Derivadas Parciales y Direccionales (1)

7/24/2019 Derivadas Parciales y Direccionales (1)

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1

TEMA 2

DERIVADAS PARCIALES Y

DIRECCIONALES

FUNCIONES DIFERENCIABLES


2/31

2

Derivadas parciales de una funcin escalar

Derivadas parciales de una funcin en un punto 2:Df

Sea y un punto interior de 2:Df ba, D

Derivada parcial de respecto de en

h

bafbhaf

ax

bafbxfbafba

x

f

haxx

,,lim

,,lim,,

0

f x ba,

Derivada parcial de respecto de en

k

bafkbaf

by

bafyafbafba

y

f

kbyy

,,lim

,,lim,,

0

f y ba,


3/31

3

Ejercicio (Problema 1, Hoja 2B)

Estudiar la continuidad y la existencia de derivadas parciales en el punto

de la funcin

0,0

0,0,si0

0,0,si, 22

23

yx

yxyx

yx

yxf

Solucin

Ejemplo (Problema 1, Hoja 2A)

0,0,si0

0,0,si, 22

33

yx

yxyx

yx

yxf

Hallar las derivadas parciales en el punto de la funcin 0,0


4/31

4

Derivadas parciales de una funcin 2:Df

Dada una funcin se definen las funciones 2:Df

Derivada parcial de respecto de

21:

Df

x

fx

f x

yxxf

Dyx ,,1

Derivada parcial de respecto def y

22:

Df

y

fy

yxy

fDyx ,

, 2

Notas

1) El dominio de estas funciones ser el conjunto de puntos del plano

donde las derivadas parciales existan

2) se obtiene manteniendo la variable constante y derivando

x

f

y

la funcin respecto de la variablef x

se obtiene manteniendo la variable constante y derivandoy

f

x

la funcin respecto de la variablef y


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5

Solucin

Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones

Ejemplo (Problema 2, Apartado a), Hoja 2A)

0,0,si0

0,0,si, 22

3

yx

yxyx

yx

yxf ysenxyxf , 3

Ejercicio

0,0,si0

0,0,si, 22

4

yx

yxyx

y

yxf

y

xLogyxf

cos

1,

2

Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones


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6

Derivadas parciales de una funcin nDf :

Dada una funcin se definen las funciones

derivadas parciales

nDf :

nix

iDfx

fi :

xx

fDx

i

i

ni ,,1

Nota

es una funcin de variables que se obtiene derivando laix

f

n

funcin respecto de y manteniendo constantes el resto de

las variablesixf

Derivadas parciales de una funcin en un punto

n

Df :Sea y un punto interior de nDf : naaa ,,1 DSe llama derivada parcial de respecto de en af ix a

ii

nniii

axx

i ax

aafaaxaafafa

x

f

iii

,,,,,,,,lim

1111 ni ,,1


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7

Derivada direccional de una funcin en un punto 2:Df

Sea , un punto interior de y unvector unitario ( ). Se llama derivada direccional de en

segn a

2

:Df ba, D 21,vvv 1v f ba,v

bafvbvafbafbafD vv

,,lim,, 21

0

Nota

Como , el vector se puede expresar como , donde

es el ngulo que determina la direccin del vector . Entonces la

derivada direccional queda

1v v ,cos senv v

bafsenbaf

bafbafD

,,cos

lim,, 0

donde es el ngulo que determina la direccin

Nota

Las derivadas parciales y son casos particulares de derivadasdireccionales en las direcciones de los ejes (derivada direccional en la

direccin determinada por ) e (derivada direccional en la direccin

determinada por )

bafx , bafy , X 0,1v Y

1,0v


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8

Solucin


0,0,si0

0,0,si, 22

33

yx

yxyx

yx

yxf

Hallar las derivadas direccionales en el punto de la funcin 0,0


0,0,si0

0,0,si,

222

23

yx

yxyx

yxsen

yxf

Hallar las derivadas parciales y direccionales en el punto de la funcin 0,0

Ejercicio

Hallar las derivadas parciales y direccionales en el punto de la funcin 2,1

22, yxyxf


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9

Derivadas parciales sucesivas

xxxf xxyf xyxf xyyf yxxf yxyf yyxf yyyf

Sea 2:Df

xxxx

fx

ff

2

2

Derivadas parciales de

xf yf

f

Derivadas parciales de orden 2 de f

xyyx

fyx

ff

2

yyyy

fy

ff

2

2

yxxy f

xy

ff

2


Derivadas parciales sucesivas de una funcin 2:Df

Nota

, : Derivadas cruzadasxyf yxf

Teorema de Schwarz

Sea y un punto interior de tal que se cumplenlas siguientes condiciones 2

:Df ba, D

Existen y en un entorno dexf yf ba,

Existen y en un entorno de y son continuas enxyf ba, ba,

Entonces bafbaf yxxy ,,

yxf


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10

Solucin

Hallar las derivadas parciales de orden 2 de la funcin

Ejemplo

ysenxyxf , 3

Solucin

Se considera la funcin

Ejemplo (Problema 2, Apartado b), Hoja 2A)

0,0,si0

0,0,si, 22

3

yx

yxyx

yx

yxf

Se verifica ? Razonar la respuesta. 0,00,0yxxy

ff

Las derivadas parciales de la funcin son ,yxf

0,0,si0

0,0,si222

325

yx

yx

yx

yxy

fx

0,0,si0

0,0,si3

222

423

yx

yxyx

yxyx

fy


11/31

11

Ejercicio y

xLogyxf

cos

1,2

Hallar las derivadas parciales de orden 2 de la funcin


Dada la funcin , se pide:

0,0,si0

0,0,si, 22

33

yx

yxyx

yxyxyxf

Se verifica ? Razonar la respuesta. 0,00,0 yxxy ff

Hallar las derivadas parciales de .f


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12

Derivadas parciales sucesivas de una funcin escalar

Sea una funcin escalar nDf :

Derivadas parciales de

nxxx fff ,,,

21

f


,,,, 2111 jixxxxxx fffDerivadas parciales de orden 3 de f

,,,,211111 kji xxxxxxxxx fff

Nota

, : Derivadas cruzadasjixxf ijxxf

Teorema de Schwarz

Sea y un punto interior de tal que se cumplen

las siguientes condiciones nDf : a D

Existen y en un entorno deix

fjx

f a

Existen y en un entorno de y son continuas enjixx

f

Entonces afafijji xxxx

a aijxx

f


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13

Relacin entre la continuidad y las derivadas parciales y

direccionales de una funcin escalar

Una funcin escalar puede ser continua en un punto y no tenerderivadas parciales direccionales en dicho punto

Una funcin escalar puede tener derivadas parciales direccionales en

un punto y no ser continua en dicho punto

Ejercicio

0,0,si0

0,0,si1

, 22

yx

yxyx

senxyxf

Estudiar la continuidad y las derivadas direccionales en el punto de

la funcin . 0,0

Sea la funcin


0,0,si0

0,0,si, 42

2

yx

yxyx

yx

yxf

Estudiar las derivadas direccionales de en .f 0,0Estudiar la continuidad de en .f 0,0

Solucin


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14

Funcin diferenciable 2:Df

Sea y un punto interior de . Se dice que esdiferenciable en si

2

:Df D f ba,

Existen , bafx , bafy ,

0

,,lim

22,,

byax

bya,bfaxa,bfbafyxf yx

bayx

ba,

Nota

El concepto de funcin diferenciable para funciones de dos variables es

equivalente al concepto de funcin derivable para para funciones de una

variable, es decir, superficie suave, sin picos, con plano tangente, etc.

Estudiar la diferenciabilidad en el punto de la funcin

Ejemplo (Problema 4, Apartado a), Hoja 2A)

0,0,si0

0,0,si, 22

3

yx

yxyx

yx

yxf

Solucin

0,0


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15

Teorema

Sea diferenciable en . Entonces 2:Df ba,

es continua enf ba,Existen , bafx , bafy ,Existen todas las derivadas direccionales de en

Adems se verifica

f ba,

senbafbafbafD yx ,cos,,

Estudiar la diferenciabilidad en el punto de la funcin

Ejemplo (Problema 4, Apartado b), Hoja 2A)

Solucin

0,0

0,0,si0

0,0,si1,

22

yx

yxyxyxf


16/31

16

Estudiar la continuidad, las derivadas parciales y direccionales y la

diferenciabilidad en el punto de la funcin


0,0,si0

0,0,si, 22

2

yx

yxyx

yx

yxf

Solucin

0,0


17/31

17

Teorema


las siguientes condiciones

2:Df ba, D

ba,

ba,Entonces es diferenciable enf

es continua enf ba,Existen y en un entorno de y son continuas en

xf yf ba,

Notas

2) La diferenciabilidad de una funcin en un punto se estudiar a travs de las

derivadas parciales si stas son fciles de calcular y es fcil estudiar su

continuidad. En caso contrario se recurrir a la definicin de funcindiferenciable.

