Ecuaciones diferenciales linealmente implícitas. Teoría cualitativa ...
DERIVACIÓN CON FÓRMULAS · 2017-12-03 · Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof....
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Cálculo Diferencial e Integral, Áreas I y II Prof. Jesús Calixto S.
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LA DERIVADA
DERIVACIÓN CON FÓRMULAS1
Para encontrar la derivada de una función con fórmulas utiliza tu formulario de matemáticas VI, y recuerda que las primeras letras del abecedario como son a, b, c y d representan a constantes es decir números fijos.
Dada una función “f(x)” ó “y”, su derivada la denotaremos por el símbolo ddx si la variable en cuestión es “x” o
ddt si la variable es “t”, además el símbolo antes mencionado no es una fracción donde “d” sea el numerador y
“dx” el denominador, sino todo junto representa la derivada de la función con respecto de la variable
considerada ( ( )d f xdx
“derivada con respecto de x de f de x”, d ydx
“derivada con respecto de x de y”, ( )d f tdt
“derivada con respecto de t de f de t) Empecemos con la siguiente función:
Ejemplo 1.- 3 24 3 5f x x x , ésta función está compuesta por tres términos y según la fórmula 3 (F3) al
derivarla se derivará cada término de la función:
3 2 3 2( ) (4 3 5) 4 3 5d d d d df x x x x xdx dx dx dx dx
Cada uno de los 3 términos se derivan de la siguiente forma:
3 3 3 1 2
74
4 4 (4)(3) 12F
F
d dx x x xdx dx
2 2 2 1
74
3 3 (3)(2) 6F
F
d dx x x xdx dx
1
5 0
F
ddx
, entonces tenemos 3 2 24 3 5 12 6 0d d dx x x xdx dx dx
, es decir
3 2 2( ) (4 3 5) 12 6d df x x x x xdx dx
2( ) 12 6d f x x xdx
Ejemplo 2.- 1
5 3 2 2( ) 3 7 83
f x x x x , ahora derivemos sin explicar paso a paso sino un poco más directo:
15 3 2 2( ) 3 7 8
3d df x x x xdx dx
(F3)
1
5 3 2 2( ) 3 7 83
d d d d df x x x xdx dx dx dx dx
1
5 3 2 2( ) 3 7 83
d d d d df x x x xdx dx dx dx dx
(3 veces F4)
1 14 2 21( ) (3)(5) (7)(3) (8) 0
2d f x x x xdx
(3 veces F7 y una vez F1)
1
4 2 2( ) 15 21 4d f x x x xdx
1 Encuentra tu formulario en el Anexo 1
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Ejemplo 3.- 1xy
x , como puedes ver, ésta función es una fracción, encontremos su derivada:
1
d d xydx dx x
(F8) “u = x; v = x+1”
2
1
F
d xdx
2
( 1) ( ) ( ) ( 1)
( 1)
d dx x x xd dx dxydx x
2 1
3
( 1) 1 1 0 1F F
F
d d dx xdx dx dx
2
( 1)(1) ( )(1)
( 1)
x xd ydx x
2 2
1 1( 1) ( 1)
d x xydx x x
2
1( 1)
d ydx x
Las notaciones anteriores ( ) ydyd f x
dx dx las podemos cambiar por f´(x) y y´ respectivamente, y se leen “f
prima de x” y “y prima”.
Ejemplo 4.- 4( ) 2 1f x x , encontremos su derivada 'f x .
4
4
4
27
(2 1)( ) 2 1
2 2 1F
d xd d dxf x xdx dx x
4
3
4
(2 ) 1
( )2 2 1
F
d dxdx dx
d f xdx x
3
4
(2)(4)'( )
2 2 1
xf x
x
4 4 4 1
714
2 2 (2)(4) ; 1 0F
FF
d d dx x xdx dx dx
3
4
4'( )2 1
xf xx
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DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
Funciones Explícitas: Son aquellas funciones donde la y (y=f(x)), aparece despejada.
