derivadas para imprimir.docx

7/21/2019 derivadas para imprimir.docx

http://slidepdf.com/reader/full/derivadas-para-imprimirdocx 1/6

A. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCION DEVARIAS VARIABLES

DERIVADA DIRECCIONAL DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES:Sea f(x, y) una función denida en un dominio D incluido en R2.

Dado un vector unitario v, la derivada de f en un punto p, en la dirección de v,se dene por:

Este lmite se puede calcular directamente si f se dene como función de unavaria!le vectorial.Si se dene como función de varias varia!les escalares, ser" necesarioescri!ir la expresión del lmite en esta forma: f (a#,.., an) en lu$ar de f(a), demodo %ue si lo aplicamos a una función de dos&aria!les ser":

Siendo p'(x, y) y v ' (v#, v2)ara funciones de dos varia!les, un vector unitario v siempre se puedeexpresar de la forma *+os (), sin() - y a!laremos de la derivada direccionalen la dirección correspondiente al "n$ulo . Se escri!ir": v ' i cos() / 0

sin(), y representa el "n$ulo %ue forma el vector conla parte positiva del e0ede a!scisas.Si f (x,y) es una función de dos varia!les y v ' * cos(), sin() - una direccióndada, la derivada de f en la dirección de v ser":

, si dico lmite existe y es nito.

OBSERVACIONES:

1ay %ue resaltar %ue las derivadas parciales son casos particulares de lasdireccionales+oncretamente para las direcciones (#,) y (,#) respectivamente:fx(p) ' f(#,)( p) y fy( p) ' f(,#)(p)

Es posi!le %ue exista la derivada parcial de f en p se$3n una dirección y %ue noexista en otra.4nterpretación $eom5trica.



Si la función 6 ' f(x, y) admite plano tan$ente en un punto p de su dominio,todas las derivadas direccionales por dico punto se encuentran so!re el planotan$ente y los vectores v est"n situados en el dominio.

El n3mero fv(x, y) nos da la pendiente de la recta tan$ente a la supercie por p ' (x, y) , en la dirección del vector unitario v ' * cos(), sin() - y

representa la tasa o ra6ón de cam!io instant"neo de la función en la direccióndel vector.odemos expresar, si existe el plano tan$ente, %ue fv( p) 'cos( ) fx( p) /sin( ) fy( p), expresión %ue se corresponde con el producto escalar de losvectores ( fx, fy) y (cos(), sin() ), donde el primero de ellos es especialmenteinteresante de modo %ue a!laremos de el de manera 4nmediata: vector$radiente.

ropiedades del $radiente de una función de dos varia!les Si f(a !) ' , entonces Duf(a !) ' para todo u. 7a derivada direccional en (a !) es m"xima en la dirección del vector$radiente rf(a !) (dirección de m"ximo incremento de f), siendo 8rf(a !) 8 suvalor m"ximo.7a derivada direccional en (a !) es mnima en la dirección del vector rf(a !)(dirección de mnimo 4ncremento de f), siendo f(a !)8 su valor mnimo. 7a derivada direccional en (a !) es nula en cual%uier dirección perpendicularal vector $radiente.

Derivada direccional y $radiente de una función de tres varia!les7a derivada direccional de f(x y 6) en (a ! c) en la dirección del vectorunitario u ' (u# u2 u9) esDuf(a ! c) ' fx(a ! c) u# / fy(a ! c) u2 / f6(a ! c) u9 ' rf(a ! c) uDonde:rf(a ! c) ' (fx(a ! c) fy(a ! c) f6(a ! c))



es el vector $radiente, %ue tiene las mismas propiedades %ue en el caso de dosvaria!les.GRADIENTE DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES:

&ector $radiente:+onsideramos la función f( x, y ) de antes, diferencia!le en todo su dominio.

Sa!emos %ue df(p) ' fx( p) dx / fy( p) dy7lamaremos vector $radiente de f en el punto p al vector: ;rad f(p) ' ( fx( p),fy( p))El $radiente, como veremos m"s adelante, es una componente de la diferencialde f puesto %ue podemos ver %ue es el producto escalar:df(p) ' (fx(p), fy p) (dx,dy).

Vector gradiente.+onsideramos la función f( x, y ) de antes, diferencia!le en todo su dominio.Sa!emos %ue df(p) ' fx( p) dx / fy( p) dy

La!are!o" #ector gradiente de $ en e %&nto % a #ector: Grad $'%( ) '

fx ' p(* fy ' p((El $radiente, como veremos m"s adelante, es una componente de la diferencialde f puesto %ue podemos ver %ue es el producto escalar:df(p) ' (fx(p), fy p) (dx,dy).

Inter%retaci+n geo!,trica.

#. <am!i5n, fv ' fx v#/ fy v2 ' producto escalar del vector $radiente por elvector dirección, de modo %ue si es no nulo.



