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Departamento de Física y Química I.E.S. Isidra de Guzmán

Ejercicios de Cinemática para 4º de E.S.O.

1. En la figura se muestra la gráfica posición-tiempo para un determinado movimiento:

a) Determinar el desplazamiento entre los instantes t = 2 s y t = 8 s; b) Calcular la distancia recorrida entre los instantes t = 8 s y t = 12 s; c) ¿Qué distancia ha recorrido en los 6 primeros segundos? d) ¿Qué velocidad lleva entre los instantes t = 2 s y t = 6 s?

Antes de resolver el ejercicio, vamos a analizar la gráfica. En los tramos en los que el móvil está en movimiento, lo hace con M.R.U puesto que en todo momento la gráfica es recta. Para entenderlo mejor representamos el movimiento en el plano.

TRAMO A-B: Entre el punto A y el punto B, el móvil no ha cambiado su posición, en todo momento (mira los puntos intermedios entre A y B) se encuentra a 10 m del origen, no se ha movido, ha estado parado durante 2 s.

TRAMO B-C: Entre B y C, el móvil se va acercando al origen (x = 0 m), lo pasa y se aleja de él hasta la posición C, que está a 10 m a la izquierda del origen. La flecha roja representa el movimiento.

TRAMO C-D: Entre C y D, el móvil se dirige hacia el origen, hacia la derecha, lo pasa y continua hasta que se encuentra a 30 m del origen. Flecha roja en el esquema.

Origen: x = 0 m Cuando empezamos a contar el tiempo (t = 0 s) el móvil se encuentra en el punto A a 10 m del origen (xA = 10 m)

1

A y B son la misma posición

2

entre t = 0 s a t = 2 s C 0

C 0 D

30 mm

10 m


TRAMO D-E-F: Permanece durante 4 s a 30 m del origen, en la misma posición, no se mueve.

a) Pregunta cuál es el desplazamiento entre t = 2 s y t = 8 s. Para t = 2 s, el móvil está en el punto B a 10 m a la derecha del origen según el esquema, en t = 8 s, el móvil se encuentra en un punto intermedio entre C y D a 10 m a la derecha del origen (marcado con un punto negro). Ha ido de B a C y ha vuelto al mismo punto B.

El desplazamiento es la diferencia entre la posición final e inicial del móvil, como en este caso estas dos posiciones coinciden, el desplazamiento es 0.

Desplazamiento = xfinal – x inicial = 10 – 10 = 0 m

Aunque el móvil se ha movido y ha recorrido un espacio, la distancia recorrida ha sido de 40 m: 10 m desde B al origen hacia la izquierda, sigue otros 10 m a la izquierda hasta C, vuelve pasando por el origen (10 m) hasta encontrarse a 10 m a la derecha del mismo.

b) Distancia recorrida entre t = 8 s y t = 12 s, va del punto x = 10 m a E (x = 30 m)

Como el movimiento es en línea recta y en un solo sentido, en este caso el desplazamiento y la distancia recorrida coinciden, ha recorrido 20 m.

c) Distancia recorrida en los 6 primeros segundos: Entre t = 0 s y t = 6 s, el móvil ha estado

parado 2 s (tramo A-B), y luego ha recorrido el tramo B-C, una distancia de 20 m.

d) Como lleva m.r.u:

v = espaciotiempo

= 20 m6 s

= 3,3 m/s

0 E

30 mm

C 0 10 mm

Las posiciones A, B y esta coinciden

10 mm

10 mm

A

C 0 A-B

10 mm

10 mm

20 m


2. Un vehículo se encuentra a 40 m a la derecha de una gasolinera moviéndose constantemente a 60 km/h hacia ella. a) ¿cuánto tiempo tarda en llegar a la gasolinera? b) ¿Cuánto tiempo tarda es llegar a un punto situado a 10 m a la derecha de la gasolinera? si continua moviéndose en el mismo sentido ¿cuánto tiempo tarda en llegar a un punto a 10 m pasada la gasolinera?; c) ¿Dónde se encuentra el vehículo a los 20 s?

a) Es conveniente antes de empezar a resolver el ejercicio hacer un esquema del movimiento.

como el coche se mueve con m.r.u y recorre 40 m hasta la gasolinera a 60 km/h:

v = 60 km

1 h·1000 m

1 km·

1 h3600 s

= 16,67 m/s

v = et

t = 40 m

16,67 m/s = 2,4 s

b) En el esquema el punto al que queremos llegar es el rojo. Como puedes ver, el coche recorre 30 m.

t = 30 m

16,67 m/s = 1,8 s

En este caso el punto se encuentra a 10 m a la izquierda de la gasolinera, el coche ha

recorrido 50 m:

t = 30 m

16,67 m/s = 3 s

40 m

40 m

10 m 30 m

40 m 10 m

50 m


c) El vehículo tarda 2,4 s en llegar a la gasolinera, luego si continua en línea recta sin

cambiar el sentido, a los 20 s habrá pasado la gasolinera y se encontrará en un punto a la

izquierda de la misma.

e = 16,67 ms

∙ 20 s = 333,4 m

El coche ha recorrido 333,4 m, Como hasta la gasolinera había 40 m, se encontrará en un

punto situado a 333,4 – 40 = 293,4 m a la izquierda de la gasolinera.

3. Un tren de mercancías circula constantemente a 72 km/h en dirección a una estación, cuando estando a 1400 m antes de llegar a ella, se le suelta el último vagón, que poco a poco va frenando hasta que termina deteniéndose justo en la misma estación. Cuando el vagón soltado llega a la estación, ¿dónde está ya el tren?

El tren circula con velocidad constante, lleva m.r.u, mientras que el vagón, al soltarse, se va frenando, lleva MRUA con aceleración negativa.

Ecuaciones para el VAGÓN (MRUA):

v = v0 − a.t

e = v0· t −12

· a · t2

calculamos el tiempo que tarda el vagón en pararse en la estación (v = 0 m/s), la velocidad inicial del vagón (en el instante en el que se suelta) es la misma que la del tren:

v0 = 72 km

1 h·1000 m

1 km·

1 h3600 s

= 20 m/s

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores:

0 = 20 – a · t

1400 = 20 · t −1 2· a · t2

Despejamos la aceleración de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

40 m

333,4 m

293,4 m


a = 20t

1400 = 20 · t −1 2

· 20t

· t2

1400 = 20 · t −1 2· 20 ∙ 𝑡

y despejando t: 1400 = 20 t – 10 t = 10 t t = 140 s

En este tiempo el tren ha continuado con MRU a 20 m/s, habrá recorrido:

e = v . t = 20 m/s . 140 s = 2800 m

luego ha pasado la estación y se encuentra a 1400 m de ella.

4. Durante un safari fotográfico en África, un turista se baja y se aleja 25 m del autobús para sacar unas fotos. A 320 m del turista y en la misma línea autobús-turista, un león lo ve e inicia su persecución a 90 km/h mientras que el intrépido turista sale corriendo hacia el autobús a 13 km/h. Si las velocidades de ambos son constantes desde el inicio del movimiento, ¿se salva el turista de las fauces del león?

Una forma de resolverlo es calcular el tiempo que tarda cada uno en llegar al autobús, si el turista tarda menos que el león, se salvará:

TURISTA: Tiene que recorrer 25 m con MRU y velocidad 13 km/h = 3,6 m/s

e = v . t 25 = 3,6 . t

t = 25 m

3,6 m/s = 6,94 s

LEÓN: Tiene que recorrer 345 m hasta el autobús con MRU y velocidad 90 km/h = 25 m/s

e = v . t 345 = 25 . t

t = 345 m25 m/s

= 13,8 s

El león tarda más y el turista se salva.

También podríamos haber calculado el espacio que recorre el león en 6,94 s (lo que tarda el turista en llegar al autobús: e = 25 . 6,94 = 173,5 m, no llega al turista.

25 m 320 m


5. En la recta final de una etapa de la vuelta ciclista a España. Un corredor (A) circula a 28 Km/h seguido a 2,5 m de otro corredor (B) que se movía a 22 Km/h. La meta está a 290 m del corredor A. Simultáneamente ambos inician el sprint. El corredor A lo hace con una aceleración de 0,82 m/s2 y el corredor B con una aceleración de 1,24 m/s2. ¿Quién gana la etapa?

Cuando inician el sprint, la velocidad inicial de los corredores son:

Corredor A: v0 = 28 km/h = 7,78 m/s

Corredor B: v0 = 22 km/h = 6,11 m/s

Esquema del movimiento, en el instante del sprint:

ganará la etapa el que llegue antes a la meta, el que tarde menos tiempo en recorrer la distancia que le separa de ella.

Corredor A (MRUA): e = v0 t + ½ a . t2 290 = 7,78 t + ½ 0,82. t2

0,41 t2 + 7,78 t – 290 = 0

t = -7,78 ± 7,78 2 - 4 . 0,41 .(-290)

2 . 0,41 = -7,78 ± 60,53+475,60,82 = -7,78 ± 23,15

0,82

𝑡 = 18,74 𝑠

Corredor B (MRUA): e = v0 t + ½ a . t2 292,5 = 6,11 t + ½ 1,24. t2

0,62 𝑡! + 6,11 𝑡 − 292,5 = 0

𝑡 = −6,11 ± 6,11 ! − 4 . 0,62 . −292,5

1,24= −6,11 ± 37,33 + 725,4

1,24= −6,11 ± 27,62

1,24

𝑡 = 17,35 𝑠

El corredor B tarda menos, gana la etapa.

2,5 m 290 m

A B


6. Un autobús de línea hace el recorrido Madrid-Málaga saliendo de Madrid a las 10:00 horas con una rapidez constante de 80 Km/h. De repente se da cuenta de que se ha dejado un paquete que tenía que entregar en Málaga y llama a Madrid para que se lo lleve un motorista. Si el motorista sale media hora después que el autobús y lleva una rapidez constante de 110 Km/h. En que kilómetro alcanza el motorista al autobús.

El autobús se mueve con MRU con v = 80 km/h

El motorista lleva también MRU con v = 110 km/h

Como el autobús y el motorista salen del mismo sitio, cuando se encuentran habrán recorrido la misma distancia (e).

Planteamos las ecuaciones correspondientes para cada uno de los móviles, si consideramos que el autobús tarda un tiempo t en llegar al punto de encuentro, el motorista habrá tardado (t - 0,5) horas, ya que ha salido media hora más tarde.

Autobús: e = 80 km/h . t

Motorista: e = 110 km/h . (t – 0,5)

Igualando las dos ecuaciones: 80 . t = 110 t – 55 110 t – 80 t = 55

t = 1,8 h

sustituimos el tiempo en cualquiera de las dos ecuaciones:

e = 80 . 1,8 = 144 km

se encuentran a 144 km de Madrid.

7. Un motorista va a 72 km/h, y, accionando el acelerador, consigue en un tercio de minuto la velocidad de 108 km/h. Averigua: a) ¿Cuál ha sido la aceleración durante ese tiempo? b) ¿Qué espacio ha recorrido durante el tiempo que ha estado acelerando?

a) Velocidad inicial del motorista: v0 = 72 km/h = 20 m/s

Velocidad final del motorista: v = 108 km/h = 30 m/s

Tiempo que tarda en alcanzar la velocidad final: t = 20 s

Ecuaciones del MRUA: v = v0 + a . t

e = v0 t + ½ a . t2

Sustituimos los datos en la ecuación de velocidad:

30 = 20 + a . 20 a = 0,5 m/s2

Madrid

e m

MálagaPunto encuentro


b) Sustituyendo en la ecuación del espacio recorrido:

e = 20 . 20 + ½ 0,5 . (20)2 = 500 m

8. Se denomina tiempo de reacción al que transcurre desde que un conductor observa un obstáculo hasta que aplica el freno. Normalmente este tiempo de reacción es de algunas décimas de segundo. Suponiendo que la aceleración de frenado de un coche es de 3 m/s2, determina la distancia mínima a la que debe mantenerse un coche del que le precede, si circula a 108 km/h y el tiempo de reacción del conductor es de 0,4 s.

El movimiento tenemos que dividirlo en dos partes. Primero el coche circula a 108 km/h = 30 m/s con velocidad constante (MRU) y tarda 0,4 s en apretar el freno, en ese tiempo habrá recorrido:

e = v . t = 30 . 0,4 = 12 m

En el segundo tramo el conductor pisa el freno y empieza a disminuir la velocidad hasta que se para, su velocidad final es 0 (MRUA), la aceleración es negativa:

v = v0 - a . t

e = v0 t - ½ a . t2

Sustituyendo en ambas ecuaciones:

0 = 30 - 3 . t t = 10 s

e = 30 t - ½ 3 . t2 e = 30 . 10 – ½ 3 . 100 = 150 m

Tiene que mantenerse a 162 m del coche que le precede.

9. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 30 m/s, calcular: a) Tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima. b) Altura máxima. c) Posición y velocidad de la pelota a los 2 s de haberse lanzado. d) Velocidad y posición de la pelota a los 5 s de haber sido lanzada. e) Tiempo que la pelota estuvo en el aire desde que se lanza hasta que retorna a tierra.

a) La pelota asciende disminuyendo su velocidad hasta alcanzar la altura máxima (h). En ese punto su velocidad es 0 para volver a caer al punto de partida.

Ecuaciones: h = v0 t - ½ g t2

v = v0 - g t

En el punto de altura máxima v = 0, sustituyendo en la ecuación de velocidad se obtiene el tiempo que tarda en alcanzar esa altura:

0 = 30 – 9,8 . t t = 3,06 s

b ) Altura máxima (h): h = 30 . 3,06 – ½ 10 . (3,06)2 = 44.98 m

c) Velocidad a los 2 s, la pelota está subiendo: v = 30 – 9,8 . 2 = 10,4 m/s

Posición: h = 30 . 2 – ½ 9,8 . 22 = 40,4 m del suelo


d) La pelota tarda lo mismo en subir que en volver a bajar, ha estado en el aire:

t = 6,12 s

10. Desde lo alto de un tejado situado a 4,5 m del suelo, se deja caer una teja. En ese momento una persona que está a 12 m del lugar de caída va caminando tranquilamente por la acera con velocidad constante de 5 km/h y se dirige a ese sitio. ¿Caerá la teja sobre la persona?

Primero vamos a calcular el tiempo que tarda la teja en llegar al suelo, como se trata de caída libre, v0 = 0. Ecuaciones:

h = v0 t + ½ g t2 4,5 = ½ 9,8 . t2 t = 0,96 s

v = v0 + g t

En 0,96 s el peatón, que se mueve con MRU, habrá recorrido:

e = v . t e = 1,39 m/s . 0,96 s = 1,33 m

No cae sobre la persona.

11. Dos amigos lanzan a la vez dos pelotas. El primero la lanza desde el suelo hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. El otro deja caer la segunda pelota desde la terraza de su casa situada a 15 m del suelo. ¿Dónde y cuando se cruzan las dos pelotas?

Suponemos que las pelotas se cruzan en el punto A. En un tiempo “t”, la pelota 1 habrá recorrido una distancia h1 con MRUA y con aceleración g negativa (su velocidad va disminuyendo a medida que asciende). La pelota 2 habrá recorrido una distancia h2 con MRUA con aceleración positiva (va aumentando su velocidad) y con velocidad inicial 0.

Las ecuaciones para cada una de las pelotas será:

Pelota 1: h1 = v0 t – ½ g t2

Pelota 2: h2 = ½ g t2

Pelota 1: h1 = 10 t – ½ 9,8 t2

Pelota 2: h2 = ½ 9,8 t2

h = 4,5 m 12 m

v0 = 10 m/s

v0 = 0 m/s

h = 15 m

A

h1

h2


Si te fijas en el esquema h1 + h2 = 15 h2 = 15 – h1

Pelota 1: h1 = 10 t – ½ 9,8 t2

Pelota 2: 15 – h1 = ½ 9,8 t2 h1 = 15 – ½ 9,8 t2

Igualando h1:

10 t – ½ 9,8 t2 = 15 – ½ 9,8 t2 10 t = 15 t = 1,5 s

Sustituimos el tiempo en cualquiera de las dos ecuaciones:

h2 = ½ 9,8 t2 h2 = ½ 9,8 (1,5)2 = 11,03 m

Se encuentran a 11,03 m desde el tejado, a 3,97 m del suelo.

