derivada

Derivada de una función

Lic. Elsie Hernández S..

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28


● Introducción ● La derivada de una función ● Notaciones para la derivada de una función ● Continuidad y derivabilidad ● Teoremas sobre derivadas ● Derivada de una función compuesta (Regla de la cadena) ● Diferenciales. Interpretación geométrica

❍ Incrementos ❍ Diferenciales

● Derivadas de orden superior ● Derivada de la función logarítmica ● Derivada de la función exponencial ● Derivada de las funciones trigonométricas ● Derivadas de las funciones inversas ● Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas ● Funciones paramétricas ● Funciones implícitas y su derivada

❍ Derivada de segundo orden para una función dada en forma implícita ● Teorema de Rolle(o teorema sobre las raíces de la derivada ● Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange) ● Teorema de Cauchy del valor medio (o extensión del teorema del valor medio para derivadas) ● Regla de L'Hôpital

❍ Introducción ❍ Teorema: Regla de L'Hôpital ❍ Teorema ❍ Aplicación de la Regla de L'Hôpital a otras formas indeterminadas ❍ Límites que presentan la forma ❍ Otras formas indeterminadas

● Software ❍ Graficador para f(x), f '(x) y f ' '(x) y tangentes❍ Cálculo de derivadas

Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/index.html27/11/2005 12:28:50 a.m.

mailto:[email protected]



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Introducción

El problema de la tangente

"Muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden transferirse o hacerse depender de un problema básico que ha sido de interés para los matemáticos desde los griegos (alrededor de 300-200 a. de J.C.). Es éste el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto específico a ella. Fue resuelto este problema por métodos especiales en un gran número de ejemplos aislados aún en la temprana historia de las matemáticas. Por ejemplo, es bastante fácil resolver el problema si la curva es un círculo, y todo estudiante ha visto esta solución en su geometría de secundaria. Sin embargo, no fue si no hasta el tiempo de Isaac Newton (1642-1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que se dio un método general sistemático para obtener la solución. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invención del cálculo. Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco interés a los no matemáticos, el hecho es que las técnicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columna vertebral de gran parte de la ciencia y la tecnología actuales. Por ejemplo, la dirección del movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se define en términos de la dirección de la recta tangente a la trayectoria de movimiento. Las órbitas de los planetas al rededor del sol y las de los satélites artificiales alrededor de la Tierra, se estudian esencialmente comenzando con la información sobre la recta tangente a la trayectoria del movimiento. Un tipo diferente de problemas es el de estudiar la descomposición de una sustancia radioactiva tal como el radio cuando se conoce que la razón de descomposición en cada instante es proporcional a la cantidad de radio presente. La clave de este problema así como la del problema del movimiento, está en un análisis de lo que queremos designar con la palabra razón. Como pronto veremos, este concepto está tan íntimamente relacionado con la pendiente de la recta tangente a una curva, que la formulación matemática abstracta de un problema sobre razones es indistinguible de la formulación del problema de la tangente. Empezamos con el problema de la tangente no solo por su importancia histórica y práctica, sino también porque la intuición geométrica del lector contribuirá a hacer concreta la que, de otro modo, sería una noción abstracta"(Britton, 1968, 323).

Definición

Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.

En la siguiente figura se ha representado gráficamente una recta L secante a una curva:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node2.html (1 de 10)27/11/2005 12:29:02 a.m.



Como al conocer la pendiente de una recta y un punto de ella, la recta queda completamente determinada, se tiene que el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta. Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación , donde es una

función continua.

Se desea trazar la recta tangente en un punto dado de la curva.

Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos y de la curva.

La pendiente de esta secante, denotada está dada por:

Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X, y como es ese ángulo para la recta secante, entonces:

Supongamos que existe una recta tangente a la curva en .

Sea PT dicha recta.

Mantenemos ahora el punto P fijo y hacemos que el punto Q se aproxime a P, a lo largo de la curva. Cuando esto sucede, la inclinación de la recta secante se aproxima a la inclinación de de la



recta tangente, lo que puede escribirse como

En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir,

Además, cuando Q tiende hacia P, la abscisa tiende hacia por lo que puede

escribirse como

Luego

Si denotamos por la pendiente de la recta tangente a la curva en , entonces

Definición

La pendiente de la recta tangente a la curva con ecuación en el punto

, denotada es igual al , siempre que este límite

exista.

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación , en el punto

.

La ecuación de la recta tangente es: . Utilizando la definición anterior vamos a averiguar

la pendiente en .

Solución:

Así:

Luego , por lo que . Para averiguar b sustituimos el punto como

sigue: de donde .

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es .



La representación gráfica de la curva y de la recta tangente es el siguiente:

Definición

Se dice que la recta normal a una curva en el punto , es la línea que pasa por

P y es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Además, recuerde que dos líneas no verticales son perpendiculares entre sí, si y solo si sus pendientes tienen valores recíprocos negativos.

Si es la pendiente de la recta tangente y la de la recta normal, entonces:

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación , en el punto



Solución:

Como , averiguamos primero la pendiente de la recta tangente. Así:

Como , entonces

La ecuación de la recta normal es: . Sustituyendo en la ecuación anterior se

obtiene . Por tanto, la ecuación de la recta normal es .

La representación gráfica de la curva y la recta normal es la siguiente:

La ecuación de la recta tangente es

Ejercicio



Determinar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación

, en el punto

Otros ejemplos

1. Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola con ecuación , y que es

paralela a la recta con ecuación .

Solución:

Recuerde que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales.

Note que en este caso no nos indican el punto de tangencia en la curva.

Como la recta tangente es paralela a la recta de ecuación , entonces .

Calculemos :

Como se tiene que y por tanto .

Si entonces

El punto de tangencia es

La ecuación de la recta tangente es:

Sustituimos y se obtiene que

Entonces la ecuación de la recta tangente es

La representación gráfica es la siguiente:



Estudiaremos ahora un segundo problema que involucra un límite similar al utilizado al determinar pendiente de una recta tangente a una curva.

Dicho problema es el de determinar la velocidad de una partícula en un instante de tiempo .

Recibe el nombre de movimiento rectilíneo el efectuado por una partícula a lo largo de una línea recta.

Sea la función con ecuación , que describe la distancia dirigida de la partícula

a un punto fijo O, en cualquier tiempo , ( se mide en metros y en segundos).

Cuando , la partícula se encuentra a 1 metro de O y cuando , la partícula

está a 10 metros de O, como se representa a continuación:

La velocidad promedio de la partícula es la razón del cambio en la distancia dirigida desde un punto fijo, al cambio en el tiempo.

En este caso, en el lapso de tres segundos, la velocidad media, denotada , está dada por

metros por segundo.

Note que la velocidad promedio de la partícula no es constante, y que además ésta no proporciona información específica referente al movimiento de la partícula en cualquier instante determinado.

Para el movimiento anterior, la velocidad media desde segundos hasta otro tiempo cualquiera, está dada por:



Si quisiéramos determinar la velocidad al final de 3 segundos, es decir la velocidad instantánea cuando no podríamos averiguarla con la fórmula anterior, pues si se sustituye el denominador se hace cero.

Sin embargo, cuanto más corto sea el intervalo de a , la velocidad promedio

estará más cerca de lo que intuitivamente se consideraría como la velocidad instantánea en seg.

Surge así la siguiente definición sobre la velocidad instantánea:

Definición

Si una partícula se mueve sobre una línea recta de tal forma que su distancia dirigida s,

a un punto fijo de la recta está dada en función del tiempo por la ecuación ,

entonces la velocidad en cualquier instante es:

siempre que este límite exista

Utilizando la definición anterior, se puede averiguar la velocidad en el instante , de

la siguiente forma:

Luego, la velocidad cuando es de 6 metros por segundo.

La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa, según la partícula se mueva a lo largo de la recta en dirección positiva o en la negativa; es cero cuando la partícula está en reposo.

La rapidez de la partícula en un instante de tiempo t, se define como , siendo

simplemente la magnitud de la velocidad, es decir, su valor absoluto, por lo que será siempre positiva o nula.

La aceleración es una medida de la variación de la velocidad. La aceleración es cero si una partícula se mueve sobre una recta con velocidad constante.

Si la velocidad de la partícula está dada por la ecuación , donde t es el tiempo,

entonces la aceleración en el instante , se define como el límite de la aceleración

media de la siguiente forma:



Observe la semejanza con la definición de velocidad instantánea como límite de la velocidad media.

Ejemplos:

1. La ecuación describe el movimiento de una partícula sobre una recta. La

distancia al origen está en metros y está en segundos. Calcular la velocidad cuando .

Solución

Se debe determinar la velocidad instantánea cuando

metros por segundo.

Así cuando , la velocidad de la partícula es de 8 metros por segundo.

2. Una partícula P se mueve en línea recta de acuerdo con la ecuación , donde s,

(en metros), es la distancia al punto de partida en el tiempo ,(en segundos). Determinar la distancia de P al punto de partida cuando la velocidad es nula.

Solución:

Debemos averiguar primero la velocidad de la partícula en cualquier instante .



metros por segundo.

Ahora averiguaremos el valor de para el que la velocidad se hace cero:

segundos

Por último, calculemos la distancia que ha recorrido la partícula al cabo de segundos.

Ejercicio:

Dos partículas y parten de un mismo punto en una recta y se mueven a lo largo de ella según

las ecuaciones , y, , donde y están en metros en metros, y en

segundos.

1. En qué tiempos tendrán las dos partículas la misma velocidad?2. Determine las velocidades de las partículas en los tiempos en que están en la misma posición

sobre la recta.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

La derivada de una función

En la resolución de los dos problemas anteriores: el de trazar una recta tangente a una curva dada y el de determinar la velocidad instantánea de una cierta partícula, se obtuvo como resultado dos límites:

Ambos límites tiene básicamente la misma forma y son casos específicos de un tipo especial de límite que se define a continuación.

Definición de derivada

Sea una función real definida en un intervalo . Sea

La derivada de f en el punto , denotada , es el si este

límite existe.

Note que, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la curva con ecuación

en el punto , es precisamente la derivada de evaluada en .

También, si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la

ecuación de movimiento , puede observarse que en la definición de

velocidad instantánea de la partícula en , es la derivada de respecto a , evaluada en

.

Si en la definición de derivada se sustituye por h, entonces cuando

y .

Luego , si este límite existe. La función es derivable en

si existe.

