Derivadas

7/18/2019 Derivadas

http://slidepdf.com/reader/full/derivadas-569bd36713bf6 1/13

1. Hallar ∂ f /∂ x , ∂ f /∂ y si:

f ( x , y )= x cos x cos y

∂ f ∂ x =cos x cos y− x sin x cos y

∂ f

∂ y=− x cos x sin y

2. Evaluar las derivadas parciales ∂ z /∂ x , ∂ z /∂ y para las funciones

dadas en los puntos indicados

(a) z=√ a2− x2− y

2; (0,0 ) ,(a /2,a /2)

∂ z

∂ x=

− x

√ a2− x

2− y2

∂ z

∂ y=

− y

√ a2− x

2− y2

Luego:

∂ z∂ x

(0,0 )= −0

√ a2−(0 )2− (0 )

2=0

∂ z

∂ y ( 0,0 )=

−0

√ a2−(0 )2−(0 )

2=0

∂ z

∂ x

(a

2, a

2

)=−( a

2 )

√a2−( a

2 )2

−( a

2 )2=

−a

2√a2−

a2

4−

a2

4

=

−a

2√a2−

a2

2

=

−a

2√ a2

2

=

−√ 2

2

7/18/2019 Derivadas


∂ z

∂ y (a

2, a

2 )=−( a

2 )

√a2−( a

2 )2

−( a

2 )2=

−a

2√a2−

a2

4−

a2

4

= −a

2√a2−

a2

2

= −a

2√a

2

2

=−√ 2

2

(b) z=log √ 1+ xy ; (0,0 ) ,(1,2)

∂ z

∂ x=

y

√ 1+ xy

∂ z

∂ y=

x

√ 1+ xy

Luego:

∂ z

∂ x (0,0 )=

0

√ 1+0=0

∂ z

∂ y ( 0,0 )=

0

√ 1+0=0

∂ z

∂ x (1,2 )=

2

√ 1+2=

2

√ 3

∂ z

∂ x (1,2 )=

1

√ 1+2=

1

√ 3

(c) z=eax

cos (bx+ y); (2 π /b ,0 )

∂ z

∂ x=e

ax [ a cos (bx+ y )−b sin(bx+ y )]

∂ z

∂ y=−e

axsin(bx+ y)

Luego:

7/18/2019 Derivadas


2 π

2 π 2 π

(¿)a cos (2 π )−b sin¿

¿2 π

a(¿¿b)a(¿¿ b)¿

(¿¿ b , 0)=e¿

∂ z

∂ x ¿

2 π

2 π a(¿¿ b)sin(2 π )=0

(¿¿ b , 0)=e¿

∂ z

∂ x ¿

3. En los siguientes casos hallar las derivadas parciales ∂ w /∂ x ,

∂ w /∂ y

(a) w= x e x2

+ y2

∂ w

∂ x =e

x 2+ y2

+2 x2e

x2+ y 2

∂ w

∂ y =2 xy e

x2+ y 2

(b) w= x

2

+ y

2

x2− y

2

x

(¿¿2− y2)2

∂ w

∂ x =

−4 x y2

¿

7/18/2019 Derivadas


x

(¿ ¿2− y2)2

∂ w

∂ y =

4 x2

y¿

(c) w=e xy

log( x2+ y2)

x

(¿¿2− y2)2

∂ w

∂ x =

e xy [ x ( x2+ y

2) log ( x2+ y2 )+2 y ]

¿

x(¿¿2− y

2)2

∂ w

∂ y =

e xy [ y ( x2+ y

2) log ( x2+ y2 )+2 x ]

¿

(d) w= x / y

∂ w

∂ x =

1

y

∂ w

∂ y =

− x

y2

(e) w=cos y e xy

sin x

∂ w

∂ x

=e xy

cos y ( y sin x+cos x )

∂ w

∂ y =e

xysin x ( x cos y−sin y )

7/18/2019 Derivadas


4. ostrar !ue cada una de las siguientes funciones es diferenciable en

cada punto de su do"inio. #ndicar cu$l de las funciones son c1

.

(a) f ( x , y )= x

y +

y

x ; Dom→ R

2≠(0,0)

∂ f

∂ x=

1

y−

y

x2

∂ f

∂ y

=− x

y2 +

1

x

Entonces

∂ f

∂ x ,

∂ f

∂ y son continuasen todo ( x , y ) ≠ (0,0 ) ;∴ f ( x , y )es c

1.

(b) f ( r , θ )=1

2r sin2 θ ,r>0 ;Dom→R

2

∂ f

∂ r=

1

2sin2θ

∂ f

∂θ=r cos2θ

∂ f

∂ r ,

∂ f

∂ θ son continuasen todo ( x , y );∴ f ( r , θ ) es c

1.

(c) f ( x , y )=

xy

√ x2+ y

2;Dom→R

2≠(0,0)

7/18/2019 Derivadas


∂ f

∂ x=

y3

( x2+ y2 )

3

2

∂ f

∂ y=

x3

( x2+ y2 )

32

Entonces

∂ f

∂ x ,

∂ f


1.

(d) f ( x , y )= x

2 y

x

4

+ y

2 ;Dom→ R

2≠(0,0)

∂ f

∂ x=

2 y ( x y2− x

5)

( x 4+ y2 )2

x

x2 (¿¿ 4− y

2)

( x4+ y2 )2

∂ f

∂ y =¿

Entonces

∂ f

∂ x ,

∂ f


1.

%. &sando la funci'n del eercicio 1, calcular el plano tangente a la gr$caen los puntos indicados.