2
2
2
( ) 5 1
4 1
1
1
sen 1
f x x x
y x x
xyx
xf x
x
Funciones donde está despejada “y”
Funciones Implícitas: Son aquellas en donde la “y” no aparece despejada
2 2
2
3 2
22
4
2 3 1
4
13 2
x y
x xy
x x y
yx
Funciones donde NO está despejada “y”
Recordemos que el símbolo que representa la derivada de una función es ddx
, y que 1ddx
, ahora para derivar
una función implícita lo que debemos de tener en cuenta es lo siguiente:
Por ejemplo, encontrar la derivada de y si: 22 4x xy y
(Ojo esto es una multiplicación)
Derivamos en ambos lados de la ecuación, y procediendo como hasta ahora se había hecho para una función explícita:
2(2 ) 4d dx xy ydx dx
22 4d d d dx x y ydx dx dx dx
Hay que aplicar la fórmula de multiplicación
4 ( ) 0d d dx x y ydx dx dx
4 ( ' ) ' 0x xy y y
Quitamos paréntesis simplificando
4 ' ' 0x xy y y
Pero “y prima o derivada de y”
Recuerda www.calix
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Finalmente hay que despejar a 'y , y recuerda si quieres despejar una variable y aparece varias veces, hay que
pasar todos los términos que contienen a dicha variable de un solo lado de la igualdad (puede ser el derecho o izquierdo) 4 ' ' 0
' ' 4
x xy y y
xy y x y
Ahora se factoriza (siempre) a 'y
'( 1) 4
4'
1
y x x y
x yy
x
Ejemplo 2.- Encontrar 'y si 6 2 2y xy x
Derivando ambos lados
(6 2 ) 2d dy xy xdx dx
6 2 2d d d dy xy xdx dx dx dx
Producto (al derivar se generan dos términos)
6 ' 2( ' ) 1 0y xy y los paréntesis son necesarios ya que –2 afectará a los dos términos
Quitando paréntesis
6 ' 2 ' 2 1 0y xy y
Para despejar a y’ hay que dejarla de un solo lado de la igualdad (derecho o izquierdo) para posteriormente factorizarla. 6 ' 2 ' 2 1
'(6 2 ) 2 1
2 1'
6 2
y xy y
y x y
yy
x
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EJERCICIOS Encontrar 'y si:
a) 3 3 2x y b) 3xy x c) 22 3x y x
d) 2 2 9x y e) 2 32 3 5x y f) 2x y
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DERIVADAS SUCESIVAS Y TRANSCENDENTE
Al tener una función en general, por ejemplo 4 3 23 5 4 6f x x x x y obtener su derivada, tenemos
3 2´ 12 15 8f x x x x , la cual vuelve a ser una función de “x” y por tanto podemos hablar de su derivada.
4 3 23 5 4 6f x x x x
3 2( ) 12 15 8d f x x x xdx
ó 3 2( ) 12 15 8f x x x x
Ahora, derivando a la derivada.
2
2
2( ) 36 30 8d d df x x x
dx dx dx ó 2( ) 36 30 8f x x x
La derivada de la derivada o mejor dicho la segunda derivada (derivada de segundo orden) vuelve a ser una función de “x”, de la cual por tercera vez podemos encontrar su derivada.
2 3
2 3( ) 72 30d d df x x
dx dx dx ó ( ) 72 30f x x
Y así sucesivamente.
Ejemplos.- Encontrar la segunda derivada de las siguientes funciones
a) 1
xyx
1
d d xydx dx x
2
( 1) ( ) ( ) ( 1)
( 1)
d dx x x xdx dxy
x
2
( 1)(1) ( )(1)
( 1)
x xy
x
Notemos que la notación para las derivadas sucesivas o de orden mayor queda para :
Primer derivada:
“y prima” ó “f prima de x”
Segunda derivada:
“y biprima” ó “f biprima de x”
Tercer derivada:
“y triprima” ó “f triprima de x”
y así sucesivamente.
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2 2
1 1( 1) ( 1)x xy
x x
2
1( 1)
yx
Ahora, encontremos la segunda derivada.
2 2
2 2
( 1) (1) (1) ( 1)
(( 1) )
d dx xx dxy
x
2 1
4
( 1) (0) (1)(2)( 1)
( 1)
x xy
x
Finalmente.
1
4 3
(1)(2)( 1) 2( 1) ( 1)
xy
x x
3
2( 1)
yx
EJERCICIOS Encontrar ''y
a) 8 67 5 4y x x x b) 2xy e
c) 2seny x d) 225
yx
e) xy e f) lny x x
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g) tany x h) 2ln(1 )y x
i) sen3y x j) ln
1
x
x
eye
NOTA: Una función se dice que es trascendente si contiene expresiones con logaritmos, exponenciales, trigonométricas e inversas de las trigonométricas
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REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Dada una función ( )f x , su derivada ésta definida formalmente como el límite de la razón entre el cambio de la
función y el cambio de la variable independiente, es decir: 0
( ) ( )( )
h
f x h f xd f x límdx h
es decir,
geométricamente significa:
Tm : Pendiente de la recta tangente en el punto x a
Cuando tú encuentras la derivada de una función, lo que obtienes es una expresión que representa la pendiente de cualquier recta tangente a la curva ( )f x
Si evalúas la derivada de ( )f x en el punto x a , el valor encontrado es la pendiente de la recta tangente a la
curva en el punto x a .
