Semana 2 - Regla dCe La Cadena

7/25/2019 Semana 2 - Regla dCe La Cadena

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Departamento de Ciencias 2016-0 1

SEMANA 2CURSO: CLCULO III

Tema :

REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

La regla de la cadena para funciones de una variable dice que cuando )(xfw es una

funcin diferenciable dex, y )(tgx es una funcin diferenciable de t, wse convierte

en una funcin diferenciable de ty dtdw / puede calcularse mediante la frmula

dt

dx

dx

dw

dt

dw.

Para funciones de dos o ms variables, la regla de la cadena tiene varias formas. Laforma depende del nmero de variables en cuestin, pero funciona como regla de lacadena de una funcin de una variable, una vez que consideramos la presencia devariables adicionales.

Teorema.- Sea RRDf 2: una funcin diferenciable, definida por ( , )u f x y y

( , ) y ( , )x h r s y g r s , y existen las derivadas parciales , , , , ,u u x x y y

x y r s r s

;

Entonces las derivadas parciales de la funcin compuesta ( ( , ), ( , ))u f x r s y r s se puedencalcular mediante:

u u x u y

r x r y r

;

u u x u y

s x s y s

.

Caso Particular: Si ( , )z f x y , donde ( )x x t ; ( )y y t , entonces la derivada total de zrespecto de t se puede calcular: o bien haciendo la sustitucin, o bien, aplicando la siguientefrmula:

dz z dx z dy

dt x dt y dt

.. (1)

Ejemplo 1 Dada la funcinz=2xy donde 2 2x s t ;s

yt

; hallar ;z z

s t

Solucin

Como2

12 ; 2 ; 2 2 ; ;

z z x x y y sy x s t

x y s t s t t t

entonces

Re la de la cadena o timizacin de funciones de varias variables


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2 21 2 2(3 )(2 )(2 ) (2 ) 4

z z x z y x s ty s x ys

s x s y s t t t

2 3

2 2 2

2 2 2(2 )(2 ) (2 )( ) 4

z z x z y s xs st sy t x ytt x t y t t t t

Ejemplo 2 Si 2 43z x y xy , donde 2x sen t y cosy t . Determine dz dt cuando 0t .

Solucin

Por la regla de la cadena tenemos

4 2 3(2 3 )(2cos2 ) ( 12 )( )

dz z dx z dyxy y t x xy sent

dt x dt y dt

No es necesario escribir las expresiones para yx y en trminos de tsimplemente observemos

que cuando 0t tiene 0 0x sen y cos0 1y . Por lo tanto

0

(0 3)2cos0 (0 0)( 0) 6t

dz z dx z sen

dt x dt t

La derivada del ejemplo 2 se puede interpretar como la razn de cambio dezcon respecto a t

cuando el punto ( , )x y se desplaza por la curva Ccuyas ecuaciones paramtricas son 2x sen t

, y cost . Ver figura

En particular, cuando 0t , el punto ( , )x y es (0,1) y 6dz dt es la razn del incremento

cuando uno se desplaza por la curva Cque pasa por el punto (0,1) . Por ejemplo si2 4( , ) 3z T x y x y xy representa la temperatura en el punto ( , )x y , entonces la funcin

compuesta ( 2 , )z T sen t cost representa la temperatura en los puntos sobre Cy la derivada

dz dtrepresenta la razn a la cual la temperatura cambia a lo largo de C .

Ejemplo 3La figura siguiente muestra un bloque de hielo cilndrico que se funde. Debido al calor del Solque le llega desde arriba, su altura h decrece con ms rapidez que su radio r . Si su altura

disminuye a 3cm/h y su radio a 1cm/h cuando 15r cm y 40h cm Cul es la tasa de cambiodel volumen V del bloque en ese instante?


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Solucin

Con 2V r h , la regla de la cadena ofrece

22 .dV V dr V dh dr dh

rh rdt r dt h dt dt dt

Al sustituir los valores de 15r cm , 40h cm , 1dr

dt y 3

dh

dt se encuentra que

22 (15)(40)( 1) (15) ( 3) 1875 5890.49dV

dt (cm3/h).