Si existe para cada en un intervalo , , se dice que la función es

derivable en ; se escribe

Ejemplos:

Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

Se debe calcular el




La expresión indica que la función debe evaluarse en . Así

Luego:

Por tanto, si entonces

2.

En este caso

Luego:



Si entonces

3.

En este caso

Luego:

Si entonces

Ejercicio:

Determine, utilizando la definición de derivada, la derivada de cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

2.

3.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Notaciones para la derivada de una función

Si es una función derivable en un intervalo , , el proceso por medio del cual

se obtiene , da origen a una nueva función que recibe el nombre de función

derivada.

El dominio de está formado por todos los números del dominio de para los que

exista .

Por ejemplo, si con entonces está definida únicamente

para .

Si con una función derivable entonces la derivada de f puede denotarse por:

a. que se lee: derivada de f(x) respecto a x.

b. que se lee: derivada de "y" respecto a x.

c. que se lee: "y" prima.






1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Continuidad y derivabilidad

En el capítulo anterior se estudiaron las condiciones para que una función fuera continua en un punto. También se determinó la continuidad en un intervalo, que puede asociarse con la representación gráfica de una curva que no tiene "brincos" o "saltos bruscos".

Vamos ahora a relacionar la continuidad con la derivabilidad de una función en un

punto , por medio del siguiente teorema.

Teorema

Si una función es derivable en un punto , entonces es continua en .

Prueba: Al final del capítulo.

El recíproco de este teorema no es cierto. Es decir, el hecho de que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en él. Antes de estudiar algunos ejemplos, necesitamos conocer las siguientes definiciones sobre derivadas laterales.

Definición




Si es una función continua definida en , entonces:

1. La derivada por la derecha, que se denota , se define por la igualdad:

, siempre que el límite exista.

La derivada por la izquierda, denotada , se define por la igualdad:

, siempre que el límite exista.

Como consecuencia de la definición de derivada, se tiene que existe si y solo si

existen las derivadas laterales y ambas son iguales.

Así:

existe

Ejemplos:

1. Consideremos la función definida por:

Vamos a determinar si es continua en 1 y si existe.

Para lo primero tenemos que:

a. existe pues

b.Como ,y

entonces



Luego es continua en pues

Para lo segundo determinaremos las derivadas laterales.

a.

b.

Como entonces no existe.

Luego, se ha comprobado que aunque es continua en se tiene que no es

derivable en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:



Note que en la gráfica de tiene un "pico", siendo precisamente en

donde no es derivable la función.

2. Sea la función con ecuación:

Determinemos si existe y si es continua en

Calculemos las derivadas laterales

a.

b.

Luego por lo que no es derivable en



Probemos ahora si f es continua en

a. existe pues ;

b. y

Entonces es continua pero no es derivable en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Note que la gráfica tiene una tangente vertical en ..

El hecho de que no sea derivable en cero, está relacionado con el hecho de que

una recta vertical no tiene pendiente.

3. Sea la función con ecuación:

Determinemos si esta función es continua y derivable en . Se tiene que



existe pues

Como

y

Entonces existe y además , por lo que es una

función continua en .

Estudiemos ahora las derivadas laterales:

a.

b.

Como entonces no existe.

Nuevamente, aunque una función sea continua en un punto esto no garantiza que sea derivable en él.

La representación gráfica de esta función es la siguiente:



Note que nuevamente la recta tangente a la curva en es una línea vertical.

Ejercicio:

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.

2.

a.

Determine si es continua en

b.

Halle y

c.

Determine si es derivable en



d.Haga la representación gráfica.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teoremas sobre derivadas

Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

Teorema

La derivada de una función constante es cero. Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplos:

1. Si entonces

2. Si entonces

3. Si entonces

Teorema

Si entonces es derivable sobre y

Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplos:

1.

2.

3.

Teorema

Si con y pertenece al conjunto A en el que está bien definida,

entonces es derivable en y


Ejemplos:

1. Si entonces




2. Si entonces

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Teorema

Si la función es derivable sobre un intervalo y es un número real,

entonces la función para la que es derivable sobre , además

.

Prueba: Ejercicio para el estudiante utilizando la definición de derivada de una función.

Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Ejemplos:

1. Si entonces

2. Si entonces

3.

4.

5.

Teorema



Si y son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la función

es derivable sobre y además

, para .


Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones. También:

donde son funciones derivables sobre un intervalo .

Ejemplos:

1.

2.

3.

Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es

derivable sobre , y además para cualquier se tiene que

Ejemplos:

1.

2.

Teorema

Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función

es derivable sobre , y además para cualquier se tiene que


Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera.



Ejemplos:

1.

2.

3. , con a, b, c, k constantes.

4.

Teorema

Si y son dos funciones derivables y si sobre un intervalo entonces la

función es derivable sobre , y además para cualquier y se tiene que


Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

Ejemplos:

1.



con

2.

con

3.

con





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de una función compuesta

Regla de la cadena

Si consideramos las ecuaciones entonces puede escribirse "y" como

.

En igual forma, si entonces puede expresarse "y" como

.

En general, si entonces .

Las ecuaciones anteriores dan en forma explícita las siguientes funciones:

La función para la cual recibe el nombre de función compuesta y se

escribe .

Observe que los elementos del dominio de son los que pertenecen al dominio de la

función , tales que pertenezca al dominio de .

Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama:

Otros ejemplos de funciones compuestas son:

1. donde y

2. donde y

Determinaremos ahora la derivada de una función compuesta.




Teorema

Si la función es derivable sobre un intervalo y si la función

es derivable sobre un intervalo tal que

, entonces la función compuesta es

derivable sobre y , para .

Esta fórmula recibe el nombre de regla de la cadena.

Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2. con

3.

Corolario

Si la función es derivable sobre un intervalo y si y

están definidas para con , entonces la función

es derivable sobre y además

, para .

Este teorema es una aplicación inmediata de la regla de la cadena en la forma

con y

Ejemplos: de derivadas de funciones compuestas

1.

En este caso por lo que

2.



3.

4.

5.

Ejercicio:

Determine la derivada de las funciones con ecuaciones:

1.

2.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Incrementos

Estudiaremos este punto antes de definir el diferencial y dar su interpretación geométrica.

Al dar la definición de la derivada de una función como el , se

utilizó para señalar un número distinto de cero tal que pertenece al dominio de

.

Gráficamente se tiene la representación de y la recta tangente:

Puede decirse que es la diferencia entre las abscisas de dos puntos de la gráfica de .

Esta diferencia recibe el nombre de incremento de y se denota por .

Para una función dada al sustituir por en la expresión se

obtiene de donde .

Si entonces el incremento en "y" correspondiente al incremento de , que

se denota por , está dado por .

Así , es el cambio en "y" debido al cambio en .

La razón recibe el nombre de razón promedio de cambio de

o de "y", respecto a , para el intervalo .

La derivada: recibe el nombre de razón

instantánea de cambio o simplemente razón de cambio de "y" o de respecto a .

Ejemplos:




1. Si hallar en términos de y

i.

Determinar para:

a.

b.

Solución:

a.

Para se tiene que:

Puede decirse que existe un incremento de en las ordenadas

debido a un incremento de en las abscisas.

b.Para y se tiene que:

ii.Hallar la razón promedio de cambio de "y" respecto a para el intervalo

y para el intervalo

Solución:

La razón promedio de cambio de "y" respecto a "x" está dada por:

de donde

En el intervalo se tiene y el intervalo

se obtiene

iii.Hallar la razón de cambio de "y" respecto a "x".



Determinar el valor de esta rezón en 2 y en 4.

Solución:

La razón de cambio de "y" respecto a "x" está dada por:

En esta razón instantánea es y en toma el valor de

2. Demostrar que la razón de cambio del volumen de una esfera con respecto a su radio, es igual al área de la superficie de la esfera.

Solución:

El volumen de una esfera de radio es

La razón de cambio del volumen con respecto al radio está dado por:

expresión que corresponde precisamente al área de la superficie

de la esfera.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Diferenciales

Sea una función definida por , derivable sobre un intervalo

Sea diferente de cero tal que pertenece al dominio de y el punto

esté en la gráfica de como se muestra en la siguiente figura:

Sabemos de la definición de derivada que:

si el límite existe

luego:

de donde para cualquier existe tal que siempre que

o sea, siempre que .

Lo anterior significa que puede hacerse tan pequeño como se quiera,

tomando suficientemente pequeño.

Luego, es tan buena aproximación para el incremento como se desee,

tomando suficientemente pequeño.

Definición




Si es una función tal que existe sobre un intervalo y si es cualquier

número distinto de cero, la diferencia de con respecto a es igual

multiplicada por . Esta diferencial se denota por de tal forma que

.

Ejemplos:

Si entonces .

Consideremos ahora una función compuesta donde siendo

la variable independiente final y "x" la variable intermedia. Luego .

Aplicando la definición anterior tanto a "y" como a "x" se obtiene:

.

Utilizando la regla de la cadena para derivar respecto a se obtiene que

.

Luego , fórmula que se escribe usualmente

, y que se lee como la diferencial como la diferencial de "y" es igual a la

derivada de "y" con respecto a "x", multiplicada por la diferencial de "x" donde ,

son diferenciales con respecto a la misma variable.

Definición

Si una función está definida por entonces la diferencial de se denota

, está dada por donde es la variable independiente final, y además, la

diferencial "y" es siempre: .

En la figura anterior es fácil observar que es una mejor aproximación de

conforme se hace cada vez más pequeña.

Ejemplos:

1. Determinar , , para

Solución:

Consideremos

Calculemos primero el incremento:

Para de donde



Ahora calculemos la diferencial

Luego para se tiene que

Por último .

2. Utilizando diferenciales calcular aproximadamente el valor de .

Solución:

Tomemos .

Nos interesa determinar una aproximación a para y .

Para ello calculamos el diferencial de "y".

; sustituyendo "x" por 125 y por -3 se obtiene que:

Luego

Así aproximamos para , con

Luego .

3. El lado de un cuadrado es igual a . Hallar el incremento aproximado de su

área si el lado aumenta .

Solución:

Sea donde es el lado del cuadrado, A denota su área.

Se desea determinar cuánto aumenta el área cuando la longitud del lado pasa de a .

Calculemos la diferencial de área: Así:

, donde y

Luego:

y aproximamos para con

de donde , área del nuevo cuadrado.

El incremento del área es de .



4. Al calentar una esfera de radio , su volumen aumentó . Hallar el alargamiento del radio de la esfera. Solución:

Sea la ecuación para el volumen de la esfera.

