Ing. Luis Ernesto Aguilar Derivación implícita por el método “A LO MACHO”

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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA MATEMÁTICA BÁSICA 2 Ing. Luis Ernesto Aguilar

DERIVACIÓN IMPLÍCITA:

Existe un método de derivación implícita que es mucho mas sencillo que derivarlo por el método largo, este método por decirlo así es el método “A LO MACHO” de derivación implícita, sin embargo este se explica hasta cuando se cursa la MATEMÁTICA INTERMEDIA 2 (mate 5), PARA MI esto no es del todo bueno que sea explicado hasta allá, únicamente porque el método de demostración requiere de técnicas muy avanzadas, pero ¿Cuántas veces no utilizamos las formulas sin saber su procedencia?, por ejemplo, las formulas geométricas para áreas y volúmenes son aplicaciones directas del calculo integral, sin embargo las utilizamos, y las formulas de física para el movimiento uniformemente variado son aplicaciones directas del calculo diferencial, ¡pero aun sin saber de donde salían las utilizábamos!, entonces procederé a explicarles el método de derivación implícita “A LO MACHO”:

Ejemplo: Obtenga la derivada de la siguiente ecuación implícita:

�� + ���� = 1 + Primeramente para utilizar el método “A LO MACHO”, dejamos la ecuación igualada a 0:

�� + ���� − 1 − = 0 Luego vamos a suponernos que la variable � es un número y vamos a derivarlo sin más:

0 + 2��� − 0 − = 0

Los anteriores valores de 0 se obtienen porque supusimos que � es un número, ahora vamos a derivar la función original suponiéndonos que � es un número, entonces obtenemos que:

5�� + 3���� − 0 − 0 = 0 Nuestro resultado será el negativo del cociente de los dos resultados anteriores, entonces:

��

��= −

���� − ��

��� + �����

Ing. Luis Ernesto Aguilar Derivación implícita por el método “A LO MACHO”

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Ejemplo: Compare el resultado anterior con la forma larga de derivación implícita:

�� + ���� = 1 + Procedemos como siempre para derivar:

5����

��+ 2��� + 3����

��

��= 0 +

Utilizando las reglas del producto para derivar anteriormente, ahora se despeja el valor

de la derivada y se obtiene que:

��

��=

�� − ����

��� + �����

Que es igual que antes. El método “A LO MACHO” como se menciono anteriormente

simplifica en gran cantidad el calculo diferencial al suponerse que una variable es constante, en algunas ecuación es mas fácil que en otras, por ejemplo al derivar la función siguiente, es mucho mas fácil utilizar el método “A LO MACHO”

Ejemplo Obtenga la derivada de:

�� + � = �� + ��

Despejando todo a un lado de la igualdad y derivando suponiéndonos que � es constante, entonces:

�� + � − �� − �� = 0 ����� + � ln � − 2� − 0 = 0

Ahora suponiendo que x es variable y derivando se tiene:

�� ln � + ���� − 0 − 2� = 0 La derivada es el negativo del cociente de los resultados anteriores:

��

��= −

����� + �� !� − ��

�� ! � + ����� − ��

Que es el mismo resultado que en el ejemplo del otro documento de derivación implícita.

Ing. Luis Ernesto Aguilar Derivación implícita por el método “A LO MACHO”

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SIN EMBARGO POR SER UN MÉTODO DE MATEMÁTICA INTERMEDIA 2, NO

DEBE UTILIZARSE PARA RESOLVER PROBLEMAS DE EXAMEN DE MATEMÁTICA BÁSICA 2. Quetzaltenango, Guatemala 21 de marzo de 2010.