Recta tangente: recta que corta en un solo punto a una curva.
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Ejemplo 1.- Considera la función 2( ) 1f x x , cuya gráfica debes ya conocer y es la siguiente;
Si trazamos una recta tangente a la función 1)( 2 xxf en el punto cuando 2x nos queda:
La recta tangente a la curva de 2( ) 1f x x le corresponde una pendiente, la cual se obtiene como ya
se había mencionado con la derivada de ( )f x evaluada en (2,5) [ 2, 5]x y
Derivando
2( ) 1f x x ( ) 2d f x xdx
, ahora evalúo a '( )f x en el punto (2, 5)
4)2(2)5,2(' f
Ejemplo 2.- Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva 32 4 2y x x en 1x [En este caso solo se da la abscisa del punto de tangencia] Para encontrar lo que se está pidiendo no es necesario graficar, encontremos la derivada de y.
2' 6 4y x
Evaluando y’ en 1x
2'( 1) 6( 1) 4
6 1 4 2
y
Para encontrar la ordenada (la y) del punto de tangencia evalúa en tu función cuando 1x 3( 1) 2( 1) 4 ( 1) 2y x
2 4 2 4 (1, 4) punto de tangencia
2m pendiente de la recta tangente a la curva 32 4 2y x x en el punto (1, 4)
Ejemplo 3.- Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva 2 24 5x y en el punto 12,2
derivando 2 24 5x y 2 4(2) ' 0x y y
despejando a y’
No se utiliza pues la derivada no contiene ninguna y
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2 8 ' 0x y y 8 ' 2y y x simplificando '4
xyy
Ahora para la pendiente de la recta tangente en el punto 12,2
1
[ 2, ]2
x y , tenemos
evaluando
'4
xyy
21 2' 2, 1
2 2142
y
1RTm Pendiente de la recta tangente a la curva 2 24 5x y en el punto 12,2
EJERCICIOS Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado
1) 2( ) 3 6 4f x x x si 2x
2) ( )1
xf xx
en 11,2
3) 3 4 3x xy si 1x
4) 2 2 4x y si 0x
5) 39( )4
f xx
si 1x
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1 4 41 14
Nm
4Nm
Pendiente de la recta normal
La ecuación de la recta normal queda:
34( ( 3))
2y x
34( 3)
2y x
34 12
2y x
Ahora para quitar el 2 de denominador que hay, multiplica a toda la ecuación por 2 2 3 8 24y x
y finalmente se pasan todos los términos del lado donde la “x” sea positiva 8 2 3 24 0x y
8 2 21 0x y
EJERCICIOS Encontrar la ecuación de la tangente y la normal para las funciones en el punto indicado:
a) 2( ) 5 3 8f x x x 2x
b) 1( ) xf xx 3x
c) ( ) 1f x x 0x
Ecuación de la recta Normal
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d) 2 2 4x y ( 1,1)
e) 2 22 4x xy y (0,2)
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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Se dice que una función es creciente en un punto x a si ' 0f a , es decir la derivada evaluada en el punto
x a es positiva, y va ser decreciente si es negativa ' 0f a
Ejemplo 1.- Dada una función 22 8 5f x x x para saber en qué intervalo es creciente o decreciente se
procede de la siguiente manera: Primero se encuentra la derivada de la función y se iguala a cero
22 8 5f x x x
derivando
( ) 4 8d f x xdx
ó ' 4 8f x x
Igualando el resultado a cero. 4 8 0x
Se resuelve la ecuación que resulta 4 8 0
4 8
8 24
x
x
x
En 2x la derivada vale cero. Ahora como queremos saber dónde la derivada es positiva o negativa, representemos en la recta numérica 2x que es donde la derivada vale cero y lo tomaremos como referencia
Tomemos un a valor de x antes de 2x , por ejemplo 3x , entonces
´ 3 4 3 8f derivada evaluada en 3x
´ 3 4f negativa
Como la derivada fue negativa en 3x la función es decreciente en cualquier punto antes de 2x ,
o sea, f x es decreciente en el intervalo ( , 2)
Ahora tomemos un punto después de, por ejemplo 0x y evaluemos en la derivada
’ 0 4 0 8f
’ 0 0 8 8f positiva
Como la derivada fue positiva la función es creciente en cualquier punto después de 2x , es decir
f x es creciente en ( 2, )
Aquí la derivada vale cero
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EJERCICIOS Decir en que intervalo las siguientes funciones son crecientes o decrecientes
a) 23 12 4f x x x
b) 25 3 1f x x x
c) 3 22 12 18f x x x x
d) 3 243
6 112f x x x x
e) 24 3 8f x x x
f) 3 29 15f x x x
g) 4 4f x x x
www.ca
lixto.