En este caso conocemos la diferencial del volumen de la esfera que está dada por . Debemos averiguar la diferencial o el incremento del radio, es

decir

Como y entonces:

y por tanto .

El radio de la esfera se alargó .

Ejercicio:

Resuelva los problemas siguientes:

1. Hallar el valor aproximado de

2. Sea y , donde y son funciones derivables sobre un dominio

común. Exprese la diferencial del producto en términos de las diferenciales de y .

3. Un paralelepípedo rectangular de de altura tiene por base un cuadrado cuyo lado es igual a . ¿Cuánto aumentará el volumen del paralelepípedo si el lado de la base se alarga

?

4. De cada cara de un bloque cúbico de madera se saca una capa de de espesor. Si el bloque tenía originalmente de arista, aproximadamente ¿cuánto va a decrecer el volumen a causa del proceso?

Nota: A partir de la notación diferencial se tiene que por lo que se puede

dividir por obteniéndose por tanto que .

El usar el cociente de diferenciales para denotar la derivada de se debe a Leibniz y se

utiliza a veces al denotar las derivadas de orden superior.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivadas de orden superior

Si es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:

para en el dominio de .

Si para algunos valores existe el se dice que existe la

segunda derivada de la función que se denota por o , que equivale a

. O sea, la segunda derivada de la función se obtiene derivando la primera

derivada de la función.

Ejemplos:

1. Si entonces:

y

2. Si entonces:

y derivando nuevamente

Por tanto

Similarmente podemos decir que la derivada de respecto a "x" es la tercera

derivada de respecto a "x" que se denota o .

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada y así podríamos

continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de que se denota por o

. Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la

derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n.




Ejemplos:

1. Determinar , donde

Solución:

Obtenemos primero

Luego:

y se tiene que:

2. Determinar

Solución:

Se tiene que:

Por último:

3. Si determinar .

En este caso debemos dar una forma general para la derivada de orden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que calculemos.

Así:



.

.

.

4. Obtener .

Solución:

Ejercicio para el estudiante

Una aplicación de la segunda derivada

Anteriormente hemos estudiado que si nos indica la distancia de una partícula al

origen en un tiempo , entonces es la velocidad en el tiempo .

Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular se

obtiene la aceleración instantánea en el tiempo . Si denotamos esta aceleración por

se tiene que , es decir, la aceleración es la segunda derivada de la distancia

respecto al tiempo.

Ejemplo:

Sea , la ecuación que determina la distancia en el tiempo (en

segundos) de una partícula al origen en un movimiento rectilíneo. Determinar el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleración es nula.

Solución:

Si entonces la velocidad, está dada por:

Averigüemos el tiempo en que la aceleración se hace cero.



Luego, la distancia recorrida cuando es metros y la velocidad en es

.

Otros ejemplos con la segunda derivada

Si es la ecuación de una curva, se sabe que determina la pendiente de la

recta tangente a la gráfica de en un punto .

Se tiene que es la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente respecto a .

Más adelante utilizaremos la segunda derivada de una función para determinar los extremos relativos de una función y para determinar la concavidad de la gráfica de una función.

Ejemplos:

1. Determinar la pendiente de la recta tangente en cada punto de la gráfica de la

curva con ecuación , en los que la razón de cambio de la

pendiente es cero.

Solución:

Se tiene que da la pendiente de la recta tangente a la curva.

Además determina la razón de cambio de la pendiente.

Debemos averiguar los valores de en los que esta razón de cambio es cero;

Entonces

Luego, cuando la pendiente es y cuando la

pendiente también es cero.

2. Determinar la razón de cambio de la pendiente en para la curva con

ecuación .

Solución:

La razón de cambio de la pendiente está dada por la segunda derivada de la función, así:

En el punto con coordenadas la razón de cambio de la pendiente es:

Luego




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de la función logarítmica

Vamos a estudiar la derivada de la función definida por , donde

tal que

Teorema

Si , entonces la función

es derivable sobre su dominio


Ejemplos:

1.

2.

Teorema

Sea , si la función es derivable y sobre

un conjunto , entonces la función definida por , es

derivable sobre y .


Ejemplos:

1.

2.

3.




En particular si la base de los logaritmos es " " entonces el se denota por , y:

1. , es decir

2. Si es una función derivable con entonces:

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejercicio:

Si calcule, utilizando diferenciales, un valor aproximado a tres decimales

de





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de la función exponencial

La función exponencial de base "a", con , tiene como dominio

.

En el teorema siguiente se dará la derivada de la función exponencial.

Teorema


Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Observe que si la base de la función exponencial es , entonces de

donde

Teorema

Si es derivable sobre entonces la

función compuesta es derivable sobre y

.

Prueba: Se deja como ejercicio al estudiante.

Igual que el caso anterior, si la base de la función exponencial es , entonces

de donde .

Ejemplos:

1.

2.




3.

4.

5.

Ejercicios:

IDetermine la derivada de cada una de la funciones siguientes: 1.

2.

3.

4.

5.

II

1.Determine la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación

tal que sea paralela a la recta con ecuación .

2.Determinar la ecuación de la recta tangente trazada a la curva con ecuación

en el punto de su intersección con el eje Y.

3.La dependencia entre la cantidad de sustancia obtenida en cierta reacción química y el tiempo de reacción se expresa por la ecuación

. Determinar la velocidad de reacción.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de las funciones trigonométricas

A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

1.


Utilizando esta como guía, junto con el teorema sobre derivada de un cociente de funciones, se pueden realizar las respectivas demostraciones sobre las derivadas de las funciones trigonométricas.

En general, aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas, se cumple que

.

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

Ejercicio:

Determine la primera derivada de cada una de las funciones con ecuaciones:

a.

b.

c.

2.


En general, si aplicando la regla de la cadena se tiene que

Ejemplos:

a.




b.

c.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

c.

d.

3.


En general, su entonces aplicando la regla de la cadena se obtiene que

.

Ejemplos:

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.

4.




Si , aplicando la derivada para la composición de funciones se obtiene que

.

Ejemplos:

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.

5.

Prueba: Ejercicio para el estudiante

Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que .

Ejemplos:

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.



6.

Prueba: Ejercicio para el estudiante

Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que .

Ejemplos:

a.

b.

c.

Ejercicio:

Determine si

a.

b.

c.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivadas de las funciones inversas

Previo al estudio de las funciones trigonométricas inversas, es necesario determinar la derivada de la función inversa de una función dada. Para ello consideremos el siguiente teorema.

Teorema

Sea una función estrictamente creciente y continua en un intervalo la

función inversa de .

Si existe y es diferente de cero para , entonces la función derivada

también existe y no es nula en el correspondiente "y" donde .

Además se tiene que .

Note que si entonces , y


Ejemplos:

1. Consideremos la función definida por:

Esta función posee función inversa definida por:

Se tiene que

Como

Note que:

2. Sea la ecuación de una función definida en tal que

.




Se tiene que entonces

Así:

El teorema anterior será de gran utilidad cuando determinemos las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas

Conviene recordar que:

a.Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente).

b.Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación. Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función.

Función seno inverso

Al considerar la gráfica de la función seno:

Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:

, etc, la función seno es continua y estrictamente

creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir la función inversa de la

función seno. Usualmente se toma el intervalo . Luego, se define la función seno

como:

La función así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo ,

por lo que existe una única función, definida en el intervalo , llamada función seno

inverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue:




Se tiene entonces que .

Luego, es el único número para el cual .

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

La representación gráfica de la función seno y de la función arcoseno es la siguiente:

Derivada de la función seno inverso

Como , aplicando el

teorema de la derivada de una función inversa se tiene que:

Como , y entonces

pues .



Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Función coseno inverso

Como en la función seno, la función coseno es continua y estrictamente decreciente en

varios intervalos por ejemplo: , etc, por lo cual debe restringirse

su dominio de tal forma que posea función inversa.

Sea entonces la función tal que:

La función así definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo ,

por lo que posee función inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y se denota .

Se define de la siguiente forma:

Se tiene que

Luego, es el único número con para el que

Ejemplos:



a.

b.

c.

d.

La representación gráfica de la función seno y la de la función arco coseno es la siguiente:

Derivada de la función coseno inverso

Como , aplicando el teorema de la

derivada de la función inversa se tiene que:

Como , y entonces

pues .

Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.



Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Función tangente inversa

Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la función tangente

al intervalo , en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee

función inversa.

Luego se define la función tangente como:

Se define la función tangente inversa, también llamada arco tangente, y denotada , como:

Se tiene que ,


Ejemplos:

a.

b.

c.

Además:

La representación gráfica de la función tangente y la de la función arcotangente es la siguiente:



Derivada de la función arcotangente



Como , y entonces por lo que:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.



c.

Función cotangente inversa

Para definir la función inversa de la función cotangente, vamos a restringir el dominio de

ésta al intervalo , en el que es continua y estrictamente decreciente, por lo que posee

función inversa.

Se define función cotangente como:

La función cotangente inversa, llamada también arco cotangente y denotada , se define como:

Por la definición de la función arco cotangente se tiene que

.


Ejemplos:

a.

b.

c.

Además:

La representación gráfica de la función cotangente y la de la función arcocotangente es la siguiente:



Derivada de la función cotangente inversa



Como , y entonces por lo que:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Función secante inversa



Vamos a elegir como dominio de la función secante el intervalo de donde

, ya que en la función secante es biunívoca y la derivada de

la función inversa puede expresarse por medio de una sola fórmula.

La representación gráfica de la función secante en el intervalo señalado es el siguiente:

Como puede observarse, la función secante es continua en , siendo estrictamente

decreciente en y estrictamente creciente en .

Existe por tanto la función secante inversa, llamada también arco secante y se denota definida por:

Por la definición de función arcosecante se tiene que:

Luego, es el único número con

tal que

Ejemplos:

a.



b.

c.

La representación gráfica de la función arcosecante es la siguiente:

Note que:

Derivada de la función secante inversa

Como

, utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:

Como , y cuando , entonces

pues

Luego

En general, si entonces

Ejemplos:

1.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIF...ENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node16.html (10 de 14)27/11/2005 12:30:19 a.m.


2.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Nota:

La función secante inversa también suele definirse por la siguiente igualdad:

. En este caso

Se deja como ejercicio para el estudiante que compruebe esta igualdad.

Función cosecante inversa

Tomaremos como dominio de la función cosecante el intervalo

, en el que la función cosecante es biunívoca.

