Derivadas de Funciones AlgebraicasConsideramos u v w, a,b,c, funciones derivadas respecto a x.

1.

2. (c) = 0Constante

3. (x) = 1Variable

4. (c x) = cConstante x variable

5. () = . (u)Potencia

6. () = ()(bx)(c)Suma y diferencia de funciones

7. (u.v) = u (v) + v. (u)Producto de dos funciones

8. (u.v.w) =u.v.(w) + u.w.(v) + v.w.(u)Producto de tres funciones

9. = . = . Derivadas compuestas,func. deFunc. o regla de la cadena10. = . .

11. = Funcin inversa

12. () = ; v 0Divisin de funciones

FRMULAS DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIONSean u = f(x)v = g(x)Funciones diferenciables y C una constante; tenemos:1. d(c) = 0

2. d(c u) = c d(u)

3. d(uv) = d u d v

4. d(u.v) = u d v + v d u

5. d(u.v.w) = u.v dw + u.w dv + v.w du

6. d; v 0

DIFERENCIALES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

7. d (sen u) = cos u . d u

8. d (cos u) = - sen u . d u

9. d (tag u) = u . d u

10. d (ctg u) = -u . d u

11. d (sec u) = sec u . tag u . d u

12. d (cosc u) = - cosc u . ctg u . d uL A D E R I V A D A Es la recta tangente a la grfica de una funcin. Es la razn entre el incremento de Y (Y) y el incremento de X (X), donde el incremento de x (variable independiente) tiende a cero. Es el valor de la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado

= : ngulos correspondientesSea P0Q una secante que pasa por los puntos P0 y Q de una curva continua cEl lmite (si existiera) de una secante, cuando Q se aproxima a P0 a lo largo de la curva, se llama tangente a la curva en P0.Si la ecuacin de la curva est dada en forma explcita [ Y = f (x) ]; donde f es una funcin continua, se puede determinar la recta tag P0 T. Si deseamos trabajar con esta definicin tomemos otro punto Q (x, y) de la curva; los puntos P0 y Q determina una secante de pendiente P0 R Q ; Tag = QR / P0 R = y y0 / x x0 = f (x) f (x0) / x x0Suponiendo que la curva c tiene una tangente P0 T , cuando Q se aproxima a P0 (Q P0 ) a lo largo de la curva, la inclinacin de la secante se aproxima a la inclinacin de la tangente.Luego diremos: Lm = Lm Tag = tag y s Q P0 Por lo tanto x x0 Q P0 Q P0Tambin: Lm Tag = Lm f (x) f (x0) / x x0 = tag Q P0 x x0Definicin.- Si la funcin f es continua en x0, la pendiente m (x0) de la tangente a la curva con ecuacin y = f (x), en el punto P0 (x0, y0) es:a) m (x0) = Lm f (x) f(x0) / x x0; siempre que el lmite exista. x x0

b) Si Lm f (x) f(x0) / x x0 = +, - ; la recta tangente es la recta x = x0 x x0c) Si ni a) ni b) se cumplen, entonces no existe recta tangente a la grfica de f en el punto P0 (x0, y0).d) Por lo tanto: f (x0) = Lm f (x) f(x0) / x x0 x x0

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA

Representacin: Simbologa: y y y y y nPendiente m = Tag m = y1 y0 / x1 x0 ( & )y0 = f (x0)y1 = f (x1) ( I )

x1 = x0 + x x = x1 x0y1 = y0 + y y = y1 y0 ( II )

Remplazando (II) en (&):

m = y / x = y1 y0 / x = f (x1) f(x0) / x = f (x0 + x) - f(x0) / x

Aplicando lmites se tiene: NOTA: En el clculo de derivadas se suele prescindir del sub cero; entonces: