakizko esperimentuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.4.∫

k(s′, t)dt integrala u(0) eta ux(0) hastapen datuen funtzio bezala . . . . . . . . . . . . . 144

3.5. Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Hiztegiñoa 149

Bibliografía 151

xi

Laburpena

Sarreran

Txosten honetan, batez ere, bi fluxu geometriko aztertuko ditugu; bata, kurba abailduena eta bestea

kurba lauena; orabat, beraiekin lotura daukaten zenbait problema ere aztertuko ditugu. Lehenengo

fluxua, binormalaren fluxua deritzana da

Xt = cb, (1)

non c kurbatura baita eta b binormala. Analitikoki, honela ere adieraz daiteke

Xt = Xs ∧+ Xss, (2)

non ∧+ ohiko biderkadura bektoriala baita. Fluxu hau lehenbiziz 1906an agertu zen bortizitate filamentubatekin lotuta [11]. Horrela bada, adibidez, zuzena, zirkulua eta helizea soluzioen adibide esplizituak

dira. Erraza da ikusten T = Xs bektore ukitzailearen luzera konstantea dela uneoro eta horrela, unitate

esferan balioak hartzen dituela suposa dezakegu. (2) ekuazioan deribatuz, T-rako hurrengo ekuazioa

lortzen dugu

Tt = T ∧+ Tss. (3)

Ekuazio hau esferango Schrödinger-en aplikaziotzat (Schrödinger map) ezagutzen da; ferromagnetismo-

rako Landau-Lifshitzen ekuazioaren kasu berezia da [27] eta honela berridatz daiteke

Tt = JDsTs, (4)

non D deribatu kobariantea baita eta J i-z biderketa-eragilea da, esferaren egitura konplexuaz baliatuz.

Horrela idatzita, ekuazioak berehalako orokorketa bat onartzen du eta definizio eremua (adibidez aldagai

gehiago kontsideratuz) eta irudia (beste barietate konplexu batzuk kontsideratuz) alda ditzakegu. Txosten

honetan, bigarren gauzari emango diogu garrantzi handiagoa; zehatzago esanda, heltze-espaziotzat H2

plano hiperbolikoa ere kontsideratuko dugu, T-rako ekuazioa honako hau izanik:

Tt = T ∧− Tss (5)

eta X-rako

Xt = Xs ∧− Xss, (6)

xiii

Laburpena

non ∧− honela definituta baitago

a ∧− b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3,−(a1b2 − a2b1)).

Bigarren fluxu geometrikoa honela definitzen da geometrikoki:

Xt = −ksn− 12k2T, (7)

non k kurbatura baita. Ikus bedi binormalari dagokion gairik ez dela agertzen; beraz, hasierako kurba

laua baldin bada, bere eboluzioa ere izango da. Hori dela eta, notazioa aldatu nahiago dugu eta z ≡ Xzenbaki konplexuaz idatziko dugu kurba.

Godstein eta Petrichek lortu zuten lehenbiziz fluxu hau [21] Euler-en ekuazioen menpeko bortizitate

adabaki (vortex patch) baten eboluzioa kontsideratzeran. KdV ekuazioaren fluxu geometrikotzat ezaguna

da, non KdV siglek Korteweg-de Vries ekuazioa adierazten baitute.

Ikusiko dugunez, lehenbiziko fluxua Schrödinger-en ekuazio kubikoarekin (edo Schrödinger-en ekua-

zio ez lineala, NLS) lotuta dago eta bigarrena KdV eraldatuarekin (mKdV). Horregatik, Godstein eta

Petrichek paralelismo bat iradokitzen dute KdV ekuazioaren dinamika eta bi dimentsioko fluxu eulerta-

rren eta NLS ekuazioa eta hiru dimentsioko fluxu eulertarren artean; bi ekuazioak hurbilketa lokaletatik

sortzen baitira.

Txostenaren egitura

Txostenak hiru kapituluz osatuta dago. Lehenengo bietan, honako ekuazio hau kontsideratuko dugu

Xt = Xs ∧± Xss, (8)

non ∧± honela definituta baitago

a ∧± b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3,±(a1b2 − a2b1)).

± sinboloa erabiliz, bi kasuak batera adieraz ditzakegu, non Xs ∈ S1 eta Xs ∈ H2. Lehenengo kapituluaXt = Xs ∧− Xss ekuazioaren azterketa teorikoaz ari da, hots, Xs ≡ T ∈ H2 dago, non H2 espaziohiperbolikoa baita. Orain arte, ∧+ kasua baino ez da kontsideratu, T ∈ S2 dagoenean. Denbora finituansingulartasun bat garatzen duten soluzio erregular eta denboran itzulgarrien familia parametrobakarraren

existentzia frogatuko dugu, T ∈ S2 kasuan gertatzen diren ezberdintasunak azpimarratuz.Bigarren kapituluan, soluzioen simulazioa bi kasuetan egingo dugu, T ∈ S2 dagoenean eta T ∈ H2 da-

goenean. X eta T-rekin lan egiteaz gain, (8) ekuazioa Schrödinger-en ekuazio ez-linealekin erlazionatzen

diguten hainbat transformazio ere aplikatuko ditugu.

Hirugarren kapituluan,

Xt = −ksn− 12k2T (9)

xiv

Laburpena

aztertuko dugu. Fluxu hau, aurrekoa bezala,

Xt = Un + V b + V T (10)

ekuazioaren kasu berezia da. Kurba laua denez, notazioa aldatuko dugu, z ≡ X erabiliz. z-rako ekuazioahauxe da

zt = −zsss + 32 z̄sz2ss,

|zs|2 = 1, t 6= 0(11)

Lehenengo fluxua bezala, denbora finituan singulartasun bat garatzen duten soluzio erregular eta den-

boran itzulgarrien familia bat dauka. Kapituluan zehar, soluzio horien zenbakizko eboluzioa ikusteko

metodo bat garatuko dugu, hala nola haien zenbait propietate.

Orain, hiru kapituluen sarrera xehatuagoa emango dugu.

1. kapituluaren laburpena

Kontsidera dezagun hurrengo ekuazioa:

Xt = Xs ∧− Xss, (12)

non Xs = T eta T ∈ H2; H2 plano hiperbolikoa da eta honela definituta dago

H2 = {(x1, x2, x3) : x21 + x22 − x23 = −1, x3 > 0}.

Halaber, Minkowskiren metrikaren araberako sasibiderkadura bektoriala den ∧− produktua honela defi-nitzen da

a ∧− b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3,−(a1b2 − a2b1)). (13)

(12) ekuazioaren euklidestar baliokidea, Xs = T ∈ S2 dagoenean, hauxe da

Xt = Xs ∧+ Xss, (14)

non X, kasu hartan, arkuaren luzeraz parametrizatuta baitago, hots, ‖T‖ = ‖Xs‖ = 1. Ekuazio haulehenbiziz Da Riosek lortu zuen 1906an [11] eta Hamak 1960ko hamarkadan berraurkitu zuen [24]; norma-

lean LIA siglekin (localized induction approximation) ezaguna da; likatasunik gabeko jariakin konprimae-

zin batean isolatutako hiru dimentsioko bortizitate-filamentu baten mugimendua hurbiltzeko erabiltzen

da.

LIA ekuazioa lortzeko analisi xehea [6] eta [34] liburuetan aurki daiteke. LIA ekuazioa binormalaren

fluxutzat ere uler daiteke

Xt(s, t) = c(s, t)b(s, t). (15)

Nabaria denez, azken ekuazio hau (14) LIA ekuazioaren baliokidea da, zeren eta Xs∧+Xss = T∧+(cn) =cb.

xv

Laburpena

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

−6

−4

−2

0

2

4

6

1. Irudia: Izkina baten eraketa denbora finituan.

Ohar bedi baita ere T-k berehala

Tt = T ∧− Tss

betetzen duela. Horregatik, behin T lortutakoan, X berreskura dezakegu, puntu baten eboluzioa bai-

no behar ez dugula. Euklidestar kasuko baliokidea, Tt = T ∧+ Tss, ferromagnetismoan agertzen danaturaltasunez (Landau-Lifshitzen ekuazioa [27]).

(12) ekuaziora itzuliz, kapitulu honetan denbora finituan singulartasun bat garatzen duten soluzio au-

toantzeko eta denboran itzulgarrien familia parametrobakar baten existentzia frogatuko dugu, 1. irudian

ikus daitekeenez. Soluzio horien autoantzekotasuna honetan datza: baldin X (12) ekuazioaren soluzioa

bada, orduan λ−1X(λs, λ2t) ere izango da. λ = t−1/2 denean, G(s) = X(s, 1) definituz,

X(s, t) = t1/2X(t−1/2s, 1) =√

tG(s/√

t) (16)

daukagu. Horregatik, interesatzen zaigun familia honela definitzen dugu

Xc0(s, t) =√

tG(s/√

t), (17)

non c0 familiaren parametroa baita eta G′ = T(s, 1) honako sistema honen soluzioa baita:

T

e1

e2

s

=

0 c0 0

c0 0 s20 − s2 0

·

T

e1

e2

, (18)

xvi

Laburpena

T ≡ Xs, e1 eta e2 Frenet-Serreten triedro orokortuaren osagaiak izanik eta hastapen baldintzak

G(0) = 2c0(0, 1, 0),

T(0, 1) = (0, 0, 1),

e1(0, 1) = (1, 0, 0),

e2(0, 1) = (0, 1, 0)

(19)

izanik. c0 = 0 denean,

X0(s, t) = s(0, 0, 1). (20)

Ikusiko dugun bezala, t finkaturik, soluzioak honako forma hau edukitzeagatik karakterizatzen dira:

T

e1

e2

s

=

0 c0√t

0c0√

t0 s2t

0 − s2t 0

·

T

e1

e2

. (21)

Hau guztia kontutan hartuta, hurrengo teorema frogatuko dugu:

1. Teorema. c0 ≥ 0 emanda, (17), (19) eta (20) ekuazioen bidez definitutako Xc0 (12) ekuazioaren C∞

soluzioa da, ∀t > 0.Gainera, A+(c0), A−(c0), B+(c0) eta B−(c0) existitzen dira eta C konstate bat dago, non

(i) |Xc0(s, t)−A+(c0)sχ[0,+∞)(s)−A−(c0)sχ(−∞,0](s)| ≤ C√

t;

(ii) Hurrengo garapen asintotikoak betetzen baitira

G(s) = A±(c0)(

s− 2c20

s

)− 4c0 e1

s2+O(1/s3), s → ±∞;

T(s) = A±(c0)− 2c0 e2s

+O(1/s2), s → ±∞;

(e1 − ie2) = B±(c0)eis2/4e−ic

20 log |s| +O(1/s), s → ±∞;

(iii) A± = (A±1 , A±2 , A

±3 ) eta B

± = (B±1 , B±2 , B

±3 ) bektoreak baitira, non |A±|0 = −1 eta

A+1 = −A−1 , A+2 = −A−2 , A+3 = A−3 = ec202 π,

B+1 = B−1 , B

+2 = B

−2 , B

+3 = −B−3 , A± ◦B± = 0.

Oraingoan X(s, t)-ren itxura hauxe da: infinituan zuzen bat, jatorriaren ingurune batean funtsean hiper-

bola bat eta bien artean tamaina ezberdineko helizeen gainezarpen bat.

Euklidestar baliokidea, T ∈ S2 dagoenean, Gutiérrez, Rivas eta Vegak garatu zuten [23]. Bi kasuenarteko ezberdintasunik azpimagarriena hauxe da: kasu hiperbolikoan, T, e1 eta e2 triedro orokortuaren

norma euklidestarra ez da kontserbatzen (euklidestar kasuan ez bezala, beti unitarioa baita). Honek asko

zailtzen du teoremaren frogapena.

xvii

Laburpena


Kapitulu honetan,

Xt = Xs ∧± Xss (22)

ekuazioaren soluzio autoantzekoen zenbakizko simulazioa burutuko dugu. T = Xs izanik, T-rako ekua-

zioarekin arituko gara, deribatu bat gutxiago agertzen delako

Tt = T ∧± Tss; (23)

± notazioak aldi berean [23] artikuluan garatutako kasu euklidestarra eta 1. kapituluan garatutako kasuhiperbolikoa adierazten ditu. Interesatzen zaizkigun soluzioak honako hau betetzeagatik karakterizatzen

dira

T

e1

e2

s

=

0 c0√t

0

∓ c0√t

0 s2t0 − s2t 0

·

T

e1

e2

. (24)

(23) ekuazioaren hastapen datu bezala, (24) ekuazioaren soluzio bat hartuko dugu, t finko egonez eta

hastapen baldintzat hauexek izanik

T(0, t) = (0, 0, 1)

e1(0, t) = (1, 0, 0)

e2(0, t) = (0, 1, 0).

(25)

Geure emaitzen zehaztasuna neurtzeko, T-tik lortutako kurbaturaren errorea neurtuko dugu; prozedura

hau askoz zorrotzagoa da T-ren errorea zuzenean kalkulatzen badugu baino; gainera emandako t baterako

(24) integratzea aurreztu digu. Behin T lortutakoan, X berehala lortzen da, denboraz aldatzen den

konstante bat izan ezik. Konstante hau finkatzeko

X(0, t) = 2c0√

t(0, 1, 0) (26)

egiten dugu. T-rako ekuazioa denboran itzulgarria da eta horregatik emandako t > 0 batetik abiatu eta

denboran atzerantz joango gara, t = 0 aldiunera heltzeko, singulartasuna erreproduzitzen saiatuz.

Diferentzia finituak

Zuzen errealaren osotasunarekin ezin aritu garenez, s ∈ [−L,L] aukeratu dugu, L aski handia izanik.(23) ekuazioa eta, oro har, Landau-Lifshitz-en ekuazioa, dezente aztertu da zenbakizko ikuspuntu batetik

(ikus esaterako [10], [19], [20], [16]).

Guk denboran Runge-Kutta eta espazioan diferentzia finituak erabiltzen dituen eskema bat kontside-

ratu dugu. Oso garrantzitsua da muga baldintzak ondo adieraztea. Lehenik, T-ren balioak finkatu ditugu

xviii

Laburpena

s = ±L puntuetan. Honek kontserbarazten du sistemaren energia (kurbaturaren karratuaren integrala)zenbait zehaztasun digiturekin.

Soluzio zehatzaren kasuan, s ∈ [−L,L] tarteari dagokion energia infiniturantz doa t = 0 aldiunerahurbildu ahala, singulartasuna eraginez. Gure kasuan, nahiz eta s ∈ [−L,L] tartean energia gutxi gora-behera konstante mantendu, s = 0 puntuaren ingurune batean ere biltzeko joera dauka; horren froga

da s = 0 puntuan oso ondo berreskuratzen dela kurbatura, baita t txikietarako ere, ikuspuntu kualita-

tibo batetik soluzio errealaren portaera zuzentasunez erreproduzituz, hau da, singulartasunaren eraketa

hurbilduz (ikus 53. orrialdearen 2.23. irudia). Orobat, L handiagotzean emaitzen kalitate kuantitatiboa

hobetu egiten da. Gertaera hau benetan azpimagarria da, energiaren bilketaren prozesuaren egonkortasu-

naren zenbakizko nabarmentasuna ematen duelako. Hau analitikoki frogatzea guztiz desiragarria izango

litzateke, hau da, jatorrizko soluzioa nahiko urrun trunkatzen bada, konstante eginez, energia oraindik

jatorrian biltzen dela frogatzea.

Bestaldetik, s handietarako T-ren garapen asintotikoa ere kontsideratu dugu

T(s, 1) = A±(c0)− 2c0 e2s

+O(1/s2), s → ±∞;

(e1(s, 1)− ie2(s, 1)) = B±(c0)eis2/4e±ic20 log |s| +O(1/s), s → ±∞,(27)

T(s, t) = T(s/√

t, 1), e1(s, t) = e1(s/√

t, 1) eta e2(s, t) = e2(s/√

t, 1) direla kontutan hartuz. Garapen

hau muga baldintzatzat erabiliz, ez soilik kualitatiboki, baizik eta kuantitatiboki zuzenak diren emai-

tzak lortzen ditugu. Izan ere, baldintza beronek sistemari energia sartzea ahalbidetzen du eta horrela,

kurbatura zuzena s ∈ [−L, L] guztietarako erreproduzitzen dugu, ez bakarrik s = 0 punturako. Alta,oso t txikietarako, aliasing arazoak ditugu, sare tarteberdina dela eta. Arazo hau sare xeheago baten

bidez konpon daiteke, ia-ia edozein denbora aldiunetaraino helduz, nahiz eta, t oso txikia denean, zenbait

zarata agertu, s jatorritik hurbil dagoenean; adibidez, 45. orrialdeko 2.15. irudian, ∆t = −5 ·10−4 izanik,t = 0.003 aldiuneraino nahiko ongi berreskuratu dugu kurbatura, c(s, 1) = 1 izatetik c(s, 0.003) = 3.6515

izatera pasatuz; horrela, energiaren sistema ia 350z biderkatuz. 54. orrialdeko 2.24. irudian dagokion

X-ren izkinaren eraketa ikusten da.

Edonola ere, |∆t| = O(N−2) bete behar denez, N handiagoetarako egikaritzapen denbora debekuzkobihurtzen da. Arazo hauek eta beste guztiak aurrerago konponduko ditugu metodo espektral bat erabiliz.

Behin denboran aurreranzko kasua kontutan hartuta, interesgarria dateke aurreranzko kasua kontsi-

deratzea, t = 0 aldiunetik abiatuz, hasierako T singularra izanik eta denboran aurrerantz eginez. Kasu

hau aztertu zuen Buttkek bere doktorego tesian [8, 9]. Euklidestar kasuan, printzipioz inplizitua den

metodo bat garatzen du, T-ren modulua, baita energia ere, modu naturalean kontserbatzen dituena eta

baldintzarik gabe egonkorra dena. Halere, praktikan, Buttkeren metodoa ez da batere eraginkorra, den-

borako urrats batetik hurrengora pasatzeko puntu finkoko iterazio garestiak eskatzen baititu; gainera

iterazio horiek konbergi daitezen |∆t| = O(N−2) bete behar da. Hau guztiagatik metodoa ez da bateregomendagarria. Gure metodoan soilik T birnormalizatzen dugu, nahiz eta normalizatu gabeko errorea

xix

Laburpena

mespetxagarria den. Halaber, nahiz eta gure metodoak era naturalean energia ez kontserbatu, praktikan

hau zenbait zehaztasun-digiturekin kontserbatzen da.

Aurreranzko kasuan, luzeegi gelditu ez bagara ere, fraktalen agerketa aipatzen dugu, behin informa-

zioa muturretaraino heldutakoan. Etorkizunean, problema honetara itzultzeko asmoa daukagu, Stern eta

Peskinen aortarako ereduarekin erlazionatuz [38]. Buttkek ez zuen arazo hau kontsideratzen; beharrez-

koak izan ahala, muturretan zeroak gehitzera mugatzen zen.

Orobat, diferentzia finituko metodoak aurreranzko kasuan kritika gogor bat dauka, Buttkek pixka bat

erreparatu baina batere garrantzirik ematen ez diona. Izan ere, kurbaturaren errorea (T-rena ez bezala)

emendatzen da ∆t → 0 egiten dugunean.Bukatzeko, aipa dezagun T-ren garapen asintotikotik eratorritako muga baldintzak ez duela emaitza

onik ematen ∆t > 0 kasurako eta, beraz, aurreranzko kasuan ezin txertatu dugula.

Metodo espektralak eta Schrödinger-en aplikazio proiektatua

Plano konplexuaren gaineko T-ren proiekzio estereografikoa egitean, Schrödinger-en aplikazioa honela

geratzen da

zt = izss ∓ 2iz̄1± |z|2 z2s . (28)

Hasiera batean, (28) ekuazioaren soluzio autoantzekoak aztertu ditugu. c0 txikietarako, gutxi gora-

behera, Cornuren kiribilak dira, kasu euklidestar eta hiperbolikoaren artean ia ezberdintasunik ez egonez;

horregatik batik bat c0 = 0.2 erabili dugu, emaitzak bi kasuetarako baliozko izan daitezen. Cornuren

kiribilak, klotoidetzat ere ezagunak, beren kurbatura arku-luzeraren parametroaren proportzionalak iza-

teagatik karakterizatzen dira [2].

c0 handietarako, soluziek euklidestar kasuan C osoa betetzeko joera daukate; baina kasu hiperbolikoan

endekatu egiten dira, D Poincaréren diskoaren mugaren bi puntutara murriztuz eta haien zenbakizko

lanketa oso zaila bihurtzen da.

(28) ekuazioak metodo inplizitu-esplizutu (IMEX) bat inplementatzea ahalbidetzen du eta horri esker

∆t-ren gaineko murrizketak asko txikiagotzen dira. Hau dela eta, metodo espektral bat inplementa

dezakegu, zehazkiago kokapen metodo bat edo sasiespektrala (PS), z Chebysheven polinomioen bidez

hurbilduz, nodoak Chebysheven nodoen multiploak izanik

z(s, t) ≈N∑

k=0

ak(t)Tk(s/L),

si = L cos(

iπ

N

), i = 0, · · · , N ;

horrela, muturretako aliasing-a nabarmenki txikiagotzen da, bereziki L handiak direnean. Aipa dezagun,

baita ere, N aski handietarako, hurbilketa berdintza bihurtzen dela, errorea makinaren doitasunaren

berdina izanik, ez soilik si puntuetan, s ∈ [−L,L] guztietan baizik.

xx

Laburpena

Metodo berri honen beste abantaila bat hauxe da: muga-baldintzen aldaera asko era naturalean eman

ahal izatea, kanpoko informazioaren beharrik eduki gabe. Horretarako, aski da hurregoa kontutan hartzea

z(−L, t) =N∑

k=0

(−1)kak(t), z(L, t) =N∑

k=0

ak(t),

zs(−L, t) = 1L

N∑

k=0

(−1)k+1k2ak(t), zs(L, t) = 1L

N∑

k=0

k2ak(t).

ak(t) koefizienteekin arituko gara, zeinen eboluzioa kalkulatu behar baita. Batez ere bigarren ordenako

IMEX metodo bat kontsideratu dugu, hiru muga-baldintzarekin; izan ere, metodo espektralak muga-

baldintza ezberdinak naturaltasun osoz inplementatu ahal izatea ahalbidetzen du.

Lehenik C-ren gainera proiektatu dugu diferentzia finituen ataleko (27) muga baldintza; horrela,

diferentzia finituen metodoa eta metodo espektrala aldera ditzakegu.

Aliasing-a txikiagotzen denez gero, L handietarako hain zuzen ere ikusten da metodo espektralaren

gailentasuna. Izan ere, L handietarako, diferentzia finituen metodoa erabilita emaitza baliokideak lortzeko

puntuen kopurua askoz handiagoa izango litzateke. Metodo espektralaren bigarren justifikazioa |∆t|kantitaterako murriztapen zorrotzak ekiditea zen eta hau ere bete egiten da, zenbakizko simulazioek

muga baldintza honekin metodoa baldintzarik gabe egonkorra den nabarmentasuna ematen dutelako.

Darabilgun metodoa bigarren ordenakoa da eta, horregatik, printzipioz oso |∆t| txikiak beharko li-rateke zehaztasun onak lortzeko; halaber, 0 aldiunetik hurbilago diren denboretara heltzeko, frekuentzia

gehiago beharko lirateke. Halere, metodo espektralak denboran adaptakorra den metodo baten inple-

mentazioa ahalbidetzen du; honek txikiagotzen du hasiera batean oso gogorra izango litzatekeen kostu

gehigarriaren arazoa.

Kontsideratutako bigarren muga baldintza gure soluzioen izaera autoantzekotik deduzitzen da, alegia,

z(s, t) = z(s/√

t, 1) izatetik. t-rekiko eta s-rekiko deribatuz, berehala honako ekuazio hau lortzen dugu

zt(s, t) = − s2tzs(s, t); (29)

honen itzulpena bigarren ordenako muga baldintza batean hauxe da

zn+1(L)− zn−1(L)2∆t

= − L2tn

zns (L),

zn+1(−L)− zn−1(−L)2∆t

=L

2tnzns (−L).

Muga baldintza hau aukeratuz emaitza onak lortzen ditugu, bai eta (27) muga baldintza erabiliz s = 0

puntutik hurbil zeuden zarata txikiak ere desagerrarazten ditugu. Alta, (N -ren menpeko ez den) gutxie-

nezko ∆t behar den oztopoa dugu, aurrefinkatutako t bateraino iritsi nahi badugu; gainera, ezegonkor-

tasun arazoak daude s = ±L puntuetan, ∆t → 0 jotzen duenean.Proposaturiko hirugarren muga baldintzak arazo hauek konpontzen ditu. Muga baldintza hau ondokoa

frogatutakoan lortzen dugu

zs(±L, t) ={

1± |z|22

c0√tei

s24t exp

[−i

∫ s0

2(yxs − xys)±1 + x2 + y2 ds

′]

exp[i arctan

(ys(0)xs(0)

)]}

s=±L(30)

xxi

Laburpena

eta beraz, aplikatzeko, honela egiten dugu

zn+1s (±L) = 2{

1± |z|22

c0√tei

s24t exp

[−i

∫ s0

2(yxs − xys)±1 + x2 + y2 ds

′]

exp[i arctan

(ys(0)xs(0)

)]}s=±Lt=tn

−{

1± |z|22

c0√tei

s24t exp

[−i

∫ s0

2(yxs − xys)±1 + x2 + y2 ds

′]

exp[i arctan

(ys(0)xs(0)

)]}s=±L

t=tn−1

. (31)

Muga baldintza hau interesatzen zaizkigun soluzioek 2.8.1. ataleko 2. teoremaren E(t) energia finitu

egitetik eratortzen da, non

E(t) =12

∫|vs(s, t)|2ds∓ 14t

∫ (|v(s, t)|2 − c

20

2

)2ds. (32)

Baldintza honek ez dauka batere ezegonkortasun motarik ∆t → 0 doanean eta berriro ere eskema bal-dintzarik gabe egonkorra den nabarmentasuna dago. Bigarren muga baldintzak bezala, lehenengo muga

baldintzaren zarata txikiak ekiditen ditu; azken finean lehenengo baldintzak z(±L, t) puntuetako baliozehatza gehi perturbazio bat ematen baitigu. Halaber, beste bi muga baldintzek ez bezala, emaitza ezin

hobeak ematen ditu aurreranzko kasuan, ∆t > 0 denean.

Orohar, hiru baldintzek sistemara energia sartzea ahalbidetzen dute, kurbatura handiagoetaraino

helduz. 2.35., 2.38. eta 2.39. irudietan, lortutako emaitzarik hoberenak erakusten dira, c0 = 0.2, L = 10

eta N = 16384 kasurako, ia 20 aldiz handiagoak diren kurbaturetaraino helduz edo, bestela esanda,

energia ia 400ez biderkatuz. Grafika hauek eta 45. orrialdean diferentzia finituen metodoaz egindako

2.15. irudia alderatzea interesgarria da; azken honetan c0 = 0.2, L = 10 eta ∆s = 5 · 10−4 erabili dugu,hots, 40001 puntu erabili ditugu. Nahiz eta emaitzen zehaztasuna txikiagoa izan, egikaritze denbora

metodo espektral adaptakorra erabiltzean baino gutxi gora-behera hamar aldiz handiagoa da.

Azkenik, 110. orrialdeko 2.50. irudian, hirugarren muga baldintzaz lortutako z-ri dagokion X marraztu

dugu, berriro singulartasunaren eraketa erakutsiz.

Denboran aurrenzko kasua

Metodo espektralak t = 0 aldiunetik abiatuz bi etapetan t >> 0 aldiuneraino iristea ahalbidetzen du.

Lehenik, diferentzia finituen kasuan egiten genuen bazala, t = 0 aldiunetik t = ε aldiunera aurreratuko

gara, baldintza-muga finkoak erabiliz, informazioa mugara berehala heltzen ez delako; halere, diferentzia

finituak ez bezala, ez da zaratarik agertzen ∆t oso txikia egiten denean. Etapa hau s ∈ [−L,L] tartebatekin egiten da, non L handia baita. Geroago, emandako denbora aldiune batera aurreratu garenean,

[−L1, L1] ⊂ [−L,L], azpitarte bat hartzen dugu, non zehaztasuna handiagoa izango baita, L1

Laburpena

Chebysheven matrizeak

z-ren Chebysheven koefizienteak erabili beharrean, z-rekin zuzenean jardun dezakegu, Trefethenen filo-

sofiari jarraikiz. Ikusmolde hau Chebysheven diferentziazio matrizeak direlakoetan datza, non

zs(t)(s0)...

zs(t)(sN )

≈ D ·

z(t)(s0)...

z(t)(sN )

(33)

eta N aski handi baterako berdintza zentzu espektral batean berriro lortzen baitugu.

Diferentziazio matrizeen erabilera Matlab bezalako programetara naturaltasunez egokitzen da. Ma-

trizeak dentsoak direnez gero, metodoa N zuhurki handietarako aplikaezina bihurtzen da, oso memoria

handia eskatzen duelako eta FFT eragiketaren ahalmena erabiltzen ez duelako. Alta, guztiz baliagarria

da ebatzi beharreko problemaren lehenengo inpresioa lortzeko.

Schrödinger-en ekuazio kubikoa

(22) eta (28) ekuazioek lotura estua daukate Schrödinger-en ekuazio kubikoarekin (edo Schrödinger-en

ekuazio ez lineala, NLS). Izan ere, Hasimotoren transformazioen bidez

ψ(s, t) = c(s, t) exp(

i

∫ s0

τ(s′, t)ds′)

, (34)

NLS ekuazioa lortzen dugu [25, 9],

iψt + ψss ± 12 [|ψ|2 + A(t)]ψ = 0. (35)

Ekuazio berau Freneten triedroaren orokorketa batez errazago lortuko dugu. A(t) gaia berehala irents

daiteke,Ψ = ψ exp(∓i/2 ∫ t

0A(t′)dt′

)aldagai aldaketaren bidez,

iψt + ψss ± 12 |ψ|2ψ = 0. (36)

+ zeinuari dagokion kasuari focussing deritzo eta orduan Schrödinger-en ekuazio kubikoa NLS+ deno-

tatzen da; kasu hau (22) eta (23) ekuazioen euklidestar kasuari dagokio. (22) eta (23) ekuazioen kasu

hiperbolikoari dagokion − zeinua kontsideratzean, defocussing kasua daukagu eta Schrödinger-en ekuaziokubikoa NLS− denotatzen da.

Schrödinger-en ekuazio kubikoa testuinguru anitzetan agertzen da, hala nola Optika ez Linealaren

zenbait fenomenotan, urango eta plasmango uhin paketeetan...

(35) ekuazioari itzuliz, interesatzen zaigun problemarako honako hau daukagunez

c(s, t) =c02

, τ(s, t) =s

2t, (37)

xxiii

Laburpena

orduan

ψ(s, t) =c0√

teis

2/4t. (38)

A(t) = −c20

taukeratuz gero, (35) ekuazioaren soluzio bat lortuko dugu, ψ(0, s) =

√ic0δ izanik, non δ

Dirac-en delta banaketa baita.

