Derivada (Introducción al Cálculo de Variables)

INSTITUTO INTEGRADO CUSTODIO GARCÍA ROVIRADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Lic. LUIS FERNANDO WALDO MARTINEZ

DERIVADAPara interpretar el concepto de derivada debemos tener bien claro el de incremento. Para ello la siguiente descripción nos permite hacer un acercamiento bastante acertado a cerca de este concepto. Sea x y y dos variables que se encuentran relacionadas por la ecuación y=f (x ), f implica una dependencia del valor de y con respecto a los valores de x.

Por ejemplo la longitud de un resorte depende en forma directa de la cantidad de fuerza que se le aplique. Si y corresponde a la longitud del resorte y x es la fuerza aplicada, un incremento h en la fuerza genera un incremento k en la longitud del resorte. La cual pasa de y=f (x ) a y+k=f ( x+h ) o escrita de otra forma f ( x )+k=f (x+h) por lo que k=f ( x+h )−f ( x ).

El incremento medio de la y cuando x pasa a x+h está dado por la expresión kh,

por lo que la derivada estaría descrita como:

f ' ( x )=limh→0

kh=limh→0

f ( x+h )−f ( x )h

DEFINICIÓN ANALÍTICA:

Partiendo del concepto de pendiente en donde:

Ahora observemos la gráfica del lado y nótese que al remplazar en la fórmula de la pendiente tenemos que:

m=f ( x+∆ x )−f (x )x+∆ x−x

Por lo que:

m=f ( x+∆ x )−f (x )

∆ x

Entonces:

DEFINICIÓN GEOMÉTRICA: La derivada es la pendiente de la recta tangente de una curva



f ' ( x )= lim∆ x→0

f ( x+∆ x )−f ( x )∆x

NOTACIÓN: La derivada se puede denotar de diversas formas como aparece a continuación:

y '

f ' ( x )

dydx

df (x )dx

Dxf ( x )

∂∂ x

CALCULO DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Ejemplo Nº 1: Dada la función y= x4 determine su derivada cuando x= 2. Veamos:

f ' ( x )= lim∆ x→0

f ( x+∆ x )4−f ( x )∆ x

¿ lim∆ x→ 0

x4+4 x3∆ x+6 x2∆ x2+4 x ∆ x3+∆ x4−x4

∆ x

¿ lim∆ x→0

4 x3∆ x+6 x2∆x2+4 x ∆x3+∆x4

∆ x

¿ lim∆ x→ 0

∆ x (4 x3+6 x2∆ x+4 x ∆ x2+∆ x3)∆ x


Lic. LUIS FERNANDO WALDO MARTINEZ¿ lim∆ x→ 0

4 x3+6 x2∆ x+4 x∆ x2+∆ x3

¿4 x3+6 x2(0)+4 x (0)2+(0)3

¿4 x3+0+0+0

¿4 x3

Por lo tanto la derivada de la función y= x4 cuando x=2 sería: 4(2)3 = 4(8) = 32.

Ejemplo Nº 2: Dada la función y= 5x2 + 4 determine su derivada cuando x= 3. Veamos:

f ' ( x )= lim∆ x→0

5 ( x+∆ x )2+4−(5 x2+4 )∆x

¿ lim∆ x→0

5(x¿¿2+2 x∆ x+∆ x2)+4−(5 x2+4 )∆ x

¿

¿ lim∆ x→ 0

5 x2+10 x ∆ x+5 ∆ x2+4−5x2−4∆ x

¿ lim∆ x→0

∆ x (10 x+5∆ x)∆ x

¿ lim∆ x→0

10 x+5∆ x

¿10 x+5(0)

¿10 x+0

¿10 x

Por lo tanto cuando x = 3 el valor de su derivada es 30.

ACTIVIDAD

Determine la derivada de las siguientes funciones y calcule su valor cuando x= 1.

y= 4x3

y= 6x5

y= 3x2 + 7y= 2x4 – 3

y= 12x2 + 5



Derivadas BásicasDerivada De Una Constante: La derivada de una constante es cero (0).Sea la función y= k entonces y’ = 0. Ejemplo si y= 9 entonces y’= 0.

Derivada De La Función Idéntica: La derivada de la función idéntica uno (1).Sea la función y= x entonces y’ = 1. Ejemplo si y= 6x entonces y’= 6 pues es el resultado de 6 por 1.

Derivada De Una Potencia: La derivada de la función y= xn está dada por la expresión: y ’=n xn−1 por ejemplo: sea la función y= 3x5 por lo tanto y’= 3(5)x5-1 = 15x4.

Derivada De Una Suma: La derivada de la función y= f + g es la expresión: y’= f ’ + g’. Por ejemplo: sea la función y=8x3+6 x2−7 x+4 entonces y '=24 x2+12 x−7.

Derivada De Un Producto: La derivada de la función y=f . g es la expresión:y ’=f ’ (g)+ f (g ’) Por ejemplo: sea la función y=(5x2+6 x+4 )(3 x2−2 x) y '=(10 x+6 ) (3 x2−2x )+(5x2+6 x+4 )(6 x−2)y '=(30 x3−2 x2−12x )+(30x3+26 x2+12x−8 )y '=60 x3+24 x2−8

Derivada De Un Cociente: La derivada de la función y=fg es la expresión:

y ’=f ’ (g )−f (g’)

g2

Por ejemplo sea la funcióny=5 x2+3

2 x+8 entonces:

y ’=10 x (2x+8 )−2(5 x2+3)

(2 x+8 )2

y ’=20 x2+80 x−10 x2−64 x2+32x+64

y ’=10 x2+80 x−6

4 x2+32 x+64

Otras Derivadas: A continuación se detallan otras funciones y sus respectivas derivadas:

Funciones potenciales

Función Derivada Ejemplo y derivada



Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

y=√u



ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL

Determinar la ecuación de la recta en un punto establecido, es un proceso que se torna sencillo gracias a las bondades de la derivada. Apreciemos el siguiente ejemplo: Hallar la ecuación de la recta normal y=x2+6 x+5 en el punto x = 1. Solución:

Calculamos la pendiente de la recta tangente. Partiendo de que y= x2+6x+5 obtenemos al derivar las expresión: y’= 2x + 6.

Ahora al remplazar el valor asignado a x tendremos que: y = 2(1) + 6 = 8.

NOTA: Como se aprecia en la gráfica de la función y= x2+6x+5 y su derivada y’= 2x + 6, encontraremos que cuando x = 1 la función original hace intersección en y = 8 con la ecuación de la recta normal que se

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