As en el instante en cuestin, el volumen del bloque cilndrico disminuye a poco menos de 6

litros por hora.

Ejemplo 4 Dosobjetos recorren trayectorias elpticas dadas por las ecuaciones paramtricassiguientes

1 1

2 2

4cos y 2 (Primer objeto)

2 2 y 3cos2 (Segundo objeto)

x t y sent

x sen t y t

A qu velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t ?

Solucin

En la figura siguiente se puede ver que la distancia s entre los dos objetos est dada por


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2 2

2 1 2 1( ) ( )s x x y y

y que cuando t , se tiene 1 1 2 24 , 0 , 0 , 3x y x y y

2 2(0 4) (3 0) 5s .

Cuando t , las derivadas parciales de s son las siguientes.

2 1

2 21 2 1 2 1

2 1

2 21

2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

Cuando t , las derivadas de 1 1 2 2, , yx y x y son

1 1

2 2

4 0 , 2 2

4 2 4 , 6 2 0

x ysent cost

t t

x ycos t sen t

t t

Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a unavelocidad o ritmo

1 1 2 2

1 1 2 2

4 3 4 3(0) ( 2) (4) (0)

5 5 5 5

22.5

dx dy dx dyds s s s s

dt x dt y dt x dt y dt


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar dtdw / utilizando la regla de la cadena apropiada

a) tytxyxw 3;2,22 b) teytxyxw ,cos,22 c) tyexxsenyw t ,,

d) sentytxx

yw

,cos,ln

2.

Hallar dtdw/ a) utilizando la regla de la cadena apropiada y b) convirtiendo wenfuncin de t antes de derivar

a)tt eyexxyw 2,,

b) 1,),cos(

2 ytxyxw

c) tezsentytxzyxw ,,cos,222

d) tztytxzxyw arccos,,,cos 2

3. En los siguientes ejercicios hallar sw / y tw / utilizando la regla de la cadenaapropiada y evaluar cada derivada parcial en los valores desytdados.

a) 0,1:,,,22 tsPuntotsytsxyxw

b) 2,1:,,,3 23 tsPuntoeyexyxyw ts

c) 2/,0:,,),32( tsPuntotsytsxyxsenw

d) 4/,3:,,cos,22 tsPuntosentsytsxyxw

4.

El voltaje en los extremos de un conductor aumenta a una tasa de 2 volts/min y laresistencia disminuye a razn de 1 ohm/min. EmpleeI=E/Ry la regla de la cadena

para calcular la tasa a la cual la corriente que circula por el conductor estcambiando cuandoR= 50 ohms yE= 60 volts.

5. La longitud del lado marcadoxdel tringulo de la figura aumenta a una tasa de 0.3

cm/s, el lado marcado y crece a una tasa de 0.5 cm/s y el ngulo incluido aumenta a una tasa de 0.1 rad/s. Emplee la regla de la cadena para determinar la

tasa a la cual el rea del tringulo est cambiando en el instante x= 10 cm,y= 8 cmy 6/


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OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS RELATIVOS

En cursos anteriores se estudiaron las tcnicas para hallar valores extremos de una

funcin de una variable. En esta sesin se extienden estas tcnicas a funciones de dosvariables. Por ejemplo, en el Teorema siguiente se extiende el teorema de valor extremo

para una funcin de una sola variable a una funcin de dos variables.

Considrese la funcin continua f de dos variables, definida en una regin acotada

cerrada R. Los valores ),( baf y ),( dcf tales que

),(),(),( dcfyxfbaf

para todo (x,y) en R se conocen como el mnimoy mximode f en la regin R, como

se muestra en la figura.

Recurdese que una regin en el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera.El teorema del valor extremo se refiere a una regin en el plano que es cerrada yacotada. A una regin en el plano se le llama acotadasi es una subregin de un discocerrado en el plano.

Teorema Teorema del valor extremoSea f una funcin continua de dos variables x y y definida en una regin acotadacerrada R en el planoxy.

1. Existe por lo menos un punto enR, en el que f toma un valor mnimo.2.

Existe por lo menos un punto enR, en el que f toma un valor mximo.