X eta z aldagaietatik ψ aldagaira igarotzean, nolabait nabari bihurtu dugu dagokigun problema, t > 0

guztietarako soluzio esplizitua ezagutzen dugulako.

(35) ekuazioa integratu dugu, muga baldintza zehatzak erabiliz s = ±L puntuetan. Eskema honek ereez dauka ezegonkortasun arazorik ∆t → 0 jotzen duenean. Halaber, ψ(s, t0) hasierako datuaren pertur-bazio txikiak kontsideratu ditugu eta haien tamaina ez dela handiagotzen, baina denboran sakabanatzen

dela ikusi dugu.

Praktikan, halarik ere, ez dago abantailarik z-ren ordez ψ-rekin aritzen bagara; izan ere, antzeko N eta

∆t erabiliz gero, kurbatura handiagoxeetara baino ez baikara iristen; baina ψ-rekin, T berreskuratzeko,

lehenengo eta behin kurbatura eta bihurdura berreskuratu behar ditugu eta bigarrenik Freneten triedro

orokortua integratu; z erabiliz gero, aitzitik, hau berehalakoa da, bakarrik z antiproiektatu behar delako

S2 edo H2-ren gainean.

Transformazio konformea. Egonkortasun emaitza bat

Aztertzen ari garen Schrödinger-en ekuazio kubikoaren (38) emaitzek, nabaria denez,∫|ψ(s, t)|2ds =

∫|ψ(0, s)|2ds

betetzen dute. Hortaz, ikuspuntu honetatik, gure soluzioek energia infinitua daukate. Alta, Banica eta

Vegak [4] frogatu dutenez, zenbait birnormalizazioren pean, soluzioek energia finitua daukate.

Hau ikusteko, kontsidera dezagun

iψt(s, t) + ψss(s, t)− 12[|ψ(s, t)|2 − c

20

t

]ψ(s, t) = 0

eta u(s, t) = ψ(√

2s, 2t) aldagai aldaketa egin dezagun,12gaia irensteko, ondoko hau lortuz

iut(s, t) + uss(s, t)±(|u(s, t)|2 − c

20

2t

)u(s, t) = 0. (39)

Azken adierazpen honi hurrengo transformazio konformea aplikatzen badiogu

u(s, t) = Tv(s, t) =ei

s24t

t1/2v

(s

t,1t

)(40)

eta (s, t) =(

s

t,1t

)puntuan ebaluatzen badugu

vt(s, t) = −ivss(s, t)∓ it

(|v(s, t)|2 − c

20

2

)v(s, t) (41)

xxiv

Laburpena

lortzen dugu. Beraz, u hurrengo ekuazioaren soluzioa da 0 < t < t0 guztietarako

iut(s, t) + uss(s, t)±(|u(s, t)|2 − c

20

2t

)u(s, t) = 0,

u(s, t0) =c0√2t0

eis24 t0 + u1(s),

(42)

baldin eta soilik badin v

vt(s, t) = −ivss(s, t)∓ it

(|v(s, t)|2 − c

20

2

)v(s, t),

v(s, 1/t0) =c02

+ v0,(43)

ekuazioaren soluzioa bada 1/t0 < t < ∞ guztietarako, non v0(s) = T−1u1(s) baita. Ohar bedi, transfor-mazio konformea dela eta, t → 0+ kasua t → +∞ bihurtu dela.

Orain, (43) ekuazioari naturaltasunez lotutako energia bat dago

E(t) =12

∫|vs(s, t)|2ds∓ 14t

∫ (|v(s, t)|2 − c

20

2

)2ds. (44)

Beraz, v (43) ekuazioaren soluzioa bada, hauxe daukagu

∂

∂tE(t)∓ 1

4t2

∫ (|v(s, t)|2 − c

20

2

)2ds = 0. (45)

Azken honek halabehartzen du kasu hiperbolikoari dagokion defocussing egoeran energia ez dela hazten

t → ∞ doanean. (45) ekuazioaren ondorio bezala, Banica eta Vegak hurrengo teorema frogatu dutedefocussing kasurako:

2. Teorema. t0 > 0 eta v0 ∈ H1 guztietarako, (43) hastapen balioen problemaren soluzio bakar batexistzen da, non

v − c02∈ C((1/t0,∞),H1).

Horretaz gain, Banica eta Vegak hau ere frogatzen dute

lim inft→∞

1t

∫ (|v(s, t)|2 − c

20

2

)2ds = 0;

honek halabehartzen du u-k, defocussing kasuan, 0 < t < t0 denean,

lim inft→0

‖t|u(t)|2 − c20‖2 = 0

betetzen duela. Azken adierazpen hau (42) ekuazioarenc0√2t0

eis24 t0 soluzio singularraren egonkortasun

ahuleko emaitza baten moduan uler daiteke.

Azkenik, defocussing kasurako, idatz dezagun (35) ekuazioaren soluzioa den (34) adierazpenari dago-

kion energia c eta τ kantitate geometrikoen funtzio bezala

Ẽ(t) =t2

4√

2

∫ +∞−∞

(c2s(s, t) + c

2(s, t)( s

2t− τ(s, t)

)2 )ds

+1

16√

2

∫ +∞−∞

[tc2(s, t)− c20]2ds; (46)

xxv

Laburpena

berazd

dtẼ(t)− 1

16√

2 t

∫ +∞−∞

[tc2(s, t)− c20]2ds = 0 (47)

eta

lim inft→0

‖t|c|2 − c20‖2 = 0. (48)

Ohar bedi gure soluzioak halakoak direla, non Ẽ(t) = 0 baita t > 0 guztierarako.

Denboran deskonposaketa

v integratzerakoan, oso denbora handietara aurreratu nahi dugu; honen baliokidea ψ integratzean t = 0

aldiunera hurbiltzea zen. (35) ekuazioaren soluzio aztertuei v ≡ kte soluzioak badagozkie ere, problemaerabat nabari bihurtuz, v-ren eboluzioa ikusi nahi dugu, non v(s, 1) hasierako datua berdin konstante bat

gehi perturbazio txiki bat baita. Hau bereziki interesgarria da focussing kasuan, egonkortasun teoremarik

ez dagoelako.

Denboran deskonposaketa (splitting) metodo bat garatu dugu; horretarako, (43) deskonposatu dugu

hurrengo problemetan

vt(s, t) = −ivss(s, t) (49)

eta

vt(s, t) = ∓ it

(|v(s, t)|2 − c

20

2

)v(s, t), (50)

zeinetarako soluzio zehatza ezagutzen baitugu. (49) eta (50) ekuazioen soluzioak konbinatuz, (43) ebazte-

ko baldintzarik gabe egonkorra den metodo bat lortzen da, t oso handietaraino aurreratzea ahalbidetzen

duena, oso kostu konputazional txikiarekin.

Oso erabilia den splitting teknika honako erako problemetara aplikatu ohi da

vt = (A+ B)v,

non A eta B t aldagaiaren menpekoak ez diren eta elkarrekiko trukakorrak ez diren eragileak baitira. Gurekasuan, (50) ekuazioaren eskuineko partean t esplizituki agertuagatik ere, honek ez dauka garrantzirik

metodoa aplikatzerako orduan.

Behin metodoa garatutakoan, esperimentalki ikusi dugu focussing kasuan eboluzioa egonkor manten-

tzen dela hasierako datuaren perturbazio txikien aurrean.


Txostenaren hirugarren kapituluan, hurrengo fluxu geometrikoa aztertuko dugu

Xt = −ksn− 12k2T. (51)

xxvi

Laburpena

Binormalari dagokion gaia agertzen ez denez gero, hastapen datu bezala kurba lau bat hartuz gero,

eboluzio osoan zehar izango da laua; horregatik, notazioa aldatzen dugu, z ≡ X aldagaiarekin jardunez.z-rako ekuazioa hauxe da

zt = −zsss + 32 z̄sz2ss,

|zs|2 = 1, t 6= 0,(52)

s arku parametroa izanik. z(s, t) soluzioa bada, z(−s,−t) ere da eta, beraz, fluxua denboran atzeragarriada. Godstein eta Petrichek [21] lortu zuten lehenbizi fluxu hau, planoan Euler-en ekuazioen menpeko bor-

tizitate adabaki baten eboluzioa kontsideratzerakoan. KdV ekuazioaren fluxu geometrikoaz ere ezagutzen

da, non KdV siglek Korteweg-de Vries ekuazioa adierazten baitute.

Fluxuaren eboluzioa k(s, t) bere kurbaturak determinatzen du, denboran aldatzen den eta hasta-

pen baldintzek finkatzen duten mugimendu zurrun bat izan ezik. Kurbaturak KdV eraldatua (mKdV)

askatzen du

kt + ksss +32k2ks = 0; (53)

ohar bedi azken batugaia deribatu bikaina dela

kt = − ∂∂s

[ksss +

12k3

]; (54)

horregatik,∫ +∞−∞

k(s, t)ds (55)

kantitate kontserbatua da. Halaber

θ(s, t) = θ(−∞, s) +∫ s−∞

k(s′, t)ds′ (56)

definituz, non θ(−∞, s) nahi bezala finka dezakegun balioa baita, (54) ekuazioa

θt(s, t) = −θsss(s, t)− 12(θs)3(s, t) (57)

bihurtzen da. Perelman eta Vegak, [31] artikuluan, hirugarren kapitulu honen oinarri teorikoa ematen

dute. Haien arrazonamenduari jarraikiz, honako forma daukaten KdV eraldatuaren soluzio autoantzekoak

kontsideratu ditugu

k(s, t) =2

(3t)1/3u

(s

(3t)1/3

), t > 0; (58)

honek hurrengo ekuazio diferentzial arrunta azterrarazten digu

uxx − xu + 2u3 = µ, x ∈ R, µ ∈ R, (59)

µ integrazio konstante bat izanik.

Perelman eta Vegak frogatzen dutenez, 0 < |a|+ |µ| < ε0 balioetarako, ε0 aski txikia izanik,

k(x, 0) = aδ + µp.v.1s, a, µ ∈ R (60)

xxvii

Laburpena

betetzen da; beraz, dagokien z-k izkina eta kiribil logaritmiko moduko singulartasunak izango ditu t = 0

aldiunean. µ = 0 kasura mugatu gara eta, hortaz, t = 0 aldiunean izkina baten eraketa erreproduzitzen

saiatuko gara. Halaber, izkina a handiagoetarako ere eratzen den nabarmentasuna ematen dugu.

limx→∞

u(x) → 0 betetzen duten u(x) funtzioek familia parametrobakarra osatzen dutenez, dagokienz(s, t) kurben familia (52) ekuazioaren soluzioen familia parametrobakarra ere dira.