La representación gráfica de la función cosecante en el intervalo señalado es la siguiente:

Como puede observarse, la función cosecante es continua en , siendo estrictamente



creciente en y estrictamente decreciente en .

Existe por tanto la función cosecante inversa, llamada también arco cosecante y que se denota definida por:

Por la definición de función arco cosecante se tiene que:

Luego, es el único número con

tal que

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

La representación gráfica de la función arco cosecante es la siguiente:

Note que:



Derivada de la función cosecante inversa

Como

, utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:

Como , y para , entonces

pues

Luego

En general, si entonces

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Nota: La función cosecante inversa también suele definirse por la siguiente igualdad:

.

Además , igualdad que debe comprobar el

estudiante como ejercicio.

Verifiquemos que .



Luego , y se verifica la igualdad.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Funciones paramétricas

En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma

o , como en las igualdades , sino que

está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones .

Se tiene que a cada valor de le corresponde un punto del plano, el conjunto de los

cuales determina una relación

La siguiente tabla de valores:

nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones funciones continuas en un

intervalo reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación

paramétrica de una curva en el plano . La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano , que se obtiene cuando , que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio .

La relación que determinan las ecuaciones paramétricas, en general no es una función, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relación dada sí es una función.

Por ejemplo, sean .




Obtenemos la siguiente tabla de valores:

La representación gráfica es la siguiente:

En este caso, al sustituir se obtiene que que es la

ecuación de la parábola con el eje como el eje de simetría por lo que sí es una función. Note que la ecuación obtenida involucra únicamente las variables "x" e "y". Se dice entonces que el parámetro ha sido eliminado.

En algunos casos, en la eliminación del parámetro se utiliza una o más identidades trigonométricas como se muestra a continuación.

Sea la relación con representación paramétrica .

Se tiene que

Vamos a expresar la relación utilizando únicamente las variables "x" e "y" como sigue:

de donde es la ecuación de una circunferencia con centro en y radio 2.

Luego no representa una función y su representación gráfica es la siguiente:



puede expresarse entonces como:

Sea ahora R la relación con representación paramétrica con .

En este caso

Para expresar R en términos de "x" e "y", se despeja en alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra como se muestra a continuación:

Si entonces

Luego la ecuación para tiene como representación gráfica la

siguiente:

Por último verifiquemos que es una ecuación de la relación

determinada por las ecuaciones paramétricas , con .



Como entonces , y como entonces

Luego , de donde , que es la

ecuación de una elipse con centro en

Su representación gráfica es la siguiente:

Derivada de la función dada paramétricamente

El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica.

Teorema

Sean funciones derivables en un intervalo . Supongamos que tiene

una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde , las

ecuaciones implican que existe una función derivable tal que

, y además


Ejemplos:

1. Determine

Solución:

Por el teorema anterior se tiene que

Luego:

por lo que

2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones en los



que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.

Solución:

Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por .

Como entonces

La pendiente de la recta tangente es cero cuando , en este caso cuando

; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de . Luego, no

existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.

3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones

cuando

Solución:

La ecuación de la recta tangente está dada por , donde .

Se tiene que

Cuando , por lo que

Cuando se obtiene , y al sustituir en se obtiene: .

Luego, la ecuación de la recta tangente es:

Derivadas de orden superior para una función dada en forma paramétrica

Si están dadas en forma paramétrica entonces puede expresarse como sigue:

Ejemplo:

Si entonces y

En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Funciones implícitas y su derivada

Al considerar la función con ecuación , es posible determinar

con los teoremas enunciados anteriormente, ya que es una función dada implícitamente

en términos de la variable independiente .

Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes:

Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para "y" en términos de "x". Se

dice que la función está definida implícitamente por las ecuaciones:

respectivamente.

Note que ambas expresiones son de la forma general .

Interesa ahora determinar la derivada de una función dada en forma implícita.

Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores:

a.

Observe que involucra un producto de funciones y que para derivar

se debe utilizar la regla de la cadena.

Se tiene entonces derivando:

Despejando se tiene que:

Sustituyendo "y" por se obtiene:




b. derivando

de donde

y sustituyendo se tiene:

El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivación implícita, y puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que la ecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido.

Por ejemplo, la ecuación no puede ser satisfecha por ningún valor real de

"x" y "y". Al realizar el procedimiento anterior se obtiene que de

donde , fórmula que parece tener significado para "x" y "y" siempre que

, aunque de hecho no puede existir derivada ya que la ecuación dada no especifica

ninguna función .

La derivación implícita determina una fórmula para , que es válida para toda

función derivable tal que esté definida implícitamente por una ecuación dada.

Ejemplos:

1. Suponiendo que existe una función derivable tal que está definida

implícitamente por la ecuación , calcular

Solución:

Derivando implícitamente se obtiene:

Note que hemos trabajado como si .

2. En cada caso determinar una ecuación para la recta tangente y una ecuación para



la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto . Graficar la curva, la recta tangente y la recta normal.

a.

b.

Solución:

a.

Primero obtenemos que nos da la pendiente de la recta tangente:

de donde

Evaluando se tiene que

Luego . Sustituyendo se obtiene que por lo que la

ecuación de la recta tangente es

La pendiente de la recta normal es de donde la ecuación de esta

recta es: ; sustituyendo nuevamente en se obtiene que

La ecuación de la recta normal es:

La ecuación puede escribirse como

que representa la ecuación de una circunferencia

con centro en y radio .

La representación gráfica de la curva y las rectas es la siguiente:

b.

Dada la ecuación obtenemos . como entonces



Evaluando en se tiene que

Luego, la pendiente de la recta tangente es y la ecuación es

. Sustituyendo en esta ecuación se obtiene que por

lo que finalmente la ecuación de la recta tangente es .

La pendiente de la recta normal es y la respectiva ecuación es:

. Sustituyendo se obtiene que por lo

que la ecuación de la recta normal es .

La representación gráfica de la curva, las recta tangente y de la recta normal es la siguiente:

Ejercicios para el estudiante:

1. Probar que las rectas tangentes en el origen a las curvas con ecuaciones

son perpendiculares entre sí.

2. En cada caso: a.

Determinar en términos de "x" y "y" utilizando la derivación

implícita.

b.Despejar "y" en términos de "x" y demostrar que cada solución y su derivada satisfacen la ecuación obtenida en a.

i

ii , a cte



iii

3. Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación

en el punto





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Derivada de segundo orden para una función dada en forma implícita

Especificaremos en los ejemplos siguientes el procedimiento que se sigue para determinar

.

Ejemplo A:

Sea la ecuación , obtenemos primero en la forma siguiente:

de donde

ahora

se sustituye , y se obtiene:

Simplificando:

pero de la ecuación original por lo

que: , y

Ejemplo B:

Determinar

Primero calculamos

Luego:




sustituyendo se tiene:

pues en la ecuación original.

Ejercicio:

Determine y exprese el resultado en la forma más simplificada posible.

a.

b. a cte.

c. a cte, b cte.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema de Rolle (o teorema sobre las raíces de la derivada)

Sea una función que cumple las condiciones siguientes:

1. es continua sobre un intervalo cerrado

2. es derivable sobre un intervalo abierto

3.

Entonces existe por lo menos un número real tal que .

O sea para cierto .


Interpretación geométrica

Este teorema puede interpretarse geométricamente de la manera siguiente:

Si una curva continua interseca al eje en y tiene una recta tangente en cada uno de los

puntos del intervalo , entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es

paralela al eje .

Gráficamente se tiene:

El teorema también es válido para una función derivable, que, aunque en los extremos del intervalo no

interseque al eje , sí tome valores iguales para "a" y "b", es decir, .




Es necesario que la función posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la función sea continua en el intervalo, si no es derivable en algún punto, puede suceder que no exista ningún valor "c" para

el que sea igual a cero.

Por ejemplo, la función con ecuación es continua en el intervalo y además se

cumple que , pero la derivada de no está definida para , y

se tiene que no se hace cero en el intervalo dado.

La representación gráfica de esta función en el intervalo es la siguiente:

Ejemplos:

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones se dan a continuación, verificar que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo indicado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

1.

2.

3. Ejercicio para el estudiante

4. Ejercicio para el estudiante

Solución:



1. Por ser una función polinomial es derivable y por lo tanto continua para todo . se cumplen

entonces las dos primeras condiciones en el intervalo

Además por lo que la curva interseca al eje y se cumple la tercera condición.

Luego, debe existir por lo menos un número tal que

Como si y solo si entonces puede tomarse

Luego en el punto la recta tangente es paralela al eje

2. De nuevo, es una función polinomial y por tanto es derivable, y continua para toda . En

particular, en el intervalo se cumplen las dos primeras condiciones.

Además verificándose la tercera condición.

Luego, el teorema es válido en el intervalo y existe tal que . Como

entonces si y solo si . Note que ambos

valores pertenecen al intervalo .

Luego, en los puntos , la recta tangente tiene

pendiente cero y por tanto dicha recta es paralela al eje .





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange)

Sea una función que cumple las propiedades siguientes:

1. Es continua sobre un intervalo cerrado

2. Es derivable sobre un intervalo abierto

Entonces existe por lo menos un número tal que y


Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral.

En su demostración se utilizará el teorema de Rolle.


El teorema del valor medio puede interpretarse geométricamente como sigue:

Consideremos la representación gráfica de una curva continua :

La recta secante que une los puntos tiene como pendiente

. Según el teorema del valor medio, debe existir algún punto sobre la

curva, localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela a la recta secante que

pasa por P y Q; es decir, existe algún número tal que

Ejemplos:

Para cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:




1.

2.

3.

4.

Solución:

1. Por ser una función polinomial, es derivable para toda por lo que debe

existir por lo menos un número tal que:

Además por lo que

Como entonces por lo que

Luego en y en la recta tangente es

paralela a la recta secante que pasa por los puntos y .

2. Como es continua en el intervalo y derivable en el intervalo

cumplirá ambas condiciones en el intervalo

Luego debe existir por lo menos un número tal que

Como ,

entonces por lo que

Resolviendo la ecuación se obtiene que o

Aunque ambos valores de pertenecen al intervalo ,se tiene que

únicamente cuando



Luego en la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por

los puntos .

Gráficamente se tiene:

El análisis de las otras funciones queda como ejercicio para el estudiante.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema de Cauchy del valor medio (o extensión del teorema del valor medio para derivadas)

Sean dos funciones continuas sobre un intervalo cerrado y derivables

sobre el intervalo abierto .