com.m
x
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MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN
RTa, RTb, RTc y RTd son las rectas tangentes a la curva f en los puntos a, b, c y d respectivamente. Claramente la pendiente de las rectas antes mencionadas es cero, entonces cuando un función alcanza su mínimo o máximo valor, la derivada en estos puntos es cero.
Para encontrar los mínimos y máximos de una función, primero se deriva y se iguala a cero a la derivada obtenida. Después se resuelve la ecuación resultante para encontrar los puntos críticos (así se les llama pues aún no se sabe si serán mínimos o máximos). Después hay que encontrar la segunda derivada (la derivada de la derivada) y evaluarla en dichos puntos críticos, si resulta positiva entones será ese el valor de “x” donde la función alcanza su mínimo valor. Y si al evaluar en la segunda derivada un punto crítico resulta negativa, entonces en ese valor es donde la función alcanza su máximo valor.
Ejemplo 1: Encontrar el mínimo y el máximo valor de la función 3
22 4 63xf x x x
Primero encontremos la derivada de f x
2'3
f x 3
2
2 2
4 2 6
' 2 8 6 Igualando a cero 2 8 6 0
x x
f x x x x x
Recuerda: La pendiente de toda recta vertical es cero. La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto.
Si (positiva) La función alcanza su mínimo valor en x.
Si (negativa) La función alcanza su máximo valor en x.
Sugerencia:
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Ahora hay que resolver la ecuación de segundo grado que resultó
2 2FACTORIZANDO FACTORIZANDO2 8 6 0 2 4 3 0 2 1 3 0x x x x x x
1 0 3 0
1 3 puntos críticos
x ó x
x x
Encontrando la segunda derivada
2 DERIVANDO' 2 8 6 '' 4 8f x x x f x x
Evaluando la segunda derivada en los puntos críticos
'' 1 4 1 8 4 8 4 4 0 (negativo)f
Entonces la función alcanza su valor máximo cuando 1x
'' 3 4 3 8 12 8 4 4 0 (positivo)f
Entonces la función alcanza su valor mínimo cuando 3x Finalmente encontremos el valor mínimo y máximo de la función
3 2
Que es 2
3 2
2 2 2 2 6 8 81 1 4 1 6 1 4 6 2 1, Máximo3 3 3 3 3 3 3
2 23 3 4 3 6 33 3
f
f
3 3 3 36 18 18 18 0 3,0 Mínimo
Para que un producto de cómo resultado cero, uno de los factores (cualquiera) debe ser cero
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Ejemplo 2: Si 2 42y x x encontrar el mínimo y máximo valor de y.
2 4 3 3DERIVANDO IGUALANDOA CERO2 ' 4 4 4 4 0y x x y x x x x
Para resolver la ecuación resultante se factoriza
3 2FACTOR COMÚN DIFERENCIA4 DE CUADRADOS4 4 0 4 1 0 4 1 1 0xx x x x x x x
Un producto resulta cero cuando alguno de sus factores es cero, entonces
4 0 ó 1 0 ó 1 0
0 1 1 Puntos círticos
x x x
x x x
Ahora evaluamos en la segunda derivada los puntos que encontramos 3 2DERIVANDO' 4 4 '' 4 12y x x y x
2
2
2
'' 0 4 12 0 4 como 4 0 (es positivo) en 0 hay un mínimo.
'' 1 4 12 1 4 12 8 como 8 0 (es negativo) en 1 hay un máximo.
'' 1 4 12 1 4 12 8 como 8 0 (es negativo) en 1 hay un máximo.
y x
y x
y x
finalmente encontremos los valores mínimos y máximos.
2 4
2 4
2 4
0 2 0 0 0 (0,0) mínimo
1 2 1 1 2 1 1 1,1 máximo
1 2 1 1 2 1 1 1,1 máximo
y
y
y
EJERCICIOS Encontrar los valores mínimos y máximos para las siguientes funciones:
a) 3 26 9f x x x x
b) 3 3 4f x x x
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50
c) 24 3 8f x x x
d) 3 23 2f x x x
e) 2
24
xf xx
f) 2 1xf x
x
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