(59) ekuazioaren soluzioek hastapen baldintzen menpekotasun handia daukate; izan ere, u(0) eta

ux(0)-ren aldaketa infinitesimalek eragin dezakete limx→∞

u(x) limitea +∞ izatetik −∞ izatera pasa dadilaedo alderantziz. lim

x→∞u(x) → 0 betetzen duten soluzioak kalkulatuko ditugu erdibiketa metodo baten

bidez.

Behin u(x) lortuta, k(s, 1) lortuko dugu eta, beraz, θ(s, 1); azken hau hartuko dugu (57) ekuaziorako

hasierako datutzat, θ(s, t)-ren zenbakizko eboluzioa kalkulatuz, denboran atzerantz joanez. R zuzen

errealaren osotasuna kontsideratu ezinik, s ∈ [sa, sb] tartera mugatuko gara, non sa > 1.Beraz, (57) ekuazioa honela geratzen da

θt(s, t) = −θsss(s, t)− 12(θs)3(s, t), s ∈ [sa, sb],

θ(sa, t) = θ−,

θ(sb, t) = θ+,

(61)

zenbait θ− eta θ+ baliotarako.

Garatu dugun zenbakizko metodoak sistemaren energia zehaztasun onez kontserbatzen du∫ sb

sa

k2(s′, t)ds′ ≡ kte < ∞, ∀t > 0. (62)

Soluzio zehatzean, aitzitik, kopuru hau hazi egiten da, infinitura joz t → 0+ doanean; gertaera honekhain zuzen ere eragiten du izkina baten erakuntza z(s, t) kurban, s = 0 puntuan. Halere, gure metodoak

emaitza onak eskaintzen ditu ikuspuntu kualitatibo batetik, zeren eta, energia finitua bada ere, bere

osotasunean s = 0 puntuan biltzeko joera baitauka; horretaz aparte, metodoak zehaztasunez ematen du

k(s, t) s = 0 puntuan, are t oso txikietarako eta horregatik, nahi beste hurbil gakizkioke Dirac-en delta

bati, [sa, sb] tartearen luzera soilik handiagotzearekin.

θ(s, t) lortutakoan, berehalakoa da z(s, t) lortzea, zs(s, t) = exp(iθ(s, t)) eginez, mugimendu zurrun

bat izan ezik. Mugimendu hori finkatzeko aski da hauxe kontutan hartzea

z(0, t) = −2(3t)1/3 [iu′(0) + u2(0)] zs(0, t), (63)

non zs(0, t) denboraren menpeko ez den unitate moduluko konstantea baita.

Bukatzeko, hurrengo konjetura betetzen den nabarmentasuna emango dugu∫ ∞−∞

u(x)dx ∈(−π

2,π

2

)(64)

xxviii

Laburpena

edo baliokideki

∫ ∞−∞

k(s′, t)ds′ ∈ (−π, π), ∀t, (65)

Emaitza hau ez da analitikoki frogatua izan.

xxix

1. Kapitulua

Schrödinger-en aplikazioa plano

hiperbolikoan

1.1. Sarrera

Kontsidera dezakgun R2,1 = {(x1, x2, x3) : ds2 = dx21+dx22−dx23}, alegia, Minkowskiren hiru dimentsiokoespazioa eta biz H2 = {(x1, x2, x3) : x21 + x22 − x23 = −1, x3 > 0} unitate esfera R2,1 espazioan; H2 da,hain zuzen ere, bi dimentsioko espazio hiperbolikoa (ikus [13], [14]). a,b ∈ R2,1 edozein bi bektoretarako,haien sasibiderkadura eskalarra, hemendik aitzina ◦ sinboloarekin denotatuko duguna, honela ematen da:

a ◦ b = a1b1 + a2b2 − a3b3.

Hurrengo sasibiderkadura bektoriala ere erabiliko dugu, a∧−b, Minkowskiren metrikaren arabera honeladefinitua:

a ∧− b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3,−(a1b2 − a2b1)) = A(a ∧+ b),

non

A(a1, b1, c1) = (a1, b1,−c1)

eragile autoadjuntu simetrikoa baita eta ∧+ sinboloak R3 espazioan euklidestar metrikarekin ohiko bi-derkadura bektoriala denotatzen baitu. Txosten honetan zehar, ∧± sinboloa ere erabiliko dugu, ∧+ eta∧− kasuak batera kontsideratu nahi ditugun orotan

a ∧± b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3,±(a1b2 − a2b1)).

Halaber, ◦± sinboloa erabiliko dugu, ·, ohiko biderkadura eskalarra, eta ◦, definitu berri dugun sasi-biderkadura eskalarra, batera denotatzeko

a ◦± b = a1b1 + a2b2 ± a3b3.

1

1. Kapitulua. Schrödinger-en aplikazioa plano hiperbolikoan

A erabiliz, a ∈ R2,1 eta, b ∈ R2,1 arteko sasibiderkadura eskalarra honela ere denotatuko dugu

a ◦ b ≡ Aa · b,

non · sinboloak euklidestar biderkadura eskalarra denotatzen baitu, R3 espazioan. Azkenik, | · |0 honeladefinituko dugu

|a|0 = a ◦ a.

1.5.1. eranskinean, ◦ eta ∧− eragiketen zenbait propietate baliagarri erakutsiko ditugu. Orain, kontsideradezagun ekuazio hau

Xt = Xs ∧− Xss. (1.1)

R3 espazioan, euklidestar metrikarekin, (1.1) ekuazioaren baliokidea hauxe da

Xt = Xs ∧+ Xss,

non X arku luzeraz parametrizatuta baitago. Da Riosek [11] lortu zuen lehenbizi ekuazio hau 1906an

eta normalean LIA (localized induction approximation) siglez da ezaguna eta likatasunik gabeko jariakin

konprimaezin batean isolatutako hiru dimentsioko bortizitate-filamentu baten mugimendua hurbiltzeko

erabiltzen da.

(1.1) ekuaziora itzuliz, s-rekiko deribatzen badugu, hauxe lortzen dugu

Tt = T ∧− Tss, (1.2)

plano hiperbolikoango Schrödinger-en aplikazioaz ezagutzen dena. Denboran zehar |T(s, t)|0 konstantemantentzen dela frogatzea berehalakoa da

∂t(|T(s, t)|0) = ∂t(AT ·T) = 2AT ·Tt = 2AT · (T ∧− Tss)= 2AT · A(T ∧+ Tss) = 2T · (T ∧+ Tss) = 0

eta, kasu partikular gisa, baldin T(s, 0) hasierako datua H2 espazioan badago, hots, |T(s, 0)|0 = −1,orduan T(s, t) H2 espazioan egongo da beti, t > 0 guztietarako. Horrela, (1.2) ekuazioak Schrödinger-en

fluxua definitzen du plano hiperbolikoan [13, 14].

R3 espazioko kurba bat daukagunean, Frenet-Serreten ekuazioek determinatzen dute haren forma,

T

n

b

s

=

0 c 0

−c 0 τ0 −τ 0

·

T

n

b

,

halako moldez, non baldin c eta τ ezagunak badira, X berreraiki baitezakegu, t-ren menpekoa den mu-

gimendu zurrun bat izan ezik. Testuinguru berri honetan, Ferret-Serreten ekuazioetarako adierazpen

2

1.1. Sarrera

baliokide bat eman dezakegu, non X ∈ R2,1 eta T = Xs ∈ H2; adierazpen baliokide honek hurrengoforma orokorra baitauka (2.5)

T

e1

e2

s

=

0 α β

α 0 δ

β −δ 0

·

T

e1

e2

, (1.3)

zenbait α, β eta γ-tarako, non T ∧− e1 = e2, T ∧− e2 = −e1, e1 ∧− e2 = −T, |T|0 = −1, |e1|0 = 1 eta|e2|0 = 1. α, β eta γ artean, zerora berdin dezakegu hauetako koefiziente bat orokortasun galerarik gabe;β = 0 kontsideratuko dugu eta, zenbait notazio-abusuz, α = c eta δ = τ denotatuko ditugu, euklidestar

kasuan hurrenez hurren kurbaturaren eta bihurdura direnak.

T

e1

e2

s

=

0 c 0

c 0 τ

0 −τ 0

·

T

e1

e2

; (1.4)

orduan, (1.1) ekuazioa honela geratzen da

Xt = Xs ∧− Xss = T ∧− Ts = T ∧− (ce1) = ce2. (1.5)

Nahiz eta |T|0 = −1, |e1|0 = 1 eta |e2|0 = 1, ez dago aldez aurretiko kontrolik bektore horien euklidestarluzeraren gainean; geure emaitza frogratzerakoan zailtasunik handiena hauxe izango dugula azpimarratu

behar da.

Kapitulu honetan, hastapen balioen hurrengo problema ikertuko dugu. A+,A− ∈ H2 bi bektoreemanda, X(s, t) ∈ R2,1 aurkituko dugu, halakoa non

Xt = Xs ∧− Xss, t > 0, s ∈ R

X(s, 0) = A+sχ[0,+∞)(s) + A−sχ(−∞,0](s),(1.6)

eta χ aldagaiak funtzio karakteristikoa denotatzen baitu. ∧− biderkadura eta, partikularki, Xt = Xs ∧−Xss, aldaezinak dira translazioen pean eta determinante unitarioko Lorentzen transformazioen pean [39]

eta, beraz, orokortasun galerarik gabe hauxe suposa dezakegu

A+ = (A1, A2, A3), A21 + A22 −A23 = −1, A3 > 0,

A− = (−A1,−A2, A3).(1.7)

Are gehiago, A+ eta A− bektoreek nahi den forma ez badaukate, badago Λ Lorentzen transformazio bat

(1.5.2. eranskina), detΛ = 1 izanik, halakoa non Ã+ = ΛA+ eta Ã− = ΛA−, Ã+ = (Ã1, Ã2, Ã3) eta

Ã− = (−Ã1,−Ã2, Ã3) baitira. Orduan, ΛXt = Λ(Xs ∧− Xss) ⇒ (ΛX)t = (ΛX)s ∧− (ΛX)ss eta besteproblema hau ebatzi beharko da

(ΛX)t = (ΛX)s ∧− (ΛX)ss, t > 0, s ∈ R

(ΛX)(s, 0) = Ã+sχ[0,+∞)(s) + Ã−sχ(−∞,0](s),(1.8)

3


bilatzen genuen eran dagoena; orduan ΛX lortuko dugu eta, azkenik, X. Orain, A+ ◦ A− = ΛA+ ◦ΛA− dela gogoratzen badugu, A+ ◦ A− kantitateak hastapen datuen familia parametrizatzen duelaondorioztatzen dugu (1. teoremaren (b) oharra).