Si para , entonces existe un número tal que

.



Considere la representación gráfica de una curva , que tiene ecuaciones

paramétricas donde .

Utilizando la derivación paramétrica se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la curva en un determinado valor está dada por

Además, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos

está dada por:

Por el teorema de Cauchy del valor intermedio, existe por lo menos un valor en

tal que:




En este caso, hay dos valores de que satisfacen la conclusión del teorema y son .

Ejemplos:

En cada caso, determinar los valores tales que satisfacen el teorema de Cauchy

del valor medio.

1.

2.

Solución:

1. Las funciones y son continuas y derivables en el intervalo por ser

funciones polinomiales.

Además: por lo que , y es

diferente de cero para . Como se cumplen todas las condiciones existe

en tal que:

Como entonces sustituyendo en

la expresión anterior: de donde y se obtiene que

2. Las funciones y son continuas y derivables en el intervalo pues ambas

son el cociente de dos polinomios donde es

diferente de cero para en .

Además: por lo que , es

diferente de cero para . Como se cumplen todas las condiciones del

teorema de Cauchy del valor medio, existe en tal que:

Como entonces

sustituyendo en la igualdad anterior se tiene: y por lo que



Como no pertenece al intervalo , el valor que satisface la

conclusión del teorema es , que sí pertenece al intervalo dado.

El teorema de Cauchy del valor será utilizado en la demostración de algunos teoremas que se refieren a la regla de L'Hôpital y que serán estudiados en el próximo apartado.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Introducción

La regla de L'Hopital es un método que se le atribuye al matemático francés Guillaume Francois de L'Hopital (1661-1707). Este escribió el primer libro de cálculo conteniendo su método, junto con J. Bernoulli. Fue publicado en 1696.

Este método nos permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados

anteriormente no era posible resolver. Así, al evaluar límites de la forma en

algunos casos se podía aplicar el teorema para el límite de un cociente:

siempre que

Aún cuando y , a veces es posible determinar

. Por ejemplo el que es de la forma puede escribirse como

Sin embargo, existen límites como en los que tanto el numerador como el

denominador tienden a cero cuando tiende a 2, para los que no hemos dado ningún procedimiento que permita determinar su valor.

El siguiente teorema llamado Regla de L'Hopital proporciona el instrumento adecuado para la evaluación de tal tipo de límites.


http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node25.html27/11/2005 12:30:47 a.m.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema: Regla de L'Hôpital

Sean funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en cierto

intervalo y tales que .

Entonces, si existe , también existirá y además

También, si entonces

Demostración Al final del capítulo.

Ejemplos:

Calculemos el utilizando el teorema anterior.

Observe que , por lo que se tiene la forma

Luego:

Nota: Si y las derivadas satisfacen las condiciones

que se especificaron para las funciones y , según la hipótesis de el teorema de la

Regla de L'Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo la Regla de L'Hôpital, obteniéndose que:

Puede operarse así sucesivamente siempre que se presente la forma .

Ejemplos:

Calculemos los límites siguientes:

1.




Note que ; se presenta la forma y puede aplicarse

el teorema.

Luego:

, aquí se presenta de nuevo la forma por lo que

es posible aplicar otra vez el teorema.

Entonces:

2. forma:

forma:

3. forma:

Ejercicio para el estudiante:

Calcule los límites siguientes utilizando la Regla de L'Hôpital.



Antes de aplicarla asegúrese de tener la forma indeterminada .

1.

2.

3.

4.





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Teorema

Sean funciones derivables, (y por tanto continuas), en un intervalo ,

donde es una constante positiva. Sea .

Si y si entonces

Además, si entonces


Este teorema nos permite aplicar la regla de L'Hôpital a límites en que se presenta la

forma , cuando la variable independiente tiende hacia . También puede aplicarse

cuando al tender a menos infinito se tiene que .

Ejemplos:

Calculemos los siguientes límites utilizando el teorema anterior.

1.

Cuando se tiene que por lo que .

Se presenta la forma y podemos aplicar el teorema anterior.

Luego:

forma




2. forma

3. forma





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Aplicación de la Regla de L'Hôpital a otras formas indeterminadas

La Regla de L'Hôpital también se aplica en los casos en que un cociente presenta algunas de las formas siguientes:

Daremos a continuación, sin demostración, los teoremas que permiten evaluar tal tipo de límites.

Teorema

Sean funciones continuas y derivables para todos los valores en un intervalo

abierto , excepto cuando .

Si para se tiene que:

i

ii

iii

iv existe el

entonces también existe y además

Ejemplo:

Calcular

Observe que:

a.

b.

Luego, se presenta la forma por lo que puede aplicarse el teorema anterior como

sigue:




(Recuerde que )

forma

Teorema

Sean funciones derivables para toda , donde es una constante positiva.

Además, para se cumple que sí:

i

(o )

ii

(o )

iii

Entonces el también existe y

El teorema también es válido cuando se sustituye

Además, si entonces

Ejemplos:



Calcular los límites siguientes:

1.

forma: pues cuando

2.

Este límite puede escribirse también como:

que presenta la forma

luego:





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Límites que presentan la forma

Si entonces el puede designarse por

la forma que no coincide con ninguna de las expresiones en las que es posible aplicar la Regla de L'Hôpital.

Sin embargo, es posible hacer transformaciones algebraicas de manera que se obtengan

las formas , como sigue:

1. y se tiene cuando

2. y se tiene cuando

En estos dos casos sí es posible aplicar los teoremas de la Regla de L'Hôpital.

Ejemplos:

Calcular los límites siguientes:

1.

Como entonces y

Pero puede escribirse como que presenta la forma lo que nos

permite aplicar la Regla de L'Hôpital como sigue:

2.

Note que si entonces y pero puede

escribirse como:

que presenta la forma cuando .

Luego:




forma

Por tanto:

3.

Este límite vuelve a presentar la forma , sin embargo, la expresión

puede también escribirse como:

que presenta la forma , cuando .

Luego, calculamos el límite como sigue:





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Otras formas indeterminadas

Si en el se tiene que:

1. y

ó

2. y

ó

3. y

entonces dicho límite presenta las formas respectivamente.

Para calcular este tipo de límites se sigue el siguiente procedimiento:

Consideremos la igualdad , tomando logaritmo natural a ambos lados de

ella se tiene: . Note que en la expresión presenta en

todos los casos la forma .

Los límites en que presentan esta forma indeterminada fueron estudiados anteriormente.

Tenemos entonces que:

Como la función logaritmo es continua podemos escribir:

Ejemplos:

Utilizando el procedimiento descrito anteriormente, calculemos los siguientes límites:

1.

Si entonces por lo que se tiene la forma

Luego:




Note que el presenta la forma por lo que puede aplicarse la

Regla de L'Hôpital.

Entonces:

2.

Si entonces y, por lo que se tiene la forma .

Luego:

Note que presenta la forma . Este último límite puede

escribirse como: que es ahora de la forma y al

cual puede aplicarse la Regla de L'Hôpital.

Entonces:

forma

Por tanto:

3.

Se presenta la forma por lo que:



El es de la forma , que puede escribirse como

, que es ahora de la forma , y podemos por tanto

aplicar la Regla de L'Hôpital.

Luego:

4.

Si entonces y por lo que es

de la forma

Luego:

el es de la forma y puede escribirse como

al cual puede aplicarse la Regla de L'Hôpital pues es de la forma

.

Entonces:

forma



forma

Luego:

Otra forma indeterminada

En algunos límites se presenta la forma de la cual no se puede dar un

resultado inmediato. Sin embargo, mediante algunas transformaciones algebraicas es

posible obtener la forma y aplicar luego la Regla de L'Hôpital.

Ejemplos:

1.

Consideramos dos casos:

a.

Si entonces por lo que y

de donde

Luego cuando

b.


de donde

Luego cuando

Note que en ambos casos se tiene

Resolvemos el límite de la siguiente manera:



forma

2.

Consideramos los siguientes casos:

a.


Luego cuando

b.


Luego cuando


Procedemos como sigue para determinar el valor del límite:

forma

3.

Si tenemos que aparece la forma

Para este tipo de límite se factoriza algunos de los sumandos de la manera siguiente:



Calculemos ahora: que presenta la forma

Luego:

4.

Si entonces de nuevo aparece

Factorizamos:

Calculemos que presenta la forma

Luego:





1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Otras formas indeterminadas

Si en el se tiene que:

1. y

ó

2. y

ó

3. y

entonces dicho límite presenta las formas respectivamente.

Para calcular este tipo de límites se sigue el siguiente procedimiento:

Consideremos la igualdad , tomando logaritmo natural a ambos lados de

ella se tiene: . Note que en la expresión presenta en

todos los casos la forma .

Los límites en que presentan esta forma indeterminada fueron estudiados anteriormente.

Tenemos entonces que:

Como la función logaritmo es continua podemos escribir:

Ejemplos:

Utilizando el procedimiento descrito anteriormente, calculemos los siguientes límites:

1.

Si entonces por lo que se tiene la forma

Luego:




Note que el presenta la forma por lo que puede aplicarse la

Regla de L'Hôpital.

Entonces:

2.

Si entonces y, por lo que se tiene la forma .

Luego:

CORRECCIÓN

Note que presenta la forma . Este último límite puede

escribirse como: que es ahora de la forma y al

cual puede aplicarse la Regla de L'Hôpital.

Entonces:

CORRECCIÓN

forma

CORRECCIÓN

Por tanto:

3.

Se presenta la forma por lo que:



El es de la forma , que puede escribirse como

, que es ahora de la forma , y podemos por tanto

aplicar la Regla de L'Hôpital.

Luego:

CORRECCIÓN

CORRECCIÓN

CORRECCIÓN

CORRECCIÓN

4.

Si entonces y por lo que es

de la forma

Luego:

el es de la forma y puede escribirse como

al cual puede aplicarse la Regla de L'Hôpital pues es de la forma

.

Entonces:

CORRECCIÓN

forma CORRECCIÓN

CORRECCIÓN

CORRECCIÓN



forma CORRECCIÓN

CORRECCIÓN

Luego:

Otra forma indeterminada

En algunos límites se presenta la forma de la cual no se puede dar un

resultado inmediato. Sin embargo, mediante algunas transformaciones algebraicas es

posible obtener la forma y aplicar luego la Regla de L'Hôpital.

Ejemplos:

1.

Consideramos dos casos:

a.


de donde

Luego cuando

b.


de donde

Luego cuando


Resolvemos el límite de la siguiente manera:

forma



2.