(a) (0,0 )(b) (0,1)

(c) (0, π )

*o"o:

7/18/2019 Derivadas


f ( x , y )= x cos x cos y

Entonces

∂ f

∂ x=cos x cos y− x sin x cos y

∂ f

∂ y=− x cos x sin y

La ecuaci'n del plano tangente e:

z=f ( x0 , y0 )+∂ f

∂ x ( x0 , y0 )( x− x0 )+

∂ f

∂ y ( x0 , y 0 ) ( y− y0 )

+i ( x0 , y0 )=(0,0)

z=0+(1 ) ( x−0 )+(0 ) ( y−0 )= x

+i ( x0, y

0 )=(0,1)

z=0+(cos 1 ) ( x−0 )+ (0 ) ( y−1 )= x cos1

+i ( x0 , y0 )=(0, π )

z=0+(−1 ) ( x−0 )+(0 ) ( y−1 )=− x

. *alcular la "atri- de las derivadas parciales de las siguientes funciones:

(a) f : R2

→ R2

, f ( x , y )=( x , y )

7/18/2019 Derivadas


Jf ( x , y )=[1 0

1 1 ]

(b) f : R2

→ R3

, f ( x , y )=( x e y

+cos y , x , x+e y

)

Jf ( x , y )=[e y

x e y

1 0

1 e y ]

(c) f : R3

→ R2

, f ( x , y , z )=( x+e z+ y , yx

2 )

Jf ( x , y )= 1 1 e z

2 xy x2

0

. *alcular la "atri- de las derivadas parciales de:

(a) f ( x , y )=(e x, sin xy)

Jf ( x , y )=[ e x 0

y cos xy x cos xy ]

(b) f ( x , y , z )=( x− y , y+ z)

Jf ( x , y )=[1 −1 0

0 1 1]

(c) f ( x , y )=( x+ y , x− y , xy )

Jf ( x , y )=[1 1

1 −1

y x ]

7/18/2019 Derivadas


(d)

f ( x , y , z )=( x+ z , y−5 z , x− y )

Jf ( x , y )=[1 0 1

0 1 −5

1 −1 0 ]

/. 0'nde cru-a al ee - el plano tangente a z=e x− y

en (1, 1, 1)

espuesta: Lo cru-a cuando z=1 .

. 05or !u6 podr7an lla"arse 8tangentes9 en (,) las gr$cas de

f ( x , y )= x2+ y

2

; g ( x , y )=− x2− y

2+ x y3

1.+ea f ( x , y )=e xy

ostrar !ue x ( ∂ f

∂ x )= y ( ∂ f

∂ y )

Halla"os∂ f

∂ x ,

∂ f

∂ y

∂ f

∂ x= y e

xy→ x ( ∂ f

∂ x )= xy e xy

∂ f

∂ y= x e

xy→ y ( ∂ f

∂ y )= xy e xy

e esta for"a:

x ( ∂ f

∂ x )= xy e xy= y ( ∂ f

∂ y )

7/18/2019 Derivadas


11.*alcular los gradientes de las siguientes funciones:

(a) f ( x , y , z )= x e− x

2− y2− z

2

→∇ f ( x , y , z )=⟨ e− x

2− y2− z

2

−2 x2

e− x

2− y2− z

2

,−2 xy e− x

2− y2− z

2

,−2 xz e− x

2− y2− z

2 ⟩

(b) f ( x , y , z )= xyz

x2+ y

2+ z2

− x

x x

xy (¿¿2+ y2− z

2)

( x2+ y2+ z

2 )2

xz (¿¿2− y2+ z2)( x2+ y

2+ z2 )2

, ¿

yz (¿¿2+ y2+ z

2)

( x2+ y2+ z

2 )2 ,¿

¿→∇ f ( x , y , z )=¿

12.Hallar la ecuaci'n del plano tangente a z= x2+2 y

3en (1,1,3 )

∂ z∂ x

=2 x → ∂ z∂ x

(1,1 )=2

∂ z

∂ y=6 y →

∂ z

∂ y (1,1 )=6

Luego:

z=3+(2 ) ( x−1 )+(6)( y−1)

→ z=3+2 x−2+6 y−6

→ z=2 x+6 y−5

7/18/2019 Derivadas


13.*alcular ∇h (1,1,1) si h ( x , y , z )=( x+ z )e x− y

∂ h

∂ x=e

x− y ( x+ z )e x− y

[ ( x+ z) log ( x+ z)+1 ]

∂ h

∂ y=−e

x− y ( x+ z )e x− y

log ( x+ z )

∂h

∂ z=e

x− y ( x+ z )e x− y−1

Luego:

∂ h∂ x (1,1,1 )=4log2+2

∂ h

∂ y (1,1,1 )=−2 log2

∂h

∂ z (1,1,1 )=1

∴∇h (1,1,1 )=⟨ 4log2+2,−2log2 , 1 ⟩

14.+ea f ( x , y , z )= x2+ y

2− z2

. *alcular ∇ f ( 0,0,1 )

∂ f

∂ x=2 x

∂ f

∂ y=2 y

∂ f

∂ z=−2 z

7/18/2019 Derivadas


Luego:

∂ f

∂ x (0,0,1 )=0

∂ f

∂ y ( 0,0,1 )=0

∂ f

∂ z (0,0,1 )=−2

∴∇ f ( 0,0,1 )= ⟨0,0,−2 ⟩

7/18/2019 Derivadas


Derivadas

Documents

Transcript of Derivadas