Lección 3.2

Diferenciación Implícita

04/07/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 18

Objetivo

• Identificar funciones expresadas de manera

implícitas.

• Hallar la derivada de funciones implícitas.

• Halar la derivada usando el método de

diferenciación logarítmica.

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Ejemplo 1

• Calcule si la ecuación:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

dx

dy xy 2

xdx

dy

dx

d2

12 dx

dyy

ydx

dy

2

1

xy

xdx

dy

xdx

dy

2

1

2

1

xy

xy

3 de 18

Ejemplo 2

• Determine la ecuación de la recta tangente

por el punto ( 2, 3) por la gráfica de la

ecuación:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

10925 22 yx

Nota: Para graficar una

ecuación en GRAPH, use

opción “Insert Relation”

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Solución Ejemplo 2

• (Encuentre pendiente m)

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

)3,2(dx

dy

)109()25( 22

dx

dyx

dx

d

0250 dx

dyyx

xdx

dyy 502

y

x

dx

dy

2

50

)3(

)2(25

)3,2(

dx

dy

3

50

)2(3

503

xy

3

109

3

50

xy

y

x25

Sustituya pendiente y punto:

3

100

3

503

xy

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Calcule si la ecuación:

Solución:

Ejemplo 3

0933 xyyx

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

dx

dy

0933

dx

dxyyx

dx

d

09933 22 ydx

dyx

dx

dyyx

0933

dx

dxy

dx

dy

dx

dx

dx

d

23xdx

dyy23 )(9 x

dx

dy

dx

dyx 0

yxdx

dyx

dx

dyy 9393 22

yxxydx

dy93)93( 22

)3(3

)3(32

2

xy

yx

dx

dy

xy

xy

3

32

2

xy

yx

dx

dy

93

932

2

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Ejemplo 4

• Calcule si la ecuación:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

yxyx cossincossin dx

dy

)cos(sin)cos(sin yxdx

dyx

dx

d

ydx

dx

dx

dcossin

xcos

)1(sinsin xdx

dyy

)1(sinsin

)1(coscos

xy

yx

dx

dy

xdx

dyy

dx

dx sincoscossin

dx

dyysin )sin(sin

dx

dyyx xy coscos

dx

dyy

dx

dyyx sinsinsin

xcosdx

dyysin

dx

dyyx sinsin xycoscos

)1(coscos yx

xxy coscoscos

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Ejemplo 5

• Asuma que la ecuación define una función

diferenciable de x, encuentre dy/dx:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

yx cot6

ydx

dx

dx

dcot6

56xdx

dyy 2csc

dx

dy

y

x

2

5

csc

6

y

x

dx

dy2

5

csc

6

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Ejercicios #1

Calcule si

Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

dx

dy 13 22 yxyx

)1()3( 22 dx

dyxyx

dx

d

03 22 ydx

dxy

dx

dx

dx

d

02)(32 dx

dyyy

dx

dyxx

xydx

dyy

dx

dyx 2323

xy

xy

dx

dy

32

23

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Ejemplo 6

• Calcule la ecuación de la recta tangente por el

punto (3,4) a la gráfica de

Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

332)5( 25 xyxy

)332()5( 25 xyxdx

dy

dx

d

)(22)5(5 4 xydx

dx

dx

dyy

)(22)5(5 4 ydx

dyxx

dx

dyy

Continúa ….

yxdx

dyx

dx

dyy 222)5(5 4

)(22)5(5 4 yxxydx

dy

xy

yx

dx

dy

2)5(5

)(24

ydx

dyxx

dx

dyy 222)5(5 4

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Ejemplo 6 ….

• Sustituyendo la pendiente y punto en la ecuación

de una recta:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

)3(2)54(5

)43(24

)4,3(

dx

dy

14

)3(144 xy

4614 xy

xy

yx

dx

dy

2)5(5

)(24

11 de 18

Ejemplo 7

• Suponga que el radio r y el volumen V

de una esfera son funciones

diferenciables de t. Si la ecuación

expresa una relación entre el volumen y

el radio, escriba una ecuación que

relacionen y .

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

𝑉 =4

3𝜋𝑟3

𝑑𝑉

𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

4

3𝜋𝑟3 =

4

3𝜋𝑑

𝑑𝑡𝑟3 =

4

3𝜋 ∙ 3𝑟2

𝑑𝑟

𝑑𝑡

𝑑𝑉

𝑑𝑇= 4𝜋𝑟2

𝑑𝑟

𝑑𝑡

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Diferenciación Logarítmica

• Calcule si :

• Observe que NO es una función potencia ni una exponencial.

• La diferenciación logarítmica se usa en situaciones donde es

necesario aprovechar las propiedades especiales de los

logaritmos.

• El primer paso consiste de aplicar el logaritmo natural en ambos

lados de la igualdad.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

dx

dy

xxy 5xy xy 5

45xdx

dy 5ln5x

dx

dy ?

dx

dy

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Solución

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

xxy

xxy lnln

xxy lnln

xxdx

dy

dx

dlnln

xxdx

dx

dx

dy

ylnln

1

xdx

dy

yln1

1

)ln1( xydx

dy )ln1( xxx

ara r lnln

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Ejemplo 7

• Calcule si

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

1 xxexydx

dy

1lnln xxexy

1lnlnln xx exy

exxxy ln)1(lnln

)1ln(ln xxxdx

dy

dx

d

1lnln xxxy

1)ln(1

xxdx

d

dx

dy

y

12

1ln

11

xx

xx

dx

dy

y

1

2

ln

x

x

x

xy

dx

dy

1

2

ln1

x

x

x

xex xx

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Ejercicios #2

• Calcule si

Solución:

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dx

dy xxy

1

51

xxy1

51lnln

xx

y 51ln1

ln

xdx

dxx

dx

d

xdx

dy

y

151ln51ln

11

x

xdx

dy

dx

d51ln

1ln

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Solución de Ejercicios #3 …

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 04/07/2011

2

151ln

51

511

xx

xxdx

dy

y

2

51ln

)51(

51

x

x

xxdx

dy

y

2

51ln

)51(

5

x

x

xxy

dx

dy

2

51ln

)51(

5)51(

1

x

x

xxx x

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Referencias del Web 3.2

• Visual Calculus – Implicit Differentiation

– Tutorial on Implicit differentiation.

– Drill 1 ; Drill 2 ; problems for differentiation

using the implicit differentiation.

• SOS Math – Implicit Differenciation

• Ejercicios de Práctica: Larsen página 131

problemas 1 al 20 y 35 al 34. Soluciones de

los problemas impares están en la página

A43

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