Consideramos los siguientes casos:

a.


Luego cuando

b.


Luego cuando


Procedemos como sigue para determinar el valor del límite:

forma

3.

Si tenemos que aparece la forma

Para este tipo de límite se factoriza algunos de los sumandos de la manera siguiente:

Calculemos ahora: que presenta la forma



Luego:

4.

Si entonces de nuevo aparece

Factorizamos:

Calculemos que presenta la forma

Luego:



Tangentes

Lic. Elsie Hernández S.


http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/software/tangentes/Tangentes.html27/11/2005 12:31:13 a.m.

Derivador

Derivador

Derivar

Respecto a

La derivada es

Este guión calcula la derivada de la expresión dada respecto a la variable indicada.

http://www.cidse.itcr.ac.cr:8080/webMathematica/NewScript/derivar.jsp27/11/2005 12:31:14 a.m.

.:Centro de Investigación y de Desarrollo de Software Educativo:.

Instituto Tecnológico de Costa RicaEscuela de Matemática

Revista Digital

Alrededor del año 2000 nace ésta publicación con el objetivo de crear un sitio para la divulgación y discusión de las matemáticas. La riqueza visual e interactiva es un gran aporte al proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, permitiendo conceptualizar y visualizar conceptos que algunas veces pueden ser demasiado abstractos como para logar una apropiación adecuada de los mismos.

Centro de Recursos Virtuales (CRV)

El proyecto Centro de Recursos Virtuales que desarrolla la Escuela de Matemática del Instituto Tecnológico de Costa Rica con el apoyo de la fundación Costa Rica-Estados Unidos (CR-USA) constituye un esfuerzo conjunto por investigar y desarrollar alternativas para apoyar los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática.

Cursos en Línea

El objetivo es desarrollar versiones digitales y en línea de nuestros principales cursos, enriquecidos con actividades interactivas, con las cuales el estudiante pueda explorar, visualizar y comprender mejor algunos conceptos.

Web Matemática

Web Matemática es una nueva tecnología desarrollada por Wolfram Reseach Inc que permite desarrolllar sitios web dinámicos, con contenido matemático. Esto se logra integrando Mathematica con la tecnología Java Servlets.

CIEMAC

Es un escenario en el cual, las personas interesadas y comprometidas con la compleja dinámica de la enseñanza de la matemática, podamos compartir, conocer, analizar y debatir experiencias innovadoras.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ (1 de 2)27/11/2005 12:31:20 a.m.


.:Centro de Investigación y de Desarrollo de Software Educativo:.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ (2 de 2)27/11/2005 12:31:20 a.m.

Revista Virtual Matemática, Educación e Internet

Geovani Sanabria B Métodos de Factorización de números naturales Esteban Meneses,

Francisco J. Torres-RojasUn Problema de Conjuntos en Computación Distribuida

Walter Mora F. Gráficos 3D interactivos con Mathematica y LiveGraphics3D George Braddock S. Sobre la finitud de las series de potencias infinitas de tipo

geométrico-polinomiales

Explore

Villafuerte, T. et al. Geometría Interactiva (I, II y III Ciclo)

Borbón A. et al. Generador de Prácticas y Examen de Bachillerato

Probabilidad, Curso Virtual

MatemáticaGeneral

Cálculo Superior

Métodos Numéricos

Cálculo Diferencial e Integral

Álgebra Lineal

Ecuaciones Diferenciales

Tecnologías de Internet en la Enseñanza de la Matemática

Donaciones Comentarios | Preguntas | Suscríbase (gratuitamente) | Suscriba a un amigo

Secciones> SoftwareDidáctico

> Propuestas Didácticas

> El Mundo de las Matemáticas

> Aportes Pedagógicos y Material Didáctico

> Tecnologías de Internet en la Enseñanza

> Historia de las Matemáticas > Mathematica y Educación> El Geometra (The Geometer's

Sketchpad)> Temas de Geometría> Olimpiada Matemática

Costarricense para la Educación Primaria (OMCEP)

> Juegos y Entretenimientos> Programación de Software

Didáctico> Ejercicios de Olimpiadas

Matemáticas> Olimpiada Interna> Escuela de Matemática,

ITCR

>Enlaces/Eventos

> SoftwareDidáctico> Donaciones

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ (1 de 2)27/11/2005 12:31:24 a.m.



















http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/www.itcr.ac.cr

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/HERRAmInternet/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/HERRAmInternet/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/HistoriaMatematica/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MathematicaEducacion/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Sketchpad/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Sketchpad/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/TemasGeometria/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Omcep/index.html




http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/JuegosEntret/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/SoftDidactico/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/SoftDidactico/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Olimpiadas/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Olimpiadas/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/olimpiada-interna/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Enlaces/EnlacesEventos.htm

Revista Virtual Matemática, Educación e Internet

¿Cómo publicar en esta revista?

Índice Temático | Palabras Claves | Autores

Buscar en la revista

Revista digital Matemáticas, Educación e Internet Volumen 6, número 2, setiembre 2005

Derechos Reservados Teléfono (506)5502225

Fax (506)5502493

Avalada por el Consejo Editorial de la Editorial Tecnológica de Costa Rica

Para visualizar todas las componentes de esta publicación, requiere Internet explorer 5.x o superior o Netscape 4.x o superior.

Se recomienda el navegador gratuito Mozilla-FireFox o Mozilla. El material interactivo está implementado en Java. Si tiene algún problema, puede descargar Java, para su navegador, de la siguiente dirección:

http://www.java.com/es/download/ (la instalación procederá de manera automática)

Diseño y edición: Walter Mora F

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ (2 de 2)27/11/2005 12:31:24 a.m.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/paginasgenerales/InstruccionesAutores.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/webindice/tematico/Indice_Tematico_a.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/webindice/palabras/palabras_claves.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/webindice/autores/indice_autor_a.htm

http://www.picosearch.com/

http://www.mozilla.org/products/firefox/

http://www.mozilla.org/

http://www.java.com/es/download/


Instituto Tecnológico de Costa Rica

Sorry, your browser doesn't support iframes.

Créditos | Contáctenos

© Instituto Tecnológico de Costa Rica 2005

http://www.itcr.ac.cr/27/11/2005 12:31:29 a.m.

http://www.itcr.ac.cr/investigacion_extension/index.aspx

http://www.itcr.ac.cr/escuelas/index.aspx

http://www.itcr.ac.cr/publicaciones/index.aspx

http://www.itcr.ac.cr/biblioteca/index.aspx

http://www.itcr.ac.cr/index_links/opciones_Academicas.aspx

http://www.itcr.ac.cr/admision/index.aspx

http://www.itcr.ac.cr/servicios/index.aspx

http://www.itcr.ac.cr/tec/index.aspx

http://www.dar.itcr.ac.cr/

http://www.itcr.ac.cr/directorio/index.aspx

http://www.itcr.ac.cr/index_links/agenda.aspx

http://www.itcr.ac.cr/prensa/noticias.aspx

http://www.itcr.ac.cr/tec/galeria/galeria.htm

http://www.intranet.itcr.ac.cr/

http://www.itcr.ac.cr/index_links/creditos.aspx

http://www.itcr.ac.cr/index_links/contactenos.aspx

Cursos-Línea

|CIDSE | Escuela de Matemática | Instituto Tecnológico de Costa Rica|

> MatemáticaGeneral > Ecuaciones Diferenciales

● Curso de M Sc. Geovanni Figueroa M● Curso de M Sc. Sharay Meneses

> Cálculo Superior > Probabilidades > Métodos Numéricos > Cálculo Diferencial e Integral > Cálculo y Álgebra Lineal

● Algebra Vectorial, Rectas y Planos● Espacios Vectoriales, Rectas y Planos

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/index.htm27/11/2005 12:31:31 a.m.

http://www.itcr.ac.cr/carreras/matematica/

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Probabilidad/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/index.html

.:Centro de Recursos Virtuales:.


Escuela de Matemática

http://www.cidse.itcr.ac.cr/crv/index.html27/11/2005 12:31:36 a.m.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/crv/preguntas/index.html

webMathematica

G. Figueroa M, ITCR

WebMathematica 2.0

webMathematica 2.0 Introducción

Introduccion

webMathematica es una nueva tecnología desarrollada por Wolfram Reseach Inc que permite desarrolllar sitios web dinámicos, con contenido matemático. Esto se logra integrando Mathematica con la tecnología Java Servlets.

Mathematica es un software muy poderoso con muchas características que se pueden incorporar a un sitio web, entre estas están la capacidad de realizar cálculos, de graficar, de programar y de conectividad.

Cálculo

Mathematica tiene una gran cantidad de funciones que permiten graficar y realizar cálculos numéricos y simbólicos, webMathematica toma toda esta funcionalidad y la hace disponible en un sitio web.

Programación

Mathematica cuenta con un lenguaje de muy alto nivel que permite desarrollar programas en poco tiempo y sin un gran esfuerzo. Esta cualidad es particularmente útil cuando se quiere crear un sitio interactivo. En realidad, este lenguaje reune muchos paradigmas de programación, desde la programación orientada a procedimientos hasta la programación lógica pasando por la programación funcional.

Conectividad

Mathematica puede conectarse con facilidad con lenguajes de programación como: Java, C, Fortran o Perl. Esta conectividad permite el intercambio de datos en ambas vías. En particular, JLink es una herramienta muy versátil que permite integra Mathematica y Java.

Para el usuario de un sitio que se apoya en webMathematica, el uso de Mathematica es transparente y no necesita conocer casi nada de este software, a excepción tal vez, de la sintaxis necesaria para escribir expresiones; cosa que podría evitarse. La interacción con el usuario se logra mediante el uso de formularios, campos de entrada de texto, botones de opción, casillas de verificación, etc. La siguiente figura muestra una pequeña aplicación que ejemplifica como se lleva a cabo dicha interacción.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/webMathematica/ (1 de 2)27/11/2005 12:31:41 a.m.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/webMathematica/introduccion.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/webMathematica/instalacion.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/webMathematica/guiones.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/webMathematica/ejemplos.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate


http://www.wolfram.com/products/webmathematica

http://www.wolfram.com/products/webmathematica

http://wolfram.com/

http://www.wolfram.com/

webMathematica

En este caso se usan campos de entrada de texto para recopilar la información del usuario con respecto al gráfico que quiere trazar; al pulsar sobre el botón esta información se pasa a

Mathematica quien se encarga de realizar el gráfico, y luego éste es devuelto al usuario como una imagen. Esta es la idea básica que está detrás de un guión de webMathematica.

