UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES

MATEMATICA APLICADADERIVADA DE UNA FUNCION

2 015

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función f(x) respecto a “x” es la función f´(x) dada por:

[ f´(x) se lee como “ f prima de x”]. el proceso de calcular la derivada se denomina derivación, y se dice que f(x) es derivable en x siempre que dicho limite exista y sea finito.Ejemplo: Dado f(x) = x², calcular : f´(x)

= 2x = 2x

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INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Sea la función y = f(x)y la recta secante PQ que corta a la curvaen los puntos :P(x0,f(x0)) ; Q( (x0 + h), f( x0 +h) )La pendiente de la secante es:

Según la figura , si consideramos que el punto Q se acerca a P lo más cercano posible se tendrá que:

h

)f(xh)f(xm 00

s

M(x0 ,0)

N(x0+h , 0)

R(x0+h,f(x))

Q(x0 + h ,f(x0 + h) )

( x0,f( x0

)) P

Lt

Ls

)(xfh

)f(xh)f(xLímm 0

00

0ht

f (x0) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(x0 , f(x0)).

y=f(x)

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NOTACIONES PARA LA DERIVADA

0

0

0xx0

0 , 00

00

0h0

x-x

)f(xf(x)Lím)(xf

x x, 0hx-xh ,x h xhacemos Si h

)f(xh)f(xLím)(xf (1)

(2) h = x = x - x0 ; y = f( x0 + x ) - f(x0)

xy

Límx

)f(x)xf(xLím)(xf

0x

00

0x0

dx

d[f(x)]f(x)D

dx

dy(x)f (3) x

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LA RECTA TANGENTE Y NORMAL

La derivada de una función en el punto P0(x0 ,f(x0)) , representa a la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto, del cual se tiene que: La ecuación de la recta tangente en P0 será:

la ecuación de la recta normal Ln

perpendicular a la tangente en P0 será:

No olvidar que la pendiente de la recta tangente m = f’(x0) en P

)x)(x(x' f)f(xy :L 000t

x0

f(x0) P0

N

)x(x)(xf

1)f(xy :L 0

00n

Lt

Ln

FORMULAS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS

2g(x)

(x)gf(x)- (x)fg(x)dxdy

g(x)f(x)y Si 9.

(x).f(x)g(x).g(x)fdxdy f(x).g(x)y Si 8.

(x)g(x)fdxdy g(x)f(x)y Si 7.

(x)fkdxdy kf(x)y Si 6.

xx(x)f

dxdy xf(x)y Si 5.

1nnx(x)fdxdy nxf(x)y Si 4.

x21(x)f

dxdy xf(x)y Si 3.

1(x)fdxdy x f(x)y Si 2.

0(x)fdxdy cf(x)y Si 1.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1)Hallar la derivada de f(x)= 64 Solución f(x) = 8 f´(x)= 0

2) Hallar la derivada de f(x)= 12 x Solución f(x) = 12 x f´(x)= 12

DERIVADA DE UNA FUNCION3)Hallar la derivada de f(x)= Solución f(x)= f´(x)= 5

4) Hallar la derivada de: Solución f´(x) = f´(x) =

DERIVADA DE UNA FUNCION

5) Hallar la derivada de: Solución

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APLICACIÓN DE FORMULAS DE DERIVADAS

(4)fy (x)fHallar ; 4)(xx f(x) Si 2 Solución

194

76

42

45(4) (4)f

x2

45x

x2

4x4x (x)f

(2x) x 4)(xx2

1 (x)f

)4-(xx 4)(x)x ( (x)f

2

222

2

22

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APLICACIÓN DE FORMULAS DE DERIVADAS

(9)fy (x)fHallar ; 1x

1x f(x) Si

Solución

22

2

2

1)x(x

1

1)x(

1)x-1x(x2

1

(x)f

1)x(x2

11)x(-

x2

11)x(

(x)f

1)x(

)1x1)(x(-)1x1)(x( (x)f

f´(9) =1/12

DERIVADA DE UNA FUNCION

Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la grafica de f (x) = - 4x en el punto de abscisa 1.