A un mnimo tambin se le llama un mnimo absoluto y a un mximo tambin se le

llama mximo absoluto. Como en el clculo de una variable, se hace una distincinentre extremos absolutos y extremos relativos.


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Definicin Extremos relativos

Sea f una funcin definida en una reginRque contiene ),( 00 yx .

1. La funcin f tiene un mnimo relativoen ),( 00 yx si

),(),( 00 yxfyxf

para todo (x,y) en un disco abierto que contiene ),( 00 yx .

2.

La funcin f tiene un mximo relativoen ),( 00 yx si

),(),( 00 yxfyxf

para todo (x,y) en un disco abierto que contiene ),( 00 yx .

Decir que f tiene un mximo relativo en ),( 00 yx significa que el punto ),,( 000 zyx es

por lo menos tan alto como todos los puntos cercanos en la grfica de ),( yxfz . De

manera similar,f tiene un mnimo relativo en ),( 00 yx si ),,( 000 zyx es por lo menos tan

bajo como todos los puntos cercanos en la grfica.

Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que elgradiente de f es 0 los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista.Tales puntos se llamanpuntos crticos de f.

Definicin Puntos crticos

Sea f definida en una regin abierta R que contiene ),( 00 yx . El punto ),( 00 yx es un

punto crtico de f si se satisface una de las condiciones siguientes:

1. 0),(00

yxfx

y 0),(00

yxfy

2. ),( 00 yxfx o ),( 00 yxfy no existe.


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Recurdese de la sesin anterior que si f es diferenciable y

j0i0

j),(i),(),( 000000

yxfyxfyxf yx

Entonces toda derivada direccional en ),( 00 yx debe ser 0. Esto implica que la funcin

tiene un plano tangente horizontal al punto ),( 00 yx , como se muestra en la figura

Al parecer, tal punto es una localizacin probable para un extremo relativo. Esto esratificado por el teorema siguiente

Teorema Los extremos relativos se presentan slo en puntos crticos

Si f tiene un extremo relativo en ),( 00 yx en una regin abiertaR, entonces ),( 00 yx es

un punto crtico de f.

Ejemplo 1Hallar los extremos relativos de 20682),( 22 yxyxyxf

SolucinPara comenzar, encontrar los puntos crticos de f. Como

84),( xyxfx Derivada parcial con respecto ax.

y62),( yyxfy Derivada parcial con respecto a y.

estn definidas para todoxyy, los nicos puntos crticos son aquellos en los cuales las

derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se hacen ),( yxfx

y ),( yxfy igual a 0, y se resuelven las ecuaciones

084 x y 062 y

Para obtener el punto crtico (2,3 ). Completando cuadrados, se concluye que paratodo )3,2(),( yx


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.33)3()2(2),( 22 yxyxf

Por tanto, un mnimorelativo de f se encuentra en (2, 3). El valor del mnimo

relativo es 3)3,2( f , como se muestra en la figura.

El ejemplo 1 muestra un mnimo relativo que se presenta en un tipo de punto crtico; el

tipo en el cual ambos ),( yxfx y ),( yxfy son 0. En el siguiente ejemplo se presenta un

mximo relativo asociado al otro tipo de punto crtico; el tipo en el cual ),( yxfx o

),( yxfy no existe.

Ejemplo 2

Hallar los extremos relativos de 3/1221),( yxyxf

Solucin

Como

3/2

223

2),(

yx

xyxfx

y

3/2

223

2),(

yx

yyxfy

se sigue que ambas derivadas parciales existen para todo punto en el planoxysalvo para(0,0). Como las derivadas parciales no pueden ser ambas 0 a menos que xyysean 0, seconcluye que (0,0) es el nico punto crtico. En la figura siguiente se observa que

)0,0(f es 1. Para cualquier otro (x,y) es claro que

11),( 3/122 yxyxf

Por tanto,f tiene un mximo relativo en (0,0).


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Observacin

En el ejemplo 2, 0),( yxfx para todo punto distinto de (0,0) en el eje y. Sin embargo,como ),( yxfy no es cero, stos no son puntos crticos. Recurdese que una de las

derivadas parciales debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un punto crtico.

