DERIVADASIntroduccin: Los orgenes del Clculo se dieron por el deseo de resolver los diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, tanto problemas geomtricos de importancia en Optica, como problemas de clculo de valores mximos y minimos de una funcin dada. Resumiendo, podemos destacar como uno de los problemas principales el determinar la pendiente de la recta tangente. En Geometra suele pensarse en una recta tangente, como la tangente a un crculo, como la recta que toca a dicha figura exactamente en un solo punto. (Ver la figura 3.1)

Figura 3.1Sin embargo, esta idea de tangente no es muy til para otra clase de curvas.Por ejemplo, en la Figura 3.2 (a) las rectas L1 y L2, cortan a la curva exactamente en un punto. Aunque no se pensara que L2 es tangente en este punto, lo contrario en L1 que es evidente que s lo es. Adems, en la Figura 3.2 (b) se considerara que L3 es tangente en el punto P aun cuando este corte a la curva en otros puntos.

Figura 3.2Para estos casos se hace uso del concepto de lmite para poder desarrollar una definicin apropiada de recta tangente.

Figura 3.3Observe grfica de la funcin y = f(x) de la Figura 3.3. Aqu, P y Q son dos puntos diferentes sobre la curva. A la recta PQ que pasa por ellos se le denomina recta secante. Si Q se mueve a lo largo de la curva y se aproxima a P por la derecha, PQ , PQ, y sucesivamente, son rectas secantes tpicas, como se muestra en la Figura 3.4. conforme se aproxima Q a P por la izquierda, las rectas son PQ1 , PQ2 , etc.A esta posicin comn de las rectas secantes se le define como la recta tangente de la curva en P. Esta definicin parece ser razonable y evita las dificultades que se mencionaron al principio de esta seccin.

Figura 3.4Puesto que la tangente P es una posicin limitante de la recta secante PQ, la pendiente de la tangente es el valor lmite de las pendientes de las rectas secantes, conforme Q se aproxima a P. En la pendiente de la curva y = f(x) en el punto P = (x1, f(x1)) que se muestra en la Figura 3.5, se encontrar una expresin. Si Q = (x2, f(x2)), la pendiente de la recta secante PQ es:

Si se denomina h a la diferencia x2-x1 entonces se puede escribir x2 como x1+h. Aqu, se tiene que , porque si , entonces x2 = x1 y no existe recta secante. En consecuencia:

Conforme Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, entonces x2 se aproxima a x1. Esto significa que h tiende a cero. El valor limitante de las pendientes de las rectas secantes que es la pendiente de la recta tangente en (x1, f(x1)) es el siguiente lmite:

Figura 3.5Definicin:La derivada de una funcin f es la funcin que se denota por f que est definida por:

Se puede decir que f es diferenciable y a f(x) se le denomina derivada de f en x o la derivada de f con respecto a x. al proceso de determinar la derivada se le denomina diferenciacin.EJEMPLO 1:Si , determinar f(1). Despus de hallar una ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en (1,7).En primer lugar, se obtiene f(x) y se le evala en .

Consecuentemente, la tangente a la grfica en (1,7) tiene pendiente igual a 6. Una forma de punto-pendiente de la recta tangente es . Simplificando, resulta . NOTA: En este ejemplo no es correcto decir que como la derivada en 4x+2, la recta tangente en (1,7) es . La derivada debe evaluarse en el punto de tangencia para determinar la pendiente de la recta tangente. (HAEUSSLER, ERNEST y PAUL, RICHARD, 1990, pg. 424 y 425)EJEMPLO 2:Hallar .Si , entonces

Cuando , tanto el numerador como el denominador tienden a cero. Se puede evitar esto racionalizando el numerador.

As:

Observe que la funcin original , est definida para . Pero la derivada , est definida solo cuando . De la grfica de que aparece en la Figura 3.6, resulta evidente que cuando x=0 la tangente es una recta vertical, la cual la pendiente no est definida.