1) Puede ocurrir que las derivadas parciales de no sean continuas

en y la funcin si sea diferenciable en ba,f

f ba,



22, yxyxf

Solucin

Estudiar la diferenciabilidad de en el puntoHallar las derivadas direccionales de en el punto .

f 2,1f 2,1


18/31

18


0,0,si0

0,0,si1

, 22

yx

yxyx

senyxtgyxf

Estudiar la diferenciabilidad en el punto de las siguientes funciones: 0,0

0,0,si0

0,0,si, 22

33

yx

yxyx

yx

yxf

0,0,si0

0,0,si, 84

42

yx

yxyx

yx

yxf


Hallar las derivadas parciales y la derivada direccional en la direccin en

el punto de la funcin 0,0

0,0,si0

0,0,si

,3

22

52

yx

yx

yx

yx

yxf

6

A la vista de los resultados anteriores, analizar la diferenciabilidad de enf 0,0


19/31

19

Estudiar la diferenciabilidad de en el punto para y 5b


Dada la funcin

0,0,si0

0,0,sicos1

1

,222

2

yx

yxxyyxLog

eseny

yxf

yxb

Estudiar la continuidad de en el punto segn los distintosf 0,0con , se pide:

0,0f

Nb

valores de .b

Estudiar la existencia de las derivadas parciales de en el puntof 0,0segn los distintos valores de .b

3b

Sea una funcin continua y tal que admite derivadas parciales en un


yxf ,

entorno de , siendo , y siendo . 0,0 10,0

x

f

10,0

yf

33cos0,0 senfD .

Las funciones y son continuas en x

f

y

f

0,0

Se pide decir razonadamente si es cierta o falsa la proposicin siguiente:


20/31

20



Estudiar la diferenciabilidad de en el punto

Hallar la derivada direccional

f ,0 ,04fD

yeyxf x cos,

Estudiar para la diferenciabilidad de en el punto 1,1 7a


Dada la funcin con , se pide:

0,0,si0

0,0,si, 64

yx

yxyx

x

yxf

a

Estudiar la continuidad de en el punto segn los distintosf 0,0

Estudiar la diferenciabilidad de en el punto para y 0,0f

Na

valores de .a

Estudiar la existencia de las derivadas parciales de en el puntof 0,0segn los distintos valores de .a

3a

f1a


21/31

21

Plano tangente a la grfica de una funcin 2:Df

Sea diferenciable en . Entonces el plano

tangente a la superficie en el punto es bafbaP ,,, 2:Df ba,

yxfz ,

bybafaxbafbafz yx ,,,Nota

El vector caracterstico del plano tangente es

1,,,, bafbafN yx

Hallar el plano tangente a la superficie en el punto


22 3yxz 4,1,1PSolucin


Hallar el plano tangente a la superficie que sea paralelo al

plano

22 53 yxz 6253 zyx


22/31

22

Aproximacin de una funcin mediante su plano tangente tangente

Sea una funcin diferenciable en . 2:Df ba,

Si est cerca de entonces podemos aproximar yx,

bybafaxbafbafyxf yx ,,,,

ba,

Calcular de forma aproximada


33 011012 Solucin


Calcular de forma aproximada 3 44 28023012


23/31

23

Gradiente de una funcin en un punto 2:Df

Gradiente de una funcin 2:Df

Sea y un punto interior de . Se llama gradiente

de en a

2:Df ba, Df ba,

a,bf,a,bfbaf yx ,

Gradiente de una funcin 2:Df

yx f,ff

Hallar el gradiente de la funcin


2

3

1, y

xyxf

Solucin

Hallar 1,1f


24/31

24

Nota

Si es diferenciable en entoncesf ba,

vbafsenbafbafbafD yx ,,cos,, donde es el vector unitario que determina la direccin.

Si es el ngulo que forman y entoncesv

cos,cos,, bafvbafbafD

baf , v

Si (direccin del gradiente) entonces la derivada direccional

es mxima y0

,, bafbafD

Si (direccin opuesta a la del gradiente) entonces la derivadadireccional es mnima y

,, bafbafD

Si (direccin perpendicular a la del gradiente)

entonces

2

0, bafD

23

Nota

Si entonces no es diferenciable enf ba, vbafbafD ,,


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25

Analizar si el montaero asciende desciende cuando camina en las

direcciones Norte, Noroeste y Sur respectivamente.


22 0500101000, yxyxh

Solucin

Hallar las direcciones de ascenso y descenso ms rpido.