EL CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES

El teorema anterior afirma que para encontrar extremos relativos slo se necesita

examinar los valores de ),( yxf en los puntos crticos. Sin embargo, como sucede con

una funcin de una variable, los puntos crticos de una funcin de dos variables nosiempre son mximos o mnimos relativos. Algunos puntos crticos danpuntos silla que

no son ni mximos relativos ni mnimos relativos.

Como ejemplo de un punto crtico que no es un extremo relativo, considrese lasuperficie dada por

22),( xyyxf Paraboloide hiperblico

que se muestra en la figura.

En el punto (0,0), ambas derivadas parcialesson 0. Sin embargo, la funcin f no tiene unextremo relativo en este punto ya que en tododisco abierto centrado en (0,0) la funcin asumevalores negativos (a lo largo del ejex) y valores

positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, elpunto (0,0,0) es un punto silla de la superficie.(El trmino punto silla viene del hecho de

que la superficie mostrada en la figura se parecea una silla de montar).

En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fuerelativamente fcil determinar los extremos relativos, porque cada una de las funciones


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estaba dada, o se poda expresar, en la forma de cuadrado perfecto. Con funciones mscomplicadas, los argumentos algebraicos son menos adecuados y es mejor emplear losmedios analticos presentados en el siguiente criterio de las segundas derivadas

parciales. Es el anlogo, para funciones de dos variables, del criterio de las segundasderivadas para las funciones de una variable. La demostracin de este teorema se deja

para un curso de clculo avanzado.

Teorema Criterio de las segundas derivadas parcialesSea f una funcin con segundas derivadas parciales continuas en una regin abierta quecontiene un punto (a, b) para el cual

0),( bafx y 0),( bafy

Para buscar los extremos relativos de f, considrese la cantidad

2

),(),().,( bafbafbafd xyyyxx

1. Si 0d y 0),( bafxx , entonces f tiene un mnimo relativo en (a, b)

2. Si 0d y 0),( bafxx , entonces f tiene un mximo relativo en (a, b)

3. Si 0d , entonces )),(,,( bafba es unpunto silla

4. Si 0d el criterio no lleva a ninguna conclusin.

Observacin

Si 0d , entonces ),( bafxx y ),( bafyy deben tener el mismo signo. Esto significa que

),( bafxx puede sustituirse por ),( bafyy en las dos primeras partes del criterio.

Un recurso conveniente para recordar la frmula de den el criterio de las segundasderivadas parciales lo da el determinante 22

),(),(

),(),(

bafbaf

bafbafd

yyyx

xyxx

Donde ),(),( bafbaf yxxy bajo ciertas condiciones.

Ejemplo 3Identificar los extremos relativos de 124),( 23 yxyxyxf

SolucinPara comenzar, se identifican los puntos crticos de f . Como

yxyxfx 43),(2 y yxyxfy 44),(

Existen para todo x y y, los nicos puntos crticos son aquellos en los que ambasderivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se igualan a 0

),( yxfx y ),( yxfy y se obtiene 0432 yx y 044 yx . De la segunda ecuacin


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se sabe que yx , y por sustitucin en la primera ecuacin, se obtienen dos soluciones:

0 xy y 3/4 xy . Como

4),(,6),( yxfxyxf yyxx y 4),( yxfxy

se sigue que, para el punto crtico (0,0),

0160)0,0()0,0().0,0( 2 xyyyxx fffd

y, por el criterio de las segundas derivadas parciales,se puede concluir que (0,0,1) es un punto silla. Para el

punto crtico 3/4,3/4 ,

01616)4(8

)3/4,3/4()3/4,3/4().3/4,3/4(2

xyyyxx fffd

y como 08)3/4,3/4( xxf se concluye que f

tiene un mximo relativo en 3/4,3/4 , como semuestra en la figura.

Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse los extremos

relativos por dos razones. Si alguna de las primeras derivadas parciales no existe, no sepuede aplicar el criterio. Si

0),(),().,( 2 bafbafbafd xyyyxx

el criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar de hallar los extremosmediante la grfica o mediante algn otro mtodo, como se muestra en el siguienteejemplo.

Ejemplo 4

Hallar los extremos relativos de

22

),( yxyxf

Solucin

Como 22),( xyyxfx y yxyxfy22),( , se sabe que ambas derivadas parciales son

igual a 0 si 0x o 0y . Es decir, todo punto del ejexo del ejeyes un punto crtico.

Como22),( yyxfxx ,

22),( xyxfyy y xyyxfxy 4),(

se sabe que si 0x o 0y , entonces


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012164

),(),().,(

222222

2

yxyxyx

yxfyxfyxfd xyyyxx

Por tanto, el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente, no funciona.

Sin embargo, como 0),( yxf para todo punto en los ejesxoyy 0),(22

yxyxf en todos los otros puntos, se puede concluir que cada uno de estos puntos crticos son unmnimo absoluto, como se muestra en la figura

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Identificar los extremos de la funcin reconociendo su forma dada o su formadespus de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas

parciales para localizar los puntos crticos y probar si son extremos relativos.

a) 22 31),( yxyxf

b) 22 235),( yxyxf

c) 1),( 22 yxyxf

d) 22225),( yxyxf

e) 662),( 22 yxyxyxf

f) 641210),( 22 yxyxyxf

2.

Examinar la funcin para localizar los extremos relativos.

a) 164623),( 22 yxyxyxf

b) 54323),( 22 yxyxyxf

c) 2810105),( 22 yxyxyxf

d) 3222),( 22 xyxyxyxf

e) yxyxyxyxf 2

2

1),( 22

f) 22),( yxyxf


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g) 2),( 3/122 yxyxf

h)22122

2

1),( yxeyxyxf

3.

Examinar la funcin para localizar los extremos relativos y los puntos silla

a) 228080),( yxyxyxf

b) yxyxyxf 22),(

c) 22 3),( yxyxyxf

d) yxyxyxyxf 3),( 22

4. Una caja rectangular descansa en el plano xycon uno de sus vrtices en el origen.

El vrtice opuesto est en el plano 24346 zyx como se muestra en la figura.

Hallar el volumen mximo de la caja.

5. Un fabricante de artculos electrnicos determina que la ganancia o beneficio P (endlares) obtenido al producirxunidades de un reproductor de DVD yyunidades deun grabador de DVD se aproxima mediante el modelo

10000001.0108),( 22 yxyxyxyxP

Hallar el nivel de produccin que proporciona una ganancia o beneficio mximo.Cul es la ganancia mxima?

6. Hallar tres nmeros positivos x, y y z que satisfagan las condiciones dadasa) El producto es 27 y la suma es mnima.

b) La suma es 32 y zxyP 2 es mximac) La suma es 30 y la suma de los cuadrados es mnima.d) El producto es 1 y la suma de los cuadrados es mnima.


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7. Costos Un contratista de mejoras caseras est pintando las paredes y el techo de

una habitacin rectangular. El volumen de la habitacin es de 668.25 pies cbicos.El costo de pintura de pared es de $0.06 por pie cuadrado y el costo de pintura detecho es de $0.11 por pie cuadrado. Encontrar las dimensiones de la habitacin queden por resultado un mnimo costo para la pintura. Cul es el mnimo costo por la

pintura?

8. Volumen mximo El material para construir la base de una caja abierta cuesta 1.5

veces ms por unidad de rea que el material para construir los lados. Dada unacantidad fija de dinero C, hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que

puede ser fabricada.

9. Un comedero de secciones transversales en forma de trapecio se forma doblandolos extremos de una lmina de aluminio de 30 pulgadas de ancho (ver la figura).Hallar la seccin transversal de rea mxima.

10. Costo mnimo Hay que construir un conducto para agua desde el punto P al puntoS y debe atravesar regiones donde los costos de construccin difieren (ver figura).El costo por kilmetro en dlares es 3kdePa Q, 2kdeQaRy kdeRa S. Hallarx

yy tales que el costo total C se minimice.

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