Figura 3.6(HAEUSSLER, ERNEST y PAUL, RICHARD, 1990, pg. 426)

Reglas para la derivacin:REGLA 1: (Ver Figura 4.1)Si c es una constante, entonces:

Esto es, la derivada de una funcin contante es cero.

Figura 4.1Demostracin: Si , aplicando la definicin de derivada resulta:

REGLA 2:Si n es cualquier nmero real, entonces:

Suponiendo que est definida. Es decir, la derivada de una potencia de x con exponente constante es igual al exponente multiplicado por x a una exponente igual al dado.Demostracin: Si , aplicando la definicin de derivada se obtiene:

Del anlisis anterior con respecto al desarrollo de

En el numerador es cero la suma de los trminos primero y ltimo. Dividiendo entre h cada uno de los trminos restantes.

Cada uno de los trminos que aparecen despus del primero tiene a h como factor y debe tender a 0 cuando h0. En consecuencia, REGLA 3:Si f es una funcin diferenciable y c es una constante, entonces:

Es decir, la derivada de una contante multiplicada por una funcin es igual a la constante multiplicada por la derivada de la funcin.Demostracin: Si , aplicando la definicin de la derivada de g resulta

Pero, es , y por consiguiente,

REGLA 4:Si f y g son funciones diferenciales, entonces:

y es decir, la derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas.Demostracin: Para el caso de una suma, si F(x) = f(x) + g(x), aplicando la definicin de la derivada de F se obtiene:

Puesto que el lmite de una suma es la suma de los lmites:

Pero estos dos lmites son y . Por ello,

La prueba para la derivada de la diferencia de dos funciones es similar a sta. La Regla 4 se puede extender a la derivada de cualquier nmero de sumas y diferencias de funciones. Por ejemplo,

REGLA 5:REGLA DE PRODUCTO. Si f y g son funciones diferenciables, entonces

Es decir, la derivada del producto de dos funciones es la primera funcin multiplicada por la derivada de la segunda, ms la segunda funcin multiplicada por la derivada de la primera.Demostracin: Si , entonces por la definicin de la derivada de F.

Ahora se utilizar una estrategia. Sumando y restando en el numerador,

Reagrupando:

Como se supuso que f y g son diferenciables, entonces

La diferenciabilidad de f implica que f es continua

En consecuencia,EJEMPLO:Si , hallar .Aqu se puede considerar que F es un producto de dos funciones: y . Por la Regla 5, la regla del producto,

(HAEUSSLER, ERNEST y PAUL, RICHARD, 1990, pg. 449)

REGLA 6:REGLA DEL COCIENTE. Si f y g son funciones diferenciables y , entonces

Es decir, la derivada del cociente de dos funciones es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, y ambos divididos entre el cuadro del denominador.Demostracin: Si entonces

Por la regla del producto (Regla 5),Despejando se tiene

Pero

Simplificando resulta:

REGLA 7:REGLA DE LA CADENA. Si y es una funcin diferenciable de u y u es una funcin diferenciable de x, entonces y es una funcin diferenciable de x y entonces:

Ejemplo:Si y , determinar .Por la Regla 7, regla de la cadena,

Se puede escribir la respuesta en trminos solo de x reemplazando u por .

(HAEUSSLER, ERNEST y PAUL, RICHARD, 1990, pg. 456)REGLA 8:REGLA DE LA POTENCIA. Si u es una funcin diferenciable de x y n es cualquier nmero real, entonces:

Demostracin: Sea . Dado que y es una funcin diferenciable de u y u una funcin diferenciable de x, la regla de la cadena da:

Pero . Consecuentemente

Que es la regla de la potencia.Ejemplo:Si , obtener Aunque puede utilizarse aqu la regla del cociente, se considerar al lado derecho como la potencia y se utiliza la regla de la potencia. Sea . Entonces

(HAEUSSLER, ERNEST y PAUL, RICHARD, 1990, pg. 459)