En el área de la educación webMathematica abre muchas posibilidades para el desarrollo de curso interactivos que permitan al usuario explorar por sí mismo e incluso corroborar sus respuestas.

Revista Virtual Matemática Educación e Internet Escuela de Matemática


http://www.cidse.itcr.ac.cr/webMathematica/ (2 de 2)27/11/2005 12:31:41 a.m.


Instituto TecnolÃ³gico de Costa Rica

http://www.itcr.ac.cr/escuelas/matematica/index.aspx27/11/2005 12:31:44 a.m.

Sorry, your browser doesn't support iframes.

http://www.itcr.ac.cr/index.aspx

Bienvenidos al IV CIEMAC

En la Escuela de Matemática del Instituto Tecnológico de Costa Rica estamos convencidos de la necesidad de generar espacios para el análisis y discusión de diversos aspectos relacionados con los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática. En este contexto, nos hemos dado a la tarea de fomentar escenarios en los cuales, las personas interesadas y comprometidas con la compleja dinámica de la enseñanza de la matemática, podamos compartir, conocer, analizar y debatir experiencias innovadoras.

Queremos extender una cordial invitación a docentes, investigadores y estudiantes para compartir con nosotros las diversas actividades que hemos programado en el cuarto CIEMAC. Esperamos que juntos podamos reflexionar acerca de nuevas alternativas para transformar y fortalecer nuestra función como docentes de matemática.

Principal Objetivos Actividades Expositores Inscripciones Fotos Hoteles Organizadores

Derechos Reservados. ITCR, 2005

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/index.htm27/11/2005 12:31:56 a.m.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/principal.html


http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/objetivos.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/actividades.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/expositores.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/inscripcion.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/fotos.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/hotel.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/becas.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/comite.html


http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/objetivos.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/actividades.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/expositores.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/inscripcion.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/fotos.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/hotel.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/ciemac/comite.html

Factorización

Factorización Geovany Sanabria B..

Inicio 1 2 3 4 5 Versión PDF

Métodos de Factorización de números naturales

Geovany Sanabria Brenes Escuela Matemática


Resumen:

Se abordan varios métodos de factorización prima, los cuales se justifican y clasifican. Para ello, se realiza una presentación didáctica y formal de algunos tópicos de Teoría de Números. Además se brindan los aspectos más relevantes de la vida de Euler y Fermat, junto con su aporte a la factorización prima.

Palabras claves: teoría de números, factorización prima, didáctica.

Introducción y Justificación

La enseñanza matemática secundaria dedica poco tiempo al estudio de los números naturales. Sobre este tema, en los programas de estudio de secundaria, se evidencia una enseñanza muy algoritmizada y sintáctica, en la cual, los estudiantes deben memorizar algorítmos que carecen de justificación teórica, como por ejemplo: algoritmos de factorización de un número y el algoritmo para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Dentro de los tópicos más importantes en el estudio de los números naturales están los métodos de factorización prima, pues son utilizados, por ejemplo, en la obtención del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, en operaciones con fracciones y en la factorización de polinomios. Sin embargo, en secundaria, se suele usar un método muy ineficiente, lo que provoca que se trabaje con números pequeños, y en consecuencia, la mayoría de problemas sean descontextualizados.

En el presente trabajo, se brinda una presentación a un nivel elemental y completo de los métodos de factorización, específicamente el método de Fermat y el método de Euler. En la primera parte, se incluye una breve biografía de ambos, ya que son considerados los que mayores aportes han hecho en lo que respecta al tema. En cada una se resaltan algunas de sus contribuciones al desarrollo de la teoría de números. En la segunda parte, se brinda un tratamiento sencillo y didáctico de algunos tópicos de la teoría de números. Finalmente, en la tercera parte, se logra realizar una clasificación de algunos métodos de factorización prima, de los cuales se brinda su algoritmo, entre ellos, los propuestos por Fermat y Euler.

Este material está dirigido a docentes de secundaria y se espera que encuentren en él algunas ideas para introducir ciertos tópicos de Teoría de Números.

● Un vistazo a la historia: Fermat y Euler. ● Preliminares: Tópicos Elementales de la Teoría de Números. ● Métodos de Factorización prima. ● Algunos Ejemplos. Primos menores que 200 ● Conclusión

Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR Derechos Reservados

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/factorizacion/index.html (1 de 2)27/11/2005 12:31:58 a.m.


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/factorizacion/pag1.html





http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/factorizacion/factorizacion.pdf







Factorización

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/factorizacion/index.html (2 de 2)27/11/2005 12:31:58 a.m.

conjuntosweb

Un Problema de Conjuntos en Computación Esteban Meneses, Francisco J. Torres-Rojas.

Inicio 1 2 3 4 5 6 Versión PDF

Un Problema de Conjuntos en Computación Distribuida1

Esteban Meneses, Francisco J. Torres-Rojas Centro de Investigaciones en Computación


Resumen:

En Matemática existen muchos problemas que involucran conjuntos. Generalmente, estos problemas están relacionados con un grupo de elementos que deben cumplir una cierta propiedad. Por ejemplo, los conjuntos pitagóricos son aquellos de la forma

, con tales que conforman una terna pitagórica: . Sin embargo, el algoritmo para determinar

si un conjunto de cardinalidad 3 es pitagórico o no, es muy eficiente. En Computación Distribuida existen también problemas de conjuntos. Uno de ellos es el problema de los conjuntos imposibles de relojes vectoriales ([9]), que no se ha determinado si posee un algoritmo eficiente que lo resuelva.

Palabras claves: conjuntos, algoritmo, elojes vectoriales, clases P y NP

Introducción

La historia de las matemáticas recuerda con respeto a muchos hombres, uno de ellos es Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, creador de la Teoría de Conjuntos. Alrededor de 1873, Cantor descubrió esta apasionante rama de estudio, formalizando de paso la noción de infinito, que hasta el momento había sido solamente una forma de hablar.

La Teoría de Conjuntos sirve como base para muchas otras ramas matemáticas, como Probabilidades, Álgebra, Análisis y Ecuaciones Diferenciales. Mas aún, junto con el Cálculo de Predicados, constituye el fundamento de las Matemáticas. En Ciencias de la Computación, la Teoría de Conjuntos también juega un papel preponderante en la Matemática Discreta, Teoría de Computabilidad, Algoritmos, Programación y Especificación Formal de Software.

La Teoría de Conjuntos es la responsable de teoremas elegantes y poderosos, como el Axioma de Elección. Empero, en Computación Distribuida existen también problemas interesantes de conjuntos. Tal es el caso de los Conjuntos Imposibles de Relojes Vectoriales ([9]). Este artículo ofrecerá un reto con respecto a este problema.

El objeto de estudio de la Teoría de Conjuntos son los conjuntos. Estas entidades matemáticas son objetos que ayudan a representar conceptos. Por ejemplo, si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son enteras, entonces, esas longitudes se convierten en una terna pitagórica, una especie particular de conjunto.

Una vasta cantidad de problemas en Teoría de Conjuntos se fundamentan en determinar si el conjunto cumple o no con una propiedad. Tal es el problema de los conjuntos balanceados. Un conjunto de números enteros se dice balanceado si la suma de los

elementos es igual a su producto. De esta forma, es balanceado, pero no lo es.

En Computación Distribuida, cualquier ejecución produce una historia distribuida de eventos. Si se coleccionan las etiquetas vectoriales de esos eventos, se obtiene un conjunto de vectores de enteros, al que se le denominará conjunto posible. Sin embargo, no cualquier conjunto de vectores de enteros es el producto de los eventos de una historia distribuida. A estos conjuntos se les llama imposibles. Descubrir si un conjunto de vectores de enteros es posible o no, es un problema interesante. Existe un algoritmo que resuelve este problema, con el bemol de ser ineficiente. ¿Existirá entonces algún algoritmo eficiente que lo resuelva?

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/conjuntosweb/index.html (1 de 2)27/11/2005 12:31:59 a.m.



http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/conjuntosweb/node1.html






http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/conjuntosweb/conjuntos.pdf

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/conjuntosweb/footnode.html





conjuntosweb

En la sección 2 se presenta un modelo de computación distribuida. Los relojes vectoriales, como mecanismo de temporización, se analizan en la sección 3 y en la sección 4 se explica el problema de los conjuntos imposibles. Un mecanismo para clasificar la eficiencia de los algoritmos se ofrece en la sección 5, para dejar las conclusiones al final.

● Computación Distribuida ● Relojes Vectoriales ● El Problema de los Conjuntos Imposibles ● Las clases P y NP ● Conclusiones ● Bibliografía


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/conjuntosweb/index.html (2 de 2)27/11/2005 12:31:59 a.m.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/conjuntosweb/node2.html#sec:dist

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/conjuntosweb/node3.html#sec:vector

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/conjuntosweb/node4.html#sec:problema

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/conjuntosweb/node5.html#sec:clases







Gráficos 3D

Gráficos parametrizados Walter Mora F

Inicio 1 2 3 Ejemplos.nb

Gráficos 3D Interactivos con Mathematica y LiveGraphics3D1

Walter Mora F Escuela de Matemática


Resumen:

Se presentan algunos principios de programación de gráficos 3D usando Mathematica y LiveGraphics3D. Se muestra como hacer depender uno o varios objetos de un gráfico de uno o varios parámetros, llamados variables independientes, de tal manera que al variar estos parámetros, a través de puntos de arrastre, varían los objetos gráficos.

Palabras claves: Mathematica, GraphicsLive3D, gráficos parametrizados, parametrización, programación de gráficos.

Introducción

En esta comunicación se establece la manera de interactuar con los objetos geométricos 3D a través de la definición de variables independientes y dependientes (gráficos con parámetros), las cuales se pueden hacer variar arrastrando puntos, como se haría en Cabri o en Sketchpad, usando Mathematica y LiveGraphivs3D (versión 1.83). Primero se establecen los conceptos de variables dependientes e independientes, luego se estudia la manera de restringir el recorrido de un punto de arrastre y la manera de hacer depender un objeto geométrico de uno o varios parámetros y finalmente, se hacen aplicaciones relacionadas con la interpretación geométrica de conceptos relativamente complejos en cálculo de varias variables. Los ejemplos incluyen el código para generar de manera automática la página web en la que se levanta el gráfico.

