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DerivadaIntroduccion

DerivadaTasas de cambio: Velocidad

Regla de la cadenaDerivacion implcita

Tasas de cambio relacionadasContenido transversal: Representacion de funciones

Derivacion. Tasas de cambio. Regla de la cadena.Funciones implıcitas. Derivacion implıcita. Tasas

de cambio relacionadas.

Juan Ruiz1 Marcos Marva1

1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Biologıa)

Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)





Contenidos

1 Derivada

2 Introduccion

3 Derivada

4 Tasas de cambio: VelocidadLa derivada como velocidad instantanea

5 Regla de la cadena

6 Derivacion implcita

7 Tasas de cambio relacionadas

8 Contenido transversal: Representacion de funciones






Imaginemos la siguiente situacion: Un guepardo caza unagacela

¿Que tendremos que hacer para calcular su velocidad media? ¿Esesa su velocidad en cada instante? ¿Como podrıamos calcular suvelocidad en cada instante?






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3 Derivada











Definicion formal de derivada

El calculo diferencial esta basado en la nocion de tasa o ındice decambio. Este concepto aparece implıcitamente en palabras comotasa de crecimiento (o velocidad de crecimiento), crecimientorelativo, velocidad, aceleracion, densidad o pendiente de una curva.Ejemplo: Numero de individuos de una poblacion que cambia conel tiempo: tasa de crecimiento o velocidad de crecimiento






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Definicion:

La derivadad de la funcion f en x , que se denota como f ′(x) = dfdx ,

es

f ′(x) = lımh→0

f (x + h)− f (x)

h

Suponiendo que el lımite existe.

La notacion dfdx se debe a Leibniz y se denomina Notacion de

Leibniz Si el lımite existe, se dice que f es derivable en x .







Para que el lımite exista, es necesario que los dos lımites lateralesexistan. El cociente

∆f

∆x=

f (x + h)− f (x)

h

se denomina cociente de diferencias o cociente incremental.






Recta tangente

Definicion:

Si la derivada de una funcion f existe en x = c , entonces la rectatangente en x = c es la recta que pasa por el punto (c , f (c)), conpendiente:

f ′(c) = lımh→0

f (c + h)− f (c)

h

Conociendo la derivada de f en un punto c (que es la pendiente dela recta tangente en ese punto) y las coordenadas del punto(c , f (c)), es posible escribir la ecuacion punto-pendiente de larecta:

y − f (c) = f ′(c) · (x − c)






Tabla de derivadas

Tabla de derivadas






La derivada como velocidad instantanea

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Velocidad media

Velocidad Media

El cociente incremental:

∆f

∆t=

f (t + h)− f (t)

h

Puede interpretarse como la velocidad media de variacion de unafuncion en el intervalo (t, t + h) o como la tasa de variacion de lafuncion en el mismo intervalo.







Velocidad Instantanea

Velocidad instantanea

El lımite del cociente incremental cuando h→ 0:

lım∆t→0

∆f

∆t= lım

h→0

f (t + h)− f (t)

h

Puede interpretarse como la velocidad instantanea de variacion deuna funcion en el intervalo (t, t + h).






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Regla de la cadena

Regla de la cadena

Si g es derivable en x y f es derivable en y = g(x), entonces lafuncion compuesta (f ◦ g)(x) = f [g(x)] es derivable en x , y suderivada se expresa como:

(f ◦ g)′(x) = f ′[g(x)]g ′(x)






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Derivacion implcita

Derivacion implcita

No siempre es posible o conveniente expresar y explıcitamentecomo funcion de x , por ejemplo:

xy + sin(y) = tg(x)

Esta ecuacion no se puede resolver, a pesar de que la mismaimplique que y es funcion de x . La derivacion implıcita nos permitecalcular dy

dx en tales situaciones. En general, si w es funcion de y ,como y es funcion de x , se tiene

dw

dx=

dw

dy

dy

dxJuan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)





Derivacion implcita

Ejemplo: dwdx si w = y2.






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Tasas de cambio relacionadas

Como a menudo es sencillo escribir relaciones entre variables,aprovechando la derivacion implıcita, se pueden encontrarrelaciones entre las tasas de cambio de estas variables sinnecesidad de obtener expresiones explıcitas de cada una respectode cualquiera de las otras.

Ejemplo

En el instante t una celula esferica tiene un radio r(t). Si elvolumen V crece a una velocidad constante p, encontrar las tasasde crecimiento de r y de la superficie S en terminos de p y r , asıcomo la relacion entre dichas tasas de crecimiento sin necesidad deencontrar una relacion entre S y V .






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Representacion de funciones

Representacion de funciones

El contenido de esta seccion se destina a trabajo en casa delalumno.






Claudia Neuhaser. Matematicas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall.


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