2. El vector $radiente, se=ala la dirección en %ue la derivada direccional esm"xima la

Dirección se=alada por el $radiente es la de m"ximo crecimiento de f(x,y)desde el punto p y este valor m"ximo lo proporciona su módulo ( pendientem"xima).

9. 7a dirección de mnimo crecimiento de f desde p ser la se=alada por elvector opuesto al anterior: > ;rad f( p).

7a derivada direccional es nula en dirección perpendicular al $radiente.&eamos: si ? es el "n$ulo %ue forman los vectores ;rad( f ) '* fx(), fy() - y v' * v#,v2-,@nitario, sa!emos %ue: fv()' * fx(), fy() a-$ *e vA#,v2-de modo %ue, el valor a!soluto de la derivada direccional:B fv() B ' BB ;rad(f) BB BB v BB +os (?) ' BB ;rad(f) BB # +os (?) ' BB ;rad(f) BB+os (?)or lo tanto el valor m"ximo de B fv (P) B se dar" cuando +os (?) '# es decircuando ;rad(f) y v ten$an la misma dirección.+uando necesitamos conocer la dirección en la %ue la función f( x , y ) crece

m"s r"pidamente,Cuscaremos el vector $radiente %ue nos se=alara la dirección de m"ximapendiente y si calculamossu módulo, dico numero mide la tasa de dico crecimiento.

7a dirección de mnimo crecimiento de f desde p ser la se=alada por el vectoropuesto al anterior: > ;rad f( p).7a derivada direccional es nula en dirección perpendicular al $radiente.&eamos: si ? es el "n$ulo %ue forman los vectores ;rad( f ) '* fx(), fy() - y v' * v#,v2-,@nitario, sa!emos %ue: fv()' * fx(), fy() a-$ *e vA#,v2-de modo %ue, el valor a!soluto de la derivada direccional:

B fv() B ' BB ;rad(f) BB BB v BB +os (?) 'BB ;rad(f) BB # +os (?) ' BB ;rad (f) BB+os (?)

or lo tanto el valor m"ximo de B fv() B se dar" cuando +os (?) '# es decircuando ;rad(f) y v ten$an la misma dirección.+uando necesitamos conocer la dirección en la %ue la función f( x, y ) crecem"s r"pidamente, !uscaremos el vector $radiente %ue nos se=alara ladirección de m"xima pendiente y si calculamos su módulo, dico numeromide la tasa de dico crecimiento.E-e!%o".#) 7a temperatura medida en $rados so!re la supercie de una placa met"lica

esta dada por la función <( x, y ) ' 2 x2 y2donde x e y se miden encentmetros, si nos situamos en el punto ' (2, >9) F en %u5 dirección crecem"s r"pidamente la temperaturaG F+u"l es su tasa de crecimientoG

fx' >Ax fy ' >2y lue$o ;rad f () ' ( >#H , H) ' dirección de crecimientom"ximo.Su módulo: Iod ' (#H)2 / H2 ' 2J2 ' tasa de crecimiento 'K latemperatura aumenta #L,J $rados por centmetro %ue avancemos en dica dirección.



+omo emos visto, las derivadas parciales son casos particulares de lasdireccionales, as tam!i5n podemos interpretarlas como la tasa o ra6ón decam!io instant"neo de la función en la dirección en %ue derivemos, pore0emplo

( Un de%+"ito de $or!a de ciindro recto tiene !etro" de radio %or

/ de at&ra* 0&ere!o" conocer a ta"a de ca!1io de "& #o&!enre"%ecto de radio 2 de"%&," re"%ecto de "& at&ra.

El volumen del cilindro es & ' M r 2 y el volumen con las dimensiones dadases de #2 M m9.Nos proponemos medir la variación de este volumen al aumentar, primero suradio y despu5s su altura, para ver %ue nos interesa m"s modicar paraaumentar su capacidad.Vr ' 2 M r , de modo %ue para r ' 2 y ' 9 la tasa de crecimiento en la lneadel radio ser: Vr (2,9)' #2 M.Vh' Mr 2, de modo %ue para r ' 2 y ' 9 la tasa de crecimiento en la lnea de

la altura ser : Vh (2,9)' M.En el primer caso, el volumen aumenta a ra6ón de #2 M metros c3!icos pormetro de aumento de radio mientras %ue en el se$undo lo ace a ra6ón de Mmetros c3!icos por metro de altura.

/( Cac&ar a deri#ada de $' 3* 2 () 4 5 3 6 2en e %&nto 7 ) '4*84(2 a direcci+n# )' /*9(

B. 7LANOS TANGENTES Y RECTAS NORALES A LA SU7ERFICIE

4. 7LANOS TANGENTES A UNA SU7ERFICIE:Sea 6' f (x, y) una función escalar con derivadas parciales continuas en (a, !)deldominio de f. El plano tan$ente a la supercie en el punto ( a, !, f(a, !)) es elplano %ue pasa por y contiene a las rectas tan$entes a las lano <an$ente auna superciedos curvas:

derivadas para imprimir.docx

Documents

Transcript of derivadas para imprimir.docx