12. ¿Con qué velocidad entrará en el agua de una piscina un nadador que se deja caer sobre ella desde una altura de 5 m, si se desprecia el rozamiento con el aire? Movimiento de caída libre con v0 = 0 m/s h = ½ g t2 5 = ½ 9,8 t2 t = 1,01 s

v = g t v = 9,8 . 1,01 = 9,9 m/s

13. La aceleración de la gravedad en la superficie lunar es de 1,16 m/s2. Si lanzamos desde allí verticalmente y hacia arriba una piedra a 12 m/s y repitiésemos el experimento en la Tierra ¿Hasta qué altura máxima llegaría en cada caso?

Si la piedra se lanza hacia arriba, su velocidad va disminuyendo hasta que se hace 0 al llegar a la altura máxima para volver a caer.

En la Luna:

h = v0 t – ½ g t2 h = 12 t – ½ 1,16 t2

v = v0 – g t 0 = 12 – 1,16 t t = 10,34 s

h = 12 . 10,34 – ½ 1,16 (10,34)2 = 124,08 – 62,01 = 62,07 m

En la Tierra:

h = v0 t – ½ g t2 h = 12 t – ½ 9,8 t2

v = v0 – g t 0 = 12 – 9,8 t t = 1,22 s

h = 12 . 1,22 – ½ 9,8 (1,22)2 = 14,64 – 7,29 = 7,35 m


14. Un punto material describe una trayectoria circular de 1 m de radio, a 30 r.p.m. Calcula, el período, la frecuencia, la velocidad angular y la velocidad lineal.

Velocidad angular:

ω = 30 rev1 min

·2 π rad1 rev

·1 min60 s

= 3,14 rad/s

El periodo es el tiempo que tarda en recorrer toda la circunferencia.

T = 2 πω

= 2 π3,14

= 2 s

Frecuencia:

f = 1T

= 12

= 0,5 s-1

Velocidad lineal:

v = ω . r = 3,14·1 = 3,14 m/s

15. Calcula la rapidez angular, la rapidez lineal y la aceleración centrípeta de la Luna. La Luna realiza una revolución completa cada 28 días y la distancia promedio desde la Tierra a la Luna es de 3,84. 108 m.

Rapidez angular:

Una revolución = 2 π radianes

ω = 2 π

28 días·

1 día24 horas

·1 hora60 min

·1 min 60 s

= 2,60 . 10-6 rad/s

Rapidez lineal:

v = ω· R = 2,60 · 10-6· 3,84·108 = 998,4ms

Aceleración centrípeta:

ac = v2

R =

998,4 !

3,84·108 = 2,6 . 10-3 m/s2

16. a) Calcula la velocidad angular de un disco que rota con movimiento uniforme describiendo 13,2 rad cada 6 s. b) Calcula el período y la frecuencia de rotación. ¿Cuánto tardará el disco en rotar un ángulo de 720º? c) ¿Cuánto tardará en realizar 12 revoluciones?

a) Velocidad angular:

ω = ángulo (rad)tiempo (s)

= 13,2 rad

6 s= 2,2 rad/s


b) Periodo:

T = 2πω

= 2π2,2

= 2,86 s

Frecuencia:

f = 1T

= 12,86

= 0,35 s-1

Tiempo que tarda en rotar 720º, pasamos los grados a radianes:

7200 ·2 π rad

3600 = 4 π rad

ω = α (rad)

t (s)

t = α radω rad/s

=4π 2,2

= 5,71 s

c) 12 revoluciones son 24 π radianes

t = α radω rad/s

=24π 2,2

= 34,27 s

17. Un disco de 15 cm de radio gira con un movimiento circular alrededor de un eje que pasa por su centro. Si el disco tarda 5 segundos en dar una vuelta completa, calcula a) su rapidez angular, lineal de un punto situado a 9 cm del centro; b) el número de vueltas que ha dado el disco en 2 minutos.

a) rapidez angular:

ω = α (rad)

t (s) = 2π rad

5 s= 1,26 rad/s

velocidad lineal del punto situado a 9 cm del centro:

v = ω· r = 1,26 . 0,09 = 0,11 m/s

b) número de vueltas en 2 minutos:

α = ω· t = 1,26 . 120 = 151,2 rad

1 vuelta son 2 π radianes:

151,2 rad ·1 vuelta2π rad

= 24,1 vueltas

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