En los ejemplos se usa LiveGraphics3D V 1.83 y DrawGraphics, por lo que se supone que estos componentes están bien instalados en el computador (más que instalar, se trata de pegar archivos en ciertas carpetas). Una introducción ala graficación 3D con Mathematica, LiveGraphics3D y JavaView se puede ver en el número anterior de la revista digital. Aquí mismo se pueden ver ejemplos de aplicación de LG3D en vectores, rectas y planos en el espacio, funciones de varias variables, cálculo y geometría. Otras apolicaciones se pueden encontrar en la página de ejemplos que mantiene el creador de LG3D, Martin Kraus.

>>> 1 2 3 Ejemplos.nb


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/ParametrizacionGraficos3D/index.html27/11/2005 12:32:00 a.m.


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/ParametrizacionGraficos3D/node1.html



http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/ParametrizacionGraficos3D/Mislg3d.zip

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/ParametrizacionGraficos3D/footnode.html


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-may2005/Graficos3D/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/algebra-vectorial-geova-walter/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/index.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node8.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t5-geometria/Geometria/node9.html

http://www.vis.uni-stuttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/examples.html

http://wwwvis.informatik.uni-stuttgart.de/~kraus/index.html




http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/ParametrizacionGraficos3D/Mislg3d.zip

Sobre la finitud de las series de potencias infinitas de tipo geométrico-polinomiales

Sobre finitud de las series... Ing George Braddock S..

Inicio 1 2 3 Versión PDF

Sobre la finitud de las series de potencias infinitas de tipo geométrico-polinomiales1

Ing. George Braddock Stradtmann [email protected]

Resumen

Una investigación que inicié a mediados del año 2004, para tratar de encontrar cómo pudieron hacer los matemáticos de fines del

siglo XVII, para encontrar la suma de algunas series de potencias infinitas, como por ejemplo la serie , la pude

concluir exitosamente.

A ese tipo de series yo las llamo geométrico-polinomiales, ya que son series geométricas, con coeficientes dados por una función

polinomial , de grado

Usando técnicas similares a las que usaban los matemáticos de aquellos tiempos, encontré un procedimiento que nos permite reagrupar los términos de la serie y expresarla con relación a las diferencias entre sus coeficientes.

Este procedimiento lo demostré formalmente con el Teorema 1 que, por medio de la fórmula

nos muestra como expresar una serie geométrica infinita con relación a las diferencias finitas de sus coeficientes.

Aplicándole veces la fórmula anterior a la serie infinita, obtuve una serie finita equivalente a ella. Esto lo demostré formalmente con el Teorema 2 y el Teorema 3 que, con la fórmula

donde representa las i-ésimas diferencias finitas de la función polinomial. Esta fórmula nos dá la serie finita que converge

exactamente al mismo valor que la serie infinita original.

Palabras claves: Series, Series de Potencias, Series Infinitas, Series Geométricas, Funciones Polinomiales, Diferencias Finitas, Cálculo de Diferencias Finitas, Bernoulli.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/siweb/index.html (1 de 2)27/11/2005 12:32:01 a.m.



http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/siweb/node1.html



http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/siweb/SeriesInfinitas.zip

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/siweb/footnode.html#foot65


Sobre la finitud de las series de potencias infinitas de tipo geométrico-polinomiales

"Así como lo finito infinita serie encierra Y en lo ilimitado limites aparecen, Así el alma de la inmensidad en minucias reside Y los límites no existen en los más estrechos límites. ¡Que gozo el discernir en el infinito lo pequeño! ¡De dioses es percibir en lo minúsculo lo inmenso!''

Jacob Bernoulli 2

● Introducción ● Series geométrico-polinomiales ● Conclusión


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/siweb/index.html (2 de 2)27/11/2005 12:32:01 a.m.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/contribuciones-v6-n1-set2005/siweb/footnode.html#foot1626




Geometría Interactiva

III Ciclo

Autores

Revista Virtual de Matemáticas

Escuela de Matemáticas I.T.C.R.

Cargando página...

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/index.htm27/11/2005 12:32:03 a.m.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/IIICiclo/IIICiclo.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/GeometriaInteractiva/Autores/Autores.htm

http://www.itcr.ac.cr/revistamate

http://www.itcr.ac.cr/carreras/matematica

Bachillerato en Línea

| Alexander Borbón A. | Revista Digital Matemática, Educación e Internet

Bienvenido(a)

El Instituto Tecnológico de Costa Rica y la Carrera de Enseñanza de la Matemática Asistida por Computadora le da la bienvenida a Bachillerato en línea, un programa en Internet donde puede practicar para el examen de Bachillerato en el área de Matemáticas.

> Si usted es usuario por primera vez de Bachillerato en línea, regístrese en la opción Nuevo Usuario.

> Si ya se ha registrado anteriormente, puede ingresar en la opción Usuario existente.

> En las demás opciones encontrará información de interés.

> Última actualización del programa: 6 / 11 / 2001

> Número de preguntas en la base de datos: 326

Si ya está registrado:

Nombre:

Clave de acceso:

Si no, regístrese aquí.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/bachillerato/index.htm27/11/2005 12:32:05 a.m.


http://www.cidse.itcr.ac.cr/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/bachillerato/Registro.jsp

http://www.cidse.itcr.ac.cr/bachillerato/Tutor.jsp

http://www.cidse.itcr.ac.cr/bachillerato/Informacion.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/bachillerato/Ayuda.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/bachillerato/Creditos.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/bachillerato/Comentarios.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/bachillerato/Registro.jsp

Donaciones

Donaciones

La revista virtual Matemática, Educación e Internet opera con un presupuesto limitado, muchas de nuestros esfuerzos y actividades se financian con donaciones de amigos de la revista. Si usted desea contribuir con la revista, puede hacer una donación en dólares americanos, euros o en colones costarricenses. Esto se puede hacer de dos maneras

1. Depósito a nombre de La Revista VDigital Matemática, Educación e Internet en las oficinas de FundaTec (en la sede central del Instituto Tecnológico de Costa Rica en la provincia de Cartago)

2. Depósito a nombre de La revista Digital Matemática, Educación e Internet en las cuentas

Colones: FundaTeC 115050-7, Banco CréditoAgrícola de Cartago

Dólares: FundaTeC 910791-3, Banco CréditoAgrícola de Cartago

Consultas:

● [email protected]● Teléfono (506)5502225 (Escuela de Matemática del Instituto Tecnológico de Costa Rica)

Revista Matemáticas, Educación e Internet Derechos Reservados

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/paginasgenerales/donaciones.htm27/11/2005 12:32:05 a.m.


Suscripción

Revista Matemática, Educación e Internet Suscripción(gratuita)/Preguntas/Comentarios/

Al suscribirse recibirá información vía e-mail sobre cada número nuevo y/o de material pertinente. También puede escribir a Walter Mora F. o Geovanni Figueroa M.

Nombre

e-mail (indispensable)

Lugar de Trabajo/País

+Comentario Adicional (escriba aquí abajo)

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/paginasgenerales/formulario.htm27/11/2005 12:32:05 a.m.



Software

| Walter Mora F | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

>>> Instrucciones |Graficador General | Descargar|

> Rectas

> Parábolas

> Dominio de una Función

> Dominio con Intervalos

> Ambito de una Función > Ambito con Intervalos

> Intervalos y Desigualdades

> Problemas

> Matrices

> Intersección de Intervalos

> Pares ordenados

> Pares ordenados y Gráfica

> Intervalos Eje X

> Intevalos Eje Y

> Java para XP

para Windows

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/index.html (1 de 2)27/11/2005 12:32:07 a.m.


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/instrucciones.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/SitioGraficadorTotal/GraficadorTotal.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/SitioGraficadorTotal/graficador.zip

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/Recta/Recta.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/Parabola/Parabola.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/Dominio/SoloDominio.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/DominioConIntervalo/DominioEIntervalos.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/Ambito/SoloAmbito.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/AmbitoConIntervalos/AmbitoFuncion.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/IntervaloDesigualdad/IntervalosConDesigualdad.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/Problema/ParalelogrInTri1.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/SitioMatrices/MATRICES.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/InterseccionIntervalos/InterseccionDeIntervalos.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/ParesOrdenados/ParesOrdenados.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/GraficaPuntosSitio/GraficaYPuntos.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/IntervalosEjeX/RepresentarIntervalos.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/IntervalosEjeY/EjeYAmbito.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/JavaParaXP.zip

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/JavaWin.zip

Software

> Descargar todo

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/index.html (2 de 2)27/11/2005 12:32:07 a.m.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/Herramientas/SOFTWAREDIDACTICO.zip

Propuestas Didácticas

| Geovany Sanabria B | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

>>> Los números reales según Cantor y Dedekind

> Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales

> Preguntas/comentarios

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/propuestas-didacticas-em/index.htm27/11/2005 12:32:07 a.m.


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/propuestas-didacticas-em/v6n1-may-2005/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/propuestas-didacticas-em/v6n2-set-005/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/propuestas-didacticas-em/comentarios.htm

Mundo de las Matemáticas

| José Rosales O | Pedro Díaz N. | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

> Aspectos Técnicos...

> El caracter lúdico de las curiosidades

> Sobre una fórmula en Combinatoria

> Reordenamiento de conjuntos

> El Principio de Dirichlet

> Reflexiones sobre El Concepto de Infinito

> Trisección

> Construcciones con regla y compás

> Notación Funcional

> Cómo plantear y resolver problemas

> El Punto de Fermat y el problema de Torricelli

> Preguntas/Comentarios

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/index.html27/11/2005 12:32:08 a.m.




http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/aspectostecnicos/aspectostecnicos.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/Vol5n1Jun2004/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/combinatoria/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/Reareglo/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/casillas/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/infinito/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/Triseccion/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/reglaycompas/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/notacionf/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/ResolProblema/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/Torricelli/index.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/MundoMatematicas/comentarios.htm

Apoortes Pedagógicos

| Alexander Borbón A. | Revista Digital Matemática, Educación e Internet |

>>> Laboratorios con Excel

> Laboratorios con Geometer Sketchpad

> Notas Teóricas

> Actividades

> Problemas de lógica

> Laboratorios

> Preguntas/Comentarios

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/index.htm27/11/2005 12:32:08 a.m.


http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/LabExcel/paginaIni.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/LabGeoSketch/paginaIni.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/PaginaIni.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Actividades/PaginaIni.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Problemas/PaginaIni.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Laboratorios/paginaIni.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/comentarios.htm

derivada

Documents

Transcript of derivada