Derivadas Parciales Para

7/31/2019 Derivadas Parciales Para

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Clculo diferencial e integral de una variable

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FuncionesReales de

VariasVariables


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Contenidos

Habilidades

Funcin de dos variables.

Grfica de una funcin real de dos variables. Curvas de nivel.

Lmite.

Continuidad.

Derivadas Parciales.

ir

ir

ir

ir

ir

ir

ir


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3

Habilidades

Define el concepto de funcin real de dos y tresvariables.

Determina el dominio de una funcin real y lorepresenta grficamente.

Traza la grfica de una funcin real de dos variablesreales.

Relaciona la regla de correspondencia de unafuncin con su grfica.

Determina las curvas (superficies) de nivel de unafuncin real de dos (tres) variables.


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4

Habilidades

inicio

Calcula el lmite de una funcin.

Determina la no existencia del lmite de una funcinreal de dos variables reales.

Establece la continuidad de una funcin real en unpunto.

Define el concepto de derivada parcial.

Calcula derivadas parciales.

Interpreta geomtricamente el concepto de

derivada parcial. Calcula derivadas parciales de segundo orden.

Verifica que una funcin dada es solucin de unaecuacin en derivadas parciales.


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Funciones de Varias Variables.

Definicin: Una funcin fde dos variables es una reglaque asigna a cada par ordenado de nmeros reales (x,y) de unconjunto D, un nmero real nico denotado por f(x,y).

El conjunto Des el Dominio de fy su imagen es el conjunto devalores que toma f, es decir Dyxyxf ),/(),(


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Ejemplos.

1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafquelos.2a) f ( x , y ) y x

2 2 4b) f x , y ln x y

1Ln( x y )c ) f ( x , y ) y x

2. Evalu la funcin del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en casosea posible. Justifique su respuesta.

inicio


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Grfica de una funcin de dos variables.

Definicin: Si f es una funcinde dos variables con dominioD, entonces la grfica de fes el conjunto de los puntos (x, y, z)de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) est en D.


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8

Ejemplo

inicio

2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y laimagen.

2 24a) f ( x , y ) y x

2 29b) z x y


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Curvas de nivel.


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O

Definicin: Las curvas de nivel de una funcin fde dos

variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde kesuna constante (que pertenece a la imagen de f).


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Ejemplos

2 2a) f ( x , y ) x y

2 2b) f ( x , y ) x y

3. Trace la grfica y las curvas de nivel de:

4. Una lamina de metal plana est situada en un plano XY y la temperaturaT (en grados centgrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcionala la distancia del punto (x, y) al origen.

a) Describa las isotermasb) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 gradoscentgrados, encuentre una ecuacin de la isoterma correspondiente ala temperatura de 20 grados centgrados.


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Ejemplos

5. Describa y trace las superficies de nivel de la funcin:

2 22f ( x , y , z ) x y z

inicio


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-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1

-1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759

-0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829

0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841

0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829

0,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759

1 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455

TABLA1 Valores de f(x,y)

-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1

-1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000

-0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600

-0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923

0 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000

0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923

0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600

1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000

TABLA 2 Valores de f(x,y)

Lmites

2 22 2

1sen x y

f ( x , y )x y

2 2

2 2

2x y

g(x, y )x y


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Lmites

Definicin: Sea funa funcin de dos variables cuyo dominioDincluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces

decimos que el lmite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b)es L y escribimos

tal que siempre que

y

0,0 f x , y L

x , y D 2 2

0 x a y b

x ,y a,blim f x ,y L


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Interpretacin geomtrica de los lmites

X

Z

L

L L


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Determina la no existencia del lmite de una funcin real.

Definicin: Si cuando por

una trayectoria C1 y cuando porotra trayectoria C2,, donde , entonces

no existe.

1f x , y L

1 2L L

x ,y a,blim f x , y

x , y a, b

2f x , y L x , y a, b

a

b

y


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Ejemplos

inicio

6. Muestre que no existe 2 40 0x ,y ,

xylim

x y

7. Muestre que no existe 2 20 0x ,y ,

xylim

x y

5. Muestre que no existe

2 2

2 20 0x ,y ,

x ylim x y


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Continuidad

Definicin: Una funcin fde dos variables, se denominacontinua en (a,b) si

Decimos que fes continua en Dsi fes continua en todo punto(a,b) de D

bayxf

bayx,,lim

,,

Nota:

Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio

2 2

1 2

2 2

2 21 0

x ,y ,

x ,y ,

lim x xy y

x ylim

x y

inicio


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Derivadas parciales.

Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea(x

0,y

0) un punto de D. La funcin f(x, y

0) depende

solamente de x y est definida alrededor de x0.

Si la derivada existe, el valorde la derivada es llamado

derivada parcial de f(x,y),conrespecto a x en el punto(x0,y0) y se denota por

00 ,

00,

yxx

zyx

x

f


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Definicin de derivada parcial con respecto a x.

0 0 0 00 00x

f x x , y f x , y f x , y limx x


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Del mismo modo, la derivada de fcon respecto ayen (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene

dejando x fija (x=x0).

0 0 0 0

0 0 0 00

yy

f x , y y f x , y ff x , y x , y lim

y y

Definicin de derivada parcial con respecto a y.


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Ejemplos

1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e

interprete estos nmeros como pendientes.

3 2 2a) f ( x , y ) ( x y )

2yb) f ( x , y ) xe ysenx

3 2xc ) f (x , y , z ) xe z xz ln(yz )

2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f


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Derivadas parciales respecto a x y a y.

Fin

Derivadas Parciales Para

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