Solución

El punto de tangencia en x=1 entonces f(1)= - 4(1) = - 3

Punto de tangencia:(1; - 3)

Calculo de la pendiente en x=1

´ = 3 entonces la pendiente f´(1) = 3 - 4= - 1

Ecuación de la recta tangente:

Y – (-3)= - 1( x – 1) 1

Y + 3 = - x +1

X + y + 2 = 0 - 3

ECUACION DE LA RECTA NORMAL

Hallar la ecuación de la recta normal a la curva:

f(x) = 3 - 2x+3 en el punto de abscisa 1.

Solución

Calculo del punto de contacto: f(1)= 3 - 2(1) + 3 = 4

Coordenadas del punto de contacto: (1; 4)

Calculo de la pendiente: f´(x) = 6x – 2

f (1) = 6(1) – 2 = 4

Calculo de la pendiente perpendicular (recta normal)= - ¼

Ecuación de la recta normal: LT

y – 4 = ( x – 1) LN

4y – 16 = - x + 1 (1;4)

x + 4y – 17= 0

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DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA Si y es una función de u : y = f(u),u es una función de

x: u=g(x) y se puede expresar en función de x es decir: y = f(u) = f(g(x)) = (f o g)(x)

y u x

(x)g(g(x))fdx

dy(fog)(x)y Si

dx

du

du

dy

dx

dy

(x)fn[f(x)]dx

dy [f(x)]y Si 1nn

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

Ejemplo: Hallar la derivada de f(x)= (3x +1)²

Solución

f(x)= (3x +1)²

Hacemos:

u= 3x+1 y f(u)= u²

= 6(3x+1)= 18x + 6

DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA

Hallar la derivada de: f(x)= (x²+2)³ - 3(x²+2)² +1 Solución Hacemos: u= x²+2 ;

f(u)= u³ - 3u² + 1

= 6x³(x²+2)

DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA

Derivar la función f(x)= Solución: f(x)= , entonces hacemos u= x²+3x+2

DERIVADA DE UNA FUNCION

REGLA GENERAL DE LA DERIVADA DE UNA POTENCIA

Para cualquier numero real n y cualquier función derivable f :

Ejemplo: Derivar f(x)= (2x⁴ - x)³ SoluciónAplicamos la propiedad : f´(x)= 3(2x⁴ - x)² (8x³ – 1)

DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA

Hallar la derivada de la siguientes funciones:

a) Solucion

f´(x) = 4( 2x – 3)

b)

Solución

f´(0) = -4 / 80 = - 1/20

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

c)

Solución

f´(x)= + ()()´

f´(x)=(2x - 2) +

f´(0)= - 2

DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA

Sean f y g dos funciones derivables tales que: f´(2)= 3,g(1)= 2, y g´(1)= 4/3. Si h(x)=f(g(x))= fog(1)

Solución

h´(x) = f´(g(x)).g´(x)

Reemplazando

h´(x) = f´(g(x)).g´(x)

h´(1) = f´(g(1)).g´(1)

h´(1) = f´(2).(4/3)

h´(1) = 3. 4/3

h´(1) = 4

DERIVADA DE UNA FUNCION LOGARITMICA

Derivada de un Logaritmo Sea f(x)= Lnx ;

Ejemplo: Hallar la derivada de f(x)=

f(x)= f´(x)=

DERIVADA DE UN LOGARITMO

Determinar la derivada de: Solución f´(x) = ( + ()’ f’ (x) = 2x + . f’(x) = 2x +

DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL

Si la función:

Sea la función:

Sea la función:

DERIVADA DE UNA FUNCIONHallar la derivada de Solución:

Hallar la derivada de Solución

EJERCICIOS DE DERIVADASCalcular las siguientes derivadas de: 1. 2. 3. 4 5.