Baldin X(s, t) (1.1) ekuazioaren soluzioa bada, orduan −X(s,−t) ere izango da eta (1.1) ekuazioadenboran itzulgarria da. Horregatik, (1.1) ekuazioaren soluzio leunen familia parametrobakar bat lortuko

dugu, denbora finituan izkina itxurako singulartasun bat garatzen dutenak (ikus 1.1. irudia).

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

00.1

0.20.3

0.40.5

0.60.7

−6

−4

−2

0

2

4

6

1.1. Irudia: Denbora finituan izkina baten eraketa.

Ikus bedi ezen, baldin X-k (1.6) ebazten badu, orduan T ∈ H2 dela hurrengo hastapen balioenproblemaren soluzioa

Tt = T ∧− Tss, t > 0, s ∈ R

T(s, 0) = A+χ[0,+∞)(s) + A−χ(−∞,0](s).(1.9)

(1.6) ebazteko, berreskalaketekiko autoantzekoak diren (1.1) ekuazioaren soluzioak kontsideratuko ditugu.

Ohar bedi (1.1) inbariantea dela hurrengo berreskalaketaren pean

λβX(λs, λαt), α− β = 3.

Berreskalaketa honen peko soluzio autoantzeko batek honako hau betetzen du

λβX(λs, λαt) = X(s, t), α− β = 3, ∀α.

Adierazpen hau s-rekiko deribatzen eta | · |0 bi aldeetan aplikatzen badugu

|λβ+1| |Xs(λs, λαt)|0 = |Xs(s, t)|0 = −1 ⇒ β = −1 ⇒ α = 2,

4

1.1. Sarrera

alegia,

λ−1X(λs, λ2t) = X(s, t).

λ = t−1/2 denean, G(s) = X(s, 1) definituz,

X(s, t) = t1/2X(t−1/2s, 1) =√

tG(s/√

t). (1.10)

Beraz, (1.1) erabiliz

Xt(s, t) =1

2√

tG(s/

√t)− s

2tG(s/

√t) = G′(s/

√t) ∧− 1√

tG′′(1/

√t).

η ≡ s/√t definituz,12G(η)− 1

2ηG′(η) = G′(η) ∧− G′′(η). (1.11)

(1.11) diferentziatzen badugu eta soluzioa erregularra dela suposatzen badugu, (1.4) erabiliz eta kalkulu

guztiak t = 1 aldiunean daudela gogoratuz, hauxe lortzen dugu

0 = ηG′′ + 2G′ ∧− G′′′ = ηT′ + 2T ∧− T′′ = cηe1 + 2T ∧− (c′e1 + k2T + cτe2)= cηe1 + 2c′e2 − 2cτe1; (1.12)

beraz, τ = η/2 eta c′ = 0, c = c0 eta (1.4) ekuazioak honako itxura hartzen du

T

e1

e2

s

=

0 c0 0

c0 0 s20 − s2 0

·

T

e1

e2

. (1.13)

Adierazpenok integratuz, T, e1 eta e2 lortzen dugu t = 1 aldiunerako, baina, X(s, t)-ren autoantzekota-

suna dela eta, berehalakoa da haiek t > 0 guztietarako kalkulatzea

(c(s, t), τ(s, t)) =(

c0√t,

s

2t

), t > 0 (1.14)

eta

T(s, t) = T(s/√

t, 1),

e1(s, t) = e1(s/√

t, 1),

e2(s, t) = e2(s/√

t, 1).

(1.15)

Ohar bedi T(s, t)-ren grafoa berbera dela t guztietarako (ikus 1.2. irudia). Behin T lortuta, aldi bat

gehiago integratuz gero, geure problemarako soluzio bat lortzen dugu, t-rekin alda daitekeen mugimendu

zurrun bat izan ezik.

Baina (1.14) kontutan hartuta, τ(0, t) = cs(0, t) = 0 eta ez da zaila ikusten, (1.2) eta (1.4) erabiliz,

Tt(0, t) = 0, e1t(0, t) = 0 eta e2t(0, t) = 0 ere direla. Beraz, T(0, t) = (0, 0, 1) ∈ H2, e1(0, t) = (1, 0, 0)eta e2(0, t) = (0, 1, 0) direla suposa ditzakegu. Orduan, (1.5) eta c(0, t) = c0/

√t erabiliz, hauxe lortzen

dugu

Xt(0, t) = c(0, t)e2(0, t) =c0√

t(0, 1, 0) ⇒ X(0, t) = 2c0

√t(0, 1, 0). (1.16)

5


−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

−0.2

−0.1

0

0.1

0.21

1.005

1.01

1.015

1.02

1.025

1.03

1.035

1.2. Irudia: T(s, t).

Aurreko arrazonamendu osoa kontutan hartuta, defini dezagun

Xc0(s, t) =√

tG(s/√

t), (1.17)

non G′ = T (1.13) ekuazioaren soluzioa baita, honako hastapen baldintzak erabilita

G(0) = 2c0(0, 1, 0),

T(0) = (0, 0, 1),

e1(0) = (1, 0, 0),

e2(0) = (0, 1, 0);

(1.18)

hemen, zenbait notazio-abusuz, T(s) = T(s, 1), e1(s) = e1(s, 1) eta e2(s) = e2(s, 1). Azkenik, c0 = 0

kasurako defini dezagun

X0(s, t) = s(0, 0, 1). (1.19)

Berehala egiaztatzen da Xc0 benetan (1.1) ekuazioaren soluzioa dela. Ekuazio diferentzial arrunten

argudioak erabiliz, (1.4) ekuazioaren G′ soluzio bakarra existitzen da, halakoa non (1.17), (1.18) eta

(1.19) betetzen baitira. Horregatik, (1.11) dela eta, aski da

12G(η)− 1

2G′(η) = (G′ ∧− G′′)(η) = c0e2(η)

betetzen dela ikustea. Adierazpen hau era honetan idatz daiteke

G(η) = ηT(η) + 2c0e1(η).

6

1.1. Sarrera

(1.18) hastapen baldintzengatik,

G(0) = 2c0(0, 0, 1) = 2c0e1(0)

daukagu eta bakarrik frogatu behar da G′ = T aldagairako ekuazioa betetzen dela,

0 = ηT′ + 2c0b′,

eta hau egia da, τ = η/2 baita.

Kapitulu honetan hurrengo teorema frogatuko dugu:

1. Teorema. c0 ≥ 0 emanda, (1.17), (1.18) eta (1.19) ekuazioen bidez definitutako Xc0 (1.1) ekuazioarenC∞-soluzioa da, ∀t > 0.

Gainera, A+(c0), A−(c0), B+(c0), B−(c0) existitzen dira eta badago C konstante bat, halakoak non

(i) |Xc0(s, t)−A+sχ[0,+∞)(s)−A−sχ(−∞,0](s)| ≤ C√

t;

(ii) Hurrengo garapen asintotikoak betetzen baitira

G(s) = A±(c0)(

s− 2c20

s

)− 4c0 e1

s2+O(1/s3), s → ±∞;

T(s) = A±(c0)− 2c0 e2s

+O(1/s2), s → ±∞;

(e1 − ie2) = B±(c0)eis2/4e−ic

20 log |s| +O(1/s), s → ±∞;

(iii) A± = (A±1 , A±2 , A

±3 ) eta B

± = (B±1 , B±2 , B

±3 ) bektoreak halakoak dira, non |A±|0 = −1 eta

A+1 = −A−1 , A+2 = −A−2 , A+3 = A−3 = ec202 π,

B+1 = B−1 , B

+2 = B

−2 , B

+3 = −B−3 , A± ◦B± = 0.

Oharrak

(a) (i) abiapuntutzat hartuta, Xc0 -k denbora finituan singulartasun bat garatzen duela frogatuko dugu;

gainera, T haren deribatuak jauzi bat garatuko du.

(b) Edozein delarik c0, teoremak zenbait A+(c0) = (A1, A2, A3) eta A−(c0) = (−A1,−A2, A3) existi-tzen direla bermatzen du. Gainera, A3 = e

c02 π dela eta, c0 egoki bat aurki dezakegu, non Xc0(s, t)

(1.6) ekuazioaren soluzioa baita, z ardatzaren inguruko litekeen biraketa bat izan ezik.

Ohar bedi ezen, Lorentzen transformazio egoki baten bidez (ikus 1.5.2. eranskina), edozein A+

eta A− bektoretarako soluzio bat aurkitu ahal dugula; hau beste ezberdintasun bat da euklidestar

problemarekiko. [23] artikuluan frogatu zen ezen, gure A±3 koefizientearen baliokidea den A±1 koefi-

zienteak A+1 = A−1 = e

−π2 c20 betetzen zuela. Beraz, A±1 = 0 denean, c0-k infinitua izan behar duela

ondorioztatzen da eta ez dago kasu horretarako soluziorik.

7


Euklidestar kasuan, S2 esferako edozein bi bektoreren arteko angelua inbariantea da matrize orto-

gonalen bidezko transformazioen pean; beraz, baliokidea da angelua zein c0 ematea. R2,1 espazioan,

inbariantea A+ eta A− arteko ◦ biderkadura da eta hau Lorentzen transformazioek kontserbatzendute; kantitate honek c0 determinatzen du eta, beraz, soluzioen familia parametrizatzen du

A+ ◦A− = 1−A23 = 1− eπc20 .

Ohar bedi a ◦b ≤ 1 dela, edozein direlarik a,b ∈ H2. Beraz, badago beti c0 > 0 bakar bat, aurrekoberdintza betetzen duena.

(c) Gure kasu partikularrean, (iii) puntuaren berehalako ondorio bezala, baldin θ aldagaiak A+ eta

A− arteko euklidestar angelua denotatzen badu, orduan

cos θ =1

2A23 − 1=

12ec20π − 1 ;

beraz, s → ±∞ joatean Xc0(s, t) asintotikoki hurbiltzen den bi lerro zuzenen arteko angelua π − θda. Hortaz, angeluak θ = 0 eta θ = π/2 bitarteko balioak hartzen ditu; θ = 0 balio du, c0 = 0 eta

A+ = A− = (0, 0, 1) direnean, eta θ = π/2 balio du c0-k infinitura jotzen duenean, egoera honetara

inoiz iristen ez bada ere. Beraz, Xc0-ren bi asintotak zuzen berbera izango dira c0 = 0 denean,

π − 0 = π angelu bat osatzen dutelako; angelu hori txikiagotu egiten da c0 hazi ahala, π/2-ra jozc0 infinitura hurbiltzen denean.