La altura de una montaa con respecto al nivel del mar viene dada por la

expresin

h

donde representa la direccin Este e representa la direccin Norte.

Un montaero est en el punto de la montaa de coordenadas

Se pide:

x y

100,200, 00 yx

Hallar la direccin para la cual no cambia de altura.

Sea una funcin tal que el gradiente de en el punto


Solucin

es y la derivada direccional 3,12,1 f2:f f 2,1

22,14 fD Es diferenciable en el punto ? Razonar la respuesta.f 2,1


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26

Hallar la derivada direccional de en un punto , en la

direccin

Sea una funcin diferenciable en tal que la derivada direccional


yxf ,

, donde y la derivada direccional mxima de en

2

00,0 fDv

5

4,

5

3v f

el punto vale 10, dndose en un direccin del segundo cuadrante.

Hallar el plano tangente a la superficie en el punto yxfz , 0,0


Hallar el gradiente de la funcin

0,0, ba

22

22

,yx

yxyxf

f4

Hallar la direccin para la cual

01,1 fD

1,0,0

en el punto .

Ejercicio (Problema 12, Hoja 2B)Hallar el vector gradiente y la derivada direccional mxima de la funcin

1,1 33, yxyxf


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27

Sea una funcin diferenciable en tal que el plano tangente


2:g

a la grfica de en el punto es y la derivada

2

g 21,1, azayx 723

direccional , donde . Hallar una direccin para

la cual .

w


La piscina de una casa tiene forma de circulo de radio y su profundidad

es directamente proporcional a , siendo e las coordenadas respecto

a unos ejes de referencia que aparecen marcados en la piscina y cuyo origen

es el centro de la misma. Sabiendo que la profundidad en el punto

es se pide:

Marcar una zona de seguridad en la piscina en la cual la profundidad sea

como mximo un metro.

Decir en que direccin debe nadar un nio, situado en el punto , para

ir a zonas menos profundas lo ms rpidamente posible.

.12m

22yx yx

4,4.40 m

Decir, razonando la respuesta, si la piscina est bien diseada.

9,5

1071,1 gDv

5

4

,5

3

v

01,1 gDw


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28

Diferenciabilidad de una funcin escalar

Sea y un punto interior de . Se dice que esdiferenciable en si

n

Df : D f

Existen , afix

ni ,,1

0lim22

11

111

nn

nnxx

ax

axax

axafaxafafxfn

aa

es continua en

Teorema

Sea diferenciable en . Entonces

f

Existen , af ix ni ,,1

nDf : a

a

Teorema


las siguientes condiciones nDf : D

Entonces es diferenciable enf

es continua enf

Existen en un entorno de y son continuas ennxx

ff ,,1

a

a

a a

a


29/31

29

Gradiente de una funcin escalar nDf :

nxx f,ff ,

1

Estudiar si es diferenciable la funcin en el punto

y, en caso afirmativo, hallar el gradiente de en dicho punto.


Solucin

32

,, zyxezyxf 1,1,2f


Estudiar si es diferenciable la funcin en el puntoy, en caso afirmativo, hallar el gradiente de en dicho punto.

322

,, zyx

exzyxf

1,1,1f


30/31

30

Diferenciabilidad de una funcin vectorial

Sea , un punto interior de y sus

funciones componentes. Se dice que es diferenciable en si

son diferenciables en

mnDf : Df

aa

mff ,,1

mff ,,1 a

Matriz jacobiana de una funcin vectorial. Jacobiano

Sea , un punto interior de y sus

funciones componentes. Se llama matriz jacobiana de en a

Da mff ,,1 f a

ax

fa

x

f

ax

f

ax

f

axx

ffaDf

n

mm

n

n

m

1

1

1

1

1

1

,

,,

mnDf :

Si , se llamajacobiano de en anm f a

a

xx

ffaDfaJf

n

n

,,

,,)(

1

1


31/31

31

Nota

La matriz jacobiana de una funcin vectorial esmnDf :

m

n

mm

n

n

m

f

f

x

f

x

f

x

f

x

f

xx

ffDf

1

1

1

1

1

1

1

,

,,

Si , el jacobiano esnm f

n

n

xx

ffDfJf

,,

,,

1

1


Solucin

senrrrg ,cos,

Hallar la matriz jacobiana y el jacobiano de la funcin


sensenf ,cos,coscos,,

Hallar la matriz jacobiana y el jacobiano de la funcin

Derivadas Parciales y Direccionales (1)

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