Ohar bedi hau ez dela egia A+ eta A− guztietarako, euklidestar biderkadura eskalarra orokorrean

ez delako inbariantea Lorentzen transformazioen pean.

(d) 1. teorema frogatzerako zailtasunik handiena e2(s)-ren euklidestar luzeraren aldez aurretiko bor-

nerik ez egotean datza; borne hori beharrezkoa da (1.25) ekuazioko integralaren konbergentzia

ziurtatzeko.

e2(s), T(s) eta e1(s)-ren bornaketa 1.3. atalean frogatuko da.

(e) (1.13) sisteman, baldin |s|

1.1. Sarrera

Gogora dezagun (1.1) ekuazioa Schrödinger-en ekuazio kubikoarekin (NLS) hurbiletik erlazionatuta da-

goela. Izan ere, Hasimotoren transformazioen bidez,

ψ(s, t) = c(s, t) exp(

i

∫ s0

τ(s′, t)ds′)

, (1.20)

NLS ekuazioa lortuko dugu [25, 9],

iψt + ψss − 12 [|ψ|2 + A(t)]ψ = 0. (1.21)

2. kapituluko 2.1. atalean, oso era errazago batean helduko gara ekuazio honetara, (1.3) manipulatuz,

δ = 0 egin ostean.

(1.14) berdintzan kontsideratzen dugun kasuan, (1.20) ekuazioak honako forma hau hartzen du

ψ(s, t) =c0√

teis

2/4t.

A(t) = −c20

taukeratuz gero, (1.21) ekuazioaren soluzio bat lortuko dugu, non ψ(0, s) =

√ic0δ baita, δ

Dirac-en banaketa izanik.

Ezaguna denez, ∫|ψ(s, t)|2ds =

∫|ψ(0, s)|2ds.

Ikuspuntu honetatik, gure soluziek energia finitua daukate. Hala eta guztiz ere, Banica eta Vegak fro-

gatu dutenez, 2.8.1. atalean aztertuko ditugun zenbait birnormalizazioren pean, soluziek energia finitua

daukate. Interesgarria da birnormalizatutako energia hau c eta τ aldagaien funtzio bezala idaztea. Baldin

Ẽ(t) =t2

4√

2

∫ +∞−∞

(c2s(s, t) + c

2(s, t)( s

2t− τ(s, t)

)2 )ds

+1

16√

2

∫ +∞−∞

[tc2(s, t)− c20]2ds, (1.22)

orduand

dtẼ(t)− 1

16√

2 t

∫ +∞−∞

[tc2(s, t)− c20]2ds = 0. (1.23)

Beraz, (1.14) abiapuntutzat hartuta, gure soluzioak halakoak dira, non Ẽ(t) = 0, t > 0 guztietarako.

Honek soluzio berauei buruzko zenbait egonkortasun-emaitza frogatzea ahalbidetzen die Banica eta Vegari

[4].

Bukatzeko, ohar bedi Ẽ(t) adierazpena (1.1) ekuazioari dagozkion ekuazio intrinsekoetatik lor daite-

keela. Ekuazio intrinsekoak euklidestar kasukoak bezalakoxeak dira (ikus [1], [7], [32], [33]), τ aldagaiari

dagokion zeinu aldaketa bat izan ezik

ct = −2csτ − cτs,

τt = [c−1(css − cτ2)]s − csc.(1.24)

9


1.2. 1. teoremaren frogapena

Gure helburu nagusia t = 0 aldiunean izkina itxurako singulartasun baten existentzia frogatzea da,

c0 > 0 guztietarako. Xc0 -ren autoantzekotasunagatik, azken hau eta s → ±∞ doanean G(s) = Xc0(s, 1)aldagaiaren portaera asintotikoa ikertzea baliokideak dira.

Lehenik, X(s, t) =√

tG(s/√

t) soluzioaren konbergentzia (1.6) ekuazioko X(s, 0) hasierako datuetara

aztertuko dugu. Gainera, T(s, t)-ren konbergentzia ere aztertuko dugu, t → 0+ doanean. Erabilitakoprozedura [23] artikuluan azaldutakoa bezalakoa denez, ez ditugu detaile guzti-guztiak emango, han

konsultagarriak direlako.

Hemendik aitzina, e2 bornatuta dagoela suposatuko dugu eta, beraz, ‖e2‖ ere bornatuta dagoela.Nabaria ez den gertaera hau aurrerago frogatuko dugu (ikus 1.3. atala); izan ere, 1.3. irudian, c0 = 2.7

denean, argi eta garbi ikusten da ‖T‖ < ∞, ‖e1‖ < ∞ eta ‖e2‖ < ∞ bornatuta daudela baina goi-borneakizugarri hazten direla.

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

2

4x 10

5 ||T(s)||

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

1

2x 10

5 ||e1(s)||

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

2

4x 10

5 ||e2(s)||

1.3. Irudia: Triedro orokortuaren euklidestar norma c0 = 2.7 denean. Haren osagaiak argiro

bornatuta egonagatik ere, c0 ez handiegietarako bornearen tamaina izugarri hazten da.

Has gaitezen T eta G-rako adierazpen zehatzagoak lortzen. Honako kopurua kontsideratuz gero

T(s) + 2c0e2(s)− e2(0)

s,

10


s ∈ R guztietarako erregularra dela dakusagu, e2s = − s2e1 delako. Beraz(T(s) + 2c0

e2(s)− e2(0)s

)

s

= Ts(s) + 2c0e2s(s)

s− 2c0 e2(s)− e2(0)

s2

= c0e1(s)− 2c0s

s

2e1(s)− 2c0 e2(s)− e2(0)

s2

= −2c0 e2(s)− e2(0)s2

.

Partez integratuz, hauxe lortzen dugu

T(s) = T(0)− 2c0∫ s

0

e2(s′)− e2(0)(s′)2

ds′ − 2c0 e2(s)− e2(0)s

. (1.25)

‖e2‖ bornatuta dagoela suposatuz eta s txikia denean ‖e2(s) − e2(0)‖ ≤ Cs2 dela kontsideratuz, goikointegrala konbergitzen dela eta s → ±∞ doanean T(s)-ren limiteak existitzen direla ondorioztatzen dugu.Denota ditzagun

A+ = lims→+∞

T(s) = T(0)− 2c0∫ +∞

0

e2(s)− e2(0)s2

ds,

A− = lims→−∞

T(s) = T(0) + 2c0∫ 0−∞

e2(s)− e2(0)s2

ds. (1.26)

Adierazpenok T(0) balioa ematen digute, (1.25) ekuazioan sartuko duguna, honako hau lortuz

T(s) = A+ + 2c0∫ +∞

s

e2(s′)− e2(0)(s′)2

ds′ − 2c0 e2(s)− e2(0)s

, s > 0,

T(s) = A− − 2c0∫ s−∞

e2(s′)− e2(0)(s′)2

ds′ − 2c0 e2(s)− e2(0)s

, s < 0. (1.27)

Orain, kalkula dezagun G(s)-ren garapen asintotikoa,(

G(s)s

)

s

=T(s)

s− G(s)

s2

eta (G(s)

s

)

s

=(G′(s) + 2

c0s

e2(s))

s

= Ts(s) + 2c0s

e2s(s)− 2 c0s2

e2(s) = −2 c0s2

e2(s), (1.28)

halako moldez, nonG(s)

s= T(s) + 2

c0s

e2(s);

honek halabehartzen du lims→±∞G(s)/s limiteak existitzen direla eta A± balio dutela. [s, s1] tartean

(1.28) integratuz, hauxe lortzen dugu

G(s)s

=G(s1)

s1+ 2c0

∫ s1s

e2(s′)(s′)2

ds′.

s1 → ±∞ egiten badugu,

G(s) = A+s + 2c0s∫ +∞

s

e2(s′)(s′)2

ds′, s > 0,

G(s) = A−s− 2c0s∫ s−∞

e2(s′)(s′)2

ds′, s < 0 (1.29)

11


lortuko dugu. Birfin dezakun adierazpen hau. s > 0 kasua kontsidera dezagun, beste kasua antzekoa

baita. e1s = c0T + s2e2 denez gero, orduan e2 =2s (e1s − c0G′); sar dezagun hau (1.29) ekuazioan eta

partez integra dezagun

G(s) = A+s + 4c0s∫ +∞

s

e1s − c0G′(s′)3

ds′

= A+s− 4c0 e1 − c0Gs2

+ 12c0s∫ +∞

s

e1 − c0G(s′)4

ds′. (1.30)

Orduan (1− 4c

20

s2

)G(s) = A+s− 4c0 e1

s2+ 12c0s

∫ +∞s

e1(s′)4

ds′ − 12c20s∫ +∞

s

G(s′)4

ds′.

Baina e2s = − s2e1, hau da, e1 = − 2se2s eta beraz, partez integratuz,∫ +∞

s

e1(s′)4

ds′ = −2∫ +∞

s

e2s(s′)5

ds′ =2s5

e2 − 10s∫ +∞

s

e2(s′)6

ds′ = O(

1s5

).

(1.30) ekuazioaren lehenengo hurbilketa batek G(s) = A+s +O(1/s) ematen digu eta, horrela,∫ +∞

s

G(s′)4

ds′ =∫ +∞

s

A+s′ +O(c20/s′)(s′)4

ds′ =A2s2

+ O(

1s4

),

hurrengoa lortuz (1− 4c

20

s2

)G(s) = A+

(s− 6c

20

s

)− 4c0 e1

s2+ O

(1s3

);

hau guztia dela eta, s > 2c0 denean, honako hau daukagu

G(s) = A+(

s− 2c20

s

)− 4c0 e1

s2+ O

(1s3

).

Kasu positibo eta negatiboak batera idazten baditugu

G(s) = A±(

s− 2c20

s

)− 4c0 e1

s2+ O

(1s3

), s → ±∞.

(1.27) ekuazioarekin bezalako eran jokatuz, hauxe lortzen dugu

T(s) = A± − 2c0 e2(s)s

+ O(

1s2

), s → ±∞.

A+ eta A− arteko erlazioa G(s)-ren simetrikotasun propietatetik deduzitzen da. G′′(s) = T′(s) =

c0e1(s) adierazpenaren diferentziazioak hauxe ematen du

G′′′(s) = c0e1s(s) = c0[c0G′(s) +

s

2e2(s)

]= c0

[c0G′ +

s

4c0(G− sG′)

]

=s

4c0G(s)−

(s2

4− c20

)G′(s),

hurrengo EDA lortuz

G′′′(s) +(

s2

4− c20

)G′(s)− s

4c0G(s) = 0, (1.31)

12


non hastapen baldintzak hauexek baitira

G(0) = 2c0(0, 1, 0),

G′(0) = (0, 0, 1),

G′′(0) = c0(1, 0, 0).

(1.32)

Beraz, G(s) = (G1(s), G2(s), G3(s)) notazioa erabiliz gero,

G(−s) = (G1(−s), G2(−s), G3(−s)) = (G1(s), G2(s),−G3(s))

berehala ikusten da, hots, lehenengo bi osagaiak funtzio bikoitiak dira eta azkena bakoitia. Funtzio bakoiti

baten deribatua bikoitia denez eta alderantziz, T(s) haren osagaien bitartez errepresentatuz, honako hau

daukagu

T(−s) = (T1(−s), T2(−s), T3(−s)) = (−T1(s),−T2(s), T3(s)); (1.33)

hortaz,

A+ = (A1, A2, A3) eta A− = (−A1,−A2, A3).

Ohar bedi |A±|0 = −1 dela, |T(s)|0 = −1 delako. Bukatzeko, aipa ditzagun baita ere beste osagaiensimetriak, e1(s) = (e11(s), e12(s), e13(s)) eta e2(s) = (e21(s), e22(s), e23(s)), T-ren osagaien simetrietatik

deduzituak

e1(−s) = (e11(−s), e12(−s), e13(−s)) = (e11(s), e12(s),−e13(s)),e2(−s) = (e21(−s), e22(−s), e23(−s)) = (e21(s), e22(s),−e23(s)). (1.34)

Orain pare bat proposamen frogatuko ditugu; euklidestar kasuko haien baliokidea [23] artikuluan dago

kontsultagarri.

1. Proposamena.

limt→0+

X(s, t) = limt→0+

√tG(s/

√t) =

A+s, baldin s ≥ 0,

A−s, baldin s ≤ 0,

uniformeki s parametroan, zenbait A+ = A+(c0) eta A− = A−(c0) bektoretarako.

Froga. (1.29) ekuazioan, kontsidera dezagun s > 0 kasua∣∣∣∣√

tG(s/√

t)−A+s∣∣∣∣ =

√t

∣∣∣∣G(s/√

t)−A+(s/√

t)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣2c0s∫ +∞

s/√

t

e2(s′)(s′)2

ds′∣∣∣∣

=∣∣∣∣2c0s

√t

∫ +∞s

e2(s′)(s′)2

ds′∣∣∣∣ ≤ C1

√t,

non s′ → s′/√t aldagai aldaketa aplikatu eta e2 bornatuta dagoela erabili baitugu. s < 0 beste kasuaantzekoa da ∣∣∣∣

√tG(s/

√t)−A−s

∣∣∣∣ ≤ C2√

t,

13


eta horrela s guztietarako konbergentzia uniformea frogatuta dago.

¤

2. Proposamena. Suposa dezagun ψ halakoa dela, non∫ |ψ(s)|

1 + |s|ds < +∞.

Orduan, baldin h(s) = T(s)−A+χ[0,+∞)(s)−A−χ(−∞,0](s), halabeharrez

limt→0+

∫h(s/

√t)ψ(s)ds = 0.

Froga. [23] artikuluan bezalaxe. Ohar bedi T(s, t)-k jauzi bat garatzen duela s = 0 puntuan, t → 0doanean eta, horregatik, T(s, t)-ren konbergentzia A+χ[0,+∞)(s)−A−χ(−∞,0](s) funtziora zero denboranahulagoa izango da X(s, t)-rena X(s, 0) hastapen datura baino.

¤

1.3. T, e1 eta e2 bornatuta daude. A3 koefizientearen kalkulua

Gogora dezagun

T

e1

e2

s

=

0 c0 0

c0 0 s20 − s2 0

·

T

e1

e2

.

T, e1 eta e2 osagaika idazten baditugu, T = (Tj), e1 = (e1j), e2 = (e2j), hauxe daukagu

|e1j |2 + |e2j |2 − |Tj |2 =

1, baldin j = 1, 2,

−1, baldin j = 3;(1.35)

beraz, bi kasu ezberdin bereiziko ditugu: lehenengoa j = 1, 2 denean eta bigarrena j = 3 denean. Has

gaitezen j = 3 kasuarekin, errazena baita.

j = 3 denean, e213 + e223 = −1 + T 23 daukagu, hots, (e13 + ie23)(e13 − ie23) = (T3 + 1)(T3 − 1). Definidezagun

ϕ3 =e13 + ie23

T3 − 1 =T3 + 1

e13 − ie23 .

Orduan

ϕ′3 =cT3 + τe23 − iτe13

T3 − 1 − T′3

ϕ3T3 − 1 = −iτϕ3 + c

T3 − ϕ3e13T3 − 1

= −iτϕ3 + c2(1− ϕ23),

zeren eta

T3 − ϕ3e13 = T3 − ϕ32 (e13 + ie23 + e13 − ie23) = T3 −ϕ32

[ϕ3(T3 − 1) + T3 + 1

ϕ3

]

=12(1− ϕ23)(T3 − 1).

14


τ = s/2 eta c = c0 kasu partikularrerako,

ϕ′3 = −is

2ϕ3 +

c02

(1− ϕ23). (1.36)

lortzen dugu. Defini dezagun

ϕ3 =2c0

θ′3θ3

, (1.37)

(1.36) ekuazioa eralda dezakegu, honako hau lortuz

θ′′3 + is

2θ′3 −

c204

θ3 = 0. (1.38)

Ohar bedi [23] artikuluko (42) ekuazioan agertzen den c20-ren zeinua ezberdina dela. (1.38) ekuazioa θ̄3′-z

biderkatuz gero, orduan

θ̄3′θ′′3 + i

s

2θ̄3′θ′3 −

c204

θ̄3′θ3 = 0

eta beraz, bere konjugatua gehituz

0 = θ̄3′θ′′3 + θ̄3

′′θ′3 −

c204

(θ̄3′θ3 + θ̄3θ′3) =

d

ds

(|θ′3|2 −

c204|θ3|2

)

lortzen dugu; hortaz

|θ′3|2 −c204|θ3|2 = E3. (1.39)

T3 eta θ3 erlazionatzea berehalakoa da,

|ϕ3|2 = e13 + ie23T3 − 1

e13 − ie23T3 − 1 =

e213 + e223

(T3 − 1)2 =T3 + 1T3 − 1 ;

beraz, (1.39) erabiliz

T3 =|ϕ3|2 + 1|ϕ3|2 − 1 =

4c20|θ′3|2 + |θ3|2

4c20|θ′3|2 − |θ3|2

= 1 +c20

2E3|θ3|2.

E3 halako eran finka dezakegu, non gure kalkuluei egokien datorkien balioa baita; horregatik, E3 = c20/2

hartzen dugu eta azken adierazpena honela geratzen da

T3 = 1 + |θ3|2 = 1 + θ̄3θ3. (1.40)

T3-ren hastapen datua T3(0) = 1 da. Beraz, θ3(0) = 0 eta θ′3(0) = c0/√

2 dauzkagu.

Ez da zaila e13 eta e23 koefizienteetarako adierazpenak lortzen, θ3 eta θ′3-ren funtzio bezala. Azken

berdintza s-rekiko diferentziatuz

T3s = θ̄3′θ3 + θ̄3θ′3 = c0e13,

berehala e13 lortzen dugu

e13 =2c0


T3s berriro diferentziatzen badugu, (1.38) eta (1.39) ekuazioez batera,

T3ss = (c0e13)s = c20T3 +c02

se23

T3ss = c20T3 +c02

se23 = θ′′3 θ̄3 + 2θ′3θ̄3

′ + θ3θ̄3′′ = 2|θ′3|2 + 2


hortaz,

Tj = i4c20

θ′j ϑ̄j′ + θj ϑ̄j

4c20

θ′j ϑ̄j′ − θj ϑ̄j

= i4c20

θ′j ϑ̄j′ + θj ϑ̄j

4c20

θ′j ϑ̄j′ − θj ϑ̄j

= i(

1 +c20

2Ejθj ϑ̄j

).

Ej-rako balio egokia Ej = c20/2 da, zeren eta

Tj = i(1 + θj ϑ̄j). (1.48)

j = 3 kasuan bezalako urratsek honako adierazpen honetara garamatzate

e1j =i

c0(θj ϑ̄j

′ + θ′j ϑ̄j), e2j =1c0

(θ′j ϑ̄j − θj ϑ̄j ′), (1.49)

halako moldez, non

e1j − ie2j = 2ic0

θj ϑ̄j′. (1.50)

[23] artikuluan agertutako kalkuluei jarraikiz, (1.38) eta (1.46) ekuazioen soluzioak, alegia, θj , non j =

1, 2, 3, eta ϑj , non j = 1, 2, hurrengo eran adierazten ditugu

θj = a1,jβ1(s) + a2,jβ2(s), ϑj = b1,jβ1(s) + b2,jβ2(s), (1.51)

non

β1(s) =∫ +∞−∞

eisξ+iξ2 d

dξ[ei

c202 log |ξ|χ[0,+∞)(ξ)]dξ,

β2(s) =∫ +∞−∞

eisξ+iξ2 d

dξ[ei

c202 log |ξ|χ(−∞,0](ξ)]dξ (1.52)

eta

β1(0) = −β2(0) = 2e−π8 c20Γ(1 + ic20/4),

β′1(0) = β′2(0) = −

c202

eiπ4 e−

π8 c

20Γ(1/2 + ic20/4). (1.53)

Orain, θj(0), θ′j(0), ϑj(0) eta ϑ′j(0) balioak ezagutu behar dira, a1,j , a2,j , b1,j eta b2,j koefizienteak

determinatzeko. Ohar bedi (1.38) eta (1.45) ekuazioetan θj eta ϑj definitu ditugunean, deribatu bat

sartu dugula, askatasun gradu bat gehiago irabaziz j = 1, 2 denean. j = 3 denean, honek E3 nahi bezala

hauta daitekeela esan nahi du. E3 = c20/2 eginez, gorago lortu dugu θ3(0) = 0 eta θ′3(0) = c0/√

2. Sistema

hau askatzen badugu

a1,3β1(0) + a2,3β2(0) = (a1,3 − a2,3)β1(0) = 0,a1,3β

′1(0) + a2,3β

′2(0) = (a1,3 + a2,3)β

′1(0) = c0/

Denbora finituan singulartasunak garatzen dituzten zenbait fluxu … · 2015. 11. 9. · Denbora...

Documents

Transcript of Denbora finituan singulartasunak garatzen dituzten zenbait fluxu … · 2015. 11. 9. · Denbora...